JP4260680B2 - ユニタリ行列分解方法、ユニタリ行列分解装置、ユニタリ行列分解プログラム及び記録媒体 - Google Patents

Description

この発明は、任意のユニタリ行列を基本ゲートに分解するユニタリ行列分解方法、ユニタリ行列分解装置、その機能をコンピュータで実現するためのユニタリ行列分解プログラム及びそれを格納した記録媒体に関する。

行列を分解する数学的な手法の一つにカルタン（Ｃａｒｔａｎ）分解がある（例えば、非特許文献１参照。）。カルタン分解は、リー（Ｌｉｅ）群（Ｇ＝ＳＵ（２^ｎ））に属する特殊ユニタリ行列を分解対象とし、そのリー代数表現（ｇ＝ｓｕ（２^ｎ））を利用して行列分解を行う手法である。ここで、リー群（ＳＵ（２^ｎ））とリー代数表現（ｓｕ（２^ｎ））は２^ｎ×２^ｎの行列の集合であり、ｅｘｐ（ｓｕ（２^ｎ））＝ＳＵ（２^ｎ）の関係にある。また、ｓｕ（２^ｎ）は歪エルミート（Ｈｅｒｍｉｔｅ）行列全体となる。なお、この特殊ユニタリ行列を量子回路で実現する場合、ｎはこの量子回路への入力量子ビット数に相当する。また、特殊ユニタリ行列とは、行列式（ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ）の値が１のユニタリ行列を意味する。

ここで行列ａに対するｅｘｐ（ａ）は、

で定義されるが、非特許文献１においてＮ.Ｋｈａｎｅｊａは、パウリ（Ｐａｕｌｉ）のスピン行列

を用い、リー群（ＳＵ（２^ｎ））に対応するリー代数表現（ｓｕ（２^ｎ））を定義している。以下ではまず、このＮ.Ｋｈａｎｅｊａによるｓｕ（２^ｎ）の定義について説明する。

＜Ｎ.Ｋｈａｎｅｊａによるｓｕ（２^ｎ）の定義＞
まず、リー代数表現（ｓｕ（２^ｎ））における直交基底｛ｉＢ_ｓ｝を以下の形でとる（ｉは虚数単位）。

ここで、Ｉ_ｋαは

で定義される。なお、このＩ_αは式(6)の右辺の先頭からｋ番目に位置する。また、αはｘ，ｙ，ｚの何れかであり、Ｉ_αは上述の式(2)〜(4)の何れかとなる。さらに、Ｅは２×２の単位行列であり、

はテンソル積を意味する。また、式(5)のｑはＢ_ｓの行列式の値が１となるように選択される値である。

すると、リー代数表現（ｓｕ（２^ｎ））は

と書ける。なお、ｓｐａｎ{＊}は、{＊}で定義される要素を基底とするベクトル空間を意味する。

＜Ｎ.Ｋｈａｎｅｊａによるカルタン分解＞
次に、非特許文献１記載のカルタン分解について説明する。
カルタン分解では、与えられたリー代数表現ｇ＝ｓｕ（２^ｎ）を、直交する２つのベクトル空間（ｋとｍ＝ｋ^⊥）の直和

に分解する。ここでは、式(5)で定義した直交基底を用い、ｋとｍを以下のように定義する。

ｎ≧３の場合、このｋとｍがそれぞれ作る空間は、図９のような格子状の行列となる。なお、図９において色の付いていない部分には０が、色のついている部分には任意の値がそれぞれ入る。
そして、これらのリー代数表現ｇ、ｋ、ｍにそれぞれ対応するリー群Ｇ，Ｋ＝ｅｘｐ（ｋ）、Ｍ＝ｅｘｐ（ｍ）では、
Ｇ＝ＫＭ …(10)
が成り立つ。これはリー群Ｇ＝ＳＵ（２^ｎ）の任意の元が、Ｋの元とＭの元との積に分解できることを意味する。

次に、（ｇ，ｋ）の組に対するカルタン部分代数ｈ（ｎ）を定義する。このカルタン部分代数ｈ（ｎ）は、上記のベクトル空間ｍを含む極大可換部分代数である。ここでは、以下のようにカルタン部分代数ｈ（ｎ）を定義する。

ここで、Ｈ＝ｅｘｐ（ｈ（ｎ））⊂Ｇとすると、式(10)のＭ＝ｅｘｐ（ｍ）は、さらに
Ｍ＝ＫＨＫ …(12)
と変換できる。なお、式(12)におけるＫは、式(10)のＫと同じである。
従って、この式(12)より、式(10)に示すリー群Ｇは、
G=KM=K(KHK)=KHK ,(K=SU(2^n-1),H=exp(h(n))⊂G) …(13)
と表すことができる。すなわち、リー群Ｇの任意の元は、それよりも次元の低い、Ｋの元と、（ｇ，ｋ）の組に対するカルタン部分代数ｈ（ｎ）に対応するリー群の元との積に分解できる。

以上のようなカルタン分解の産業上の利用分野としては、例えば、ユニタリ変換量子回路等のユニタリ行列の分解を例示できる。すなわち、任意のユニタリ行列を現実の量子回路で実現する場合、そのユニタリ行列を基本ゲートに分解しなければならない。そして、もし、このカルタン分解によって分解された各元を新たな入力元とし、このカルタン分解を再帰的に繰り返していくことができるならば、任意のユニタリ行列をシステマチックに基本ゲートに分解することも可能である。
N. Khaneja, S. Glaster,"Cartan Decomposition of SU(2n), constructive controllability of spin systems and universal quantum computing," quant-ph/0010100,2000.

しかし、従来、カルタン分解による分解結果から、ＫやＨの性質を崩すことなく、これらリー群の元を独立に抽出する具体的な方法は知られていなかった。従って、従来は、量子回路等に対応するユニタリ行列にカルタン分解を再帰的に適用し、このユニタリ行列を基本ゲートに分解するといった処理をシステマチックに実現することもできなかった。
本発明はこのような点に鑑みてなされたものであり、ユニタリ行列にカルタン分解を再帰的に適用し、このユニタリ行列を自動的に基本ゲートに分解する処理をコンピュータ上で実現する技術を提供することを目的とする。

＜第１の発明＞
上記課題を解決するために、第１の本発明では、まず、分解対象である２^ｎ×２^ｎの特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）の自然対数であるリー（Ｌｉｅ）代数表現ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）を、行列表現変換手段が抽出し、抽出されたリー代数表現ｆを、カルタン分解手段が、カルタン（Ｃａｒｔａｎ）分解によって、直交する２つのベクトル空間ｋ，ｍに含まれる要素ｋ_１∈ｋ，ｍ_１∈ｍに分解する。
次に、対角行列計算手段が、Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｍ_１）・Ｕ_ｈを対角行列Ｄ_ｈに対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_ｍを算出する。なお、Ｕ_ｈは、ベクトル空間ｍに含まれる極大可換部分代数であるカルタン部分代数ｈ（ｎ）の基底のすべてを同時対角化する行列を意味し、対角行列Ｄ_ｈは、カルタン部分代数ｈ（ｎ）に対応するリー群ｅｘｐ（ｈ（ｎ））を行列Ｕ_ｈによって対角化した行列を意味する（Ｄ_ｈ∈Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｈ（ｎ））・Ｕ_ｈ）。

そして、対角行列分解手段が、対角行列Ｄ_ｈをトフォリ（Ｔｏｆｆｏｌｉ）ゲートＴＧ_ｈの積に分解し、基本ゲート分解手段が、各トフォリゲートＴＧ_ｈを基本ゲートＢＧ_ｈの積に分解し、分解要素格納手段が、ｅｘｐ（ｋ_１）、Ｕ_ｈ、Ｕ_ｍ、Ｕ_ｍ ^＊及びＢＧ_ｈを、Ｆの分解要素（Ｆ＝ｅｘｐ（ｋ_１）・（Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・ＢＧ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ））として記憶手段に格納する。なお、本発明の「トフォリゲート」は、行の入れ替え等の簡易な操作によりトフォリゲートとなる行列をも含む概念である。
ここで、カルタン分解手段において、リー代数表現ｆを、直交するベクトル空間ｋ，ｍに含まれる要素ｋ_１∈ｋ，ｍ_１∈ｍに分解しているため、

