JP4765024B2 - 光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーンおよびプロジェクションディスプレイシステム光学系 - Google Patents

Description

本発明は、光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーンおよびプロジェクションディスプレイシステム光学系に関する。

リアプロジェクションディスプレイシステム光学系を薄型化するためには、例えば図１０に示すように、プロジェクタ２０をスクリーン光軸１０Ａ上に配置するのではなく、スクリーン光軸１０Ａからずれた位置に配置し、スクリーン１０に斜め方向からプロジェクタ光を入射させる必要がある。スクリーン１０に斜めから入射したプロジェクタ光の大部分は、一般的に、観察者が存在するスクリーン正面方向ではなく、プロジェクタ光の直進透過方向に強く拡散するから、前記薄型化を達成するためには、斜め方向からスクリーンに入射するプロジェクタ光の出射方向を正面方向に変換することが非常に重要となる。

このようなプロジェクタ光の方向変換を行うために、従来、例えば図１１に示すように、斜め方向から入射してくるプロジェクタ光２０Ａをプリズム３０に通し、プリズム界面における屈折４０および全反射５０のいずれか一方または両方を利用することにより出射方向を変換する技術が知られている（例えば非特許文献１参照）。
Ｓｈｉｋａｍａ，Ｓ．ｅｔ．ａｌ．，ＳＩＤ’０２Ｄｉｇｅｓｔ，ｐ．１２５０−１２５３

前述のプリズムを用いたスクリーンでは、プリズムが有する複雑な界面においてプロジェクタ光の迷光が発生し画像にゴーストが生じるといった問題、および界面において外光がその入射側（観察者側）に反射（後方反射）されコントラスト比が低下するといった問題を有する。さらに加工精度の問題でプリズムの角が丸くなり、このためプリズムの角の部分でプロジェクタ光が拡散し出射方向変換効率が低下することからプロジェクタ光利用効率が低いといった問題、および斜め入射では主にプリズムの角の部分にプロジェクタ光が当たることから出射方向変換効率が入射角度に依存するため実質的に出射方向変換角度に限界が存在するといった問題を有する。

ここで、出射方向変換効率（または光出射方向変換効率）とは、光出射方向変換フィルムに対してある角度または角度領域から入射した光と、ある角度または角度領域に出射する光の強度の比であり、入射および出射の角度または角度領域は一般的にプロジェクタ光入射角度とスクリーン拡散特性によって決定される。また、出射方向変換角度とは、直進透過方向と光出射方向変換素子からの出射方向の差の絶対値である。

そこで、本発明は、複雑な界面に起因する画像のゴーストやコントラスト比の低下を生じさせることなく、かつ出射方向変換効率が高く、出射方向変換角度に限界を有さない光出射方向変換素子の実現を目標とし、それをスクリーンとして用いた薄型高品位プロジェクションディスプレイの提供を目指した。

本発明者らは、上記課題を解決するために鋭意検討した結果、光導波路の原理を用い、入射光の伝播方向を、面内方向に層状に積層させた湾曲した光導波路内で変化させることで、
１）迷光による画像のゴーストが生じない、
２）後方反射が少ない、
３）光出射方向変換効率が高い、
４）出射方向変換角度に限界を有さない、
５）入射光の偏光が保持される、
という優れた特性を実現する光出射方向変換フィルムの構造に想到した。

すなわち、本発明は以下のとおりである。
（発明項１） 入射光拡散角度領域から入射した光を出射光拡散角度領域に拡散させる拡散フィルムと、斜め方向から入射した光を正面方向に出射させる光出射方向変換フィルムとからなるスクリーンにおいて、前記光出射方向変換フィルムは、隣接相互間で異なる屈折率を有して複数のステップインデックス型光導波路をなす層厚さ一定の複数の層がフィルム面内方向に縞状に並び、フィルム厚さ方向に対し前記一定の層厚さを保って湾曲して延在する構造を有することを特徴とする光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
（発明項２） 入射光拡散角度領域から入射した光を出射光拡散角度領域に拡散させる拡散フィルムと、斜め方向から入射した光を正面方向に出射させる光出射方向変換フィルムとからなるスクリーンにおいて、前記光出射方向変換フィルムは、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する光導波路をなす複数の層がフィルム面内方向に縞状に並び、フィルム厚さ方向に対し湾曲して延在する構造を有することを特徴とする光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
（発明項３） 入射光拡散角度領域から入射した光を出射光拡散角度領域に拡散させる拡散フィルムと、斜め方向から入射した光を正面方向に出射させる光出射方向変換フィルムとからなるスクリーンにおいて、前記光出射方向変換フィルムは、発明項１記載の構造と発明項２記載の構造とがフィルム厚さ方向およびフィルム面内方向のいずれか一方または両方に混在した構造を有することを特徴とする光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
（発明項４） 前記拡散フィルムの入射光拡散角度領域と前記光出射方向変換フィルムの出射角度領域とがマッチングすることを特徴とする発明項１〜３のいずれかに記載の光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
（発明項５） 発明項１〜４のいずれかに記載の光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーンと、該スクリーンへの入射光を発光するプロジェクタとを有し、該プロジェクタのプロジェクタ開口および配置が前記スクリーンの入射角度領域とマッチングされてなるプロジェクションディスプレイシステム光学系。
（発明項６） さらに前記プロジェクタからの発光を反射して前記スクリーンへ入射させる反射鏡を有し、該反射鏡の配置が前記スクリーンの入射角度領域とマッチングされてなる発明項５記載のプロジェクションディスプレイシステム光学系。

本発明によれば、
１）迷光による画像のゴーストが生じない、
２）後方反射が少ない、
３）光出射方向変換効率が高い、
４）出射方向変換角度に限界を有さない、
５）入射光の偏光が保持される、
という優れた特性を実現する光出射方向変換フィルムおよび光出射方向変換拡散フィルムを実現することができ、それをスクリーンとして用い、プロジェクタおよび反射鏡の配置、プロジェクタの開口をスクリーンの開口に合わせることにより高品位薄型プロジェクションディスプレイを提供することが可能となる。

リアプロジェクションディスプレイシステム（略してリアプロ）では、システムを薄型にするために、例えば図１２に示すように、光学エンジン（プロジェクタ）２０をスクリーン１０の下側に配置し、鏡など（ミラーＭ１、Ｍ３、非球面ミラーＭ２）によって光の方向を変え、スクリーン１０の下側からスクリーン法線に対し斜め方向からの結像を用いている。よって、このままでは光のエネルギーの中心方向がスクリーン上側に向いた拡散特性となるため、従来、図１１に示したようにプリズム３０（プリズムシート）を用いて、光強度の中心方向をスクリーンの法線方向に向けるのが一般的である。

しかし、プリズムシートを用いると、薄型リアプロの場合、屈折型と反射型を併用することによる特性のばらつきや、場所により異なるプリズム形状による製造の困難さがある。
これに対し、本発明では、従来のプリズムシートに代えて、図１に示すように、光導波路アレイをなす複数の層１がフィルム面内方向に縞状に並び、フィルム厚さ方向に対し湾曲して延在する構造を有する光出射方向変換フィルム２を用いる。なお、３は入射光拡散角度領域から入射した光を出射光拡散角度領域に拡散させる拡散フィルムであり、この拡散フィルム３と光出射方向変換フィルム２とでスクリーン１０が構成される。

光出射方向変換フィルム２内の光導波路１は、ステップインデックス型の光導波路、または、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型（例えばグラジエントインデックス型）の光導波路である。
図２は、湾曲した光導波路アレイがステップインデックス型である場合の光出射方向変換フィルムの例を示す模式図である。光導波路１をなす屈折率ｎ_１の層（コア）１_Ａと屈折率ｎ_２の層（クラッド）１_Ｂ（ｎ_１＞ｎ_２）がフィルム面内方向に互い違いに積層している。２_Ｘは残部（光導波路１以外のフィルム部分）である。層１_Ａ，１_Ｂの境界は、フィルム面の法線に対して入射側でθ_bend-in、出射側でθ_bend-outの角度だけ傾いている。かかるステップインデックス型の光導波路では、コア１_Ａに入射した光線８が層境界で全反射しつつコア１_Ａ内を光導波路１の曲がりに沿って伝播して、光強度の中心方向をθ_bend-outにより決定される所望の方向（例えばフィルム面の法線方向）として出射するように設計することができる。

