JP2640889B2 - 多相交流回路における電磁場解析法 - Google Patents
多相交流回路における電磁場解析法Info
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Description
【０００１】
【産業上の利用分野】本発明は、起電力と内部インピー
ダンスが既知の多相交流電源により駆動される誘導性負
荷における電磁場を解析する方法に関し、例えば、三相
誘導モーター、三相同期モーター、三相変圧器等の多相
交流電気機器を商用電力系統等の多相交流電圧源で駆動
する場合の電磁場解析に適用して好適なものである。
ダンスが既知の多相交流電源により駆動される誘導性負
荷における電磁場を解析する方法に関し、例えば、三相
誘導モーター、三相同期モーター、三相変圧器等の多相
交流電気機器を商用電力系統等の多相交流電圧源で駆動
する場合の電磁場解析に適用して好適なものである。
【０００２】
【従来の技術】交流電磁場の磁束密度分布を求めるため
の基礎方程式は、一般に、次式〔数１〕で与えられる。
の基礎方程式は、一般に、次式〔数１〕で与えられる。
【０００３】
【数１】
【０００４】この〔数１〕中、頭に矢印記号の付いた文
字は、全て、ｘ、ｙ、ｚ成分を有するベクトルである
（以下同様。但し、明細書の文章中では、この頭の矢印
記号は省略する。）。また、Ａ：ベクトルポテンシャ
ル、φ：スカラーポテンシャル、Ｊ0 ：励磁電流密度、
Ｊe ：渦電流密度、Ｂ：磁束密度、σ：導電率、ν：磁
気抵抗率、ω：角周波数、ｊ：虚数単位である。なお、
単位系は、国際単位系（ＳＩ）を用いるものとする。こ
れらの物理量のうち、ベクトルポテンシャルＡ、スカラ
ーポテンシャルφ、励磁電流密度Ｊ0 、渦電流密度Ｊe
及び磁束密度Ｂは、全て、座標（ｘ，ｙ，ｚ）及び時間
ｔの関数である。また、電磁的物性値σとνはそれぞれ
テンソル量であり、３×３の行列として表現される。
字は、全て、ｘ、ｙ、ｚ成分を有するベクトルである
（以下同様。但し、明細書の文章中では、この頭の矢印
記号は省略する。）。また、Ａ：ベクトルポテンシャ
ル、φ：スカラーポテンシャル、Ｊ0 ：励磁電流密度、
Ｊe ：渦電流密度、Ｂ：磁束密度、σ：導電率、ν：磁
気抵抗率、ω：角周波数、ｊ：虚数単位である。なお、
単位系は、国際単位系（ＳＩ）を用いるものとする。こ
れらの物理量のうち、ベクトルポテンシャルＡ、スカラ
ーポテンシャルφ、励磁電流密度Ｊ0 、渦電流密度Ｊe
及び磁束密度Ｂは、全て、座標（ｘ，ｙ，ｚ）及び時間
ｔの関数である。また、電磁的物性値σとνはそれぞれ
テンソル量であり、３×３の行列として表現される。
【０００５】この〔数１〕の解析対象領域が交流電流源
で駆動される場合には、励磁電流密度Ｊ0 は与えられた
ものとして扱い、この〔数１〕の第１式〜第３式を連立
して解いてベクトルポテンシャルＡとスカラーポテンシ
ャルφを求めた後、〔数１〕の第４式から磁束密度Ｂを
求める。この解析は、通常、有限要素法を用いて行われ
る。
で駆動される場合には、励磁電流密度Ｊ0 は与えられた
ものとして扱い、この〔数１〕の第１式〜第３式を連立
して解いてベクトルポテンシャルＡとスカラーポテンシ
ャルφを求めた後、〔数１〕の第４式から磁束密度Ｂを
求める。この解析は、通常、有限要素法を用いて行われ
る。
【０００６】ところが、〔数１〕の解析対象領域が交流
電圧源で駆動される場合には、ベクトル量である励磁電
流密度Ｊ0 も未知変数となるので、このままでは〔数
１〕を解くことはできない。そこで、この場合には、交
流電圧源から供給される線電流Ｉ0 を用い、励磁電流密
度Ｊ0 を与える導体コイルにおける関係式、
電圧源で駆動される場合には、ベクトル量である励磁電
流密度Ｊ0 も未知変数となるので、このままでは〔数
１〕を解くことはできない。そこで、この場合には、交
流電圧源から供給される線電流Ｉ0 を用い、励磁電流密
度Ｊ0 を与える導体コイルにおける関係式、
【０００７】
【数２】
【０００８】を使って、本来はベクトル量である励磁電
流密度Ｊ0 の代わりにスカラー量である線電流Ｉ0 を未
知変数として用いる。但し、ｎc ：導体コイルの巻き線
数、Ｓc ：導体コイルの断面積である。
流密度Ｊ0 の代わりにスカラー量である線電流Ｉ0 を未
知変数として用いる。但し、ｎc ：導体コイルの巻き線
数、Ｓc ：導体コイルの断面積である。
【０００９】そして、図３に示すように、この線電流Ｉ
0 に関し、この交流回路の回路方程式である次式〔数
３〕をたてる。
0 に関し、この交流回路の回路方程式である次式〔数
３〕をたてる。
【００１０】
【数３】
【００１１】ここで、Ｖ0 ：電源の起電力、Ｒ：電源部
の内部抵抗、Ｌ：電源部のインダクタンス、Ｃ：電源部
のキャパシタンスであり、電源部の内部インピーダンス
Ｚ＝Ｒ＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）である。また、Ｒ′：導
体コイルＺL における負荷抵抗、ψ：導体コイルＺL に
鎖交する磁束であり、ｊωψが導体コイルＺL の負荷に
よる逆起電力を与える。そして、磁束ψは、この導体コ
イルＺL において誘導される電磁場のベクトルポテンシ
ャルＡを用いて、次式〔数４〕で表される。
