JP2645592B2 - レイアウトのコンパクシヨン方法 - Google Patents

Description

【発明の詳細な説明】 〔産業上の利用分野〕 本発明はLSI等のレイアウト設計において、レイアウ
トを与えられたデザインルールと素子パラメータ条件を
満たしつつ可能な限り圧縮し、レイアウト面積を縮小す
る方式に関するものである。

〔従来の技術〕

従来の制約グラフに基づくコンパクシヨン手法（参考
文献〔１〕）では、初期レイアウトに対して垂直方向の
コンパクシヨンと水平方向のコンパクシヨンを交互に繰
り返すことによつてコンパクシヨン結果のレイアウトを
得る。一回の垂直〔水平〕方向のコンパクシヨンでは、
以下の処理を行う。垂直方向について説明する。まず第
５図に示した如くして、レイアウトから垂直線分（太
線）を抽出する。また、このときレイアウトの最下端に
仮想的線分12を挿入しておく。続いてこれらの線分の集
合を節点集合とし、それらの間の相対的位置制約を枝に
対応させた垂直方向制約グラフを作成する。線分１とｍ
の間に１とｍに垂直に交差する垂直線分が描け、かつデ
ザインルールにより制約がこの２線分間にあるとき、１
に対応する節点からｍに対応する節点に枝を付加すると
する。例えば、第５図の例では、第５図（ｂ）に示した
垂直方向制約グラフの枝15は、節点17に対応した線分13
の上方になければならないことを意味している。従来の
方法では、この枝上の長さとして、１とｍの属性から決
まるデザインルールの値を付加し、線分12に対応する節
点18から各節点への最長路径路の長さを求めて、対応す
る各水平線分の垂直方向座標値としていた。

〔発明が解決しようとする課題〕

以上のような方法では、レイアウト要素を構成する各
水平線分は可能な限り下方向につめられるだけである。
しかし、アナログ回路など高性能を目標とする回路のレ
イアウト設計では、電気的特性を最適化するために、デ
バイスなどのレイアウト要素を設計者の与えた比率に応
じて分離させたり、接近させたりする必要が生じ、従来
の手法では十分なコンパクシヨン結果が得られなかつ
た。

本発明の目的は、LSI等のレイアウト設計において、
指定されたレイアウト要素間の距離の正数重みの逆数倍
の数値の最小値または最大値を、レイアウトの指定され
た高さ〔幅〕の上限値の範囲内でそれぞれ最大化または
最小化するように垂直〔水平〕方向にレイアウトをコン
パクシヨンするレイアウトコンパクシヨン手法を提供す
ることにある。

〔（従来の技術）の参考文献〕

〔１〕 リヤオとウオン，“雑多な制約を有するVLSIシ
ンボリツクレイアウトをコンパクト化するためのアルゴ
リズム",CADに関するアイ・イー・イー・イー会報、CAD
−２巻、62〜69頁、1983年（Liao ,Y.−Z.and Wong,C.
K.:“An Algorithm to Compact a VLSI Symboloic Layo
ut With Mixed Contraints",IEEE Trans.on CAD,VOL.CA
D−2,pp.62−69（1983）．） 〔課題を解決するための手段〕 本発明は、LSI等のレイアウト設計において、指定さ
れたレイアウト要素間の距離の正数重みの逆数倍の数値
の最小値または最大値を、レイアウトの指定された高さ
〔幅〕の上限値の範囲内でそれぞれ最大化または最小化
するように垂直〔水平〕方向にレイアウトをコンパクシ
ヨンし、上記のコンパクシヨンは、パラメトリツク線形
計画法に基づき垂直〔水平〕方向の制約グラフを用いて
行なうようにしたものである。

〔作 用〕

本発明によるレイアウトのコンパクシヨン方法におい
ては、指定されたレイアウト要素間の距離の正数重みの
逆数倍の最小値または最大値を、レイアウトの指定され
た高さ〔幅〕の上限値の範囲内でそれぞれ最大化または
最小化できる。

〔実施例〕

本発明によるレイアウトのコンパクシヨン方法は、従
来の技術とは、指定されたレイアウト要素間の距離の正
数重みの逆数倍の数値の最小値または最大値を、レイア
ウトの指定された高さ〔幅〕の上限値の範囲内でそれぞ
れ最大化または最小化するように垂直〔水平〕方向にレ
イアウトをコンパクシヨンできる点が大きく異なる。

第１の実施例 この実施例は、指定されたレイアウト要素間の距離の
正数重みの逆数倍の数値の最小値を、レイアウトの指定
された高さ〔幅〕の上限値の範囲内で最大化するように
レイアウトを垂直〔水平〕方向にコンパクシヨンするこ
とを目的とした構成を有する。

本方式においては、コンパクシヨンは、レイアウトを
垂直方向に圧縮する垂直方向コンパクシヨンと水平方向
に圧縮する水平方向コンパクシヨンを設計者によつて決
められた回数交互に繰り返すことによつて行われる。こ
の二つのコンパクシヨンは、レイアウトの向きを90゜回
転することによつて互に他で置き換えることができる。
そこでここでは、垂直方向のコンパクシヨンについての
み説明する。

本実施例中で用いる用語“木”、“補木”、“基本閉
路”、“基本カツトセツト”、“基本閉路行列”の定義
は、参考文献〔１〕を参照するものとする。また、“ス
ラツク変数”、“基底解”、“基底変数”、“非基底
解”、“非基底変数”、“単体表”、“軸演算”の定義
は、参考文献〔２〕を参照にするものとする。

