JP3136709B2 - べき積演算装置 - Google Patents
べき積演算装置Info
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Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、情報を安全に伝達する
暗号技術の分野において必要となるべき積演算装置に関
するものである。ここでべき積演算とは、ｎ個の正整数
の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)と正整数ｐに対して、ｐを法
とする正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…ｎ) に対する次の演
算Ｚ＝(X1Y1×X2Y2…×XｎYn) modｐ のことである。
暗号技術の分野において必要となるべき積演算装置に関
するものである。ここでべき積演算とは、ｎ個の正整数
の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)と正整数ｐに対して、ｐを法
とする正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…ｎ) に対する次の演
算Ｚ＝(X1Y1×X2Y2…×XｎYn) modｐ のことである。
【０００２】
【従来の技術】付加価値の高い情報を通信ネットワーク
を介して安全にやり取りするためには暗号の技術が必要
である。暗号の分野では、(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)および
ｐをいずれも数百ビットの正の整数とするときに、ｐを
法としそれぞれYi(i=1,2,…,ｎ) をべきとするXi(i=1,
2,…,ｎ) のべき積演算 Ｚ＝(X1Y1×…×Xn Yn) modｐ [1] を効率よく求める方法が必要となる (以降ではこの演算
をｎ次のべき積演算と称する)。 例えば公開鍵暗号の代
表的な方式としてよく知られているElGamal 署名法では
3 次のべき積演算が必要となる。ところで、ｎ次のべき
積演算を求める計算法としては、２値計算法(binary me
thod) と呼ばれる方法が知られている。この計算法は、
D.E.Knuth（ディー・ケー・クヌース）の"THE ART OF C
OMPUTER PROGRAMMING SECOND EDITION"（”ザ アート
オブ コンピュータ プログラミング セコンド エ
ディション”）,Vol 2 Seminumerical Algorithms（セ
ミヌメリカル アルゴリズムに）,p465 exercises 27,1
981,ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY,INC.述べられ
ている。
を介して安全にやり取りするためには暗号の技術が必要
である。暗号の分野では、(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)および
ｐをいずれも数百ビットの正の整数とするときに、ｐを
法としそれぞれYi(i=1,2,…,ｎ) をべきとするXi(i=1,
2,…,ｎ) のべき積演算 Ｚ＝(X1Y1×…×Xn Yn) modｐ [1] を効率よく求める方法が必要となる (以降ではこの演算
をｎ次のべき積演算と称する)。 例えば公開鍵暗号の代
表的な方式としてよく知られているElGamal 署名法では
3 次のべき積演算が必要となる。ところで、ｎ次のべき
積演算を求める計算法としては、２値計算法(binary me
thod) と呼ばれる方法が知られている。この計算法は、
D.E.Knuth（ディー・ケー・クヌース）の"THE ART OF C
OMPUTER PROGRAMMING SECOND EDITION"（”ザ アート
オブ コンピュータ プログラミング セコンド エ
ディション”）,Vol 2 Seminumerical Algorithms（セ
ミヌメリカル アルゴリズムに）,p465 exercises 27,1
981,ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY,INC.述べられ
ている。
【０００３】以下に、3 次のべき積演算を２値計算法で
計算する例を示す (ただし剰余演算modｐ の記述は省略
している) 。
計算する例を示す (ただし剰余演算modｐ の記述は省略
している) 。
【０００４】２値計算法によるべき積演算の例：Ｚ＝25
×36×47 の計算 〔1〕予備計算 (2b1×3b2×4b3),((b1,b2,b3)∈{0,1}3)を求め、テーブ
ルに記憶しておく。 すなわち8 通りの値がテー
ブルに格納される。各値は(b1,b2,b3)をインデ
ックスとして引き出せる。
×36×47 の計算 〔1〕予備計算 (2b1×3b2×4b3),((b1,b2,b3)∈{0,1}3)を求め、テーブ
ルに記憶しておく。 すなわち8 通りの値がテー
ブルに格納される。各値は(b1,b2,b3)をインデ
ックスとして引き出せる。
【０００５】〔2〕主処理 (1)べき数5、6、7を2進数に展開する。5＝(101)2,6＝(1
10)2,7＝(111)2 (2)各べき数の最上位ビットを5,6,7の順にみると(1,1,
1)であるから、テーブルより(21×31×41)を得て、ｔ1
←(21×31×41)とする(←は代入に示す)。
10)2,7＝(111)2 (2)各べき数の最上位ビットを5,6,7の順にみると(1,1,
1)であるから、テーブルより(21×31×41)を得て、ｔ1
←(21×31×41)とする(←は代入に示す)。
【０００６】(3)各べき数の上位2番目のビットを5,6,7
の順にみると(0,1,1)であるから テーブルよ
