JP2015521743A - テイラー分散の実施により粒子の混合物の粒径分布を決定する方法および関連するシステム - Google Patents

Abstract

テイラー分散を実施することにより粒子の混合物の粒径分布を決定する方法および関連するシステム。この方法は、試料をキャピラリ内に注入するステップ（１００）と、試料を、テイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件でキャピラリに沿って移送するステップ（１１０）と、テイラー分散に特徴的な信号を生成するステップ（１２０）と、信号を処理して、実験テイラー信号【数１】を得るステップ（１３０）と、実験テイラー信号【数２】を解析するステップ（２００）とを含む。解析ステップは、振幅分布Ｐ（Ｇ（Ｃ））に従わなければならない制約と関連する少なくとも１つの制約項を含む費用関数Ｈαを最小化する制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより、実験テイラー信号【数３】をガウス関数の和に分解することを可能にする振幅分布Ｐ（Ｇ（ｃ））を求め、上記の最小化は、ガウス振幅関数Ｐ（Ｇ（ｃ））に特徴的なパラメータＧ（ｃ）の値の関心のある間隔について実行される。

Description

本発明は、テイラー分散の実施により粒子の混合物の粒径分布を決定する方法および関連するシステムに関し、この方法および関連するシステムは、以下のステップを含む。
分析対象の混合物の試料を、溶離剤が流れているキャピラリに注入するステップ、
注入した試料を、検出部分のレベルで測定可能なテイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件で、キャピラリに沿って注入部分から検出部分まで移送するステップ、
検出部分を含む最適なセンサにより、移送された試料のテイラー分散に特徴的な信号を生成するステップ、
検出信号を取得して、実験テイラー信号を得るステップ、
実験テイラー信号を解析するステップ。

以下、「粒子」という用語は、溶液中の任意の分子、および／または混合物中に懸濁する粒子を指す。

本明細書では、１つの種は、例えば同じ流体力学的レイなど同じサイズを特徴とする全ての粒子を含む。したがって、１つの種は「粒子サイズ」値と関連付けられる。

本分野では、テイラー信号の「デコンボルーション（解析）」という用語は、混合物を構成する各種の流体力学的レイの決定およびこれらの各種の濃度の決定をする実験テイラー信号の処理を指す。

国際公開第２０１０／００９９０７Ａ１号パンフレットとして公開された国際出願には、その解析ステップにおいて、実験テイラー信号の様々なデコンボルーションアルゴリズムを実施する、前述のタイプの方法が開示されている。ただし、これらのアルゴリズムは、２成分混合物、すなわち２種類の種の混合物という特殊な場合にしか使用することができない。したがって、これらの既知のアルゴリズムでは、どのような所望の試料でも解析できるわけではなく、２種類の種を混合したものであることが予め分かっている試料しか解析することができない。

実際に、任意の所与の種の混合物の試料の実験テイラー信号をデコンボルーションするという一般問題を解くことは不可能であると、現在は考えられている。

国際公開第２０１０／００９９０７Ａ１号

したがって、本発明は、特に、任意の所与の混合物の試料の実験テイラー信号のリアルタイム解析を行う方法を提案することで、この問題を緩和しようとするものである。

この目的のために、本発明は、分子または粒子種の混合物の粒径分布を決定する方法であって、
解析対象の前記混合物の試料を、溶離剤が流れているキャピラリ内に注入するステップと、
注入した前記試料を、検出部分のレベルで測定可能なテイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件で、前記キャピラリに沿って注入部分から前記検出部分に移送するステップと、
前記検出部分を含む最適なセンサにより、前記移送した試料のテイラー分散に特徴的な信号を生成するステップと、
前記検出信号を処理して、実験テイラー信号

を得るステップと、
前記実験テイラー信号

を解析するステップとを含み、
前記混合物の試料の実験テイラー信号

を解析する前記ステップが、前記実験テイラー信号

を方程式

によってガウス関数の和に分解することを可能にする振幅分布Ｐ（Ｇ_（ｃ））を探索する。
ここで、ｔは、前記実験テイラー信号が依存する変数であり、ｔ_０は、前記実験テイラー信号

のピークに対応する、前記様々なガウス関数に共通の変数ｔの値であり、
Ｇ_（ｃ）は、ガウス振幅関数Ｐ（Ｇ_（ｃ））の特徴パラメータであり、
ｃ＝１の場合には、関係式

に従って種の拡散係数Ｄと関連し、
ｃ＝−１の場合には、関係式

に従って種の流体力学的レイＲ_ｈと関連し、
ｃ＝−１／ｄ_ｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、関係式

に従って種のモル質量Ｍと関係する。
ここで、ｋ_Ｂは、ボルツマン定数であり、Ｔは、実験が行われるケルビンで表現される絶対温度であり、ηは、使用する前記溶離剤の粘度であり、Ｒ_ｃは、使用する前記キャピラリの内部レイであり、Ｎ_ａは、アボガドロ数であり、Ｋおよびａは、マルク・ホウインク係数であり、
前記探索が、前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ_（Ｃ））に従わなければならない制約と関連する少なくとも１つの制約項を含む費用関数Ｈ_αを最小化する制約付き正則化アルゴリズムの実施により行われ、前記最小化が、前記パラメータＧ_（ｃ）の値の関心のある間隔について実行される。

特定の実施形態によれば、この方法は、以下の特徴のうちの１つまたは複数を、単独で、または技術的に可能な全ての組合せで含む。
前記方程式が、前記パラメータＧ_（ｃ）の値の間隔を細分することによって離散化され、各離散点Ｇ_ｍが、単位値と値Ｎとの間で変化する整数ｍで指標を付けられ、前記点Ｇ_ｍが、長さｃ_ｍの小間隔に対応する点Ｇ_ｍ−１からある距離にある。
前記費用関数が、
Ｈ_α＝χ^２＋α^２Δ^２
をとり、
第１項χ^２が、前記実験テイラー信号

と

で定義される再構築されたテイラー信号の間の距離項であり、
第２項Δ^２が、前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）に従わなければならない前記少なくとも１つの制約と関連する制約項であり、前記第２項が、ラグランジュ係数αによって導入されて、前記費用関数Ｈ_αの前記第２項の寄与分を前記第１項に適応させることができる。
前記第１項χ^２が、

をとる「最小２乗」タイプの距離であり、
前記実験テイラー信号

および前記再構築された関数Ｓ’（ｔ）が、経時的にサンプリングされ、各試料が、単位値と値Ｌの間で変化する整数ｋで指標を付けられる。
前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）が従わなければならない前記少なくとも１つの制約が、

をとることが好ましい制約項Δ^２と関連する正則性制約である。
前記解析ステップが、前記費用関数Ｈ_α＝α０の最小値に対応する距離項χ^２の値が、ν＝Ｌ−Ｎをとることが好ましい統計誤差νより小さい値に近くなるように、前記ラグランジュ係数αの最適値α_０を決定するステップを含む。
前記パラメータＧ_（ｃ）の値の関心のある間隔が、最小値Ｇ_ｍｉｎおよび最大値Ｇ_ｍａｘによって範囲を定められるので、前記方法は、前記最小値および前記最大値の値を決定するステップを含む。
前記実験テイラー信号

と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を、関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ_０）によって構成要素に分解するステップを含み、前記分解ステップが、１次の構成要素Γ_１および２次の構成要素Γ_２を決定するように、前記変数（ｔ−ｔ_０）^２の２次多項式を曲線ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整することからなり、前記最小値Ｇ_ｍｉｎおよび前記最大値Ｇ_ｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式

および

を使用し、
βおよびγは、それぞれ対数正規分布のパラメータＧの対数の平均および標準偏差であり、その後、

および

を使用する。
前記関心のある間隔の前記最小値および前記最大値の値を決定する前記ステップが、実験的であり、
関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ_０）によって前記実験テイラー信号

と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を決定すること、
前記対数ｌｎ［ｓ（ｔ）］を計算すること、
前記変数ｘ＝（ｔ−ｔ_０）^２に対する導関数

