JP2022142914A - 求解装置およびプログラム - Google Patents

Abstract

【課題】良い解を効率良く算出する。【解決手段】求解装置は、非凸二次関数である目的関数を最小化する問題の解を、Ｊ個の連立一次方程式を満たし且つＫ個の連立一次不等式を満たす条件の下で算出する。求解装置は、取得部と、更新部と、出力部とを備える。更新部は、拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＩ個の決定変数を含む第１関数を最小化するＩ個の決定変数の解の候補値を取得する第１処理、拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＫ個の従属変数を含む第２関数を最小化するＫ個の従属変数の解の候補値を取得する第２処理、および、拡張ラグランジュ関数に含まれる係数を更新する係数処理、を予め定められた順序で繰り返す。拡張ラグランジュ関数は、目的関数を含む目的関数項と、Ｊ個の連立一次方程式に対応するＪ個の第１ラグランジュ項と、Ｋ個の連立一次不等式に対応するＫ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む。【選択図】図２

Description

本発明の実施形態は、求解装置およびプログラムに関する。

最適化問題の一つとして、線形制約・０－１整数非凸二次計画問題が知られている。線形制約・０－１整数非凸二次計画問題は、それぞれが０または１となる複数の決定変数を含む非凸二次関数を最小化する解を、複数の連立一次方程式および複数の連立一次不等式の制約条件の下で、算出する問題である。線形制約・０－１整数非凸二次計画問題は、スケジューリングの最適化等に応用される。

線形制約・０－１整数非凸二次計画問題の求解方法として、例えば、分枝限定法または近似解法が知られている。分枝限定法は、決定変数の１つ１つに対して場合分けを行って、目的関数値の上界および下界を算出する。そして、分枝限定法は、大域的最適解を取りえる範囲を絞り込んでいきながら、大域的最適解を算出する。

近似解法は、例えば、等式制約および不等式制約のそれぞれを、制約に違反する量の二乗に比例する障壁関数により表す。そして、近似解法は、有効と推定される制約のみを利用することにより、無制約・０－１整数非凸二次計画問題に変換し、この問題をイジングマシンで解く。

しかし、分枝限定法は、決定変数の１つ１つに対して場合分けを行うため、決定変数の数に対して計算量が指数的に増大してしまっていた。また、近似解法は、制約の周辺での目的関数の傾きが大きい場合、障壁関数の比例係数であるペナルティパラメータを、目的関数の傾きより大きくしなければならない。

このような場合、近似解法は、イジングマシンへの入力行列の係数の大きさが、目的関数に由来する係数よりもペナルティパラメータに由来する係数の方が大きくなってしまう。このため、近似解法は、実行可能解を算出するためにイジングマシンの計算能力の多くを費やすこととなり、効率が悪かった。また、近似解法は、悪い目的関数値をもつ解に到達する場合もあるので、良い目的関数値をもつ解に到達するために、ペナルティパラメータに対してハイパーパラメータチューニングを行わなければならなく、処理が複雑となってしまっていた。

特開２０２０－１４４５２９号公報

Lawler, E. L., & Wood, D. E.， "Branch-and-bound methods"， A survey. Operations research, 14(4)，1996， 699-719.

本発明が解決しようとする課題は、良い解を効率良く算出することができる求解装置およびプログラムを提供することにある。

実施形態に係る求解装置は、それぞれが０または１となるＩ個（Ｉは２以上の整数）の決定変数を含む非凸二次関数である目的関数を最小化する問題の解を、それぞれが前記Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＪ個（Ｊは０以上の整数）の連立一次方程式を満たし且つそれぞれが前記Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＫ個（Ｋは１以上の整数）の連立一次不等式を満たす条件の下で、算出する。前記求解装置は、取得部と、更新部と、出力部とを備える。前記取得部は、前記目的関数、前記Ｊ個の連立一次方程式および前記Ｋ個の連立一次不等式を取得する。前記更新部は、拡張ラグランジュ関数に基づき生成される前記Ｉ個の決定変数を含む第１関数を最小化する前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を取得する第１処理、前記拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＫ個の従属変数を含む第２関数を最小化する前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得する第２処理、および、前記拡張ラグランジュ関数に含まれる係数を更新する係数処理、を予め定められた順序で繰り返す。前記出力部は、前記第１処理、前記第２処理および前記係数処理を繰り返すことによって予め設定された終了条件に達した場合、前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を、前記問題の解として出力する。前記拡張ラグランジュ関数は、前記目的関数を含む目的関数項と、前記Ｊ個の連立一次方程式に対応するＪ個の第１ラグランジュ項と、前記Ｋ個の連立一次不等式に対応するＫ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む。

第１実施形態に係る求解装置の機能構成を示す図である。 第１実施形態に係る求解装置の処理の流れを示すフローチャートである。 第２実施形態に係る求解装置の機能構成を示す図である。 第２実施形態に係る求解装置の処理の流れを示すフローチャートである。 求解装置のハードウェア構成を示す図である。

以下、図面を参照しながら実施形態に係る求解装置１０について説明する。

（第１実施形態）
図１は、第１実施形態に係る求解装置１０の機能構成を示す図である。

第１実施形態に係る求解装置１０は、線形制約条件を含む０－１整数非凸二次計画問題の解を算出する。求解装置１０は、プロセッサ、コンピュータまたはサーバ等がプログラムを実行することにより実現される。

より具体的には、求解装置１０は、整数非凸二次関数である目的関数を最小化する問題の解を、線形制約を満たす条件下で算出する。目的関数は、それぞれが０または１となるＩ個（Ｉは２以上の整数）の決定変数を含む。

線形制約は、線形等式制約と線形不等式制約とを含む。線形等式制約は、Ｊ個（Ｊは０以上の整数）の連立一次方程式により表される。Ｊ個の連立一次方程式のそれぞれは、Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含む。なお、線形制約は、線形等式制約を含まなくてもよい。この場合、求解装置１０は、Ｊ＝０として、Ｊ個の連立一次方程式を取り扱う。

線形不等式制約は、Ｋ個（Ｋは１以上の整数）の連立一次不等式により表される。Ｋ個の連立一次不等式のそれぞれは、Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含む。

第１実施形態に係る求解装置１０は、取得部２２と、関数生成部２４と、第１ソルバー２６と、更新部３０と、更新値記憶部３２と、出力部３４とを備える。

取得部２２は、ユーザが操作手段を操作することにより入力された、目的関数、線形等式制約および線形不等式制約を取得する。取得部２２は、これらの情報を、ネットワーク等を介して他の装置から受信してもよい。

関数生成部２４は、取得部２２により取得された情報に基づき、拡張ラグランジュ関数および従属変数制約を生成する。

拡張ラグランジュ関数は、問題の解を効率良く算出するために生成される関数である。拡張ラグランジュ関数は、Ｉ個の決定変数、および、Ｋ個の従属変数を含む。Ｋ個の従属変数のそれぞれは、問題の解を算出するために設定される。Ｋ個の従属変数のそれぞれは、実数の値となる。従属変数制約は、Ｋ個の従属変数のそれぞれの値を制約するＫ個の不等式により表される。なお、拡張ラグランジュ関数および従属変数制約については、さらなる詳細を、図２を参照して後述する。

第１ソルバー２６は、制約条件を含まない０－１整数非凸二次計画問題の解を算出する。すなわち、第１ソルバー２６は、０－１整数非凸二次関数を最小化する問題の解を算出する。第１ソルバー２６は、イジング問題の解を算出するソルバーであってもよい。第１ソルバー２６は、例えば、求解装置１０を実現するプロセッサまたはコンピュータが０－１整数非凸二次計画問題の求解プログラムを実行することにより実現される。また、第１ソルバー２６は、サーバ等により提供されてもよい。この場合、第１ソルバー２６は、求解装置１０の外部に実現されてもよい。第１ソルバー２６が求解装置１０の外部に実現される場合、求解装置１０は、ネットワークを介して第１ソルバー２６に対して目的関数を与えて、解の候補値を第１ソルバー２６からネットワークを介して取得する。

更新部３０は、第１処理、第２処理および係数処理を、予め設定された終了条件に達するまで繰り返す。更新部３０は、第１処理、第２処理、係数処理の順で繰り返す。

第１処理は、第１関数を最小化するＩ個の決定変数の解の候補値を取得する処理である。更新部３０は、第１処理を実行する毎にＩ個の決定変数の解の候補値を更新する。

第１関数は、拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＩ個の決定変数を含む関数である。第１関数は、拡張ラグランジュ関数に、Ｋ個の従属変数の解の候補値を代入した関数である。Ｋ個の従属変数の解の候補値は、直前の第２処理に基づく値である。また、最初の第２処理が実行される前に、最初の第１処理が実行される場合には、Ｋ個の従属変数の解の候補値は、予め設定された初期値となる。

第１関数は、整数非凸二次関数である。従って、更新部３０は、第１処理において、第１関数を最小化する問題を第１ソルバー２６に与えて、第１ソルバー２６から問題の解として、Ｉ個の決定変数の解の候補値を取得する。なお、第１関数については、さらなる詳細を、図２を参照して後述する。

第２処理は、Ｋ個の不等式により表される従属変数制約を満たす条件の下で、第２関数を最小化するＫ個の従属変数の解の候補値を取得する処理である。更新部３０は、第２処理を実行する毎にＫ個の従属変数の解の候補値を更新する。

第２関数は、拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＫ個の従属変数を含む関数である。第２関数は、拡張ラグランジュ関数に、Ｉ個の決定変数の解の候補値を代入した関数である。Ｉ個の決定変数の解の候補値は、直前の第１処理に基づき更新された値である。また、最初の第１処理が実行される前に最初の第２処理が実行される場合には、Ｋ個の決定変数の解の候補値は、予め設定された初期値となる。