が成り立つ。また、ｋ_１，ｍ_１に対応するリー群Ｋ_１＝ｅｘｐ（ｋ_１）及びＭ_１＝ｅｘｐ（ｍ_１）は、Ｆ＝Ｋ_１Ｍ_１の関係を満たす。

また、前述の式(12)でも示したとおり、このＭ_１は、
Ｍ_１＝Ｋ_２・ｅｘｐ（ｈ_１）・Ｋ_３ …(14)
と分解できる（ｈ_１∈ｈ（ｎ）,Ｋ_２，Ｋ_３∈Ｋ＝ｅｘｐ（ｋ））。
ここでＭ_１＝Ｋ_２・ｅｘｐ（ｈ_１）・Ｋ_３を行列Ｕ_ｈによって対角化すると、
Ｕ_ｈ・Ｍ_１・Ｕ_ｈ＝（Ｕ_ｈ・Ｋ_２・Ｕ_ｈ）（Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｈ_１）・Ｕ_ｈ）（Ｕ_ｈ・Ｋ_３・Ｕ_ｈ） …(15)
となる。そして、Ｕ_ｈは、ｈ（ｎ）の基底のすべてを同時対角化する行列を意味するのであるから、ｈ_１を対角化する行列でもあり、さらには、上述の式(1)の定義より、そのリー群ｅｘｐ（ｈ_１）をも対角化する行列である。そして、Ｄ_ｈ＝Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｈ（ｎ））・Ｕ_ｈとしているのだから、上述の式(15)は、
Ｕ_ｈ・Ｍ_１・Ｕ_ｈ＝Ｕ_ｈ・Ｋ_２・Ｕ_ｈ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｈ・Ｋ_３・Ｕ_ｈ …(16)
となる。

また、対角行列計算手段において、Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｍ_１）・Ｕ_ｈを対角行列Ｄ_ｈに対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_ｍを算出しているが、Ｍ_１＝ｅｘｐ（ｍ_１）であるため、
Ｕ_ｍ ^＊（Ｕ_ｈ・Ｍ_１・Ｕ_ｈ）Ｕ_ｍ＝Ｄ_ｈ
Ｕ_ｈ・Ｍ_１・Ｕ_ｈ＝Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊ …(17)
が成り立つ。ここで、式(16)と(17)とが成り立つためには、
Ｋ_２＝Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｕ_ｈ …(18)
Ｋ_３＝Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ …(19)
であれば十分である。

そして、この式(18)(19)を上述の式(14)に代入すると、
Ｍ_１＝Ｋ_２・ｅｘｐ（ｈ_１）・Ｋ_３
＝（Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｕ_ｈ）・ｅｘｐ（ｈ_１）・（Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ）
＝Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・（Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｈ_１）・Ｕ_ｈ）・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ
＝Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ
となる。
すなわち、この式より、分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆは、
Ｆ＝Ｋ_１Ｍ_１
＝Ｋ_１・Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ …(20)
と分解できることが分かる。

この式(20)において、行列Ｕ_ｈの量子回路は公知である（後述）。また、対角行列Ｄ_ｈは、対角行列分解手段及び基本ゲート分解手段により、基本ゲートＢＧ_ｈの積に分解できる。従って、残りのＫ_１とＵ_ｍが基本ゲートまで分解できれば、Ｆを基本ゲートに分解できる。そこで、次は、これらＫ_１とＵ_ｍを、それぞれ分解対象である特殊ユニタリ行列として本発明の処理を再帰的に繰り返す。なお、Ｕ_ｍは対角行列計算手段が算出したものであるからＵ_ｍを、分解対象である特殊ユニタリ行列として特定することは容易であり、また、Ｕ_ｍが特定できるならば、残りのＫ_１を式(20)から抽出することも容易である。これにより、Ｆを基本ゲートレベルまで分解できる。

＜第２の発明＞
上記課題を解決するために、第２の本発明では、まず、分解対象である２^ｎ×２^ｎの特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）の自然対数であるリー（Ｌｉｅ）代数表現ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）を、行列表現変換手段が抽出し、抽出されたリー代数表現ｆを、カルタン分解手段が、カルタン（Ｃａｒｔａｎ）分解によって、直交する２つのベクトル空間ｋ，ｍに含まれる要素ｋ_１∈ｋ，ｍ_１∈ｍに分解する。
次に、ｍ_１を対角行列Ｄ_１に対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_１を、対角行列計算手段が算出し、対角行列分解手段が、ｅｘｐ（Ｄ_１）をトフォリ（Ｔｏｆｆｏｌｉ）ゲートＴＧ_１の積に分解し、基本ゲート分解手段が、上記各トフォリゲートＴＧ_１を基本ゲートＢＧ_１の積に分解し、分解要素格納手段が、上記ｅｘｐ（ｋ_１）、Ｕ_１、Ｕ_１ ^＊及びＢＧ_１を、Ｆの分解要素（Ｆ＝ｅｘｐ（ｋ_１）・（Ｕ_１・ＢＧ_１・Ｕ_１ ^＊））として記憶手段に格納する。

ここで、カルタン分解手段において、リー代数表現ｆを、直交するベクトル空間ｋ，ｍに分解しているため、ｋ₁∈ｋ，ｍ_１∈ｍとすると、

が成り立つ。また、ｋ_１，ｍ_１に対応するリー群Ｋ_１＝ｅｘｐ（ｋ_１）及びＭ_１＝ｅｘｐ（ｍ_１）は、Ｆ＝Ｋ_１Ｍ_１の関係を満たす。

また、対角行列計算手段において、ｍ_１を対角行列Ｄ_１に対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_１を算出している。そして、上述の式(1)の定義より、この特殊ユニタリ行列Ｕ_１は、ｍ_１のリー群Ｍ_１＝ｅｘｐ（ｍ_１）を対角行列ｅｘｐ（Ｄ_１）に対角化する行列である。従って、この特殊ユニタリ行列Ｕ_１を用いれば、Ｍ_１は、
Ｍ_１＝Ｕ_１・ｅｘｐ（Ｄ_１）・Ｕ_１ ^＊ …(21)
と書ける。
従って、分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆは、
Ｆ＝Ｋ_１Ｍ_１
＝Ｋ_１・Ｕ_１・ｅｘｐ（Ｄ_１）・Ｕ_１ ^＊ …(22)
と分解できることが分かる。

この式(22)において、対角行列Ｄ_１は、対角行列分解手段及び基本ゲート分解手段により、基本ゲートＢＧ_１の積に分解できる。従って、残りのＫ_１とＵ_１が基本ゲートまで分解できれば、Ｆを基本ゲートに分解できる。そこで、次は、これらＫ_１とＵ_１を、それぞれ分解対象である特殊ユニタリ行列として本発明の処理を再帰的に繰り返す。なお、Ｕ_１は対角行列計算手段が算出したものであるからＵ_１を、分解対象である特殊ユニタリ行列として特定することは容易であり、また、Ｕ_１が特定できるならば、残りのＫ_１を式(22)から抽出することも容易である。これにより、Ｆを基本ゲートレベルまで分解できる。

以上のように、本発明では、カルタン分解結果の一部を対角行列に置き換えることとしたため、再帰的にカルタン分解を適用することが可能となる。これにより、任意のユニタリ行列を自動的に基本ゲートに分解する処理をコンピュータ上で実現することが可能となる。

以下、本発明の実施の形態を図面を参照して説明する。
〔第１の実施の形態〕
まず、本発明における第１の実施の形態について説明する。
＜構成＞
まず、本形態におけるユニタリ行列分解装置の構成を説明する。
図１は、本形態におけるユニタリ行列分解装置１の構成を説明するためのブロック図である。
ユニタリ行列分解装置１は、公知のコンピュータに所定のプログラムを実行させることにより構築され、入力部２、主記憶装置３（「記憶手段」に相当）、構造判定部４、行列表現変換部５、カルタン分解部６、対角行列計算部７、Ｍ分解部、対角行列分解部９、基本ゲート分解部１０、分解要素格納部１１及び出力部１２を有している。

＜主記憶装置＞
主記憶装置３は、２^ｎ×２^ｎの特殊ユニタリ行列（ＳＵ（２^ｎ））と、当該特殊ユニタリ行列の自然対数であるリー（Ｌｉｅ）代数表現（ｓｕ（２^ｎ））と、を対応付けて格納する。そして、分解対象とした行列を、その分解後の積の形に置き換えていく。

＜構造判定部＞
構造判定部４は、主記憶装置３に格納された特殊ユニタリ行列が基本ゲートであるか否かを判断し、基本ゲートでないと判断した特殊ユニタリ行列を主記憶装置３から抽出し、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれるか否かを判定する。
ここで、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれると判定された場合、構造判定部４は、その特殊ユニタリ行列を基本ゲート分解部１０に渡す。一方、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれないと判定された場合、構造判定部４は、その特殊ユニタリ行列を行列表現変換部５に渡す。なお、この行列表現変換部５に渡される特殊ユニタリ行列は、主記憶装置３に格納された特殊ユニタリ行列のうち、基本ゲートを除く、ｎ≧３の特殊ユニタリ行列となる（「分解対象の特殊ユニタリ行列Ｆ」に相当）。また、特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれる（特殊ユニタリ行列がｎ＝２である）とは、特殊ユニタリ行列が４×４の行列となっている場合に限られず、各行や列の０以外の要素の数の最大値が４である場合も含まれる。

＜行列表現変換部＞
行列表現変換部５は、構造判定部４から受け取った分解対象の特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）に対応するリー代数表現ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）が主記憶装置３に格納されているか否かを判断する。
ここで、対応するリー代数表現ｆが格納されていると判断された場合、行列表現変換部５は、分解対象の特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）に対応するリー代数表現ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）を主記憶装置３から抽出する。一方、対応するリー代数表現ｆが格納されていないと判断された場合、行列表現変換部５は、対角行列計算部７を呼び出し、当該Ｆを対角行列Ｄ_２に対角化する行列Ｕ_２を計算させ、Ｕ_２・ｌｏｇ（Ｄ_２）・Ｕ_２ ^＊の演算結果を、当該Ｆに対応するリー代数表現ｆとして、主記憶装置３に格納する。