り(20×31×41)を得て、ｔ2←ｔ1 2×(20×31×41)とす
る。
の順にみると(0,1,1)であるから テーブルよ
り(20×31×41)を得て、ｔ2←ｔ1 2×(20×31×41)とす
る。
【０００７】(4)各べき数の上位3番目のビットを5,6,7
の順にみると(1,0,1)であるから テーブルよ
り(21×30×41)を得て、ｔ3←ｔ2 2×(21×30×41)とす
る。
の順にみると(1,0,1)であるから テーブルよ
り(21×30×41)を得て、ｔ3←ｔ2 2×(21×30×41)とす
る。
【０００８】〔3〕結果出力 このとき結果はｚ←ｔ3で与えられる。 ここで、ｚ＝ｔ3＝ｔ2 2×(21×30×41) ＝(ｔ1 2×(20×31×41))2×(21×30×41)) ＝((21×31×41)2×(20×31×41))2×(21×30×41)) ＝25×36×47 となり、計算結果が正しいことがわかる。この例におけ
る乗算の回数は8 回となる(〔1〕において2×3,2×4,3
×4,(2×3)×4を求めるために4 (＝Σ3Cj(2≦j≦3))回
の乗算と〔2〕 に4 (＝2×((log27)-1))回の乗算が必
要)。このように２値計算法では、べき数を２進数に展
開し、その上位ビットから１ビットずつ順次計算してい
く方法といえる。なお、べき数を一般にｑ進数に展開し
て計算することもできる。この方法をここでは多値計算
法と呼ぶ。特にｑを2kとするとき、上位ビットからk ビ
ットずつ区切って順次計算することができる。
る乗算の回数は8 回となる(〔1〕において2×3,2×4,3
×4,(2×3)×4を求めるために4 (＝Σ3Cj(2≦j≦3))回
の乗算と〔2〕 に4 (＝2×((log27)-1))回の乗算が必
要)。このように２値計算法では、べき数を２進数に展
開し、その上位ビットから１ビットずつ順次計算してい
く方法といえる。なお、べき数を一般にｑ進数に展開し
て計算することもできる。この方法をここでは多値計算
法と呼ぶ。特にｑを2kとするとき、上位ビットからk ビ
ットずつ区切って順次計算することができる。
【０００９】以下では２値計算法についてのみ述べる
が、同様のことは多値計算法についてもいえることに注
意されたい。
が、同様のことは多値計算法についてもいえることに注
意されたい。
【００１０】一般にｎ次のべき積演算にこの２値計算法
を利用する場合の計算量をｐを法とする乗算の回数で表
わすと、高々以下のとおりとなる(ΣnCk(2≦k≦n)＝2n-
ｎ-1であることに注意)。
を利用する場合の計算量をｐを法とする乗算の回数で表
わすと、高々以下のとおりとなる(ΣnCk(2≦k≦n)＝2n-
ｎ-1であることに注意)。
【００１１】 (2n-ｎ-1)＋(2×(ｋ-１)) (ｋ＝log2(max(Y1,…,Yn))) [2] ここで(2) 式の第１項は〔1〕 の予備計算に必要な乗算
の回数であり、第２項は〔2〕 の主処理に必要な乗算の
回数である。
の回数であり、第２項は〔2〕 の主処理に必要な乗算の
回数である。
【００１２】また、予備計算で求めた値を蓄積するため
のテーブル容量は、(X1b1×X2b2×…×Xnbn modｐ),
(b1,b2,…,bn)∈{0,1}n)が、それぞれ高々log2ｐビット
であるから以下のとおりとなる。
のテーブル容量は、(X1b1×X2b2×…×Xnbn modｐ),
(b1,b2,…,bn)∈{0,1}n)が、それぞれ高々log2ｐビット
であるから以下のとおりとなる。
【００１３】 (2n×log2ｐ) [3] 具体的に、ｐ,Xi がそれぞれ 500ビット、Yiが 150ビッ
トの正整数値とするとき(暗号分野ではこの程度の数値
に対する演算が必要)、8 次以下のべき積演算に対して
は、予備計算に必要な計算量が比較的小さく、全体の計
算量は、[2] 式より約300〜600となり、1 次の場合に必
要な計算量([2]式においてｎが1 の場合)の1〜2倍程度
である。また、このとき使用するテーブル容量は[3] 式
より高々100kビット程度である。しかし、9 次以上にな
ると、予備計算における計算量が全体の計算量を支配す
るようになり、例えば12次の場合では、全体の計算量
は、約4000となり1 次の場合に必要な計算量の13倍以上
になる。またテーブル容量も2Mビット程度必要となる。
トの正整数値とするとき(暗号分野ではこの程度の数値
に対する演算が必要)、8 次以下のべき積演算に対して
は、予備計算に必要な計算量が比較的小さく、全体の計
算量は、[2] 式より約300〜600となり、1 次の場合に必
要な計算量([2]式においてｎが1 の場合)の1〜2倍程度
である。また、このとき使用するテーブル容量は[3] 式
より高々100kビット程度である。しかし、9 次以上にな
ると、予備計算における計算量が全体の計算量を支配す
るようになり、例えば12次の場合では、全体の計算量
は、約4000となり1 次の場合に必要な計算量の13倍以上
になる。またテーブル容量も2Mビット程度必要となる。
【００１４】以上から分かるようにｎ次のべき積演算に
２値計算法を利用する場合、ｎが比較的小さいとき、1
次の場合とほぼ同じ計算量で、かつ比較的少ないテーブ
ル容量で計算結果が求められることが分かる。従って、
２値計算法を実行するように構成されたべき積演算装置
は、ｎが比較的小さいとき有効であることが分かる。
２値計算法を利用する場合、ｎが比較的小さいとき、1
次の場合とほぼ同じ計算量で、かつ比較的少ないテーブ
ル容量で計算結果が求められることが分かる。従って、
２値計算法を実行するように構成されたべき積演算装置
は、ｎが比較的小さいとき有効であることが分かる。
【００１５】
【発明が解決しようとする課題】しかし、ｎ次のべき積
演算を、２値計算法を実行するように構成されたべき積
演算装置を用いて計算する場合、ｎが大きくなると、計
算量が膨大となり、実用的な時間で計算が実行できなく
