JP2005157728A - 設備の最適検査時刻を決定する方法 - Google Patents

Abstract

【課題】 劣化が連続的に進んでいく連続劣化型設備のみならず、突如、故障が発覚する非連続劣化型設備についても最適な検査時刻を決定できる方法を提供する。
【解決手段】 設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生する累積コストの期待値を示す評価関数E[C]を下記の数式(1)で表し、該評価関数E[C]が最小となる時刻を求めることを特徴とする設備の最適検査時刻を決定する方法。
【数１】

（式中、ｔは時刻、ｃは１回あたりの検査コスト、ｃ_fは更新コスト、n(t)は検査密度関数、L(x)は設備の故障が検出されるまでの間に発生するリスクを表すリスク増大率関数、f(t)は設備が故障状態に至るまでに要する時間分布に関する密度関数を表し、ここで、
【数２】

であり、F(t)は累積分布関数を表す。）
【選択図】 なし

Description

本発明は、設備の最適検査時刻を決定する方法に関する。詳しくは劣化が連続的に進んでいく連続劣化型設備のみならず、計装機器の故障、材料の割れ等の検査では劣化が判り難く、突如、故障が発覚する非連続劣化型設備についても最適な検査時刻を決定できる方法に関する。

化学プラントや発電設備などの機器は劣化し、劣化が事故につながる前に検査し、修理や更新が行われる。
図１に示すような劣化が連続的に進んでいく連続劣化型の設備やシステム（以下、単に設備と記す。）であれば、途中に何回かの検査を行って劣化の進み具合を確認して、検査時刻を決定する事が可能である。このような場合には、検査費用が最低になるような検査計画を立てる試みが、従来から行われている。

しかし、図２に示すような劣化が突如現れる非連続劣化型の設備の場合は、途中の検査によって劣化の進行具合を確認し、余寿命を予測してそれ以降の検査計画や更新、修理計画を立てるのは不可能である。このような例としては、計装機器の故障や材料の割れ（応力腐食割れや疲労破壊）などがあるが、身近な例では電球が寿命で切れる場合もこれに該当する。
このような非連続劣化型の設備では、何等かの方法で頻度を決めて検査を行い、故障が無い事を確認する必要があるが、むやみに検査や更新の頻度が増えると必要以上にコストがかかることになる。従って、劣化が事故につながらず、しかもコストが出来るだけ低く押さえられる最適検査時刻を決定する方法の開発が望まれている。

設備やシステムの最適検査時刻を決定する方法について、幾つか知られているが、何れも連続劣化型の設備についてであり（例えば、特許文献１、非特許文献１および非特許文献２参照。）、非連続劣化型の設備に適用できる方法は知られていない。

特開平８−４４４２１号公報 奥村 進、"劣化型システムに対する検査の一モデル"、 １９９８年、日本機械学会講演論文集Ｎｏ．９８４−２ 陳 鵬、外３名、"最適保全周期及び点検周期の決定法"、 平成１４年７月、第３２回日科技連信頼性・保全性シンポジウム予稿集

本発明の目的は、劣化が連続的に進んでいく連続劣化型設備のみならず、計装機器の故障、材料の割れ等の検査では劣化が判り難く、突如、故障が発覚する非連続劣化型設備についても最適な検査時刻を決定できる方法を提供することにある。

本発明者はかかる課題を解決するために、設備の最適検査時刻の決定方法について鋭意検討した結果、設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生する累積コストの期待値を示す評価関数を特定の関数で表し、該評価関数が最小となる時刻を求めることによって、連続劣化型設備のみならず、非連続劣化型設備についても最適検査時刻を決定することができることを見出し、本発明に至った。

すなわち本発明は、設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生する累積コストの期待値を示す評価関数E[C]を下記の数式(1)で表し、この評価関数E[C]が最小となる時刻を求めることを特徴とする設備の最適検査時刻を決定する方法である。

（式中、ｔは時刻、ｃは１回あたりの検査コスト、ｃ_fは更新コスト、n(t)は単位時間あたりの検査回数を表す検査密度関数、L(x)は設備が故障した時刻から故障が検出されるまでの間に発生するリスクを表すリスク増大率関数、f(t)はｔ＝0において正常状態にある設備が故障状態に至るまでに要する時間分布に関する密度関数を表し、ここで、

