JP4718491B2

JP4718491B2 - 画像における主光源の方向を求めるための方法

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Publication number: JP4718491B2
Application number: JP2006549741A
Authority: JP
Inventors: モグハッダム、ババック
Original assignee: Mitsubishi Electric Research Laboratories Inc
Current assignee: Mitsubishi Electric Research Laboratories Inc
Priority date: 2005-02-14
Filing date: 2006-02-06
Publication date: 2011-07-06
Anticipated expiration: 2026-02-06
Also published as: DE602006006888D1; EP1776656B1; US20060182367A1; EP1776656A2; WO2006085629A2; WO2006085629A3; CN100555309C; US7324688B2; CN101006451A; JP2008530628A

Description

本発明は、包括的には画像処理に関し、より詳細には、対象物の画像を測光法で正規化することに関する。

多くのコンピュータビジョンシステム、具体的には、顔識別システムでは、任意の照明に対して不変のシステムを設計することは非常に困難である。確かに、多くの独立した米国政府の試験によって、任意の照明を用いて得られる画像における顔の識別が、制御された照明で得られる画像における顔の成功率を達成できないことが結論付けられている。これについては、Phillips著「Face Recognition Vendor Test (FRVT) 2002 report」（Technical report, National Institute of Standards and Technology, March 2003）およびPhillips他著「The FERET evaluation methodology for face-recognition algorithms」（IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 22(10), pp. 1090-1104, 2000）を参照願いたい。

本発明は、アクセス制御の用途および監視の用途に適用されるような顔識別の、困難ではあるが日常的な問題に対する解決策を提供する。

このような用途では、任意の照明の下での任意のシーンにおけるおそらく未知の個人の顔の画像が取得される。固定姿勢、たとえば正面姿勢のカメラが画像を取得する。カメラは、較正されず、未知の固有パラメータを有する。画像は、ビデオ、アーカイブ写真、ウェブ画像、家族の写真アルバム、身分証明写真等から得ることができる。

個人またはシーンの３Ｄ測定が何らない場合、問題は、単一画像における顔を、データベースに記憶された既知の個人の画像と照合することである。記憶された画像は、固定照明、たとえば、拡散照明または正面照明の下で取得されたものである。

この問題を解決するには、すべての画像を幾何学的にかつ測光法で正規化して、ロバストなパターンマッチングおよび照明不変の顔識別に適した単一の固定照明テンプレートを提供する必要がある。当然ながら、照明の基準となる選択肢には、顔の重要なすべての特徴の可視性を最大にする非指向性照明または拡散照明、または、少なくとも正面照明が含まれる。

焦点は、照明不変性にあるので、幾何学的正規化は、前処理ステップにおいて実行されるものと仮定する。この前処理は、画像における顔のロケーションを検出すること、目等の顔の特徴を検出すること、並びに固定変換、すなわち、拡大縮小、回転、および平行移動を行って、検出した特徴を位置合わせすることを含むことができる。また、何らかの単純な測光的正規化、たとえば非空間的グローバル変換は、すでに行われている場合があるものと仮定する。非空間的グローバル変換は、強度のみの関数であり、たとえばゲイン、コントラスト、および明るさの関数である。

照明をモデル化することについての従来技術の多くは、コンパクトな低次元部分空間を見つけて、すべての照明の変動をモデル化することに焦点を当てていた。理論的なランバート仮説の下では、すべての可能な照明条件の下での対象物の画像集合は、画像空間において多面体の「照明錐」を形成する。これについては、Belhumeur他著「What is the set of images of an object under all possible lighting conditions」（Int'l J. Computer Vision, volume 28, pp. 245-260, 1998）に記載されている。

上記理論を顔認識に適用するその後の研究は、Basri他によって「Lambertian reflectance and linear subspaces」（Int'l Conf. on Computer Vision, volume 2, pages 383-390, 2001）に記載されている。Basri他は、低次元線形部分空間が顔認識に有効であると明らかにされている球面調和基底を使用して照明を表している。

ある方法は、球面調和関数を用いて低次元部分空間を解析的に求めるものである。これについては、Ramamoorthi著「Analytic PCA construction for theoretical analysis of lighting variability in images of a Lambertian object」（IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 24, October, 2002）に記載されている。別の方法は、認識用の等価な基底画像を最も良く生成するように照明を配置するものである。これについては、Lee他著「Nine points of light: Acquiring subspaces for face recognition under variable lighting」（Proc. IEEE Conf. on Computer Vision & Pattern Recognition, pages 519-526, 2001）に記載されている。

