JP2774997B2

JP2774997B2 - Ｎ次元基準フレームにおける物体の選択方法及び選択した物体の表示方法

Info

Publication number: JP2774997B2
Application number: JP1287762A
Authority: JP
Inventors: リオリヴィエ
Original assignee: ジェネラルエレクトリックセージェーエールソシエテアノニム
Priority date: 1988-11-04
Filing date: 1989-11-04
Publication date: 1998-07-09
Anticipated expiration: 2013-07-09
Also published as: DE68914594D1; US5222201A; EP0368718B1; DE68914594T2; EP0368718A1; FR2638875B1; FR2638875A1; JPH02171973A

Description

【発明の詳細な説明】発明の属する技術分野本発明は、Ｎ次元基準フレーム（referentiel;「基準
空間」ともいい得る）におけるオブジェクトの選択及び
選択されたオブジェクトの表示のための方法に関する。
オブジェクト（objet）の選択は、主に、このオブジェ
クトが存在するとみなされる基準フレームの位置座標の
リストを設定することからなる。本明細書において言及
する座標は、広い意味を持つものと理解されたい。すな
わち、それらの座標は、オブジェクト領域（univers）
内で組織化されたオクトリー（octree）データである。
これらのオクトリーデータは、オクトリー法によって、
領域を親ノード及びこれら親ノードに属する子ノードに
分解することによって得られる。本発明は、主に、オク
トリー型のトリー構造で数字コード化されたオブジェク
トの処理に関わる。この処理により、コード化されたオ
ブジェクトを表示し、測定したりすることができる。本
発明は、後続する処理の改良に寄与する。

従来の技術画像を、通常「オクトリー」と呼ばれるトリー構造に
数字コード化することは、多数の文献によって周知であ
り、例えば、「レンサレアポリテクニックインステ
ィテュートテクニカルレポート（Rensselaer Polyt
echnic Institut TechnicalReport）」の1981年９月号
に発表されたディー．ジェイ．アール．ミーガー（D.J.
R.MEAGHER）の論文「オクトリーコード化を利用した3D
医学画像の高速表示（High Speed Display of 3D Medic
al Images Using Octree Encoding）」、または雑誌
「コンピュータ・グラフィックスと画像処理（Computer
Graphics and Images Processing）」の1982年６月の
第19号、129〜147ページに発表された同一著者による論
文「オクトリーコード化を利用した幾何学的モデリング
（Geometric Modeling Using Octree Encoding）」があ
る。

さらに、アメリカ合衆国特許第4,694,404号或いはヨ
ーロッパ特許出願公報第0,152,741号には、オクトリー
コード化されたオブジェクトの画像に基づいた３次元
（3D）表示法が記載されている。この方法は、主とし
て、オブジェクト領域内に組織化されたオクトリー情報
をもとにして、オブジェクトを観察用スクリーンに平行
なターゲット面内に射影することからなる。他の方法と
して、所定のオクトリー分解から、例えば、４分の３背
面図のように他の投射角で、照明条件を変えて、オブジ
ェクトを表示することのできる方法が公知である。

しかし、これらの技術は、全部、共通して、オクトリ
ー法による領域の分解によって既に得られたオブジェク
トを使用する。それが必要な場合、且つ、ある条件下に
ある時は、このようにして選択されたオブジェクトのあ
る部分だけに注意を払うことができる。実際、平面から
実施された領域の分割が公知である。これらの分割によ
ると、平面の一方の側に位置するオブジェクトの部分を
除去して、残りの部分だけを後続の処理に適用すること
ができる。さらに、平面を組み合わせることによって、
限定された副領域を決定することができる。実施するの
が最も簡単な分割は、基準フレームの３座標軸XYZに沿
って行う分割である。実際、オクトリー分解は、数値ボ
リュームで実施される。数値ボリュームは、研究すべき
或いは構築すべきオブジェクトを概略的に示す。このオ
ブジェクトは、或る特性を持つオブジェクトのボリュー
ム要素の測定座標と組み合わせたオブジェクトの特性を
示す情報（断層密度測定では、この特性は放射線強度と
される）によって特定される。この測定は、３つの軸XY
Zに沿った３次元測定である。この測定は、対応する情
報を内蔵するメモリセルのメモリ中のアドレスに対応す
る。

公知の方法では、アドレスは、各座標軸を示すアドレ
スモーメントを含む。従って、検査すべきオブジェクト
の最も単純な分割の１つは、ボリューム要素のアドレス
モーメントが１次関数によって互いに相関している全て
のボリューム要素をオブジェクトから抽出することであ
る。実際、基準フレームの座標におけるこのような一次
関数は、平面を構成する。例えば、Ｘ座標を示す第１の
アドレスモーメントが正であるボリューム要素を全部抽
出することができる。

