JP2004334480A - 株価変動数値解析装置 - Google Patents

Abstract

【課題】少量の株価データの入力のみで、株価の変動特性を自動的に推定し、株価変動を的確に解析して、株式投資における指針を示す。
【解決手段】株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルを基礎方程式として、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導く。直前の過去１０日間の株価データを、データ入力手段１から入力して、データ記憶手段２に格納する。パラメータ初期値計算手段３で、直前の過去１０日間の株価データから、トレンドμとボラティリティーσを求めて初期値とする。有限要素法数値計算手段４で、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて解く。その結果に基いて、パラメータ更新手段５で、トレンドμとボラティリティーσを求めて更新する。これを２０日分だけ繰り返す。データ出力手段６で、２０日分の予想株価とボラティリティーσを出力する。
【選択図】 図１

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、株価変動数値解析装置に関し、特に、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、対数株価確率分布の時間発展を数値解析する株価変動数値解析装置に関する技術分野に属する。
【０００２】
【従来の技術】
経済や金融における現象は、その挙動が非常に複雑であることから、本質的構造を探ることや、予測を行うことは不可能であると考えられてきた。さらに、これらの現象は、限られた人々の経験と勘によって支配され、大多数にとって決して容易に関与できる領域ではないと捉えられてきた。しかしながら、昨今、経済や金融分野で起こる現象に対し、科学的な手法を用いてアプローチする研究が盛んに行われている。金融派生商品の価格評価方程式であるＢｌａｃｋ−Ｓｃｈｏｌｅｓモデル以後、金融工学や数理ファイナンスにおける理論は急速に市場に浸透し、現在も進化を続けている。
【０００３】
幾何Ｂｒｏｗｎ運動で表現した株価モデルでは、株価変動における不確定要素をＢｒｏｗｎ運動による確率過程で表し、株価が変動傾向に従って動く確定的要素との直和として確率微分方程式で記述する。また、このモデルにより、株価変動は移流拡散型の現象として認識される。不確定要素に対するパラメータはボラティリティーと呼ばれている。ボラティリティーは、株価の一定期間における変動を年率換算したもので計測され、一般的にリスク指標として用いられる。また、確定的要素に対するパラメータは、トレンドと呼ばれており、株価変動の傾向成分を示すパラメータである。このトレンドとボラティリティーが、株価変動を扱う際の重要なパラメータとなる。
【０００４】
Ｂｒｏｗｎ運動を基礎とする確率過程は、その性質として拡散過程であることが知られている。このような確率過程に対して、確率密度関数に関する時間発展を記述するのがＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式である。このＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式は、確率の２重構造という特徴を有している。つまり、遷移過程において確率的であるのは勿論のこと、初期条件においても確率的である。また、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式は、移流拡散型の方程式である。Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式は、確率密度関数の時間発展方程式であることから、確率過程を扱いながらも、確率統計的処理を施す必要がない。
【０００５】
確率微分方程式とは、ある物理量が確率的に時間変動する確率過程に対し、確率微分等を含んだ等式で表現し、その解として、確率過程を一意に決定付けできるものを呼ぶ。しかしながら、数学的に整備され体系化された議論が可能なのは、伊藤の確率微分方程式が唯一である。それを実現しているのが伊藤の補題であり、本来は微分不可能であるＢｒｏｗｎ運動に対して微分演算を可能としている。伊藤の確率微分方程式は、Ｂｒｏｗｎ運動を基礎とし、任意の確率変数ｚ＝ｚ（ｔ）に対し、
ｄｚ＝ｇ（ｚ，ｔ）ｄｔ＋ｈ（ｚ，ｔ）ｄＢ
で表される。ただし、ｇ（ｚ，ｔ）とｈ（ｚ，ｔ）は、確率変数ｚと時間ｔに従う任意の関数であり、ｄＢは、Ｂｒｏｗｎ運動の微小変動である。また、伊藤の確率微分方程式に従う確率過程を伊藤過程と呼ぶ。伊藤の補題の詳細については、非特許文献２などを参照されたい。
