JP2023031900A - 情報処理装置 - Google Patents

Abstract

【課題】初期パラメータに対する制限を緩和しても、プレフィルタの安定性の低下を抑制し得る、情報処理装置を提供すること。【解決手段】情報処理装置は、第１の評価関数を最小化させる制御パラメータをフィードフォワード制御器の最適パラメータとして算出するとともに、第２の評価関数を最小化させる制御パラメータをフィードバック制御器の最適パラメータとして算出する演算部を有し、当該演算部は、第１及び第２の評価関数においてそれぞれ、遅れを含むプレフィルタを用いて、フィードフォワード制御器及びフィードバック制御器の最適パラメータを算出する。【選択図】図５

Description

特許法第３０条第２項適用申請有り ▲１▼刊行物 北海道大学令和２年卒業論文 ▲２▼発行日 令和３年２月１日 ▲３▼発行所 国立大学法人北海道大学 ▲４▼該当ページ 第３章（節３．５～及び３．６） ▲５▼公開者 坂井達成、梶原逸朗 ▲６▼公開のタイトル データ駆動制御手法を用いた二自由度制御系の適応パラメータチューニング

本開示は、二自由度制御系に対して用いられる情報処理装置に関する。

従来、目標応答特性と外乱応答特性のそれぞれを向上させることができる制御システムとして、フィードフォワード制御器およびフィードバック制御器を備えた二自由度制御系が知られている（例えば、非特許文献１参照）。

この二自由度制御系の制御器の最適パラメータは、計算機などで構成される情報処理装置によって求めることができる。具体的には、情報処理装置は、制御器の評価関数を用い、この評価関数を最小化する制御パラメータを制御器の最適パラメータとして求める。

金子修・中村岳男・池崎太一著，「二自由度制御系におけるフィードフォワード制御器更新の新しいアプローチ -Estimated Response Iterative Tuning (ERIT)の提案-」計測自動制御学会論文集Vol.54，No.12，p857~864，2018年 Bernard Widrow，Eugene Walach，Adaptive Inverse Control, Reissue Edition: A Signal Processing Approach，Wiley-IEEE Press，2008 B. Widrow，M. Bilello，" Adaptive inverse control "， Proceedings of 8th IEEE International Symposium on Intelligent Control，pp. 1-6，August 1993

二自由度制御系では、最適化に必要な入出力データを整形するために用いるプレフィルタが用いられる。具体的には、このプレフィルタは、応答初期における上記評価関数の誤差を低減するために用いられる、上記評価関数内でのフィルタ演算のことを言う。

ところが、このプレフィルタは、制御器の初期パラメータ（以下これを単に「初期パラメータ」と呼ぶ）によっては不安定となる場合がある。よって、プレフィルタが安定となるような初期パラメータとしなければならないという制限が生じてしまう。従来はこの点について、十分な配慮がなされていなかった。

本開示は、以上の点を考慮してなされたものであり、初期パラメータに対する制限を緩和しても、プレフィルタの安定性の低下を抑制し得る、情報処理装置を提供する。

本開示の情報処理装置の一つの態様は、
目標値と制御対象の出力値との偏差に基づいて第１の操作量を算出するフィードバック制御器と、前記目標値に基づいて第２の操作量を算出するフィードフォワード制御器と、を有し、前記第１の操作量と前記第２の操作量とを加算して前記制御対象の操作量として、前記制御対象の出力値を前記目標値に一致させるように二自由度制御する二自由度制御器における、前記フィードバック制御器及び前記フィードフォワード制御器のそれぞれの最適制御パラメータを算出する情報処理装置であり、
第１の評価関数を最小化させる制御パラメータを前記フィードフォワード制御器の最適パラメータとして算出するとともに、第２の評価関数を最小化させる制御パラメータを前記フィードバック制御器の最適パラメータとして算出する演算部を有し、
前記演算部は、前記第１及び前記第２の評価関数においてそれぞれ、遅れを含むプレフィルタを用いて、前記フィードフォワード制御器及び前記フィードバック制御器の最適パラメータを算出する。

本開示によれば、初期パラメータに対する制限を緩和しても、プレフィルタの安定性の低下を抑制し得る、情報処理装置を実現できる。

本開示の実施の形態にかかる二自由度制御系を示す模式図 二回目の実験で実際に取得された入力データと、本開示の実施の形態にかかる情報処理装置により予測された入力データとを示すグラフ 二回目の実験で実際に取得された出力データと、本開示の実施の形態にかかる情報処理装置により予測された出力データとを示すグラフ 本開示の実施の形態における逆システムＸ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の同定手法の説明に供する図 本開示の実施の形態にかかる情報処理装置の構成例を示すブロック図