オクトリー型の分野におけるボリューム要素の座標
は、デカルト座標XYZで公知のものとは僅かに異なる構
造を有する。ボリューム要素すなわちオクタントは、以
下のように構成される合成アドレスによって決定され
る。領域立方体に含まれるオブジェクトを分解すること
を可能にするためには、階層式二分法が実施される。そ
のため、この立方体を、その６つの主平面の各々を互い
に平行な２つの面に分割することによって、８つの等し
い副立方体に分割する。各副立方体を同様に副−副立方
体に分割し、以下、同様に続ける。かくして、初期領域
立方体がその頂点（根）（レベル０と定義される）に位
置し、最初の副立方体がレベル１に位置し、以下同様に
レベルが下がってゆく多レベルの階層構造が得られる。
初期立方体は、８個の副立方体の親或いは親ノードと称
され、それらの副立方体は子ノードと称される。子であ
るこれらの副立方体の各々は、さらに、副−副立方体の
親であり、以下同様である。

第１図は、分解レベル0,1,2でのこの階層式二分法を
図示したものである。立方体の分解は、常に、副立方体
に同様に番号を付けることによって実施される。従っ
て、図示した主立方体には、０から７までの番号の副立
方体があり、始めの４つは下部の平面に、後の４つは上
部平面に位置している。同様に、レベル２での分解で
は、副立方体０を８個の副−副立方体に分割し、０′〜
７′と番号付けされている。これらの副−副立方体は、
０から７までの副立方体が主立方体中に配置されている
ように、同様に配置されている。この分割の永続性は、
オクトリー法における公知の方法では、（所定のレベル
の立方体の）ノードのアドレスに、このアドレスが属す
る階層レベルと子ノードの中心の各座標を保持すること
を必要とする。その結果、主軸による数値ボリュームの
分割を、メモリ中のこの数値ボリュームを示すアドレス
モーメントによる分割に容易に転換することのできると
共に、また、オブジェクトのオクトリー分解に容易に転
換することができる。

しかし、平面内での分解がいつでも適合しているわけ
ではない。例えば、頭部の像を得るための医療工学で
は、目を数値ボリュームで表示する必要があることがあ
る。数値ボリュームでは、目の形状は、立方体よりも球
に近づくことが好ましいことが分かる。例えば、この目
の平均放射線密度を計算することを所望の場合、平面に
よる分割は、あまり現実的ではない。多面体のボリュー
ムを形成し、オブジェクトの丸い部分に関する情報を抽
出することによって平面による表示の精度を高めること
ができる。しかしながら、この表示方法には欠点があ
る。すなわち、リアルタイムの動作と両立しない期間の
間、データ処理装置を占有する。実際、目等の湾曲した
表面は、それにアプローチするボリュームの面の数が多
いほど、より近く模倣される。これらの面に対応する平
面の計算は、その面の数が多いほど、時間がかかる。

さらに、オブジェクトを画成するための湾曲した平面
を定義すると、Ｘ、Ｙ又はＺにおける少なくとも２次の
座標の組み合わせの式が導かれる。詳細には説明しない
が、湾曲した面によるオブジェクトのアプローチは、処
理プロセッサによる乗算の計算を必要とする。しかし、
乗算の演算は、特に大規模で実施する場合、時間がかか
りすぎるので、都合が悪い。また、これらの演算は、リ
アルタイムでの使用を不可能にする。

発明が解決しようとする課題本発明の目的は、デカルト座標表示で２次項を含む湾
曲による分割を提案することによって、上記の問題点を
解決することにある。しかし、本発明は、リアルタイム
での計算を可能にするように単純化を提供するものであ
る。実際には、これらの表示において、２次項を全部定
数に置換し、オクトリー分解の階層レベルの変換ごとに
基準フレームの変換を正しく当てはめることによって、
平面分割の場合のように、オブジェクトの分割面に対し
て正しい側に位置する部分だけを考慮することのできる
単純な表示に到達することができる。基準フレームの変
化は、アドレスシフトで実現させることができる。以下
に説明するように、予備計算をすることもできるし、２
進法の加算及び減算演算だけを含むこともできる。２次
項を定数に置換することによって、時間の浪費の原因と
なる乗算をすべて排除することができる。また、湾曲面
を互いに組み合わせて、複合ボリュームを決定すること
ができる。