補完的な手法は、照明不変な「シグネチャ」画像を生成することである。その技法は、大きな照明の変化に対処できないが、１つの対象物につき１つの画像しかデータベースに必要とされないという利点を有する。

他の従来技術の正規化技法は、ヒストグラム均等化または線形ランプ減算を使用することによって、不変テンプレートを生成するものである。これについては、Rowley他著「Neural network-based face detection」（IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 20(1), pp. 23-38, 1998）に記載されている。

画像勾配が照明の影響を受けず、画像勾配を確率論的枠組みで使用して、２つの画像が同じ対象物から取得された尤度を求めることができることが知られている。これについては、Chen他著「In search of illumination invariants」（Proc. IEEE Conf. on Computer Vision & Pattern Recognition, pages 1-8, 2000）に記載されている。

顔がほぼ対称であることを使用して、アルベド（albedo）を回復することなく個人の照明不変プロトタイプ画像を求めることができる。これについては、Zhao他著「Symmetric shape-from-shading using self-ratio image」（Int'l J. Computer Vision, 45(1), pp. 55-75, 2001）に記載されている。

別の方法は、異なる顔が、共通の形状を有するが異なるテキスチャを有するものと仮定して、照明不変シグネチャとしてアルベド比（albedo ratio）を求めるものである。これについては、Shashua他著「The quotient image: Class-based rerendering and recognition with varying illuminations」（IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 23(2), pp. 129-139, 2001）に記載されている。

対象物再照明方法も、コンピュータグラフィックアプリケーションについて記載されてきた。あるアプリケーションは、角膜画像化を使用して、たとえば顔といった現実的な仮想対象物をシーンに埋め込み、その結果、推定された環境照明に従って適切に「再照明」された合成顔が得られる。これについては、Nishino他著「Eyes for relighting」（Proceedings of SIGGRAPH, 2004）に記載されている。

別の方法は、放射輝度環境マップを使用するものである。これについては、Wen他著「Face relighting with radiance environment maps」（Proc. IEEE Conf. on Computer Vision & Pattern Recognition, 2003）に記載されている。この方法は、球面調和関数を使用して、比較的高い品質の顔をレンダリングする。球面調和関数については、Rammamoorthi他著「A signal processing framework for inverse rendering」（Proceedings of SIGGRAPH, 2001）に記載されている。

しかしながら、顔識別については、高品質のレンダリングもフォトリアリズムも必要ではない。実際には、ほとんどの既知の２Ｄ顔識別システムは、たとえば顔全体にわたって１００ピクセル以下といった低解像度から中程度の解像度で動作する。

本発明は、たとえば顔といった対象物の較正されていない画像における指向性照明を推定するための方法を提供する。この逆問題は、形状および反射率について制約付き最小二乗およびクラス特有の優先を使用して解かれる。

簡単にするために、主指向性発光体は、ランバート成分および周囲成分を組み合わせたものとしてモデル化される。対象物の「一般」３Ｄ形状および平均２Ｄアルベドを使用することによって、本方法は、影を有する場合も有しない場合も、入射する指向性照明を高精度でリアルタイムに効率的に推定することができる。

指向性照明の推定は、フォワードレンダリングステップで使用されて、対象物の任意に照明された入力画像は、照明不変対象物識別に必要とされるような基準拡散形式に「再照明」される。

照明の推定
図１に示すように、本発明は、一般３Ｄ形状モデル１０１およびランバートモデルまたは拡散反射照明モデル１０２を使用して、たとえば、顔といった対象物の画像を測光法で正規化する。照明モデル１０２の拡散反射率は、一定の双方向反射率分布関数（ＢＲＤＦ）を有する。これらのモデルは、対象物の識別に使用される。本発明を説明するのに使用される用途の例は、顔識別および／または顔検証である。その点で、問題は、未知の顔画像を既知の顔画像のデータベースにおける画像と照合することである。

顔は、皮膚の皮脂腺による皮脂オイルの分泌によって、多少の正反射を有することがある。しかしながら、正反射は、常に一貫しているとは限らない。したがって、正反射は、顔識別ではほとんど役立っていない。それゆえに、本発明の照明モデル１０２は、ランバート成分および周囲成分のみを含む。