＜対角行列計算部＞
対角行列計算部７は、入力された行列を対角化するユニタリ行列を求める。そして、その対角化するユニタリ行列Ｕと、それによって対角化した対角行列Ｄとを出力する。具体的には、例えば、以下のアルゴリズムによりこの演算を行う。
［アルゴリズム１：入力行列のサイズが小さい場合］
１．固有方程式 ｄｅｔ（Ａ−λＩ）＝０を厳密に解いて固有値λ∈Ｃを求める。なお、Ａはｍ（＝２^ｎ）次の入力行列を、Ｉは単位行列を、ｄｅｔ（．．．）は行列式の値をそれぞれ意味する。

２．求まった各固有値λをＡν＝λνに代入し、この方程式を解くことにより、各固有値λに対応する固有ベクトルν∈Ｃ^ｍ，ν≠０を求める。
３．求められた固有値λ_１，λ_２，…，λ_ｍ、及びこれらの固有値に対応する固有ベクトルν_１，ν_２，…，ν_ｍから、
Ｕ＝（ν_１，ν_２，…，ν_ｍ）
Ｄ＝ｄｉａｇ（λ_１，λ_２，…，λ_ｍ）
を算出する。なお、ｄｉａｇ（λ_１，λ_２，…，λ_ｍ）は、λ_１，λ_２，…，λ_ｍを対角成分とする対角行列を意味する。

［アルゴリズム２：入力行列のサイズが大きい場合］
１．入力行列ＡをＨｅｒｍｉｔｅ行列Ｂ（Ｂ^＊＝Ｂなる行列）に変換する。
２．ＢをＨｅｒｍｉｔｅ三重対角行列Jに変換する（相似変換）。
３．Jについて，固有方程式 ｄｅｔ（J‐λＩ）を解く。ここで、Jの固有値はＢと等しく、Jは三重対角行列であるため、Ｂから直接固有方程式を解くよりも簡単に解を求めることができる。
４. 求まったBの固有値からＡの固有値λ∈Ｃを算出する。
５．以降はアルゴリズム１と同様である。

なお、アルゴリズム２の「１．」におけるＨｅｒｍｉｔｅ行列への変換には、以下のような手法を利用できる。
(a)入力行列Ａがユニタリ行列の場合、Ｂ＝Ａ＋Ａ^＊とすれば、ＢはＨｅｒｍｉｔｅ行列となる。この場合、Aの固有値をα_１とすれば、Bの固有値β_１は、β_１＝α_１＋α_１ ^＊（α_１ ^＊は、α_１の共役複素数）である（「４．」の処理に対応）。
(b)入力行列Ａが歪みＨｅｒｍｉｔｅ行列の場合、B＝iAとすれば、ＢはＨｅｒｍｉｔｅ行列となる。この場合、Aの固有値をα_１とすれば、Bの固有値β_１は、β_１＝‐ｉα_１である（「４．」の処理に対応）。
なお、上記の方法の他にも、適切な相似変換（前処理）を行うことで、ＱＲ法やベキ乗法などのよく知られている固有値問題を解くアルゴリズムを利用すれば、固有値を求めることができる。

＜基本ゲート分解部＞
基本ゲート分解部１０は、トフォリゲートやＳＵ（４）に含まれる行列（主記憶装置３に格納された特殊ユニタリ行列のうち、基本ゲートを除く、ｎ＝２の特殊ユニタリ行列）を、ＳＵ（２）とＣＮＯＴの積（基本ゲートの積）に分解する。
＜カルタン分解部＞
カルタン分解部６は、受け取ったリー代数表現ｆを、カルタン（Ｃａｒｔａｎ）分解によって、直交する２つのベクトル空間ｋ，ｍに含まれる要素ｋ_１∈ｋ，ｍ_１∈ｍの直和に分解する。そして、分解されたｍ_１をＭ分解部８へ渡す。その後、Ｍ分解部８から返された分解結果をｋとともに、分解要素格納部１１へ渡す。

＜Ｍ分解部＞
Ｍ分解部８は、受け取ったｍを対角行列計算部７へ渡し、Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｍ_１）・Ｕ_ｈを対角行列Ｄ_ｈ（Ｄ_ｈ∈Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｈ（ｎ））・Ｕ_ｈ）に対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_ｍを算出させる。そして、Ｍ分解部８は、対角行列計算部７において算出された特殊ユニタリ行列Ｕ_ｍと対角行列Ｄ_ｈとを受け取り、ｅｘｐ（ｍ_１）をＵ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈで置き換える。また、Ｍ分解部８は、この対角行列Ｄ_ｈを対角行列分解部９に渡し、対角行列分解部９から返された分解結果で対角行列Ｄ_ｈを置き換え、それらとＵ_ｈ、Ｕ_ｍ、Ｕ_ｍ ^＊とをカルタン分解部６へ返す。

［行列Ｕ_ｈの説明］
前述のように、Ｕ_ｈはベクトル空間ｍに含まれる極大可換部分代数であるカルタン部分代数ｈ（ｎ）の基底のすべてを同時対角化する行列である。すなわち、前述の式(11)で定義されるカルタン部分代数ｈ（ｎ）の基底には、それらすべてを同時対角化するような行列Ｕ_ｈが存在する。例えば、ｇ∈ｓｕ（２^３）の場合を考えると、（ｇ，ｋ）の組に対するカルタン部分代数ｈ（ｎ）は、

より、
h₁=i(α₁σ₁+α₂σ₂+α₃σ₃+α₄σ₄)∈h(3)
と書ける。この場合、ｈ（３）の基底σ_１，σ_２，σ_３，σ_４のすべてを同時対角化する行列、すなわち、任意のｈ_１∈ｈ（３）に対して、
U_h ^*・h(n)・U_h=α₁・U_h ^*・σ₁・U_h+α₂・U_h ^*・σ₂・U_h+α₃・U_h ^*・σ₃・U_h+α₄・U_h ^*・σ₄・U_h=D_h
が成り立つような行列Ｕ_ｈが存在し、その行列Ｕ_ｈは以下のようになる。

ここで、U_h ^*・σ_ｐ・U_h（ｐ＝１，２，３，４）を計算すると、それぞれ対角行列が求まることから、同時対角化できることがわかる。

このような行列Ｕ_ｈは、ｎ≧３のとき、図３のように規則的に構成することができ、かつ、Ｕ_ｈ ^＊＝Ｕ_ｈ ^−１＝Ｕ_ｈが成り立つ。すなわち、ｎ＝３のときは、図３の（ａ）に示すように、２つのＣＮＯＴゲート２１，２２と、その目標ビット経路上にＣＮＯＴゲート２１，２２に挟まれて配置されたアダマール（Ｈａｄａｍａｒｄ）ゲート３１と、これらの目標ビット及び制御ビット以外の第３の量子ビット経路上に配置されるアダマールゲート３２‐１とによって行列Ｕ_ｈ（３）が構成される（Ｕ_ｈ（β）は、ｎ＝βの行列Ｕ_ｈを意味する。）。また、ｎ＝４のときは、図３の（ｂ）に示すように、さらに第４の量子ビット経路上に配置されるアダマールゲート３２‐２が追加されることによって行列Ｕ_ｈ（４）が構成される。そして、これを一般化すると、図３の（ｃ）に示すように、２つのＣＮＯＴゲート２１，２２と、その目標ビット経路上にＣＮＯＴゲート２１，２２に挟まれて配置されたアダマールゲート３１と、アダマールゲート３２‐１〜ｎとによって行列Ｕ_ｈ（ｎ）が構成される（行列Ｕ_ｈの説明終わり）。

＜対角行列分解部＞
対角行列分解部９は、２^ｎ×２^ｎの対角行列を、２^ｎ−１個のｎ量子ビットのトフォリ（Ｔｏｆｆｏｌｉ）ゲートの積に分解する。なお、ここでの「トフォリゲート」には、簡易な操作によりトフォリゲートの形になる行列も含まれる。
例えば、ｎ＝３のときの対角行列

の場合、対角行列分解部９は、この対角行列Ｄを４個の３量子ビットのトフォリゲートの積に分解する。すなわち、Ｄ＝Ｆ_１Ｆ_２Ｆ_３Ｆ_４

と分解する。

ここで、Ｆ_４は３量子ビットのトフォリゲートそのものである。Ｆ_１，Ｆ_２，Ｆ_３は、行の入れ替えをすれば、やはり３量子ビットのトフォリゲートで実現できる。例えば、Ｆ_１の場合は、まず上半分と下半分とを入れ替え（第１量子ビットの０，１を反転させる）、次に下半分のうち、さらに上半分と下半分とを入れ替える（第2量子ビットの０，１を反転させる）ことで３量子ビットのトフォリゲートの形になる。本発明では、Ｆ_１，Ｆ_２，Ｆ_３のようなものも「トフォリゲート」と呼ぶことにする。
対角行列分解部９は、対角行列をトフォリゲートに分解すると、次に、基本ゲート分解部１０を呼び出し、このトフォリゲートを基本ゲートに分解させる。そして、その分解結果をＭ分解部８に返す。

