JP3321711B2

JP3321711B2 - 準最適出力フィードバック制御器

Info

Publication number: JP3321711B2
Application number: JP10521292A
Authority: JP
Inventors: 興二南原
Original assignee: 興二南原
Priority date: 1992-03-11
Filing date: 1992-03-11
Publication date: 2002-09-09
Anticipated expiration: 2017-09-09
Also published as: JPH05257506A

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【産業上の利用分野】自動設計を可能とすることによ
り，その運用における，無人化・省力化を図った汎用の
制御器に関するものである．

【０００２】

【従来の技術】現在，小規模プラントから，ときにはそ
の計装ループ数が１００を越えることもあるような大規
模プラントまで主として利用されている制御方式は，Ｐ
ＩＤ制御によって占められている．しかし，その設計法
は系統的とはいえず，その安定性と制御性能（速度）を
調和させる調整は人の技能（経験や直感）に頼るところ
が大きい．初期調整あるいは絶えず起こる特性の変化や
目的の変更に応じた再調整を人の技能に頼らざるをえな
いことは，自動化による省力化，無人化を進めるうえで
障害となる．古典的なＰＩＤに対し現代的な制御系設計
法の代表である最適レギュレータ，線型レギュレータ，
極配置法などは理論的裏づけをもっているものの，その
実際の設計には逆行列，固有値，因数分解などの複雑な
数値計算が含まれる．現在知られているこの種の計算機
のための計算法は，多くの処理時間を要するばかりでな
く，その解の精度，信頼性は個々の制御対象に対して定
まる設計方程式のパラメータに依存する．このため，数
値計算の過程を機械的に進めることができず，その精度
を保つために人為的な補助を必要とし自動化できない．
この傾向は制御対象のモデル次数が増加するにつれ顕著
となり，ＰＩＤとは別の意味で系統的な運用を困難にす
る．利用者にとって，制御論，計算論の高度な専門知識
を必要とするこれら現代制御法は，直感的ともいえる理
解だけで調整できるＰＩＤに比べて必ずしも優っている
とはいえず，ＰＩＤが現在でも重用されている理由とも
なっている．そのほかの制御系設計法として，最小分散
制御，モデル予測制御があげられるが，これらは対象シ
ステムに対し最小位相性，むだ時間要素の有無，自己安
定性などに関する各種制限を設けており，適用の範囲に
普遍性を欠く．ために，適用にあたり事前に対象システ
ムを解析しておかなければならないこと，適用範囲外の
対象に対して別の方策を用意する必要があることなど，
系統的な運用が妨げられる．

【０００３】

【発明が解決しようとする課題】以上に述べたように．
従来の制御法は制御器の設計，調整の過程の中に省くこ
とができない人的要素を含んでおり，この過程の無人
化，省力化が困難である．無人化，省力化のために，適
用範囲の普遍性，必要とされる数値計算法を含めた設計
過程に系統性をもつ，自動設計が可能な汎用の制御器を
開発しようとするものである．

