JP6594643B2 - 分光センサによって取得された減衰量測定値を線形化する方法 - Google Patents

Description

本発明は、透過分光撮像の分野と、Ｘ線またはガンマ線による断層撮影（ＣＴ）の分野に関する。

直接変換分光測定法は、基本センサのストリップまたはアレイとして全般に離散化された半導体検出器（例えばＣｄＴｅのもの）を使用し、その基本センサで、入射放射線（Ｘ線またはガンマ線）の光子が電子電荷群（６０ｋｅＶのＸ線光子に対して電子１０００個程度）を作り出す。したがって生成された電荷は、基本センサと関連付けられた電極によって収集され、パルスの形を有する過渡的な電気信号を形成する。このようなパルスの積分は一般に、入射光子によって蓄積されたエネルギーに比例する。上記センサに接続された電子回路により、パルスの振幅を測定することによって、この積分を推定することが可能になる。これによって入射光子によって蓄積されたエネルギーの推定ができる。測定されたエネルギーの値は、デジタル化後ヒストグラムとしてエネルギー・チャンネルまたはエネルギー・ビンに分配される。このヒストグラムにより、被照射物と相互作用した後の放射線スペクトルを構築することが可能になる。このスペクトルは特に、被照射物の密度と性質に関する情報を提供する。

しかしながら、このような分光計によって提供されるスペクトルは、放射線と検出器とのエネルギー分散的な物理相互作用の理由から、実際の入射放射線スペクトルに対して変形している。より正確には、電荷共有現象と誘導共有現象の結果、スペクトルのうち低エネルギー光子は過大評価され、高エネルギー光子は過小評価される。

これらの現象は、被照射物の厚さに応じて測定アーチファクトを引き起こす。実際、放射線が通過する厚さが厚いほど、そのスペクトルは高いエネルギーの方にオフセットする。これは「スペクトル硬化」と呼ばれる。この効果は、分光計で使用されるエネルギー・チャンネルが広いとますます顕著になる。

スペクトル硬化は、放射線が通過する厚さに応じて線形的ではない誤差を含んだ減衰量測定値をもたらす。

同様に、スペクトル硬化は、コンピュータ断層撮影像にアーチファクト、詳細には、不均一な物質においていわゆる「カッピング・アーチファクト」および「ストリーキング・アーチファクト」を引き起こす。これらのアーチファクトは、取得した像の解釈および活用にとって有害である。

本発明の目的は、直接変換分光計で取得された減衰量測定値を、放射線が通過する物質の厚さに応じて線形的に決まるように、補正することである。

本発明の他の目的は、コンピュータ断層撮影におけるカッピング・アーチファクトおよびストリーキング・アーチファクトを低減することである。

本発明は、放射線の線源と、被照射物を通過した後の前記放射線を検出するための検出器とを備えた直接変換分光計によって得られる減衰量測定値を線形化する方法によって定義され、上記直接変換分光計が、減衰量測定値がベクトルM^dで表され、上記ベクトルM^dが、上記検出器の複数N_k個のエネルギー・チャンネルにおける上記放射線の減衰量を与え、上記被照射物を構成する物質の実際の減衰量が、その物質の減衰固有の基底μ_ｎ、ｎ＝１,…Ｎ（Ｎ≧２）に分解され、
上記分光計が応答行列Ψによって特徴付けられ、上記応答行列Ψが、複数N_k個のエネルギー・ビンに対して、エネルギー・ビンｈ＝１,…N_hに放出された光子が１つのエネルギー・チャンネルで検出される確率を与える。

上記方法は、等価線形減衰量ベクトルと呼ばれるベクトルM^linを推定し、上記ベクトルM^linが、エネルギー・チャンネルごとに、上記放射線が通過する物質の厚さに線形的に依存する減衰量を与え、初期化ステップを含み、M^linが、上記減衰量測定値M^dと反復の連続とによって推定され、各反復
が以下式で表される推定値
を提供し、
前記方法は、
（ａ）像基底Ψμ_n、(ｎ＝１,…Ｎ)、つまり前記物質の減衰の固有基底の前記応答行列Ψによる像に、その前の反復で得られたM^linの以下式で表される推定値を射影するステップと、
（ｂ）前記個々のエネルギー・チャンネルにおける対応する以下式で表される減衰量

を得るための前記推定値の成分のエネルギー非線形変形Ｔを、前記分光計の非線形モデルに従って決定するステップと、
（ｃ）前記減衰量測定値の前記等価線形減衰量M^linの以下式で表される新しい推定値

