JP4607953B2 - カラー画像の符号化のための方法、システム、およびソフトウェア製品 - Google Patents

Description

本発明はカラー画像の符号化のための方法、システムおよびソフトウェア製品に関する。

（本発明の背景）
近年、インターネットにおけるカラー画像データの量は爆発的に増大している。特に、ウェブサイト、デジタルカメラ、オンラインゲームの人気の高まりによって、カラー画像データは、インターネットトラフィックの中で大きな位置を占めるようになってきている。一方で、主に画像表示装置やデータ記憶装置および伝送帯域幅の限界のために、ワイヤレスチャンネルまたは低電力の小型機器を介するカラー画像へのアクセスは、依然として時間がかかると共に不便であり、多くのマルチメディアアプリケーションのボトルネックとなっている。（例えば、非特許文献１（以下「参考資料［１］」）、非特許文献２（以下「参考資料［２］」）、非特許文献３（以下「参考資料［３］」）、非特許文献４（以下「参考資料［４］」）、非特許文献５（以下「参考資料［５］」）および非特許文献６（以下「参考資料［６］」）を参照されたい。）
上記の制限を解決する一つの方法は、カラー画像を圧縮、最適化、または再符号化する効率的なカラー画像符号化スキームを適用することである。典型的なカラー画像符号化スキームは、カラーパレット、ピクセルマッピング、および可逆コード（ｌｏｓｓｌｅｓｓ ｃｏｄｅ）から成る。カラーパレットは、ベクトル量子化コードブックとしての役割を果たし、オリジナルのカラー画像の全ての色を表現するために利用される。次に、ピクセルマッピングは、カラーパレットの色に対応するインデックスに画像の各ピクセルをマッピングする。このピクセルマッピングは、カラーパレットの色へのＲＧＢカラーベクトルの量子化が固定されており、一旦カラーパレットが与えられると画像のＲＧＢカラーベクトルのピクセル位置とは無関係となるハードディシジョンピクセルマッピングか、あるいは、ＲＧＢカラーベクトルが異なるピクセル位置でカラーパレットの異なる色に量子化され得るソフトディシジョンピクセルマッピングであり得る。最後に、ピクセルマッピングから生じたインデックスシーケンスが、可逆コードによって符号化される。

従来、カラーパレットデザイン、ピクセルマッピング、および符号化は、別々に考えられていた。カラーパレットおよびピクセルマッピングの設計において、符号化部分は多くの場合無視されており、主な目的は、量子化ゆがみを低減し、量子化された画像のクオリティを向上させ、計算上の複雑性を低減することにあった。例えば、参考資料［１］〜［６］の文献において、いくつかのツリー構造の分岐および統合を行うカラー画像量子化方法は、多かれ少なかれ、この目的を達成するように提案されている。

一方で、符号化を考えるとき、カラーパレットおよびピクセルマッピングは、多くの場合与えられているものと仮定されており、その目的は、圧縮率を低下させるようにインデックスシーケンスの効率的なコードを設計することにある。例えば、色量子化（ｃｏｌｏｒ−ｑｕａｎｔｉｚｅ）された画像のＬＵＶカラー空間の不可逆圧縮のアルゴリズムは、非特許文献７（以下「参考資料［７］」）に示されている。２つの発見的ソリューションは、非特許文献８（以下「参考資料［８］」）に、可逆予測的符号化技術によって画像を符号化する前にカラーマップを並び替えるように提案されている。非特許文献９（以下「参考資料［９］」）では、２分木構造およびコンテクストベースのエントロピー符号化に基づいて、色量子化された画像の革新的な符号化を提供するように、圧縮アルゴリズムが提案されている。こうしたアルゴリズムでは、ＧＩＦ／ＰＮＧデコーダなどの標準的なデコーダと互換性のない圧縮されたビットストリームを犠牲にすることにより、圧縮の効率性が達成される。
Ｊ．Ｂａｒｒｉｌｌｅａｕｘ、Ｒ．Ｈｉｎｋｌｅ、およびＳ．Ｗｅｌｌｓ、「Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｖｅｃｔｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅ ｅｎｃｏｄｉｎｇ」、Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，Ｓｐｅｅｃｈ，ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、ＩＥＥＥ Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ ｏｎ ＩＣＡＳＳＰ’８７、ｖｏｌ．１２、７４０〜７４３ページ、１９８７年４月 Ｍ．Ｔ．ＯｒｃｈａｒｄおよびＣ．Ａ．Ｂｏｕｍａｎ、「Ｃｏｌｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｉｍａｇｅｓ」、Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ、ｖｏｌ．３９、ｎｏ．１２、２６７７〜２６９０ページ、１９９１年１２月 Ｉ．Ａｓｈｄｏｗｎ、「Ｏｃｔｒｅｅ ｃｏｌｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ」、Ｃ／Ｃ＋＋ Ｕｓｅｒｓ Ｊｏｕｒｎａｌ、ｖｏｌ．１３、ｎｏ．３、３１〜４３ページ、１９９４年 Ｘ．Ｗｕ、「Ｙｉｑ ｖｅｃｔｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ａ ｎｅｗ ｃｏｌｏｒ ｐａｌｅｔｔｅ ａｒｃｈｉｔｅｃｔｕｒｅ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、ｖｏｌ．５、ｎｏ．２、３２１〜３２９ページ、１９９６年 Ｌ．Ｖｅｌｈｏ、Ｊ．ＧｏｍｅｓおよびＭ．Ｖ．Ｒ．Ｓｏｂｒｅｉｒｏ、「Ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｂｙ ｐａｉｒｗｉｓｅ ｃｌｕｓｔｅｒｉｎｇ」、Ｐｒｏｃ．Ｔｅｎｔｈ Ｂｒａｚｉｌｉａｎ Ｓｙｍｐ．Ｃｏｍｐｕｔ．Ｇｒａｐｈ．Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓ、Ｌ．Ｈ．ｄｅ ＦｉｇｕｅｉｒｅｄｏおよびＭ．Ｌ．Ｎｅｔｔｏ、Ｅｄｓ．Ｃａｍｐｏｓ ｄｏ Ｊｏｒｄａｏ、Ｓｐａｉｎ、２０３〜２１０ページ、１９９７年 Ｓ．Ｗａｎ、Ｐ．ＰｒｕｓｉｎｋｉｅｗｉｃｚおよびＳ．Ｗｏｎｇ、「Ｖａｒｉａｎｃｅ−ｂａｓｅｄ ｃｏｌｏｒ ｉｍａｇｅ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｒａｍｅ ｂｕｆｆｅｒ ｄｉｓｐｌａｙ」、Ｒｅｓ．Ａｐｐｌ．、ｖｏｌ．１５、５２〜５８ページ、１９９０年 Ａ．ＺａｃｃａｒｉｎおよびＢ．Ｌｉｕ、「Ａ ｎｏｖｅｌ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｃｏｄｉｎｇ ｃｏｌｏｒ ｑｕａｎｔｉｚｅｄ ｉｍａｇｅ」、Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ、ｖｏｌ．２、ｎｏ．４、４４２〜４５３ページ、１９９３年１０月 Ｎ．Ｄ．ＭｅｍｏｎおよびＡ．Ｖｅｎｋａｔｅｓｗａｒａｎ、「Ｏｎ ｏｒｄｅｒｉｎｇ ｃｏｌｏｒ ｍａｐｓ ｆｏｒ ｌｏｓｓｌｅｓｓ ｐｒｅｄｉｃｔｉｖｅ ｃｏｄｉｎｇ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ、ｖｏｌ．５、ｎｏ．１１、１５２２〜１５２７ページ、１９９６年 Ｘ．Ｃｈｅｎ、Ｓ．ＫｗｏｎｇおよびＪ．ｆｕ Ｆｅｎｇ、「Ａ ｎｅｗ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ ｃｏｌｏｒ−ｑｕａｎｔｉｚｅｄ ｉｍａｇｅｓ」、Ｃｉｒｃｕｉｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｆｏｒ Ｖｉｄｅｏ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ、ｖｏｌ．１２、ｎｏ．１０、９０４〜９０８ページ、２００２年１０月

（本発明の要約）
本発明の第１の局面にしたがうと、データ処理システムを用いることにより、Ｎ個の異なる色を有するデジタル化されたカラー画像から、デジタル化されたカラー画像における全ピクセルのＭ個の互いに素なクラスタへのツリー構造パーティションを形成する方法が示されており、ＭはＮ以下であり、Ｎ個の異なる色における各色は、カラーパレットにおける複数のＰビットのバイトによってデジタル的に表現され、各ＰビットのバイトにおけるＰビットは、最上位から最下位へと順序付けられている。この方法は、（ａ）Ｎ個の異なる色の全てを含むルートノードを提供するステップと、（ｂ）該ルートノードにリンクされた兄弟ノードの第１のレベルを提供するステップであって、Ｎ個の異なる色における各色は、複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの第１のビットの値に基づいて、データ処理システムにより、兄弟（ｓｉｂｌｉｎｇ）ノードの第１のレベルにおける関連のあるノードに割り当てられる、ステップと、（ｃ）１色よりも多い色を含むノードのｋ番目のレベルにおける各ノードに対し、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードを提供するステップであって、そのノードにおける各色は、Ｎ個の異なる色の各色に対してその色のみを含む異なるリーフノードが存在するように、その色に対する複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの（ｋ＋１）番目のビットの値に基づいて、データ処理システムにより、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードの関連のある兄弟ノードに割り当てられる、ステップと、（ｄ）Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフノードを選択および統合するステップとを含む。

本発明の第２の局面にしたがうと、Ｎ個の異なる色を有するデジタル化されたカラー画像から、デジタル化されたカラー画像における全ピクセルのＭ個の互いに素なクラスタへのツリー構造パーティショニングを形成するデータ処理システムが示されており、ＭはＮ以下であり、Ｎ個の異なる色における各色は、カラーパレットにおける複数のＰビットのバイトによってデジタル的に表現され、各ＰビットのバイトにおけるＰビットは、最上位から最下位へと順序付けられている。データ処理システムは、（ａ）ノード生成手段であって、（ｉ）Ｎ個の異なる色の全てを含むルートノードを提供するステップと、（ｉｉ）ルートノードにリンクされた兄弟ノードの第１のレベルを提供するステップであって、Ｎ個の異なる色における各色は、複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの第１のビットの値に基づいて、兄弟ノードの第１のレベルにおける関連付のあるノードへとデータ処理システムによって割り当てられる、ステップと、（ｉｉｉ）１色よりも多い色を含むノードのｋ番目のレベルにおける各ノードに対し（ｋ+１)番目のレベルの複数の兄弟ノードを提供するステップであって、そのノードにおける各色は、Ｎ個の異なる色の各色に対してその色のみを含む異なるリーフノードが存在するように、その色に対する複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの（ｋ＋１）番目のビットの値に基づいて、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードにおける関連のある兄弟ノードに割り当てられる、ステップとのための、ノード生成手段と、（ｂ）Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフノードを選択および統合するノード統合手段とを含む。

本発明の第３の局面にしたがうと、Ｎ個の異なる色を有するデジタル化されたカラー画像から、デジタル化されたカラー画像における全ピクセルのＭ個の互いに素なクラスタへのツリー構造のパーティションを形成するように、コンピュータシステム上で用いられるコンピュータプログラム製品が示されており、ＭはＮ以下であり、Ｎ個の異なる色における各色は、カラーパレットにおける複数のＰビットのバイトによってデジタル的に表現され、各ＰビットのバイトのＰビットは、最上位から最下位へと順序付けられている。コンピュータプログラム製品は、記録媒体と、上記媒体に記録された手段であって、（ａ）Ｎ個の異なる色の全てを含むルートノードを提供するステップと、（ｂ）ルートノードにリンクされた兄弟ノードの第１のレベルを提供するステップであって、Ｎ個の異なる色の各色は、複数のＰビットバイトにおける各Ｐビットバイトの第１のビットの値に基づいて、兄弟ノードの第１のレベルにおける関連のあるノードに割り当てられる、ステップと、（ｃ）１色よりも多い色を含むノードのｋ番目のレベルの各ノードに対し、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードを提供するステップであって、そのノードにおける各色は、Ｎ個の異なる色の各色に対してその色のみを含む異なるリーフノードが存在するように、その色に対する複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの（ｋ＋１）番目のビットの値に基づいて、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードにおける関連のある兄弟ノードに割り当てられる、ステップと、（ｄ）Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフノードを選択および統合するステップを実行するようにコンピュータシステムに命令する、手段とを含む。