【０００４】

【課題を解決するための手段】制御の対象が次の自己回
帰移動平均モデルで与えられているものとする．ただし，ｙ〔ｋ〕，ｕ
〔ｋ〕はそれぞれ番号ｋの時刻における出力および入力
の値であり，ａ_０＝１とする．このシステムに対するｙ
およびｕのある定常値ｙ^＊，ｕ^＊を考える．すなわち，
ｙ^＊，ｕ^＊はを満たしているものとする．ある時刻ｋを起点として有
限時間ｐ，ｑののち，ｙ^＊，ｕ^＊に整定する，すなわちｙ〔ｋ＋ι〕＝ｙ^＊ｆｏｒι＞ｐ，ｕ〔ｋ＋ι〕＝ｕ^＊ｆｏｒι ＞ｑなる有限整定軌道｛ｙ〔ｋ，ｋ〕，ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕，・・・，ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕，ｙ^＊，・・・｝，｛ｕ〔ｋ，ｋ〕，ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕，・・・，ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕，ｕ^＊，・・・｝を考える．なお，ｙ〔ｋ，ｋ＋ｉ〕，ｕ〔ｋ，ｋ＋ｉ〕はｋを起点とする有限整定軌道の時刻
ｋ＋ｉのｙ，ｕの値ｙ〔ｋ＋ｉ〕，ｕ〔ｋ＋１〕を表わ
す．このような軌道に対してΣａ_ｉ・ｙ〔ｋ −ｉ〕，
Σｂ_ｉ・ｕ〔ｋ −ｉ〕はｋ＋ｐ＋ｍ＋１，ｋ＋ｑ＋ｎ
＋１で整定するから，ｐ＋ｍ＝ｑ＋ｎでなければならな
い．さらに，軌道｛ｙ〔ｋ，ｋ＋ｉ〕｝，｛ｕ〔ｋ，ｋ
＋ｉ〕｝が有限整定することより，次の有限整定条件式が成り立つ．ただし，ｙ〔ｋ〕＝〔ｙ〔ｋ，ｋ〕ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕〕^Ｔｕ〔ｋ〕＝〔ｕ〔ｋ，ｋ〕ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕・・・ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕〕^Ｔであり，Ａ，Ｂは（ｐ＋ｍ＋１，ｐ＋１），（ｑ＋ｎ＋
１，ｑ＋１）の大きさをもつ以下のような行列，ｃ〔ｋ〕は以下のような（ｐ＋ｍ＋１）のベクトルである．逆に上の有限整定条件式が成り立つな
らば，軌道｛ｙ〔ｋ，ｋ＋ｉ〕｝，｛ｕ〔ｋ，ｋ＋
ｉ〕｝は有限整定軌道であることは明らかである．以上
に得られた有限整定条件式の解はｒａｎｋ［ＡＢ］＝ｐ＋ｍ＋１（＝ｑ＋ｎ＋１）が満たされるならば，つねに存在する．これが満たされ
るためには，行列［ＡＢ］の列の数が（ｐ＋１）＋（ｑ
＋１）≧ｐ＋ｍ＋１＝ｑ＋ｎ＋１でなければならない．
すなわち，ｐおよびｑはを満たすように決定すればよく，このようなｐ，ｑはつ
ねに存在する．上式にしたがって決定されたｐ，ｑに対
して，なおｒａｎｋ〔ＡＢ〕＜ｐ＋ｍ＋１（＝ｑ＋
ｎ＋１）であったとする．このとき，行列〔ＡＢ〕の
小行列である（ｐ＋ｍ＋１）次正方行列Ｍに対しても
ｒａｎｋＭ＜ｐ＋ｍ＋１＝ｑ＋ｎ＋１となる．ただ
し，であり，Ｎは（ｍ＋ｎ）次正方行列である．行列Ｍの最
初の（ｐ−ｎ＋１）個の列ベクトルはａ_０＝１より他の
列ベクトルとは独立だから，結局ｒａｎｋＮ＜ｍ＋ｎ
つまり，ｄｅｔＮ＝０となっている．一方，（１）式
のシステムを，ｚ^−１ｘ〔ｋ〕＝ｘ〔ｋ−１〕なる遅延
演算子ｚ^−１を用いて表わすと，Ａ（ｚ^−１）ｙ〔ｋ〕＋Ｂ（ｚ^−１）ｕ〔ｋ〕＋ｃ＝０ただし，Ａ（ｚ^−１）＝ａ_０＋ａ_１ｚ^−１＋・・・＋ａ_ｍｚ^−ｍＢ（ｚ^−１）＝ｂ_０＋ｂ_１ｚ^−１＋・・・＋ｂ_ｎｚ^−ｎとなる．ｄｅｔＮは多項式ＡとＢに対する終結式である
から，Ｎが正則でないときＡとＢは既約でない．その共