または前記像基底における前記等価線形減衰量M^linの以下式で表される成分

を提供するために、M^dの成分を逆変形するステップと、を含む。

上記反復は、反復の所定数（ｊ_max）に達したときに停止されうる。

あるいは、上記反復は、上記等価線形減衰量の上記推定値の収束基準が満たされたときに停止されうる。

第１の代替形態によると、
前記物質の前記固有基底がベクトルμ_Co，μ_Phの基底であり、
ベクトルμ_Coは、前記個々のエネルギー・ビンにおけるコンプトン効果による前記放射線の線減衰係数を与え、
ベクトルμ_Phは、前記個々のエネルギー・ビンにおける光電効果による前記放射線の減衰係数を与え、
前記個々のビンにおける前記物質の実際の減衰係数のベクトルμⁱは、前記ベクトルμ_Co，μ_Phの線形結合として得られる。

別の代替形態によると、
前記物質の前記固有基底が、基準物質に関連するベクトルμ_ｎ、ｎ＝１,…Ｎの基底であり、この基底の各ベクトルは、基準物質に対する前記個々のエネルギー・ビンにおける実際の減衰係数を与える

反復ｊのステップ（ａ）において、前記像基底Ψμ_n、(ｎ＝１,…Ｎ)における前記推定値の成分を与えることで、大きさＮの以下式で表されるベクトルが決定されると有利である。

前記物質における前記実際の減衰量を以下式から推定することと、

ここで、Ｂ_μは列がベクトルμ_n、(ｎ＝１,…Ｎ)からなる行列であって、
以下式になるように

以下式で表される対角行列を演算することと、
によって前記非線形変換Ｔの決定がされる。

前記反復ｊのステップ（ｃ）で、前記等価線形減衰量の前記新しい推定値が、以下式によって得られると有利である。

本発明の好ましい実施形態によると、記像基底における前記等価線形減衰量M^linの以下式で表される前記成分から前記物質の特徴付けをさらに提供する。

上記特徴付けは特に、上記基準物質における上記物質の組成でありうる。

本発明の他の特徴および利点については、添付の図を参照して本発明の優先的な実施形態を読むと明らかになるであろう。

現況技術で知られている直接変換分光計を使用した実験スキームの図である。 エネルギー・チャンネルの関数としての減衰係数のグラフである。 直接変換分光計によって測定された減衰量のモデルの概略図である。 図３のモデルで使用される非線形変形の曲線例である。 本発明の一実施形態による、直接変換分光計によって得られた減衰量測定値を線形化する方法のフローチャートである。 図３のモデルをもとにした、図５の減衰量測定値を線形化する方法の演算形態の図である。 放射線源のスペクトルの例である。 特定の例における、減衰量測定値を線形化する方法の効果の図である。 第１のエネルギー・チャンネルに対する、物質の厚さの関数としての減衰係数の図である。 第２のエネルギー・チャンネルに対する、物質の厚さの関数としての減衰係数の図である。

本発明による補正処理について理解を深める前にまず、スペクトル硬化現象を、図１に示されている単純な実験スキームの範囲内でモデル化する。

この実験スキームでは、例えばＸ線またはガンマ線源などの放射線源１１０を使用する。上記線源から放出される光子ビームが均一な被照射物１２０を通過する。その光子ビームの減衰量、より正確には線減衰係数を測定することが求められる。線減衰係数は以下、より簡単に減衰係数と呼ぶ。ビームは、被照射物を通過した後、直接変換分光計１５０の検出器に到達する。検出器１５１は、パルス積分デバイス１５２に接続され、パルス積分デバイス１５２は１パルスごとに対応するエネルギー値をもたらす。カウント・モジュール１５３が、こうして得られたエネルギー値をエネルギー・ビン（エネルギー・チャンネル）に分配して、被照射物を通過した放射線のスペクトルを示す。線源の放射線スペクトルがわかっている場合、または予め被照射物が無いときにその放射線スペクトルを測定してある場合（いわゆる全流測定）、計算モジュール１５４により、ビンごとに被照射物による減衰量を評価できる。

ｌがビームに沿った座標を表す場合、放射線が通過する物質の厚さは以下のとおりである。
・・・（１）


ここで、Γはビーム軌道と被照射物１２０との交点である。

被照射物を通過した放射線のエネルギー・スペクトルは、ランベルト・ベールの法則により与えられる。
・・・（２）

ここで、n_o ⁱ(E)は、線源から放出されるエネルギーＥの放射線の量であり、nⁱ(E)は、被照射物を通過したエネルギーＥの放射線の量であり、μⁱ(E)は、エネルギーＥの光子に対する物質の減衰係数である。添え字ｉは、放射線スペクトルが分光計における入射とみなされることを示し、それに対して添え字ｄは、以下で、分光計によって実際に測定されたスペクトルを示すために使用される。

