JP2010532895A - 連接オブジェクトの動きモデル化方法 - Google Patents

Abstract

連接したオブジェクトの動きを表現する方法を記載し、この方法は：オブジェクトの目標位置を与えるステップを含み、オブジェクトの近位端は基本回転軸点であり、オブジェクトの遠位端は先端であり、オブジェクトはｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ｎは２以上であり、連続するｎ個のセグメントのうち２つは、ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、第１回転軸点は、基本回転軸点に接続されたセグメントに接続され、回転軸点ｎ−１は、オブジェクトの先端を含むセグメントに接続され；この方法はさらに、オブジェクトが初期位置から目標位置まで移動する間のオブジェクトの先端の位置を表す軌跡を生成するステップを含み、主軌跡は基本回転軸点を中心とし；この方法はさらに、主軌跡に沿った先端の任意位置について、基本回転軸点及びｎ−１個の回転軸点に対する屈曲角を決定するステップを含む。

Description

（関連出願のクロスリファレンス）
本願は、米国特許仮出願第６０／９２９７８０号、２００７年７月１２日出願に基づいて優先権を主張し、その全文を参考文献として本明細書に含める。
（技術分野）
本発明は、デジタルアニメーション技術に関するものである。

（発明の背景）
テレビジョンまたは動画撮影では、静止オブジェクト（描画された物体）に加わる移動により、動きのないオブジェクトが動いて見えることがアニメーションとして知られている。アニメーションは、映画、ビデオゲーム、及びバーチャルリアリティ（仮想現実感）のような多種多様な応用で見出すことができる。漫画は、アニメーションの種類の多数例の１つに過ぎない。その目的は、アニメーションを現実的に、あるいはできる限り実際に近く見せることにある。

移動する錯覚を描画、モデル、または動きのないオブジェクトに与える処理は、特に人体の屈曲を含む部分については複雑であり、これらの部分では、連接的な動きまたは移動が、コンピュータ向けに「翻訳」することが困難な原理によって支配される。

連接オブジェクトの現実的な屈曲の動きをデジタルアニメーションに変換するために、物理の原理を用いてモデルを構築する。例えば、人間の手のモデルは、関節に影響する外力を考慮すること、すべての主要な筋肉及び自由度をモデル化すること、手の皮膚表面を表現する楕円間の衝突検出に基づく運動学モデルを用いること、及び質量−バネ系の方法、及び擬似的かつ幾何学的筋肉を用いて、筋肉、及びこれらの筋肉の骨及び皮膚との相互作用をモデル化することのような、種々の方法に基づいて開発されてきた。こうした筋肉モデルは、長い時間にわたって与えられる筋肉収縮値によってアニメーション化される。従って、図１に例示する方法では、例えば人間の手の指の位置は、筋肉収縮値に基づいて計算される。

他の既存の方法は、人口知能のような学習的方法を含んで、例えば手の関節及び部分（セグメント）を測位する。プーリーに基づく腱伝動系を用いた指モデル、及び関節間の依存性を伴う多様体マッピングに基づく手及び腕のモデルも探求された。相対的な筋肉長、腕のモーメント、及び動く間の手の筋肉のモーメント・ポテンシャルを計算すること、あるいは既知の関節及び移動の制約を用いることのような、複雑な技法も導入されてきた。

国際出願番号ＰＣＴ／ＣＡ２００８／０００７０５

従って、最終製品の現実感を改善し、従来技術のモデル化方法の複雑性を低減するために、デジタルアニメーション目的で、実際のオブジェクトにおける屈曲の動きを表現する方法を提供する必要性が存在する。

これにより、連接オブジェクトをある動きに従ってデジタルアニメーション化するために、この連接オブジェクトのデジタル表現を作成し、オブジェクトの複数部分に関連する一組のモデル化した軌跡を生成する方法が提供される。

第１の広い態様によれば、オブジェクトの動きをアニメーション化して表現する方法が提供され、この方法は：オブジェクトの目標位置を与えるステップを含み、オブジェクトの近位端は基本回転軸点であり、オブジェクトの遠位端は先端であり、オブジェクトはｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ここにｎは２以上であり、連続するｎ個のセグメントのうち２つは、ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、第１回転軸点は、基本回転軸点に接続されたセグメントに接続され、第ｎ−１回転軸点は、オブジェクトの先端を含むセグメントに接続され；この方法はさらに、オブジェクトが初期位置から目標位置まで動く間の、オブジェクトの先端の位置を表現する主軌跡を生成するステップを含み、この主軌跡は基本回転軸点を中心とし、この方法はさらに、主軌跡に沿った先端の任意の位置について、基本回転軸点及びｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角を決定するステップを含む。

本発明の第２の広い態様によれば、連接した物理的物体をアニメーション化する方法が提供され、この方法は：物理的物体のデジタル表現を用意するステップを含み、物体の近位端は基本回転軸点であり、連接した物理的物体の遠位端は先端であり、物体はｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ここにｎは２以上であり、連続するｎ個のセグメントのうち２つは、ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、第１回転軸点は、基本回転軸点に接続されたセグメントに接続され、第ｎ−１回転軸点は、連接した物理的物体の先端を含むセグメントに接続され；この方法はさらに、主軌跡及びｎ−２個の追加的軌跡を提供するステップを含み、各軌跡は、物体が動く間の物体の先端の位置を記述し、主軌跡は基本回転軸点を中心とし、追加的軌跡１〜ｎ−２はそれぞれ回転軸点１〜ｎ−２を中心とし；この方法はさらに、物体を目標位置に移動させるステップを含む。

第３の広い態様によれば、オブジェクトをデジタルアニメーション化するシステムが提供され、このシステムは：コンピュータ内のプロセッサ（処理装置）、及びこのプロセッサに結合されたアプリケーションを具え；このアプリケーションは：オブジェクトの目標位置を与えるように構成され、オブジェクトの近位端は基本回転軸点であり、オブジェクトの遠位端は先端であり、オブジェクトはｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ここにｎは２以上であり、連続するｎ個のセグメントのうち２つは、ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、第１回転軸点は、基本回転軸点に接続されたセグメントに接続され、第ｎ−１回転軸点は、オブジェクトの先端を含むセグメントに接続され；このアプリケーションはさらに、オブジェクトが初期位置から目標位置まで動く間の、オブジェクトの先端の位置を表現する主軌跡を生成するように構成され、この主軌跡は基本回転軸点を中心とし、このアプリケーションはさらに、主軌跡に沿った先端の任意の位置について、基本回転軸点及びｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角を決定し；オブジェクトを目標位置に移動させるように構成されている。