第１図は、本発明の第一の実施例を説明する図であつ
て、１は制御部、２は入力部、３はグラフ作成部、４は
最長径路木作成部、５は基本閉路抽出部、６は基本閉路
の値計算部、７は重み変更部、８は基本カセツトセツト
抽出部、９は基本カツトセツトの値計算部、10は初等変
換部、11は座標整数化部、12は出力部である。

制御部１においては、以下のステツプ１から９を制御
する。

（ステツプ１） 入力部２を起動し、初期レイアウトの
座標テーブルＰ、分離制約テーブルII、デザインルール
テーブルＤ、レイアウトの高さの上限値Ｌ、座標整数化
要求フラグIFの入力する。（ステツプ２）へ進む。

（ステツプ２） 初期レイアウトに対して、グラフ作成
部３を起動し、制約グラフＧ（枝集合Ｅ、点集合Ｖ）を
作成する。（ステツプ３）へ進む。

（ステツプ３） 制約グラフＧに対して最長径路木作成
部４を起動して、Ｇの最長径路木Ｔを作成する。制御変
数ｑを０に設定し、パラメータｚを０に設定する。△_ｚ
という空のテーブルを作成する。（ステツプ４）へ進
む。

（ステツプ４） 制御変数ｑに１を加える。Ｉという名
前とＪという名前の二つの空のテーブルを作成する。各
枝ｅ（∈Ｅ−Ｔ）と木Ｔに対して、フラグcc＝２として
基本閉路の値計算部６を起動して、第二の基本閉路の値
C₂（e,T）を求める。そして、C₂（e,T）が正である枝ｅ
（∈Ｔ−Ｔ）をテーブルＩに書き込む。（ステツプ５）
へ進む。

（ステツプ５） テーブルＩに含まれる各枝ｅと木Ｔに
ついて、フラグcc＝１として基本閉路の値計算部６を起
動し、第一の基本閉路の値C₁（e,T）を求める。そし
て、直前の（ステツプ４）で求めたC₂（e,T）を用い
て、以下の式（１）で定義される値ｃをテーブル△ｚの
ｑ番目レコードに書き込む。

また、この値ｃを実現する枝ｅ∈Ｉをｒとする。（ス
テツプ６）へ進む。

（ステツプ６） 式（１）で定義された値ｃに対して、
重み変更部７を起動し、第一の枝の重みを書き替える。
また、パラメータｚの値をｃだけ増やす。（ステツプ
７）へ進む。

（ステツプ７） 枝ｒと木Ｔに対して、基本閉路抽出部
５を起動し、ｒとＴの定める基本閉路の枝の集合を求め
る。そして、それらの中で向きが基本閉路の向きと逆で
あるものをテーブルＪに書き込む。テーブルＪに書き込
む枝がなければ、座標整数化フラグIFが１なら座標整数
化部11を起動し（０なら起動せずに）、続いて出力部12
を起動し、制御を終了する。テーブルＪに書き込む枝が
あれば、（ステツプ８）に進む。

（ステツプ８） テーブルＪに含まれる各枝ｅと木Ｔに
ついて、基本カツトセツトの値計算部９を起動し、基本
カツトセツトの値Ｄ（e,T）を求める。以下の式（２）
で定義される値ｄを計算する。

また、この値ｄを実現する枝ｅ∈Ｊをｔとする。（ス
テツプ９）へ進む。

（ステツプ９） 木Ｔと枝ｒと枝ｔに対して、初等変換
部10を起動する。（ステツプ４）にもどる。

入力部２においては、初期レイアウトの座標テーブル
Ｐ、分離制約テーブルII、デザインルールテーブルＤ、
レイアウトの高さの上限値Ｌ、座標整数化要求フラグIF
を入力する。

グラフ作成部３においては、初期レイアウトの座標テ
ーブルから、垂直方向の制約グラフを作成する。本部分
においては、水平線分テーブルＨを作成すること、制約
グラフＧの隣接リストを作成すること、制約グラフの第
一の重み、第二の重み、コストを隣接リストの当該枝の
欄に書き込むことを主な機能とする。第１図に示す如く
して、与えられた入力レイアウトの水平線分（第５図太
線）を抽出し、Ｈという名の水平線分テーブルを作成す
る。該テーブル中のｉ番目の水平線分をh_iとする。各h_i
の初期ｙ座標をy_iとし、該テーブルに書き込む。第５図
の11、12の如く、レイアウトの最上部と最下部に、その
Ｘ座標の最大値〔最小値〕がレイアウトを構成する水平
線分のＸ座標の最大値〔最小値〕より大きい〔小さい〕
仮想的な水平線分h_t、h_bを挿入する。h_t、h_bをそれぞれ
シンク線分、ソース線分と呼び、ｙ座標をそれぞれy_t、
y_sと書く。h_t、h_b、y_t、y_sもテーブルＨ中に記入する。
水平線分間の制約は、参考文献〔３〕に従うものとす
る。すなわち、水平線分h_iとh_jの間に、h_iとh_jに垂直に
交差する垂直線分が描け、かつ水平線分h_iの方がh_jより
上方にあるとき、この二線分は、制約： y_i−y_j≧d_ji （３） を持つとする。ここでd_jiは線分h_iとh_jの属性から決定
されるデザインルールである。制約（３）は、d_jiが正
であればh_iがh_jよりd_ji以上上方になければならないこ
とを意味し、d_jiが負であればh_iがh_jより−d_ji以上下方
にあつてはならないことを意味している。