線源スペクトルのベクトル処理を実行できるようにするため、エネルギーの軸が、任意に狭い幅（例えば１ｋｅＶ程度）の、添え字付きの複数のビンｈ＝１,…N_hに離散化されているものとする。このとき式（２）は以下の式によって離散形式で示される。
・・・（３）

μⁱ(h)項は、測定とは関係なく、物質の実際の線減衰係数を表す。

物理量μⁱ(h)Lは、エネルギー・ビンhに対する、厚さLを通過した放射線の減衰量を表し、以下でMⁱ(h,L)と表される。被照射物が均一でない場合、軌道Γは減衰係数の単位区間μⁱ(h,l)に分解でき、このときビンhに対するビームの全減衰量は、単純に以下のとおりになる。
・・・（４）

理想検出器が使用できるとすると、nⁱ(h)を利用でき、そこからビーム経路上の減衰係数を推定できる。
・・・（５）

したがって理想検出器で測定される減衰係数は、経路上の、放射線が通過する厚さに生じる、その厚さによって重み付けされた減衰係数の平均に等しいことが理解されよう。

実際には、分光計は理想的ではなく、所与のエネルギーの光子が、隣接する複数のエネルギー・チャンネルで一定の反応を引き起こし得る。検出器で使用されるエネルギー・チャンネルは、k = 1….,Nk（Nk ≪ Nh）によって添え字付けされ、分光計で測定されるスペクトル密度はn^d(K)、k = 1….,Nkと表される。

エネルギー・ビンｈ＝１,…N_hへの離散化は、理論上のスペクトルをモデル化するために任意に細かくできるが、エネルギー・チャンネルk = 1….,Nkへの離散化は、パルスをカウントするための分光計の制約を受けることが理解されよう。

実際の密度n^d(K)を理論上の密度nⁱ(h)に関係付ける関係式は、多数の物理現象が生じているために複雑である。仮にスタッキングやドリフト、検出器のメモリ効果現象などの非線形現象を無視すれば、実際の密度を、理論上の密度から以下の式として線形的に表すことができる。
・・・（６）

関係式（６）は、以下の行列形式で等価的に表すことができる。
・・・（７）

ここで、以下式は、

は分光計で測定されるスペクトル密度のベクトルであり、以下式は

線源のスペクトル密度のベクトルであり、Φは係数Φ(k,h), k = 1…Nk, n =1…Nhで形成された大きさNk×Nhの行列である。

式（７）は、全流条件下で、線源のスペクトル密度から検出器によって測定されるスペクトル密度を与える。より正確には、行列Φの要素Φ(k,h)は、線源がエネルギー・ビンhに光子を放出するときに、エネルギー・チャンネルkで検出される光子の平均数になる。したがって行列Φは検出器のみに依存し、このためこの行列は検出器の応答行列と呼ばれる。理想検出器の場合、Nk=Nhかつ行列Φは単位行列である。

理想検出器によって測定される放射線の減衰量は、式（４）で与えられることが想起されよう。すなわち、
・・・（８）

一方、放射線の減衰量が実際の検出器を使用して測定される場合、以下のとおりになる。
・・・（９−１）

上式は、さらにまとめると以下のとおりになる。
・・・（９−２）



ここで、係数Ψ(k,h)は以下式で定義されている。

したがって、均一な被照射物の場合、理想検出器を使用して測定される減衰量が、ビームが通過する厚さに線形依存しても(Mⁱ(h,L)=μⁱ(h)L)、そのことは実際の検出器に対しては当てはまらない（以下式）ことが理解されよう。
つまり、測定される減衰係数（以下式）は、ビームが通過する厚さＬに依存する。不均一な物質に対してはなおさら、同じ結論が引き出される。

大きさNk×Nhの行列Ψは、線源と、検出器の応答とに依存し、このため以下で、この行列をシステムの応答行列と呼ぶ。この行列の要素Ψ(k,h)は、全流条件下で（したがって上記線源と検出器の間に被照射物が無いとき）、チャンネルkで検出された光子が実際に線源のチャンネルｈから届いている確率を表す。つまり、係数Ψ(k,h)、k≠hは、放出された光子が元はチャンネルｈにあった場合にチャンネルkにおける検出失敗の確率を表す。さらに、係数Ψ(k,k)は、チャンネルｋにおける光子の検出成功の確率を表す。システムが理想的であるときは、Nk=Nhかつ行列Ψは検出器の応答行列として大きさNk×Nhの単位行列に等しい。