なったり、また必要となるテーブル容量が膨大となり、
計算の実行が不可能になったりする問題点があった。こ
の問題は、予備計算に必要となる計算量や予備計算値を
蓄積するためのテーブルの記憶容量が、ｎに対して指数
関数的に増加するために生じる。
演算を、２値計算法を実行するように構成されたべき積
演算装置を用いて計算する場合、ｎが大きくなると、計
算量が膨大となり、実用的な時間で計算が実行できなく
なったり、また必要となるテーブル容量が膨大となり、
計算の実行が不可能になったりする問題点があった。こ
の問題は、予備計算に必要となる計算量や予備計算値を
蓄積するためのテーブルの記憶容量が、ｎに対して指数
関数的に増加するために生じる。
【００１６】この問題を克服するため、与えられたｎ次
のべき積演算を、比較的小さな次数のいくつかのべき積
演算に分割し、分割された比較的小さな次数の各べき積
演算に対して、上述の２値計算法を実行するべき積演算
装置を用いる方法が考えられる。しかし、このような方
法では、与えられたｎ次のべき積演算を、いくつに分割
するかを判断してやる必要があるし、また分割されたい
くつかのべき積演算の結果から所望する結果を得るため
に別途計算が必要である。
のべき積演算を、比較的小さな次数のいくつかのべき積
演算に分割し、分割された比較的小さな次数の各べき積
演算に対して、上述の２値計算法を実行するべき積演算
装置を用いる方法が考えられる。しかし、このような方
法では、与えられたｎ次のべき積演算を、いくつに分割
するかを判断してやる必要があるし、また分割されたい
くつかのべき積演算の結果から所望する結果を得るため
に別途計算が必要である。
【００１７】また、いくつに分割するとすれば計算量的
に最適であるかが不明であったため、適当に分割して、
逐一べき積演算装置に入力して結果を求めるなければな
らず、その分割の仕方によっては、計算量的に必ずしも
効率的とはならないという問題点があった。
に最適であるかが不明であったため、適当に分割して、
逐一べき積演算装置に入力して結果を求めるなければな
らず、その分割の仕方によっては、計算量的に必ずしも
効率的とはならないという問題点があった。
【００１８】本発明は、上述の問題点に鑑みて試された
もので、比較的大きなｎに対しても、予備計算に必要と
なる計算量や、予備計算値を蓄積するためのテーブルの
メモリ容量が、ｎに対して指数関数的に増加することが
ないように、与えられたｎ次のべき積演算を、自動的に
いくつかのべき積演算に分割して計算するべき積演算装
置を提供することを目的とする。
もので、比較的大きなｎに対しても、予備計算に必要と
なる計算量や、予備計算値を蓄積するためのテーブルの
メモリ容量が、ｎに対して指数関数的に増加することが
ないように、与えられたｎ次のべき積演算を、自動的に
いくつかのべき積演算に分割して計算するべき積演算装
置を提供することを目的とする。
【００１９】
【課題を解決するための手段】本発明は、上述の問題点
を解決するため、以下の手段を備える。 (1) 入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)を、ｍ(ｍ≧1)
個のグループＧj(j=1,2,…,ｍ)に、それぞれnj(1≦nj≦
ｎ,ｎ＝n1+n2+…+nm) 個ずつ分割する入力分割部と、グ
ループの個数ｍを決定するグループ数決定部と、各グル
ープＧj(j=1,2,…,ｍ)に分割する正整数の個数njを決定
する要素数決定部と、各グループＧj に分割されたnj個
の正整数の組(Xi,Yi)(ｉ∈Ｇj)に対するべき積演算Zj＝
Πi (XiYi) modｐ (i∈Gj,j=1,2,…,ｍ)を２値計算法を
利用して求めるべき積計算部と、正整数ｐを法とするべ
き積計算部で求めたZj(j=1,2,…,ｍ) に対する乗算結果
Ｚ＝(Z1×…×Zｍ) modｐ を求める乗算計算部を備え
る。 (2) (1) の構成で、特にグループ数決定部で、グループ
の個数ｍを、入力されたｎ個の正整数の組(Xi,Yi)(i=1,
2,…,ｎ)および正整数ｐより決定し、要素数決定部で、
各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj(j=1,
2,…,ｍ) を、前記正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)、
正整数ｐ、および前記グループの個数ｍより決定する。 (3) (1) の構成で、特にグループ数決定部で、ｔに関す
る方程式 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 (但し、ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn)))の根αを求め、グ
ループ数ｍを、この根αを用いて ｍ＝|α|もしくはｍ＝|α|-1 (但し、|ａ|はａ以上で最小の正整数)とし、要素数決定
部で、各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj
(j=1,2,…,ｍ)を、前記グループ数ｍを用いて nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝|ｎ／ｍ|-1 とする。 (4) (1) の構成で、特に多値計算法を用いてべき積演算
を求めるべき積計算部を備える。 (5) (1) の構成でべき積計算部およびそれに付随するメ
モリー部を複数備える。
を解決するため、以下の手段を備える。 (1) 入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)を、ｍ(ｍ≧1)
個のグループＧj(j=1,2,…,ｍ)に、それぞれnj(1≦nj≦
ｎ,ｎ＝n1+n2+…+nm) 個ずつ分割する入力分割部と、グ
ループの個数ｍを決定するグループ数決定部と、各グル
