JP2023171068A - 異常検知装置及び異常検知方法 - Google Patents

Abstract

【課題】時系列データの区間的な異常を検知可能な技術を提供すること。【解決手段】一態様による異常検知装置は、所定の力学系から生成される時系列データを用いて、前記力学系に対応するＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を作成するように構成されている線形作用素推定部と、前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を少なくとも用いて、前記力学系が生成される時系列データの所定の時間区間における異常度を計算するように構成されている異常度計算部と、前記異常度を用いて、前記時間区間における異常の発生有無を検知するように構成されている異常検知部と、を有する。【選択図】図３

Description

本開示は、異常検知装置及び異常検知方法に関する。

自然界や人間社会に現れる様々な事象（例えば、通信トラヒック、株価、気温等）の多くは時系列データで表される。このため、時系列データの解析を行う手法が従来から研究されており、その１つとして作用素論的データ解析が知られている。作用素論的データ解析では、時系列データの時間発展を線形作用素により表現することで、作用素論と呼ばれる数学の理論を適用するものである。近年では、作用素論的データ解析を異常検知に応用した手法が提案されている（例えば、非特許文献１）。

Hashimoto, Y., Ishikawa, I., Ikeda, I., Matsuo, Y., and Kawahara, Y. Krylov Subspace Method for Nonlinear Dynamical Systems with Random Noise. Journal of Machine Learning Research, 21(172):1-29, 2020.

しかしながら、上記の非特許文献１に記載されている手法は、各時刻のデータ毎に異常度の計算を行っているため、時間的に幅を持った区間での異常（言い換えれば、区間的な異常）を捉えることができるとは限らないという課題がある。例えば、上記の非特許文献１に記載されている手法は、或る時刻で急激に値の変化があった場合は異常を検知できる一方で、値が徐々に変化していくような異常は検知できるとは限らない。

本開示は、上記の点に鑑みてなされたもので、時系列データの区間的な異常を検知可能な技術を提供する。

本開示の一態様による異常検知装置は、所定の力学系から生成される時系列データを用いて、前記力学系に対応するＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を作成するように構成されている線形作用素推定部と、前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を少なくとも用いて、前記力学系が生成される時系列データの所定の時間区間における異常度を計算するように構成されている異常度計算部と、前記異常度を用いて、前記時間区間における異常の発生有無を検知するように構成されている異常検知部と、を有する。

時系列データの区間的な異常を検知可能な技術が提供される。

折れ線関数の一例を示す図である。 本実施形態に係る異常検知装置のハードウェア構成の一例を示す図である。 本実施形態に係る異常検知装置の機能構成の一例を示す図である。 本実施形態に係る異常検知処理の一例を示すフローチャートである。 異常を加えたデータの一例を示す図である。 異常度の一例を示す図（その１）である。 異常度の一例を示す図（その２）である。

以下、本発明の一実施形態について説明する。

＜理論的構成＞
以下、本実施形態の理論的構成について説明する。

≪１．設定≫
Ｘを状態空間とした以下の式（１）に示すような力学系を考える。

ｘ_ｔ＋１＝ｈ（ｘ_ｔ） （１）
ただし、ｈはＸからＸへの一般には非線形な写像である。

ＨをＸ上の正定値カーネルｋ：Ｘ×Ｘ→Ｃ（ただし、Ｃは複素数全体の集合）から構成される再生核Ｈｉｌｂｅｒｔ空間（ＲＫＨＳ：reproducing kernel Hilbert space）とする。Ｈは、Ｘ上の複素数値関数から構成されるＨｉｌｂｅｒｔ空間であることに注意する。なお、ＲＫＨＳの詳細に関しては、例えば、上記の非特許文献１の３章等を参照されたい。

Ｈ上で、式（１）に示す力学系に対応するＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素Ｋを、以下を満たす線形作用素として定義する。

Ｋφ（ｘ）＝φ（ｈ（ｘ））
ただし、φはｋに関する特徴写像で、φ（ｘ）＝ｋ（・，ｘ）により定義される。

≪２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定≫
式（１）に示す力学系によって生成された時刻Ｔまでのデータ（正常データ）ｘ_０，・・・，ｘ_Ｔが与えられているものとする。このとき、与えられた自然数ｎに対して、以下の式（２）を最小化する正規直交系ｑ_１，・・・，ｑ_ｎ∈Ｈを求める。

