JP6924470B2 - 光子の偏光状態推定システム、および、それに用いられる制御プログラム、ならびに光子の偏光状態推定方法 - Google Patents

Description

本開示は、光子の偏光状態推定システム、および、それに用いられる制御プログラム、ならびに光子の偏光状態推定方法に関する。

光子の偏光状態推定は、近年では量子暗号通信等の量子情報処理に限らず、分子生物学で用いられる単一分子分光などの様々な分野において重要な技術となっている。量子力学によれば、光子の偏光状態の測定結果は確率的にしか予測することができない。そのため、光子の偏光状態推定においては、一般に、偏光状態が同じ複数の光子が準備され、複数回の測定が行なわれる。

一例として、ある光子源から発せられる光子が直線偏光を有することは分かっているものの、その偏光方向は未知である場合を想定する。このような場合には、偏光ビームスプリッタを用いた以下のようなシンプルな手法により、光子の偏光方向を推定可能であることが知られている。すなわち、複数の光子が偏光ビームスプリッタに順次入力されると、一部の光子は透過し、残りの光子は反射する。偏光ビームスプリッタを透過した光子数Ｎ_１を測定するとともに、偏光ビームスプリッタにより反射された光子数Ｎ_２を測定し、たとえば全光子数に対する透過光子数の比（Ｎ_１／（Ｎ_１＋Ｎ_２））を算出することにより、上記光子源の光子の偏光方向を推定することができる。

しかしながら、量子力学によれば、各光子は偏光ビームスプリッタを確率的に透過または反射するため、すべての光子の偏光状態が同じであったとしても、光子数の比（Ｎ_１／（Ｎ_１＋Ｎ_２））の測定結果は本質的に揺らぐ。このように、特に、測定に用いられる光子数が比較的少数（たとえば数個〜１００万個程度）の場合に、最も高精度に偏光状態を推定することは、重要であるが難しい問題である。

Ryo Okamoto, Minako Iefuji, Satoshi Oyama, Koichi Yamagata, Hiroshi Imai, Akio Fujiwara, and Shigeki Takeuchi, Experimental Demonstration of Adaptive Quantum State Estimation, Phys. Rev. Lett. 109, 130404 (2012) H. Nagaoka, Proc. Int. Symp. on Inform. Theory (1988), p. 109 H. Nagaoka, Proc, 12th Symp. on Inform. Theory and its Appl. (1989), pp. 577-582 H. Nagaoka, Asymptotic Theory of Quantum Statistical Inference (World Scientific, Singapore, 2005) A. Fujiwara, Journal of Physics A: Mathematical and General 390, 12489 (2006) A. Fujiwara, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 44, 079501 (2011) K. Yamagata, International J. Quant. Info. Vol. 9, (2011) 1167

様々な技術分野への応用の観点からは、できるだけ短い期間内に、できるだけ高い精度で光子の偏光状態を推定することが求められる。その一方で、光子の偏光状態推定においては、偏光状態の推定値の分散が偏光状態の真値（つまり、推定しようとする値）に依存することが明らかになっている（詳細については、たとえば非特許文献１参照）。このことは、推定値の分散が最小となるような推定を実現するためには、真値を予め知っていなければならないことを意味する。したがって、そのままでは未知の偏光状態を高精度に推定することはできない。このように、光子の偏光状態の推定には、量子力学に起因するジレンマが存在する。

そこで、非特許文献２〜４には、量子状態の測定毎に測定系を適応的に変化させる「適応量子状態推定（ＡＱＳＥ：Adaptive Quantum State Estimation）」と称される手法（数学的理論）が提案されている。また、無限回の測定を行なった場合にＡＱＳＥを用いることで理論的に最高精度の推定が可能であること（より詳細には、ＡＱＳＥが強一致性および漸近有効性を有すること）が非特許文献５，６により数学的に証明されている。

このような経緯の下、非特許文献１は、ＡＱＳＥの世界初の物理系での実証実験を開示する。詳細は後述するが、非特許文献１に開示された測定系においては、偏光ビームスプリッタの前段に半波長板が設けられる。そして、単一光子源から発せられた光子１個１個の偏光状態が測定される度に、それまでの全測定結果を反映させた尤度関数が算出され、算出された尤度関数から求められた角度となるように、半波長板の角度が調整される（半波長板を回転させる）。このように、光子の偏光状態を測定する度に、その測定結果に応じて測定系を変化させることによって、偏光状態の推定値の分散を最小化することができる。その結果、理論限界となる推定精度を実現することが可能になる。

ここで、光子源から発せられる光子の偏光状態が時間的に変化する（動的に変化する）系を推定対象とすることも考えられる。そのような測定としては、上述の単一分子分光を用いた細胞内の蛍光タンパク質の測定（および、それによるダイナミクス解析）などが挙げられる。しかしながら、非特許文献１に開示された手法（ＡＱＳＥ）では、光子の偏光状態が時間的に一定の系を推定対象とすることしか想定されていない。このため、もし、非特許文献１に開示の手法を偏光状態が動的に変化する系に適用した場合、後に示すように、偏光状態の推定結果が偏光状態の変化に追従することができず、正しい推定がなされ得ない。この点において、非特許文献１に開示の手法には改善の余地がある。

本開示は上記課題を解決するためになされたものであり、その目的は、光子の偏光状態推定システムおよびそれに用いられる制御プログラム、ならびに光子の偏光状態推定方法において、光子の偏光状態が動的に変化する系を推定対象とする場合であっても、光子の偏光状態を高精度に推定可能な技術を提供することである。

本開示のある局面に従う光子の偏光状態推定システムは、光子源から発せられる光子の偏光状態を推定するためのシステムであって、測定基底部と、検出装置と、制御装置とを備える。測定基底部は、光子源から発せられた光子の偏光状態を測定するための測定基底を規定するパラメータを調整可能に構成され、上記パラメータに応じて光子源からの光子を２つの偏光成分に分離する。検出装置は、測定基底部により分離された光子を上記２つの偏光成分毎に検出する。制御装置は、第１〜第３の処理を繰り返し実行することにより、光子源から発せられる光子の偏光状態を推定する。

第１の処理は、光子源から発せられる光子の偏光状態の尤度を表す尤度関数から求まる最尤推定値と、検出装置により検出された偏光成分から定まる偏光状態の測定結果と、所定数前以降の第１の処理での測定結果とから、尤度関数を更新する処理である。

第２の処理は、第１の処理により更新された尤度関数に基づいて、偏光状態の最尤推定値を算出する処理である。

第３の処理は、第２の処理により算出された最尤推定値に対応する偏光状態を光子源から発せられる光子が有する場合に当該光子の偏光状態が最も高精度に推定される値に近付くように、上記パラメータを調整する処理である。

好ましくは、第３の処理における光子の偏光状態が最も高精度に推定される値は、光子の偏光状態の推定値の分散がクラメル・ラオ（Cramer-Rao）不等式の下限を達成する値である。

好ましくは、制御装置は、検出装置により光子が検出される度に、第１〜第３の処理を実行する。

好ましくは、制御装置は、検出装置により光子が検出される度に第１の処理を実行する一方で、第２および第３の処理については、２以上の規定数の光子が検出装置により検出されると実行する。

本開示の他の局面に従う光子の偏光状態推定方法は、光子源から発せられる光子の偏光状態を推定するための方法であって、以下の３つのステップＡ〜Ｃを含む。（１）ステップＡは、光子源から発せられた光子の偏光状態を測定するための測定基底を規定するパラメータに応じて、光子源からの光子を２つの偏光成分に分離するステップである。（２）ステップＢは、分離するステップ（ステップＡ）により分離された光子を上記２つの偏光成分毎に検出するステップである。（３）ステップＣは、第１〜第３の処理を繰り返し実行することにより、光子源から発せられる光子の偏光状態を推定するステップである。

（３−１）第１の処理を実行するステップは、光子源から発せられる光子の偏光状態の尤度を表す尤度関数から求まる最尤推定値と、検出するステップ（ステップＢ）において検出された偏光成分から定まる偏光状態の測定結果と、所定数前以降の第１の処理を実行するステップでの測定結果とから、尤度関数を更新するステップである。