Ｋ個の不等式は、Ｋ個の従属変数に対応する。Ｋ個の不等式のそれぞれは、対応する従属変数がとり得る最小値を表す。

第１実施形態において第２関数は、Ｋ個の従属変数のそれぞれが互いに独立している。第２関数のそれぞれの従属変数の項は、凸二次関数となる。従って、更新部３０は、第２処理において、ソルバー等を用いずに、Ｋ個の不等式により表される従属変数制約を満たす条件の下で第２関数を最小化するＫ個の従属変数の解の候補値を演算処理により算出する。なお、第２関数については、さらなる詳細を、図２を参照して後述する。

係数処理は、拡張ラグランジュ関数に含まれる複数の係数のそれぞれを更新する処理である。更新部３０は、直前の第１処理に基づき更新されたＩ個の決定変数の解の候補値、および、直前の第２処理に基づき更新されたＫ個の従属変数の解の候補値に基づき、拡張ラグランジュ関数に含まれる複数の係数のそれぞれを更新する。なお、拡張ラグランジュ関数に含まれる複数の係数のそれぞれは、最初の第１処理および最初の第２処理が実行される前においては、予め設定された初期値となる。なお、係数を更新する演算処理については、さらなる詳細を、図２を参照して後述する。

更新値記憶部３２は、Ｉ個の決定変数の解の候補値、Ｋ個の従属変数の解の候補値、および、拡張ラグランジュ関数に含まれる複数の係数を記憶する。更新部３０は、第１処理、第２処理および係数処理を実行する毎に、更新値記憶部３２に記憶された対応する値を更新する。

出力部３４は、更新部３０が第１処理、第２処理および係数処理を繰り返すことによって、予め設定された終了条件に達した場合、Ｉ個の決定変数の解の候補値を、求解の対象となる線形制約条件を含む０－１整数非凸二次計画問題の解として出力する。

例えば、出力部３４は、Ｉ個の決定変数の解の候補値が線形等式制約および線形不等式制約を満たしており、且つ、Ｉ個の決定変数の解の候補値を代入した目的関数の値が予め定められた閾値以下である場合、終了条件に達したと判断してもよい。これに加えてまたはこれに代えて、出力部３４は、Ｉ個の決定変数の解の候補値が線形等式制約および線形不等式制約を満たしており、且つ、更新部３０による繰り返し回数が予め設定された回数を超えた場合に、終了条件に達したと判断してもよい。なお、出力部３４は、更新部３０による繰り返し回数が予め設定された回数を超えても、Ｉ個の決定変数の解の候補値が線形等式制約および線形不等式制約を満たさない場合、解が算出できなかったことを示す情報を出力してもよい。

出力部３４は、解を表示手段に表示することによりユーザに提示してもよい。また、出力部３４は、解をネットワークを介して外部の装置に送信してもよい。

図２は、第１実施形態に係る求解装置１０の処理の流れを示すフローチャートである。求解装置１０は、図２に示す流れで処理を実行する。

まず、Ｓ１１において、取得部２２は、それぞれが０または１となるＩ個の決定変数を含む整数非凸二次関数である目的関数を取得する。

Ｉ個の決定変数は、式（１）のように表される。

Ｉ個の決定変数それぞれは、０または１となり、式（２）のように制約される。

目的関数は、式（３）のように表される。

ｉは、１以上、Ｉ以下の整数であり、Ｉ個の決定変数のそれぞれに割り当てられるインデックスを表す。ｉ´は、１以上、Ｉ以下の整数であり、ｉとは異なり、Ｉ個の決定変数のそれぞれに割り当てられるインデックスを表す。すなわち、Ｉ個の決定変数のうちの、ｘ_１は、１番目の決定変数であり、ｘ_２は、２番目の決定変数であり、ｘ_Ｉは、Ｉ番目の決定変数であり、ｘ_ｉは、ｉ番目の決定変数であり、ｘ_ｉ´は、ｉ´番目の決定変数である。

Ｐ_ｉ，ｉ´は、目的関数の２次項におけるｉ番目の決定変数とｉ´番目の決定変数との乗算値に乗算される係数である。Ｐ_ｉ，ｉ´は、実数である。Ｑ_ｉは、目的関数の１次項におけるｉ番目の決定変数に乗算される係数である。Ｑ_ｉは、実数である。

続いて、Ｓ１２において、取得部２２は、線形等式制約を取得する。具体的には、線形等式制約は、式（４）のＪ個の連立一次方程式により表される。

ｊは、１以上、Ｊ以下の整数であり、Ｊ個の連立一次方程式のそれぞれに割り当てられるインデックスを表す。Ａ_ｊ，ｉは、ｊ番目の連立一次方程式におけるｉ番目の決定変数に乗算される係数である。Ａ_ｊ，ｉは、実数である。Ｂ_ｊは、ｊ番目の連立一次方程式における定数項である。Ｂ_ｊは、実数である。

なお、取得部２２は、線形等式制約を取得しなくてもよい。線形等式制約を取得しない場合、求解装置１０は、Ｊ＝０とし、ｊに関する演算を実行しない。

続いて、Ｓ１３において、取得部２２は、線形不等式制約を取得する。具体的には、線形不等式制約は、式（５）のＫ個の連立一次不等式により表される。

ｋは、１以上、Ｋ以下の整数であり、Ｋ個の連立一次不等式のそれぞれに割り当てられるインデックスを表す。Ｃ_ｋ，ｉは、ｋ番目の連立一次不等式におけるｉ番目の決定変数に乗算される係数である。Ｃ_ｋ，ｉは、実数である。Ｄ_ｋは、ｋ番目の連立一次不等式における定数項である。Ｄ_ｋは、実数である。

続いて、Ｓ１４において、関数生成部２４は、目的関数、Ｊ個の連立一次方程式およびＫ個の連立一次不等式に基づき、拡張ラグランジュ関数を生成する。拡張ラグランジュ関数は、式（６）により表される。

拡張ラグランジュ関数は、目的関数項と、Ｊ個の第１ラグランジュ項と、Ｋ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む。

目的関数項は、目的関数を含む。目的関数項は、式（７）により表される。

Ｊ個の第１ラグランジュ項は、Ｊ個の連立一次方程式に対応する。Ｊ個の第１ラグランジュ項を総加算した式は、式（８）により表される。

関数生成部２４は、Ｊ個の第１ラグランジュ係数を設定する。λ_ｊは、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のうちのｊ番目の第１ラグランジュ係数である。ｊ番目の第１ラグランジュ係数は、Ｊ個の第１ラグランジュ項のうちの、ｊ番目の第１ラグランジュ項に含まれる。Ｊ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれは、実数である。

Ｊ個の第１ラグランジュ項のそれぞれは、Ｊ個の連立一次方程式のうちの対応する連立一次方程式とＩ個の決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のうちの対応する第１ラグランジュ係数を乗じた関数である。すなわち、Ｊ個の第１ラグランジュ項のそれぞれは、Ｉ個の決定変数の解の候補値が、対応する線形等式制約を満たすと０となり、対応する線形等式制約を満たさないとマイナス方向またはプラス方向にずれる関数である。

なお、式（８）は、先頭に－１が乗じられている。しかし、式（８）は、－１が乗じられていなくてもよい。

Ｋ個の第２ラグランジュ項は、Ｋ個の連立一次不等式に対応する。Ｋ個の第２ラグランジュ項を総加算した式は、式（９）により表される。

関数生成部２４は、Ｋ個の第２ラグランジュ係数を設定する。λ´_Ｋは、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のうちのｋ番目の第２ラグランジュ係数である。ｋ番目の第２ラグランジュ係数は、Ｋ個の第２ラグランジュ項のうちの、ｋ番目の第２ラグランジュ項に含まれる。Ｋ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれは、実数である。

関数生成部２４は、Ｋ個の従属変数を設定する。ｚ_ｋは、Ｋ個の従属変数のうちのｋ番目の従属変数である。従属変数は、実数の値をとる。

また、関数生成部２４は、Ｋ個の代替方程式を設定する。ｋ番目の従属変数は、Ｋ個の代替方程式のうちのｋ番目の代替方程式に含まれる。Ｋ個の代替方程式は、Ｋ個の連立一次不等式に対応する。Ｋ個の代替方程式のそれぞれは、Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式の不等号を等号に置き換え、且つ、定数項をＫ個の従属変数のうちの対応する従属変数に置き換えた方程式である。式（９）の例の場合、ｋ番目の代替方程式は、式（５）の不等号を等号に置き換え、且つ、Ｄ_ｋをｚ_ｋに置き換えた方程式となる。

Ｋ個の第２ラグランジュ項のそれぞれは、Ｋ個の代替方程式のうちの対応する代替方程式と、Ｉ個の決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のうちの対応する第２ラグランジュ係数を乗じた関数である。すなわち、Ｋ個の第２ラグランジュ項のそれぞれは、Ｉ個の決定変数の解の候補値が、対応する代替方程式を満たすと０となり、対応する代替方程式を満たさないとマイナス方向またはプラス方向にずれる関数である。

なお、式（９）は、先頭に－１が乗じられている。しかし、式（９）は、－１が乗じられていなくてもよい。

ペナルティ項は、式（１０）により表される。

μは、ペナルティ係数である。ペナルティ係数は、０より大きい実数である。ペナルティ項は、Ｊ個の第１距離関数と、Ｋ個の第２距離関数との合計に、ペナルティ係数を乗じた関数である。