ここで、ｎはＴ以下の自然数として与える。例えば、ｎ＝［（３／４）Ｔ］等のようにＴより少し小さな自然数とする。なお、〈・，・〉は内積を表す。

写像ＰをＨからｑ_１，・・・，ｑ_ｎの張る空間への射影とする。

このとき、Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素Ｋの近似をＰＫＰにより構成する。同様に、任意のｌ＝１，２，・・・，ｑ（ただし、ｑは予め決められた１以上の整数）に対してＫ^ｌの近似をＰＫ^ｌＰにより構成する。

≪３．異常度の計算≫
ｄを与えられた自然数とする。ｄという時間幅を持った区間での異常を計算することを考える。長い区間での異常を捉えた場合、例えば、ｄは１００等といった比較的大きな値に設定する。逆に、短い区間での異常を捉えたい場合、例えば、ｄは１０等といった比較的小さな値に設定する。以下、異常度の計算方法として、方法１～３の３つの方法について説明する。

・方法１
τを与えられた自然数とし、時刻τ～τ＋ｄの正常データｘ_τ，・・・，ｘ_τ＋ｄが与えられているものとする。τは任意の自然数でよいが、例えば、τ＝０等に設定する。

時刻τにおけるｘ_τの予測値をｘ_τ'と表す。このとき、まず、以下の式（３）を近似的に満たすｗ_０，・・・，ｗ_ｑ－１∈Ｃを計算する。

ただし、Ｊ_ｌ＝ＰＫ^ｌＰは、「２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定」で構成したＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似である。以下、φ（ｘ_τ＋ｄ'）＝φ（ｘ_τ＋ｄ）と置くものとする。ただし、上記の式（３）と同様に、φ（ｘ_τ＋ｄ'）を近似的に構成してもよい。

上記の式（３）を近似的に満たすｗ_０，・・・，ｗ_ｑ－１∈Ｃは次のようにして計算できる。すなわち、まず、図１に示すような折れ線関数ｆ及びｇを構成する（なお、図１は、一例として、ｔ＝τ＋ｉ＋１である場合を示している。）。具体的には、ｉ＝０，・・・，ｄに対して、以下の式（４）に示す折れ線関数ｆ及びｇを構成する。

次に、これらの折れ線関数ｆ及びｇを用いて、時刻τ～τ＋ｄの予測誤差ｅｒｒ（τ，ｗ）を以下の式（５）のように定義する。

ただし、ｗ＝（ｗ_０，・・・，ｗ_ｑ－１）である。そして、このｅｒｒ（τ，ｗ）を最小化するようなｗを勾配法等により求める。これにより、上記の式（３）を近似的に満たすｗが得られる。以下、このｗをｗ^＊と表す。

次に、各時刻ｔ（ｔ＞Ｔ，ｔ＞τ）に対して、ｗ^＊と「２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定」で構成したＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似ＰＫ^ｌＰとを用いて、時刻ｔ～ｔ＋ｄにおける予測値（より正確には、予測値を特徴空間に写した値）を計算し、それらの予測値と実測値との誤差により時刻ｔ～ｔ＋ｄという幅を持った区間における異常度を計算する。具体的には、時刻ｔ～ｔ＋ｄにおける異常度を、式（５）で定義した関数を用いて、ｅｒｒ（ｔ，ｗ^＊）とする。なお、例えば、ｅｒｒ（τ，ｗ^＊）とｅｒｒ（ｔ，ｗ^＊）との差｜ｅｒｒ（τ，ｗ^＊）－ｅｒｒ（ｔ，ｗ^＊）｜を異常度として採用してもよい。

・方法２
式（３）のφ（ｘ_τ＋ｉ'）（ｉ＝０，・・・，ｄ－１）をＪ_ｉ＋１φ（ｘ_τ－１）に置き換えて関数ｆを構成すると、式（５）で定義される予測誤差はｗに依存しない。そこで、この置き換えを行った上で、式（５）で定義される予測誤差を異常度として採用してもよい。

・方法３
方法１及び方法２では「２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定」で構成したＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似ＰＫ^ｌＰを用いて時刻Ｔよりも先の時刻での異常度を計算している。このため、ＰＫ^ｌＰを構成する際に、時刻Ｔまでの正常データｘ_０，・・・，ｘ_Ｔが必要である。