関数‐ln(x)が凸状であるために、以下の関係式が成り立つ。
・・・（１０）

したがって、等価線形減衰量M^lin(k,L)を以下の式によって定義する。
・・・（１１）

均一な物質の場合、等価線形減衰係数も同様に以下の式によって定義できる。
・・・（１２）

したがって、測定減衰量、その測定減衰係数は、以下のとおり等価線形減衰量、その等価線形減衰係数によって上昇する。
・・・（１３）

式（１１）および（１２）は、さらにまとめると行列形式として以下のようにみなされうる。
・・・（１４）
ここで、Ψは要素Ψ(k,h)からなる行列Nk×Nhであり、M^lin = (M^lin(1,L)…M^lin(Nk,L))^T、およびμ^lin = (μ^lin(1)…μ^lin(Nk))^Tである。

重要なのは、放射線が通過する厚さ
がゼロに向かうと、測定減衰量M^d(k,L)が、M^lin(k,L)に漸近的に接近することに注目することである。同様に、均一な物質の場合、放射線が通過する厚さLがゼロに向かうと、測定減衰係数μ^d(k,L)=M^d(k,L)/Lが、μ^lin(k)に漸近的に接近する。

物理的に、等価線形減衰係数は、被照射物の非常に微細で均一な試料の測定減衰係数を表している。逆に、被照射物が均一でないとき、等価線形減衰係数は、ビーム軌道上の線減衰係数の平均を表す。実際に、以下のとおりである。
・・・（１５）

一方、この線形特性は、測定減衰係数μ^d(k,L)=M^d(k,L)/Lでは保持されないことが分かるであろう。

図２は、直接変換分光計を使用して測定された減衰係数の曲線を、エネルギーの関数として表している。これらの曲線は、様々な厚さのポリオキシメチレン試料に関連する。放射線源はタングステンベースのＸ線源であり、半導体検出器は、ピッチ０．８ｍｍ、厚さ３ｍｍを有するラインＣｄＴｅ検出器である。検出器のエネルギー・チャンネルは幅が１ｋｅＶである。

小さな円で示されている曲線は、等価線形減衰係数μ^linに対応する。予測したように、厚さが薄い場合、測定減衰係数の曲線は等価線形減衰係数の曲線とほぼ同じであることが分かるであろう。

本発明の基本的な考え方は、所与の減衰量測定値に対して、物質の減衰モデルを使用して、等価線形減衰量または等価線形減衰係数を推定することである。

図３は、物質の減衰モデルからの、直接変換分光計による減衰量測定値のモデル化を表している。

物質の減衰モデルが３１０に表されている。このモデルによると、物質の実際の減衰係数／（線形）減衰係数が、物質固有の減衰ベクトルの基底に従って分解される。

したがって、実際の減衰係数は、減衰ベクトルの基底μ_n、(ｎ＝１,…Ｎ)に従って以下のように分解される。
・・・（１６−１）


すなわち、さらに、ベクトル形式にすると以下のようになる。
・・・（１６−２）

ここで、μⁱ = (μⁱ(1)…μⁱ(N_h))^Tはエネルギー1…Nhにおける物質の実際の減衰係数のベクトルであり、μ_n = (μ_n(1)…μ_n(N_h))^T、n=1…Nは物質の固有基底ベクトルであり、a_n、n=1…Nはこの基底におけるμの成分である。重要なのは、成分a_nがエネルギーに依存しないことに注目することである。

関係式（１６−１）は詳細には、物質の減衰関数が以下のように単位関数の線形結合に従って表されうる場合、その物質の減衰関数を離散化した結果得られる。
・・・（１７）

ここで、μⁱ(E)は放射線のエネルギーＥの関数としての物質の減衰関数であり、μ_n(E)、n=1…Nは関数の基底を形成する。

ビームが通過する厚さがＬの場合、減衰量も、同じ固有基底を使用して、（１６−１）と同様に以下のように分解されうる。
・・・（１８−１）

さらにベクトル形式にすると以下のようになる。
・・・（１８−２）
ここでc_n(L) = L・a_nである。成分c_n(L)は厚さLのみに依存し、エネルギーhには依存しない。c_n(L)は物理的に、固有基底の個々のベクトルの等価減衰長を表す。

第１の代替形態によると、固有基底ベクトルは、個別の物理機構に関連する。したがって、Ｘ線は基本的に、一方でコンプトン効果のため、もう一方で光電効果のために減衰するということが分かっている。この場合、関係式（１６−２）は以下のとおりに表すことができる。
・・・（１９）