ープＧj(j=1,2,…,ｍ)に分割する正整数の個数njを決定
する要素数決定部と、各グループＧj に分割されたnj個
の正整数の組(Xi,Yi)(ｉ∈Ｇj)に対するべき積演算Zj＝
Πi (XiYi) modｐ (i∈Gj,j=1,2,…,ｍ)を２値計算法を
利用して求めるべき積計算部と、正整数ｐを法とするべ
き積計算部で求めたZj(j=1,2,…,ｍ) に対する乗算結果
Ｚ＝(Z1×…×Zｍ) modｐ を求める乗算計算部を備え
る。 (2) (1) の構成で、特にグループ数決定部で、グループ
の個数ｍを、入力されたｎ個の正整数の組(Xi,Yi)(i=1,
2,…,ｎ)および正整数ｐより決定し、要素数決定部で、
各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj(j=1,
2,…,ｍ) を、前記正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)、
正整数ｐ、および前記グループの個数ｍより決定する。 (3) (1) の構成で、特にグループ数決定部で、ｔに関す
る方程式 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 (但し、ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn)))の根αを求め、グ
ループ数ｍを、この根αを用いて ｍ＝|α|もしくはｍ＝|α|-1 (但し、|ａ|はａ以上で最小の正整数)とし、要素数決定
部で、各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj
(j=1,2,…,ｍ)を、前記グループ数ｍを用いて nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝|ｎ／ｍ|-1 とする。 (4) (1) の構成で、特に多値計算法を用いてべき積演算
を求めるべき積計算部を備える。 (5) (1) の構成でべき積計算部およびそれに付随するメ
モリー部を複数備える。
【００２０】
【作用】本発明は、上述の構成によって、ｎ次のべき積
演算が、入力分割部でｍ(≧1)個のnj(1≦nj≦ｎ,ｎ＝n1
+n2+…+nm) 次のべき積演算に分割され、各nj次のべき
積演算が、それぞれべき積計算部で２値計算法を用いて
実行され、各nj次のべき積演算の結果に対する乗算が、
乗算計算部で実行されるため、与えられたｎ次のべき積
演算を、自動的に、また効率的に求めることができる。
演算が、入力分割部でｍ(≧1)個のnj(1≦nj≦ｎ,ｎ＝n1
+n2+…+nm) 次のべき積演算に分割され、各nj次のべき
積演算が、それぞれべき積計算部で２値計算法を用いて
実行され、各nj次のべき積演算の結果に対する乗算が、
乗算計算部で実行されるため、与えられたｎ次のべき積
演算を、自動的に、また効率的に求めることができる。
【００２１】特に、グループ数決定部で、グループの個
数ｍを入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,
ｎ)および正整数ｐより決定し、また、要素数決定部
で、要素数njを入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)、
正整数ｐおよび分割数ｍより決定するため、ｎ次のべき
積演算を計算量的にもテーブル容量的にも効率よく計算
できる。
数ｍを入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,
ｎ)および正整数ｐより決定し、また、要素数決定部
で、要素数njを入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)、
正整数ｐおよび分割数ｍより決定するため、ｎ次のべき
積演算を計算量的にもテーブル容量的にも効率よく計算
できる。
【００２２】また、特にグループ数決定部で、ｔに関す
る方程式 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 (但し、ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn)))の根αを求め、グ
ループ数ｍを、この根αを用いて ｍ＝|α|もしくはｍ＝|α|-1 (但し、|ａ|はａ以上で最小の正整数)とし、要素数決定
部で、各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj
(j=1,2,…,ｍ)を、前記グループ数ｍを用いて nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝|ｎ／ｍ|-1 とすることで、ｎ次のべき積演算を、計算量およびテー
ブル容量が指数関数的に増加しないように実行できる。
る方程式 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 (但し、ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn)))の根αを求め、グ
ループ数ｍを、この根αを用いて ｍ＝|α|もしくはｍ＝|α|-1 (但し、|ａ|はａ以上で最小の正整数)とし、要素数決定
部で、各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj
(j=1,2,…,ｍ)を、前記グループ数ｍを用いて nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝|ｎ／ｍ|-1 とすることで、ｎ次のべき積演算を、計算量およびテー
ブル容量が指数関数的に増加しないように実行できる。
【００２３】なぜなら、分割数を仮にｔとするとき、ｎ
次のべき積演算を|ｎ／ｔ|次以下べき積演算に分割でき