第４の広い態様によれば、連接した物理的物体をデジタルアニメーションで表現するシステムが提供され、このシステムは：物体のデジタルモデルを作成するように構成されたデジタルモデル化モジュールを具え、物体の近位端は基本回転軸点であり、物体の遠位端は先端であり、物体はｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ここにｎは２以上であり、連続するｎ個のセグメントのうち２つは、ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、第１回転軸点は、基本回転軸点に接続されたセグメントに接続され、第ｎ−１回転軸点は、オブジェクトの先端を含むセグメントに接続され；このシステムはさらに、主軌跡及びｎ−２個の追加的軌跡を生成するように構成された軌跡生成器を具え、各軌跡は、物体が動く間の物体の先端の位置を記述し、主軌跡は基本回転軸点を中心とし、追加的軌跡１〜ｎ−２はそれぞれ回転軸点１〜ｎ−２を中心とし；このシステムはさらに、物体の目標位置を決定するように構成された位置決定モジュールと；物体が初期位置から目標位置まで移動したように物体を表示する表示装置とを具えている。

図２に例示するように、オブジェクトは、ｎ個のセグメント、１つの基本回転軸点、及びｎ−１個の回転軸点から成る連接オブジェクトとして規定され、ここにｎは２以上である。ｎ個のセグメントのうち第１セグメントは基本回転軸点に接続され、ｎ−１個の回転軸点はこれらのセグメントを互いに接続し、ｎ個のセグメントのうち第１セグメントは、基本回転軸点に加えて第１回転軸点に接続され、最終セグメントは最終回転軸点のみに接続されている。基本回転軸点に接続されたオブジェクトの部分をオブジェクトの近位端と称し、回転軸点に接続されていない最終セグメントの端を、オブジェクトの遠位端または先端と称する。

オブジェクトの位置は、基本回転軸点、各回転軸点、及びオブジェクトの先端の空間座標によって規定される。以下の説明を通して、基本回転軸点は、空間を記述する座標系の原点に位置するものと考え、次の座標を有する：２Ｄ（二次元）空間では（０，０）、及び３Ｄ（三次元）空間では（０，０，０）。従って、オブジェクトの空間位置を決定するために、各回転軸点の空間位置及びオブジェクトの先端のみを必要とする。多数の幾何学的データを用いて、オブジェクトの位置を決定することができる。例えば、オブジェクトの先端及び各回転軸点の空間座標；基本回転軸点及び各回転軸点における屈曲角；あるいはオブジェクトの各セグメントに関連するベクトルを知ることによって、オブジェクトの位置を決定することができる。

基本回転軸点における屈曲角は、オブジェクトの第１セグメントと空間の軸（通常はｙ軸）との間の角度として規定され、ある回転軸点における角は、この回転軸点に接続された２つのセグメント間の角度として規定される。なお、オブジェクトの位置は、異なる種類の幾何学的データの混合によって規定することができる。例えば、空間の中心を中心とする１つの基本回転軸点と、ｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を含むオブジェクトは、基本回転軸点における屈曲角及び各回転軸点における屈曲角によって規定することができる。あるいはまた、このオブジェクトは、基本回転軸点における屈曲角、ｎ−２個の回転軸点における屈曲角（最終回転軸点における屈曲角は除く）、及びオブジェクトの先端の空間座標によって規定することができる。混合された幾何学的データの他の組合せも可能であることは、当業者にとって明らかである。以下の説明では、屈曲角を参照してオブジェクトの位置を特徴付けるが、当業者に知られているあらゆる幾何学的データ及び方法を用いて、オブジェクトの幾何学的位置を規定することができる。

主軌跡は、すべてのセグメントを考慮に入れた際の、オブジェクトが動く間のオブジェクトの先端の位置として規定される。主軌跡は基本回転軸点を中心とする。追加的軌跡または二次軌跡は、必ずしもすべてのセグメントを考慮に入れない際の、オブジェクトが動く間の先端の位置として規定され、追加的軌跡は、基本回転軸点ではなく、ある回転軸点を中心とする。１つの基本中心点、ｎ個のセグメント、及びｎ−１個の回転軸点を含むオブジェクトについては、第１セグメントは、その一端が基本回転軸点に、その第２端が第１回転軸点に接続されたセグメントであるものとして規定され、セグメントｎは、オブジェクトの先端を含み、第ｎ−１回転軸点のみに接続されたセグメントであるものとして規定される。ｎが２に等しければ、オブジェクトの動きを記述するために主軌跡のみを必要とする。第１の追加的軌跡は、セグメント２〜ｎのみを考慮に入れた際の先端の軌跡である。この第１軌跡は、第１回転軸点を中心とするものと考えられる。第２の追加的軌跡は、セグメント３〜ｎのみを考慮に入れた際の先端の軌跡である。この第２軌跡は、第２回転軸点を中心とするものと考えられる。追加的軌跡ｎ−２は、セグメントｎ−１及びｎのみを考慮に入れた際の先端の軌跡である。追加的軌跡ｎ−２は、回転軸点ｎ−２を中心とするものと考えられる。

オブジェクトの基本回転軸点、ｎ−１個の回転軸点、及びｎ個のセグメントは極座標系で表現することができ、基本回転軸点は通常、この座標系の原点を占める。この場合は、主軌跡及び追加的軌跡は、座標系の原点とオブジェクトの先端の位置との間の距離を、それぞれの屈曲角θ及びθ’の関数として表現する（単に、それぞれ角θ及びθ’とも称する）。先端の屈曲角または角θ（またはθ’）は、座標系の軸（通常はｙ軸）と、座標系の原点からオブジェクトの先端までの線分との間の角度である。主軌跡及び追加的軌跡はすべて、同じチップ屈曲角θの関数として表現され、このチップ屈曲角θは閉包パラメータと称する。この閉包パラメータは、その値が０から１まで変化するように正規化することができる。閉包パラメータの各値は、オブジェクトの単一の空間位置に対応する。閉包パラメータの値を知り、主軌跡及び追加的軌跡、及び三角法を用いて、閉包パラメータの値に関連するオブジェクトの空間位置に対応する屈曲角の集合を決定することができる。

本発明の他の特徴及び利点は、以下の図面を参照した詳細な説明より明らかになる。

従来技術による、連接オブジェクトの動きをモデル化するために用いるステップを例示する図である。 本発明の実施例による連接オブジェクトを例示する図である。 本発明の実施例による、連接オブジェクトの動きをモデル化するために用いるステップを例示する図である。 図２に例示する方法において生成した軌跡モデルを例示する図である。 連接オブジェクトが３つ以上のセグメントを有する場合に生成される軌跡モデルを例示する図である。 屈曲角を二次軌跡モデルから計算する方法を例示する図である。 屈曲角を主軌跡モデルから計算する方法を例示する図である。 本発明の実施例による、オブジェクトをアニメーション化する方法を例示するフローチャートである。 本発明の実施例による、オブジェクトをアニメーション化するシステムの実施例を例示する図である。

なお、すべての図面を通して、同様の特徴は同様の参照番号によって識別する。

人間の手のどの指も、セグメントの軸の周りに回転することができないことを考慮することによって、単一平面内に生じる指の屈曲は、外転及び内転の残された自由度をシミュレート（模擬）するように配向させることができる。