を決定すること、
ａ_ｍｉｎ＝０．１、ａ_ｍａｘ＝３として、関係式

および

に従って前記導関数の極値に関係するパラメータτ_ｍｉｎおよびτ_ｍａｘの値を決定すること、ならびに
ｃ＝１の場合には、方程式

を使用し、
ｃ＝−１の場合には、方程式

を使用し、
ｃ＝−１／ｄ_ｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、方程式

を使用して、前記最小値Ｇ_ｍｉｎおよび前記最大値Ｇ_ｍａｘを決定する。
前記実験テイラー信号に基づくパラメータＧ_（１）のＴにおける平均＜Ｇ＞_Ｔおよび／または前記分解に基づくパラメータＧ_（１）のΓにおける平均＜Ｇ＞_Γを測定するステップを含み、各平均を、前記方程式の解である振幅分布Ｐ（Ｇ_（１））が従わなければならない制約で使用することができる。
前記最小値Ｇ_ｍｉｎおよび前記最大値Ｇ_ｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式

および

を使用し、次いで

および

を使用する。

また、本発明は、コンピュータによって実行されたときに、上述の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するための命令を含むデータ記憶媒体にも関する。

最後に、本発明は、コンピュータを含む、分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定するシステムであって、前記コンピュータが、上述の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するようにプログラムされるシステムに関する。

本発明のその他の特徴および利点は、例示を目的として与える以下の詳細な説明を、添付の図面を参照して読めば、明らかになるであろう。

粒子混合物の粒径分布を決定するシステムを示す概略図である。 図１のシステムによって実施される粒子混合物の粒径分布を決定する方法を示す概略ブロック図である。 合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、３つの反復する実験テイラー信号の総計を示す図である。 合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、図２の方法を実施することによって得られる流体力学的レイ分布を、合成高分子試料の供給元から提供される、排除クロマトグラフィによって得られる分布と比較して示す図である。 合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、図２の方法によるテイラー信号の調整を示す図である。 合成高分子の２つの試料の等質量混合物の場合に図２の方法を実施した結果を示すグラフであり、図３の実験テイラー信号の構成要素への分解を示す図である。

実験装置
図１を参照すると、粒子の混合物のサイズを決定するシステム２は、テイラー分散現象を発生させ、実験テイラー信号を生成するのに適した実験装置３と、実験装置３から出力された実験テイラー信号を解析して、その試料が実験装置に注入されている粒子混合物の粒径分布をリアルタイムで決定するのに適した解析装置５とを含む。

実験装置３は、既知の通り、キャピラリ６を含む。

実験装置３は、キャピラリ６の一方の端部の近傍に注入部分７を含み、キャピラリ６の他方の端部の近傍に検出部分９を含む。

注入部分７は、解析対象の混合物の試料をキャピラリ６に注入する手段１１を含む。また、注入部分７は、溶離剤がキャピラリ６内を注入部分７から検出部分９まで流すことができる手段も含む。これらの流れ手段は、図１では、ブロック１３として概略的に示してある。

検出部分９は、光学的なものである。検出部分は、光源Ｓから発出された光線をキャピラリ６の狭い部分に収束させるのに適した光源Ｓおよび光学系１５を含む光学セルを備える。光学系１５の光軸に沿って、ただしキャピラリ６の照射側の反対側に、セルは、キャピラリ６を通過した光を収集し、収集した光に対応する検出信号を生成するのに適したＣＣＤ、ダイオード・アレイまたは光電子増倍管センサ１７を含む。センサ１７は、センサ１７が生成した検出信号を前処理してダイジェスト化する電子カード１９に電気的に接続される。カード１９は、時間依存性のデジタル測定信号を出力する。この測定信号を、「実験テイラー信号」またはテイラーグラムと呼ぶ。以下、実験テイラー信号は、

と表す。

実験テイラー信号

は、所定の時間的頻度でサンプリングされるが、サンプリング点ｔ_ｋ（ｋ＝１、…、Ｌ）は、一定間隔である。したがって、実験テイラー信号

は、一群のＬ対のデータ（ｔ_ｋ、

）からなる。

１つの変形形態では、検出部分は、例えば質量分析、蛍光（適用可能であればレーザ誘起蛍光）、電気化学または光の拡散を用いる導電率検出器、あるいはさらに一般的に、キャピラリ電気泳動に使用される任意のタイプの検出器など、別のタイプのものであってもよい。特に、テイラー信号は、時間信号（細いセンサの前でテイラー・ピークをスクロールする）でなく、空間信号（幅広のセンサの前でテイラー・ピークを瞬間的に捉える）であってもよい。この場合には、変数ｔは時間を表すのではなく、キャピラリに沿った位置を表す。

解析装置５は、実験装置３の電子カード１９が接続された入出力インタフェース２１を含むコンピュータからなる。

このコンピュータは、ＲＡＭおよび／またはＲＯＭなどのメモリ２３と、マイクロプロセッサなどの処理ユニット２５とをさらに含む。また、このコンピュータは、図１に番号２７で示す、人間／機械インタフェース手段も含む。人間／機械インタフェース手段としては、例えば、ユーザがコンピュータ５と対話することを可能にするタッチ・スクリーンなどが挙げられる。コンピュータの全ての構成要素は、例えばデータ交換バスを用いるなど、既知の方法で相互接続される。

実験テイラー信号

は、ソフトウェア・アプリケーションによって処理され、ソフトウェア・アプリケーションの命令は、メモリ２３に格納され、処理ユニット２５によって実行される。このソフトウェアは、図１には、ブロック３１で概略的に示してある。

テイラー信号のモデル化
既知の方法では、（ｉ）信号のピークのレベルにおける分散に対するキャピラリ６に沿った拡散の寄与は無視することができ、（ｉｉ）キャピラリ６への試料の注入時間は十分に短く（通常、注入する体積はキャピラリの容積の１％未満）、（ｉｉｉ）検出装置は、分子の質量に対して感度があると仮定すると、単分散試料、すなわち１種類の種しか含まず、したがって流体力学的レイ値Ｒ_ｈまたは拡散係数Ｄで特徴付けられる試料の実テイラー信号Ｓ（ｔ）は、次のガウス関数でモデル化される。

ここで、
Ｃは、計器定数、
Ｍは、種のモル質量、
ρは、種のモル濃度、
Ｒ_ｃは、キャピラリの内部レイ、
ｔ_０は、テイラー信号のピークに対応する瞬間、
Ｂは、測定アーチファクトを構成するオフセットである（以下では、この項は、制約付き正則化方法で考慮されるので、分かりやすくするために省略する）。

なお、仮定（ｉｉｉ）は、検出部分で使用するセンサの性質に依存すること、および別のタイプのセンサを使用すれば、当業者には既知の形で本明細書に示す数式が変化することを強調しておく。

多分散試料、すなわち複数の種を含む試料の実テイラー信号Ｓ（ｔ）は、各種の寄与の合計としてモデル化される。したがって、種の連続体を含む混合物を仮定すると、数式（１）は、以下のようにガウス関数の連続和として一般化される。

数式（２）では、ガウス関数は、全て、同じ参照時間ｔ_０を中心とする。

パラメータ

を導入して、数式（２）を、

のようにする。Ｐ（Ｇ）は、以下、パラメータＧのガウス関数の「振幅分布」と呼ぶ。

パラメータＧの値は、拡散係数Ｄを介して、種と関連する。例えば、ストークス・アインシュタイン・サザーランドの式では、パラメータＧの値と、流体力学的レイ値Ｒ_ｈによって特徴付けられる種とを、

として関連付けることができる。ここで、
ｋ_Ｂは、ボルツマン定数、
Ｔは、実験を行う絶対温度（単位ケルビン）、
ηは、使用する溶離剤の粘度である。

したがって、数式（３）において、各ガウス関数

は、実テイラー信号Ｓ（ｔ）の全振幅に対する、１つの種の寄与を表す。各ガウス関数の振幅Ｐ（Ｇ）は、混合物中の対応する種の濃度に直接依存する。

ソフトウェア３１の機能は、実テイラー信号Ｓ（ｔ）を実験テイラー信号

で置換したときの数式（３）に対応する以下の数式の解である分布Ｐ（Ｇ）を決定することである。

実験装置によって生じる測定誤差
あらゆる測定装置と同様に、検出部分９でも系統的測定誤差が生じるので、実験テイラー信号

は、実テイラー信号Ｓ（ｔ）と完全には等しくならない。

数式（５）を解くと、それぞれが測定誤差の解となるいくつかの分布が決定される。換言すれば、数式（５）を解くと、実験テイラー信号

に合わせて調節された再構築されたテイラー信号

の和をそれぞれ生じる、ガウス関数のいくつかのファミリが特定される。この調整の基準は、検出部分によって生じる測定誤差を考慮している。

ただし、数式（５）の解となる様々な分布Ｐ（Ｇ）のうち、物理的重要性を有するのは一部のみである。ソフトウェア３１が決定するのに適しているのは、このような「物理的」解である。