【０００６】
確率変数ｚと時間ｔに関する任意の２変数関数ｆ＝ｆ（ｚ，ｔ）をＴａｙｌｏｒ展開して、２次以上の微小項を無視すると、
ｄｆ＝｛（∂ｆ／∂ｔ）＋（∂ｆ／∂ｚ）ｇ（ｚ，ｔ）＋１／２（∂^２ｆ／∂ｚ^２）ｈ（ｚ，ｔ）^２｝ｄｔ
＋（∂ｆ／∂ｚ）ｈ（ｚ，ｔ）ｄＢ
＝（∂ｆ／∂ｔ）ｄｔ＋（∂ｆ／∂ｚ）ｄｚ＋（１／２）（∂^２ｆ／∂ｚ^２）ｈ（ｚ，ｔ）^２ｄｔ
となる。これは、伊藤の確率過程に従う確率変数ｚと時間ｔに関する任意の２変数関数ｆ＝ｆ（ｚ，ｔ）が微分可能であるという伊藤の補題である。
【０００７】
株価をＳ＝Ｓ（ｔ）としたとき、
ｄＳ＝μＳｄｔ＋σＳｄＢ
が、幾何Ｂｒｏｗｎ運動で表現された株価モデルである。ただし、μはトレンドを表し、σはボラティリティーを表している。幾何Ｂｒｏｗｎ運動で表現された株価モデルは、伊藤の確率微分方程式に従う伊藤過程である。全ての株式銘柄に対して一般性を保つために、時刻ｔにおける株価Ｓ（ｔ）を、初期時刻ｔ＝０における初期株価Ｓ_０＝Ｓ（０）を用いて、
ｘ（ｔ）≡Ｓ（ｔ）／Ｓ_０
と、規格化する。この規格化された株価ｘを用いて、株価モデルの式を書き直すと、
ｄｘ＝μｘｄｔ＋σｘｄＢ
となる。
【０００８】
伊藤の補題を利用することで、規格化された株価ｘと時間ｔに関する任意の２変数関数ｆ＝ｆ（ｘ，ｔ）に対して、
ｄｆ＝｛（∂ｆ／∂ｔ）＋μｘ（∂ｆ／∂ｘ）＋１／２（σｘ）^２（∂^２ｆ／∂ｘ^２）｝ｄｔ＋σｘ（∂ｆ／∂ｘ）ｄＢ
の微分関係式が成り立つ。任意の２変数関数ｆを、
ｆ（ｘ，ｔ）＝ｌｎ（ｘ）
とすると、
ｄ（ｌｎ（ｘ））＝（μ−（１／２）σ^２）ｄｔ＋σｄＢ
となる。さらに、
ｙ（ｔ）≡ｌｎ（ｘ（ｔ）） （ｘ（ｔ）≧０）
を、対数株価と呼ぶ。これらの式から、関係式
ｄｙ＝（μ−（１／２）σ^２）ｄｔ＋σｄＢ
が得られる。この式から、対数株価ｙが、Ｂｒｏｗｎ運動に従うことがわかる。
【０００９】
本発明者らは、Ｂｌａｃｋ−Ｓｃｈｏｌｅｓ方程式による金融派生商品の評価の正確さを高めるために、「金融派生商品評価システム」を提案した。特許文献１に開示されているように、金融派生商品の原資産のトレンドμをパラメータとして含む拡張Ｂｌａｃｋ−Ｓｃｈｏｌｅｓ方程式を立て、その厳密解を求めて、記憶装置に格納しておく。入力手段から、金融市場における時系列価格データから求めた各統計データを入力し、記憶手段に格納する。価格演算手段で、各統計データに基づいて、厳密解から金融派生商品の価格を求め、出力手段から出力する。トレンド項を表現することによって、金融市場の短期トレンドを評価することが可能となり、従来のＢｌａｃｋ−Ｓｃｈｏｌｅｓ方程式よりも正確に経済物理の現象を捉えることができる。市場が現時刻において資産価格をどのように評価しているかを定量化できる。
【００１０】
【特許文献１】
特開２００３−６７５８１号公報
【非特許文献１】
棚橋隆彦著「流れの有限要素法解析Ｉ，ＩＩ」（朝倉書店１９９７）
【非特許文献２】
保江邦夫著「数値確率解析入門」（朝倉書店２０００）
【００１１】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、従来の株価変動数値解析方法では、株価変動が移流拡散型の現象として認識されながら、移流を考慮しない拡散現象として解析されていたので、解析精度が不十分であるという問題があった。
【００１２】
本発明は、上記従来の問題を解決して、少量の株価データの入力のみで、株価の変動特性を自動的に推定し、株価変動を的確に解析して、株式投資における指針を示すことを目的とする。
【００１３】
【課題を解決するための手段】
上記の課題を解決するために、本発明では、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、対数株価確率分布の時間発展を数値解析する株価変動数値解析装置に、トレンドとボラティリティーの初期値を、過去の価格列から設定する手段と、数値計算内部において、株価変動の重要なパラメータであるトレンドとボラティリティーを更新する手段とを具備する構成とした。このように構成したことにより、長期間における株価変動の高精度な解析ができる。
【００１４】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態について、図１〜図４を参照しながら詳細に説明する。
【００１５】
（第１の実施の形態）
本発明の第１の実施の形態は、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、過去１０日間の株価からトレンドとボラティリティーを計算して初期値とし、トレンドとボラティリティーを数値計算の途中で随時更新しながら、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて株価確率分布の時間発展に関する数値解析を行う株価変動数値解析装置である。