図２に示すように、Ｉ（ｘ，ｙ）を、たとえば、顔といった凸状対象物の表面上の点、または、ランバート表面反射率１０２を有する等価な３Ｄ形状モデル１０１の表面上の点に対応する入力画像２０１のピクセル（ｘ，ｙ）における強度とする。この点は、周囲光と、強度｜ｓ｜を有する方向ｓ∈Ｒ^３の無限遠の単一の主光源１０３とを混合したものによって照明される。

本発明では、単位面法線ｎ＝ｓ／｜ｓ｜を、その点から主光源への方向、すなわち、指し示すものと呼ぶ。たとえば、アジマス角／仰角におけるこの方向は、本発明の対象となる主要な推定目標である。光源の大きさは、ゲインおよび露出をモデル化する画像システムパラメータによって吸収できるので、本発明の方法においてはほとんど重要ではない。

ρ（ｘ，ｙ）を皮膚表面のアルベド２２１とする。アルベド２２１は、既知であるか、そうでない場合には推定される。アルベドとは、表面によって反射された入射光の一部分であり、顔の場合、アルベドは、拡散皮膚テキスチャを表す。したがって、アルベドマップおよびテキスチャマップは同義語である。

ｎ（ｘ，ｙ）２３１を、正射影法の下で画像のピクセルＩ（ｘ，ｙ）に射影する顔表面上の点の単位面法線とする。

定数ＢＲＤＦを有するランバートモデルの下で、ピクセルのモノクロ強度は、下式（１）によって与えられる。

ここで、αおよびβは、固有のカメラシステムパラメータを表す。すなわち、レンズ口径およびゲインを表す。本発明の解析では、パラメータαおよびβは、基本的には撹乱母数であり、これらの撹乱母数によって、ピクセル強度のダイナミックレンジまたは（ゲイン）およびオフセット（露出バイアス）のみがもたらされるが、照明方向はもたらされない。したがって、本発明では、（α，β）を、適切な正規化により、それらのデフォルト値である（１，０）に設定することができる。パラメータｃは、後述するように、周囲照明の相対強度を表し、必要ならば、０に設定することができる。項ｍａｘ（ｎ（ｘ，ｙ）^Ｔｓ、０）は、影にある表面の点について、ランバートコサイン因子の負の値を０に設定する。

簡単にするために、本発明では、単一の主光源１０３のみが、画像において観測される指向性照明の大部分、すなわち、拡散減衰および／またはシャドーイングを担うものと仮定する。シーンに存在する他のあらゆる周囲光源、たとえば、拡散光源または指向性光源は、支配的ではない。したがって、それら他の周囲光源の全体的な寄与は、上式（１）における相対強度ｃを有するグローバル周囲成分によって表される。

ほぼすべての２Ｄビューベース顔識別システムは、指向性照明によって悪影響を受けるが、僅かな周囲照明の効果によって悪影響を受ける範囲は、はるかに小さい。これについては、上記Phillips他を参照願いたい。したがって、ほとんどの場合、主照明源への方向が、他のどの照明現象よりも重要であり、特に、他の光源が支配的でない場合に重要である。

したがって、本発明は、主照明の効果を逆にする。これによって、任意に照明される対象物を識別する性能が改善される。

主照明源への方向２５１は、上式（１）によって表されるような照明モデル１０２に基づく簡単な仮定を有する最小二乗定式化によって推定される。より重要なことは、本発明では、基本行列演算およびドット積を用いて閉じた形でこの問題を効率的に解法するということである。

光源の方向の推定
具体的には、図２に示すように、本発明では、入力画像Ｉ（ｘ，ｙ）２０１のすべての非ゼロの値を「スタック」することによってピクセル強度の列強度ベクトルＩ（→）２１１を構成する（２１０）。なお、（→）は、かっこの前の記号の上部に→が付されていることを意味している。対象物が、主光源１０３によってのみ照明されると仮定する場合、すなわち、周囲光がないと仮定する場合、ゼロ強度ピクセルは、おそらく影に存在する。したがって、これらのピクセルは、レイキャスティングが光源の位置を突き止めるのに使用されない限り、主光源への方向を示すことができない。実際の用途では、ある量の周囲光が常に存在する。したがって、本発明では、ピクセルを選択するための所定の非ゼロのしきい値または所定のマスクを使用して、強度ベクトルＩ（→）にスタックすることができる。