通因子をγ（ｚ^−１）とし，Ａ（ｚ^−１）＝α（ｚ^−１）γ（ｚ^−１），Ｂ（ｚ
^−１）＝β（ｚ^−１）γ（ｚ^−１）とおくと，既約でないシステムは γ（ｚ^−１）ｖ〔ｋ〕＝ｃ α（ｚ^−１）ｙ〔ｋ〕＋β（ｚ^−１）ｕ〔ｋ〕＋ｖ〔ｋ〕＝０と等価となり，このシステムは制御できない自律的な内
部信号ｖ〔ｋ〕を含むことがわかる．もし，ｖ〔ｋ〕が
一定値，すなわちｖ〔ｋ〕＝ｖ^＊ならば，表現に冗長性
を含むにすぎず，無冗長な表現 α（ｚ^−１）ｙ〔ｋ〕＋β（ｚ^−１）ｕ〔ｋ〕＋ｖ^＊＝０に対して，有限整定が可能であるから，（２）式は解を
もつ．もし，ｖ〔ｋ〕が定値でなく，かつγ（ｚ^−１）
の極が不安定ならば，いかなる方法によっても制御でき
ない（ｙ，ｕを有界に保つことできない）から，もとも
とこのようなシステムが対象に含まれないと仮定するこ
とは自然であり，実用上の制限とはならない．実質的に
（厳密には対象システムの無冗長表現が既約ならば）つ
ねに有限整定条件（２）式を満たす解が存在することが証明された．さ
て，上で述べた有限整定条件を満たす解は一意に定まる
とは限らない．したがって，利用者にとって都合のよい
最適条件を満たす解を選択する余地が残されている．こ
こではつぎの評価関数を最小にする最適化問題を考え
る．Ｊ〔ｋ〕＝（ｙ〔ｋ〕−ｙ〔ｋ〕）^Ｔ・Ｑ・（ｙ〔ｋ〕−Ｙ〔ｋ〕）＋（ｕ〔ｋ〕−Ｕ〔ｋ〕）^Ｔ・Ｒ・（ｕ〔ｋ〕−Ｕ〔ｋ〕）＋Δ_ｙ〔ｋ〕^Ｔ・Ｓ・Δ_ｙ〔ｋ〕＋Δ_ｕ〔ｋ〕^Ｔ・Ｔ・Δ_ｕ〔ｋ〕→ ｍｉｎ（３）ここで，第１，第２項はｙ〔ｋ〕およびｕ〔ｋ〕の所望
の軌道Ｙ〔ｋ〕＝〔Ｙ〔ｋ〕Ｙ〔ｋ＋１〕・・・Ｙ〔ｋ＋ｐ〕〕^Ｔ，Ｕ〔ｋ〕＝〔Ｕ〔ｋ〕Ｕ〔ｋ＋１〕・・・Ｕ〔ｋ＋ｑ〕〕^Ｔとの距離の評価であり，第３，第４項は軌道ｙ〔ｋ〕お
よびｕ〔ｋ〕上の隣接点の差 Δ_ｙ〔ｋ〕＝〔ｙ〔ｋ，ｋ〕−ｙ〔ｋ−１〕ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ〔ｋ，ｋ〕・・・・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕−ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ−１〕ｙ^＊ −ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕〕^Ｔ Δ_ｕ〔ｋ〕＝〔ｕ〔ｋ，ｋ〕−ｕ〔ｋ−１〕ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ〔ｋ，ｋ〕・・・・・・ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕−ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ−１〕ｕ^＊ −ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕〕^Ｔによる平滑度の評価である．また，Ｑ，Ｒ，Ｓ，Ｔはつ
ぎのような対角の重み行列であり，ｑ_０，ｒ_０，ｓ_０，
ｔ_０のいずれか１つは０でないものとする．Ｑ＝ｄｉａｇ〔ｑ_０・・・ｑ_ｐ〕，Ｒ＝ｄｉａｇ〔ｒ_０・・・ｒ_ｑ〕Ｓ＝ｄｉａｇ〔ｓ_０・・・ｓ_ｐ＋１〕，Ｔ＝ｄｉａｇ〔ｔ_０・・・ｔ_ｑ＋１〕０≦ｑ_０≦・・・≦ｑ_ｐ，０≦ｒ_０≦・・・≦ｒ_ｑ０≦ｓ_０≦・・・≦ｓ_ｐ＋１，０≦ｔ_０≦・・・≦ｔ_ｑ＋１（２）式の束縛条件の下で（３）式を最小化する問題は
ラグランジェの未定乗数法によりの最小化問題となる．ただし，μ〔ｋ〕は（ｐ＋ｍ＋
１）次ラグランジェ乗数ベクトルである．上式の最小解
は変分法によりの線型方程式であたえられる．ここで，Ｄおよびｄ
〔ｋ〕つぎに示すような行列およびベクトルであり，
