JP3327622B2

JP3327622B2 - ベジェスプラインから２次多項式フラグメントへの変換

Info

Publication number: JP3327622B2
Application number: JP10323493A
Authority: JP
Inventors: シルバブルックキア; ロバートウォームズレイサイモン; マルハーンジム; アルトロルカリグオリビンセンゾ
Original assignee: Canon Inc
Current assignee: Canon Inc
Priority date: 1992-04-29
Filing date: 1993-04-28
Publication date: 2002-09-24
Anticipated expiration: 2017-09-24
Also published as: US5422990A; AU3823993A; JPH06318258A; AU669516B2

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】本発明は、グラフィック・システ
ムの曲線の表示に関するものであって、特に３次多項式
に依って説明されるオブジェクトが対応する２次多項式
の説明に変換されることができる方法を説明するもので
ある。

【０００２】

【従来の技術】コンピュータ化グラフィック・システム
は一般的に１つまたは複数のグラフィック・オブジェク
トに基づいてイメージを形成し、各々がイメージの特定
の形状、構成要素、またはラインを形成している。普通
は、各々オブジェクトは、アウトライン曲線がオブジェ
クト構造の部分を自ら形成できるアウトライン曲線の内
部と外部の間のカラーを変更することに依って、表示さ
れることができるオブジェクトの内部を定めるアウトラ
イン曲線に依って定められる。

【０００３】各々オブジェクトのアウトラインを定める
１つの普遍的な形状はスプライン・フォーマットであ
り、ほとんどの普遍的なスプライン・フォーマットは、
Bezier曲線のような、パラメトリック３次多項式に適し
た種々の形状になっている。用いられることができる他
のタイプの３次多項式はHermite とBspline である。

【０００４】

【発明が解決しようとする課題】３次多項式は高品質の
グラフィック・イメージを生成するために長年にわたっ
て用いられてきたが、該イメージは、ビデオ・ディスプ
レイ・ユニットまたはプリンタのように、ディスプレイ
の各々スキャン・ライン上で曲線アウトラインの種々の
ピクセル・ロケーションを得るために、３次多項式の根
を計算する必要性のために計算と表示にかなりの時間を
要している。

【０００５】現在の技術レベルは３次多項式をリアルタ
イムでフル・ビデオ・アニメーション用に表示するため
に要求される必要な計算を実施できるハードウェアを十
分に提供できるが、該ハードウェアは、非常に複雑で高
価なので、消費者マーケットに容易に進出することがで
きない。

【０００６】

【課題を解決するための手段】クロス・リファレンス
が、ここで同時に提示される次に示す特許明細書に加え
られ、なおかつ、その開示がクロス・リファレンスに依
ってここで包合される、 (i) “リアルタイム・オブジェクト・ベース・グラフ
ィック・システム”という名称の、1992年4 月29日のオ
ーストラリア特許出願 No. PL2147 (iv) “グラフィック・システムのエッジ計算”という
名称の、1992年4 月29日のオーストラリア特許出願 No.
PL2156 (v) “RTO グラフィック・システムのための前処理パ
イプライン”という名称の、1992年4 月29日のオースト
ラリア特許出願 No. PL2142 (vi) “グラフィック・システムのためのオブジェクト
分類”という名称の、1992年4 月29日のオーストラリア
特許出願 No. PL2145 (vii) “２次多項式フラグメントを使用するオブジェク
ト・ベース・グラフィック”という名称の、1992年4 月
29日のオーストラリア特許出願 No. PL2150

【０００７】前述の明細書に、曲線アウトラインの表現
に適した代替フォーマットを使用することが提案されて
いる。３次多項式、特に３次スプラインを使用する代わ
りに、２次多項式フラグメント(QPF) の使用が提案され
ている。QPF は、それらの表現が３次多項式と逆の２次
多項式に基づいていることから、好都合に２つの別の追
加に依って、速やかに容易に計算されることができるの
で、オブジェクト・ベース・イメージのリアルタイムの
計算と作動が可能になる。

【０００８】このようにして、グラフィック・オブジェ
クトは、オブジェクト・アウトラインの種々の部分を定
め且つオブジェクト・エッジがイメージを表示する前に
計算されることができる複数のQPF に分割されることが
できる。

【０００９】特に“２次多項式フラグメントを使用する
オブジェクト・ベース・グラフィック”という名称の、
1992年4 月29日のオーストラリア特許出願 No. PL2150
に説明されているように、QPF は、次に示すQPF データ
要素、START_PIXEL 、△PIXEL 、△△PIXEL 、START_LI
NE、END_LINEに依って説明されることができる。このよ
うにして、該QPF データは、次に示すようにSTART_LINE
とEND_LINEの間でQPFに沿ってピクセル・ロケーション
値(PIXEL) を生成するために用いられることができる。 PIXEL(line_n+1)=PIXEL(line_n)+ΔPIXEL(line_n) ΔPIXEL(line_n+1)= ΔPIXEL(line_n)+ ΔΔPIXEL ここで PIXEL(line_n=START_LINE)=START_PIXEL;and ΔPIXEL(line_n=START_LINE)=ΔPIXEL.

【００１０】Bezierスプラインのような３次多項式に依
って説明される非常に数多くのグラフィック・オブジェ
クトがいま存在するので、周知のスプライン・フォーマ
ットで説明されるオブジェクトがQPF に変換されること
ができる手段が与えられることが望まれる。

【００１１】従来の技術に存在していた前述の難しさの
少なくとも１つを実質的に克服するかまたは低減するこ
とが、本発明の目的である。

【００１２】本発明の第１の見地に従って、複数のスプ
ライン・フォーマットに依って説明されるコンピュータ
化グラフィック・システムのオブジェクトを複数の２次
多項式フラグメント(QPF) に依って説明される対応する
オブジェクトに変換し、変換したQPFデータを用いて、
出力装置のスキャンライン上でオブジェクトのピクセル
位置を決定する方法が開示され、前記の方法は、前記の
オブジェクトの各々スプラインに対して、(a) 開始と終
了ポイントを前記のスプライン上で選択し且つ対応する
QPF 上で対応する開始と終了ポイントと同じであること
を指定することと、(b) スプラインのコントロール・ポ
イントから、前記のQPF を説明する２次多項式の係数を
決定することと、(c) スプラインと２次多項式間のエラ
ーが予め設定されたレベルより低いことを決定するため
に係数を使用することと、(d) その場合、前記の係数か
ら、前記の２次多項式を説明するQPF データを決定する
ステップを具備している。

【００１３】エラーが予め設定された大きさより低くな
い場合、(e) スプラインは対応する２次多項式が決定さ
れる２つ以上のサブスプラインに分割される。このステ
ップは、各々２次多項式と対応するサブスプライン間の
エラーが予め設定された大きさより低くなるまで必要に
おうじて繰り返される。エラーは、面積エラーまたは角
度エラーあるいはその両方になる場合がある。

【００１４】本発明の第２の見地に従って、複数のスプ
ライン・フォーマットに依って説明されるコンピュータ
化グラフィック・システムのオブジェクトを複数の２次
多項式フラグメント(QPF) に依って説明される対応する
オブジェクトに変換し、変換したQPFデータを用いて、
出力装置のスキャンライン上でオブジェクトのピクセル
位置を決定する方法が開示され、前記の方法は、前記の
オブジェクトの各々スプラインに対して、(a) 開始と終
了ポイントを前記のスプライン上で選択し且つ対応する
QPF 上で複数のQPF に対して対応する開始と終了ポイン
トと同じであることを指定することと、(b) スプライン
のコントロール・ポイントから、各々前記のQPFを説明
する２次多項式の係数を決定することと、(c) スプライ
ンと２次多項式間のエラーが予め設定されたレベルより
低いことを決定するために前記係数を使用することと、
(d) その場合、前記係数から、前記２次多項式を説明す
るQPF データを決定するステップを具備している。