なお、本発明において、光学系を記述する角度については、図３に示すように、基準方向（例えば水平方向）の角度を０°とし、基準方向から左回転方向の角度を正（＋）、右回転方向の角度を負（−）とする。
図４は、湾曲した光導波路アレイが層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型である場合の光出射方向変換フィルムの例を示す模式図である。層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する層１_Ｃがフィルム面内方向に積層して光導波路アレイをなしている。２_Ｘは残部（光導波路１以外のフィルム部分）である。層１_Ｃの境界は、フィルム面の法線に対して入射側でθ_bend-in、出射側でθ_bend-outの角度だけ傾いている。かかる層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路では、層１_Ｃに入射した光線８が層境界間を振幅とする波形を描くように屈折しつつ層１_Ｃ内を光導波路１の曲がりに沿って伝播して、光強度の中心方向をθ_bend-outにより決定される所望の方向（例えばフィルム面の法線方向）として出射するように設計することができる。

１枚の光出射方向変換フィルムには、ステップインデックス型、および、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型のうち、いずれか一型の光導波路のみが存在してもよく、また、両型の光導波路がフィルム面内方向、フィルム厚さ方向のいずれか一方または両方に混在してもよい。なお、図５にはステップインデックス型の光導波路アレイと、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路アレイとが、（ａ）フィルム厚さ方向に混在する例、および（ｂ）フィルム面内方向に混在する例を示した。

なお、本発明の開示中の図および解析では全てフィルム中に層を形成しない残部２_Ｘを有する例を示しているが、これは光出射方向変換特性に直接寄与しない部分であり、残部２_Ｘがない構造、または片側だけに存在する構造であっても同様に光出射方向変換特性を発現する。この場合も以下に示す解析と同様に層内部における光の伝播を考え、出射時における残部２_Ｘでの屈折を計算することで同様に扱うことが可能である。また図では残部２_Ｘは層厚み方向断面が三角形状であり、その一辺がフィルムの空気界面であるとしているが、上記と同様の理由によりこれ以外の構造（例えば残部２_Ｘが非常に大きくフィルムの厚み方向の一部において層の存在しない領域が存在する等）であっても同様に扱うことが可能である。

このように構成されたスクリーンでは、光学エンジンからの光を湾曲した光導波路内で反射あるいは屈折させながら、光強度の中心方向をθ_bend-outにより決定される所望の方向（例えばスクリーン法線方向）へ向けることができる。これによれば、従来のプリズムシートのような、屈折型と反射型を併用することによる特性のばらつきや、場所により異なるプリズム形状による製造の困難さはなくなり、
１）迷光による画像のゴーストが生じない、
２）後方反射が少ない、
３）光出射方向変換効率が高い、
４）出射方向変換角度に限界を有さない、
５）入射光の偏光が保持される、
という優れた特性を実現する光出射方向変換フィルムを実現することができる。

もっとも、光出射方向変換フィルムの出射角度領域が、拡散フィルムの入射光拡散角度領域とマッチングしていないと、プロジェクタ光の一部が観察者の存在する方向に拡散されず、プロジェクタ光利用効率が低下することから、これらの角度領域はマッチングしていることが好ましく、少なくとも光出射方向変換フィルムの出射角度領域θ_outの５０％が拡散フィルム入射角度領域θ_d-inに含まれている必要がある。

また、光出射方向変換フィルムと組合わせて用いる拡散フィルムとしては、特に限定しないが、本発明者らが先に特願２００４−２６７１７０号として提案したプロジェクションディスプレイ用スクリーンに用いる拡散フィルムが好ましい。
また、上記光出射方向変換フィルムは、ステップインデックス型の光導波路の層傾き角度のばらつき、および/または、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路の層長さのばらつきを略トップハット型に分布させることにより、略トップハット型の拡散光強度特性をもたせた光出射方向変換拡散フィルムとすることができる。

この光出射方向変換拡散フィルムは、前記特願２００４−２６７１７０号に記載した拡散フィルム内の光導波路を湾曲させた形態のものに相当する。
１枚の光出射方向変換拡散フィルムには、ステップインデックス型、および、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型のうち、いずれか一型の光導波路のみが存在してもよく、また、両型の光導波路がフィルム面内方向、フィルム厚さ方向のいずれか一方または両方に混在してもよい。

また、１枚の光出射方向変換拡散フィルムは、上記両型の光導波路が融合した構造を有するものであってもよい。この構造は、層内の屈折率分布がステップインデックス型の屈折率分布関数と層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布関数とのいずれかであって、層傾き角度と層長さが共に略トップハット型のばらつき分布を有する湾曲層からなる構造である。

この光出射方向変換拡散フィルムは、入射光を光導波路内で曲げながら拡散させる機能をもつから、これを前記光出射方向変換フィルム（拡散機能のない光出射方向変換フィルム）の代わりに用いることにより、別段の拡散フィルムを用いる必要がなくなり、スクリーンをこの光出射方向変換拡散フィルムのみで構成することができる。
本発明のスクリーンにおいて、光出射方向変換フィルムまたは光出射方向変換拡散フィルム内の光導波路をなす各層の厚さは、これが大きすぎると解像度の高い画像を伝播することができないため、一般的なプロジェクションディスプレイ投射画像の画素の大きさから考えて、５００μｍよりも小さいことが望ましい。

また、光出射方向変換フィルムまたは光出射方向変換拡散フィルムのフィルム面は平面に限定されず、曲面であってもよい。曲面の場合はこれを微小な平面の集まりと考えることで同様に扱いうるからである。
本発明のスクリーンを用いてプロジェクションディスプレイシステム光学系を構成する場合、光学エンジンとの開口（＝開口数；Numerical Aperture；略号ＮＡ）のマッチングが重要である。光学エンジンのＮＡは、例えばリアプロジェクションディスプレイの場合について図１に示されるように、光学エンジン２０のレンズの直径、焦点距離、結像倍率、結像位置によって決まるスクリーン後方からの入力光線の角度範囲を２θ_２（≡２×θ_２）とすると、ＮＡ＝sinθ_２で定義される。

なお、実際のプロジェクションディスプレイシステム光学系では、例えば図１２に示されるように、光学エンジンとスクリーンとの間に反射鏡やレンズ等の光学素子が配置されている場合が多いが、その場合にはその光学系を、図１あるいは図６のように１枚のレンズのみを用いた光学的に等価な形態に変換した図において同様に定義される。
図６に示すように、直径ｄ、焦点距離ｆのレンズの後方の距離ａの位置に置いた長さＳ_１の物体（プロジェクションディスプレイにおいては例えば液晶、ＤＭＤ等の画像表示パネル）２１から出た光がレンズを通ってレンズ前方の、１/ａ＋１/ｂ＝１/ｆを満たす距離ｂの位置に結像されたとすると、その像の長さＳ_２は、Ｓ_２/Ｓ_１＝ｂ/ａ、を満たし、かつ、レンズ中心軸から像の下端、上端までの距離をそれぞれｌ_１、ｌ_２、レンズ上端と像下端、レンズ下端と像上端を結ぶ直線がそれぞれレンズ中心軸となす角度をθ_０、θ_１とすると、ＮＡに対応する角度範囲２θ_２は次式で表される。

２θ_２＝θ_１−θ_０ ‥‥(0-1)
tanθ_１＝（ｌ_２＋ｄ/２）/ｂ ‥‥(0-2)
tanθ_０＝（ｌ_１−ｄ/２）/ｂ ‥‥(0-3)
この角度範囲２θ_２の光の全てを、湾曲した光導波路（以下、曲がり導波路という）で曲げることができなければ、スクリーンの光の利用効率が低下するだけでなく、曲がり導波路からもれた光は画像の解像度の低下につながる。よって、スクリーン後方からの入力光線の角度範囲２θ_２と、曲がり導波路のＮＡに対応する角度範囲とのマッチングは、プロジェクションディスプレイシステム光学系の設計上、極めて重要なものとなる。

そこで、曲がり導波路のＮＡの理論的導出について、以下に詳述する。
〔ステップインデックス型の曲がり導波路のＮＡ〕
図７に、ステップインデックス光導波路曲線構造モデルを示す。曲がり導波路をなす屈折率ｎ_１の層（コア）１_Ａと、ｎ_１よりも小さい屈折率ｎ_２の層（クラッド）１_Ｂが互い違いに積層した構造である。コア１_Ａについて、厚さをｙ₁、曲率中心をＯ、内周側境界面の曲率半径をｒ₀とする。モデルでは、入出力のＮＡを理解しやすくするために、光導波路の曲線構造部（Ｃ部）の入口と出口に微小長さΔｚの直線構造部（Ｌ部）を付加した。光導波路の外部は屈折率ｎ_airの空気層である。