Ｊ個の第１距離関数は、Ｊ個の連立一次方程式に対応する。Ｊ個の第１距離関数のそれぞれは、Ｊ個の連立一次方程式のうちの対応する連立一次方程式とＩ個の決定変数の解の候補値との間の距離（第１距離）を表す関数である。例えば、式（１０）の例の場合、Ｊ個の第１距離関数のそれぞれは、対応する連立一次方程式とＩ個の決定変数の解の候補値との誤差を二乗した関数である。

Ｋ個の第２距離関数は、Ｋ個の代替方程式に対応する。Ｋ個の第２距離関数のそれぞれは、Ｋ個の代替方程式のうちの対応する代替方程式とＩ個の決定変数の解の候補値との間の距離（第２距離）を表す関数である。例えば、式（１０）の例の場合、Ｋ個の第２距離関数のそれぞれは、対応する代替方程式とＩ個の決定変数の解の候補値との誤差を二乗した関数である。すなわち、ペナルティ項は、第１距離と第２距離との合計がプラスになるほど、プラス方向にずれる関数である。

なお、式（１０）は、先頭に１／２が乗じられている。しかし、式（１０）は、０より大きい実数であれば、１／２以外の値が乗じられてもよい。

続いて、Ｓ１５において、関数生成部２４は、従属変数制約を生成する。従属変数制約は、Ｋ個の従属変数の制約条件を表す。

従属変数制約は、Ｋ個の不等式により表される。Ｋ個の不等式は、Ｋ個の従属変数に対応する。Ｋ個の不等式のそれぞれは、対応する従属変数が、定数以下であることを表す。具体的には、従属変数制約は、式（１１）により表される。

すなわち、Ｋ個の不等式のそれぞれは、Ｋ個の従属変数のうちの対応する従属変数が、Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式における定数項以下であることを表す。式（１１）の例の場合、Ｋ個の不等式のそれぞれは、式（５）の決定変数の１次項（ΣＣ_ｋ，ｉ・ｘ_ｉ）をｚ_ｋに置き換えた不等式となる。

続いて、Ｓ１６において、更新部３０は、ｎを０に初期化する。更新部３０は、Ｓ１８からＳ２６までの処理を繰り返す。ｎは、Ｓ１８からＳ２６までの処理の実行回数を表す。ｎは、初期値が０であり、１ずつ増加する。

続いて、Ｓ１７において、更新部３０は、最初の第１処理、最初の第２処理および最初の係数処理に先だって、Ｉ個の決定変数の解の候補値のそれぞれ、Ｋ個の従属変数の解の候補値のそれぞれ、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれ、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれ、および、ペナルティ係数に対して、予め定められた初期値を代入する。

なお、Ｉ個の決定変数の解の候補値のそれぞれ、Ｋ個の従属変数の解の候補値のそれぞれ、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれ、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれ、および、ペナルティ係数は、Ｓ１８からＳ２６までのループ処理毎に更新がされる。

本例においては、ｘ_ｉ［ｎ］は、ｎ回目のループ処理の後のＩ個の決定変数の解の候補値を表す。ｚ_ｋ［ｎ］は、ｎ回目のループ処理の後のＫ個の従属変数の解の候補値を表す。λ_ｊ［ｎ］は、ｎ回目のループ処理の後の第１ラグランジュ係数を表す。λ´_ｋ［ｎ］は、ｎ回目のループ処理の後の第２ラグランジュ係数を表す。μ［ｎ］は、ｎ回目のループ処理の後のペナルティ係数を表す。なお、ｘ_ｉ［０］は、ｘ_ｉ［ｎ］の初期値を表す。ｚ_ｋ［０］は、ｚ_ｋ［ｎ］の初期値を表す。λ_ｊ［０］は、λ_ｊ［ｎ］の初期値を表す。λ´_ｋ［０］は、λ´_ｋ［ｎ］の初期値を表す。μ［０］は、μ［ｎ］の初期値を表す。

例えば、更新部３０は、これらの各値を、式（１２）のように初期化する。

μ_０は、０より大きい予め定められた実数である。式（１２）のｍｉｎ（Ａ，Ｂ）は、ＡまたはＢのうち何れか小さい方の値を選択する関数を表す。

Ｓ１８において、更新部３０は、拡張ラグランジュ関数に基づき、Ｉ個の決定変数を含む第１関数を生成する。ｎ＋１回目のループ処理において生成される第１関数は、式（１３）により表される。

すなわち、ｎ＋１回目のループ処理において生成される第１関数は、直前のループ処理（ｎ回目のループ処理）の後における、Ｋ個の従属変数の解の候補値であるｚ_ｋ［ｎ］、Ｊ個の第１ラグランジュ係数であるλ_ｊ［ｎ］、Ｋ個の第２ラグランジュ係数であるλ´_ｋ［ｎ］、および、ペナルティ係数であるμ［ｎ］を式（６）の拡張ラグランジュ関数に代入した関数である。第１関数は、Ｉ個の決定変数を含む整数非凸二次関数となる。なお、１回目のループ処理においては、直前のループ処理の後のｚ_ｋ［ｎ］、λ_ｊ［ｎ］、λ´_ｋ［ｎ］、および、μ［ｎ］は、Ｓ１７で代入した初期値となる。

続いて、Ｓ１９において、更新部３０は、第１処理を実行する。すなわち、更新部３０は、第１関数を最小化するＩ個の決定変数の解の候補値を取得する。例えば、更新部３０は、式（１４）に示す関数を実行する。

ｍｉｎは、以下に続く関数を最小化する演算子である。ａｒｇ_ｘは、ｘの値を取得する関数である。更新部３０は、式（１４）の実行に応じて、第１関数を最小化する問題を第１ソルバー２６に与えて、第１ソルバー２６から問題の解として、Ｉ個の決定変数の解の候補値を取得する。

続いて、Ｓ２０において、更新部３０は、終了条件に達したか否かを判断する。更新部３０は、終了条件に達した場合、処理をＳ２７に進める。更新部３０は、終了条件に達していない場合、処理をＳ２１に進める。

続いて、Ｓ２１において、更新部３０は、更新値記憶部３２に記憶されているＩ個の決定変数の解の候補値のそれぞれを更新する。なお、第１ソルバー２６は、Ｉ個の決定変数の解の候補値を、複数組分の出力する場合がある。例えば、第１ソルバー２６は、目的関数の値が最小値から所定番目までの所定組のＩ個の決定変数の解の候補値を出力する場合がある。

このような場合、更新部３０は、複数組のＩ個の決定変数の解の候補値に基づき、一組のＩ個の決定変数の解の候補値を算出してもよい。そして、更新部３０は、ｎ＋１回目のループ処理におけるＩ個の決定変数の解の候補値のそれぞれ（ｘ_ｉ［ｎ＋１］）を、複数組のＩ個の決定変数の解の候補値に基づき算出した値に置き換えてもよい。例えば、更新部３０は、決定変数毎に、所定個の候補値の平均値を算出する。そして、更新部３０は、Ｉ個の決定変数の解の候補値のそれぞれを、対応する所定個の決定変数の解の候補値の平均値に置き換えてもよい。

Ｓ２２において、更新部３０は、拡張ラグランジュ関数に基づき、Ｋ個の従属変数を含む第２関数を生成する。ｎ＋１回目のループ処理において生成される第２関数は、式（１５）により表される。

すなわち、ｎ＋１回目のループ処理において生成される第２関数は、直前のＳ２１で更新されたＩ個の決定変数の解の候補値であるｘ_ｉ［ｎ＋１］、並びに、直前のループ処理（ｎ回目のループ処理）の後のＪ個の第１ラグランジュ係数であるλ_ｊ［ｎ］、Ｋ個の第２ラグランジュ係数であるλ´_ｋ［ｎ］およびペナルティ係数であるμ［ｎ］を式（６）の拡張ラグランジュ関数に代入した関数である。第２関数は、Ｋ個の従属変数を含む凸二次関数となる。なお、１回目のループ処理においては、直前のループ処理において更新された、λ_ｊ［ｎ］、λ´_ｋ［ｎ］、および、μ［ｎ］は、Ｓ１７で代入した初期値となる。

続いて、Ｓ２３において、更新部３０は、第２処理を実行する。すなわち、更新部３０は、Ｋ個の不等式により表される従属変数制約を満たす条件の下で、第２関数を最小化するＫ個の従属変数の解の候補値を取得する。例えば、更新部３０は、式（１６）に示す関数を実行する。

ａｒｇ_ｚは、ｚの値を取得する関数である。

ここで、第２関数は、凸二次関数である。そして、第２関数に含まれるＫ個の従属変数であるｚ_ｋのそれぞれは、他の変数から独立している。このため、Ｋ個の従属変数のそれぞれは、第２関数を偏微分した関数が０となる解が最小値となる。

従って、更新部３０は、Ｋ個の従属変数のそれぞれについて、微分関数が０となる値が対応する不等式を満たしている場合、微分関数を０とする値を候補値として取得する。また、更新部３０は、Ｋ個の従属変数のそれぞれについて、微分関数が０となる値が対応する不等式を満たしていない場合、対応する不等式を満たす最小値を候補値として取得する。

例えば、更新部３０は、式（１７）に表される関数により、第２関数に含まれるＫ個の従属変数のそれぞれの最小値を取得することができる。

なお、ｍｉｎ（Ａ，Ｂ）は、ＡまたはＢのうち何れか小さい方の値を選択する関数を表す。

続いて、Ｓ２４において、更新部３０は、更新値記憶部３２に記憶されているＫ個の従属変数の解の候補値のそれぞれを更新する。

続いて、Ｓ２５において、更新部３０は、係数処理を実行する。すなわち、更新部３０は、更新値記憶部３２に記憶されているＪ個の第１ラグランジュ係数、Ｋ個の第２ラグランジュ係数およびペナルティ係数を更新する。