課題を解決するための手段本発明は、領域（univers）と呼ばれる基準フレーム
においてオブジェクトの座標を表わすアドレスを選択す
るための方法であって、前記領域を、オクトリー法により、親ノード、及び、
該親ノードに属する子ノードに分解することによって、
前記オブジェクトの部分の座標を取得し、プリミティブと呼ばれる面であって、２次項を含むプ
リミティブ関数 F₁＝ax²＋by²＋cz²＋dyx＋exz＋fyz＋gx＋hy＋iz＋ｊ≧
０ここで、x,y,zは、空間内のデカルト座標位置であ
り、 a,b,c,d,e,f,g,h,i,jは、プリミティブを決定するた
めの係数を表わす、により表現される少なくとも１つの面によって、前記オ
ブジェクトの境界を特定し、前記取得は、前記領域のオクトリー分解における各親
ノードについて前記プリミティブ関数の値を算出するこ
とを含み、この算出は、前記分解段階においてプリミティブ関数
がとる数値に従って親ノードに付与される充満状態、空
白状態或いは部分的充足状態と関連付けられ、ノード
は、前記プリミティブの所与の一方側に完全に位置する
場合に充満状態とされ、前記プリミティブの他方側に完
全に位置する場合に空白状態とされ、前記プリミティブ
にまたがる場合に部分的充足状態とされ、前記算出は、
プリミティブ関数に１つのノードポイントの座標値を置
くことによって行われ、ノードがまたがっている場合と
は、前記関数の値が当該ノードの２つのポイントについ
て異なる場合である方法において、前記プリミティブ関数を、該プリミティブ関数の２次
項が定数k₁によって置換された１次関数 gx＋hy＋iz＋ｊ−k₁ に置換するステップ、この１次関数の値を算出して、各親ノードの状態を決
定するステップ、及び、親ノードが部分的充足状態にあるときに、式ｘ′＝2x/ε_x ここで、ｘ′は、それ以前の基準点における同一ノー
ドの同一ポイントの同一座標に対応する新しい基準点に
おける同一ノードの同一ポイントの座標であり、 ε_xは、当該親ノードに関係する子ノードの場所に従
って−１、＋１又は０に等しい値をとる変量である、で表されるタイプの変換により基準フレームの基準点を
変換して、前記１次関数から演繹される単純な１次関数 −|g|−|h|−|i|＋ｊ−k₁≧０に基づき、当該親ノードに属する各子ノードの状態を決
定するステップを具備することを特徴とする方法を提供
する。

発明の実施の形態第１図は、基準フレームXYZに対して位置する領域（u
nivers）を図示したものである。この領域は、制限され
たサポート上で決定される。この領域は、立方体の形状
をしており、その角頂の座標は、例えば、ｘ＝±１、ｙ
＝±１、ｚ＝±１である。オクトリー分解では、所望の
特性を持っているかどうかを決定するために各ノードが
評価される。説明を簡単にするために、本発明では、所
要の特性とは、ノードが、既知の式をもつ所与の面の背
後に、完全に位置しているか、部分的に位置している
か、或いは、全く位置していないということをいう。本
発明においては、この式の顕著な特性は、xyzの２次項
を有することである。

例えば、概念を固定するために、どのノードが第１図
の立方体の中心に図示されている単位直径の球100内に
配置されているのかを決定することが求められる。主ノ
ード即ち領域全体は球100内に全て含まれてはいない。
球は、わざと、立方体より小さいように描かれているの
で、これは明らかである。従って、レベル０では、主ノ
ードは『部分的』（partiel:本明細書では、「部分的充
足」ということもある）として参照される。主ノードを
０から７の番号を付けた８個の子ノードに分解する。第
１図をみるならば、ノード０〜７は、各々、一部分だけ
が球100に含まれている。従って、まだ確定していない
各ノードは、次に、子ノードに分割される。

この実施例では、ノード０は、０′〜７′の番号を付
けた８個の子ノードに分割されている。上述した大きさ
の球では、ノード７′だけが部分的に球100内に位置し
ている。他のノード０′〜６′は、完全に球100の外部
にあるので、『空白』（vide）であると言われる。次
に、ノード７′をノード０″〜７″に更に分解する（図
示せず）。ノード０″が空白である（完全に球100の外
にある）時、ノード７″は、これとは反対に充満した状
態（plein）であることが直観的にわかろう。最終的な
分析で、ノードが面（表面）の内部のボリュームと全く
交点を持たない時、このノードは『空白』であって、
“E"と表記する。ノードが完全に面（表面）内に含まれ
る場合は、『充満』（plein）であり“F"と表記する。
ノードが空白でも充満状態でもない場合は、『部分的』
であり、“P"と表記する。