以下、本開示の実施の形態について、図面を参照しながら説明する。

［二自由度制御系の構成］
図１を用いて、本開示の実施の形態にかかる制御システムとしてのモデルマッチング二自由度制御系（以下、単に二自由度制御系という）について説明する。図１は、本実施の形態の二自由度制御系１を示す模式図である。なお、図１では図示を省略しているが、二自由度制御系１は、図５に示す情報処理装置１００と電気的に接続される。この情報処理装置１００については後述する。

図１において、Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）はフィードフォワード制御器を示し、Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）はフィードバック制御器を示す。また、Ｇ（ｚ）は制御対象（プラント）を示し、ρベクトルは制御器の持つ制御パラメータを示す。また、ｒは参照信号（参照入力または目標値ともいう）を示し、ｖは既知の外乱入力（単に外乱ともいう）を示す。また、ｕ（ρベクトル）は制御入力（操作量ともいう）を示し、ｙ（ρベクトル）は制御対象Ｇ（ｚ）の出力（応答または制御量ともいう）を示す。また、Ｔ_ｄ（ｚ）は、参照信号ｒから出力ｙ（ρベクトル）までの目標応答伝達関数を示す。制御対象Ｇ（ｚ）は線形時不変であり、その動特性は未知であるとする。

フィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）は、参照信号ｒに基づく第１操作量を出力する。フィードバック制御器Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）は、目標応答伝達関数Ｔ_ｄ（ｚ）の出力（目標応答）と制御対象Ｇ（ｚ）の出力ｙ（ρベクトル）との偏差eに基づく第２操作量を出力する。制御対象Ｇ（ｚ）に入力される制御入力ｕ（ρベクトル）には、第１操作量、第２操作量、および既知の外乱入力ｖが含まれる。なお、以下では、制御入力ｕ（ρベクトル）と制御対象Ｇ（ｚ）の出力ｙ（ρベクトル）とをまとめて「入出力データ」と表記する。

図１に示す二自由度制御系１において、感度関数規範モデルＳ_ｄ（ｚ）に対してフィードバック制御器Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）が独立に設計でき、目標応答伝達関数Ｔ_ｄ（ｚ）に対してフィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）が独立に設計できることを、以下に示す。

制御パラメータρベクトルにおいて、参照入力ｒから出力ｙ（ρベクトル）までの伝達関数Ｔ(ｚ，ρベクトル)と、既知の外乱入力ｖから制御入力ｕ（ρベクトル）までの伝達関数（感度関数）Ｓ(ｚ，ρベクトル)とは、それぞれ、次式（１）、（２）のように表される。

伝達関数Ｔ(ｚ，ρベクトル)と伝達関数Ｓ(ｚ，ρベクトル)とを、それぞれ、目標応答伝達関数Ｔ_ｄ（ｚ）、感度関数規範モデルＳ_ｄ（ｚ）とするには、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）とフィードバック制御器Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）とが、それぞれ、次式（３）、（４）のようになればよい。

式（３）と式（４）により、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）とフィードバック制御器Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）とは互いに依存せず、目標応答伝達関数Ｔ_ｄ（ｚ）に対してフィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）が独立に設計でき、感度関数規範モデルＳ_ｄ（ｚ）に対してフィードバック制御器Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）が独立に設計できることが分かる。

次に、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）の最適化を考える。ここで、ｖ＝０とし、Ｎステップ分の入出力データｕ（ｋ）、ｙ（ｋ）を取得したとする。このとき、次式（５）に示す評価関数Ｊ_Ｔｄ（ρベクトル）を最小化する最適な制御パラメータρベクトルアスタリスクを求めることがＦＲＩＴ（Fictitious Reference Iterative Tuning）の目的である。これは、パラメータρベクトルを変えることにより伝達関数Ｔ(ｚ，ρベクトル)を目標応答伝達関数Ｔ_ｄ（ｚ）に一致させるモデルマッチング設計法である。

閉ループ系が安定となるように制御パラメータρ_ｉｎｉベクトルを定め、ｒ＝ｒ_１≠０、ｖ＝ｖ_１＝０のもと、Ｎステップ分の入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉを取得する。この初期の入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉを用いて、次式（６）に示す擬似参照信号ｒチルダ（ｋ，ρベクトル）を計算する。

擬似参照信号ｒチルダ（ｋ，ρベクトル）は、ρベクトルの関数である。ここで、擬似参照信号ｒチルダ（ｋ，ρベクトル）に対する誤差信号ｅチルダ（ｋ，ρベクトル）を導入する。この誤差信号ｅチルダ（ｋ，ρベクトル）を用いた評価関数Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）を次式（７）のように与える。