の内部抵抗、Ｌ：電源部のインダクタンス、Ｃ：電源部
のキャパシタンスであり、電源部の内部インピーダンス
Ｚ＝Ｒ＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ）である。また、Ｒ′：導
体コイルＺL における負荷抵抗、ψ：導体コイルＺL に
鎖交する磁束であり、ｊωψが導体コイルＺL の負荷に
よる逆起電力を与える。そして、磁束ψは、この導体コ
イルＺL において誘導される電磁場のベクトルポテンシ
ャルＡを用いて、次式〔数４〕で表される。
【００１２】
【数４】
【００１３】但し、この〔数４〕における積分は、導体
コイルＺL の線路に沿った線積分である。
コイルＺL の線路に沿った線積分である。
【００１４】そこで、〔数２〕のＪ0 を〔数１〕の第１
式に代入して、未知変数Ｊ0 をＩ0に変換し、この〔数
１〕の第１式〜第３式並びに〔数３〕及び〔数４〕を連
立して解くと、線電流Ｉ0 、ベクトルポテンシャルＡ及
びスカラーポテンシャルφをそれぞれ求めることがで
き、その結果、〔数１〕の第４式から磁束密度Ｂを求め
ることができる。
式に代入して、未知変数Ｊ0 をＩ0に変換し、この〔数
１〕の第１式〜第３式並びに〔数３〕及び〔数４〕を連
立して解くと、線電流Ｉ0 、ベクトルポテンシャルＡ及
びスカラーポテンシャルφをそれぞれ求めることがで
き、その結果、〔数１〕の第４式から磁束密度Ｂを求め
ることができる。
【００１５】上述した回路方程式〔数３〕は、独立した
交流回路であれば、原理的には、いくつでも増やすこと
ができ、例えば、図４に示すような２回路の場合でも、
各々の回路に〔数３〕の回路方程式をたてれば、解析領
域Ｐの電磁場解析を行うことができる。
交流回路であれば、原理的には、いくつでも増やすこと
ができ、例えば、図４に示すような２回路の場合でも、
各々の回路に〔数３〕の回路方程式をたてれば、解析領
域Ｐの電磁場解析を行うことができる。
【００１６】また、例えば三相交流回路における星型結
線のような、交流回路が互いに独立していない場合で
も、多相交流回路の中の（ｎ−１）個の異なる閉回路部
分にそれぞれキルヒホッフの第二法則を適用して、多相
交流電源から誘導性負荷に供給される線電流のうちの互
いに独立な（ｎ−１）個の線電流に関して、誘導性負荷
をその誘導性負荷部分において解析しようとする電磁場
のベクトルポテンシャルで規定される逆起電力として含
む（ｎ−１）個の回路方程式をたてることによって、電
磁場解析を行うことができる。
線のような、交流回路が互いに独立していない場合で
も、多相交流回路の中の（ｎ−１）個の異なる閉回路部
分にそれぞれキルヒホッフの第二法則を適用して、多相
交流電源から誘導性負荷に供給される線電流のうちの互
いに独立な（ｎ−１）個の線電流に関して、誘導性負荷
をその誘導性負荷部分において解析しようとする電磁場
のベクトルポテンシャルで規定される逆起電力として含
む（ｎ−１）個の回路方程式をたてることによって、電
磁場解析を行うことができる。
【００１７】
【発明が解決しようとする課題】しかしながら、例えば
三相交流回路における星型結線の場合のように、交流回
路が互いに独立していない場合には、上述の方法で導出
された回路方程式と交流電磁場の基礎方程式に、例えば
有限要素法を適用して行列方程式とすると、その未知ベ
クトルに乗ぜられる係数ベクトル（本発明においては、
構造解析に用いられる剛性方程式における剛性行列にな
らって「剛性行列」と称する。）が非対称な行列となる
ため、剛性行列が対称行列であることを前提とした解法
を適用することはできなかった。
三相交流回路における星型結線の場合のように、交流回
路が互いに独立していない場合には、上述の方法で導出
された回路方程式と交流電磁場の基礎方程式に、例えば
有限要素法を適用して行列方程式とすると、その未知ベ
クトルに乗ぜられる係数ベクトル（本発明においては、
構造解析に用いられる剛性方程式における剛性行列にな
らって「剛性行列」と称する。）が非対称な行列となる
ため、剛性行列が対称行列であることを前提とした解法
を適用することはできなかった。
【００１８】また計算機を用いて、前記行列方程式にお
ける剛性行列が非対称であることを前提とした解法を適
用して、前記行列方程式を計算する場合、計算時間と計
算容量の増大をまねいていた。
ける剛性行列が非対称であることを前提とした解法を適
用して、前記行列方程式を計算する場合、計算時間と計
算容量の増大をまねいていた。
【００１９】そこで、本発明の目的は、上記のような多
相交流回路における電磁場解析において、回路方程式と
交流電磁場の基礎方程式より構成される行列方程式の剛
性行列を対称な行列とし、電磁場を高速で精度良く解析
する方法を提供することである。
相交流回路における電磁場解析において、回路方程式と
交流電磁場の基礎方程式より構成される行列方程式の剛
性行列を対称な行列とし、電磁場を高速で精度良く解析
する方法を提供することである。
【００２０】
【課題を解決するための手段】上記課題を解決するため
に、本発明では、起電力と内部インピーダンスが既知の
多相交流電源（相数をｎとする。）に接続されて、この
多相交流電源により駆動される誘導性負荷における電磁