本発明の第４の局面にしたがうと、共にｎ個のピクセルで定義される、オリジナルのデジタル化されたカラー画像から導出されたデジタル化された新しいカラー画像に対し、ピクセルマッピングを表す新しいインデックスシーケンスと、カラーパレットを表す新しい出力関数とを導出する方法が提供されており、オリジナルのデジタル化されたカラー画像は、ｎ個のピクセルに割り当てられたＮ個の異なる色によって提供されており、新しいデジタル化されたカラー画像は、ｎ個のピクセルに割り当てられたＭ個の異なる色によって提供されており、新しいインデックスシーケンスは、ｎ個のピクセルを表すためのｎ個のインデックスメンバーを有しており、新しい出力関数は、Ｍ個の色にｎ個のインデックスメンバーをマッピングするためのものである。該方法は、（ａ）オリジナルのデジタル化されたカラー画像におけるピクセルの位置に関わらず、オリジナルのデジタル化されたカラー画像における各ピクセルの色に基づいて、オリジナルのデジタル化されたカラー画像における全てのピクセルをＭ個の互いに素なクラスタに分割することにより（ＭはＮ以下である）、第１の新しいインデックスシーケンスを提供するステップと、（ｂ）Ｍ個の互いに素なクラスタにおけるピクセルへのＭ個の異なる色の１対１のマッピングを提供するために、第１の新しい出力関数を提供するステップと、（ｃ）第１の新しいインデックスシーケンスの各メンバーに対し、第１の新しい出力関数によってそのメンバーに割り当てられている色の値が、第１の新しい出力関数によって第１の新しいインデックスシーケンスの少なくとも１つのその他のメンバーに割り当てられている色の値にどのように相関付けられているかに基づいて、新しいインデックスシーケンスと新しい出力関数とをそれぞれ提供するために、第１の新しいインデックスシーケンスと第１の新しい出力関数とにソフトディシジョン最適化プロセスを適用するステップとを含む。

本発明の第５の局面にしたがうと、共にｎ個のピクセルで定義される、オリジナルのデジタル化されたカラー画像から生成された新しいデジタルカラー画像に対し、ピクセルマッピングを表す新しいインデックスシーケンスと、カラーパレットを表す新しい出力関数とを導出するためのデータ処理システムが提供される。オリジナルのデジタル化されたカラー画像はｎ個のピクセルに割り当てられるＮ個の個別の色で成っており、新しいデジタル化されたカラー画像は、ｎ個のピクセルに割り当てられたＭ個の異なる色によって提供されており、新しいインデックスシーケンスは、ｎ個のピクセルを表すためのｎ個のインデックスメンバーを有しており、新しい出力関数は、Ｍ個の色にｎ個のインデックスメンバーをマッピングするためのものである。該データ処理システムは、（ａ）ハードディシジョンモジュールであって、（ｉ）オリジナルのデジタル化されたカラー画像におけるピクセルの位置に関わらず、オリジナルのデジタル化されたカラー画像の各ピクセルの色に基づいて、オリジナルのデジタル化されたカラー画像における全てのピクセルをＭ個の互いに素なクラスタに分割することにより（ＭはＮ以下である）、第１の新しいインデックスシーケンスを提供し、（ｉｉ）Ｍ個の互いに素なクラスタにおけるピクセルへのＭ個の異なる色の１対１のマッピングを提供するために、第１の新しい出力関数を提供する、ハードディシジョンモジュールと、（ｂ）第１の新しいインデックスシーケンスの各メンバーに対し、第１の新しい出力関数によってそのメンバーに割り当てられている色の値が、第１の新しい出力関数によって第１の新しいインデックスシーケンスの少なくとも１つのその他のメンバーに割り当てられている色の値にどのように相関付けられているかに基づいて、新しいインデックスシーケンスと新しい出力関数とをそれぞれ提供するために、第１の新しいインデックスシーケンスと第１の新しい出力関数とにソフトディシジョン最適化プロセスを適用するソフトディシジョンモジュールとを含む。

本発明の第６の局面にしたがうと、共にｎ個のピクセルで定義される、オリジナルのデジタル化されたカラー画像から導出された新しいデジタルカラー画像に対し、ピクセルマッピングと、カラーパレットを表す新しい出力関数とを形成するように、コンピュータシステム上で用いられるコンピュータプログラム製品が提供される。オリジナルのデジタル化されたカラー画像は、ｎ個のピクセルに割り当てられたＮ個の異なる色によって提供されており、新しいデジタル化されたカラー画像は、ｎ個のピクセルに割り当てられたＭ個の異なる色によって提供されており、新しいインデックスシーケンスは、ｎ個のピクセルを表すためのｎ個のインデックスメンバーを有しており、新しい出力関数は、Ｍ個の色にｎ個のインデックスメンバーをマッピングするためのものである。該コンピュータプログラム製品は、記録媒体と、記録媒体に記憶された手段であって、（ａ）オリジナルのデジタル化されたカラー画像におけるピクセルの位置に関わらず、オリジナルのデジタル化されたカラー画像における各ピクセルの色に基づいて、オリジナルのデジタル化されたカラー画像における全てのピクセルをＭ個の互いに素なクラスタに分割することにより（ＭはＮ以下である）、第１の新しいインデックスシーケンスを提供し、（ｂ）Ｍ個の互いに素なクラスタにおけるピクセルへのＭ個の異なる色の１対１のマッピングを提供するために、第１の新しい出力関数を提供し、（ｃ）第１の新しいインデックスシーケンスの各メンバーに対し、第１の新しい出力関数によってそのメンバーに割り当てられている色の値が、第１の新しい出力関数によって第１の新しいインデックスシーケンスの少なくとも１つのその他のメンバーに割り当てられている色の値にどのように相関付けられているかに基づいて、新しいインデックスシーケンスと新しい出力関数とをそれぞれ提供するために、第１の新しいインデックスシーケンスと第１の新しい出力関数とにソフトディシジョン最適化プロセスを適用するステップとを実行するようにコンピュータシステムに命令する、媒体に記録された手段とを含む。

本発明の好適な実施例の詳細な説明を、以下の図面を参照しながら、以下に説明する。

（本発明の好ましい実施形態の詳細な記述）
図１を参照すると、ブロック図によって本発明の一局面にしたがうコンピュータシステムが１０が示されている。コンピュータシステムは、カラー画像データを保存するメモリ１２と、デジタルカラー画像を表示するモニター１４と、画像処理のための、および、計算上の複雑性を低く抑え、ＧＩＦ／ＰＮＧデコーダとの互換性を保つ一方で、量子化、ひずみおよび圧縮重量を同時に最適化するカラーデータの圧縮を提供するためのＣＰＵ１６と、伝送線２０によるコンピュータシステム１０からの伝送の前に、カラー画像データを符号化するＧＩＦエンコーダまたはＰＮＧエンコーダのような、エンコーダ２０とを含む。

カラー画像符号化の同時最適化の問題は、以下のように定義できる。Ω＝｛（ｒ，ｇ，ｂ）｜０≦ｒ，ｇ，ｂ≦２５５｝をＲＧＢ色空間とする。０＝｛ｏ_０，ｏ_１…，ｏ_Ｎ−１｝は、Ｎ個の異なる色を有するオリジナルのカラー画像のカラーパレットと仮定する。オリジナル画像における総ピクセル数がｎである場合、カラー画像を上下左右の全体にスキャンすることにより、インデックスシーケンスＩ＝（ｉ_０，ｉ_１，…，ｉ_ｎ―１）が得られる。ｉ_ｋは、ｋ番目のピクセルのカラーベクトルがｏ_ｉｋであることを示す。制限的に、Ｍ個（Ｍ＜Ｎ）の色を有する新しいカラーパレットＣを用いることにより、オリジナルのカラー画像を再現する場合、同時最適化エンコーダは、新しいカラーパレットＣ＝｛ｃ_０，ｃ_１，．．．，ｃ_Ｍ−１｝、新しいインデックスシーケンスＵ＝（ｕ_０，ｕ_１，．．．，ｕ_ｎ−１）、および可逆コードワード長関数を求めることにより、オリジナルの画像を再現し、コスト関数

を最小化することを目的とする。λはラグランジアン乗数であり、ｄは、

のように、ｃ_ｕｋによってｏ_ｉｋを表すことにより生じる２乗誤差である。

可逆コードワード長関数と可逆コードとの間には、１対１のマッピングが存在するため、可逆コードワード長関数の選択は、可逆コードの選択と等価である。

明らかに、

は全２乗誤差（ＴＳＥ；ｔｏｔａｌ ｓｑｕａｒｅ ｅｒｒｏｒ）であり、これは、量子化されたカラー画像のビジュアルクオリティに密接に関連する。ＴＳＥまたはその他同様のひずみの測定値の最小化は、参考資料［１］から［６］で考察されている量子化指向の方法の唯一の目的である。同様に、新しいカラーパレットＣおよびピクセルマッピング（したがって、インデックスシーケンスＵ）を考えると、考えられる可逆コードワード長関数ｌの全てにおけるビットレートｎ^−１ｌ（Ｕ）の最小化は、参考資料［７］から［９］で考察されている色量子化された画像に対する符号化方法の唯一の目的である。上記のコスト関数により、圧縮率とひずみとの同時最適化という問題が前面に出される。量子化ひずみは、カラーパレットＣおよびピクセルマッピング（すなわち、インデックスシーケンスＵ）によって決定され、圧縮率は、ピクセルマッピングおよび可逆コードワード長関数ｌの両方によって決定される。ここで、当然ながら、ピクセルマッピングは、ソフトディシジョンピクセルマッピングである。したがって、可逆コードワード長関数ｌが決定されている場合でさえも、ＣおよびＵの両方を変更することにより、圧縮率およびひずみの両方を同時に最適化することが可能である。

可逆コードワード長関数は数多くあり、それぞれが例えば次のような異なるエントロピーコードに対応している。例えば、Ｈｕｆｆｍａｎコード、Ｄ．Ａ．Ｈｕｆｆｍａｎ、「Ａ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｍｉｎｉｍｕｍ−ｒｅｄｕｎｄａｎｃｙ ｃｏｄｅｓ」、Ｐｒｏｃ．ＩＲＥ、ｖｏｌ．４０、ｎｏ．９、１０９８〜１１０１ページ、１９５２年（以下「参考資料［１２］」）、Ｌｅｍｐｅｌ−ｚｉｖコード、Ｊ．ＺｉｖおよびＡ．Ｌｅｍｐｅｌ、「Ａ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｆｏｒ ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ ｄａｔａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｖｏｌ．２３、３３７〜３４３ページ、１９７７年（以下「参考資料［１１］」）、Ｊ．ＺｉｖおよびＡ．Ｌｅｍｐｅｌ、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｉｎｆｏｒｍ．Ｔｈｅｏｒｙ（以下「参考資料［１０］」）、算術コード、Ｉ．Ｈ．Ｗｉｔｔｅｎ、Ｍ．Ｎｅａｌ、およびＪ．Ｇ．Ｃｌｅａｒｙ、「Ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｃｏｄｉｎｇ ｆｏｒ ｄａｔａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ」、Ｃｏｍｍｕｎ．ＡＣＭ、ｖｏｌ． ３０、５２０〜５４０ページ、１９８７年６月（以下「参考資料［１３］」）、文法ベースコード、Ｅ．−Ｈ．ＹａｎｇおよびＪ．Ｃ．Ｋｉｅｆｆｅｒ、「Ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｌｏｓｓｌｅｓｓ ｄａｔａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ａ ｇｒｅｅｄｙ ｓｅｑｕｅｎｔｉａｌ ｇｒａｍｍａｒ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ− ｐａｒｔ ｏｎｅ：Ｗｉｔｈｏｕｔ ｃｏｎｔｅｘｔ ｍｏｄｅｌｓ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．Ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｖｏｌ．４６、ｎｏ．３、７５５〜７７７ページ、２０００年５月（以下「参考資料［１４］」）、Ｊ．Ｃ．ＫｉｅｆｆｅｒおよびＥ．−Ｈ．Ｙａｎｇ、「Ｇｒａｍｍａｒ ｂａｓｅｄ ｃｏｄｅｓ： Ａ ｎｅｗ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｌｏｓｓｌｅｓｓ ｓｏｕｒｃｅ ｃｏｄｅｓ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｖｏｌ．４６、ｎｏ．３、７３７〜７５４ページ、２０００年５月（以下「参考資料［１５］」）、Ｅ．−Ｈ．ＹａｎｇおよびＤ．−Ｋ．Ｈｅ ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｖｏｌ．４９、２８７４〜２８９４ページ、２００３年（以下「参考資料［１６］」）、およびカラー画像符号化のために特別に設計された可逆コード（参考資料［７］〜［９］を参照）。ＧＩＦ／ＰＮＧデコーダとの互換性を維持したいので、ＧＩＦデコーダの場合には、ＬＺ７８のコードワード長またはその変種、ＰＮＧデコーダの場合には、ＬＺ７７コードまたはその変種となるように選択する。Ｊ．Ｍｉａｎｏ、「Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ ｉｍａｇｅ ｆｉｌｅ ｆｏｒｍａｔｓ：Ｊｐｅｇ，ｐｎｇ，ｇｉｆ，ｘｂｍ，ｂｍｐ」、ＡＣＭ Ｐｒｅｓｓ、２０００年（以下「参考資料［１７］」）。これは、いずれの場合も、ｌ_ＬＺ（Ｕ）と示される。したがって、この場合に最小化されるコスト関数は、

