JP2019113962A

JP2019113962A - 解析装置、解析方法及びプログラム

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Publication number: JP2019113962A
Application number: JP2017245513A
Authority: JP
Inventors: 竹内　孝; Takashi Takeuchi; 孝竹内
Original assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp
Current assignee: Nippon Telegraph and Telephone Corp
Priority date: 2017-12-21
Filing date: 2017-12-21
Publication date: 2019-07-11

Abstract

【課題】時間相関と空間相関とを考慮したテンソル分解によりデータの内挿及び外挿を高い精度で行うこと。【解決手段】空間的な位置を表す第１のモードと時間を表す第２のモードとが少なくとも含まれるテンソル形式のデータＸと、該データＸの観測値及び欠損値を示す集合Ωと、因子行列Ｕとを入力する入力手段と、空間自己回帰モデルを拡張した有向自己回帰モデルを表す第１の正則化関数と、自己回帰モデルを表す第２の正則化関数とが含まれる損失関数を最小化するように、前記因子行列Ｕと、前記有向自己回帰モデルの第１のパラメータと、前記自己回帰モデルの第２のパラメータとを更新する更新手段と、前記更新手段により更新された前記因子行列Ｕと、前記第１のパラメータと、前記第２のパラメータとにより前記集合Ωの観測値及び欠損値を内挿及び外挿する内外挿手段と、を有することを特徴とする。【選択図】図１

Description

本発明は、解析装置、解析方法及びプログラムに関する。

テンソル分解は、観測データの低ランク構造を用いて、ノイズの除去や欠損値の復元等を行う技術である（例えば、特許文献１及び２、非特許文献１）。近年では、テンソル分解を時空間データの解析に用いる研究が行われており、人の移動データや気象データ等における時空間内挿問題（すなわち、データの存在する範囲・時間の内部でデータが存在しない位置・時刻での観測値を推定する問題）及び時空間外挿問題（すなわち、データの存在する範囲・時間の外部でのデータの観測値を予測する問題）で良好な性能を示すテンソル分解が提案されている（例えば、非特許文献２乃至４）。

非特許文献３では、過去の観測データから将来の予測を行う自己回帰モデルを正則化としてテンソル分解に導入し、低ランク構造に含まれるデータの時間的な相関構造を抽出することで、時間内挿問題及び時間外挿問題において既存の技術よりも高い精度が達成されたと開示されている。

特開２０１７−１４６８５３号公報特開２０１５−８８１１８号公報

T. G. Kolda and B. W. Bader. Tensor decompositions and applications. SIAM Review, 51(3):455-500, 2009. M. T. Bahadori, Q. R. Yu, and Y. Liu, "Fast multivariate spatio- temporal analysis via low rank tensor learning," in Advances in Neural Information Processing Systems, 2014, pp. 3491-3499. H.-F. Yu, N. Rao, and I. S. Dhillon, "Temporal regularized matrix factorization for high-dimensional time series prediction," in Advances in Neural Information Processing Systems, 2016, pp. 847-855. N. Rao, H.-F. Yu, P. K. Ravikumar, and I. S. Dhillon, "Collaborative filtering with graph information: Consistency and scalable methods," in Advances in Neural Information Processing Systems, 2015, pp. 2107- 2115. S. R. Dubois and F. H. Glanz, "An autoregressive model approach to two-dimensional shape classification," IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, no. 1, pp. 55-66, 1986. L. Anselin and A. K. Bera, "Spatial dependence in linear regression models with an introduction to spatial econometrics," Statistics Text- books and Monographs, vol. 155, pp. 237-290, 1998. Y. Xu and W. Yin. A block coordinate descent method for regularized multiconvex optimization with applications to nonnegative tensor factorization and completion. SIAM Journal on Imaging Sciences, 6(3):1758-1789, 2013. E.V.Bonilla,K.M.Chai,andC.Williams, "Multi-task Gaussian process prediction," in Advances in Neural Information Processing Systems, 2008, pp. 153-160.