ここで、μ_Coはコンプトン効果による減衰係数ベクトル、μ_Phは光電効果による減衰係数ベクトルである。係数a_Coおよびa_Phはエネルギーに依存しない。一方、ベクトルμ_Coおよびμ_Ph、より一般的には減衰関数μ_Co(E)およびμ_Ph(E)はそれぞれ、個別の依存法則に従ってエネルギーEに依存する。

第２の代替形態によると、固有基底ベクトルは、個々の基準物質に関連している。実際、物質の減衰係数は、１０ｋｅＶ〜２００ｋｅＶの範囲に及ぶエネルギーにおける、２つ既知の物質の２つの減衰係数、またはそれ以上の線形結合とみなされうることが分かっている。

例として、被照射物の物質が単位物質Ｘ、Ｙ、Ｚの混合物である場合、関係式（１６−２）は以下のように与えられる。
・・・（２０）

μ_x，μ_Y，μ_Zはそれぞれ単位物質Ｘ、Ｙ、Ｚの減衰係数のベクトルである。

選択される固有基底μ_n、n=1…Nに関係なく、基底ベクトルを構成する係数μ_n(h)、h=1…N_hは、事前の較正またはシミュレーション段階によって分かっているものとする。

一般に、基底はＮ個のベクトルからなる。詳細には、各ベクトルは、エネルギーの関数として所与の物質の特性を表す。この説明で述べた例では、このベクトルが減衰係数、詳細には線減衰係数になっている。当然ながらこの係数は、質量減衰係数であってもよい。

ブロック３２０は、直接変換分光計の線形化されたモデルを示す。このモデルは、システムの応答行列Ψによって表される。減衰モデル３１０および分光計の線形化モデル３２０を使用して、等価線形減衰係数は、関係式（１２）および（１６−１）によって以下のように表される。
・・・（２１−１）

同様に、等価線減衰係数も関係式（１２）および（１８−１）を使用して以下のように表される。
・・・（２１−２）

式（２１−１）および（２１−２）は、行列形式で以下のようにより簡単に表すことができる。
・・・（２２−１）

および
・・・（２２−２）

ここで、Ψはシステムの応答行列であり、Ｂ_nは列が固有基底ベクトルμⁿ、n=1…Nである大きさＮh×Ｎの行列であり、a＝(a₁…a_N)^T及びc＝(La₁…La_N)^Tである。

式（２２−１）および（２２−２）の意味は、等価線形減衰係数／等価線形減衰量を、別の基底で分解できるということである。この基底は、システムの線形化された応答（行列Ψで表される）による、固有基底の像である。つまり、この像基底は、固有基底における実際の減衰係数／減衰量と同じ成分を有する大きさＮk×Ｎの行列Ａ_μ=ΨＢ_μの列ベクトルからなる。

式（２２−１）および（２２−２）は、μ^lin成分がLに依存せず、M^linの成分がLに比例するので、減衰量測定値の線形モデルを提供する。

ブロック３３０は、実際の分光計による減衰量測定値のモデルを表す。所与の、基底Ｂ_μにおける実際の減衰係数μⁱの分解能と、分光計の減衰量測定値M^dが関連付けられる。より正確には、この基底Ｂ_μにおけるμⁱの分解能a＝(a₁…a_N)^Tと、減衰量測定値は以下のように関連付けられる。
・・・（２３）

ここで、式e^Xおよびln(X)（Xはベクトル）はそれぞれXと同じ大きさのベクトルを表し、それらの要素はそれぞれe^X(m)およびln(X(m))である。X(m)はXの要素である。

ベクトルM_c = B_μC、M_c＝(M_c(1)…M_c(N_h))^Tは、検出器が理想的であった場合に得られるはずの測定値を表し、行列Ψは、N_k=N_hでは単位行列に等しい。

３２０と３３０の間の変換Tにより、線形モデルから実際の分光計の非線形モデルに直接切り替えることが可能になる。この変換は実際には、固有基底の像における等価線形減衰量ベクトルM^linの成分に作用する分散関数である。より正確には、以下式で表されるベクトルと、
以下式で表されるベクトルが関連付けられる。

ここで、以下式は大きさNk×Nkの対角行列であり、

その要素は以下式によって与えられる。
・・・（２４）

変換Ｔは、ベクトルΨμ_nの全てのエネルギー成分に同様に適用されるスカラーc_nを、大きさN_kの行列T(c_n)= c_nW^dに一致させることが理解されよう。行列T(c_n)= c_nW^dの対角係数は互いに異なっていてもよい。したがって、変換Tはエネルギー分散機構になる。変換Ｔは、各係数c_nが適用されるエネルギー成分の関数として、各係数c_nの変形とみなしてもよく、あるいは等価的にベクトルΨμ_n、n=1…Nの変形とみなしてもよい。行列W^dは、これらのベクトルのエネルギー成分に別々に重み付けする。放射線が通過する厚さLが
薄い場合、その値はc_nμ_n(h)≪１であるようなものとなり、行列W^dは単位行列に接近することが分かるであろう。関数-ln(x)が凸状であることから、要素W^d(k,L)は厳密に値０と１の間にある。

