JP2010002409A - カンチレバー装置及びカンチレバー制御方法 - Google Patents

Abstract

【課題】カンチレバーのたわみ角の測定データを利用したフィードバックにより、カンチレバーに対するファンデルポール型振幅制御を行う。
【解決手段】自励発振回路４０は、たわみ角計測機構により検出したカンチレバーのたわみ角信号を積分器４２により積分し、その積分値にゲイン発生器４４により発生した線形フィードバックゲインＫ_linを乗算することにより、それに対応する出力を生成すると共に、たわみ角信号をアナログ乗算器４６及びアナログ乗算器４８により３乗し、積分器５０及び積分器５２により積分し、その積分値にゲイン発生器５４により発生した非線形フィードバックゲインＫ_nonを乗算することにより、それに対応する出力を生成し、これらの出力を加算器５６により加算し、ピエゾ素子に対する電圧信号Ｖ_Cを生成する。
【選択図】図７

Description

本発明は、 測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられるカンチレバー装置及び、このカンチレバー装置におけるカンチレバーを制御するためのカンチレバー制御方法に関する。

近年、原子間力顕微鏡(ＡＦＭ)による生体試料観察への期待が高まってきている。ＡＭＦとは、先端に探針が付いたマイクロカンチレバーを用いて、微小な物体の表面形状を観測する装置である。試料と探針の間に働く原子間力によりカンチレバーの等価的な固有振動数が変化する。したがって、カンチレバーの固有振動数の変化を検出し、検出した固有振動数の変化から探針に働く原子間力の影響を算出すれば、探針と測定対象物との間の距離を測定できる。たとえば、特許文献１には、原子間力顕微鏡において、カンチレバーの自励振動を非線形フィードバック制御するカンチレバー制御装置が開示されている。

生理条件下での生体試料の真の構造を観察することは、液中ＡＦＭ観察の大きな目標の一つである。しかしＡＦＭを液中で利用する場合、粘性減衰によりカンチレバーのＱ値が低下するため従来の強制加振による方法では観測は困難になる。近年、それを回避するために、自励発振を用いる手法が研究されており、様々な手法（例えば、非特許文献１及び非特許文献２参照）が提案されている。

自励発振の振動数は低振幅時には固有振動数とほぼ一致し、液中等でも固有振動数が計測可能である。しかし、一般に自励発振状態では振幅の時間的増加は避けられない。したがって、弱い衝撃でも変形してしまう生体試料の計測に自励発振を利用するためには、振幅を十分に小さく抑える必要がある。
特開２００６−２０８０８９号公報 T.R.A1brecht,P.Grutter,and D.Ruger,Frequency Mdulation Detection Using High-Q Cantilevers For Enhanced Force Microscope Sensitivity,Journal of Applied Physics Vol.69(1991),pp.668-673 T.0kajima,H.Sekigushi,H.Arakawa,and A.Ikai,Self -Oscillation Technique for AFM in Liquids, Applied Surface Scince, Vol. 210(2003),pp.68‐72.

そこで、本出願の発明者等は、線形フィードバック及び非線形フィードバックを用いてマイクロカンチレバーにファンデルポール型の自励発振子と同様な振動特性を持たせ、低振幅、定常発振を実現することを目的とし、本出願に係る発明を案出した。
すなわち、ファンデルポール型自励振動には、その非線形性によって有限振幅を持った定常振動状態が存在することが知られている。この振幅特性を利用すれば、カンチレバーの共振状態での振幅制御が可能となり、測定試料への接触の問題点を解決できる。

本発明の目的は、上記事実を考慮し、カンチレバーにおけるたわみ角、たわみ量及び変位の何れかの測定データを利用したフィードバックにより、カンチレバーに対する振幅制御を行うことができるカンチレバー装置及びカンチレバー制御方法を提供することにある。

本発明の請求項１に係るカンチレバー装置は、測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられるカンチレバー装置であって、先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバーと、前記カンチレバーを自励振動させる振動源と、前記カンチレバーのたわみ角を検出する検出機構と、前記カンチレバーのたわみ角に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部と、を備え、前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（９）により表されることを特徴とする。

ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、∂ｗ／∂ｓはカンチレバーのたわみ角、ｘ_Sはカンチレバーに対するセンシング点、ｍは２以上の偶数である。
さらに本発明の請求項２に係るカンチレバー装置は、請求項１記載のカンチレバー装置において、前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（１０）により表されることを特徴とする。

本発明の請求項３に係るカンチレバー装置は、測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられるカンチレバー装置であって、先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバーと、前記カンチレバーを自励振動させる振動源と、前記カンチレバーのたわみ量又は変位を検出する検出機構と、前記カンチレバーのたわみ量又は変位に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部と、を備え、前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（１１）により表されることを特徴とする。

ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、ｗはカンチレバーのたわみ量又は変位、ｘ_Sはカンチレバーに対するセンシング点、ｍは２以上の偶数である。

さらに本発明の請求項４に係るカンチレバー装置は、請求項３記載のカンチレバー装置において、前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（１２）により表されることを特徴とする。