人間の指の腱の駆動態様は、各指の先端がとる経路が所定の法則に従い、腱による各セグメントの屈曲の制御によって決定される滑らかな軌跡に相当する、という前提条件を導入する。

以上のことを考慮して、複数のセグメントを有するデジタルオブジェクトの自然な連接した屈曲をモデル化する方法を説明する。この方法は、対数螺旋（対数スパイラル）のような数学モデルによって表現される指の先端の軌跡の生成に基づく。提案する方法を用いて擬人化した手の動きをアニメーション化することは、親指の対向を容易に合成し、自動把握（自動的な手の握り）方策を開発することを可能にする。

なお、この方法は、あらゆる連接オブジェクトの動きをモデル化するように拡張することができ、これらの動きは：指の屈曲、手の平の動き、人間の身体部分、即ち腕、脚の動き、筆記の動き、成長する植物の動き、花の開花、動物の動き、あるいは回転軸点を介して互いに接続された複数の剛体セグメントを有するオブジェクトの他のあらゆる動きである。

図３を参照すれば、ステップ３０では、連接オブジェクトのデジタル表現を用意する。このオブジェクトは初期位置にある。

図４を参照すれば、このオブジェクトは近位端及び遠位端を有し、近位端は基本回転軸点を規定し、遠位端はオブジェクトの先端１２を規定する。

個のオブジェクトは、複数のセグメント１４、１６、及び１８も有し、これらはそれぞれ回転軸点２０及び２２を介して相互接続されている。基本回転軸点１０は第１セグメント１４に接続され、これにより、図４に示すように、オブジェクトが先端の屈曲角θだけ移動することを可能にする。

図３を参照すれば、ステップ３２では、オブジェクトの目標位置を与える。この目標位置は、第１の場合は、少なくとも３つのセグメントが存在する際に、オブジェクトの先端の目標位置、及び最初２つのセグメントと各追加的セグメントとの間の目標屈曲角を含むものとして規定される。オブジェクトの初期位置も、少なくとも３つのセグメントが存在する際は、このオブジェクトの先端の初期位置、及び最初２つのセグメントと各追加的セグメントとの間の初期屈曲角も含む。なお、オブジェクトの位置は、屈曲角β₁、β₂、及びβ₃によっても、先端１２及び回転軸点２０及び２２の空間座標によっても規定される。また、オブジェクトの位置を知るために、屈曲角と空間座標との混合も可能である。例えば、オブジェクトの位置は、先端の空間座標、及び屈曲角β₁とβ₂によって規定することができる。

例えば図４では、３セグメントについて（ｎ＝３）、目標位置は、図５に示すように、セグメント１８の先端１２、及び角β₂とβ₃で構成される。オブジェクトが４セグメント以上を有する際は、目標位置は、オブジェクトの先端１２及び角β_i（ｉ∈[２，３，...ｎ]）で構成され、ここにｎはセグメント数である。なお、セグメント１は基準回転軸点に取り付いている。２つのセグメントしか存在しない場合は（ｎ＝２）、目標位置はオブジェクトの先端１２の目標位置である。

オブジェクトの先端の目標位置は、このオブジェクトの先端が動く間の所定時刻に到達する位置であり、デカルト座標系内の座標（ｘ_final，ｙ_final）によって規定される。この点は極座標系内でも随意的に規定され、これについては以下でさらに説明する。

第２の場合は、目標位置は、オブジェクト内のすべての屈曲角β_i（ｉ∈[１，２，３，...ｎ]）によって規定され、ｎはセグメント数である。図４を参照すれば、オブジェクトが３つのセグメントを有する際に（ｎ＝３）、角β₁、β₂及びβ₃がオブジェクトの目標位置を規定する。従って、こうした場合には、目標位置は、目標屈曲角の集合によって規定される特定オブジェクト閉包の位置である。例えば、目標屈曲角のグループは、引き締まった手、緩んだ手、緊張した手のような既知の手の閉包型に対応するか、あるいは、連接オブジェクトの目標屈曲角の特定集合によって規定される他のあらゆる既知の閉包型に対応するように設定される。

なお、初期位置は、セグメント１８の先端１２の初期位置及び角β₂とβ₃で構成される。あるいはまた、初期位置は、角β₁、β₂及びβ₃の集合によって規定することができる。

第１及び第２の場合の両方において、オブジェクトのセグメント毎の目標屈曲角は、目標角β₁、β₂及びβ₃（またはβ_i（ｉ∈[１，２，３，...ｎ]）、ｎは基点（基準回転軸点）１０から先端１２までのセグメント数）として規定され、各回転軸点における角を表す。これらの目標角は、図４及び５に例示されている。他方では、図６ａ及び６ｂは、目標位置によって規定される軌跡に沿った任意の所定点に対する屈曲角を例示する（次のステップにおいてさらに説明する）。

一実施例では、初期位置及び目標位置は極限位置を表し、これらの極限位置間をオブジェクトが移動することができる。

図３のステップ３４では、ステップ３２で与えて規定した目標位置を通過するオブジェクトの先端１２の動きを表現するように、主軌跡を生成する。

主軌跡を、対数螺旋の数学的表現として以下に詳述し、図４に例示する。主軌跡は、オブジェクトの基本回転軸点１０を中心とする。

図４を参照すれば、主軌跡の例は、対数螺旋の数学的表現であり、次の極方程式によって定義される：

ここにＫ₁及びＫ₂は定数である。

例えば、人間の手では、上記螺旋は、複数の指骨を有する指の先端が追従する経路であると考えられ、本明細書ではこれらの指骨をセグメントとして記述する。一般的な連接オブジェクトについては、生成される主軌跡は、このオブジェクトの先端の目標位置を、当該オブジェクトの経路に沿って有する。

３セグメントのオブジェクトについての上記の提案を適用すれば、例えば、オブジェクトの初期位置は先端１２の初期位置、即ち（ｘ_initial＝０，ｙ_initial＝ａ）、及び屈曲角β₂＝β₃＝０によって定義され、ここにａはすべてのセグメント長の総計である（ａ＝ａ₁＋ａ₂＋ａ₃、ここにａ₁、ａ₂、及びａ₃はそれぞれ、セグメント１４、１６、及び１８の長さである）。あるいはまた、オブジェクトの初期位置は、この位置における屈曲角として定義され、即ちβ₁＝β₂＝β₃＝０である。

図４に例示する実施例では、初期位置は（ｘ_initial＝０，ｙ_initial＝ａ）または（ρ＝ａ，θ＝０）として表現することができる。初期位置の第２の表現を対数螺旋の方程式に代入することによって、定数Ｋ₁はａに等しく定まり、従って、次式のようになる：

オブジェクトの先端の目標位置を規定するオブジェクトの目標位置（ｘ_final，ｙ_final）、あるいはまた、ステップ３２で規定した屈曲角β_i（ｉ∈[１，２，３，...ｎ]）の集合を最初に用いて、次の平面幾何学の公式を用いて対応する対（ρ_final，θ_final）を計算する。４つ以上のセグメントを有するオブジェクトについても、同様の公式を用いる。