る。このとき計算量は、高々 {(2|n/t|-|ｎ／t|-1)+2×(ｋ-1)}×t+(t-1) となる。上式において、ｔが連続値を取るものと仮定す
れば次式が得られる。
次のべき積演算を|ｎ／ｔ|次以下べき積演算に分割でき
る。このとき計算量は、高々 {(2|n/t|-|ｎ／t|-1)+2×(ｋ-1)}×t+(t-1) となる。上式において、ｔが連続値を取るものと仮定す
れば次式が得られる。
【００２４】{(2n/t-ｎ／t-1)+2×(ｋ-1)}×t+(t-1) ここで、この式を最小にするｔは、上記方程式の根αで
あることは明かである。一方実際の分割数ｍは整数値し
か取らないから、ｍを上述のように選ぶとき計算量は最
小となる。
あることは明かである。一方実際の分割数ｍは整数値し
か取らないから、ｍを上述のように選ぶとき計算量は最
小となる。
【００２５】また、べき積計算部において、べき積演算
を２値計算法に代えて多値計算法にすることで、２値計
算法を利用する場合より計算量を削減することができ
る。ただしこの場合テーブル容量は逆に増加する。
を２値計算法に代えて多値計算法にすることで、２値計
算法を利用する場合より計算量を削減することができ
る。ただしこの場合テーブル容量は逆に増加する。
【００２６】また、べき積計算部を複数備えることによ
り、べき積計算部の処理を並列に実行できるため、ｎ次
のべき積演算に要する処理時間を軽減できる。
り、べき積計算部の処理を並列に実行できるため、ｎ次
のべき積演算に要する処理時間を軽減できる。
【００２７】
【実施例】図１は本発明の一実施例によるべき積演算装
置の概略構成を示すものであって、10は入力分割部、11
はグループ数決定部、12は要素数決定部、20はべき積計
算部、21はメモリー部、30は乗算計算部である。
置の概略構成を示すものであって、10は入力分割部、11
はグループ数決定部、12は要素数決定部、20はべき積計
算部、21はメモリー部、30は乗算計算部である。
【００２８】以下に実施例の動作について説明する。こ
のべき積演算装置は、ｎ個の正整数の組(Xi,Yi) (i=1,
2,…,ｎ)および正整数ｐが入力されたときに、ｐを法と
しそれぞれYi(i=1,2,…,ｎ) をべきとするXi(i=1,2,…,
ｎ) のべき積演算 Ｚ＝(X1Y1×…×Xn Yn) modｐ [4] を以下の手順で求める。
のべき積演算装置は、ｎ個の正整数の組(Xi,Yi) (i=1,
2,…,ｎ)および正整数ｐが入力されたときに、ｐを法と
しそれぞれYi(i=1,2,…,ｎ) をべきとするXi(i=1,2,…,
ｎ) のべき積演算 Ｚ＝(X1Y1×…×Xn Yn) modｐ [4] を以下の手順で求める。
【００２９】[1] グループ数決定部によるグループの個
数の決定 入力された(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)は、まず入力分割部の
グループ数決定部渡され以下の手順でグループ数が決定
される。
数の決定 入力された(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)は、まず入力分割部の
グループ数決定部渡され以下の手順でグループ数が決定
される。
【００３０】(1) Yi(i=1,2,…,ｎ) の最大値のビット数
ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn))を求める。
ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn))を求める。
【００３１】(2) ｔに関する次の方程式の根αを求め
る。 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 [5] (3) 分割すべきグループ数ｍを、この根αを用いて以下
のように決定する。
る。 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 [5] (3) 分割すべきグループ数ｍを、この根αを用いて以下
のように決定する。
【００３２】このｍは要素数決定部に渡される。 ｍ＝|α|もしくはｍ＝|α|-1 [6] (但し、|ａ|はａ以上で最小の正整数) [2] 要素数決定部による要素数の決定 グループ数決定部で決定されたグループ数ｍをもとに以
下の手順で要素数が決定される。
下の手順で要素数が決定される。
【００３３】(4) 各グループＧj に分割される正整数の
組の個数nj(j=1,2,…,ｍ)を、以 下のように
決定する。このnjはｍとともに入力分割部に渡される。
組の個数nj(j=1,2,…,ｍ)を、以 下のように
決定する。このnjはｍとともに入力分割部に渡される。
【００３４】 nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝|ｎ／ｍ|-1 [7] [3] 入力分割部による入力正整数組の分割 (5) 各グループＧjに、ｎ個の(Xi,Yi)を適当にnj個ずつ
分割し、各グループＧj 毎に分割された(Xi,Yi)(i∈Ｇ
j) をべき積演算部に与える。
分割し、各グループＧj 毎に分割された(Xi,Yi)(i∈Ｇ
j) をべき積演算部に与える。
【００３５】[4] べき積計算部による演算 (6) 各グループ毎に分割されたnj個の正整数の組(Xi,Y
i)(i∈Ｇj)に対して 入力である正整数ｐを法
とするべき積演算を求め、結果Zjを乗算計算
部に与える。
i)(i∈Ｇj)に対して 入力である正整数ｐを法
とするべき積演算を求め、結果Zjを乗算計算
部に与える。
【００３６】 Zj＝Πi (XiYi) modｐ (i∈Gj,j=1,2,…,ｍ) [8] [5]乗算計算部による演算 (7) べき積演算部で求められた各Zj(j=1,2,…,ｍ)の正
整数ｐを法とする積 を求め、これを出力す
る。
整数ｐを法とする積 を求め、これを出力す