矩形の形状固定のためなどに用いる符合制約y_i−y_j−
d_jiは、次式（４）の二つの不等号制約に置き換えるも
のとする。

y_i−y_j≧d_ji、y_j−y_i≧d_ji （４） 更に、以下ではレイアウトの高さの上限に関する次式
（５）の制約を仮定する。

y_b−y_t≧−Ｌ （５） d_tb＝−Ｌと考える。すなわち、分離制約以外の制約
は全て式（３）の形式で与えられる。以下では、式
（３）の形の制約を持つ水平線分の順序対（h_j、h_i）と
その間デザインルールd_jiの記入されたテーブルをＦと
する。ここで、分離制約とは、使用者によつて指定され
た線分対（h_j,h_i）間の距離をこの線分対間に使用者に
よつて与えられた重みα_jiの逆数倍の最小値をテーブル
Ｆ中に制約に矛盾しない範囲で最大化しなければならな
いという制約である。入力部２において入力されたテー
ブルIIには、当該線分対とその座標と、その重みα_jiが
記入されているとする。（h_j,h_i）（∈II）はy_j≦y_iと
いう制約をＦに加えても矛盾が生じないような線分対で
あるとする。このとき、制約グラフとよばれる、以下の
ように定義される点集合と枝集合を持つ有向グラフを定
義する。

ここで、v_sは新しく付加された点、v_b,v_tはそれぞれ
ソース線分、シンク線分に対応する点であり、ソース
点、シンク点という。また、同じ始点・終点を持つE₀の
枝とE₁の枝があつても、それらは別々の枝と考えること
にする。本グラフ作成部３では、このグラフＧを“隣接
リスト”（参考文献〔１〕）というデータ形式で作成す
るものとする。参考文献〔３〕中で扱われている制約グ
ラフ（constraint graph）は、V₀の点と、E₀の枝のみで
構成されており、本実施例のものとは異なる。さらに、
第一の重みとよばれる量w₁（ｅ）を、枝ｅ（＝（v_j,
v_i）∈E₀）に対してはd_ji、枝ｅ（＝（v_j,v_i）∈E₁UE₂
＋（v_b,v_t））に対しては０と定義し、Ｇの隣接リスト
の当該部分に書き込む。合わせて、第二の重みとよばれ
る量w₂（ｅ）を、枝ｅ（＝（v_j,v_i）∈E₀UE₂＋（v_b,
v_t））に対しては０、枝ｅ（＝（v_j,v_i）∈E₁）に対し
てはα_jiと定義し、Ｇの隣接リストの当該部分に書き込
む。

最後に、コストと呼ばれる量ｃ（ｅ）を、枝ｅ（＝
v_b,v_t））に対しては１、（v_b,v_t）以外の枝に対しては
０と定義し、Ｇの隣接リストの当該部分に書き込む。

最長径路木作成部４においては、参考文献〔３〕に示
されている方法によつて、第一の重みのみを考慮してグ
ラフG'の最長径路木Ｔを求める。このとき、正ループ
（参考文献〔３〕）が発見されたら、『制約Ｆに矛盾が
存在する』と出力して終了する。ここで、最長径路木Ｔ
とは、各節点からソース点へのＴ上のパスがG'における
その二点間の最長径路になつているような木のことであ
る。Ｔは、隣接リストとして記憶しておく。

基本閉路抽出部５においては、与えられた木Ｔと与え
られた補木枝ｅに対して、それらの定める基本閉路の枝
と当該枝の当該基本閉路中の向きを求める。

基本閉路の値計算部６においては、フラグccが１であ
れば、第一の基本閉路の値C₁（e,T）を、フラグccが２
であれば、第二の基本閉路の値C₂（e,T）を計算する。
ここで、第一の基本閉路の値とは、与えられた制約グラ
フＧ上の木Ｔと補木枝ｅ（∈Ｅ−Ｔ）に対して、ｅのＴ
に対して定める基本閉路中の枝の第一の重みを、当該枝
がｅと同じ向きに当該基本閉路に含まれる場合には＋１
倍して、当該枝がｅと逆向きに当該基本閉路に含まれる
場合には−１倍して加え合わせた値のことをいう。ま
た、第二の基本閉路の値とは、与えられた制約グラフＧ
上の木Ｔと補木枝ｅ（∈Ｅ−Ｔ）に対して、ｅのＴに対
して定める基本閉路中の枝の第二の重みを、当該枝がｅ
と同じ向きに当該基本閉路に含まれる場合には＋１倍し
て、当該枝がｅと逆向きに当該基本閉路に含まれる場合
には−１倍して加え合わせた値のことをいう。基本閉炉
を求めるには、基本閉路抽出部５を用いる。

重み変更部７においては、与えられたｃに対して、全
ての枝ｅ（∈Ｅ）について、第一の重みw₁（ｅ）に第二
の重みw₂（ｅ）のｃ倍を加える。

基本カツトセツト抽出部８においては、与えられた木
Ｔと与えられた木枝ｅに対して、それらの定める基本カ
ツトセツトの枝と当該枝の当該基本カツトセツト中の向
きを求める。

基本カツトセツトの値計算部９においては、基本カツ
トセツトの値Ｄ（e,T）を計算する。ここで、基本カツ
トセツトの値とは、制約グラフＧ上の木枝ｅ（ｅ∈Ｔ）
に対して、ｅのＴに対して定める基本カツトセツト中の
枝のコストを、当該枝がｅと同じ向きに当該基本カツト
セツトに含まれる場合に＋１倍して、当該枝がｅと逆向
きに当該基本カツトセツトに含まれる場合には−１倍し
て加え合わせた値のことをいう。基本カツトセツトを求
めるには、基本カツトセツト抽出部８を用いる。