しかしながら、従来のテンソル分解では、空間的な相関構造（すなわち、空間自己相関）を考慮しておらず、時間的な相関構造のみを利用するに留まっている。このため、時間相関と空間相関との両方を考慮したテンソル分解を行うことができなかった。

これに対して、非特許文献５及び６で提案されている空間自己回帰モデルを拡張した正則化をテンソル分解に導入することで、時間相関と空間相関との両方を考慮したテンソル分解を行うことができると考えられる。

本発明の実施の形態は、上記の点に鑑みてなされたもので、時間相関と空間相関とを考慮したテンソル分解によりデータの内挿及び外挿を高い精度で行うことを目的とする。

そこで、本発明の実施の形態では、空間的な位置を表す第１のモードと時間を表す第２のモードとが少なくとも含まれるテンソル形式のデータＸと、該データＸの観測値及び欠損値を示す集合Ωと、因子行列Ｕとを入力する入力手段と、空間自己回帰モデルを拡張した有向自己回帰モデルを表す第１の正則化関数と、自己回帰モデルを表す第２の正則化関数とが含まれる損失関数を最小化するように、前記因子行列Ｕと、前記有向自己回帰モデルの第１のパラメータと、前記自己回帰モデルの第２のパラメータとを更新する更新手段と、前記更新手段により更新された前記因子行列Ｕと、前記第１のパラメータと、前記第２のパラメータとにより前記集合Ωの観測値及び欠損値を内挿及び外挿する内外挿手段と、を有することを特徴とする。

時間相関と空間相関とを考慮したテンソル分解によりデータの内挿及び外挿を高い精度で行うことができる。

本発明の実施の形態における解析装置の機能構成の一例を示す図である。本発明の実施の形態における解析装置が実行する処理の一例を示すフローチャートである。本発明の効果の一例を示す図（その１）である。本発明の効果の一例を示す図（その２）である。本発明の実施の形態における解析装置のハードウェア構成の一例を示す図である。

以下、本発明の実施の形態について、図面を参照しながら説明する。

＜テンソル分解＞
まず、本発明の実施の形態におけるテンソル分解について説明する。テンソル分解では、入力されたＮ階のテンソルＸと、因子行列の初期値Ｕ^（ｎ）（ｎ＝１，・・・，Ｎ）とを用いて、所定の損失関数Ｌを最小化するためにＵ^（ｎ）（ｎ＝１，・・・，Ｎ）を繰り返し更新する。

ここで、本発明の実施の形態では、１番目のモードがＰ個の観測位置、２番目のモードがＴ個の観測時刻、３番目のモードが任意のＭ個の次元から構成される３階のテンソル

を考えるものとする。すなわち、本発明の実施の形態では、Ｎ＝３であるものとする。ただし、本発明の実施の形態は、Ｎ≧４である場合も同様に適用することができる。なお、４階以上のテンソルを考える場合（すなわち、Ｎ≧４である場合）には、３番目のモードと同様に、４番目以降のモードを任意の個数の次元とすれば良い。

テンソルＸのｎモードアンフォールド行列（すなわち、ｎ番目のモード方向にテンソルＸをアンフォールドして行列化したもの）をＸ^（ｎ）とする。また、テンソルＸの観測及び欠損を示す集合Ωを、

とする。

テンソル分解のモデルには、観測値を複数の因子の線形和によって近似するＣＰ分解（canonical polyadic decomposition）を用いる。本発明の実施の形態では、因子数をＫ個とし、損失関数Ｌ（Ｕ^（１），Ｕ^（２），Ｕ^（３））を観測された要素毎の近似誤差の線形和、すなわち、