（３−２）第２の処理を実行するステップは、第１の処理を実行するステップにより更新された尤度関数に基づいて、光子の偏光状態の最尤推定値を算出するステップである。

（３−３）第３の処理を実行するステップは、第２の処理により算出された最尤推定値に対応する偏光状態を光子源から発せられる光子が有する場合に当該光子の偏光状態が最も高精度に推定される値に近付くように、上記パラメータを調整するステップである。

好ましくは、光子源から発せられる光子の偏光状態は、時間的に変化する。
好ましくは、上記所定数は、光子源から発せられる光子の偏光状態の時間変化率に応じて定められる。

本開示のさらに他の局面に従う制御プログラムは、光子の偏光状態推定システムに以下の３つのステップＡ〜Ｃを実行させる。（１）ステップＡは、光子源から発せられた光子の偏光状態を測定するための測定基底を規定するパラメータに応じて、光子源からの光子を２つの偏光成分に分離するステップである。（２）ステップＢは、分離するステップ（ステップＡ）により分離された光子を上記２つの偏光成分毎に検出するステップである。（３）ステップＣは、第１〜第３の処理を繰り返し実行することにより、光子源から発せられる光子の偏光状態を推定するステップである。

（３−１）第１の処理を実行するステップは、光子源から発せられる光子の偏光状態の尤度を表す尤度関数から求まる最尤推定値と、検出するステップ（ステップＢ）において検出された偏光成分から定まる偏光状態の測定結果と、所定数前以降の第１の処理を実行するステップでの測定結果とから、尤度関数を更新するステップである。

（３−２）第２の処理を実行するステップは、第１の処理を実行するステップにより更新された尤度関数に基づいて、光子の偏光状態の最尤推定値を算出するステップである。

（３−３）第３の処理を実行するステップは、第２の処理により算出された最尤推定値に対応する偏光状態を光子源から発せられる光子が有するときに当該光子の偏光状態が最も高精度に推定される値に近付くように、上記パラメータを調整するステップである。

本開示によれば、光子の偏光状態推定システムおよびそれに用いられる制御プログラム、ならびに光子の偏光状態推定方法において、光子の偏光状態が動的に変化する系を推定対象とする場合であっても、光子の偏光状態を高精度に推定することができる。

実施の形態１に係る偏光状態推定システムの構成を概略的に示す図である。 測定基底部の構成をより詳細に説明するための図である。 比較例（ＡＱＳＥ）における対数尤度関数の一例を示す図である。 実施の形態１における連続適応量子状態推定法（ＳＡＱＳＥ）を示すフローチャートである。 図４に示したＳ１３０，Ｓ１３５，Ｓ１４０の処理の実装例を説明するための概念図である。 図４に示したＳ１３０，Ｓ１３５，Ｓ１４０の処理の他の実装例を説明するための概念図である。 ＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果の一例を示す図である。 図７に示したシミュレーション結果における標準偏差を示す図である。 ＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果とＡＱＳＥによるシミュレーション結果とを比較するための図である。 図９に示したＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果における標準偏差を示す図である。 実施の形態２におけるＳＡＱＳＥを示すフローチャートである。 実施の形態２におけるＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果の一例を示す図である。 図１２に示したシミュレーション結果における標準偏差を示す図である。 変形例におけるＳＡＱＳＥを示すフローチャートである。

以下、本開示の実施の形態について、図面を参照しながら詳細に説明する。なお、図中同一または相当部分には同一符号を付してその説明は繰り返さない。

本実施の形態に係る光子の偏光状態推定システムにおける推定対象の例としては、直線偏光の偏光方向（偏光角度）、右回り円偏光と左回り円偏光との位相差などが挙げられる。また、部分的または完全に偏光が解消した脱偏光状態なども考えられる。以下の実施の形態では、直線偏光の偏光方向を推定する構成を例に説明するが、本開示の構成は、光子の任意の偏光状態の推定に適用可能である。

［実施の形態１］
＜システム構成＞
図１は、実施の形態１に係る偏光状態推定システムの構成を概略的に示す図である。本実施の形態では、シグナル光子を準備することが可能に構成された準備系１０が設けられる。しかし、準備系１０は、光子の偏光状態の推定精度の検証（後述）に用いられるものであり、偏光状態推定システム１に必須の構成ではない。偏光状態推定システム１は、準備系１０により準備されたシグナル光子の偏光状態を推定するための測定系２０を含む。

準備系１０は、単一光子源１１と、偏光子１２と、半波長板１３とを含む。単一光子源１１は、レーザ光源１１１と、非線形光学結晶１１２と、干渉フィルタ１１３と、検出器１１４と、干渉フィルタ１１５と、光ファイバ１１６とを含む。測定系２０は、測定基底部２１と、第１の検出器２２１および第２の検出器２２２と、論理積回路２３１，２３２と、先着判定回路２４と、制御装置２５とを含む。

レーザ光源１１１は、連続波のレーザ光を発する。レーザ光源１１１としては、たとえば波長４０２ｎｍの半導体レーザを用いることができる。非線形光学結晶１１２としては、たとえば、長さが３ｍｍであり、かつ結晶方位がタイプＩであるバリウムボーレート（ＢＢＯ）結晶を用いることができる。レーザ光源１１１および非線形光学結晶１１２は、自発パラメトリック下方変換過程により、シグナル光子およびトリガ光子の光子対を生成する。本実施の形態において、シグナル光子の波長は７８０ｎｍであり、トリガ光子の波長は８３０ｎｍである。

干渉フィルタ１１３，１１５は、各々に特定の波長範囲内の光子を選択的に通過させる。より具体的には、干渉フィルタ１１３は、非線形光学結晶１１２と検出器１１４との間に設けられる。干渉フィルタ１１３は、８３０ｎｍの中心波長を有し、トリガ光子を通過させる一方で、シグナル光子を遮蔽する。

検出器１１４は、単一光子検出器であって、干渉フィルタ１１３を通過したトリガ光子を検出可能に構成される。検出器１１４は、トリガ光子を検出すると、所定のパルス幅（たとえば３０ｎｓ幅）のトリガ信号Ｔを測定系２０の論理積回路２３１，２３２に出力する。

干渉フィルタ１１５は、非線形光学結晶１１２と光ファイバ１１６の一方端との間に設けられる。干渉フィルタ１１５は、７８０ｎｍの中心波長を有し、シグナル光子を通過させる一方で、トリガ光子を遮蔽する。

光ファイバ１１６は、干渉フィルタ１１５を通過したシグナル光子を一方端から受け、そのシグナル光子を他方端から偏光子１２に向けて出力する。光ファイバ１１６は、たとえば偏波保持ファイバ（ＰＭＦ：Polarization Maintaining Fiber）であるため、光ファイバ１１６の伝播前後でシグナル光子の偏光状態は保持される。

偏光子１２は、光ファイバ１１６からシグナル光子を受けると、特定の方向（本実施の形態では水平方向）の直線偏光を有するシグナル光子のみを通過させる。偏光子１２の消光比は、たとえば１０^−５である。偏光子１２を通過した光子は半波長板１３に達する。

半波長板１３は、その光学軸が水平方向に対して角度θとなるように設けられる。これにより、半波長板１３を通過したシグナル光子の偏光方向は２θだけ回転する。以上のように、準備系１０においては、偏光方向が２θのシグナル光子が準備され、測定系２０の測定基底部２１に順次出力される。

なお、シグナル光子の入力状態（｜Ψ＞で示す）は、右回り偏光と左回り偏光との位相差φを用いて下記式（１）のように表される。式（１）では、右回り円偏光の状態を｜Ｒ＞で示し、左回り円偏光の状態を｜Ｌ＞で示し、水平偏光の状態を｜Ｈ＞で示し、垂直偏光の状態を｜Ｖ＞で示している。

