JP4011993B2 - Control system pole placement analysis / design method, pole placement analysis / design equipment, pole placement analysis / design program - Google Patents

Description

【０００６】
閉ループ特性多項式は，
δ（ｓ）＝ｎ（ｓ）ｎ_c （ｓ）＋ｄ（ｓ）ｄ_c （ｓ）
＝（ｎ_n ａ_r ＋ｄ_n ｂ_r ）ｓ^n+r ＋・・・＋（ｎ₀ ａ₀ ＋ｄ₀ ｂ₀ ）
である。
【０００７】
ここで，閉ループ特性多項式δ（ｓ）の極（分母多項式の零点）が，極配置仕様を記述した以下の区間多項式△_T （ｓ），
△_T （ｓ）＝｛δ_T （ｓ）＝δ _n+r ^T ｓ^n+r ＋・・・＋δ₁ ^T ｓ＋δ₀ ^T ｜δ_i ^T-≦δ_i ≦δ_i ^T+｝ （１）
の解空間（Ｒｏｏｔ Ｓｐａｃｅ）に含まれるように，制御器のパラメータを決定することを考える。すなわち，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ( △_T （ｓ））
なる制御器のパラメータを決定すれば，極配置問題が解決され，制御系が安定となるような制御系設計が可能となる。
【０００８】
上記（１）式で示される区間多項式において，δ_T （ｓ）は，ターゲットの特性多項式であり，δ_i ^T-，δ_i ^T+は，δ_T （ｓ）のｉ次の係数の区間の端点である。
【０００９】
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ( △_T （ｓ））が成立するためには，以下の各係数についての線形不等式系を満たせばよい。
【００１０】

この条件は線形不等式系なので，この条件を満たす制御器のパラメータをＫｅｅｌ ＆ Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｙｙａらは数値的なＬＰ（Linear Programming) を用いて求めることを提案した。
【００１１】
次に，上記の極配置問題で，プラントが「不確かさ」を持つ場合（ロバスト極配置問題）を考える。この場合，プラント伝達関数は以下のような区間伝達関数で与えられる。
【００１２】
【数２】

【００１３】
ｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺
閉ループ特性多項式は，
△（ｓ）＝ｎ（ｓ）ｎ_c （ｓ）＋ｄ（ｓ）ｄ_c （ｓ）
である。ターゲットの区間多項式は上記（１）式と同様とすると，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ( △_T （ｓ））
であるためには，各係数についての線形不等式系

をすべてのｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ について満足すればよい。線形不等式系であることより，すべてのｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ について満足するためには，パラメータの頂点において上記不等式系を満足すればよい。すなわち以下の不等式を満足すればよい。
【００１４】

この条件も線形不等式系なので，この条件を満たす制御器のパラメータをＫｅｅｌ ＆ Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｙｙａらは同様に数値的なＬＰ（Linear Programming）を用いて求めることを提案している。
【００１５】
【発明が解決しようとする課題】
これまで上記の極配置問題は，一般にｏｐｅｎ ｐｒｏｂｌｅｍであり数値的な有効な手法も上記Ｋｅｅｌ ＆ Ｂｈａｔｔａｃｈａｒｙｙａの手法しかなく，実用上の点からも，このような問題を扱えるより有効な制御系解析・設計装置が必要となる。しかし，上記従来技術における，ＬＰへ問題を帰着させ数値最適化の手法で設計パラメータを決める方法では，所望の制御器パラメータを決めることはできるが，より進んだ設計問題を解くことはきわめて難しい。
【００１６】
より進んだ設計問題とは，極配置仕様の緩和可能な範囲を求める問題であり，具体的には，極配置問題において，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ( △_T （ｓ））
を満たすような制御器が存在するためには，ターゲットの区間多項式
△_T （ｓ）＝｛δ_T （ｓ）＝δ_n+r ^T ｓ^n+r ＋・・・＋δ₁ ^T ｓ＋δ₀ ^T ｜δ_i ^T-≦δ_i ≦δ_i ^T+｝
の各係数の区間の範囲について，どの範囲まで許容できるのか，その可能領域を求める問題である。
【００１７】
従来技術では，この問題を解くに当たり，制御系設計者の経験と勘に基づいて，ターゲットの区間多項式の各係数値を具体的に選択して数値計算を行い，選択した係数値では極配置仕様を満たさない場合には各係数値の選択を繰り返すというトライアンドエラーに基づく設計方法を採っていた。そのため，システマチックな制御設計ができず，設計効率が上がらないという問題点があった。
【００１８】
本発明は，上記従来技術の問題点を解決し，制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲，すなわち上記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータを２次元平面上に領域表示することにより，当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータを効率よくシステマチックに算出することが可能な極配置解析・設計方法を提供することを目的とする。
【００１９】
【課題を解決するための手段】
本発明は，上記課題を解決するため，極配置問題をＬＰ問題へ帰着させた後，ターゲットの区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定した上で，上記（２）式で示される線形不等式系を一階述語論理式で記述し，記述した一階述語論理式に限定記号を消去するアルゴリズム（ＱＥアルゴリズム）を適用することにより，前記パラメータの取り得る値の範囲を算出する。
【００２０】
ＱＥ（Ｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ Ｅｌｉｍｉｎａｔｉｏｎ）法は代数的（数式処理的) な手法であるので，ターゲットの区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータ形式のまま計算することが可能であり，計算の結果求められる当該範囲は２次元のパラメータ空間における領域として表示されることから，上記課題の解決が可能となる。
【００２１】
すなわち，本発明は，計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法であって，前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力するステップと，前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力するステップと，前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップと，前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化するステップと，前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述するステップと，前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用するステップと，前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示するステップとを有する。
【００２２】
前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップは，δ _i ^T- ，δ _i ^T+ を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δ _i ⁰ , ｅ _i を所与の定数として，
δ _i ^T- ＝σ ⁱ （δ _i ⁰ −ｅ _i γ）
δ _i ^T+ ＝σ ⁱ （δ _i ⁰ ＋ｅ _i γ）
のようにパラメータσ，γを用いて規定する。
【００２３】
また，本発明は，計算機を用いた制御系の極配置解析・設計装置であって，前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力する手段と，前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力する手段と，前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する手段と，前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化する手段と，前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述する手段と，前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用する手段と，前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示する手段とを備え，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する手段は，δ _i ^T- ，δ _i ^T+ を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δ _i ⁰ , ｅ _i を所与の定数として，
δ _i ^T- ＝σ ⁱ （δ _i ⁰ −ｅ _i γ）
δ _i ^T+ ＝σ ⁱ （δ _i ⁰ ＋ｅ _i γ）
のようにパラメータσ , γを用いて規定する。
【００２４】
また，本発明は，制御系の極配置解析・設計方法を計算機に実行させるためのプログラムであって，前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力する処理と，前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力する処理と，前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する処理と，前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化する処理と，前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述する処理と，前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用する処理と，前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示する処理とを，計算機に実行させ，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する処理は，δ _i ^T- ，δ _i ^T+ を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δ _i ⁰ , ｅ _i を所与の定数として，
δ _i ^T- ＝σ ⁱ （δ _i ⁰ −ｅ _i γ）
δ _i ^T+ ＝σ ⁱ （δ _i ⁰ ＋ｅ _i γ）
のようにパラメータσ , γを用いて規定する。
【００２５】
本発明は，要求される極配置仕様を満たす制御器のパラメータを決める値である区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値を２次元のパラメータ空間上で領域表示するため，システマチックで効率の良い制御系設計が可能となる。
【００２６】
【発明の実施の形態】
本発明の実施の形態についての説明に先立ち，本発明における課題解決手段に用いられる一階述語論理式及びＱＥアルゴリズムの概略について説明する。
【００２７】
〔一階述語論理式〕
多くの産業上の問題や数学の問題は方程式・不等式・限定記号（∀, ∃）・ブール演算記号（∧, ∨, ¬, →, etc.）からなる式（formula ）で記述できる。このような式は，論理学的にはいわゆる実閉体（real closed field ）上の一階述語論理（first-order theory）の文（sentence）を構成し，一階述語論理式（first-order formula ）という。Ｑを有理数の集合とする。
【００２８】
Ｘ＝（ｘ₁ ，・・・，ｘ_n ）∈Ｒⁿ を限定記号付きのベクトル，Ｕ＝（ｕ₁ ，・・・ ,ｕ_m ）∈Ｒ^m を限定記号の付いていないパラメータのベクトルであるとし，ｆ_i （Ｘ，Ｕ）（ｉ＝１，２，・・・ ,ｔ）を有理数を係数にもつ以下のような多項式であるとする。
【００２９】
ｆ_i （Ｘ，Ｕ）∈Ｑ［Ｘ，Ｕ］，（ｉ＝１，２，・・・ ,ｔ）
次に，Ｆ_i ＝ｆ_i （Ｘ，Ｕ）□_i 0 とする。ここでｉ＝１，・・・，ｓに対して□_i ∈｛＝，≧，＞，≠｝である。Ｑ_j ∈｛∀, ∃｝とし，ｊ＝１，・・・ ,ｓに対してｘ_j をｑ_j 個の限定記号付きの変数のブロックだとすると，一般に，限定記号付きの式φは以下で与えられる。
【００３０】
φ＝（^Q1ｘ₁ ・・・^Qnｘ_s ）Ｇ（Ｆ₁ ，・・・, F _t ）
ここで，Ｇ（Ｆ₁ ，・・・, F _t ）は限定記号無しの（quantifier-free ）ブール式（Boolean formula ）である。
【００３１】
〔限定記号消去（ＱＥ）アルゴリズム〕
ＱＥアルゴリズムは，与えられた一階述語論理式に対して限定記号無しの等価な式，即ち，注目したパラメータだけに対する等価な条件式を構成するアルゴリズムである。全ての変数が限定記号付きの場合は（i.e.ｍ＝０），ＱＥアルゴリズムは，与えられた一階述語論理式がｔｒｕｅ（真）かｆａｌｓｅ（偽）であるかを決定する。この問題は，決定問題（decision problem）という。
【００３２】
また，いくつかの変数（Ｕ）には限定記号が無い場合，ＱＥアルゴリズムは与えられた一階述語論理式と等価な限定記号の無い式φ（Ｕ）を構成する。得られたφ（Ｕ）は，φ（Ｕ）が真であるような，Ｕの可能な範囲を記述している。もし，そのような範囲が存在しなければ，ＱＥアルゴリズムはｆａｌｓｅと出力する。この問題は，一般限定記号消去問題（general quantifier elimination problem）という。
【００３３】
ＱＥアルゴリズムの歴史は１９５０年代のＴａｒｓｋｉ−Ｓｅｉｄｅｎｂｅｒｇ ｄｅｃｉｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｄｕｒｅ（参考文献［４］，［３］）に始まる。しかし，その当時はアルゴリズム自体非常に複雑で，実際に動くソフトウェアもなく実用とはかけ離れていた。１９７５年にＣｏｌｌｉｎｓがより効率的な汎用のＱＥアルゴリズムを提案した。これは，Ｃｙｌｉｎｄｒｉｃａｌ Ａｌｇｅｂｒａｉｃ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ（ＣＡＤ）とよばれる状態空間の領域分割に基づく方法である（参考文献［１］）。この方法はＣｏｌｌｉｎｓ ＆Ｈｏｎｇによって改良され，Ｈｏｎｇにより数式処理システムＳＡＣＬＩＢ上に“ＱＥＰＣＡＤ”として実装されている（参考文献［２］）。その後，ある制限されたクラスの一階述語論理式を入力とする，さらに効率的なＱＥアルゴリズムもいくつか提案されている（参考文献［５］，［６］，［７］）。
【００３４】
（参考文献）
［１］Collins, G,E. (1975). Quantifier Elimination in the elementary theory of real closed fields by cylindrical algebraic decomposition for quantifier elimination. LNCS 33, 134-183, Springer-Verlag, Berlin.
［２］Collins, G,E., Hong, H. (1991). Partial cylindrical algebraic decomposition for quantifier elimination. J. Symb.Comp. 12, No.3, pp299-328.
［３］Seidenberg, A. (1954). A new decision method for elementary algebra. Annals of Math., vol. 60, pp. 365-374.
［４］Tarski, A. (1951). Decision Methods for Elementary Algebra and Geometry. Berkeley: Univ. of California Press.
［５］Weispfenning, V. (1988). The complexity of linear problems in fields. J. Symb. Comp. 5,(1), 3-27.
［６］Loos, R., Weispfenning, V. (1996). Applying linear quantifier elimination. The Computer Journal,Vol.36,No.5.pp450-462.
［７］Weispfenning, V. (1996). Quantifier Elimination for real algebra- the quadratic case and beyond. To appear in AAECC, 1996.
次に，本発明によるロバスト極配置問題の解法について説明する。閉ループ特性多項式δ（ｓ）の極（分母多項式の零点）が，上述した（１）式で示される区間多項式△_T （ｓ），
△_T （ｓ）＝｛δ_T （ｓ）＝δ _n+r ^T ｓ^n+r ＋・・・＋δ₁ ^T ｓ＋δ₀ ^T ｜δ_i ^T-≦δ_i ≦δ_i ^T+｝
の解空間（Ｒｏｏｔ Ｓｐａｃｅ）に含まれるように，制御器のパラメータを決定することを考える。この場合，
ＲｏｏｔＳｐａｃｅ（δ）⊆ＲｏｏｔＳｐａｃｅ( △_T （ｓ））
であるためには，上述した（２）式で示す各係数についての線形不等式系，

をすべてのｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ について満足すればよい。
【００３５】
本発明では，まず，ロバスト極配置問題をＬＰ問題へ帰着させる。ここで，本発明においては，ターゲットの区間多項式の各係数を
δ_i ^T-＝σⁱ （δ_i ⁰ −ｅ_i γ）
δ_i ^T+＝σⁱ （δ_i ⁰ ＋ｅ_i γ）
のようにパラメータσ，γで規定する。δ_i ^T-，δ_i ^T+は，区間多項式△_T （ｓ）のｉ次の係数の区間の端点，δ_i ⁰ は，δ_T （ｓ）のｉ次の係数の区間の核になる値である。ｅ_i は，誤差である。σは，タイムスケールや周波数帯域の変化を示すパラメータ，γは，摂動の大きさを示すパラメータである。
【００３６】
この場合，上記線形不等式系が，すべてのｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ について満足するような制御器パラメータが存在するためのδ_i ^T-, δ_i ^T+の可能範囲（すなわちσ, γの可能領域）が求めるべき対象である。
【００３７】
ここで，
φ≡δ_n+r ^T-≦ｎ_n ａ_r ＋ｄ_n ｂ_r ≦δ_n+r ^{T +} ∧・・・∧δ₀ ^T-≦ｎ₀ ａ₀ ＋ｄ₀ ｂ₀ ≦δ₀ ^{T +} ∧Λ_i （ｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ ）∧Λ_i （ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ ）として，上記線形不等式系を一階述語論理式
∃ａ_r ・・・∃ａ₀ ∃ｂ_r ・・・∃ｂ₀ ∃ｎ_n ・・・∃ｎ₀ ∃ｄ_n ・・・∃ｄ₀ φ（ａ_r ・・・ａ₀ ，ｂ_r ・・・ｂ₀ ，ｎ_n ・・・ｎ₀ ，ｄ_n ・・・ｄ₀ ，σ, γ）
のように記述する。なお，Λ_i は，すべてのｉについての論理積を意味している。
【００３８】
そして，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用すれば，所望のσ, γの可能領域を表す限定記号無しの式
ψ（σ, γ）
が得られる。このψ（σ, γ）は，２次元のパラメータ領域として表されるので，制御系の設計者は，当該領域からσ, γを選択することを通じて制御器のパラメータを決定することができる。
【００３９】
以下に，図を用いて本発明の実施の形態について説明する。図１は，本発明に係る制御系解析・設計装置の構成図である。１は，制御系解析・設計装置，２は，ディスプレイ，キーボード，ポインティングデバイス等の入出力装置，１１は，極配置問題をＬＰ問題に変換するＬＰ定式化部，１２は，設計者に極配置問題を入力させるとともに極配置問題をＬＰ定式化部１１に送信する問題入力部，１３は，ＬＰ問題を一階記述論理式で記述し，それをもとに極配置仕様の緩和可能な範囲および制御器のパラメータ値を算出する問題解析部，１４は，極配置仕様の緩和可能な範囲および制御器のパラメータ値を入出力装置２に出力する出力部，１３０は，一階記述論理式の限定記号を消去する限定記号消去処理部，１３１は，一般の数式計算を行う汎用記号計算処理部である。
【００４０】
図３乃至図５を参照しながら図２に基づいて本発明の第１の実施の形態を説明する。第１の実施の形態においては，制御系に不確かさがないノミナルな制御系に本発明を適用する。
【００４１】
図２は，本発明の第１の実施の形態における動作処理フローを示す図である。ここで，第１の実施の形態における制御系は，図３に示すような構成を有するものとする。Ｘは，入力信号，Ｙは，出力信号であり，Ｇ（ｓ）は，プラント伝達関数，Ｃ（ｓ）は，制御器伝達関数である。まず，問題入力部１２は，入出力装置２からプラント伝達関数情報及び制御器伝達関数情報を入力する（ステップＳ１）。例えば，Ｇ（ｓ）及びＣ（ｓ）について与えられる式
【００４２】
【数３】

【００４３】
を入出力装置２から入力する。
【００４４】
次に，問題入力装置１２は，入出力装置２において，極配置したい位置を設計者にグラフィカルに複素平面上にポインティングデバイスで指定させることにより，極配置仕様を入力する（ステップＳ２）。例えば，図４に示す入出力装置２の表示画面に表示された複素平面上において，極配置したいｎ＋ｒ個の点α₁ ，α₂ ，・・，α_n+r を指定させる。問題入力部１２は，入力した伝達関数情報及び極配置仕様を，ＬＰ定式化部１１に送信する。
【００４５】
次に，ＬＰ定式化部１１は，極配置問題を定式化する（ステップＳ３）。即ち，ＬＰ定式化部１１は，問題入力部１２から受信したＧ（ｓ）及びＣ（ｓ）の情報に基づいて当該制御系の閉ループ特性多項式δ（ｓ），

を求めるとともに，極配置仕様の入力情報に基づいてターゲットの特性多項式

を求め，両式から以下の連立方程式

を定式化する。
【００４６】
次に，問題解析部１３は，ＬＰ定式化部１１が定式化した連立方程式を処理し（ステップＳ４），解が存在するかを判断する（ステップＳ５）。解が存在する場合は，出力部１４から入出力装置２に対して当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値が送信され，入出力装置２が当該パラメータ値を出力する（ステップＳ６）。
【００４７】
解が存在しない場合は，極配置仕様を満たすような制御器は存在しないため，極配置仕様の緩和可能な範囲を計算する。即ち，まず，入出力装置２において入力された誤差の大きさｅ_i の入力情報を受信した問題入力部１２が，ターゲットの特性多項式を区間多項式△_T （ｓ），
△_T （ｓ）＝｛δ_T （ｓ）＝δ_n+r ^T ｓ^n+r ＋・・・＋δ₁ ^T ｓ＋δ₀ ^T ｜δ_i ^T-≦δ_i ≦δ_i ^T+｝
に変更し（ステップＳ７），当該区間多項式において，δ_i ^T-及びδ_i ^T+を，
δ_i ^T-＝σⁱ （δ_i ⁰ −ｅ_i γ）
δ_i ^T+＝σⁱ （δ_i ⁰ ＋ｅ_i γ）
のようにパラメータσ，γを用いて規定する。δ_i ⁰ は，ステップＳ２における極の指定によって決定される。
【００４８】
そして，ＬＰ定式化部１１が，線形不等式系