物理的に重要な分布を決定する方法
この問題を解消するために、ソフトウェア３１は、制約付き正則化方法を実施するアルゴリズムを使用する。

このアルゴリズムは、数式（５）のパラメータＧに関する離散化によって得られる以下の数式に基づく。

ここで、所定の最小値Ｇ_ｍｉｎ＝Ｇ_０と最大値Ｇ_ｍａｘ＝Ｇ_Ｎの間のパラメータＧの関心のある値の間隔は、整数ｍで識別される長さｃ_ｍのＮ個の小間隔に細分される。好ましくは、これらの様々な小間隔は、同じ長さ

を有する。

限界は、数式（６）が離散化される間隔が分布Ｐ（Ｇ）がニルにならない間隔を超えるように設定される。したがって、Ｐ（Ｇ_１）＝Ｐ（Ｇ_Ｎ）＝０である。

数式（６）の未知数は、全ての振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）（ｍ＝１、…、Ｎ）からなる。

原則として、数式（６）の解は、再構築したテイラー信号

によって実験テイラー信号

を調整するプロセスによって得られる。すなわち、任意の時間ｔ_ｋについて、Ｓ’（ｔ_ｋ）は、可能な限り

に近くなければならない。

しかし、物理的に重要で確固たる結果を得るためには、調整プロセス中に、振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）に関する入手できる全ての情報を考慮して、物理的に許容可能でない全ての解を排除するようにすることが必要である。

この目的のために、制約付き正則化アルゴリズムは、Ｎ個の未知のＰ（Ｇ_ｍ）に依存する費用関数を最小限に抑え、振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）に関する入手できる情報を制約に変換することによって、数式（６）を解く。

本実施形態では、費用関数Ｈ_αは、以下の形態をとる。
Ｈ_α＝χ^２＋αΔ^２ （７）

この数式は、「実験テイラー信号

と再構築したテイラー信号Ｓ’（ｔ_ｋ）の間の距離」に対応する第１項χ^２を含む。

例えば、この第１項は、「最小２乗」タイプの距離である。

別の距離測度を使用することもできる。特に、前述の和において、瞬間ｔ_ｋにおける測定値に影響を及ぼすノイズに反比例する係数ｗ_ｋで各項に重み付けする距離測度を使用することもできる。

費用関数Ｈ_αは、制約項と呼ばれる、物理的重要性のない振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）をペナライズする制約を表す第２項Δ^２を含む。

例えば、

である。

この例では、制約項は、分布Ｐ（Ｇ）の２次導関数の２乗した項の和に対応する。この制約項は、正則性制約に変換される。近傍の振幅Ｐ（Ｇ_ｍ−１）またはＰ（Ｇ_ｍ＋１）に対して変化が速すぎる振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）は、したがってペナライズされる。

正則性制約の別の例は、以下である。

この制約項は、分布Ｐ（Ｇ）の３次導関数の２乗した項の和に対応する。ｎ次導関数（ｎ≧１）に基づく正則性制約への一般化は直接的であり、当業者なら行うことができる。

以下、使用する正則性制約は、数式（９）の分布Ｐ（Ｇ）の２次導関数のものとする。

費用関数Ｈ_αの第１項および第２項は、ラグランジュ係数である係数αの値を選択することによって適合させることができる相対寄与を有する。この係数は、距離項に対する制約項のサイズを検証するものである。αが非常に小さい場合には、制約項は無視することができる。この場合には、費用関数を最小化すると、実験データに合わせた単純な調整と同じ結果が得られる。一方、αの値が大きすぎる場合には、有意な費用がＰ（Ｇ）への制約に割り当てられ、このアルゴリズムは、実験データに適切に当てはまらない解を維持する危険性はあるが、制約に従わない解を排除することになる。

追加的等式または不等式あるいはＰ（Ｇ_ｍ）１次不等式の形で表現することができる追加的制約は、費用関数の最小値を探索する間に、Ｐ（Ｇ_ｍ）の空間に特有の小領域に探索を限定することによって、直接課される。

例えば、振幅は正である、すなわちＰ（Ｇ_ｍ）≧０、∀ｍであるという制約は、正の振幅の半空間のみで費用関数を最小にすることによって課される。

例えば、パラメータＧの平均＜Ｇ＞の値が決定されている場合には、数式（６）の解である振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）に対する追加的制約は、それらの振幅によって、偏差εにおいて予め決定された平均＜Ｇ＞を決定することができるというものである。この制約は、Ｐ（Ｇ_ｍ）１次不等式の形でも表現される。

例えば、ε／＜Ｇ＞＝５％である。

数式１２は、算術平均以外の種類の平均に容易に一般化することができる。

例えば、以下で導入する平均＜Ｇ＞_Ｔおよび＜Ｇ＞_Γなどである。

重要な点は、数式７における費用関数Ｈ_αの係数αの選択である。係数αの選択には、２つの方法をとることができる。

第１の方法は、距離項χ^２が、測定誤差および制約付き正則化プロセスの自由度の数に依存する統計的に予想される値を超えないように、大きい方のαの値を選択する。したがって、各実験点について、測定誤差の標準偏差σ_ｋが既知である場合には、αは、距離項χ^２の正規化値

が自由度の数ν＝Ｌ−Ｎを超えないように選択される。ここで、

は、以下の数式で与えられる。

ノイズの標準偏差σ_ｋが既知でない場合には、その推定値σ_ｅｓｔを、実験データと、制約を考慮しない場合に可能な最良の調整結果、すなわちα＝０で得られる結果との間の平均偏差に基づいて決定することができる。すなわち、

である。ここで、Ｓ’（ｔ_ｋ）（α＝０）は、費用関数Ｈ_α＝０の第１項のみを最小にすることによって得られる振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）に基づいて再構築されたテイラー信号のｋ番目の点の値である。

ノイズが推定されたら、数式１２のσ_ｋをσ_ｅｓｔで置換することによって計算される距離項χ^２の正規化値

が自由度の数ν＝Ｌ−Ｎを超えないように、αが選択される。

第２の方法は、距離項と制約項に等しい重みを与えるαの値を選択する。

この場合には、保持されるパラメータαは、制約関数Ｈ_αが最小化された後で、その結果がχ^２＝αΔ^２となるようなαである。

実際には、αの選択は、係数αの値の大きな範囲を走査することによって行われる。αの各値について、費用関数Ｈ_αを最小にする全ての振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）が決定される。

、Ｈ_αおよびＰ（Ｇ_ｍ）の対応する値を、記録する。これらの全ての試行の中で、

となるように最大の値を有するラグランジュ係数α_０が、最終的に保持される。

デジタル探索の効率を向上させるために、最初に大きなステップを有する試行グリッドでαの値を走査し、その後、より精細なグリッドを用いてαの値を精錬する。

実験テイラー信号からの＜Ｇ＞_Ｔおよび＜Ｇ＞_Γの決定
以下、実験テイラー信号から直接得ることができる、Ｇの２つの平均を提示する。

パラメータＧのＴ平均は、

と定義され、パラメータＧのΓ平均は、

と定義される。ここで、ｃ_ｍは、数式（６）に関連して定義したものである。

これらの平均を決定することの目的は、２つある。
これにより、数式（６）を解く間に、振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）に対する制約を追加することができる。
これにより、分布Ｐ（Ｇ）の平均および幅を推定することができる。この情報は、それ自体が興味深いだけでなく、数式（６）の解を探す際に頼りにすることができるパラメータＧの値の間隔を決定することを可能にする。