初等変換部10においては、木Ｔの隣接リストに枝ｒを
付加して、枝ｔを除去する。

座標整数化部11においては、第一の重みw₁（ｅ）を超
えない最大の整数を新たにw₁（ｅ）とする。

出力部12においては、テーブル△_ｚの出力と、初期レ
イアウトとコンパクシヨン結果のレイアウトとの置き換
えを行なう。ここで、初期レイアウトとコンパクシヨン
結果のレイアウトとの置き換えは以下のようにして行な
う。本出力部12が呼ばれたときの木をＴとする。まず、
テーブルＨ中の各水平線分h_iのｙ座標y_iを、ソース点v_b
から点v_iへの木Ｔ上の有向バス上の枝の第一の重みを、
当該枝が当該バスに正の向きで含まれる場合には＋１倍
して、当該枝が当該バスに逆の向きで含まれる場合には
−１倍して加え合わせた値で置き換える。続いて、この
テーブルＨから初期レイアウトの座標テーブルＰのｙ座
標を書換えるとする。

このような作用をするから、本方式は、分離制約中の
各線分対間の距離のα_ji ^-1倍の数値の最小値を最大化す
ることができ、使用者の指定したレイアウト要素間を重
みα_jiに応じて分離するように、垂直〔水平〕方向にコ
ンパクシヨンできる。以下に例を用いて説明する。第２
図は、本構成の作用を説明する図であつて、（ａ）は初
期レイアウト、（ｂ）は本構成によるコンパクシヨン結
果、（ｃ）は最長路法（参考文献〔３〕）による結果で
ある。この例では、II＝｛（32,36），（35,34），（3
3,31），（32,40），（39,38），（37,31）｝，α_ji＝
１（h_j,h_i）∈II）となつている。第２図（ｂ）の「1
5」，「65」の数値は物理的距離を表わす数値である。
第２図（ｂ）より明らかなように、本構成によるコンパ
クシヨンでは、レイアウト要素が、重み（この場合には
全てのα_jiが１）に応じて、配置されている。しかし、
（ｃ）から明らかなように、従来手法である最長路法に
よるコンパクシヨンでは、レイアウト要素は単に下方に
詰められているだけであり、電気的特性を考えると、
（ｂ）のレイアウトの方が良い。以下に本実施例がこの
ような作用を持つ理由を説明する。

そのためには、本実施例で与えられる方式は、以下の
問題１を効率的に解く作用を持つことを示せば十分であ
る。

問題１を次に示す。

『制約』は次の通りである。

y_i−y_j≧d_ji（h_j,h_i）∈Ｅ） （７） y_i≧０（h_i∈Ｈ） （８） 『目的関数』は次の通りである。

min（α_ji ^-1・（y_i−y_j））（h_j,h_i）∈II （９） 上記『制約』のもとで『目的関数』を最大化せよ。こ
れが問題１である。

上記の問題１は、以下の問題２で置き換えることがで
きる。すなわち、問題２を解いて得られたy_iは、問題１
の『制約』を満たし、『目的関数』を最大化する。ここ
で、u_ji,u_bt′ｕ′_jiはスラツク変数である。

問題２を次に示す。

『制約』は次の通りである。

−y_i＋y_j＋u_ji＝−d_ji（h_j,h_i）∈Ｆ） （10） −y_t＋y_b＋u_bt＝０ （11） −y_i＋y_j＋ｕ′_ji＝−α_ji・ｚ（h_j,h_i）∈II） （12） y_i≧０（h_i∈Ｈ） （13） ｚ≧０ （14） u_ji≧０（h_j,h_i）∈Ｆ）,u_bt≧0, ｕ′_ji≧０（h_j,h_i）∈II） （15） 『目的関数』は次の通りである。

Ｓ＝y_t−y_b （16） 『制約』を満たす最大のｚを求め、このｚの下で、
『目的関数』Ｓを最小化せよ。これが問題２である。

問題２は、単体法（参考文献〔２〕）を用いて、初め
に目的関数としてｚを最大化し、続いて目的関数として
Ｓ＝y_t−y_bを最小化することによつて解ける。

しかし、ここでは、グラフ理論的方法を構築し効率化
するために問題２をｚをパラメータとする“パラメトリ
ツク線形計画問題”（以下“PLP"と略す、参考文献
〔２〕123頁参照）と考える。こう考えると、問題２は
参考文献〔２〕123頁に述べられている方式で解ける。

一般に、パラメトリツク線形計画法では、（ｋ＋１）
（〈∞）個の非負定数z₀,z₁,z₂,…,z_k（（０≦）z₀≦z₁
≦z₂…≦z_k（≦∞））が定まつて、 y_i（ｚ）＝β_ji＋γ_ji・ｚ（ｉ＝1,2,…,|H|） （17） となることが知られている。z_k＜∞である場合には、ｚ
^ε（z_k,∞）に対して、制約（10）〜（15）を満たす（y
_i）は存在しなくなる。PLPの手法では、ｚの値を初期値
z₀から徐々に増やしながらy_i（ｚ）とＳ（ｚ）を求めて
いき、有限時間内にz_kに到達する。但し、本問題では、
必要なのは、ｚ＝z₀に対するy_i（ｚ）とＳ（ｚ）だけで
ある。

参考文献〔２〕123頁には、問題２を実行可能する最
小のｚ（＝z₀）が存在するならばそれを求める方式が述
べられている。しかし、この手法は、制約の数の変数の
数の積の大きさの大規模な行列の上で軸演算を行わなけ
ればならず、本実施例の問題の場合には効率的ではな
い。

しかし、第１図に示した構成は、変数の数と制御の数
の和に比例した記憶容量しか必要とせず、かつ、グラフ
の木の初等変換に基づく効率的な方式となつている。以
下に示す命題１〜３によつて、参考文献〔２〕123頁の
一般的な方式を、本実施例の構成に変換することができ
る。このことが、第１図に示した構成の正当性を示すこ
とになる。

