JP2011512556A5 - 楕円曲線上の点のスカラー倍を計算する装置及び方法 - Google Patents

Description

第一の態様では、本発明は、繰り返される点加算（point addition）及び点２倍算（point doubling）により、右から左に楕円曲線上の点のスカラー倍を計算する方法に向けられる。それぞれの点２倍算は、座標の拡張されたセットで評価され、それぞれの点加算は、座標の拡張されたセットの制限されたセットを入力として取得することで評価される。

第二の態様では、本発明は、右から左に楕円曲線上の点のスカラー倍を計算する装置に向けられる。本装置は、点２倍算及び点加算のために適合されるプロセッサを有する。プロセッサは、座標の拡張されたセットを使用してそれぞれの点２倍算を評価し、座標の拡張されたセットの制限されたセットを入力として取得することでそれぞれの点加算を評価するために適合される。

第三の態様では、本発明は、プロセッサで実行されたときに、繰り返される点２倍算及び点加算により右から左に楕円曲線上の点のスカラー倍を計算する方法を実行するコンピュータプログラムに向けられ、それぞれの点２倍算は、座標の拡張されたセットで評価され、それぞれの点加算は、座標の拡張されたセットの制限されたセットを入力として取得することで評価されることを特徴とする。

第五の態様では、本発明は、プロセッサで実行されたとき、繰り返される点２倍算及び点加算により右から左に楕円曲線上の点のスカラー倍を計算する方法を実行するコンピュータプログラムを記憶するコンピュータプログラムプロダクトに向けられ、それぞれの点２倍算は、座標の拡張されたセットで評価され、それぞれの点加算は、座標の拡張されたセットの制限されたセットを入力として取得することで評価されることを特徴とする。

しかし、本発明に係る方法は、あるタイプの座標を使用して点を加え、別のタイプの座標を使用して点を２倍にする場合がある。たとえば、点加算は、ヤコビアン座標を使用して行われ、点２倍算は、モディファイドヤコビアン座標を使用して行われる。これは、左から右へのスカラー乗算方法によっては非能率的であるか、不可能である。全てのこれらの方法は、共通して、繰り返し２倍にされるアキュムレータであって、入力点又はその倍点が繰り返し加算されるアキュムレータを使用する。これは、点２倍算及び点加算のルーチンの出力の表現が同じである必要があること、すなわちアキュムレータの座標系が同じである必要があることを意味する。

Claims (7)

