JP5084845B2 - コンピュータ・システムにおいて集積回路の金属レイヤの信頼性を評価する方法、コンピュータ・システム、及びプログラム - Google Patents

Description

本発明は、概して回路設計および評価ソフトウエアに関し、さらに具体的には、回路モーメントを使って、集積回路中の金属レイヤの信頼性評価を提供する方法およびコンピュータ・プログラムに関する。

いろいろな理由によって、通常、設計ごとに集積回路中の金属レイヤ電流ないし「ワイヤ電流」を評価しなければならない。金属レイヤ相互接続路は、ピーク電流レベルおよびオーミック損失によるワット損の両方に対処できるよう適切なサイズにしなければならない。さらに、設計技術の小型化により回路面積が減少して、相互接続路中の電流密度が増大し、エレクトロマイグレーションに起因する問題が著しく増加している。エレクトロマイグレーションは、金属レイヤ中の金属イオンの移動をもたらし、時間経過とともに導線を変形させ回路故障の潜在的原因となる。導線の中に形成されたボイドは、抵抗の増大とオープン状態とをもたらし、特に、断面積の減少が電流密度およびオーム加熱をさらに増大させる。導線から他の導線に向かうマイグレーションは、導線間の短絡とこれによる集積回路の故障とを引き起こす可能性がある。エレクトロマイグレーションの影響解析において、導線を流れる電流のピーク値および平均値の両方は重要なファクタであり、現今の信頼性モデルでは、通常、各導線に対する電流のピーク値、二乗平均平方根値（実効値）、および平均値の計算が必要となる。

ある集積回路の全相互接続における全電流を全部算定することは、ＳＰＩＣＥなどのシミュレーション・プログラムを使い回路をシミュレートすることによって可能であるが、時間がかかり多大な量の計算リソースを必要とする。他の技法では、三角波による各過渡スイッチング事象などのタイミング・モデルから電流を近似したり、または、どの相互接続路（ｉｎｔｅｒｃｏｎｎｅｃｔ）が最も故障しやすいか選択して、相互接続の電流計算対象の組を節減することを試みたり、あるいはその両方を行っている。しかしながら、潜在的エレクトロマイグレーション故障および信頼性（平均故障時間）の解析のためには、通常、全体的シミュレーションが必要となる。タイミング・モデル解析は、一般的に、控え目なモデルが使われたかどうかによってピーク電流値を過小または過大に見積もることがある。相互接続路の評価対象の組を節減すると、線サイズまたは線間隔あるいはその両方に対し高い電流ストレス比を有する導線を見逃す可能性がある。

従って、過大な計算負荷なくして、集積回路の金属レイヤの全相互接続路の信頼性を評価するための方法およびシステムの提供が望まれている。

本発明のさまざまな態様が、添付の請求項に明示されており、以下これらについて説明する。

この好適な実施形態の方法では、相互接続路のモデル中の各セグメント・ノードにおける相互接続電流のラプラス表現式中のｓの累乗の係数を表す電流モーメントが計算され、該モデルは抵抗−コンデンサ（ＲＣ）ツリー・モデルとすることができる。電流モーメントは、ソース・ノードから各セグメント・ノードへの固有パス中のオーバーラップ抵抗に関する式と、相互接続路の一端に印加されたソース飽和ランプ波（saturated ramp）などの特定の電圧波形モデルに対する対ノードの回路モーメントの差とから得られる。回路モーメントは、必要時点で計算するか、あるいは先行の相互接続遅延解析から得ることができる。この回路モーメントを使って金属レイヤ中の過渡電流が計算される。平均電流は、最低次の電流モーメントから計算され、実効およびピーク電流は、対数正規分布形状などの分布関数の電流波形仮定に基づいた電流モーメントに関する閉形式表現から計算される。得られた値を、続いて相互接続路の信頼性解析に使うことができ、次にそれを組合わせて金属レイヤに対する信頼度因子を算定し、または低い信頼度の相互接続路に対する設計変更についての情報を提供し、あるいはその両方を行うことができる。