ノードが部分的である場合には、このノードを再度副
分割して、この親ノードに属する子ノードの状態を決定
することができる。所望の処理に対して情報（Ｅ、Ｐ又
はＦ）が十分であるか若しくはただ単に可能であるか、
或いは、連続する副分割の数（分解能としても知られて
いる）が十分に大きくて更なる副分割を必要としないこ
とにより、この副分割はいつでも終了することができ
る。

２次の表面の特定の側に存在する地点の方程式F₁は次
のタイプのものである； F₁＝ax²＋by²＋cz²＋dyx＋exz＋fyz＋gx＋hy＋iz＋ｊ≧
０ …〔Ｉ〕従って、この湾曲面、即ち、所謂「プリミティブ」（pr
imitive）の式は、x²、y²又はz²に２次項を有し、xy、x
z又はyzにさえ２次項を有することが明らかである。領
域、即ち、基準フレーム（referentiel）の点がこの表
面の特定の側に位置するかどうかを知りたいとき、不等
式がこの点について満たされることが検証される。不等
式が所与のノードに含まれる全てのポイントに関して満
足されている場合に、プリミティブは当該ノードに対し
て充満（plein）状態にあることを以下に説明する。プ
リミティブは、空白でも充満状態でもないと言え、不等
式が所与のノードのある点に関して満たされており、所
与のノードの別の点に関しては満たされていない時、こ
の問題のノードは部分的であると判定される。前記のよ
うに、オクトリー分解は、０レベルを有するノードから
より高いレベルを有するノードへと実施される。その結
果、プリミティブが満たされるノードと満たされないノ
ードが決定される。最も高いレベルは前もって決定する
こともでき、アルゴリズムの実行中に決定することもで
きる。次に、プリミティブが満たされたノードだけを保
持することによって、上記のプリミティブの等式によっ
て示される形状の表面を備えるオブジェクトの選択が実
施される。このオブジェクトの選択は、オクトリー分解
で座標を選択することと同じことである。この時、数値
ボリュームのオクトリー分解から生成する通常のオブジ
ェクト中で、上記のように選択されたオブジェクトと同
じ座標を有するノードを選択することが好ましい。

式Ｉにみられるように、ノードに関する関数F₁の計算
は、このノードに属する地点の全ての値xyzに関して実
施しなければならない。この計算は、かなりの演算を含
む。本発明では、領域が元の立方体（［−1,−1,−１］
〜［＋1,＋1,＋１］の点で基準フレームXYZに従って画
成される）であることから出発して、各座標は絶対値で
１より小さいという事実を演繹することができる。従っ
て、次式により単純化が実施された： G₁＝ax²＋by²＋cz²＋dxy＋exz＋fyz＋ｋ …〔II〕この式において、係数ａ〜ｆは、F₁を定義することがで
きるものと同じものであり、係数ｋは、定数を示す。領
域定義のサポートが限定されているというから、従っ
て、検査中の限定された領域に属するｘ、ｙ又はｚの値
に関係なく、G₁が０か正であるようなk₁として示される
特定値ｋが存在することが分かっている。実際には、例
えば、 k₁≧ｋ＝|a|＋|b|＋|c|＋|d|＋|e|＋|f| …〔III〕のようなk₁値を選択することが必要な場合もあり、他の
k₁値を選択することができる場合もある。ここで注意す
べき重要な点は、検査中の限定された領域の点に無関係
にG₁が０か正であるような数値k₁が存在することてあ
る。特定な数値k₁を選択することによって、この方法を
どのように改良することができるかを以下に説明する。
また、同様に、ｘ、ｙ又はｚの値が上記のように限定さ
れた領域に属するならば、ｘ、ｙ又はｚの値の無関係
に、G₁が、負又は０になるか、或いは、厳密に負になる
ことさえある数値k₂が存在することが分かっている。k₁
の決定によってG₁が決定されるならば、k₂の定義によっ
て次式G₂の定義が導出される： G₂＝ax²＋by²＋cz²＋dxy＋exz＋fyz＋k₂ …〔IV〕実際、k₁及びk₂は、G₁及びG₂が検査中の領域下の少なく
とも１つのポイントで０であるように決定することがで
きる。しかし、これは必ずしも問題ではないことがわか
る。k₁及びk₂は、係数a,b,c,d,e,f（プリミティブの湾
曲面の式の２次項の係数）によってのみ変わることが極
めて重要である。

