JP6634000B2 - グラフ構造推定装置、グラフ構造推定方法、及びグラフ構造推定プログラム - Google Patents

Description

本発明は、グラフ構造推定装置、グラフ構造推定方法、及びグラフ構造推定プログラムに係り、特に、グラフデータを解析するグラフ構造推定装置、グラフ構造推定方法、及びグラフ構造推定プログラムである。

グラフデータ（例えば、映画俳優の共演関係を表すネットワークのデータ、機械同士をつなぐ無線ネットワークのデータ等）を解析する技術として、非特許文献１には、グラフＧの頂点数Ｎに対して、「直径ｄが小さい」という性質（スモールワールド性と呼ばれる）を表現した確率モデルが開示されている。

Watts. D. J and Strogatz. S. H. Collective dynamics of ‘small-world' networks. Nature, 393:440-442, 1998.

しかしながら、上記確率モデルでは、平均パス長(２頂点間の最短パスの平均長) がおよそｌｏｇＮのオーダになる、という問題がある。

本発明は、観測されるグラフデータを入力として、入力から推定される真のグラフ構造を出力する際に、上記従来技術が抱えていた以下の問題を解決することを目的とする。

例えば、機械同士をつなぐ無線ネットワークの構造は、一定の半径を持つ球上でのunit disk graph（下記参考文献１参照）によりモデル化することができる。

（参考文献１） Clark. B. N., Colbourn. C. J., and Johnson. D. S. Unit disk graphs. Discrete Mathematics, 86:165-177, 1990.

つまり、或る頂点（機械）ｕは、その頂点ｕから一定の距離Ｌ以内にある頂点ｖとはつながり（辺を結ぶ）、それよりも遠いところにある頂点ｗとはつながらない（辺を結ばない）ものとみなすことができる。

ところで、地球を半径Ｒの球とみなすと、頂点（機械）が置かれる土地は地球の面積によって限られている。このことを考慮した上で、上記のようなunit disk graphによる無線ネットワークのモデル化を考えると、頂点数（機械の数）Ｎ→∞の極限をとっても、その直径（ある機械ｕから、直接つながっている機械を辿って別の機械ｖまでたどり着くために必要な、最小の辺の数の最大値。直感的には、グラフ上で最も離れている機械同士の距離のようなもの）は定数に漸近する。つまり、機械が無限個ある状況においては、最も離れた機械同士であってもある定数個の機械を辿ればつながることができるのである。このような直径のふるまいは、従来のグラフモデルでは説明できない。

実際に上記の無線ネットワークなどのグラフデータを解析する際には、頂点数（地球上に存在する機械の数）が非常に多いため、一部をサンプルした結果がデータセットとして提供されることが考えられる。また、そのようにして作られたデータセットから、計算量削減のために更に一部をサンプルして解析するという状況が考えられる。

従来のモデルでは、サンプル前後のグラフで直径の上限が保存されないため、例えば上記のような有限土地上の無線ネットワークのデータを少数のサンプルから解析しようとすると、直径という観点で不正確な推定結果が出力されてしまう。逆に言えば、直径の観点でできるだけ正しくグラフデータを解析したいと思った場合、できる限り多くの頂点を含むデータを用いる必要があり、これには高い計算コストがかかってしまう。

本発明の目的は、直径の上限が定数となるようなふるまいをするグラフデータを解析し、真のグラフ構造を推定することができるグラフ構造推定装置、グラフ構造推定方法、及びグラフ構造推定プログラムを得ることである。

上記目的を達成するために、本発明のグラフ構造推定装置は、観測されるグラフデータの隣接行列及び前記グラフデータで表されるグラフ上の距離の上限を表す自然数を入力する入力部と、前記グラフデータの隣接行列及び前記自然数に基づいて、前記グラフの頂点及び前記頂点に割り当てるテーブルに関する第１のパラメータ、前記テーブルの人気度に関する第２のパラメータ、及び、前記グラフデータと前記第１のパラメータと前記第２のパラメータとに基づく確率的生成モデルを用いて生成したサンプルグラフから得られた、前記頂点に割り当てるテーブルの分割を表現した行列を表す第３のパラメータ、を含むパラメータ群の初期値を生成する初期パラメータ生成部と、前記グラフデータの隣接行列、前記自然数、及び前記パラメータ群に基づいて、前記グラフデータの隣接行列に対する、前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての完全二部木から得られる隣接行列が尤もらしくなるように、前記確率的生成モデルを用いて生成されたグラフに基づいて前記パラメータ群を更新するパラメータ更新部と、前記パラメータ群の更新を終了するか否かを判定する終了判定部と、前記終了判定部により前記パラメータ群の更新を終了すると判定された場合に、前記パラメータ更新部により更新された前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての前記完全二部木から得られる隣接行列を出力する出力部と、を含む。

また、前記パラメータ更新部は、前記確率的生成モデルとして、前記グラフ上の距離の上限が前記自然数以下となるように前記グラフを生成する確率的生成モデルを用いて前記パラメータ群を更新する構成としてもよい。

また、前記パラメータ更新部は、前記確率的生成モデルを用いて前記グラフを生成する際に、前記第１のパラメータとして前記頂点の共変量及び前記テーブルの共変量を用いた基準を用いて、前記パラメータ群を更新する構成としてもよい。

本発明のグラフ構造推定方法は、入力部、初期パラメータ生成部、パラメータ更新部、終了判定部、及び出力部を含むグラフ構造推定装置におけるグラフ構造推定方法であって、前記入力部が、観測されるグラフデータの隣接行列及び前記グラフデータで表されるグラフ上の距離の上限を表す自然数を入力するステップと、前記初期パラメータ生成部が、前記グラフデータの隣接行列及び前記自然数に基づいて、前記グラフの頂点及び前記頂点に割り当てるテーブルに関する第１のパラメータ、前記テーブルの人気度に関する第２のパラメータ、及び、前記グラフデータと前記第１のパラメータと前記第２のパラメータとに基づく確率的生成モデルを用いて生成したサンプルグラフから得られた、前記頂点に割り当てるテーブルの分割を表現した行列を表す第３のパラメータ、を含むパラメータ群の初期値を生成するステップと、前記パラメータ更新部が、前記グラフデータの隣接行列、前記自然数、及び前記パラメータ群に基づいて、前記グラフデータの隣接行列に対する、前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての完全二部木から得られる隣接行列が尤もらしくなるように、前記確率的生成モデルを用いて生成されたグラフに基づいて前記パラメータ群を更新するステップと、前記終了判定部が、前記パラメータ群の更新を終了するか否かを判定するステップと、前記出力部が、前記終了判定部により前記パラメータ群の更新を終了すると判定された場合に、前記パラメータ更新部により更新された前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての前記完全二部木から得られる隣接行列を出力するステップと、を含む。