とする。ここで、λ_ｎは因子行列毎の正則化重みである。ｇ_ｎは因子行列毎の正則化関数である。

以上により、テンソル分解は、損失関数Ｌを最小化する因子行列の集合Ｕ^＊＝｛Ｕ^（１）＊，Ｕ^（２）＊，Ｕ^（３）＊｝を求める問題として定められる。

本発明の実施の形態では、観測位置を示す１番目のモードに対して、非特許文献５及び６で提案されている空間自己回帰モデルを拡張した自己回帰モデル（これを「有向自己回帰モデル」と称することとする。）を以下の数４のように定義し、Ｕ^（１）の正則化関数ｇ_１として用いる。

ここで、ｐ´∈Ｅ_ｐは或る観測位置ｐのｋ個の近傍点ｐ´の集合である。ｗ_ｐ，ｐ´はｐとｐ´との距離を示すパラメータで、

を満たすものである。

は有向自己回帰モデルで求めるパラメータであり、ｐから見たｐ´の角度に応じた重みパラメータである。ηはＬ２ノルムの重みパラメータである。

また、上記の数４に代えて、Ｕ^（１）の正則化関数ｇ_１として、以下の数７の空間自己回帰モデルを用いることもできる。

ここで、ρ_ｋは空間自己回帰モデルで求めるパラメータである。

また、時間に対応するモード（すなわち、観測時刻を示す２番目のモード）に対しては、非特許文献３で提案されている自己回帰モデルを用いる。すなわち、Ｕ^（２）の正則化関数ｇ_２として、自己回帰モデルを用いる。

また、ｎ（ｎ≧３）番目のモードに対しては、任意の関数によって正則化を行う。

更に、本発明の実施の形態では、各モードに対する追加の正則化関数として、例えば非特許文献７に開示されている非負制約関数

も利用可能とする。

以上より、本発明の実施の形態では、テンソル分解のパラメータＵ^＊＝｛Ｕ^（１）＊，Ｕ^（２）＊，Ｕ^（３）＊｝と、有向自己回帰モデルのパラメータｂ^＊（又は空間自己回帰モデルのパラメータρ^＊）と、自己回帰モデルのパラメータとを求める問題を解く。これにより、本発明の実施の形態では、テンソル分解のパラメータと、有向自己回帰モデル又は空間自己回帰モデルのパラメータと、自己回帰モデルのパラメータとを同時に得ることができる。そして、得られたパラメータを用いることで、データの時空間内挿及び外挿を高い精度で行うことができるようになる。

＜解析装置１０の機能構成＞
次に、テンソル分解のパラメータと、有向自己回帰モデル又は空間自己回帰モデルのパラメータと、自己回帰モデルのパラメータとを得ることでデータの時空間内挿及び外挿を行う解析装置１０の機能構成について、図１を参照しながら説明する。図１は、本発明の実施の形態における解析装置１０の機能構成の一例を示す図である。

図１に示すように、本発明の実施の形態における解析装置１０は、データ入力部１０１と、繰り返し制御部１０２と、パラメータ更新部１０３と、時空間内外挿計算部１０４と、データ出力部１０５とを有する。これら各機能部は、解析装置１０にインストールされた１以上のプログラムがＣＰＵ（Central Processing Unit）に実行させる処理により実現される。

データ入力部１０１は、テンソル形式のデータＸと、集合Ωと、行列形式のデータＷ^（ｎ）（ｎ＝１，・・・，Ｎ）とを入力する。ここで、Ｗ^（ｎ）は長さＩ_ｎ×Ｉ_ｎの行列であり、Ｗ^（ｎ）の要素の値は非負（０以上）であり、各行の非零要素の総和が１となるもの、すなわち、

を満たすもののみを許容する。なお、Ｉ_ｎはｎ番目のモードの次元である。

また、データ入力部１０１は、テンソル分解のパラメータの初期値として、因子行列の集合Ｕ＝｛Ｕ^（１），・・・，Ｕ^（Ｎ）｝を入力する。更に、データ入力部１０１は、パラメータ更新部１０３によるパラメータ更新を終了する回数Ｔ（以降、「終了回数Ｔ」とも表す。）を入力する。なお、Ｔは、例えば、ユーザ等により指定されても良い。