【００１５】エラーが予め設定された大きさより低くな
い場合、(e) スプラインは、対応する２次多項式が第１
または第２の見解から(a) 〜(d) のステップを用いて決
定される２つ以上のサブスプラインに分割される。この
ステップは、各々２次多項式と対応するサブスプライン
間のエラーが予め設定された大きさより低くなるまで必
要におうじて繰り返される。

【００１６】本発明の別の見解に従って、前記のデータ
が複数の２次多項式フラグメントを具備していることを
特徴とするグラフィック・オブジェクト・データの記憶
のために構成されているメモリ・デバイスが開示され
る。

【００１７】好都合に、エラーは、面積エラーまたは角
度エラーになり、なおかつ、最も好都合に両方の場合に
もなる。

【００１８】

【００１９】本発明の別の見地に従って、コンピュータ
化グラフィック・システムのオブジェクトの部分を、複
数の２次多項式フラグメント(QPF) に依って説明される
対応するオブジェクトに変換し、変換したQPFデータを
用いて、出力装置のスキャンライン上でオブジェクトの
ピクセル位置を決定する方法が開示され、前記の部分は
閉ループを形成する複数のスプラインに依って説明さ
れ、前記の方法は、(a)前記の閉ループの第１スプライ
ンを選択し且つ前記の第１スプラインが、(i) 第１スプ
ラインの開始ポイントに対応するセットQPF ポイントを
選択し、(ii) 前記のスプラインと同じ開始スロープと
同じ終了スロープを備えた対応する開始QPF を計算し、
(iii) 前記のQPF の終了ポイントと前記の第１スプライ
ンの終了ポイント間の違いを測定し、(iv) 前記の違い
が予め設定された公差より小さい場合、第１スプライン
に対して十分な精度の近似として前記の開始QPF を承認
し且つ閉ループの他のスプラインに対してステップ(b)
と(c) に進み、(v) 前記の違いが予め設定された公差よ
り小さくない場合、前記の第１スプラインを少なくとも
２つのスプライン部分に分割し且つステップ(a) を前記
の第１スプラインの第１部分に、ステップ(b) と(c) を
他の部分に適用し、(b) 前記の閉ループの中間スプライ
ンの全てが、(i) 既に計算されていたQPF の終了ポイン
トを今のQPF の開始ポイントとして選択し、(ii) 対応
する前記の中間スプラインと同じ開始スロープと同じ終
了スロープを備えた今のQPF を計算し、(iii) 前記の今
のQPF の終了ポイントと前記の対応する中間スプライン
の終了ポイント間の違いを測定し、(iv) 前記の違いが
予め設定された公差より小さい場合、対応する中間スプ
ラインの十分な精度の近似として前記の今のQPF を承認
し且つ閉ループの他のスプラインに対してステップ(b)
と(c) に進み、(v) 前記の違いが予め設定された公差よ
り小さくない場合、前記の今のスプラインを少なくとも
２つのスプライン部分に分割し且つ前記のスプライン部
分でステップ(b) と(c) を実施し、(c) 前記の閉ループ
の最終スプラインが、(i) 既に計算されていたQPF の終
了ポイントを最後のQPF の開始ポイントとして選択し、
(ii) 前記の最終スプラインと同じ開始スロープと同じ
終了ポイントを備えた最後のQPF を計算し、(iii) 予め
設定された基準が前記の最後のQPF と前記の最終スプラ
インの間で満足されているかどうか決定し、(iv) 前記
の基準が満足されている場合、最終スプラインに対して
十分な精度の近似として前記の最終QPF を承認し、(v)
前記の違いが予め設定された公差より小さくない場合、
前記の最終スプラインを少なくとも２つのスプライン部
分に分割し且つ前記のスプライン部分でステップ(b) と
(c) を実施するステップを具備している。

【００２０】

【実施例】図１を見ると、START_PIXEL のSTART_LINEで
開始し、END_LINEに延長する、１つのQPF が図示されて
いる。図１に見られる水平ラインは、ビデオ・ディスプ
レイ・ユニットのラスター・ラインのようなディスプレ
イのスキャン・ラインまたはプリンタのスキャン・ライ
ンを表している。QPF データは、特定のQPF のために各
々ライン上の各々ピクセルの値が前述の方式で計算され
ることができるように構成されている。

【００２１】曲線の定義 Bezierスプラインは、一般的に、パラメトリックな式の
形で表される。

【数１】

【００２２】この形式は、ｕが０と１の間で変わる、パ
ラメータｕから、ｘとｙを独自に決定するために用いら
れる。

【数２】

【００２３】３次スプラインの場合、関係は式(3) に与
えられるようになる。

【数３】

【００２４】２次多項式フラグメント(QPF) は放物線の
セクションを表す。そこで、その関係は次のようにして
表されることができる。

【数４】

【００２５】QPF は、特に、しかし排他的でなく、グラ
フィック・オブジェクト・イメージ作動のために、前述
のクロス・リファレンスされた1992年4 月29日のオース
トラリア特許出願 No.PL2147に開示されているような装
置を用いて開発された。

【００２６】従って、スキャン・ラインの軌跡のよう
に、曲線の新しいピクセル値は、QPFの△PIXEL と△△P
IXEL 値から計算される。そこで、グラフィック・シス
テムの場合、式(4) の更なる的確な表現は次のようにな
る。

【数５】

【００２７】すなわち、ｘはライン方向になり、なおか
つ、ｙはピクセル方向になる。

【００２８】ａがゼロに等しい場合、QPF は直線を表し
ている。

【００２９】更に、好まれる実施態様のBezierスプライ
ンは、スタンダード４ポイント・フォーマットを用いて
説明される。すなわち、Ｐ0 （ｘ0 ，ｙ0 ）は開始する
終了ポイントであり、Ｐ1 （ｘ1 ，ｙ1 ）とＰ2 （ｘ2
，ｙ2 ）は次のコントロール・ポイントであり、Ｐ3
（ｘ3 ，ｙ3 ）は最後の終了ポイントである。また、好
まれる実施態様は、第１と第２の両方のオーダーの連続
性を備えたスプラインとQPF をマッチングさせる。第１
オーダーの連続性は、２つの曲線が一致する終了ポイン
トをもつ場合である。第２オーダーの連続性は、終了ポ
イントが一致し且つ曲線が接合ポイントで同じスロープ
をもつ場合に達成される。

【００３０】反復変換方法スプラインを反復変換方法と呼ばれるQPF に変換するた
めに好まれる方法が、ここで説明される。

【００３１】変換規定スプラインをQPF に変換する際に、次に示す属性が望ま
れる。

【００３２】同じ終了ポイントスプラインの開始と終了ポイントとQPF は（第１オーダ
ーの連続性を維持するために）同じであることが重要で
ある。これは式(6) の関係に依って示される。式(4) を
式(6) に代入して同時に求めた結果は、ｂとｃがａに関
して直線的になることを示している。この関係は式(7)
に示されている。

【数６】

【００３３】面積公差曲線は類似のパスを通るべきである。公差は、従って、
オリジナル・パスからの許容変位を測定するために決定
されなければならない。好都合に、この公差は、目が感
知できるエラーに関して定義されるべきである。該定義
は、しかし、他の場合には小さい変位でも認められない
が（例えば小さい変位でも鋭い場合、または小さい曲が
りを平にしてしまう場合）、或る条件の時に大きな変位
が認められるので（例えば変位が滑らかで且つ曲げられ
るべきであるエッジを平にしない）極端に複雑になる。

【００３４】このエラーを管理する１つの方法は、オリ
ジナルのスプラインとQPF の間の許容面積に関する公差
を定義することである。オリジナルのパスからの僅かの
距離変位は、スプラインの長さが増加するにつれて累積
される面積を増加するので、この面積公差は単位長あた
りの面積で設定されなければならない。

【００３５】角度公差第２オーダーの連続性は、目はライン間の傾斜の変化に
対して特に敏感なので、可視性アプリケーションで維持
されなければならない。放物線はスプラインと同じ自由
度をもたないので、完全なマッチングが任意の１つのQP
F のスプラインの終了ポイントの傾斜に対して見られる
ことができることは保証されない。従って角度変位の公
差が変換に必要になる。これは、或るスロープがゼロま
たは無限の傾斜をもつので、傾斜変位でなく、角度変位
でなければならないことに注目すべきである。