この評価関数Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）を最小化させる制御パラメータρベクトルが、最適パラメータρベクトルアスタリスクとなる。誤差信号ｅチルダ（ｋ，ρベクトル）の計算に必要なｙ_ｉｎｉ（ｋ）、Ｔ_ｄ（ｚ）が既知の情報であり、ｒチルダ（ｋ，ρベクトル）はオフラインで計算可能である。

次に、フィードバック制御器Ｃ_e（ｚ，ρベクトル）の最適化を考える。ここで、ｒ＝０とし、Ｎステップ分のデータｖ（ｋ）、ｕ（ｋ）を取得したとする。このとき、次式（８）に示す評価関数Ｊ_Ｓｄ（ρベクトル）を最小化する最適な制御パラメータρベクトルアスタリスクを求めることがＦＲＩＴの目的である。これは、パラメータρベクトルを変えることにより伝達関数Ｓ(ｚ，ρベクトル)を感度関数規範モデルＳ_ｄ（ｚ）に一致させるモデルマッチング設計法である。

上述した初期の制御パラメータρ_ｉｎｉベクトルにおいて、ｒ＝ｒ_２＝０、ｖ＝ｖ_２≠０のもと、Ｎステップ分の入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}を取得する。この初期の入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}を用いて、次式（９）に示す擬似外乱信号ｖチルダ（ｋ，ρベクトル）を計算する。また、既知である付加信号ｖは、低周波数帯域の外乱を想定して、低周波帯域に強調された信号とする。つまり、付加信号ｖに低周波帯域に強調された信号として、ステップ信号を利用すれば、調整可能である。

擬似外乱信号ｖチルダ（ｋ，ρベクトル）は、ρベクトルの関数である。ここで、擬似外乱信号ｖチルダ（ｋ，ρベクトル）に対する誤差信号ｅ_Ｓチルダ（ｋ，ρベクトル）を導入する。この誤差信号ｅ_Ｓチルダ（ｋ，ρベクトル）を用いた評価関数Ｊ_Ｓｄチルダ（ρベクトル）を次式（１０）のように与える。

この評価関数Ｊ_Ｓｄチルダ（ρベクトル）を最小化させる制御パラメータρベクトルが、最適パラメータρベクトルアスタリスクとなる。誤差信号ｅ_Ｓチルダ（ｋ，ρベクトル）の計算に必要なｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}（ｋ）、Ｓ_ｄ（ｚ）が既知の情報であり、ｖチルダ（ｋ，ρベクトル）はオフラインで計算可能である。

また、上記式（７）、式（１０）にそれぞれ示した評価関数Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）、評価関数Ｊ_Ｓｄチルダ（ρベクトル）を最小化させることは、上記式（５）、式（８）にそれぞれ示した本来最小化したい評価関数Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）、評価関数Ｊ_Ｓｄチルダ（ρベクトル）を最小化することと漸近的に等価となる。これは、先行文献（例えば、坂田智則・金子修・藤井隆雄著，“ＦＲＩＴを用いた閉ループ特性と目標応答特性の向上のための二自由度制御器のパラメータ調整”，システム制御情報学会論文誌，Vol.20，No.11，p419~429，2007年）に開示されている。

上記先行文献では、評価関数をJチルダ（ρベクトル）＝Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）＋Ｊ_Ｓｄチルダ（ρベクトル）とし、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒとフィードバック制御器Ｃ_ｅを同時に最適化している。

これに対し、本実施の形態では、図１に示したモデルマッチング二自由度制御系を用いるため、上記式（３）、式（４）により、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒとフィードバック制御器Ｃ_ｅのそれぞれを独立に設計可能である。つまり、評価関数Ｊ_Ｓｄチルダ（ρベクトル）に対してフィードバック制御器Ｃ_ｅ、評価関数Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）に対してフィードフォワード制御器Ｃ_ｒのように別々に設計しても、最適な制御パラメータを得ることができる。

以下に、従来一般的な、ＦＲＩＴに基づく二自由度制御系の最適化のフローをまとめる。

ステップ１：目標応答伝達関数Ｔ_ｄ、感度関数規範モデルＳ_ｄを決定する。

ステップ２：閉ループ系が安定となるように制御パラメータρ_ｉｎｉベクトルを定める。

ステップ３：ｒ＝ｒ_１≠０、ｖ＝ｖ_１＝０のもと、入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉを取得する（一回目の実験）。

ステップ４：ｒ＝ｒ_２＝０、ｖ＝ｖ_２≠０のもと、入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}を取得する（二回目の実験）。