Ｑ．Ｒは３重対角行列である．題意より，この方程式（５）式はつねに解をもつ．とこ
ろで，ｄ〔ｋ〕は適当なベクトルＥ_ｉ，Ｆ_ｉ，Ｇ_ｉ，Ｇ
^＊，Ｈ_ｉ，Ｈ^＊，Ｌを用いて，つぎのように展開でき
る．（５）式につねに解が存在することから，を満たす解Ｅ_ｉ，Ｆ_ｉ，Ｇ_ｉ，Ｇ^＊，Ｈ_ｉ，Ｈ^＊，Ｌが
存在し，（５）式の解はであたえられる．ベクトル〔μ〔ｋ〕ｙ〔ｋ〕ｕ
〔ｋ〕〕^Ｔの第２ｐ＋ｍ＋２成分ｕ〔ｋ，ｋ〕を使って
実際の入力操作を決定する，すなわち，すべての時刻ｋ
においてｕ〔ｋ〕＝ｕ〔ｋ，ｋ〕と決定すれば，（１）
式のシステムの時刻ｋからｋ＋１での変化（応答）が時
刻ｋで定まるＪ〔ｋ〕を最小とする有限整定軌道を切り
換わりながらたどるように制御することができる．
ｅ_ｉ，ｆ_ｉ，ｇ_ｉ，ｇ^＊，ｈ_ｉ，ｈ^＊，ιをそれぞれＥ
_ｉ，Ｆ_ｉ，Ｇ_ｉ，Ｇ^＊，Ｈ_ｉ，Ｈ^＊，Ｌの第２ｐ＋ｍ＋
２成分とすれば，この制御則はの出力フィードバック制御器として得られる．ここで，
所望の軌道をｙ〔ｋ〕＝ｙ＝〔ｙ^＊ｙ^＊・・・ｙ^＊〕^Ｔ，Ｕ〔ｋ〕
＝Ｕ＝〔ｕ^＊ｕ^＊・・・ｕ^＊〕^Ｔとすれば，定目標値ｙ^＊，ｕ^＊への定値制御のための制
御器としてがえられ，また，（７）式においてｙ^＊＝Ｙ〔ｋ＋ｐ＋
１〕，ｕ^＊＝Ｕ〔ｋ＋ｑ＋１〕とすれば所望の軌道｛Ｙ
〔ｋ〕｝，｛Ｕ〔ｋ〕｝への追従制御のための制御器と
して，がえられる．以上に述べた準最適出力フィードバック制
御器の設計は（６）式の線型方程式問題に帰着される．
設計方程式（６）式の解は数値解法によらなければなら
ない．この線型方程式の数値解法問題は数値解析の分野
では最も基本的なものであり，ガウスの消去法をはじめ
として各種の計算法が知られている．しかし，その解の
精度，信頼性が設計方程式のパラメータに依存しないあ
るいは機械的に実行できる計算法についてはあまり紹介
されていないので，以下にその計算法の例を１つ挙げ
る．線型方程式ＤＸ＝Ｘを考える．この方程式が解をもつならば，この解Ｘは（ＤＸ−Ｘ）^Ｔ（ＤＸ−Ｘ）→ｍｉｎの最小解Ｘと一致する．（６）式の各方程式ははつねに
解をもつから，この最小解として求めることができる．
最小解Ｘは変分法により，Ｄ^ＴＤＸ＝Ｄ^ＴＸであたえられる．このとき，Ｄ^ＴＤは非負定値行列とな
り，その全ての固有値は非負の実数となる．いま，Ｘの
暫定解をＸ_ｉとし，Ｘ_ｉ＋１＝（Ｉ−Ｄ^ＴＤ／λ）Ｘ_ｉ＋Ｄ^ＴＸ／λ にしたがって逐次更新すると，この更新解Ｘ_ｉは，Ｄ^Ｔ
Ｄの最大固有値λ_ｍａｘにたいしλ＞λ_ｍａｘ／２のと
き解Ｘに収束する，すなわちＸ_ｉ→Ｘ（ｉ→∞）が以下のように証明できる．Ｘ_ｉ＋１＝κＸ_ｉとする
と，上の更新式の特性方程式ｄｅｔ｛κＩ−（Ｉ−Ｄ^ＴＤ／λ）＝０または，ｄｅ
ｔ｛（λ（１−κ）Ｉ−Ｄ^ＴＤ｝＝０を得る．Ｄ^ＴＤの全固有値は非負であり，その最大固有
値はλ_ｍａｘだから，０≦λ（１−κ）≦λ_ｍａｘが成
り立つ．λ＞λ_ｍａｘ／２のとき，特性方程式の根κは
収束条件−１＜κ≦１を満たすから，Ｘ_ｉはあるＸ^＊に
収束する．この収束解Ｘ^＊について更新式はＸ^＊＝（Ｉ−Ｄ^ＴＤ／λ）Ｘ^＊＋Ｄ^ＴＸ／λ となることよりＤ^ＴＤＸ^＊＝Ｄ^ＴＸ．したがって，この収束解Ｘ^＊はＸにほかならないことが
わかる．なお，λ＞λ_ｍａｘ／２なるλは最大固有値の
数値解法であるベキ乗法（ＰｏｗｅｒＭｅｔｈｏｄ）
により容易に決定される．少なくともここで示した計算
法によれば（６）式の解は機械的に求められ，またその
解の精度はパラメータに依存することもない．以上に，
制御器の構成について述べるとともに，この制御器が，
対象を制限することのない普遍性，かつ人による補助を
要しない系統性をもち，自動設計が可能であることが示
された．