命題１〜３を述べる前に、若干の記号の定義を行な
う。

制約（10）〜（12）の左辺を行列表現し、その係数行
列をＡと書く。Ａを〔A_T:I〕と表現する。但し、Ｉはｍ
×ｍの単位行列、ｍ＝|F|＋|II|＋１である。Ｉの部分
にスラツク変数が対応している。また、当該制約の右辺
を二つの定数ベクトルw₁、w₂を用いて、w₁＋w₂・ｚと表
現する。

以下では、E₀の枝をスラツク変数u_jiに、E₁の枝をス
ラツク変数ｕ′_jiに、E₂の枝を変数y_iに、枝（v_b,v_t）
をスラツク変数u_btに対応させる。ここで、枝集合E₂は
Ｇの木を構成していることに注意する。枝集合E₂の定め
るＧの木をT₀とする。行列ＡはグラフＧの木T₀に関する
基本閉路行列になつていることは明らかである。すなわ
ち、行列Ａの各行は木T₀に関する基本閉路に対応してい
る。また、行列Ａの各行は補木の枝に対応しているとい
うことができる。さらに、行列A_Tの各列は木T₀に関する
基本カツトセツトに対応している。

目的関数（16）式を以下のように書き替える。

ベクトルＢから木枝に対応する部分を抜き出した部分ベ
クトルをB_Tとする。

上記及び参考文献〔４〕から以下の命題１〜３が帰結
される。

〔命題１〕 あるＺの値に対して、問題２の基底解が得られている
とする。この基底解の非基底変数に対応する枝はグラフ
Ｇ上の木を構成する。

〔命題２〕 行列Ａをある木Ｔにする基本閉路行列とする。行列
Ａ′を、行列Ａをある要素a_qpを軸として軸演算して得
られたものとする。すると、行列Ａ′は木： Ｔ′＝Ｔ−e_p＋e_q に関する基本閉路行列である。但し、e_pはｐ番目の列に
対応する木枝、e_qはｑ番目の行に対応する補木の枝であ
る。

〔命題３〕 PLPを解く方式（参考文献〔２〕123頁）を実行中の行
列Ａ、A_T、ベクトルw₁、w₂、B_TをそれぞれＡ′、
Ａ′_Ｔ、ｗ′_１、ｗ′_２、Ｂ′_Ｔと書く。このとき、 （１） −ｗ′_１〔−ｗ′_２〕のｊ番目の要素は、基本
閉路行列Ａ′のｊ行目に対応する第一〔第二〕の基本閉
路の値である。

（２） −Ｂ′_Ｔのｊ番目の要素は、基本閉路行列の部
分行列Ａ′_Ｔのｊ列行目に対応する基本カツトセツトの
値である。

命題１〜３は、問題２をPLPとして解く方式（参考文
献）〔２〕123頁）と第１図に示したようなコンパクシ
ヨン方式の構成との等価性を示すに十分である。つま
り、第１図に示した構成は、分離制約の指定された水平
線分間の距離をα_ji ^-1倍した数値の最小値を最大化する
ことができる。

以上の方法の効果を以下に述べる。従来の方式（参考
文献〔３〕）に比べて、本方式を用いると、指定された
水平線分間の距離の比を使用者に与えられた重みに応じ
て分離できることが実験により確認された。計算時間に
おいても、本構成は、問題２を、（PLPではない）線形
計画法を行列の軸演算によつて解く方式より数十倍高速
に処理できることが確認された。また、使用する記憶領
域も線形計画法を行列の軸演算によつて解く方式に比べ
てわずかである。

第２の実施例 この実施例は、指定されたレイアウト要素間の距離の
正数重みの逆数倍の数値の最大値を、レイアウトの指定
された高さ〔幅〕の上限値の範囲内で最小化するように
レイアウトを垂直〔水平〕方向にコンパクシヨンするこ
とを目的とした構成を有する。

本方式においては、コンパクシヨンは、レイアウトを
垂直方向に圧縮する垂直方向コンパクシヨンと水平方向
に圧縮する水平方向コンパクシヨンを、設計者によつて
決められた回数交互に繰り返すことによつて行われる。
この二つのコンパクシヨンは、レイアウトの向きを90゜
回転することによつて互に他で置き換えることができ
る。そこでここでは、垂直方向のコンパクシヨンについ
てのみ説明する。

本実施例中で用いる用語“木”、“補木”、“基本閉
路”、“基本カツトセツト”、“基本閉路行列”の定義
は、参考文献〔１〕を参照するものとする。また、“ス
ラツク変数”、“基底解”、“基底変数”、“非基底
解”、“非基底変数”、“単体表”、“軸演算”の定義
は、参考文献〔２〕を参照するものとする。

第３図は、本発明の第二の実施例を説明する図であつ
て、１は制御部、２は入力部、３はグラフ作成部、４は
最長径路木作成部、５は基本閉路抽出部、６は基本閉路
の値計算部、７は重み変更部、８は基本カツトセツト抽
出部、９は基本カツトセツトの値計算部、10は初等変換
部、11は座標整数化部、12は出力部である。