シグナル光子の入力状態が位相差φにより表されるところ、位相差φと半波長板１３の角度θとの間には、φ＝４θの関係が成り立つ。そのため、角度θを推定することは、単一光子源１１からのシグナル光子の偏光状態を推定することに相当する。本実施の形態では、角度θは測定者により設定される。しかし、以下では角度θが未知であるとして、測定系２０により角度θを推定し、その推定値と、測定者による設定値（真値θ^ｔとも記載する）とを比較する。そして、その比較結果から、偏光状態推定システム１による角度θの推定精度を定量的に検証する。

図２は、測定基底部２１の構成をより詳細に説明するための図である。測定基底部２１は、半波長板２１１と、偏光ビームスプリッタ（ＰＢＳ：Polarizing Beam Splitter）２１２とを含む。図２では、半波長板１３を順次通過したシグナル光子（以下「光子」と略す場合がある）のうち、ｎ（ｎは自然数）回目、（ｎ＋１）回目および（ｎ＋２）回目の測定に用いられる光子をそれぞれＰ_ｎ，Ｐ_ｎ＋１，Ｐ_ｎ＋２で示している。また、図２では、図面が煩雑になるのを防ぐため、論理積回路２３１，２３２および先着判定回路２４（図１参照）の図示を省略している。

半波長板１３により偏光方向を２θだけ回転させられた光子は、半波長板２１１に達する。半波長板２１１には、図示しないアクチュエータが設けられている。このアクチュエータは、制御装置２５からの制御信号ＣＴＲに応答して、水平方向に対する半波長板２１１の光学軸の角度を調整することが可能に構成されている。半波長板２１１の角度の調整手法については後に詳細に説明する。

偏光ビームスプリッタ２１２は、水平偏光成分を透過する一方で、垂直偏光成分は反射する。偏光ビームスプリッタ２１２を透過した光子は、第１の検出器２２１により検出される。一方、偏光ビームスプリッタ２１２により反射した光子は、第２の検出器２２２により検出される。なお、水平偏光成分および垂直偏光成分は、本開示に係る「２つの偏光成分」に相当する。

準備系１０から測定系２０に入射した光子の偏光状態（偏光方向）は、半波長板２１１および偏光ビームスプリッタ２１２を用いて測定される。半波長板２１１を通過することにより、光子Ｐ_ｎ，Ｐ_ｎ＋１，Ｐ_ｎ＋２の偏光方向は、半波長板２１１の角度に応じて回転する。本実施の形態では、半波長板２１１の角度が本開示に係る「パラメータ」に相当し、半波長板２１１の角度を調整することが、光子Ｐ_ｎ，Ｐ_ｎ＋１，Ｐ_ｎ＋２の偏光状態を測定するための測定基底を変化させることに相当する。

ただし、半波長板２１１は測定基底部２１に必須の構成ではなく、測定基底部２１は、光子の偏光状態を測定するための測定基底を変化させることが可能であれば（本実施の形態では、光子Ｐ_ｎ，Ｐ_ｎ＋１，Ｐ_ｎ＋２の偏光方向を回転可能であれば）、半波長板２１１を含まなくてもよい。たとえば、測定基底部２１は、偏光ビームスプリッタ２１２を回転できるように構成されてもよい。また、測定基底部２１は、半波長板２１１に代えて、液晶リターダまたは電気光学素子などの他の偏光デバイスを含んで構成されてもよい。さらに、それら偏光デバイスと偏光ビームスプリッタ２１２とを一体化させた構成を採用することも可能である。

図１を再び参照して、第１の検出器２２１は、シグナル光子を検出すると、シグナル信号Ｓ１を論理積回路２３１に出力する。論理積回路（ＡＮＤ回路）２３１は、準備系１０の検出器１１４からのトリガ信号Ｔと、第１の検出器２２１からのシグナル信号Ｓ１との両方を受けた場合に、検出信号Ｄ１を先着判定回路２４に出力する。同様に、第２の検出器２２２は、シグナル光子を検出すると、シグナル信号Ｓ２を論理積回路２３２に出力する。論理積回路２３２は、検出器１１４からのトリガ信号Ｔと、第２の検出器２２２からのシグナル信号Ｓ２との両方を受けた場合に、検出信号Ｄ２を先着判定回路２４に出力する。なお、第１の検出器２２１および第２の検出器２２２は、本開示に係る「検出装置」に相当する。

先着判定回路２４は、検出信号Ｄ１，Ｄ２のうちのどちらを先に受けたかを判定し、その判定結果を示す信号を制御装置２５に出力する。先着判定回路２４は、最小で２．５ｎｓの間隔のパルス信号を区別することができる。

制御装置２５は、たとえばマイクロコンピュータであって、ＣＰＵ（Central Processing Unit）２５１と、メモリ２５２と、入出力バッファ（図示せず）とを含んで構成される。制御装置２５は、先着判定回路２４からの信号およびメモリ２５２に記憶されたプログラムに基づいて測定基底部２１を制御する。詳細については後述するが、制御装置２５は、先着判定回路２４からの信号を受けると、後述する手法に従って半波長板１３の角度θを推定する。さらに、制御装置２５は、半波長板２１１の角度が、半波長板１３の角度θの推定値に対応する角度となるように、制御信号ＣＴＲを出力することによって半波長板２１１のアクチュエータ（図示せず）を制御する。

なお、本実施の形態では、検出器１１４からトリガ信号Ｔが出力される単一光子源１１（いわゆる伝令付き単一光子源）が光子源として用いられる構成を例に示す。しかし、蛍光タンパク質、半導体量子ドットまたは結晶欠陥などの一般の光子源には、トリガ信号Ｔは存在しない。このような場合、測定系２０には、論理積回路２３１，２３２および先着判定回路２４を設けなくてよい。図示しないが、第１の検出器２２１からのシグナル信号Ｓ１と、第２の検出器２２２からのシグナル信号Ｓ２とは、制御装置２５に向けて直接出力される。制御装置２５は、シグナル信号Ｓ１，Ｓ２のいずれを受けたのかを判定する。

以下では、ｎ個目の光子Ｐ_ｎの偏光状態の測定（以下「ｎ回目の測定」とも略す）において、光子Ｐ_ｎが第１の検出器２２１および第２の検出器２２２のうちのどちらの検出器により検出されたかをｘ_ｎで表す。光子Ｐ_ｎが第１の検出器２２１により検出された場合にはｘ_ｎ＝１であり、光子Ｐ_ｎが第２の検出器２２２により検出された場合にはｘ_ｎ＝２である。

＜比較例（ＡＱＳＥ）＞
本実施の形態に係る偏光状態推定システム１の理解を容易にするために、まず、比較例としての適応量子状態推定（ＡＱＳＥ）について簡単に説明する。ＡＱＳＥのシステム構成は、図１に示した構成と基本的に同等であるため、詳細な説明は繰り返さない。

測定基底部２１を用いた測定は、正作用素値測度（ＰＯＶＭ：Positive Operator Valued Measure）Ｍ（θ）により記述される。たとえば非特許文献１に記載されているように、光子の偏光状態を最も高精度に推定可能な正作用素値測度Ｍ（θ）は、以下のように与えられる。すなわち、数理統計学によれば、光子の偏光状態の推定値（半波長板１３の角度θの推定値）の分散に関し、下記式（２）に示すクラメル・ラオ（Cramer-Rao）不等式が成立するところ、光子の偏光状態を最も高精度に推定可能な正作用素値測度Ｍ（θ）とは、式（２）において等号が成り立つときの測定に対応する。クラメル・ラオ不等式の等号が成り立つことを「クラメル・ラオ不等式の下限（クラメル・ラオ限界）を達成する」とも言う。なお、式（２）では、角度θの推定値の分散をＶ_θで示し、量子フィッシャー情報量をＪ_θで示している（非特許文献１の式（２）の下の段落を参照）。

半波長板１３の角度θの真値が分かっている場合（あるいは真値が分かっていると仮定した場合）には、角度θの推定値の分散がクラメル・ラオ不等式の下限を達成する最適な測定を実現可能である。本実施の形態において、最適な測定を実現するための正作用素値測度Ｍ（θ）は、恒等作用素Ｉを用いて下記式（３）で与えられる（非特許文献１の式（５）参照）。式（３）において、＜ξ｜は、下記式（４）の状態を表す。