【００３６】平坦性公差変換アルゴリズムは、スプラインの表示に要求されるQP
F の数を最小限にするようにすべきである。この規定
は、平坦性公差の導入に依って推進されることができ
る。すなわち、直線からのスプラインの変位の測定が行
われることができる。この変位が指定された公差より小
さい場合、スプラインは、直線と見なされるので、１つ
の直線状のQPF に変換される。

【００３７】係数限界 QPF は、△PIXEL と△△PIXEL 値の計算に依ってリアル
タイムに作動されるように設計されている。これらの計
算を行う任意のハードウェアは、これらの変数がとるこ
とができる値に限界をもつことになる。例えば、1992年
4 月29日のオーストラリア特許出願 No.PL2147の装置の
場合、△PIXEL は -128 〜 +127.996093750 の範囲に入
っていなければならないし、△△PIXEL は -0.5 〜 +0.
499984741 の範囲に入っていなければならない。

【００３８】△PIXEL 限界は、マッチングされることが
できる最大スロープを与える。この限界を逸脱する場
合、ラインは、垂直と見なされるので廃棄されなければ
ならない。

【００３９】△△PIXEL 限界は、マッチングする放物線
のａ係数の値に限界を与える。式(5) のように定義され
るQPF が与えられると、△△PIXEL は下記に依って与え
られる。

【数７】

【００４０】1992年4 月29日のオーストラリア特許出願
No.PL2147の装置の場合、従って、ａは -0.25 〜 +0.2
49992371 の範囲に限定される。

【００４１】一般的な変換プロセス既に概略的に説明された規定から、一般的な変換プロセ
スが作成されることができる。このプロセスは次のよう
になる。 IF スプラインが平らである（指定された公差内） THEN それを直線状QPF に変換する ELSE １つまたは複数の放物線をスプラインとマッチングして、第１オーダーの連続性とａの限界を維持する IF 面積エラーと角度エラーが公差範囲内 THEN 放物線をQPF に変換する ELSE スプラインを分割して、前述のことを各々終了に対して個々に反復する ENDIF ENDIF

【００４２】放物線をスプラインにマッチング放物線をスプラインにマッチングする時に、それが１つ
だけの放物線とマッチングされなければならない理由は
ない。実際に、これは不満足な結果をほとんどの場合に
与える。一般的に、優れた結果は複数の放物線をマッチ
ングすることに依って得られることができるが、３つ以
上の放物線が用いられる場合に、演算は手順を非常にコ
ンピュータ集中型にする。

【００４３】従って、１つの放物線または２つの放物線
マッチングが見られることができない場合、スプライン
はサブスプラインに好都合に分割され、サブスプライン
が変換される。

【００４４】１つの放物線をマッチング可視性面積エラーを最小限にするここで図２を見ると、巧みにQPF22 がスプライン21に入
っている様子を説明し、スプラインの下の面積を見て且
つQPF の下の面積を引き算する１つの方式が図示されて
いる。

【００４５】曲線間のこの面積の違い23は、最終面積測
定を常にプラスに保持するために好都合に２乗され、式
(9) の中間２乗エラー項になる。

【数８】

【００４６】式(9) は、次に示すように式(4) を代入す
ることに依ってａ、ｂ、ｃに関して表されることができ
る。

【数９】

【００４７】式(10)を拡大し、ａ、ｂ、ｃに関して表す
と、次のようになる。

【数１０】

【００４８】積分値を集めると、エラー項は次のように
なる。ここで

【数１１】

【００４９】式(7) は、エラー項が、最小面積エラーを
生成するａの値を見いだすために、最小限にされること
ができるａの２次式になることを示すために、式(12)に
適用されることができる。

【数１２】

【００５０】式(13)は、その開始と終了ポイントがマッ
チングする任意のスプラインと放物線の一般的な面積エ
ラーになる。しかし、計算は積分項の各々に非常に集中
している。エラー項を計算するためのこの処理の一部を
避ける方式は、その開始ポイントがオリジナルとなるよ
うに、スプラインを変換することである。マッチングす
る放物線が見いだされると、それは、オリジナルのスプ
ライン・ポジションに変換されて戻ることができる。ス
プラインの開始ポイントがオリジナルにある時に、次に
示す関係が真になる。

【数１３】

【００５１】積分の記号評価、および式の単純化が、ス
プラインのコントロール・ポイントに関してα，β，γ
を定義する、式(15)と式(16)と式(17)の結果になる。

【数１４】

【００５２】α，β，γが知られると、式(13)は、最小
面積放物線に適したａの計算に用いられることができ
る。ａが許容限界（係数限界という名称の前の説明を参
照）外になる場合、それは最も近い限界にセットされる
べきである。

【００５３】ａが知られると、面積エラーが計算される
ことができる。エラー項は、絶対値であり、なおかつ相
対エラーを生成するスプラインの長さに依って分割され
るべきである。エラーが許容可能（予め設定された公差
内）な場合、放物線（式(14)はａに関してｂとｃを与え
る）は、好ましい適合状態になり、なおかつQPF の生成
に用いられることができる（放物線をオリジナルの開始
ポジションに変換して戻すことを思い出してほしい）。
面積が許容されない場合、オリジナルのスプライン（変
換されていない）はサブスプラインに分割されることが
できて、なおかつ、変換手順は各々サブスプライン上で
繰り返し実施されることができる。スプラインを分割す
る例の手順は、代替アプローチが変曲のポイントまたは
或る他の発見的手法で分割されることができるが、ポジ
ションをスプライン(u=1/2) の下方のパラメトリックな
半分になる。

【００５４】次に示すのは、このプロセスの手順であ
る。 parabola = Calc_MinError_Parabola(spline) IF ａが限界外 THEN ａを最も近い限界に移動する ENDIF area_err = Calc_Min_Area_Error(spline, parabola)/Length(spline) IF area_err < area_tolerance Found_QPF(parabola) ELSE Split_And_Convert(spline) EI

【００５５】代替面積最小限化方法可視性面積の最小限化は、前述のように、面積最小限化
に対する最も適切なアプローチであるが、その背後にあ
る演算は複雑で、なおかつ、変換プロセスは従って計算
の規模も大きくなる。単純化されたエラー測定を与える
ことに依って演算を単純にする、代替方法が存在する。

【００５６】この方法は、放物線をスプラインに変換
し、なおかつ、オリジナルのスプラインの“y ”曲線と
新しい放物線スプラインの“y ”曲線の間の面積を最小
限にすることを包合している。“x ”曲線間のエラーは
無視されるので、このアプローチは可視性面積アプロー
チほど正確でない。それは、しかし、計算時間が短縮す
る認められる結果を導く。

【００５７】与えられる放物線のセクションは、従っ
て、次のようになることが示されることができて、

【数１５】同じスプラインは、従って、４つのポイントで識別され
ることができる。

【数１６】

【数１７】

【００５８】放物線と同じスプラインが与えられると、
エラー項は、式(9) に与えられているエラーと同じ方式
で計算されることができる、すなわち、

【数１８】ここで、q(u)は、式(3) で与えられるスプラインｙの式
である。

【数１９】

【００５９】この積分の評価は、下記と同じエラーの値
になる。

【数２０】

【００６０】このエラー項は、スプラインと放物線をオ
リジナルに変換し、ｘ0 とｙ0 をゼロにセットして単純
にされることができる。次に示すのは、その結果であ
る。

【数２１】

【００６１】ａに関する面積エラーの消失がゼロに等し
くされる場合、面積の違いを最小限にするａの値の結果
になる。この値は次の式から与えられる。

【数２２】

【００６２】放物線がオリジナルに変換されると、これ
は次の値になる。

【数２３】

【００６３】ａの値が見いだされると、面積エラーは式
(29)または式(30)を用いて計算されることができる。面
積エラーが公差内の場合、放物線が与えられたａをもち
且つポイント( ｘa ，ｙa)と( ｘa ，ｙb)を通る事実が
与えられると、ｂとｃの値を評価することが、直線的な
前向きの手法になる。