同様に、本発明では、アルベドベクトルρ（→）２２２を、対応するベクトル化されたアルベドマップまたは拡散テキスチャ２２１となるように構成する（２２０）。

本発明では、形状モデル１０１の対応する面法線の行ごとのスタックによって３列の形状行列Ｎ２３１を生成する（２３０）。次に、本発明では、形状アルベド行列Ａ∈Ｒ^ｐ×３を構成する（２４０）。ここで、行列Ａ２４１の各行αは、アルベドと、アルベドベクトルρ（→）２２２の対応する行の単位面法線と、形状行列Ｎ２３１との積である。これは、要素ごとのアダマール行列積演算子ｏに対応する。すなわち、下式の関係となる。

主光源への未知の方向ｓ^＊２５１を求める（２５０）ために、本発明では、ベクトル化された形の上式（１）の近似誤差の最小二乗を最小化するための行列方程式として下式（２）を使用する。

これは、下式（３）の解を与える。ここで、Ｔは、転置演算子を表す。

本発明では、光源ベクトルの大きさではなく、方向を得るために、推定された単位光源ベクトルｓ^＊／｜ｓ^＊｜にのみ関心があることに留意願いたい。大きさは、特定のカメラのゲインおよび露出に依存する。この推定問題は、非常に過制約であるので、「良性（well-behaved）」である。すなわち、Ｉ（→）の「観察結果」における非ゼロの要素の個数は、ｓ^＊の３つの未知のものと比較すると、およそＯ（１０^３）である。実際には、本発明では、主光源への方向しか使用しないので、アジマス角および仰角の２つの角度の推定目標のみが存在する。主照明の方向の推定は、したがって、入力Ｉ（→）の雑音および小さな変動に対してかなり安定している。

アルベド形状行列Ａ２４１は、一般形状モデル１０１およびアルベド２２１から得られることに留意願いたい。したがって、形状アルベド行列Ａ２４１は、対象物のクラス全体、たとえば、すべての正面顔を表している。

モデル１０１が十分代表的なものであるものと仮定すると、照明方向が関係している距離では、すべての形状およびアルベドが１次にほぼ等しい限りは、個人の正確な形状を測定する必要もなければ、個人の正確なアルベドも測定する必要がない。

さらに、上式（３）における擬似逆行列（Ａ^ＴＡ）^−１は、ガウス雑音の下で最小二乗推定ｓ^＊の誤差共分散に正比例する。

次元ｐ×３の行列Ｐ＝Ａ（Ａ^ＴＡ）^−１を定義する場合、上式（３）のオンライン計算のみが、行列Ｐの３つの列における強度ベクトルＩ（→）２１１の射影であることが分かる。これら３つの列は、線形独立である。実際には、これら３つの列は、本発明の一般的な顔モデルの照明部分空間の基底関数である。

その上、本発明では、ＱＲ因子分解Ｐ＝ＱＲを使用して、この部分空間の等価な直交基底も常に見つけることができる。ここで、ユニタリ行列Ｑは、行列Ｐと同じ部分空間にわたる３つの正規直交列を有する。Ｒ^−１は、誤差共分散のコレスキー因子、すなわち行列平方根であるので、３×３の上三角行列Ｒは、推定したものの品質を定義する。ＱＲ因子分解によって、入力画像は、正規直交基底Ｑに直接射影されて、主光源１０３への方向２５１が推定されるので、ピクセルおよびベースの点で、推定の解釈および解析が支援される。また、ＱＲ分解によって、より大きな問題における計算も節減される。

行列ＰおよびＱは、入力データから独立しているので、後に使用するためにあらかじめ求めるとともに記憶することができる。また、上式（３）を使用する計算コストは最小である。この計算には、画像サイズの３つのドット積しか必要とされない。後述するその後の再照明には、単一のドット積しか必要とされない。したがって、本発明による照明正規化は、リアルタイムのインプリメンテーションにとって実用的である。