制御部１においては、実施例１の制御部１と全く同じ
作用を持つ。

入力部２においては、実施例１の入力部２と全く同じ
作用を持つ。

グラフ作成部３においては、実施例１のグラフ作成部
３における以下のような概念・記号の書き替えを行なつ
たものを作用させる。まず、『分離制約』を『近接制
約』と書き替える。ここで、近接制約とは、設計者によ
つて指定された線分対（h_j,h_i）間の距離を設計者に与
えられた重みα_ji ^-1倍した数値の最大値を、テーブルＦ
中の制約に矛盾しない範囲で最小化しなければならない
という制約である。入力部２において入力されたテーブ
ルIIには、当該線分対とその座標と、その重みα_jiが記
入されているとする。（h_j,h_i）（∈II）は、y_i−y_j≦
Ｌという制約をＦに加えても矛盾が生じないような線分
対であるとする。制約グラフＧの枝『E₁』を以下に定義
する『Ｅ′_１』で置き換える。

Ｅ′_１＝｛（v_i,v_j）｜（h_j,h_i）∈II｝ 第一の重みw₁（ｅ）（ｅ∈Ｅ）を、枝ｅ（＝v_j,v_i）∈E
₀）に対してはd_ji、枝ｅ（＝（v_j,v_i）∈Ｅ′_１）に対
しては−Ｌ・α_ji、枝ｅ（＝（v_j,v_i）∈E₂＋（v_b,
v_t））に対しては０と定義しなおす。

最長径路木作成部４においては、実施例１の最長径路
木作成部４と全く同じ作用を持つ。

基本閉路抽出部５においては、実施例１の基本閉路抽
出部５と全く同じ作用を持つ。

基本閉路の値計算部６においては、実施例１の基本閉
路の値計算部６と全く同じ作用を持つ。

重み変更部７においては、実施例１の重み変更部７と
全く同じ作用を持つ。

基本カツトセツト抽出部８においては、実施例１の基
本カツトセツト抽出部８と全く同じ作用を持つ。

基本カツトセツトの値計算部９においては、実施例１
の基本カツトセツトの値計算部９と全く同じ作用を持
つ。

初等変換部10においては、実施例１の初等変換部10と
全く同じ作用を持つ。

座標整数化部11においては、実施例１の座標整数化部
11と全く同じ作用を持つ。

出力部12においては、実施例１の出力部12と全く同じ
作用を持つ。

このような作用をするから、本方式は近接制約中の各
線分対間の距離のα_ji ^-1倍の数値の最大値を最小化する
ことができ、使用者の指定したレイアウト要素間を重み
α_jiに応じて可能な限り近接させることができる。以下
に例を用いて説明する。第４図は、本構成の作用を説明
する図であつて、（ａ）は初期レイアウト、（ｂ）は本
構成によるコンパクシヨン結果、（ｃ）は最長路法（参
考文献〔３〕）による結果である。この例では、II＝
｛（52,51），（56,55），（54,53）｝，α_ji＝１（h_j,
h_i）∈II）となつている。第４図（ｂ）より明らかなよ
うに、本構成によるコンパクシヨンでは、レイアウト要
素が、重み（この場合には全てのα_jiが１）に応じて、
近接している。しかし、（ｃ）から明らかなように、従
来手法である最長路法によるコンパクシヨンでは、レイ
アウト要素は単に下方に詰められているだけであり、電
気的特性を考えると、（ｂ）のレイアウトの方が良い。
以下に本実施例がこのような作用を持つ理由を説明す
る。

そのためには、本実施例で与えられる方式は、以下の
問題３を効率的に解く作用を持つことを示せば十分であ
る。

問題３を次に示す。

『制約』は次の通りである。

y_i−y_j≧d_ji（h_i,h_j）∈Ｆ） （20） y_i≧０（h_i∈Ｈ） （21） 『目的関数』は次の通りである。

max（α_ji ^-1・（y_i−y_j）） （22） （h_j,h_i）∈II 『制約』のもとで『目的関数』を最小化せよ。これが
問題３である。

上記の問題３は、以下の問題４で置き換えることがで
きる。すなわち、問題４を解いて得られたy_iは、問題３
の『制約』を満たし、『目的関数』を最小化する。ここ
で、u_ji,u_bt,u′_jiはスラツク変数である。

問題４を次に示す。

『制約』は次の通りである。

−y_i＋y_j＋u_ji＝−d_ji（（h_j,h_i）∈ （23） −y_t＋y_b＋u_bt＝０ （24） −y_j＋y_i＋ｕ′_ji ＝α_ji・（Ｌ−ｚ）（（h_j,h_i）∈II） （25） y_i≧０（h_i∈Ｈ） （26） ｚ≧０ （27） u_ji≧０（（h_j,h_i）∈Ｆ）,u_bt ≧０（（h_j,h_i）∈II） （28） 『目的関数』は次の通りである。

Ｓ＝y_t−y_b （29） 『制約』を満たす最大のｚを求め、このｚの下で、
『目的関数』Ｓを最小化せよ。これが問題４である。

問題４は、実施例１における問題２に、制約（25）の
右辺の定数項が非零であることを除けば等価である。す
なわち、実施例１における命題１〜３が本実施例の場合
にも成立する。

命題１〜３は、問題４をPLPとして解くための方式
（参考文献〔２〕123頁）と第３図に示したようなコン
パクシヨン方式の構成との等価性を示すに十分である。
つまり、近接制約の指定された水平分間の距離をα_ji ^-1
倍した数値の最大値を最小化することができる。

以上の方法の効果を以下に述べる。従来の方式（参考
文献〔３〕）に比べて、本方式を用いると、指定された
水平線分間を与えられた重みに応じて近接させられるこ
とが実験により確認された。計算時においても、本構成
は、問題４を（PLPではない）線形計画法を行列の軸演
算によつて解く方式より数十倍高速に処理できることが
確認された。また、使用する記憶領域も線形計画法を行
列の軸演算によつて解く方式に比べてわずかである。