＜基本ゲート分解部＞
基本ゲート分解部１０は、ＳＵ（４）に含まれる特殊ユニタリ行列や、トフォリゲートを、行・列の入れ替えや対角化を利用して基本ゲートの積に分解する。なお、ｎ量子ビットのトフォリゲートは、Ｏ（ｎ²）の基本ゲートで実現できる（例えば、ｂ「A.Barenco et al., Elementary gates for quantum computation, Phys. Rev. A52, pp.3457-3467,1995.」や「C. Moore and M. Nilsson, parallel quantum computation and quantum codes, SIAM J. Comp, Vol.31, No.3, pp.799-815, 2001.」を参照。）。

＜分解要素格納部＞
分解要素格納部１１は、ｅｘｐ（ｋ_１）、Ｕ_ｈ、Ｕ_ｍ、Ｕ_ｍ ^＊及び基本ゲートＢＧ_ｈを、Ｆの分解要素（Ｆ＝ｅｘｐ（ｋ_１）・（Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・ＢＧ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ＝ｅｘｐ（ｍ_１）））として主記憶装置３に格納する（ここで、ｋ_１∈ｋ、ｍ_１∈ｍ）。
＜処理＞
次に、本形態におけるユニタリ行列分解方法について説明する。
図２は、本形態におけるユニタリ行列分解方法を説明するためのフローチャートである。以下、図１及び図２を用い、本形態におけるユニタリ行列の分解分解処理について説明する。
まず、任意のユニタリ行列が入力部２から入力される。入力されたユニタリ行列は、入力部２において特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）に変換され、行列リストＦとして主記憶装置３に格納される。

次に、構造判定部４が、主記憶装置３に格納されたすべての特殊ユニタリ行列Ｆ（主記憶装置３の行列リストに含まれる行列Ｆ）が基本ゲートであるか否かが判断する（ステップＳ１）。ここで、主記憶装置３に格納されたすべての特殊ユニタリ行列Ｆが基本ゲートであると判断された場合には処理を終了する。
一方、基本ゲートでない特殊ユニタリ行列Ｆが行列リストに存在すると判断された場合、構造判定部４は、行列リストの中で最初の基本ゲートでない特殊ユニタリ行列Ｆを主記憶装置３から読み出す（抽出する）（ステップＳ２）。特殊ユニタリ行列Ｆを抽出した構造判定部４は、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれるか否かを判断する（ステップＳ３）。ここで、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれると判断された場合（ｎ＜３であると判断された場合）、構造判定部４は、その特殊ユニタリ行列Ｆを基本ゲート分解部１０に送り、基本ゲート分解部１０は、この特殊ユニタリ行列Ｆを基本ゲートの積で置き換えて主記憶装置３に格納して処理を終了する。

一方、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれないと判断された場合（ｎ≧３であると判断された場合）、構造判定部４は、その特殊ユニタリ行列Ｆ（「分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆ」に相当）を行列表現変換部５に送る。これを受け取った行列表現変換部５は、その分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆに対応するリー代数表現ｆが計算されているか否か（主記憶装置３に格納されているか否か）を判断する（ステップＳ５）。ここで、対応するリー代数表現ｆが計算されていないと判断された場合、行列表現変換部５は、このリー代数表現ｆを求めて主記憶装置３に格納する（ステップＳ６）。具体的には、例えばまず、行列表現変換部５が対角行列計算部７を呼び出し、分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆを対角行列Ｄ_２に対角化する行列Ｕ_２を算出させ、この行列Ｕ_２及び対角行列Ｄ_２を受け取る。そして、行列表現変換部５は、
ｌｏｇ（Ｆ）＝ｌｏｇ（Ｕ_２・Ｄ_２・Ｕ_２ ^＊）
＝Ｕ_２・ｌｏｇ（Ｄ_２）・Ｕ_２ ^＊
の演算結果を、当該Ｆに対応するリー代数表現ｆとして主記憶装置３に格納する。このようにＦを対角行列Ｄ_２に分解してｌｏｇの演算を行うことにより、直接ｌｏｇ（Ｆ）を計算するよりも演算量を低減させることができる。なお、ｌｏｇは式(1)で定義した指数演算に対応する自然対数である。

一方、ステップＳ５の判断で、対応するリー代数表現ｆが計算されていると判断された場合、行列表現変換部５は、リー代数表現ｆの算出を行わない。
その後、行列表現変換部５は、分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）に対応するリー代数表現ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）を主記憶装置３から抽出し（ステップＳ７）、カルタン分解部６に送る。カルタン分解部６は、送られたリー代数表現ｆを、カルタン分解によって、直交する２つのベクトル空間ｋ，ｍに含まれる要素ｋ_１∈ｋ，ｍ_１∈ｍに分解し、対応するＦ＝ｅｘｐ（ｆ）をｅｘｐ（ｋ_１）・ｅｘｐ（ｍ_１）で置き換える関係を保存しておく（ステップＳ８）。なお、このカルタン分解は、前述のように（図９）、分解された各行列の要素を格子状にとればよい。

カルタン分解部６において分解されたｍ_１は、Ｍ分解部８に送られ、Ｍ分解部８は、これを対角行列計算部７に送る。そして、対角行列計算部７は、Ｕ_ｈ・ｅｘｐ（ｍ_１）・Ｕ_ｈを対角行列Ｄ_ｈに対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_ｍを算出し、対角行列Ｄ_ｈと特殊ユニタリ行列Ｕ_ｍとをＭ分解部８に返す。Ｍ分解部８は、ｅｘｐ（ｍ_１）をＵ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈで置き換える関係を保存しておく（ステップＳ９）。
次に、Ｍ分解部８は、対角行列Ｄ_ｈを対角行列分解部９に送り、対角行列分解部９は、対角行列Ｄ_ｈをトフォリゲートＴＧ_ｈの積に分解する（ステップＳ１０）。対角行列分解部９は、対角行列Ｄ_ｈをトフォリゲートＴＧ_ｈの積で置き換える関係を保存し、これらのトフォリゲートＴＧ_ｈを基本ゲート分解部１０に送る。基本ゲート分解部１０は、送られた各トフォリゲートＴＧ_ｈを基本ゲートＢＧ_ｈの積に分解し（ステップＳ１１）、トフォリゲートＴＧ_ｈを基本ゲートＢＧ_ｈの積に置き換えた関係を対角行列分解部９に返す。

対角行列分解部９は、保存しておいた「対角行列Ｄ_ｈをトフォリゲートＴＧ_ｈの積で置き換える関係」を用い、基本ゲート分解部１０から受け取った基本ゲートＢＧ_ｈの積で対角行列Ｄ_ｈを置き換える。そして、その基本ゲートＢＧ_ｈの積で置き換えられた対角行列Ｄ_ｈをＭ分解部８に返す。
Ｍ分解部８は、保存しておいた「ｅｘｐ（ｍ_１）をＵ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈで置き換える関係」を用い、対角行列分解部９から送られた基本ゲートＢＧ_ｈの積（＝Ｄ_ｈ）でＵ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈを置き換え、その置き換え結果ｅｘｐ（ｍ_１）＝Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・ＢＧ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈをカルタン分解部６に返す。

カルタン分解部６は、保存しておいた「Ｆ＝ｅｘｐ（ｆ）をｅｘｐ（ｋ_１）・ｅｘｐ（ｍ_１）で置き換える関係」を用い、Ｍ分解部８から送られたｅｘｐ（ｍ_１）＝Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・ＢＧ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈでＦ＝ｅｘｐ（ｆ）を置き換え、その置き換え結果Ｆ＝ｅｘｐ（ｋ_１）・Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・ＢＧ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈを分解要素格納部１１に送る。
分解要素格納部１１は、ｅｘｐ（ｋ_１）、ｋ_１、Ｕ_ｈ、Ｕ_ｍ、Ｕ_ｍ ^＊及びＢＧ_ｈを、Ｆの分解要素（Ｆ＝ｅｘｐ（ｋ_１）・（Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・ＢＧ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈ））として主記憶装置３に格納する（ステップＳ１２）。

ここで、主記憶装置３に格納されたＵ_ｈの量子回路構成は前述の通り公知である（図３）。また、当然、基本ゲートＢＧ_ｈの回路構成も公知である。従って、ｅｘｐ（ｋ_１）及びＵ_ｍがＵ_ｈ或いはＢＧ_ｈに分解できれば、Ｆは実現可能な量子回路に分解されたことになる。そのため、以降は、このｅｘｐ（ｋ_１）及びＵ_ｍを新たな特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）として、上述したステップＳ１〜Ｓ１２までの処理を再帰的に繰り返す。これにより、すべての行列が実現可能な量子回路に分解される。
＜３量子ビットのＦｏｕｒｉｅｒ変換の行列の分解＞
次に、本形態の具体例について説明する。この例では、３量子ビット（ｎ＝３）のＦｏｕｒｉｅｒ変換の行列の分解を行う。