光線５、６はＣ部のコア１_Ａを伝播できる光線のモードである。この二つのモードは、Ｃ部のコア１_Ａのクラッド１_Ｂとの外周側境界面（外周境界）で臨界角θ_Ｃ、Ｃ部のコア１_Ａのクラッド１_Ｂとの内周側境界面（内周境界）でθ_Ｃ＋θ_ｒで、全反射して伝播してゆくモードである。光線５はＣ部の入口と出口の外周境界において臨界角θ_Ｃで全反射し、光線６はＣ部の入口と出口の内周境界においてθ_Ｃ＋θ_ｒで全反射して伝播する。

光線５が外周境界の入口と出口でちょうど臨界角で全反射した場合、空気層へ出射する角は、図のθ_in1、θ_out1である。位置が少しずれた場合、出入口ちょうどの位置で全反射が起らないため、−θ_in1、−θ_out1となる。よって、光線５のモードのＮＡは、±θ_in1、±θ_out1で決まる。同様の議論を光線６のモードについて行うと、該モードのＮＡは、±θ_in2、±θ_out2で決まるといえる。

ここで光線５に着目してみる。図では＋θ_in1で入射してくる光線を描いているが、−θ_in1で外周境界入口へ入射してくる光を考えてみる（Δｚは無限小）。外周境界入口へ入射したこの光はＣ部のコア内を伝播できるが、入射位置を外周境界から内周境界へ移動させると、内周境界において臨界角θ_Ｃで全反射してゆくことになり、外周境界に達した時には臨界角θ_Ｃより小さな角で外周境界へ入射し、光はもはや全反射せずクラッドへ屈折してしまう。よって、光線５において出入口の外周境界位置のＮＡは、±θ_in1、±θ_out1で決まるが、内周へ向かうにしたがってＮＡは減少し、内周境界位置では光線６のＮＡを決める角±θ_in2、±θ_out2と一致する。よって、この曲線構造の導波路を安全に伝播できるＮＡは、光線６の角±θ_in2、±θ_out2で決まるといえる。よって、スクリーン設計では、この角で議論する。

次に、図７より、この角±θ_in2、±θ_out2の導出を行う。図４の△ＯＡＢに対し正弦定理を適用して、
ｒ₀/sinθ_Ｃ＝(r₀＋ｙ₁)/sin{π−(θ_Ｃ＋θ_ｒ)} ‥‥(1-1)
θ_Ｃは臨界角であるので、コア、クラッドの屈折率ｎ_１、ｎ_２を用いて、
θ_Ｃ＝sin^-1(ｎ_２/ｎ_１) ‥‥(1-2)
(1-1),(1-2)式より、
θ_Ｃ＋θ_ｒ＝sin^-1{(ｎ_２/ｎ_１)×(１＋ｙ₁/ｒ₀)} ‥‥(1-3)
よって、点Ｂで全反射している光線６の、空気層と光導波路との界面には、次式のスネル則が成立する。

ｎ_air×sinθ_in2＝ｎ₁×sin{π/２−(θ_Ｃ＋θ_ｒ)} ‥‥(1-4)
(1-3),(1-4)式より、θ_in2（＝θ_out2）は次式で与えられる。
θ_in2＝θ_out2＝sin^-1〔(ｎ₁/ｎ_air)×cos{sin^-1((ｎ_２/ｎ_１)×(１＋ｙ₁/ｒ₀))}〕 ‥‥(1-5)
よって、図４に示すステップインデックス光導波路曲線構造モデルを入力位置によらず安全に伝播できる光の光軸に対する入出力角θ_ＮＡstepは、(1-5)式より、次式で与えられる。

−θ_in2(＝−θ_out2)≦θ_ＮＡstep≦＋θ_in2(＝＋θ_out2) ‥‥(1-6)
次に、図７のモデルが、屈折率ｎ_gのフィルムの中に形成された場合のＮＡを求める。出力側はフィルム面に垂直であるため、(1-5)式の±θ_out2が出力のＮＡを決める。入力側は、図２，図４，図５での残部２_Ｘ相当の、屈折率ｎ_gのプリズム（Ｐ部）が付加されることになる。このような状態を図８および図９に示す。図８ではＣ部の出入口の内周境界で全反射している光線６を、図９では全反射していない光線７を示した。また、理解しやすいように、図８のＣ部の出入口に長さΔｚのＬ部を付加した。実際はΔｚ→０と考えてよい。

まず、図８のθ_in4は、光線６について空気層とＰ部との境界面にスネル則を適用し、
ｎ_air×sin(−θ_in4)＝ｎ_g×sin(θ_bend−θ_in3) ‥‥(1-7)
θ_in3は、図７においてｎ_airに代えてｎ_gとした場合のθ_in2に相当するので、(1-5)式のｎ_airをｎ_gに変えることにより、
θ_in3＝sin^-1〔(ｎ₁/ｎ_g)×cos{sin^-1((ｎ_２/ｎ_１)×(１＋ｙ₁/ｒ₀))}〕 ‥‥(1-8)
(1-7),(1-8)式より、
−θ_in4＝sin^-1〔(ｎ_g/ｎ_air)×sin{−sin^-1((ｎ_１/ｎ_g)×cos(sin^-1((ｎ_２/ｎ_１)×(１＋ｙ₁/ｒ₀))))＋θ_bend}〕 ‥‥(1-9)
次に、図９のθ_in5を求める。これは、(1-7)式、(1-9)式のθ_bendの前の符号を変えればよいので、(1-7)式、(1-9)式に対し、次の二式が成立する。

ｎ_air×sin(−θ_in5)＝ｎ_g×sin(θ_bend−θ_in3) ‥‥(1-10)
θ_in5＝sin^-1〔(ｎ_g/ｎ_air)×sin{sin^-1((ｎ_１/ｎ_g)×cos(sin^-1((ｎ_２/ｎ_１)×(１＋ｙ₁/ｒ₀))))＋θ_bend}〕 ‥‥(1-11)
よって、まとめると、ステップインデックス光導波路曲線構造モデルフィルムの入射側のＮＡを決める角θ_ＮＡstepinと出射側のＮＡを決める角θ_{ＮＡstepout}は、次の二式で与えられる。

θ_in4≦θ_ＮＡstepin≦θ_in5 ‥‥(1-12)
−θ_out2≦θ_{ＮＡstepout}≦θ_out2 ‥‥(1-13)
一方、図８、図９より、−θ_in4≧−９０°、θ_in5≦９０°であるから、(1-9),(1-11)式より、入射側の層傾き角度θ_bend（θ_bend-inと記す）の条件は次式で表される。
｜θ_bend-in｜≦−sin^-1〔(ｎ_１/ｎ_g)×cos{sin^-1((ｎ_２/ｎ_１)×(２×Ｒ_in＋ｙ₁)/(２×Ｒ_in−ｙ₁))}〕＋sin^-1(ｎ_air/ｎ_g) ‥‥(1-14)
ここで、Ｒ_inは入射面付近のコア厚さ中心部の曲率半径（＝ｒ₀＋ｙ₁/２）である。

出射側についても一般には０°でない層傾き角度が存在するから、入射側と同様の議論により、出射側の層傾き角度θ_bend（θ_bend-outと記す）の条件は次式で表される。
｜θ_bend-out｜≦−sin^-1〔(ｎ_１/ｎ_g)×cos{sin^-1((ｎ_２/ｎ_１)×(２×Ｒ_out＋ｙ₁)/(２×Ｒ_out−ｙ₁))}〕＋sin^-1(ｎ_air/ｎ_g) ‥‥(1-15)
ここで、Ｒ_outは入射面付近のコア厚さ中心部の曲率半径（＝ｒ₀＋ｙ₁/２）である。

ところで、図７において、｜θ_Ｃ＋θ_ｒ｜＞π/２であると、光線５が内周境界で全反射することができないから、｜θ_Ｃ＋θ_ｒ｜≦π/２、がモデルの前提条件であり、この条件と(1-3)式とから、ｒ₀≦ｎ₂/(ｎ₁−ｎ₂)×ｙ₁、である。よって、曲がり導波路のコア厚さ中心部の曲率半径は、次式で与えられる最小曲率半径Ｒ_minstep以上とする必要がある。