ステップ５：評価関数Ｊ_Ｓｄチルダ（ρベクトル）を最小化させる最適パラメータρベクトルアスタリスクを求め、それに基づいて最適なフィードバック制御器Ｃ_ｅ（ρベクトルアスタリスク）に調整する。なお、本ステップでは、非線形最適化アルゴリズムを使用する。

ステップ６：評価関数Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）を最小化させる最適パラメータρベクトルアスタリスクを求め、それに基づいて最適なフィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ρベクトルアスタリスク）に調整する。なお、本ステップでは、非線形最適化アルゴリズムを使用する。

［ＦＩＲフィルタの導入と最小二乗法による求解］
本実施の形態では、図１に示したフィードフォワード制御器Ｃ_ｒに、有限時間のインパルス応答を持つデジタルフィルタ、すなわちＦＩＲ（Finite Impulse Response）フィルタを適用することを考える。ＦＩＲフィルタを用いる理由としては、必ず安定であること、線形位相を持たせることができること、構造が分かりやすいこと、などが挙げられる。しかしながら、一般にＦＩＲフィルタでは次数を高くする必要があるため、非線形最適化アルゴリズムを用いると、計算量が多くなり、時間とコストがかかるという問題がある。よって、ＦＩＲフィルタとＰＩＤ（Proportional-Integral-Differential）制御器がパラメータに対して線形であることから、最小二乗法により求解できることが理想である。

従来、フィードバック制御系、または、二自由度制御系のフィードフォワード制御器の最適化におけるＦＲＩＴで最小二乗法を導入することが知られている。そこで、本実施の形態では、図１に示した二自由度制御系１におけるフィードバック制御器Ｃ_ｅに対しても、最小二乗法を用いて最適化する。すなわち、本実施の形態では、上述したステップ５、６において、非線形最適化アルゴリズムの代わりに、最小二乗法を用いる。

まず、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒの最適化を考える。上記式（６）を上記式（７）へ代入し、次式（１１）に示すように、誤差信号ｅ_Ｍチルダ（ｋ，ρベクトル）を定義する。

プレフィルタＦにより、ｒ＝ｒ_１≠０、ｖ＝ｖ_１＝０のもとに取得される入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉを整形し、次式（１２）に示す評価関数Ｊ_ＴｄＦチルダ（ρベクトル）を考える。

そして、上記式（５）を、次式（１３）のように書き換える。

また、上記式（１２）を、次式（１４）のように書き換える。

上記式（１３）と上記式（１４）は、次式（１５）を満たすとき、等価となる。

フィードフォワード制御器Ｃ_ｒとフィードバック制御器Ｃ_ｅのそれぞれを別々に最適化するため、Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）＝Ｃ_ｅ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）と固定させる。上記式（１５）を満たすプレフィルタＦは、次式（１６）となる。

フィードフォワード制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）が、次式（１７）に示すように、パラメータρベクトルに対して線形であるとする。

このとき、上記式（１２）は、次式（１８）のようになる。

最適パラメータρベクトルアスタリスクは、最小二乗法により、次式（１９）のように求解される。

次に、フィードバック制御器Ｃ_ｅの最適化を考える。上記式（９）を上記式（１０）へ代入し、次式（２０）に示すように、誤差信号ｅ_ＭＳチルダ（ｋ，ρベクトル）を定義する。

誤差信号ｅ_ＭＳチルダ（ｋ，ρベクトル）に対して、新たに次式（２１）に示す評価関数Ｊ_ＳｄＦチルダ（ρベクトル）を考える。

フィードバック制御器Ｃ_ｅ（ｚ，ρベクトル）が、次式（２２）に示すように、パラメータρベクトルに対して線形であるとする。

このとき、上記式（２１）は、次式（２３）のようになる。

最適パラメータρベクトルアスタリスクは、最小二乗法により、次式（２４）のように求解される。

また、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒをＦＩＲフィルタとする場合、上記式（１７）は、次式（２５）のようにすればよい。

［一組の入出力データによる制御器の最適化方法］
フィードフォワード制御器Ｃ_ｒとフィードバック制御器Ｃ_ｅのそれぞれをＦＲＩＴにより最適化する際、上記式（１０）、式（７）に示した評価関数を最小化するパラメータを計算する。最小二乗法を用いる場合、上記式（２５）、式（１９）により計算を行い、最適パラメータを求める。いずれにしても、上述したステップ３、ステップ４のように、二回の実験が必要となる。

上記ステップ３により得られる入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉは、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒの最適化に必要である。上記ステップ４により得られる入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}は、フィードバック制御器Ｃ_ｅの最適化に必要である。

ここで、上記ステップ３は、各制御器の稼働中に実行可能であるが、上記ステップ４は、各制御器を停止させ、図１に示した既知の外乱信号ｖを意図的に印加させなければならない。そのため、手間がかかる上、稼働の目的とは異なる状況が想定される。また、時間やコストの面からも、実験の回数は少ないことが望ましい。