本発明の請求項５に係るカンチレバー制御方法は、測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられ、先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバー、前記カンチレバーを自励振動させる振動源、前記カンチレバーのたわみ角を検出する検出機構及び前記カンチレバーのたわみ角に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部を備えるカンチレバー装置に用いられるカンチレバー制御方法であって、前記制御部は、下記式（１３）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とする。

ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、∂ｗ／∂ｓはカンチレバーのたわみ角、ｘ_Sはセンシング点、ｍは２以上の偶数である。

さらに本発明の請求項６に係るカンチレバー制御方法は、請求項５記載のカンチレバー制御方法において、前記制御部は、下記式（１４）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とする。

本発明の請求項７に係るカンチレバー制御方法は、測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられ、先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバー、前記カンチレバーを自励振動させる振動源、前記カンチレバーのたわみ量又は変位を検出する検出機構及び前記カンチレバーのたわみ量又は変位に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部を備えるカンチレバー装置に用いられるカンチレバー制御方法であって、前記制御部は、下記式（１５）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とする。

ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、ｗはカンチレバーのたわみ量又は変位、ｘ_Sはセンシング点、ｍは２以上の偶数である。
さらに本発明の請求項８に係るカンチレバー制御方法は、請求項７記載のカンチレバー制御方法において、前記制御部は、下記式（１６）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とする。

以上説明した本発明に係るカンチレバー装置及びカンチレバー制御方法によれば、カンチレバーにおけるたわみ角、たわみ量及び変位の何れかの測定データを利用したフィードバックにより、カンチレバーに対する振幅制御を安定的に行うことができる。

以下、本発明の実施形態に係るカンチレバー装置及び、このカンチレバー装置に用いられるカンチレバー制御方法を、図面を参照しつつ説明する。
（カンチレバー解析モデル）
図１には、本発明の実施形態に係るＡＦＭカンチレバーの解析モデルが示されている。このＡＦＭカンチレバー（以下、単に「カンチレバー」という。）１２をオイラーベルヌーイ梁と見做し運動方程式を導出する。カンチレバー１２の長手方向に沿ってｘ軸、たわみ方向に沿ってz軸をとる。カンチレバー１２は、ｚ−ｘ平面内を運動するものとする。カンチレバー１２は長さがｌであり、固定端１４から中立面のある任意の点ｐまでの距離をｓ、このｐ点のｘ軸方向に沿った変位をｕ、ｚ軸方向に沿った変位をｗとする。カンチレバー１２の固定端１４は、圧電アクチュエータであるピエゾ素子１６に連結されており、ピエゾ素子１６は、固定端１４にｚ軸方向に沿った変位入力ζを与えることができ、この変位入力ζがカンチレバー１２に対する制御入力となる。また、カンチレバー１２には、先端部の下面側に探針１５が配置されている。
（モデルの理論解析）
まず、カンチレバーの運動エネルギＴとポテンシャルエネルギＶは、式（１７）及び式（１８）によりそれぞれ表される。

ラグランジュの未定常数λを用いて、式（１９）に示されるように、中立面は曲げによる伸びを生じない条件を導入する。

拡張されたハミルトンの原理は式（２０）のように記述され、これに対する変分を実行すると、式（２１）に示される運動方程式を得ることができる。また境界条件は式（２２）により表される。

なお、以下の説明にて、（´）はｓによる偏微分を表し、上付きの（●）はｔによる偏微分を表している。またρ、Α、Ε、Ιは、密度、断面積、ヤング率、断面二次モーメントをそれぞれ表し、測定環境における線形粘性減衰項Ｃ_lin∂ｗ／∂ｔを考慮している。加振変位入力ζをピエゾ素子１６により与えるものとすると、ピエゾ素子１６のフィードバック制御信号（制御電圧）Ｖ_Cと加振変位入力ζとの関係は圧電定数ｄ₃₃を用いて式（２３）のように表される。
なお、圧電定数ｄ₃₃については、例えば「C．R．Fuller, S.E1liot, and P.Nelson, Active Control of Vibration,(1996),pp.115‐120,Academic Press, London.」に記載されている。

従来の原子間力顕微鏡では、ファンデルポール型自励発振を実現するために、カンチレバー１２のたわみ角の時間ｔに関する１階微分をフィードバックし、式（２４）により表される制御電圧Ｖ_Cを用いていた。

しかし、本実施形態では、制御入力が式（２１）では、∂²ζ／∂ｔ²のように加速度として直接現れることに着目してＶ_Cを式（２５）のように設定する。

Ｋ_lin（＞０）とＫ_non（＞０）はそれぞれ線形フィードバックゲインと非線形フィードバックゲインを表している。このとき制御入力によるｘ＝０での梁（カンチレバー１２）の加速度∂²ζ／∂ｔ²は式（２６）により表される。また、カンチレバー１２の代表長さをｌ、代表時間をＴ＝√（ρΑｌ⁴／ΕΙ）とおくと、式（２１）の運動方程式は式（２７）に示されるように無次元化される。このとき、境界条件は式（２８）により表される。