この公式より、定数Ｋ₂は次式のように計算することができる：
Ｋ₂＝ln(ρ_final／ａ)／θ_final
かつ、a=ａ₁＋ａ₂＋ａ₃

以上より、オブジェクトの先端または人間の手の指先に関連する主螺旋が、次式のように完全に定義される：

上記螺旋方程式は、対（ρ，θ）の計算を可能にし、この対は、極限位置間の螺旋に沿った至る所に位置する任意のチップ屈曲位置として参照される。従って、この螺旋は、オブジェクトの先端の動きをモデル化する。

従って、（計算区間）[０，１]×[０，１]における累乗の行列（マトリクス）

は、動き期間中の平面内のチップ位置の解析的制御を可能にする。この行列は、選定したステップ（例えば0.01は101×101行列を生じさせる）についての時間を消費する累乗演算を用いて、１回だけ計算する。行列のサイズを増大させずに精度を増加させるために、行列内の（ある要素を）包囲する４つの要素の加重和の計算をリアルタイムで行う。

図３のステップ３６では、３つのセグメント（図４のセグメント１４、１６及び１８を参照）から成る人間の指のように、オブジェクトが３つ以上のセグメントを有する場合は、先端１２について、かつ回転軸点２０と先端１２との間に位置する追加的セグメントに関連して、追加的な二次軌跡を生成する。ここでは、これらの追加的セグメントをセグメント１６及び１８として表す。図５に例示する二次軌跡は、セグメントｉ＞１毎の目標屈曲角、あるいはβ_iを用いて見出される。

図４及び５では、追加的セグメント１６及び１８を第１セグメント１４に接続する回転軸点２０が、図５の二次軌跡の中心になる。従って、この二次軌跡はセグメント２及び３に関連する。図５に例示するように、グラフのｘ軸及びｙ軸は、ｙ軸とセグメント１６との間の角度がβ₂に等しくなるように選定する。

ｎ個のセグメント及びｎ個の回転軸点を含むオブジェクトについては、屈曲角を決定するために、先端１２のｎ−２個の追加的軌跡または二次軌跡が必要である。主軌跡はｎ個のセグメント（１，２，...ｎ）に関連し、第１回転軸点を中心とする。第１の追加的軌跡はｎ−１個のセグメント（セグメント２，３，...ｎ）に関連し、第２セグメントを第１セグメントに接続する第２回転軸点を中心とする。先端１２の第２の追加的軌跡は、ｎ−２個のセグメント（セグメント３，４，...ｎ）に関連し、第３セグメントを第２セグメントに接続する第３回転軸点を中心とする。追加的軌跡ｎ−２はセグメントｎ−２、ｎ−１、及びｎに関連し、セグメントｎ−２をセグメントｎ−３に接続する回転軸点ｎ−２を中心とする。

この二次軌跡は、図３のステップ３４で生成した主軌跡と同様の数学的表現に従う。

１つの二次軌跡は、２つの屈曲角の評価を可能にする。逆に、２つの目標屈曲角の最小値を用いて、１つの二次軌跡が規定される。従って、３つ以上のセグメント１４を有するオブジェクトに関連する軌跡の総数は、（セグメント１４の数−１）に等しい。

３つ以上のセグメントが存在する際は、主軌跡単独では各セグメントの目標屈曲角βi（ｉ∈[１，２，３，...ｎ]）がモデル化されないので、ステップ３２で与えたオブジェクトの目標位置によって規定される目標屈曲角から二次軌跡を生成する。この二次軌跡は、（セグメント２及び３として例示する）遠位セグメントの動きをモデル化する。

次式を用いて、二次螺旋を生成する：

従って、点（ｘ^’ _final，ｙ^’ _final）は、これらの遠位セグメントの所望の動きの型に対応するように計算する。この点は、ステップ３２で与えた目標屈曲角（図３のβ₂及びβ₃）によって設定される。

従って、二次螺旋は次式のように定義される：

ここに、ａ’＝ａ₂＋ａ₃である。

図３のステップ３８では、各屈曲角β_i（ｉ∈[１，２，３，...ｎ]）を、先端１２について生成した主軌跡、及び追加的セグメント１６と１８に関連して生成した二次軌跡のいずれかに沿った任意の先端屈曲位置（ρ，θ）（図６ａ及び６ｂ参照）に対して決定する。

従って、軌跡の集合が、当該オブジェクトの目標位置に向かうオブジェクトの動きを完全に規定する。このステップで見出される屈曲角は、ステップ３２で与えた目標屈曲角とは別のものである。これらの屈曲角は、オブジェクトが軌跡に沿って動く間の、各セグメントの位置及び向きを規定する。

以上の説明では、屈曲角（β₁，β₂，β₃，...β_n）は、基本回転軸点１０及び各回転軸点２０、２２に位置する角度である。図４、５、６ａ及び６ｂでは、屈曲角β₁はセグメント１４の屈曲角であるのに対し、β₂及びβ₃は、各セグメント対（１４〜１６及び１６〜１８）が成す角度であり、それぞれ回転軸点２０及び２２に関連する。

少なくとも主軌跡に沿った、そして随意的に二次軌跡に沿った、オブジェクトの先端の任意位置における屈曲角は、ステップ３４で生成した軌跡を用いて、そして３つ以上のセグメントが存在する場合はステップ３６で生成した軌跡を用いて決定される。

図３のステップ４０では、ステップ３８で決定した、オブジェクトの先端の軌跡に沿った任意位置におけるセグメントの屈曲角を用いて、連接オブジェクトの動きのコンピュータ・デジタルアニメーションを実行する。

屈曲角θ及びθ’は、[０，θ_max＝max(θ_final，θ’_final)]の間にあり、単一の変数または閉包パラメータ、即ちθを用いて、オブジェクトが動く間の主螺旋及び二次螺旋を共に制御することができる。図５に、セグメント１６及び１８のみを考える際の、先端１２の軌跡を例示する。セグメント１６及び１８のこの表現では、ｙ軸は、ｙ軸とセグメント１６との間の角度がβ₂に等しくなるように選定し、このことは、ｙ軸と、回転軸点２０及び先端１２の付近を通る直線との間の角度θ’を生じさせる。しかし、ｙ軸とｘ軸とは、異なるように配置することができる。図６ａでは、ｙ軸は、ｙ軸と、中心回転軸点２０及び先端１２の付近を通る直線との間の角度が、ｙ軸と、基本回転軸点１０及び先端１２の付近を通る直線との間の角度、即ち角θに等しくなるように位置決めする。従って、ρ及びρ’は共に、同じ角θの関数として、次式のように表現することができる：

一実施例では、閉包パラメータが範囲[０，１]内の浮動（小数）値であり、この閉包パラメータを用いて、オブジェクトが動く間の各螺旋に沿ったオブジェクトの先端１２の所定位置を制御することができる。この閉包パラメータを用いて、屈曲角θをθ_minからθ_maxまでパラメータ化する。