図４は、放射線が通過する厚さLの関数としての係数c_nの分散を表している。より正確には、この図は、放射線が通過する厚さLの関数として、像基底におけるベクトルM^linのNk成分のそれぞれの以下式で表される変形関数を表す。

Ｌ値が小さい場合、重み付け係数W^d(k,L)は１に近く、その結果、上記成分は変形しないことがはっきり分かる。一方、厚さの値がより大きい場合、詳細には低エネルギーの場合、変形が大きくなる。

図５は、本発明の一実施形態による、直接変換分光計によって得られた減衰量測定値を線形化する方法を表している。

この線形化方法では、上記分光計により、少なくとも１回の減衰量測定が複数のエネルギー・ビンk=1…Nkにおいて行われたと仮定する。この測定値は、ベクトルM^d = (M^d(1)…M^d(N_k))^Tによって表される。ここで、M^d(k)は、被照射物が有る場合と無い場合とのチャンネルｋで検出された光子数の比の自然対数として得られる。

事前の較正またはシミュレーションによって、システムの応答行列Ψも分かっているものとする。大きさNk×Nhのこの行列は、全流条件下で、光子がエネルギー・ビンhで放出されたときに分光計のチャンネルkで検出される確率を与えることが想起されよう。

最後に、物質の減衰に固有のベクトルの基底B_μ、つまり、上述のように物質の実際の減衰係数が分解されうる複数Ｎ個のベクトルは、分かっているものとする。

ステップ５１０で、等価線形減衰量ベクトルM^linの推定値が測定減衰量ベクトルM^dによって初期化される。つまり以下式の関係となる。

実際、最初の近似で、測定減衰量ベクトルが等価線形減衰量ベクトルの推定値であるとみなされうる。反復カウンタｊは１に初期化される。

次に、減衰量測定値を線形化する方法が連続反復で動作し、それによってM^lin推定値の精度が徐々に高まる。M^lin推定値は、反復ｊのときに以下式で表される。

ステップ５２０で、前の反復で得られたM^lin推定値すなわち以下式が、

基底A_μ=ΨB_μすなわちシステムの応答Ψによる固有基底B_μの像に、射影される。つまり以下式の係数

n = 1…Nが以下のように決定される。
・・・（２５）

ここで、以下式である。
もし一般にＮ≪Ｎｋが存在するなら、Ｎ個の未知数を有するＮｋの式（２５）の系は過剰決定系になり、最小二乗基準に従って分解される。以下式のベクトルは

例えば以下によって決定される。
・・・（２６）

ここで、以下式は行列A_μの疑似逆行列である。

ステップ５３０では、像基底Ψμ_nにおける以下式の成分に
適用される非線形変形が、分光計によって測定された減衰量を得るために、以下のように計算される。
・・・（２７）

ここで、以下式である。

つまり、以下式の各成分

は、分散されたエネルギーであり、以下式のように個々のエネルギーごとに複数の係数をもたらす。

ステップ５４０で、等価線形減衰量ベクトルが、以下のように減衰量ベクトルＭ^ｄから推定される。
・・・（２８）


つまり以下式である。

ステップ５５０で、停止基準が満たされているかチェックする。

第１の代替形態では、停止基準は反復ｊ_maxの所定最大数である。

第２の代替形態では、停止基準は収束条件である。例えば、以下になると反復を停止するように停止基準が決定されうる。
・・・（２９）

ここで、ε_Thは所定の閾値であり、|| ||はユークリッド・ベクトル・ノルムを示す。

停止基準が満たされた場合、上記線形化方法はステップ５６０に進む。そうでない場合、反復の添え字ｊが５５５で増分され、新しい反復のためにステップ５２０に戻る。

ステップ５６０で、以下式の等価線形減衰量の推定値が、分光計の個々のエネルギー・チャンネルに提供される。

上記線形化方法は別法として、固有基底ΨＢ_μの像における等価線形減衰量の成分の以下式のベクトルを提供できる。

これらの成分を用いると、被照射物の物質を特徴付けることが可能になり、該当する場合、固有基底ベクトルが基準物質に関連していると、その組成を決定することが可能になる。