しかしながら、正常データが事前に得られていない場合も想定される。そこで、このような場合には、時刻ｔ～ｔ＋ｄ（ｔ＝０，１，・・・）における異常度を、次のようにして計算してもよい。まず、時刻ｔ～ｔ＋ｄのデータを用いて、「２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定」で説明した方法と同様の方法により、Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似ＰＫＰを構成する。そして、このＰＫＰの大きさ１の固有値の数を時刻ｔ～ｔ＋ｄにおける異常度として採用する。この場合、例えば、時刻ｔ～ｔ＋ｄにおける異常度が、前の時刻と比べて変化したとき（つまり、時刻ｔ－１～ｔ＋ｄ－１における異常度と比べて変化したとき）に、時刻ｔ～ｔ＋ｄの区間で異常が起こっていると検知すればよい。

＜異常検知装置１０のハードウェア構成＞
本実施形態に係る異常検知装置１０のハードウェア構成例を図２に示す。図２に示すように、本実施形態に係る異常検知装置１０は、入力装置１０１と、表示装置１０２と、外部Ｉ／Ｆ１０３と、通信Ｉ／Ｆ１０４と、ＲＡＭ（Random Access Memory）１０５と、ＲＯＭ（Read Only Memory）１０６と、補助記憶装置１０７と、プロセッサ１０８とを有する。これらの各ハードウェアは、それぞれがバス１０９を介して通信可能に接続されている。

入力装置１０１は、例えば、キーボード、マウス、タッチパネル、物理ボタン等である。表示装置１０２は、例えば、ディスプレイ、表示パネル等である。なお、異常検知装置１０は、例えば、入力装置１０１及び表示装置１０２の少なくとも一方を有していなくてもよい。

外部Ｉ／Ｆ１０３は、記録媒体１０３ａ等の外部装置とのインタフェースである。異常検知装置１０は、外部Ｉ／Ｆ１０３を介して、記録媒体１０３ａの読み取りや書き込み等を行うことができる。記録媒体１０３ａとしては、例えば、フレキシブルディスク、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等が挙げられる。

通信Ｉ／Ｆ１０４は、異常検知装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。ＲＡＭ１０５は、プログラムやデータを一時保持する揮発性の半導体メモリ（記憶装置）である。ＲＯＭ１０６は、電源を切ってもプログラムやデータを保持することができる不揮発性の半導体メモリ（記憶装置）である。補助記憶装置１０７は、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）、ＳＳＤ（Solid State Drive）、フラッシュメモリ等のストレージ装置（記憶装置）である。プロセッサ１０８は、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）等の演算装置である。

本実施形態に係る異常検知装置１０は、図２に示すハードウェア構成を有することにより、後述する異常検知処理を実現することができる。なお、図２に示すハードウェア構成は一例であって、異常検知装置１０のハードウェア構成はこれに限られるものではない。例えば、異常検知装置１０は、複数の補助記憶装置１０７や複数のプロセッサ１０８を有していてもよいし、図示したハードウェア以外の様々なハードウェアを有していてもよい。

＜異常検知装置１０の機能構成＞
本実施形態に係る異常検知装置１０の機能構成例を図３に示す。図３に示すように、本実施形態に係る異常検知装置１０は、線形作用素推定部２０１と、異常度計算部２０２と、異常検知部２０３とを有する。これら各部は、例えば、異常検知装置１０にインストールされた１以上のプログラムが、プロセッサ１０８に実行させる処理により実現される。また、本実施形態に係る異常検知装置１０は、記憶部２０４を有する。記憶部２０４は、例えば、補助記憶装置１０７により実現される。

線形作用素推定部２０１は、「２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定」で説明した方法によりＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を構成する。

異常度計算部２０２は、「３．異常度の計算」で説明した方法１～方法３のいずれかにより異常度を計算する。

異常検知部２０３は、異常度計算部２０２によって計算された異常度を用いて、異常の発生を検知する。

記憶部２０４は、各種データ（例えば、与えられた正常データやパラメータ（ｄやｎ等）、Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似等）を記憶する。

＜異常検知処理＞
以下、本実施形態に係る異常検知処理について、図４を参照しながら説明する。以下では、一例として、「３．異常度の計算」で説明した方法１により異常度を計算する場合について説明する。この場合、図４のステップＳ１０１～ステップＳ１０２は事前に実行される一方で、ステップＳ１０３～ステップＳ１０５は各時刻ｔに対して繰り返し実行される。

線形作用素推定部２０１は、「２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定」で説明した方法により、Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似ＰＫ^ｌＰを構成する（ステップＳ１０１）。