繰り返し制御部１０２は、パラメータ更新部１０３によるパラメータ更新の繰り返しを制御する。すなわち、繰り返し制御部１０２は、パラメータ更新の繰り返し回数ｔが終了回数Ｔに達するまで、パラメータ更新部１０３にパラメータ更新を繰り返し実行させる。

パラメータ更新部１０３は、因子行列の集合Ｕ＝｛Ｕ^（１），・・・，Ｕ^（Ｎ）｝の更新をＴ回行う。ここで、パラメータ更新部１０３は、ｎ＝１，・・・，Ｎまで同様の処理を順番に行う処理をＴ回行う。これらの処理は、数３に示す損失関数Ｌと等価な以下の数１０に示す関数の最小化と対応する。

ここで、Θ_１及びΘ_２はパラメータである。Ｐ_Ω（・）は観測値のみを保ち、それ以外は＋∞に射影する関数である。Ｃは単位対角化コアテンソルである。

（１）有向自己回帰モデルのパラメータｂ_ｋ
有向自己回帰モデルのパラメータｂ_ｋに対する損失は、

となるため、有向自己回帰モデルのパラメータｂ_ｋを以下の数１２により更新する。

このとき、Ｓの要素の値は、

とした。

（２）空間自己回帰モデルのパラメータρ_ｋ
有向自己回帰モデルの代わりに空間自己回帰モデルを用いた場合、空間自己回帰モデルのパラメータρ_ｋに対する損失は、

となるため、例えば非特許文献６に開示されている手法等を用いて、空間自己回帰モデルのパラメータρ_ｋを更新すれば良い。

（３）自己回帰モデルのパラメータ
自己回帰モデルのパラメータの更新は、例えば非特許文献３に開示されている手法を用いれば良い。

（４）因子行列の集合Ｕ
因子行列に対する損失は、非特許文献４に開示されている関数と一致するため、非特許文献４に開示されている手法に基づき更新を行う。非負制約関数を用いている場合は、最後に、因子行列Ｕ^（ｎ）で負の値となった要素の値を零に変更する処理を行えば良い。

時空間内外挿計算部１０４は、テンソル分解のパラメータＵ^＊＝｛Ｕ^（１）＊，・・・，Ｕ^（Ｎ）＊｝と、有向自己回帰モデルのパラメータｂ^＊（又は空間自己回帰モデルのパラメータρ^＊）と、自己回帰モデルのパラメータとを用いて、データの時空間内挿及び外挿を行う。すなわち、時空間内外挿計算部１０４は、テンソル分解のパラメータＵ^（１）＊と有向自己回帰モデルのパラメータｂ^＊（又は空間自己回帰モデルのパラメータρ^＊）との要素積によって空間内挿を行った後、テンソル分解のパラメータＵ^（２）＊と自己回帰モデルとによって時間外挿を行う。

データ出力部１０５は、時空間内外挿計算部１０４による内外挿結果を出力する。なお、データ出力部１０５は、パラメータ更新部１０３によって最終的に得られた因子行列の集合Ｕ＝｛Ｕ^（１），・・・，Ｕ^（Ｎ）｝や有向自己回帰モデルのパラメータｂ^＊（又は空間自己回帰モデルのパラメータρ^＊）、自己回帰モデルのパラメータ等も出力しても良い。

データ出力部１０５の出力先は、限定されない。出力先としては、例えば、ディスプレイ等の表示装置、記録媒体や補助記憶装置、ネットワークを介して接続される他の装置等が挙げられる。

＜解析装置１０が実行する処理＞
次に、本発明の実施の形態における解析装置１０が実行する処理について、図２を参照しながら説明する。図２は、本発明の実施の形態における解析装置１０が実行する処理の一例を示すフローチャートである。