Ｒ_minstep＝ｎ₂/(ｎ₁−ｎ₂)×ｙ₁＋ｙ₁/２＝(ｎ₁＋ｎ₂)/(ｎ₁−ｎ₂)×(ｙ₁/２) ‥‥(1-16)
以上より、ステップインデックス型の曲がり導波路では、入射角度領域（θ_in-min〜θ_in-max）内の一入射角で曲がり導波路に入射した光は、その伝播方向を曲がり導波路内で徐々に変化させ、出射角度領域（θ_out-min〜θ_out-max）内の一出射角で出射する。ここに、θ_in-min，θ_in-max，θ_out-min，θ_out-maxは、次式で与えられる。

θ_in-min＝sin^-1[(n_g/n_air)×sin{−sin^-1((n₁/n_g)×cos(sin^-1((n₂/n₁)×(2×R_in＋y₁)/(2×R_in−y₁))))＋θ_bend-in}] ‥‥(1-17)
θ_in-max＝sin^-1[(n_g/n_air)×sin{sin^-1((n₁/n_g)×cos(sin^-1((n₂/n₁)×(2×R_in＋y₁)/(2×R_in−y₁))))＋θ_bend-in}] ‥‥(1-18)
θ_out-min＝sin^-1[(n_g/n_air)×sin{−sin^-1((n₁/n_g)×cos(sin^-1((n₂/n₁)×(2×R_out＋y₁)/(2×R_out−y₁))))＋θ_bend-out}] ‥‥(1-19)
θ_out-max＝sin^-1[(n_g/n_air)×sin{sin^-1((n₁/n_g)×cos(sin^-1((n₂/n₁)×(2×R_out＋y₁)/(2×R_out−y₁))))＋θ_bend-out}] ‥‥(1-20)
上記図７〜図９のモデルは、全ての光路に対する導波路入口から出口までのそれぞれの層境界を角度に急激な変化がない曲線であるとしている。この場合、入射光は拡散されず出射方向のみが変換される。一方、本発明では、前記層境界を角度が急激に変化する曲線であるとすることもでき、その場合、入射光の反射方向を層内部で変化させ、入射光の進行方向を変換しつつ拡散させることが可能である。なお本発明において特に説明なく「曲率半径を場所によりばらつかせ入射光を拡散させる」とした場合には層傾き角度が急激に変化する曲線である場合を指し、層傾き角度の急激な変化とは少なくとも０．０１deg./μｍ以上の層傾き角度の変化である。
〔グラジエントインデックス型の曲がり導波路のＮＡ〕
本発明者らの理論解析によれば、グラジエントインデックス型の曲がり導波路の曲線を折れ線で近似したとき、その近似による曲率半径の誤差は、曲がり導波路の幅（層厚さ）中心部の屈折率が一般的な光導波路のコア値と近い１．５５のとき、高々１．３％程度と小さい。よって、以下では、折れ線近似モデルを用いてＮＡの導出を行う。

折れ線近似モデルにおける直線部は、図１３に示すような、層厚さ方向の屈折率分布が２次曲線：
ｎ(ｒ)＝ｎ_１×（１−Ａ/２×ｒ^２） ‥‥(2-1)
で表される直線型グラジエントインデックス光導波路４である。ここで、ｒは層厚さ中心からの距離、ｎ_１は中心軸上の屈折率である。Ａは屈折率分布定数であり、ｎ_１、層厚さｙ_１、層厚さ端の屈折率ｎ_２により、
Ａ＝(８/ｙ₁ ²)×(ｎ₁−ｎ₂)/ｎ₁ ‥‥(2-2)
で表される。

図示のように導波路の長さをｚ、入力光線、出力光線の位置をｒ₁、ｒ₂、各位置での導波路内での光線の方向をｒ₁ ^＊＝dr₁/dz＝tanθ_in、ｒ₂ ^＊＝dr₂/dz＝tanθ_outとすると、入力光線、出力光線の位置と方向を表すベクトル〔ｒ₁，ｒ₁ ^＊〕、〔ｒ₂，ｒ₂ ^＊〕の間には次の(2-3)式が成り立つ。

(2-3)式において、２×２の行列項が単位行列の場合、入力光線と出力光線とで〔位置，方向〕ベクトルが同じとなる。このときの長さｚの最小解は導波路のピッチＰとよばれ、行列項の要素がサイン、コサインの関数であることから、
Ｐ＝２×π/√Ａ ‥‥(2-4)
となる。

この直線型グラジエントインデックス光導波路のＮＡを決める角度は、該導波路を伝播できる光線と光軸（ｚ軸）との角度のうち最大の角度で与えられる。この最大の角度は、図１４に示すように、導波路の長さがＰ/４、入力光線、出力光線の〔位置，方向〕ベクトルが〔±ｙ₁/２，０〕、〔０，ｒ₂ ^＊〕である場合における出力光線と光軸との角度θ_NA0（ｙ₁が＋のとき負、−のとき正）に相当する。この角度θ_NA0は、(2-3)式にｒ₂＝０、ｒ₁＝−ｙ₁/２、ｒ₁ ^＊＝０、ｚ＝Ｐ/４＝π/(２×√Ａ)を代入し、ｒ₂ ^＊（＝tanθ_NA0）について解くことで得られ、
θ_NA0＝tan^-1(ｎ₁×√Ａ×ｙ₁/２) ‥‥(2-5)
となる。

図１５に折れ線近似モデルを示す。これは、上述の直線型グラジエントインデックス光導波路が、長さＰ/２の位置で角度θ_NA0/ｎ（ｎは０．５以上の実数）だけ折れ曲がり、さらに光軸方向にＰ/２だけ進んだ位置でまたθ_NA0/ｎだけ折れ曲がる構造が繰り返される折れ線型グラジエントインデックス光導波路によりグラジエントインデックス型の曲がり導波路を近似したものである。図中の光線１５，１６，１７，１８はこの折れ線型光導波路を伝播できる代表的な光線のモードを示している。なお、ｎが０．５未満の場合は、光が導波路外へ出てしまうため、モデルの対象から除外する。

光線１７は１番目の直線型グラジエントインデックス光導波路４_１（以下、光導波路４_１という）の光軸と平行に光軸の位置に入射した光で、この光は光導波路４_１内を直進し、Ｐ/２進んだ位置で−θ_NA0/ｎだけ傾いた２番目の直線型グラジエントインデックス光導波路４_２（以下、光導波路４_２という）へ入射することになる。よって、光導波路４_２への入射角はθ_NA0/ｎとなる。各直線型グラジエントインデックス光導波路の長さはＰ/２であるので、光導波路４_２の出射角は、光導波路４_２の光軸に対して−θ_NA0/ｎとなる。３番目の直線型グラジエントインデックス光導波路４_３（以下、光導波路４_３という）は、２番目に対して−θ_NA0/ｎだけ傾いているため、光導波路４_３への光線７の入射角は０°となり、光線１７は光導波路４_３内を直進することになる。つまり、光線１７は奇数番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内を直進し、偶数番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内では光軸に対する入射角：＋θ_NA0/ｎから出射角：−θ_NA0/ｎまで進行方向を変えて曲がってゆくことになる。一方、光線１６は、光線１７の奇数番目と偶数番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内の状態を入れ替えたモードを示している。

この折れ線型グラジエントインデックス光導波路のＮＡを決める光線は、光線１５と光線１８である。
光線１５は光導波路４_１を伝播できる最大入射角の光線である。よって、光導波路４_１への、導波路内の入射角はθ_NA0である。各直線型グラジエントインデックス光導波路の長さはＰ/２であるので、光線１５の光導波路４_１の出射角は−θ_NA0となる。光導波路４_２は光導波路４_１に対し−θ_NA0/ｎだけ傾いているため、光線１５の、光導波路４_２の光軸に対する入射角は、−(１−１/ｎ)×θ_NA0となる。この入射角の絶対値：｜(１−１/ｎ)×θ_NA0｜はθ_NA0より小さいため、光線１５は光導波路４_２内を伝播できる。光導波路４_２の長さもＰ/２であるので、光導波路４_２の光軸に対する出射角は、(１−１/ｎ)×θ_NA0となる。次番目の光導波路４_３は、光導波路４_２に対して−θ_NA0/ｎだけ傾いているため、光導波路４_３に対する光線１５の入射角はθ_NA0となり、光導波路４_１内の光の伝播状態と同じになる。よって、光線１５は、奇数番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内では入射角：θ_NA0から出射角：−θ_NA0へ方向を変え、偶数番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内では入射角：−(１−１/ｎ)×θ_NA0から出射角：(１−１/ｎ)×θ_NA0へ方向を変え、伝播してゆくモードである。つまり、光線１５で示したモードは、奇数番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内で伝播できる最大の入射角となっているモードである。一方、光線１８は、光線１５の奇数番目と偶数番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内の状態を入れ替えたモードを示している。よって、この折れ線型グラジエントインデックス光導波路のＮＡは、光線１５の入射角および出射角と、光線１８の入射角および出射角の間の角によって決定される。