【０００５】

【作用】前項において，この制御器の構成と設計法につ
いて述べた．ここでは，この制御器によって構成される
出力フィードバック制御系がつねに安定となっているこ
とを示す．まず，定値制御器の場合から考える．（８）
式によって制御されるとき，（３）式の評価Ｊ〔ｋ〕はＪ〔ｋ〕＝（у〔ｋ〕−Ｙ）^Ｔ・Ｑ・（ｙ〔ｋ〕−Ｙ）＋（ｕ〔ｋ〕−Ｕ）^Ｔ・Ｒ・（ｕ〔ｋ〕−Ｕ）＋Δ_ｙ〔ｋ〕^Ｔ・Ｓ・Δ_ｙ〔ｋ〕＋Δ_ｕ〔ｋ〕^Ｔ・Ｔ・Δ_ｕ〔ｋ〕となる．上のＪ〔ｋ〕の第１項について，ｑ_０≦ｑ_１≦
ｑｐ・・・≦ｑ_ｐを考慮すると，不等式（ｙ〔ｋ〕−Ｙ）^ＴＱ（ｙ〔ｋ〕−Ｙ）−ｑ_０（ｙ〔ｋ〕−ｙ^＊）^２＝〔０ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ^＊・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕−ｙ^＊〕^Ｔ・Ｑ・〔０ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ^＊・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕−ｙ^＊〕 ≧〔ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ^＊・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕−ｙ^＊０〕^Ｔ・Ｑ・〔ｙ（ｋ，ｋ＋１〕−ｙ^＊・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕−ｙ^＊０〕が成り立つ．Ｊ〔ｋ〕の第３項については，Ｓ_０≦Ｓ_１
≦・・・≦Ｓ_ｐを考慮すると， Δ_ｙ〔ｋ〕^ＴＳΔ_ｙ〔ｋ〕−Ｓ_０（ｙ〔ｋ，ｋ〕−ｙ〔ｋ−１〕）^２＝〔０ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ〔ｋ，ｋ〕・・・ｙ^＊−ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕〕^Ｔ・Ｓ・〔０ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ〔ｋ，ｋ〕・・・ｙ^＊ −ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕〕 ≧〔ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ〔ｋ，ｋ〕・・・ｙ^＊−ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕０〕^Ｔ・Ｓ・〔ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ〔ｋ，ｋ〕・・・ｙ^＊ −ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕０〕が成り立つ．同様に，第２，４項についても（ｕ〔ｋ〕−Ｕ）^ＴＲ（ｕ〔ｋ〕−Ｕ）−ｒ_０（ｕ〔ｋ〕−ｕ^＊）^２ ≧（ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ^＊・・・ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕−ｕ^＊０〕^Ｔ・Ｒ・〔ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ^＊・・・ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕−ｕ^＊０〕 Δ_ｕ〔ｋ〕^Ｔ・Ｔ・Δ_ｕ〔ｋ〕−ｔ_０（ｕ〔ｋ−１〕）^２ ≧〔ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ〔ｋ，ｋ〕・・・ｕ^＊−ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕０〕^Ｔ・Ｔ・〔ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ〔ｋ，ｋ〕・・・ｕ^＊− ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕０〕となる．時刻ｋを起点とする軌道のｋ＋１以後の軌道
｛ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕，・・・，ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕，０｝｛ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕，・・・，ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕，０｝
は時刻ｋ＋１を起点とする有限整定軌道の１つとなって