データ入力部１０１は、テンソル形式のデータＸと、集合Ωと、行列形式のデータＷ^（ｎ）（ｎ＝１，・・・，Ｎ）と、テンソル分解のパラメータの初期値Ｕ＝｛Ｕ^（１），・・・，Ｕ^（Ｎ）｝と、終了回数Ｔとを入力する（ステップＳ１）。

次に、繰り返し制御部１０２は、パラメータ更新部１０３によるパラメータ更新の繰り返し回数ｔを１に初期化する（ステップＳ２）。

次に、パラメータ更新部１０３は、上記の数１０を最小化させるように、テンソル分解のパラメータである因子行列の集合Ｕ＝｛Ｕ^（１），・・・，Ｕ^（Ｎ）｝を更新する（ステップＳ３）。なお、テンソル分解のパラメータＵの更新手法、有向自己回帰モデルのパラメータｂ_ｋ（又は空間自己回帰モデルのパラメータρ_ｋ）の更新手法、自己回帰モデルのパラメータの更新手法は上述した通りである。これにより、テンソル分解のパラメータＵ＝｛Ｕ^（１），・・・，Ｕ^（Ｎ）｝と、有向自己回帰モデルのパラメータｂ_ｋ（又は空間自己回帰モデルのパラメータρ_ｋ）と、自己回帰モデルのパラメータとが更新される。

繰り返し制御部１０２は、繰り返し回数ｔが終了回数Ｔに達したか否かを判定する（ステップＳ４）。

繰り返し回数ｔが終了回数Ｔに達していないと判定された場合、繰り返し制御部１０２は、繰り返し回数ｔに１を加算する（ステップＳ５）。そして、ステップＳ３の処理に戻る。これにより、ステップＳ３のパラメータ更新が繰り返しＴ回実行される。

繰り返し回数ｔが終了回数Ｔに達していると判定された場合、時空間内外挿計算部１０４は、パラメータ更新部１０３によって最終的に得られたテンソル分解のパラメータＵ^＊と、有向自己回帰モデルのパラメータｂ^＊（又は空間自己回帰モデルのパラメータρ^＊）と、自己回帰モデルのパラメータとを用いて、データの時空間内挿及び外挿を行う（ステップＳ６）。

次に。データ出力部１０５は、時空間内外挿計算部１０４による内外挿結果を出力する（ステップＳ７）。

以上のように、本発明の実施の形態における解析装置１０は、テンソル分解のパラメータと、有向自己回帰モデル又は空間自己回帰モデルのパラメータと、自己回帰モデルのパラメータとを同時に推定し、推定したパラメータを用いてデータの時空間内挿及び外挿を高い精度を行うことができる。なお、本発明の実施の形態における解析装置１０によるデータの時空間内挿及び外挿は、例えば、機械学習やデータマイニング等の解析分野にも同様に適用することができる。

＜本発明の効果＞
次に、本発明の効果を説明する。アメリカのニューヨーク市で計測されたタクシーの降車データの内挿及び外挿実験の結果を用いて、本発明の効果を説明する。ニューヨーク市内を５００メートル四方の６４０個の碁盤目状に区切り、それぞれのマスで３０分毎に降車を行ったタクシーの台数を観測データとした。

観測データのうちの或る２週間分のデータを実験で用いた。２週間の後半の７日から或る１日を選びテスト時刻とし、その日から１週間前までの時刻を訓練時刻とする。また、ランダムに欠損させた１０％の箇所をテスト位置、残りを訓練位置とする。したがって、観測位置（６４０個所）、時刻（３０分毎の７＋１日分）をモードに持つ２階のテンソルＸを作成した。

５回のランダムな試行を行った。因子の数は５、１０、２０とし、5-fold cross validationによって決定した。Normalized Deviation（ND）によって、予測値・予測時刻（Pred. unknown）、予測位置・訓練時刻（Interpolation）、訓練位置・予測時刻（Pred. known）の予測誤差を評価する。５回の試行のうち平均値と標準偏差を得た。