図１に示したシステム構成との関係において具体的に説明すると、式（３）および式（４）に示す正作用素値測度Ｍ（θ）を光子の入力状態｜Ψ＞に作用させた場合、第１の検出器２２１による光子の検出（ｘ＝１）と、第２の検出器２２２による光子の検出（ｘ＝２）とが等しい確率で生じる。つまり、偏光ビームスプリッタ２１２により、光子が水平偏光成分と垂直偏光成分とに等しい確率（１／２）で分離される。図１に示した構成では、この状態が最も高精度に半波長板１３の角度θを推定可能な状態である。そのため、半波長板２１１の角度は、式（３）および式（４）により定義される角度に調整される。このことが、半波長板１３の角度θの推定値（光子の偏光状態の推定値）の分散がクラメル・ラオ不等式の下限を達成する値に近付くように、半波長板２１１の角度を調整することに相当する。

なお、本実施の形態では、正作用素値測度Ｍのパラメータが角度θの１つのみである例について説明するが、複数のパラメータが用いられる場合の正作用素値測度Ｍは、非特許文献７の式（１１）により与えられる。

このように、もし、半波長板１３の角度θの真値が分かっているのであれば、最適な正作用素値測度Ｍ（θ）を実現することが可能である。しかしながら、実際には、角度θの真値は、推定対象のパラメータであって未知である。よって、最適な正作用素値測度Ｍ（θ）が真値に依存するというジレンマが存在し、このままでは未知の角度θを推定することはできない。そのため、ＡＱＳＥにおいては、光子の偏光状態を測定する度に、以下に説明するように、半波長板２１１の角度を適応的に変化させることによって、未知の角度θに対する最適な測定を実現する。

ｎ回目の測定時における半波長板２１１の角度は、（ｎ−１）回目の測定結果に応じた正作用素値測度Ｍ（θ_ｎ−１）が実現される角度に設定されている。その状態で光子Ｐ_ｎの検出が行なわれ、光子Ｐ_ｎが第１の検出器２２１または第２の検出器２２２により検出されると、１個目からｎ個目までの光子Ｐ_１〜Ｐ_ｎの測定結果に応じて、その時点で最も確からしい半波長板１３の角度θの推定値である「最尤推定値（ＭＬＥ：Maximum Likelihood Estimate）」θ_ｎが算出される。そして、（ｎ＋１）回目の測定に用いられる半波長板２１１の角度は、最尤推定値θ_ｎに応じた正作用素値測度Ｍ（θ_ｎ）が実現される角度に設定される。

より詳細には、（ｎ＋１）回目の測定に用いられる半波長板２１１の角度の算出には、下記式（５）に示す対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）が用いられる。

式（５）から分かるように、半波長板２１１の角度を決定するための対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）は、ｎ回目の測定に用いられた対数尤度関数ｌ_ｎ-1（θ）に対数項（右辺第２項）を加算することにより算出される。この対数項により、ｎ回目の測定時における測定結果、すなわち、半波長板１３の角度θの最尤推定値θ_ｎ−１と、半波長板２１１の角度が最適な正作用素値測度Ｍ（θ_ｎ−１）が実現される角度に設定された状態で光子Ｐ_ｎがどちらの検出器により検出されたかを示すｘ_ｎとが、対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）に反映される。

図３は、比較例（ＡＱＳＥ）における対数尤度関数の一例を示す図である。図３において、横軸は半波長板１３の角度θを示し、縦軸は尤度を示す。図３（Ａ）は、ｎ回目の測定に用いられた対数尤度関数ｌ_ｎ-1（θ）の一例を示す。図３（Ｂ）は、対数項ｆ_ｎの一例を示す。図３（Ｃ）は、（ｎ＋１）回目の測定に用いられる対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）を示す。

上記式（５）に示したように、対数尤度関数ｌ_ｎ−１（θ）（図３（Ａ）参照）に対数項ｆ_ｎ（図３（Ｂ）参照）を加算することにより、対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）（図３（Ｃ）参照）が更新される。このようにして更新された対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）を用いて、下記式（６）に従って半波長板１３の角度θの最尤推定値θ_ｎが算出される。なお、数式中および図中ではθにハット（＾）を付すが、明細書本文中ではハットを付さずに表記する。

最尤推定値θ_ｎの算出後、半波長板２１１の角度は、最尤推定値θ_ｎに応じた正作用素値測度Ｍ（θ_ｎ）が実現される角度となるように調整される。言い換えると、最尤推定値θ_ｎに対応する偏光状態を有する光子が準備系１０から発せられ、その光子を測定基底部２１が受けた場合（受けたと仮定した場合）に、当該光子の偏光状態の推定にあたって測定基底部２１が最適化されるように、半波長板２１１の角度が調整される。このことは、式（６）の処理により算出された最尤推定値θ_ｎに対応する偏光状態を光子が有する場合に当該光子の偏光状態が最も高精度に推定可能な値に近付くように、半波長板２１１の角度が調整されることに相当する。図１に示した構成においては、半波長板２１１の角度は、上記光子が第１の検出器２２１により検出される確率と、第２の検出器２２２により検出される確率とが等しくなるような角度に調整される。その後は、（ｎ＋１）個目の光子Ｐ_ｎ＋１が第１の検出器２２１および第２の検出器２２２のうちの一方により検出され、以降、同様の処理が繰り返し実行される。

このように、ＡＱＳＥにおいては、光子の偏光状態が測定される度に、過去の測定結果に基づいて対数尤度関数が更新される。そして、更新後の対数尤度関数から半波長板１３の角度θの最尤推定値が算出される。さらに、算出された最尤推定値に応じた正作用素値測度Ｍ（θ）が実現される角度に、半波長板２１１の角度が調整される。

ＡＱＳＥでは、漸化式である式（５）から分かるように、（ｎ＋１）回目の測定に用いられる対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）は、初期状態での対数尤度関数ｌ_０（θ）からｎ回目の測定に用いられた対数尤度関数ｌ_ｎ−１（θ）までを順次加算し、さらに、ｎ回目の測定結果により定まる対数項ｆ_ｎを加算することにより算出される。よって、対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）には、１個目の光子Ｐ_１の偏光状態の測定結果から、ｎ個目の光子Ｐ_ｎの偏光状態の測定結果までの全測定結果が反映される。

ここで、図１に示した構成では、光子源（準備系１０）により発生する光子の偏光状態が時間的に変化しない場合が想定されている。一方で、偏光状態が時間的に変化する系（動的に変化する系）を推定対象とすることも考えられる。たとえば、生体中の蛍光タンパク質等から順次放出される光子では、偏光状態が動的に変化する場合がある。しかしながら、ＡＱＳＥでは、光子の偏光状態が時間的に一定であることを前提としているので、偏光状態が動的に変化し得る系を推定対象とする場合には、後に図８にて示すように偏光状態の推定結果が偏光状態の変化に追従せず、正しい推定を行なうことができない。

そこで、本実施の形態においては、（ｎ＋１）回目の測定時の半波長板２１１の角度（すなわち測定基底）を決定するための対数尤度関数ｌ_ｎ が、過去の全測定結果に代えて、直近のＳ回の測定結果のみから算出される。より具体的には、下記式（７）に示すように、（ｎ＋１）回目の測定時の対数尤度関数ｌ_ｎは、（ｎ−Ｓ＋１）回目の測定結果により定まる対数項ｆ_{ｎ−Ｓ＋１}から、ｎ回目の測定結果により定まる対数項ｆ_ｎまでを加算することで算出される。なお、対数項ｆ_ｎの算出には、後述する式（８）または式（９）が用いられる。

測定結果の使用数を示すＳは、光子数ｎよりも小さな自然数であり、たとえば推定対象に応じて測定者により適宜設定される。なお、使用数Ｓは、本開示に係る「所定数」に相当する。以下では、使用数Ｓを設定した上で光子の偏光状態（より一般的には量子状態）を推定する手法を「連続適応量子状態推定法（ＳＡＱＳＥ：Sequential Adaptive Quantum State Estimation）」とも称する。