である。

上記のコスト関数は、エントロピー制約ベクトル量子化（ＥＣＶＱ；ｅｎｔｒｏｐｙ−ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｖｅｃｔｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ）で定義されるコスト関数、Ｐ．Ａ．Ｃｈｏｕ、Ｔ．Ｌｏｏｋａｂａｕｇｈ、およびＲ．Ｍ．Ｇｒａｙ、「Ｅｎｔｒｏｐｙ−ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｖｅｃｔｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ」、Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，Ｓｐｅｅｃｈ，ａｎｄ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇも参照］、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ、ｖｏｌ．３７、ｎｏ．１、３１〜４２ページ、１９８９年１月（以下「参考資料［１８］」）、および、特に、変動比率トレリスソース符号化（ＶＲＴＳＥ；ｖａｒｉａｂｌｅ−ｒａｔｅ ｔｒｅｌｌｉｓ ｓｏｕｒｃｅ ｅｎｃｏｄｉｎｇ）で定義されるコスト関数、Ｅ．−Ｈ．ＹａｎｇおよびＺ．Ｚｈａｎｇ、「Ｖａｒｉａｂｌｅ ｒａｔｅ ｔｒｅｌｌｉｓ ｓｏｕｒｃｅ ｅｎｃｏｄｉｎｇ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｖｏｌ．４５、ｎｏ．２、５８６〜６０８ページ、１９９９年３月（以下「参考資料［１９］」）と類似の形態である。ＶＲＴＳＥは、トレリス構造を利用し、生成される圧縮率、ひずみ、および選択された符号化パスを同時に最適化するという意味において、エントロピー制約スカラー量子化およびベクトル量子化の一般化［１８］と考えることができる。特に低圧縮率領域において、その効率的なパフォーマンスにより、ＶＲＴＳＥは、特に、格納スペースと伝送時間とを節約するために高い圧縮率がしばしば所望されるカラー画像の符号化に適用可能となる。

ＶＲＴＳＥに基づき、発明の一局面にしたがって、計算上の複雑性を低く抑え、ＧＩＦ／ＰＮＧデコーダとの互換性を維持する一方で、量子化ひずみと圧縮率との両方を同時に最適化する可変圧縮率トレリスカラー量子化（ＶＲＴＣＱ；ｖａｒｉａｂｌｅ−ｒａｔｅ ｔｒｅｌｌｉｓ ｃｏｌｏｒ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ）１およびＶＲＴＣＱ２という２つの方法を開発した。ＶＲＴＣＱ１とＶＲＴＣＱ２の両方は、ソフトディシジョンピクセルマッピングを利用し、反復性がある。加えて、本発明のさらなる局面により、ＶＲＴＣＱ１およびＶＲＴＣＱ２に対する初期のカラー画像符号化スキームを提供するために、ＲＧＢカラーに対する八分木データ構造を利用し、量子化されたカラー画像のエントロピー制約コストを部分的に最小化するエントロピー制約階層的統合量子化（ＥＣＨＭＱ；ｅｎｔｒｏｐｙ−ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｈｉｅｒａｒｃｈｉｃａｌ ｍｅｒｇｉｎｇ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ）が開発された。ＥＣＨＭＱは、それ自身のみで、量子化されたカラー画像の圧縮率およびひずみをトレードオフする効率的な方法を提供する。

（可変圧縮率トレリスソースエンコーティングの概要）
［１９］で示される可変圧縮率トレリスソース符号化は、固定された勾配の不可逆符号化をトレリス構造のデコーダーの場合に拡大したものである。固定された勾配の不可逆符号化は、Ｅ．ｈｕｉ Ｙａｎｇ、Ｚ．Ｚｈａｎｇ、およびＴ．Ｂｅｒｇｅｒ、「Ｆｉｘｅｄ−ｓｌｏｐｅ ｕｎｉｖｅｒｓａｌ ｌｏｓｓｙ ｄａｔａ ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ．ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｖｏｌ．４３、ｎｏ．５、１４６５〜１４７６ページ、１９９７年９月（以下「参考資料［２０］」）に示されている。各実数値のソースシーケンスｘ^ｎ＝（ｘ_０，ｘ_１，．．．，ｘ_ｎ−１）∈Ｒ^ｎに対し、シーケンスｕ^ｎ＝（ｕ_０，ｕ_１．．．ｕ_ｎ−１）∈Ｍ^ｎ _ｓｅｔ，Ｍ_ｓｅｔ＝｛０，１，．．．，Ｍ−１｝を求めることにより、コスト関数

を最小化することを目的としている。λは、一定のラグランジアン乗数であり、ｌは可逆コードワード長関数、β（ｕ^ｎ）＝（ｚ_０，ｚ_１…，ｚ_ｎ−１）はｕ^ｎに対応する再現シーケンスであり、ｐは、任意のｘ^ｎ＝（ｘ_０，ｘ_１，…，ｘ_ｎ−１）およびｚ^ｎ（ｚ_０，ｚ_１…，ｚ_ｎ−１）に対し、

で定義される2乗誤差である。

再現シーケンスβ（ｕ^ｎ）は、トレリス構造のデコーダβ＝（ｆ，ｇ）を介してｕ^ｎから求められる。ここに、ｆ：ＳｘＭ_ｓｅｔ→Ｓは状態推移関数であり、Ｓ＝｛ｓ_０，ｓ_１，．．．，ｓ_{｜Ｓ｜−１}｝は状態の集合であり、ｇ：ＳｘＭ_ｓｅｔ→Ｒは出力関数である。関数ｆおよびｇは、それぞれ、トレリス構造と、（カラーパレットと類似した）再現レベルの集合とを決定する。所与の初期状態ｓ_ｉ０に対し、再現シーケンスβ（ｕ^ｎ）＝（ｚ_０，ｚ_１，．．．ｚ_ｎ−１）は、以下のように求められる。

換言すると、ｕ^ｎを受け取ると、デコーダβは、状態のシーケンスｓ_ｉｏ，ｓ_ｉ１，．．．，ｓ_ｉｎにトラバースする一方で、再現シーケンスβ（ｕ^ｎ）＝（ｚ_０，ｚ_１，…，ｚ_ｎ−１）を出力する。

βを固定する。ｌを、ｋ次の推移確率関数Ｗ（ｕ｜ｕ^ｋ）によるｋ次の静的算術コードワード長関数（ｓｔａｔｉｃ ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ ｃｏｄｅｗａｒｄ ｌｅｎｇｔｈ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）Ｌ^Ｗ _ｋとして選択する。次に、ビタビアルゴリズムを用いることにより、

のように、最適シーケンスｕ^ｎが求められ得る。

ｆを固定する。ｇ、ｕ^ｎ、およびＬ^Ｗ _ｋ（同じことであるが、Ｗ（ｕ｜ｕ^ｋ））の同時最適化は、

のように記述され得る。

同時最適化問題（２．５）を解決するための代替的なアルゴリズムは、［１９］に提案されている。この代替的なアルゴリズムの手順は、以下の通りである。

ステップ１：ｔ＝０と設定する。

を満たす出力関数ｇ^（ｏ）と推移確率関数Ｗ^（０）とを選択する。

ステップ２：ｇ^（ｔ）およびＷ^（ｔ）を固定する。ビタビアルゴリズムを用いることにより、ｇをｇ^（ｔ）に置換しＷをＷ^（ｔ）に置換した等式（２．４）を満たすシーケンス（ｕ^ｎ）^（ｔ）＝（ｕ_０ ^（ｔ），ｕ_１ ^（ｔ），…ｕ_ｎ−１ ^（ｔ））を求める。

ステップ３：（ｕ^ｎ）^（ｔ）を固定する。インデックスシーケンス（ｕ^ｎ）^（ｔ）は、推移確率関数と出力関数とを

および

のように更新する。ここに、ｕ_ｊ−ｋ ^ｊ−ｌ＝ｕ_ｊ−ｋ…ｕ_ｊ−１，ｓ_ｉｊ，ｊ＝０，１，…ｎ−１は、（ｕ^ｎ）^（ｔ）に応答してトレリスデコーダ（ｆ，ｇ^（ｔ））によってトラバースされる状態であり、Σ_ｓ，ｕは、ｓ_ｉｊ＝ｓおよびｕ_ｊ ^（ｔ）＝ｕを満たすすべてのｊにわたって取られる。

ステップ４：ｔ＝０，１，２，．．．に対し、

となるまで、ステップ２からステップ３を繰り返す。ξは、所定の小さい閾値であり、Ｌ_ｋ ^Ｗ（ｔ）は、ｋ次の推移確率関数Ｗ^（ｔ）（ｕ｜ｕ^ｋ）に関連するｋ次の静的算術コードワード長関数である。その後、ｇ^{（ｔ＋ｌ）}、（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}、およびＷ^{（ｔ＋１）}を出力する。

ＶＲＴＳＥの性能は、参考資料［１９］の定理３および４に示されているように、圧縮率・ひずみの制限に漸近する。ガウシアン、ラプラシアン、ガウス・マルコフのソース上での実験結果は、ＶＲＴＳＥが特に低圧縮率符号化に適していることを示している。ＶＲＴＳＥをカラー画像符号化に適用するには、以下の問題に対処しなければならない。

問題１：ＶＲＴＳＥで用いられる可逆コードワード長関数は、ｋ次の静的算術コードワード長関数Ｌ_ｋである。一方で、カラー画像の符号化の現在の例において、可逆コードワード長関数は、Ｌｅｍｐｅｌ−ｚｉｖコードワード長関数ｌ_ＬＺである。

問題２：ＶＲＴＳＥにおいて、初期化ステップ、すなわちステップ１は指定されていない。すなわち、初期関数ｇ^（０）とＷ^（０）をいかにして選択するかは、ＶＲＴＳＥにおいては決定されていない。このことは、ここでのカラー画像符号化設定においては、初期のカラー画像符号化スキームをいかにして設計するかということに言い換えられる。

問題３：計算上の複雑性を低減するために、ＶＲＴＳＥにおけるインデックス集合Ｍ_ｓｅｔは、しばしば２進的となるように、すなわちＭ_ｓｅｔ＝２となるように選択される。これにより、高次の算術コードワード長が使用され得る。一方で、カラー画像符号化では、濃度Ｍは通常比較的大きく、おおよそ２５６くらいであり得る。したがって、計算上の複雑性を低減するための新しい方法が必要とされる。

問題１を回避するために、Ｌｅｍｐｅｌ−ｚｉｖコードワード長関数ｌ_ＬＺを上から制限する。ｌ_ＬＺがＬＺ７８のコードワード長関数である場合、可逆ソース符号化に関する文献（例えば、［１４］を参照）から、任意のシーケンスｕ^ｎ＝（ｕ_０，ｕ_１，．．．，ｕ_ｎ−１）に対し、

がしたがう。ｒ_ｋ（ｕ^ｎ）は、シンボル毎のビットにおけるｕ^ｎのｋ次の経験的エントロピーであり、ｑ_ｋはｋのみに依存する定数であり、対数は底２に関する対数を示す。同様な上限は、ｌ_ＬＺがＬＺ７７のコードワード長関数である場合にも有効である。ひずみの制約を受ける（１／ｎ）ｌ_ＬＺ（ｕ^ｎ）を最小化する代わりに、ＶＲＴＣＱ１において同じひずみ制約を受けるｒ_ｋ（ｕ^ｎ）が最小化され得る。ＶＲＴＣＱ２では異なる上限が使用される。問題２〜３は以下で扱われる。