＜Ｇ＞_Ｔは、実験テイラー信号の時間的分散に基づいて計算することができ、＜Ｇ＞_Γは、以下に述べる累積的手法に基づいて計算することができる。

実験テイラー信号の時間的分散に基づく＜Ｇ＞_Ｔの決定
これは、以下のように示される。

したがって、パラメータＧのＴ平均は、実験テイラー信号を積分することによって得られる。

とすると、パラメータＧのＴ平均は、以下で与えられる。

実験テイラー信号の分解に基づく＜Ｇ＞_Γの決定
この項では、中程度に多分散した試料の場合の実験テイラー信号の分解について述べる。

粒径分布は離散的であると仮定する。すると、数式（２）は、以下のようになる。

ここで、ρ_ｉは、混合物中のｉ番目の種のモル濃度であり、Ｍ_ｉおよびＤ_ｉは、それぞれそのモル質量および拡散係数である。

ここで、

を導入することによって、テイラー信号をそのピークの高さに対して「正規化」すると有用である。ここで、

であり、また、

は、テイラー信号中のｉ番目の種の相対寄与である。なお、ｆ_ｉは、ｉ番目の種の拡散係数に依存することに留意されたい。

パラメータＧのΓ平均は、以下のように表される。

＜δＧ＞_Γ＝０としてＧ_ｉ＝＜Ｇ＞_Γ＋δＧ_ｉと仮定することにより、数式（１９）は以下のようになる。

これは、ガウス関数と補正項の積である。

（ｔ−ｔ_０）^２δＧ_ｉ＜＜１の場合には、すなわちテイラー信号のピーク付近では、数式（２１）の第２項を制限展開すると、以下のようになる。

これは、数式（２１）において

および

を用いると、

となる。

粒径分布が広すぎない場合には（すなわちわずかに多分散した試料の場合には）、正規化テイラー信号ｓ（ｔ）をガウス関数（単分散試料の場合と同様）と補正項（多分散試料の場合の偏差を考慮に入れるためのもの）の和として表すことができる。

数式（２３）の対数をとり、新たな制限展開を行うと、以下の数式が得られる。

数式（２４）は、所望のキュムラント展開である。係数Γ_１＝＜Ｇ＞_ΓおよびΓ_２＝＜δＧ^２＞_Γは、この展開の１次および２次のキュムラントである。

これらは、変数（ｔ−ｔ_０）^２の２次多項式を関数ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整することによって得ることができる。

第１のキュムラントから、拡散係数のΓ平均も得られる。

拡散係数Ｄが異なるパワーに現れるので、Γ平均は、前述のＴ平均とは異なる。これらの２つの平均は、分布Ｐ（Ｇ）について異なる情報を含む。これらの平均により、費用関数における２つの制約の追加を最小限に抑えることができる。

第２のキュムラントは、拡散係数の分布の分散のΓ平均と関連付けられ、試料の多分散性の推定値を与える。さらに詳細には、第２のキュムラントを第１のキュムラントの２乗で割った比は、以下のようになる。

解を求めるためのパラメータＧ値の間隔の選択
制約付き正則化調整手順では、分布Ｐ（Ｇ）を求めるための値Ｇの間隔の選択は、重要な要素である。

実際に、数式（６）の離散化に使用される点の数Ｎは、あまり大きくてはならない。大きすぎると、調整のための計算時間が長くなりすぎるからである。

さらに、Ｎは、実験テイラー信号のデジタル化点の数Ｌよりかなり小さくなければならない。

代表的なＮの値は、５０〜２００の範囲である。

これらの考慮事項から、間隔［Ｇ_ｍｉｎ、Ｇ_ｍａｘ］（Ｇ_ｍｉｎ＝Ｇ_０、およびＧ_ｍａｘ＝Ｇ_Ｎ）は、慎重に選択しなければならないことが分かる。

ただし、分布Ｐ（Ｇ）の切捨てによるアーチファクトを回避するために、分布の間隔［Ｇ_ｍｉｎ、Ｇ_ｍａｘ］は、分布Ｐ（Ｇ）がニルにならない間隔より大きくなければならない。

さらに、分布Ｐ（Ｇ）がニルにならない間隔が、間隔［Ｇ_ｍｉｎ、Ｇ_ｍａｘ］の小間隔で狭すぎる場合には、離散化中に分布Ｐ（Ｇ）の詳細が十分に決定されない。

また、Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘの決定を可能にする自動手続きを定義して、ユーザが間隔の限界を選択し、一連の試行錯誤を回避するのに時間を無駄にしないようにすることも重要である。

発明者等は、Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘを決定するための可能な手法を３つ提案する。最初の２つの手法は、等価対数正規分布の計算に基づくものであり、第３の手法は、実験的なものであり、キュムラントへの分解に使用される同じ軸系の（ｔ−ｔ_０）^２に依存するｌｎ［Ｓ（ｔ）］の表現に基づくものである。

対数正規分布に基づく間隔の決定
等価対数正規分布
対数正規分布は、高分子または粒子の試料の粒径分布を高い精度で記述することができることが多い。

ここで、
ＰＤＦ（Ｇ）は、試料の粒子がＧとＧ＋ｄＧの間のＧ値を有する確率密度であり、
βおよびγは、それぞれ、パラメータＧの対数ｌｎＧの平均および標準偏差である。

対数正規分布は、複雑な混合物には適さないモデルであることもあるが、任意の混合物の等価対数正規分布を決定することは、数式（６）の解である分布Ｐ（Ｇ）を求めるためのパラメータＧの値の間隔を推定するのに有用である。

確率密度ＰＤＧ（Ｇ）は、パラメータβおよびγのみに依存する。これら２つのパラメータは、＜Ｇ＞_Ｔおよび＜Ｇ＞_Γから決定することができる。

その定義は、以下の通りである。

数式（２８）および（２９）に数式（２７）を代入すると、以下が得られる。

また、以下の関係に従って、１次および２次のキュムラントから等価対数正規分布を得ることもできる。

結論として、数式（３０）および（３１）に従って＜Ｇ＞_Ｔおよび＜Ｇ＞_Γから、または数式（３２）および（３３）に従ってΓ_１およびΓ_２から、対数正規分布を決定することができる。

等価対数正規分布に基づく間隔の限界の計算
Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘは、分布Ｐ（Ｇ）を等価対数正規分布で置換することによって推定することができる。

目的は、間隔［Ｇ_ｍｉｎ、Ｇ_ｍａｘ］が、実験テイラー信号と等価な対数正規分布のかなりの部分をカバーすることである。この分布のこの部分は、以下によって得られる。
ΔＱ_Ｇ＝Ｑ_Ｇ（Ｇ_ｍａｘ）−Ｑ_Ｇ（Ｇ_ｍｉｎ） （３２）
ここで、Ｑ_Ｇ（Ｇ）は、

によって定義される累積確率である。

さらに、間隔［Ｑ_Ｇ（Ｇ_ｍｉｎ）、Ｑ_Ｇ（Ｇ_ｍａｘ）］が、中間値Ｑ_Ｇ＝１／２に対して対称的に分布することが好ましい。したがって、以下のようになる。
Ｑ_Ｇ（Ｇ_ｍｉｎ）＝１−Ｑ_Ｇ（Ｇ_ｍａｘ） （３４）

このように仮定した状況では、数式（３６）は、以下を生じる。

ここで、ｅｒｆは、当業者には既知の誤差関数である。

これにより、以下が得られる。

、すなわち

；

また、

、すなわち

；

ここで、ｋ＝ｅｒｆ^−１（ΔＱ_Ｇ）であり、ｅｒｆ^−１は、逆誤差関数である。

例えば、ΔＱ_Ｇ＝９９．５３％である場合には、ｋ＝２であり、ΔＱ_Ｇ＝９９．９９８％である場合には、ｋ＝３である。

キュムラントへの分解に基づく間隔の実験的決定
簡潔にするために、ｘ＝（ｔ−ｔ_０）^２という表現を使用する。

単分散試料では、ｘの関数としてのｌｎ［ｓ（ｔ）］は直線であり、その勾配が、試料の種の拡散係数を与える。すなわち、

となる。

したがって、∂ｌｎｓ／∂ｘは、ｘに依存しない、すなわち、時間依存性ではない。

一方、多分散試料では、ｘに依存する曲線ｌｎ［ｓ（ｔ）］は、導関数∂ｌｎｓ／∂ｘを決定することによって計算される湾曲を有する。これは、パラメータＧに比例する。

数式（４０）に基づいて、小さな拡散係数を有する種が小さなＧ値に対応し、したがってテイラー信号のわずかな経時的な減少に対応するので、Ｇ_ｍｉｎがｌｎｓ（絶対値）の局所勾配の最小値と関連付けられると仮定する。したがって、以下のように仮定する。