この評価結果を図３に示す。有向自己回帰モデルを用いたテンソル分解（DAR）と、非負制約付き有向自己回帰モデルを用いたテンソル分解（DAR+NN）と、空間自己回帰モデルを用いたテンソル分解（SAR）と、非負制約付き空間自己回帰モデルを用いたテンソル分解（SAR+NN）とが本発明の手法である。従来手法には、非特許文献４に開示されているTRMFと、非特許文献２に開示されているFASTと、非特許文献８に開示されているGPとを採用した。

図３に示すように、本発明では、従来手法と比べて高い精度が得られていることがわかる。また、特に、非負制約付き有向自己回帰モデルを用いたテンソル分解（DAR+NN）で最良の予測結果が得られていることがわかる。

また、真値と、非負制約付き有向自己回帰モデルを用いたテンソル分解（DAR+NN）による予測値とを可視化したグラフを図４（ａ）〜（ｄ）に示す。図４（ａ）〜（ｄ）に示すように、本発明の手法であるDAR+NNでは、真値に近い予測値が得られていることがわかる。

＜解析装置１０のハードウェア構成＞
最後に、本発明の実施の形態における解析装置１０のハードウェア構成について、図５を参照しながら説明する。図５は、本発明の実施の形態における解析装置１０のハードウェア構成の一例を示す図である。

図５に示すように、本発明の実施の形態における解析装置１０は、入力装置２０１と、表示装置２０２と、外部Ｉ／Ｆ２０３と、ＲＡＭ（Random Access Memory）２０４と、ＲＯＭ（Read Only Memory）２０５と、ＣＰＵ２０６と、通信Ｉ／Ｆ２０７と、補助記憶装置２０８とを有する。これら各ハードウェアは、それぞれがバス２０９を介して通信可能に接続されている。

入力装置２０１は、例えばキーボードやマウス、タッチパネル等であり、ユーザが各種操作を入力するのに用いられる。表示装置２０２は、例えばディスプレイ等であり、解析装置１０の処理結果を表示する。なお、解析装置１０は、入力装置２０１及び表示装置２０２の少なくとも一方を有していなくても良い。

外部Ｉ／Ｆ２０３は、外部装置とのインタフェースである。外部装置には、記録媒体２０３ａ等がある。解析装置１０は、外部Ｉ／Ｆ２０３を介して、記録媒体２０３ａ等の読み取りや書き込みを行うことができる。記録媒体２０３ａには、例えば、本発明の実施の形態における解析装置１０が有する各機能部を実現するためのプログラムが格納されていても良い。

記録媒体２０３ａには、例えば、フレキシブルディスク、ＣＤ（Compact Disc）、ＤＶＤ（Digital Versatile Disk）、ＳＤメモリカード（Secure Digital memory card）、ＵＳＢ（Universal Serial Bus）メモリカード等がある。

ＲＡＭ２０４は、プログラムやデータを一時保持する揮発性の半導体メモリである。ＲＯＭ２０５は、電源を切ってもプログラムやデータを保持することができる不揮発性の半導体メモリである。ＲＯＭ２０５には、例えば、ＯＳ（Operating System）設定やネットワーク設定等が格納されている。

ＣＰＵ２０６は、ＲＯＭ２０５や補助記憶装置２０８等からプログラムやデータをＲＡＭ２０４上に読み出して処理を実行する演算装置である。

通信Ｉ／Ｆ２０７は、解析装置１０を通信ネットワークに接続するためのインタフェースである。本発明の実施の形態における解析装置１０が有する各機能部を実現するためのプログラムは、例えば、通信Ｉ／Ｆ２０７を介して、所定のサーバ等から取得（ダウンロード）されても良い。また、本発明の実施の形態における解析装置１０は、例えば、通信Ｉ／Ｆ２０７を介して、これら各機能部を実現するためのプログラムを他の装置に提供しても良い。