本発明の新規特質と考えられる特徴が添付の請求項の中に述べられている。しかしながら、本発明自体、並びに、その好適なな使用モード、さらなる目的、および利点は、以下の例示的実施形態の詳細な説明を参照し、添付の図面と併せ読むことによって最良に理解されるであろう。図中の同一参照番号は、同様な構成要素を示す。

本発明の実施形態による方法で使われる回路モデルを例示する回路図を示す。 図２Ａおよび図２Ｂは、本発明の実施形態によるモデリング方法で計算された結果を描いたグラフを示す。 図３Ａおよび図３Ｂは、本発明の実施形態によるモデリング方法で計算された結果を描いたグラフを示す。 本発明の実施形態による方法を描いたフローチャートを示す。 本発明の実施形態による方法を実行するコンピュータ・システムを描いたブロック図を示す。

本発明のこの好適な実施形態は、ピーク、平均、および実効電流値（ｒｍｓ ｃｕｒｒｅｎｔ ｖａｌｕｅ）を含め、集積回路の金属レイヤ内の過渡電流の量をモデリングするための技法を提供する。この結果は、集積回路の金属レイヤの信頼性の算定、具体的には、エレクトロマイグレーションの影響に関する集積回路の信頼性の評価のため使われる。本方法は、本方法を遂行するプログラム命令を実行するコンピュータ・システムの中に具現することができ、また、コンピュータのプログラム記憶装置にロードするためのプログラム命令を包含する、光ディスクなどのコンピュータ・プログラム製品の中に具現することもできる。

図１を参照すると、本発明の実施形態によるコンピュータ実行の方法が遂行される回路モデルが示されている。図示されたネットワークへの入力は、電圧源ｖ_ｉｎ（ｔ）で表されており、相互接続路は、該相互接続路セグメントの両エンドポイントの間の抵抗Ｒ_ｉｋと、対応ノードのノードｉ、ノードｋに置かれた例えばＣ_ｉ、Ｃ_ｋなどの分路コンデンサとの組としてモデル化されている。このモデルは、ＡＣモデルであり、ＤＣ電流の流路はない。例えば相互接続遅延計算などのため、過渡電圧解析に対するモーメント・モデリング法を使って回路タイミングの検証が既に行われている。本発明の方法では、電圧過渡現象解析のため、先にまたは只今計算されたモーメントを再度使うことができ、該回路モーメントを別途計算することもできる。回路モーメント過渡電圧解析において、第ｉノードの電圧は、ｓ−ドメインで次式により計算される。

上式の、Ｖ_ｉ（Ｓ）は、第ｉ回路ノードにおける電圧であり、Ｖ_ｉｎ（Ｓ）は入力電圧である。Ｈ_ｉ（Ｓ）は、第ｉノードにおけるインパルス応答ｈ（ｔ）のラプラス変換であり、該回路モーメント・モデルに従って次式で与えられる。

ｍ_ｐ ^ｉは、ノードｉにおける変換されたインパルス応答Ｈ_ｉ（Ｓ）のｐ次モーメントであり、これはＲＣツリーに対し次式で表すことができる。

上式のＣ_ｋは、図に示されるノードｋにおける分路キャパシタンスであり、Ｒ_ｉｋは、ソース・ノードからノードｉおよびｋへの固有パス中の合計オーバーラップ抵抗である。上記の式は、過渡電圧解析において電圧波形を求めるため使われ、該モーメント値を用いた波形に当てはまる関数を使って遅延時間を算定するモデルの中で使われる。

本発明では、金属レイヤ相互接続路を通る電流の分布を求めるため、電流モーメントが計算される。ノードｉからノードｋへの経路を通り流れる電流Ｉ_ｉｋ（ｓ）は次式で与えられ、

