JP2007295724A - 三相誘導電動機の過渡現象解析方法および過渡現象解析プログラム - Google Patents

Abstract

【課題】スロット３内に回転子導体１が挿入された回転子を有する三相かご形誘導電動機の過渡現象を、直接法を使用して精度よく解析する。
【解決手段】スロット３によって回転子導体の抵抗値が増加し回転子漏れリアクタンスが減少する効果を、回転子の回路定数（抵抗増加係数およびリアクタンス減少係数）に反映させて、電圧・電流方程式および電動機の運動方程式の解を求める。電圧・電流方程式および電動機の運動方程式の解を求めるに当たっては所定の精度が得られるまで繰り返し計算を行なう。
【選択図】図１

Description

この発明は、三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析するための解析方法およびコンピュータプログラムに関するものである。

従来の三相かご形誘導電動機として、回転子鉄心内にスロット（溝）を設け、このスロット内に、回転子導体（回転子バー）を挿入した構造のものが知られている（たとえば特許文献１参照）。一方、三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析する手法としては、（ａ）直接法、（ｂ）ｄ−ｑ座標法、（ｃ）瞬時値対称座標法、（ｄ）スパイラルベクトル法などが知られている（たとえば非特許文献１参照）。これらの解析方法では、基本的な仮定として、回路定数は周波数に依存せずに一定としている。
特開２００４−２４８３６１号公報 電気学会技術報告、第８９１号、"誘導機の過渡現象解析技術"、第４〜１２頁（２００２年７月）

三相かご形誘導電動機の始動時に、減電圧またはインバ−タによらず、直接電源電圧を電動機の端子に印加する「直入れ始動」では、大きな始動電流が流れる。これは、かご形電動機の回転子の深溝効果で説明されている。この深溝効果とは次のようにものである。

すなわち、始動時に回転子導体に流れる電流が周波数Ｓｆ（Ｓはスリップ、ｆは電源周波数）の時、漏れ磁束の周波数はＳｆであるが、回転子鉄心スロット部の漏れ磁束の分布は周波数により変化する。このためスロット部の回転子導体の抵抗値と漏れリアクタンスはスリップＳにより変化することになる。

回転子鉄心内の回転子導体の抵抗値は、Ｓｆが大きい時は直流抵抗に交流抵抗が加わることになり増加する。電動機の回転数が上昇して同期速度に近づくとＳｆが０に近づき、交流抵抗が０に近くまで減り、直流抵抗値に近くなる。漏れリアクタンスは逆にスリップが大きい時は小さく、スリップが小さいと大きくなる。

従来の三相かご形誘導電動機の過渡現象は、上述の（ａ）〜（ｃ）の解析手法を使用しているが、深溝効果を明確に反映しているものはない。そのために計算値と測定値の間に大きな差が発生する問題があった。

この発明は上記のような課題を解決するためになされたものであり、三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析するにあたり、直接法を使用したときに、従来よりも精度の高い解析ができるようにすることを目的とする。

上記目的を達成するために、この発明に係る三相誘導電動機の過渡現象解析方法は、三相交流が供給される固定子と、前記固定子内で回転可能であってスロット内に回転子導体が挿入された回転子とを有する三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析する解析方法であって、前記スロットによって回転子導体の抵抗値が増加し回転子漏れリアクタンスが減少する効果を回転子の回路定数に反映させて、電圧・電流方程式および電動機の運動方程式の解を求めること、を特徴とする。

また、この発明に係る三相誘導電動機の過渡現象解析プログラムは、三相交流が供給される固定子と、前記固定子内で回転可能であってスロット内に回転子導体が挿入された回転子とを有する三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析するために、コンピュータを、前記スロットによって回転子導体の抵抗値が増加し回転子漏れリアクタンスが減少する効果を回転子の回路定数に反映させて、電圧・電流方程式および電動機の運動方程式の解を求める手段、として機能させる。

この発明によれば、三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析するにあたり、直接法を使用して、従来よりも精度の高い解析ができる。

以下に、図面を参照しながらこの発明に係る三相誘導電動機の過渡現象解析方法の実施形態について説明する。

図１は、この発明に係る三相かご形誘導電動機の回転子の一実施形態の要部の軸方向断面図である。三相かご形誘導電動機では、固定子（図示せず）に囲まれて回転子が配置され、固定子巻線に三相交流を供給することによって回転子が回転するようになっている（特許文献１参照）。回転子の回転子鉄心２の外周には、軸方向に延びる複数のスロット（溝）３が形成され、各スロット３内に回転子導体（回転子バー）１が挿入されている。

図１の例では、回転子導体１の断面は長方形である。スロット３の底部の形状は回転子導体１の外形とほぼ一致し、スロット３の開口部は回転子導体１が外周方向に抜け出すことがないように傾斜を持たせて狭くなっている。ここで、スロット３の寸法は、図１に示すように、開口部深さをａ１、傾斜部深さをａ２、開口部幅をｂ１、底部幅をｂ２、回転子導体部深さをｄとする。