場を、前記多相交流電源と前記誘導性負荷とで構成され
る多相交流回路の中の（ｎ−１）個の異なる閉回路部分
にそれぞれキルヒホッフの第二法則を適用して、前記多
相交流電源から前記誘導性負荷に供給される線電流のう
ちの互いに独立な（ｎ−１）個の線電流に関し、前記誘
導性負荷を、その誘導性負荷部分において解析しようと
する電磁場のベクトルポテンシャルで規定される逆起電
力として含む（ｎ−１）個の回路方程式をたて、これら
の回路方程式を用いて解析する方法において、前記回路
方程式における前記逆起電力を規定するベクトルポテン
シャルの係数が、交流電磁場の基礎方程式における線電
流の係数と等しくなるように前記回路方程式をたてるこ
とによって、前記回路方程式と前記交流電磁場の基礎方
程式とで構成される行列方程式の剛性行列を対称行列と
して、多相交流回路の電磁場を精度良く高速で解析す
る。
に、本発明では、起電力と内部インピーダンスが既知の
多相交流電源（相数をｎとする。）に接続されて、この
多相交流電源により駆動される誘導性負荷における電磁
場を、前記多相交流電源と前記誘導性負荷とで構成され
る多相交流回路の中の（ｎ−１）個の異なる閉回路部分
にそれぞれキルヒホッフの第二法則を適用して、前記多
相交流電源から前記誘導性負荷に供給される線電流のう
ちの互いに独立な（ｎ−１）個の線電流に関し、前記誘
導性負荷を、その誘導性負荷部分において解析しようと
する電磁場のベクトルポテンシャルで規定される逆起電
力として含む（ｎ−１）個の回路方程式をたて、これら
の回路方程式を用いて解析する方法において、前記回路
方程式における前記逆起電力を規定するベクトルポテン
シャルの係数が、交流電磁場の基礎方程式における線電
流の係数と等しくなるように前記回路方程式をたてるこ
とによって、前記回路方程式と前記交流電磁場の基礎方
程式とで構成される行列方程式の剛性行列を対称行列と
して、多相交流回路の電磁場を精度良く高速で解析す
る。
【００２１】
【作用】以下、本発明の作用を、三相交流の星型結線の
場合を例にとって説明する。
場合を例にとって説明する。
【００２２】図１に示すように、誘導性負荷として３個
の誘導性負荷素子ＺL1〜ＺL3が星型に結線されており、
電源の内部インピーダンス及び各誘導性負荷素子ＺL1〜
ＺL3の負荷抵抗が三相でバランスしている場合を考え
る。この時、説明を簡単にするために、既述した〔数
３〕において、電源の内部インピーダンスに誘導性負荷
の負荷抵抗を加えたものを電源の内部インピーダンスＺ
として取り扱う。即ち、
の誘導性負荷素子ＺL1〜ＺL3が星型に結線されており、
電源の内部インピーダンス及び各誘導性負荷素子ＺL1〜
ＺL3の負荷抵抗が三相でバランスしている場合を考え
る。この時、説明を簡単にするために、既述した〔数
３〕において、電源の内部インピーダンスに誘導性負荷
の負荷抵抗を加えたものを電源の内部インピーダンスＺ
として取り扱う。即ち、
【００２３】 Ｚ＝Ｒ＋Ｒ′＋ｊ（ωＬ−１／ωＣ） …（１）
【００２４】である。
【００２５】図１において、まず、電位ＶR と電位ＶT
との間で形成される閉回路１にキルヒホッフの第二法則
を適用すると、
との間で形成される閉回路１にキルヒホッフの第二法則
を適用すると、
【００２６】 ＺＩR −ＺＩT ＋ｊωψR −ｊωψT ＝ＶR −ＶT …（２）
【００２７】が得られる。一方、電位ＶR と電位Ｖs と
の間で形成される閉回路２にキルヒホッフの第二法則を
適用すると、 ＺＩR ＋Ｚ（ＩR ＋ＩT ）＋ｊωψR −ｊωψs ＝ＶR −Ｖs …（３）
の間で形成される閉回路２にキルヒホッフの第二法則を
適用すると、 ＺＩR ＋Ｚ（ＩR ＋ＩT ）＋ｊωψR −ｊωψs ＝ＶR −Ｖs …（３）
【００２８】が得られる。
【００２９】これらの（２）式及び（３）式における逆
起電力は、〔数４〕を用いることによってベクトルポテ
ンシャルで規定されるが、このベクトルポテンシャルの
係数と〔数１〕、〔数２〕における線電流の係数が等し
くなるように整理すると、
起電力は、〔数４〕を用いることによってベクトルポテ
ンシャルで規定されるが、このベクトルポテンシャルの
係数と〔数１〕、〔数２〕における線電流の係数が等し
くなるように整理すると、
【００３０】 ２ＺＩR ＋ＺＩT ＋ｊω（ψR −ψs ）＝ＶR −Ｖs …（４）
【００３１】 ＺＩR ＋２ＺＩT ＋ｊω（ψT −ψs ）＝ＶT −Ｖs …（５）
【００３２】が得られる。
【００３３】そこで、本発明においては、これらの
（４）式と（５）式を、互いに独立な線電流ＩR とＩT
に関する方程式として用いる。即ち、（４）式によれ
ば、独立な線電流ＩR が流れる第１の回路では、誘導性
負荷素子ＺL1〜ＺL3において解析しようとする全導電体
を解析対象に指定（但し、磁束ψにマイナス符号が付い
ているＳ相の導体は、その方向を逆に指定）する。この
回路の電源の内部インピーダンスは２Ｚで、電源の起電
力としてＶR −Ｖs を複素数でコンピュータに入力す
る。また第１の回路は、独立な線電流ＩT が流れる第２
の回路とインピーダンスＺで接続されていると設定す
る。一方、（５）式によれば、独立な線電流ＩT が流れ
る第２の回路でも、解析対象として全導体を第１の回路
とダブって指定し、今度は、電源の起電力をＶT −Ｖs