顔の再照明
図３に示すように、入力画像２０１における指向性照明の推定ｓ^＊２５１が与えられると、本発明では、顔のアルベド３１１または拡散皮膚テキスチャを推定すること（３１０）によって、照明を近似的に「取り消す」ことができ、次いで、一般形状モデル１０１と組み合わせて、たとえば、正面照明または純粋な拡散照明といった所望のどの照明の下でも、この特定のアルベドを再照明すること（３２０）ができる。

一般形状およびアルベドの双方は、指向性照明を推定する逆問題で使用されたのに対して、入力画像２０１を再照明する順問題には、入力画像２０１自体がアルベド情報を提供するので、一般形状１０１しか必要とされない。ここでの基本仮定は、すべての対象物が、一般形状モデル１０１によって定義されるものとほとんど同じ３Ｄ幾何学形状を有するということである。

この基本仮定を多少違反しても、それが決定的なものではないことが分かる。その理由は、実際に再照明されて照明不変テンプレート画像を生成するものが、入力画像２０１に見られるようなテキスチャであるからである。このテキスチャは、２Ｄ対象物の識別のための情報のほとんどを運ぶ。実際には、わずかに異なる３Ｄ顔形状を使用しても、入力画像のアルベドを大幅に変更することはできない。したがって、顔の場合、異なる個々人の幾何学形状が小さく変動しても、顔のテキスチャが保持されている限り、個人の同一性は実質的に維持される。

上式（１）を再び参照すると、照明推定ｓ^＊２５１および本発明の「プラグイン」された形状、すなわち、一般的な顔モデル１０１の面法線ｎ２３１を有することになった後、下式（４）を使用してアルベドについて直接解くことができる。

ここで、明確にするために、空間インデックス（ｘ，ｙ）は、すべての２Ｄ配列（Ｉ，ρ，ｎ）について表されていない。この点で、強度は、非ゼロであるものと仮定され、ｎ^Ｔｓ^＊は、０よりも大きいものと仮定される。点（ｘ，ｙ）における推定されたアルベドρ^＊３１１は、入力画像２０１の対応するピクセル強度Ｉ（ｘ，ｙ）および面法線ｎ（ｘ，ｙ）２３１にのみ依存することに注意願いたい。したがって、対象物上の点が影にあり、かつ、周囲照明がない場合、Ｉはゼロであり、ｎ^Ｔｓ^＊は負である。この場合、対応するアルベドは、上式（４）を用いて推定することができず、デフォルトの平均アルベドが、その点に対応するピクセルの代わりに用いられる。

推定されたアルベド３１１は、その後、下式（５）で表される本発明の不変（固定照明）画像Ｉ_ｏ３２２を生成する（３２０）のに使用される。

上式（５）において、変数ｓ_ｏ３２１は、所望の主照明源への不変の方向を示す。デフォルトの方向は、対象物の直前にあり、対象物を通る水平軸と位置合わせされている。すなわち、軸上の正面照明である。ｃ_ｏは、出力画像３２２の周囲成分である。同様に、α_ｏおよびβ_ｏは、出力表示デバイスのフォーマットパラメータを示す。

周囲照明
また、パラメータｃによって表されるような任意の周囲照明をモデル化することも可能である。代表的な一組のＮ個のトレーニング画像を使用することによって、本発明では、下式（６）の最適性基準を使用して周囲照明の成分を数値的に推定することができる。

ここで、ρ_ｉ（ｃ）は、上式（３）で定義されたような相対周囲強度ｃを用いて推定されるｉ番目のトレーニング画像のアルベドを示す。

発明の効果
本発明は、測光法で較正されていない顔等の対象物の入力画像における主光源の方向を推定するための簡単でかつ実用的な方法を提供する。対象物の正確な形状およびアルベド（表面テクスチャ）は未知であるが、対象物のクラスの一般的な形状およびアルベドは既知である。さらに、この方法は、照明不変テンプレート照合および対象物識別のために、入力画像を測光法で正規化する。必要な計算は、入力画像の各ピクセルについて５つのドット積よりも少なくてすむ。

この方法は、現実的なアクセス制御画像のデータセットについて、より良い性能を有する。この現実的なアクセス制御画像は、複雑な実世界の照明環境を示す。性能の増大は、画像空間における個人の画像のクラスタリングをより密にすることに直接起因する。これによって、高度な画像照合／識別システムが照明不変性を達成することが支援される。

