JP6963277B2 - 変換装置、判定装置、および計算装置 - Google Patents
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Description
[定義]
実施形態で用いる用語を定義する。
n,m,m’,M,N,N’は正の整数である。i=1,…,nであり、j=1,…,mであり、u=1,…,nである。sは整数要素からなるn次元ベクトルである。rji (c),rji (d),rj0,Xj,di,gi,ejは整数である。L,γが正の実数である。ajはn個の整数要素a1j,…,anjからなるn次元ベクトルaj=(a1j,…,anj)Tである。gはn個の要素g1,…,gnからなるn次元ベクトルg=(g1,…,gn)Tである。εuはu番目の要素が1で他の要素が0のn次元単位ベクトルεu=(0,…,1,0,…,0)Tである。
実施形態で扱う格子問題を簡単に説明する。より詳しい内容については参考文献1,2参照。
[参考文献1]Daniele Micciancio and Shafi Goldwasser, Complexity of Lattice Problems: a cryptographic perspective, Kluwer Academic Publishers, The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science, vol. 671 (2002).
[参考文献2]Cohen, Henri, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-55640-0 (1993).
最短ベクトル問題とは、基底Bが与えられたとき、格子L(B)の中で最も原点に近い格子点(原点から最も当該原点に近い格子点へ向かうベクトル、すなわち最短ベクトル)を求める問題である。最短ベクトルの長さと、格子L(B)の中で二番目に原点に近いベクトルの長さとの比がγ以上のとき、最短ベクトル問題はγ−unique SVPと呼ばれる。最短ベクトル問題はNP困難であり、γを変えることにより、問題の難しさを調整することができる。最短ベクトル問題は、次に示す最近ベクトル問題に帰着できることが知られている。したがって、最近ベクトル問題は、最短ベクトル問題以上に難しい。
最近ベクトル問題とは、基底Bと目標ベクトルtとの組(B,t)が与えられたとき、目標ベクトルtとの差分ベクトルが最短となるような格子L(B)の最近ベクトルt(c)∈L(B)を求める問題である。組(B,t)についての最近ベクトル問題をCVP(B,t)と表記する。最近ベクトルt(c)∈L(B)は目標ベクトルtに最も近い格子点ベクトルである。t(d)は目標ベクトルtと最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tを表す。このような差分ベクトルt(d)を最短差分ベクトルと呼ぶ。最短差分ベクトルt(d)=t−t(c)と、目標ベクトルtと目標ベクトルtに2番目に近い格子点ベクトルとの差分ベクトルと、の長さの比がγ以上のとき、最近ベクトル問題をγ−gap CVPと呼ぶ。最近ベクトル問題を近似的に解く古典アルゴリズムとして,Babaiが提案したRounding-Off アルゴリズムやNearest Planeアルゴリズムが知られている。
[参考文献3]L. Babai, On Lovasz Lattice Reduction and the Nearest Lattice Point Problem, Combinatorica, Vol. 6, No. 1, pp.1-13, (1986).
しかし、これらのアルゴリズムによって得られる解の近似率は、それぞれ1+2n(9/2)n/2,2n/2であり、両者とも次元の指数的な近似率しか保証しない。
GapCVPγとは、基底Bと目標ベクトルtとの組(B,t)と長さLが与えられたとき、dist(B,t)≦Lかdist(B,t)>γLのどちらかが必ず正しいという約束の下、dist(B,t)≦L(Yes instance)か、dist(B,t)>γL(No instance)かを判定する決定問題である。ここで、dist(B,t)とは、最短差分ベクトルt(d)の長さ(すなわち||t(d)||)のことである。γが小さくなるほどGapCVPγは難しくなる。
[参考文献4]Dinur, I. and Kindler, G. and Safra, S., Approximating-CVP to Within Almost-Polynomial Factors is NP-Hard, Proceedings of the 39th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, FOCS '98, IEEE Computer Society, Washington, DC, USA, pp.99-111 (1998).
逆にγ≧√nの場合、GapCVPγはNP困難でないと予想されている。
[参考文献5]岡本龍明,“応用数理の散歩道(79) これからの暗号”, 応用数理, Vol. 24, No. 3, pp. 36-39, December, (2014).
[参考文献6]Oded Regev, On Lattices, Learning with Errors, Random Linear Codes, and Cryptography, J. ACM,, Vol 56, No. 6, 34:1‐34:40 (2009).
LWEとは、正の整数m,n,N、整数要素のn×mランダム行列A=(aij)(i=1,…,n、j=1,…,m)、m次元ランダムベクトルX=(X1,…,Xm)T、および各要素がガウス分布に従う短いベクトルd=(d1,…,dn)Tから
[参考文献7]Daniele Micciancio and Shafi Goldwasser, Complexity of Lattice Problems: a cryptographic perspective, Kluwer Academic Publishers, The Kluwer International Series in Engineering and Computer Science, vol. 671 (2002).
基底Bと整数Nに対して{τ∈Zn|<τ,χ>=0 mod N for all χ∈L(B)}で定義される格子を「Nに関する双対格子」と呼ぶ。Nに関する格子L(B)の双対格子のLLL既約基底をB−と書き、双対基底と呼ぶ。なお、「B−」の右上添え字の「−」は本来「B」の真上に記載すべきであるが記載表記の制約上「B」の右上に表記する場合がある。
変形LWEとは、正の整数m,n,N、m×n行列
[参考文献8]Cohen, Henri, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 0-387-55640-0 (1993).