これより、次式が得られる。

これは、次のように回路モーメントの項に展開できる。

この各項は次式で表され、これはノードｉとｋとの間のｐ次回路モーメントの差を表す。

立ち上がり時間Ｔ_ｒで単位電圧の飽和ランプ波（一定ソース電流）入力電圧に対し、ｓ−ドメインにおいて該入力電圧は、次式によって表される。

ノードｉとノードｋ間の過渡電流は次式で表現することができる。

前式において、ｍ_ｐ ^ｉｋは、ノードｉとｋとの間のモデル抵抗Ｒ_ｉｋを通る電流波形のｐ次モーメントである。前記の線形ランプ波形に対し、エレメントＲ_ｉｋを通る最初の３つの電流モーメントは、以下に示すように、より高次のモーメントに関連付けてだけ計算することができる。

前式で表現したように、本明細書に記載する実施形態では、モーメントを導き出すため線形ランプ波入力電圧が使われているが、任意の時間変化を有する回路への入力電圧についても容易に解析することができ、同様なやり方でモーメントの算式を導出することができる。次いで、任意のＲＣツリー中の任意の抵抗エレメントに対し、電流モーメント値を容易に計算することができる。電流モーメント計算の計算コストは、通常、同じ回路に対し先に行われた相互接続遅延解析から各ノードに対する電流モーメントがすでに利用可能になっているので、一般にわずかで済む。

本モデルによって、電流モーメントが計算されたならば、２つのノード間の電流波形の形状が算定でき、電流のピーク値、平均値および実効値を得ることができる。また一方、電流のピーク値、平均値および実効値に対し閉形式解を用い、これらの値を本発明の実施形態による方法で計算することによって計算時間をさらに節減することができる。ラプラス変換の定義から、次式が得られる。

個別の電流モーメントは、上記総和式の、それぞれ対応するｓの累乗に従った項である。例えば、最初の３つの個別電流モーメントは次式で与えられる。

ゼロ次のモーメントは、入力ランプ波信号に起因するノードｉからノードｋへの合計電荷移動であり、従って、平均電流は次式で近似することができる。

この積分限界Ｔ_Ｃは、ノードｉとｋとが、入力ランプ波信号に起因する電流遷移の後、ほぼそれらの定常状態で安定するので、無限大に変えることができる。しかして、０次電流モーメントが得られたならば、平均電流は閉形式解で容易に求めることができる。

但し、電流のピーク値および実効値については、電流波形の形状に関するさらなる情報が必要となる。電流の平均値を使って電流波形を正規化することにより、以下の条件を満たす波形を得ることができ、これらは、確率密度関数（ｐｄｆ）を使って電流波形をモデル化するための十分条件である。

第一の条件は、仮定ＲＣ回路の一次性質（first-order nature）（すなわち、電流のアンダーシュートがない）に対して満たされており、第二の条件は、正規化条件によって満たされる。正規化された電流波形は、ｓ−ドメインにおいて以下のように表すことができる。

対数正規分布関数を使えば、波形の形状が非常に精度よくモデル化されることが判明しており、該分布を使って電流の実行値およびピーク値に対する閉形式解が得られる。２パラメータの対数密度関数は、以下の式で与えられる。

上式のＳは、Ｓ＞０であり形状パラメータとして知られ、Ｍは、Ｍ＞０であり尺度パラメータとして知られる。対数分布の最初の２つのモーメントは以下の式で与えられる。

上記の関係式は、時間ドメインにおける正規化電流ｘ_ｉｋ（ｔ）の対応積分が、モーメントに関し前記で得られた電流Ｘ_ｉｋ（ｓ）に対するｓ−ドメインの表現式からの電流モーメントに関連させて表現できることを示しており、このため、以下のようになる。