無次元の減衰係数及びフィードバックゲインは、式（２９）〜式（３１）のようにおいた。ここで、上付き（^*）は無次元量を示しているが、式（３１）以降の数式では（^*）の記載を省略する。

（多重尺度法による解析）
式（２７）の無次元運動方程式を、多重尺度法を用いて解析する。微小パラメータε（０＜ε≪１）を用いて、ｚ軸方向に沿った変位ｗを、べき級数展開し、多重時間尺度を式（３２）及び式（３３）のように導入する。

フィードバックの効果が後述する振幅方程式に反映されるように、各係数に対し式（３４）のようなオーダを与える。ここで、上付き（∧）が付いたパラメータはΟ（１）である。ｔに関する時間微分は多重時間尺度で表すと、式（３５）のように表される。

以降、∂／∂ｔ₀≡Ｄ₀、∂／∂ｔ₂≡Ｄ₂の微分オペレータを導入する。式（２７）に式（３２）及び式（３３）を代入し、オーダ毎にまとめると、式（３６）及び式（３７）のようになる。

式（３６）よりΟ（ε）の解は式（３８）に示すようになる。

複素振幅Ａ（ｔ₂）は時間尺度ｔ₂の関数である。Ο（ε³）の近似解のうち１次の固有振幅数ωを持つ項を式（３９）のようにおき、式（３８）及び式（３９）を式（３６）に代入し、両辺のｅ^jω^t0の係数を等置すると、式（４０）を得る。ここで、Ｃ（ｓ）は式（４１）のように表せる。

Φ₃が解を持つ条件（可解条件）をΦ₁を使って求める。式（４０）の両辺にΦ₁を掛けてｓについて０から１まで積分すると、式（４２）を得る。ここで、β₁〜β₃はそれぞれ式（４３）〜式（４５）である。

式（４２）に下記式（４６）を代入し、両辺にε³をかけ、実部と虚部とに分けると、振幅ａと位相γに関する方程式は式（４７）及び式（４８）のようになる。

上式はファンデルポール型発振子の振幅と位相の時間変化を示す式と等価であり、式（２５）のフィードバックにより、カンチレバー１２はファンデルポール型発振子と同様な特性を持つことになる。式（４７）の時間微分の項を０とおいて定常振幅を求めると、式（４９）となる。

これにより線形フィードバックゲインｋ_linと定常振幅との関係が図２のグラフに示すように得られる。図２に示される、ｋ_lin-cr＝μ_lin／２β₂は自励発振限界で、線形フィードバックゲインｋ_linがこの臨界ゲインｋ_lin-crより大きいとカンチレバー１２は、超臨界Ｈｏｐｆ分岐により自励発振する。また、非線形フィードバックゲインｋ_nonが式（４９）中の分母にあることから、ｋ_nonを大きくするとことにより、カンチレバー１２の自励発振時の定常振幅を低く抑えられることがわかる。さらに式（４８）を解くと、式（５０）が得られる。

上記式（５０）によりカンチレバー１２の振動の位相を求めることができる。ここで、γ₀は初期位相で、初期値によって決定される。従って、自励発振の定常状態は下記の式（５１）により表される。

ここで、カンチレバー１２の自励発振振動数Ωは、カンチレバー１２の線形の固有振動数であり、式（５２）により表される。この式（５２）では、定常振幅ａ_stが微小な場合は、Ωはωとほぼ一致する。またβ₁＞０であるので、定常振幅が増加したときは、固有振動数よりも低い振動数で発振する。

（ＡＦＭ装置の構成）
図３には、本実施形態に係るＡＦＭ装置の構成が模式的に示され、図４には、図３に示されるＡＦＭ装置に用いられた光てこ法を用いたたわみ角計測機構の構成が示されている。

ＡＦＭ装置１０ではカンチレバー１２の固定端側がピエゾ素子１６に連結されており、ピエゾ素子１６はカンチレバー１２を加振する。たわみ角計測機構２０は、図４（Ａ）に示されるように、レーザダイオード２２、プリズム２４、折返しミラー２６及びフォトディテクタ２８を備えている。レーザダイオード２２（キコー技研製レーザポインタ、ＭＬＸＧ−Ｄ１２−６７０）は、プリズム２４を介してカンチレバー１２の上面先端部にレーザＢを照射する。

カンチレバー１２により反射されたレーザＢは、折返しミラー２６により反射されてフォトディテクタ２８（浜松ホトニクス、Ｓ７４７９）に入射する。このとき、カンチレバー１２が撓むと、レーザＢの反射角が変化することから、フォトディテクタ２８におけるレーザＢの受光点が変化する。
フォトディテクタ２８は、図４（Ｂ）に示されるように、４個の受光領域２８Ａ〜２８Ｄを有する分割構造を有しており、上側の受光領域２８Ａ及び２８Ｂにおける受光光量と下側の受光領域２８Ｃ及び２８Ｄにおける受光光量との差（光量比）により入射角の変化を検出する。また、図３にて、７０は微小変位計、７２はチューブスキャナ、７４はサンプルステージである。