を定式化する（ステップＳ８）。即ち，極配置問題をＬＰ問題へ帰着させるのである。
【００４９】
次に，
φ≡δ_n+r ^T-≦ｎ_n ａ_r ＋ｄ_n ｂ_r ≦δ_n+r ^{T +} ∧・・・∧δ₀ ^T-≦ｎ₀ ａ₀ ＋ｄ₀ ｂ₀ ≦δ₀ ^{T +}
として，問題解析部１３が，上記定式化した線形不等式系を以下の一階述語論理式
∃ａ_r ・・・∃ａ₀ ∃ｂ_r ・・・∃ｂ₀ ∃ｎ_n ・・・ ∃ｎ₀ ∃ｄ_n ・・・∃ｄ₀ φ（ａ_r ・・・ａ₀ ，ｂ_r ・・・ｂ₀ ，ｎ_n ・・・ｎ₀ ，ｄ_n ・・・ｄ₀ ，σ, γ）
のように記述する（ステップＳ９）。
【００５０】
次に，問題解析部１３の限定記号消去処理部１３０において，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用して（ステップＳ１０）限定記号を消去した後，汎用記号計算処理部１３１が上記区間多項式の各係数の区間の範囲すなわち極配置仕様の緩和可能な範囲を規定するパラメータσ，γの可能領域を表す式ψ（σ，γ）を算出し（ステップＳ１１），算出結果を出力部１４から入出力装置２に送信する。そして，入出力装置２が，例えば図５の斜線部で示すようなψ（σ，γ）の領域を表示画面に表示する（ステップＳ１２）。
【００５１】
次に，問題入力部１２は，入出力装置２の画面に表示されたψ（σ，γ）の領域からσ，γの値を設計者にポインティングデバイスで指定させることにより，緩和可能範囲から適当な極配置仕様を選択し（ステップＳ１３），ＬＰ定式化部１１に当該σ，γの値の情報を送信する。そして，問題入力部１２から当該σ，γの値の情報を受信したＬＰ定式化部１１が，σ，γの値をψに代入することにより，ＬＰ問題を定式化する（ステップＳ１４）。そして，問題解析部１３がＬＰ処理し（ステップＳ１５），処理結果を出力部１４から入出力装置２に送信する。そして，入出力装置２が，当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域を表示画面に表示し（ステップＳ１６），処理を終了する。
【００５２】
次に，図３乃至図５を参照しながら図６に基づいて本発明の第２の実施の形態を説明する。第２の実施の形態においては，制御系に不確かさが存在するロバスト制御系に本発明を適用する。
【００５３】
図６は，本発明の第２の実施の形態における動作処理フローを示す図である。ここで，第２の実施の形態における制御系は，図３に示すような構成を有するものとする。
【００５４】
まず，問題入力部１２は，制御問題として，入出力装置２からプラント伝達関数情報及び制御器伝達関数情報を入力する（ステップＳ２１）。例えば，次数ｎのプラント伝達関数Ｇ（ｓ）及び次数ｒの制御器伝達関数Ｃ（ｓ）について与えられる式
【００５５】
【数４】

【００５６】
ｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺
を入出力装置２から入力する。ｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ は，制御系の不確かさを示す式である。
【００５７】
次に，問題入力部１２は，入出力装置２から極配置仕様を入力する（ステップＳ２２）。即ち，図４に示す入出力装置２の表示画面に表示された複素平面上において，極配置したいｎ＋ｒ個の点α₁ ，α₂ ，・・，α_n+r を設計者にグラフィカルにポインティングデバイスで指定させることにより，δ_i ⁰ を入力し，同時にｅ_i も入力し，当該入力情報をＬＰ定式化部１１に送信する。
【００５８】
次に，ＬＰ定式化部１１が，極配置問題を定式化する（ステップＳ２３）。即ち，ＬＰ定式化部１１は，問題入力部１２から送信されたＧ（ｓ）及びＣ（ｓ）の情報に基づいて当該制御系の閉ループ特性多項式δ（ｓ），
δ（ｓ）＝ｎ（ｓ）ｎ_c （ｓ）＋ｄ（ｓ）ｄ_c （ｓ）
＝（ｎ_n ａ_r ＋ｄ_n ｂ_r ）ｓ^n+r ＋・・・＋（ｎ₀ ａ₀ ＋ｄ₀ ｂ₀ ）
を求めるとともに，入力された極配置仕様に基づいてターゲットの区間多項式△_T （ｓ），
△_T （ｓ）＝｛δ_T （ｓ）＝δ_n+r ^T ｓ^n+r ＋・・・＋δ₁ ^T ｓ＋δ₀ ^T ｜δ_i ^T-≦δ_i ≦δ_i ^T+｝
δ_i ^T-＝σⁱ （δ_i ⁰ −ｅ_i γ）
δ_i ^T+＝σⁱ （δ_i ⁰ ＋ｅ_i γ）
を求め，求めたδ（ｓ）と△_T （ｓ）とに基づいて，すべてのｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ , ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ について満足すべき線形不等式系