【００６４】第２オーダーの連続性の維持１つの放物線をスプラインにマッチングする時に、３つ
の自由度を使用できる。これらは放物線のａ、ｂ、ｃ係
数である。“両方の終了ポイントがマッチングしなけれ
ばならない”２つの制約条件を与えることに依って、自
由度は１に減少される。そこで、１つの余計な制約条件
を与えることができる。前述のように、これは“面積エ
ラーを最小限にする”ために行われる。

【００６５】従って、更なる制約条件は与えられること
ができない。特に、スプラインの終了ポイントの放物線
のスロープに対する制約条件は与えられることができな
い。

【００６６】その結果、前述の方法の何れかに依って求
められる“最小面積”放物線は、それが許容第２オーダ
ー連続性をもてないので、最適可視性マッチングになら
ない。変換アルゴリズムは、角度公差を用いて角度の違
いを説明することもできる。

【００６７】違いは、スロープに関してでなく、角度で
好都合に測定される。これは、角度が90゜に近づくにつ
れて、大きいスロープの違いは狭い角度の違いに変換す
るが、小さいスロープの違いは、大きい角度の違いに狭
い角度（０度に近い）で変換するためである。

【００６８】第２オーダーの連続性を維持するために、
そこで、スプラインと放物線の開始と終了ポイントの角
度は指定された公差内でマッチングしなければならな
い。開始角度が公差内であるかどうかについて決定する
手順は、次のように説明されることができる、 spline_angle = P0 のスプラインの正接が水平になる角度を計算する parabola_angle = ポイントP0の放物線の正接が水平になる角度を計算する IF (spline_angle - parabola_angle)の絶対値が角度公差外になる THEN TRUEにリターン ELSE FALSE にリターン ENDIF

【００６９】類似のチェックがスプラインの終わりのポ
イントで行われるべきである。

【００７０】スプラインが面積公差とマッチングしたけ
れでも、角度公差に何れかの終了で入らない場合、（そ
れにもかからず）面積エラーは公差内に入ったままで、
角度を公差内に調整することができる。これは、大きい
角度エラーを示す終了ポイントを選択し、なおかつ、公
差内に入るまで放物線の角度をスプラインに向けて動か
すことに依って達成される。このポイントで、新しい放
物線は次に示す方式で計算される。

【００７１】放物線が２つのポイント( ｘa ，ｙa)と(
ｘb ，ｙb)を通り、且つ( ｘa ，ｙa)の放物線のスロー
プがｍa であることが与えられると、これは次に示す結
果になる。

【数２４】

【００７２】これらを同時に解くと、次のようになる。

【数２５】

【００７３】新しい放物線は次にその角度と面積エラー
に対してチェックされることができる。それが公差内の
場合、それは許容される。そうでない場合、スプライン
は、可視性面積エラーの最小限化という名称の項目で既
に説明されたようにして分割される。

【００７４】２つの放物線のマッチングここで図２を見ると、１つのスプライン21にマッチング
されている１つの放物線QPF22 が図示されている。

【００７５】ここで図３を見ると、スプライン24に同様
にマッチングされることができる２つの放物線 QPF1 25
と QPF2 26が図示されている。

【００７６】２つの放物線をマッチングすると、７つの
自由度が得られる。すなわち、各々放物線のａ、ｂ、ｃ
係数、それらが結合するポイントのｘ座標である。次に
示す制約条件が、従って、１つの自由度をそのまま維持
しながら、適用されることができる。 - 第１の終了ポイント27がマッチングしなければならな
い、 - 第１の終了ポイント27のスロープがマッチングしなけ
ればならない、 - 第２の終了ポイント28がマッチングしなければならな
い、 - 第２の終了ポイント28のスロープがマッチングしなけ
ればならない、 - 両方の放物線が指定された結合ｘ座標30で会わなけれ
ばならない、 - 放物線のスロープは結合ポイントでマッチングしなけ
ればならない。

【００７７】言い換えれば、第２オーダーの連続性を維
持する放物線に対して保証する、制約条件が与えられる
ことができる。同時に、１つの自由度は、面積エラー29
を最小限にされることを可能にしたままの状態を続け
る。

【００７８】自由度が放物線が出会う30でポイントのｘ
座標（ｘjoin）を選択することに依って実施される場
合、前述の制約条件は、次のようにセットされて数学的
に表現されることができる。

【００７９】２つの終了ポイントが( ｘa ，ｙa)と( ｘ
b ，ｙb)であり、なおかつ、各々がｍa とｍb のスロー
プを各々もつ場合、次のようになる。

【数２６】

【００８０】上の同じ式を解くと、次のことが示される
ことができる。

【数２７】

【００８１】前述の解法はｘa とｘb 間（しかし両端を
含めない）のｘjoinの全ての値に対して有効であること
に注目すべきである。言い換えれば、２つの終了ポイン
ト間の任意のｘ座標が結合ポイントとして選ばれること
ができる。これは、結合は０と１の間（両端を含めな
い）の任意の値に依って与えられるスプラインのｘ座標
で行われることができると言うことと同じである。

【００８２】面積の最小限化２つの放物線が見いだされると、それらとオリジナルの
スプライン間の面積エラーが計算されることができる。
これは、可視性面積エラーの最小限化という名称で既に
説明された方法または代替面積最小限化という名称の方
法の何れかに依って行われることができる。

【００８３】面積エラー計算の演算は、スプライン24も
ｘjoinに対応するｕの値で２つに分割される場合に容易
に行われることに注目すべきである。このようにして、
１つの放物線の関係が、各々分割の面積エラーを計算す
るために用いられることができる。結果も加えられるこ
とができる。スプラインを分割する定則が、次に概略的
に説明される。

【００８４】ｘjoinのために選ばれた最適値が面積エラ
ーを最小限にする値になる。該解法に隠れている演算の
紛らわしさは、適切な最小限化の発見のために単純化さ
れた数値方法が最適な状態で用いられることを意味す
る。単純化された数値方法の例の場合、面積エラーは
0.1, 0.2, .. 0.8, 0.9 のｕの値に対応するｘjoinに相
応して計算され、なおかつ、これらの最小値が選ばれる
ことができる。

【００８５】３つ以上の放物線のマッチング２つの放物線をスプラインにマッチングするために用い
られる方式と類似の状態で、３つ以上の放物線は、 - スプラインの終了ポイントのスロープがマッチングす
ることを保証し、且つ - スプラインの終了ポイント間の放物線の結合ポイント
を調整することに依ってマッチングされることができ
る。

【００８６】これは可能であるが、関連される演算は、
使用できる自由度の数のために非常に複雑になる（すな
わち、結合ポイントの全てのポジション）。最適な解法
を求めることは、長い、コンピュータ計算集中数値最適
化方法の使用を要求する。１つの該方法が後で説明され
るが、今の方法の場合、2-放物線アプローチは適切な結
果を導かない時に、スプラインは分割され、なおかつ、
次のスプラインがマッチングされる。