＜処理フロー＞
図４は、実施の形態１におけるＳＡＱＳＥを示すフローチャートである。図４ならびに後述する図１１および図１４に示すフローチャートの処理は、たとえば、所定条件が成立した場合（たとえば測定者が測定を開始するための操作を行なった場合）に、図示しないメインルーチンから呼び出されて実行される。これらのフローチャートに含まれる各ステップ（以下「Ｓ」と略す）は、基本的には制御装置２５によるソフトウェア処理によって実現されるが、その一部または全部が制御装置２５内に作製されたハードウェア（電子回路）によって実現されてもよい。

なお、図４に示すフローチャートの処理開始時には、対数尤度関数は初期化されているものとする。本実施の形態では、初期状態での対数尤度関数ｌ_０（θ）は０に設定される。また、図４では、測定結果の使用数Ｓが予め設定されている場合について説明する。この設定手法は特に限定されるものではなく、たとえば測定者が図示しないキーボードを操作して所望の値を設定することができる。

Ｓ１１０において、制御装置２５は、ｎ回目の測定を実施する。より具体的には、制御装置２５は、第１の検出器２２１または第２の検出器２２２により光子Ｐ_ｎが検出されたことを示す先着判定回路２４からの信号を受けるまで待機する。ここで、（ｎ−１）回目の演算周期のＳ１５０の処理（後述）にて半波長板１３の角度の最尤推定値θ_ｎ−１が算出されているので、ｎ回目の測定時の半波長板２１１の角度は、最尤推定値θ_ｎ−１に応じた正作用素値測度Ｍ（θ_ｎ−１）が実現される角度（光子Ｐ_ｎの偏光状態を最も高精度に推定可能な角度）に設定されている。なお、１個目の光子Ｐ_１測定時における半波長板２１１の角度は、測定者により適宜設定される。

Ｓ１２０において、制御装置２５は、先着判定回路２４からの信号に基づいて、第１の検出器２２１および第２の検出器２２２のうちのどちらの検出器により光子Ｐ_ｎが検出されたかを判定する。第１の検出器２２１により光子Ｐ_ｎが検出された場合（Ｓ１２０においてＤ１）、制御装置２５は、処理をＳ１３０に進め、下記式（８）に従って対数項ｆ_ｎを算出する。一方、第２の検出器２２２により光子Ｐ_ｎが検出された場合（Ｓ１２０においてＤ２）には、制御装置２５は、処理をＳ１３５に進め、下記式（９）に従って対数項ｆ_ｎを算出する。

Ｓ１４０において、制御装置２５は、（ｎ＋１）回目の測定に用いられる半波長板２１１の角度を決定するための対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）を上記式（７）に従って算出する。

このように、ｎ回目の測定時のＳ１３０，Ｓ１３５の処理は、第１の検出器２２１または第２の検出器２２２により光子Ｐ_ｎが検出されたときの半波長板１３の角度の最尤推定値θ_ｎ−１と、光子Ｐ_ｎの偏光成分の検出結果ｘ_ｎとから定まる測定結果を用いて、対数項ｆ_ｎを算出する処理である。また、ｎ回目の測定時のＳ１４０の処理は、Ｓ１３０またはＳ１３５の処理により算出された対数項ｆ_ｎと、Ｓ回前（（ｎ−Ｓ＋１）回目）の測定から前回（（ｎ−１）回目）の測定までに算出された対数項ｆ_{ｎ−Ｓ＋１}，・・・，ｆ_ｎ−１とから対数尤度関数ｌ_ｎを更新する処理である。したがって、Ｓ１３０，Ｓ１３５，Ｓ１４０の処理は、本開示に係る「第１の処理」に相当する。

Ｓ１３０，Ｓ１３５，Ｓ１４０の処理に代えて、演算周期毎に、直近のＳ回の測定結果（ｘ_{ｎ−Ｓ＋１}，・・・，ｘ_ｎおよび半波長板１３の角度θの最尤推定値θ_ｎ−Ｓ，・・・，θ_ｎ−１）を漸化式である式（７）に代入し、式（７）を直接解くことで対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）を算出することも原理的には可能である。しかし、それには多大な演算時間を要し、実用的ではない。よって、本実施の形態では、以下のような実装上の工夫により演算時間を短縮する。

図５は、図４に示したＳ１３０，Ｓ１３５，Ｓ１４０の処理の実装例を説明するための概念図である。制御装置２５のメモリ２５２には、対数項の算出結果を格納するためのメモリ領域（たとえば配列変数に割り当てられたメモリ領域）が準備される。

図５（Ａ）は、ｎ回目の測定時のメモリ領域を示す。推定対象のパラメータである半波長板１３の角度θが、推定の要求精度に応じて仮想的に分割される。たとえば、０°以上９０°以下である角度θが１０，０００個の範囲に分割される。各測定での対数項の算出結果を格納するために、メモリ２５２には、角度θの分割数である１０，０００個のメモリ領域が準備される（横方向参照）。さらに、メモリ２５２には、測定者により設定された測定結果の使用数Ｓに対応して、Ｓ回分の対数項の算出結果を格納可能なメモリ領域が準備される（縦方向参照）。

ｎ回目の測定終了後のメモリ領域には、角度θの範囲毎に、直近の（Ｓ−１）回の測定での対数項の算出結果（ｆ_{ｎ−Ｓ＋１}，・・・，ｆ_ｎ−１で示す）と、ｎ回目の測定のＳ１３０またはＳ１３５の処理にて算出された対数項（ｆ_ｎで示す）とが格納されている。そして、角度θの範囲毎に、対数項ｆ_{ｎ−Ｓ＋１}，・・・，ｆ_ｎ−１と対数項ｆ_ｎとを加算することによって、対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）が更新される（Ｓ１４０）。

図５（Ｂ）は、（ｎ＋１）回目の測定時のメモリ領域を示す。（ｎ＋１）回目の測定終了後には、Ｓ１３０またはＳ１３５の処理により対数項（ｆ_ｎ＋１で示す）が新たに算出され、メモリ領域に格納される。一方で、直近の（Ｓ−１）回よりも前の測定での対数項（ｆ_{ｎ−ｓ＋１}で示す）は、メモリ領域から削除（除去、消去）される。このように、実施の形態１においては、直近のＳ回の測定によりメモリ領域に格納された測定結果のみを用いて対数尤度関数が算出される。

図６は、図４に示したＳ１３０，Ｓ１３５，Ｓ１４０の処理の他の実装例を説明するための概念図である。この実装例においても、図５にて説明した実装例と同様に、半波長板１３の角度θが、たとえば１０，０００個の範囲に分割される。その一方で、この実装例では、Ｓ回の測定を実施した場合の対数項の全算出結果を格納するためのメモリ領域（図５参照）に代えて、偏光状態の測定結果を格納するためのメモリ領域が準備される。

図６（Ａ）に示すように、ｎ回目の測定終了後（ｎ回目のＳ１１０〜Ｓ１４０の処理後）のメモリ２５２には、ｎ回目のＳ１４０の処理にて算出された対数尤度関数ｌ_ｎが角度θの範囲毎に格納されているとともに、偏光状態の測定結果（ｘ_１，・・・，ｘ_ｎおよびθ_１，・・・，θ_ｎ−１で示す）が格納されている。

（ｎ＋１）回目の測定が行なわれると、図６（Ｂ）に示すように、（ｎ＋１）回目の測定結果（ｘ_ｎ＋１およびθ_ｎで示す）がメモリ領域にさらに格納される。制御装置２５は、（ｎ＋１）回目の測定結果を用いることで、式（８）または式（９）に従って対数項ｆ_ｎ＋１を角度θの範囲毎に算出する。さらに、制御装置２５は、Ｓ回前の測定結果、すなわち（ｎ−Ｓ＋１）回目の測定結果（図示しないがｘ_{ｎ−Ｓ＋１}およびθ_ｎ−Ｓ）をメモリ領域から読み出し、式（８）または式（９）に従って対数項ｆ_{ｎ−Ｓ＋１}を角度θの範囲毎に算出する。そして、制御装置２５は、角度θの範囲毎に、対数項ｆ_ｎ＋１を対数尤度関数ｌ_ｎに加算する一方で、対数項ｆ_{ｎ−Ｓ＋１}については対数尤度関数ｌ_ｎから減算する。このようにすることで、（ｎ＋１）回目の測定終了後の対数尤度関数ｌ_ｎ＋１を算出することができる。