図５には、本発明の実施形態に係るＡＦＭ装置におけるカンチレバー１２及びカンチレバーホルダの構成が示されている。カンチレバーホルダ３０は、カンチレバー１２の長手方向に沿った断面形状が略直角三角形に形成された支持台３２を備えており、この支持台３２の上面側にはピエゾ素子１６が固着されている。支持台３２は、ピエゾ素子１６を介してＡＦＭ装置のフレーム部材３４に固定されている。

カンチレバーホルダ３０はリン青銅製の板ばね３６を備えており、この板ばね３６は、その基端側がフレーム部材３４に固定されおり、先端側がばね復元力により支持台３２側へ付勢されている。カンチレバーホルダ３０は、カンチレバー１２の基端部を支持台３２の下面側と板ばね３６の先端部との間に挟持することにより、カンチレバー１２を片持ち状態で支持している。このとき、カンチレバー１２は、その長手方向が水平方向に対して約１５°の傾きを持つように支持される。

なお、ＡＦＭ装置１０では、たわみ角計測機構２０を用いてカンチレバー１２のたわみ角を光てこ法により検出していたが、カンチレバー１２の変位を検出する変位計測機構としては、光てこ法を用いたもの以外にも、例えば、非接触型のレーザードップラー式振動計を用いても良く、またピエゾ素子等を用いた接触型の微小変位計を用いても良い。
またＡＦＭ装置１０では、カンチレバー１２の振動源として接触型ならばピエゾ素子１６を用いていたが、このような振動源以外にも、例えば、非接触型ならば電磁力を用いたボイスコイル型の振動源や、静電気力を用いた静電アクチュエータをカンチレバー１２の振動源として用いても良い。

（制御部の構成）
図６のブロック図に示されるように、ＡＦＭ装置１０は、制御部であるコントローラ７０を備えている。コントローラ７０は、たわみ角計測機構２０により検出したカンチレバー１２のたわみ角信号に基づいて、フィードバック制御信号である電圧信号を生成し、この電圧信号を制御電圧Ｖ_Cとして振動源であるピエゾ素子１６に出力する。これにより、ピエゾ素子１６は、制御電圧Ｖ_Cに対応する振動変位をカンチレバー１２に伝達して、カンチレバー１２を自励振動させる。

図７には、図６に示されるコントローラ７０に対するプログラムにより機能的に実現されたファンデルポール型の自励発振回路（等価回路）が示されている。ＡＦＭ装置１０では、前述したように、線形フィードバック及び非線形フィードバックによってカンチレバー１２をファンデンポール型発振子と同様の振動系にする。
ファンデルポール型自励発振回路（以下、単に「自励発振回路」という。）４０は、式（２５)により表されたカンチレバー１２のたわみ角に比例する線形フィードバック及び、たわみ角の３乗に比例するよう非線形フィードバックを実現するためのアナログ制御回路である。

自励発振回路４０では、たわみ角計測機構２０により検出したカンチレバー１２のたわみ角信号を積分器４２により積分し、その積分値にゲイン発生器４４により発生した線形フィードバックゲインＫ_linを乗算することにより、式（２５）の線形フィードバックゲインに対応する出力を生成する。また、自励発振回路４０では、たわみ角信号をアナログ乗算器４６及びアナログ乗算器４８により３乗すると共に、積分器５０及び積分器５２により積分し、その積分値にゲイン発生器５４により発生した非線形フィードバックゲインＫ_nonを乗算することにより、式（２５）の非線形フィードバックゲインに対応する出力を生成する。

さらに、自励発振回路４０では、加算器５６により線形項に対応する出力と非線形項に対応する出力とを加算し、電圧信号Ｖ_outを生成した。この電圧信号Ｖ_outは、必要に応じてピエゾ素子１６に対応する電圧値に変換され、カンチレバー１２に対する制御電圧Ｖ_Cとしてピエゾ素子１６に印加される。
なお、本実施形態では、自励発振回路４０をコントローラ７０によりアナログ制御回路として実現したが、このような自励発振回路をコントローラ７４によりディジタル制御回路として実現することも可能である。

この場合は、ＡＦＭ装置１０には、図８に示されるように、たわみ角計測機構２０とコントローラ７４との間にＡ／Ｄ（アナログ／ディジタル）変換器７４が介装されると共に、コントローラ７４とピエゾ素子１６との間にＤ／Ａ（ディジタル／アナログ）変換器７６が介装される。
ここで、Ａ／Ｄ変換器７４は、たわみ角計測機構２０から出力されたカンチレバー１２のたわみ角のアナログ信号をディジタル信号に変換し、コントローラ７４へ出力する。またＤ／Ａ変換器７６は、コントローラ７０から出力されたディジタルの電圧信号Ｖ_outをアナログ電圧信号である制御電圧Ｖ_Cに変換し、ピエゾ素子１６に出力する。