[参考文献9]Ravindran Kannan and Achim Bachem, Polynomial Algorithms for Computing the Smith and Hermite Normal Forms of an Integer Matrix, SIAM Journal on Computing, vol. 8, No. 4, pp. 499-507, (1979).
[参考文献10]Storjohann, Arne, Near Optimal Algorithms for Computing Smith Normal Forms of Integer Matrices, Proceedings of the 1996 International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, ISSAC '96, pp. 267-274 (1996).
第1実施形態では、量子計算と古典計算とによってCVPを変形LWEに変換する(図2)。
図4に例示するように、本形態の変換装置1は、古典計算部11,13(第1,2古典計算部)、量子計算部12、および制御部14を有する。変換装置1は、制御部14の制御のもとで各処理を実行する。古典計算部11,13は複数の演算部を有する(図示せず)。図5および図6に例示するように、量子計算部12は、インデックスレジスタ121a、データレジスタ121b、ワークレジスタ121c、量子状態生成部122、量子フーリエ変換部123a,123b(第1,2量子フーリエ変換部)、操作部124、観測部125a〜125c、および逆量子フーリエ変換部126を有する。
本形態の処理を説明する。本形態の変換装置1は、CVP(B,t)についての基底Bおよび目標ベクトルtを入力とし、変形LWEを表す
古典計算部11(図4)は、組(B,t)を入力とし、以下の処理を実行する。
1.古典計算部11の演算部は、基底Bに対応する基底行列βの逆行列β−1の要素の分母の最小公倍数N’を計算して出力する(ステップS111)。
2.古典計算部11の演算部は、基底BのN’に関する双対基底B−’={b1 −’,…,bn −’}を計算して出力する(ステップS112)。
3.古典計算部11の演算部は、N’の倍数Nを選択して出力する(ステップS113)。
4.古典計算部11の演算部は、双対基底B−’についてNに関する双対基底B−=(N/N’)B−’={(N/N’)b1 −’,…,(N/N’)bn −’}を得て出力する。双対基底B−は基底Bの「Nに関する双対基底」となる(ステップS114)。
5.古典計算部11の演算部は、正の整数Mを選択して出力する。M<Nであり、MはNに対して十分に小さい(ステップS115)。
6.古典計算部11の演算部は、2R≦N<4Rを満たす実数Rを選択して出力する(ステップS116)。
7.古典計算部11の演算部は、正の実数Lを選択して出力する。Lは最短差分ベクトルt(d)の長さ||t(d)||の推定値である。例えば、L×M<Nを満たす(ステップS117)。
8.古典計算部11の演算部は、正の整数mを選択して出力する(ステップS118)。
9.古典計算部11は、(L,n,M,N,R,B,t)を出力する(ステップS119)。
量子計算部12(図4から図6)は、(L,n,M,N,R,B,t)を入力とし、ceil(log2 M)個の量子ビットからなるインデックスレジスタ121aと、n×ceil(log2 N)個の量子ビットからなるデータレジスタ121bと、n×ceil(log2 det(β))個の量子ビットからなるワークレジスタ121cとからなるレジスタ列を設定し、これらに対して以下の量子計算をm回実行する。量子計算部12は、j回目の量子計算でn次元ベクトルrj=(rj1,…,rjn)∈[0,N)nおよびrj0∈[0,M)を得て出力する。ただし、i=1,…,n,j=1,…,mである。以下にj回目の量子計算を説明する。
|w>|x>|det(β)(yw,x,1−floor(yw,x,1)),…,det(β)(yw,x,n−floor(yw,x,n))> (8)
にする量子操作を実行する(ステップS124)。観測部125cは、操作部124で得られた式(8)の量子状態のワークレジスタ121cを観測し、インデックスレジスタ121aおよびデータレジスタ121bの量子状態を
古典計算部13は、rjおよびNに関する双対基底B−を入力とし、双対格子L(B−)={Σi=1,…,n xib− i|xi∈Z,b− i∈B−}およびn次元ベクトルrj=(rj1,…,rjn)について、当該n次元ベクトルrjに最も近い最近ベクトルrj (c)=(rj1 (c),…,rjn (c))∈L(B−)および差分ベクトルrj (d)=rj−rj (c)=(rj1 (d),…,rjn (d))を得て出力する(rj (c)およびrj (d)はいずれもn次元ベクトルである)。すなわち、古典計算部13は、Nに関する双対基底B−とn次元ベクトルrj=(rj1,…,rjn)との組(B−,rj)についてのCVP(B−,rj)を解く。Nの値が次元数nに対して大きいとき(例えば、Nの値が次元数nに対して指数的に大きいとき)、Nに関する双対基底B−について上述のように得られたn次元ベクトルrjのCVP(B−,rj)を、古典アルゴリズムを用いて厳密に解くことは可能である(ここでは証明を省略する)。古典計算部13は、例えば、Nearest Planeアルゴリズムなどを用いてこのCVP(B−,rj)を厳密に解き、最近ベクトルrj (c)および差分ベクトルrj (d)を得て出力する。Nをnに対して大きくすると高い確率で||rj (d)||<nとなることが証明できる。よってNearest Planeアルゴリズムによって最近ベクトルrj (c)および差分ベクトルrj (d)を求めることができる(ステップS13)。