また、前記パラメータ更新部が前記パラメータ群を更新するステップは、前記確率的生成モデルとして、前記グラフ上の距離の上限が前記自然数以下となるように前記グラフを生成する確率的生成モデルを用いて前記パラメータ群を更新するようにしてもよい。

また、前記パラメータ更新部が前記パラメータ群を更新するステップは、前記確率的生成モデルを用いて前記グラフを生成する際に、前記第１のパラメータとして前記頂点の共変量及び前記テーブルの共変量を用いた基準を用いて、前記パラメータ群を更新するようにしてもよい。

本発明のグラフ構造推定プログラムは、コンピュータを、請求項１〜３の何れか１項に記載のグラフ構造推定装置の各部として機能させるためのグラフ構造推定プログラムである。

以上説明したように、本発明のグラフ構造推定装置、グラフ構造推定方法、及びグラフ構造推定プログラムによれば、真のグラフ構造を推定することができる、という効果が得られる。

グラフ構造推定装置の機能的な構成例を示すブロック図である。 グラフ構造推定処理ルーチンを示すフローチャートである。 完全二分木の一例を示す図である。 テーブル分割の行列表現の一例を示す図である。 基本的な乱択アルゴリズムの一例を示す図である。 乱択アルゴリズムのフローチャートの一例を示す図である。 テーブル分割の様子の一例を示す図である。 完全二分木が得られる様子の一例を示す図である。 乱択アルゴリズムの具体例を示す図である。 乱択アルゴリズムの他の具体例を示す図である。

以下、図面を参照して、本発明の実施の形態を詳細に説明する。

＜本発明の実施の形態の概要＞

グラフデータを解析する場合、観測されるグラフデータの直径が、頂点数Ｎに関わらず定数Ｄの上限を持つという仮定のもと、真のグラフ構造を推定する技術である。

ここで、「グラフ」、「(グラフの) 直径」の定義については後述する。本実施形態は、直径が定数Ｄ以下の全てのグラフを解の候補として含むような、真のグラフ構造の探索を可能としたものであり、グラフデータ解析の手法の中でもノンパラメトリックベイズ推定の枠組みに基づくものである。

＜システム構成＞

図１に示すように、本実施の形態に係るグラフ構造推定装置１０は、入力部１２、初期パラメータ生成部１４、パラメータ更新部１６、終了判定部１８、及び出力部２０を備えている。

入力部１２は、観測されるグラフデータの隣接行列及びグラフデータで表されるグラフ上の距離の上限を表す自然数を入力する。ここで、入力部１２に入力されるグラフデータは、例えば一部のグラフが欠損している等、真のグラフ構造とは言えない不完全なグラフデータである。

初期パラメータ生成部１４は、入力部１２により入力された隣接行列及び自然数に基づいて、グラフの頂点及び頂点に割り当てるテーブルに関する第１のパラメータ、テーブルの人気度に関する第２のパラメータ、及び、グラフデータと第１のパラメータと第２のパラメータとに基づく確率的生成モデルを用いて生成したサンプルグラフから得られた、頂点に割り当てるテーブルの分割を表現した行列を表す第３のパラメータ、を含むパラメータ群の初期値を生成する。本実施形態では、詳細は後述するが、確率的生成モデルとして、定数直径制約に基づくモデルによる乱択法を用いてサンプルグラフを生成する。

パラメータ更新部１６は、グラフデータの隣接行列、自然数、及びパラメータ群に基づいて、グラフデータの隣接行列に対する、第３のパラメータに対応するグラフの頂点の各々についての完全二部木から得られる隣接行列が尤もらしくなるように、確率的生成モデルを用いて生成されたグラフに基づいて前記パラメータ群を更新する。

終了判定部１８は、パラメータ群の更新を終了するか否かを判定する。

出力部２０は、終了判定部１８によりパラメータ群の更新を終了すると判定された場合に、パラメータ更新部１６により更新された第３のパラメータに対応するグラフの頂点の各々についての完全二部木から得られる隣接行列を出力する。

グラフ構造推定装置１０は、例えばＣＰＵ（Ｃｅｎｔｒａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ Ｕｎｉｔ）と、ＲＡＭ（Ｒａｎｄｏｍ Ａｃｃｅｓｓ Ｍｅｍｏｒｙ）と、後述するグラフ構造推定処理を実行するためのグラフ構造推定プログラムを記憶したＲＯＭ（Ｒｅａｄ Ｏｎｌｙ Ｍｅｍｏｒｙ）と、を備えたコンピュータを含んで実現される。なお、ＲＯＭに代えて不揮発性メモリを用いてもよい。また、グラフ構造推定装置１０を構成するコンピュータは、ハードディスクドライブ等の記憶部を備えていてもよい。また、ハードディスクドライブにＣＰＵが実行するプログラムが記憶されていてもよい。ＣＰＵがＲＯＭやハードディスク等の記憶部に記憶されているプログラムを読み出して実行することにより、上記のハードウェア資源とプログラムとが協働し、以下に説明する機能が実現される。

＜グラフ構造推定装置の作用＞

次に、グラフ構造推定装置１０の作用について説明する。まず、図２を参照して、本実施の形態に係るグラフ構造推定装置１０において実行されるグラフ構造推定処理の処理ルーチンについて説明する。

ステップＳ１００では、入力部１２が、観測されるグラフデータの隣接行列Ａ^Ｘ及び自然数Ｄを入力する。観測されるグラフデータを隣接行列の形式で表現したものを、観測されるグラフデータの隣接行列Ａ^Ｘと呼ぶ。ここで、グラフの定義について説明する。

グラフＧ＝（Ｖ、Ｅ）は、頂点の集合Ｖと、それらをつなぐ辺の集合Ｅで表されデータ構造である。例えば、機械同士の無線ネットワークを表すグラフにおいて、頂点は１つ１つの機械、辺は２つの機械の間の通信関係を表す。