を定式化する（ステップＳ２４）。即ち，極配置問題をＬＰ問題へ帰着させるのである。
【００５９】
次に，
φ≡δ_n+r ^T-≦ｎ_n ａ_r ＋ｄ_n ｂ_r ≦δ_n+r ^{T +} ∧・・・∧δ₀ ^T-≦ｎ₀ ａ₀ ＋ｄ₀ ｂ₀ ≦δ₀ ^{T +} ∧Λ_i （ｎ_i ^- ≦ｎ_i ≦ｎ_i ⁺ ）∧Λ_i （ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ ）
として，問題解析部１３が，上記定式化された線形不等式系を以下の一階述語論理式
∃ａ_r ・・・∃ａ₀ ∃ｂ_r ・・・∃ｂ₀ ∃ｎ_n ・・・ ∃ｎ₀ ∃ｄ_n ・・・∃ｄ₀ φ（ａ_r ・・・ａ₀ ，ｂ_r ・・・ｂ₀ ，ｎ_n ・・・ｎ₀ ，ｄ_n ・・・ｄ₀ ，σ, γ）
のように記述する（ステップＳ２５）。
【００６０】
次に，問題解析部１３の限定記号消去処理部において，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用して（ステップＳ２６）限定記号を消去した後，汎用記号計算処理部１３１がσ，γの可能領域を表す式ψ（σ，γ）を算出する（ステップＳ２７）。出力部１４は，この算出結果を入出力装置２に出力し，例えば図５の斜線部で示すようなψ（σ，γ）の領域を表示画面に表示する（ステップＳ２８）。
【００６１】
次に，問題入力部１２は，入出力装置２の画面に表示されたψ（σ，γ）の領域からσ，γの値を設計者にポインティングデバイスで指定させることにより，緩和可能範囲から適当な極配置仕様を選択し（ステップＳ２９），ＬＰ定式化部１１に当該σ，γの値の情報を送信する。そして，問題入力部１２から当該σ，γの値の情報を受信したＬＰ定式化部１１がσ，γの値をψに代入し，ＬＰ問題を定式化する（ステップＳ３０）。そして，問題解析部１３がＬＰ処理し（ステップＳ３１），処理結果を出力部１４に送信する。出力部１４は，受信した処理結果をもとに，当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域を入出力装置２の表示画面に表示し（ステップＳ３２），処理を終了する。
【００６２】
【実施例】
図７は，本発明の具体的な実施例を説明するための制御問題の例を示す図である。まず，問題入力部１２は，入出力装置２において，図７に示すプラント伝達関数
Ｇ（ｓ）＝１／（ｃ₂ ｓ² ＋ｃ₁ ｓ＋ｃ₀ ）
及び制御器伝達関数
Ｃ（ｓ）＝ｋ₁ ＋ｋ₂ ／ｓ
並びに与えられた条件式
−１≦ｃ₀ ≦１
１≦ｃ₁ ≦１．５
−０．５≦ｃ₂ ≦１．５
を入力するとともに極配置仕様をポインティングデバイスを用いて入力する。
【００６３】
次に，ＬＰ定式化部１１が閉ループ特性多項式
δ（ｓ）＝ｃ₂ ｓ³ ＋ｃ₁ ｓ² ＋（ｋ₁ ＋ｃ₀ ）ｓ＋ｋ₂
を求めるとともに，上記入力された極配置仕様に基づいて，ターゲットの区間多項式△_T （ｓ），
△_T （ｓ）＝｛δ_T （ｓ）＝δ₃ ^T ｓ³ ＋δ₂ ^T ｓ² ＋δ₁ ^T ｓ＋δ₀ ^T ｜δ_i ^T-≦δ_i ≦δ_i ^T+｝
を定式化する。この場合，
δ₃ ^T-＝σ³ （１−０．２５γ）
δ₃ ^T+＝σ³ （１＋０．２５γ）
δ₂ ^T-＝σ² （４−０．５γ）
δ₂ ^T+＝σ² （４＋０．５γ）
δ₁ ^T-＝σ¹ （６−０．７５γ）
δ₁ ^T+＝σ¹ （６＋０．７５γ）
δ₀ ^T-＝（４−γ）
δ₀ ^T+＝（４＋γ）
のようにパラメータσ，γを用いて規定する。
【００６４】
そして，ＬＰ定式化部１１は，上記式に基づいて，−１≦ｃ₀ ≦１，１≦ｃ₁ ≦１．５，−０．５≦ｃ₂ ≦１．５という条件下での線形不等式系，
δ₃ ^T-≦ｃ₂ ≦δ₃ ^{T +}
δ₂ ^T-≦ｃ₁ ≦δ₂ ^T+
δ₁ ^T-≦ｋ₁ ＋ｃ₀ ≦δ₁ ^T+
δ₀ ^T-≦ｋ₂ ≦δ₀ ^T+
を定式化する。
【００６５】
次に，
φ≡δ₃ ^T-≦ｃ₂ ≦δ₃ ^{T +} ∧δ₂ ^T-≦ｃ₁ ≦δ₂ ^T+∧δ₁ ^T-≦ｋ₁ ＋ｃ₀ ≦δ₁ ^T+∧δ₀ ^T-≦ｋ₂ ≦δ₀ ^T+∧−１≦ｃ₀ ≦１∧１≦ｃ₁ ≦１．５∧−０．５≦ｃ₂ ≦１．５
として，問題解析部１３が，上記定式化した線形不等式系を一階述語論理式
∃ｋ₁ ∃ｋ₂ ∃ｃ₀ ∃ｃ₁ ∃ｃ₂ φ（ｋ₁ ，ｋ₂ ，ｃ₀ ，ｃ₁ ，ｃ₂ ，σ，γ）のように記述する。
【００６６】
次に，問題解析部１３の限定記号消去処理部１３０において，上記一階述語論理式に対してＱＥを適用して限定記号を消去し，汎用記号計算処理部１３１が，σ及びγの可能領域を表す式ψ（σ，γ）を算出する。ここで，一般のＱＥアルゴリズム（ＣＡＤに基づいた方法）では計算効率が非常に悪く，産業応用上で許容できる時間内では，ごく小さなサイズの問題しか解けない。そこで，本実施例では，問題の定式化がＬＰであることを利用して線形不等式系について効率的なＱＥアルゴリズム（参考文献［５］，［６］）を用いる。即ち，本実施例においては，計算効率の高いＳｐｅｃｉａｌなＱＥ［ｔｅｓｔ ｔｅｒｍ法］を適用する。このことにより計算効率は改善され，実用上必要なサイズの問題も解くことが可能となる。
【００６７】
算出されたψ（σ，γ）は，以下のようになる。
【００６８】
ψ（σ，γ）≡ω₁ （σ，γ）∨ω₂ （σ，γ）
ω₁ ＝（Ｐ₂ ≧０∧Ｐ₃ ≧０∧Ｐ₅ ≧０∧Ｐ₆ ≧０∧Ｐ₇ ≧０∧Ｐ₈ ≧０）
ω₂ ＝（Ｐ₁ ≧０∧Ｐ₂ ≦０∧Ｐ₅ ≧０∧Ｐ₆ ≧０∧Ｐ₇ ≧０∧Ｐ₈ ≧０）
Ｐ₁ ＝γσ³ ＋４σ³ −２
Ｐ₂ ＝γσ³ ＋４σ³ −６
Ｐ₃ ＝γσ³ −４σ³ ＋６
Ｐ₄ ＝γσ² ＋８σ² −２
Ｐ₅ ＝γσ² ＋８σ² −３
Ｐ₆ ＝γσ² −８σ² ＋３
Ｐ₇ ＝γσ
Ｐ₈ ＝γ
そして，出力部１４からψ（σ，γ）の情報が入出力装置２に送信され，入出力装置２の画面上にψ（σ，γ）の可能領域が図８の斜線部に示す領域として表示される。
【００６９】
制御系設計者が，上記斜線部に示すσ及びγの領域をポインティングデバイスで指定すると，ＬＰ定式化部１１がＬＰ問題を定式化し，これを問題解析部１３が解き，出力部１４が当該極配置仕様を満たす制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域を入出力装置２に送信し，送信された制御器のパラメータ値又はパラメータ可能領域情報を入出力装置２が出力する。
【００７０】
図９は，本発明を適用してプラントの次数ｎを上げていったときのＰＩ制御システム及びＰＩＤ制御システムそれぞれに対する計算時間を示す図である。ＰＩ制御システムにおける制御器伝達関数Ｃ（ｓ）は，
Ｃ（ｓ）＝ｘ₁ ＋ｘ₂ ／ｓ
であり，ＰＩＤ制御システムにおける制御器伝達関数Ｃ（ｓ）は，
Ｃ（ｓ）＝ｘ₁ ＋ｘ₂ ／ｓ＋ｘ₃ ×ｓ／（１＋０．１ｓ）
とした。また，プラント伝達関数Ｇ（ｓ）は，
Ｇ（ｓ）＝１／（ｄ_n ｓⁿ ＋ｄ_n-1 ｓ^n-1 ＋・・・ｄ₁ ｓ＋ｄ₀ ）
とし，プラントの不確かさを示す不等式ｄ_i ^- ≦ｄ_i ≦ｄ_i ⁺ の端値ｄ_i ^- ，ｄ_i ⁺ については，ｄ_i ⁺ −ｄ_i ^- ≦２となるようにランダムに設定する。δ_i ⁰ についてはランダムに選択し，ｅ_i は，０＜ｅ_i ≦３の区間からランダムに選択した。
【００７１】
また，本実施例では，スペシャルなＱＥパッケージである「ＲＥＤＲＯＧ」を用いて計算した。計算機としては，９００ＭＨｚのＣＰＵ，１ＧＢのメモリーを持つ「ＳＵＮ Ｕｌｔｒａ III 」を用いた。
【００７２】
従来のＣＡＤアルゴリズムに基づくソフトウェア「ＱＥＰＣＡＤ」を用いてもプラントの次数ｎが３以下までについては適度な時間内でＱＥ問題を解くことができるが，次数ｎが４以上ではメモリー不足により迅速な計算が困難となる。一方，本実施例で用いた「ＲＥＤＲＯＧ」によれば，図９に示すように，高次の制御システムについても高い計算効率が示される。実用上必要な次数は１０次もあれば十分と考えられるので，本発明は実問題についても有効だと言える。
【００７３】
以下に，本発明の実施の形態・実施例の特徴について列挙する。
【００７４】
（付記１）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立するステップと，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定するステップと，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換するステップと，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出するステップとを有する
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計方法。
【００７５】
（付記２）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計方法であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力するステップと，
前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力するステップと，
前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップと，
前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化するステップと，
前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述するステップと，
前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用するステップと，
前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示するステップとを有する
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計方法。
【００７６】
（付記３）前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定するステップは，
δ_i ^T-，δ_i ^T+を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δ_i ⁰ , ｅ_i を所与の定数として，
δ_i ^T-＝σⁱ （δ_i ⁰ −ｅ_i γ）
δ_i ^T+＝σⁱ （δ_i ⁰ ＋ｅ_i γ）
のようにパラメータσ, γを用いて規定する
ことを特徴とする付記２記載の制御系の極配置解析・設計方法。
【００７７】
（付記４）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計装置であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する手段と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する手段と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する手段と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する手段とを備える
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計装置。
【００７８】
（付記５）計算機を用いた制御系の極配置解析・設計装置であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力する手段と，
前記制御系の閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標をポインティングデバイスで指定させることによって極配置仕様を入力する手段と，
前記指定された閉ループ特性多項式の極の複素平面上における座標情報に基づいて，前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する手段と，
前記閉ループ特性多項式の極が前記区間多項式の解空間に含まれるために満たされるべき線形不等式系を定式化する手段と，
前記定式化した線形不等式系を一階述語論理式で記述する手段と，
前記記述した一階述語論理式に対して限定記号を消去するアルゴリズムを適用する手段と，
前記アルゴリズムの適用の結果算出される前記区間多項式の各係数の区間の範囲を規定するパラメータのとり得る値の範囲を２次元平面上に領域表示する手段とを備える
ことを特徴とする制御系の極配置解析・設計装置。
【００７９】
（付記６）前記極配置仕様を記述する区間多項式の各係数の区間の範囲をパラメータで規定する手段は，
δ_i ^T-，δ_i ^T+を前記区間多項式のｉ次の係数の区間の端点，δ_i ⁰ , ｅ_i を所与の定数として，
δ_i ^T-＝σⁱ （δ_i ⁰ −ｅ_i γ）
δ_i ^T+＝σⁱ （δ_i ⁰ ＋ｅ_i γ）
のようにパラメータσ, γを用いて規定する
ことを特徴とする付記５記載の制御系の極配置解析・設計装置。
【００８０】
（付記７）制御系の極配置解析・設計方法を計算機に実行させるためのプログラムであって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する処理と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する処理と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する処理と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する処理とを，
計算機に実行させるための制御系の極配置解析・設計プログラム。
【００８１】
（付記８）制御系の極配置解析・設計方法を計算機に実行させるためのプログラムを記録した記録媒体であって，
前記制御系を構成する要素の伝達関数情報を入力して極配置問題を定立する処理と，
前記制御系の極配置仕様の緩和可能な範囲をパラメータで規定する処理と，
前記定立した極配置問題を前記規定したパラメータを含む線形計画問題に変換する処理と，
前記線形計画問題に限定記号消去アルゴリズムを適用し，前記パラメータのとり得る値の範囲を算出する処理とを，
計算機に実行させるための制御系の極配置解析・設計プログラムを記録した記録媒体。
【００８２】
【発明の効果】
本発明は，極配置仕様の緩和可能な範囲，即ち，ターゲットの区間多項式の各係数の区間の範囲を２次元のパラメータ空間上で領域表示することを通じて制御器のパラメータを決定するため，システマチックで効率の良い制御系設計が可能となる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明における制御系解析・設計装置の構成図である。
【図２】本発明の第１の実施の形態における動作処理フローを示す図である。
【図３】本発明の第１の実施の形態における制御システムの構成図である。
【図４】複素平面を示す図である。
【図５】ψ（σ，γ）の領域を示す図である。
【図６】本発明の第２の実施の形態における動作処理フローを示す図である。
【図７】本発明の具体的な実施例を説明するための制御問題の例を示す図である。
【図８】ψ（σ，γ）の領域を示す図である。
【図９】本発明を適用してプラント次数を上げていったときの計算時間を示す図である。
【符号の説明】
１ 制御系解析・設計装置
２ 入出力装置
１１ ＬＰ定式化部
１２ 問題入力部
１３ 問題解析部
１４ 出力部
１３０ 限定記号消去処理部
１３１ 汎用記号計算処理部[0001]
BACKGROUND OF THE INVENTION
The present invention relates to a robust control system design tool for a control system including an uncertain plant model. In particular, the robust control system design that satisfies the pole assignment requirements related to the stability of the control system is systematically improved in performance. The present invention relates to an analysis and design technique for a control system using a general-purpose mathematical expression processing system and a qualifier elimination (hereinafter referred to as QE) processing apparatus that can be performed.
[0002]
The problem to be dealt with here is to find a design parameter of a controller having a fixed order, that is, a fixed structure, such that the target control system has a required pole arrangement. There is the greatest demand for design using fixed-order controllers (PI controllers, PID controllers, etc.) in the field of control system design that appears in the actual industry, and the development of effective solutions has been desired. In addition, stability is the most important requirement specification in the control system design process, and it is particularly required to design the poles in a desired region. As described above, since the target control system is the most frequently used in the industry and the pole placement problem is the most basic and important design specification, the present invention is used in the industrial control system design process. It is required in a very wide range.
[0003]
[Prior art]
Stability is the most important design specification in the control system design process. In order to satisfy the stability of the control system, it is required to design the poles of the closed loop characteristic polynomial so as to be arranged in a desired region. This problem is called the pole placement problem.
[0004]
Now, consider the linear time-varying control system shown in FIG. X is an input signal and Y is an output signal. G (s) is a plant transfer function of order n, C (s) is a controller transfer function of order r, and is given by
[0005]
[Expression 1]