第2実施形態では、量子計算と古典計算とによってLWEを変形LWEに変換する(図3)。以下では第1実施形態との相違点を中心に説明し、既に説明した事項については同じ参照番号を用いて説明を省略する。
本形態の処理を説明する。本形態の変換装置2は、LWEを表す
古典計算部21(図4)は、LWEを特定する(a1,…,am’,g,N’)を入力とし、以下の処理を実行する。
1.古典計算部21の演算部は、{a1,…,am’,N’ε1,…,N’εn}から計算したLLL既約基底を基底Bとし、t=(t1,…,tn)T=g=(g1,…,gn)Tとして出力する。ただし、εuはu番目の要素が1で他の要素が0のn次元単位ベクトルεn=(0,…,1,0,…,0)Tである(u=1,…,n)(ステップS211)。
2.古典計算部21の演算部は、基底BのN’に関する双対基底B−’={b1 −’,…,bn −’}を計算して出力する(ステップS112)。
3.古典計算部21の演算部は、N’の倍数Nを選択して出力する(ステップS113)。
4.古典計算部21の演算部は、双対基底B−’についてNに関する双対基底B−=(N/N’)B−’={(N/N’)b1 −’,…,(N/N’)bn −’}を得て出力する(ステップS114)。
5.古典計算部21の演算部は、正の整数Mを選択して出力する。M<Nであり、MはNに対して十分に小さい(ステップS115)。
6.古典計算部21の演算部は、2R≦N<4Rを満たす実数Rを選択して出力する(ステップS116)。
7.古典計算部21の演算部は、正の実数Lを選択して出力する。例えば、L×M<Nを満たす(ステップS117)。
8.古典計算部21の演算部は、正の整数mを選択(設定)して出力する(ステップS118)。
9.古典計算部21は、(L,n,M,N,R,B,t)を出力する(ステップS119)。
第3実施形態では、古典計算により、第1実施形態または第2実施形態で変換された変形LWEについてのGapCVPγを解く(図2および図3)。すなわち、第1実施形態または第2実施形態で得られた{rji (c),rji (d),rj0}およびm,M,Nで特定される式(5)を満たす差分ベクトルt(d)が||t(d)||≦Lを満たすか||t(d)||>γLを満たすかを判定する。
図8に例示するように、本形態の判定装置3は、ベクトル生成部31、確率選択部32、超平面距離推定部33、判定部34、および制御部35を有する。判定装置3は、制御部35の制御のもとで各処理を実行する。図9に例示するように、本形態の超平面距離推定部33は、基底生成部331、ベクトル生成部332、超平面距離候補設定部333、および超平面距離選択部334を有する。
本形態の処理を説明する。本形態の判定装置3は、{rji (c),rji (d),rj0}およびm,M,Nを入力とし、これらによって特定される式(5)を満たす差分ベクトルt(d)が||t(d)||≦Lを満たすか||t(d)||>γLを満たすかを判定する。{rji (c),rji (d),rj0}およびm,M,Nは、第1実施形態または第2実施形態で説明した処理によって得られたものである。
超平面距離推定部33の処理の詳細を例示する。
まず、超平面距離推定部33は、各j=1,…,mについて以下の(a)〜(c)の計算を行い、各距離distjを決める。
(i)超平面距離候補設定部333は、<sj,tsj,y0>=y0mod Nおよび<sj,tsj,y1>=y1 mod Nを満たすn次元ベクトルtsj,y0およびtsj,y1を得て出力する。この計算には拡張ユークリッド互除法が用いられる。
(ii)超平面距離候補設定部333は、t’sj,y0∈(sj+L(B))∩(tsj,y0+L(Bsj))およびt’sj,y1∈(sj+L(B))∩(tsj,y1+L(Bsj))を満たすn次元ベクトルt’sj,y0およびt’sj,y1を得て出力する。この計算にはスミス標準形が用いられる。
(iii)超平面距離候補設定部333は、ABS(<sj (d),t’sj,y0+kbsj(d),N>)を最小にするkをky0とし、ABS(<sj (d),t’sj,y1+kbsj(d),N>)を最小にするkをky1とし、t”sj,y0=t’sj,y0+ky0bsj(d),Nおよびt”sj,y1=t’sj,y1+ky1bsj(d),Nを得て出力する。
(iv)超平面距離候補設定部333は、<sj (d),t”sj,y0>≦0≦<sj (d),t”sj,y1>または<sj (d),t”sj,y1>≦0≦<sj (d),t”sj,y0>ならば超平面距離候補distj=0として出力する。それ以外の場合、すなわち<sj (d),t”sj,y0>および<sj (d),t”sj,y1>が共に正(<sj (d),t”sj,y0>および<sj (d),t”sj,y1>が0よりも大きい)または共に負(<sj (d),t”sj,y0>および<sj (d),t”sj,y1>が0よりも小さい)ならば、超平面距離候補設定部333は、ABS(<sj (d),t”sj,y0>)およびABS(<sj (d),t”sj,y1>)のうち小さい方を距離distj=min(ABS(<sj (d),t”sj,y0>),ABS(<sj (d),t”sj,y1>))として得て出力する。
Evalq=max({distj|j=1,…,m},q)
を計算する(ステップS334)。
第4実施形態では、量子計算および古典計算により、第1実施形態で変換された変形LWEについてのGapCVPγを解く処理(第3実施形態)をサブルーチンとして利用してCVP(B,t)を解く(図2)。