図６に示した実装手法によれば、図５に示した実装手法と比べて、メモリ領域を節約することができる。一方、図５に示した実装手法では、減算される対数項がメモリ領域に格納されており、当該対数項の演算が不要になるので、演算負荷を低減することができる。なお、図６では、過去の全測定結果がメモリ領域に格納されていく例を説明したが、実際に必要なのはＳ回前から今回までの情報のみであるため、Ｓ回前よりもさらに古い測定結果については順次削除してもよい。

図４に戻り、Ｓ１５０において、制御装置２５は、Ｓ１３０，Ｓ１３５，Ｓ１４０の処理により更新された対数尤度関数ｌ_ｎに基づいて、半波長板１３の角度の最尤推定値θ_ｎを算出する（上記式（６）参照）。より詳細には、１０，０００個に分割された角度範囲毎に尤度を算出し、尤度の最大値を与える角度を最尤推定値θ_ｎとして算出する（図３参照）。この処理は、本開示に係る「第２の処理」に相当する。

Ｓ１６０において、制御装置２５は、半波長板２１１に設けられたアクチュエータ（図示せず）を制御することによって、Ｓ１５０の処理により算出された最尤推定値θ_ｎに応じた正作用素値測度Ｍ（θ_ｎ）が実現される値に、半波長板２１１の角度を調整する。この処理は、本開示に係る「第３の処理」に相当する。

Ｓ１７０において、制御装置２５は、その時点での最尤推定値θ_ｎを出力する。たとえば、制御装置２５は、図示しないモニタに最尤推定値θ_ｎを表示したり、最尤推定値θ_ｎのデータログを取ったりする。これにより、偏光状態推定システム１の精度検証時（図７〜図１０参照）などに、最尤推定値θ_ｎと真値θ^ｔとを比較し、最尤推定値θ_ｎが真値θ^ｔに近い値となっているかどうかを検証することが可能になる。

Ｓ１８０において、制御装置２５は、測定回数ｎを１だけインクリメントし（ｎ→ｎ＋１）、インクリメント後の測定回数（ｎ＋１）が所定の終了回数Ｎに達したか否かを判定する（Ｓ１９０）。終了回数Ｎとしては、測定者により予め設定された値を用いることができる。

測定回数（ｎ＋１）が終了回数Ｎに達していない場合（Ｓ１９０においてＮＯ）、制御装置２５は、処理をメインルーチンに戻す。これにより、図４に示した一連の処理が繰り返し実行される。そして、測定回数が終了回数Ｎに達すると（Ｓ１９０においてＹＥＳ）、制御装置２５は処理を終了する。

＜シミュレーション結果＞
図７は、ＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果の一例を示す図である。図７ならびに後述する図９および図１２において、横軸は、測定された光子数（測定回数）ｎを示す。縦軸は、半波長板１３の角度θ（真値θ^ｔまたは最尤推定値）を示す。

図７には、半波長板１３の角度θ（真値θ^ｔ）が３０°に固定された状態で、図４に示した一連の処理を５００回繰り返した場合（１，０００個の光子の偏光状態のＳＡＱＳＥによる測定を５００回実施した場合）に、測定結果の使用数Ｓに応じて角度θの最尤推定値がどのように変化したかが示されている。このシミュレーションでは、使用数ＳをＳ＝１００，２００，３００，５００，１０００の５通りに設定した。

図８は、図７に示したシミュレーション結果における標準偏差を示す図である。図８ならびに後述する図１０および図１３において、横軸は、測定された光子数（測定回数）ｎを示す。縦軸は、半波長板１３の角度θの算出結果の標準偏差を示す。図８より、測定回数ｎが増加するに従って標準偏差が減少することが分かる。また、使用数Ｓが大きいほど標準偏差が小さいことが分かる。

図９は、ＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果とＡＱＳＥによるシミュレーション結果とを比較するための図である。図１０は、図９に示したＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果における標準偏差を示す図である。

図９および図１０には、真値θ^ｔが動的に変化した場合が示されている。より具体的には、図１には示していないが、半波長板１３にもアクチュエータを設けることにより、光子数ｎが３００だけ増加する間に真値θ^ｔが正弦関数に従って最大で０．５４°増加するように、真値θ^ｔの変化率を設定した。

図９に示すように、ＡＱＳＥでは、半波長板１３の角度θの最尤推定値が真値θ^ｔに追従できておらず、光子数ｎが増加するに従って最尤推定値と真値θ^ｔとの乖離が大きくなる。このように、光子の偏光状態（ここでは真値θ^ｔ）が動的に変化する系を推定対象とする場合、ＡＱＳＥでは、正しく推定を行なうことができない。これに対し、ＳＡＱＳＥによれば、光子の偏光状態が動的に変化する場合であっても、角度θの最尤推定値が真値θ^ｔに追従するように変化していることが分かる。さらに、図１０より、標準偏差が十分に小さく、高精度の推定が実現されていることが確認される。

以上のように、本実施の形態（ＳＡＱＳＥ）によれば、光子の偏光状態の測定毎に、測定系を適応的に変化させるための対数尤度関数が算出される。この対数尤度関数からは直近のＳ回よりも過去の偏光状態に関する測定結果は削除されており、直近のＳ回の測定結果のみを含むものとなっている。これにより、光子の偏光状態が動的に変化する光子源を推定対象とする場合であっても、変化前の偏光状態に関する測定結果が対数尤度関数から遂次削除されるので、変化後の偏光状態に関する測定結果の割合が相対的に高くなる。その結果、動的に変化する光子の偏光状態を、理論的に最適な精度で推定することが可能になる。

［実施の形態２］
実施の形態１では、光子が測定される度に、その測定結果に応じて対数尤度関数を更新し（第１の処理）、更新された対数尤度関数に基づいて半波長板１３の角度θの最尤推定値を算出し（第２の処理）、算出された最尤推定値に応じた正作用素値測度Ｍ（θ）が実現されるように半波長板２１１を回転させる（第３の処理）構成について説明した。実施の形態１に係る偏光状態推定システム１の構成では、光子の検出がナノ秒オーダーで可能であるのに対し、測定基底の変化（半波長板２１１の回転）（第３の処理）にはミリ秒オーダーの相対的に長い時間を要する。しかし、ミリ秒オーダーよりも短い時間間隔で光子が発せられる系も存在し、そのような系を推定対象とする場合、実施の形態１にて説明した構成では、多くの光子が測定に用いられないことになる。

そこで、実施の形態２においては、光子が測定される度に対数尤度関数の更新（第１の処理）を行なう一方で、半波長板１３の角度θの最尤推定値の算出（第２の処理）および半波長板２１１の回転（第３の処理）については、光子の測定毎には行なわない構成について説明する。実施の形態２では、角度θの最尤推定値の算出（第２の処理）および半波長板２１１の回転（第３の処理）は、Ｘ個の光子の測定結果に基づいて更新された対数尤度関数を用いて行なわれる。なお、実施の形態２に係る偏光状態推定システムの構成は、実施の形態１に係る偏光状態推定システム（図１参照）と基本的に同等であるため、説明は繰り返さない。

図１１は、実施の形態２におけるＳＡＱＳＥを示すフローチャートである。このフローチャートは、Ｓ２４５の処理をさらに含む点において、実施の形態１におけるフローチャート（図４参照）と異なる。他のＳ２１０〜Ｓ２４０，Ｓ２５０〜Ｓ２９０の処理は、実施の形態１におけるフローチャートの対応するＳ１１０〜Ｓ１９０の処理とそれぞれ同等であるため、詳細な説明は繰り返さない。