〔（実施例）の参考文献〕

〔１〕伊理，白川，梶谷，篠田，“演習グラフ理論",コ
ロナ社,1983. 〔２〕古林隆，“線形計画法入門",産業図書,1980. 〔３〕リヤオとウオン，“雑多な制約を有するVLSIシン
ボリツクレイアウトをコンパクト化するためのアルゴリ
ズム",CADに関するアイ・イー・イー・イー会報、CAD−
２巻、62〜69頁、1983年（Liao,Y.−z.and Wong,c。
Ｋ。，“An Algorithm to Compact a VLSI Symbolic La
yout with Mixed Constraints",IEEE Trans。on CAD,vo
l。CAD,vol。CAD−2,pp。62−69（1983）。） 〔４〕吉村、“グラフ理論的コンパクシヨンアルゴリズ
ム“、ISCAS85議事録、1455〜1458頁、1985年（Yoshimu
ra,T.,“A Graph Theoretical Compaction Algorithm",
in Proc.ISCAS 85,pp.1455−1458（1985）．） 〔発明の効果〕 以上に説明したように、本発明による手法において
は、指定されたレイアウト要素間の距離の正数重みの逆
数倍の最小値または最大値を、レイアウトの指定された
高さ（幅）の上限値の範囲内でそれぞれ最大化または最
小化できるから、アナログ回路などの高品質なレイアウ
トの要求される回路の設計に適用可能であるという利点
がある。また、本発明による手法は、制約グラフを採用
したグラフ理論的手法であるから、少ない記憶容量で高
速に処理できるという利点がある。

【図面の簡単な説明】

第１図は本発明の第一の実施例を説明する図、第２図は
本発明の第一の実施例の効果を従来手法との比較で説明
した図、第３図は本発明の第二の実施例を説明する図、
第４図は本発明の第二の実施例の効果を従来手法との比
較で説明した図、第５図は本手法で採用する制約グラフ
について説明した図である。 １……制御部、２……入力部、３……グラフ作成部、４
……最長径路木作成部、５……基本閉路抽出部、６……
基本閉路の値計算部、７……重み変更部、８……基本カ
ツトセツト抽出部、９……基本カツトセツトの値計算
部、10……初等変換部、11……座標整数化部、12……出
力部。

Claims (4)