補助記憶装置２０８は、例えばＨＤＤ（Hard Disk Drive）やＳＳＤ（Solid State Drive）等であり、プログラムやデータを格納している不揮発性の記憶装置である。補助記憶装置２０８に格納されているプログラムやデータには、例えば、ＯＳ、当該ＯＳ上において各種機能を実現するアプリケーションプログラム、本発明の実施の形態における解析装置１０が有する各機能部を実現するためのプログラム等がある。

なお、図５に示す例では、解析装置１０が１台の情報処理装置（コンピュータ）で構成されている場合のハードウェア構成を示したが、これに限られず、解析装置１０は複数台の情報処理装置で構成されていても良い。

本発明は、具体的に開示された上記の実施形態に限定されるものではなく、特許請求の範囲から逸脱することなく、種々の変形や変更が可能である。

１０解析装置
１０１データ入力部
１０２繰り返し制御部
１０３パラメータ更新部
１０４時空間内外挿計算部
１０５データ出力部
２０１入力装置
２０２表示装置
２０３外部Ｉ／Ｆ
２０３ａ記録媒体
２０４ＲＡＭ
２０５ＲＯＭ
２０６ＣＰＵ
２０７通信Ｉ／Ｆ
２０８補助記憶装置
２０９バス

Claims

空間的な位置を表す第１のモードと時間を表す第２のモードとが少なくとも含まれるテンソル形式のデータＸと、該データＸの観測値及び欠損値を示す集合Ωと、因子行列Ｕとを入力する入力手段と、
空間自己回帰モデルを拡張した有向自己回帰モデルを表す第１の正則化関数と、自己回帰モデルを表す第２の正則化関数とが含まれる損失関数を最小化するように、前記因子行列Ｕと、前記有向自己回帰モデルの第１のパラメータと、前記自己回帰モデルの第２のパラメータとを更新する更新手段と、
前記更新手段により更新された前記因子行列Ｕと、前記第１のパラメータと、前記第２のパラメータとにより前記集合Ωの観測値及び欠損値を内挿及び外挿する内外挿手段と、
を有することを特徴とする解析装置。
前記第１の正則化関数は、前記有向自己回帰モデル又は前記空間自己回帰モデルのいずれかを表し、
前記更新手段は、
前記第１の正則化関数と前記第２の正則化関数とが含まれる損失関数を最小化するように、前記因子行列Ｕと、前記有向自己回帰モデル又は前記空間自己回帰モデルの第１のパラメータと、前記第２のパラメータとを更新する、ことを特徴とする請求項１に記載の解析装置。
前記内外挿手段は、
前記因子行列Ｕと前記第１のパラメータとによって前記第１のモードにおける前記集合Ωの欠損値を内挿した後、前記因子行列Ｕと前記第２のパラメータとによって前記第２のモードにおける前記集合Ωの観測値を外挿する、ことを特徴とする請求項１又は２に記載の解析装置。
空間的な位置を表す第１のモードと時間を表す第２のモードとが少なくとも含まれるテンソル形式のデータＸと、該データＸの観測値及び欠損値を示す集合Ωと、因子行列Ｕとを入力する入力手順と、
空間自己回帰モデルを拡張した有向自己回帰モデルを表す第１の正則化関数と、自己回帰モデルを表す第２の正則化関数とが含まれる損失関数を最小化するように、前記因子行列Ｕと、前記有向自己回帰モデルの第１のパラメータと、前記自己回帰モデルの第２のパラメータとを更新する更新手順と、
前記更新手順により更新された前記因子行列Ｕと、前記第１のパラメータと、前記第２のパラメータとにより前記集合Ωの観測値及び欠損値を内挿及び外挿する内外挿手順と、
をコンピュータが実行することを特徴とする解析方法。
コンピュータを、請求項１乃至３の何れか一項に記載の解析装置における各手段として機能させるためのプログラム。