一方、コントローラ７４には、入力信号をディジタル的に処理する積分器７８及び線形ゲインアンプ８０が設けられており、これらの積分器７８及び線形ゲインアンプ８０は、たわみ角計測機構２０により検出したカンチレバー１２のたわみ角信号（ディジタル信号）に基づいて、式（２５）の線形フィードバックゲインに対応する出力を生成する。またコントローラ７４には入力信号をディジタル的に処理する、乗算器８２、乗算器８４、積分器８６及び非線形ゲインアンプ８８が設けられており、これらの乗算器８２、乗算器８４、積分器８６及び非線形ゲインアンプ８８は、たわみ角計測機構２０により検出したカンチレバー１２のたわみ角信号（ディジタル信号）に基づいて、式（２５）の非線形フィードバックゲインに対応する出力を生成する。

コントローラ７４は、加算器９０により線形ゲインアンプ８０から出力された線形フィードバックゲインと非線形ゲインアンプ８８から出力された非線形フィードバックゲインとを加算し、それらの加算値を電圧信号Ｖ_outとしてＤ／Ａ変換器７６に出力する。
ＡＦＭ装置１０では、上記のようにコントローラ７４により自励発振回路をディジタル制御回路として構成し、この自励発振回路、Ａ／Ｄ変換器７４及びＤ／Ａ変換器７６により制御電圧Ｖ_Cを生成した場合でも、当然、アナログの自励発振回路４０により制御電圧Ｖ_Cを生成した場合と基本的に同一の制御結果が得られる。

（ＡＦＭ装置を用いた実験結果）
次に、本実施形態に係るＡＦＭ装置１０（図３参照）を用いて自励発振の実験を行った結果について説明する。
ＡＦＭ装置１０には、カンチレバー１２として長さ４５０μｍ、幅５０μｍ、厚さ４μｍ、１次モードの固有振動数２３〜３１ｋＨｚ（セイコーインスツル製、ＳＩ-ＤＦ３）のものを取り付けた。
（ａ）カンチレバーの振幅測定法
本実験では、ＡＦＭ装置で一般的に利用される1次モードの固有振動数において自励発振を実現することを考える。カンチレバー１２に線形フィードバックの制御成分のみを加えると、カンチレバー１２は自励発振した。このとき、カンチレバー１２の振幅の測定には光てこ方式のたわみ角計測機構２０を用いた。レーザＢをカンチレバー１２の先端付近に照射し、その出力信号を測定した。たわみ角計測機構２０からの出力信号をＦＦＴ（高速フーリエ変換）解析することにより、そのカンチレバー１２の先端付近での振幅と振動数を測定した。

（ｂ）ファンデルポール型自励発振回路による振幅制御
図９には、線形フィードバックゲインに対応する制御入力電圧のみをピエゾ素子に加えた場合の時刻歴波形が示されている。また図１０には、線形フィードバックゲイン及び非線形フィードバックゲインに対応する制御入力電圧をピエゾ素子に加えた場合の時刻歴波形が示されている。

線形フィードバックだけでピエゾ素子を制御した場合には、時間経過と共に振幅が成長し、発散してしまうことが解る。一方、線形フィードバック及び非線形フィードバックによりピエゾ素子を制御した場合には、線形フィードバックのみで制御した場合に振幅が発散していたのに対し、振幅が一定に収まり、定常振幅で発振していることが解る。

（ｃ）低振幅定常自励発振の実現
図１１、図１２及び図１３には、自励発振の定常振幅の大きさと線形フィードバックゲインとの関係が示されている。これらの図にて、横軸は線形フィードバックゲインＫ_lin、縦軸は自励発振の定常振幅ａ_stである.また、黒丸「●」は線形フィードバックゲインを増加させているときのプロットであり、白丸「○」は線形フィードバックゲインを減少させているときのプロットである。線形フィードバックのみの場合は、図１１に示されるように、臨界ゲインＫ_lin-crを超えるとすぐに発散してしまうのに対し、線形フィードバック及び非線形フィードバックの場合は、図１２に示されるように、非線形フィードバックゲインの効果によって振幅が制御されている様子がわかる。

さらに図１３では、非線形フィードバッグゲインＫ_nonをより大きくすることにより、振幅がさらに小さく制御されている様子がわかる。このとき、十分に分岐点（臨界ゲインＫ_lin-cr）よりも大きく、自励発振を安定に生じるハイゲインの線形フィードバックで約４ｎｍの定常振幅を持つ自励発振が確認された。
また、図１２中で最大振幅をとる線形フィードバックゲインＫ_lin=１．７９×１０⁶［Ｖ／ｓ］のときの光てこ出力及び、周波数スペクトルをそれぞれ図１４及び図１５に示す。これらからは、２８ｋＨｚ付近での定常振幅を持った自励発振を確認できる。

なお、低振幅の自励発振は線形フィードバックゲインを分岐点Ｋ_lin-cr近傍に設定すれば、非線形の粘性減衰を考慮する事により理論上は実現できるが、実際には環境のわずかな変化によりＫ_linが移動し，発振状態は安定しななくなる。しかし、本実施形態で提案した手法を用いれば、線形フィードバックゲインをＫ_linより十分に大きな値に設定した場合でも，振幅を低く抑えられるため、発振停止を起こさずに安定な定振幅定常発振が可能である。