本実施形態では、自己ループ（両端の頂点が等しい辺）や多重辺（ある２頂点間に複数の辺が存在する場合）を含まない単純グラフのみを扱う。

グラフＧ＝（Ｖ、Ｅ）の隣接行列

とは、全ての（ｉ，ｊ）の組み合わせに対し、（ｉ、ｊ）∈Ｅであれば、

、

であれば、

として要素を定義した行列である。

また、グラフＧ＝（Ｖ、Ｅ）において、或る頂点ｖ∈Ｖのｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙをｅ（ｖ）で表し、ｅ（ｖ）＝ｍａｘ_ｕ∈Ｖｄ（ｖ、ｕ）と定義する。ただし、ｄ（ｖ、ｕ）は頂点ｖと頂点ｕを結ぶ最短パスの長さとする。

グラフＧ＝（Ｖ、Ｅ）の直径は、下記（１）式で示すように、頂点集合Ｖにおけるｅｃｃｅｎｔｒｉｃｉｔｙの最大値として定義される。

ｅ（ｖ）＝ｍａｘ_v∈Ｖｅ（ｖ） ・・・（１）

本実施形態では、入力部１２に対して、隣接行列Ａ^Ｘ及び自然数Ｄが入力として与えられる。ここで、隣接行列Ａ^Ｘと自然数Ｄは、以下の関係を満たす組み合わせであれば、任意に設定できる。

関係：入力データＡ^ＸがＮ×Ｎの行列であるとき、すなわち、入力されたグラフデータにおける頂点数がＮであるとき、Ｄ≦Ｎ−１。

ステップＳ１０２では、初期パラメータ生成部１４が、入力部１２により入力された隣接行列Ａ^Ｘ及び自然数Ｄに基づいて、グラフデータで表されるグラフの頂点及び頂点に割り当てるテーブルに関する第１のパラメータ、テーブルの人気度に関する第２のパラメータ、及び、グラフデータと第１のパラメータと第２のパラメータとに基づく確率的生成モデルを用いて生成したサンプルグラフから得られた、頂点に割り当てるテーブルの分割を表現した行列を表す第３のパラメータ、を含むパラメータ群の初期値を生成する。

まず、正の実数α、自然数Ｋとして予め定めた任意の値を代入する。例えば、α＝０．０１、Ｋ＝１０００とすればよい。

また、正の実数の集合Ｍ＝｛Ｍ_ｎ｝、ｎ＝１、・・・、Ｎと、Ｍ’＝｛Ｍ_ｋ｝、ｋ＝１、・・・、Ｋとして、任意の値を与える。例えば、以下のように一様分布に従ってランダムに設定すればよい。

Ｍｎ、Ｍ’_ｋ〜Ｕｎｉｆｏｒｍ（［１０、２０、・・・、３００］）

以降、Ｍ_ｎ∈Ｍを頂点ｖ_ｎの共変量、Ｍ’_ｋ∈Ｍ’をテーブルｔ_ｋの共変量と呼ぶ。テーブルｔ_ｋは、そのテーブルを選択した頂点の集合である。なお、集合Ｍ、Ｍ’が第１のパラメータに相当する。

また、正の実数の集合Π＝｛π_ｋ｝、ｋ＝１、・・・、Ｋとして、任意の値を与える。例えば、以下のようにΓ分布に従ってランダムに設定すればよい。

π_ｋ〜Γ（１、α）

以降、π_ｋをテーブルｋの人気度と呼ぶ。なお、π_ｋは第２のパラメータに相当する。

また、サイズが（Ｎ−１）×（Ｄ−１）のＮ個の行列Ｔ^ｎ、ｎ＝１、・・・、Ｎとして、それぞれ以下の条件１、２を満たす任意のものを与える。なお、行列Ｔ^ｎは第３のパラメータに相当する。

条件１：Ｔ^ｎから１列目の値だけ抜き出して作ったベクトルＴ^ｎ _:，1が、根の頂点以外の全ての頂点の番号を１つずつ並べたベクトルに対する置換で得られる。

条件２：Ｔ^ｎから１列目を除いて作った行列Ｔ^ｎ _:，2:D+1が、以下の条件２−１〜２−３を満たす。

条件２−１：全ての要素が０若しくはＫ以下の自然数である。

条件２−２：或る（ｉ、ｊ）成分の値が０のとき、ｉ行目のｊ＋１列以降の要素の値が全て０である。

条件２−３：１列目（元の行列Ｔ^ｎでの２列目にあたる）の要素の値が全て１以上である。

行列Ｔ_ｎは、各頂点ｖ_ｎを根とする１つの完全二部木に一意に変換可能な、テーブル分割の行列表現Ｔ^ｎ＝｛Ｔ^ｎ _i，j｝を表す。

ここで、完全二分木について説明する。

完全二部グラフＫ_ｍ、ｎ＝（Ｖ、Ｅ）の定義は、以下の条件３を満たすグラフである。

条件３：

本実施形態では、完全二部木を、内部に完全二部グラフを含む木と類似したグラフとして定義する。グラフＧ＝（Ｖ、Ｅ）が完全二部木であることの正確な定義は以下の通りである。

完全二分木の定義：グラフの各頂点Ｕ∈ν_Ｔが、Ｖに含まれる頂点からなるクラスタを表すような、或る木Ｔ＝（ν_Ｔ、ε_Ｔ）が存在する。任意のｖ∈Ｖに対して、Ｕ∈ν_Ｔが存在し、ｖ∈Ｕを満たす。また、任意の異なるＵ，Ｗ∈ν_Ｔに対し、Ｕ∩Ｗ＝０を満たす。Ｔにおける根の頂点Ｕ_root∈ν_ＴはＶに含まれる１つの頂点を含むクラスタである。Ｔにおいて、親子関係を持つような任意の頂点対（Ｕ，Ｗ）に対し、クラスタＵとＷが完全二部グラフをなす。

ここで、木は完全二部木の特別な場合（内部に含む全ての完全二部グラフがＫ_1,1である場合）に相当する。完全二部木の一例を図３に示す。

図４には、各頂点ｖ_ｎを根とする１つの完全二部木に一意に変換可能な、テーブル分割の行列表現Ｔ^ｎの一例を示した。図４に示す行列Ｔ^ｎは、１列目（Ｔⁿ _:,1）が頂点の番号を表す。例えばＴⁿ _i,1＝３であれば、行ｉは頂点ｖ_３についての情報が格納されている。２列目以降は、１列目の番号の頂点が各深さｊ−１で選択したテーブル番号を表す。例えば、図４の３行目は、頂点ｖ_５は深さ１でテーブルｔ_５、深さ２でテーブルｔ_３を選択したことを示している。初期値としては、例えば、確率的生成モデルとしての定数直径制約に基づくモデルからサンプルグラフを１つ生成し、その際に得られたＮ個のテーブル分割に対応するＴ^ｎを与えればよい。なお、定数直径制約に基づくモデルについては後述する。