【００８７】反復変換方法前述の内容が与えられると、反復変換アルゴリズムが次
のように作成されることができる、 IF スプラインが平坦性公差内 THEN それを終了ポイントを結合する直線に変換するリターン ENDIF スプラインの最小面積単一放物線を計算する（すなわちα，β，γ，ａ，ｂ） IF ａがその許容限界外 THEN ａを最も近い限界にセットする ENDIF 最終放物線とスプラインの間の面積エラー項を計算する IF 面積が面積公差内に入らない THEN 2-放物線マッチングが要求される ELSE スプラインと放物線に適した開始と終了角度を計算する IF 開始と終了角度が公差内 THEN 放物線をQPF に変換する 2-放物線マッチングが要求されない。 ELSE IF p3 の角度がp0の角度より広く変位する場合 THEN 新しい放物線をｐ0 とｐ3 に基づいて、ｐ3 の角度がスプラインのp3 角度になるように、角度公差に依ってオフセットされるように計算する IF 新しい放物線が限界内に入り、好ましい角度をｐ0 でもち、なおかつ、好ましい面積エラーをもつ THEN 新しい放物線をQPF に変換する。 2-放物線マッチングは要求されない。 ELSE 2-放物線マッチングが要求される。 ENDIF ELSE 新しい放物線をｐ0 とｐ3 に基づいて、ｐ0 の角度がスプラインの p0角度になるように、角度公差に依ってオフセットされるように計算する IF 新しい放物線が限界内に入り、好ましい角度をｐ3 でもち、なおかつ、好ましい面積エラーをもつ THEN 新しい放物線をQPF に変換する。 2-放物線マッチングは要求されない。 ELSE 2-放物線マッチングが要求される。 ENDIF ENDIF ENDIF ENDIF IF 2-放物線マッチングが要求される THEN FOR u = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 （例えば） DO スプラインのｘ座標( ｘs)をｕの今の値のために計算するスプラインとマッチングし且つｘs で結合する２つの放物線を計算するスプラインと放物線間の面積エラーを計算する IF 各々放物線のａの値が限界内で且つ面積エラーが許容公差内 THEN 適切な2-放物線マッチングが見つけられたことを記録する IF 面積エラーが見つけられた任意のマッチングより優れている THEN 今のマッチングを最適マッチングとしてインストールする ENDIF ELSE IF 適切な2-放物線マッチングがまだ見つけられず且つ面積エラーが見つけられた任意のエラーより優れている THEN 今の放物線を最も近い競合者としてインストールする ENDIF ENDIF DONE ENDIF IF 適切な2-放物線マッチングが見つけられた THEN 放物線をQPF に変換する ELSE 最も近い競合者の結果になったｕの値でスプラインを分割する全体のプロセスを繰り返して、各々サブスプラインを別々に変換する ENDIF

【００８８】スプラインの分割スプラインをQPF 変換するために、数多くの位置でスプ
ラインを分割する必要がある。例えば、 - 適切なマッチングが行われることができない場合、ス
プラインが分割されて、サブスプラインがマッチングさ
れる。 - 2- 放物線マッチングの面積エラーを評価する時に、
計算は、オリジナルのスプラインが放物線の結合ポイン
トで分割される場合に単純化される。

【００８９】これを行うために、スプラインを２つのサ
ブスプラインに分割する定則が必要とされる。ポイン
ト( ｘ0 ，ｙ0)、( ｘ1 ，ｙ1)、( ｘ2 ，ｙ2)、( ｘ3
，ｙ3)に依って定義され与えられたスプラインが与え
られたｕの値で分割される場合、２つのサブスプライン
は自らBezierスプラインになる。最初のサブスプライン
はポイント( ｘa0，ｙa0) 、( ｘa1，ｙa1) 、( ｘa2，
ｙa2) 、( ｘa3，ｙa3)に依って、第２はポイント( ｘb
0，ｙb0) 、( ｘb1，ｙb1) 、( ｘb2，ｙb2) 、( ｘb
3，ｙb3) に依って定義され、ここで

【数２８】類似の計算がｙに対しても実施される。

【００９０】最適化方法を用いるオブジェクト変換前述のように、コンピュータ・ベース・グラフィック・
システムでは、各々オブジェクトは、普通は、特定のオ
ブジェクトのアウトラインを形成するスプラインの集ま
りから作られている。例を用いて説明すると、文字のシ
リーズの文字は、その文字の全体的な形式が特定のフォ
ントに適合し、スプラインの僅かの変形がフォントの変
化になるように、設定されるスプラインのシリーズとし
て一般的に記憶される。本実施態様は文字フォントを作
るスプラインの処理に特に有用であるが、それは、それ
に限定されない。

【００９１】QPF を用いて特定のイメージを作動するシ
ステムは、一定の数のQPF を任意の特定の時に処理する
限られた記憶機能と限られた容量をもつと思われる。従
って、スプラインをQPF に変換する時に、各々グラフィ
ック・オブジェクトに対して生成されるQPF の数が最小
限に保持されることを保証することが重要である。本方
法は、記憶スペースが最小限にされ且つ計算時間が満足
できる解法の計算に使用できる時に、最も効果的に使用
される。

【００９２】式(3) から見られることができるように、
総称的スプラインのｘとｙの値は、次の形式で表現され
ることができる。

【数２９】また、QPF は式(4) で表現される形式をとる。

【００９３】全体的なオブジェクトがx-y 面上で作動さ
れると想定すると、スプライン・フォーマットは、数多
くのｙの値が与えられたｘの値に対して存在できて、な
おかつ、逆に円と楕円が容易に作動されることができる
ように曲がるので、特に優れたものになる。

【００９４】QPF を用いてスプラインを近似化する際
に、QPF で数多くのｙの値を１つのｘの値のために得る
ことができないので、円と楕円のような曲線は、数多く
のQPFセグメントに依って表されなければならない。

【００９５】スプラインを対応するQPF に変換する時
に、この問題を解決する１つの方法は、ｕに関してｘで
スプライン関数の回転ポイントを考えることである。こ
れらの回転ポイントは次の式を解く時に生じる。

【数３０】

【００９６】この式の答は、スプラインがｕに関して回
転ポイントになるパラメータｕの値になる。式(63)は２
つまで個別の答をもつが、これは、スプラインがｘに関
して３つ以上の回転ポイントを含むことができないこと
を意味する。従って、与えられたスプラインは、ｘの３
つの或る値が設定された値の関数の最大値で作られるこ
とができる。従って、スプラインをその回転ポイントで
分割することに依って、ｘの１つの値の関数に、自らな
るブランチに与えられたスプラインを分割できる。本方
法の趣旨からして、式(61)と式(62)はｘの１つの値の関
数を形成するスプラインに対応するように、このプロセ
スが実施されることが想定される。

【００９７】スプラインをQPF で近似化する優れた特徴
が、同じ横座標をもつポイントの縦座標間の距離を実際
に最小限にしようとする。しかし、ほとんどのケース
で、１つのQPF だけでは、好ましい結果を得るのに適し
ていない。

【００９８】従って、N QPF に依るスプラインの近似化
を考える更に一般的な方式で問題の解法を定則化するこ
とが妥当と思われる。

【００９９】ここで図４を見ると、N QPF の 32, 33, 3
4 などに依って近似化されるスプライン31の一般的なケ
ースが図示されている。

【０１００】各々QPF は次のような形で表される。

【数３１】

【０１０１】ここで我々は、スプラインと N QPF の１
つの間の違いの測定35を、ｘの特定の値に対して、スプ
ライン31のｙ値を求め、まず次のように逆元し、

【数３２】なおかつ、式(62)を用いてｙを決定することに依って定
義できる。違いの測定35は、そこで、次のように定義さ
れることができる。

【数３３】

【０１０２】スプラインとQPF 間の面積エラーの測定
は、そこで、式(9) と同様に定義されることができる。

【数３４】

【０１０３】ここでｐ-1(xは式(61)で定義される３次関
数ｐ(u) の逆元である。スプラインはｘの１つの値の関
数でなければならないという制約条件の結果として、該
逆元が存在し且つ独自に決定される。

【０１０４】式(68)の積分は、QPF とスプライン間の面
積の絶対値測定を表していて、ゼロより大きいか等しく
て、なおかつ、スプラインとQPF が間隔 [Ｘj ，Ｘj+1]
で一致する場合にだけ０に等しくなる。従って、この
積分を最小限にすることに依って、我々は、QPF とスプ
ライン間の面積エラーを減少させる。

【０１０５】まず、式(68)の逆元ｐ-1(x) は実際に評価
することが難しいと思われる。３次関数の逆元を求める
方法は存在するが、この積分を評価する優れた方法は、
変数を巧みに変えて式(68)の積分を再調整することであ
る。