いるから，その最小軌道ｙ〔ｋ＋１〕，ｕ〔ｋ＋１〕の
評価関数Ｊ〔ｋ＋１〕に対してＪ〔ｋ＋１〕≦〔ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ^＊・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕−ｙ^＊０〕^Ｔ・Ｑ・〔ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ^＊・・・ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕−ｙ^＊０〕＋〔ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ^＊・・・ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕−ｕ^＊０〕^Ｔ・Ｒ・〔ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ^＊・・・ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕−ｕ^＊０〕＋〔ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ〔ｋ，ｋ〕・・・ｙ^＊−ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕０〕^Ｔ・Ｓ・〔ｙ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｙ〔ｋ，ｋ〕・・・ｙ^＊−ｙ〔ｋ，ｋ＋ｐ〕０〕＋〔ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ〔ｋ，ｋ〕・・・ｕ^＊−ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕０〕^Ｔ・Ｔ・〔ｕ〔ｋ，ｋ＋１〕−ｕ〔ｋ，ｋ〕・・・ｕ^＊−ｕ〔ｋ，ｋ＋ｑ〕０〕となり，Ｊ〔ｋ〕≧Ｊ〔ｋ〕−ｑ_０（ｙ〔ｋ〕−ｙ^＊）^２−ｒ_０（ｕ〔ｋ〕−ｕ^＊）^２ −ｓ_０〔ｙ〔ｋ〕−ｙ〔ｋ−１〕）^２−ｔ_０（ｕ〔ｋ〕−ｕ〔ｋ− １〕）^２≧ Ｊ〔ｋ＋１〕≧ ０が成り立つ．｛Ｊ〔ｋ〕｝のような下に有界な単調減少
列は，収束することから，｛Ｊ〔ｋ〕−Ｊ〔ｋ＋１〕｝
は０に収束し，ｑ_０（ｙ〔ｋ〕−ｙ^＊）^２＋ｒ_０（ｕ〔ｋ〕−ｕ^＊）^２＋ｓ_０（ｙ〔ｋ，ｋ〕−ｙ〔ｋ−１〕）^２＋ｔ_０（ｕ〔ｋ，ｋ〕−ｕ〔ｋ−１〕）^２ → ０（ｋ→∞）が得られる．上式より，ｑ_０≠０ならばｙ〔ｋ〕→ｙ^＊
は明らかであり，このｙがｙ^＊に収束したとき，対象シ
ステムは Σｂｕ〔ｋ−ｉ〕＝−Σａｙ^＊−ｃで表わされる自律系となり，ｕの軌道は一意に決定され
る．このｕの軌道はｕ^＊への有限整定軌道でなければな
らないから，ｕ〔ｋ〕→ｕ^＊．また，ｒ_０≠０ならば，
ｕ〔ｋ〕→ｕ^＊であり，ｙ〔ｋ〕→ｙ^＊である．さら
に，ｓ_０≠０のときｙ〔ｋ〕−ｙ〔ｋ−１〕→０であ
り，ある値ｙ〔∞〕が存在して，ｙ〔ｋ〕→ｙ〔∞〕．
このようにｙが収束したとき，対象システムは Σｂｕ〔ｋ−ｉ〕＝−Σａｙ〔∞〕−ｃで表わされる自律系となり，上と同様に，ｕの軌道は一
意に決定され，ｕ^＊への有限整定軌道でなければならな
いから，ｕ〔ｋ〕→ｕ^＊．したがって，ｙ〔ｋ〕→ｙ^＊
＝ｙ〔∞〕．また，ｔ_０≠０のときも，ｙ〔ｋ〕→ｙ^＊
かつｕ〔ｋ〕→ｕ^＊である．したがって，ｑ_０，ｒ_０，
ｓ_０，ｔ_０のいずれかは０でないとしたから，ｙ，ｕは
ｙ^＊，ｕ^＊に収束し，定値制御系は安定であることがわ
かる．ところで，制御則（７），（８）および（９）式
のいずれによっても，構成される出力フィードバック制
御系の閉ループは同一である．上で述べたように定値制
御（８）式についてつねに安定であるから，（７）式あ
るいは追従制御（９）式についてもつねに安定であるこ
とがいえる．このことは，利用者の選択にまかせられた
パラメータである整定時間ｐあるいはｑ，重み行列Ｑ，
Ｒ，Ｓ，Ｔによって，制御系を好ましい特性を示すよう
に自由に調節できることを意味する．これら調節パラメ
ータのいかなる選択も制御系を不安定にすることはな
く，不安定への恐れから解放されてパラメータの調整に
専念できるという利点を生み出している．整定時間ｐあ
るいはｑの増加は制御（評価関数Ｊ）をより最適にし，
無限大のとき最っとも最適となることは明らかである
が，その上限は使用する計算機の性能（記憶容量，演算
速度）により，自ずと定まってしまう．また，重み行列
Ｑ，Ｒの重みの増加はそれぞれ出力ｙ，入力ｕの目標値
への収束速度を向上させ，Ｓ，Ｔの重みの増加はその収
束過程をより滑らかにするという一般的な効果をもつ．
これらの効果は直感的に理解することができ，高度な専
門知識を要しないから，設計自動化の効果と相まって利
用者の負担は驚くほど軽く，効率的な運用が図れること
になる．