このような単純化によって、式Ｉのプリミティブの表
示は、プリミティブが充満であるかどうか或いは空白で
あるかどうかを調べることが望まれるのに従って、次式
によって置き換えることができる： F₁＝G₁＋gx＋hy＋iz＋ｊ−k₁ …〔Ｖ〕 F₂＝G₂＋gx＋hy＋iz＋ｊ−k₂ …〔VI〕従って、プリミティブが充満であるか或いは空白である
かを示すことを目的とする検査は、十分条件を構成する
が必要条件を構成しない一層単純な検査によって置き換
えることができる。この検査では、G₁が正であることか
分かっていると、プリミティブが充満であることを保証
するためには、基準フレームに属するｘ、ｙ又はｚの値
に関係なく次式を確認すれば十分である： gx＋hy＋iz＋ｊ−k₁≧０実際、基準フレームは−１と＋１によって限定されてい
るので、この条件自体は、さらに、十分条件であるが必
要条件ではない次の他の条件に変換することができる： −|g|−|h|−|i|＋ｊ−k₁≧０ …〔VII〕同様に、プリミティブが空白であることを決定すること
は、次式を検証することにある： |g|＋|h|＋|i|＋ｊ−k₂＜０ …〔VIII〕これらの式において、ｇ、ｈ、ｉ及びｊは、指示された
プリミティブ関数F₁について、当初に決定された数値で
ある。プリミティブ関数F₁は、同時に、空白でありしか
も充満であり得ないことが分かっている。特に、十分条
件がすでに選択されていることによって、充満であるノ
ード状態は、式VIIが検証された場合に存在し、空白の
状態は、式VIIIが検証された場合に存在する。式VIIも
式VIIIも検証されない他の場合には、関数F₁は、部分的
充足であるか、充満であるか或いは空白である。従っ
て、このノードの子ノードへの副分割は、最も高いレベ
ルに到達していない限り必要であることが分かる。この
場合、ノードは、この最高レベルにて部分的な関数F
₁（実際には充満である）をもつノードについて前もっ
て決定された値を取る。ノードが条件VII及びVIIIを用
いて当初に決定されなかったため充満であるか或いは空
白であろうノードを副分割するいう事実は、次の２つの
理由によって厄介なことではない：１）副分割後、子ノードは前記と同様な方法で決定され
る。

２）追加的に実行すべき計算の合計は、最適な定数k₁及
びk₂の選択のために完全に制限される。つまり、 k₁は、G₁が正か０になる最も低い数値であり、 k₂は、G₂が負になる最も高い数値である。

実際、所定の関数、例えば、半空間、球については、
このようなケースは、定数k₁及びk₂が上述したように最
適化されている場合には極めて例外的にしか現れない。

部分的なノードが含まれている結果として、ここまで
は階層式二分法の０レベルの場合を考えているので、こ
のようにして分かった部分的な親ノードに属する子ノー
ドのケースにおいては、関数F₁の値を調べることが必要
である。従って、本発明において分かったことは、子ノ
ードのケースにてプリミティブの値を決定する前に、子
ノードの境界（子ノードの副立方体の角頂）を位置標定
するのを可能にする基準座標（基準フレーム）の原点の
変更を実施することが極めて有効であるということであ
る。第１図に参照番号101で示される基準フレームの変
更は、領域ボイント座標xyzを次式にて与えられる座標
ｘ′ｙ′ｚ′に置き換えることにある：この式では、εは、関係する子副立方体の番号（No）
に従って次の第１表に示される値を有する。

この方法によって処理することによって、原立方体の
座標がxyzの場合、変数の変化は、上記のように＋１と
−１との間にある原立方体の座標を子の副立方体０の角
頂ｘ′ｙ′ｚ′を与えることからなる。さらに、ε_x、
ε_y及びε_zの選択は、親立方体内の副立方体の位置によ
って決定される。副立方体の分布は、親立方体からその
親立方体による子立方体まで不変なので、第１表を連続
して使用することができる。同様に、変数IXの変更もま
た、例えば、副立方体７′の場合と同様に実施すること
ができる。この変数の変更では、基準フレームの中心
は、立方体７′の中心に変位される。この場合、式IXに
おいて、ｘ′はｘ″に置換され、ｘはｘ′に置換され、
以下、同様である。

ｘ、ｙ及びｚをｘ′、ｙ′及びｚ′の関数としてのそ
れらの数値によって置換すると、式F₁は、式F₁と同一タ
イプの式Ｆ′₁になる。式Ｆ′₁において、係数ａ〜ｊ
は、次のような係数ａ′〜ｊ′によって置換される：ｊ′＝4j＋ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄε_xε_y＋ｅε_xε_z＋ｆε_yε_z
＋2gε_x＋2hε_y＋2iε_z …〔XII〕このように実施した変数の変化によって、係数ａ〜ｆ
に各々等しい係数ａ′〜ｆ′が決定されることは、注目
すべきことである。従って、G₁及びG₂値は、この変数の
変化によって影響されない。k₁及びk₂の定義は、設定時
に選択した通り保持することができる。