にし、その他は（４）式の場合と同様に（５）式にした
がって、各値を設定してコンピュータに入力する。そし
て、これらの（４）式及び（５）式と、既述した〔数
１〕、〔数２〕及び〔数４〕を例えば有限要素法を用い
て離散化すると、得られた行列方程式の剛性行列は、対
称行列になる。
（４）式と（５）式を、互いに独立な線電流ＩR とＩT
に関する方程式として用いる。即ち、（４）式によれ
ば、独立な線電流ＩR が流れる第１の回路では、誘導性
負荷素子ＺL1〜ＺL3において解析しようとする全導電体
を解析対象に指定（但し、磁束ψにマイナス符号が付い
ているＳ相の導体は、その方向を逆に指定）する。この
回路の電源の内部インピーダンスは２Ｚで、電源の起電
力としてＶR −Ｖs を複素数でコンピュータに入力す
る。また第１の回路は、独立な線電流ＩT が流れる第２
の回路とインピーダンスＺで接続されていると設定す
る。一方、（５）式によれば、独立な線電流ＩT が流れ
る第２の回路でも、解析対象として全導体を第１の回路
とダブって指定し、今度は、電源の起電力をＶT −Ｖs
にし、その他は（４）式の場合と同様に（５）式にした
がって、各値を設定してコンピュータに入力する。そし
て、これらの（４）式及び（５）式と、既述した〔数
１〕、〔数２〕及び〔数４〕を例えば有限要素法を用い
て離散化すると、得られた行列方程式の剛性行列は、対
称行列になる。
【００３４】図２に、電源の内部インピーダンスがアン
バランスな場合を示す。但し、負荷抵抗は、内部インピ
ーダンスに加えている。
バランスな場合を示す。但し、負荷抵抗は、内部インピ
ーダンスに加えている。
【００３５】この場合には、閉回路１におけるキルヒホ
ッフの第二法則の式は、
ッフの第二法則の式は、
【００３６】 ＺR ＩR −ＺT ＩT ＋ｊωψR −ｊωψT ＝ＶR −ＶT …（６）
【００３７】となり、閉回路２におけるキルヒホッフの
第二法則の式は、
第二法則の式は、
【００３８】 ＺR ＩR ＋Ｚs （ＩR ＋ＩT ）＋ｊωψR −ｊωψs ＝ＶR −Ｖs …（７）
【００３９】となる。
【００４０】これらの（６）式及び（７）式に、〔数
４〕を代入した場合のベクトルポテンシャルの係数と、
〔数１〕、〔数２〕における線電流の係数が等しくなる
ように整理すると、
４〕を代入した場合のベクトルポテンシャルの係数と、
〔数１〕、〔数２〕における線電流の係数が等しくなる
ように整理すると、
【００４１】 （ＺR ＋Ｚs ）ＩR ＋Ｚs ＩT ＋ｊω（ψR −ψs ）＝ＶR −Ｖs …（８）
【００４２】 Ｚs ＩR ＋（ＺT ＋Ｚs ）ＩT ＋ｊω（ψT −ψs ）＝ＶT −Ｖs …（９）
【００４３】が得られる。（８）式によれば、独立な線
電流ＩR が流れる第１の回路においては、解析対象とし
て、全導体を指定（但し、ψにマイナス記号の付いてい
る場合は、方向が逆）し、電源の内部インピーダンスは
ＺR ＋Ｚs 、起電力はＶR −Ｖs とする。また、第１の
回路は、独立な線電流ＩT が流れる第２の回路とインピ
ーダンスＺs で接続されていると設定する。（９）式に
おいても同様である。
電流ＩR が流れる第１の回路においては、解析対象とし
て、全導体を指定（但し、ψにマイナス記号の付いてい
る場合は、方向が逆）し、電源の内部インピーダンスは
ＺR ＋Ｚs 、起電力はＶR −Ｖs とする。また、第１の
回路は、独立な線電流ＩT が流れる第２の回路とインピ
ーダンスＺs で接続されていると設定する。（９）式に
おいても同様である。
【００４４】先に、電源の内部インピーダンスが三相で
バランスしている場合に、回路方程式（４）と（５）
を、〔数１〕、〔数２〕及び〔数４〕とともに、例えば
有限要素法で離散化すると、得られる行列方程式の剛性
行列が対称行列となることを述べたが、ここでは、より
一般的な電源の内部インピーダンスがアンバランスな場
合について、回路方程式（８）と（９）を〔数１〕、
〔数２〕及び〔数４〕とともに有限要素法で離散化する
と剛性行列が対称になることを具体的に説明する。
バランスしている場合に、回路方程式（４）と（５）
を、〔数１〕、〔数２〕及び〔数４〕とともに、例えば
有限要素法で離散化すると、得られる行列方程式の剛性
行列が対称行列となることを述べたが、ここでは、より
一般的な電源の内部インピーダンスがアンバランスな場
合について、回路方程式（８）と（９）を〔数１〕、
〔数２〕及び〔数４〕とともに有限要素法で離散化する
と剛性行列が対称になることを具体的に説明する。
【００４５】まず、〔数１〕に、有限要素法と等価な離
散化手法として知られるガラーキン法を適用し、更に、
ベクトル公式を適用することで、次の〔数５〕に示す積
分方程式が得られる。
散化手法として知られるガラーキン法を適用し、更に、
ベクトル公式を適用することで、次の〔数５〕に示す積
分方程式が得られる。
【００４６】
【数５】
【００４７】但し、Ｎi は、有限要素法における補間関
数を示している。
数を示している。
【００４８】三相交流で励磁される電気機器の場合、
〔数５〕の（１０）式のベクトルＪ0は、Ｒ相コイル、
Ｓ相コイル及びＴ相コイルの電流密度の線形結合で表さ
れるので、次の〔数６〕が成り立つ。
〔数５〕の（１０）式のベクトルＪ0は、Ｒ相コイル、