（エントロピー制約階層的統合量子化）
本発明の一局面にしたがうと、ＶＲＴＳＥに対する初期カラー画像符号化スキームを提供するエントロピー制約階層的統合量子化（ＥＣＨＭＱ）を介することにより、問題２が扱われる。ＥＣＨＭＱは、ＶＲＴＣＱ１およびＶＲＴＣＱ２の双方に対して、第１のステージ、すなわちステージ１としての役割を果たす。

ＥＣＨＭＱはハードディシジョン量子化であり、オリジナルのＮ個の色をＭ個の重複しないクラスタに分割し、各クラスタに対する再現色を求め、２次元画像におけるオリジナルの色の位置に関わらず、各オリジナルの色の再現色を決定する。これは八分木データ構造［３］を活用したものであり、以下に定義されるエントロピー制約コストを部分的に最小化することにより、圧縮率およびひずみをトレードオフする。

カラーパレットＯ＝｛ｏ_０，ｏ_１，．．．，ｏ_Ｎ−１｝と新しいカラーパレットの所望のサイズＭ＜Ｎとを有するｎピクセルの所与のカラー画像に対し、ハードディシジョン量子化器ｑを用いることにより、ｉ≠ｊおよび０≦ｉ，ｊ＜Ｍに対し、Ｎ個の色を

を満たすＭ個のクラスタＣ_０，Ｃ_１，．．．，Ｃ_Ｍ−１に分割する。

クラスタの重心の整数形式は、カラーパレットＣ＝｛ｃ_０，ｃ_１，．．．，ｃ_Ｍ−１｝を構成し、オリジナルの色からクラスタへのマッピングは、各ピクセルをインデックスに明示的にマッピングする。ｕ^ｎ＝（ｕ_０，ｕ_１，．．．，ｕ_ｎ−１）∈Ｍ^ｎ _ｓｅｔを、全てのピクセルをインデックスにマッピングすることから得られるインデックスシーケンスとする。次に、量子化された画像のエントロピー制約コストは、次のように定義される。

ここに、λはラグランジアン乗数である。（３．８）において、Ｄ（ｑ）は全２乗誤差

である。ここに、Ｆ（ｏ_ｉ），０≦ｉ＜Ｎは、オリジナルのカラー画像における色ｏ_ｉの出現回数であり、ｄ（ｏ_ｋ，ｃ_ｊ）は、式（１．１）で定義されるように、ＲＧＢ空間における２色間のユークリッド距離の２乗である。Ｒ（ｑ）は、インデックスシーケンスｕ^ｎのコードワード長である。色からインデックスへのマッピングは、カラー画像における色の位置とは独立であるため、コードワード長を計算するためには、１次のエントロピー

が用いられる。

式（３．８）に定義されたコスト関数は、参考資料［１８］におけるエントロピー制約ベクトル量子化（ＥＣＶＱ）で定義されるラグランジアン関数と類似している。主な課題は、優れたレートのひずみのトレードオフと、低い符号化の複雑性とを用いて、ハードディシジョン量子化器ｑを設計することである。統合を高速化するために八分木構造が用いられ、量子化された画像の圧縮率とひずみとをトレードオフするために、等式（３．８）で定義されたコスト関数が用いられる。

各ピクセルの色を走査しツリー［３］にこれを挿入するオンザフライ（ｏｎ−ｔｈｅ−ｆｌｙ）八分木構築手順とは異なり、まず、オリジナルのカラー画像のヒストグラムを得ることにより、初期の八分木を構築する。図２を参照すると、オリジナルのカラー画像における異なる色の全てとその出現とを含む八分木２２がグラフに示されている。ルートノード２４、すなわち、レベル０は、カラー画像における異なるの色の全てを含む。ＲＧＢ色空間の各色は、３つの８ビットバイトで構成され、それらのうちの各々は主成分を示しているため、３つのバイトの最上位ビットは、レベル１の色の位置を決定する。１色よりも多い色がノードを通過する限り、そのノードは中間ノード２６であり、下位のＲＧＢビットの組み合わせによってさらに分岐し得る。リーフノード２８を通過する色は、そのリーフノード２８における色と呼ばれ、事実上、その色自体は、そのリーフノードの重心である。レベルｋにおける任意の２つのリーフ兄弟ノードの重心の間の各色成分の方向における距離は、（０，２^９−ｋ）の範囲内となる。明らかに、ｋの値が大きいほど、それらの重心色はより類似する。図２に示される八分木２２は、２つの理由により非常に不均衡で非対称となっていることに留意されたい。第１に、通常のカラー画像に現れる色の個数は、ＲＧＢ空間で利用可能な全２^２４色よりも遥かに少ない（参考資料［１７］を参照）ことと、第２に、一色しかこれを通過しない場合には、ノードは、分岐を停止するということである。

オリジナルのカラー画像における異なる各色ｏ_ｉは、八分木の異なるリーフノードΘ_ｉに表示される。常時２つのリーフ兄弟ノードを繰り返し統合することにより、リーフノードの数をＮからＭに減らすことが可能である。生成された各リーフノードの重心の整数形式は、新しいカラーパレットにおける色である。リーフ兄弟ノードを繰り返し統合した後、各リーフノードは、オリジナルのカラー画像のカラーパレットにおける色のサブセットに対応する。

Ｏ＝｛ｏ_０，ｏ_１，．．．，ｏ_Ｎ−１｝をオリジナルのカラー画像のカラーパレットであると仮定する。Θ_ｉおよびΘ_ｊを、親ノードΘ_ｒの下にある２つの兄弟ノードとし、Θ_ｉ＝｛ｏ_ｉ０，ｏ_ｉ１，…，ｏ_ｉｍ−１｝、Θ_ｊ＝｛ｏ_ｊ０，ｏ_ｊ１，…，ｏ_ｊｋ−１｝、およびΘ_ｉ∩Θ_ｊ≡φとする。ｃ_ｉをΘ_ｉに対する重心色とし、ｃ_ｊをΘ_ｊに対する重心色とする。ノードΘ_ｉの出現回数Ｆ_ｉをノードのΘ_ｉ各色の出現回数の合計として定義する。

Ｆ_ｉｔは、オリジナルの画像の色ｏ_ｉｔの出現回数である。ノードΘ_ｊの出現回数Ｆ_ｊもまた、同様に計算される。

Ｆ_ｊｔは、オリジナルの画像の色ｏ_ｊｔの出現回数を示す。２つのノードΘ_ｉおよびΘ_ｊを新しいノードΘ_ｉｊに統合することにより、Θ_ｉおよびΘ_ｊにおける全ての色を新しいノードΘ_ｉｊに移動させる。すなわち、Θ_ｉｊ＝Θ_ｉ∪Θ_ｊ＝｛ｏ_ｉ０，ｏ_ｉ１，．．．，ｏ_ｉｍ−１，ｏ_ｊ０，ｏ_ｊ１，．．．，ｏ_ｊｋ−１｝とする。したがって、ノードΘ_ｉｊの出現回数は、Ｆ_ｉｊ＝Ｆ_ｉ＋Ｆ_ｊ．となる。実数の色が許容されていると仮定する。次の補助定理は、Θ_ｉおよびΘ_ｊをΘ_ｉｊに統合することから生じるエントロピー制約コストインクリメントを与える。

補助定理１：ノードΘ_ｉおよびΘ_ｊを統合することにより、エントロピー制約コストは、

によって増加する。
ここに、ｃ_ｉｊは、ノードΘ_ｉｊの重心、つまり

である。

証明：セルの重心を用いてセルの全ての要素を再現するとき、最小全２乗誤差が得られる。これは、重心の条件、Ｓ．Ｐ．Ｌｌｏｙｄ、「Ｌｅａｓｔ ｓｑｕａｒｅｓ ｑｕａｎｔｉｚａｔｉｏｎ ｉｎ ｐｃｍ」、ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ． ｏｎ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ、ｎｏ．２８、１２７〜１３５ページ、１９８２年３月（以下「参考資料［２１］」）であり、量子化の方法で広く用いられている。この明細書では、リーフノードの重心を量子化のレベルとして、すなわち、そのノードにおける全ての色に対する再現色として用いる。このようにして、統合前のエントロピー制約コストと統合後の全エントロピー制約コストの間の差を計算しなくても、考えられる統合の各々に対するエントロピー制約コストが計算可能され得る。

Ｆ_ｉｃ_ｉ＝Σ_ｐ＝０ ^ｍ−１Ｆ_ｉｐｏ_ｉｐ、Ｆ_ｊｃ_ｊ＝Σ_ｑ＝０ ^ｋ−１Ｆ_ｊｑｏ_ｊｑであるため、新しいノード
Θ_ｉｊの重心は、

となる。

増加したエントロピー制約コストΔＪの等式（３．１１）は、増加した２乗誤差ΔＤおよび増加したコードワード長ΔＲを個別に計算することにより、証明可能である。Ｄ_ΘｉをΘ_ｉに対する量子化レベルとしてｃ_ｉを用いることにより生じた全２乗誤差を示すものとする。すると、Ｄ_Θｉ＝Σ_ｐ＝０ ^ｍ−１Ｆ_ｉｐ‖ｏ_ｉｐ−ｃ_ｉ‖^２となる。同様に、Ｄ_Θｊ＝Σ_ｑ＝０ ^ｋ−１Ｆ_ｊｑ‖ｏ_ｊｑ−ｃ_ｊ‖ｏ_ｊｑ−ｃ_ｊ‖^２およびＤ_Θｉｊ＝Σ_ｐ＝０ ^ｍ−１Ｆ_ｉｐ‖ｏ_ｉｐ−ｃ_ｉｊ‖^２＋Σ_ｑ＝０ ^ｋ−１Ｆ_ｊｑ‖ｏ_ｊｑ−ｃ_ｉｊ‖^２が得られる。ｃ_ｉｊを等式（３．１２）の表示に代え、Ｄ（Θ_ｉｊ）の表示を単純化することにより、Ｄ_Θｉｊ＝Ｄ_Θｉ＋Ｄ_Θｊ＋Ｆ_ｉｄ（ｃ_ｉ，ｃ_ｉｊ）＋Ｆ_ｊｄ（ｃ_ｊ，ｃ_ｉｊ）が得られる。したがって、

となる。

Ｒ_ΘｉをノードΘ_ｉにおける色を有する全てのピクセルを符号化するエントロピーから生じるビットの総数を示すものとする。すると、

となる。同様に、

および

が得られる。すると、

となり、これは、ΔＤと共に、（３．１１）を示唆する。これにより、補助定理１の証明が完了する。

補助定理１は、２つのリーフ兄弟ノードを統合する規則を提供する。ステージ１の目的は、量子化された画像の圧縮率とひずみとの間の効率的なトレードオフを与え得るハードディシジョン量子化器を生成することである。オリジナルのカラーパレットは有限であるため、全ての考えられる組み合わせを介して探すことにより、大域的に最適なハードディシジョン量子化器を求めることができる。しかしながら、そのような方法は高い計算複雑性を有するものであるため、実時間の圧縮に対しては、実現不可能である。補助定理１は、ツリー構造のハードディシジョン量子化器を設計するための代わりの欲張りな（ｇｒｅｅｄｙ）方法を提案している。Ｎ個のリーフノードを有するオリジナルの八分木に基づいて、Ｍ個のリーフノードが残されるまで２つのリーフ兄弟ノードをエントロピー制約コストの最小インクリメントを用いて繰り返し統合することが可能である。エントロピー制約階層的統合量子化（ＥＣＨＭＱ）と呼ばれるこの方法は高速であり、量子化された画像の圧縮率とひずみとの間の良好なトレードオフを与える。ＥＣＨＭＱの詳細な手順は、以下の通りである。

ステップ１：ｎ−ピクセルのオリジナルのカラー画像Ｘ＝（ｘ_０，ｘ_１，．．．，ｘ_ｎ−１）を読み込み、カラーパレットＯ＝｛ｏ_０，ｏ_ｌ，．．．，ｏ_Ｎ−１｝および各色ｏ_ｉの出現回数ｆ_ｉを得る。ここに、０≦ｉ＜Ｎである。

ステップ２：異なるリーフノードΘ_ｉとしてツリーに各色ｏ_ｉを挿入することにより、八分木を構築する。各リーフノードΘ_ｉ，０≦ｉ＜Ｎに対し、その重心ｃ_ｉ＝ｏ_ｉ、ＴＳＥ Ｄ_Θｉ＝０、出現回数Ｆ_ｉ＝ｆ_ｉ，およびコードワード長