Ｓ２４０にて対数尤度関数ｌ_ｎ（θ）を更新すると、制御装置２５は、処理をＳ２４５に進め、光子の測定回数ｎが規定回数Ｘの倍数であるか否かを判定する。規定回数Ｘは、後述する例では、Ｘ＝５，１０，２０，５０に設定される。ただし、規定回数Ｘは、２以上の自然数であれば特に限定されず、単位時間当たりに光子源から発せられる光子数および測定基底の調整に要する時間（半波長板２１１の回転に要する時間）などに応じて、測定者により適宜定められる。なお、規定回数Ｘは、本開示に係る「規定数」に相当する。

測定回数ｎが規定回数Ｘの倍数である場合（Ｓ２４５においてＹＥＳ）、制御装置２５は、Ｓ２５０，Ｓ２６０，Ｓ２７０の処理を実行する。その後、処理がＳ２８０に進められ、測定回数ｎが１だけインクリメントされる。

これに対し、測定回数ｎが規定回数Ｘの倍数でない場合（Ｓ２４５においてＮＯ）には、制御装置２５は、Ｓ２５０，Ｓ２６０，Ｓ２７０の処理をスキップして処理をＳ２８０に進める。これにより、Ｓ２５０，Ｓ２６０，Ｓ２７０の処理を実行することなく、測定回数ｎが１だけインクリメントされることになる（Ｓ２８０）。

このように、実施の形態２においては、対数尤度関数の算出（Ｓ２４０）が光子の測定毎に行なわれるのに対し、半波長板１３の角度θの最尤推定値の算出（Ｓ２５０）および半波長板２１１の角度の調整（Ｓ２６０）は、規定回数であるＸ回毎にしか行なわれない。言い換えると、測定回数ｎが規定回数Ｘの倍数でない場合、対数尤度関数は継続的に更新されるものの（Ｓ２４０）、半波長板２１１の角度（測定基底）は固定される（Ｓ２６０）。なお、図１１では規定回数Ｘに固定値が用いられる例を示すが、規定回数Ｘを可変に設定し、処理の途中に規定回数Ｘを変更してもよい。

また、実施の形態２では規定回数Ｘに基づく処理を説明するが、所定時間τが経過する度にＳ２５０，Ｓ２６０，Ｓ２７０の処理を実行するようにしてもよい。この場合、Ｓ２４５においては、前回の最尤推定値の出力時（Ｓ２７０）からの経過時間が図示しないタイマーを用いて測定され、所定時間τが経過したか否かが判定される。そして、所定時間τが経過するまではＳ２５０，Ｓ２６０，Ｓ２７０の処理がスキップされる一方で、所定時間τが経過すると、Ｓ２５０，Ｓ２６０，Ｓ２７０の処理が実行されるとともに、タイマーのカウント値がリセットされる。

図１２は、実施の形態２におけるＳＡＱＳＥによるシミュレーション結果の一例を示す図である。図１３は、図１２に示したシミュレーション結果における標準偏差を示す図である。

図１２および図１３では、実施の形態１と同様に、図１１に示した一連の処理を５００回繰り返した場合に、測定結果の使用数Ｓに応じて角度θの最尤推定値および標準偏差がどのように変化したかが、それぞれ示されている。このシミュレーションでは、測定結果の使用数ＳをＳ＝５００に設定するとともに、光子数ｎが５００増加する間に真値θ^ｔが線形に０．０７°増加するように、真値θ^ｔの変化率を設定した。また、規定回数ＸをＸ＝５，１０，２０，５０の４通りに設定した。

図１２より、光子の測定回数ｎが規定回数Ｘの倍数に達するまでは半波長板２１１の角度が固定される構成であっても、光子の測定毎に半波長板２１１の角度が調整される構成と同様に、半波長板１３の角度θの最尤推定値が真値θ^ｔに追従することが分かる。また、図８（特にＳ＝５００が付されたカーブを参照）と図１３とを対比すると、標準偏差が同程度に小さく、高精度の推定が実現されていることが分かる。

以上のように、実施の形態２によれば、測定回数ｎが規定回数Ｘの倍数でない場合には、半波長板２１１の角度の調整が抑制される。このような測定手法を採用した場合にも、半波長板１３の角度θの最尤推定値が真値θ^ｔに追従することから、光子の偏光状態を高精度に推定可能であることが分かる。さらに、半波長板２１１の角度の調整頻度が低くなる（単位時間当たりの調整回数が少なくなる）ことで、半波長板２１１の角度調整に要する時間が短くなるので、測定時間を短縮することができる。言い換えると、所定時間内に、より多くの光子の偏光状態を測定することが可能になる。

［変形例］
実施の形態１，２では、測定開始前に測定者が設定した値に測定結果の使用数Ｓが固定される例について説明したが、使用数Ｓは適宜変更されてもよい。

図１４は、変形例におけるＳＡＱＳＥを示すフローチャートである。このフローチャートは、Ｓ３０２〜Ｓ３０６の処理をＳ１１０またはＳ２１０の処理の前に含む点において、実施の形態１，２におけるフローチャート（図４および図１１参照）と異なる。

Ｓ３０２において、制御装置２５は、光子の測定回数ｎが所定回数（たとえば１００の倍数）に達したか否かを判定する。測定回数ｎが所定回数に達していない場合（Ｓ３０２においてＮＯ）、制御装置２５は、以下のＳ３０４，Ｓ３０６の処理をスキップして処理をＳ１１０またはＳ２１０に進める。

測定回数ｎが所定回数に達すると（Ｓ３０２においてＹＥＳ）、制御装置２５は、光子の偏光状態の時間変化率（たとえば直近の１００回の測定での最尤推定値の時間変化率）を算出する（Ｓ３０４）。この時間変化率は、たとえば図９のタイムチャートにおいて、ＳＡＱＳＥによる推定結果を示す曲線の微分により求めることができる。

Ｓ３０６において、制御装置２５は、Ｓ２にて算出した時間変化率に応じて測定結果の使用数Ｓを設定する。より具体的には、制御装置２５は、たとえば時間変化率と使用数Ｓとの対応を示す所定の関係式またはマップ（図示せず）を参照することにより、時間変化率が大きくなるに従って使用数Ｓが小さくなるように使用数Ｓを定める。あるいは、制御装置２５は、適切な使用数Ｓの候補をモニタ（図示せず）に表示させ、使用数Ｓを測定者に選択させてもよい。なお、図１４に示すフローチャートの他の処理（Ｓ１１０またはＳ２１０以降の処理）は、実施の形態１，２におけるフローチャートの対応する処理と同等であるため、詳細な説明は繰り返さない。

以上のように、変形例によれば、偏光状態の時間変化率に応じて測定結果の使用数Ｓが設定される。使用数Ｓが小さいほど、過去の測定結果が削除されやすくなる。そのため、対数尤度関数ｌ_ｎ（および、それに基づいて算出される最尤推定値θ_ｎ）が偏光状態の速い変化に追従しやすくなり、偏光状態の時間変化率が大きい推定対象の推定に適するようになる。逆に、偏光状態があまり変化しない推定対象の場合には、使用数Ｓを大きく設定することにより、より高精度の推定が可能となる。

なお、実施の形態１，２および変形例では、単一光子源１１から発せられた光子の偏光状態を推定する構成を例に説明したが、本開示に係る「光子源」は、光子を発するものであれば特に限定されない。「光子源」は、たとえば、細胞内の蛍光タンパク質等の分子であってもよいし、発光する天体であってもよい。また、準備系１０は、光子を準備するための構成に過ぎず、光子の偏光状態の推定に必須の構成要素ではない。たとえば、測定系２０が単一光子分光に適用される場合には、準備系１０に代えて、蛍光タンパク質からの光子を測定系２０へと導くための構成が別途準備される。

また、測定基底部２１が半波長板２１１および偏光ビームスプリッタ２１２を含む構成を例に説明した。しかし、推定対象の光子の偏光状態によっては、測定基底部２１は、たとえば半波長板と、偏光ビームスプリッタと、それらの間に設けられた１／４波長板との組合せ（図示せず）を含んで構成されてもよい。

また、本実施の形態では、光子の偏光状態を推定する構成を例に説明したが、本明細書に開示の推定手法は、他の粒子（たとえば電子、陽子、中性子）の量子状態の推定全般に適用可能である。たとえば、この推定手法を用いることで、中性子のスピンの向きを最高精度で推定することができる。