ここで、｜∂ｌｎｓ／∂ｘ｜の最小値は、実験的に決定されるｘの適応後の間隔に基づいて求められ、ｂ_ｍｉｎは、やはり実験的に決定される数値係数である。

あらゆる種類の試料の多数のテイラー信号を研究することにより、発明者等は、ｘの適当な間隔は、その間に信号ｓ（ｔ）が２桁減少する間隔であることを発見した。これは、ｓ（ｔ_１）＝Ｓ（ｔ_１）／Ｓ（ｔ_０）＝０．０１となるように、ｓ（ｔ）のピークに対応する時間ｔ_０と時間ｔ_１の間の時間間隔に対応する。

同様に、

と考えられる。ここで、｜∂ｌｎｓ／∂ｘ｜の最大値は、ｘの同じ間隔に基づいて求められる。

実験テイラー信号の解析では、ｓ（ｔ）の特徴的な減少時間を推定すると、より簡単である。減少時間をτ＝Ｇ^−１／２と定義すると、最小減少時間および最大減少時間は、前述の関係に基づいて、以下のように定義される。

あらゆる種類の試料の多数のテイラー信号を研究することにより、発明者等は、パラメータａ_ｍｉｎおよびａ_ｍａｘの以下の値が、所望の最小値および最大値を定めることができることを発見した。
ａ_ｍｉｎ＝０．１；ａ_ｍａｘ＝３、すなわちｂ_ｍｉｎ＝１／９；ｂ_ｍａｘ＝１００ （４３）

最後に、データを調整するために使用される値Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘは、以下のように計算される。

パラメータＧに従う分布に基づくパラメータＤ、Ｒ_ｈまたはＭに従う分布の計算
振幅Ｐ（Ｇ）の分布が得られたら、拡散係数Ｄに従う振幅Ｐ_Ｄ（Ｄ）の分布を容易に計算することができる。

以下の数式は、確率変数ｙの確率分布Ｐ_ｙを確率変数ｘの確率分布Ｐ_ｘに関連付けるものである。ここで、ｘはｙの関数である。

ここで、

とすると、以下が得られる。

この式では、分布Ｐ（Ｇ）が必ずしも正規化されていないので、文語に整数を導入した。

試料の多分散性は、第１の流体力学的レイＲ_ｈまたはモル質量Ｍのパラメータに従う振幅分布に関して表現することが望ましいことが多い。

これら２つの分布は、数式（４６）および以下の変換規則を用いて、分布Ｐ（Ｇ）に基づいて計算することができる。

数式（４８）は、ストークス・アインシュタインの関係

を使用する。ここで、ｋ_Ｂは、ボルツマン定数、Ｔは、絶対温度、ηは、溶離剤の粘度である。

数式（４９）は、希釈懸濁液の粘度のアインシュタイン方程式、および固有粘度［η］を以下の関係に従ってモル質量と関連付けるマルク・ホウインク方程式を使用する。
［η］＝ＫＭ^ａ （５０）
ここで、Ｋおよびａは、マルク・ホウインク係数である。

流体力学的レイをモル質量の関数とし与える以下の関係を使用することもできる。

ここで、Ｎ_ａは、アボガドロ数であり、ｄ_ｆ＝３／（１＋ａ）は、物体のフラクタル次元である（例えば、通常の小型の物体ではｄ_ｆ＝３、統計的高分子では２、良溶媒中の高分子では５／３である）。

数式（４８）および（４９）は、ＧがそれぞれＲ_ｈおよびＭにおいて非線形であり、Ｇが単純にＤに比例することを示す。

この非線形性により、数式（６）の解として特定されるパラメータＧに従う分布の変換により、費用関数の制約、特に正則性制約に必ずしも従わないパラメータＲ_ｈまたはパラメータＭに従う分布が得られる。ほとんどの場合には、この変換により、実際には、パラメータＲ_ｈまたはパラメータＭに従う分布に非物理的なピークまたは信号が生じる。

これは、上記で詳細に述べた方法の変形形態において、この方法が、制約付き正則化によって、１つまたは複数の制約に従い、かつ実験データの正しい再現を可能にするパラメータＲ_ｈまたはパラメータＭに従う分布を直接求めるからである。

この目的のために、実験テイラー信号は、適応後のパラメータのガウシアンのファミリに基づいて分解する。すなわち、数式（５）は、したがって、以下の形に一般化される。

ここで、以下の３つの場合を考慮している。
（１）ｃ＝１：Ｄに従う振幅分布を求めるときに使用する。
（２）ｃ＝−１：Ｒ_ｈに従う振幅分布を求めるときに使用する。
（３）ｃ＝−／ｄ_ｆ＝−（１＋ａ）／３：Ｍに従う振幅分布を求めるときに使用する。
Ｐ_ｎｏｒｍ（Ｇ_（ｃ））は、適切に正規化された分布Ｐ（Ｇ_（ｃ））である。

（１）の場合には、Ｇ_（１）＝Ｇである。この場合、数式（５４）は、数式（５）になる。振幅Ｐ_Ｄ（Ｄ）は、以下の数式を用いて、振幅分布Ｐ（Ｇ_（１））に基づいて決定される。

（２）の場合には、

である。

制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより、振幅分布Ｐ（Ｇ_（−１））が決定される。この場合、分布Ｐ_Ｒ（Ｒ_ｈ）は、以下の関係に従ってＰ_ｎｏｒｍ（Ｇ_（−１））に基づいて決定される。

最後に、（３）の場合には、

である。

制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより、振幅分布Ｐ（Ｇ_{（−（１＋ａ）／３）}）が決定される。この場合、分布Ｐ_Ｍ（Ｍ）は、以下の関係に従ってＰ_ｎｏｒｍ（Ｇ_{（−（１＋ａ）／３）}）に基づいて決定される。

分布Ｐ（Ｇ_（ｃ））を求めるための間隔［Ｇ_{（ｃ）、ｍｉｎ}、Ｇ_{（ｃ）、ｍａｘ}］を選択する方法は、上述の方法と同様である。特に、τ_ｍｉｎおよびτ_ｍａｘは、数式（４３）および（４４）に従って計算される。最後に、値Ｇ_{（ｃ）、ｍｉｎ}、Ｇ_{（ｃ）、ｍａｘ}は、以下のように決定される。

試料の粒径分布を決定する方法
粒子の混合物の粒径分布を決定する方法について、図２を参照して述べる。

この方法は、実験装置３の注入部分７に解析対象の試料を注入する第１のステップ１００を含む。

次いで、ステップ１１０で、キャピラリ６内に溶離剤を導入して循環させる手段１３を起動した後で、注入した試料を、実験装置３の注入部分７から検出部分９に移送する。実験条件（溶離剤の性質、溶離剤の流速、注入部分を検出部分から分離する移送距離、温度、キャピラリの内部レイなど）は、検出部分９で検出可能なテイラー分散現象が起こるように適応させる。以下の実験例で、精密な実験条件を示す。

ステップ１２０で、溶離剤によって移送される試料が、検出部分９の光学セルを通過する。次いで、センサ１７が、試料中で起こるテイラー分散に特徴的な電気測定信号を生成する。

ステップ１３０で、センサ１７によって生成された検出信号を、電子カード１９が処理して、ダイジェスト実験テイラー信号

を送達する。

ステップ１４０で、コンピュータ５が、実験テイラー信号

を取得する。

次いで、ソフトウェア３１を実行することによって実験テイラー信号を解析して（ステップ２００）、粒径分布を決定する。ソフトウェア３１は、以下の基本ステップを実行する。

ステップ１４２で、第１の適応されたメニューをユーザに対して提示して、制約付き正則化方法を実行する際に従うパラメータをユーザが選択することができるようにする。したがって、ユーザは、拡散係数Ｄ（（１）の場合、ｃ＝１）、流体力学的レイ（（２）の場合、ｃ＝−１）、またはモル質量Ｍ（（３）の場合、ｃ＝−１／ｄ_ｆ）のいずれかを選択することができる。また、ユーザは、求める分布の離散化のための数Ｎを選択するように求められる。以下では、簡潔にするために、ユーザが、拡散係数Ｄを選択し、考慮するパラメータはパラメータＧであるものと仮定する。