さらに、係数ｇ′、ｈ′及びｉ′の計算は、乗算なし
に実行することができる計算である。この計算は、むし
ろ、既知の数２とε_x、ε_y及びε_zとの乗算によって実
行される。実際上、一方では、既知の数は、乗算の単純
な演算を伴うが、他方では、既知の数の最後のものは、
乗算を必要とせず符号の変化だけ必要とする。実際、
ａ、ｘ及びｙが不確定な値である時ａ・ｘ・ｙのタイプ
の乗算を実施する場合よりも、例えば、ｂだけが不確定
な値である場合2b・ε_yの演算を実施する方が極めて迅
速なことは理解されよう。また、ε_xε_yタイプの積は、
第１表と逆の表において予め計算することができる。こ
れらの数値は、＋１又は−１だけである。

この基準フレームの変化と定数k₁及びk₂とを使用する
と、結果的に、子ノードのケースの関数F₁の試験が簡単
になる。この試験は、実際には、ｇ、ｈ、ｉ及びｊを
ｇ′、ｈ′、ｉ′及びｊ′によって置換した式VII及びV
IIIの試験を実施することからなる。最終分析におい
て、検討中の階層レベルをメモリに保持することによっ
て、ｘ、ｙ又はｚのいかなる値も試験する必要がなくな
る。ここで使用される技術によって、複雑な計算を実施
しないで、第１図に図示した領域の充満状態のノードに
速やかに到達することができることは明らかである。

階層レベルとノード番号を備えるこれら充満ノードの
集合は、いかなる数値ボリュームからも引き出すことの
できるノードアドレスの集合である。係数ａ〜ｊの数値
を変更することによって、その充満状態のオクタントを
知ること望ましい２次の湾曲面を決定することができ
る。それに加えて、任意の場所、すなわち、目を示すノ
ードに対応する情報（放射線密度に関する）を直ちに得
るためには、この面を移動させて、目の任意の場所に数
値ボリューム内の面を重ねることが必要である。以下
に、この選択をさらにどのように利用して、選択したオ
ブジェクトを図示を実施するかについて説明する。

面100は、必ずしも、閉じた面ではない。実際、この
面の全部が原領域内に含まれるのではないことはあり得
る（例えば、面100が回転体の放物面である場合）。そ
れは開いた面である。しかし、これは、重要ではない。
いずれの場合も、この面の一方の側にどのノードが位置
し、他方の側にどのノードが位置するかを決定すること
ができる。本発明における興味深い特徴は、領域の分割
面が必ずしも平らでないということである。上記のよう
な技術において、結合タイプ、交差タイプ、相補タイプ
及び減算タイプのブール演算によって分割数を組み合わ
せることができる。

第２図は、人間の肋骨内で、湾曲面によって横切られ
た脊椎の部分の放射線密度に関する得られた情報を図示
する数値ボリュームにおける選択を概略的に図示したも
のである。従って、第２図の図示によって、この脊椎の
中央線を、互いに対向する方向に湾曲した２つの円筒形
102及び103の部分の線に置き換える可能性を考えること
ができる。この円筒形は、平行な母線を有する。中央の
線は、各々円104及び105に位置するとみなすことができ
る。円104及び105は、基準フレームの中心と交差する。
横断面の円筒形の面102−103の準線の決定は、円104の
一部分を円103の他の部分と結合させることによって得
られる。円104の部分は、平面106,107によって両側で限
定される。平面106は、ｚ＝０のxy平面である平面107に
平行である。同様に、円105の部分は、平面107と平面10
8との間に位置する。平面108は、平面107に対して平面1
06と対称をなす。このようにして表現されるボリューム
のブール式は、次式で示される：（104∩106∩107）∪（107∩105∩108） …〔XIII〕この式では、当初に使用された関数F₁は、各々円104及
び105を示す関数F₁₀₄及びF₁₀₅の組み合わせによって置
き換えられる。関数F₁₀₄の決定によって、円104に関す
る２つの定数k₁及びk₂が決定される。この図面の上部分
では、平面106及び107によって１次の単純なプリミティ
ブ関数が導かれるのがわかろう。最後に、ノードが式XI
IIのブール結合の第１の部分にあてはまる場合、そのノ
ードは部分102についてて充満タイプである。同様に、
他のノードが式XIIIのブール結合の第２項の条件を満た
す場合、このノードは充満であると言うことができる。
これらの２つの項のうちの１つに対するノードの関係の
決定は、充満特性の決定のための３つの試験及び空白の
特性の決定のための３つの試験を含む。従って、各ノー
ドごとに、全部で12の試験を実施することが必要であ
る。しかしながら、関数の組み合わせに関して、ブール
代数によって、次の第２表に示される結果が導かれる：この第２表は、例えば、２つのプリミティブＦ又はＨ
のうち１つが空白であると仮定すると、これらのプリミ
ティブの交差部を検討する時、同じノードの他のプリミ
ティブの状態を評価する必要はないことを示している。
実際、Ｆが所定のノードで結果Ｅ（空白）を形成するな
らば、組み合わせの結果Ｆ∩Ｈは自動的にＥである。一
方、ブール結合に関しては、これらの関数を組み合わせ
るために充満状態にあるためには、ノードは関数として
充満状態にある必要がある。最後の分析で、この最後の
発見によって、実施すべき試験の数を多少限定されるこ
とが分かった。結局、プリミティブの１つが空白か充満
状態にあり、他のプリミティブが部分的である時、必要
ならばノードの副分割（部分的なブール演算の結果）
は、このプリミティブに関してだけ実施される。これに
よって、プリミティブの数が多い場合、実施すべき計算
の数をかなり減少させる。