る。
【００３７】 Ｚ＝(Z1×…×Zｍ) modｐ [9] このべき積演算装置の全体の計算量(ｐを法とする乗算
回数)は、(2)式より以下の通りとなる。
回数)は、(2)式より以下の通りとなる。
【００３８】 (ｎ-(|ｎ／ｍ|-2)×ｍ)×2|n/m|-1-ｍ-ｎ)+2×(ｋ-1)×ｍ+(ｍ-1) [10] (但し、ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn))) またべき積計算部において必要なテーブル容量は、高々
以下の通りである 2|n/m|×log2ｐ ビット [11] 具体的に、この実施例においてｐ,Xiが500 ビット、Yi
が150 ビットとするとき、ｎに対する最適な分割数ｍと
その時の計算量を以下に示す。また図２(a)にこの結果
を図示する。
以下の通りである 2|n/m|×log2ｐ ビット [11] 具体的に、この実施例においてｐ,Xiが500 ビット、Yi
が150 ビットとするとき、ｎに対する最適な分割数ｍと
その時の計算量を以下に示す。また図２(a)にこの結果
を図示する。
【００３９】 1≦ｎ≦ 8のとき分割数ｍ＝1、計算量は 300〜 600 9≦ｎ≦15のとき分割数ｍ＝2、計算量は 600〜1000 16≦ｎ≦22のとき分割数ｍ＝3、計算量は1000〜1400 23≦ｎ≦28のとき分割数ｍ＝4、計算量は1400〜1800 また従来の技術の項で述べたｎ次べき積演算を全く分割
せずに求める場合の計算量と実施例の計算量を比較した
ものを図２(b) に示す。このように本発明による実施例
では、計算量はｎに対して指数関数的に増加しないこと
が分かる。また、べき積計算部に必要となるテーブル容
量は、任意のｎに対して高々100ｋヒ゛ット となる。
せずに求める場合の計算量と実施例の計算量を比較した
ものを図２(b) に示す。このように本発明による実施例
では、計算量はｎに対して指数関数的に増加しないこと
が分かる。また、べき積計算部に必要となるテーブル容
量は、任意のｎに対して高々100ｋヒ゛ット となる。
【００４０】なお、以上の説明では、分割数ｍおよび要
素数njをそれぞれ[5][6]式、および[7] 式より決定する
ように選んだが、分割数ｍおよび要素数njを別の手順で
選ぶように構成できる。
素数njをそれぞれ[5][6]式、および[7] 式より決定する
ように選んだが、分割数ｍおよび要素数njを別の手順で
選ぶように構成できる。
【００４１】また、以上の説明では、べき積計算部にお
いて、べき積演算を２値計算法により求める場合に限っ
て、そのときの計算量やテーブル容量について説明した
が、べき積演算を多値計算法により求めることも可能で
ある。この場合、２値計算法に比較して、計算量的に削
減できる一方、テーブル容量は増加する。このため、計
算量と、テーブル容量の兼ね合いでどちらの構成にする
かを決定すればよい。
いて、べき積演算を２値計算法により求める場合に限っ
て、そのときの計算量やテーブル容量について説明した
が、べき積演算を多値計算法により求めることも可能で
ある。この場合、２値計算法に比較して、計算量的に削
減できる一方、テーブル容量は増加する。このため、計
算量と、テーブル容量の兼ね合いでどちらの構成にする
かを決定すればよい。
【００４２】また、べき積計算部を１個備える場合につ
いて説明したが、べき積計算部およびそれに付随するメ
モリー部を複数備えるようにも構成できる。このとき、
分割された各べき積演算を並列に処理できる。この場
合、計算量は、いずれのべき積計算部も、約 2|n/m|-|n/m|-1+2×(ｋ-1) となる。またべき積計算部におけるテーブル容量は全体
で、 ｍ×2|n/m|×log2ｐ ビット 必要となる。
いて説明したが、べき積計算部およびそれに付随するメ
モリー部を複数備えるようにも構成できる。このとき、
分割された各べき積演算を並列に処理できる。この場
合、計算量は、いずれのべき積計算部も、約 2|n/m|-|n/m|-1+2×(ｋ-1) となる。またべき積計算部におけるテーブル容量は全体
で、 ｍ×2|n/m|×log2ｐ ビット 必要となる。
【００４３】具体的に上述と同じ数値例の場合、べき積
部を複数備える構成の場合の計算量は、いずれのべき積
計算部も600 程度となり、この各べき積計算部の処理を
並列処理させることにより全体の処理時間は短縮され
る。ただし、この場合べき積計算部におけるテーブル容
量は全体で、 1≦ｎ≦ 8のときテーブル容量は 高々100kヒ゛ット 9≦ｎ≦15のときテーブル容量は 高々200kヒ゛ット 16≦ｎ≦22のときテーブル容量は 高々300kヒ゛ット 23≦ｎ≦28のときテーブル容量は 高々400kヒ゛ット となる。この場合、テーブル容量はｎに対して指数関数
的に増加しないことがわかる。
部を複数備える構成の場合の計算量は、いずれのべき積
計算部も600 程度となり、この各べき積計算部の処理を
並列処理させることにより全体の処理時間は短縮され
る。ただし、この場合べき積計算部におけるテーブル容
量は全体で、 1≦ｎ≦ 8のときテーブル容量は 高々100kヒ゛ット 9≦ｎ≦15のときテーブル容量は 高々200kヒ゛ット 16≦ｎ≦22のときテーブル容量は 高々300kヒ゛ット 23≦ｎ≦28のときテーブル容量は 高々400kヒ゛ット となる。この場合、テーブル容量はｎに対して指数関数
的に増加しないことがわかる。
【００４４】
【発明の効果】以上の説明から明らかなように本発明
は、入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)を、ｍ(ｍ≧1)
個のグループＧj(j=1,2,…,ｍ)に、それぞれnj(1≦nj≦
ｎ,ｎ＝n1+n2+…+nm) 個ずつ分割する入力分割部と、グ
ループの個数ｍを決定するグループ数決定部と、各グル
ープＧj(j=1,2,…,ｍ)に分割する正整数の個数njを決定