図13に例示するように、本形態の計算装置4は、初期設定部41,421、子ノード生成部422、判定処理部423、ノード選択部424、差分ベクトル生成部43、出力部44、および制御部45を有する。計算装置4は、制御部45の制御のもとで各処理を実行する。
本形態の処理を説明する。本形態の計算装置4は、CVP(B,t)についての基底Bおよび目標ベクトルtとの組(B,t)を入力とし、目標ベクトルtと目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)を得て出力する。この差分ベクトルは式(5)に示した変形LWEの解である。
(a)子ノード生成部422は、ノード(Bv,tv)を用い、ι=1,…,ρ(v)について、基底Bv+1と、目標ベクトルtv,ιと、の組であるノード(Bv+1,tv,1),…,(Bv+1,tv,ρ(v))(子ノード)を生成する。ただし、ρ(v)は正の整数である。基底Bv+1に対応する格子L(Bv+1)={Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈Bv+1}は、基底Bvに対応する格子L(Bv)={Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈Bv}の部分格子である。いずれかのι’∈{1,…,ρ(v)}について目標ベクトルtv,ι’と当該目標ベクトルtv,ι’に最も近い最近ベクトルtv,ι’ (c)∈L(Bv+1)との差分ベクトルtv,ι’ (d)=tv,ι’−tv,ι’ (c)(図14B)は、目標ベクトルtvと当該目標ベクトルtvに最も近い最近ベクトルtv (c)∈L(Bv)との差分ベクトルtv (d)=tv−tv (c)(図14A)に等しい。この処理の詳細は後述する(ステップS422)。
子ノード生成部422の処理(ステップS422)の詳細を例示する。
子ノード生成部422は、ノード(Bv,tv)を用いて、例えば、以下のようにノード(Bv+1,tv,1),…,(Bv+1,tv,ρ(v))を生成する。
1.古典計算部11の演算部は、基底Bvに対応する基底行列βvの逆行列βv −1の要素の分母の最小公倍数Nv’を計算して出力する。ただし、βvは基底Bv={bv1,…,bvn}のn次元ベクトルbv1,…,bvnを要素とするn行n列の基底行列である。例えば、βvはn次元ベクトルbviをvi行目の成分とする行列である(ステップS111)。
2.古典計算部11の演算部は、基底BvのNv’に関する双対基底Bv −’を計算して出力する(ステップS112)。
3.古典計算部11の演算部は、Nv’の倍数Nvを選択して出力する(ステップS113)。
4.古典計算部11の演算部は、双対基底Bv −’についてNvに関する双対基底Bv −=(Nv/Nv’)Bv −’を得て出力する(ステップS114)。
5.古典計算部11の演算部は、正の整数Mvを選択して出力する(ステップS115)。
6.古典計算部11の演算部は、2Rv≦Nv<4Rvを満たす実数Rvを選択して出力する(ステップS116)。
古典計算部11は、(L,n,Mv,Nv,Rv,Bv,tv)を出力する(ステップS119)。
なお、m=1かつL=L1と定められているため、ステップS117およびS118は実行されない。
(a)子ノード生成部422の演算部は、<r(v),tr(v),y>=y mod Nvを満たすベクトルtr(v),yを得て出力する。この計算には拡張ユークリッド互除法が用いられる(ステップS422a)。
(b)子ノード生成部422の演算部は、t’r(v),y∈(tv+L(Bv))∩(tr(v),y+L(Br(v)))を満たすベクトルt’r(v),yを得て出力する。この計算にはスミス標準形が用いられる(ステップS422b)。
(c)v+1次元超平面H(v)をspan(r(0)(d),…,r(v)(d))⊆Renで定義する。すなわち、r(0)(d),…,r(v)(d)で張られる実数係数のn次元ベクトル空間がH(v)である。PH(v)(B’r(v)),PH(v)(t’r(v),y)をそれぞれ、B’r(v),t’r(v),yのH(v)への射影とする。子ノード生成部422の演算部は、Nearest Planeアルゴリズムなどを用いて、CVP(PH(v)(B’r(v)),PH(v)(t’r(v),y))を解く。これにより、子ノード生成部422の演算部は、PH(v)(t’r(v),y)に最も近い最近ベクトルPH(v)(t’r(v),y)(c)∈L(PH(v)(B’r(v)))を得て出力する(ステップS422c)。
(d)PH(v)(t’r(v),y)(c)は、PH(v)(B’r(v))の線形結合として表現できる。子ノード生成部422の演算部は、
第5実施形態では、量子計算および古典計算により、第2実施形態で変換された変形LWEについてのGapCVPγを解く処理(第3実施形態)をサブルーチンとして利用してLWEを解く(図3)。
図13に例示するように、本形態の計算装置5は、初期設定部41,421、基底設定部51、子ノード生成部422、判定処理部423、ノード選択部424、差分ベクトル生成部43、出力部44、および制御部45を有する。計算装置4は、制御部45の制御のもとで各処理を実行する。
本形態の処理を説明する。本形態の計算装置5は、n次元ベクトルaj=(a1j,…,anj)T,g=(g1,…,gn)Tおよび整数N’を入力とし、LWEを表す前述の式(10)を満たす(d1,…,dn)Tを差分ベクトルt(d)として得て出力する。この差分ベクトルt(d)は式(5)に示した変形LWEの解である。