上記の式から、電流波形を近似させるための対数分布のパラメータＭおよびＳは以下により計算できる。

前式は、前述の積分式中のＭおよびＳについての式と、電流Ｘ_ｉｋ（ｓ）に対するｓ−ドメイン表現式とを等しいとおき、得られた等式の両辺の自然対数を取ることによって導き出すことができる。前式は、最初の３つの電流モーメントだけを含んでいるが、電流を構成するより高次のモーメントを計算してこのモデルに含めることもできる。

電流モーメントに関する該対数分布の形状パラメータおよび尺度パラメータが判明したならば、電流波形はＩ_ｉｋ（ｔ）は、該対数分布を使って、次式によりモデル化することができる。

二乗平均平方根値は以下のようになる。

この式を使い、前述したように［０：∞］区間の積分によって平均電流を近似計算できる。前式の積分は、閉形式のやり方で解くことができ、二乗平均平方根に対する以下の式が得られる。

最後に、ピーク電流は、（前記のランプ波入力電圧によってモデル化された）スイッチング事象期間における電流の最大値であり、これも、対数分布モデルに関連させて閉形式で計算することができる。対数分布の確率解釈からは、該ピーク値は分布の「モード」をいう。対数関数のモードの解析式を使って、ピーク電流に対し以下の式が得られる。

前式で与えられるピーク、平均、および実効電流の式の組を使って、次に、信号相互接続路のエレクトロマイグレーション・ベースの信頼性解析に必要な平均、二乗平均平方根、およびピーク電流密度を計算することができる。さらに、前記で開示した技法を使い、Ｒ_ｉｋを変化させてライン抵抗を、Ｔ_ｒを変化させてスルー・レートの影響を調べることができる。

次に、図２Ａを参照すると、前述の対数分布近似による波形再構成の結果が示されている。点線は、ほぼ理想的なＳＰＩＣＥモデルの結果を表し、実線は、前述した本発明による方法の対数分布実施形態から得られた解析結果を示す。解析による電流計算結果は、相互接続路の両端のｉ（近位）およびｉ（遠位）と、中間点ｉ（中間）とに対して、ＳＰＩＣＥモデルの電流計算結果とよく適合していることを示している。他のシミュレーションによって、この結果が、相互接続路全体に亘って実際の電流波形に非常によく近似していることが確認されている。図２Ｂは、実効電流値Ｉ_ｒｍｓ、平均電流値Ｉ_ａｖｇおよびピーク電流値Ｉ_ｐｅａｋに対する両解析結果の間の適合を示しており、三角印はＳＰＩＣＥ計算を示し、ばつ印は、前記で説明した電流モーメントに関する解析式から得られた電流値を示す。

図３Ａは、該解析モデルを使ってＴ_ｒの変化の影響を調べた結果を示す。これも同様に、本解析による結果を表すばつ印とともに、入力電圧のスルー・レートの変化に対するＳＰＩＣＥシミュレーションの結果を三角印を使って示す。図３Ｂは、本解析モデルを使って、全相互接続抵抗の変化による影響を調べた結果を示す。これも同様に、本解析による結果を表すばつ印と併せ、入力電圧のスルー・レートの変化に対するＳＰＩＣＥシミュレーションの結果を三角印を使って示す。