上記の方法の利点は、２次プリミティブによって構成
される複雑な面内のオブジェクトの存在（又は不在）を
決定することができることである。さらに、これによっ
て、例えば、放射線の放出、オクトリー上の２次トリー
の投射（３つの主軸の１つに沿っている）によって、或
いは、オクトリー分解を使用する他のいずれかの方法に
よって、それを公知の技術によって選択されたオブジェ
クトの３次元表示の結果とすることが可能になる。

異なるオブジェクト間のブール演算によって、これら
の異なるオブジェクトによって画成されたボリューム内
に含まれる数値ボリュームの部分だけを表示することが
可能になる。また、含まれるボリュームの特性を測定す
る（質量の測定、平均放射線密度の測定）ことが可能に
なる。

３次元表示の場合、オクトリー樹木構造を検査するこ
とによって、表面の法線を直接得ることができる。実
際、いかなる所定の分解の場合でも、表面を投射するこ
とが所望されるプリミティブの式は、式Ｉ（基準フレー
ムの変更と組み合わされることがある）のタイプであ
る。このプリミティブに垂直な平面の良好な近似は、次
式によって定義される平面である： gx＋hy＋iz＝０この面に垂直なベクトルは、成分ｇ、ｈ及びｉを備え
る。このベクトルは、問題のノードの位置で選択された
オブジェクトの法線として利用される。いずれの場合で
も、このベクトルは、表現されるべき面についての明度
（valuer d'ombrage:「シャドウィング（陰影付け）濃
度」）を取得するために使用される１つ又は多数の光源
と組み合わせられる前に、標準化されなければならな
い。従って、この方法の利点は、補足の情報として、選
択された面に垂直なベルトルの方向を極めて迅速に提供
することである。法線ベクトルの方向は、問題のノード
の階層レベルでの単純な関数の１次項の係数によって構
成されていることが分かる。

上述した技術は、２次のプリミティブによって構築さ
れる構造固体幾何タイプ（CSG）のオブジェクトのオク
トリー表示を任意に実施することを可能にする技術であ
る。この方法は、また、等式が困難無く得られる２次元
の場合にも適用される。実際、対応する２次元の式を得
るために必要なのは、上記の等式の全部でｚを０に置き
換えることだけである。また、この方法は、Ｎ次元に普
遍化される。

第３図は、２次元の場合のk₁の決定の特殊性を示す。
この図面では、これはＦの形に図示されている。原ボリ
ュームの場合、プリミティブは明らかに部分的であるこ
とが観察される。また、副分割後、０から３の各副立方
体では、プリミティブが部分的であることが観察され
る。０の副立方体をさらに分割すると、副−副立方体
１′及び２′の場合、プリミティブはまた部分であるこ
とが分かった。係数g,h,i,jは、先に行った説明に従っ
て、各副分割の際に変更される。次に、副−副立方体
３′の場合を検討する。

所定のケースにおいては、プリミティブが、ノードの
すべての点で厳密に正（G₁）か厳密に負（G₂）であって
も、このプリミティブは部分的であると言うことができ
る。実際には、これによって、k₁及びk₂の決定に関する
不確定が生じる。しかしながら、部分的なプリミティブ
を各々部分的であると確定されたボリュームの副ボリュ
ーム上で検査する限り、これは厄介なことではない。従
って、副−副立方体３′は、プリミティブ関数Ｆについ
ては部分的であると言えるが、この表面に完全に含まれ
ている。この結果の不正確さは、k₁及びk₂の決定の不正
確さに相関している。この点から、k₁及びk₂を各々関数
F₁によって推定される最小値及び最大値に可能なかぎり
近似させるのは利点がある。しかし、ノード３′が間違
って部分的であると宣言されると、ノード３′の子ノー
ドは、少なくともノード１″,2″,3″に関して充満であ
ると順次宣言される。この方法の不正確さによって、ノ
ード０″は部分的であると宣言され続けることもある。
すなわち、本発明による技術は、より迅速であるもの
の、選択されたオブジェクトの輪郭の不正確さを導くこ
とがある。この不正確さは、可能な限り適切なk₁及びk₂
の値を選択することによって、小さくすることができ
る。