(b)判定処理部423は、ι=1,…,ρ(v)の各ノード(Bv+1,tv,ι)について、||tv,ι (d)||≦L(すなわち、Evalq≦L)を満たすか||tv,ι (d)||>γL(すなわち、Evalq>L)を満たすかの判定結果を得る(ステップS423)。
ここで、すべてのι=1,…,ρ(v)についてEvalq>Lを満たすと判定された場合、ノード選択部424は、実数Lを増加させてステップS421からS423の処理を再び実行させる。一方、いずれかのι=1,…,ρ(v)についてEvalq≦Lを満たすと判定された場合、ノード選択部424は、最小のEvalqに対応するノード(Bv+1,tv,ι’)をノード(Bv+1,tv+1)に設定して出力する(ステップS424)。
本形態は、第4実施形態の処理をサブルーチンとして利用してSVPを解く。
図16に例示するように、本形態の計算装置6は、基底生成部61、設定部62、選択部63、および制御部65を有する。
本形態の計算装置6は、基底Bを入力として、格子L(B)の中で最も原点に近い格子点への最短ベクトルt(c)を出力する。
なお、本発明は上述の実施形態に限定されるものではない。例えば、上述の各種の処理は、記載に従って時系列に実行されるのみならず、処理を実行する装置の処理能力あるいは必要に応じて並列的にあるいは個別に実行されてもよい。その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
3 判定装置
4〜6 計算装置
Claims (7)
- n,m,M,Nが正の整数であり、M<Nであり、i=1,…,nであり、j=1,…,mであり、ηTがηの転置であり、|Λ|がΛの要素数であり、round(μ)がμに最も近い整数であり、floor(μ)がμ以下の最大の整数であり、ceil(μ)がμ以上の最小の整数であり、det(η)がηの行列式であり、B={b1,…,bn}が一次独立なn個のn次元ベクトルbiからなる基底であり、前記n次元ベクトルbiのそれぞれがn個の整数要素からなり、βが前記基底Bの前記n次元ベクトルb1,…,bnを要素とするn行n列の基底行列であり、t=(t1,…,tn)Tがn個の整数要素tiからなる目標ベクトルであり、xiが整数であり、L(B)が格子{Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈B}であり、τがn次元ベクトルであり、τ+L(B)=L(B)+τ={τ+χ|χ∈L(B)}であり、rji (c),rji (d),rj0,ejが整数であり、t(d)が前記目標ベクトルtと前記目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tであり、sが整数要素からなるn次元ベクトルであり、
前記基底Bおよび前記目標ベクトルtの入力に対し、
前記基底行列βの逆行列β−1の要素の分母の最小公倍数N’の倍数Nを選択し、前記基底BのN’に関する双対基底B−’={b1 −’,…,bn −’}についてNに関する双対基底B−={(N/N’)b1 −’,…,(N/N’)bn −’}を得る第1古典計算部と、
BRが[0,N)nに含まれる点の集合であり、ceil(log2 M)個の量子ビットからなるインデックスレジスタと、n×ceil(log2 N)個の量子ビットからなるデータレジスタと、n×ceil(log2 det(β))個の量子ビットからなるワークレジスタとからなるレジスタ列の量子状態を
前記インデックスレジスタに対するM次元量子フーリエ変換を実行し、前記レジスタ列の量子状態を
x−wt=yw,x,1b1+…+yw,x,nbnを満たし、前記第1量子フーリエ変換部で得られた量子状態の前記レジスタ列に対して量子状態|w>|x>|0>を量子状態|w>|x>|det(β)(yw,x,1−floor(yw,x,1)),…,det(β)(yw,x,n−floor(yw,x,n))>にする量子操作を実行する操作部と、
前記操作部で得られた量子状態の前記ワークレジスタを観測し、前記インデックスレジスタおよび前記データレジスタの量子状態を
前記第1観測部での観測後の量子状態の前記データレジスタに対するN次元量子フーリエ変換を実行する第2量子フーリエ変換部と、
前記第2量子フーリエ変換部で得られた量子状態の前記データレジスタを観測して観測結果(rj1,…,rjn)を得る第2観測部と、
前記第2観測部での観測後の量子状態の前記インデックスレジスタに対するM次元逆量子フーリエ変換を実行する逆量子フーリエ変換部と、
前記逆量子フーリエ変換部で得られた量子状態の前記インデックスレジスタを観測して観測結果rj0を得る第3観測部と、
前記第1古典計算部で得られた前記双対基底B−、および、前記量子状態生成部と前記第1量子フーリエ変換部と前記操作部と前記第1観測部と前記第2量子フーリエ変換部と前記第2観測部と前記第3観測部の処理をj=1,…,mについて行って得られた前記観測結果(rj1,…,rjn)およびrj0を入力とし、双対格子L(B−)={Σi=1,…,n xib− i|xi∈Z,b− i∈B−}およびn次元ベクトルrj=(rj1,…,rjn)について、前記n次元ベクトルrjに最も近い最近ベクトルrj (c)=(rj1 (c),…,rjn (c))∈L(B−)および差分ベクトルrj (d)=rj−rj (c)=(rj1 (d),…,rjn (d))を得る第2古典計算部と、