(57)【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】予め設計されたLSI等の初期レイアウトか
   らデザインルールの違反がなくかつ可能な限り圧縮され
   たレイアウトを生成するレイアウトコンパクシヨン方法
   において、 初期レイアウトを構成する水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕
   （ｉ＝1,2,…,n）を該初期レイアウトから抽出し、該初
   期レイアウトの最上部〔最右部〕と最下部〔最左部〕に
   それぞれ仮想的な水平〔垂直〕線分h_t〔v_r〕、h_b〔v_l〕
   を挿入する第１の手段と、 上記水平〔垂直〕線分の２線分h_i、h_j〔v_i、v_j〕（i,j
   ＝1,2,・・・,n）であつてその双方に垂直に交差する直
   線を描くことのできるものについて、デザインルールよ
   り決定される制約が存在するか否か判定し、制約が存在
   すると判定された場合には、該デザインルールの値をd
   _ijとし水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕のｙ〔ｘ〕座標をy
   _i〔x_i〕としたとき、水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕のｙ
   〔ｘ〕座標がh_j〔v_j〕のｙ〔ｘ〕座標より大であるか等
   しい場合には第１の制約y_i−y_j≧d_ij〔x_i−x_j≧d_ij〕を
   生成し、水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕のｙ〔ｘ〕座標がh_j
   〔v_j〕のｙ〔ｘ〕座標より小であるか等しい場合には第
   ２の制約y_j−y_i≧d_ij〔x_j−x_i≧d_ij〕を生成する第２の
   手段と、 上記水平〔垂直〕線分h_t〔v_r〕、h_b〔v₁〕に対してレイ
   アウトの高さ〔幅〕の上限に関する第３の制約y_b−y_t≧
   −L_y〔x₁−x_r≧−L_x〕を使用者によつて与えられた正数
   L_y〔L_x〕から生成する第３の手段と、 使用者によつて初期レイアウト中に指定された水平〔垂
   直〕線分対：（h_i(2k),h_i(2k-1)）〔（v_i(2k),
   v_i(2k-1)）〕（ｋ＝1,2,…,p,水平〔垂直〕線分h
   _i(2k-1)〔v_i(2k-1)〕のｙ〔ｘ〕座標は水平〔垂直〕線
   分h_i(2k)〔v_i(2k)〕のｙ〔ｘ〕座標より初期レイアウト
   において大であるとする）とこれら水平（垂直〕線分対
   の各々に使用者によつて与えられた正定数α_ｋ（ｋ＝1,
   2,…,p）に対して、ｚを非負の変数としたとき第４の制
   約y_i(2k-1)−y_i(2k)≧α_ｋ・ｚ〔x_i(2k-1)−x_i(2k)≧α
   _ｋ・ｚ〕（ｋ＝1,2,…,p）を生成する第４の手段と、 レイアウトの高さ〔幅〕Ｓ＝y_t−y_b〔x_r−x₁〕を目的関
   数とし、上記第１〜第４の制約を制約条件とし、該制約
   条件を満たす任意のｚにおいてＳを最少化する第５の手
   段と、 上記第５の手段でＳを最少化した結果得られたy_i〔x_i〕
   （ｉ＝1,2,…,n）によつて初期レイアウトのｙ〔ｘ〕座
   標を置換する第６の手段と、 上記第１〜第６の手段をこの順番に実行することでなさ
   れる垂直〔水平〕方向のコンパクシヨンを一回以上繰返
   す ことを特徴とするレイアウトのコンパクシヨン。
2. 【請求項２】請求項１において、 （イ） 第１の手段における水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕
   （ｉ＝1,2,…,n）を点に対応させ、第１〜第４の制約を
   枝に対応させた制約グラフを作成する手段と、 （ロ） 第４の手段における変数ｚをパラメータとし、
   レイアウトの高さ〔幅〕Ｓ＝y_t−y_b〔x_r−x₁〕を目的関
   数とし、第１〜第４の制約を制約条件としてＳを最小化
   するパラメトリツク線形計画法の任意のステツプにおい
   て、非基底変数を制約グラフの木に対応させ、定数項の
   ベクトルの各要素とパラメータｚの係数ベクトルの各要
   素は上記制約グラフの基本閉路から、該目的関数の係数
   ベクトルの各要素は上記制約グラフの基本カツトセツト
   から、軸演算は該ステツプにおける木の初等変換によつ
   て計算する手段と を備えたことを特徴とするレイアウトのコンパクシヨン
   方法。
3. 【請求項３】予め設計されたLSI等の初期レイアウトか
   らデザインルールの違反がなくかつ可能な限り圧縮され
   たレイアウトを生成するレイアウトコンパクシヨン方法
   において、 初期レイアウトを構成する水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕
   （ｉ＝1,2,…,n）を該初期レイアウトから抽出し、該初
   期レイアウトの最上部〔最右部〕と最下部〔最左部〕に
   それぞれ仮想的な水平〔垂直〕線分h_t〔v_r〕、h_b〔v₁〕
   を挿入する第１の手段と、 上記水平〔垂直〕線分の２線分h_i、h_j〔v_i、v_j〕（i,j
   ＝1,2,…,n）であつてその双方に垂直に交差する直線を
   描くことのできるものについて、デザインルールより決
   定される制約が存在するか否か判定し、制約が存在する
   と判定された場合には、該デザインルールの値をd_ijと
   し水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕のｙ〔ｘ〕座標をy_i〔x_i〕
   としたとき、水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕のｙ〔ｘ〕座標
   がh_j〔v_j〕のｙ〔ｘ〕座標より大であるか等しい場合に
   は第１の制約y_i−y_j≧d_ij〔x_i−x_j≧d_ij〕を生成し、水
   平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕のｙ〔ｘ〕座標がh_j〔v_j〕のｙ
   〔ｘ〕座標より小であるか等しい場合には第２の制約y_j
   −y_i≧d_ij〔x_j−x_i≧d_ij〕を生成する第２の手段と、 上記水平〔垂直〕線分h_t〔v_r〕、h_b〔v₁〕に対してレイ
   アウトの高さ〔幅〕の上限に関する第３の制約y_b−y_t≧
   −L_y〔x₁−x_r≧−L_x〕を使用者によつて与えられた正数
   L_y〔L_x〕から生成する第３の手段と、 使用者によつて初期レイアウト中に指定された水平〔垂
   直〕線分対：（h_i(2k),h_i(2k-1)）〔（v_i(2k),
   v_i(2k-1)）〕（ｋ＝1,2,…,p,水平〔垂直〕線分h
   _i(2k-1)〔v_i(2k-1)〕のｙ〔ｘ〕座標は水平〔垂直〕線
   分h_i(2k)〔v_i(2k)〕のｙ〔ｘ〕座標より初期レイアウト
   において大であるとする）とこれら水平〔垂直〕線分対
   の各々に使用者によつて与えられた正定数α_ｋ（ｋ＝1,
   2,…,p）に対して、ｚを非負の変数としたとき第４の制
   約y_i(2k)−y_i(2k-1)≧−α_ｋ・（Ｌ−ｚ）〔x_i(2k)−x
   _i(2k-1)≧−α_ｋ・（Ｌ−ｚ）〕（ｋ＝1,2,…,p）を生
   成する第４の手段と、 レイアウトの高さ〔幅〕Ｓ＝y_t−y_b〔x_r−x₁〕を目的関
   数とし、上記第１〜第４の制約を制約条件とし、該制約
   条件を満たす任意のｚにおいてＳを最小化する第５の手
   段と、 上記第５の手段においてＳを最小化した結果得られたy_i
   〔x_i〕（ｉ＝1,2,…,n）によつて初期レイアウトｙ
   〔ｘ〕座標を置換する第６の手段と、 上記第１〜第６の手段をこの順番に実行することでなさ
   れる垂直〔水平〕方向のコンパクシヨンを一回以上繰返
   す ことを特徴とするレイアウトのコンパクシヨン方法。
4. 【請求項４】請求項３において、 第１の手段における水平〔垂直〕線分h_i〔v_i〕（ｉ＝1,
   2,…,n）を点に対応させ、第１〜第４の制約を枝に対応
   させた制約グラフを作成する手段と、 第４の手段における変数ｚをパラメータとし、レイアウ
   トの高さ〔幅〕Ｓ＝y_t−y_b〔x_r−x₁〕を目的関数とし、
   第１〜第４の制約を制約条件としてＳを最小化するパラ
   メトリツク線形計画法の任意のステツプにおいて、非基
   底変数を制約グラフの木に対応させ、定数項のベクトル
   の各要素とパラメータｚの係数ベクトルの各要素は上記
   制約グラフの基本閉路から、該目的関数の係数ベクトル
   の各要素は上記制約グラフの基本カツトセツトから、軸
   演算は該ステツプにおける木の初等変換によつて計算す
   る手段と を備えたことを特徴とするレイアウトのコンパクシヨン
   方法。