次に、異常度計算部２０２は、「３．異常度の計算」で説明した方法により、ｗ^＊を計算する（ステップＳ１０２）。

異常度計算部２０２は、上記のステップＳ１０２で計算したｗ^＊と、上記のステップＳ１０１で計算されたＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似ＰＫ^ｌＰとを用いて、時刻ｔ～ｔ＋ｄにおける予測値（より正確には、予測値を特徴空間に写した値）を計算する（ステップＳ１０３）。この予測値は式（３）を用いて計算することができる。すなわち、式（３）において、τ＝ｔ、ｗ＝ｗ^＊として、φ（ｘ'_ｔ），・・・，φ（ｘ'_ｔ＋ｄ）を計算することができる。

異常度計算部２０２は、時刻ｔ～ｔ＋ｄにおける実測値（より正確には、実測値を特徴空間に写した値）をφ（ｘ_ｔ），・・・，φ（ｘ_ｔ＋ｄ）として、上記の式（４）及び式（５）により異常度ｅｒｒ（ｔ，ｗ^＊）を計算する（ステップＳ１０４）。なお、｜ｅｒｒ（τ，ｗ^＊）－ｅｒｒ（ｔ，ｗ^＊）｜が異常度として計算されてもよい。

そして、異常検知部２０３は、上記のステップＳ１０４で計算された異常度を用いて、異常の発生を検知する（ステップＳ１０５）。例えば、異常検知部２０３は、当該異常度が予め決められた閾値よりも大きい場合は異常を検知し、そうでない場合は異常を検知しないとすればよい。

なお、「３．異常度の計算」で説明した方法２により異常度を計算する場合にはステップＳ１０２で式（４）のφ（ｘ_τ＋ｉ'）（ｉ＝０，・・・，ｄ－１）をＪ_ｉ＋１φ（ｘ_τ－１）に置き換えて関数ｆを構成した上でｗ^＊を計算すればよい。

また、「３．異常度の計算」で説明した方法３により異常度を計算する場合にはステップＳ１０１～ステップＳ１０２は実行されず、各時刻ｔに対してステップＳ１０４～ステップＳ１０５を繰り返し実行すればよい。ただし、ステップＳ１０４では、まず、線形作用素推定部２０１が、時刻ｔ～ｔ＋ｄのデータを用いてＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似ＰＫＰを構成し、その後、異常度計算部２０２が、当該近似ＰＫＰの大きさ１の固有値の数を異常度として計算する。また、ステップＳ１０５では、異常検知部２０３が、当該異常度が前の時刻と比べて変化したときに、時刻ｔ～ｔ＋ｄの区間で異常が起こっていると検知する。

＜評価＞
以下、本実施形態に係る異常検知装置１０の評価について説明する。

一例として、TOTEM Project（http://totem.run.montefiore.ulg.ac.be/datatools.html）で公開されている通信トラヒック量に関するデータに対して、時間的に幅を持った異常を人工的に加えた上で、「３．異常度の計算」で説明した方法２により異常度の計算を行った。異常を加えた時間区間は時刻１５００～１６００とした。異常を加えたデータを図５に示す。

時刻ｔにおけるデータをｙ_ｔとおく。式（１）のｘ_ｔとして［ｙ_ｔ，・・・，ｙ_ｔ＋９９］という１００次元ベクトルを用いる。これにより、ｙ_ｔ，・・・，ｙ_ｔ＋９９とｙ_ｔ＋１，・・・，ｙ_{ｔ＋１００}の関係性を式（１）により表現することができる。

このとき、時刻０～１３００のデータを用いて、「２．Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の推定」で説明した方法により、Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似ＰＫ^ｌＰを構成した。そして、ｄ＝１３とした場合とｄ＝１０３とした場合の２つの場合で、「３．異常度の計算」で説明した方法２により異常度を計算した。

ｄ＝１３とした場合の異常度の計算結果を図６、ｄ＝１０３とした場合の異常度の計算結果を図７にそれぞれ示す。図６及び図７に示すように、人工的に異常を加えた区間（時刻１５００～１６００）の異常度がいずれも高くなっていることがわかる。

なお、図６及び図７ではいずれも、時刻２０００付近の異常度も高くなっているが、これは、時刻２０００付近で元のデータの値が急激に大きくなっており、局所的な異常となっているためである。

ｄ＝１０３とした場合は時刻２０００付近での異常度が時刻１５００～１６００での異常度よりも小さくなっている。これは、ｄの値を大きくするほど、局所的な異常の影響が小さくなり、より大域的な異常を重視するためである。