深溝かご形誘導電動機の回転子導体に流れる電流密度の分布は、図２に示すように、回転子導体１の上部の電流密度が大きく、下部は電流密度が小さくなる。この現象を、深溝効果と言う現象で説明することができる。この現象により、回転子導体１の抵抗値は増加し、回転子漏れリアクタンスは減少する。本発明では、この効果を回路定数に反映させる。

この発明に係る誘導電動機の電圧・電流方程式は、式（１）のように表わすことができる。

ここで、電圧Ｅ、電流Ｉ、インダクタンスＬ、抵抗Ｒ’は下記のように表わされる。

インダクタンス行列および抵抗行列の各要素は次式により求められる。

ここで、
Ｅ_ａ，Ｅ_ｂ，Ｅ_ｃ： 三相固定子瞬時電圧
ｅ_ａ，ｅ_ｂ，ｅ_ｃ： 三相回転子瞬時電圧
Ｉ_ａ，Ｉ_ｂ，Ｉ_ｃ： 三相固定子電流
ｉ_ａ，ｉ_ｂ，ｉ_ｃ：三相回転子電流
Ｌ_ｓ： 固定子漏れインダクタンス
Ｌ_ｒ： 回転子漏れインダクタンス
Ｒ_ｓ： 固定子巻線抵抗
Ｒ_ｒ： 回転子導体抵抗
ω ： 電動機回転角速度
Ｘ_ｍ： 励磁リアクタンス
Ｘ_ｓ： 固定子漏れリアクタンス
Ｘ_ｒ： 回転子漏れリアクタンス
Ｐ ： 極数
ｆ ： 電源周波数
である。

回転子漏れリアクタンスは式（２）で計算することができる。

ここで、
Ｘ_ｓｌｏ２： 回転子スロット漏れリアクタンス
Ｘ_ｅｎｄ２： 回転子端部漏れリアクタンス
Ｘ_ｚｉｇ： ジグザグ漏れリアクタンス
Ｂ ： 電気設計で決定される値
また、Ｋ_ｇ２は回転子スロットのカ−タ係数であり、カ−タ係数Ｋ_ｇ２は次式で表わされる。

ここでＣ_１とＣ_２は電気設計で決まる値である。
また、ａ１、ａ２、ｂ_１、ｂ２、ｄは、前述のようにスロット３の各部の寸法である（図１参照）。

回転子導体１の抵抗Ｒｒは式（３）で計算することができる。

ここで、
Ｄ： 電気設計で決まる値
Ｒ_ｂｉ： 回転子鉄心スロット内にある導体抵抗値
Ｒ_ｂｏ： 回転子鉄心スロット外にある導体抵抗値
Ｒ_ｒｉｎｇ： 回転子エンドリング部抵抗
である。

電動機の発生トルクは式（４）で表わされ、負荷の反抗トルクは式（５）で表わされる。

ここでＳはスベリ（スリップ）であって、式（６）により求められる。

誘導電動機と負荷の運動方程式は式（７）で表わすことができる。

ここで、
Ｔ_Ｍ ： 電動機発生トルク
Ｔ_Ｌ ： 負荷反抗トルク
Ｊ_Ｍ ： 電動機慣性
Ｊ_Ｌ ： 負荷慣性
Ｋ_Ｍ ： 電動機と負荷機械の間のねじりバネ定数
θ_Ｍ ： 電動機のねじり角
θ_Ｌ ： 負荷機械のねじり角

次に、図１に示す三相誘導電動機の過渡現象を解析する方法の実施形態について、図３を参照して説明する。ここでは、図２に示した深溝効果を数式化するために、電圧・電流方程式（１）式において、深溝効果を考慮する。

まず微分方程式を計算するときに、初期値として電動機の電流と回転数を与え、三相かご形誘導電動機の電圧・電流方程式（１）に所定の正弦波電圧Ｅを与える（ステップＳ１）。すると、式（１）で、インダクタンス行列および抵抗行列は、回路定数と回転数により電流値Ｉを計算できる（ステップＳ２）。この電流値Ｉから、式（４）により電動機発生トルクＴ_Ｍを計算できる（ステップＳ３）。

負荷反抗トルクＴ_Ｌも、ファンやポンプのような負荷特性なら式（５）により計算できる（ステップＳ４）。これらのトルクを電動機と負荷機械の運動方程式である式（７）に与えると、電動機軸の回転速度ω_Ｍおよび負荷機械の回転速度ω_Ｌを求めることができる（ステップＳ５、Ｓ６）。これらの結果から、電動機軸のねじり角θ_Ｍおよび負荷機械のねじり角θ_Ｌを求めることができる（ステップＳ７、Ｓ８）。