を計算する。

ステップ３：ｋ＝Ｎとする。

ステップ４：２つのリーフ兄弟ノードΘ_ｉおよびΘ_ｊのそれぞれに対し、式（３．１２）によって重心ｃ_ｉｊを、等式（３．１１）によって増加したエントロピー制約コストを計算する。

ステップ５：リーフ兄弟ノードの全てのペアから、以前のステップで計算された増加エントロピー制約コストを最小化する２つのリーフ兄弟ノードΘ_ｐおよびΘ_ｑを選択する。Θ_ｐおよびΘ_ｑのみがそれらの親の下の兄弟である場合、Θ_ｐとΘ_ｑとを、Θ_ｐとΘ_ｑとの親ノードに等しい新しいΘ_ｐｑに統合し、そうでない場合、Θ_ｐとΘ_ｑとの親ノードの下の新しい組み合わせの兄弟ノードに統合する。Θ_ｐｑの重心ｃ_ｐｑ、

および、

を計算する。

ステップ６：八分木からリーフノードΘ_ｐおよびΘ_ｑを除く。

ステップ７：ｋから１を減算する。

ステップ８：ｋ＝Ｍとなるまでステップ４から７を繰り返す。次に、異なるインデックスｉ∈Ｍ_ｓｅｔを最後の八分木における残りのＭ個のリーフノードのそれぞれに割り当てる。リーフノードの重心の整数形式は、新しいカラーパレットにおける異なる色であり、そのリーフノードの全ての色は、そのリーフノードに対応するインデックスにマッピングされる。

所望の色数に到達したとき、オリジナルの画像を量子化するための最終的なエントロピー制約コストは、

となる。ここに、Ｊ_ＮはＮ個の個別の色を有するオリジナルの画像のコストであり、ΔＪ_ｉは２つの選択されたリーフノードを統合し、八分木のリーフノードの数をｉからｉ−１に減らしたときの増加したコストである。八分木において２つのリーフ兄弟ノードを統合するとき、増加した最小のエントロピー制約コストを常時求めることにより、ＥＣＨＭＱは、エントロピー制約コストを最小化するための部分的に最適な方法を提供する。

ＥＣＨＭＱは、純粋なひずみＴＳＥよりもむしろ、エントロピー制約コストを部分的に最小化することを目的とする。したがって、量子化された画像の圧縮率およびひずみは、ラグランジアン乗数λによって制御およびトレードオフされる。λの値が大きくなると、平均のひずみの値は低くなり、対応する圧縮率が大きくなる。実際、−λは、結果的として生じる圧縮率ひずみ曲線の勾配として解釈され得る。このため、ＥＣＨＭＱにおいて、量子化された画像の圧縮率とひずみとを変動させるために、トレードオフ因子として、λを用いる柔軟性を有している。

ＥＣＨＭＱの別の利点は、その計算の複雑性の低さにある。これを説明するために、まず、レベル７の３２個の親ノードの下に、全てがレベル８に配置されている総数２５６個のリーフノードを有していると仮定する。リーフノードの個数を２５５に減らすために、

個のペアのリーフ兄弟ノードに対し、増加したエントロピー制約コストを計算しなければならない。八分木構造が使用されない場合、

個のペアに対して、増加したコストを計算しなければならない。これは、［５］において、対ごとのクラスタ化に基本的に用いられる。式（３．１１）を次のように書き替える。

リーフ兄弟ノードの各ペアに対する増加したコストの計算は、８つの加算、７つの減算、１０の乗算、１つの除算、１つの対数演算が含まれていることを見ることができる。各分岐に対してヤコビ法を採用するＴＳＥベースの階層的分岐方法［２］のような、その他の方法で用いられる高度な計算と比較して、ＥＣＨＭＱの計算複雑性は、非常に低い。さらに、ステップ８において、パレットおよびピクセルマッピングが容易に得られる。これもまた、文献中のその他の方法、例えば、パレット設計およびピクセルマッピングに顕著に大きな計算が含まれる文献［５］および［６］に含まれている方法にひけをとらない。

以下で説明するさらなる最適化を省略する場合、ＥＣＨＭＱの最後に得られる新しいカラーパレットおよびピクセルマッピングは、ＧＩＦ／ＰＮＧエンコーダによって直接的に符号化され得る。具体的には、以下において、ＰＮＧエンコーダをエントロピーコーダとして用い得る。ＰＮＧエンコーダを利用可能なＧＩＦエンコーダに置換することにより、ＧＩＦデコーダと互換性のある出力を容易に得ることができる。

（ＶＲＴＣＱ１）
このセクションでは、ソフトディシジョン量子化を採用することにより、ＧＩＦ／ＰＮＧデコーダとの互換性を維持する一方で、量子化されたカラー画像の圧縮率とひずみとをさらに同時に最適化する。初期のカラー画像符号化スキームとしてＥＣＨＭＱの最後に得られるハードディシジョン量子化器を用いることにより、ＶＲＴＳＥをカラー画像符号化に拡大し、ＶＲＴＣＱ１を得る。

ＶＲＴＣＱ１のＶＲＴＳＥ設定から始める。ＧＩＦ／ＰＮＧデコーダとの互換性を維持したいため、出力関数ｇは、どんな状態にも依存し得ない。換言すると、状態の集合Ｓは、ｓ_０のみから構成される。この場合、状態推移関数ｆは省略され得、出力関数ｇは単にＭ_ｓｅｔからＲＧＢ空間へのマッピングであり、カラーパレットのインデックスと色の間の相関関係を定義する。トレリスデコーダは、β＝ｇに退化（ｄｅｇｒａｄｅ）し得る。オリジナルのカラー画像ｘ^ｎ＝（ｘ_０，ｘ_ｌ，．．．，ｘ_ｎ−１）が与えられたとき、任意のシーケンスｕ^ｎ＝（ｕ_０，ｕ_１，．．．，ｕ_ｎ−１）∈Ｍ_ｓｅｔ ^ｎに対し、

と定義する。

（２．６）で与えられた上限を用いることにより、ひずみ制限の影響を受けるｒ_ｋ（ｕ^ｎ）が最小化され得る。具体的には、ｋ＝１とする。しかしながら、以下で説明されている手順は、任意のｋに容易に拡張可能である。

初期の出力関数ｇ^（０）および推移確率関数Ｗ^（０）は、ＥＣＨＭＱの最後で得られるカラーパレットおよびピクセルマッピングから導出され得る。ＶＲＴＣＱ１の詳細な手順は、以下に記述される通りである。

ステップ１：ｔ＝０と設定する。ＥＣＨＭＱから（ｕ^ｎ）^（０）、ｇ^（０）、Ｗ^（０）を得る。（ｕ^ｎ）^（０）＝（ｕ_０ ^（０），ｕ_１ ^（０），…，ｕ_ｎ−１ ^（０））はハードディシジョン量子化器から生じた量子化された画像のインデックスシーケンスであり、ｇ^（０）（ｊ），０≦ｊ＜Ｍは、ＥＣＨＭＱの最後に得られる新しいカラーパレットにおけるインデックスｊに対応する色であり、任意のα∈Ｍ_ｓｅｔおよびｗ∈Ｍ_ｓｅｔに対し、

となる。さらに、初期コスト

を計算する。

ステップ２：ｇ^（ｔ）およびＷ^（ｔ）を固定する。ビタビアルゴリズムを用いることにより、ｇをｇ^（ｔ）に、ＷをＷ^（ｔ）に置き換えた式（２．４）を満たすシーケンス（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}＝（ｕ_０ ^{（ｔ＋１）}，ｕ_１ ^{（ｔ＋１）}，…，ｕ_ｎ−１ ^{（ｔ＋１）}）を求める。

ステップ３：（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}を固定する。インデックスシーケンス（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}は、推移確率関数と出力関数とを、任意のα∈Ｍ_ｓｅｔおよびｗ∈Ｍ_ｓｅｔに対し、

のように、また、任意のｕ∈Ｍ_ｓｅｔに対し、

のように更新する。ここに、ｕ_ｉ ^{（ｔ＋１）}＝ｕであるすべてのｉにわたってΣ_ｕが取られる。ｘ_ｉは、オリジナルの画像におけるｉ番目のピクセルの色を示すことに留意されたい。

ステップ４：更新されたコスト

を計算する。

ステップ５：Ｊ^（ｔ）−Ｊ^ｔ＋１≦ξになるまで（ξは所定の閾値）、ｔ＝０，１，２，．．．に対し、ステップ２から４までを繰り返す。

次に、ｇ^{（ｔ＋１）}および（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}を出力する。

ステップ６：［１７］で記述されているＰＮＧエンコーダを用いることにより、カラーパレットｇ^{（ｔ＋１）}とインデックスシーケンス（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}とを符号化する。

ステップ２〜６は、便宜上、ＶＲＴＣＱ１のステージ２と呼ばれる。ここで使用されるビタビアルゴリズムは、図３に示されるグラフに図示される。ステージからステージへの増加したコストは、
−ｌｏｇＷ（ｕ_ｉ│ｕ_ｉ−１）＋ｄ（ｘ_ｉ，ｇ（ｕ_ｉ）） （４．１３）
のように計算される。ここに、任意の０≦ｉ＜ｎに対し、ｓ_ｉ＝ｕ_ｉである。ステージｉで状態ｊに到達する生存経路（ｓｕｒｖｉｖｏｒ ｐａｔｈ）を求めるために、それぞれ３回の加算、３回の減算、および乗算が必要なＭ個の累積コストを比較する必要がある。したがって、全計算複雑性は、Ｏ（ｎＭ^２）となる。

ステージ２の最適性は、［１９］の定理３に示される。全体的に、ＶＲＴＣＱ１は、ＧＩＦ／ＰＮＧデコーダとの互換性を維持する一方で、量子化されたカラー画像の圧縮率とひずみとを同時にある程度最適化する。実験は、収束がある程度高速であること、すなわち、典型的には２回または３回のイタレーションの後、Ｊ^（ｔ）がその制限に非常に近くなることを示している。

このセクションの最後に、ＶＲＴＣＱ１の全体的な計算複雑性を考察する。ステージ２と比較して、ＶＲＴＣＱ１のステージ１、すなわちＥＣＨＭＱは、はるかに低い計算複雑性を有している。したがって、ＶＲＴＣＱ１の主な計算複雑性は、ステージ２、特にビタビアルゴリズムに存在する。ビタビアルゴリズムの各イタレーションは、計算複雑性Ｏ（ｎＭ^２）を有するため、ＶＲＴＣＱ１の全体的な計算複雑性は、Ｍが大きいときには、実時間圧縮に対しては、非実用的にまで高くなり得る。したがって、Ｍの値が大きい場合には、計算複雑性を低減することが望ましい。この問題は、ＶＲＴＣＱ２によって処理される。

（ＶＲＴＣＱ２）
Ｍの値が大きい場合にＶＲＴＣＱ１の計算複雑性を低減するために、（２．６）とは異なる方法により、Ｌｅｍｐｅｌ−Ｚｉｖコードワード長関数の上限を設定する。このために、ｋ次の経験的エントロピーｒ_ｋ（ｕ^ｎ）とは異なる新しい情報量を定義する。Ｍ^’は、Ｍ未満の整数とする。ｂ（・）は、Ｍ_ｓｅｔ＝｛０，１，．．．，Ｍ−１｝からＭ’_ｓｅｔ＝｛０，１，．．．，Ｍ’−１｝へのマッピングとする。ｂの言葉では、Ｍ_ｓｅｔをＭ’個のグループ｛ｉ∈Ｍ_ｓｅｔ：ｂ（ｉ）＝ｊ｝ｊ＝０，１，．．．，Ｍ’−１に分割する。任意のｕ^ｎ＝（ｕ_０，ｕ_１，．．．，ｕ_ｎ−１）∈Ｍ_ｓｅｔ ^ｎに対し、ｂ（ｕ^ｎ）＝（ｂ（ｕ_０），ｂ（ｕ_１），．．．，ｂ（ｕ_ｎ−１））とする。