Ｓ相コイル及びＴ相コイルの電流密度の線形結合で表さ
れるので、次の〔数６〕が成り立つ。
【００４９】
【数６】
【００５０】ここで、ベクトル量であるＪ0R、Ｊ0S、Ｊ
0Tは、夫々、Ｒ相、Ｓ相、Ｔ相のコイルの電流密度を表
す。今、ベクトルＪ0Rを、座標系に対する成分に展開す
ると、次の〔数７〕が得られる。
0Tは、夫々、Ｒ相、Ｓ相、Ｔ相のコイルの電流密度を表
す。今、ベクトルＪ0Rを、座標系に対する成分に展開す
ると、次の〔数７〕が得られる。
【００５１】
【数７】
【００５２】ここで、頭に山型の記号が付いたｘ、ｙ、
ｚは、夫々、ｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルを表し、添
字Ｒの付いたｉx 、ｉy 、ｉz は、夫々、コイル電流の
方向を示す単位ベクトルのｘ、ｙ、ｚ成分を表してい
る。また、〔数７〕の（１３）式における添字ＲをＳ又
はＴにすれば、夫々、Ｓ相とＴ相のコイルの電流密度に
関する同様の表現を得ることができる。
ｚは、夫々、ｘ、ｙ、ｚ方向の単位ベクトルを表し、添
字Ｒの付いたｉx 、ｉy 、ｉz は、夫々、コイル電流の
方向を示す単位ベクトルのｘ、ｙ、ｚ成分を表してい
る。また、〔数７〕の（１３）式における添字ＲをＳ又
はＴにすれば、夫々、Ｓ相とＴ相のコイルの電流密度に
関する同様の表現を得ることができる。
【００５３】〔数２〕を三相交流のＲ相について適用
し、〔数７〕の（１３）式に代入すれば、次の〔数８〕
に示す関係式が得られる。
し、〔数７〕の（１３）式に代入すれば、次の〔数８〕
に示す関係式が得られる。
【００５４】
【数８】
【００５５】但し、ｎc とＳc に関する添字Ｒは、夫
々、Ｒ相における巻線とコイル断面積であることを示し
ており、添字ＲをＳ又はＴにすることで、夫々、Ｓ相と
Ｔ相のコイルに関する同様の関係式が得られる。
々、Ｒ相における巻線とコイル断面積であることを示し
ており、添字ＲをＳ又はＴにすることで、夫々、Ｓ相と
Ｔ相のコイルに関する同様の関係式が得られる。
【００５６】〔数６〕の（１２）式の右辺に、〔数７〕
の（１３）式に相当する各相の関係式を代入し、且つ、
〔数８〕の（１４）式に相当する関係を用いると、次の
〔数９〕が得られる。
の（１３）式に相当する各相の関係式を代入し、且つ、
〔数８〕の（１４）式に相当する関係を用いると、次の
〔数９〕が得られる。
【００５７】
【数９】
【００５８】三相交流回路では、各相のコイル電流間に
次の関係式が成立する。 ＩS ＝−ＩR −ＩT …（１６）
次の関係式が成立する。 ＩS ＝−ＩR −ＩT …（１６）
【００５９】そこで、（１６）式を〔数９〕の（１５）
式に代入すると、次の〔数１０〕を得ることができる。
式に代入すると、次の〔数１０〕を得ることができる。
【００６０】
【数１０】
【００６１】次に、〔数４〕を用いて回路方程式を変形
するに当たり、まず、〔数４〕の積分が各コイルに沿っ
た積分であることを利用して、座標系に対する成分に展
開すると、次の〔数１１〕が得られる。
するに当たり、まず、〔数４〕の積分が各コイルに沿っ
た積分であることを利用して、座標系に対する成分に展
開すると、次の〔数１１〕が得られる。
【００６２】
【数１１】
【００６３】但し、ｋ＝Ｒ，Ｓ，Ｔである。
【００６４】この〔数１１〕の（１８）式を（８）式及
び（９）式に代入し、両辺を−ｊωで割ると、次の〔数
１２〕が得られる。
び（９）式に代入し、両辺を−ｊωで割ると、次の〔数
１２〕が得られる。
【００６５】
【数１２】
【００６６】以上の式の展開で得られた〔数５〕の（１
１）式、〔数１０〕の（１７）式並びに〔数１２〕の
（１９）式及び（２０）式について、有限要素法に基づ
く行列方程式を導出するために、ベクトルポテンシャル
とスカラーポテンシャルを補間関数で離散化した次の
〔数１３〕を代入する。
１）式、〔数１０〕の（１７）式並びに〔数１２〕の
（１９）式及び（２０）式について、有限要素法に基づ
く行列方程式を導出するために、ベクトルポテンシャル
とスカラーポテンシャルを補間関数で離散化した次の
〔数１３〕を代入する。
【００６７】
【数１３】
【００６８】代入して得られた方程式群をまとめると、
次の〔数１４〕に示す連立一次方程式が得られる。
次の〔数１４〕に示す連立一次方程式が得られる。
【００６９】
【数１４】
【００７０】ここで、〔数１４〕の（２３）式の左辺の
｛Ａx ｝、｛Ａy ｝、｛Ａz ｝、｛φ｝は有限要素法の
節点におけるポテンシャル値を示し、右辺のＶ1 、Ｖ2
は、次の〔数１５〕に示す
｛Ａx ｝、｛Ａy ｝、｛Ａz ｝、｛φ｝は有限要素法の
節点におけるポテンシャル値を示し、右辺のＶ1 、Ｖ2
は、次の〔数１５〕に示す
【００７１】
【数１５】
【００７２】を意味している。
【００７３】〔数１４〕の（２３）式の左辺の剛性行列
の各小行列において、次の〔数１６〕に示す
の各小行列において、次の〔数１６〕に示す
【００７４】
【数１６】
【００７５】の領域については、従来の有限要素法で導
出される剛性行列と全く同一であり、対称行列になる。
ここでは、それ以外の小行列について、計算式を書き記
すと、次の〔数１７〕及び〔数１８〕に示すようにな
る。
出される剛性行列と全く同一であり、対称行列になる。