以上により、本実施形態に係る異常検知装置１０によれば、時系列データの区間的な異常（つまり、局所的でない、大域的な異常）も高精度に検知することが可能となる。なお、本実施形態に係る異常検知装置１０は、時系列データを用いて、時間的な幅を持った空間の異常を検知する様々な装置又はシステムに適用することが可能である。このような装置又はシステムの一例としては、例えば、通信トラヒックから通信異常を検知するような装置又はシステム等が挙げられる。

本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、特許請求の範囲の記載から逸脱することなく、種々の変形や変更、既知の技術との組み合わせ等が可能である。

１０ 異常検知装置
１０１ 入力装置
１０２ 表示装置
１０３ 外部Ｉ／Ｆ
１０３ａ 記録媒体
１０４ 通信Ｉ／Ｆ
１０５ ＲＡＭ
１０６ ＲＯＭ
１０７ 補助記憶装置
１０８ プロセッサ
１０９ バス
２０１ 線形作用素推定部
２０２ 異常度計算部
２０３ 異常検知部
２０４ 記憶部

Claims (7)

1. 所定の力学系から生成される時系列データを用いて、前記力学系に対応するＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を作成するように構成されている線形作用素推定部と、
   前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を少なくとも用いて、前記力学系が生成される時系列データの所定の時間区間における異常度を計算するように構成されている異常度計算部と、
   前記異常度を用いて、前記時間区間における異常の発生有無を検知するように構成されている異常検知部と、
   を有する異常検知装置。
2. 前記力学系は、Ｘを状態空間としたとき、写像ｈ：Ｘ→Ｘによりｘ_ｔ＋１＝ｈ（ｘ_ｔ）と表され、
   前記線形作用素推定部は、
   前記力学系から生成された時刻Ｔまでの正常データｘ_０，・・・，ｘ_Ｔと、Ｔ未満の自然数ｎと、Ｘ上の正定値カーネルをｋ：Ｘ×Ｘ→Ｃとしてφ（ｘ）＝ｋ（・，ｘ）と定義される特徴写像φ（ｘ）とを用いて、||φ（ｘ_ｉ）－（ｑ_１〈φ（ｘ_ｉ），ｑ_１〉＋・・・＋ｑ_ｎ〈φ（ｘ_ｉ），ｑ_ｎ〉）||^２のｉ＝１からＴまでの和を最小化する正規直交系ｑ_１，・・・，ｑ_ｎ∈Ｈ（ただし、Ｈは前記正定値カーネルｋにより構成される再生核Ｈｉｌｂｅｒｔ空間）を求め、
   前記再生核Ｈｉｌｂｅｒｔ空間Ｈから前記正規直交系ｑ_１，・・・，ｑ_ｎの張る空間への射影Ｐを用いて、前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素Ｋの近似ＰＫ^ｌＰ（ただし、ｌ＝１，２，・・・，ｑ（ただし、ｑは予め決められた１以上の整数））を作成するように構成されている、請求項１に記載の異常検知装置。
3. 前記異常度計算部は、
   前記力学系から生成された時刻τ～τ＋ｄまでの正常データｘ_τ，・・・，ｘ_τ＋ｄを用いて、ｉ＝０，・・・，ｄに対して、φ（ｘ'_τ＋ｉ）＝ｗ_０Ｊ_１（φ（ｘ_τ＋ｉ））＋・・・＋ｗ_ｑ－１Ｊ_ｑ（φ（ｘ_{τ＋ｉ－ｑ}））（ただし、ｘ'_τ＋ｉはｘ_τ＋ｉの予測値、Ｊ_ｌ＝ＰＫ^ｌＰ）を近似的に満たすｗ＝（ｗ_０，・・・，ｗ_ｑ－１）を計算し、
   前記ｗと、前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素Ｋの近似ＰＫ^ｌＰとを用いて、時刻ｔ～ｔ＋ｄ（ただし、ｔ＞Ｔ、ｔ＞τ）で表される前記時間区間の異常度を計算するように構成されている、請求項２に記載の異常検知装置。
4. 前記異常度計算部は、