上述した方法のステップ３８では、対応する閉包パラメータＣＰによって制御される先端の共通制御屈曲角θについて、各螺旋は対応する長さρの値を有する。螺旋毎に、二次軌跡から主軌跡まで、三角法計算を用いて屈曲角β_iを決定する。従って、これらの角度は、腱で駆動される手において観測される指先の動きを模擬する。

図６ａ及び６ｂ、及び次式は、その位置が角θによって決定される３セグメントのオブジェクトについて生成された１つの二次軌跡及び１つの主軌跡から屈曲角を決定する方法の例を提供する。同様の式を、４つ以上のセグメントを有する、従って２つ以上の二次軌跡を有するオブジェクトについて導出することができる。

ここで、図６ａを参照すれば、二次螺旋軌跡について次式が導出される：
ａ₂ ²＝ｌ₁’²＋ｈ’² かつ ａ₃ ²＝ｌ₂’²＋ｈ’₂
ここにｌ₂’＝ρ’−ｌ₁’
これより、次式になる：
ｌ₁’＝(ρ’×ρ’＋ａ₂×ａ₂−ａ₃×ａ₃)／(２×ρ’)

θを知れば、ρ’は（式２）を用いて次のように計算される：
sin(φ’₁)＝sin(φ’₁₁＋φ’₁₂)
＝sin(φ’₁₁)×cos(φ’₁₂)＋sin(φ’₁₂)×cos(φ’₁₁)
＝(ｌ₁’／ａ₂)×(ｈ’／ａ₃)＋(ｌ₂’／ａ₃)×(ｈ’／ａ₂)
＝ｈ’×(ｌ₁’＋ｌ₂’)／(ａ₂×ａ₃)
＝ｈ’×ρ’／(ａ₂×ａ₃）
この式を用いて、cos(φ’₁)の符号を決定する。

従って：
φ’₂＝(π／２)−φ’₁₁＝(π／２)−asin(ｌ₁’／ａ₂)
１）cos(φ’₁)＞０ならば、
β₃＝π−φ’₁
２）そうでなければ、
β₃＝φ’₁

従って：
φ’₂＝(π／２)−asin((ρ’×ρ’＋ａ₂×ａ₂−ａ₃×ａ₃)／(２×ρ’×ａ₂))
１）cos(φ’₁)＞０であれば、
β₃＝π−asin(ｈ’×ρ’／(ａ₂×ａ₃))
２）そうでなければ、
β₃＝asin(ｈ’×ρ’／(ａ₂×ａ₃))

ここで、図６ｂを参照すれば、主螺旋軌跡について次式が導出される：
ａ₁ ²＝ｌ₁ ²＋ｈ² かつ ρ’²＝ｌ₂ ²＋ｈ²
ここに、ｌ₂＝ρ−ｌ₁
sin(φ₁)＝sin(φ₁₁＋φ₁₂)
＝sin(φ₁₁)×cos(φ₁₂)＋sin(φ₁₂)×cos(φ₁₁)
＝(ｌ₁／ａ₁)×(ｈ／ρ’)＋(ｌ₂／ρ’)×(ｈ／ａ₁)
＝ｈ×(ｌ₁＋ｌ₂)／(ａ₁×ρ’)
＝ｈ×ρ／(ａ₁×ρ’)

従って：
ｌ₁＝(ρ×ρ＋ａ₁×ａ₁−ρ’×ρ’)／(２×ρ)
φ₂＝(π／２)−φ₁₁＝(π／２)−asin(ｌ₁／ａ₁)
１）cos(φ₁)＞０であれば、
β₂＝π−φ₁−φ’₂
２）そうでなければ、
β₂＝φ₁−φ’₂
β₁＝θ−φ₂

従って：
１）cos(φ₁)＞０であれば、
β₂＝(π／２)−asin(ｈ×ρ／(ａ₁×ρ’))＋asin((ρ’×ρ’＋ａ₂×ａ₂−ａ₃×ａ₃)／(２×ρ’×ａ₂))；
２）そうでなければ、
β₂＝−(π／２)＋asin(ｈ×ρ／(ａ₁×ρ’))＋asin((ρ’×ρ’＋ａ₂×ａ₂−ａ₃×ａ₃)／(２×ρ’×ａ₂))；
かつ、
β₁＝θ−(π／２)＋asin((ρ×ρ＋ａ₁×ａ₁−ρ’×ρ’)／(２×ρ×ａ₁))

従って、腱で駆動される連接動きモデルは、オブジェクトの所定目標位置を用いて軌跡の集合を決定することによって構築される。オブジェクトの目標位置は、オブジェクトの先端が目標チップ位置にある際の、オブジェクト内のセグメント毎の少なくとも目標屈曲角を規定する。従って、螺旋の集合は、各セグメントが目標位置に向かう動きを表現する。

二次軌跡を記述するデータは、ルックアップテーブル（早見表）内に記憶することができるのに対し、主軌跡は、先端が目標先端位置に向かって移動する間にリアルタイムで計算する。主軌跡を記述するデータは、随意的にルックアップテーブル内に記憶することもできる。

従って、特定の閉包パラメータに対する屈曲角は、当該軌跡の長さの値ρまたはρ’によって規定される軌跡の集合に基づいてリアルタイムで計算する。長さの値ρを抽出する際は、累乗マトリクスを随意的に用いて、時間を要する累乗関数を計算することを回避する。

例として、所定の手について、各指の先端の目標位置に関連する主軌跡は、指内のセグメント毎に規定される目標屈曲角を用いて生成した際の二次軌跡のように一意的である。

一旦、軌跡の集合が生成されると、一般的な閉包パラメータを用いることによって、各々が各自の一意的な特性を有する複数のデジタル手の特定の動きを制御することができる。従って、手の動きはデジタル手毎に一意的であるのに対し、これらの手は同様の方法で制御され、従って同様の閉包型を有する。

アニメーションをリアルタイムで生成することは、１秒当たり特定数の画像を作成することから成る。このことは、画像ｎ（状態ｎ）から画像ｎ＋１（状態ｎ＋１）に行くことのできるアルゴリズムを１秒間にｘ回呼び出すことを意味する。従って、アルゴリズムは時間の観念は有さず、状態ｎから状態ｎ＋１に行くために行うべきことを知るに過ぎない。アニメーション化されたオブジェクトについては、状態ｎは角θ_n、あるいはこれに対応する０〜１の間の閉包パラメータ値によって特徴付けられる。θ_nを知れば、基本回転軸点及び回転軸点に関連する屈曲角が決定される。