ここでは、それ以外の小行列について、計算式を書き記
すと、次の〔数１７〕及び〔数１８〕に示すようにな
る。
【００７６】
【数１７】
【００７７】
【数１８】
【００７８】これらの〔数１７〕及び〔数１８〕から、
対称な位置関係にある小行列の計算式が同一であり、依
って、〔数１４〕の（２３）式の剛性行列が対称行列に
なることが分かる。
対称な位置関係にある小行列の計算式が同一であり、依
って、〔数１４〕の（２３）式の剛性行列が対称行列に
なることが分かる。
【００７９】なお、以上の説明は三相交流の星型結線の
場合であるが、本発明の方法は、他の結線、例えば環状
結線の場合にも適用が可能である。また、交流の相数
は、三相に限られないことは言うまでもない。
場合であるが、本発明の方法は、他の結線、例えば環状
結線の場合にも適用が可能である。また、交流の相数
は、三相に限られないことは言うまでもない。
【００８０】このように、本発明によれば、ｎ相交流回
路中の（ｎ−１）個の異なる閉回路部分にそれぞれキル
ヒホッフの第二法則を適用して、ｎ相交流電源から誘導
性負荷に供給される線電流のうちの互いに独立な（ｎ−
１）個の線電流に関し、誘導性負荷を、その誘導性負荷
部分において解析しようとする電磁場のベクトルポテン
シャルで規定される逆起電力として含む（ｎ−１）個の
回路方程式をたて、回路方程式における逆起電力を規定
するベクトルポテンシャルの係数を、交流電磁場の基礎
方程式における線電流の係数と等しくなるように方程式
を変形し、この方程式を用いて電磁場解析を行うように
しているので、解くべき行列方程式における剛性行列を
対称とし、計算機を用いた計算に際して、剛性行列が対
称であることを前提とした解法が適用できることを可能
とすることによって、高速計算を行い、且つ記憶容量の
削減を行うことができる。
路中の（ｎ−１）個の異なる閉回路部分にそれぞれキル
ヒホッフの第二法則を適用して、ｎ相交流電源から誘導
性負荷に供給される線電流のうちの互いに独立な（ｎ−
１）個の線電流に関し、誘導性負荷を、その誘導性負荷
部分において解析しようとする電磁場のベクトルポテン
シャルで規定される逆起電力として含む（ｎ−１）個の
回路方程式をたて、回路方程式における逆起電力を規定
するベクトルポテンシャルの係数を、交流電磁場の基礎
方程式における線電流の係数と等しくなるように方程式
を変形し、この方程式を用いて電磁場解析を行うように
しているので、解くべき行列方程式における剛性行列を
対称とし、計算機を用いた計算に際して、剛性行列が対
称であることを前提とした解法が適用できることを可能
とすることによって、高速計算を行い、且つ記憶容量の
削減を行うことができる。
【００８１】
【実施例】以下、本発明を三相誘導モーターのモデル解
析に適用した実施例につき説明する。
析に適用した実施例につき説明する。
【００８２】図５は、本発明の計算高速化方法を適用し
た三相誘導モーターのモデルの全体概略斜視図である。
解析に際しては、下面を自然境界面、上面及び側面を固
定境界面とし、要素数１０８０、節点数１３５５の有限
要素法を用いて解析を行った。物性値としては、比透磁
率を１、周波数を６０〔Ｈｚ〕とした。なお、導電率
は、内部抵抗に含まれるので零とした。
た三相誘導モーターのモデルの全体概略斜視図である。
解析に際しては、下面を自然境界面、上面及び側面を固
定境界面とし、要素数１０８０、節点数１３５５の有限
要素法を用いて解析を行った。物性値としては、比透磁
率を１、周波数を６０〔Ｈｚ〕とした。なお、導電率
は、内部抵抗に含まれるので零とした。
【００８３】まず、このモデルは、電源側と負荷側の星
型結線の中性点を互いに結んだ回路を考えることによ
り、回路方程式をもう１つ作ることができ、この三相３
回路を用いることで、例外的に剛性行列が対称であるこ
とを前提とした解法で解析することが可能である。即
ち、電源の星形結線の中性点とＲ相、Ｔ相、Ｓ相の３つ
のコイルの星形結線の中性点とを結んだ回路を考えるこ
とにより、互いに独立した３回路を考え、これらの３つ
の回路にそれぞれ回路方程式をたて、解析を行った。こ
の時、Ｒ相では、起電力〔Ｖ〕の実部を１００．０、虚
部を０．０とし、Ｔ相では、実部を−５０．０、虚部を
８６．６、Ｓ相では、実部を−５０．０、虚部を−８
６．６とし、更に各相において、巻数を１０００、内部
抵抗を０．１〔Ω〕、電源インダクタンスを１×１０-4
〔Ｈ〕、回路キャパシタンスを１×１０4 〔Ｆ〕とし
た。従って、本例は、各相がバランスしている場合の解
析結果で、得られた線電流Ｉ0 の絶対値は、全ての相に
おいて、約２．９５×１０-1〔Ａ〕、電圧との位相差θ
〔ｄｅｇ〕は、Ｒ相において、約−９０、Ｔ相におい
て、約３０．０、Ｓ相において、約１５０であった。
型結線の中性点を互いに結んだ回路を考えることによ
り、回路方程式をもう１つ作ることができ、この三相３
回路を用いることで、例外的に剛性行列が対称であるこ
とを前提とした解法で解析することが可能である。即
ち、電源の星形結線の中性点とＲ相、Ｔ相、Ｓ相の３つ
のコイルの星形結線の中性点とを結んだ回路を考えるこ
とにより、互いに独立した３回路を考え、これらの３つ
の回路にそれぞれ回路方程式をたて、解析を行った。こ
の時、Ｒ相では、起電力〔Ｖ〕の実部を１００．０、虚