また、従来の微分器を用いた振幅制御においても低振幅は実現されているが、本実施形態では微分器によって高周波のノイズを増幅してしまうことがないため、より正確な加振入力をピエゾ素子に印加できる。そのため、微分器をもちいたＡＦＭ装置では困難であった１０ｎｍ以下の定常振幅の調節が容易にできるようになった。

（ｄ）自励発振振動数の変化
図１６には、自励発振振動数Ωと線形フィードバックゲインＫ_linとの関係が示されている。この図１６からは、線形フィードバックゲインＫ_linが増加する、すなわち応答振幅ａ_stが増加するとともにΩが低下している様子がわかる。このことは、理論解析で示した自励発振振動数Ωを表す式（５２）から得られる考察と一致する。

（液中観察用カンチレパーホルダの試作）
（ａ）カンチレバーホルダの構成
図１７及び図１８には、本実施形態に係る制御方法を用いて生体試料の液中観察を行うために液中観察用のカンチレバーホルダの構成が示されている。カンチレバーホルダ６０では、液体Ｆの環境を一定に保つためにシャーレ６６に入っている液体Ｆをステンレスの蓋６２で覆ってある。蓋６２はカンチレバーホルダ３０に固定されている。またたわみ角測機構２０でカンチレバー１２のたわみ角を測定するため、レーザＢの光路にあたる部分はステンレスでなくガラスカバー６４を用いている。このカンチレバーホルダ６０により、既存の試ＡＦＭ装置のカンチレバーホルダと交換するだけで液体Ｆ中での試料観察が可能になる。さらに、ＡＦＭ装置１０では、ピエゾ素子１６を液体Ｆから守るためピエゾ素子１６の表面をシリコーンで覆って耐水性を持たせた。

（ｂ）液中実験
シャーレ６６に液体Ｆ(本実施形態では、蒸留水を用いた。)を入れ、線形フィードバックのみで自励発振しているカンチレバー１２を着水させると、発振が停止した。その後さらに線形フィードバックゲインを増加させるとカンチレバー１２は再び発振を始めた。そのときのたわみ角計測機構２０からの出力をＦＦＴ解析した結果を図１９に示す。図１９からは、１８０ｋＨｚ付近で自励発振している様子がわかる。本実施形態では、大気中での自励発振で支配的であった1次の固有振動数(約２９ｋＨｚ)での発振は見られなかった。

（カンチレバー制御方法の変形例）
（ａ）制御演算式の一般化
以上説明した本実施形態に係るＡＦＭ装置１０では、式（２５）に示されるように、コントローラ７０、７２がカンチレバー１２のたわみ角の時間ｔに関する積分に比例する線形フィードバックに、カンチレバー１２のたわみ角の３乗の時間ｔに関する積分に比例するよう非線形フィードバックを加算し、制御電圧Ｖ_Cを生成している。これにより、ＡＦＭ装置１０では、自励振動するカンチレバー１２がいわゆるファンデルポール型の振動子となるように制御している。

しかし、本出願の発明者等の研究及び実験によれば、制御演算式である式（２５）の非線形項を一般化した式（５３）に従って制御電圧Ｖ_Cを生成した場合にも、ファンデルポール型の振動子と同様に、カンチレバー１２を安定的に自励振動させることが可能であることが明らかになっている。

上記式（５３）において、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、∂ｗ／∂ｓはカンチレバーのたわみ角、ｘ_Sはカンチレバーに対するセンシング点（本実施形態では、ｘ_S＝ｓ（図１参照））、ｍは２以上の偶数である。従って、式（２５）は、式（５３）においてｍ＝２の場合である。

ここで、式（５３）を時間ｔに関して２回微分すると、次の式（５４）が得られ、この式（５４）は式（５５）〜式（５７）の各項により構成されたものになる。このとき、式（５５）は振動するカンチレバー１２のたわみ角の時間ｔに関する１階微分に対応する項、式（５６）は振動するカンチレバー１２のたわみ角の時間ｔに関する１階微分に対する線形成分に対応する項、式（５７）は振動するカンチレバー１２のたわみ角の時間ｔに関する１階微分に対する非線形成分に対応する項になっている。

従って、ＡＦＭ装置１０では、式（５３）に従って制御電圧Ｖ_Cを生成することにより、測定環境がたとえＱ値が非常に小さくなる液中においても、カンチレバー１２の自励振動の停止を防止することができ、しかもホップ分岐によるリミットサイクルの発生によってカンチレバー１２の定常応答振幅が一定低振幅に維持されるため、カンチレバー１２の探針１５が測定対象物と接触することも防止できる。

また式（５３）及び式（５４）においては、ｍは２以上の偶数であれば良いが、特にｍ＝２の場合、すなわち式（２５）に基づいて制御電圧Ｖ_Cを生成する場合には、それ以外の場合（ｍ＝４、６、８・・・）と比較し、カンチレバーの運動方程式の解が簡便な式となる。
この結果、適切なフィードバックゲインＫ_lin及びＫ_nonの値をより一層容易に選定でき、かつコントローラ７０、７２における入力信号に対する乗算回数も最小にできるので、制御電圧Ｖ_Cを生成する回路も簡単なものにできる。