   ｉ＝０，・・・，ｄに対してｆ｜_{［τ＋ｉ－１，τ＋ｉ］}（ｔ）＝（ｔ－（τ＋ｉ－１））φ（ｘ'_τ＋ｉ）＋（（τ＋ｉ）－ｔ）φ（ｘ'_{τ＋ｉ－１}）及びｇ｜_{［τ＋ｉ－１，τ＋ｉ］}（ｔ）＝（ｔ－（τ＋ｉ－１））φ（ｘ_τ＋ｉ）＋（（τ＋ｉ）－ｔ）φ（ｘ_{τ＋ｉ－１}）と定義される関数ｆ及びｇを用いて、ｅｒｒ（τ，ｗ）：＝（||ｆ（ｔ）－ｇ（ｔ）||^２をｔに関してｔ＝τ－１からｔ＝τ＋ｄまで積分した値）を最小化させることで、前記ｗを計算し、
   前記ｗと、前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素Ｋの近似ＰＫ^ｌＰとを用いて、ｉ＝０，・・・，ｄに対して、φ（ｘ'_ｔ＋ｉ）＝ｗ_０Ｊ_１（φ（ｘ_ｔ＋ｉ））＋・・・＋ｗ_ｑ－１Ｊ_ｑ（φ（ｘ_{ｔ＋ｉ－ｑ}））を計算し、
   φ（ｘ'_ｔ），・・・，φ（ｘ'_ｔ＋ｄ）と、前記時間区間における時系列データの実績値ｘ_ｔ，・・・，ｘ_ｔ＋ｄに関するφ（ｘ_ｔ），・・・，φ（ｘ_ｔ＋ｄ）とを用いて、ｅｒｒ（ｔ，ｗ）＝（||ｆ（ｔ）－ｇ（ｔ）||^２をｔ－１からｔ＋ｄまで積分した値）、又は、｜ｅｒｒ（τ，ｗ）－ｅｒｒ（ｔ，ｗ）｜を前記異常度として計算するように構成されている、請求項３に記載の異常検知装置。
5. 前記異常度計算部は、
   ｉ＝０，・・・，ｄに対してｆ｜_{［τ＋ｉ－１，τ＋ｉ］}（ｔ）＝（ｔ－（τ＋ｉ－１））Ｊ_ｉ＋１φ（ｘ_τ－１）＋（（τ＋ｉ）－ｔ）Ｊ_ｉφ（ｘ_τ－１）及びｇ｜_{［τ＋ｉ－１，τ＋ｉ］}（ｔ）＝（ｔ－（τ＋ｉ－１））φ（ｘ_τ＋ｉ）＋（（τ＋ｉ）－ｔ）φ（ｘ_{τ＋ｉ－１}）と定義される関数ｆ及びｇを用いて、ｅｒｒ（τ）：＝（||ｆ（ｔ）－ｇ（ｔ）||^２をｔに関してｔ＝τ－１からｔ＝τ＋ｄまで積分した値）を前記異常度として計算するように構成されている、請求項３に記載の異常検知装置。
6. 前記力学系は、Ｘを状態空間としたとき、写像ｈ：Ｘ→Ｘによりｘ_ｔ＋１＝ｈ（ｘ_ｔ）と表され、
   前記線形作用素推定部は、
   時刻ｔ～ｔ＋ｄで表される前記時間区間における時系列データの実績値ｘ_０，・・・，ｘ_Ｔと、Ｔ未満の自然数ｎと、Ｘ上の正定値カーネルをｋ：Ｘ×Ｘ→Ｃとしてφ（ｘ）＝ｋ（・，ｘ）と定義される特徴写像φ（ｘ）とを用いて、||φ（ｘ_ｉ）－（ｑ_１〈φ（ｘ_ｉ），ｑ_１〉＋・・・＋ｑ_ｎ〈φ（ｘ_ｉ），ｑ_ｎ〉）||^２のｉ＝１からＴまでの和を最小化する正規直交系ｑ_１，・・・，ｑ_ｎ∈Ｈ（ただし、Ｈは前記正定値カーネルｋにより構成される再生核Ｈｉｌｂｅｒｔ空間）を求め、
   前記再生核Ｈｉｌｂｅｒｔ空間Ｈから前記正規直交系ｑ_１，・・・，ｑ_ｎの張る空間への射影Ｐを用いて、前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素Ｋの近似ＰＫＰを作成するように構成されており、
   前記異常度計算部は、
   前記ＰＫＰの大きさ１の固有値の数を、時刻ｔ～ｔ＋ｄで表される前記時間区間における異常度として計算するように構成されている、請求項１に記載の異常検知装置。
7. 所定の力学系から生成される時系列データを用いて、前記力学系に対応するＰｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を作成する線形作用素推定手順と、
   前記Ｐｅｒｒｏｎ－Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ作用素の近似を少なくとも用いて、前記力学系が生成される時系列データの所定の時間区間における異常度を計算する異常度計算手順と、
   前記異常度を用いて、前記時間区間における異常の発生有無を検知する異常検知手順と、
   をコンピュータが実行する異常検知方法。

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