そこで、本実施の形態では、上記ステップ３で得られる入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉのみを用いて、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒとフィードバック制御器Ｃ_ｅのそれぞれを調整する方法を提案する。

その方法は、ＥＲＩＴ（Estimated Response Iterative Tuning）という応答予測手法を参考にしたものである。ＥＲＩＴは、二自由度制御系において、データ駆動予測というコンセプトのもと、既知であるパラメータ更新前の入出力データにより、フィードフォワード制御器を更新した際の応答予測をすることができ、実装前に、安定性や応答性を評価できるという方法である。

このＥＲＩＴの考え方を基にして、本実施の形態では、ｒ＝ｒ_１≠０、ｖ＝ｖ_１＝０のときに得られる入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉに基づいて、ｒ＝ｒ_２＝０、ｖ＝ｖ_２≠０のときに取得されるべき入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}を予測する。

まず、ｒ＝ｒ_２＝０、ｖ＝ｖ_２≠０のときに取得されるべき入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}は、それぞれ、以下の式（２６）、式（２７）のように表される。

また、ｒ＝ｒ_１≠０、ｖ＝ｖ_１＝０のときに得られる入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉは、それぞれ、以下の式（２８）、式（２９）のように表される。

上記式（２６）～式（２９）までをｚ変換の形にし、未知である制御対象Ｇ（ｚ）を消去すると、以下の式（３０）、式（３１）を得られる。

このとき、一回目の実験に用いる参照信号ｒ＝ｒ_１≠０を定値とし、さらに、二回目の実験に用いるはずの、低周波数に強調された擬似的に印加する外乱ｖ＝ｖ_２≠０を定値とした場合、上記式（３０）、式（３１）は、それぞれ、以下の式（３２）、式（３３）となる。

特に、ｒ_１＝１、ｖ_２＝１と設定すれば、上記式（１６）に示したプレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）と同じ形であるため、Ｆ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）として表すと、以下の式（３４）、式（３５）となる。

以上のことから、上述したステップ３における一回目の実験で得られる一組の入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉを用いて、オフラインにより、上述したステップ４における二回目の実験で得られる一組の入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}を計算することができる。よって、上述したステップ４における二回目の実験を省略することができる。

すなわち、本実施の形態では、ｒ＝ｒ_１≠０、ｖ＝ｖ_１＝０のときに得られる入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉを基に、上記式（３０）、式（３１）（特に、ｒ_１＝１、ｖ_２＝１とする場合では、上記式（３４）、式（３５））を用いて、ｒ＝ｒ２＝０、ｖ＝ｖ２≠０のときに得られる入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}を計算することができる。よって、実質的に、一回目の実験により得られる一組の入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉを用いるだけで、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒとフィードバック制御器Ｃ_ｅの両方を最適に調整することができる。

［有効性の検証］
上述した本実施の形態の方法の有効性について検証する。

図１に示した二自由度制御系１において、ｒ＝ｒ_１＝１．０、ｖ＝ｖ_１＝０．０とした一回目の実験と、ｒ＝ｒ_２＝０．０、ｖ＝ｖ_２＝１．０とした二回目の実験とを行う。そして、実際に二回目の実験で得られた入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}と、実際に一回目の実験で得られた入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉに基づいて、上記式（３４）、式（３５）により算出（予測）された入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}と、を比較する。

なお、制御対象Ｇ（ｓ）は、データ駆動制御手法の検討にベンチマーク問題として扱われることの多い実プロセスシステムであり、以下の式（３６）のように表されるとする。式（３６）において、sはラプラス演算子を示す。

また、相補感度関数の規範モデルＴ_ｄ（s）は、二次の二項係数標準形とし、以下の式（３７）のように表されるとする。

また、フィードバック制御器Ｃ_ｅ（ｓ，ρベクトル）は、不完全微分を使用し、フィルタ時定数τ_ｆを０．１としたＰＩＤ制御器であり、以下の式（３８）のように表されるとする。

フィードバック制御器Ｃ_ｒ（ｚ，ρベクトル）は、上記式（２５）に示したＦＩＲフィルタとし、次数ｎを４０とする。

サンプリング時間ｔｓ＝０．０５［ｓｅｃ］として、離散系で設計する。離散化は、ＭａｔｈＷｏｒｋｓ社製の数値解析ソフトウェア（ＭＡＴＬＡＢ：登録商標）のｃ２ｄコマンドによりゼロ次ホールドで行う。