（ｂ）カンチレバーのたわみ量又は変位を制御入力とする場合
また、本実施形態に係るＡＦＭ装置１０では、たわみ角計測機構２０によりカンチレバー１２のたわみ角を検出し、このたわみ角計測機構２０により出力されたカンチレバー１２のたわみ角信号に基づいて自励発振回路４０が制御電圧Ｖ_Cを生成していたが、たわみ角計測機構２０に代わるたわみ量計測機構又は変位計測機構については、例えば、レーザードップラー式振動計やピエゾ素子を用い、カンチレバー１２のたわみ量又は変位を測定するものを用いても良い。
コントローラ７０、７２は、たわみ量計測機構又は変位計測機構によりカンチレバー１２のたわみ量又は変位を測定する場合には、式（５９）に従って制御電圧Ｖ_Cを生成する。

上記式（５８）において、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、ｗはカンチレバーのたわみ量又は変位、ｘ_Sはカンチレバーに対するセンシング点（本実施形態では、ｘ_S＝ｓ（図１参照））、ｍは２以上の偶数である。

ここで、式（５８）を時間ｔに関して２回微分すると、次の式（５９）が得られ、この式（５９）は式（６０）〜式（６２）の各項により構成されたものになる。このとき、式（６０）は振動するカンチレバー１２のたわみの時間ｔに関する１階微分に対応する項、式（６１）は振動するカンチレバー１２のたわみの時間ｔに関する１階微分に対する線形成分に対応する項、式（６２）は振動するカンチレバー１２のたわみの時間ｔに関する１階微分に対する非線形成分に対応する項になっている。

式（５８）及び式（５９）においては、ｍは２以上の偶数であれば良いが、特にｍ＝２の場合には、制御電圧Ｖ_Cは、下記式（６３）によって表される。

式（６３）に示されるようにｍ＝２の場合には、自励振動するカンチレバー１２はいわゆるファンデルポール型の振動子となる。一方、ｍが４以上の偶数（ｍ＝４、６、８・・・）である場合も、自励振動するカンチレバー１２はファンデルポール型の振動子と同様の効果を奏する。

従って、たわみ量計測機構又は変位計測機構によりカンチレバー１２のたわみ量又は変位を測定し、カンチレバー１２のたわみ量又は変位に対応する信号をコントローラ７０、７２への制御入力とした場合にも、測定環境がたとえＱ値が非常に小さくなる液中において、カンチレバー１２の自励振動の停止を防止することができ、しかもホップ分岐によってリミットサイクルが発生することによってカンチレバー１２の定常応答振幅が一定低振幅に維持されるため、カンチレバー１２の探針１５が測定対象物と接触することも防止できる。

また式（５８）において、特にｍ＝２の場合、すなわち式（６３）に基づいて制御電圧Ｖ_Cを生成する場合には、それ以外の場合（ｍ＝４、６、８・・・）と比較し、カンチレバーの運動方程式の解が簡便な式となる。この結果、適切なフィードバックゲインＫ_lin及びＫ_nonの値をより一層容易に選定でき、かつコントローラ７０、７２における入力信号に対する乗算回数も最小にできるので、制御電圧Ｖ_Cを生成する回路も簡単なものにできる。

本発明の実施形態に係るＡＦＭ装置におけるカンチレバーの解析モデルを示す側面図である。 本発明の実施形態に係るファンデルポール型カンチレバー制御方法における、線形フィードバックゲインＫ_linと定常振幅との関係を示すグラフである。 本発明の実施形態に係るＡＦＭ装置の構成を模式的に示す斜視図である。 本発明の実施形態に係るＡＦＭ装置に用いられる光てこ法を用いたたわみ角計測機構の概略構成を示す側面図及び、たわみ角計測機構におけるフォトディテクタの正面図である。 本発明の実施形態に係るＡＦＭ装置におけるカンチレバーホルダの構成を示す側面図である。 本発明の実施形態に係るＡＦＭ装置の構成を示すブロック図である。 本発明の実施形態に係るＡＦＭ装置に用いられるファンデルポール側自励発振回路の構成を示す回路図である。 自励発振回路をディジタル制御回路として機能的に実現したコントローラの構成を示すブロック図である。 線形フィードバックゲインに対応する制御入力電圧のみをピエゾ素子に加えた場合の時刻歴波形を示すグラフである。 線形フィードバックゲイン及び非線形フィードバックゲインに対応する制御入力電圧をピエゾ素子に加えた場合の時刻歴波形を示すグラフである。 自励発振の定常振幅の大きさと線形フィードバックゲインとの関係を示すグラフである。 自励発振の定常振幅の大きさと線形フィードバックゲインとの関係を示すグラフである。 自励発振の定常振幅の大きさと線形フィードバックゲインとの関係を示すグラフである。 図１０で最大振幅をとる線形フィードバックゲインＫ_linのときの光てこ出力と時間との関係を示すグラフである。 図１０で最大振幅をとる線形フィードバックゲインＫ_linのときの周波数スペクトルと時間との関係を示すグラフである。 自励発振振動数Ωと線形フィードバックゲインＫ_linとの関係を示すグラフである。 本発明の実施形態に係る制御方法を用いて生体試料の液中観察を行うために液中観察用のカンチレバーホルダの概略構成を示す側面断面図である。 本発明の実施形態に係る制御方法を用いて生体試料の液中観察を行うために液中観察用のカンチレバーホルダの概略構成を示す分解斜視図である。 カンチレバーを液体中で自励発振させた場合の光てこ出力と固有振動数との関係を示すグラフである。