【０１０６】x = p(u) の変数の変更を実施し、なおか
つ、dx = p'(u) と pー1(p(u)) = uに注目すると、式(6
8)は次のようになり、

【数３５】ｕi に依りｘi = ｐ(ui) になる。

【０１０７】式(69)の積分は、２次式であり且つ数値技
術なしで正確に評価されることができるので、評価が非
常に単純になる。

【０１０８】ここで、式(68)は、スプラインの特定の伸
びをQPF で近似化する際に生成されるエラーの可能な測
定手段として見られることができる。式(31)が与えられ
ると、このエラーは、QPF i,ｎi 0 と分割ポイント i,
ｘi+ のパラメータの関数になる。

【０１０９】我々はここで N QPF の各々に対するエラ
ーの関与をまとめてみると、我々は、次に示すトータル
・エラーの全体的な測定結果を得る。

【数３６】

【０１１０】ｐ(u と q(u が与えられと、Err は、N QP
F の各々が i, ｎi 0 となる３つの自由度を与えるの
で、4N-1 変数の関数になる。更に、QPF の結合ポイン
トは、全体で N-1 変数の結果になる、スプラインの終
了ポイントと一致するように式(65)に依って固定され
る、ｘO とｘN と別に、更なる変数も提供する。

【０１１１】従って、最初の例の場合、スプラインを N
QPF で近似化することは、目的の関数および 4N-1 パ
ラメータを調整することに依ってErr を最小限にするこ
とがスプラインと N QPF 間の“距離”を短縮するの
で、Err に依る 4N-1 次元空間の最小限化問題として定
則化されることができる。

【０１１２】残念なことに、式(70)を自ら最小限化して
も、スプラインとQPF 間の違いの測定35を減少すること
が隣接する QPF 36, 37 の連続性を保証しないので、非
常に高品質の結果を与えないと考えられ、これはイメー
ジの厳しい変質を招くことになる。そこで、終了ポイン
トの連続性も好都合に実施されるべきである。

【０１１３】ここで図５を見ると、QPF の連続性を保証
するために、式(70)を更に限定する必要がある。例え
ば、QPF 39, 40 はそれらの終了ポイント41で連続して
いる。

【０１１４】この更なる限定条件を満足するために、次
に示す制約条件がQPF に設定されなければならない。

【０１１５】我々の近似化曲線の開始ポイントは、スプ
ラインの１つの末端と一致していなければならない。

【数３７】

【０１１６】各々QPF は次のQPF と一致していなければ
ならない。ここで、ｆ0(x1 は、f1(x1,f1(x2, 〜 2(x2
などと等しくなければならない。普通のケースでは、

【数３８】

【０１１７】最後に、我々の近似化するQPF の末端はス
プラインの末端と一致していなければならない。

【数３９】

【０１１８】これは、QPF に対する更なる N+1 制約条
件が連続する近似化曲線を保証することを要求する。従
って、N+1 制約条件を加えると、我々は、4N-1 自由度
で最小限化問題をもはや持てなくなり、3N-2 度だけに
なる。

【０１１９】近似化関数の連続性を保証するほかに、近
似化曲線は、人間の目が終了ポイント41に現れる場合が
ある曲線の微分係数の鋭い変化に非常に敏感であること
を考慮して、更に改善されることができる。

【０１２０】従って、好都合に調査スペースは、各々終
了ポイントの微分係数の連続性も達成されるように更に
限定される。

【０１２１】まず、QPF の微分係数と開始ポイントのス
プラインの微分係数は、

【数４０】鎖の規則に依ってポイントｘ0 = ｐ(ua)でスプライン
の微分係数となるq'(ua)/p'(ua) と一致しなければなら
ない。

【０１２２】そこで、QPF の微分係数も各々結合で同じ
になければならない。

【数４１】

【０１２３】結局、最後のQPF の微分係数は終了ポイン
トのスプラインの１つと等しくなければならない。

【数４２】

【０１２４】微分係数の連続性の保証は、従って、残り
の 2N-3 自由度の合計に結果としてなる最小限化問題に
別の N+1 の制約条件を加えることになる。

【０１２５】要するに、最小限化問題の定則化に於ける
主な課題は、次に示すように、 - その最小限化がスプラインとQPF 間に於ける最適のマ
ッチングを与える関数を開発することと、 - 近似化関数の連続性を与えるために調査スペースに制
約条件を加えることと、 - 近似化関数の第１微分係数の連続性を与えるために更
なる制約条件を加えることになる。

【０１２６】最終的な近似化関数は、従って、制約条件
を問題に置くことは問題の異なる変数の中に関係を設定
すること従って独自の変数の数を減少することと同じこ
とになるので、2N-3 の独自変数をもつ関数として表現
されることができる。従って、或る変数を他の関数とし
て表現し且つそれらを目的関数に代入できるので、これ
は、このケースに於いて式(68)になるので、独自変数の
数を減少させる。

【０１２７】本実施態様に現れると思われる１つの更な
る問題は、スプラインの微分係数が無限大に近づくこ
と、例えば、スプラインが円のフラグメントを形成する
場合である。この問題は、スプラインの終了ポイントに
特に現れると思われる。

【０１２８】この問題を処理する１つの方法は、過大な
傾斜が直線と見なされ且つ“係数限界”という名称のセ
クションで既に概略的に説明されたようにして処理され
る、過大な傾斜を処理する別の試験を行うことである。

【０１２９】最適化理想的には、残りの変数の全ての可能性のある値が、ど
の特定の値のセットが最も低い目的関数を生成するかど
うかについて決定するために評価されることができると
思われるが、これは、使用可能な変数の変形が余りにも
多すぎるために、ほとんどの場合、実際には不可能であ
る。

【０１３０】数多くの異なる方法が、可能性のある種々
の変形の過剰な数をもつ問題を最適化する技術として知
られている。最も急激に下降するアルゴリズムとして知
られている、最初の単純な例の場合、変数は、調査スペ
ースの変形が目的関数の傾斜の逆方向になるように変え
られるので、それを最小限にする傾向を示す。残念なこ
とに、この最適化方法は、局部的な最小限の状態でしば
しば突き刺される状態になり、最適化解法を見いだすこ
とができなくなる。

【０１３１】アニーリング法本実施態様の場合、目的関数の最適化の好まれる方法は
アニーリング法を用いることである。アニーリング法の
プロセスの詳細な説明は、S. Kirkpatrick, C.D. Gelat
t, Jr., と M.P. Vecchi, (1983) Science, 220: 671-6
80 に依る“アニーリング法に依る最適化”に記載され
ている。アニーリング法のプロセスの概略的な説明は、
次のように行われる。

【０１３２】アニーリング法のプロセスの第１のステッ
プは、目的関数として一方の問題を記すことであり、変
数ｘ1 〜ｘm のセットは、

【数４３】

【０１３３】目的関数は、その変数ｘ1 〜ｘm の今の値
に依存せずに与えられた値に相応して評価されることが
できる。

【０１３４】変数ｘ1 〜ｘm の値は僅かのランダムな変
化が与えられ、なおかつ、目的関数は再評価されて目的
関数の古い値と比較される。目的関数の変化は△obj と
して引用される。

【０１３５】変数の変化が低い目的関数の結果になる場
合、変数の新しいセットが常に受け入れられる。変数の
変化が目的関数に対して高い値の結果になる場合、変数
の新しいセットは受け入れられる場合もあり或いは受け
入れられない場合もある。変数を受け入れるための決定
は、与えられた確率で決定され、受け入れの好まれる確
率は次のようになる。