そこで次に、このＮＡを求める。折れ線モデルを構成している直線型グラジエントインデックス光導波路の数を自然数ｋとすると、ｋ番目の直線型グラジエントインデックス光導波路の光軸は、１番目のそれに対し、次式で表される角θ_bendだけ曲がっていることになる。
θ_bend＝−(ｋ−１)×θ_NA0/ｎ ‥‥(2-6)
ｋ番目の直線型グラジエントインデックス光導波路内の出射側ＮＡを決める角θ_NA0(ｋ)は、図１５より、
θ_bend−θ_NA0≦θ_NA0(ｋ)≦θ_bend＋(１−１/ｎ)×θ_NA0 ‥‥(2-7)
であり、この式に(2-6)式を代入すると次式を得る。

−θ_NA0/ｎ×(ｋ＋ｎ−１)≦θ_NA0(ｋ)≦−θ_NA0/ｎ×(ｋ−ｎ) ‥‥(2-8)
(2-6)、(2-7)、(2-8)式によって表される角の中に自然数ｋがあるため、離散的な角度定義となっているが、図１５の折れ線近似モデルは、実際のフィルム内に存在する曲がり導波路の近似であり、図１５の折れ線近似モデルの曲率中心でモデルをモデル全体を連続的に回転しても、モデルのＮＡは変化せず、ＮＡは曲率半径と、(2-1)式で表される屈折率分布関数ｎ(ｒ)によって決まる。

よって、(2-7)式中のθ_bendは、離散的な値でなく、連続的な値として扱ってよい。θ_bendを連続的な値とした場合の折れ線近似モデルの光導波路内のＮＡを決める角θ_NA1は次式で与えられる。
θ_bend−θ_NA0≦θ_NA1≦θ_bend＋(１−１/ｎ)×θ_NA0 ‥‥(2-9)
図１５のモデルがフィルム中に形成された場合、右側の出射部に図１６に示すように、図２，図４，図５での残部２_Ｘ相当の、屈折率ｎ_g、頂角θ_bendのプリズム（Ｐ部）が付加されることになる。

光線１８について、光導波路４_４出射端とＰ部との界面、およびＰ部と空気層（屈折率：ｎ_air）との界面にスネル則を適用すると、それぞれ次の(2-10)、(2-11)式となる。
ｎ₁×sinθ_NA0＝ｎ_g×sinθ_ng1 ‥‥(2-10)
ｎ_g×sin(θ_bend＋θ_ng1)＝ｎ_air×sinθ_out1 ‥‥(2-11)
(2-10)、(2-11)式より、θ_out1は次式で与えられる。

θ_out1＝sin^-1[n_g/n_air×sin{θ_bend＋sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)}] ‥‥(2-12)
同様の解析を光線１５について行うと、以下の三式が成立する。
ｎ₁×sin{(１−１/ｎ)×θ_NA0}＝ｎ_g×sinθ_ng2 ‥‥(2-13)
ｎ_g×sin(θ_bend−θ_ng2)＝ｎ_air×sinθ_out2 ‥‥(2-14)
(2-13)、(2-14)式より
θ_out2＝sin^-1[n_g/n_air×sin{θ_bend−sin^-1(n₁/n_g×sin((1−1/n)×θ_NA0))}] ‥‥(2-15)
(2-12)、(2-15)式より、出射側のＮＡは、次式のθ_NAoutによって決まる。

−θ_out2≦θ_NAout≦−θ_out1 ‥‥(2-16)
入射側のＮＡは、(2-12)、(2-15)式のθ_bend＝０°とし、(2-12)式のθ_out1をθ_in1に変え、(2-15)式のθ_out2をθ_in2に変えると、次の二式となり、
θ_in1＝sin^-1（n₁/n_air×sinθ_NA0） ‥‥(2-17)
θ_in2＝−sin^-1{n₁/n_air×sin((1−1/n)×θ_NA0)} ‥‥(2-18)
(2-12)、(2-15)式より、入射側のＮＡは、次式のθ_NAinによって決まる。

θ_in2≦θ_NAin≦θ_in1 ‥‥(2-19)
図１５のモデルでは、光の入出力角度が図１のリアプロジェクションディスプレイシステムと逆になっているが、(2-12),(2-15),(2-16)式において角度θの添え字のoutをinに変えると入力側の角度が図１のシステムと合う以下の三式が成立する。
θ_in1＝sin^-1[n_g/n_air×sin{θ_bend＋sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)}] ‥‥(2-12A)
θ_in2＝sin^-1[n_g/n_air×sin{θ_bend−sin^-1(n₁/n_g×sin((1−1/n)×θ_NA0))}] ‥‥(2-15A)
θ_in2≦θ_NAin≦θ_in1 ‥‥(2-16A)
出射側に関しては、(2-17),(2-18),(2-19)式より、図１のシステムに合わせた以下の三式が成立する。

θ_out1＝−sin^-1（n₁/n_air×sinθ_NA0） ‥‥(2-17A)
θ_out2＝sin^-1{n₁/n_air×sin((1−1/n)×θ_NA0)} ‥‥(2-18A)
θ_out1≦θ_NAout≦θ_out2 ‥‥(2-19A)
(2-19A)式は、光導波路の光軸をスクリーン法線方向まで曲げてしまうと、上下非対称な出射側ＮＡとなることを意味する。そこで、次に、出射側で上下対称なＮＡを発現させるための、出射側の光導波路の光軸の角度θ_axisを解析により求める。

図１７は、出射側最後の光導波路（直線型グラジエントインデックス光導波路）４_Ｌが光軸の角度θ_axisで終わっている部分を描いている。出力ＮＡは、光線１５，１８の間の角で決まる。よって、図でθ_out3＝θ_out4となるときのθ_axisが求める光軸の角度である。
θ_out3は、光線１８について光導波路出射面とＰ部との界面で成立する(2-20)式およびＰ部と空気層との界面で成立する(2-21)式より、(2-22)式となる。

ｎ₁×sinθ_NA0＝ｎ_g×sinθ_ng3 ‥‥(2-20)
ｎ_ｇ×sin(θ_ng3−θ_axis)＝ｎ_air×sinθ_out3 ‥‥(2-21)
θ_out3＝sin^-1[n_g/n_air×sin{sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)−θ_axis}] ‥‥(2-22)
θ_out4は、光線１５について光導波路出射面とＰ部との界面で成立する(2-23)式およびＰ部と空気層との界面で成立する(2-24)式より、(2-25)式となる。

ｎ₁×sin{(1−1/n)×θ_NA0}＝ｎ_g×sinθ_ng4 ‥‥(2-23)
ｎ_ｇ×sin(θ_ng4＋θ_axis)＝ｎ_air×sinθ_out4 ‥‥(2-24)
θ_out4＝sin^-1[n_g/n_air×sin{sin^-1(n₁/n_g×sin((1−1/n)×θ_NA0))＋θ_axis}] ‥‥(2-25)
よって、(2-22)式＝(2-25)式より、求めるθ_axisは、次式で与えられる。

θ_axis＝1/2×[sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)−sin^-1(n₁/n_g×sin((1−1/n)×θ_NA0))] ‥‥(2-26)
(2-26)式の成立下での出射側ＮＡを決める角は、(2-26)式を(2-22)式または(2-25)式に代入することにより、次式で得られる。求める角をθ^' _out3＝θ^' _out4とすると、
θ^' _out3＝θ^' _out4＝sin^-1[n_g/n_air×sin{1/2×sin^-1(n₁/n_g×sin((1−1/n)×θ_NA0))＋1/2×sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)}] ‥‥(2-27)
よって、求める上下対称出射側ＮＡを決める角は、(2-27)式より次式となる。