また、サイズがＮ×Ｋの行列Ｐ^select＝｛Ｐ^select _n,k｝として、以下の条件４、５を満たす任意のものを与える。

条件４：全ての要素に、０以上１以下の実数が格納されている。

条件５：全ての行において，列方向の要素の和が１になっている。すなわち、全てのｎに対して次式を満たす。

Ｐ^selectの（ｎ、ｋ）成分は、テーブル分割において、頂点ｖ_ｎがテーブルｔ_ｋを選択する確率を表している。初期値としては、例えば、Π＝｛π_ｋ｝と

を用いて以下の条件６を満たすものを与えればよい。

条件６：各（ｎ、ｋ）成分について、

また、サイズがＮ×Ｋの行列Ｐ^remain＝｛Ｐ^remain _n,k｝として、以下の条件７を満たす任意のものを与える。

条件７：全ての要素に、０以上１以下の実数が格納されている。

Ｐ^remainの（ｎ、ｋ）成分は、テーブル分割において、頂点ｖ_ｎがテーブルｔ_ｋを選択した条件のもとで、テーブルｔ_ｋに留まる確率を表している。初期値としては、例えば、Ｌ（ｘ、ｙ）≡（ｘ−ｙ）^２を用いて以下の条件８を満たすものを与えればよい。

条件８：各（ｎ、ｋ）成分について、Ｐ^remain _n,k＝１／（Ｌ（Ｍ_ｎ、Ｍ'_ｋ）＋１.０１）

また、パラメータ更新の繰り返し回数の上限Ｎ_Ｓとして、任意の自然数を設定する。

また、現在までのパラメータ更新の繰り返し回数ｎ_Ｓとして、初期値ｎ_Ｓ＝１を与える。

ここで、本実施形態における処理で用いる「定数直径制約に基づくモデル」について説明する。なお、定数直径制約に基づくモデルは、Ｔ^ｎの初期値を設定する際に生成するサンプルグラフを生成する際に用いられると共に、後述するパラメータ更新部１６によるパラメータ更新の際にも用いられる。

パラメータ更新部１６は、ベイズ推論の枠組みを用いて、観測データと各パラメータの値から真のグラフ構造を推定すると共に、各パラメータの値の更新を行う。ベイズ推論の枠組みにおいては、一般に、事前分布と尤度関数の組み合わせにより対象をモデル化した後、このモデルに対し、観測データのフィッティングと呼ばれる操作を行うことで解析を行う。以下、定数直径制約に基づくモデルについて説明する。

本実施形態で用いる定数直径制約に基づくモデルは、以下の事前分布μ_Ｎと尤度関数ｆ_Ｎにより定義される。

＜事前分布＞

頂点数がＮであり、かつ直径がＤ以下のグラフ全体の集合をｇとする。事前分布μ_Ｎとしては、任意のＧ∈ｇに対して確率μ_Ｎ（Ｇ）＞０が計算でき、かつΣ_G∈gμ_Ｎ（Ｇ）＝１を満たすものであれば任意に設定できる。

＜尤度関数＞

尤度関数ｆ_Ｎは、真の構造として推定されたグラフＧ∈ｇと観測されたグラフデータＧ^Ｘから定義される。本実施形態では、Ｇの隣接行列Ａ＝｛Ａ_ｉｊ｝、Ｇ^Ｘの隣接行列Ａ^Ｘ＝｛Ａ^Ｘ _ｉｊ｝ を用いて、以下のように二項分布を用いて尤度関数を定義する。

・・・（２）

ただしｐ_ｉ，ｊをＡ_ｉｊ≠Ａ^Ｘ _ｉｊであればｐ_ｉ，ｊ＝β、そうでなければｐ_ｉ，ｊ＝１−βの値をとる変数とする。

＜定数直径制約に基づくモデルの実現例＞

上記で述べた事前分布μ_Ｎと尤度関数ｆ_Ｎから、定数直径制約に基づくモデルを構成する１つの実現例として、尤度関数を上記（２）式で定義し、事前分布をＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１に基づいてサンプルグラフの生成を行うものと定義した場合のモデルについて説明する。

Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ１は、頂点数がＮかつ直径がＤ以下の全てのグラフを０より大きい確率で生成する、確率的生成モデルの基本的な乱択アルゴリズムである。このアルゴリズムは、ステップＳ１０２の行列Ｔ^ｎの初期値の設定において、或る確率分布Ｎに従い１つのグラフＧ∈ｇのサンプルを出力する乱択アルゴリズムに相当すると共に、後述するステップＳ１０４のパラメータの更新において、或るグラフＧ∈ｇを論理和として持つＮ個の完全二部木｛Ｇ^Ｔ _ｎ｝、ｎ＝１、・・・、Ｎが出力される確率を計算するためのアルゴリズムとしても使用される。

ここで、本実施形態における論理和について説明する。本実施形態では、Ｍ個のグラフＧ_１＝（Ｖ_１、Ｅ_１）、・・・、Ｇ_Ｍ＝（Ｖ_Ｍ、Ｅ_Ｍ）について、Ｇ_１、・・・、Ｇ_Ｍの論理和Ｇ^∪＝（Ｖ^∪、Ｅ^∪）≡Ｇ_１∪・・・∪Ｇ_Ｍを、Ｖ^∪＝Ｖ_１∪、・・・、∪Ｖ_Ｍ、Ｅ^∪＝Ｅ_１∪、・・・、∪Ｅ_Ｍを満たすグラフとして定義する。

図５にはＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１の概略を示し、図６にＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１のフローチャートを示した。