符号の説明

１０ ＡＦＭ装置
１２ カンチレバー
１４ 固定端
１６ ピエゾ素子
２０ たわみ角計測機構
２２ レーザダイオード
２４ プリズム
２６ 折返しミラー
２８ フォトディテクタ
２８Ａ、２８Ｂ、２８Ｃ、２８Ｄ 受光領域
３０ カンチレバーホルダ
３２ 支持台
３４ フレーム部材
４０ 自励発振回路
４２ 積分器
４４ ゲイン発生器
４６ アナログ乗算器
４８ アナログ乗算器
５０ 積分器
５２ 積分器
５４ ゲイン発生器
５６ 加算器
６０ カンチレバーホルダ
６２ 蓋
６４ ガラスカバー
６６ シャーレ
７０，７２ コントローラ
７４ Ａ／Ｄ（アナログ／ディジタル）変換器
７６ Ｄ／Ａ（ディジタル／アナログ）変換器
８０ 線形ゲインアンプ
８２、８４ 乗算器
８６ 積分器
８８ 非線形ゲインアンプ
９０ 加算器
ａ_st 応答振幅
Ｂ レーザ
Ｃ_lin 線形粘性減衰項
ｄ₃₃ 圧電定数
Ｆ 液体
Ｋ_lin 線形フィードバックゲイン
Ｋ_non 非線形フィードバックゲイン
Ｖ_C フィードバック制御信号（制御電圧）
λ ラグランジュの未定常数
ω 固有振幅数
Ω 自励発振振動数

Claims (8)

1. 測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられるカンチレバー装置であって、
   先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバーと、
   前記カンチレバーを自励振動させる振動源と、
   前記カンチレバーのたわみ角を検出する検出機構と、
   前記カンチレバーのたわみ角に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部と、を備え、
   前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（１）により表されることを特徴とするカンチレバー装置。
   

   

   ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、∂ｗ／∂ｓはカンチレバーのたわみ角、ｘ_Sはカンチレバーに対するセンシング点、ｍは２以上の偶数である。
2. 前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（２）により表されることを特徴とする請求項１記載のカンチレバー装置。
   

   
3. 測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられるカンチレバー装置であって、
   先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバーと、
   前記カンチレバーを自励振動させる振動源と、
   前記カンチレバーのたわみ量又は変位を検出する検出機構と、
   前記カンチレバーのたわみ量又は変位に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部と、を備え、
   前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（３）により表されることを特徴とするカンチレバー装置。
   

   

   ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、ｗはカンチレバーのたわみ量又は変位、ｘ_Sはカンチレバーに対するセンシング点、ｍは２以上の偶数である。
4. 前記制御部によって生成されるフィードバック制御信号Ｖ_Cが、下記式（４）により表されることを特徴とする請求項３記載のカンチレバー装置。
   

   
5. 測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられ、先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバー、前記カンチレバーを自励振動させる振動源、前記カンチレバーのたわみ角を検出する検出機構及び、前記カンチレバーのたわみ角に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部を備えるカンチレバー装置に用いられるカンチレバー制御方法であって、
   前記制御部は、下記式（５）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とするカンチレバー制御方法。
   

   

   ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、∂ｗ／∂ｓはカンチレバーのたわみ角、ｘ_Sはセンシング点、ｍは２以上の偶数である。
6. 前記制御部は、下記式（６）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とする請求項５記載のカンチレバー制御方法。
   

   
7. 測定対象物の表面形状を測定する原子間力顕微鏡に用いられ、先端部に探針が設けられ振動可能とされたカンチレバー、前記カンチレバーを自励振動させる振動源、前記カンチレバーのたわみ量又は変位を検出する検出機構及び前記カンチレバーのたわみ量又は変位に基づいて前記振動源をフィードバック制御する制御部を備えるカンチレバー装置に用いられるカンチレバー制御方法であって、
   前記制御部は、下記式（７）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とするカンチレバー制御方法。
   

   

   ただし、Ｋ_linは正値である線形フィードバックゲイン、Ｋ_nonは正値である非線形フィードバックゲイン、ｗはカンチレバーのたわみ量又は変位、ｘ_Sはセンシング点、ｍは２以上の偶数である。
8. 前記制御部は、下記式（８）により求められるフィードバック制御信号Ｖ_Cに基づいて前記振動源を制御することを特徴とする請求項７記載のファンデルポール型カンチレバー制御方法。
   

   

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