ステップ１４４で、第２の適応されたメニューをユーザに対して提示して、数式（５）の解である分布を求める際に考慮する制約の数および性質をユーザが選択することができるようにする。選択されるものとして提案される制約としては、例えば、以下のようなものが挙げられる。
１．分布の正則性。
２．分布が全ての点で正である。
３．分布から、所定のＴ平均に指定の偏差をプラスまたはマイナスしたものが得られなければならない。
４．分布から、所定のΓ平均に指定の偏差をプラスまたはマイナスしたものが得られなければならない。

以下では、第１の制約は、費用関数のラグランジュ乗数によって実施され、その他の制約は、費用関数の極値を求める振幅分布Ｐ（Ｇ_ｍ）の空間を適切に制限することによって直接実施されるものと仮定する。

ステップ１４６で、実験テイラー信号

を、キュムラントに分解する。さらに詳細には、正規化テイラー信号

を最初に決定し、その後、その対数ｌｎ［ｓ（ｔ）］を計算する。最後に、変数（ｔ−ｔ_０）^２の２次多項式を、関数ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整する。次いで、１次および２次のキュムラントΓ_１およびΓ_２を決定する。Γ_１は、特に、パラメータＧのΓ平均の測定を可能にする。さらに、テイラー信号のＴ平均を測定する。

ステップ１４８で、分布を求めるパラメータＧの値の間隔の限界Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘを、数式（３２）および（３３）を用い、その後に数式（３８）および（３９）を用いて、ステップ１４８で得られた１次および２次のキュムラントΓ_１およびΓ_２の値に基づいて決定される等価対数正規分布に基づいて計算する。

ステップ１５０で、費用関数Ｈ_αを、ステップ１４４でユーザによって選択された第１の制約から展開する。選択された制約に関連する制約項は、コンピュータ５のメモリに格納される。

ステップ１５２で、ステップ１５４で決定される間隔Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘをＮ個の小間隔に細分することにより、費用関数Ｈ_αの離散表現を得る。

ステップ１５４で、一群の試験値中のラグランジュ係数αの各値について、費用関数Ｈ_αの最小値を決定する。振幅が正となり、所定の偏差を有する所定のＴ平均およびΓ平均を生じなければならない厳密な制約を考慮するために、費用関数の最小値は、これらの厳密な制約を満たす振幅Ｐ（Ｇ_ｍ）の適当な小空間でのみ求める。

ステップ１５６で、統計誤差νを決定し、ラグランジュ係数αの最適値α_０を、ステップ１５６でこの統計誤差νより小さい値で最も近い距離項χ^２を生じたラグランジュ係数の値を選択することによって決定する。

ステップ１５８で、求めた分布Ｐ（Ｇ）の一群は、ステップ１５６で決定したラグランジュ係数の最適値α_０の費用関数Ｈ_αを最小にする分布の一群である。

ステップ１６０で、混合物の粒子のサイズに関係する値を、ステップ１５８で得られた分布Ｐ（Ｇ）に基づいて計算する。

最後に、ステップ１６２で、適応変換のために、流体力学的レイまたはモル質量に従う分布を、ステップ１５８で得られた分布Ｐ（Ｇ）に基づいて計算する。

適用可能であれば、計算した様々な分布を、コンピュータ５のスクリーンに表示する。ソフトウェア３１は、計算した分布に対してユーザが所望の計算を行うことができるようにする「ツール」を含む。

ソフトウェア３１は、したがって、実験テイラー信号の解析の各ステップを実行するのに適した手段を含む。

１つの変形形態では、分布Ｐ（Ｇ）を求める間隔の限界Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘは、実験的に計算される。これは、正規化テイラー信号

を決定し、その対数を得、次いで導関数｜∂ｌｎｓ／∂ｘ｜を計算する。パラメータＧの関心のある間隔の限界は、数式（４３）および（４４）を用い、その後に数式（４６）および（４７）を用いて、最終的に推論する。

前述の変形形態とは無関係のさらに別の変形形態では、パラメータＧのＴ平均＜Ｇ＞_Ｔは、数式（１６）を用いて実験テイラー信号

を積分することによって計算し、パラメータＧのΓ平均＜Ｇ＞_Γは、実験テイラー信号のキュムラントへの分解によって生じる１次のキュムラントの決定に基づいて計算する。粒径分布を求める間隔の限界Ｇ_ｍｉｎおよびＧ_ｍａｘは、数式（３０）および（３１）と、数式（３８）および（３９）とに従って、パラメータＧのＴおよびΓに基づいて計算する。この変形形態の方法では、これらの平均のうちの一方または他方に基づく制約項を、費用関数に組み込むこともできる。

１つの試料の一連の実験テイラー信号の制約付き正則化解析
制約付き正則化による調整は、１つの混合物の一群の試料に対して同じ実験を繰り返すことによって得られるいくつかの実験テイラー信号を用いて有利に実施することができる。

繰り返すたびに独立して解析することができ、得られた振幅分布を平均することができるが、これらの様々な個別のテイラー信号を累積して、個別の各テイラー信号の実験点の合計に等しい、いくつかの実験点を含む１つの大域的テイラー信号にすると、より確実であることが分かっている。次いで、制約付き正則化アルゴリズムを適用することにより、この大域的テイラー信号に基づいて振幅分布を求める。

これにより、課される制約に最も厳密に従う振幅分布Ｐ（Ｇ）が得られる。例えば、分布Ｐ（Ｇ）は、より正則になる。また、これにより、個別のテイラー信号の取得に影響を及ぼす不確実性および不正確さも、考慮に入れることが可能になる。

この操作中に、参照時間ｔ_０が実験テイラー信号ごとに厳密には同じでない場合には、全ての実験テイラー信号が正確に同じ参照時間ｔ_０を有するように、時間座標を変換する。

処理の前に、基線の補正と、その後の各実験テイラー信号の正規化とが、必要になることもある。

ソフトウェア３１は、ユーザがこのようにして得られた大域的テイラー信号を解析する前にいくつかの実験テイラー信号を処理することができるようにするメニューを含む。

利点
上述の方法は、種の混合物の粒径分布と、その混合物中のそれらの種の濃度とを、解析する試料の多分散性がどのようなものであれ、すなわちこの試料に含まれる種の数およびそのそれぞれの濃度がどのようなものであれ、自動的に、かつリアルタイムで得ることを可能にする。

上述の装置および方法の適用分野としては、高分子、コロイド、ラテックス・ナノ材料、エマルジョン、リポソーム、ベシクルおよび分子または生体分子一般のサイズ特徴決定が挙げられる。１つの重要な適用分野は、薬品産業の蛋白質の安定性／劣化／凝集の研究である。

テイラー分散減少を用いた試料の特徴決定の利点は、当業者には既知である。すなわち、キャピラリに注入する試料の体積が小さいこと、実験装置の較正が不要であること、極めて簡単な実験装置を使用すること、数ナノメートル未満の粒子のサイズ測定に特に良く適応した技術であること、一般に質量濃度に感度のある信号であること、などである。

実験例
実験条件
バージン・シリコン・キャピラリ：Ｒ_ｃ＝５０μｍ、注入部分と検出部分の間の距離は３０ｃｍ。
温度：Ｔ＝２９３°Ｋ
溶離剤：ホウ酸ナトリウム緩衝液８０ｍＭ、ｐＨ９．２
溶離剤の粘度：η＝８．９ １０^−４Ｐａ．ｓ．
試料：ポリスチレンスルフォン酸（ＰＳＳ） ０．５ｇ／ｌ
注入：０．３ｐｓｉ（２０ｍｂａｒ）、９ｓ、すなわち注入体積は８ｎｌ（全キャピラリ容量は５８９ｎｌ）
波長２００ｎｍでＵＶ検出

注入する高分子標準物質の特徴
（１）ＰＳＳ１２９０ Ｍ_ｗ＝１２９０ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｐ＝１０９４ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｗ／Ｍ_ｎ＜１．２０
（２）ＰＳＳ５１９０ Ｍ_ｗ＝５１９０ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｐ＝５２８０ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｗ／Ｍ_ｎ＜１．２０
（３）ＰＳＳ２９０００ Ｍ_ｗ＝２９０００ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｐ＝２９５００ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｗ／Ｍ_ｎ＜１．２０
（４）ＰＳＳ１４８０００ Ｍ_ｗ＝１４５０００ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｐ＝１４８５００ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｗ／Ｍ_ｎ＜１．２０
（５）ＰＳＳ３３３０００ Ｍ_ｗ＝３３３０００ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｐ＝３３８０００ｇ／ｍｏｌ Ｍ_ｗ／Ｍ_ｎ＜１．２０
ここで、Ｍ_ｗは、平均モル重量質量、Ｍ_ｐは、クロマトグラフィ・ピークの頂点におけるモル質量、Ｍ_ｗ／Ｍ_ｎは、多分散指数である。平均モル質量および分布の特徴は、同じ化学的性質を有する高分子標準物質（ＰＳＳ）を用いて較正した排除クロマトグラフィによってそれらを決定した供給元から与えられたものである。