であり、F(t)は累積分布関数を表す。）

また、設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生するコストの期待値E[C]を下記の数式(2)で表し、設備の１サイクルの長さの期待値E[T]を下記の数式(3)で表し、数式(2)を数式(3)で除した単位時間あたりのコストの期待値E[C]/E[T]を評価関数とし、該評価関数E[C]/E[T]が最小となる時刻を求めることを特徴とする設備の最適検査時刻を決定する方法である。

（式中、ｃ、ｃ_f、バーF(t)、n(t)、L(x)およびf(t)は上記と同じである。）

（式中、Ｔは設備の１サイクルの長さを表す確率変数を表し、バーF(t)、f(t)およびn(t)は上記と同じである。）

本発明の方法によれば、劣化が連続的に進んでいく連続劣化型設備のみならず、計装機器の故障、材料の割れ等の検査では劣化の進行が判り難く、突如、故障が発覚する非連続劣化型設備やシステムについて最適検査時刻を決定することができる。

本発明における最適な検査時刻を決定する際の前提および記号を下記する。
（１）検査および更新などの修理の対象となる設備は単一のユニットで構成されている。設備はその規模が大きくなるにつれて複数のユニットから構成されるのが一般的であるが、検査または更新などの修理を行う最小の単位が本発明方法で想定している設備である。
（２）設備には正常状態と故障状態が存在する。ここで、故障とは設備に要求される機能が完全に果たせなくなった状態だけでなく、設備の劣化があらかじめ定められている程度まで進行している状態も含まれている。
（３）設備の故障は検査を実施しなければ発見できない。設備が正常状態または故障状態のいずれであるのかは、検査によって確率１で間違いなく同定できる。
（４）検査は時刻ｔ_k(ｋ＝１,２・・・)において実施される。検査に要する時間は設備の運用期間に比べると短く無視できる。
（５）時刻ｔ＝０において正常状態にある設備が故障状態に至るまでに要する時間分布［故障時間分布］に関する密度関数、累積分布関数および故障率関数を、それぞれf(t)、F(t)、λ(t)で表し、

であり、上記のとおり、

であり、f(t)はF(t)をｔで微分したものである。
（６）非連続劣化型設備では故障時間分布は未知であり、連続劣化型設備では故障時間分布は既知であるとする。連続劣化型設備で故障時間分布が未知の場合は非連続劣化型設備の場合と同じように扱う。
（７）検査によって設備の状態は変化しない。また、確率分布の種類やパラメータの値も影響を受けない。
（８）設備が故障した時刻から故障が検出されるまでの時間において、リスク増大率関数L(t)で表現されるリスクが発生する。
（９）連続な検査密度関数n(t)が存在する。この関数は単位時間あたりの検査回数を近似的に表したものであり、検査間隔が近似的に１/n(t)で表現できる。このとき、

という関係があるので、n(t)が与えられるとｔ_kが決まる。いま、n(t)の原始関数をN(t)で表すと検査時刻は、

で与えられることになる。
（１０）１回あたりの検査コストと更新コストを、それぞれｃ、ｃ_fで表す。

本発明における設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生する累積コストの期待値は、設備の運用開始後、設備が故障し、検査によって故障が検出されるまでに発生する検査コストの期待値と、設備の故障によって発生するリスクおよび更新コストの和の期待値との和として表される。

設備の運用開始後、設備が故障し、検査によって故障が検出されるまでに発生する検査コストの期待値は下記の数式(7)で表される。

数式(7)は、F(０)＝０、F(∞)＝１という関係を用いると下記の数式(8)のように変形できる。

また、設備の故障によって発生するリスクおよび更新コストの和の期待値は下記の数式(9)で表される。

したがって、設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生する累積コストの期待値を示す評価関数E[C]は、E[C]＝C_I＋C_L、すなわち数式(1)で表される。

本発明においては、この評価関数E[C]が最小となる検査密度関数、すなわち下記の数式(10)を求める。

（Ａ）以下、数式(1)で表される評価関数E[T]が最小となる時刻を求めること、すなわち最適化について説明する。
（Ａ−1）先ず、故障時間分布が既知である、すなわち連続劣化型設備の場合の最適検査密度関数および最適検査時刻の求め方について説明する。
数式(1)に対してオイラー方程式を導くと下記の数式(11)となる。

本発明において、リスク増大率関数として次の数式(4)、(5)および(6)が好ましく用いられるが、これらに限定されるものではない。

（式中、ｐ、ｃ₁、ｃ₂およびｃ₃は正の定数、ｔは時刻を表す。）
それぞれのリスク増大率関数L(t)を数式(11)に代入して得られる非線形方程式をn(t)について解くことによって最適検査密度関数が導かれる。