1. 楕円曲線暗号システムにおいて、繰り返される点加算及び点２倍算により楕円曲線上の点のスカラー倍を右から左に計算する暗号化方法であって、
   マイクロプロセッサによって、それぞれの点２倍算を、射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ と少なくとも１つの更なる座標T ₄ とを含む座標のセットを入力とすることで評価するステップと、
   前記マイクロプロセッサによって、それぞれの点加算を、前記射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ を入力とすることで評価するステップと、
   前記マイクロプロセッサによって、次の点２倍算において使用するため、前記少なくとも１つの更なる座標T ₄ をメモリに記憶するステップと
   を含み、
   点２倍算の出力座標は、次の点２倍算のための入力座標として使用され、
   前記点２倍算は、
   前記射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ の値と、前記楕円曲線の第一パラメータをaとしてT ₄ =aT ₃ ⁴ に初期化される前記更なる座標T ₄ の値とを取得し、
   中間変数
   U=T ₁ ² ；
   V=T ₂ ² ;
   M=3U+T ⁴ ;
   W=V ² ;及び
   S=2((T ₁ +V) ² -U-W)；
   を計算し、
   T ₃ 及びT ₄ の新しい値
   T ₃ =2T ₂ T ₃ ；
   T ₄ =16WT ₄
   を計算し、
   T ₁ の新しい値
   T ₁ =M ² -2S
   を計算し、
   T ₂ の新しい値
   T ₂ =M(S-T ₁ )-8W
   を計算し、
   少なくとも座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ の値を出力する
   ことで計算される、方法。
2. 前記楕円曲線は、２及び３とは異なる特性によるWeierstrass式
   E_IK：Y²＝X³＋aXZ⁴＋bZ⁶
   により与えられ、bは、前記楕円曲線の第二のパラメータである、
   請求項１記載の方法。
3. 前記スカラー倍は、非隣接形式（Non Adjacent Form）におけるスカラーを使用して計算される、
   請求項１記載の方法。
4. 前記スカラー倍は、バイナリ表現におけるスカラーを使用して計算される、
   請求項１記載の方法。
5. 前記点２倍算は、モディファイドヤコビアン座標を使用して実行され、前記点加算は、ヤコビアン座標を使用して実行される、
   請求項１記載の方法。
6. 楕円曲線暗号システムにおいて楕円曲線上の点のスカラー倍を右から左に計算する装置であって、
   当該装置は、メモリと、
   繰り返される点２倍算及び点加算を行い、
   射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ と少なくとも１つの更なる座標T ₄ とを含む座標のセットを入力としてそれぞれの点２倍算を評価し、
   前記射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ の組を入力としてそれぞれの点加算を評価し、
   次の点２倍算において使用するため、前記少なくとも１つの更なる座標T ₄ を前記メモリに記憶する
   よう構成されるプロセッサとを備え、
   点２倍算の出力座標は、次の点２倍算のための入力座標として使用され、
   前記点２倍算は、
   前記射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ の値と、前記楕円曲線の第一パラメータをaとしてT ₄ =aT ₃ ⁴ に初期化される前記更なる座標T ₄ の値とを取得し、
   中間変数
   U=T ₁ ² ；
   V=T ₂ ² ;
   M=3U+T ⁴ ;
   W=V ² ;及び
   S=2((T ₁ +V) ² -U-W)；
   を計算し、
   T ₃ 及びT ₄ の新しい値
   T ₃ =2T ₂ T ₃ ；
   T ₄ =16WT ₄
   を計算し、
   T ₁ の新しい値
   T ₁ =M ² -2S
   を計算し、
   T ₂ の新しい値
   T ₂ =M(S-T ₁ )-8W
   を計算し、
   少なくとも座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ の値を出力する
   ことで計算される、装置。
7. マイクロプロセッサで実行されたとき、楕円曲線暗号システムにおいて、繰り返される点加算及び点２倍算により楕円曲線上の点のスカラー倍を右から左に計算する暗号化方法を実行するコンピュータプログラムを記憶した非一時的な媒体であって、
   前記方法は、
   マイクロプロセッサによって、それぞれの点２倍算を、射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ と少なくとも１つの更なる座標T ₄ とを含む座標のセットを入力とすることで評価するステップと、
   前記マイクロプロセッサによって、それぞれの点加算を、前記射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ を入力とすることで評価するステップと、
   前記マイクロプロセッサによって、次の点２倍算において使用するため、前記少なくとも１つの更なる座標T ₄ をメモリに記憶するステップと
   を含み、
   点２倍算の出力座標は、次の点２倍算のための入力座標として使用され、
   前記点２倍算は、
   前記射影座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ の値と、前記楕円曲線の第一パラメータをaとしてT ₄ =aT ₃ ⁴ に初期化される前記更なる座標T ₄ の値とを取得し、
   中間変数
   U=T ₁ ² ；
   V=T ₂ ² ;
   M=3U+T ⁴ ;
   W=V ² ;及び
   S=2((T ₁ +V) ² -U-W)；
   を計算し、
   T ₃ 及びT ₄ の新しい値
   T ₃ =2T ₂ T ₃ ；
   T ₄ =16WT ₄
   を計算し、
   T ₁ の新しい値
   T ₁ =M ² -2S
   を計算し、
   T ₂ の新しい値
   T ₂ =M(S-T ₁ )-8W
   を計算し、
   少なくとも座標T ₁ ，T ₂ ，T ₃ の値を出力する
   ことで計算される、非一時的な媒体。