結果は、照明方向の推定が比較的ロバストであり、その後の再照明正規化が、数個の単純なドット積演算のみを用いてリアルタイムで実現可能であることを示している。本発明による照明正規化は、従来技術の線形ランプ技法およびヒストグラム均等化技法に対して実用的かつ優れた代替物となる。

本発明による形状モデルおよび照明モデルの図である。本発明による、画像における主光源の方向を求めるための方法のフロー図である。本発明による、対象物の画像を測光法で正規化するためのフロー図である。

Claims

画像における主光源の方向を求めるための方法であって、
未知の方向ｓから主光源によって照明される対象物であり、ピクセルの配列で構成され、各ピクセルが強度Ｉ（ｘ，ｙ）を有する入力画像Ｉを、カメラを用いて取得することと、
前記入力画像における非ゼロの強度をスタックすることで、前記入力画像の前記強度から強度ベクトルＩ（→）を構成することと、
前記対象物のアルベドマップρを定義することと、
前記アルベドマップに対応するベクトル化されたアルベドマップからアルベドベクトルρ（→）を構成することと、
前記対象物の形状行列Ｎを生成することと、
形状アルベド行列Ａを得るために、前記アルベドベクトルρ（→）に前記形状行列Ｎを乗算することと、
前記強度ベクトルＩ（→）、前記アルベドベクトルρ（→）、および前記形状アルベド行列Ａから、前記主光源への推定された方向ｓ^＊を、最適化

に従って求めることと
を含み、
ここで、αは前記カメラの強度ゲイン、ｃは、相対周囲照明成分であり、
前記対象物は、前記形状行列Ｎによって表されるような一般形状モデルにより表される対象物のクラスに属し、
前記一般形状モデルの面法線をスタックすることによって、前記形状行列を生成し、
前記乗算することは、要素ごとのアダマール行列積ｏ、すなわち、

に対応する
画像における主光源の方向を求めるための方法。
前記最適化

は、解

を有し、ここで、Ｔは転置演算子である請求項１に記載の方法。
前記対象物は、顔である請求項１に記載の方法。
パラメータｃによって表されるような任意の周囲照明によって前記対象物を照明することをさらに含む請求項１に記載の方法。
所定のしきい値に従って前記非ゼロの強度を選択することをさらに含む請求項１に記載の方法。
マスクに従って前記非ゼロの強度を選択することをさらに含む請求項１に記載の方法。
拡散テキスチャから前記アルベドベクトルρ（→）を構成することをさらに含む請求項１に記載の方法。
公式

を使用して、前記入力画像から未知のアルベドを直接推定することをさらに含み、ここで、αおよびβは、それぞれ前記カメラの強度ゲインおよび強度オフセットを合同でモデル化し、ｃは、相対周囲照明成分であり、ｎは、単位面法線であり、Ｔは、転置演算子である請求項１に記載の方法。
特定のピクセルの前記強度が０である場合に、該特定のピクセルに平均アルベドを割り当てることをさらに含む請求項１に記載の方法。
公式

を使用して、所望の照明の下での照明不変出力画像を生成することをさらに含み、ここで、α_ｏは、出力表示デバイスのゲインであり、β_ｏは、出力表示デバイスのオフセットであり、ｃ_ｏは、前記照明不変出力画像において照明を行う所望の相対周囲照明の強度であり、ｎは、面法線であり、ｓ_ｏは、前記照明不変出力画像において照明を行う前記所望の相対周囲照明の方向であり、Ｔは、転置演算子である請求項１に記載の方法。
前記対象物の一組のＮ個のトレーニング画像を取得することと、
最適性基準

を使用して、前記パラメータｃによって表されるような前記任意の周囲照明の特性を推定することと
をさらに含み、ここで、ｃは、前記未知の周囲照明の強度であり、ρ_ｉ（ｃ）は、ｉ番目のトレーニング画像のアルベドを示す請求項４に記載の方法。
行列Ｐ＝Ａ（Ａ^ＴＡ）^−１を定義することと、
前記行列Ｐの等価な直交基底を推定し、ＱＲ因子分解Ｐ＝ＱＲを適用することと
をさらに含み、
前記ユニタリ行列Ｑは、前記行列Ｐのような部分空間にわたる３つの正規直交列を有し、Ｒ^−１は、誤差共分散の行列平方根であるので、３×３の上三角行列Ｒは、前記推定の品質を定義する請求項２に記載の方法。