θ₀によって規定される初期位置にある指の例をとれば、この指は目標位置θ_nまで移動させなければならない。目標位置に到達する指の動きは期間Δｔ中に生じ、期間Δｔは例えば３つの増分に分割され、このことは、指が目標位置に到達するために３つの変位を行うことを意味する。状態０では、ｔ＝０で、指の位置はθ₀によって規定される。ｔ＝ｔ₁では、指はθ₁によって特徴付けられる次の状態（状態１）に移動する。ｔ＝ｔ₂では、指は状態２に達し、この状態では、指の位置はθ₂によって特徴付けられる。ｔ＝ｔ₃＝ｔ_nでは、指はその目標状態（状態ｎ）に達し、この状態では、指はθ_nによって規定される位置を占める。これらの状態毎に、指の位置は、前述した方法を用いて対応する屈曲角を計算することによって決定される。

図７に、回転軸点によって接続されたセグメントから成るオブジェクトをアニメーション化する方法の実施例を示す。この方法の第１ステップは、オブジェクトのデジタル表現を用意することから成る。例えば、オブジェクトは、図６ｂに例示するオブジェクトのように、所定長を有する３つの指骨によって特徴付けられる指である。各指骨は、セグメントによって図式化され、指の連接の各々は、回転軸点によって表現される。指を手の残り部分に接続する連接が基本回転軸点である。指の先端に対して少なくとも１つの軌跡を提供することが、この方法の第２ステップである。この例では、指の位置を決定するために、１つの主軌跡及び１つの二次軌跡が必要である、というのは、セグメントの数が３に等しいからである。

なお、これらの軌跡は、この方法のユーザが与えることができるが、アニメーションを作成するシステムによって生成することもできる。軌跡を生成するためには、オブジェクトの少なくとも２つの位置が必要である。例えば、オブジェクトの初期位置及び目標位置を用いて、軌跡を生成することができる。あるいはまた、オブジェクトの極限位置を用いることができる。指の場合は、第１極限位置は完全に伸ばした指によって表され（β₁＝β₂＝β₃＝０）、第２極限位置は閉じた指によって表され、この位置は、例えばβ₁＝π／２、β₂＝π／２、及びβ₃＝π／３によって表される。これらの極限位置及び上述した方法を用いて、指の先端の主軌跡及び二次軌跡が決定される。従って、第１極限位置と第２極限位置との間の指の位置は、単一の変数、即ち閉包パラメータθを知れば決定することができ、閉包パラメータθは、θ_min（第１極限位置）とθ_max（第２極限位置）との間から成る。オブジェクトの初期位置は、θの値、即ちθ₀によっても特徴付けられ、この値は方法のユーザが入力するか、アニメーション生成器によって自動的に生成される。初期位置に位置するオブジェクトの初期屈曲角は、初期角θ₀、指の先端の主軌跡及び二次軌跡、及び上述した解法に従う三角法を用いて計算される。

方法の第３ステップは、目標閉包パラメータθ_targetを与えることである。なお、この閉包パラメータは、指の位置を制御するための屈曲角θである。あるいはまた、この閉包パラメータを正規化して０〜１の値を持たせることができ、０はθ_minに対応し、１はθ_maxに対応する。θ₀及びθ_targetは、対応する正規化した閉包パラメータ値によっても表される。

θ_target及びオブジェクトの先端１２の軌跡を知れば、θ_targetに対応するオブジェクトの位置は、基本回転軸点及び回転軸点の対応する屈曲角を計算することによって決定される。方法の最終ステップは、指をその初期位置からその目標位置に移動させることから成る。

閉包パラメータを用いて、指の閉じ方を単純な方法で制御することができる。手の各指の位置は、同一の閉包パラメータによって制御することができる。例えば、完全に開いた手は０の閉包パラメータ値に対応し、閉じた拳（こぶし）は１の閉包パラメータ値に対応する。この場合は、閉包パラメータの各値は、手の指毎の特定の先端屈曲角に対応する。

図８に、物理的物体をデジタルアニメーションで表現するシステムの一実施例を例示する。システム１００は、デジタルモデル化モジュール１０２、軌跡生成器１０４、位置決定モジュール１０６、及び表示装置１０８を具えている。この物理的物体は、基本回転軸点を含むｎ個の回転軸点によって接続されたｎ個のセグメントから成る連接物体である。

デジタルモデル化モジュール１０２は、ユーザから入力されたモデルを受信する。これらのモデル入力はｎ個のセグメント、及び各セグメントの長さから成る。デジタルモデル化モジュール１０２は、これらのモデル入力からデジタルモデルを作成する。

軌跡生成器は、物体の少なくとも２つの位置を受信し、これらの位置を用いて、物体の先端の主軌跡及び二次軌跡を生成する。これら２つの位置は、当該極限位置間を物体が自由に移動する極限位置とすることができる。あるいはまた、これら２つの位置は、初期位置及び目標位置とすることができる。これら２つの必要な位置の各々は、屈曲角値、物体の先端の空間座標、及び基本回転軸点を除いた回転軸点、あるいは屈曲角値と回転軸点の空間座標の混合によって特徴付けられる。軌跡生成器１０４は、上述した方法を用いて、主軌跡及び必要な二次軌跡を生成する。なお、軌跡は対数螺旋によって数学的に表現することができるが、軌跡は、例えば楕円形式のような他の形式を有することができる。

一実施例では、軌跡生成器１０４が、システム１００のユーザからの軌跡を受信し、軌跡を生成しない。

軌跡生成器１０４は位置決定モジュール１０６に接続されている。一実施例では、物体の初期位置及び目標位置を用いて軌跡を生成する場合は、位置決定モジュール１０６は、軌跡生成器１０４が生成した軌跡を受信して、物体の初期位置と目標位置との中間の任意位置に対する屈曲角を決定する。これらの中間位置はメモリに記憶することができる。

他の実施例では、物体の極限位置を用いて軌跡を生成する場合に、位置決定モジュール１０６は、初期位置及び目標位置を閉包パラメータ値の形式（あるいはそれぞれ角θ₀及びθ_target）で受信する。位置決定モジュール１０６は、初期位置、目標位置、及び初期位置と目標位置との間の必要なあらゆる中間位置に対する屈曲角を決定する。一実施例では、位置決定モジュール１０６にメモリを設け、位置決定モジュール１０６は、極限位置間の各位置に対する屈曲角の集合をこのメモリに記憶する。屈曲角の集合は閉包パラメータ値に対応し、位置決定モジュール１０６は、閉包パラメータ値を受信すると、これに対応する屈曲角の集合を検索する。

位置決定モジュール１０６は、初期位置、目標位置、及びアニメーションを作成するのに必要なあらゆる中間位置に対応する屈曲角を表示装置１０８に送信する。表示装置１０８は、その初期位置から、必要なあらゆる中間位置の付近を通過して、その目標位置まで移動する物体を表示する。

上述した方法は、例えば親指の屈曲のような対向する指の屈曲にも適用される。親指に関連する螺旋の平面は、親指の基本セグメントに固定され、他の指の主螺旋上あるいは手首の空間内に位置する合流点を通るように配向される。従って、親指に関連する螺旋は、上述した方法に従って生成される。従って、親指の動き制御パラメータまたは制御屈曲角は、上記平面の配向の内挿補間によってマッピングされる。