リスク増大率関数L(t)が上記の数式(4)の場合、数式(11)は下記の数式(12)となるから、最適検査密度関数として下記の数式(13)が得られる。

リスク増大率関数L(t)が上記の数式(5)の場合、数式(11)は下記の数式(14)となるから、最適検査密度関数として下記の数式(15)が得られる。

ここで、

である。

リスク増大率関数L(t)が上記の数式(6)の場合、数式(11)は下記の数式(16)となるから、最適検査密度関数として下記の数式(17)が得られる。

ここで、Ｗ（ ）はランベルトのＷ関数であり、すべての複素数ｚについて、

が成り立っている。

以上より、設備の故障率関数λ(t)、リスク増大率関数L(t)、コストに関するパラメータｃ、ｃ₁、ｃ₂が与えられると、最適検査密度関数ｎ_i ^*(t)（ｉ＝1，2，3）に関する下記の数式(18)を解くことによって最適検査時刻{ｔ_k ^*}を得ることができる。

なお、故障時間分布としての密度関数、累積分布関数、故障率関数は上記のとおり相互に変換できるので、例えば密度関数が与えられてもよい。

上記の数式(4)、(5)、(6)で表される以外のリスク増大率関数に関しても最適検査密度関数が満たすべき数式(11)をn(t)について解くことによって最適検査時刻の算出が可能である。もし、最適検査密度関数が解析的に求められないときには数値解を求める。

（Ａ−２）次に、故障時間分布が未知である、すなわち非連続劣化型設備の場合の最適検査密度関数および最適検査時刻の求め方について説明する。
故障時間分布が未知である場合は、ミニマックス法、すなわちmax_F(t)min_n(t)E[C]によって最適検査時刻を求める。このように決定された検査時刻は最も安全側の検査時刻であると考えられる。
数式(11)より最適検査密度関数はλ(t)の関数であることがわかるから、ｎ^*(t)＝ｑ(λ(t))として記述できる。このとき、下記の数式(19)の関係を得ることができる。

という関係があるので数式(19)を考えるにあたってのオイラー方程式は次のようになる。

ここでリスク増大率関数L(t)に対して最適検査密度関数および最適検査時刻を求める。
リスク増大率関数L(t)が上記の数式(4)の場合、数式(13)より、下記の数式(21)となるから、数式(20)は下記の数式(22)のようになる。

ここで、λ(０)＝ａ＞０を仮定すると数式(22)より下記の数式(23)を得る。

したがって、最適検査密度関数は下記の数式(24)、(25)のようになる。

リスク増大率関数L(t)が上記の数式(5)の場合、数式(13)より、下記の数式(26)となるから、数式(20)は下記の数式(27)のようになる。

ここで、

である。
数式(27)はλ(t)について解析的には解けず、初期条件λ(０)＝ａのもとで数値的に解く。

リスク増大率関数L(t)が上記の数式(6)の場合、数式(13)より、下記の数式(28)となるから、数式(20)は下記の数式(29)のようになる。

ここで、

である。数式(29)はλ(t)について解析的には解けず、初期条件λ(０)＝ａのもとで数値的に解く。

リスク増大率関数L(t)が上記の数式(4)の場合、最適検査密度関数は上記のとおり数式(25)で与えられる。この時、下記の方程式(30)をｔ_kについて解くと、最適検査時刻｛ｔ_k ^*｝が求められる。

ここで、

である。

リスク増大率関数L(t)が数式(5)、(6)の場合、微分方程式(27)、(29)を数値的にλ(t)について解き、その結果をそれぞれλ₁(t)、λ₂(t)とする。このもとで最適検査密度関数は、それぞれｎ₂ ^**(t)＝ｑ₂(λ₂(t))、ｎ₃ ^**(t)＝ｑ₃(λ₃(t))で与えられる。従って下記の数式(34)を利用して数値的に解くと最適検査時刻｛ｔ_k ^*｝が求められる。

下記で表される設備の最大寿命ｔ_Mが与えられたときには、ｎ^**(t)の定義域から初期故障率を逆算することによって最適検査密度関数を導くことができる。

（Ｂ）これまでは、設備を更新するまでの１サイクルあたりの累積コストの期待値を評価関数とする場合について説明したが、単位時間あたりで示した方が分かり易い場合が多い。以下、単位時間あたりのコストの期待値を評価関数とする場合について説明する。
設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生するコストの期待値E[C]、設備の１サイクルの長さの期待値E[T]は、上記のとおり数式(2)、数式(3)で表される。