具体的には、更新部３０は、直前のループ処理において更新されたＪ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれから、対応する連立一次方程式とＩ個の決定変数の解の候補値との誤差に応じた値を減じる。より具体的には、更新部３０は、ｎ＋１回目のループ処理におけるＪ個の第１ラグランジュ係数（λ_ｊ［ｎ＋１］）として、式（１８）に示す値を代入する。

また、具体的には、更新部３０は、直前のループ処理において更新されたＫ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれから、対応する代替方程式とＩ個の決定変数の解の候補値との誤差に応じた値を減じる。より具体的には、更新部３０は、ｎ＋１回目のループ処理におけるＫ個の第２ラグランジュ係数（λ´_ｋ［ｎ＋１］）として、式（１９）に示す値を代入する。

また、具体的には、更新部３０は、直前のループ処理において更新されたペナルティ係数を増加させる。より具体的には、更新部３０は、ｎ＋１回目のループ処理におけるペナルティ（μ［ｎ＋１］）として、式（２０）に示す値を代入する。

なお、式（２０）におけるαは、予め定められた値であって、正の実数である。

続いて、Ｓ２６において、更新部３０は、ｎに１を加算する。そして、更新部３０は、Ｓ２６の処理を終えると、処理をＳ１８に戻し、Ｓ１８からＳ２６までの処理を、Ｓ２０の終了条件に達するまで繰り返す。更新部３０は、Ｓ２０で終了条件に達した場合（Ｓ２０のＹｅｓ）、処理をＳ２７に進める。

Ｓ２７において、出力部３４は、Ｓ１９で取得したＩ個の決定変数の解の候補値が線形等式制約および線形不等式制約を満たしている場合、Ｉ個の決定変数の解の候補値を、求解の対象となる０－１整数非凸二次計画問題の解として出力する。また、出力部３４は、Ｓ１９で取得したＩ個の決定変数の解の候補値が線形等式制約および線形不等式制約を満たしていない場合、求解の対象となる０－１整数非凸二次計画問題の解が算出できなかったことを示す情報を出力する。

以上のような第１実施形態に係る求解装置１０は、制約条件を含まない０－１整数非凸二次計画問題の解を取得する第１処理と、凸二次関数の解を取得する第２処理とを交互に繰り返す。制約条件を含まない０－１整数非凸二次計画問題は、イジングマシン等のソルバーにより、良い解を簡易に取得可能である。また、凸二次関数は、一次方程式を解くことにより、非常に容易に最適解を取得可能である。従って、求解装置１０は、第１処理と第２処理とを繰り返すことにより、線形制約条件を含む０－１整数非凸二次計画問題について、良い解を効率良く算出することができる。

また、第１実施形態に係る求解装置１０は、目的関数に、Ｊ個の第１ラグランジュ項と、Ｋ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項とを加算した拡張ラグランジュ関数を用いて、Ｉ個の決定変数の解を算出する。Ｊ個の第１ラグランジュ項およびＫ個の第２ラグランジュ項は、制約の周辺での目的関数の傾きを打ち消すような働きをする。従って、第１実施形態に係る求解装置１０は、ペナルティ項に含まれるペナルティ係数を、目的関数に含まれる係数であるＰ_ｉ，ｉ´およびＱ_ｉよりも大きくしなくても、制約条件を満たす解を取得することができる。従って、第１実施形態に係る求解装置１０は、第１ソルバー２６の計算能力を、実行可能解を取得するためでなく良い解を探すために多く費やさせることができる。よって、求解装置１０は、良い解を取得する確率を上げることができる。

また、第１実施形態に係る求解装置１０は、第１ラグランジュ係数、第２ラグランジュ係数およびペナルティ係数を簡易な演算により更新する。これにより、求解装置１０は、第１ラグランジュ係数、第２ラグランジュ係数およびペナルティ係数を容易に更新することができる。

（第２実施形態）
第２実施形態に係る求解装置１０は、線形制約条件を含む、０－１整数非凸二次計画および連続凸計画を組み合わせた問題の解を算出する。第２実施形態は、第１実施形態と同一または対応する係数、変数、機能ブロックおよびステップについて、同一の記号または符号を付けて適宜説明を省略し、相違点を中心に説明をする。

図３は、第２実施形態に係る求解装置１０の機能構成を示す図である。

第２実施形態に係る求解装置１０は、整数非凸二次関数と連続凸関数とを加算した目的関数を最小化する問題の解を、線形制約を満たす条件下で算出する。例えば、連続凸関数は、連続凸二次関数である。整数非凸二次関数は、それぞれが０または１となるＩ個の第１決定変数を含む。連続凸関数は、それぞれが実数となるＭ個（Ｍは２以上の整数）の第２決定変数を含む。

線形制約は、線形等式制約と線形不等式制約とを含む。線形等式制約は、Ｊ個の連立一次方程式により表される。Ｊ個の連立一次方程式のそれぞれは、Ｉ個の第１決定変数およびＭ個の第２決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含む。なお、線形制約は、線形等式制約を含まなくてもよい。この場合、求解装置１０は、Ｊ＝０として、Ｊ個の連立一次方程式を取り扱う。

線形不等式制約は、Ｋ個の連立一次不等式により表される。Ｋ個の連立一次不等式のそれぞれは、Ｉ個の第１決定変数およびＭ個の第２決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含む。

第２実施形態に係る求解装置１０は、第１実施形態の構成と比較して、第２ソルバー４２をさらに備える。

第２ソルバー４２は、変数の範囲を制約する条件の下で、連続凸計画問題の解を算出する。例えば、目的関数に含まれる連続凸関数が連続凸二次関数である場合、第２ソルバー４２は、変数の範囲を制約する条件の下で、連続凸二次計画問題の解を算出する。第２ソルバー４２は、例えば、求解装置１０を実現するプロセッサまたはコンピュータが連続凸計画問題の求解プログラムを実行することにより実現される。また、第２ソルバー４２は、サーバ等により提供されてもよい。この場合、第２ソルバー４２は、求解装置１０の外部に実現されてもよい。第２ソルバー４２は、一例として、ＯＳＱＰ（Operator Splitting Quadratic Program）と呼ばれるソルバープログラムをコンピュータが実行することにより実現することができる。第２ソルバー４２が求解装置１０の外部に実現される場合、求解装置１０は、ネットワークを介して第２ソルバー４２に対して連続凸関数（例えば連続凸二次関数）を与えて、解の候補値を第２ソルバー４２からネットワークを介して取得する。

取得部２２は、目的関数、線形等式制約および線形不等式制約を取得する。関数生成部２４は、取得部２２により取得された情報に基づき、拡張ラグランジュ関数および従属変数制約を生成する。

拡張ラグランジュ関数は、解を効率良く算出するために生成される関数である。拡張ラグランジュ関数は、Ｉ個の第１決定変数、Ｍ個の第２決定変数、および、Ｋ個の従属変数を含む。

更新部３０は、第１処理、第２処理および係数処理を、予め設定された終了条件に達するまで繰り返す。

第１処理は、第１関数を最小化するＩ個の第１決定変数の解の候補値を取得する処理である。更新部３０は、第１処理を実行する毎にＩ個の第１決定変数の解の候補値を更新する。

第１関数は、拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＩ個の第１決定変数を含む関数である。第１関数は、拡張ラグランジュ関数に、Ｍ個の第２決定変数の候補値およびＫ個の従属変数の解の候補値を代入した関数である。Ｍ個の第２決定変数の解の候補値およびＫ個の従属変数の解の候補値は、直前の第２処理に基づく値である。また、最初の第２処理が実行される前に、最初の第１処理が実行される場合には、Ｍ個の第２決定変数の解の候補値およびＫ個の従属変数の解の候補値は、予め設定された初期値となる。

第１関数は、整数非凸二次関数である。従って、更新部３０は、第１処理において、第１関数を最小化する問題を第１ソルバー２６に与えて、第１ソルバー２６から問題の解として、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を取得する。

第２処理は、Ｋ個の不等式により表される従属変数制約を満たす条件の下で、第２関数を最小化するＭ個の第２決定変数の解の候補値およびＫ個の従属変数の解の候補値を取得する処理である。更新部３０は、第２処理を実行する毎にＭ個の第２決定変数の解の候補値およびＫ個の従属変数の解の候補値を更新する。

第２関数は、拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＭ個の第２決定変数およびＫ個の従属変数を含む関数である。第２関数は、拡張ラグランジュ関数に、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を代入した関数である。Ｉ個の第１決定変数の解の候補値は、直前の第１処理に基づき更新された値である。また、最初の第１処理が実行される前に最初の第２処理が実行される場合には、Ｋ個の第１決定変数の解の候補値は、予め設定された初期値となる。

Ｋ個の不等式は、Ｋ個の従属変数に対応する。Ｋ個の不等式のそれぞれは、対応する従属変数がとり得る最小値を表す。

第２関数は、連続凸関数である。例えば、第２関数は、連続凸二次関数である。従って、更新部３０は、第２処理において、Ｋ個の不等式の条件の下で第２関数を最小化する問題を第２ソルバー４２に与えて、第２ソルバー４２から問題の解として、Ｍ個の第２決定変数の解の候補値およびＫ個の従属変数の解の候補値を取得する。

係数処理は、拡張ラグランジュ関数に含まれる複数の係数のそれぞれを更新する処理である。更新部３０は、直前の第１処理に基づき更新されたＩ個の第１決定変数の解の候補値、直前の第２処理に基づき更新されたＭ個の第２決定変数の解の候補値、および、直前の第２処理に基づき更新されたＫ個の従属変数の解の候補値に基づき、拡張ラグランジュ関数に含まれる複数の係数のそれぞれを更新する。なお、拡張ラグランジュ関数の複数の係数のそれぞれは、最初の第１処理および最初の第２処理が実行される前において、予め設定された初期値となる。