を有する変換装置。 - n,m,m’,M,N,N’が正の整数であり、M<Nであり、i=1,…,nであり、j=1,…,mであり、u=1,…,nであり、ηTがηの転置であり、|Λ|がΛの要素数であり、round(μ)がμに最も近い整数であり、floor(μ)がμ以下の最大の整数であり、ceil(μ)がμ以上の最小の整数であり、det(η)がηの行列式であり、B={b1,…,bn}が一次独立なn個のn次元ベクトルbiからなる基底であり、前記n次元ベクトルbiのそれぞれがn個の整数要素からなり、βが前記基底Bの前記n次元ベクトルb1,…,bnを要素とするn行n列の基底行列であり、t=(t1,…,tn)Tがn個の整数要素tiからなる目標ベクトルであり、xiが整数であり、L(B)が格子{Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈B}であり、τがn次元ベクトルであり、τ+L(B)=L(B)+τ={τ+χ|χ∈L(B)}であり、rji (c),rji (d),rj0,ej,Xj,diが整数であり、t(d)が前記目標ベクトルtと前記目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tであり、sが整数要素からなるn次元ベクトルであり、ajがn個の整数要素a1j,…,anjからなるn次元ベクトルaj=(a1j,…,anj)Tであり、gがn個の要素g1,…,gnからなるn次元ベクトルg=(g1,…,gn)Tであり、εuがu番目の要素が1で他の要素が0のn次元単位ベクトルεu=(0,…,1,0,…,0)Tであり、
{a1,…,am’,N’ε1,…,N’εn}から計算したLLL既約基底を前記基底Bとし、前記基底BのN’に関する双対基底B−’={b1 −’,…,bn −’}についてNに関する双対基底B−={(N/N’)b1 −’,…,(N/N’)bn −’}を得、t=gとする第1古典計算部と、
BRが[0,N)nに含まれる点の集合であり、ceil(log2 M)個の量子ビットからなるインデックスレジスタと、n×ceil(log2 N)個の量子ビットからなるデータレジスタと、n×ceil(log2 det(β))個の量子ビットからなるワークレジスタとからなるレジスタ列の量子状態を
前記インデックスレジスタに対するM次元量子フーリエ変換を実行し、前記レジスタ列の量子状態を
x−wt=yw,x,1b1+…+yw,x,nbnを満たし、前記第1量子フーリエ変換部で得られた量子状態の前記レジスタ列に対して量子状態|w>|x>|0>を量子状態|w>|x>|det(β)(yw,x,1−floor(yw,x,1)),…,det(β)(yw,x,n−floor(yw,x,n))>にする量子操作を実行する操作部と、
前記操作部で得られた量子状態の前記ワークレジスタを観測し、前記インデックスレジスタおよび前記データレジスタの量子状態を
前記第1観測部での観測後の量子状態の前記データレジスタに対するN次元量子フーリエ変換を実行する第2量子フーリエ変換部と、
前記第2量子フーリエ変換部で得られた量子状態の前記データレジスタを観測して観測結果(rj1,…,rjn)を得る第2観測部と、
前記第2観測部での観測後の量子状態の前記インデックスレジスタに対するM次元逆量子フーリエ変換を実行する逆量子フーリエ変換部と、
前記逆量子フーリエ変換部で得られた量子状態の前記インデックスレジスタを観測して観測結果rj0を得る第3観測部と、
前記第1古典計算部で得られた前記双対基底B−、および、前記量子状態生成部と前記第1量子フーリエ変換部と前記操作部と前記第1観測部と前記第2量子フーリエ変換部と前記第2観測部と前記第3観測部の処理をj=1,…,mについて行って得られた前記観測結果(rj1,…,rjn)およびrj0を入力とし、格子L(B−)={Σi=1,…,n xib− i|xi∈Z,b− i∈B−}およびn次元ベクトルrj=(rj1,…,rjn)について、前記n次元ベクトルrjに最も近い最近ベクトルrj (c)=(rj1 (c),…,rjn (c))∈L(B−)および差分ベクトルrj (d)=rj−rj (c)=(rj1 (d),…,rjn (d))を得る第2古典計算部と、
を有する変換装置。 - n,m,N,Mが正の整数であり、M<Nであり、i=1,…,nであり、j=1,…,mであり、ηTがηの転置であり、round(μ)がμに最も近い整数であり、floor(μ)がμ以下の最大の整数であり、ceil(μ)がμ以上の最小の整数であり、ABS(μ)がμの絶対値であり、||η||がηのユークリッドノルムであり、B={b1,…,bn}が一次独立なn個のn次元ベクトルbiからなる基底であり、前記n次元ベクトルbiのそれぞれがn個の整数要素からなり、t=(t1,…,tn)Tがn個の整数要素tiからなる目標ベクトルであり、xiが整数であり、L(B)が格子{Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈B}であり、τがn次元ベクトルであり、τ+L(B)=L(B)+τ={τ+χ|χ∈L(B)}であり、B−が{τ|<τ,χ>=0 mod N for all χ∈L(B)}のLLL既約基底であるNに関する双対基底であり、<τ,χ>がτとχとの内積であり、L(B−)が双対格子L(B−)={Σi=1,…,n xib− i|xi∈Z,b− i∈B−}であり、rji (c),rji (d),rj0,ejが整数であり、rj (c)がn次元ベクトルrj (c)=(rj1 (c),…,rjn (c))∈L(B−)であり、rj (d)がn次元ベクトルrj (d)=(rj1 (d),…,rjn (d))であり、t(d)が前記目標ベクトルtと前記目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tであり、L,γが正の実数であり、γ>1であり、
を満たす前記差分ベクトルt(d)が||t(d)||≦Lを満たすか||t(d)||>γLを満たすかを表す情報を出力する判定装置であって、