−θ^' _out3≦θ_NAout≦θ^' _out3 ‥‥(2-28)
次に、このモデルの曲率半径の導出を行う。図１８に示すように、この折れ線近似モデルでは、直線型グラジエントインデックス光導波路４_１、４_２、４_３、‥‥の長さＰ/２の各線分の垂直二等分線の交点Ｏを曲率中心とし、曲率中心Ｏから各光導波路４_１、４_２、４_３、‥‥の長さおよび厚さの中心点までの距離を曲率半径Ｒ（同図より、Ｒ＝ｒ₀＋ｙ₁/2）とする。同図において、頂角θ_NA0/(2×ｎ)の直角三角形に着目すると、次式が成立する。

tan(θ_NA0/(2×ｎ))＝(Ｐ/4)/(ｒ₀＋ｙ₁/2) ‥‥(2-29)
(2-29)式より曲率半径Ｒは次式で与えられる。
Ｒ＝ｒ₀＋ｙ₁/2＝(Ｐ/4)/tan(θ_NA0/(2×ｎ)) ‥‥(2-30)
すなわち、折れ線近似モデルの構成要素である直線型グラジエントインデックス光導波路のθ_NA0とＰを決め、折れる角度（曲がり具合）を決めるｎ（０．５以上の実数）を決めると、(2-30)式により曲率半径が決定する。最小曲率半径Ｒ_minは、ｎ＝０．５の場合であり、(2-30)式にｎ＝０．５を代入した式と、(2-4),(2-5)式とから、
Ｒ_min＝π/(ｎ₁×Ａ×ｙ₁) ‥‥(2-31)
で与えられる。この場合に折れ線近似モデルの誤差が最大となる。一方、詳細な導出過程の説明は割愛するが、同じ厚さと屈折率分布を有する滑らかに曲がったグラジエントインデックス型光導波路（曲線構造モデル）の最小曲率半径Ｒ^' _minは、
Ｒ^' _min＝２/(Ａ×ｙ₁) ‥‥(2-32)
で与えられる。(2-31),(2-32)式より、Ｒ^' _min（厳密解相当）とＲ_min（近似解相当）との誤差ファクタはπ/(２×ｎ₁)であり、これに一般的な光導波路のコア値に近いｎ₁＝１．５５を代入すると、この誤差ファクタの値は１．０１３４である。よって、厳密解に対する近似解の誤差は高々１．３％以内であり、折れ線近似モデルは、曲線構造モデルの十分に良い近似であるといえる。

ところで、光の入射角はフィルム面の法線に対し−９０°〜９０°の範囲内にあるから、(2-16A)式において、θ_in2≧−９０°、θ_in1≦９０°であり、この制約と(2-12A),(2-15A)式とから、入射面付近の層傾き角度θ_bend-inの条件は、入射面付近での層曲率半径Ｒ_in、層内部での伝播角度θ_NA0および光伝播のピッチＰを用いて、以下のように表される。

θ_bend-in-min≦θ_bend-in≦θ_bend-in-max ‥‥(2-33)
θ_bend-in-min＝sin^-1{n₁/n_g×sin(θ_NA0−2×tan^-1(P/(4×R_in)))}−sin^-1(n_air/n_g) ‥‥(2-34)
θ_bend-in-max＝−sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)＋sin^-1(n_air/n_g) ‥‥(2-35)
また、光の出射角もフィルム面の法線に対し−９０°〜９０°の範囲内にあるから、(2-16)式において、θ_out2≧−９０°、θ_out1≦９０°であり、この制約と(2-12),(2-15)式とから、入射面付近の層傾き角度θ_bend-outの条件は、入射面付近での層曲率半径Ｒ_out、層内部での伝播角度θ_NA0および光伝播のピッチＰを用いて、以下のように表される。

−θ_bend-out-min≦θ_bend-out≦−θ_bend-out-max ‥‥(2-36)
θ_bend-out-min＝sin^-1{n₁/n_g×sin(θ_NA0−2×tan^-1(P/(4×R_out)))}−sin^-1(n_air/n_g) ‥‥(2-37)
θ_bend-out-max＝−sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)＋sin^-1(n_air/n_g) ‥‥(2-38)
また、フィルム内の層の曲率半径は、(2-32)式の値が下限となる。

以上より、グラジエントインデックス型の曲がり導波路では、入射角度領域（θ_in-min〜θ_in-max）内の一入射角で曲がり導波路に入射した光は、その伝播方向を曲がり導波路内で徐々に変化させ、出射角度領域（θ_out-min〜θ_out-max）内の一出射角で出射する。ここに、θ_in-min，θ_in-max，θ_out-min，θ_out-maxは、次式で与えられる。
θ_in-min＝sin^-1[n_g/n_air×sin{−sin^-1(n₁/n_g×sin(θ_NA0−2×tan^-1(P/(4×R_in))))＋θ_bend-in}] ‥‥(2-39)
θ_in-max＝sin^-1[n_g/n_air×sin{θ_bend-in＋sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)} ‥‥(2-40)
θ_out-min＝sin^-1[n_g/n_air×sin{−sin^-1(n₁/n_g×sin(θ_NA0−2×tan^-1(P/(4×R_out))))＋θ_bend-out}] ‥‥(2-41)
θ_out-max＝sin^-1[n_g/n_air×sin{θ_bend-out＋sin^-1(n₁/n_g×sinθ_NA0)} ‥‥(2-42)
上記図１３〜１８のモデルでは、複数の層の長さが等しい場合を想定している。この場合、入射光は拡散されず出射方向のみ変換される。一方、本発明では、層の長さを層ごとにばらつかせることもでき、その場合、層出射時の出射方向を層ごとに変化させることで、入射光の変換方向を変換しつつ拡散させることが可能である。

また、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路は、グラジエントインデックス型のような放物線型の屈折率分布をもつもの以外にも、例えば図１９に示すような略台形型の屈折率分布をもつもの等、多種多様に存在しうるが、いずれも入射光を層内部に留めて伝播させうるものである以上、グラジエントインデックス型と同様の出射方向変換特性を得ることが可能である。

ここでステップインデックス型、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型ともに、曲率半径は導波路入口から出口まで一定である必要はなく、導波路の平均的傾き角度が０．０１deg./μｍ未満と緩やかに変化している場合においても同様の光出射方向変換効果を得ることが可能である。ステップインデックス型において層傾き角度が０．０１deg./μｍ以上と急激に変化した場合については前述のとおりステップインデックス型の光出射方向変換拡散フィルムとなり、また、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型において層傾き角度が０．０１deg./μｍ以上と急激に変化した場合については後述の「ステップインデックス型と層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型とが融合した構造」を有する光出射方向変換拡散フィルムとなる。

なお、図２に示すステップインデックス型、図４に示す層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型ともに、図では隣り合う層が接触しているが、隣り合う層が多少離れていても上記と同様に扱うことができる。ただしこの場合は出射方向変換効率が多少低下するものと考えられる。
また、光出射方向変換フィルムに関して、ステップインデックス型の光導波路アレイと、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路アレイとが混在する場合（図５）、または、光出射方向変換拡散フィルムに関して、ステップインデックス型の光導波路アレイと、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路アレイとが混在する場合（図５）もしくは両型が融合した構造の光導波路アレイの場合についての入射角度領域と出射角度領域は、それぞれの型について導出したものを重ね合わせることにより求めることができる。
〔光学エンジンとのＮＡマッチング〕
次に、本発明のスクリーンをなす光出射方向変換フィルムまたは光出射方向変換拡散フィルム（以下、本発明フィルムという）と光学エンジンとのＮＡマッチングについて説明する。

スクリーン開口角度θ_Sは、スクリーン最小開口角度θ_S-minとスクリーン最大開口角度θ_S-maxを用いて、θ_S≡θ_S-max−θ_S-min、と定義される。光学エンジンのＮＡとのマッチングをとってプロジェクタ光出射方向を観察者の方向に変換するためには、θ_Sは、図１、図６における２θ₂以上でなければならない。すなわち、その条件は前述の(0-1),(0-2),(0-3)式より、以下のように表される。

θ_S≧tan^-1{(l₂＋d/2)/b}−tan^-1{(l₂−d/2)/b} ‥‥(0-4)
ここで、等号の場合がマッチングした状態に該当する。上記θ_S-minおよびθ_S-maxはそれぞれ本発明フィルムの入射角度領域の下限θ_in-minおよび上限θ_in-maxに等しい。これらは、ステップインデックス型の場合(1-17),(1-18)式で与えられ、グラジエントインデックス型の場合(2-39),(2-40)式で与えられる。

また、ステップインデックス型の光導波路アレイと、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路アレイとが混在する場合は、上記θ_S-maxとして両型の入射角度領域の上限のうち小さい方を採用し、一方、上記θ_S-minとしては両型の下限のうち大きい方を採用するのがよい。すなわち、ステップインデックス型の光導波路の入射角度領域の下限、上限をθ_STEPin-min、θ_STEPin-maxとし、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路の入射角度領域の下限、上限をθ_GRADin-min、θ_GRADin-maxとすると、次式を満足するように設計するのが望ましい。