[0006]
The closed-loop characteristic polynomial is
δ (s) = n (s) n_c(S) + d (s) d_c(S)
= (N_na_r+ D_nb_rS^{n + r}+ ... + (n₀a₀+ D₀b₀)
It is.
[0007]
Here, the pole of the closed-loop characteristic polynomial δ (s) (the zero of the denominator polynomial) is an interval polynomial Δ_T(S),
△_T(S) = {δ_T(S) = δ_{n + r} ^Ts^{n + r}+ ... + δ₁ ^Ts + δ₀ ^T｜ δ_i ^T-≦ δ_i≦ δ_i ^{T +}} (1)
Suppose that the parameters of the controller are determined so as to be included in the solution space (Root Space). That is,
RootSpace (δ) ⊆ RootSpace (△_T(S))
If the controller parameters are determined, the pole placement problem is solved and the control system can be designed so that the control system becomes stable.
[0008]
In the interval polynomial expressed by the above equation (1), δ_T(S) is the target characteristic polynomial, and δ_i ^T-, Δ_i ^{T +}Is δ_TThis is the end point of the section of the i-th coefficient in (s).
[0009]
RootSpace (δ) ⊆ RootSpace (△_TIn order to hold (s)), the following linear inequality system for each coefficient may be satisfied.
[0010]

Since this condition is a linear inequality system, Keel & Bhattacharya et al. Proposed to obtain a parameter of the controller satisfying this condition using numerical LP (Linear Programming).
[0011]
Next, consider the case where the plant has “uncertainty” in the above pole placement problem (robust pole placement problem). In this case, the plant transfer function is given by the following interval transfer function.
[0012]
[Expression 2]

[0013]
n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺
The closed-loop characteristic polynomial is
Δ (s) = n (s) n_c(S) + d (s) d_c(S)
It is. If the target interval polynomial is the same as the above equation (1),
RootSpace (δ) ⊆ RootSpace (△_T(S))
To be a linear inequality system for each coefficient

All n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺You should be satisfied about. Because it is a linear inequality system, all n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺Is satisfied by satisfying the above inequality system at the apex of the parameter. That is, the following inequality may be satisfied.
[0014]

Since this condition is also a linear inequality system, Keel & Bhattacharya et al. Similarly proposes using numerical LP (Linear Programming) to determine the controller parameters that satisfy this condition.
[0015]
[Problems to be solved by the invention]
So far, the above pole placement problem is generally an open problem, and there is only a numerically effective method of the above-mentioned Keel & Bhatteryarya. From a practical point of view, a more effective control system analysis / Design equipment is required. However, in the above-described conventional technique, the problem can be reduced to LP and the design parameter is determined by the numerical optimization method. Although it is possible to determine a desired controller parameter, it is extremely difficult to solve a more advanced design problem.
[0016]
A more advanced design problem is a problem of finding a relaxable range of the pole placement specification. Specifically, in the pole placement problem,
RootSpace (δ) ⊆ RootSpace (△_T(S))
To have a controller that satisfies, the target interval polynomial
△_T(S) = {δ_T(S) = δ_{n + r} ^Ts^{n + r}+ ... + δ₁ ^Ts + δ₀ ^T｜ δ_i ^T-≦ δ_i≦ δ_i ^{T +}}
This is a problem of finding the possible range of the range of each coefficient interval of which is allowed.
[0017]
In the prior art, in solving this problem, based on the experience and intuition of the control system designer, each coefficient value of the target interval polynomial is specifically selected and numerically calculated. When the above condition is not satisfied, a design method based on trial and error in which selection of each coefficient value is repeated is employed. As a result, systematic control design cannot be performed and design efficiency does not increase.
[0018]
The present invention solves the above-mentioned problems of the prior art, and displays a parameter that defines the range in which the pole placement specifications of the control system can be relaxed, that is, the range of each coefficient section of the interval polynomial, on a two-dimensional plane. Accordingly, an object of the present invention is to provide a pole placement analysis / design method capable of efficiently and systematically calculating parameters of a controller that satisfies the pole placement specifications.
[0019]
[Means for Solving the Problems]
In order to solve the above-mentioned problem, the present invention reduces the pole placement problem to the LP problem, and then defines the range of each coefficient of the target interval polynomial with parameters, and is expressed by the above equation (2). A range of possible values of the parameter is calculated by describing a linear inequality system by a first-order predicate logical expression and applying an algorithm (QE algorithm) for eliminating the quantifier to the described first-order predicate logical expression.
[0020]
Since the QE (Quantifier Elimination) method is an algebraic (mathematical processing) method, it is possible to calculate the range of each coefficient section of the target section polynomial in the parameter format, and the calculation result Since the range is displayed as a region in a two-dimensional parameter space, the above problem can be solved.
[0021]
  That is, the present invention, TotalControl system pole assignment analysis and design using a computerIn lawInput the transfer function information of the elements constituting the control systemA step of inputting a pole placement specification by causing a pointing device to specify coordinates on the complex plane of the pole of the closed loop characteristic polynomial of the control system, and a step of inputting the pole of the specified closed loop characteristic polynomial on the complex plane of the pole Based on the coordinate information, the step of defining the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter, and the pole of the closed-loop characteristic polynomial are satisfied because they are included in the solution space of the interval polynomial Applying a step of formulating a power linear inequality system, a step of describing the formulated linear inequality system with a first-order predicate logical expression, and an algorithm for eliminating a quantifier for the first-order predicate logical expression described above Specifies the step and the range of each coefficient interval of the interval polynomial calculated as a result of applying the algorithm The range of possible values of the parameter and a step of areas displayed on the two-dimensional plane.
[0022]
  The step of defining the interval range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter is δ _i ^T- , Δ _i ^{T +} Is the end point of the interval of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ _i ⁰ , e _i For a given constant,
  δ _i ^T- = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ -E _i γ)
  δ _i ^{T +} = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ + E _i γ)
The parameters σ and γ are used as follows.
[0023]
  The present invention also provides:An apparatus for analyzing and designing a pole arrangement of a control system using a computer, comprising: means for inputting transfer function information of elements constituting the control system; and coordinates of poles of a closed loop characteristic polynomial of the control system on a complex plane. The section of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification based on the coordinate information on the complex plane of the pole of the specified closed-loop characteristic polynomial by means of inputting the pole placement specification by designating with a pointing device A means for defining the range of the parameters by means of a parameter, a means for formulating a linear inequality system to be satisfied in order that the poles of the closed-loop characteristic polynomial are included in the solution space of the interval polynomial, and a formula for the linear inequality system Means for describing a predicate logical expression; means for applying an algorithm for eliminating a quantifier to the first-order predicate logical expression described above; Means for displaying the range of possible values of a parameter for defining the range of each coefficient of the interval polynomial calculated as a result of the application of an image on a two-dimensional plane, and describing the pole placement specification The means to specify the range of each coefficient section of the polynomial with parameters is δ _i ^T- , Δ _i ^{T +} Is the end point of the interval of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ _i ⁰ , e _i For a given constant,
  δ _i ^T- = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ -E _i γ)
  δ _i ^{T +} = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ + E _i γ)
Parameter σ , It is defined using γ.
[0024]
  The present invention is also a program for causing a computer to execute a pole placement analysis / design method for a control system, and to input transfer function information of elements constituting the control system.Processing to input the pole placement specification by specifying the coordinates on the complex plane of the pole of the closed loop characteristic polynomial of the control system with a pointing device, and processing on the complex plane of the pole of the specified closed loop characteristic polynomial Based on the coordinate information, the processing for defining the range of each coefficient section of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter and the pole of the closed loop characteristic polynomial are satisfied because they are included in the solution space of the interval polynomial Applying a process for formulating a power linear inequality system, a process for describing the formulated linear inequality system with a first-order predicate logical expression, and an algorithm for eliminating the quantifier for the first-order predicate logical expression described above A parameter that defines the range of each coefficient of the interval polynomial calculated as a result of the processing and the application of the algorithm. And processing for area displaying a circumference on a two-dimensional plane, it causes a computer to execute the processing specified in the parameter range segment of each coefficient of the section polynomial describing the pole placement specification, [delta] _i ^T- , Δ _i ^{T +} Is the end point of the interval of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ _i ⁰ , e _i For a given constant,
δ _i ^T- = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ -E _i γ)
δ _i ^{T +} = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ + E _i γ)
Parameter σ , It is defined using γ.
[0025]
In the present invention, a value that can be taken by a parameter that defines the range of each coefficient of an interval polynomial, which is a value that determines a controller parameter that satisfies a required pole placement specification, is displayed in a region on a two-dimensional parameter space. , Systematic and efficient control system design becomes possible.
[0026]
DETAILED DESCRIPTION OF THE INVENTION
Prior to the description of the embodiment of the present invention, an outline of the first order predicate logical expression and QE algorithm used for the problem solving means in the present invention will be described.
[0027]
[First-order predicate formula]
Many industrial and mathematical problems can be described by formulas consisting of equations, inequalities, quantifiers (∀, ∃), and Boolean symbols (∧, ∨, ¬, →, etc.). Such an expression logically constitutes a sentence of first-order theory (first-order theory) on the so-called real closed field, and the first-order logic expression (first-order formula). Let Q be a set of rational numbers.
[0028]
X = (x₁, ..., x_n) ∈RⁿIs a vector with a quantifier, U = (u₁, ..., u_m) ∈R^mBe a vector of parameters without a quantifier, and f_iAssume that (X, U) (i = 1, 2,..., T) is a polynomial having a rational number as a coefficient as follows.
[0029]
f_i(X, U) εQ [X, U], (i = 1, 2,..., T)
Next, F_i= F_i(X, U) □_iSet to 0. Where i = 1,..., S_i∈ {=, ≧,>, ≠}. Q_j∈ {∀, ∃}, j = 1,._jQ_jGiven a block of variables with a quantifier, in general, the expression φ with a quantifier is given by
[0030]
φ = (^Q1x₁...^Qnx_s) G (F₁, ..., F_t)
Where G (F₁, ..., F_t) Is a quantifier-free Boolean formula.
[0031]
[Limit symbol elimination (QE) algorithm]
The QE algorithm is an algorithm for constructing an equivalent expression without a quantifier for a given first-order predicate logical expression, that is, an equivalent conditional expression for only a noticed parameter. If all variables have a quantifier (i.e.m = 0), the QE algorithm determines whether a given first order predicate logical expression is true (true) or false (false). This problem is called a decision problem.
[0032]
Also, when some variables (U) have no quantifier, the QE algorithm constructs an expression φ (U) without a quantifier equivalent to a given first-order predicate logical expression. The obtained φ (U) describes the possible range of U such that φ (U) is true. If no such range exists, the QE algorithm outputs false. This problem is called the general quantifier elimination problem.
[0033]
The history of the QE algorithm begins in the 1950s Tarski-Seidenberg decision procedure (references [4], [3]). However, at that time, the algorithm itself was very complex, and there was no software that actually worked. In 1975 Collins proposed a more efficient general purpose QE algorithm. This is a method based on area division of a state space called Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) (reference document [1]). This method was improved by Collins & Hong and implemented as “QEPCAD” on the mathematical expression processing system SACLIB by Hong (reference [2]). Since then, several more efficient QE algorithms have been proposed that take a first-order predicate formula of a limited class as input (references [5], [6], [7]).
[0034]
(References)
[1] Collins, G, E. (1975). Quantifier Elimination in the elementary theory of real closed fields by cylindrical algebraic decomposition for quantifier elimination. LNCS 33, 134-183, Springer-Verlag, Berlin.
[2] Collins, G, E., Hong, H. (1991). Partial cylindrical algebraic decomposition for quantifier elimination. J. Symb. Comp. 12, No. 3, pp299-328.
[3] Seidenberg, A. (1954). A new decision method for elementary algebra. Annals of Math., Vol. 60, pp. 365-374.
[4] Tarski, A. (1951). Decision Methods for Elementary Algebra and Geometry. Berkeley: Univ. Of California Press.
[5] Weispfenning, V. (1988). The complexity of linear problems in fields. J. Symb. Comp. 5, (1), 3-27.
[6] Loos, R., Weispfenning, V. (1996). Applying linear quantifier elimination. The Computer Journal, Vol. 36, No. 5. pp450-462.
[7] Weispfenning, V. (1996). Quantifier Elimination for real algebra- the quadratic case and beyond. To appear in AAECC, 1996.
Next, a method for solving the robust pole placement problem according to the present invention will be described. The pole of the closed-loop characteristic polynomial δ (s) (the zero point of the denominator polynomial) is the interval polynomial Δ_T(S),
△_T(S) = {δ_T(S) = δ_{n + r} ^Ts^{n + r}+ ... + δ₁ ^Ts + δ₀ ^T｜ δ_i ^T-≦ δ_i≦ δ_i ^{T +}}
Suppose that the parameters of the controller are determined so as to be included in the solution space (Root Space). in this case,
RootSpace (δ) ⊆ RootSpace (△_T(S))
In order to be, the linear inequality system for each coefficient shown in the above equation (2),