上述した方法は、手の特定形態に依存せず、上述したあらゆる動き、ジェスチャー、及び把握方法に応じたアニメーションを可能にする。例えば、把握の動きは、まず他の指を親指に対向させ、そして指が閉じる様子をモデル化することによって行われ、他の指及び親指の軌跡は、これらに関連する螺旋の集合によって規定される。

アニメーションは二次元で実行することができ、随意的に、種々の平面を一緒に配向させることによって三次元に拡張することができる。

特許文献１（国際出願番号ＰＣＴ／ＣＡ２００８／０００７０５、２００８年４月１４日出願、発明の名称”DIGITAL REPRESENTATION AND ANIMATION OF PHYSICAL OBJECTS”）に記載のように、理論上存在する物理的概念を用いて、連接物体を、その螺旋の集合に従ってアニメーション化することができ、特許文献１の内容は参考文献として本明細書に含める。この参考文献には、アトラクター（誘引物質）の動きを空間内の点として導入し、物体はこの点に向かって移動すべく付勢される。

なお、本発明は、方法として実行することができ、システム、コンピュータ可読媒体、あるいは電気または電磁信号の形で具体化することができる。

上述した本発明の実施例は好適例であることを意図したに過ぎない。従って、本発明の範囲は、特許請求の範囲のみによって限定されることを意図する。

Claims (36)