また、式（６）のスリップＳを求めて、深溝効果を反映させる抵抗増加係数Ｋｒとリアクタンス減少係数Ｋｘを式（８）で表現する。

ここで、

ρは導体の導電率である。

これらを使って、回転子導体抵抗Ｒｒと回転子漏れリアクタンスＸｒを式（９）と式（１０）で求めることができる。

次に、この回路定数（回転子導体抵抗Ｒｒおよび回転子漏れリアクタンスＸｒ）と回転数とを使って、今まで述べた手順を繰り返す。これにより精度の高い電流値、トルク、回転数の計算値を得ることが可能である。

なお、負荷の種類によっては、定トルク特性や定出力特性もありうる。その場合は、上記負荷反抗トルクＴ_Ｌを式（５）によって計算する代わりに、適宜入力する。

図１の例では、回転子導体１の断面形状が長方形であるが、この発明の解析方法が適用される回転子導体１の断面形状は長方形に限定されるものではなく、たとえば台形であっても同様に解析することができる。

上記実施形態の解析にあたっては、コンピュータおよびそのためのプログラムを用いて実行することが好ましい。

この発明に係る三相かご形誘導電動機の回転子の一実施形態の要部軸方向断面図。 この発明に係る三相かご形誘導電動機の回転子の一実施形態の要部軸方向断面図とその付近の電流密度および漏れ磁束を示す模式図。 この発明に係る三相かご形誘導電動機の過渡現象解析方法の一実施形態の流れを示すブロック図。

符号の説明

１…回転子導体（回転子バー）
２…回転子鉄心
３…スロット（溝）

Claims (7)

1. 三相交流が供給される固定子と、前記固定子内で回転可能であってスロット内に導電性の回転子導体が挿入された回転子とを有する三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析する解析方法であって、
   前記スロットによって回転子導体の抵抗値が増加し回転子漏れリアクタンスが減少する効果を回転子の回路定数に反映させて、電圧・電流方程式および電動機の運動方程式の解を求めること、を特徴とする三相誘導電動機の過渡現象解析方法。
2. 前記スロットによって回転子導体の抵抗値が増加する効果を反映させる回路定数は抵抗増加係数であり、前記スロットによって回転子漏れリアクタンスが減少する効果を反映させる回路定数はリアクタンス減少係数であること、を特徴とする請求項１に記載の三相誘導電動機の過渡現象解析方法。
3. 前記電圧・電流方程式および電動機の運動方程式の解を求めるに当たっては所定の精度が得られるまで繰り返し計算を行なうこと、を特徴とする請求項１または請求項２に記載の三相誘導電動機の過渡現象解析方法。
4. （ａ）前記固定子に与えられる三相交流の電圧と、適宜与えられた回転子導体抵抗、回転子漏れリアクタンス、回転速度および電流の初期値に基づいて、電圧・電流方程式によって電流を計算し、
   （ｂ）前記電流に基づいて電動機発生トルクを計算し、
   （ｃ）前記電動機発生トルクと負荷反抗トルクとに基づいて、電動機の運動方程式によって電動機軸回転速度を計算し、
   （ｄ）前記電動機軸回転速度に基づいてスリップを計算し、
   （ｅ）前記スリップに基づいて、前記スロットの効果を考慮して抵抗増加係数およびリアクタンス減少係数を計算し、
   （ｆ）前記抵抗増加係数およびリアクタンス減少係数に基づいて回転子導体抵抗および回転子漏れリアクタンスを計算し、
   （ｇ）前記計算された電動機軸回転速度、回転子導体抵抗および回転子漏れリアクタンスを用いて、前記（ａ）から（ｆ）までの計算を繰り返すこと、
   を特徴とする請求項３に記載の三相誘導電動機の過渡現象解析方法。
5. 前記負荷反抗トルクを、負荷機械の運動方程式によって計算して求めることを特徴とする請求項４に記載の三相誘導電動機の過渡現象解析方法。
6. 三相交流が供給される固定子と、前記固定子内で回転可能であってスロット内に回転子導体が挿入された回転子とを有する三相かご形誘導電動機の過渡現象を解析するためにコンピュータを、
   前記スロットによって回転子導体の抵抗値が増加し回転子漏れリアクタンスが減少する効果を回転子の回路定数に反映させて、電圧・電流方程式および電動機の運動方程式の解を求める手段、
   として機能させるための過渡現象解析プログラム。
7. 前記スロットによって回転子導体の抵抗値が増加する効果を反映させる回路定数は抵抗増加係数であり、前記スロットによって回転子漏れリアクタンスが減少する効果を反映させる回路定数はリアクタンス減少係数であること、を特徴とする請求項６に記載の過渡現象解析プログラム。

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