更新値記憶部３２は、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値、Ｍ個の第２決定変数の解の候補値、Ｋ個の従属変数の解の候補値、および、拡張ラグランジュ関数に含まれる複数の係数を記憶する。更新部３０は、第１処理、第２処理および係数処理を実行する毎に、更新値記憶部３２に記憶された対応する値を更新する。

出力部３４は、更新部３０が第１処理、第２処理および係数処理を繰り返すことによって、予め設定された終了条件に達した場合、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値を、問題の解として出力する。

図４は、第２実施形態に係る求解装置１０の処理の流れを示すフローチャートである。求解装置１０は、図４に示す流れで処理を実行する。

まず、Ｓ１１において、取得部２２は、それぞれが０または１となるＩ個の第１決定変数を含む整数非凸二次関数と、それぞれが実数となるＭ個の第２決定変数を含む連続凸関数とを加算した目的関数を取得する。連続凸関数は、例えば、連続凸二次関数である。

Ｉ個の第１決定変数およびＭ個の第２決定変数は、式（２１）のように表される。Ｉ個の第１決定変数は、ｘ_ｉである。Ｍ個の第２決定変数は、ｙ_ｉである。

なお、Ｉ個の第１決定変数は、０または１となるので、第１実施形態のＩ個の決定変数と同様である。従って、第２実施形態において、Ｉ個の第１決定変数は、ｘ_ｉと表している。

Ｍ個の第２決定変数それぞれは、実数であり、式（２２）のように制約される。

目的関数は、式（２３）のように表される。

ｍは、１以上、Ｍ以下の整数であり、Ｍ個の第２決定変数のそれぞれに割り当てられるインデックスを表す。すなわち、Ｍ個の第２決定変数のうちの、ｙ_１は、１番目の第２決定変数であり、ｙ_２は、２番目の第２決定変数であり、ｙ_Ｍは、Ｍ番目の第２決定変数であり、ｙ_ｍは、ｍ番目の第２決定変数である。

Ｒ（ｙ_ｍ）は、連続凸関数を表す。Ｒ（ｙ_ｍ）は、例えば、連続凸二次関数である。

続いて、Ｓ１２において、取得部２２は、線形等式制約を取得する。具体的には、線形等式制約は、式（２４）のＪ個の連立一次方程式により表される。

Ｅ_ｊ，ｍは、ｊ番目の連立一次方程式におけるｍ番目の第２決定変数に乗算される係数である。Ｅ_ｊ，ｍは、実数である。なお、取得部２２は、線形等式制約を取得しなくてもよい。線形等式制約を取得しない場合、求解装置１０は、Ｊ＝０とし、ｊに関する演算を実行しない。

続いて、Ｓ１３において、取得部２２は、線形不等式制約を取得する。具体的には、線形不等式制約は、式（２５）のＫ個の連立一次不等式により表される。

Ｆ_ｋ，ｍは、ｋ番目の連立一次不等式におけるｍ番目の第２決定変数に乗算される係数である。Ｆ_ｋ，ｍは、実数である。

続いて、Ｓ１４において、関数生成部２４は、目的関数、Ｊ個の連立一次方程式およびＫ個の連立一次不等式に基づき、拡張ラグランジュ関数を生成する。拡張ラグランジュ関数は、式（２６）により表される。

拡張ラグランジュ関数は、目的関数項と、Ｊ個の第１ラグランジュ項と、Ｋ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む。

目的関数項は、目的関数を含む。目的関数項は、式（２７）により表される。

Ｊ個の第１ラグランジュ項は、Ｊ個の連立一次方程式に対応する。Ｊ個の第１ラグランジュ項を総加算した式は、式（２８）により表される。

Ｊ個の第１ラグランジュ項のそれぞれは、Ｊ個の連立一次方程式のうちの対応する連立一次方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のうちの対応する第１ラグランジュ係数を乗じた関数である。すなわち、Ｊ個の第１ラグランジュ項のそれぞれは、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値が、対応する線形等式制約を満たすと０となり、対応する線形等式制約を満たさないとマイナス方向またはプラス方向にずれる関数である。

なお、式（２８）は、先頭に－１が乗じられている。しかし、式（２８）は、－１が乗じられていなくてもよい。

Ｋ個の第２ラグランジュ項は、Ｋ個の連立一次不等式に対応する。Ｋ個の第２ラグランジュ項を総加算した式は、式（２９）により表される。

関数生成部２４は、Ｋ個の代替方程式を設定する。Ｋ個の代替方程式のそれぞれは、Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式の不等号を等号に置き換え、且つ、定数項をＫ個の従属変数のうちの対応する従属変数に置き換えた方程式である。式（２９）の例の場合、ｋ番目の代替方程式は、式（２５）の不等号を等号に置き換え、且つ、Ｄ_ｋをｚ_ｋに置き換えた方程式となる。

Ｋ個の第２ラグランジュ項のそれぞれは、Ｋ個の代替方程式のうちの対応する代替方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のうちの対応する第２ラグランジュ係数を乗じた関数である。すなわち、Ｋ個の第２ラグランジュ項のそれぞれは、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値が、対応する代替方程式を満たすと０となり、対応する代替方程式を満たさないとマイナス方向またはプラス方向にずれる関数である。

なお、式（２９）は、先頭に－１が乗じられている。しかし、式（２９）は、－１が乗じられていなくてもよい。

ペナルティ項は、式（３０）により表される。

ペナルティ項は、Ｊ個の第１距離関数と、Ｋ個の第２距離関数との合計に、ペナルティ係数を乗じた関数である。Ｊ個の第１距離関数のそれぞれは、Ｊ個の連立一次方程式のうちの対応する連立一次方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との間の距離（第１距離）を表す関数である。例えば、式（３０）の例の場合、Ｊ個の第１距離関数のそれぞれは、対応する連立一次方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との誤差を二乗した関数である。

Ｋ個の第２距離関数のそれぞれは、Ｋ個の代替方程式のうちの対応する代替方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との間の距離（第２距離）を表す関数である。例えば、式（３０）の例の場合、Ｋ個の第２距離関数のそれぞれは、対応する代替方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との誤差を二乗した関数である。すなわち、ペナルティ項は、第１距離と第２距離との合計がプラスになるほど、プラス方向にずれる関数である。

なお、式（３０）は、先頭に１／２が乗じられている。しかし、式（３０）は、０より大きい実数であれば、１／２以外の値が乗じられてもよい。

続いて、Ｓ１５において、関数生成部２４は、Ｋ個の不等式により表される従属変数制約を生成する。従属変数制約は、式（３１）により表される。

Ｋ個の不等式のそれぞれは、Ｋ個の従属変数のうちの対応する従属変数が、Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式における定数項以下であることを表す。式（３１）の例の場合、Ｋ個の不等式のそれぞれは、式（２５）の左辺をｚ_ｋに置き換えた不等式となる。

続いて、Ｓ１６において、更新部３０は、ｎを０に初期化する。

続いて、Ｓ１７において、更新部３０は、最初の第１処理、最初の第２処理および最初の係数処理に先だって、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値のそれぞれ、Ｍ個の第２決定変数の解の候補値のそれぞれ、Ｋ個の従属変数の解の候補値のそれぞれ、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれ、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれ、および、ペナルティ係数に対して、予め定められた初期値を代入する。

本例においては、ｙ_ｍ［ｎ］は、ｎ回目のループ処理の後のＭ個の第２決定変数の解の候補値を表す。なお、ｙ_ｍ［０］は、ｙ_ｍ［ｎ］の初期値を表す。例えば、更新部３０は、これらの各値を、式（３２）のように初期化する。

なお、ａｒｇ_ｙ,ｚは、ｙおよびｚの値を取得する関数である。更新部３０は、式（３２）におけるｚ_ｋ［ｎ］およびｙ_ｍ［ｎ］を、演算により算出可能であれば、演算により算出してもよいし、式（３２）を満たすｚ_ｋ［ｎ］およびｙ_ｍ［ｎ］をユーザから受け付けたり、別の装置から取得してもよい。また、更新部３０は、式（３２）におけるｚ_ｋ［ｎ］およびｙ_ｍ［ｎ］を、後述するＳ２２およびＳ２３と同様に、第２関数を生成し、生成した第２関数を最小化する問題を第２ソルバー４２に与えて、第２ソルバー４２から問題の解として取得してもよい。

Ｓ１８において、更新部３０は、拡張ラグランジュ関数に基づき、Ｉ個の第１決定変数を含む第１関数を生成する。ｎ＋１回目のループ処理において生成される第１関数は、式（３３）により表される。

すなわち、ｎ＋１回目のループ処理において生成される第１関数は、直前のループ処理（ｎ回目のループ処理）の後における、Ｍ個の第２決定変数の解の候補値であるｙ_ｍ［ｎ］、Ｋ個の従属変数の解の候補値であるｚ_ｋ［ｎ］、Ｊ個の第１ラグランジュ係数であるλ_ｊ［ｎ］、Ｋ個の第２ラグランジュ係数であるλ´_ｋ［ｎ］、および、ペナルティ係数であるμ［ｎ］を、式（２６）の拡張ラグランジュ関数に代入した関数である。第１関数は、Ｉ個の第１決定変数を含む整数非凸二次関数となる。なお、１回目のループ処理においては、直前のループ処理の後のｙ_ｍ［ｎ］、ｚ_ｋ［ｎ］、λ_ｊ［ｎ］、λ´_ｋ［ｎ］、および、μ［ｎ］は、Ｓ１７で代入した初期値となる。