1. 連接オブジェクトの動きを表現する方法において、この方法が、
   前記オブジェクトの目標位置を与えるステップを含み、前記オブジェクトの近位端は基本回転軸点であり、前記オブジェクトの遠位端は当該オブジェクトの先端であり、前記オブジェクトはｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ｎは２以上であり、前記ｎ個のセグメントのうち連続する２つは、前記ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、１番目の前記回転軸点は、前記基本回転軸点に接続された前記セグメントに接続され、ｎ−１番目の前記回転軸点は、前記オブジェクトの先端を含む前記セグメントに接続され；
   前記方法がさらに、前記オブジェクトが初期位置から前記目標位置まで動く間の前記オブジェクトの先端の位置を表す主軌跡を生成するステップを含み、前記主軌跡は、前記基本回転軸点を中心とし；
   前記方法がさらに、前記主軌跡に沿った前記先端の任意位置について、前記基本回転軸点及び前記ｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角を決定するステップを含むことを特徴とするオブジェクトの表現方法。
2. 前記目標位置及び前記初期位置の各々が、前記基本回転軸点及び前記ｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角の集合によって規定されることを特徴とする請求項１に記載の方法。
3. 前記目標位置及び前記初期位置の各々が、前記オブジェクトの屈曲角の集合及び先端位置によって規定され、前記屈曲角の集合は、前記基本回転軸点及び１番目からｎ−２番目までの前記回転軸点の各々における屈曲角から成ることを特徴とする請求項１に記載の方法。
4. さらに、
   ２より大きいｎについて、前記オブジェクトが前記初期位置から前記目標位置まで動く間の前記先端の位置を表すｎ−２個の追加的軌跡を生成するステップを含み、１番目の前記追加的軌跡は１番目の前記回転軸点を中心とし、前記オブジェクトがｎ個の前記セグメント及びｎ−１個の前記回転軸点を含み、ｎが２より大きい際に、ｎ−２番目の前記追加的軌跡は、ｎ−２番目の前記回転軸点を中心とし、
   前記方法がさらに、前記ｎ−２個の追加的軌跡の各々に沿った前記先端の任意位置について、前記回転軸点の各々における屈曲角を決定するステップを含むことを特徴とする請求項２または３に記載の方法。
5. 前記主軌跡及び前記追加的軌跡の各々が、座標系の原点と前記オブジェクトの先端との間の距離を、前記座標系の１つの座標軸と、前記座標系の原点を前記オブジェクトの先端に接続する直線との間の角度θの関数として表すことを特徴とする請求項４に記載の方法。
6. 角度θが閉包パラメータであり、０〜１の値を有することを特徴とする請求項５に記載の方法。
7. 前記主軌跡及び前記ｎ−２個の追加的軌跡の各々が、対数螺旋から成ることを特徴とする請求項４または６に記載の方法。
8. 前記屈曲角を決定するステップが、三角法を用いて前記屈曲角を計算することを含むことを特徴とする請求項１〜７のいずれかに記載の方法。
9. 連接した物理的物体をアニメーション化する方法において、この方法が、
   前記物理的物体のデジタル表現を用意するステップを含み、前記物理的物体の近位端は基本回転軸点であり、前記物理的物体の遠位端は当該物理的物体の先端であり、前記物理的物体はｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ｎは２以上であり、前記ｎ個のセグメントのうち連続する２つは、前記ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、１番目の前記回転軸点は、前記基本回転軸点に接続された前記セグメントに接続され、ｎ−１番目の前記回転軸点は、前記物理的物体の先端を含む前記セグメントに接続され；
   前記方法がさらに、各々が、前記物理的物体が動く間の当該物理的物体の先端の位置を記述する主軌跡及びｎ−２個の追加的軌跡を提供するステップを含み、前記主軌跡は前記基本回転軸点を中心とし、１番目からｎ−２番目までの前記追加的軌跡はそれぞれ、１番目からｎ−２番目までの前記回転軸点を中心とし；
   前記方法がさらに、前記物理的物体を目標位置まで移動させるステップを含むことを特徴とする物理的物体のアニメーション化方法。
10. 前記主軌跡及び前記ｎ−２個の追加的軌跡を提供するステップが、前記物理的物体の２つの異なる位置を用いて、前記主軌跡及び前記ｎ−２個の追加的軌跡を決定することを含むことを特徴とする請求項９に記載の方法。
11. 前記２つの異なる位置の各々が、前記基本回転軸点及び前記ｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角から成る屈曲角の集合によって規定されることを特徴とする請求項１０に記載の方法。
12. 前記２つの異なる位置の各々が、屈曲角の集合及び前記物理的物体の先端の空間的位置によって規定され、前記屈曲角の集合は、前記基本回転軸点及び１番目からｎ−２番目までの前記回転軸点の各々における屈曲角から成ることを特徴とする請求項１０に記載の方法。
13. 前記２つの異なる位置が、前記物理的物体の２つの極限位置であり、前記物理的物体は、前記２つの極限位置間を移動することができることを特徴とする請求項１０〜１２のいずれかに記載の方法。
14. 前記主軌跡及び前記追加的軌跡の各々が、座標系の原点と前記物理的物体の先端との間の距離を、前記座標系の１つの軸と、前記座標系の原点を前記物理的物体の先端に接続する直線との間の角度θの関数として表すことを特徴とする請求項９〜１３のいずれかに記載の方法。
15. 前記主軌跡及び前記ｎ−２個の追加的軌跡の各々が、対数螺旋から成ることを特徴とする請求項９または１４に記載の方法。
16. 前記目標位置を、閉包パラメータの目標値に応じて決定することを特徴とする請求項９に記載の方法。
17. 前記物理的物体の目標位置を、前記閉包パラメータの目標値、前記主軌跡、前記ｎ−２個の追加的軌跡、及び三角法を用いて決定することを特徴とする請求項１６に記載の方法。
18. 前記目標位置が、対応する屈曲角の集合によって規定されることを特徴とする請求項１７に記載の方法。
19. オブジェクトをデジタルアニメーション化するシステムにおいて、
    コンピュータ内のプロセッサと；
    前記プロセッサに結合されたアプリケーションとを具え、このアプリケーションが：
    前記オブジェクトの目標位置を与えるように構成され、前記オブジェクトの近位端は基本回転軸点であり、前記オブジェクトの遠位端は当該オブジェクトの先端であり、前記オブジェクトはｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ｎは２以上であり、前記ｎ個のセグメントのうち連続する２つは、前記ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、１番目の前記回転軸点は、前記基本回転軸点に接続された前記セグメントに接続され、ｎ−１番目の前記回転軸点は、前記オブジェクトの先端を含む前記セグメントに接続され；
    前記アプリケーションがさらに、前記オブジェクトが初期位置から前記目標位置まで動く間の前記オブジェクトの先端の位置を表す主軌跡を生成するように構成され、前記主軌跡は、前記基本回転軸点を中心とし；
    前記アプリケーションがさらに、前記主軌跡に沿った前記先端の任意位置について、前記基本回転軸点及び前記ｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角を決定し；
    前記決定した屈曲角に従って、前記オブジェクトを前記目標位置まで移動させるように構成されている
    ことを特徴とするオブジェクトのデジタルアニメーション化システム。
20. 前記目標位置及び前記初期位置の各々が、前記基本回転軸点及び前記ｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角から成る屈曲角の集合によって規定されることを特徴とする請求項１９に記載のシステム。
21. 前記目標位置及び前記初期位置の各々が、屈曲角の集合及びオブジェクトの先端の空間的位置によって規定され、前記屈曲角の集合は、前記基本回転軸点及び１番目からｎ−２番目までの前記回転軸点の各々における屈曲角から成ることを特徴とする請求項１９に記載のシステム。
22. 前記アプリケーションがさらに、２より大きいｎについて、前記オブジェクトが前記初期位置から前記目標位置まで動く間の前記先端の位置を表すｎ−２個の追加的軌跡を生成するように構成され、１番目の前記追加的軌跡は１番目の前記回転軸点を中心とし、前記オブジェクトがｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を含み、ｎが２より大きい際に、ｎ−２番目の前記追加的軌跡は、ｎ−２番目の前記回転軸点を中心とし、
    前記アプリケーションがさらに、前記ｎ−２個の追加的軌跡の各々に沿った前記先端の任意位置について、前記回転軸点の各々における屈曲角を決定するように構成されていることを特徴とする請求項２０または２１に記載のシステム。
23. 前記主軌跡及び前記追加的軌跡の各々が、座標系の原点と前記オブジェクトの先端との間の距離を、前記座標系の１つの座標軸と、前記座標系の原点を前記オブジェクトの先端に接続する直線との間の角度θの関数として表すことを特徴とする請求項２２に記載のシステム。
24. 角度θが閉包パラメータであり、０〜１の値を有することを特徴とする請求項２３に記載のシステム。
25. 前記主軌跡及び前記ｎ−２個の追加的軌跡の各々が、対数螺旋から成ることを特徴とする請求項２２または２４に記載のシステム。
26. 前記アプリケーションが、三角法を用いて前記屈曲角を計算することを特徴とする請求項１９〜２５のいずれかに記載のシステム。
27. 連接した物理的物体をアニメーション化するシステムにおいて、このシステムが、
    前記物理的物体のデジタルモデルを作成するように構成されたデジタルモデル化モジュールを具え、前記物理的物体の近位端は基本回転軸点であり、前記物理的物体の遠位端は当該物理的物体の先端であり、前記物理的物体はｎ個のセグメント及びｎ−１個の回転軸点を有し、ｎは２以上であり、前記ｎ個のセグメントのうち連続する２つは、前記ｎ−１個の回転軸点のうち１つを介して接続され、１番目の前記回転軸点は、前記基本回転軸点に接続された前記セグメントに接続され、ｎ−１番目の前記回転軸点は、前記物理的物体の先端を含む前記セグメントに接続され；
    前記システムがさらに、各々が、前記物理的物体が動く間の当該物理的物体の先端の位置を記述する主軌跡及びｎ−２個の追加的軌跡を提供する軌跡生成モジュールを具え、前記主軌跡は前記基本回転軸点を中心とし、１番目からｎ−２番目までの前記追加的軌跡はそれぞれ、１番目からｎ−２番目までの前記回転軸点を中心とし；
    前記システムがさらに、前記物理的物体の目標位置を決定する位置決定モジュールと；
    前記物理的物体が初期位置から前記目標位置まで変位する間に、前記物理的物体を表示する表示装置を具えていることを特徴とする物体の表現システム。
28. 前記軌跡生成器が、前記物理的物体の２つの異なる位置を用いて、前記主軌跡及び前記ｎ−２個の追加的軌跡を決定するように構成されていることを特徴とする請求項２７に記載のシステム。
29. 前記２つの異なる位置の各々が、前記基本回転軸点及び前記ｎ−１個の回転軸点の各々における屈曲角から成る屈曲角の集合によって規定されることを特徴とする請求項２８に記載のシステム。
30. 前記２つの異なる位置の各々が、屈曲角の集合及び前記物理的物体の先端の空間的位置によって規定され、前記屈曲角の集合は、前記基本回転軸点及び１番目からｎ−２番目までの前記回転軸点の各々における屈曲角から成ることを特徴とする請求項２８に記載のシステム。
31. 前記２つの異なる位置が、前記物理的物体の２つの極限位置であり、前記物理的物体は、前記２つの極限位置間を移動することができることを特徴とする請求項２８〜３０のいずれかに記載のシステム。
32. 前記主軌跡及び前記追加的軌跡の各々が、座標系の原点と前記物理的物体の先端との間の距離を、前記座標系の１つの軸と、前記座標系の原点を前記物理的物体の先端に接続する直線との間の角度θの関数として表すことを特徴とする請求項２７〜３１のいずれかに記載のシステム。
33. 前記主軌跡及び前記ｎ−２個の追加的軌跡の各々が、対数螺旋から成ることを特徴とする請求項２７または３２に記載のシステム。
34. 前記位置決定モジュールが、前記目標位置を、閉包パラメータの目標値に応じて決定するように構成されていることを特徴とする請求項２７に記載のシステム。
35. 前記位置決定モジュールが、前記物理的物体の目標位置を、前記閉包パラメータの目標値、前記主軌跡、前記ｎ−２個の追加的軌跡、及び三角法を用いて決定するように構成されていることを特徴とする請求項３４に記載のシステム。
36. 前記目標位置が、対応する屈曲角の集合によって規定されることを特徴とする請求項３５に記載のシステム。

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