Min{θ_STEPin-max，θ_GRADin-max}−Max{θ_STEPin-min，θ_GRADin-min}≧tan^-1{(l₂＋d/2)/b}−tan^-1{(l₂−d/2)/b} ‥‥(0-5)
ここで、Max{a,b}はaとｂのうち大きい方を表し、Min{a,b}はaとｂのうち小さい方を表す。
以上の議論はプロジェクタ光を有効に利用する理想的なものであるが、実際のリアプロジェクションディスプレイにおいても開口数ＮＡで光学エンジンから出射した光の少なくとも５０％以上がθ_min〜θ_maxの範囲からスクリーンに入射しなければならない。
〔本発明フィルムの製造方法〕
湾曲した導波路アレイ構造を有する本発明フィルムは、異なる屈折率を有する少なくとも２種類の光重合可能なモノマーあるいはオリゴマーからなる混合物に光を照射し、硬化させることで、湾曲していない導波路構造を作製し、それを物理的に湾曲させることで得られる。

ここで、光重合可能なモノマーあるいはオリゴマーとは、分子内にアクリロイル基、メタアクリロイル基、ビニル基などの重合可能な基を１個以上有するモノマーまたはオリゴマーである。これら化合物の複数の混合物を基板上に塗布するかまたはセル中に封入し膜状とし、光を照射しながら徐々に硬化させる。
照射する光はモノマーあるいはオリゴマーを含有する組成物を硬化させるものであればどのような波長でもよく、例えば可視光線および紫外線等がよく用いられる。

紫外線は水銀ランプやメタルハライドランプ等を用いて照射されるが、棒状ランプを用いた場合はその照射条件を調整することにより、生成したシート状の硬化物に光源の長軸と短軸方向に対し異方性を発現させ、光源の長軸方向を軸として回転させた場合のみ光を拡散させることができる。
このようにして作られたフィルムは、ステップインデックス型の光導波路と層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路とが融合した構造を有する。

このフィルムを有機溶剤に浸漬して柔らかくし、物理的に力を加えることで、湾曲していなかった導波路構造を湾曲させ、本発明フィルムとすることが可能である。前記有機溶剤は、フィルムが有する導波路構造を損ねることなく柔らかくさせるものでありさえすれば、いかなるものでもよい。

実施例１では、図２０（ａ）に示すように、屈折率の相異なる層９_１と層９_２とが面内方向に交互に重なって配列した構造を有する光学フィルム９から採取した光学フィルム片９Ａを図２０（ｂ）に示すように曲げて配置することで、本発明に用いる光出射方向変換拡散フィルムの曲がり導波路構造と光学的に等しい構造を実現した。各層の厚さは２μｍである。各層は、層境界局所曲率半径をばらつかせたステップインデックス型の光導波路と、層長さをばらつかせたグラジエントインデックス型の光導波路とが融合した構造をもち、層厚さ中心部における屈折率が、層９_１では１．５５、層９_２では１．５１である。また、空気界面での全反射を防ぐために、図２０（ｂ）に示すように、曲げた光学フィルム片９Ａの周辺を屈折率１．６の透明媒体１２で満たした。曲率半径は最小の層でも４ｃｍと、(1-16)式のＲ_minstepおよび(2-32)式のＲ^' _minのいずれと比べても十分大きくした。

このようにして曲げて配置した光学フィルム片９Ａに、その一端面側から光源１１を用いて光（入射光１１_１）を入射させる実験を行い、この光が他端面側から出射光１１_２として出射することを確認した。出射光１１_２の光強度は入射光１１_１の光強度と略同等であった。

実施例２では、図１２に示した実際の薄型リアプロジェクションディスプレイシステムに発明項１記載の発明に相当するスクリーン（ステップインデックス型の光出射方向変換フィルム＋拡散フィルム）を適用する場合の光出射方向変換フィルムと光学エンジンとのＮＡマッチングを行う設計の具体例を示す。
実際のシステムのミラーＭ１，Ｍ３と非球面ミラーＭ２を外して展開した光学系は図６のようになる。

実際のシステムでは図１２に示すように、光はスクリーン１０の裏でミラーＭ１，Ｍ２および非球面ミラーＭ２により３回方向を変え、光学エンジン２０出力光は直前のミラーＭ１で横に曲げられる。実際のシステムの奥行き(ミラーＭ３とスクリーン１０の面間距離)を２０ｃｍ、スクリーン１０の高さを１ｍ、レンズとミラーＭ１の中心間距離を４０ｃｍとすると、図６の展開光学系では、ｂ＝２０ｃｍ×３＋４０ｃｍ＝１ｍ、Ｓ_２＝１ｍである。ＤＭＤチップからなる画像表示パネル２１の縦長さ（＝図６のＳ_１）を２．５ｃｍとすると、倍率Ｓ_２/Ｓ_１＝１ｍ/２．５ｃｍ＝４０＝ｂ/ａ＝１ｍ/ａより、ａ＝２．５ｃｍであり、１/ａ＋１/ｂ＝１/ｆより、レンズの焦点距離ｆ＝２．４４ｃｍである。レンズ口径ｄは２．４ｃｍとした。ｌ_１＝３０ｃｍとすると、ｌ_２＝ｌ_１＋Ｓ_２＝１３０ｃｍである。

これで光学系のパラメータが決定したので、(0-2)式、(0-3)式より、図６のθ_１、θ_０は、θ_１＝５２．４７４°、θ_０＝１６．０６６°となる。光学系のシステムの出力ＮＡを決める角θ_ｏｐｔの範囲は、θ_０以上θ_１以下である。この範囲と光出射方向変換フィルムの入力角度範囲が一致すればＮＡマッチングが成立する。
ステップインデックス型の光出射方向変換フィルムの入力角度範囲は、(1-12)式より、θ_in4以上θ_in5以下であるから、ＮＡマッチング成立条件は、θ_in4＝θ_０＝１６．０６６°、θ_in5＝θ_１＝５２．４７４°である。

次に、θ_bend(θ_bend-inに該当)を計算する。θ_bendは、(1-9)式の−θ_in4を＋θ_in4とした式と(1-11)式とから導出される次式で計算される。
θ_bend＝1/2×[sin^-１(n_air/n_g×sinθ_in4)＋sin^-１(n_air/n_g×sinθ_in5)]‥‥(1-21)
この式を用いて、θ_in4、θ_in5を上記各値とし、ｎ_g＝１．５、ｎ_air＝１．０として計算すると、θ_bend＝２１．２７５°となる。

次に、曲がり導波路の曲率半径を計算する。この計算では、(1-11)式を変形して得られる次式：
sin[cos^-1{n_g/n₁×sin(sin^-1(n_air/n_g×sinθ_in5)−θ_bend)}]＝n₂/n₁×(1＋y₁/r₀)‥‥(1-11B)
にθ_in5、θ_bend、ｎ_g、ｎ_air、ｎ₁、ｎ₂、ｙ₁(光導波路の幅＝層の厚さ)の値を入れてｒ₀を計算し、Ｒ＝ｒ₀＋ｙ₁/２より、曲率半径を求める。θ_in5、θ_bend、ｎ_g、ｎ_airを上記各値とし、ｎ₁＝１．５５、ｎ₂＝１．５１、ｙ₁＝４μｍとしてｒ₀を求めると、ｒ₀＝４０１．６１７μｍとなる。よって、曲率半径は、Ｒ＝ｒ₀＋ｙ₁/２＝４０３．６１７μｍとなる。

また、フィルムの厚さｔ_ｆは、θ_bendを用いると図２１より(r₀＋y_１)×sinθ_bendであるので、ｔ_ｆ＝(r₀＋y_１)×sinθ_bend＝１４７．２μｍである。
一方、出力側のＮＡは、(1-5)式で決まるので、(1-5)式に上で求めたｒ₀とその他のパラメータを代入すると、θ_out2＝１６．０８４°となる。よって(1-6)式より、出力側ＮＡを決める角の範囲は、−１６．０８４°≦θ_ＮＡstep≦＋１６．０８４°となる。

実施例３では、実施例２と同じ薄型リアプロジェクションディスプレイシステムに発明項２記載の発明に相当するスクリーン（グラジエントインデックス型の光出射方向変換フィルム＋拡散フィルム）を適用する場合の光出射方向変換フィルムと光学エンジンとのＮＡマッチングを行う設計の具体例を示す。
光学系のシステムの出力ＮＡを決める角θ_ｏｐｔの範囲は、実施例２と同じθ_０（＝１６．０６６°）以上θ_１（＝５２．４７４°）以下である。この範囲と光出射方向変換フィルムの入力角度範囲が一致すればＮＡマッチングが成立する。