図６に示すように、ループ１は、ｎ_rootを１ずつインクリメントし、１≦ｎ_root≦Ｎを満たす場合にステップＳ２００〜Ｓ２１４の処理を繰り返し実行する。

ループ２は、ｄを１ずつインクリメントし、０≦ｄ≦Ｄ−１を満たす場合にステップＳ２０２〜Ｓ２１２の処理を繰り返し実行する。

ループ３は、ｋを１ずつインクリメントし、１≦ｋ≦Ｋ^ｄを満たす場合にステップＳ２０２〜Ｓ２１０の処理を繰り返し実行する。

図６に示すように、ステップＳ２００では、各パラメータに初期値を設定する。ここでは、頂点ｖ_ｎrootを根として持つ完全二分木Ｇ^Ｔ _nrootを考える。初期値としてＧ^Ｔ _ｎrootをＮ個の頂点の独立集合とする。また、Ｋ^０を１、Ｖ^ｔ０ _leaveを｛Ｖ＼ｖ_ｎ｝、Ｖ^ｔ０ _remainを｛ｖ_ｎ｝とする。

ステップＳ２０２では、深さｄのテーブルｔ_ｋにおいて、或る基準Ｚ_widthに基づき、

に含まれる各頂点についてテーブル分割を行う。

ステップＳ２０４では、深さｄのテーブルｔ_ｋにおいて、或る基準Ｚ_depthに基づき、テーブルｔ_ｋの各子テーブルｔ_ｌに含まれる各頂点ｖ_ｎが、子テーブルｔ_ｌに留まる

か留まらない

かを決定する。

ステップＳ２０６では、Ｇ^Ｂを頂点集合

と

の間の完全二部グラフとする。また、

として、

を更新する。

ステップＳ２０８では、

が０であるか否かを判定し、肯定判定の場合はステップＳ２１０へ移行し、否定判定の場合はステップＳ２１２へ移行する。

ステップＳ２１０では、

とする。すなわち、空テーブルを無視する。

ステップＳ２１２では、Ｋ^ｄを、深さｄに存在する全テーブルについての子テーブル数の和として更新する。

ステップＳ２１４では、

として、グラフＧを更新する。

ステップＳ２１６では、更新されたグラフＧを出力する。このグラフＧは、頂点数がＮで且つ直径がＤ以下のグラフとなっている。

すなわち、図５、６に示されるように、Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ１は、初期状態として根となる頂点を除く全ての頂点が深さｄ＝０の１つのテーブルに存在する状態から開始する。深さｄにおいて、各頂点は、まず予め定められた基準Ｚ_widthに基づいて１つのテーブルに割り当てられる。

次に、予め定めた基準Ｚ_depthに基づき、各テーブルに割り当てられた頂点が現在の（深さｄの）テーブルに留まるか否かを決定する。

現在のテーブルに留まらない場合は、頂点は現在のテーブルの子テーブル（深さｄ＋１）へと再び分割される。

このようなテーブルの分割と、現在のテーブルに留まるか否かの判定を、或る深さのテーブルに各頂点が留まることが決定するまで繰り返す。ただし、この繰り返し処理は、深さｄ＝Ｄ−１で打ち切る。このような分割結果から、各頂点を根とした深さがＤ以下の完全二部木がそれぞれ１つずつ生成される。具体的には、親子関係にある全てのテーブルの組｛ｔ_parent、ｔ_child｝の間に完全二部グラフを生成する。

図７には、頂点ｖ_ｊ（ｊ＝１、・・・、Ｎ）に対するテーブル分割の決定の一例を示した。

図７の状態２０に示す例は、頂点ｖ_ｉを根として持つ完全二部木において、頂点ｖ_ｊが、（１）深さ１においてはテーブルｔ_２を選択して離れ、（２）深さ２においてはテーブルｔ_５を選択して離れ、（３）深さ３においては（新たに生成した）テーブルｔ_８を選択し、そこに留まる、という一連の動きをすることが決定され、その結果、頂点ｖ_ｊの割り当てられるテーブルが決定された様子を表している。なお、図７において、「○」は、そのテーブルを選択し、かつ、そのテーブルに留まった頂点を示す。例えば、状態２０において、テーブルｔ_１については、選択した頂点が２個あることを示しており、テーブルｔ_２については、選択した頂点が無いことを示している。

ここで、図８に示すように、頂点が１つも含まれないテーブルｔ_０が存在した場合（状態３０）、空テーブルであるテーブルｔ_０を無視し、テーブルｔ_０の子孫にあたるテーブルｔ_０１を繰り上げ（状態３２）、テーブルｔ_０の親テーブルとの間に完全二部グラフを生成する（状態３４）。

次に、Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ１の処理によって生成されたＮ個の完全二部木の論理和を取ることにより、目的のグラフを生成し、出力する。

以下に、基準Ｚ_width、Ｚ_depthの組｛Ｚ_width、Ｚ_depth｝として用いることができる１つの例を説明する。

基準｛Ｚ_width、Ｚ_depth｝としては、以下に示す組み合わせ以外にも、全体のテーブル分割アルゴリズムが射影性を満たしているものであれば何でもよい（Ｋｏｌｍｏｇｏｒｏｖの定理）。

以下では、基準｛Ｚ_width、Ｚ_depth｝を定義するための指標として、下記参考文献２に記載された既存技術であるＤＩＬＮ（ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｉｎｆｉｎｉｔｅ ｌｏｇｉｓｔｉｃ ｎｏｒｍａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）で提案された共変量と呼ばれるパラメータを用いる方法について説明する。

（参考文献２） Paisley. J, Wang. C, and Blei. D. The discrete infinite logistic normal distribution for mixed-membership modeling. In Proc. of International Conference on Artificial Intelligence and Statistics, 2011.