入出力データは、０．０～４９．５［ｓｅｃ］まで、合計１０００個の時系列データとして取得する。初期パラメータは、Ｋ_Ｐ＝Ｋ_Ｉ＝Ｋ_Ｄ＝１．０、ρ_ｉ＝（ｔｓ／ｎ^２）・（ｎ－ｉ）^２＝０．００００３１２５（４０－ｉ）^２とした。

図２は、実際に二回目の実験で得られた入力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}（実線Ａ）と、実際に一回目の実験で得られた入力データｕ_ｉｎｉに基づいて上記式（３４）により算出された入力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}（点線Ｂ）と、を示すグラフである。図２に示すように、実線Ａと点線Ｂとは一致している。

図３は、実際に二回目の実験で得られた出力データｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}（実線Ｃ）と、実際に一回目の実験で得られた出力データｙ_ｉｎｉに基づいて上記式（３５）により算出された出力データｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}（点線Ｄ）と、を示すグラフである。図３に示すように、実線Ｃと点線Ｄとは一致している。

すなわち、ｒ＝ｒ_２＝０．０、ｖ＝ｖ_２＝１．０とした二回目の実験で実際に得られた入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}と、一回目の実験で得られた入出力データｕ_ｉｎｉ、ｙ_ｉｎｉに基づいて上記式（３４）、式（３５）により算出（予測）された入出力データｕ_{ｖ＿ｉｎｉ}、ｙ_{ｖ＿ｉｎｉ}と、は一致する、という結果を得ることができた。したがって、実験の回数を二回から一回に減らすことができる。具体的には、上述したステップ３、４のうち、ステップ４を実行する必要がなくなる。

ｒ_１＝１．０、ｖ_２＝１．０と設定した場合、上記式（２３）に示す評価関数は、次式（３９）のようになる。また、ｒ_１＝１．０、ｖ_２＝１．０以外の場合（例えば、ｒ_１＝３．０、ｖ_２＝２．０と設定した場合）、定数であれば、因数（例えば、ｖ_２／ｒ_１＝２／３）としてくくりだせるので、次式（３９）をそのまま用いても漸近的に等価となる。

［不安定なプレフィルタに対する解決方法］
二自由度制御系のフィードフォワード制御器、フィードバック制御器を、オフラインＦＲＩＴによって最小二乗法でパラメータ調整する手法を説明してきた。フィードフォワード制御器は、式（１８）に示す評価関数を最小化する最適パラメータを、式（１９）によって求解する。このとき、式（５）の評価関数と等価となるように、入出力データｕ__ｉｎｉ，ｙ__ｉｎｉに対して、式（１６）に示すプレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が必要であった。また、前節では、フィードバック制御器の最適化に必要な入出力データｕ_ｖ__ｉｎｉ，ｙ_v__ｉｎｉが、式（３４）、式（３５）により計算可能であることを示したが、この時もＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が必要であった。次式に、プレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）を示す。

このＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が不安定である場合、最適化に必要なデータが発散してしまい、最適化計算を適切に行うことはできない。前提として与えられていた制限は、閉ループ系が安定となるρ_ｉｎｉベクトルであることであったが、Ｆ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の必要性を考えると、閉ループ系が安定、かつＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が安定となるようなρ_ｉｎｉベクトルとする必要がある。

ρ_ｉｎｉベクトルは閉ループ系を安定にすることを前提に話を進める。ここで、プレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が安定になるよう、初期値ρ_ｉｎｉベクトルを定めればよいが、それには試行錯誤が必要になる場合がある。また、経験則、あるいは他の方法である程度のρ_ｉｎｉベクトルを決めて、既に制御を実装中の状況も想定できる。このときρ_ｉｎｉベクトルで構成されるプレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）は，不安定となっている場合がある。このような場合、安定になるようなρ_ｉｎｉベクトルにしてから実験しなおすというのは非効率的である上、プレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が安定となるようなρ_ｉｎｉベクトルを見つけることは簡単ではない。

従来は、プレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の安定性については十分な検討がなされていない。そこで、本開示では、Ｆ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の安定性を高める方法を提供する。

本開示では、ρ_ｉｎｉベクトルの制限である「閉ループ系が安定となるρ_ｉｎｉベクトルとすること」「プレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が安定となるようなρ_ｉｎｉベクトルとすること」を緩和させ、前者の「閉ループ系が安定となるρ_ｉｎｉベクトルとすること」のみを考慮すればよいとする手法を提案する。

まず、次式で表されるシステムＸ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）を考える。

Ｘ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）は、Ｆ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の逆システムであり、Ｆ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が不安定であるということは、Ｘ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が不安定零点を持つ非最小位相系であることを意味する。Ｘ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の逆システムをＦＩＲフィルタで作ることができれば、安定なＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）となるが、非最小位相系であるＸ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の逆システムを直接ＦＩＲフィルタとして作ることはできない。