rj=rj (c)+rj (d)=sj=sj (c)+sj (d)およびsj (c)∈L(B−)を満たすn次元ベクトルsj (d)を法線ベクトルとする有限個の超平面に含まれる何れかの超平面が前記差分ベクトルt(d)に対応しており、前記有限個の超平面に含まれる超平面のうち最も原点に近い超平面と前記原点との距離に基づく評価値Evalqを得る超平面距離推定部と、
Evalq≦Lを満たすと判定した場合に||t(d)||≦Lを満たす旨の情報を出力し、Evalq>Lを満たすと判定した場合に||t(d)||>γLを満たす旨の情報を出力する判定部と、
を有する判定装置。 - 請求項3の判定装置であって、
αが正の実数であり、νが整数要素からなるn次元ベクトルであり、sj0=rj0であり、
前記超平面距離推定部は、
前記n次元ベクトルsjについて格子{ν∈Zn|<sj,ν>=0 mod N}の基底Bsjを得る超平面基底生成部と、
<sj (d),bsj(d),N>=Nを満たすn次元ベクトルbsj(d),Nを得るベクトル生成部と、
y0=floor((sj0−α)N/M)+1およびy1=ceil((sj0+α)N/M)−1について、
(i)<sj,tsj,y0>=y0 mod Nおよび<sj,tsj,y1>=y1mod Nを満たすn次元ベクトルtsj,y0およびtsj,y1を得、
(ii)t’sj,y0∈(sj+L(B))∩(tsj,y0+L(Bsj))およびt’sj,y1∈(sj+L(B))∩(tsj,y1+L(Bsj))を満たすn次元ベクトルt’sj,y0およびt’sj,y1を得、
(iii)ABS(<sj (d),t’sj,y0+kbsj(d),N>)を最小にするkをky0とし、ABS(<sj (d),t’sj,y1+kbsj(d),N>)を最小にするkをky1とし、t”sj,y0=t’sj,y0+ky0bsj(d),Nおよびt”sj,y1=t’sj,y1+ky1bsj(d),Nを得、
(iv)<sj (d),t”sj,y0>≦0≦<sj (d),t”sj,y1>または<sj (d),t”sj,y1>≦0≦<sj (d),t”sj,y0>ならば距離distj=0とし、<sj (d),t”sj,y0>および<sj (d),t”sj,y1>が共に正または共に負ならばABS(<sj (d),t”sj,y0>)およびABS(<sj (d),t”sj,y1>)のうち小さい方を距離distj=min(ABS(<sj (d),t”sj,y0>),ABS(<sj (d),t”sj,y1>))として得る超平面距離候補設定部と、
設定された確率qについて、前記距離dist1,…,distmを小さい順に並べた場合にfloor(qm)番目の値を前記評価値Evalq∈{dist1,…,distm}として得る超平面距離選択部と、を含む判定装置。 - n,m,M,N,ρ(v)が正の整数であり、M<Nであり、i=1,…,nであり、j=1,…,mであり、v=0,…,n−1であり、ηTがηの転置であり、round(μ)がμに最も近い整数であり、B={b1,…,bn}が一次独立なn個のn次元ベクトルbiからなる基底であり、前記n次元ベクトルbiのそれぞれがn個の整数要素からなり、t=(t1,…,tn)Tがn個の整数要素tiからなる目標ベクトルであり、xiが整数であり、L(B)が格子{Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈B}であり、rji (c),rji (d),rj0,ejが整数であり、t(d)が前記目標ベクトルtと前記目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tであり、B−が{τ|<τ,χ>=0 mod N for all χ∈L(B)}のLLL既約基底であるNに関する双対基底であり、<τ,χ>がτとχとの内積であり、L(B−)が双対格子L(B−)={Σi=1,…,n xib− i|xi∈Z,b− i∈B−}であり、rj (c)がn次元ベクトルrj (c)=(rj1 (c),…,rjn (c))∈L(B−)であり、rj (d)がn次元ベクトルrj (d)=(rj1 (d),…,rjn (d))であり、t(d)が前記目標ベクトルtと前記目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tであり、前記差分ベクトルt(d)が
前記基底Bおよび前記目標ベクトルtとの組(B,t)に対して前記差分ベクトルt(d)を出力する計算装置であって、
前記実数Lを初期値L1に設定する初期設定部と、
基底B0と目標ベクトルt0との組からなるノード(B0,t0)=(B,t)を得る第2初期設定部と、
基底Bv+1に対応する格子L(Bv+1)が基底Bvに対応する格子L(Bv)の部分格子であり、いずれかのι’∈{1,…,ρ(v)}について目標ベクトルtv,ι’と前記目標ベクトルtv,ι’に最も近い最近ベクトルtv,ι’ (c)∈L(Bv+1)との差分ベクトルtv,ι’−tv,ι’ (c)が、目標ベクトルtvと前記目標ベクトルtvに最も近い最近ベクトルtv (c)∈L(Bv)との差分ベクトルtv−tv (c)に等しく、ノード(Bv,tv)を用い、ι=1,…,ρ(v)について、前記基底Bv+1と、目標ベクトルtv,ιと、の組であるノード(Bv+1,tv,1),…,(Bv+1,tv,ρ(v))を生成する子ノード生成部と、
ι=1,…,ρ(v)について、請求項3または4に記載の前記判定装置の処理をB=Bv+1かつt=tv,ιとして実行する判定処理部と、