All n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺You should be satisfied about.
[0035]
In the present invention, first, the robust pole placement problem is reduced to the LP problem. Here, in the present invention, each coefficient of the target interval polynomial is
δ_i ^T-= Σⁱ(Δ_i ⁰-E_iγ)
δ_i ^{T +}= Σⁱ(Δ_i ⁰+ E_iγ)
The parameters σ and γ are defined as follows. δ_i ^T-, Δ_i ^{T +}Is the interval polynomial △_TThe end point of the section of the i-th order coefficient of (s), δ_i ⁰Is δ_TThis is a value that becomes the core of the section of the i-th order coefficient of (s). e_iIs an error. σ is a parameter indicating a change in time scale and frequency band, and γ is a parameter indicating the magnitude of the perturbation.
[0036]
In this case, the above linear inequality system is all n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺For the existence of a controller parameter that satisfies_i ^T-, δ_i ^{T +}The possible range (that is, the possible range of σ and γ) is an object to be obtained.
[0037]
here,
φ≡δ_{n + r} ^T-≦ n_na_r+ D_nb_r≦ δ_{n + r} ^{T +}∧ ・ ・ ・ ∧δ₀ ^T-≦ n₀a₀+ D₀b₀≦ δ₀ ^{T +}∧Λ_i(N_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺) ∧Λ_i(D_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺) As a first order predicate formula
∃a_r... ∃a₀∃b_r... ∃b₀N_n... ∃n₀∃d_n... ∃d₀φ (a_r... a₀, B_r... b₀, N_n... n₀, D_n... d₀, Σ, γ)
Write like this. Λ_iMeans the logical product of all i.
[0038]
If QE is applied to the first-order predicate logical expression, an expression without a quantifier representing the desired range of σ, γ
ψ (σ, γ)
Is obtained. Since ψ (σ, γ) is represented as a two-dimensional parameter region, the control system designer can determine the controller parameters by selecting σ, γ from the region.
[0039]
Hereinafter, embodiments of the present invention will be described with reference to the drawings. FIG. 1 is a block diagram of a control system analysis / design apparatus according to the present invention. 1 is a control system analysis / design device, 2 is an input / output device such as a display, keyboard, and pointing device, 11 is an LP formulation unit that converts a pole placement problem into an LP problem, and 12 is a pole placement for the designer. A problem input unit 13 for inputting the problem and transmitting the pole placement problem to the LP formulation unit 11 describes the LP problem by a first-order description logical expression, and based on the LP problem, the range in which the pole placement specification can be relaxed and The problem analysis unit for calculating the parameter value of the controller, 14 is an output unit for outputting the range in which the pole placement specification can be relaxed and the parameter value of the controller to the input / output device 2, and 130 is a first-order description logical expression limitation A limited symbol erasure processing unit 131 for erasing symbols is a general-purpose symbol calculation processing unit that performs general mathematical calculation.
[0040]
The first embodiment of the present invention will be described based on FIG. 2 with reference to FIGS. In the first embodiment, the present invention is applied to a nominal control system having no uncertainty in the control system.
[0041]
FIG. 2 is a diagram showing an operation processing flow in the first embodiment of the present invention. Here, it is assumed that the control system in the first embodiment has a configuration as shown in FIG. X is an input signal, Y is an output signal, G (s) is a plant transfer function, and C (s) is a controller transfer function. First, the problem input unit 12 inputs plant transfer function information and controller transfer function information from the input / output device 2 (step S1). For example, the equations given for G (s) and C (s)
[0042]
[Equation 3]

[0043]
Is input from the input / output device 2.
[0044]
Next, the problem input device 12 inputs the pole placement specification by causing the designer to specify the position at which the pole is desired to be placed graphically on the complex plane with a pointing device in the input / output device 2 (step S2). For example, n + r points α to be arranged on the complex plane displayed on the display screen of the input / output device 2 shown in FIG.₁, Α₂, ..._{n + r}Is specified. The problem input unit 12 transmits the input transfer function information and pole placement specifications to the LP formulation unit 11.
[0045]
Next, the LP formulation unit 11 formulates the pole placement problem (step S3). In other words, the LP formulation unit 11 is based on the information on G (s) and C (s) received from the problem input unit 12, and the closed loop characteristic polynomial δ (s),

And the target characteristic polynomial based on the input information of the pole placement specification

And the following simultaneous equations from both equations

Is formulated.
[0046]
Next, the problem analysis unit 13 processes the simultaneous equations formulated by the LP formulation unit 11 (step S4) and determines whether a solution exists (step S5). When the solution exists, the parameter value of the controller satisfying the pole arrangement specification is transmitted from the output unit 14 to the input / output device 2, and the input / output device 2 outputs the parameter value (step S6).
[0047]
If no solution exists, there is no controller that satisfies the pole placement specification, so the range in which the pole placement specification can be relaxed is calculated. That is, first, the magnitude of the error e inputted in the input / output device 2_iThe problem input unit 12 that received the input information of the target characteristic polynomial of the target is the interval polynomial Δ_T(S),
△_T(S) = {δ_T(S) = δ_{n + r} ^Ts^{n + r}+ ... + δ₁ ^Ts + δ₀ ^T｜ δ_i ^T-≦ δ_i≦ δ_i ^{T +}}
(Step S7), and in the interval polynomial, δ_i ^T-And δ_i ^{T +},
δ_i ^T-= Σⁱ(Δ_i ⁰-E_iγ)
δ_i ^{T +}= Σⁱ(Δ_i ⁰+ E_iγ)
The parameters σ and γ are used as follows. δ_i ⁰Is determined by designation of the pole in step S2.
[0048]
Then, the LP formulation unit 11 performs linear inequality system

Is formulated (step S8). That is, the pole placement problem is reduced to the LP problem.
[0049]
next,
φ≡δ_{n + r} ^T-≦ n_na_r+ D_nb_r≦ δ_{n + r} ^{T +}∧ ・ ・ ・ ∧δ₀ ^T-≦ n₀a₀+ D₀b₀≦ δ₀ ^{T +}
The problem analysis unit 13 converts the linear inequality system formulated above into the following first order predicate logical expression
∃a_r... ∃a₀∃b_r... ∃b₀N_n・ ・ ・ ∃n₀∃d_n... ∃d₀φ (a_r... a₀, B_r... b₀, N_n... n₀, D_n... d₀, Σ, γ)
(Step S9).
[0050]
Next, after the limit symbol elimination processing unit 130 of the problem analysis unit 13 applies QE to the first-order predicate logical expression (step S10) to erase the limit symbol, the general-purpose symbol calculation processing unit 131 performs the above section. Formula ψ (σ, γ) representing the possible range of parameters σ and γ that define the range of each coefficient section of the polynomial, that is, the range where the pole placement specification can be relaxed is calculated (step S11), and the calculation result is output to the output unit To the input / output device 2. Then, the input / output device 2 displays a region of ψ (σ, γ) as indicated by, for example, the shaded portion in FIG. 5 on the display screen (step S12).
[0051]
Next, the problem input unit 12 appropriately sets the values of σ and γ from the range of ψ (σ, γ) displayed on the screen of the input / output device 2 by using the pointing device. A correct pole arrangement specification is selected (step S13), and information on the values of σ and γ is transmitted to the LP formulation unit 11. Then, the LP formulation unit 11 that has received the information on the values of σ and γ from the problem input unit 12 formulates the LP problem by substituting the values of σ and γ into ψ (step S14). Then, the problem analysis unit 13 performs LP processing (step S15), and transmits the processing result from the output unit 14 to the input / output device 2. Then, the input / output device 2 displays the parameter value or parameter possible area of the controller satisfying the pole arrangement specification on the display screen (step S16), and the process is terminated.
[0052]
Next, a second embodiment of the present invention will be described based on FIG. 6 with reference to FIGS. In the second embodiment, the present invention is applied to a robust control system in which uncertainty exists in the control system.
[0053]
FIG. 6 is a diagram showing an operation processing flow in the second embodiment of the present invention. Here, it is assumed that the control system in the second embodiment has a configuration as shown in FIG.
[0054]
First, the problem input unit 12 inputs plant transfer function information and controller transfer function information from the input / output device 2 as a control problem (step S21). For example, an equation given for a plant transfer function G (s) of order n and a controller transfer function C (s) of order r.
[0055]
[Expression 4]