この方法では、全ての頂点、全てのテーブルに対してそれぞれ共変量をランダムに与え、それらの集合をそれぞれＭ＝｛Ｍ_ｎ｝、Ｍ'＝｛Ｍ’_ｋ｝とする（例えば、Ｍ_ｎ、Ｍ’_Ｋ〜 Ｕｎｉｆｏｒｍ（［１０、２０、・・・、３００］）、ｎ＝１、・・・、Ｎ、ｋ＝１、・・・、Ｋとすればよい）。Ｋは本来無限であり、実装上は十分大きい自然数を与える。また、全てのテーブルの人気度をランダムに与え、その集合をΠ＝｛π_ｋ｝とする（例えば、π_ｋ〜Γ（１、α）とすればよい。

Ｚ_widthとしては、共変量の値に基づく分割手法を用いる。具体的には、各頂点は、深さｄで割り当てられたテーブルの子テーブル｛ｔ_ｌ｝として１つのテーブルを選ぶ。ここで、頂点ｖ_ｎがテーブルｔ_ｋを選ぶ確率は、Ｐ^select _n,k≡Ｌ’（Ｍ_ｎ、Ｍ’_ｋ）π_ｋ／Σ_ｍＬ’（Ｍ_ｎ、Ｍ’_ｍ）π_ｍとする。ただし、Ｌ’（ｘ、ｙ）は任意の距離関数Ｌ（ｘ、ｙ）、例えばＬ（ｘ、ｙ）＝（ｘ−ｙ）^２の値に対して単調減少な任意の関数、例えばＬ’（ｘ、ｙ）＝１／（Ｌ（ｘ、ｙ）＋１））とする。

Ｚ_depthに関しても、共変量の値に基づく基準を用いる。具体的には、頂点ｖ_ｎがテーブルｔ_ｋに留まる確率Ｐ^remain _n,kは、Ｌ（Ｍ_ｎ、Ｍ’_ｋ）に対して単調減少するように与えるものとする。例えば、Ｐ^remain _n,k＝１／（Ｌ（Ｍ_ｎ、Ｍ’_ｋ）＋ １．０１）とすればよい。ｖ_ｎがテーブルｔ_ｋを離れる場合、ｖ_ｎは深さｄ＋１において基準Ｚ_widthに基づき子テーブルへと分割される。

上記の基準に基づいてサンプルグラフを生成する具体的なＡｌｇｏｒｉｔｈｍ２を図９ に示した。以下では、図５に示すＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１で具体的な処理を説明していなかった部分について説明し、図５に示すＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１で既に説明した部分については説明を省略する。

図９に示すように、Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ２では、Ｍ＝｛Ｍ_ｎ｝、Ｍ'＝｛Ｍ’_ｋ｝、Π＝｛π_ｋ｝をランダムな正の実数値として与える。

また、

に含まれる各頂点についてテーブル分割する際に、以下の基準に基づいてテーブル分割する。

頂点ｖ_ｎは、テーブルｔ_ｌを確率

で選択する。

また、テーブルｔ_ｋの各子テーブルｔ_ｌに含まれる各頂点ｖ_ｎが、子テーブルｔ_ｌに留まる

か留まらない

かを決定する際に、以下の基準に基づいて決定する。

基準：Ｌ（Ｍ_ｎ、Ｍ’_ｌ）（Ｌは距離関数）の値から定義される確率Ｐ^remain _n,ｌで留まり、確率（１−Ｐ^remain _n,ｌ）で留まらない。

その他の処理は図５に示すＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１と同様であるので、説明は省略する。
ステップＳ１０２では、初期パラメータ生成部１４が、行列Ｔ^ｎの初期値を設定する際に、Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ２の処理を実行してサンプルグラフを１つ生成し、その際に得られたＮ個のテーブル分割に対応するＴ^ｎを与える。

ステップＳ１０４では、パラメータ更新部１６がパラメータ群を更新する。

まず、パラメータＭ、Ｍ’の更新について説明する。まず、パラメータＭ、Ｍ’の事前分布を予め定めておく。パラメータＭ、Ｍ’の事前分布は任意に定めることができる。例えば、下記（３）式のように設定することができる。

Ｍ_ｎ、Ｍ_ｋ〜Ｕｎｉｆｏｒｍ（［１０、２０、・・・、３００］） ・・・（３）

上記（３）式の設定を用いた場合、Ｇｉｂｂｓ ｓａｍｐｌｉｎｇによりパラメータＭ、Ｍ’を更新することができる。すなわち、パラメータが［１０、２０、・・・、３００］の各値をとる場合における条件付き事後確率を計算し、求めた条件付き事後確率に基づいてその更新値を選択する。

次に、パラメータΠの更新について説明する。既存技術であるｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｇｒａｄｉｅｎｔ Ｌａｎｇｅｖｉｎ ｄｙｎａｍｉｃｓ（ＳＧＬＤ）（下記参考文献３参照）を用いて、マルコフ連鎖モンテカルロ法（ＭＣＭＣ）でパラメータΠの更新を行う。

（参考文献３）

Welling. M and Teh. Y. W. Bayesian learning via stochastic gradient Langevin dynamics. In International Conference on Machine Learning, 2011.

ｎ_Ｓ回目のパラメータ更新において、下記（４）式に従いθ_ｎｓ∈Πの値を更新する。

・・・（４）

ここで、パラメータΠの事前分布を予め定めておく。パラメータΠの事前分布は、任意に定めることができる。例えば、下記（５）式のように設定することができる。

π_ｋ〜Γ（１、α） ・・・（５）

上記（５）式の設定を用いた場合、∇ｌｏｇｐ（θ_ｎｓ）は以下のように計算される。

∇ｌｏｇｐ（θ_ｎＳ）＝−１／α

また、

とおくと、ｌｏｇｐ（Ｔ｜θ_ｎｓ）は以下のように計算できる。

上記（５）式の設定を用いた場合、

とおき、「ｘ＝ｙであれば１を、ｘ≠ｙであれば０を返す関数」をＦ（ｘ、ｙ）とおくと、ｌｏｇｐ（Ｔ｜θ_ｎｓ）は具体的に下記（６）式から計算できる。

・・・（６）

本実施形態では、前述したように、全てのパラメータθ_ｎｓ∈｛Ｍ、Ｍ’、Π｝について１回ずつ更新を行う。１つのパラメータが更新されるごとに、ｎ_Ｓ←ｎ_Ｓ＋１とし、θ_ｎｓを別のパラメータとする。例えばθ_ｎｓ＝Ｍ_１としてθ_ｎｓを更新し、ｎ_Ｓ←ｎ_Ｓ＋１、θ_ｎｓ＝Ｍ_２としてθ_ｎｓを更新し、ｎ_Ｓ←ｎ_Ｓ＋１、・・・、θ_ｎｓ＝π_ｋとしてθ_ｎｓを更新し、ｎ_Ｓ←ｎ_Ｓ＋１とする。

次に、テーブルＴ^ｎを更新する。ランダムに選ばれたある頂点ｖ_ｎを根とする完全二部木Ｇ^Ｔ _ｎに、一意に変換可能なテーブルＴ^ｎの更新を行う。これは、頂点ｖ_ｎ以外の各頂点ｖ_ｉについて一度ずつ、割り当て先テーブルの更新を行うことで実現できる。頂点ｖ_ｉ≠ｖ_ｎの新しい割り当て先テーブルの候補は、例えば以下のように定めることができる。