する要素数決定部と、各グループＧj に分割されたnj個
の正整数の組(Xi,Yi)(ｉ∈Ｇj)に対するべき積演算Zj＝
Πi (XiYi) modｐ (i∈Gj,j=1,2,…,ｍ)を求めるべき積
計算部と、正整数ｐを法とするべき積計算部で求めたZj
(j=1,2,…,ｍ) に対する乗算結果Ｚ＝(Z1×…×Zｍ) mo
dｐ を求める乗算計算部を備えることによって、ｎ次の
べき積演算が、入力分割部でｍ(≧1) 個のnj(1≦nj≦
ｎ,ｎ＝n1+n2+…+nm) 次のべき積演算に分割され、各nj
次のべき積演算が、それぞれべき積計算部で２値計算法
を用いて実行され、各nj次のべき積演算の結果に対する
乗算が、乗算計算部で実行されるため、与えられたｎ次
のべき積演算を、自動的に、また効率的に求めることが
できる。
は、入力であるｎ個の正整数の組(Xi,Yi)を、ｍ(ｍ≧1)
個のグループＧj(j=1,2,…,ｍ)に、それぞれnj(1≦nj≦
ｎ,ｎ＝n1+n2+…+nm) 個ずつ分割する入力分割部と、グ
ループの個数ｍを決定するグループ数決定部と、各グル
ープＧj(j=1,2,…,ｍ)に分割する正整数の個数njを決定
する要素数決定部と、各グループＧj に分割されたnj個
の正整数の組(Xi,Yi)(ｉ∈Ｇj)に対するべき積演算Zj＝
Πi (XiYi) modｐ (i∈Gj,j=1,2,…,ｍ)を求めるべき積
計算部と、正整数ｐを法とするべき積計算部で求めたZj
(j=1,2,…,ｍ) に対する乗算結果Ｚ＝(Z1×…×Zｍ) mo
dｐ を求める乗算計算部を備えることによって、ｎ次の
べき積演算が、入力分割部でｍ(≧1) 個のnj(1≦nj≦
ｎ,ｎ＝n1+n2+…+nm) 次のべき積演算に分割され、各nj
次のべき積演算が、それぞれべき積計算部で２値計算法
を用いて実行され、各nj次のべき積演算の結果に対する
乗算が、乗算計算部で実行されるため、与えられたｎ次
のべき積演算を、自動的に、また効率的に求めることが
できる。
【００４５】またグループ数決定部で、グループの個数
ｍを、入力されたｎ個の正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,
ｎ)および正整数ｐより決定し、要素数決定部で、各グ
ループＧj に分割される正整数の組の個数nj(j=1,2,…,
ｍ) を、前記正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)、正整数
ｐ、および前記グループの個数ｍより決定することによ
って、ｎ次のべき積演算を計算量的に効率よく計算する
ことができる。
ｍを、入力されたｎ個の正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,
ｎ)および正整数ｐより決定し、要素数決定部で、各グ
ループＧj に分割される正整数の組の個数nj(j=1,2,…,
ｍ) を、前記正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)、正整数
ｐ、および前記グループの個数ｍより決定することによ
って、ｎ次のべき積演算を計算量的に効率よく計算する
ことができる。
【００４６】特にグループ数決定部で、ｔに関する方程
式 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 (但し、ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn)))の根αを求め、グ
ループ数ｍを、この根αを用いて ｍ＝|α|もしくはｍ＝|α|-1 (但し、|ａ|はａ以上で最小の正整数)とし、要素数決定
部で、各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj
(j=1,2,…,ｍ)を、前記グループ数ｍを用いて nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝|ｎ／ｍ|-1 とすることによって、ｎ次のべき積演算を計算量的に最
も効率よく計算することができる。
式 {1-loge2×(ｎ／ｔ)}×2n/t+2(ｋ-1)＝0 (但し、ｋ＝log2(max(Y1,Y2,…,Yn)))の根αを求め、グ
ループ数ｍを、この根αを用いて ｍ＝|α|もしくはｍ＝|α|-1 (但し、|ａ|はａ以上で最小の正整数)とし、要素数決定
部で、各グループＧj に分割される正整数の組の個数nj
(j=1,2,…,ｍ)を、前記グループ数ｍを用いて nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝|ｎ／ｍ|-1 とすることによって、ｎ次のべき積演算を計算量的に最
も効率よく計算することができる。
【００４７】さらに、多値計算法を用いてべき積演算を
求めるべき積計算部を備えることで、２値計算法を利用
する場合より計算量を削減することができる。ただしこ
の場合テーブル容量は逆に増加する。
求めるべき積計算部を備えることで、２値計算法を利用
する場合より計算量を削減することができる。ただしこ
の場合テーブル容量は逆に増加する。
【００４８】さらに、べき積計算部およびそれに付随す
るメモリー部を複数備えることで、べき積計算部の処理
を並列に実行できるため、ｎ次のべき積演算に要する処
理時間を軽減できる。
るメモリー部を複数備えることで、べき積計算部の処理
を並列に実行できるため、ｎ次のべき積演算に要する処
理時間を軽減できる。
【図１】本発明の実施例におけるべき積演算装置の概略
構成図
構成図
【図２】（ａ）本発明の実施例における計算量と分割数
の関係図 （ｂ）本発明の実施例と従来技術における計算量の比較
図
の関係図 （ｂ）本発明の実施例と従来技術における計算量の比較
図
１０ 入力分割部 １１ グループ数決定部 １２ 要素数決定部 ２０ べき積計算部 ２１ メモリー部 ３０ 乗算計算部