＜基本行列＞
まず、この例の分解に使用する基本的な行列を示す。

Ｅは２×２の単位行列で、ＮはＮＯＴゲート、Ｈはアダマールゲートである。また、Ｃ_１は第１量子ビットが１のときだけ、第２量子ビットの状態を反転させる制御ＮＯＴ（ＣＮＯＴ）ゲートで、Ｃ_２はＣＮＯＴの逆で、第１量子ビットが０ときだけ、第２量子ビットの状態を反転させるゲートである。また、Ｓは第１量子ビットと第２量子ビットの状態を入れ替えるＳＷＡＰゲートである。

＜入力＞
３量子ビットのＦｏｕｒｉｅｒ変換の行列Ｕ_Ｆ∈ＳＵ（８）は、次の行列である。

まず、この行列Ｕ_Ｆ（「Ｆ」に相当）を入力部２（図１）に入力し、主記憶装置３に格納する。この行列Ｕ_Ｆは、基本ゲートでなく（ステップＳ１）、ＳＵ（４）にも含まれない（ステップＳ３）。また、この時点では、行列Ｕ_Ｆに対応するＬｉｅ代数表現も計算されていない（ステップＳ４）。そこでまず、行列表現変換部５は、対角行列計算部７を呼び出し、行列Ｕ_Ｆに対応するＬｉｅ代数表現ｆを求める（ステップＳ５，Ｓ６）。つまり、Ｕ_Ｆ＝ｅｘｐ（ｆ）であることから、行列表現変換部５は、Ｕ_Ｆを対角行列Ｄ_ｆに対角化する行列Ｕ_１を利用し、
Ｕ_Ｆ＝Ｕ_１・Ｄ_ｆ・Ｕ_１ ^＊＝ｅｘｐ（ｆ）
ｆ＝ｌｏｇ（Ｕ_Ｆ）＝ｌｏｇ（Ｕ_１・Ｄ_ｆ・Ｕ_１ ^＊）＝Ｕ_１・ｌｏｇ（Ｄ_ｆ）・Ｕ_１ ^＊
により、Ｌｉｅ代数表現ｆを求める。ここで、この対角化を実現する行列Ｕ_１は、ユニタリ行列の性質を満たすようにＵ_Ｆの固有ベクトルを縦に並べた行列である。すなわち、

である。

そして、行列Ｕ_Ｆに対応するＬｉｅ代数表現ｆは、

である。このように算出されたＬｉｅ代数表現ｆは、行列Ｕ_Ｆに対応付けられて主記憶装置３に格納される。

次に、行列表現変換部５は、主記憶装置３から行列Ｕ_Ｆに対応するＬｉｅ代数表現ｆを抽出し（ステップＳ７）、カルタン分解部６に送る。カルタン分解部６は、カルタン分解を利用して、このｆを

という２つの行列ｋ_１，ｍ_１の直和に分解する（ステップＳ８）。この分解は、図９のように格子状に要素を抽出することによってできる。すなわち、

となる。そして、Ｋ₁＝ｅｘｐ（ｋ_１），Ｍ_１＝ｅｘｐ（ｍ_１）より、Ｕ_Ｆ＝Ｋ₁・Ｍ_１の分解が求まる。

カルタン分解部６で算出されたｍ_１は、Ｍ分解部８に送られ、Ｍ分解部８は、対角行列計算部７を呼び出し、Ｍ_１＝ｅｘｐ（ｍ_１）をＭ_１＝Ｕ_ｈ・Ｕ_ｍ・Ｄ_ｈ・Ｕ_ｍ ^＊・Ｕ_ｈで置き換える（ステップＳ９）。ここで、Ｕ_ｈは前述の式(23)で示される行列であり、図３の量子回路で実現できるものである。Ｄ_ｈはＵ_ｈ・Ｍ_１・Ｕ_ｈの固有値が対角成分にならんだ対角行列で、
Ｄ_ｈ＝ｄｉａｇ（ｉ，−ｉ，ｉ，−ｉ，１，１，１，１） …(24)
となる。

この対角行列Ｄ_ｈは、対角行列分解部９において、＜対角行列分解部＞の説明で述べたように、４個の３量子ビットのトフォリゲートの積に分解されるが、Ｆ_３，Ｆ_４は単位行列となるため、２個の３量子ビットのトフォリゲートの積に分解される（ステップＳ１０）。そして、さらに基本ゲート分解部１０において以下のような基本ゲートの積に分解される（ステップＳ１１）。

である。

また、このような対角化を実現する行列Ｕ_ｍは

である。
そして、以上のような対角行列Ｄ_ｈの基本ゲートの積、行列Ｕ_ｍ、Ｕ_ｍ ^＊、Ｕ_ｈ、Ｋ₁＝ｅｘｐ（ｋ_１），ｋ_１は、分解要素格納部１１において主記憶装置３に格納される（ステップＳ１２）。

＜Ｕ_ｍの分解＞
次に、Ｕ_ｍやＫ₁は基本ゲートでないため（ステップＳ１）、構造判定部４において、まず行列Ｕ_ｍが、主記憶装置３から読み出される（ステップＳ２）。ここで、式(25)に示すように、各行や列に含まれる０以外の要素の数は最大値は４である。よって、この行列Ｕ_ｍはＳＵ（４）に含まれ、構造判定部４は、この行列Ｕ_ｍを基本ゲート分解部１０に送る。そして、基本ゲート分解部１０は、以下のように、この行列Ｕ_ｍを基本ゲートの積で置き換える（ステップＳ４）。

ここで、Ｕ_４は行と列を入れ替える行列であり、基本ゲート分解部１０は、トフォリゲートＴ_８を用いて、さらにこのＵ_４を以下のように構成する。

このＴ₈は、第１量子ビットと第２量子ビットの状態が共に１の場合にのみ、第３量子ビットの状態を反転させる制御ＮＯＴゲートである。

また、基本ゲート分解部１０は、Ｔ_５を以下の行列のテンソル積に分解する。

＜Ｕ_６の分解＞
さらに、基本ゲート分解部１０は、Ｕ_６を以下の形に分解する。

以上のような分解結果は主記憶装置３に格納される。

＜Ｋ_１＝Ｋ２・Ｍ２への分解＞
次に、まだＫ₁は基本ゲートでないため（ステップＳ１）、構造判定部４においてＫ₁が主記憶装置３から読み出される（ステップＳ２）。Ｋ₁もＳＵ（４）に含まれるため、構造判定部４は、このＫ₁基本ゲート分解部１０に送る。そして、基本ゲート分解部１０は、以下のように、このＫ₁を基本ゲートの積で置き換える（ステップＳ４）。

まず、基本ゲート分解部１０は、Ｋ₁＝ｅｘｐ（ｋ_１）に対応するリー代数表現ｋ₁を主記憶装置３から抽出する。そして、基本ゲート分解部１０は、カルタン分解によって、このリー代数表現ｋ₁をｋ_２とｍ_２との直和に分解する。具体的には、例えば、ｋ₁から図４の（ａ）の要素を取り出したものをｋ_２とし、図４の（ｂ）の要素を取り出したものをｍ_２とする。すると、

となる。従って、

となる。

＜Ｋ_２の分解＞
次に基本ゲート分解部１０は、上記の式(26)に示されるＫ_２を、以下の形に書き換える。

ここで、Ｕ_２は、Ｋ_２の行や列を入れ替えて作られた行列であり、Ｓ_１がその行と列の入れ替えを表している。具体的には、

であり、このＳ_１の操作は、
１.第２量子ビットと第３量子ビットを入れ替える。
２.第１量子ビットと第２量子ビットを入れ替える。
３.第１量子ビットの否定（ＮＯＴ）をとる。
という操作から構成されている。

＜Ｕ_２の分解＞
次に基本ゲート分解部１０は、対角行列計算部７を呼び出して、上記の式(28)で示すＵ_２を、以下のように対角行列Ｄ_２を含む行列の積に分解する。

さらに、基本ゲート分解部１０は、式(29)のＵ_３を、以下の形に分解する。

次に基本ゲート分解部１０は、式(30)のＤ_２を、以下の形に分解する。

＜Ｍ_２の分解＞
また、基本ゲート分解部１０は、前述の式(27)に示されるＭ_２を、以下の形に分解する。

ここで、Ｔ_６は２ビットのトフォリゲートであり、これをsingle-qubit rotationsとCNOTに分解する手法は既に知られている（例えば、ｂ「A.Barenco et al., Elementary gates for quantum computation, Phys. Rev. A52, pp.3457-3467,1995.」や「C. Moore and M. Nilsson, parallel quantum computation and quantum codes, SIAM J. Comp, Vol.31, No.3, pp.799-815, 2001.」を参照。）。
そして、以上のような分解結果は主記憶装置３に格納される。