【数４４】ここで、Ｔはシステムのシミレーションされる“温度”
である。

【０１３６】そこで与えられた△obj の場合、高い温度
Ｔはｘ1 〜ｘm の値の変化の高い確率の受け入れの結果
になるが、低い温度Ｔでは僅かの確率の受け入れにしか
ならない。温度Ｔは、始めは非常に高くセットされ、な
おかつ、アニーリング・ループの各々反復で少し減少さ
れる。アニーリング法のプロセスを実現するプログラム
の全体的な構造は、次のようになる。 T = start_temperature; variables = start_variables loop_until (convergence or temperature_to_cold) { /* generate random change of variables */ new_variable = random_small_change(variables); /* evalute random change */ Δobj = objective_function(new_variables) - objective_function(variables); if (Δobj <= 0) { /* always accept improvements */ variables = new_variable; } else if (random_float_between_0_and_1() < exp (-Δobj/T)) { /* sometimes accept degradation */ variables = new_variables; } else { /* reject new variables */ } decrease T slightly, according to annealing schedule; } }

【０１３７】前述のアルゴリズムを実現する際に使用す
るフローチャートが図６に図示されている。

【０１３８】本方法の場合、用いられる目的関数は、そ
の式を変更すると適切な結果を生成できるが、式(68)に
図示されているようにして好都合に定義されることがで
きる。

【０１３９】終了ポイント変位方法スプラインをQPF に変換する第３の方法がここで説明さ
れる。この方法は、オーダーにつくために先端で連続し
て表されている閉ループを形成するスプライン構造で使
用するために特に作られている。この方法の場合、スプ
ラインをQPF に最小限度の時間で変換する方法を提供し
ながら、グラフィック出力の品質に逆効果を与えない最
終的なQPF に人為的な結果を導かない堅固な方法を提供
することが望まれる。他の目的は、放物線セクション間
で位置的な連続性を維持しながら作成されるQPF の数を
最小限にして、スプライン輪郭と等価なQPF が閉じられ
た状態のままであることを保証することである。更に、
放物線セクション間のスロープの連続性は、予め設定さ
れた公差内に維持されるので、ソース・スプラインに対
して目で見える滑らかな近似化の妥当な確率を保証する
ことになる。

【０１４０】本方法は、スプラインを放物線に必要にお
うじて変換する手段を提供するので、スプライン・フォ
ーマットされたイメージの任意の拡大縮小と回転が、曲
線幾何学の放物線形成に対する要求を満足しながら達成
されることができる。

【０１４１】前述の方法で注目されたように、式(1) に
与えられているスプラインの説明は多重に値が設定され
ているスプラインを容易に定義することができる。すな
わち、各々(X) ピクセル値に対して、２つ以上の(Y) ラ
インの値が存在できる。これを克服するために、方法
は、まず、各々スプラインの代数学的要素を調べ、スプ
ラインを必要におうじて分割する。

【０１４２】式(1) に与えられているスプラインのパラ
メトリック関係式は８つの自由度を２つの次元(X,Y) で
もち、なおかつ、これらの自由度は開始と終了ポイント
をそれらの各々正接方向で指定してしばしば決定される
ことができる。QPF の放物線フォーマットは、式(4) で
与えられるように、３つの自由度をもち、なおかつ、こ
れらは２つの可能性のある方式の１つで普通は指定され
る。すなわち、 - １端の開始ポイント、終了ポイント、スロープを指定
するか、または - 両端の開始ポイントとスロープを指定する。

【０１４３】後の説明は、スプラインをQPF の集まりに
変換するこの方法の基準として用いられる。

【０１４４】ここで図７を見ると、スプライン42の開始
ポイント43からの特性計算の始まりが図示されている。
この開始ポイントから、放物線46は、それが開始ポイン
ト43を通り且つ与えられたスプラインと同じ開始と終了
スロープをもつように計算される。

【０１４５】放物線46の放物線44の終了ポイントのＸ値
が、次に測定され、スプライン45の終了ポイントと比較
される。ライン方向47の変位が予め設定された公差より
小さい場合、放物線46はスプライン42の十分に正確な近
似として認められ、方法は次のスプラインに適用される
か、或いはスプライン42は既に概略的に説明された方法
を用いて２つのスプラインに分割され、方法はスプライ
ン42の各々半分に対して繰り返し適用される。

【０１４６】ここで図８を見ると、前の放物線48が計算
されると、前の放物線49の終了ポイントは、放物線は要
求されるスロープの連続性だけでなく位置的な連続性も
維持しながら、今のスプライン50の開始ポイントよりむ
しろ今の放物線51の開始ポイントとして用いられる。

【０１４７】前述の放物線曲線表示は、傾斜が最も大き
いと考えられる傾斜を越えるように行われるので、垂直
または垂直に近いスロープと一致することができない。
これを克服するために、方法は、別々にこの条件を検出
して、対応するQPF のスロープを最大のプラスまたは最
大のマイナス・スロープにセットする。

【０１４８】プロセスがスプライン輪郭の周囲を進むに
つれて、位置とスロープの両方の連続性はQPF セグメン
ト間で接触される。輪郭を近づけるために、しかし、放
物線を計算して、開始ポイントと終了ポイントと開始ス
ロープを通る代替解法が用いられなければならない。こ
れは、最後と最初の放物線セグメントの間のスロープ制
約条件に影響する。

【０１４９】このイベントの目に見える有意性が、与え
られたスプライン輪郭を前処理することに依って大半の
条件を実質的に克服できるので、開始ポイント43は、最
初のQPF 近似化の場合、スロープの非連続状態から開始
する。従って、アルゴリズムが終了すると、スロープ連
続性にマッチングする要求はなくなる。

【０１５０】スロープの非連続性がスプライン輪郭に存
在しない場合、方法は、終了スロープのために最後の放
物線の開始スロープを変更することに依って、終了する
非連続性の影響を更に減少できるので、最終的な終了の
非連続性の目に見える衝撃は最小限にされる。

【０１５１】最後の放物線を２次的な放物線に分割する
必要があるかどうかについて決定する基準として、放物
線に沿うどこかのポイントが用いられることができて、
なおかつ、放物線とその対応するスプラインの間の距離
が測定される。好まれるポイントは、放物線の長さの約
2/3 になるポイントである。この距離が予め設定された
量より長い場合、スプラインと対応する放物線は分割さ
れて、プロセスが継続される場合がある。

【０１５２】

【発明の効果】前述の説明は、当業者にとって明かな、
２次多項式ベース表示と変更にスプライン・ベース・グ
ラフィック・オブジェクト表示を変換する数少ない実施
態様だけが、本発明の範囲から逸脱せずにそこに実施さ
れることを述べるものである。

【０１５３】本発明はBezierスプライン以外のスプライ
ンに適用できるが、BezierスプラインをQPF に変換する
ことに関する本発明の好まれる実施態様は、次に示す図
面を参照してここで説明される。

【図面の簡単な説明】

【図１】曲線の説明に用いられる適切なQPF データ要素
と１つのQPF の図解である。

【図２】スプラインとその対応するQPF 間の面積の違い
を示す図である。

【図３】図２と似ているが、２つの放物線と１つのスプ
ラインのマッチングを示す図である。

【図４】N QPF をスプラインの部分に組み込むプロセス
を示す図である。

【図５】QPF 間の連続性が維持されている図４のプロセ
スを示す図である。

【図６】アニーリング法のプロセスを図示するフローチ
ャートである。

【図７】スプラインをQPF に変換する第３の方法の開始
の図解である。

【図８】スプラインをQPF に変換する第３の方法の継続
する様の図解である。

【符号の説明】

21…スプライン 22…QPF 23…違い

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者ジムマルハーンオーストラリア国 2122 ニューサウスウェールズ州，イーストウッド，ロウストリート 327 (72)発明者ビンセンゾアルトロルカリグオリオーストラリア国 2088 ニューサウスウェールズ州，モスマン，ラグランエスティー 238，ユニット７ (56)参考文献特開平４−116690（ＪＰ，Ａ) 特開平３−121575（ＪＰ，Ａ) (58)調査した分野(Int.Cl.⁷，ＤＢ名) G06T 11/20 110 G09G 5/20