部を０．０とし、Ｔ相では、実部を−５０．０、虚部を
８６．６、Ｓ相では、実部を−５０．０、虚部を−８
６．６とし、更に各相において、巻数を１０００、内部
抵抗を０．１〔Ω〕、電源インダクタンスを１×１０-4
〔Ｈ〕、回路キャパシタンスを１×１０4 〔Ｆ〕とし
た。従って、本例は、各相がバランスしている場合の解
析結果で、得られた線電流Ｉ0 の絶対値は、全ての相に
おいて、約２．９５×１０-1〔Ａ〕、電圧との位相差θ
〔ｄｅｇ〕は、Ｒ相において、約−９０、Ｔ相におい
て、約３０．０、Ｓ相において、約１５０であった。
【００８４】次に、同じモデルの回路を、既述した本発
明の方法により解析した。具体的には、Ｒ相、Ｔ相、Ｓ
相の三相を、既述した第１の回路と第２の回路の２回路
の回路方程式を用いて解析した。即ち、第１の回路で、
起電力ＶR −Ｖs の実部を１５０、虚部を８６．６、第
２の回路で、起電力ＶT −Ｖs の実部を０、虚部を１７
３．２とし、各回路において、巻線数を１０００、内部
抵抗を０．２〔Ω〕、電源インダクタンスを２×１０-4
〔Ｈ〕、回路キャパシタンスを５×１０3 〔Ｆ〕とし、
更に、第１の回路と第２の回路は、抵抗を０．１
〔Ω〕、回路インダクタンスを１×１０-4〔Ｈ〕、回路
キャパシタンスを１×１０4 〔Ｆ〕を介して接続されて
いると設定した。この時、行列方程式の剛性行列は対称
行列となり、剛性行列が対称行列であることを前提とし
た解法を適用することができた。得られた線電流Ｉ0 の
絶対値は、いずれの回路においても約２．９５×１０-1
〔Ａ〕、電圧との位相差θ〔ｄｅｇ〕は、Ｒ相におい
て、約−９０．０、Ｔ相において、約３０．０であっ
た。
明の方法により解析した。具体的には、Ｒ相、Ｔ相、Ｓ
相の三相を、既述した第１の回路と第２の回路の２回路
の回路方程式を用いて解析した。即ち、第１の回路で、
起電力ＶR −Ｖs の実部を１５０、虚部を８６．６、第
２の回路で、起電力ＶT −Ｖs の実部を０、虚部を１７
３．２とし、各回路において、巻線数を１０００、内部
抵抗を０．２〔Ω〕、電源インダクタンスを２×１０-4
〔Ｈ〕、回路キャパシタンスを５×１０3 〔Ｆ〕とし、
更に、第１の回路と第２の回路は、抵抗を０．１
〔Ω〕、回路インダクタンスを１×１０-4〔Ｈ〕、回路
キャパシタンスを１×１０4 〔Ｆ〕を介して接続されて
いると設定した。この時、行列方程式の剛性行列は対称
行列となり、剛性行列が対称行列であることを前提とし
た解法を適用することができた。得られた線電流Ｉ0 の
絶対値は、いずれの回路においても約２．９５×１０-1
〔Ａ〕、電圧との位相差θ〔ｄｅｇ〕は、Ｒ相におい
て、約−９０．０、Ｔ相において、約３０．０であっ
た。
【００８５】図６は、図５の中心部分Ａの拡大図であ
り、上述した本発明の方法による各相（Ｒ相、Ｔ相、Ｓ
相）での解析結果の電流路の方向を示している。
り、上述した本発明の方法による各相（Ｒ相、Ｔ相、Ｓ
相）での解析結果の電流路の方向を示している。
【００８６】以上の結果から、互いに独立した、３つの
交流回路が必要な従来の解析方法と同様の結果が、本発
明の方法によって、２つの回路方程式を用いながら、行
列方程式の剛性行列が、対称であることを前提とした解
法を用いて、得られることがわかる。従って、本発明の
方法によれば、例えば三相交流がバランスしており、且
つ電源も星形結線である場合に限らず、各種の多相交流
の場合に、行列方程式の剛性行列が対称であることを前
提とした解法を適用することが可能である。
交流回路が必要な従来の解析方法と同様の結果が、本発
明の方法によって、２つの回路方程式を用いながら、行
列方程式の剛性行列が、対称であることを前提とした解
法を用いて、得られることがわかる。従って、本発明の
方法によれば、例えば三相交流がバランスしており、且
つ電源も星形結線である場合に限らず、各種の多相交流
の場合に、行列方程式の剛性行列が対称であることを前
提とした解法を適用することが可能である。
【００８７】
【発明の効果】本発明によれば、交流回路が独立してい
ないために、従来は行列方程式の剛性行列が非対称とな
り、剛性行列が対称行列であることを前提とした解法が
適用できなかった電圧源による多相交流回路における電
磁場を、剛性行列が対称であることを前提とした解法を
用いて、解析することができる。このため、例えば、三
相誘導モーター、三相同期モーター、三相変圧器等の多
相交流機器を商用電力系統等の多相交流電圧源で駆動す
る場合の電磁場解析を高速に、且つ精度良く行うことが
できるようになり、各電気機器の実際の使用状態に近い
状態での解析を行うことができる。従って、本発明の解
析方法は、それらの電気機器の設計や各種運転条件の設
定に利用して、極めて有用なものである。
ないために、従来は行列方程式の剛性行列が非対称とな
り、剛性行列が対称行列であることを前提とした解法が
適用できなかった電圧源による多相交流回路における電
磁場を、剛性行列が対称であることを前提とした解法を
用いて、解析することができる。このため、例えば、三
相誘導モーター、三相同期モーター、三相変圧器等の多
相交流機器を商用電力系統等の多相交流電圧源で駆動す
る場合の電磁場解析を高速に、且つ精度良く行うことが
できるようになり、各電気機器の実際の使用状態に近い