単位時間あたりのコストの期待値の評価関数はE[C]/E[T]で与えられ、これが最小となる検査密度関数、すなわち下記の数式(35)を求める。

（Ｂ−１）先ず、故障時間分布が既知である、すなわち連続劣化型設備の場合の最適検査密度関数および最適検査時刻の求め方について説明する。
数式(35)に対してオイラー方程式を導くと下記の数式(36)となる。

ここで、Ａは下記の数式(37)で表される。

リスク増大率関数L(t)＝ｃ₁（ｃ₁：正の定数）の場合、数式(36)より、下記の数式(38)が得られる。

数式(38)を数式(37)に代入すると数式(39)が得られる。

ここで、

である。

数式(39)はｃ_f＜ｃ₁μのとき、正の解

を唯一持つ。したがって、最適検査密度関数は下記の数式(41)となる。

ただし、ｃ_f≧ｃ₁μのとき、ｎ^*(t)＞０は存在しなく、検査を全く行わないのが最適となる。

リスク増大率関数L(t)＝ｃ₁ｔ＋ｃ₂（ｃ₁,ｃ₂：正の定数）の場合（上記の数式(4)において、ｐが１の場合）、数式(36)より、下記の数式(42)が得られる。

ここで、

である。これを数式(37)に代入して整理すると下記の数式(43)が得られる。

この方程式をＡについて解いた結果を数式(42)に代入すると最適検査密度関数が得られるが、Ａは数値的にしか解くことはできなく、従って最適検査密度関数も数値的に求める。

リスク増大率関数L(t)＝ｃ₁ｔ²＋ｃ₂（ｃ₁,ｃ₂：正の定数）の場合（上記の数式(4)において、ｐが２の場合）、数式(36)より、下記の数式(44)が得られる。

ここで、

である。これを数式(37)に代入して整理すると下記の数式(45)が得られる。

この場合も得られた方程式をＡについて解いた結果を数式(44)に代入すると最適検査密度関数を得られるが、Ａは数値的にしか解けなく、従って最適検査密度関数も数値的に求める。

リスク増大率関数が上記の数式(5)の場合、数式(36)より下記の数式(46)が得られる。

ここで、

である。これを数式(37)に代入して整理すると下記の数式(47)が得られる。

この方程式をＡについて解いた結果を数式(46)に代入すると最適検査密度関数が得られるが、Ａは数値的にしか解けなく、従って最適検査密度関数も数値的に求める。

リスク増大率関数が上記の数式(4)の場合、数式(36)より下記の数式(48)が得られる。

この方程式には代数的な意味でのｎ₅(t,A)についての一般解は存在しないがｐ＝1,2は上記のL(t)＝ｃ₁ｔ＋ｃ₂、L(t)＝ｃ₁ｔ²＋ｃ₂の場合に含まれる。一般解を求めることができないｐのときｎ₅(t,A)は数値的に求めることになる。このとき、Ａも数値的に求めざるを得なくなり、従って最適検査密度関数も数値的に求める。

リスク増大率関数が上記の数式(6)の場合、数式(36)より下記の数式(49)が得られる。

この方程式をｎ₆(t,A)について解く。しかし、ｎ₆(t,A)は数値的にしか求めることができない。また、Ａおよび最適な検査密度関数も数値的に求めることになる。

（Ｂ−２）次に、故障時間分布が未知である、すなわち非連続劣化型設備の場合の最適検査密度関数および最適検査時刻の求め方について説明する。
上記（Ａ−２）と同様に、ミニマックス法、すなわちmax_F(t)min_n(t)E[C]/E[T]を考えて最も安全側も検査時刻を得る。
数式(36)より最適検査密度関数はｑを任意関数とするとｎ^*(t)＝ｑ(λ(t))で書き表すことができるため、下記の数式(50)の関係を得る。