[0056]
n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺
Is input from the input / output device 2. n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺Is an equation indicating the uncertainty of the control system.
[0057]
Next, the problem input unit 12 inputs a pole arrangement specification from the input / output device 2 (step S22). In other words, n + r points α to be arranged on the complex plane displayed on the display screen of the input / output device 2 shown in FIG.₁, Α₂, ..._{n + r}Is specified by a designer using a pointing device._i ⁰At the same time_iAnd the input information is transmitted to the LP formulation unit 11.
[0058]
Next, the LP formulation unit 11 formulates the pole placement problem (step S23). That is, the LP formulation unit 11 is based on the information on G (s) and C (s) transmitted from the problem input unit 12, and the closed loop characteristic polynomial δ (s),
δ (s) = n (s) n_c(S) + d (s) d_c(S)
= (N_na_r+ D_nb_rS^{n + r}+ ... + (n₀a₀+ D₀b₀)
And the target interval polynomial △ based on the input pole placement specification_T(S),
△_T(S) = {δ_T(S) = δ_{n + r} ^Ts^{n + r}+ ... + δ₁ ^Ts + δ₀ ^T｜ δ_i ^T-≦ δ_i≦ δ_i ^{T +}}
δ_i ^T-= Σⁱ(Δ_i ⁰-E_iγ)
δ_i ^{T +}= Σⁱ(Δ_i ⁰+ E_iγ)
Δ (s) and △_T(S) and all n_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺, d_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺Linear inequality system to be satisfied

Is formulated (step S24). That is, the pole placement problem is reduced to the LP problem.
[0059]
next,
φ≡δ_{n + r} ^T-≦ n_na_r+ D_nb_r≦ δ_{n + r} ^{T +}∧ ・ ・ ・ ∧δ₀ ^T-≦ n₀a₀+ D₀b₀≦ δ₀ ^{T +}∧Λ_i(N_i ^-≦ n_i≦ n_i ⁺) ∧Λ_i(D_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺)
Then, the problem analysis unit 13 converts the above-described linear inequality system into the following first order predicate logical expression
∃a_r... ∃a₀∃b_r... ∃b₀N_n・ ・ ・ ∃n₀∃d_n... ∃d₀φ (a_r... a₀, B_r... b₀, N_n... n₀, D_n... d₀, Σ, γ)
(Step S25).
[0060]
Next, after the limit symbol elimination processing unit of the problem analysis unit 13 applies QE to the first-order predicate logical expression (step S26) to erase the limit symbol, the general-purpose symbol calculation processing unit 131 performs σ, γ An expression ψ (σ, γ) representing the possible region is calculated (step S27). The output unit 14 outputs the calculation result to the input / output device 2 and displays a region of ψ (σ, γ) as indicated by the shaded portion in FIG. 5 on the display screen (step S28).
[0061]
Next, the problem input unit 12 appropriately sets the values of σ and γ from the range of ψ (σ, γ) displayed on the screen of the input / output device 2 by using the pointing device. A correct pole arrangement specification is selected (step S29), and information on the values of σ and γ is transmitted to the LP formulation unit 11. Then, the LP formulation unit 11 that has received the information on the values of σ and γ from the problem input unit 12 substitutes the values of σ and γ into ψ, and formulates the LP problem (step S30). Then, the problem analysis unit 13 performs LP processing (step S31), and transmits the processing result to the output unit 14. Based on the received processing result, the output unit 14 displays the parameter value or parameter possible region of the controller that satisfies the pole arrangement specification on the display screen of the input / output device 2 (step S32), and ends the process.
[0062]
【Example】
FIG. 7 is a diagram showing an example of a control problem for explaining a specific embodiment of the present invention. First, the problem input unit 12 uses the plant transfer function shown in FIG.
G (s) = 1 / (c₂s²+ C₁s + c₀)
And controller transfer function
C (s) = k₁+ K₂/ S
And the given conditional expression
-1 ≦ c₀≦ 1
1 ≦ c₁≦ 1.5
−0.5 ≦ c₂≦ 1.5
And input the pole placement specification using a pointing device.
[0063]
Next, the LP formulation unit 11 performs a closed loop characteristic polynomial.
δ (s) = c₂s^Three+ C₁s²+ (K₁+ C₀S + k₂
And the target interval polynomial △ based on the input pole placement specification_T(S),
△_T(S) = {δ_T(S) = δ_Three ^Ts^Three+ Δ₂ ^Ts²+ Δ₁ ^Ts + δ₀ ^T｜ δ_i ^T-≦ δ_i≦ δ_i ^{T +}}
Is formulated. in this case,
δ_Three ^T-= Σ^Three(1-0.25γ)
δ_Three ^{T +}= Σ^Three(1 + 0.25γ)
δ₂ ^T-= Σ²(4-0.5γ)
δ₂ ^{T +}= Σ²(4 + 0.5γ)
δ₁ ^T-= Σ¹(6-0.75γ)
δ₁ ^{T +}= Σ¹(6 + 0.75γ)
δ₀ ^T-= (4-γ)
δ₀ ^{T +}= (4 + γ)
The parameters σ and γ are used as follows.
[0064]
The LP formulation unit 11 then calculates −1 ≦ c based on the above formula.₀≦ 1,1 ≦ c₁≦ 1.5, −0.5 ≦ c₂Linear inequalities under the condition ≦ 1.5,
δ_Three ^T-≦ c₂≦ δ_Three ^{T +}
δ₂ ^T-≦ c₁≦ δ₂ ^{T +}
δ₁ ^T-≦ k₁+ C₀≦ δ₁ ^{T +}
δ₀ ^T-≦ k₂≦ δ₀ ^{T +}
Is formulated.
[0065]
next,
φ≡δ_Three ^T-≦ c₂≦ δ_Three ^{T +}∧δ₂ ^T-≦ c₁≦ δ₂ ^{T +}∧δ₁ ^T-≦ k₁+ C₀≦ δ₁ ^{T +}∧δ₀ ^T-≦ k₂≦ δ₀ ^{T +}∧-1 ≦ c₀≦ 1∧1 ≦ c₁≦ 1.5∧−0.5 ≦ c₂≦ 1.5
The problem analysis unit 13 converts the linear inequality system formulated above into a first order predicate logical expression
∃k₁∃k₂∃c₀∃c₁∃c₂φ (k₁, K₂, C₀, C₁, C₂, Σ, γ).
[0066]
Next, the limit symbol elimination processing unit 130 of the problem analysis unit 13 erases the limit symbol by applying QE to the first-order predicate logical expression, and the general-purpose symbol calculation processing unit 131 allows the possible areas of σ and γ. An expression ψ (σ, γ) representing is calculated. Here, a general QE algorithm (a method based on CAD) has a very poor calculation efficiency, and can solve only a very small problem within an allowable time for industrial application. Therefore, in this embodiment, an efficient QE algorithm (reference documents [5] and [6]) is used for the linear inequality system by utilizing the fact that the problem formulation is LP. That is, in this embodiment, a special QE [test term method] with high calculation efficiency is applied. As a result, the calculation efficiency is improved and the problem of the size necessary for practical use can be solved.
[0067]
The calculated ψ (σ, γ) is as follows.
[0068]
ψ (σ, γ) ≡ω₁(Σ, γ) ∨ω₂(Σ, γ)
ω₁= (P₂≧ 0∧P_Three≧ 0∧P_Five≧ 0∧P₆≧ 0∧P₇≧ 0∧P₈≧ 0)
ω₂= (P₁≧ 0∧P₂≦ 0∧P_Five≧ 0∧P₆≧ 0∧P₇≧ 0∧P₈≧ 0)
P₁= Γσ^Three+ 4σ^Three-2
P₂= Γσ^Three+ 4σ^Three-6
P_Three= Γσ^Three-4σ^Three+6
P_Four= Γσ²+ 8σ²-2
P_Five= Γσ²+ 8σ²-3
P₆= Γσ²-8σ²+3
P₇= Γσ
P₈= Γ
Then, information on ψ (σ, γ) is transmitted from the output unit 14 to the input / output device 2, and a possible region of ψ (σ, γ) on the screen of the input / output device 2 is an area indicated by a hatched portion in FIG. Is displayed.
[0069]
When the control system designer designates the σ and γ regions shown in the shaded area with a pointing device, the LP formulation unit 11 formulates the LP problem, which is solved by the problem analysis unit 13 and output by the output unit 14. The controller parameter value or parameter possible region satisfying the layout specification is transmitted to the input / output device 2, and the transmitted controller parameter value or parameter possible region information is output by the input / output device 2.
[0070]
FIG. 9 is a diagram showing calculation times for the PI control system and the PID control system when the plant order n is increased by applying the present invention. The controller transfer function C (s) in the PI control system is
C (s) = x₁+ X₂/ S
The controller transfer function C (s) in the PID control system is
C (s) = x₁+ X₂/ S + x_ThreeXs / (1 + 0.1s)
It was. The plant transfer function G (s) is
G (s) = 1 / (d_nsⁿ+ D_n-1s^n-1+ ... d₁s + d₀)
And an inequality d indicating the uncertainty of the plant_i ^-≦ d_i≦ d_i ⁺End value d_i ^-, D_i ⁺For d_i ⁺-D_i ^-Randomly set so that ≦ 2. δ_i ⁰Choose randomly for e_iIs 0 <e_iRandomly selected from the section of ≦ 3.
[0071]
In this embodiment, the calculation is performed using “REDROG” which is a special QE package. As a computer, a “SUN Ultra III” having a 900 MHz CPU and 1 GB memory was used.
[0072]
The QE problem can be solved within a reasonable amount of time when the plant order n is 3 or less even when using the software “QEPCAD” based on the conventional CAD algorithm. It becomes difficult. On the other hand, according to “REDROG” used in the present embodiment, as shown in FIG. 9, high calculation efficiency is exhibited even for a high-order control system. It can be said that the 10th order is sufficient for practical use, so that the present invention is also effective for actual problems.
[0073]
The features of the embodiments and examples of the present invention are listed below.
[0074]
(Appendix 1) A pole placement analysis / design method for a control system using a computer,
Inputting the transfer function information of the elements constituting the control system to establish a pole placement problem;
Defining the range of relaxation of the pole placement specification of the control system with parameters;
Converting the standing pole placement problem into a linear programming problem including the defined parameters;
Applying a quantifier elimination algorithm to the linear programming problem and calculating a range of possible values of the parameters.
A pole placement analysis and design method for control systems.
[0075]
(Appendix 2) A pole placement analysis / design method for a control system using a computer,
Inputting transfer function information of elements constituting the control system;
Inputting a pole placement specification by causing a pointing device to specify coordinates of a pole of the closed loop characteristic polynomial of the control system on a complex plane;
Defining a range of each coefficient of a section polynomial describing the pole placement specification by a parameter based on coordinate information on a complex plane of the pole of the specified closed loop characteristic polynomial;
Formulating a linear inequality system to be satisfied in order for the poles of the closed-loop characteristic polynomial to be included in the solution space of the interval polynomial;
Describing the formulated linear inequality system in a first order predicate formula;
Applying an algorithm for eliminating the quantifier to the first order predicate formula described above;
Displaying on a two-dimensional plane a range of possible values of a parameter that defines the range of each coefficient of the interval polynomial calculated as a result of application of the algorithm
A pole placement analysis and design method for control systems.
[0076]
(Supplementary Note 3) The step of defining the range of each coefficient section of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter is as follows:
δ_i ^T-, Δ_i ^{T +}Is the end point of the interval of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ_i ⁰, e_iFor a given constant,
δ_i ^T-= Σⁱ(Δ_i ⁰-E_iγ)
δ_i ^{T +}= Σⁱ(Δ_i ⁰+ E_iγ)
Specified using parameters σ and γ
The pole placement analysis / design method for a control system according to Supplementary Note 2, characterized by:
[0077]
(Appendix 4) A control system pole placement analysis and design device using a computer,
Means for inputting a transfer function information of elements constituting the control system to establish a pole placement problem;
Means for defining, by parameters, a relaxable range of the pole arrangement specification of the control system;
Means for converting the standing pole placement problem into a linear programming problem including the defined parameters;
Means for applying a quantifier elimination algorithm to the linear programming problem and calculating a range of possible values of the parameters
Control system pole placement analysis and design equipment characterized by this.
[0078]
(Appendix 5) A pole placement analysis / design device for a control system using a computer,
Means for inputting transfer function information of elements constituting the control system;
Means for inputting a pole placement specification by causing a pointing device to specify coordinates on a complex plane of poles of the closed loop characteristic polynomial of the control system;
Means for defining the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter based on coordinate information on the complex plane of the pole of the designated closed loop characteristic polynomial;
Means for formulating a linear inequality system to be satisfied in order for the poles of the closed-loop characteristic polynomial to be included in the solution space of the interval polynomial;
Means for describing the formalized linear inequality system by a first order predicate logical expression;
Means for applying an algorithm for eliminating the quantifier to the first-order predicate formula described above;
Means for displaying on a two-dimensional plane a range of possible values of a parameter that defines a range of each coefficient of the interval polynomial calculated as a result of application of the algorithm.
Control system pole placement analysis and design equipment characterized by this.
[0079]
(Supplementary Note 6) Means for defining the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter is as follows:
δ_i ^T-, Δ_i ^{T +}Is the end point of the interval of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ_i ⁰, e_iFor a given constant,
δ_i ^T-= Σⁱ(Δ_i ⁰-E_iγ)
δ_i ^{T +}= Σⁱ(Δ_i ⁰+ E_iγ)
Specified using parameters σ and γ
The control system pole arrangement analysis / design apparatus according to appendix 5, characterized in that:
[0080]
(Supplementary note 7) A program for causing a computer to execute a pole placement analysis / design method for a control system,
A process for establishing a pole placement problem by inputting transfer function information of elements constituting the control system;
A process for defining a range in which the pole arrangement specification of the control system can be relaxed by a parameter;
Converting the standing pole placement problem into a linear programming problem including the specified parameters;
Applying a quantifier elimination algorithm to the linear programming problem and calculating a range of possible values of the parameters;
Control system pole placement analysis and design program to be executed by a computer.
[0081]
(Supplementary note 8) A recording medium recording a program for causing a computer to execute a pole placement analysis / design method for a control system,
A process for establishing a pole placement problem by inputting transfer function information of elements constituting the control system;
A process for defining a range in which the pole arrangement specification of the control system can be relaxed by a parameter;
Converting the standing pole placement problem into a linear programming problem including the specified parameters;
Applying a quantifier elimination algorithm to the linear programming problem and calculating a range of possible values of the parameters;
A recording medium that records a control system pole assignment analysis and design program to be executed by a computer.
[0082]
【The invention's effect】
The present invention determines the controller parameters by displaying the range of the pole placement specification which can be relaxed, that is, the range of each coefficient of the target interval polynomial in the two-dimensional parameter space. This enables efficient control system design.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a configuration diagram of a control system analysis / design apparatus according to the present invention.
FIG. 2 is a diagram showing an operation processing flow in the first embodiment of the present invention.
FIG. 3 is a configuration diagram of a control system according to the first embodiment of the present invention.
FIG. 4 is a diagram illustrating a complex plane.
FIG. 5 is a diagram illustrating a region of ψ (σ, γ).
FIG. 6 is a diagram showing an operation processing flow in the second embodiment of the present invention.
FIG. 7 is a diagram showing an example of a control problem for explaining a specific embodiment of the present invention.
FIG. 8 is a diagram illustrating a region of ψ (σ, γ).
FIG. 9 is a diagram showing calculation time when the plant order is increased by applying the present invention.
[Explanation of symbols]
1 Control system analysis and design equipment
2 I / O devices
11 LP formulation section
12 Question input section
13 Problem Analysis Department
14 Output section
130 Limit Symbol Erasure Processing Unit
131 General-purpose symbol calculation processor