そこで、本実施の形態では、非最小位相系のＸ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）に対して、因果性を犠牲にした遅れを含む逆システムＸ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の同定手法を用いる。なお、Ｚ^－Δは遅れ要素である。

図４は、本実施の形態における逆システムＸ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の同定手法の説明に供する図である。図４から分かるように、本実施の形態では、逆システムＸ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）をＦＩＲモデルで同定する。

具体的に説明する。逆システムＸ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）は、次式に示す安定なＦＩＲフィルタで構成されるものとする。また、入力ｕは［－１．０，１．０］のＭ系列の白色信号とする。

遅延要素Ｚ^－Δの遅れΔは、非特許文献２、３によると、Ｘ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）のインパルス応答時間の半分が適切とされている。誤差信号ｅは次式で与えられる。

誤差信号を最小化するＸ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）のフィルタ係数ρベクトルは、最小二乗法によって求解可能であり、次式のように計算すればよい。

以上の同定手法により得られたＸ_Δ ^－１は遅れΔを含んだＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）であり、次式で表すことができる。

よって、式（１８）と式（３９）の評価関数に含まれるＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）の代わりに、Ｘ_Δ ^－１（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）を用いると次式となる。

このとき、ｕ_ｉｎｉ，ｙ_ｉｎｉの時系列は一致するため、式（１８）と式（４６）、式（３９）と式（４７）は漸近的に等価となり、同様の最適パラメータを得ることができると考えられる。また、遅れに対して、入出力データｕ_ｉｎｉ，ｙ_ｉｎｉをできるだけ長く取得する必要があると言える。

ここで、ρ_ｉｎｉベクトルで構成されるプレフィルタＦ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が安定、つまりＸ（ｚ，ρ_ｉｎｉベクトル）が最小位相系であるときに、本実施の形態の方法を利用しても、入出力データｕ_＿ｉｎｉ，ｙ_＿ｉｎｉを長く取得することができれば、同様に最適パラメータを得ることができると考えられる。

本実施の形態のプレフィルタの設計手法は、初期パラメータに依存してプレフィルタが不安定となるような場合に、遅れを含むプレフィルタＸ_Δ ^－１を用いることで因果性を犠牲して安定なプレフィルタを構成していると言うことができる。これにより、初期パラメータに対する制限を緩和しても、プレフィルタの安定性の低下を抑制できるようになる。

また、本実施の形態で提案した式（４６）及び式（４７）によれば、入出力データに同量の遅延を付加しているので、評価関数間で時系列が一致し、適切に最適パラメータを求めることができる。

このように、本実施の形態の不安定なプレフィルタに対する解決方法によれば、式（４６）及び式（４７）のように、評価関数に用いるプレフィルタとして遅れを含むプレフィルタＸ_Δ ^－１を導入したことにより、初期パラメータに対する制限を緩和しても、プレフィルタの安定性の低下を抑制できるようになる。

本実施の形態の［不安定なプレフィルタに対する解決方法］を実行する情報処理装置は、例えば図５に示した構成にて具現化される。

図５に示す情報処理装置１００は、図１に示した二自由度制御系１と電気的に接続され、フィードフォワード制御器Ｃ_ｒとフィードバック制御器Ｃ_ｅのそれぞれを最適化する装置である。特に、情報処理装置１００は、上述した［不安定なプレフィルタに対する解決方法］を実行する。勿論、情報処理装置１００は、上述した［一組の入出力データによる制御器の最適化方法］なども実行するが、ここでは［不安定なプレフィルタに対する解決方法］の実行に着目して説明する。

図５に示すように、情報処理装置１００は、演算部１０および記憶部２０を有する。

演算部１０は、例えばＣＰＵ（Central Processing Unit）やＧＰＵ（Graphics Processing Unit）等のプロセッサである。演算部１０は、記憶部２０に記憶されたプログラムを実行することによって、二自由度制御器における、フィードバック制御器及びフィードフォワード制御器のそれぞれの最適制御パラメータを算出する。

記憶部２０は、例えば、情報処理装置１００を実現するコンピュータのＢＩＯＳ（Basic Input Output System）等を格納するＲＯＭ（Read Only Memory）と、情報処理装置１００の作業領域として用いられるＲＡＭ（Random Access Memory）と、ＯＳ（Operating System）、アプリケーションプログラム、当該アプリケーションプログラムの実行時に参照される種々の情報等を格納する大容量記憶装置と、を含む。大容量記憶装置としては、例えば、ＨＤＤ（Hard Disk Drive）またはＳＳＤ（Solid State Drive）等が挙げられる。