と定義する。

ｒ（ｕ^ｎ｜ｂ（ｕ^ｎ））の大きさは、所与のｂ（ｕ^ｎ）に対し、ｕ^ｎの条件付き経験的エントロピーと呼ばれる。所望の情報量は、

のように定義される。ここに、ｒ_ｋ（ｂ（ｕ^ｎ））は、ｂ（ｕ^ｎ）のｋ次の経験的エントロピーである。

を示すことは、難しくない。

このため（２．６）を考慮することにより、Ｌｅｍｐｅｌ−Ｚｉｖコードワード長関数ｌ_ＬＺは、以下のように上から制限され得る。

ひずみの制限を受けるｒ_ｋ（ｕ^ｎ）を最小化する代わりに、ＶＲＴＣＱ２のひずみ制限を受けるｒ_ｋ ^＊（ｕ^ｎ）を最小化する。ｎｒ_ｋ（ｕ^ｎ）が全てのｋ次の静的算術コードワード長関数Ｌ_ｋ ^Ｗによって産出（ａｆｆｏｒｄ）される最小のコードワード長であるのと同様に、ｎｒ_ｋ ^＊（ｕ^ｎ）もまた、コードワード長関数に関連する。Ｗ_Ｓ（ｓ｜ｓ^ｋ）をＭ’^ｋ _ｓｅｔからＭ’_ｓｅｔへの確率推移関数とし、Ｗ_Ｕ（ｕ｜ｓ）をＭ’_ｓｅｔからＭ_ｓｅｔへの確率推移関数とする。任意のｕ^ｎ＝（ｕ_０，ｕ_１，．．．，ｕ_ｎ−１）∈Ｍ_ｓｅｔ ^ｎに対し、

とする。

まずｋ次の静的算術コードを推移確率Ｗ_Ｓと共に用いてｂ（ｕ^ｎ）を符号化し、次に条件付きでｂ（ｕ^ｎ）が与えられたときにｕ^ｎを符号化することによってどのｕ^ｎが符号化されるのかを介することにより、Ｌ_ＷＳ ^ＷＵが可逆コードに対応するコードワード長関数であることを見ることは容易である。さらに、

を示すことは、難しくない。

したがって、マッピングｂが与えられたとき、ＶＲＴＣＱ２における同時最適化の問題は、

のようになる。

具体的には、ｋ＝１とする。しかし、全ての引数および以下の手順は、一般的なｋにも同様に適用される。ｇ、Ｗ_Ｓ、Ｗ_Ｕが与えられたとき、（５．１６）における内部最小化は、Ｏ（ｎＭ^２）ではなくＯ（ｎＭ’^２）の複雑性を有するビタビアルゴリズムによって解決され得る。これがあてはまる場合には、（５．１５）を考慮すると、
−ｌｏｇＷ_ｓ（ｂ（ｕ_ｔ）│ｂ（ｕ_ｔ−１））−ｌｏｇＷ_Ｕ（ｕ_ｔ│ｂ（ｕ_ｔ））＋λｄ（ｘ_ｔ，ｇ（ｕ_ｔ）） （５．１７）
によってｔが増大するのにともなって、常時コストが増大することに留意されたい。

（５．１７）において、ｂ（ｕ_ｔ−１）を介して、第１項のみが過去に依存する。したがって、状態の集合

と、２つの連続するステージの状態の間の完全な関連性とを有するトレリスを構築し、内部最小化問題を解決するためにトレリスにビタビアルゴリズムを実行することが可能である。ビタビアルゴリズムを実行する前に、最小のサブコスト

を計算する。（ｓ，ｘ）の各組み合わせに対し、ｓ∈Ｍ’_ｓｅｔおよびｘ∈Ｏとなる。最小のサブコスト、および、そのペア（ｓ，ｘ）に対して最小のサブコストを達成する対応する色インデックスｕは、ルックアップテーブルに保持される。トレリスのステージｔ−１における状態ｓ_ｔ−１∈Ｍ’_ｓｅｔから、トレリスのステージｔにおける状態ｓ_ｔへの推移にわたるコストは、−ｌｏｇＷ_ｓ（ｓ_ｔ│ｓ_ｔ−１）＋ｃ（ｓ_ｔ，ｘ_ｔ）である。ｘ^ｎ＝（ｘ_０，ｘ_１，．．．，ｘ_ｎ−１）が与えられたとき、ｓ^ｎ＝（ｓ_０，ｓ_１，．．．，ｓ_ｎ−１）∈Ｍ’_ｓｅｔ ^ｎトレリスの最適経路である場合に、ｕ^ｎ＝（ｕ_０，ｕ_１，．．．，ｕ_ｎ−１）は（５．１６）において内部最小値を実現する最適なインデックスシーケンスである。ここに、ｕ_ｔ∈｛ｉ：０≦ｉ＜Ｍ，ｂ（ｉ）＝ｓ_ｔ｝は、最小コストｃ（ｓ_ｔ，ｘ_ｔ），ｔ＝０，１，．．．，ｎ−１を達成する。

ＶＲＴＣＱ１と同様に、ＶＲＴＣＱ２は、反復的な方法で同時最適化の問題（５．１６）を解決する。ＶＲＴＣＱ２のステージ１は、マッピングｂを決定し、初期の出力関数ｇ^（０）と、推移確率関数Ｗ_Ｕ ^（０）およびＷ_Ｓ ^（０）を提供する。その後、最小化の問題を解決するために、ＶＲＴＣＱ２のステージ２は、代替的な手順を用いる。ＶＲＴＣＱ２の詳細な手順は、以下で記述される。

（Ａ．ステージ１の手順）
ステップ１：オリジナルの画像でＥＣＨＭＱを実行して、Ｍ個のリーフノードを有する八分木Ｔ_Ｍと、そのサイズＭのカラーパレットと、対応するハードディシジョンピクセルマッピングとを得る。

ステップ２：Ｔ_Ｍに基づいて、Ｍ’個のリーフノードが残されるまで、ＥＣＨＭＱのステップ４から７を繰り返す。

ステップ３：八分木Ｔ_Ｍから八分木Ｔ_Ｍ’へのマッピングｂを決定する。ここに、Ｍ’個のリーフノードは、ステップ２で得られ、Ｔ_Ｍ’はＴ_Ｍのサブツリーである。特に、Ｔ_Ｍのｉ番目のリーフノードがＴ_Ｍ’のｊ番目のリーフノードにルーティングされるＴ_Ｍのサブツリーに存在する場合、ｂ（ｉ）＝ｊ，ｉ∈Ｍ_ｓｅｔ，ｊ∈Ｍ’_ｓｅｔとなる。

（Ｂ．ステージ２の手順）
ステップ１：ｔ＝０に設定する。ＶＲＴＣＱ２のステージ１から、ｂ、（ｕ^ｎ）^（０）、（ｓ^ｎ）^（０）、ｇ^（０）、Ｗ_Ｕ ^（０）、およびＷｓ^（０）を得る。ここに、（ｕ^ｎ）^（０）＝（ｕ_０ ^（０），ｕ_１ ^（０），…，ｕ_ｎ−１ ^（０））は、ハードディシジョンピクセルマッピングから得られるインデックスシーケンスであり、０≦ｕ＜Ｍの（ｓ^ｎ）^（０）＝（ｓ_０ ^（０），ｓ_１ ^（０），…，ｓ_ｎ−１ ^（０））＝ｂ（（ｕ^ｎ）^（０），ｇ^（０）（ｕ））は、ステージ１のステップ１で得られる新しいカラーパレットにおけるインデックスｕに対応する色であり、

および

となる。

さらに、初期コスト

を計算する。

ステップ２：ｇ^（ｔ）およびＷ_Ｕ ^（ｔ）を固定する。ルックアップテーブルを構築する。（ｓ，ｘ）、但しｓ∈Ｍ’_ｓｅｔおよびｘ∈Ｏの各ペアに対し、最小サブコスト

を計算する。ｃ^（ｔ）（ｓ，ｘ）を達成するカラーインデックスｕ∈｛ｉ：０≦ｉ＜Ｍ，ｂ（ｉ）＝ｓ｝を記録する。

ステップ３：ｇ^（ｔ）、Ｗ_Ｕ ^（ｔ）、およびＷ_Ｓ ^（ｔ）を決定する。ビタビアルゴリズムを用いることにより、トレリス（ｓ^ｎ）^{（ｔ＋１）}＝（ｓ_０ ^{（ｔ＋１）}，ｓ_１ ^{（ｔ＋１）}，．．．，ｓ_ｎ−１ ^{（ｔ＋１）}）を通る最適パスを求める。上記最適パスは、ｂおよびルックアップテーブルと共に、ｇをｇ^（ｔ）に、Ｗ_ＵをＷ_Ｕ ^（ｔ）に置換しＷ_ｓをＷ_ｓ ^（ｔ）に置換した（５．１６）における内部最小化を達成する最適なインデックスシーケンス（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}＝（ｕ_０ ^{（ｔ＋１）}，ｕ_１ ^{（ｔ＋１）}，．．．，ｕ_ｎ−１ ^{（ｔ＋１）}）を決定する。

ステップ４：（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}および（ｓ^ｎ）^{（ｔ＋１）}を固定する。これら２つのシーケンスは、以下のように推移確率関数と出力関数とを更新する。

および

ここに、ｕ_ｉ ^{（ｔ＋１）}＝ｕである全てのｉにわたってΣ_ｕを取る。

ステップ５：更新されたコスト

を計算する。

ステップ６：Ｊ^（ｔ）−Ｊ^{（ｔ＋１）}≦ξになるまで、ｔ＝０，１，２，．．．に対し、ステップ２から５を繰り返す。ここに、ξは所定の閾値である。

次に、ｇ^{（ｔ＋１）}および（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}を出力する。

ステップ７：カラーパレットｇ^{（ｔ＋１）}およびインデックスシーケンス（ｕ^ｎ）^{（ｔ＋１）}を［１７］からＰＮＧエンコーダによって符号化する。

ステップ３で用いられるビタビアルゴリズムは、図４のグラフに図示されている。グラフにおいて、各円はグループを示し、円内の黒い点は、グループ内の全てのカラーインデックスｕ∈Ｍ_ｓｅｔを示す。

ＶＲＴＣＱ１と同様に、ＶＲＴＣＱ２の主な計算複雑性は、ステージ２に存在する。ＶＲＴＣＱ１のステージ２と比較すると、ＶＲＴＣＱ２のステージ２は、特別なステップであるステップ２を有しているが、このステップは、計算上は強いて用いられない。実際、その計算複雑性は、オリジナルの画像のサイズｎに依存しないＯ（ＮＭ）であるため、ｎの値が大きいときのビタビアルゴリズムの複雑性と比較して、ごくわずかである。ＶＲＴＣＱ２のステージ２のステップ３のビタビアルゴリズムは、Ｏ（ｎＭ’^２）の計算複雑性を有し、これは、ＶＲＴＣＱ１で用いられるビタビアルゴリズムの計算複雑性Ｏ（ｎＭ^２）と比べて悪くない。したがって、Ｍ’＜＜Ｍであるとき、ＶＲＴＣＱ２は、ＶＲＴＣＱ１よりもずっと高速になる。加えて、一旦Ｍ’が決定されると、ＶＲＴＣＱ２の計算複雑性は、Ｍとは多かれ少なかれ独立になる。このことは、ＶＲＴＣＱ２を色が豊富な画像に対して魅力のあるものにする。Ｌｅｍｐｅｌ−Ｚｉｖコードワード長関数を上から制限するには、緩い制限（ｌｏｏｓｅ ｂｏｕｎｄ）が用いられるため、ＶＲＴＣＱ２で支払われる対価は、圧縮率とひずみとの間のトレードオフの言葉では、圧縮性能のわずかな損失である。

図５を参照すると、図１のコンピュータシステム１０のＣＰＵ１６がブロック図で示されている。図示されているように、ＣＰＵ１６は、ハードディシジョンモジュール４０とソフトディシジョンモジュール４２とを含んでいる。ハードディシジョンモジュール４０は、上記で説明したように、ＥＣＨＭＱを提供する。ソフトディシジョンモジュール４２は、上記で説明したように、ＶＲＴＣＱ１とＶＲＴＣＱ２との両方を提供する。

上記で説明したように、ハードディシジョンモジュール４０は、八分木構造を構築するためのノード作成サブモジュールと、リーフノードを選択および統合するためのノード統合サブモジュールと、リーフノードのペアの潜在的な統合に対して、そのような統合の各々に対するエントロピー制約コストインクリメントを計算するためのコスト計算サブモジュールとを含む。ハードディシジョンモジュール４０と同様に、ソフトディシジョンモジュール４２は、ソフトディシジョンモジュール４２によるソフトディシジョン最適化の各イタレーション後に、コストのインクリメントの低下を決定するためのコスト計算サブモジュールを含む。