【０００６】

【実施例】つぎのシステムを制御の対象とし，この制御
器の設計と，シミュレーションによる動作の確認を試み
た．ｙ〔ｋ〕＋２ｙ〔ｋ−１〕＋〔ｋ−１〕−２ｕ〔ｋ−２〕＋１＝０このシステムは不安定な極，零点をもつ自己不安定・非
最小位相系であると同時に，その入力操作の出力に対す
る効果が時間の経過とともに逆転する逆応答性を示す非
常に性質の悪い対象である．この対象に対して，ｍ＝
１，ｎ＝２，ｐ＝２，ｑ＝１，Ｑ＝Ｉ，Ｒ＝Ｓ＝Ｔ＝０
とすると（７）式はｕ〔ｋ〕＝−１．２ｙ〔ｋ〕＋１．２ｕ〔ｋ−１〕−
０．２Ｙ〔ｋ＋１〕＋０．４Ｙ〔ｋ＋２〕＋０．４ｙ^＊
＋０．２と求めらる．したがって，この定値制御器（８）式はｕ
〔ｋ〕＝−１．２ｙ〔ｋ〕＋１．２ｕ〔ｋ−１〕＋０．
６ｙ^＊＋０．２となる．この制御器の目標値ｙ^＊を０か
ら１に変更したときの制御応答のシミュレーション結果
を図１に示す．性質の悪さにもかかわらず完全に制御目
的は達成されている．つぎに，同じ対象に追従制御を試
みた例を示す．この追従制御器（９）式はｕ〔ｋ〕＝−１．２ｙ〔ｋ〕＋１．２ｕ〔ｋ−１〕−
０．２Ｙ〔ｋ＋１〕＋０．４Ｙ〔ｋ＋２〕＋０．４Ｙ
〔ｋ＋３〕＋０．２となる．Ｙ〔ｋ〕＝ｋのランプ状目標軌道に対する制御
応答のシミュレーション結果を図２に示す．この図より
安定な追従制御が得られることがわかる．この図２から
は読み取にくいが，出力ｙと目標軌道Ｙの間には定常な
偏差が残っている．この偏差Ｙ−ｙを図３に示した．整
定時間ｐを増加させることで設計される制御器はより最
適なものとなるから，この定常偏差は限りなく小さくす
ることができる．ｐを３，７と選んだ場合も合わせて示
し，この効果を確認した．以上の例は設計に用いられる
モデルが対象システムの動特性と完全に一致しているこ
とを前提としている．実際にはこのような一致は得られ
ないし，モデルは何らかの誤差を含むものと考えてよ
い．この問題の解決のために，前置補償器を使った例と
オンラインモデル同定器を使った例をそれぞれ以下に示
す．前置補償器の例から始める．いま，ｖを新しい入力
として前置補償器ｕ〔ｋ〕＝ｕ〔ｋ−１〕＋ｖ〔ｋ〕を対象システムに直列につなぐと，（１）式のモデルよ
り，が得られる．これは，やはり自己回帰移動平均モデルだ
から全く同様に制御器が設計できる．このとき，前置補
償器は誤差を積算する働きをもつので，制御系が安定な
らばモデル誤差に由来する定常偏差（オフセット）は０
となる．前述の例で用いたシステムに基づいてシステム
とモデル間に誤差がある場合の定値制御の結果を図４に
示す．前置補償器によってオフセットが除かれている．
ただし，この例では制御は安定となっているが，モデル
誤差が極端な場合には安定性は必ずしも保証されないこ
とはいうまでもない．つぎに，オンラインモデル同定器
を併用したＣＥ（ＣｅｒｔａｉｎｔｙＥｑｈｕｉｖａ
ｌｅｎｃｅ）原理による適応制御系の構成例を図５に示
す．制御の対象システム１の入出力の観測値をもとに，
オンラインモデル同定器４によって直接，自己回帰移動
平均モデルのパラメータが決定される．このようなモデ
ル同定器はすでに各種考案されており，ここではその詳
細は省く．この同定されたモデルパラメータを，設計手
順を自動化した自動設計器３において処理することによ
り，制御器のパラメータが決まり，出力フィードバック
制御器２が調整される．この過程はすべて自動的に継続
して繰り返される．このように適応機構で調整された制
御器２は対象システム１を目標値に制御することができ
る．前述の例で用いたシステムをこの適応制御器によっ
て定値制御した結果を図６に示す．初期モデルを実際の
システムとは故意に異なるもの（ｙ〔ｋ〕＝ｕ〔ｋ−
１〕）に設定したにもかかわらず，適応期間を経たの
ち，安定化され最初に設定した目標値０に制御されてい
る．その後の目標値１への変更も達成され，最初にあげ
た正確なモデルに基づく実施例の軌道との一致が確かめ
られる．従来の適応制御はＣＥ原理適応制御も含めて，
その多くが，対象システムの最小位相性，むだ時間に仮
定を設けていたために，実用性を欠いていた．この例で
示されるように，適用範囲に普遍性をもつ制御器を用い
ることにより，最小位相性，むだ時間に関わりのない実
用的な適応制御系が構成されることがわかる．