図６は、図３のモデルをもとに、減衰量測定値を線形化する方法の実行を図式で表している。

固有基底Ｂ_μを使用した物質の減衰モデル３１０と、このシステムの応答による固有基底の像ΨＢ_μを使用した減衰量測定値の線形モデル３２０と、したがって、分光計と関連付けられた減衰量測定値の非線形モデル３３０が存在する。

初期化演算６１０は、減衰量測定値Ｍ^ｄによる等価線形減衰量の近似からなる。この最初の推定は、変形行列Ｗ₀ ^dは単位行列と等しいと仮定することに相当する。

最初の演算６２０は、等価線形減衰量の以下式の推定値を、

線形モデルの基底ΨＢ_μに射影することである。これにより、この基底においてＭ^ｄ成分を得ることが可能になる。Ｍ^ｄ成分は以下式によって表される。

この射影から、物質の減衰量の推定値を６３１で取得できる。この推定値は固有基底で表され、つまり以下式である。

演算６３２で、物質の減衰量が以下式と等しいと仮定して、

分光計による減衰量測定値を得る。この減衰量測定値は式（２３）を利用して計算され、つまり以下のとおりになる。
・・・（３０）

ここで、以下式は、

以下成分から再構築された減衰量測定値である。

再構築された以下式の測定値と、

その前の反復で得られた以下式の等価線形減衰量の推定値とから、

線形モデルから非線形モデルへの切り替えを可能にする変換Ｔ、つまり、以下式

になるような対角行列Ｗ_j ^dが６３３で決定される。

演算６３１〜６３３は、上述したように、図５のステップ５３０の間に実行される。

次に６４０で、行列Ｗ_j ^d（変換Ｔ^-1）を使用して、式（２８）つまり以下式を利用することで、新しい等価線形減衰量の推定値を得る。

演算６２０〜６４０が、推定値が収束するまで、または所定の最大反復数に達するまで繰り返される。

分光計によって得られた減衰量測定値の線形化の補正効果について、以下に一例を用いて説明する。

ここで、分光計の線源は、タングステン陰極を使用したＸ放射線源である。線源スペクトルが図７に示されている。

分光計検出器は、ピッチ０．８ｍｍ、厚さ３ｍｍの、−１ｋＶにバイアスをかけた、１６画素に画素化したＣｄＴｅセンサ（基本センサ）である。

被分析物は、ポリメチルメタクリレート（ＰＭＭＡまたはプレキシグラス（商標））製である。

使用する固有基底は、２つの基準物質、すなわちポリエチレン（ＰＥ）およびポリオキシメチレン（ＰＯＭ／デルリン（商標））に関連した基底である。

図８に、いわゆる「フルスペクトル」測定の範囲内で、すなわちエネルギー・チャンネルの数がビンの数と等しいＮ_k=N_h場合に（ここではチャンネル２５６個、幅１ｋｅＶ）、線形化方法によってもたらされる補正効果が示されている。減衰量測定値（Ｍ^ｄ）の取得が、厚さがＬ＝２５ｃｍのＰＯＭ製の被照射物を用いて行われる。

図８では、生の測定値（破線の曲線８１０）が、実際の等価線形減衰係数（実線の曲線８２０）に対して歪みを引き起こしていることが分かる。この歪みは、低エネルギーに対してより明白になっている。本発明による線形化方法を利用して得られた補正（破線の曲線８３０）が、理論上の測定値（理想分光計）をほぼ完全に復元していることが分かるであろう。

図９および１０に、本発明による方法によって線形化した後の、放射線が通過する物質の厚さの関数としての減衰係数測定値の、独立性が示されている（以下式参照）。

分光計のエネルギー・チャンネル数は２である（Ｎｋ＝２）。

図９、１０はそれぞれ、第１のエネルギー・チャンネル（２０−４９ｋｅＶ）、第２のエネルギー・チャンネルに関連する。

補正前の減衰係数の曲線が９１０および１０１０、１回の反復後の減衰係数の曲線が９２０および１０２０、２０回の反復後の減衰係数の曲線が９３０、１０４０で、それぞれ示されている。

理論上の測定値（理想分光計）も、破線９５０および１０５０の曲線で示されている。

２０回の反復後、等価線形減衰係数はすでに一定となり、理論値と同じであることが分かるであろう。

１１０：放射線源
１２０：被照射物
１５０：直接変換分光計
１５１：検出器
１５２：パルス積分デバイス
１５３：カウント・モジュール
１５４：計算モジュール

Claims (10)