また、

であるからオイラー方程式は下記の数式(51)になる。

これはλ(t)に関する微分方程式であり、これを式(37)と連立させると最適検査密度関数を求めることができる。

下記で表される設備の最大寿命ｔ_Mが与えられたときには、ｎ^**(t)の定義域から初期故障率を逆算することによって最適検査密度関数を導くことができる。

以下、実施例により本発明をより詳細に説明するが、本発明はこれら実施例に限定されるものではない。

遠心ポンプのシングルシールについて、次のようにして最適検査時刻を決定した。
その際の前提は次のとおりとした。
（1）漏洩確率：6.060×10^-2(1/年)
（2）初期故障率λ(0)：6.060×10^-2(1/年)
（3）検査コストｃ：3万円
（4）更新コストｃ_f:8万円
（5）密度関数は漏洩確率の指数分布で考える。
密度関数f(t)＝(漏洩確率)×exp[−(漏洩確率)×t]
（6）最大寿命ｔ_Mは[(平均寿命)＋3×(標準偏差)]で近似する。指数分布の場合、標準偏差は1/(初期故障率)であるから、最大寿命は[1/(漏洩確率)＋3/(漏洩確率)]で与えられ、66.01（年）となる。
（7）最大検査時刻：30年
（8）リスク増大率関数:
L(t)＝ｔ²＋ｃ₂ （上記数式（4）において、ｃ₁が１、ｐが２の場合）
L(t)＝ｔ²＋ｔ＋ｃ₃ （上記数式（5）において、ｃ₁、ｃ₂がそれぞれ１の場合）
L(t)＝(exp[2t]−1)＋ｃ₃ （上記数式（6）において、ｃ₁が１、ｃ₂が２の場合）

（ａ）先ず、評価関数が上記の数式（1）のE[C]について最適検査時刻を求めた。
（ａ−1）故障時間分布が既知でリスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｃ₂の場合：
上記の密度関数を変換して得た故障率関数λ(t)、検査コストｃ、リスク増大率関数L(t)を数式（11）に代入して最適検査密度関数（13）を得て、数式(18)を解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{4,8,13,17,21,25,29}であった。
（ａ−2）故障時間分布が未知で初期故障率λ(0)が与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｃ₂の場合：
上記の初期故障率λ(0)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用いて最適検査密度関数（25）を得て、数式(18)または(30)を解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{4}であった。
（ａ−3）故障時間分布が未知で最大寿命ｔ_Mが与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｃ₂の場合：
最大寿命に対応するｎ^**(t)の定義域における初期故障率λ(0)を逆算して求め、上記（ａ−2）と同様にして最適検査時刻{ｔ_k ^*}を求めた結果は{9,18,27}であった。

（ａ−4）故障時間分布が既知でリスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｔ＋ｃ₃の場合：
上記の密度関数を変換して得た故障率関数λ(t)、検査コストｃ、リスク増大率関数L(t)を数式（11）に代入して最適検査密度関数（15）を得て、数式(18)を解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{4,8,12,16,20,24,28}であった。
（ａ−5）故障時間分布が未知で初期故障率λ(0)が与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｔ＋ｃ₃の場合：
上記の初期故障率λ(0)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、上記の数式(27)を数値的にλ(t)について解き、その結果をλ₁(t)として最適検査密度関数ｎ₂ ^**(t)＝ｑ₂(λ₂(t))が得られる。数式(34)を利用して数値的に解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{3,6}であった。
（ａ−6）故障時間分布が未知で最大寿命ｔ_Mが与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｔ＋ｃ₃の場合：
最大寿命に対応するｎ^**(t)の定義域における初期故障率を逆算して求め、上記（ａ−5）と同様にして最適検査時刻{ｔ_k ^*}を求めた結果は{9,18,26}であった。

（ａ−7）故障時間分布が既知でリスク増大率関数がL(t)＝(exp[2t]−1)＋ｃ₃の場合：
上記の密度関数を変換して得た故障率関数λ(t)、検査コストｃ、リスク増大率関数L(t)を数式（11）に代入して最適検査密度関数（17）を得て、数式(18)を解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{2,4,5,7,9,11,13,14,16,18,20,22,24,25,27,29}であった。
（ａ−8）故障時間分布が未知で初期故障率λ(0)が与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝(exp[2t]−1)＋ｃ₃の場合：
上記の初期故障率λ(0)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、上記の数式(29)を数値的にλ(t)について解き、その結果をλ₂(t)として最適検査密度関数ｎ₃ ^**(t)＝ｑ₃(λ₃(t))が得られる。数式(33)を利用して数値的に解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{2,3,4}であった。
（ａ−9）故障時間分布が未知で最大寿命ｔ_Mが与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝(exp[2t]−1)＋ｃ₃の場合：
最大寿命に対応するｎ^**(t)の定義域における初期故障率を逆算して求め、上記（ａ−8）と同様にして最適検査時刻{ｔ_k ^*}を求めた結果は{3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}であった。