Claims (3)

A control system pole assignment analysis and design method using a computer,
Inputting transfer function information of elements constituting the control system;
Inputting a pole placement specification by causing a pointing device to specify coordinates of a pole of the closed loop characteristic polynomial of the control system on a complex plane;
Defining the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter based on coordinate information on the complex plane of the pole of the specified closed-loop characteristic polynomial;
Formulating a linear inequality system to be satisfied in order for the poles of the closed-loop characteristic polynomial to be included in the solution space of the interval polynomial;
Describing the formalized linear inequality system in a first order predicate formula;
Applying an algorithm for eliminating the quantifier to the first order predicate formula described above;
Displaying a range of possible values of a parameter defining a range of each coefficient of the interval polynomial calculated as a result of application of the algorithm on a two-dimensional plane,
The step of defining the interval range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter is as follows:
δ _i ^T− , δ _i ^{T +} are the end points of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ _i ⁰ , e _i are given constants,
δ _i ^T- = σ ⁱ (δ _i ⁰ −e _i γ)
δ _i ^{T +} = σ ⁱ (δ _i ⁰ + e _i γ)
Parameter sigma, pole placement analysis and design methods to that control system characterized by defining by using a γ as. A pole placement analysis and design device for a control system using a computer,
Means for inputting transfer function information of elements constituting the control system;
Means for inputting a pole placement specification by causing a pointing device to specify coordinates on a complex plane of poles of the closed loop characteristic polynomial of the control system;
Means for defining, with parameters, the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification based on coordinate information on the complex plane of the pole of the specified closed-loop characteristic polynomial;
Means for formulating a linear inequality system to be satisfied in order for the poles of the closed-loop characteristic polynomial to be included in the solution space of the interval polynomial;
Means for describing the formalized linear inequality system by a first order predicate logical expression;
Means for applying an algorithm for eliminating the quantifier to the first-order predicate formula described above;
Means for displaying a range of possible values of a parameter defining a range of each coefficient of the interval polynomial calculated as a result of application of the algorithm on a two-dimensional plane;
Means for defining the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter is as follows:
δ _i ^T- , Δ _i ^{T +} Is the end point of the interval of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ _i ⁰ , e _i For a given constant,
δ _i ^T- = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ -E _i γ)
δ _i ^{T +} = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ + E _i γ)
Parameter σ , Specify using γ
Control system pole placement analysis and design equipment characterized by this. A program for causing a computer to execute a pole placement analysis / design method for a control system,
A process of inputting transfer function information of elements constituting the control system;
A process of inputting a pole placement specification by causing the pointing device to specify coordinates on the complex plane of the pole of the closed loop characteristic polynomial of the control system;
A process for defining the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification by a parameter based on the coordinate information on the complex plane of the pole of the specified closed loop characteristic polynomial;
Processing to formulate a linear inequality system to be satisfied in order for the poles of the closed-loop characteristic polynomial to be included in the solution space of the interval polynomial;
A process of describing the formalized linear inequality system with a first-order predicate logical expression;
A process of applying an algorithm for eliminating the quantifier to the first-order predicate logical expression described above;
Causing a computer to execute a process of displaying a range of possible values of a parameter defining a range of each coefficient of the interval polynomial calculated as a result of application of the algorithm on a two-dimensional plane;
The process of defining the range of each coefficient of the interval polynomial describing the pole placement specification with a parameter is as follows:
δ _i ^T- , Δ _i ^{T +} Is the end point of the interval of the i-th order coefficient of the interval polynomial, δ _i ⁰ , e _i For a given constant,
δ _i ^T- = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ -E _i γ)
δ _i ^{T +} = Σ ⁱ (Δ _i ⁰ + E _i γ)
Parameter σ , Specify using γ
A pole placement analysis and design program for control systems.

Images