続いて、Ｓ１９において、更新部３０は、第１処理を実行する。すなわち、更新部３０は、第１関数を最小化するＩ個の第１決定変数の解の候補値を取得する。例えば、更新部３０は、式（３４）に示す関数を実行する。

更新部３０は、式（３４）を実行することによって、第１関数を最小化する問題を第１ソルバー２６に与えて、第１ソルバー２６から問題の解として、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を取得する。

続いて、Ｓ２０において、更新部３０は、終了条件に達したか否かを判断する。更新部３０は、終了条件に達した場合、処理をＳ２７に進める。更新部３０は、終了条件に達していない場合、処理をＳ２１に進める。

続いて、Ｓ２１において、更新部３０は、更新値記憶部３２に記憶されているＩ個の第１決定変数の解の候補値のそれぞれを更新する。

Ｓ２２において、更新部３０は、拡張ラグランジュ関数に基づき、Ｍ個の第２決定変数およびＫ個の従属変数を含む第２関数を生成する。ｎ＋１回目のループ処理において生成される第２関数は、式（３５）により表される。

すなわち、ｎ＋１回目のループ処理において生成される第２関数は、直前のＳ２１で更新されたＩ個の第１決定変数の解の候補値であるｘ_ｉ［ｎ＋１］、並びに、直前のループ処理（ｎ回目のループ処理）の後のＪ個の第１ラグランジュ係数であるλ_ｊ［ｎ］、Ｋ個の第２ラグランジュ係数であるλ´_ｋ［ｎ］およびペナルティ係数であるμ［ｎ］を式（２６）の拡張ラグランジュ関数に代入した関数である。なお、１回目のループ処理においては、直前のループ処理において更新された、λ_ｊ［ｎ］、λ´_ｋ［ｎ］、および、μ［ｎ］は、Ｓ１７で代入した初期値となる。

続いて、Ｓ２３において、更新部３０は、第２処理を実行する。すなわち、更新部３０は、Ｋ個の不等式により表される従属変数制約を満たす条件の下で、第２関数を最小化するＭ個の第２決定変数の解の候補値およびＫ個の従属変数の解の候補値を取得する。例えば、更新部３０は、第２関数を最小化する問題を第２ソルバー４２に与えて、第２ソルバー４２から問題の解として、Ｍ個の第２決定変数の解の候補値およびＩ個の第１決定変数の解の候補値を取得する。例えば、更新部３０は、式（３６）に示す関数を実行する。

なお、ａｒｇ_ｙ,ｚは、ｙおよびｚの値を取得する関数である。

続いて、Ｓ２４において、更新部３０は、更新値記憶部３２に記憶されているＭ個の第２決定変数の解の候補値のそれぞれおよびＫ個の従属変数の解の候補値のそれぞれを更新する。

続いて、Ｓ２５において、更新部３０は、係数処理を実行する。すなわち、更新部３０は、更新値記憶部３２に記憶されているＪ個の第１ラグランジュ係数、Ｋ個の第２ラグランジュ係数およびペナルティ係数を更新する。

具体的には、更新部３０は、直前のループ処理において更新されたＪ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれから、対応する連立一次方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との誤差に応じた値を減じる。より具体的には、更新部３０は、ｎ＋１回目のループ処理におけるＪ個の第１ラグランジュ係数（λ_ｊ［ｎ＋１］）として、式（３７）に示す値を代入する。

また、具体的には、更新部３０は、直前のループ処理において更新されたＫ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれから、対応する代替方程式と、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値との誤差に応じた値を減じる。より具体的には、更新部３０は、ｎ＋１回目のループ処理におけるＫ個の第２ラグランジュ係数（λ´_ｋ［ｎ＋１］）として、式（３８）に示す値を代入する。

また、具体的には、更新部３０は、直前のループ処理において更新されたペナルティ係数を増加させる。より具体的には、更新部３０は、ｎ＋１回目のループ処理におけるペナルティ（μ［ｎ＋１］）として、式（３９）に示す値を代入する。

続いて、Ｓ２６において、更新部３０は、ｎに１を加算する。そして、更新部３０は、Ｓ２６の処理を終えると、処理をＳ１８に戻し、Ｓ１８からＳ２６までの処理を、Ｓ２０の終了条件に達するまで繰り返す。更新部３０は、Ｓ２０で終了条件に達した場合（Ｓ２０のＹｅｓ）、処理をＳ２７に進める。

Ｓ２７において、出力部３４は、Ｓ１９で取得したＩ個の第１決定変数の解の候補値およびＳ２３で取得したＭ個の第２決定変数の解の候補値が線形等式制約および線形不等式制約を満たしている場合、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値を、求解の対象となる０－１整数非凸二次計画問題の解として出力する。また、出力部３４は、Ｉ個の第１決定変数の解の候補値およびＭ個の第２決定変数の解の候補値が線形等式制約および線形不等式制約を満たしていない場合、求解の対象となる０－１整数非凸二次計画問題の解が算出できなかったことを示す情報を出力する。

以上のような第２実施形態に係る求解装置１０は、制約条件を含まない０－１整数非凸二次計画問題の解を取得する第１処理と、連続凸関数の解を取得する第２処理とを交互に繰り返す。制約条件を含まない０－１整数非凸二次計画問題は、イジングマシン等のソルバーにより、良い解を簡易に取得可能である。また、連続凸計画問題は、既存のソルバーにより、良い解を簡易に取得可能である。従って、求解装置１０は、第１処理と第２処理とを繰り返すことにより、線形制約条件を含む０－１整数非凸二次計画問題と連続凸計画問題とを組み合わせた問題に対して、良い解を効率良く算出することができる。

また、以上のような第２実施形態に係る求解装置１０は、目的関数に、Ｊ個の第１ラグランジュ項と、Ｋ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項とを加算した拡張ラグランジュ関数を用いて、Ｉ個の第１決定変数の解を算出する。Ｊ個の第１ラグランジュ項およびＫ個の第２ラグランジュ項は、制約の周辺での目的関数の傾きを打ち消すような働きをする。従って、第２実施形態に係る求解装置１０は、ペナルティ項に含まれるペナルティ係数を、目的関数に含まれる係数であるＰ_ｉ，ｉ´およびＱ_ｉよりも、大きくしなくても、制約条件を満たす解を取得することができる。従って、第２実施形態に係る求解装置１０は、第１ソルバー２６の計算能力を、実行可能解を取得するためでなく良い解を探すために多く費やさせることができる。よって、求解装置１０は、良い解を取得する確率を上げることができる。

また、第２実施形態に係る求解装置１０は、第１ラグランジュ係数、第２ラグランジュ係数およびペナルティ係数を簡易な演算により更新する。これにより、求解装置１０は、第１ラグランジュ係数、第２ラグランジュ係数およびペナルティ係数を容易に更新することができる。

（変形例）
第１実施形態に係る拡張ラグランジュ関数に含まれるＫ個の第２ラグランジュ項は、式（４０）のように表されてもよい。

式（４０）のφ（ｘ）は、活性化関数を表す。活性化関数は、例えば、式（４１）に示すようなＲｅＬＵ関数である。

φ（ｘ）は、ｘが閾値以上であるか、ｘ閾値より小さいかに応じて、ｘをそのまま出力するか、０を出力するかを切り替える。閾値は、どのような値であってもよい。

また、このような場合、更新部３０は、Ｓ２５の係数処理において、第２ラグランジュ係数を式（４２）に示すように、活性化関数を用いて更新する。

このような拡張ラグランジュ関数は、第１ソルバー２６が決定変数の値に応じて、最適値を探索するか否かを切り替えるソルバーである場合に有効となる。また、活性化関数は、第２実施形態に係る拡張ラグランジュ関数の第２ラグランジュ項に適用されてもよい。

（ハードウェア構成）
図５は、求解装置１０のハードウェアブロック図である。求解装置１０は、一例として、図５に示すような一般のコンピュータ（情報処理装置）と同様のハードウェア構成により実現される。求解装置１０は、図５に示すような１つのコンピュータまたはサーバにより実現されてもよいし、協働して動作する複数のコンピュータまたはサーバにより実現されてもよい。また、求解装置１０は、一部に専用のハードウェア回路を備える構成であってもよい。

求解装置１０は、メモリ２０４と、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６と、記憶装置２０８と、操作装置２１０と、表示装置２１２と、通信装置２１４とを備える。各部は、バスにより接続される。

メモリ２０４は、例えば、ＲＯＭ２２２と、ＲＡＭ２２４とを含む。ＲＯＭ２２２は、求解装置１０の制御に用いられるプログラムおよび各種設定情報等を書き換え不可能に記憶する。ＲＡＭ２２４は、ＳＤＲＡＭ（Synchronous Dynamic Random Access Memory）等の揮発性の記憶媒体である。ＲＡＭ２２４は、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６の作業領域として機能する。

１または複数のハードウェアプロセッサ２０６は、メモリ２０４（ＲＯＭ２２２およびＲＡＭ２２４）にバスを介して接続される。１または複数のハードウェアプロセッサ２０６のそれぞれは、例えば、ＣＰＵ（Central Processing Unit）であってもよいし、演算用のハードウェア回路であってもよい。

１または複数のハードウェアプロセッサ２０６は、ＲＡＭ２２４の所定領域を作業領域としてＲＯＭ２２２または記憶装置２０８に予め記憶された各種プログラムとの協働により各種処理を実行し、求解装置１０を構成する各部の動作を統括的に制御する。また、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６は、ＲＯＭ２２２または記憶装置２０８に予め記憶されたプログラムとの協働により、操作装置２１０、表示装置２１２および通信装置２１４等を制御する。