調査した高分子の実験テイラー信号
図３は、ＰＳＳ１２９０およびＰＳＳ２９０００の等質量混合物について得られる実験テイラー信号を示す図である。実際には、ここでは３つの実験テイラー信号を総計している。

さらに、実験テイラー信号の左側部分のみを示している。実際には、一般に、テイラーグラムは対称である。ただし、キャピラリ表面への吸着現象が起こる場合には、時間ｔ_０以降の時間に対応する信号の右側部分は、時間ｔ_０以前の時間に対応する信号の左側部分と正確に対称にはならないことがある。この場合には、データの処理を実験テイラー信号の左側部分に集中させることが好ましい。上述の方法では、信号の左側部分のみを考慮して、これらの起こりうる寄生現象の影響を制限しているので、有利である。

図４は、高分子の供給元から与えられるクロマトグラフィ方法によって得られる分布（ＳＥＣ）との比較で、前述の方法（ソフトウェア３１）によって得られる分布Ｐ_Ｒ（Ｒ_ｈ）を重畳して示す図である。図４では、供給元から与えられる流体力学的レイ分布とソフトウェア３１を実行することによって得られる分布の間に良好な一致が見られる。

図５Ａは、正規化実験テイラー信号

（Ｄａｔａ）と正規化再構築信号Ｓ’（ｔ）（Ｆｉｔ）の間の調整を示し、図５Ｂは、正規化実験テイラー信号

の対数（Ｄａｔａ）とキュムラント展開（Ｆｉｔ）の間の調整を示す図である。

結果の比較
表１は、拡散係数Ｄの様々な平均を示す表である。これらは、キュムラントへの分解によって直接得られた拡散係数Ｄの平均（Γ平均、第２列）、またはテイラーグラムを集積することによって得られた拡散係数Ｄの平均（Ｔ平均、第３列）と、それに対してソフトウェア３１を実行することによって得られた拡散係数Ｄの平均（Γ平均（第４列）およびＴ平均（第５列））である。なお、この例では、実験テイラー信号に基づいて直接測定された平均は、信号のデコンボルーション（解析）を制約するために使用せず、緩い正則性制約および厳密な正値性制約のみを使用する。

全体として、これらの結果は、良好な一貫性を示し、ソフトウェア３１は、Ｔ平均およびΓ平均（第４列および第５列）が実験値（第２列および第３列）に近い解をもたらす。

表２は、様々な提案される手法、すなわち実験的手法（第４列および第５列）、キュムラントΓ_１およびΓ_２（第２列および第３列）に基づくキュムラントへの分解（第６列および第７列）、ならびに拡散係数のＴ平均およびΓ平均を用いる手法（１次のキュムラントおよびテイラーグラムの集積に基づく第８列および第９列）に基づいて決定されるτ_ｍｉｎおよびτ_ｍａｘの値を示す表である。

τ_ｍｉｎおよびτ_ｍａｘの桁は、考慮する方法によらず非常に一致している。

表３は、キュムラントへの分解によって得られる平均流体力学的レイ値（Γ平均、第２列）、分布Ｐ（Ｇ）を決定した後でΓＴ集積を行うことによってソフトウェア３１を実行することによって得られる平均流体力学的レイ値（第３列および第６列）、当該の平均に続いて排除クロマトグラフィによる基準方法を行うことによって得られる平均流体力学的レイ値（第４列および第７列）、ならびに信号全体についてのテイラーグラムの直接集積によって得られる平均流体力学的レイ値（第５列）を比較する表である。同じ平均（一方では第２列から第４列、他方では第５列から第７列）について、結果は、考慮する全ての試料について一様である。

このことは、当該の平均の各グループで、全ての試料について高い一貫性を示す。

ピークの時間の決定
実験では、実験テイラー信号

のピークの時間ｔ_０は、測定ノイズにより正確には分からない。

ピークの時間

は、キュムラント解析、および制約付き正則化によって得られる粒径分布の決定の両方に影響を及ぼす。

さらに、キュムラント方法は、（ｔ−ｔ_０）→０の制限展開に基づく。実験の見地から、解析のための時間ｔの範囲は賢明に選択することが必要である。すなわち、非常に小さな間隔に制限すると、その結果は測定ノイズに大きな影響を受けることになる。一方、考慮する間隔が広すぎると、キュムラント方法で無視される高次の（ｔ−ｔ_０）項の寄与が有意になる。

ピーク時間ｔ_０、およびキュムラント解析に適した最適な時間範囲を決定するステップを、以下に示す。

第１のサブステップで、

が最大となる時間を考慮することによって、あるいは放物線関数またはガウス関数によって

のピークを調整することによって、ピーク時間の第１の推定値ｔ_{０、ｇｕｅｓｓ}を得る。

第２のサブステップで、試験するＮ個のピーク時間ｔ_０、ｉのリストを作成する。ここで、自然整数ｉは、１からＮの間で変化し、時間ｔ_０、ｉは、およそｔ_{０、ｇｕｅｓｓ}であり、一定の時間増分だけ等間隔に離間している。
ｔ_０、１＜ｔ_０、２＜…＜ｔ_０、Ｎ
ｔ_{０、ｉ＋１}＝ｔ_０、ｉ＋ｄｔ、および
ｔ_０、１＝ｔ_{０、ｇｕｅｓｓ}−Δｔ、ｔ_０、Ｎ＝ｔ_{０、ｇｕｅｓｓ}＋Δｔ
ここで、
ｄｔは、２つの連続する試験ピーク時間の間の時間増分であり、
Δｔは、典型的にはｔ_{０、ｇｕｅｓｓ}／５０程度の時間間隔である。

第３のサブステップで、試験する各ピーク時間ｔ_０、ｉごとに、長さの異なる様々な時間範囲を考慮して、一連のキュムラント解析を実行する。

時間範囲は、例えば、信号

のカットオフ・レベルである。例えば、カットオフ・レベルが０．１であれば、時間範囲ｔは、

となるように考慮する。各時間範囲における調整によって得られる第１および第２のキュムラントの値を示す。

第４のサブステップでは、最適なピーク時間ｔ_０を、カットオフ・レベルが増加するときには第１のキュムラントΓ_１が正の値に向かって発散するピーク時間の間にあるものとして、またカットオフ・レベルが増加するときには第１のキュムラントΓ_１が負の値に向かって発散するピーク時間の間にあるものとして決定する。

グラフ上で、試験する各ピーク時間ｔ_０、ｉごとに、カットオフ・レベルによって決まる第１のキュムラントΓ_１の曲線を追跡すると、最適なピーク時間ｔ_０は、この曲線が上向きの凹曲線と下向きの凹曲線の間に位置する時間である。この曲線は、その他の曲線より変動が小さい。

最適なピーク時間の選択は、前述のグラフィックスの視覚的解析によって行われる、または例えばカットオフによって決まる第１のキュムラントΓ_１の２次の数値微分の符号に基づいて自動的に行われる。

あるいは、または最適には、第２のキュムラントΓ２および／または第１のキュムラントに対する第２のキュムラントの比の２乗に対して同じことをすることができる。これを第１のキュムラント、第２のキュムラント、および第１のキュムラントに対する第２のキュムラントの比の２乗に対して同時に行うことにより、ピーク時間の選択の信頼性を高めることができる。

第５のステップでは、最適なカットオフ・レベルを、非常に高いカットオフ・レベルでの測定ノイズの影響によってデータがその一般的な傾向に対して有意な偏差を示す前の最も高いものとして決定する。

Claims (14)