【図面の簡単な説明】

第１図は、オクトリー分解を概略的に図示したものであ
り、第２図は、医療分野での本発明の適用を示すもので
あり、第３図は、本発明による効果を概略的に図示した
ものである。〔主な参照番号〕０〜７…ノード、０′〜７′…副ノード、100…球 102,103…円筒形の面、104,105…円、106,107,108…平
面

Claims

(57)【特許請求の範囲】

【請求項１】領域と呼ばれる基準フレームにおいてオブ
ジェクト（100）の座標を表わすアドレスを選択するた
めの方法であって、前記領域を、オクトリー法により、親ノード、及び、該
親ノードに属する子ノードに分解することによって、前
記オブジェクトの部分の座標を取得し、プリミティブと呼ばれる面であって、２次項を含むプリ
ミティブ関数 F₁＝ax²＋by²＋cz²＋dyx＋exz＋fyz＋gx＋hy＋iz＋ｊ≧
０ここで、x,y,zは、空間内のデカルト座標位置であり、 a,b,c,d,e,f,g,h,i,jは、プリミティブを決定するため
の係数を表わす、により表現される少なくとも１つの面によって、前記オ
ブジェクトの境界を特定し、前記取得は、前記領域のオクトリー分解における各親ノ
ードについて前記プリミティブ関数の値を算出すること
を含み、この算出は、前記分解段階においてプリミティブ関数が
とる数値に従って親ノードに付与される充満状態、空白
状態或いは部分的充足状態と関連付けられ、ノードは、
前記プリミティブの所与の一方側に完全に位置する場合
に充満状態とされ、前記プリミティブの他方側に完全に
位置する場合に空白状態とされ、前記プリミティブにま
たがる場合に部分的充足状態とされ、前記算出は、プリ
ミティブ関数に１つのノードポイントの座標値を置くこ
とによって行われ、ノードがまたがっている場合とは、
前記関数の値が当該ノードの２つのポイントについて異
なる場合である方法において、前記プリミティブ関数を、該プリミティブ関数の２次項
が定数k₁によって置換された１次関数 gx＋hy＋iz＋ｊ−k₁ に置換するステップ、この１次関数の値を算出して、各親ノードの状態を決定
するステップ、及び、親ノードが部分的充足状態にあるときに、式ｘ′＝2x−ε_x ここで、ｘ′は、それ以前の基準点における同一ノード
の同一ポイントの同一座標に対応する新しい基準点にお
ける同一ノードの同一ポイントの座標であり、 ε_xは、当該親ノードに関係する子ノードの場所に従っ
て−１、＋１又は０に等しい値をとる変量である、で表されるタイプの変換により基準フレームの基準点を
変換して、前記１次関数から演繹される単純な１次関数 −|g|−|h|−|i|＋ｊ−k₁≧０に基づき、当該親ノードに属する各子ノードの状態を決
定するステップを具備することを特徴とする方法。
【請求項２】前記オブジェクトの境界は、２次プリミテ
ィブのブール論理組合わせによって特定され、各プリミティブは、定数を有する１次関数によって置換
され、これら１次関数の対応する組合わせが、各親ノードにつ
いて算出され、親ノードが該対応する組合わせについて部分的充足状態
にあるときは、基準点の変換が、式ｘ′＝2x−ε_xで表
されるタイプの変換に従って行われ、これにより、前記
対応する組合わせのブール論理により演繹される１次関
数の単純な組合わせを用いて、当該親ノードに属する各
子ノードの状態を決定するようにしたことを特徴とする請求項１に記載の方法。
【請求項３】さらに、身体の一部分（102,103）を表示するステップであっ
て、この部分は、前記領域内オブジェクトの境界を特定
する形状をこの身体内に有するものであるステップを具備し、この表示ステップの間、光源により生成される照明を前
記部分に適用して、当該各ノードでの前記オブジェクト
に垂直な反射の方向及び前記単純な関数の１次項の係数
に応じた明度を決定するようにしたことを特徴とする請求項１又は２に記載の方
法。