グラジエントインデックス型の光出射方向変換フィルムの入力角度範囲は、(2-16A)式より、θ_in2以上θ_in1以下であるから、ＮＡマッチング成立条件は、θ_in2＝θ_０＝１６．０６６°、θ_in1＝θ_１＝５２．４７４°である。
次に、θ_bend(θ_bend-inに該当)を計算する。θ_bendは、(2-12A)式を変形してなる次式で計算される。

θ_bend＝sin^-１(n_air/n_g×sinθ_in1)−sin^-１(n₁/n_g×sinθ_NA0)]‥‥(2-12B)
ここで、θ_NA0は(2-5)式：θ_NA0＝tan^-1(ｎ₁×√Ａ×ｙ₁/２)で計算され、(2-5)式中のＡは(2-2)式：Ａ＝(８/ｙ₁ ²)×(ｎ₁−ｎ₂)/ｎ₁で計算される。
(2-2)式にｙ₁＝４μｍ、ｎ₁＝１．５５、ｎ₂＝１．５１を代入すると、Ａ＝１．２９０×１０¹⁰となる。該Ａ値および前記ｙ₁、ｎ₁値を(2-5)式に代入すると、θ_NA0＝１９．３９７°となる。そこで、該θ_NA0値、前記θ_in1、ｎ₁値およびｎ_g＝１．５、ｎ_air＝１．０を(2-12B)式に代入し、θ_bend＝１１．８４８°が決定する。

次に、ｎを決定する。ｎは、(2-15A)式を変形してなる次式を用いて計算される。
ｎ＝θ_NA0/[θ_NA0−sin^-1{n_g/n₁×sin{θ_bend−sin^-1(n_air/n_g×sinθ_in2)}}]‥‥(2-15B)
(2-15B)式に、該式中のパラメータ対応分の前記各値を代入し、ｎ＝１．０６４６が決定する。

次に、曲がり導波路の曲率半径を計算する。この計算では、(2-4)式：Ｐ＝２×π/√Ａに前記Ａ値を代入して、Ｐ＝５５．３２μｍを得、該Ｐ値と前記θ_NA0、ｎ値を(2-30)式：Ｒ＝ｒ₀＋ｙ₁/2＝(Ｐ/4)/tan(θ_NA0/(2×ｎ))に代入し、曲率半径Ｒ＝８６．２４７μｍが決定する。
また、フィルムの厚さｔ_ｆは、θ_bendを用いると図２１より(r₀＋y_１)×sinθ_bendであるので、ｔ_ｆ＝(r₀＋y_１)×sinθ_bend＝１８．１１８５μｍ（ただしθ_bend-out＝０°の場合）である。

一方、出力側ＮＡは、上下対称出力で設計する。出力側光軸角度θ_axis（＝θ_bend-out）は、(2-26)式に、該式中のパラメータ対応分の前記各値を代入することにより、θ_axis（＝θ_bend-out）＝９．４２７３°となる。よって、(2-27)式より、θ^' _out3＝θ^' _out4＝１６．０８４°となる。よって、(2-28)式より、この光出射方向変換フィルムの上下対称出力ＮＡを決める角の範囲は、−１６．０８４°≦θ_NAout≦１６．０８４°となる。

本発明は、リア（またはフロント）プロジェクションディスプレイ用スクリーンの設計・製造に利用することができる。

本発明のスクリーンの一例およびそれを用いたリアプロジェクションディスプレイシステム光学系の一例を示す側断面模式図である。 湾曲した光導波路アレイがステップインデックス型である場合の光出射方向変換フィルムの例を示す模式図である。 角度の符号と回転方向との対応づけの説明図である。 湾曲した光導波路アレイが層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型である場合の光出射方向変換フィルムの例を示す模式図である。 ステップインデックス型の光導波路アレイと、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する型の光導波路アレイとが、（ａ）フィルム厚さ方向に混在する例、および（ｂ）フィルム面内方向に混在する例を示す模式図である。 ＮＡに対応する角度範囲と、レンズの直径、焦点距離、結像倍率、結像位置との関係を示す説明図である。 ステップインデックス光導波路曲線構造モデルの説明図である。 図７のモデルがフィルム中に形成した状態を示す説明図である。 図７のモデルがフィルム中に形成した状態を示す説明図である。 プロジェクションディスプレイシステム光学系の薄型化についての説明図である。 プリズムを用いた従来技術の概念図である。 薄型リアプロジェクションディスプレイシステムの例を示す（ａ）側面図および（ｂ）平面図である。 直線型グラジエントインデックス光導波路の定義説明図である。 直線型グラジエントインデックス光導波路内のＮＡを決定する角度の導出を示す説明図である。 グラジエントインデックス型の曲がり導波路の折れ線近似モデルの説明図である。 図１５のモデルがフィルム中に形成した状態を示す説明図である。 グラジエントインデックス型曲がり導波路の出射側で上下対称なＮＡを発現させる光軸の角度解析の説明図である。 グラジエントインデックス型曲がり導波路の折れ線近似モデルの曲率半径を示す説明図である。 放物線型以外に層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布の例を示す説明図である。 実施例１に用いた光学フィルムの概要（ａ）と該光学フィルムから作製した曲がり導波路を用いて出射方向を変換させる実験要領（ｂ）を示す説明図である。 フィルムの厚さの算出方法を示す説明図である。

符号の説明

１ 層（湾曲した光導波路＝曲がり導波路）
１_Ａ 層（コア）
１_Ｂ 層（クラッド）
１_Ｃ 層（層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する層）
２ 光出射方向変換フィルム
２_Ｘ 残部（光導波路以外のフィルム部分）
３ 拡散フィルム
４、４_１、４_２、４_３、４_４、４_Ｌ 直線型グラジエントインデックス光導波路
５、６、７、８、１５、１６、１７、１８ 光線
９ 光学フィルム
９_１、９_２ 層
９Ａ 光学フィルム片
１０ スクリーン
１０Ａ スクリーン光軸
１１ 光源
１１_１ 入射光
１１_２ 出射光
１２ 透明媒体
２０ プロジェクタ（光学エンジン）
２０Ａ プロジェクタ光
２１ 物体（画像表示パネル）
３０ プリズム
４０ 屈折
５０ 全反射
Ｍ１，Ｍ３ ミラー
Ｍ２ 非球面ミラー

Claims (6)

1. 入射光拡散角度領域から入射した光を出射光拡散角度領域に拡散させる拡散フィルムと、斜め方向から入射した光を正面方向に出射させる光出射方向変換フィルムとからなるスクリーンにおいて、前記光出射方向変換フィルムは、隣接相互間で異なる屈折率を有して複数のステップインデックス型光導波路をなす層厚さ一定の複数の層がフィルム面内方向に縞状に並び、フィルム厚さ方向に対し前記一定の層厚さを保って湾曲して延在する構造を有することを特徴とする光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
2. 入射光拡散角度領域から入射した光を出射光拡散角度領域に拡散させる拡散フィルムと、斜め方向から入射した光を正面方向に出射させる光出射方向変換フィルムとからなるスクリーンにおいて、前記光出射方向変換フィルムは、層厚さ方向に集光能力を発現する屈折率分布を有する光導波路をなす複数の層がフィルム面内方向に縞状に並び、フィルム厚さ方向に対し湾曲して延在する構造を有することを特徴とする光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
3. 入射光拡散角度領域から入射した光を出射光拡散角度領域に拡散させる拡散フィルムと、斜め方向から入射した光を正面方向に出射させる光出射方向変換フィルムとからなるスクリーンにおいて、前記光出射方向変換フィルムは、請求項１記載の構造と請求項２記載の構造とがフィルム厚さ方向およびフィルム面内方向のいずれか一方または両方に混在した構造を有することを特徴とする光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
4. 前記拡散フィルムの入射光拡散角度領域と前記光出射方向変換フィルムの出射角度領域とがマッチングすることを特徴とする請求項１〜３のいずれかに記載の光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーン。
5. 請求項１〜４のいずれかに記載の光出射方向変換機能を有するフィルムを用いたスクリーンと、該スクリーンへの入射光を発光するプロジェクタとを有し、該プロジェクタのプロジェクタ開口および配置が前記スクリーンの入射角度領域とマッチングされてなるプロジェクションディスプレイシステム光学系。
6. さらに前記プロジェクタからの発光を反射して前記スクリーンへ入射させる反射鏡を有し、該反射鏡の配置が前記スクリーンの入射角度領域とマッチングされてなる請求項５記載のプロジェクションディスプレイシステム光学系。