以上のような処理により、求まったFuorier変換の分解は以下のようになる。

また、図５の（ａ）は、上記の式(31)に示すＵ_Ｆのカルタン分解により求まる量子回路を示している。この図に示すように、Ｕ_Ｆの量子回路は、Ｕ_ｈ回路４１、Ｕ_ｍ ^＊回路４２、Ｄ_ｈ回路４３、Ｕ_ｍ回路４４、Ｕ_ｈ回路４５、Ｍ_２回路４６、Ｋ_２回路４７を直列に配置して構成される。
図５の（ｂ）は、Ｄ_ｈ回路４３を基本ゲートに分解した構成（式(35)）を示している。この図に示すように、Ｄ_ｈ回路４３は、４つのＮＯＴゲート４３ａ〜４３ｄと２つの制御ユニタリ（Ｔ_９）ゲート４３ｅ，４３ｆによって構成される。

図５の（ｃ）は、Ｍ_２回路４６を基本ゲートに分解した構成（式(33)）を示している。この図に示すように、Ｍ_２回路４６は、２つのＳＷＡＰゲート４６ａ，４６ｂと１つの制御ユニタリゲート（Ｔ_６）４６ｃによって構成される。
図６の（ａ）は、Ｕ_ｍ回路４４を基本ゲートに分解した構成（式(34)）を示している。この図に示すように、Ｕ_ｍ回路４４は、８つのＮＯＴゲート４４ａ〜４４ｈ、４つの制御ユニタリゲート（Ｔ_８）４４ｉ〜４４ｐ、１つの制御ユニタリゲート（Ｔ_１）４４ｋ、１つの制御ユニタリゲート（Ｔ_７）４４ｍ、２つのＣＮＯＴゲート（Ｃ_１）４４ｑ，４４ｒ，１つのＮＣＮＯＴゲート（Ｃ_２：第１量子ビットが０ときだけ、第２量子ビットの状態を反転させるゲート）４４ｓ、２つのアダマールゲート（Ｈ）４４ｔ，４４ｕ、１つのＳＷＡＰゲート（Ｓ）４４ｖによって構成される。

図６の（ｂ）は、Ｋ_２回路４７を基本ゲートに分解した構成（式(32)）を示している。この図に示すように、Ｋ_２回路４７は、４つのＳＷＡＰゲート（Ｓ）４７ａ〜４７ｄ、４つのＮＯＴゲート４７ｅ〜４７ｈ、２つのＣＮＯＴゲート（Ｃ_１）４７ｉ，４７ｊ、２つの制御ユニタリゲート（Ｔ_１）４７ｍ，４７ｓ、３つの制御ユニタリゲート（Ｔ_２）４７ｋ，４７ｎ、４７ｒ、１つの制御ユニタリゲート（Ｔ_３）４７ｑ、１つの制御ユニタリゲート（Ｔ_４）４７ｐによって構成される。

〔第２の実施の形態〕
次に、本発明における第２の実施の形態について説明する。
本形態は第１の実施の形態の変形例である。本形態では、前述の同時対角化行列を用いず、リー代数表現された行列を対角化する行列を利用してユニタリ行列の分解を行う。以下では、第１の実施の形態との相違点を中心に説明し、第１の実施の形態と共通する事項については説明を省略する。

＜構成＞
まず、本形態におけるユニタリ行列分解装置の構成を説明する。
図７は、本形態におけるユニタリ行列分解装置１００の構成を説明するためのブロック図である。なお、図７において第１の実施の形態のユニタリ行列分解装置１（図１）と共通する機能構成については図１と同じ符号を付した。
ユニタリ行列分解装置１００の構成の第１の実施の形態との相違点は、第１の実施の形態のユニタリ行列分解装置１のＭ分解部８の代わりにｍ分解部１０８を具備する点である。

＜Ｍ分解部＞
ｍ分解部１０８は、受け取ったｍ_１を対角行列計算部７へ渡し、ｍ_１を対角行列Ｄ_１に対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_１を算出させる。そして、ｍ分解部１０８は、対角行列計算部７において算出された特殊ユニタリ行列Ｕ_１をと対角行列Ｄ_１とを受け取り、ｅｘｐ（ｍ_１）をＵ_１・ｅｘｐ（Ｄ_１）・Ｕ_１ ^＊で置き換える。また、ｍ分解部１０８は、この対角行列Ｄ_１を対角行列分解部９に渡し、対角行列分解部９から返された分解結果で対角行列Ｄ_１を置き換え、それらとＵ_１、Ｕ_１ ^＊とをカルタン分解部６へ返す。

＜処理＞
次に、本形態におけるユニタリ行列分解方法について説明する。
図８は、本形態におけるユニタリ行列分解方法を説明するためのフローチャートである。以下、図７及び図８を用い、本形態におけるユニタリ行列の分解分解処理について説明する。
まず、任意のユニタリ行列が入力部２から入力される。入力されたユニタリ行列は、入力部２において特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）に変換され、行列リストＦとして主記憶装置３に格納される。

次に、構造判定部４が、主記憶装置３に格納されたすべての特殊ユニタリ行列Ｆ（主記憶装置３の行列リストに含まれる行列Ｆ）が基本ゲートであるか否かが判断する（ステップＳ２１）。ここで、主記憶装置３に格納されたすべての特殊ユニタリ行列Ｆが基本ゲートであると判断された場合には処理を終了する。
一方、基本ゲートでない特殊ユニタリ行列Ｆが行列リストに存在すると判断された場合、構造判定部４は、行列リストの中で最初の基本ゲートでない特殊ユニタリ行列Ｆを主記憶装置３から読み出す（抽出する）（ステップＳ２２）。特殊ユニタリ行列Ｆを抽出した構造判定部４は、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれるか（ｎ≧３であるか）否かを判断する（ステップＳ２３）。ここで、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれると判断された場合（ｎ＜３であると判断された場合）、構造判定部４は、その特殊ユニタリ行列Ｆを基本ゲート分解部１０に送り、基本ゲート分解部１０は、この特殊ユニタリ行列Ｆを基本ゲートの積で置き換えて主記憶装置３に格納して処理を終了する。

一方、抽出した特殊ユニタリ行列がＳＵ（４）に含まれないと判断された場合（ｎ≧３であると判断された場合）、構造判定部４は、その特殊ユニタリ行列Ｆ（「分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆ」に相当）を行列表現変換部５に送る。これを受け取った行列表現変換部５は、その分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆに対応するリー代数表現ｆが計算されているか否か（主記憶装置３に格納されているか否か）を判断する（ステップＳ２５）。ここで、対応するリー代数表現ｆが計算されていないと判断された場合、行列表現変換部５は、第１の実施の形態と同様に、このリー代数表現ｆを求めて主記憶装置３に格納する（ステップＳ２６）。一方、ステップＳ２５の判断で、対応するリー代数表現ｆが計算されていると判断された場合、行列表現変換部５は、リー代数表現ｆの算出を行わない。

その後、行列表現変換部５は、分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）に対応するリー代数表現ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）を主記憶装置３から抽出し（ステップＳ２７）、カルタン分解部６に送る。カルタン分解部６は、送られたリー代数表現ｆを、カルタン分解によって、直交する２つのベクトル空間ｋ，ｍに含まれる要素ｋ_１∈ｋ，ｍ_１∈ｍに分解し、対応するＦ＝ｅｘｐ（ｆ）をｅｘｐ（ｋ_１）・ｅｘｐ（ｍ_１）で置き換える関係を保存しておく（ステップＳ２８）。
カルタン分解部６において分解されたｍ_１は、ｍ分解部１０８に送られ、ｍ分解部１０８は、これを対角行列計算部７に送る。そして、対角行列計算部７は、ｍ_１を対角行列Ｄ_１に対角化する特殊ユニタリ行列Ｕ_１を算出し、対角行列Ｄ_１と特殊ユニタリ行列Ｕ_１とをｍ分解部１０８に返す。ｍ分解部１０８は、ｅｘｐ（ｍ_１）をＵ_１・ｅｘｐ（Ｄ_１）・Ｕ_１ ^＊で置き換える関係を保存しておく（ステップＳ２９）。

次に、ｍ分解部１０８は、対角行列ｅｘｐ（Ｄ_１）を対角行列分解部９に送り、対角行列分解部９は、対角行列ｅｘｐ（Ｄ_１）をトフォリゲートＴＧ_ｈの積に分解する（ステップＳ３０）。対角行列分解部９は、対角行列ｅｘｐ（Ｄ_１）をトフォリゲートＴＧ_ｈの積で置き換える関係を保存し、これらのトフォリゲートＴＧ_ｈを基本ゲート分解部１０に送る。基本ゲート分解部１０は、送られた各トフォリゲートＴＧ_ｈを基本ゲートＢＧ_ｈの積に分解し（ステップＳ３１）、トフォリゲートＴＧ_ｈを基本ゲートＢＧ_ｈの積に置き換えた関係を対角行列分解部９に返す。