演算部２０は、上述の式（４６）及び式（４７）の演算を行うことにより、式（４６）で示される第１の評価関数Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）を最小化させる制御パラメータρベクトルをフィードフォワード制御器Ｃ_ｒの最適パラメータとして算出するとともに、式（４７）で示される第２の評価関数Ｊ_Ｓｄ（ρベクトル）を最小化させる制御パラメータρベクトルをフィードバック制御器Ｃ_ｅの最適パラメータとして算出する。

このとき、演算部２０は、式（４６）及び式（４７）から分かるように、第１及び第２の評価関数においてそれぞれ、遅れを含むプレフィルタを用いて、フィードフォワード制御器及びフィードバック制御器の最適パラメータを算出する。

以上説明したように、本実施の形態の情報処理装置１００によれば、目標値と制御対象の出力値との偏差に基づいて第１の操作量を算出するフィードバック制御器と、前記目標値に基づいて第２の操作量を算出するフィードフォワード制御器と、を有し、前記第１の操作量と前記第２の操作量とを加算して前記制御対象の操作量として、前記制御対象の出力値を前記目標値に一致させるように二自由度制御する二自由度制御器における、前記フィードバック制御器及び前記フィードフォワード制御器のそれぞれの最適制御パラメータを算出する情報処理装置であり、第１の評価関数を最小化させる制御パラメータを前記フィードフォワード制御器の最適パラメータとして算出するとともに、第２の評価関数を最小化させる制御パラメータを前記フィードバック制御器の最適パラメータとして算出する演算部１０を有し、演算部１０は、前記第１及び前記第２の評価関数においてそれぞれ、遅れを含むプレフィルタＸ_Δ ^－１を用いて、前記フィードフォワード制御器及び前記フィードバック制御器の最適パラメータを算出する。

これにより、初期パラメータに対する制限を緩和しても、プレフィルタの安定性の低下を抑制できる情報処理装置１００を実現できる。

なお、本開示は、上記実施の形態の説明に限定されず、その趣旨を逸脱しない範囲において種々の変形が可能である。

本開示の情報処理装置は、二自由度制御系におけるフィードフォワード制御器およびフィードバック制御器の最適化に有用である。

１ 二自由度制御系
１０ 演算部
２０ 記憶部
１００ 情報処理装置

Claims (3)

1. 目標値と制御対象の出力値との偏差に基づいて第１の操作量を算出するフィードバック制御器と、前記目標値に基づいて第２の操作量を算出するフィードフォワード制御器と、を有し、前記第１の操作量と前記第２の操作量とを加算して前記制御対象の操作量として、前記制御対象の出力値を前記目標値に一致させるように二自由度制御する二自由度制御器における、前記フィードバック制御器及び前記フィードフォワード制御器のそれぞれの最適制御パラメータを算出する情報処理装置であり、
   第１の評価関数を最小化させる制御パラメータを前記フィードフォワード制御器の最適パラメータとして算出するとともに、第２の評価関数を最小化させる制御パラメータを前記フィードバック制御器の最適パラメータとして算出する演算部を有し、
   前記演算部は、前記第１及び前記第２の評価関数においてそれぞれ、遅れを含むプレフィルタを用いて、前記フィードフォワード制御器及び前記フィードバック制御器の最適パラメータを算出する、
   情報処理装置。
2. 前記遅れを含むプレフィルタは、ＦＩＲ（Finite Impulse Response）モデルで同定されたものである、
   請求項１に記載の情報処理装置。
3. 前記演算部は、
   前記第１の評価関数として次式（４８）で表される評価関数を用いるとともに、前記第２の評価関数として次式（４９）で表される評価関数を用いる、
   

   

   

   ただし、式（４８）、式（４９）において、Ｊ_Ｔｄチルダ（ρベクトル）はフィードフォワード制御器の評価関数を示し、Ｊ_Ｓｄ（ρベクトル）はフィードバック制御器の評価関数を示し、ρベクトルは制御パラメータを示し、ｕ_ｉｎｉは入力データを示し、ｙ_ｉｎｉは出力データを示し、Ｆはプレフィルタを示し、Ｔ_ｄは目標応答伝達関数を示し、Ｓ_ｄは感度関数規範モデルを示し、Ｚ^－Δは遅れ要素を示し、β（ｚ）^Ｔベクトル及びα（ｚ）^Ｔベクトルは式（５０）及び式（５１）で表されるものである、
   

   

   

   ただし、式（５０）、式（５１）において、Ｃ_ｒはフィードフォワード制御器を示し、Ｃ_ｅはフィードバック制御器を示す、
   請求項１または２に記載の情報処理装置。

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