（１）頂点ｖ_ｉが深さ１にあるとき、下記（１−１）又は（１−２）のテーブルを割り当て先テーブルの候補とする。
（１−１）深さ１にあるテーブル全て（現在のテーブルも含む）。
（１−２）現在のテーブルの子テーブル（既存のテーブル全て及び新しいテーブル）。
（２）頂点ｖ_ｉが深さ２からＤ−１にあるとき、下記（２−１）〜（２−３）の何れかのテーブルを割り当て先テーブルの候補とする。
（２−１）現在のテーブルの親テーブル。
（２−１）現在のテーブルの子テーブル（既存のテーブル全て及び新しいテーブル）。
（２−３）現在のテーブル。
（３）頂点ｖ_ｉが深さＤにあるとき、下記（３−１）又は（３−２）のテーブルを割り当て先テーブルの候補とする。
（３−１）現在のテーブルの親テーブル。
（３−２）現在のテーブル。

上記の候補のテーブルの中から、１つのテーブルを選択する。各候補のテーブルは、その候補のテーブルに頂点ｖ_ｉを割り当てた場合における条件付き事後確率Ｐ_posteriorに基づいて選択されるものとする。ここで、条件付き事後確率Ｐ_posteriorは下記（６）式に従って計算される値である。（６）式において、隣接行列Ａは行列ＴからＡｌｇｏｒｉｇｈｍ２に従い一意に決定される目的のグラフＧの隣接行列であり、尤度関数ｐ（Ａ^Ｘ｜Ａ）は、上記（１）式で定義するものとする。従って、ステップＳ１０４では、パラメータ更新部１６が、上記（１）〜（３）で説明した新しい割り当て先テーブルの各候補について、その候補のテーブルに頂点ｖ_ｉを割り当てた場合に相当する行列Ｔから一意に決定されるグラフＧの隣接行列Ａを生成する。そして、生成した隣接行列ＡとＡｌｇｏｒｉｇｈｍ２に基づくテーブル分割の確率計算方法を用いて、下記（７）式により条件付き事後確率Ｐ_posteriorを算出する。

・・・（７）

そして、前述したルールに従って根ｖ_ｎを除く全ての頂点のテーブルＴ^１〜Ｔ^ｎを更新する。次に、更新した全ての頂点のテーブルＴ^１〜Ｔ^ｎに対応した完全二分木Ｇ_１〜Ｇ_ｎの論理和を、前述した論理和の定義に従って求めてグラフＧを生成し、生成したグラフＧから隣接行列Ａを生成することで隣接行列Ａを更新する。

図２のステップＳ１０６では、終了判定部１８が、パラメータ群の更新を終了するか否かを判定する。すなわち、パラメータの更新回数がｎ_Ｓ＜Ｎ_Ｓか否かを判定し、肯定判定の場合は、ステップＳ１０７でｎ_Ｓ←ｎ_Ｓ＋１とし、ステップＳ１０４へ移行する。一方、否定判定の場合、すなわちｎ_Ｓ＝Ｎ_Ｓの場合は、ステップＳ１０８へ移行する。

ステップＳ１０８では、出力部２０が、ステップＳ１０４の処理で更新された隣接行列Ａ、すなわち、推定された真のグラフ構造の隣接行列Ａを出力し、処理を終了する。

このように、本実施形態では、与えられた上限Ｄ以下の直径を持つ任意のグラフを含むような探索を行うために、Ｎ個の完全二部木の組み合わせとして真のグラフ構造を推定し、各完全二部木の生成過程では、各頂点に対し、射影性を満たすようなテーブル分割アルゴリズムを適用した結果として表現し、事前確率の計算処理を行う。

これにより、直径の上限が定数となるようなふるまいをするグラフデータに対し、直径という観点において正確な真のグラフ構造の推定結果を得ることができる。

なお、本発明は、上述した実施形態に限定されるものではなく、この発明の要旨を逸脱しない範囲内で様々な変形や応用が可能である。

以下では、前述したＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１の基準Ｚ_width、Ｚ_depthの組｛Ｚ_width、Ｚ_depth｝として、上記で説明した共変量に基づく基準以外の例（中華料理店過程に基づく基準）について説明する。この実現例では、既存技術の中華料理店過程（参考文献４参照）を用いる。

（参考文献４）

Aldous. D. J. Exchangeability and related topics. Ecole d'Ete Probabilites Saint-Flour XIII 1983, 1985.

初期パラメータ生成部１４では、ｎ_root＝１、・・・、Ｎについて、正の実数の集合
・・・（８）
として、任意の値を与える。例えば、以下のようにランダムに設定すればよい。

以降、Ｃ_ｎ∈Ｃを頂点ｖ_ｎのカロリーと呼ぶ。

Ｚ_widthとしては、中華料理店過程に基づく分割手法を用いる。具体的には、各頂点は、深さｄで割り当てられたテーブルの子テーブル｛ｔ_ｌ｝として１つのテーブルを選ぶ。ここで、頂点ｖ_ｎが既存のテーブルｔ_ｌを選ぶ確率は、既にｔ_ｌを選択した頂点数に比例するとし、新しいテーブルを選ぶ確率は入力パラメータに比例するとする。ただし、各テーブルが選ばれる確率を全て足し合わせると１になるように正規化する。ここで、選ばれたテーブルｔ_ｋが新しいテーブルである場合、正の実数Ｃ’_ｋとして、任意の値を与える。例えば、以下のようにランダムに設定すればよい。

Ｃ’_ｋ〜Γ（１、１）。

以降、Ｃ’_ｋをテーブルｔ_ｋのカロリーと呼ぶ。

Ｚ_depthとしては、頂点ｖ_ｎのカロリーＣ_ｎと、ｖ_ｎが割り当てられたテーブルｔ_ｋのカロリーＣ’_ｋの大小関係に基づくとする。具体的には、Ｃ_ｎ≦Ｃ’_ｋならば、ｖ_ｎはテーブルｔ_ｋ に留まり、そうでなければテーブルｔ_ｋを離れる。ｖ_ｎがテーブルｔ_ｋを離れる場合、ｖ_ｎ は深さｄ＋１において基準Ｚ_widthに基づき子テーブルへと分割される。