次に図４を参照すると、ワークステーション・コンピュータ・システム４０が示されており、該システムでは、例えばＣＤ−ＲＯＭディスクＣＤに格納されたプログラム命令など、本発明によるコンピュータ・プログラム製品中に具現可能なプログラム命令に従って、本発明の実施形態により本発明の方法が実施される。ワークステーション・コンピュータ・システムは、本発明の実施形態による方法を実施する過程で使われるプログラム命令、データ、および計算結果を格納するためのメモリ４４と連結された、プログラム命令を実行するためのプロセッサ４２を含む。ワークステーション・コンピュータ・システム４０は、ワークステーション・コンピュータ４０にプログラム命令をロードするためＣＤなどのディスクを読取るための、ＣＤ−ＲＯＭドライブ４５などの周辺機器をさらに含む。ユーザ入力を受信するため、キーボード４７Ａおよびマウス４７Ｂなどの入力機器がワークステーション・コンピュータ・システム４０に連結される。前記の図２Ａに示された波形などの計算結果、または図２Ｂおよび図３Ａ〜３Ｂに示されたようなグラフィカル／テキスト・データあるいはその両方を、本発明の実施形態によるモデリング方法に則り算定された他の値とともに表示するためのグラフィカル・ディスプレイ４６。示されたワークステーション・コンピュータ４０は、単なる例であり、本発明の方法を実施するために適したコンピュータ・システムおよび装備の一つの種類を例示するものであって、本発明のプログラム実施形態は、遠隔に配置することができ、もしくは、前記の方法による結果を表示または使用あるいはその両方を行うためのローカル・ワークステーションに連結されたアプリケーション・サーバなど、遠隔のシステムで実行するができ、あるいは、その両方を実施できることを理解すべきである。

次に図５を参照すると、本発明の実施形態による方法が図示されている。最初に、ノードｉ、ｋ間の相互接続路セグメントが選定され、回路モーメントｍ_ｐが、（先の解析結果から）読み出されるか、または、ノードｉおよびノードｋに対して計算される（ステップ５０）。次に、例えば前記の飽和ランプ波などの、特定の入力電圧モデルに基いて、これらノードの回路モーメント間の差ｍ_ｐ ^ｉ−ｍ_ｐ ^ｋとオーバーラップ抵抗Ｒ_ｉｋとから、ノードｉとノードｋ間のセグメントに対するｎヶの電流モーメントｍ_ｐ ^ｉｋが計算される（ステップ５１）。次いで、ゼロ次モーメントｍ_０ ^ｉｋから平均電流が計算され（ステップ５２）、対数（又は他の）分布形状で仮定された解析式から、実効およびピーク電流値が計算される（ステップ５３）その計算結果は格納され（ステップ５４）、最後のノードがトラバース（traversed）される（判定５５）まで、次のノードｉ、ｋが選定された（ステップ５６）後ステップ５０〜５４が繰り返される。最後のノードがトラバースされた（判定５５）後、信頼度因子を計算することができ、その結果は、さらなる信頼性計算のために表示されまたは使用され、あるいは両方が行われる（ステップ５７）。

本発明は、その好適な実施形態を参照しながら具体的に示され記載されているが、当業者は、本発明の精神および範囲から逸脱することなく、形態および細部に、前述のようなまたは他の変更を加えることが可能なことを理解するであろう。

本開示の範囲には、本明細書に開示された一切の新規特質または特質の組合せが含まれる。本出願者は、前記特質または特質の組み合わせに対し、本出願期間中または前記から派生したかかる追加出願の期間中に、新規の請求項の組み入れができることを告知する。具体的には、添付の請求項に関し、従属請求項の特質を独立請求項のものと組合わせることができ、それぞれの独立請求項の特質を、これら請求項に列挙された特定の組合せばかりでなく、任意の適切なやり方で組合わせることができる。

疑問の生じないように、本明細書の説明および請求項全体を通して使われている用語「含む（ｃｏｍｐｒｉｓｉｎｇ）は、「だけから成る（ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｎｌｙ ｏｆ）」と解釈しないものとする。

Claims (11)