前記判定処理部がすべてのι=1,…,ρ(v)についてEvalq>Lを満たすと判定した場合に、前記実数Lを増加させて、前記初期設定部、前記子ノード生成部、および前記判定処理部の処理を再び実行させ、前記判定処理部がいずれかのι=1,…,ρ(v)についてEvalq≦Lを満たすと判定した場合に、最小のEvalqに対応するノード(Bv+1,tv,ι’)(ただし、ι’∈{1,…,ρ(v)})をノード(Bv+1,tv+1)に設定するノード選択部と、
v=0からv=n−1まで各v=0,…,n−1について前記子ノード生成部と前記判定処理部と前記ノード選択部の処理を実行して得られたノード(Bn,tn)の目標ベクトルtnを差分ベクトルtL1 (d)として得る差分ベクトル生成部と、
何れかの前記初期値L1に対応する前記差分ベクトルtL1 (d)を前記差分ベクトルt(d)として出力する出力部と、
を有する計算装置。 - n,m,m’,M,N,N’が正の整数であり、M<Nであり、i=1,…,nであり、j=1,…,mであり、v=0,…,n−1であり、ηTがηの転置であり、round(μ)がμに最も近い整数であり、B={b1,…,bn}が一次独立なn個のn次元ベクトルbiからなる基底であり、前記n次元ベクトルbiのそれぞれがn個の整数要素からなり、t=(t1,…,tn)Tがn個の整数要素tiからなる目標ベクトルであり、xiが整数であり、L(B)が格子{Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈B}であり、rji (c),rji (d),rj0,Xj,di,giが整数であり、t(d)が前記目標ベクトルtと前記目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tであり、B−が{τ|<τ,χ>=0 mod N for all χ∈L(B)}のLLL既約基底であるNに関する双対基底であり、<τ,χ>がτとχとの内積であり、L(B−)が双対格子L(B−)={Σi=1,…,n xib− i|xi∈Z,b− i∈B−}であり、rj (c)がn次元ベクトルrj (c)=(rj1 (c),…,rjn (c))∈L(B−)であり、rj (d)がn次元ベクトルrj (d)=(rj1 (d),…,rjn (d))であり、t(d)が前記目標ベクトルtと前記目標ベクトルtに最も近い最近ベクトルt(c)∈L(B)との差分ベクトルt(d)=t−t(c)=(t1 (d),…,tn (d))Tであり、ajがn個の整数要素a1j,…,anjからなるn次元ベクトルaj=(a1j,…,anj)Tであり、gがn個の要素g1,…,gnからなるn次元ベクトルg=(g1,…,gn)Tであり、εuがu番目の要素が1で他の要素が0のn次元単位ベクトルεu=(0,…,1,0,…,0)Tであり、L,γが正の実数であり、前記n次元ベクトルaj,gおよび前記整数N’の入力に対して
前記実数Lを初期値L1に設定する初期設定部と、
{a1,…,am’,N’ε1,…,N’εn}から計算したLLL既約基底を前記基底Bとし、t=gとし、基底B0と目標ベクトルt0との組からなるノード(B0,t0)=(B,t)を得る第2初期設定部と、
基底Bv+1に対応する格子L(Bv+1)が基底Bvに対応する格子L(Bv)の部分格子であり、いずれかのι’∈{1,…,ρ(v)}について目標ベクトルtv,ι’と前記目標ベクトルtv,ι’に最も近い最近ベクトルtv,ι’ (c)∈L(Bv+1)との差分ベクトルtv,ι’−tv,ι’ (c)が、目標ベクトルtvと前記目標ベクトルtvに最も近い最近ベクトルtv (c)∈L(Bv)との差分ベクトルtv−tv (c)に等しく、ノード(Bv,tv)を用い、ι=1,…,ρ(v)について、前記基底Bv+1と、目標ベクトルtv,ιと、の組であるノード(Bv+1,tv,1),…,(Bv+1,tv,ρ(v))を生成する子ノード生成部と、
ι=1,…,ρ(v)について、請求項3または4に記載の前記判定装置の処理をB=Bv+1かつt=tv,ιとして実行する判定処理部と、
前記判定処理部がすべてのι=1,…,ρ(v)についてEvalq>Lを満たすと判定した場合に、前記実数Lを増加させて、前記初期設定部、前記子ノード生成部、および前記判定処理部の処理を再び実行させ、前記判定処理部がいずれかのι=1,…,ρ(v)についてEvalq≦Lを満たすと判定した場合に、最小のEvalqに対応するノード(Bv+1,tv,ι’)(ただし、ι’∈{1,…,ρ(v)})をノード(Bv+1,tv+1)に設定するノード選択部と、
v=0からv=n−1まで各v=0,…,n−1について前記子ノード生成部と前記判定処理部と前記ノード選択部の処理を実行して得られたノード(Bn,tn)の目標ベクトルtnを差分ベクトルtL1 (d)として得る差分ベクトル生成部と、
何れかの前記初期値L1に対応する前記差分ベクトルtL1 (d)を前記差分ベクトルt(d)として出力する出力部と、
を有する計算装置。 - nが正の整数であり、B={b1,…,bn}が一次独立なn個のn次元ベクトルbiからなる基底であり、前記n次元ベクトルbiのそれぞれがn個の整数要素からなり、L(B)が格子{Σi=1,…,n xibi|xi∈Z,bi∈B}であり、
前記基底Bを入力として、前記格子L(B)の中で最も原点に近い格子点への最短ベクトルを出力する計算装置であって、
すべてのi=1,…,nについて、Bi={b1,…,bi−1,2bi,bi+1,…,bn}に設定する基底生成部と、
請求項5に記載の前記計算装置の処理をB=Biかつt=biとして実行して得られた前記差分ベクトルt(d)をti (d)に設定する設定部と、
前記設定部で得られたt1 (d),…,tn (d)の中で最短ものを前記最短ベクトルとして出力する選択部と、
を有する計算装置。
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