上記の基準に基づいてサンプルグラフを生成する具体的なＡｌｇｏｒｉｔｈｍ３を図１０に示した。以下では、図５に示すＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１で具体的な処理を説明していなかった部分について説明し、図５に示すＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１で既に説明した部分については説明を省略する。

図１０に示すように、Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ３では、ｎ_root＝１、・・・、Ｎについて、上記（８）式のようにランダムな実数値として与える。

また、中華料理店過程に基づき、

に含まれる各頂点についてテーブル分割する際に、頂点ｖ_ｎが新しいテーブルｔ_ｌに割り当てられたとき、Ｃ’_ｌをランダムな実数値として与えること、また、以下の基準に基づいて、テーブルｔ_ｋの各子テーブルｔ_ｌに含まれる各頂点ｖ_ｎが、子テーブルｔ_ｌに留まる

か留まらない

かを決定する。

基準：（Ｃ_ｎ≦Ｃ’_ｌ）∪（ｄ＝Ｄ）が真ならば留まり、偽ならば留まらない。

その他の処理は図５に示すＡｌｇｏｒｉｔｈｍ１と同様であるので、説明は省略する。

なお、本実施形態では、グラフデータが表すネットワークとして、有限の面積を持つ土地の上での無線ネットワークのふるまいを例として説明したが、他のネットワーク（例えば、人間関係のネットワーク等）であっても、上記の無線ネットワークと同様な直径のふるまいをするものと仮定すれば、本発明を適用することができる。

また、上述のグラフ構造推定装置１０は、内部にコンピュータシステムを有しているが、「コンピュータシステム」は、ＷＷＷシステムを利用している場合であれば、ホームページ提供環境（あるいは表示環境）も含むものとする。

また、本願明細書中において、プログラムが予めインストールされている実施形態として説明したが、当該プログラムを、コンピュータ読み取り可能な記録媒体、例えばＣＤ−ＲＯＭやメモリーカード等に格納して提供することも可能である。

１０ グラフ構造推定装置
１２ 入力部
１４ 初期パラメータ生成部
１６ パラメータ更新部１６
１８ 終了判定部１８
２０ 出力部

Claims (7)

1. 観測されるグラフデータの隣接行列及び前記グラフデータで表されるグラフ上の距離の上限を表す自然数を入力する入力部と、
   前記グラフデータの隣接行列及び前記自然数に基づいて、前記グラフの頂点及び前記頂点に割り当てるテーブルに関する第１のパラメータ、前記テーブルの人気度に関する第２のパラメータ、及び、前記グラフデータと前記第１のパラメータと前記第２のパラメータとに基づく確率的生成モデルを用いて生成したサンプルグラフから得られた、前記頂点に割り当てるテーブルの分割を表現した行列を表す第３のパラメータ、を含むパラメータ群の初期値を生成する初期パラメータ生成部と、
   前記グラフデータの隣接行列、前記自然数、及び前記パラメータ群に基づいて、前記グラフデータの隣接行列に対する、前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての完全二部木から得られる隣接行列が尤もらしくなるように、前記確率的生成モデルを用いて生成されたグラフに基づいて前記パラメータ群を更新するパラメータ更新部と、
   前記パラメータ群の更新を終了するか否かを判定する終了判定部と、
   前記終了判定部により前記パラメータ群の更新を終了すると判定された場合に、前記パラメータ更新部により更新された前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての前記完全二部木から得られる隣接行列を出力する出力部と、
   を含むグラフ構造推定装置。
2. 前記パラメータ更新部は、前記確率的生成モデルとして、前記グラフ上の距離の上限が前記自然数以下となるように前記グラフを生成する確率的生成モデルを用いて前記パラメータ群を更新する
   請求項１記載のグラフ構造推定装置。
3. 前記パラメータ更新部は、前記確率的生成モデルを用いて前記グラフを生成する際に、前記第１のパラメータとして前記頂点の共変量及び前記テーブルの共変量を用いた基準を用いて、前記パラメータ群を更新する
   請求項２記載のグラフ構造推定装置。
4. 入力部、初期パラメータ生成部、パラメータ更新部、終了判定部、及び出力部を含むグラフ構造推定装置におけるグラフ構造推定方法であって、
   前記入力部が、観測されるグラフデータの隣接行列及び前記グラフデータで表されるグラフ上の距離の上限を表す自然数を入力するステップと、
   前記初期パラメータ生成部が、前記グラフデータの隣接行列及び前記自然数に基づいて、前記グラフの頂点及び前記頂点に割り当てるテーブルに関する第１のパラメータ、前記テーブルの人気度に関する第２のパラメータ、及び、前記グラフデータと前記第１のパラメータと前記第２のパラメータとに基づく確率的生成モデルを用いて生成したサンプルグラフから得られた、前記頂点に割り当てるテーブルの分割を表現した行列を表す第３のパラメータ、を含むパラメータ群の初期値を生成するステップと、
   前記パラメータ更新部が、前記グラフデータの隣接行列、前記自然数、及び前記パラメータ群に基づいて、前記グラフデータの隣接行列に対する、前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての完全二部木から得られる隣接行列が尤もらしくなるように、前記確率的生成モデルを用いて生成されたグラフに基づいて前記パラメータ群を更新するステップと、
   前記終了判定部が、前記パラメータ群の更新を終了するか否かを判定するステップと、
   前記出力部が、前記終了判定部により前記パラメータ群の更新を終了すると判定された場合に、前記パラメータ更新部により更新された前記第３のパラメータに対応する前記グラフの頂点の各々についての前記完全二部木から得られる隣接行列を出力するステップと、
   を含むグラフ構造推定方法。
5. 前記パラメータ更新部が前記パラメータ群を更新するステップは、前記確率的生成モデルとして、前記グラフ上の距離の上限が前記自然数以下となるように前記グラフを生成する確率的生成モデルを用いて前記パラメータ群を更新する
   請求項４記載のグラフ構造推定方法。
6. 前記パラメータ更新部が前記パラメータ群を更新するステップは、前記確率的生成モデルを用いて前記グラフを生成する際に、前記第１のパラメータとして前記頂点の共変量及び前記テーブルの共変量を用いた基準を用いて、前記パラメータ群を更新する
   請求項５記載のグラフ構造推定方法。
7. コンピュータを、請求項１〜３の何れか１項に記載のグラフ構造推定装置の各部として機能させるためのグラフ構造推定プログラム。