1. 集積回路の金属レイヤの信頼性を評価する方法であって、
   前記金属レイヤの相互接続経路セグメントを選定するステップと、
   前記選定された相互接続経路セグメントの複数のエンドポイントそれぞれに対応するノードに対する回路モーメントを求めるステップと、
   入力電圧波形を設定するステップと、
   前記求められた複数の回路モーメント間の差と前記入力電圧波形とから電流モーメントを計算するステップと、
   前記計算された電流モーメントの少なくとも一つから前記相互接続経路セグメントに対する電流値を計算するステップと、
   前記計算された電流値をコンピュータ・システムの記憶装置に格納するステップと、
   前記計算された電流値を使って前記金属レイヤの信頼度因子を算定するステップと
   を含む、前記方法。
2. 前記電流モーメントを計算するステップが、前記選定された相互接続経路セグメントのオーバーラップ抵抗から前記電流モーメントをさらに計算するステップを含む、請求項１に記載の方法
3. 前記電流モーメントを計算するステップが、
   前記複数のノードのうちの第二ノードに対応する第二回路モーメントから、前記複数のノードのうちの第一ノードに対応する第一回路モーメントを差引いて、電流モーメント差を求めるステップと、
   所定の電圧波形に対応する展開の複数の項をまとめるステップであって、前記複数の項は、前記求められた電流モーメント差と、前記所定の電圧波形により定まる係数との積である、前記まとめるステップと、
   前記まとめの結果を前記オーバーラップ抵抗で除算するステップと
   を含む、請求項２に記載の方法。
4. 前記電流値を計算するステップが、前記計算された電流モーメントの最低次のモーメントから過渡電流量の平均値を算出するステップをさらに含む、請求項１〜３のいずれか一項に記載の方法。
5. 前記電流値を計算するステップが、対数分布関数に従う特性を有する関数に基いて実効およびピーク電流値を計算するステップを含め、前記電流モーメントの少なくとも一つから前記相互接続経路セグメントに対する電流値を計算するステップである、請求項１〜４のいずれか一項に記載の請求項に記載の方法。
6. 集積回路の金属レイヤの信頼性を評価するためのコンピュータ・プログラムであって、コンピュータ・システムに、請求項１〜５のいずれか一項に記載の方法の各ステップを実行させる前記コンピュータ・プログラム
7. 集積回路の金属レイヤの信頼性を評価するためのプログラムを実行するコンピュータ・システムであって、
   前記プログラムは、
   前記金属レイヤの相互接続経路セグメントを選定する命令と、
   前記選定された相互接続経路セグメントの複数のエンドポイントそれぞれに対応するノードに対する回路モーメントを求める命令と、
   入力電圧波形を設定する命令と、
   前記求められた複数の回路モーメント間の差と前記入力電圧波形とから電流モーメントを計算する命令と、
   前記計算された電流モーメントの少なくとも一つから前記相互接続経路セグメントに対する電流値を計算する前記命令と、
   前記計算された電流値をコンピュータ・システムの記憶装置に格納する命令と、
   前記計算された電流値を使って前記金属レイヤの信頼度因子を算定する命令と
   を含む、前記コンピュータ・システム。
8. 前記電流モーメントを計算する命令が、前記相互接続経路セグメントのオーバーラップ抵抗から前記電流モーメントをさらに計算する命令を含む、請求項７に記載のコンピュータ・システム。
9. 前記電流モーメントを計算する命令が、
   前記複数のノードのうちの第二ノードに対応する第二回路モーメントから、前記複数のノードのうちの第一ノードに対応する第一回路モーメントを差引いて、電流モーメント差を求める命令と、
   所定の電圧波形に対応する展開の複数の項をまとめるステップであって、前記複数の項は、前記求められた電流モーメント差と、前記所定の電圧波形により定まる係数との積である、前記まとめる命令と、
   前記まとめの結果を前記オーバーラップ抵抗で除算する命令と
   を含む、請求項８に記載のコンピュータ・システム。
10. 前記電流値を計算する命令が、前記計算された電流モーメントの最低次のモーメントから過渡電流量の平均値をさらに算出する命令をさらに含む、請求項７〜９のいずれか一項に記載のコンピュータ・システム。
11. 前記電流値を計算する命令が、対数分布関数に従う特性を有する関数に基いて実効およびピーク電流値を計算する命令を含め、前記電流モーメントの少なくとも一つから前記相互接続経路セグメントに対する電流値を計算する命令である、請求項７〜１０のいずれか一項に記載の請求項に記載のコンピュータ・システム。

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