記憶装置２０８は、フラッシュメモリ等の半導体による記憶媒体、磁気的または光学的に記録可能な記憶媒体等の書き換え可能な記録装置である。記憶装置２０８は、求解装置１０の制御に用いられるプログラムおよび各種設定情報等を記憶する。

操作装置２１０は、マウスおよびキーボード等の入力デバイスである。操作装置２１０は、ユーザから操作入力された情報を受け付け、受け付けた情報を１または複数のハードウェアプロセッサ２０６に出力する。

表示装置２１２は、情報をユーザに表示する。表示装置２１２は、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６から情報等を受け取り、受け取った情報を表示する。なお、通信装置２１４または記憶装置２０８等に情報を出力する場合、求解装置１０は、表示装置２１２を備えなくてもよい。通信装置２１４は、外部の機器と通信して、ネットワーク等を介して情報を送受信する。

本実施形態の求解装置１０で実行されるプログラムは、インストール可能な形式または実行可能な形式のファイルでＣＤ－ＲＯＭ、フレキシブルディスク（ＦＤ）、ＣＤ－Ｒ、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）等のコンピュータで読み取り可能な記録媒体に記録されて提供される。

また、本実施形態の求解装置１０で実行されるプログラムを、インターネット等のネットワークに接続されたコンピュータ上に格納し、ネットワーク経由でダウンロードさせることにより提供するように構成してもよい。また、本実施形態の求解装置１０で実行されるプログラムをインターネット等のネットワーク経由で提供または配布するように構成してもよい。また、本実施形態の求解装置１０で実行されるプログラムを、ＲＯＭ等に予め組み込んで提供するように構成してもよい。

情報処理装置を求解装置１０として機能させるためのプログラムは、例えば、取得モジュール、関数生成モジュール、更新モジュールおよび出力モジュールを含むモジュール構成となっている。さらに、プログラムは、第１ソルバーモジュールおよび第２ソルバーモジュールを含んでもよい。このプログラムは、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６により実行されることにより各モジュールがメモリ２０４のＲＡＭ２２４にロードされ、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６を、取得部２２、関数生成部２４、更新部３０および出力部３４として機能させる。さらに、このプログラムは、１または複数のハードウェアプロセッサ２０６を、第１ソルバー２６および第２ソルバー４２として機能させてもよい。なお、これらの構成は、一部または全部がハードウェアにより構成されていてもよい。

本発明のいくつかの実施形態を説明したが、これらの実施形態は、例として提示したものであり、発明の範囲を限定することは意図していない。これら新規な実施形態は、その他の様々な形態で実施されることが可能であり、発明の要旨を逸脱しない範囲で、種々の省略、置き換え、変更を行うことができる。これら実施形態やその変形は、発明の範囲や要旨に含まれるとともに、請求の範囲に記載された発明とその均等の範囲に含まれる。

１０ 求解装置、
２２ 取得部
２４ 関数生成部
２６ 第１ソルバー
３０ 更新部
３２ 更新値記憶部
３４ 出力部
４２ 第２ソルバー

Claims (19)

1. それぞれが０または１となるＩ個（Ｉは２以上の整数）の決定変数を含む非凸二次関数である目的関数を最小化する問題の解を、それぞれが前記Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＪ個（Ｊは０以上の整数）の連立一次方程式を満たし且つそれぞれが前記Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＫ個（Ｋは１以上の整数）の連立一次不等式を満たす条件の下で、算出する求解装置であって、
   前記目的関数、前記Ｊ個の連立一次方程式および前記Ｋ個の連立一次不等式を取得する取得部と、
   拡張ラグランジュ関数に基づき生成される前記Ｉ個の決定変数を含む第１関数を最小化する前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を取得する第１処理、前記拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＫ個の従属変数を含む第２関数を最小化する前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得する第２処理、および、前記拡張ラグランジュ関数に含まれる係数を更新する係数処理、を予め定められた順序で繰り返す更新部と、
   前記第１処理、前記第２処理および前記係数処理を繰り返すことによって予め設定された終了条件に達した場合、前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を、前記問題の解として出力する出力部と、
   を備え、
   前記拡張ラグランジュ関数は、前記目的関数を含む目的関数項と、前記Ｊ個の連立一次方程式に対応するＪ個の第１ラグランジュ項と、前記Ｋ個の連立一次不等式に対応するＫ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む
   求解装置。
2. 前記Ｊ個の第１ラグランジュ項のそれぞれは、前記Ｊ個の連立一次方程式のうちの対応する連立一次方程式と前記Ｉ個の決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のうちの対応する第１ラグランジュ係数を乗じた関数であり、
   前記Ｋ個の第２ラグランジュ項のそれぞれは、前記Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式の不等号を等号に置き換え且つ定数項を前記Ｋ個の従属変数のうちの対応する従属変数に置き換えた代替方程式と、前記Ｉ個の決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のうちの対応する第２ラグランジュ係数を乗じた関数であり、
   前記ペナルティ項は、それぞれが対応する連立一次方程式と前記Ｉ個の決定変数の解の候補値との距離を表すＪ個の第１距離関数と、それぞれが対応する代替方程式と前記Ｉ個の決定変数の解の候補値との距離を表すＫ個の第２距離関数との合計に、ペナルティ係数を乗じた関数である
   請求項１に記載の求解装置。
3. 前記更新部は、前記第２処理において、Ｋ個の不等式を満たす条件の下で、前記第２関数における前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得し、
   前記Ｋ個の不等式のそれぞれは、前記Ｋ個の従属変数のうちの対応する従属変数が、前記Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式における定数項以下であること表す
   請求項２に記載の求解装置。
4. 前記第１関数は、前記拡張ラグランジュ関数に、前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を代入した関数であり、
   前記第２関数は、前記拡張ラグランジュ関数に、前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を代入した関数である
   請求項３に記載の求解装置。
5. 前記更新部は、前記係数処理において、前記拡張ラグランジュ関数に含まれる係数として、前記Ｊ個の第１ラグランジュ係数、前記Ｋ個の第２ラグランジュ係数および前記ペナルティ係数を更新する
   請求項４に記載の求解装置。
6. 前記ペナルティ係数は、正であり、
   前記更新部は、前記係数処理において、
   前記Ｊ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれから、対応する連立一次方程式と前記Ｉ個の決定変数の解の候補値との誤差に応じた値を減じ、
   前記Ｋ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれから、対応する代替方程式と前記Ｉ個の決定変数の解の候補値との誤差に応じた値を減じ、
   前記ペナルティ係数を増加させる
   請求項５に記載の求解装置。
7. 前記更新部は、最初の前記第１処理、前記第２処理および前記係数処理に先だって、前記Ｋ個の従属変数の解の候補値のそれぞれ、前記Ｊ個の第１ラグランジュ係数のそれぞれ、前記Ｋ個の第２ラグランジュ係数のそれぞれ、および、前記ペナルティ係数に予め定められた初期値を代入する
   請求項６に記載の求解装置。
8. 前記更新部は、前記第１処理において、前記第１関数を最小化する問題を０－１整数非凸二次計画問題の解を算出する第１ソルバーに与えて、前記第１ソルバーから前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を取得する
   請求項１から７の何れか１項に記載の求解装置。
9. 前記第１ソルバーが、複数組の前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を出力する場合、前記更新部は、前記複数組の前記Ｉ個の決定変数の解の候補値に基づき、一組の前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を更新する
   請求項８に記載の求解装置。
10. 前記拡張ラグランジュ関数は、式（１）により表され、
    前記Ｋ個の不等式は、式（２）により表され、
    

    

    