対角行列分解部９は、保存しておいた「対角行列ｅｘｐ（Ｄ_１）をトフォリゲートＴＧ_ｈの積で置き換える関係」を用い、基本ゲート分解部１０から受け取った基本ゲートＢＧ_ｈの積で対角行列ｅｘｐ（Ｄ_１）を置き換える。そして、その基本ゲートＢＧ_ｈの積で置き換えられた対角行列ｅｘｐ（Ｄ_１）をｍ分解部１０８に返す。
ｍ分解部１８は、保存しておいた「ｅｘｐ（ｍ_１）をＵ_１・ｅｘｐ（Ｄ_１）・Ｕ_１ ^＊で置き換える関係」を用い、対角行列分解部９から送られた基本ゲートＢＧ_ｈの積（＝ｅｘｐ（Ｄ_１））でＵ_１・ｅｘｐ（Ｄ_１）・Ｕ_１ ^＊を置き換え、その置き換え結果ｅｘｐ（ｍ_１）＝Ｕ_１・ＢＧ_ｈ・Ｕ_１ ^＊をカルタン分解部６に返す。

カルタン分解部６は、保存しておいた「Ｆ＝ｅｘｐ（ｆ）をｅｘｐ（ｋ_１）・ｅｘｐ（ｍ_１）で置き換える関係」を用い、ｍ分解部１０８から送られたｅｘｐ（ｍ_１）＝Ｕ_１・ＢＧ_ｈ・Ｕ_１ ^＊でＦ＝ｅｘｐ（ｆ）を置き換え、その置き換え結果Ｆ＝ｅｘｐ（ｋ_１）・Ｕ_１・ＢＧ_ｈ・Ｕ_１ ^＊を分解要素格納部１１に送る。
分解要素格納部１１は、ｅｘｐ（ｋ_１）、ｋ_１、Ｕ_１、Ｕ_１ ^＊及びＢＧ_１を、上記Ｆの分解要素（Ｆ＝ｅｘｐ（ｋ_１）・（Ｕ_１・ＢＧ_１・Ｕ_１ ^＊＝ｅｘｐ（ｍ_１）））として主記憶装置３に格納する（ステップＳ３２）。

ここで、主記憶装置３に格納された基本ゲートＢＧ_ｈの回路構成も公知である。従って、ｅｘｐ（ｋ）及びＵ_１がＢＧ_ｈに分解できれば、Ｆは実現可能な量子回路に分解されたことになる。そのため、以降は、このｅｘｐ（ｋ_１）及びＵ_１を新たな特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）として、上述したステップＳ２１〜Ｓ３２までの処理を再帰的に繰り返す。これにより、すべての行列が実現可能な量子回路に分解される。
なお、この発明は上述の各実施の形態に限定されるものではなく、その他、本発明の趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもない。
また、上述の構成をコンピュータによって実現する場合、各装置が有すべき機能の処理内容はプログラムによって記述される。そして、このプログラムをコンピュータで実行することにより、上記処理機能がコンピュータ上で実現される。

この処理内容を記述したプログラムは、コンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録しておくことができる。コンピュータで読み取り可能な記録媒体としては、例えば、磁気記録装置、光ディスク、光磁気記録媒体、半導体メモリ等どのようなものでもよいが、具体的には、例えば、磁気記録装置として、ハードディスク装置、フレキシブルディスク、磁気テープ等を、光ディスクとして、ＤＶＤ（Digital Versatile Disc）、ＤＶＤ−ＲＡＭ（Random Access Memory）、ＣＤ−ＲＯＭ（Compact Disc Read Only Memory）、ＣＤ−Ｒ（Recordable）／ＲＷ（ReWritable）等を、光磁気記録媒体として、ＭＯ（Magneto-Optical disc）等を、半導体メモリとしてＥＥＰ−ＲＯＭ（Electronically Erasable and Programmable-Read Only Memory）等を用いることができる。
また、このプログラムの流通は、例えば、そのプログラムを記録したＤＶＤ、ＣＤ−ＲＯＭ等の可搬型記録媒体を販売、譲渡、貸与等することによって行う。さらに、このプログラムをサーバコンピュータの記憶装置に格納しておき、ネットワークを介して、サーバコンピュータから他のコンピュータにそのプログラムを転送することにより、このプログラムを流通させる構成としてもよい。

このようなプログラムを実行するコンピュータは、例えば、まず、可搬型記録媒体に記録されたプログラムもしくはサーバコンピュータから転送されたプログラムを、一旦、自己の記憶装置に格納する。そして、処理の実行時、このコンピュータは、自己の記録媒体に格納されたプログラムを読み取り、読み取ったプログラムに従った処理を実行する。また、このプログラムの別の実行形態として、コンピュータが可搬型記録媒体から直接プログラムを読み取り、そのプログラムに従った処理を実行することとしてもよく、さらに、このコンピュータにサーバコンピュータからプログラムが転送されるたびに、逐次、受け取ったプログラムに従った処理を実行することとしてもよい。また、サーバコンピュータから、このコンピュータへのプログラムの転送は行わず、その実行指示と結果取得のみによって処理機能を実現する、いわゆるＡＳＰ（Application Service Provider）型のサービスによって、上述の処理を実行する構成としてもよい。なお、本形態におけるプログラムには、電子計算機による処理の用に供する情報であってプログラムに準ずるもの（コンピュータに対する直接の指令ではないがコンピュータの処理を規定する性質を有するデータ等）を含むものとする。
また、この形態では、コンピュータ上で所定のプログラムを実行させることにより、本装置を構成することとしたが、これらの処理内容の少なくとも一部をハードウェア的に実現することとしてもよい。

本発明の産業上の利用分野としては、量子コンピュータを構成する任意のユニタリ変換量子回路の設計支援分野等を例示できる。本発明を適用することにより、容易に任意のユニタリ変換量子回路をＣＮＯＴ等の基本ゲートに分解することができる。

第１の実施の形態におけるユニタリ行列分解装置の構成を説明するためのブロック図。 第１の実施の形態におけるユニタリ行列分解方法を説明するためのフローチャート。 カルタン部分代数ｈ（ｎ）の基底のすべてを同時対角化する行列Ｕ_ｈの量子回路を示した図。 カルタン分解の手法を説明するための図。 分解結果に対応する量子回路を示した図。 分解結果に対応する量子回路を示した図。 第２の実施の形態におけるユニタリ行列分解装置の構成を説明するためのブロック図。 第２の実施の形態におけるユニタリ行列分解方法を説明するためのフローチャート。 カルタン分解の手法を説明するための図。

符号の説明

１，１００ ユニタリ行列分解装置
２ 入力部
３ 主記憶装置（記憶手段）
４ 構造判定部（構造判定手段）
５ 行列表現変換部（行列表現変換手段）
６ カルタン分解部（カルタン分解手段）
７ 対角行列計算部（対角行列計算手段）
８ Ｍ分解部
９ 対角行列分解部（対角行列分解手段）
１０ 基本ゲート分解部（基本ゲート分解手段）
１１ 分解要素格納部（分解要素格納手段）
１２ 出力部
１０８ ｍ分解部

Claims (7)

1. コンピュータを、行列表現変換手段と、カルタン分解手段と、対角行列計算手段と、対角行列分解手段と、構造判定手段とを有するユニタリ行列分解装置として機能させて実行するユニタリ行列分解方法であって、
   (a)行列表現変換手段が、基本ゲートを示す行列を除く、分解対象である２^ｎ×２^ｎ （ｎ≧３）の特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）の自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）であるリー（Ｌｉｅ）代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されているか否かを判定し、当該リー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されていない場合に自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）を計算し、その演算結果を分解対象のリー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）として記憶手段に格納するステップと、
   (b)カルタン分解手段が、記憶手段から分解対象のリー代数表現された行列ｆを読み出し、ｆ＝ｋ _１ ＋ｍ _１ かつｋ _１ ・ｍ _１ ＝ｍ _１ ・ｋ _１ を満たす２ ^ｎ ×２ ^ｎ の行列ｋ _１ 及び行列ｍ _１ を生成し、生成した行列ｋ _１ を記憶手段に格納し、行列ｍ _１ を出力するステップと、
   (c)対角行列計算手段が、上記カルタン分解手段が出力した行列ｍ _１ を用い、
   

   