状態での解析を行うことができる。従って、本発明の解
析方法は、それらの電気機器の設計や各種運転条件の設
定に利用して、極めて有用なものである。
【図１】本発明の作用を説明するための三相星形結線の
回路構成を示す回路図である。
回路構成を示す回路図である。
【図２】図１の構成において、電源の内部インピーダン
スがアンバランスな場合を説明するための回路図であ
る。
スがアンバランスな場合を説明するための回路図であ
る。
【図３】回路方程式を説明するための回路図である。
【図４】交流回路が独立している場合の従来の解析方法
を説明するための回路図である。
を説明するための回路図である。
【図５】本発明の解析方法を適用した三相誘導モーター
のモデルの全体概略斜視図である。
のモデルの全体概略斜視図である。
【図６】図５の三相誘導モーターのモデルの中心部にお
ける電流の方向の解析結果を示す概念図である。
ける電流の方向の解析結果を示す概念図である。
１、２ 閉回路 ＩR 、ＩT 線電流 Ｚ、ＺR 、Ｚ T、Ｚ S 電源の内部インピーダンス ＺL1、ＺL2、ＺL3 誘導性負荷素子 ｊωψR 、ｊωψT 、ｊωψS 逆起電力
Claims (1)
- 【請求項１】 起電力と内部インピーダンスが既知の多
相交流電源（相数をｎとする。）に接続されて、この多
相交流電源により駆動される誘導性負荷における電磁場
を、前記多相交流電源と前記誘導性負荷とで構成される
多相交流回路の中の（ｎ−１）個の異なる閉回路部分に
それぞれキルヒホッフの第二法則を適用して、前記多相
交流電源から前記誘導性負荷に供給される線電流のうち
の互いに独立な（ｎ−１）個の線電流に関し、前記誘導
性負荷を、その誘導性負荷部分において解析しようとす
る電磁場のベクトルポテンシャルで規定される逆起電力
として含む（ｎ−１）個の回路方程式をたて、これらの
回路方程式を用いて解析する方法において、 前記回路方程式における前記逆起電力を規定するベクト
ルポテンシャルの係数が、交流電磁場の基礎方程式にお
ける線電流の係数と等しくなるように前記回路方程式を
たてることによって、前記回路方程式と前記交流電磁場
の基礎方程式とで構成される行列方程式の剛性行列を対
称行列として、電磁場を解析することを特徴とする多相
交流回路における電磁場解析方法。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP8653692A JP2640889B2 (ja) | 1992-03-10 | 1992-03-10 | 多相交流回路における電磁場解析法 |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP8653692A JP2640889B2 (ja) | 1992-03-10 | 1992-03-10 | 多相交流回路における電磁場解析法 |
Publications (2)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JPH05249206A JPH05249206A (ja) | 1993-09-28 |
| JP2640889B2 true JP2640889B2 (ja) | 1997-08-13 |
Family
ID=13889725
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP8653692A Expired - Fee Related JP2640889B2 (ja) | 1992-03-10 | 1992-03-10 | 多相交流回路における電磁場解析法 |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2640889B2 (ja) |
Families Citing this family (1)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP7133145B2 (ja) * | 2018-09-26 | 2022-09-08 | 日本電気硝子株式会社 | シミュレーション方法およびシミュレーションプログラム |
-
1992
- 1992-03-10 JP JP8653692A patent/JP2640889B2/ja not_active Expired - Fee Related
Also Published As
| Publication number | Publication date |
|---|---|
| JPH05249206A (ja) | 1993-09-28 |
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Legal Events
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|---|---|---|---|
| A01 | Written decision to grant a patent or to grant a registration (utility model) |
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