今回開示された実施の形態は、すべての点で例示であって制限的なものではないと考えられるべきである。本開示の範囲は、上記した実施の形態の説明ではなくて特許請求の範囲によって示され、特許請求の範囲と均等の意味および範囲内でのすべての変更が含まれることが意図される。

本開示によれば、光子の偏光状態を理論的に最高の精度で推定可能であるため、量子計測、量子情報処理または光量子回路（たとえば量子暗号通信、量子コンピュータ等）に応用することができる。さらに、本開示によれば、光子の偏光状態が動的に変化する系を推定対象とすることが可能であるため、たとえば、細胞内分子（蛍光タンパク質等）から発せられた光子の偏光状態を測定することで、細胞内分子のダイナミクスを解明するための情報を得ることができる。また、たとえば、自力発光天体から発せられる光子の偏光状態を測定することで、新たな天体観測の手法が実現される。

１ 偏光状態推定システム、１０ 準備系、１１ 単一光子源、１２ 偏光子、１３，２１１ 半波長板、２０ 測定系、２１ 測定基底部、２４ 先着判定回路、２５ 制御装置、１１１ レーザ光源、１１２ 非線形光学結晶、１１３，１１４ 干渉フィルタ、１１５ 検出器、１１６ 光ファイバ、２１２ 偏光ビームスプリッタ、２２１ 第１の検出器、２２２ 第２の検出器。

Claims (11)

1. 光子源から発せられる光子の偏光状態を推定する、光子の偏光状態推定システムであって、
   前記光子源から発せられた光子の偏光状態を測定するための測定基底を規定するパラメータを調整可能に構成され、前記パラメータに応じて前記光子源からの光子を２つの偏光成分に分離する測定基底部と、
   前記測定基底部により分離された光子を前記２つの偏光成分毎に検出する検出装置と、
   第１〜第３の処理を繰り返し実行することにより、前記光子源から発せられる光子の偏
   光状態を推定する制御装置とを備え、
   ｎを自然数とし、所定数Ｓをｎよりも小さな自然数として、
   前記第１の処理は、
   入力されたｎ個目の光子の偏光状態の尤度を表す尤度関数から求まる前記ｎ個目の光子の偏光状態の最尤推定値、および、前記検出装置により検出された前記ｎ個目の光子の偏光成分から定まる、前記ｎ個目の光子の偏光状態の測定結果と、
   前記第１の処理による（ｎ−Ｓ＋１）個目以降の光子の偏光状態の測定結果とに基づいて、（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態の測定に用いられる尤度関数を更新する処理であり、
   前記第２の処理は、前記第１の処理により更新された尤度関数に基づいて、前記（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態の最尤推定値を算出する処理であり、
   前記第３の処理は、前記第２の処理により算出された最尤推定値に対応する偏光状態を前記（ｎ＋１）個目の光子が有する場合に前記（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態が最も高精度に推定される値に近付くように、前記パラメータを調整する処理である、光子の偏光状態推定システム。
2. 前記尤度関数は、対数尤度関数であり、
   前記第１の処理は、前記（ｎ−Ｓ＋１）個目以降の光子の測定結果により定まる対数項から、前記ｎ個目の光子までの測定結果により定まる対数項までを加算することで、前記（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態の測定に用いられる対数尤度関数を更新する処理を含む、請求項１に記載の光子の偏光状態推定システム。
3. 前記第３の処理において前記（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態が最も高精度に推定される値は、前記（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態の推定値の分散がクラメル・ラオ（Cramer-Rao）不等式の下限を達成する値である、請求項１または２に記載の光子の偏光状態推定システム。
4. 前記制御装置は、前記検出装置により光子が検出される度に、前記第１〜第３の処理を実行する、請求項１〜３のいずれか１項に記載の光子の偏光状態推定システム。
5. 前記制御装置は、前記検出装置により光子が検出される度に前記第１の処理を実行する一方で、前記第２および第３の処理については、２以上の規定数の光子が前記検出装置により検出されると実行する、請求項１〜３のいずれか１項に記載の光子の偏光状態推定システム。
6. 前記制御装置は、前記検出装置により光子が検出される度に前記第１の処理を実行する一方で、前記第２および第３の処理については、所定時間が経過した場合に実行する、請求項１〜３のいずれか１項に記載の光子の偏光状態推定システム。
7. 光子源から発せられる光子の偏光状態を推定する、光子の偏光状態推定方法であって、
   前記光子源から発せられた光子の偏光状態を測定するための測定基底を規定するパラメータに応じて、前記光子源からの光子を２つの偏光成分に分離するステップと、
   前記分離するステップにより分離された光子を前記２つの偏光成分毎に検出するステップと、
   第１〜第３の処理を繰り返し実行することにより、前記光子源から発せられる光子の偏光状態を推定するステップとを含み、
   ｎを自然数とし、所定数Ｓをｎよりも小さな自然数として、
   前記第１の処理を実行するステップは、
   入力されたｎ個目の光子の偏光状態の尤度を表す尤度関数から求まる前記ｎ個目の光子の偏光状態の最尤推定値、および、前記検出するステップにおいて検出された前記ｎ個目の光子の偏光成分から定まる、前記ｎ個目の光子の偏光状態の測定結果と、
   前記第１の処理による（ｎ−Ｓ＋１）個目以降の光子の偏光状態の測定結果とに基づいて、（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態の測定に用いられる尤度関数を更新するステップであり、
   前記第２の処理を実行するステップは、前記第１の処理を実行するステップにより更新された前記尤度関数に基づいて、前記偏光状態の最尤推定値を算出するステップであり、
   前記第３の処理を実行するステップは、前記第２の処理により算出された最尤推定値に対応する偏光状態を前記光子源から発せられる光子が有する場合に当該光子の偏光状態が最も高精度に推定される値に近付くように、前記パラメータを調整するステップである、光子の偏光状態推定方法。
8. 前記光子源から発せられる光子の偏光状態は、時間的に変化する、請求項７に記載の光子の偏光状態推定方法。
9. 前記所定数Ｓは、前記光子源から発せられる光子の偏光状態の時間変化率に応じて定められる、請求項７または８に記載の光子の偏光状態推定方法。
10. 前記所定数Ｓは、前記時間変化率が大きくなるに従って小さくなるように定められる、請求項９に記載の光子の偏光状態推定方法。
11. 光子源から発せられる光子の偏光状態を推定するための偏光状態推定システムの制御プログラムであって、
    前記制御プログラムは、前記偏光状態推定システムに、
    前記光子源から発せられた光子の偏光状態を測定するための測定基底を規定するパラメータに応じて、前記光子源からの光子を２つの偏光成分に分離するステップと、
    前記分離するステップにより分離された光子を前記２つの偏光成分毎に検出するステップと、
    第１〜第３の処理を繰り返し実行することにより、前記光子源から発せられる光子の偏光状態を推定するステップとを実行させ、
    ｎを自然数とし、所定数Ｓをｎよりも小さな自然数として、
    前記第１の処理を実行するステップは、
    入力されたｎ個目の光子の偏光状態の尤度を表す尤度関数から求まる前記ｎ個目の光子の偏光状態の最尤推定値、および、前記検出するステップにおいて検出された前記ｎ個目の光子の偏光成分から定まる、前記ｎ個目の光子の偏光状態の測定結果と、
    前記第１の処理による（ｎ−Ｓ＋１）個目以降の光子の偏光状態の測定結果とに基づいて、（ｎ＋１）個目の光子の偏光状態の測定に用いられる尤度関数を更新するステップであり、
    前記第２の処理を実行するステップは、前記第１の処理を実行するステップにより更新された前記尤度関数に基づいて、前記偏光状態の最尤推定値を算出するステップであり、
    前記第３の処理を実行するステップは、前記第２の処理により算出された最尤推定値に対応する偏光状態を前記光子源から発せられる光子が有する場合に当該光子の偏光状態が最も高精度に推定される値に近付くように、前記パラメータを調整するステップである、制御プログラム。

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