（ｂ）次に、上記の数式（2）を数式(3)で除した評価関数E[C]/E[T]について求めた。
（ｂ−1）故障時間分布が既知でリスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｃ₂の場合：
上記の密度関数を変換して得た故障率関数λ(t)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、数式(44)から数値的に求められた最適検査密度関数を求め、それを数値的に解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{3,6,8,11,14,17,20,23,25,28}であった。
（ｂ−2）故障時間分布が未知で初期故障率λ(0)が与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｃ₂の場合：
上記の初期故障率λ(0)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、上記の数式(37)と（51）を連立させて得られる最適検査密度関数を解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{3,5,8,11,13,16,19,22,24,27,30}であった。

（ｂ−3）故障時間分布が既知でリスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｔ＋ｃ₃の場合：
上記の密度関数を変換して得た故障率関数λ(t)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、数式(46)から数値的に求められた最適検査密度関数を求め、それを数値的に解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{3,5,8,10,13,16,18,21,23,26,28}であった。
（ｂ−4）故障時間分布が未知で初期故障率λ(0)が与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝ｔ²＋ｔ＋ｃ₃の場合：
上記の初期故障率λ(0)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、上記の数式(37)と（51）を連立させて得られる最適検査密度関数を解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{2,5,7,10,12,15,17,20,22,25,27,30}であった。

（ｂ−5）故障時間分布が既知でリスク増大率関数がL(t)＝(exp[2t]−1)＋ｃ₃の場合：
上記の密度関数を変換して得た故障率関数λ(t)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、数式(49)から数値的に求められた最適検査密度関数を求め、それを数値的に解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{2,3,5,6,8,9,11,13,14,16,17,19,21,22,24,25,27,28,30}であった。
（ｂ−6）故障時間分布が未知で初期故障率λ(0)が与えられ、リスク増大率関数がL(t)＝(exp[2t]−1)＋ｃ₃の場合：
上記の初期故障率λ(0)、検査コストｃ、リスク増大率関数を用い、上記の数式(37)と（51）を連立させて得られる最適検査密度関数を解いた結果、最適検査時刻{ｔ_k ^*}は{2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18,20,21,23,24,26,28,29}であった。

連続劣化型設備の劣化度の変化を表す図である。 非連続劣化型設備の劣化度の変化を表す図である。

Claims (5)

1. 設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生する累積コストの期待値を示す評価関数E[C]を下記の数式(1)で表し、該評価関数E[C]が最小となる時刻を求めることを特徴とする設備の最適検査時刻を決定する方法。
   

   

   
   （式中、ｔは時刻、ｃは１回あたりの検査コスト、ｃ_fは更新コスト、n(t)は単位時間あたりの検査回数を表す検査密度関数、L(x)は設備が故障した時刻から故障が検出されるまでの間に発生するリスクを表すリスク増大率関数、f(t)はｔ＝0において正常状態にある設備が故障状態に至るまでに要する時間分布に関する密度関数を表し、ここで、
   

   

   
   であり、F(t)は累積分布関数を表す。）
2. 設備の運用開始時刻から更新時刻までに発生するコストの期待値E[C]を下記の数式(2)で表し、設備の１サイクルの長さの期待値E[T]を下記の数式(3)で表し、数式(2)を数式(3)で除した単位時間あたりのコストの期待値E[C]/E[T]を評価関数とし、該評価関数E[C]/E[T]が最小となる時刻を求めることを特徴とする設備の最適検査時刻を決定する方法。
   

   

   
   （式中、ｃ、ｃ_f、バーF(t)、n(t)、L(x)およびf(t)は上記と同じである。）
   

   

   
   （式中、Ｔは設備の１サイクルの長さを表す確率変数を表し、バーF(t)、f(t)およびn(t)は上記と同じである。）
3. リスク増大率関数が、下記の数式(3)、(4)または(5)で表される請求項１または２記載の設備の最適検査時刻を決定する方法。
   

   

   
   

   

   
   

   

   
   （式中、ｐ、ｃ₁、ｃ₂およびｃ₃は正の定数、ｔは時刻を表す。）
4. 密度関数が未知の場合に、初期故障率または最大寿命を与えてミニマックス法によってE[C]が最小となる時刻を求める請求項１記載の設備の最適検査時刻を決定する方法。
5. 密度関数が未知の場合に、初期故障率または最大寿命を与えてミニマックス法によってE[C]/E[T]が最小となる時刻を求める請求項２記載の設備の最適検査時刻を決定する方法。
   
   
   
   
   
   
   
   
   

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