    前記式（１）および前記式（２）において、
    ｉは、１以上、Ｉ以下の整数であり、前記Ｉ個の決定変数のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    ｉ´は、１以上、Ｉ以下の整数であり、ｉとは異なり、前記Ｉ個の決定変数のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    ｘ_ｉは、前記Ｉ個の決定変数のうちのｉ番目の決定変数であり、
    ｘ_ｉ´は、前記Ｉ個の決定変数のうちのｉ´番目の決定変数であり、
    Ｐ_ｉ，ｉ´は、前記目的関数における２次項における前記ｉ番目の決定変数と前記ｉ´番目の決定変数との乗算値に乗算される係数であり、
    Ｑ_ｉは、前記目的関数の１次項における前記ｉ番目の前記決定変数に乗算される係数であり、
    ｊは、１以上、Ｊ以下の整数であり、前記Ｊ個の連立一次方程式のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    Ａ_ｊ，ｉは、前記Ｊ個の連立一次方程式のうちのｊ番目の連立一次方程式における前記ｉ番目の決定変数に乗算される係数であり、
    Ｂ_ｊは、前記ｊ番目の連立一次方程式における定数項であり、
    ｋは、１以上、Ｋ以下の整数であり、前記Ｋ個の連立一次不等式のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    Ｃ_ｋ，ｉは、前記Ｋ個の連立一次不等式のうちのｋ番目の連立一次不等式における前記ｉ番目の決定変数に乗算される係数であり、
    Ｄ_ｋは、前記ｋ番目の連立一次不等式における定数項であり、
    ｚ_ｋは、ｋ番目の代替方程式における従属変数であり、
    λ_ｊは、前記Ｊ個の第１ラグランジュ係数のうちのｊ番目の第１ラグランジュ係数であり、
    λ´_ｋは、前記Ｋ個の第２ラグランジュ係数のうちのｋ番目の第２ラグランジュ係数であり、
    μは、前記ペナルティ係数である
    請求項４から７の何れか１項に記載の求解装置。
11. それぞれが０または１となるＩ個（Ｉは２以上の整数）の第１決定変数を含む非凸二次関数と、それぞれが実数となるＭ個（Ｍは２以上の整数）の第２決定変数を含む連続凸関数とを加算した関数である目的関数を最小化する問題の解を、それぞれが前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＪ個（Ｊは０以上の整数）の連立一次方程式を満たし、且つ、それぞれが前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＫ個（Ｋは１以上の整数）の連立一次不等式を満たす条件の下で、算出する求解装置であって、
    前記目的関数、前記Ｊ個の連立一次方程式および前記Ｋ個の連立一次不等式を取得する取得部と、
    拡張ラグランジュ関数に基づき生成される前記Ｉ個の第１決定変数を含む第１関数を最小化する前記Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を取得する第１処理、前記拡張ラグランジュ関数に基づき生成される前記Ｍ個の第２決定変数およびＫ個の従属変数を含む第２関数を最小化する前記Ｍ個の第２決定変数および前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得する第２処理、および、前記拡張ラグランジュ関数に含まれる係数を更新する係数処理、を予め定められた順序で繰り返す更新部と、
    前記第１処理、前記第２処理および前記係数処理を繰り返すことによって予め設定された終了条件に達した場合、前記Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を、前記問題の解として出力する出力部と、
    を備え、
    前記拡張ラグランジュ関数は、前記目的関数を含む目的関数項と、前記Ｊ個の連立一次方程式に対応するＪ個の第１ラグランジュ項と、前記Ｋ個の連立一次不等式に対応するＫ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む
    求解装置。
12. 前記Ｊ個の第１ラグランジュ項のそれぞれは、前記Ｊ個の連立一次方程式のうちの対応する連立一次方程式と前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｊ個の第１ラグランジュ係数のうちの対応する第１ラグランジュ係数を乗じた関数であり、
    前記Ｋ個の第２ラグランジュ項のそれぞれは、前記Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式の不等号を等号に置き換え且つ定数項を前記Ｋ個の従属変数のうちの対応する従属変数に置き換えた代替方程式と、前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数の解の候補値との誤差を表す関数に、Ｋ個の第２ラグランジュ係数のうちの対応する第２ラグランジュ係数を乗じた関数であり、
    前記ペナルティ項は、それぞれが対応する連立一次方程式と前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数の解の候補値との距離を表すＪ個の第１距離関数と、それぞれが対応する代替方程式と前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数の解の候補値との距離を表すＫ個の第２距離関数との合計に、ペナルティ係数を乗じた関数である
    請求項１１に記載の求解装置。
13. 前記更新部は、前記第２処理において、Ｋ個の不等式を満たす条件の下で、前記第２関数における前記Ｍ個の第２決定変数および前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得し、
    前記Ｋ個の不等式のそれぞれは、前記Ｋ個の従属変数のうちの対応する従属変数が、前記Ｋ個の連立一次不等式のうちの対応する連立一次不等式における定数項以下であることを表す
    請求項１２に記載の求解装置。
14. 前記第１関数は、前記拡張ラグランジュ関数に、直前の前記第２処理において算出された前記Ｋ個の従属変数および前記Ｍ個の第２決定変数の解の候補値を代入した関数であり、
    前記第２関数は、前記拡張ラグランジュ関数に、直前の前記第１処理において算出された前記Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を代入した関数である
    請求項１３に記載の求解装置。
15. 前記更新部は、前記第２処理において、凸二次計画問題の解を算出する第２ソルバーに前記第２関数および前記Ｋ個の不等式を与えて、前記第２ソルバーから前記第２関数における前記Ｍ個の第２決定変数および前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得する
    請求項１４に記載の求解装置。
16. 前記拡張ラグランジュ関数は、式（３）により表され、
    前記Ｋ個の不等式は、式（４）により表され、
    

    

    

    前記式（３）および前記式（４）において、
    ｉは、１以上、Ｉ以下の整数であり、前記Ｉ個の第１決定変数のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    ｉ´は、１以上、Ｉ以下の整数であり、ｉとは異なり、前記Ｉ個の第１決定変数のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    ｘ_ｉは、前記Ｉ個の第１決定変数のうちのｉ番目の第１決定変数であり、
    ｘ_ｉ´は、前記Ｉ個の第１決定変数のうちのｉ´番目の第１決定変数であり、
    Ｐ_ｉ，ｉ´は、前記目的関数の２次項における前記ｉ番目の第１決定変数と前記ｉ´番目の第１決定変数との乗算値に乗算される係数であり、
    Ｑ_ｉは、前記目的関数の１次項における前記ｉ番目の第１決定変数に乗算される係数であり、
    Ｒ（ｙ）は、前記連続凸関数であり、
    ｙ_ｍは、前記Ｍ個の第２決定変数のうちのｍ番目の第２決定変数であり、
    ｊは、１以上、Ｊ以下の整数であり、前記Ｊ個の連立一次方程式のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    Ａ_ｊ，ｉは、前記Ｊ個の連立一次方程式のうちのｊ番目の連立一次方程式におけるｉ番目の前記第１決定変数に乗算される係数であり、
    Ｅ_ｊ，ｍは、前記ｊ番目の連立一次方程式における前記ｍ番目の第２決定変数に乗算される係数であり、
    Ｂ_ｊは、前記ｊ番目の連立一次方程式における定数項であり、
    ｋは、１以上、Ｋ以下の整数であり、前記Ｋ個の連立一次不等式のそれぞれに割り当てられるインデックスを表し、
    Ｃ_ｋ，ｉは、前記Ｋ個の連立一次不等式のうちのｋ番目の連立一次不等式におけるｉ番目の前記第１決定変数に乗算される係数であり、
    Ｆ_ｋ，ｉは、前記ｋ番目の連立一次不等式における前記ｍ番目の第２決定変数に乗算される係数であり、
    Ｄ_ｋは、前記ｋ番目の連立一次不等式における定数項であり、
    ｚ_ｋは、ｋ番目の代替方程式における従属変数であり、
    λ_ｊは、前記Ｊ個の第１ラグランジュ係数のうちのｊ番目の第１ラグランジュ係数であり、
    λ´_ｋは、前記Ｋ個の第２ラグランジュ係数のうちのｋ番目の第２ラグランジュ係数であり、
    μは、前記ペナルティ係数である
    請求項１４または１５に記載の求解装置。
17. 前記連続凸関数は、連続凸二次関数である
    請求項１１から１６の何れか１項に記載の求解装置。
18. 情報処理装置を求解装置として機能させるためのプログラムであって、
    前記求解装置は、それぞれが０または１となるＩ個（Ｉは２以上の整数）の決定変数を含む非凸二次関数である目的関数を最小化する問題の解を、それぞれが前記Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＪ個（Ｊは０以上の整数）の連立一次方程式を満たし且つそれぞれが前記Ｉ個の決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＫ個（Ｋは１以上の整数）の連立一次不等式を満たす条件の下で、算出し、
    前記情報処理装置を、
    前記目的関数、前記Ｊ個の連立一次方程式および前記Ｋ個の連立一次不等式を取得する取得部と、
    拡張ラグランジュ関数に基づき生成される前記Ｉ個の決定変数を含む第１関数を最小化する前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を取得する第１処理、前記拡張ラグランジュ関数に基づき生成されるＫ個の従属変数を含む第２関数を最小化する前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得する第２処理、および、前記拡張ラグランジュ関数に含まれる係数を更新する係数処理、を予め定められた順序で繰り返す更新部と、
    前記第１処理、前記第２処理および前記係数処理を繰り返すことによって予め設定された終了条件に達した場合、前記Ｉ個の決定変数の解の候補値を、前記問題の解として出力する出力部と、
    して機能させ、
    前記拡張ラグランジュ関数は、前記目的関数を含む目的関数項と、前記Ｊ個の連立一次方程式に対応するＪ個の第１ラグランジュ項と、前記Ｋ個の連立一次不等式に対応するＫ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む
    プログラム。
19. 情報処理装置を求解装置として機能させるためのプログラムであって、
    前記求解装置は、それぞれが０または１となるＩ個（Ｉは２以上の整数）の第１決定変数を含む非凸二次関数と、それぞれが実数となるＭ個（Ｍは２以上の整数）の第２決定変数を含む連続凸関数とを加算した関数である目的関数を最小化する問題の解を、それぞれが前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＪ個（Ｊは０以上の整数）の連立一次方程式を満たし、且つ、それぞれが前記Ｉ個の第１決定変数および前記Ｍ個の第２決定変数のうちの少なくとも１つを変数として含むＫ個（Ｋは１以上の整数）の連立一次不等式を満たす条件の下で、算出し、
    前記情報処理装置を、
    前記目的関数、前記Ｊ個の連立一次方程式および前記Ｋ個の連立一次不等式を取得する取得部と、
    拡張ラグランジュ関数に基づき生成される前記Ｉ個の第１決定変数を含む第１関数を最小化する前記Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を取得する第１処理、前記拡張ラグランジュ関数に基づき生成される前記Ｍ個の第２決定変数およびＫ個の従属変数を含む第２関数を最小化する前記Ｍ個の第２決定変数および前記Ｋ個の従属変数の解の候補値を取得する第２処理、および、前記拡張ラグランジュ関数に含まれる係数を更新する係数処理、を予め定められた順序で繰り返す更新部と、
    前記第１処理、前記第２処理および前記係数処理を繰り返すことによって予め設定された終了条件に達した場合、前記Ｉ個の第１決定変数の解の候補値を、前記問題の解として出力する出力部と、
    して機能させ、
    前記拡張ラグランジュ関数は、前記目的関数を含む目的関数項と、前記Ｊ個の連立一次方程式に対応するＪ個の第１ラグランジュ項と、前記Ｋ個の連立一次不等式に対応するＫ個の第２ラグランジュ項と、ペナルティ項と、を含む
    プログラム。

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