本発明のその他のバリエーションと改変とが可能である。例えば、上記で説明されたように、その他のソフトディシジョン最適化においてＶＲＴＣＱを使用せずに、ＥＣＨＭＱのみを使用し、ハードディシジョンピクセルマッピングが提供され得る。代替的に、初期のハードディシジョンピクセルマッピングを実行するために、ＥＣＨＭＱを使用せずに、ＶＲＴＣＱが使用され得る。代わりに、その他いくつかの初期のハードディシジョン手順が提供され得る。さらに、その他のソフトディシジョン最適化方法は、ＶＲＴＣＱの代わりにＥＣＨＭＱと組み合わせて使用され得る。さらに、上記の説明は、計算複雑性を抑え、例えばＧＩＦ／ＰＮＧデコーダのような標準的なデコーダとの互換性を維持する一方で、量子化ひずみと圧縮率との両方をいかにして同時に処理するかに主に向けられてきたが、当業者は、その他の文脈においても同様に、ＥＣＨＭＱとＶＲＴＣＱの両方がカラー画像データの圧縮に適用され得ることを理解し得る。このような全ての改変またはバリエーションは、本明細書に添付された請求項によって定義されるような本発明の領域および範囲内に存在すると考えることができる。

図１は、ブロック図によって、本発明の好適な実施例にしたがうコンピュータシステムを示している。 図２は、グラフによって、本発明の好適な実施例にしたがう八分木構造を示す。 図３は、グラフによって、本発明のソフトディシジョン最適化に関する局面の第１の改変にしたがうビタビアルゴリズムを示す。 図４は、グラフによって、本発明のソフトディシジョン最適化に関する局面の第２の改変にしたがうビタビアルゴリズムを示す。 図５は、ブロック図によって、図１のコンピュータシステムのＣＰＵを示す。

Claims (42)