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】複数のスプライン・フォーマットに依っ
て記述されるコンピュータ化グラフィック・システムの
オブジェクトを複数の２次多項式フラグメント(QPF) に
依って記述される対応するオブジェクトに変換し、変換
したQPFデータを用いて、出力装置のスキャンライン上
でオブジェクトのピクセル位置を決定する方法であっ
て、前記オブジェクトの各スプラインについて、 (a) 開始ポイントと終了ポイントを前記スプライン上で
選択し、かつ対応するQPF上で対応する開始ポイントお
よび終了ポイントと同じものを指定するステップと、 (b) スプラインのコントロール・ポイントから、前記QP
Fを記述する２次多項式の係数を決定するステップと、 (c) スプラインと２次多項式間のエラーが予め設定され
たレベルより低いかどうかについて決定するために前記
係数を使用するステップと、 (d) その場合、前記係数から、前記２次多項式を記述す
るQPFデータを決定するステップとを具備する方法。
【請求項２】エラーが前記予め設定された量より低く
ない場合、 (e) 前記スプラインは少なくとも２つのサブスプライン
に分割され、分割された各々について対応するQPF を決
定し、前記サブスプライン各々に対してステップ(a) か
ら(d) を繰り返すステップと、 (f) 各２次多項式と対応するサブスプライン間のエラー
が予め設定されたレベルより低くなるまで必要に応じて
ステップ(e) を繰り返すステップとを更に具備する請求
項１に記載の方法。
【請求項３】複数のスプライン・フォーマットに依っ
て記述されるコンピュータ化グラフィック・システムの
オブジェクトを複数の２次多項式フラグメント(QPF) に
依って記述される対応する２次多項式フラグメント(QP
F) オブジェクトに変換し、変換したQPFデータを用い
て、出力装置のスキャンライン上でオブジェクトのピク
セル位置を決定する方法であって、前記オブジェクトの
各スプラインについて、 (a) 開始と終了ポイントを前記スプライン上で選択し、
且つ対応するQPF オブジェクト上の複数のQPF について
対応する開始および終了ポイントと同じものを指定する
ステップと、 (b) スプラインのコントロール・ポイントから、前記各
QPF を記述する２次多項式の係数を決定するステップ
と、 (c) スプラインと２次多項式間のエラーが予め設定され
たレベルより低いかどうかを決定するために前記係数を
使用するステップと、 (d) その場合、前記係数から、前記２次多項式を記述す
るQPF データを決定するステップとを具備する方法。
【請求項４】エラーが予め設定された量より低くない
場合、 (e) スプラインを少なくとも２つのサブスプラインに分
割し、分割された各々について対応する２次多項式を決
定し、前記各サブスプラインに対してステップ(a) から
(d) を繰り返すステップと、 (f) 各２次多項式と対応するサブスプライン間のエラー
が予め設定されたレベルより低くなるまで必要におうじ
てステップ(e) を繰り返すステップとを更に具備する請
求項３に記載の方法。
【請求項５】前記のエラーが前記のスプラインと前記
のQPF 間の面積の測定結果を含んでいる請求項１に記載
の方法。
【請求項６】前記のエラーが前記のスプラインの終了
ポイントと前記のQPFの終了ポイント間の角度の測定結
果を含んでいる請求項１に記載の方法。
【請求項７】前記のエラーが前記のスプラインと前記
のQPF 間の面積の測定結果と、前記のスプラインの終了
ポイントと前記のQPF の終了ポイント間の角度の測定結
果を含んでいる請求項１に記載の方法。
【請求項８】前記のエラーが前記のスプラインと前記
のQPF 間の面積の測定結果を含んでいる請求項３に記載
の方法。
【請求項９】前記のエラーが前記のスプラインの終了
ポイントと前記のQPFの終了ポイント間の角度の測定結
果を含んでいる請求項３に記載の方法。
【請求項１０】前記のエラーが前記のスプラインと前
記のQPF 間の面積の測定結果と、前記のスプラインの終
了ポイントと前記のQPF の終了ポイント間の角度の測定
結果を含んでいる請求項３に記載の方法。
【請求項１１】コンピュータ化グラフィック・システ
ムのオブジェクトの部分を、複数の２次多項式フラグメ
ント(QPF) に依って記述される対応するオブジェクトに
変換し、変換したQPFデータを用いて、出力装置のスキ
ャンライン上でオブジェクトのピクセル位置を決定する
方法であって、 (a) 前記の閉ループの第１スプラインを選択し、且つ前
記の第１スプラインについて、(i) 第１スプラインの
開始ポイントに対応するQPF 開始ポイントを選択し、(i
i) 前記のスプラインと同じ開始スロープと同じ終了ス
ロープとを有する対応する開始QPF を計算し、(iii) 前
記のQPF の終了ポイントと前記の第１スプラインの終了
ポイント間の違いを測定し、(iv) 前記の違いが予め設
定された公差より小さい場合、第１スプラインに対して
十分な精度の近似として前記の開始QPF を承認し、且つ
閉ループの他のスプラインに対してステップ(b) と(c)
に進み、(v) 前記の違いが予め設定された公差より小
さくない場合、前記の第１スプラインを少なくとも２つ
のスプライン部分に分割し、且つステップ(a) を前記の
第１スプラインの第１部分に、ステップ(b) と(c) を他
の部分に適用するステップと、 (b) 前記の閉ループの中間スプラインの全てについて
(i) 既に計算されていたQPF の終了ポイントを今のQPF
の開始ポイントとして選択し、(ii) 対応する前記の中
間スプラインと同じ開始スロープと同じ終了スロープを
備えた今のQPFを計算し、(iii) 前記の今のQPF の終了
ポイントと前記の対応する中間スプラインの終了ポイン
ト間の違いを測定し、(iv) 前記の違いが予め設定され
た公差より小さい場合、対応する中間スプラインの十分
な精度の近似として前記の今のQPF を承認し、且つ閉ル
ープの他のスプラインに対してステップ(b) と(c) に進
み、(v) 前記の違いが予め設定された公差より小さく
ない場合、前記の今のスプラインを少なくとも２つのス
プライン部分に分割し、且つ前記のスプライン部分でス
テップ(b) と(c) を実施するステップと、 (c) 前記の閉ループの最終スプラインについて、(i)
既に計算されていたQPFの終了ポイントを最後のQPF の
開始ポイントとして選択し、(ii) 前記の最終スプライ
ンと同じ開始スロープと同じ終了ポイントを備えた最後
のQPF を計算し、(iii) 予め設定された基準が前記の最
後のQPF と前記の最終スプラインの間で満足されている
かどうか決定し、(iv) 前記の基準が満足されている場
合、最終スプラインに対して十分な精度の近似として前
記の最終QPF を承認し、(v) 前記の違いが予め設定さ
れた公差より小さくない場合、前記の最終スプラインを
少なくとも２つのスプライン部分に分割し、且つ前記の
スプライン部分でステップ(b) と(c) を実施するステッ
プとを具備する方法。
【請求項１２】前記の予め設定された基準が最後のQP
F の最初のポイントと最終スプライン上のポイントの間
の距離を測定することを含んでいる請求項１１に記載の
方法。
【請求項１３】前記の最初のポイントが前記の最後の
QPF に沿って約２／３になる請求項１２に記載の方法。
【請求項１４】前記の閉ループが少なくとも１つのス
ロープの不連続性をもつとき、前記の最初のスプライン
の前記の開始ポイントが前記の閉ループのスロープの不
連続点で選択される請求項１１に記載の方法。
【請求項１５】前記の対応するオブジェクトが位置的
な連続性を前記のループ周囲にもつ請求項１１に記載の
方法。
【請求項１６】前記のQPF の傾斜が予め設定された最
大傾斜を越えるとき、前記のQPF の傾斜が前記の予め設
定された最大にセットされる請求項１５に記載の方法。
【請求項１７】前記のQPF の傾斜が予め設定された最
小傾斜より緩い時に、前記のQPF の傾斜が前記の予め設
定された最小にセットされる請求項１５に記載の方法。
【請求項１８】スプラインをベースとしたグラフィッ
ク・オブジェクトを２次多項式フラグメントに請求項１
に記載の方法に従って変換するために適応されるコンピ
ュータ・システム。