フロントページの続き (56)参考文献 原田俊治，館林誠“効果的なｎ変数べ き乗剰余演算法の提案とその一応用”電 子情報通信学会技術研究報告，Ｖｏｌ. 91，Ｎｏ．359，（1991年11月29日）, ｐｐ．25−36（ＩＳＥＣ91−40) (58)調査した分野(Int.Cl.7，ＤＢ名) G09C 1/00 - 5/00 H04L 9/00 G06F 7/00 ＩＮＳＰＥＣ（ＤＩＡＬＯＧ) ＪＩＣＳＴファイル（ＪＯＩＳ)
Claims (4)
- 【請求項１】 ｎ個の正整数の組(Xi,Yi)(i=1,2,…,ｎ)
と正整数ｐを入力すると、前記正整数ｐを法とし前記
正整数Yi(i=1,2,…,ｎ)をそれぞれのべきとする前記正
整数Xi(i=1,2,…,ｎ) に対するべき積演算の結果 Ｚ＝(X1Y1×X2Y2×…×XｎYn) modｐ を出力するべき積演算装置であって、 入力された前記ｎ個の正整数の組(Xi,Yi)を、ｍ(ｍ≧1)
個のグループＧj(j=1,2,…,ｍ) に、それぞれnj(j=1,
2,…,ｍ)(但し1≦nj≦ｎ,ｎ＝n1+n2+…+nm)個の正整数
の組(Xi,Yi)(i∈Ｇj) ずつ分割する入力分割部と、 前記入力分割部において、入力された正整数Yi(i=1,2,
…,ｎ) の最大値のビット数ｋを求め、このｋとｎより
決定される未知数ｔに関する次の方程式 [1-log e 2×(ｎ/ｔ)]×2n/t+2(ｋ-1)＝0 の根αを求めたのち、グループの個数ｍを、この根αを
用いてｍ＝|α|もしくはｍ＝(|α|-1) (但し、|ａ|は
ａ以上で最小の正整数)とするものとしてグループの個
数ｍを決定するグループ数決定部と 、 前記各グループＧj に分割される正整数の組の個数njを
決定する要素数決定部と、前記各グループＧjに分割された前記nj個の正整数の組
(Xi,Yi)(i∈Ｇj)に対して、 Ｚ＝(Z1×…×Zｍ) modｐ ここで、Zj＝Πi (Xi Yi ) modｐ (i∈Gj,j=1,2,…,ｍ) を求める演算部と、演算部に付随するメモリ部と を備え
たことを特徴とするべき積演算装置。 - 【請求項２】 要素数決定部で、各グループＧj に分割
される正整数の組の個数nj(j=1,2,…,ｍ)を、前記グル
ープの個数ｍを用いて nj(j＝1,2,…, (ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ))＝|ｎ／ｍ| nj(j＝(ｎ+ｍ-|ｎ／ｍ|×ｍ+1),…,ｍ)＝(|ｎ／ｍ|-1) とすることを特徴とする 請求項１記載のべき積演算装
置。 - 【請求項３】 前記演算部において、Zjの計算に、２値
計算法または、２値計算 法を一般化した多値計算法を用
いることを特徴とする請求項１記載のべき積演算装置。 - 【請求項４】 前記演算部、およびそれに付随するメモ
リー部を複数備え、演算部の処理を並列に処理できるこ
とを特徴とする請求項１記載のべき積演算装置。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP03312079A JP3136709B2 (ja) | 1991-11-27 | 1991-11-27 | べき積演算装置 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP03312079A JP3136709B2 (ja) | 1991-11-27 | 1991-11-27 | べき積演算装置 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH05150722A JPH05150722A (ja) | 1993-06-18 |
| JP3136709B2 true JP3136709B2 (ja) | 2001-02-19 |
Family
ID=18024987
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP03312079A Expired - Fee Related JP3136709B2 (ja) | 1991-11-27 | 1991-11-27 | べき積演算装置 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP3136709B2 (ja) |
Families Citing this family (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP4630117B2 (ja) * | 2005-04-25 | 2011-02-09 | 日本電信電話株式会社 | マルチペアリング演算方法、ペアリング比較方法、それらを用いた装置、およびプログラム |
-
1991
- 1991-11-27 JP JP03312079A patent/JP3136709B2/ja not_active Expired - Fee Related
Non-Patent Citations (1)
| Title |
|---|
| 原田俊治，館林誠"効果的なｎ変数べき乗剰余演算法の提案とその一応用"電子情報通信学会技術研究報告，Ｖｏｌ．９１，Ｎｏ．３５９，（１９９１年１１月２９日），ｐｐ．２５−３６（ＩＳＥＣ９１−４０） |
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH05150722A (ja) | 1993-06-18 |
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Legal Events
| Date | Code | Title | Description |
|---|---|---|---|
| LAPS | Cancellation because of no payment of annual fees |