1. 分子または粒子種の混合物の粒径分布を決定する方法であって、
   解析対象の該混合物の試料を、溶離剤が流れているキャピラリ内に注入するステップ（１００）と、
   注入した該試料を、検出部分のレベルで測定可能なテイラー分散現象を発生させるのに適した実験条件で、該キャピラリに沿って注入部分から該検出部分に移送するステップ（１１０）と、
   該検出部分を含む最適なセンサによって、該移送した試料のテイラー分散に特徴的な信号を生成するステップ（１２０）と、
   該検出信号を処理して、実験テイラー信号
   

   

   を得るステップ（１３０）と、
   該実験テイラー信号
   

   

   を解析するステップ（２００）とを含み、
   該混合物の試料の実験テイラー信号
   

   

   を解析する該ステップが、該実験テイラー信号
   

   

   を方程式
   

   

   によってガウス関数の和に分解することを可能にする振幅分布Ｐ（Ｇ_（ｃ））を探索することからなり、
   ここで、ｔは、該実験テイラー信号が依存する変数であり、ｔ_０は、該実験テイラー信号
   

   

   のピークに対応する、様々な該ガウス関数に共通の変数ｔの値であり、
   Ｇ_（ｃ）は、ガウス振幅関数Ｐ（Ｇ_（ｃ））の特徴パラメータであり、
   ｃ＝１の場合には、関係式
   

   

   に従って種の拡散係数Ｄと関連し、
   ｃ＝−１の場合には、関係式
   

   

   に従って種の流体力学的レイＲ_ｈと関連し、
   ｃ＝−１／ｄ_ｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、関係式
   

   

   
   に従って種のモル質量Ｍと関係し、
   ｋ_Ｂは、ボルツマン定数であり、Ｔは、実験が行われるケルビンで表現される絶対温度であり、ηは、使用する該溶離剤の粘度であり、Ｒ_ｃは、使用する該キャピラリの内部レイであり、Ｎ_ａは、アボガドロ数であり、Ｋおよびａは、マルク・ホウインク係数であり、
   該探索が、該方程式の解である該振幅分布Ｐ（Ｇ_（Ｃ））に従わなければならない制約と関連する少なくとも１つの制約項を含む費用関数Ｈ_αを最小化する制約付き正則化アルゴリズムを実施することにより行われ、該最小化が、該パラメータＧ_（ｃ）の値の関心のある間隔について実行される、方法。
2. 前記方程式が、前記パラメータＧ_（ｃ）の値の間隔を細分することにより離散化され、各離散点Ｇ_ｍが、単位値と値Ｎとの間で変化する整数ｍで指標を付けられ、前記点Ｇ_ｍが、長さｃ_ｍの小間隔に対応する点Ｇ_ｍ−１からある距離にある、請求項１に記載の方法。
3. 前記費用関数が、
   Ｈ_α＝χ^２＋α^２Δ^２
   をとり、
   第１項χ^２が、前記実験テイラー信号
   

   

   と
   

   

   で定義される再構築されたテイラー信号の間の距離項であり、
   第２項Δ^２が、該方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）に従わなければならない前記少なくとも１つの制約と関連する制約項であり、該第２項が、ラグランジュ係数αにより導入されて、該費用関数Ｈ_αの該第２項の寄与を該第１項に適応させることができる、請求項２に記載の方法。
4. 前記第１項χ^２が、
   

   

   をとる「最小２乗」タイプの距離であり、
   前記実験テイラー信号
   

   

   および前記再構築された関数Ｓ’（ｔ）が、経時的にサンプリングされ、各試料が、単位値と値Ｌの間で変化する整数ｋで指標を付けられる、請求項３に記載の方法。
5. 前記方程式の解である前記振幅分布Ｐ（Ｇ）が従わなければならない前記少なくとも１つの制約が、
   

   

   をとることが好ましい制約項Δ^２と関連する正則性制約である、請求項３または４に記載の方法。
6. 前記解析ステップが、前記費用関数Ｈ_α＝α０の最小値に対応する距離項χ^２の値が、ν＝Ｌ−Ｎをとることが好ましい統計誤差νより小さい値で近くなるように、前記ラグランジュ係数αの最適値α_０を決定するステップを含む、請求項３から５のいずれか一項に記載の方法。
7. 前記パラメータＧ_（ｃ）の値の関心のある間隔が、最小値Ｇ_ｍｉｎおよび最大値Ｇ_ｍａｘによって範囲を定められることで、該最小値および該最大値の値を決定するステップを含む、請求項３から５のいずれか一項に記載の方法。
8. 前記実験テイラー信号
   

   

   と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を、関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ_０）によって構成要素に分解するステップを含み、該分解ステップが、１次の構成要素Γ_１および２次の構成要素Γ_２を決定するように、変数（ｔ−ｔ_０）^２の２次多項式を曲線ｌｎ［ｓ（ｔ）］に合わせて調整し、前記最小値Ｇ_ｍｉｎおよび前記最大値Ｇ_ｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式
   

   

   および
   

   

   を使用し、
   βおよびγは、それぞれ対数正規分布のパラメータＧの対数の平均および標準偏差であり、その後、
   

   

   および
   

   

   を使用する、請求項７に記載の方法。
9. 前記関心のある間隔の前記最小値および前記最大値の値を決定する前記ステップが、実験的であり、
   関係式ｓ（ｔ）＝Ｓ（ｔ）／Ｓ（ｔ_０）によって前記実験テイラー信号
   

   

   と関連する正規化テイラー信号ｓ（ｔ）を決定すること、
   前記対数ｌｎ［ｓ（ｔ）］を計算すること、
   前記変数ｘ＝（ｔ−ｔ_０）^２に対する導関数
   

   

   を決定すること、
   ａ_ｍｉｎ＝０．１、ａ_ｍａｘ＝３として、関係式
   

   

   および
   

   

   に従って該導関数の極値に関係するパラメータτ_ｍｉｎおよびτ_ｍａｘの値を決定すること、ならびに
   ｃ＝１の場合には、
   方程式
   

   

   を使用し、
   ｃ＝−１の場合には、
   

   

   を使用し、
   ｃ＝−１／ｄ_ｆ＝−（１＋ａ）／３の場合には、
   

   

   を使用して、前記最小値Ｇ_ｍｉｎおよび前記最大値Ｇ_ｍａｘを決定する、請求項７に記載の方法。
10. 前記実験テイラー信号に基づくパラメータＧ_（１）のＴにおける平均＜Ｇ＞_Ｔおよび／または前記分解に基づくパラメータＧ_（１）のΓにおける平均＜Ｇ＞_Γを測定するステップを含み、各平均を、前記方程式の解である振幅分布Ｐ（Ｇ_（１））が従わなければならない制約で使用することができる、請求項１から９のいずれか一項に記載の方法。
11. 前記最小値Ｇ_ｍｉｎおよび前記最大値Ｇ_ｍａｘの値を決定する前記ステップが、方程式
    

    

    および
    

    

    を使用し、次いで
    

    

    および
    

    

    を使用する、請求項１０と関連する請求項７に記載の方法。
12. 前記実験テイラー信号
    

    

    のピーク時間を決定するステップを含み、該ピーク時間を決定するステップが、
    該ピーク時間の第１の推定値ｔ_{０、ｇｕｅｓｓ}を得るサブステップと、
    該推定したピーク時間ｔ_{０、ｇｕｅｓｓ}の周りで選択した試験するいくつかの異なるピーク時間ｔ_０、ｉについて、カットオフ・レベルに基づいて指定される、異なる長さのいくつかの時間範囲を考慮する一連のキュムラント解析を実行するサブステップと、
    該カットオフ・レベルが増加するときには、第１のキュムラントΓ_１、第２のキュムラントΓ_２および／または該第１のキュムラントに対する該第２のキュムラントの比の２乗が正の値に向かって発散する最適ピーク時間ｔ_０を選択し、該カットオフ・レベルが増加するときには、第１のキュムラントΓ_１、第２のキュムラントΓ_２および／または該第１のキュムラントに対する該第２のキュムラントの比の２乗が負の値に向かって発散する最適ピーク時間ｔ_０を選択するサブステップとを含む、請求項１から１１のいずれか一項に記載の方法。
13. コンピュータにより実行されたときに、請求項１から１２のいずれか一項に記載の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するための命令を含む、データ記憶媒体。
14. コンピュータを含む、分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定するシステムであって、該コンピュータが、請求項１から１２のいずれか一項に記載の分子または粒子種の混合物の流体力学的レイ、拡散係数またはモル質量分布を決定する方法を実行するようにプログラムされる、システム。
    

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