1. 放射線の線源と、検出器とを備えた直接変換分光計を用いて、被照射物を通過する放射線の等価線形減衰量を測定する方法において、前記方法は、前記被照射物を通過した後の前記放射線を前記検出器によって検出するステップを含み、
   前記検出は、前記検出器の複数N_k個のエネルギー・チャンネルにおいて実行され、
   前記被照射物を構成する物質の実際の減衰量は、その物質の減衰固有の基底μ_ｎ、ｎ＝１,…Ｎ（Ｎ≧２）に従って分解され、
   前記直接変換分光計は、前記検出器の複数Ｎ_ｋ個のエネルギー・チャンネルに対して、エネルギー・ビンｈ＝１,…N_hに放出された光子が１つのエネルギー・チャンネルで検出される確率を与える応答行列Ψによって特徴付けられ、
   前記方法は、
   等価線形減衰量ベクトルと呼ばれるベクトルM^linを推定し、前記ベクトルM^linが、エネルギー・チャンネルごとに、前記放射線が通過する物質の厚さに線形的に依存する減衰量を与え、
   前記方法は、初期化ステップ（５１０、６１０）を含み、ここで、M^linは前記複数のエネルギー・チャンネルにおける前記放射線の減衰量を与えるベクトルM^dと反復の連続とによって推定され、各反復ｊが以下で表される推定値を提供し、
   前記方法は、
   （ａ）像基底Ψμ_n、(ｎ＝１,…Ｎ)、つまり前記物質の減衰の固有基底の前記応答行列Ψによる像に、その前の反復で得られたM^linの以下で表される推定値を射影するステップ（５２０、６２０）と、
   （ｂ）前記個々のエネルギー・チャンネルにおける対応する以下で表される減衰量
   を得るための前記推定値の成分のエネルギー非線形変形Ｔを、前記分光計の非線形モデルに従って決定するステップ（５３０、６３１〜６３３）と、
   （ｃ）前記減衰量測定値の前記等価線形減衰量M^linの以下で表される新しい推定値
   または前記像基底における前記等価線形減衰量M^linの以下で表される成分
   を提供するために、M^dの成分を逆変形するステップ（５４０、６４０）と、
   を含み、
   前記像基底における前記等価線形減衰量ベクトルM ^lin 又はその成分は、等価線形減衰測定値として提供されることを特徴とする方法。
2. 前記反復が、反復の所定数（ｊ_max）に達したときに停止される（５５０）ことを特徴とする、請求項１に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
3. 前記反復が、前記等価線形減衰量の前記推定値の収束基準が満たされたときに停止される（５５０）ことを特徴とする、請求項１に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
4. 前記物質の前記固有基底がベクトルμ_Co，μ_Phの基底であり、
   ベクトルμ_Coは、前記個々のエネルギー・ビンにおけるコンプトン効果による前記放射線の線減衰係数を与え、
   ベクトルμ_Phは、前記個々のエネルギー・ビンにおける光電効果による前記放射線の減衰係数を与え、
   前記個々のビンにおける前記物質の実際の減衰係数のベクトルμⁱは、前記ベクトルμ_Co，μ_Phの線形結合として得られることを特徴とする、請求項１から３のいずれか一項に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
5. 前記物質の前記固有基底が、基準物質に関連するベクトルμ_ｎ、ｎ＝１,…Ｎの基底であり、この基底の各ベクトルは、基準物質に対する前記個々のエネルギー・ビンにおける実際の減衰係数を与えることを特徴とする、請求項１〜３のいずれか一項に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
6. 反復ｊのステップ（ａ）において、前記像基底Ψμ_n、(ｎ＝１,…Ｎ)における前記推定値の成分を与えることで、大きさＮの以下で表されるベクトルが決定されることを特徴とする、請求項１から請求項５のいずれか一項に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
   
7. 前記物質における前記実際の減衰量を以下式から推定すること（６３１）と、
   ここで、Ｂ_μは列がベクトルμ_n、(ｎ＝１,…Ｎ)からなる行列であって、
   以下式になるように
   
   以下で表される対角行列を演算する（６３３）ことと、
   によって前記非線形変換Ｔの決定がされることを特徴とする、請求項６に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
8. 前記反復ｊのステップ（ｃ）で、前記等価線形減衰量の前記新しい推定値が、以下式によって得られる（５４０、６４０）ことを特徴とする、請求項７に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
   
9. 前記像基底における前記等価線形減衰量M^linの以下で表される前記成分から前記物質の特徴付けをさらに提供することを特徴とする、請求項１から請求項８のいずれか一項に記載の等価線形減衰量を測定する方法。
   
10. 前記特徴付けが、前記基準物質における前記物質の組成であることを特徴とする、請求項９に記載の等価線形減衰量を測定する方法。