【０００７】

【発明の効果】この制御器は，自己回帰移動平均モデル
で表わされる制御の対象に対して，何らかの制限を受け
ることなく普遍的に適用できること，また，数値計算も
含めて系統的に設計されること，そして，得られる制御
系はつねに安定であることが示された．適応制御の実施
例にみられるように，設計から実施にいたるまで自動化
され，しかも常に安定化される．このように，この制御
器は人的要素を，安定な制御を実施するための必須の要
件とはしない．一方，利用者に対しては直感的に理解で
きる方法で安定性を考慮することなく制御特性を調節で
きるようになっている．したがって，この制御器の運用
においては，従来の制御には見られなかったような無人
化，省力化の効果があるといえる．

【図面の簡単な説明】

【図１】定値制御のシミュレーション結果

【図２】追従制御のシミュレーション結果

【図３】追従制御における整定時間パラメータの効果

【図４】前置補償器の効果

【図５】適応制御系の構成例

【図６】適応制御のシミュレーション結果

【符合の説明】

１対象システム２オンラインモデル同定器３自動設計器４出力フィードバック制御器

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】制御の対象システムの出力と入力の動的
関係（動特性）が自己回帰移動平均（ＡＲＭＡ）モデル
で表わされているものとする．システムの入出力時系列
においてｋ番目の時刻での出力値をｙ［ｋ］，入力値を
ｕ［ｋ］表わし，ｋを起点としてモデルから予測される
ｋ以後の出力の時系列軌道上の値を順にｙ［ｋ，ｋ］，
ｙ［ｋ，ｋ＋１］，…と，そして同様に入力の時系列軌
道上の値をｕ［ｋ，ｋ］，ｕ［ｋ，ｋ＋１］，…と表わ
し，また出力と入力の指定された定常値に整定するまで
の時系列の有限な個数を出力，入力についてそれぞれｐ
＋１，ｑ＋１個とするとき，有限整定条件（ｙ［ｋ，ｋ
＋ｉ］＝Ｙ［ｋ＋ｐ＋１］ｆｏｒｉ＞ｐ，ｕ［ｋ，ｋ
＋ｉ］＝Ｕ［ｋ＋ｑ＋１］ｆｏｒｉ＞ｑ）を満たしか
つ２次形式評価関数を最小とする出入力の有限整定軌道（｛ｙ［ｋ，ｋ］，
…，ｙ［ｋ，ｋ＋ｐ］｝，｛ｕ［ｋ，ｋ］，…，ｕ
［ｋ，ｋ＋ｑ］｝）が時刻ｋごとに予測される．ただ
し，ｑ_０，…，ｑ_ｐ，ｒ_０，…，ｒ_ｑ，ｓ_０，…，ｓ
_ｐ＋１，ｔ_０，_・・・，ｔ_ｑ＋１は重み係数であり，Ｙ
［ｋ］，Ｙ［ｋ＋１］，…およびＵ［ｋ］，Ｕ［ｋ＋
１］，…はシステムの出力および入力に所望の軌道であ
る．この予測される最適化（Ｊ［ｋ］を最小化するとい
う意味で）された有限整定軌道をシステムの出入力応答
ｙ［ｋ］，ｕ［ｋ］が時刻ｋごとに切り換わりながらた
どる，すなわちｙ［ｋ］＝ｙ［ｋ，ｋ］，ｕ［ｋ］＝ｕ
［ｋ，ｋ］となるように設計されたことを特徴とする，
準最適化手法による準最適出力フィードバック制御器．