1. データ処理システムを用いることにより、Ｎ個の異なる色を有するデジタル化されたカラー画像から、該デジタル化されたカラー画像における全ピクセルのＭ個の互いに素なクラスタへのツリー構造のパーティショニングを形成する方法であって、ＭはＮ以下であり、Ｎ個の異なる色における各色は、カラーパレットにおける複数のＰビットのバイトによってデジタル的に表現され、各ＰビットのバイトにおけるＰビットは、最上位から最下位へと順序付けられており、該方法は、
   （ａ）該Ｎ個の異なる色の全てを含むルートノードを提供するステップと、
   （ｂ）該ルートノードにリンクされた兄弟ノードの第１のレベルを提供するステップであって、該Ｎ個の異なる色における各色は、該複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの第１のビットの値に基づいて、該データ処理システムにより、兄弟ノードの該第１のレベルにおける関連のあるノードに割り当てられる、ステップと、
   （ｃ）１色よりも多い色を含むノードのｋ番目のレベルにおける各ノードに対し、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードを提供するステップであって、そのノードにおける各色は、該Ｎ個の異なる色の各色に対してその色のみを含む異なるリーフノードが存在するように、その色に対する該複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの（ｋ＋１）番目のビットの値に基づいて、該データ処理システムにより、該（ｋ＋１）番目のレベルの該複数の兄弟ノードにおける関連のある兄弟ノードに割り当てられる、ステップと、
   （ｄ）Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフノードを選択および統合するステップと
   を含む、方法。
2. ステップ（ｄ）は、Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフ兄弟モードのペアを繰り返し選択および統合するステップを含む、請求項１に記載の方法。
3. ステップ（ｄ）は、Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、その統合が最小のエントロピー制約コストインクリメントを有するリーフ兄弟モードのペアを繰り返し選択および統合するステップを含む、請求項１に記載の方法。
4. ステップ（ｄ）は、統合前エントロピー制約総コストと統合後エントロピー制約総コストとの差を計算せずに、最小のエントロピー制約コストインクリメントを計算するステップを含む、請求項３に記載の方法。
5. 前記Ｎ個の異なる色の各色に対する前記複数のＰビットのバイトは、複数の原色の各原色に対するＰビットのバイトを含む、請求項１に記載の方法。
6. 前記複数の原色は、赤、緑、青を含む、請求項３に記載の方法。
7. Ｍ個の異なる色を有するデジタル化された新しいカラー画像を形成するステップをさらに含み、ステップ（ｄ）が完了した後に、該Ｍ個の異なる色と前記Ｍ個のリーフノードとの間には、１対１の対応関係が存在する、請求項１に記載の方法。
8. Ｎ個の異なる色を有するデジタル化されたカラー画像から、該デジタル化されたカラー画像における全ピクセルのＭ個の互いに素なクラスタへのツリー構造のパーティショニングを形成するデータ処理システムであって、ＭはＮ以下であり、Ｎ個の異なる色における各色は、カラーパレットにおける複数のＰビットのバイトによってデジタル的に表現され、各ＰビットのバイトにおけるＰビットは、最上位から最下位へと順序付けられており、該データ処理システムは、
   （ａ）ノード生成手段であって、
   （ｉ）該Ｎ個の異なる色の全てを含むルートノードを提供するステップと、
   （ｉｉ）該ルートノードにリンクされた兄弟ノードの第１のレベルを提供するステップであって、該Ｎ個の異なる色における各色は、該複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの第１のビットの値に基づいて、兄弟ノードの該第１のレベルにおける関連のあるノードへ割り当てられる、ステップと、
   （ｉｉｉ）１色よりも多い色を含むノードのｋ番目のレベルにおける各ノードに対し、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードを提供するステップであって、そのノードにおける各色は、該Ｎ個の異なる色の各色に対してその色のみを含む異なるリーフノードが存在するように、その色に対する該複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの（ｋ＋１）番目のビットの値に基づいて、該（ｋ＋１）番目のレベルの該複数の兄弟ノードにおける関連のある兄弟ノードに割り当てられる、ステップと
   のための、ノード生成手段と、
   （ｂ）Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフノードを選択および統合するノード統合手段と
   を含む、データ処理システム。
9. 前記ノード統合手段は、Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフ兄弟モードのペアを繰り返し選択および統合するように動作することが可能である、請求項８に記載のデータ処理システム。
10. リーフノードのペアを潜在的に統合するために、そのような統合の各々に対するエントロピー制約コストインクリメントを計算するためのコスト計算手段をさらに含み、
    該コスト計算手段は、前記ノード統合手段にリンクされており、該ノード統合手段は、Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、該コスト計算手段で決定されるような最小のエントロピー制約コストインクリメントをその統合が有するリーフ兄弟モードのペアを繰り返し選択および統合するように動作することが可能である、請求項８に記載のデータ処理システム。
11. 前記コスト計算手段は、統合前総エントロピー制約コストと統合後総エントロピー制約コストとの差を計算せずに、最小のエントロピー制約コストインクリメントを計算するように動作することが可能である、請求項１０に記載のデータ処理システム。
12. 前記Ｎ個の異なる色の各色に対する前記複数のＰビットのバイトは、複数の原色の各原色に対するＰビットのバイトを含む、請求項８に記載のデータ処理システム。
13. 前記複数の原色は、赤、緑、青を含む、請求項１０に記載のデータ処理システム。
14. Ｍ個の異なる色を有するデジタル化された新しいカラー画像を形成するステップをさらに含み、ステップ（ｄ）が完了した後に、該Ｍ個の異なる色と前記Ｍ個のリーフノードとの間には、１対１の対応関係が存在する、請求項８に記載のデータ処理システム。
15. Ｎ個の異なる色を有するデジタル化されたカラー画像から、該デジタル化されたカラー画像における全ピクセルのＭ個の互いに素なクラスタへのツリー構造のパーティショニングを形成するように、コンピュータシステム上で用いられる命令が記録されたコンピュータ読み取り可能な記録媒体であって、ＭはＮ以下であり、Ｎ個の異なる色における各色は、カラーパレットにおける複数のＰビットのバイトによってデジタル的に表現され、各ＰビットのバイトにおけるＰビットは、最上位から最下位へと順序付けられており、
    該命令は、該コンピュータシステムに、
    （ａ）該Ｎ個の異なる色の全てを含むルートノードを提供するステップと、
    （ｂ）該ルートノードにリンクされた兄弟ノードの第１のレベルを提供するステップであって、該Ｎ個の異なる色における各色は、該複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの第１のビットの値に基づいて、兄弟ノードの該第１のレベルにおける関連のあるノードに割り当てられる、ステップと、
    （ｃ）１色よりも多い色を含むノードのｋ番目のレベルにおける各ノードに対し、（ｋ＋１）番目のレベルの複数の兄弟ノードを提供するステップであって、そのノードにおける各色は、該Ｎ個の個別の色の各色に対してその色のみを含む異なるリーフノードが存在するように、その色に対する該複数のＰビットのバイトにおける各Ｐビットのバイトの（ｋ＋１）番目のビットの値に基づいて、該（ｋ＋１）番目のレベルの該複数の兄弟ノードにおける関連のある兄弟ノードに割り当てられる、ステップと、
    （ｄ）Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフノードを選択および統合するステップと
    を実行させる、コンピュータ読み取り可能な記録媒体。
16. ステップ（ｄ）は、Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、リーフ兄弟モードのペアを繰り返し選択および統合するステップを含む、請求項１５に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
17. ステップ（ｄ）は、Ｍ個のリーフノードのみが残されるまで、その統合が最小のエントロピー制約コストインクリメントを有するリーフ兄弟モードのペアを繰り返し選択および統合するステップを含む、請求項１５に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
18. ステップ（ｄ）は、統合前総エントロピー制約コストと統合後総エントロピー制約コストとの差を計算せずに、最小のエントロピー制約コストインクリメントを計算するステップを含む、請求項１５に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
19. 前記Ｎ個の異なる色の各色に対する前記複数のＰビットのバイトは、複数の原色の各原色に対するＰビットのバイトを含む、請求項１５に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
20. 前記複数の原色は、赤、緑、青を含む、請求項１５に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
21. 前記命令が、前記コンピュータシステムに、Ｍ個の異なる色を有するデジタル化された新しいカラー画像を形成するステップを実行させることをさらに含み、ステップ（ｄ）が完了した後に、該Ｍ個の異なる色と前記Ｍ個のリーフノードの間には、１対１の対応関係が存在する、請求項１５に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
22. 共にｎ個のピクセルで定義される、オリジナルのデジタル化されたカラー画像から導出された新しいデジタル化されたカラー画像に対し、ピクセルマッピングを表す新しいインデックスシーケンスと、カラーパレットを表す新しい出力関数とを導出する方法であって、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像は、該ｎ個のピクセルに割り当てられたＮ個の異なる色によって提供されており、該新しいデジタル化されたカラー画像は、該ｎ個のピクセルに割り当てられたＭ個の異なる色によって提供されており、該新しいインデックスシーケンスは、該ｎ個のピクセルを表すためのｎ個のインデックスメンバーを有しており、該新しい出力関数は、該ｎ個のインデックスメンバーを該Ｍ個の色にマッピングするためのものであり、該方法は、
    （ａ）該オリジナルのデジタル化されたカラー画像におけるピクセルの位置に関わらず、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像における各ピクセルの色に基づいて、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像における全てのピクセルをＭ個の互いに素なクラスタに分割することにより、第１の新しいインデックスシーケンスを提供するステップであって、ＭはＮ以下である、ステップと、
    （ｂ）該Ｍ個の互いに素なクラスタにおけるピクセルへの該Ｍ個の異なる色の１対１のマッピングを提供するために、第１の新しい出力関数を提供するステップと、
    （ｃ）該第１の新しいインデックスシーケンスの各メンバーに対し、該第１の新しい出力関数によってそのメンバーに割り当てられている色の値が、該第１の新しい出力関数によって該第１の新しいインデックスシーケンスの少なくとも１つの他のメンバーに割り当てられている色の値にどのように相関付けられているかに基づいて、該新しいインデックスシーケンスと該新しい出力関数とをそれぞれ提供するために、該第１の新しいインデックスシーケンスと該第１の新しい出力関数とにソフトディシジョン最適化プロセスを適用するステップと
    を含む、方法。
23. 前記新しいインデックスシーケンスは、前記新しいデジタル化されたカラー画像における各ピクセルに対し、該新しいインデックスシーケンスと前記新しい出力関数とによって該ピクセルに割り当てられた前記色の値が、該カラー画像の該ピクセルの位置に依存するように、ソフトディシジョンピクセルマッピングを提供する、請求項２２に記載の方法。
24. ステップ（ｃ）は、反復的なソフトディシジョン最適化プロセスを適用し、各反復後に、前記オリジナルのデジタル化されたカラー画像の圧縮およびひずみを表すコスト関数におけるインクリメントの低下を決定するステップ
    を含み、該インクリメントの低下が選択された閾値を下回るときに、ステップ（ｃ）が終了し、前記新しいインデックスシーケンスと前記新しいカラーマッピングとが決定される、請求項２２に記載の方法。
25. ステップ（ｃ）は、
    （ｉ）カウンタｋを１に設定するステップと、
    （ｉｉ）ｋ番目のインデックスシーケンスに対し、全ての考えられるインデックスシーケンスにわたり、ｋ番目の出力関数とｋ番目の推移確率関数に対して前記コスト関数を最適化することにより、（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスを決定するステップと、
    （ｉｉｉ）該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスから（ｋ＋１）番目の出力関数と（ｋ＋１）番目の推移確率関数とを決定するステップと、
    （ｉｖ）該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスと、該（ｋ＋１）番目の出力関数と、該（ｋ＋１）番目の推移確率関数とから、（ｋ＋１）番目のコストを決定するステップと、
    （ｖ）該（ｋ＋１）番目のコストと該ｋ番目のコストとの間の（ｋ＋１）番目のコスト差を計算し、該（ｋ＋１）番目のコスト差が選択された閾値を下回るときに、新しいインデックスシーケンスと新しい出力関数として、該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスと該（ｋ＋１）番目の出力関数とをそれぞれ選択し、そうでない場合は、ｋを１だけ増加させ、サブステップ（ｉｉ）から（ｖ）を繰り返すステップと
    を含む、請求項２４に記載の方法。
26. ステップ（ｉｉ）において、前記所定のｋ番目の出力関数とｋ番目の推移確率関数とに対し、全ての考えられるインデックスシーケンスにわたり、前記コスト関数を最適化することによって、前記（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスを決定するステップは、ビタビアルゴリズムを用いることを含む、請求項２５に記載の方法。
27. ステップ（ａ）は、前記Ｍ個の互いに素なクラスタをＭ’個の互いに素なグループにグループ分けするステップをさらに含み、Ｍ’はＭ未満であり、
    ステップ（ｃ）は、該Ｍ’個の互いに素なグループに関するソフトディシジョン最適化プロセスを適用するステップを含む、請求項２６に記載の方法。
28. 前記コスト関数は、ＭおよびＭ’の双方に依存する、請求項２７に記載の方法。
29. 共にｎ個のピクセルで定義される、オリジナルのデジタル化されたカラー画像から導出された新しいデジタル化されたカラー画像に対し、ピクセルマッピングを表す新しいインデックスシーケンスと、カラーパレットを表す新しい出力関数とを導出するデータ処理システムであって、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像は、該ｎ個のピクセルに割り当てられたＮ個の異なる色によって提供されており、該新しいデジタル化されたカラー画像は、該ｎ個のピクセルに割り当てられたＭ個の異なる色によって提供されており、該新しいインデックスシーケンスは、該ｎ個のピクセルを表すためのｎ個のインデックスメンバーを有しており、該新しい出力関数は、該ｎ個のインデックスメンバーを該Ｍ個の色にマッピングするためのものであり、該データ処理システムは、
    （ａ）ハードディシジョンモジュールであって、
    （ｉ）該オリジナルのデジタル化されたカラー画像におけるピクセルの位置に関わらず、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像における各ピクセルの色に基づいて、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像における全てのピクセルをＭ個の互いに素なクラスタに分割することにより、第１の新しいインデックスシーケンスを提供し、ＭはＮ以下であり、
    （ｉｉ）該Ｍ個の互いに素なクラスタにおけるピクセルへの該Ｍ個の異なる色の１対１のマッピングを提供するために、第１の新しい出力関数を提供する、
    ハードディシジョンモジュールと、
    （ｂ）該第１の新しいインデックスシーケンスの各メンバーに対し、該第１の新しい出力関数によってそのメンバーに割り当てられている色の値が、該第１の新しい出力関数によって該第１の新しいインデックスシーケンスの少なくとも１つの他のメンバーに割り当てられている色の値にどのように相関付けられているかに基づいて、該新しいインデックスシーケンスと該新しい出力関数とをそれぞれ提供するために、該第１の新しいインデックスシーケンスと該第１の新しい出力関数とにソフトディシジョン最適化プロセスを適用するソフトディシジョンモジュールと
    を含む、データ処理システム。
30. 前記新しいインデックスシーケンスは、前記新しいデジタル化されたカラー画像における各ピクセルに対し、該新しいインデックスシーケンスと前記新しい出力関数とによって該ピクセルに割り当てられた前記色の値が、該カラー画像の該ピクセルの位置に依存するように、ソフトディシジョンピクセルマッピングを提供する、請求項２９に記載のデータ処理システム。
31. 前記ソフトディシジョンモジュールは、（ｉ）反復的なソフトディシジョン最適化プロセスを適用し、（ｉｉ）各反復後に、前記オリジナルのデジタル化されたカラー画像の圧縮およびひずみを表すコスト関数のインクリメントの低下を決定し、（ｉｉｉ）該インクリメントの低下が選択した閾値を下回るときに、該反復的なソフトディシジョン最適化プロセスを終了し、前記新しいインデックスシーケンスと前記新しいカラーマッピングとを決定するように動作することが可能である、請求項２９に記載のデータ処理システム。
32. 前記反復的なソフトディシジョン最適化プロセスは、
    （ｉ）カウンタｋを１に設定するステップと、
    （ｉｉ）ｋ番目のインデックスシーケンスに対し、全ての考えられるインデックスシーケンスにわたり、ｋ番目の出力関数とｋ番目の推移確率関数に対して前記コスト関数を最適化することにより、（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスを決定するステップと、
    （ｉｉｉ）該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスから（ｋ＋１）番目の出力関数と（ｋ＋１）番目の推移確率関数を決定するステップと、
    （ｉｖ）該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスと、該（ｋ＋１）番目の出力関数と、前記（ｋ＋１）番目の推移確率関数とから、（ｋ＋１）番目のコストを決定するステップと、
    （ｖ）該（ｋ＋１）番目のコストと該ｋ番目のコストとの間の（ｋ＋１）番目のコスト差を計算し、該（ｋ＋１）番目のコスト差が選択した閾値を下回るときに、新しいインデックスシーケンスと前記新しい出力関数として、該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスと該（ｋ＋１）番目の出力関数とをそれぞれ選択し、そうでない場合は、ｋを１だけ増加させ、サブステップ（ｉｉ）から（ｖ）を繰り返すステップと
    を含む、請求項３１に記載のデータ処理システム。
33. ステップ（ｉｉ）において、前記所定のｋ番目の出力関数とｋ番目の推移確率関数とに対し、全ての考えられるインデックスシーケンスにわたり、前記コスト関数を最適化することによって、前記（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスを決定するステップは、ビタビアルゴリズムを用いることを含む、請求項３２に記載のデータ処理システム。
34. 前記ハードディシジョンモジュールは、前記Ｍ個の互いに素なクラスタをＭ’個の互いに素なグループにグループ分けするように動作することが可能であり、Ｍ’はＭ未満であり、
    前記ハードディシジョンモジュールは、該Ｍ’個の互いに素なグループに関するソフトディシジョン最適化プロセスを適用するように動作することが可能である、
    請求項３３に記載のデータ処理システム。
35. 前記コスト関数は、ＭおよびＭ’の双方に依存する、請求項３４に記載のデータ処理システム。
36. 共にｎ個のピクセルで定義される、オリジナルのデジタル化されたカラー画像から導出された新しいデジタル化されたカラー画像に対し、ピクセルマッピングと、カラーパレットを表す新しい出力関数とを形成するように、コンピュータシステム上で用いられる命令が記録されたコンピュータ読み取り可能な記録媒体であって、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像は、該ｎ個のピクセルに割り当てられたＮ個の異なる色によって提供されており、該新しいデジタル化されたカラー画像は、該ｎ個のピクセルに割り当てられたＭ個異なる色によって提供されており、該新しいインデックスシーケンスは、該ｎ個のピクセルを表すためのｎ個のインデックスメンバーを有しており、該新しい出力関数は、該Ｍ個の色に前記ｎ個のインデックスメンバーをマッピングするためのものであり、
    該命令は、該コンピュータシステムに、
    （ａ）該オリジナルのデジタル化されたカラー画像におけるピクセルの位置に関わらず、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像における各ピクセルの色に基づいて、該オリジナルのデジタル化されたカラー画像における全てのピクセルをＭ個の互いに素なクラスタに分割することにより、第１の新しいインデックスシーケンスを提供するステップであって、ＭはＮ以下である、ステップと、
    （ｂ）該Ｍ個の互いに素なクラスタにおけるピクセルへの該Ｍ個の異なる色の１対１のマッピングを提供するために、第１の新しい出力関数を提供するステップと、
    （ｃ）該第１の新しいインデックスシーケンスの各メンバーに対し、該第１の新しい出力関数によってそのメンバーに割り当てられている色の値が、該第１の新しい出力関数によって該第１の新しいインデックスシーケンスの少なくとも１つの他のメンバーに割り当てられているカラーの値にどのように相関付けられているかに基づいて、該新しいインデックスシーケンスと該新しい出力関数とをそれぞれ提供するために、該第１の新しいインデックスシーケンスと該第１の新しい出力関数とにソフトディシジョン最適化プロセスを適用するステップと
    を実行させる、コンピュータ読み取り可能な記録媒体。
37. 前記新しいインデックスシーケンスは、前記新しいデジタル化されたカラー画像における各ピクセルに対し、該新しいインデックスシーケンスと前記新しい出力関数とによって該ピクセルに割り当てられた前記色の値が、該カラー画像の該ピクセルの位置に依存するように、ソフトディシジョンピクセルマッピングを提供する、請求項３６に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
38. ステップ（ｃ）は、反復的なソフトディシジョン最適化プロセスを適用し、各反復後に、前記オリジナルのデジタル化されたカラー画像の圧縮およびひずみを表すコスト関数におけるインクリメントの低下を決定するステップ
    を含み、該インクリメントの低下が選択された閾値を下回るときに、ステップ（ｃ）が終了し、前記新しいインデックスシーケンスと前記新しいカラーマッピングとが決定される、請求項３６に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
39. ステップ（ｃ）は、
    （ｉ）カウンタｋを１に設定するステップと、
    （ｉｉ）ｋ番目のインデックスシーケンスに対し、全ての考えられるインデックスシーケンスにわたり、ｋ番目の出力関数とｋ番目の推移確率関数とに対して前記コスト関数を最適化することにより、（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスを決定するステップと、
    （ｉｉｉ）該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスから（ｋ＋１）番目の出力関数と（ｋ＋１）番目の推移確率関数とを決定するステップと、
    （ｉｖ）該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスと、該（ｋ＋１）番目の出力関数と、該（ｋ＋１）番目の推移確率関数とから、（ｋ＋１）番目のコストを決定するステップと、
    （ｖ）該（ｋ＋１）番目のコストと該ｋ番目のコストとの間の（ｋ＋１）番目のコスト差を計算し、該（ｋ＋１）番目のコスト差が選択された閾値を下回るときに、新しいインデックスシーケンスと新しい出力関数として、該（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスと該（ｋ＋１）番目の出力関数とをそれぞれ選択し、そうでない場合は、ｋを１だけ増加させ、サブステップ（ｉｉ）から（ｖ）を繰り返すステップと
    を含む、請求項３８に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
40. ステップ（ｉｉ）において、前記所定のｋ番目の出力関数とｋ番目の推移確率関数とに対し、全ての考えられるインデックスシーケンスにわたり、前記コスト関数を最適化することによって、前記（ｋ＋１）番目のインデックスシーケンスを決定するステップは、ビタビアルゴリズムを用いることを含む、請求項３９に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
41. ステップ（ａ）は、前記Ｍ個の互いに素なクラスタをＭ’個の互いに素なグループにグループ分けするステップをさらに含み、Ｍ’はＭ未満であり、
    ステップ（ｃ）は、該Ｍ’個の互いに素なグループに関するソフトディシジョン最適化プロセスを適用するステップを含む、請求項４０に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。
42. 前記コスト関数は、ＭおよびＭ’の双方に依存する、請求項４１に記載のコンピュータ読み取り可能な記録媒体。

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