   とした場合における、２ ^ｎ ×２ ^ｎ の行列Ｕ _ｈ ・ｅｘｐ（ｍ _１ ）・Ｕ _ｈ の各固有値λと各固有ベクトルνとを算出し、各固有ベクトルνを列とする特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ を生成して記憶手段に格納し、各固有値λを対角成分に配置した２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列Ｄ _ｈ を生成して出力するステップと、
   (d)対角行列分解手段が、上記対角行列計算手段が出力した上記対角行列Ｄ_ｈ が具備する２ ^ｎ 個の対角成分からそれぞれ重複なく抽出した２個の要素と、２ ^ｎ −２個の１とをそれぞれの対角成分とする、２ ^ｎ−１ 個の２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列ＴＧ _ｈ を、記憶手段に格納するステップと、を有し、
   構造判定手段が、上記カルタン分解手段が生成した行列ｋ _１ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該行列ｋ _１ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該行列ｋ _１ を新たな分解対象のリー代数表現された行列ｆとして上記ステップ(b)〜(d)を実行させ、上記対角行列計算手段が生成した特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ を新たな分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆとして上記ステップ(a)〜(d)を実行させる、
   ことを特徴とするユニタリ行列分解方法。
2. コンピュータを、行列表現変換手段と、カルタン分解手段と、対角行列計算手段と、対角行列分解手段と、構造判定手段とを有するユニタリ行列分解装置として機能させて実行するユニタリ行列分解方法であって、
   (a)行列表現変換手段が、基本ゲートを示す行列を除く、分解対象である２^ｎ×２^ｎ （ｎ≧３）の特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）の自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）であるリー（Ｌｉｅ）代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されているか否かを判定し、当該リー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されていない場合に自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）を計算し、その演算結果を分解対象のリー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）として記憶手段に格納するステップと、
   (b)カルタン分解手段が、記憶手段から分解対象のリー代数表現された行列ｆを読み出し、ｆ＝ｋ _１ ＋ｍ _１ かつｋ _１ ・ｍ _１ ＝ｍ _１ ・ｋ _１ を満たす２ ^ｎ ×２ ^ｎ の行列ｋ _１ 及び行列ｍ _１ を生成し、生成した行列ｋ_１ を記憶手段に格納し、行列ｍ _１ を出力するステップと、
   (c)対角行列計算手段が、上記カルタン分解手段が出力した行列ｍ _１ の各固有値λと各固有ベクトルνとを算出し、各固有ベクトルνを列とする特殊ユニタリ行列Ｕ _１ を生成して記憶手段に格納し、各固有値λを対角成分に配置した２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列Ｄ _１ を出力するステップと、
   (d)対角行列分解手段が、上記対角行列計算手段が出力した対角行列Ｄ _１ から定まるｅｘｐ（Ｄ_１）が具備する２ ^ｎ 個の対角成分からそれぞれ重複なく抽出した２個の要素と、２ ^ｎ −２個の１とをそれぞれの対角成分とする、２ ^ｎ−１ 個の２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列ＴＧ _１ を、記憶手段に格納するステップと、を有し、
   構造判定手段が、上記カルタン分解手段で生成された行列ｋ _１ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該行列ｋ _１ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該行列ｋ _１ を新たな分解対象のリー代数表現された行列ｆとして上記ステップ(b)〜(d)を実行させ、上記対角行列計算手段で生成された特殊ユニタリ行列Ｕ _１ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _１ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _１ を新たな分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆとして上記ステップ(a)〜(d)を実行させる、
   ことを特徴とするユニタリ行列分解方法。
3. ユニタリ行列を分解するユニタリ行列分解装置であって、
   ２^ｎ×２^ｎの特殊ユニタリ行列（ＳＵ（２^ｎ））と、当該特殊ユニタリ行列の自然対数であるリー（Ｌｉｅ）代数表現された行列（ｓｕ（２^ｎ））と、を対応付けて格納する記憶手段と、
   基本ゲートを示す行列を除く、分解対象である２^ｎ×２^ｎ （ｎ≧３）の特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）の自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）であるリー（Ｌｉｅ）代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されているか否かを判定し、当該リー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されていない場合に自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）を計算し、その演算結果を分解対象のリー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）として記憶手段に格納する行列表現変換手段と、
   記憶手段から分解対象のリー代数表現された行列ｆを読み出し、ｆ＝ｋ _１ ＋ｍ _１ かつｋ _１ ・ｍ _１ ＝ｍ _１ ・ｋ _１ を満たす２ ^ｎ ×２ ^ｎ の行列ｋ _１ 及び行列ｍ _１ を生成し、生成した行列ｋ _１ を記憶手段に格納し、行列ｍ _１ を出力するカルタン分解手段と、
   上記カルタン分解手段が出力した行列ｍ _１ を用い、
   

   

   とした場合における、２ ^ｎ ×２ ^ｎ の行列Ｕ _ｈ ・ｅｘｐ（ｍ _１ ）・Ｕ _ｈ の各固有値λと各固有ベクトルνとを算出し、各固有ベクトルνを列とする特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ を生成して記憶手段に格納し、各固有値λを対角成分に配置した２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列Ｄ _ｈ を生成して出力する対角行列計算手段と、
   上記対角行列計算手段が出力した上記対角行列Ｄ_ｈ が具備する２ ^ｎ 個の対角成分からそれぞれ重複なく抽出した２個の要素と、２ ^ｎ −２個の１とをそれぞれの対角成分とする、２ ^ｎ−１ 個の２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列ＴＧ _ｈ を、記憶手段に格納する対角行列分解手段と、
   上記カルタン分解手段が生成した行列ｋ _１ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該行列ｋ _１ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該行列ｋ _１ を新たな分解対象のリー代数表現された行列ｆとして、上記カルタン分解手段と上記対角行列計算手段と対角行列分解手段との各処理を実行させ、上記対角行列計算手段が生成した特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _ｍ を新たな分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆとして、上記行列表現変換手段と上記カルタン分解手段と上記対角行列計算手段と対角行列分解手段との各処理を実行させる構造判定手段と、
   を有することを特徴とするユニタリ行列分解装置。
4. ユニタリ行列を分解するユニタリ行列分解装置であって、
   ２^ｎ×２^ｎの特殊ユニタリ行列（ＳＵ（２^ｎ））と、当該特殊ユニタリ行列の自然対数であるリー（Ｌｉｅ）代数表現された行列（ｓｕ（２^ｎ））と、を対応付けて格納する記憶手段と、
   基本ゲートを示す行列を除く、分解対象である２^ｎ×２^ｎ （ｎ≧３）の特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）の自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）であるリー（Ｌｉｅ）代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されているか否かを判定し、当該リー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２ ^ｎ ）が記憶手段に格納されていない場合に自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）を計算し、その演算結果を分解対象のリー代数表現された行列ｆ∈ｓｕ（２^ｎ）として記憶手段に格納する行列表現変換手段と、
   記憶手段から分解対象のリー代数表現された行列ｆを読み出し、ｆ＝ｋ _１ ＋ｍ _１ かつｋ _１ ・ｍ _１ ＝ｍ _１ ・ｋ _１ を満たす２ ^ｎ ×２ ^ｎ の行列ｋ _１ 及び行列ｍ _１ を生成し、生成した行列ｋ_１ を記憶手段に格納し、行列ｍ _１ を出力するカルタン分解手段と、
   上記カルタン分解手段が出力した行列ｍ _１ の各固有値λと各固有ベクトルνとを算出し、各固有ベクトルνを列とする特殊ユニタリ行列Ｕ _１ を生成して記憶手段に格納し、各固有値λを対角成分に配置した２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列Ｄ _１ を出力する対角行列計算手段と、
   上記対角行列計算手段が出力した対角行列Ｄ _１ から定まるｅｘｐ（Ｄ_１）が具備する２ ^ｎ 個の対角成分からそれぞれ重複なく抽出した２個の要素と、２ ^ｎ −２個の１とをそれぞれの対角成分とする、２ ^ｎ−１ 個の２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列ＴＧ _１ を、記憶手段に格納する対角行列分解手段と、
   上記カルタン分解手段で生成された行列ｋ _１ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該行列ｋ _１ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該行列ｋ _１ を新たな分解対象のリー代数表現された行列ｆとして、上記カルタン分解手段と上記対角行列計算手段と対角行列分解手段との各処理を実行させ、上記対角行列計算手段で生成された特殊ユニタリ行列Ｕ _１ が基本ゲートを示す行列でなく、なおかつ、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _１ の各行や各列の０以外の要素数の最大値が２ ^ｎ’ （ｎ’≧３）である場合に、当該特殊ユニタリ行列Ｕ _１ を新たな分解対象である特殊ユニタリ行列Ｆとして、上記行列表現変換手段と上記カルタン分解手段と上記対角行列計算手段と対角行列分解手段との各処理を実行させる構造判定手段と、
   を有することを特徴とするユニタリ行列分解装置。
5. 請求項３又は４のユニタリ行列分解装置であって、
   上記対角行列計算手段は、
   分解対象の特殊ユニタリ行列Ｆ∈ＳＵ（２^ｎ）に対応するリー代数表現された行列ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）∈ｓｕ（２^ｎ）が上記記憶手段に格納されていない場合、上記分解対象の特殊ユニタリ行列Ｆの各固有値λ’と各固有ベクトルν’とを求め、各固有ベクトルν’を列とする行列Ｕ _２ を生成し、生成した行列Ｕ _２ を記憶手段に格納し、各固有値λ’を対角成分に配置した２ ^ｎ ×２ ^ｎ の対角行列Ｄ _２ を生成して出力する手段であり、
   上記行列表現変換手段は、
   Ｕ_２・ｌｏｇ（Ｄ_２）・Ｕ_２ ^＊の演算によって上記自然対数ｆ＝ｌｏｇ（Ｆ）を算出する手段である、
   ことを特徴とするユニタリ行列分解装置。
6. 請求項３から５の何れかに記載のユニタリ行列分解装置としてコンピュータを機能させるためのユニタリ行列分解プログラム。
7. 請求項６に記載のユニタリ行列分解プログラムを格納したコンピュータ読取可能な記録媒体。

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