【００１６】
図１（ａ）は、本発明の第１の実施の形態における株価変動数値解析装置の概念図である。図１（ｂ）は、株価変動数値解析装置で用いる解析格子の概念図である。図１（ａ）において、データ入力手段１は、直前の過去１０日間の株価データを入力する手段である。データ記憶手段２は、直前の過去１０日間の株価データを記憶する手段である。パラメータ初期値計算手段３は、直前の過去１０日間の株価データから、パラメータμとσを求めて初期値とする手段である。有限要素法数値計算手段４は、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、株価確率分布の時間発展に関する数値解析を行う手段である。パラメータ更新手段５は、数値計算して得られた対数株価ｙに関する確率分布を基にし、トレンドμとボラティリティーσを再評価する手段である。データ出力手段６は、２０日分の予想株価とボラティリティーσを出力する手段である。図２は、株価変動数値解析装置の動作手順を示す流れ図である。
【００１７】
上記のように構成された本発明の実施の形態における株価変動数値解析装置の機能と動作を説明する。最初に、図１を参照しながら、株価変動数値解析装置の動作の概略を説明する。株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動による株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導く。直前の過去１０日間の株価データを、データ入力手段１から入力して、データ記憶手段２に格納する。パラメータ初期値計算手段３で、直前の過去１０日間の株価データから、トレンドμとボラティリティーσを求めて初期値とする。初期トレンド決定方法に最小二乗法を利用する。有限要素法数値計算手段４で、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ微分方程式を、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて解き、対数株価確率分布の時間発展を数値解析する。さらに、確率の規格化条件により補正を行う。その結果に基いて、パラメータ更新手段５で、株価変動の重要なパラメータであるトレンドμとボラティリティーσを求めて更新する。これを２０日分だけ繰り返す。データ出力手段６で、２０日分の予想株価とボラティリティーσを出力する。
【００１８】
このように、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、移流を考慮し、移流拡散方程式により数値解析して、数値計算途中でパラメータを再評価し更新することにより、少ない参照期間で長期間の推定が可能となる。過去１０日分の株価データだけの少量の入力のみで、２０日分の予想株価確率分布が簡便に得られるので、時々刻々と変化する株式市場を、的確かつ長期に亘り捉えることができ、予想株価のリスクも、ボラティリティーσから分かる。
【００１９】
次に、対数株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導く方法を説明する。対数株価ｙが直接Ｂｒｏｗｎ運動に従うことに着目し、対数株価ｙで表した対数株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導く。Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を、Ｍａｓｔｅｒ方程式を利用して導出する。任意の確率過程ｚ＝ｚ（ｔ）の時間変化について考える。時刻ｔ_０で値ｚ_０の状態から、時刻ｔに値ｚとなる条件つき確率をＰ（ｚ，ｔ｜ｚ_０，ｔ_０）で表すと、確率の規格化条件より、
∫_{− ∞} ^∞Ｐ（ｚ，ｔ｜ｚ_０，ｔ_０）ｄｚ＝１
が成立する。この確率過程ｚが、Ｍａｒｋｏｖ過程である場合を考える。単位時間あたりに、状態ｚから状態ｚ_０へ遷移する確率として、遷移確率Ｗ（ｚ→ｚ_０）を導入する。この遷移確率を用いて、Ｍａｒｋｏｖ過程における条件つき確率の時間発展を記述した方程式が、Ｍａｓｔｅｒ方程式
（∂／∂ｔ）Ｐ（ｚ，ｔ）＝−∫_{− ∞} ^∞Ｗ（ｚ→ｚ’）Ｐ（ｚ，ｔ）ｄｚ’＋∫_{− ∞} ^∞Ｗ（ｚ’→ｚ）Ｐ（ｚ’，ｔ）ｄｚ’
である。ただし、今後は簡単のため、初期時刻ｔ_０における初期状態ｚ_０による条件つき確率Ｐ（ｚ，ｔ｜ｚ_０，ｔ_０）は、単にＰ（ｚ，ｔ）と書くこととする。
【００２０】
このＭａｓｔｅｒ方程式は、時刻ｔにおいて状態ｚとなる確率分布が、他の状態への遷移によって減少し、他の状態からの遷移によって増加することを意味している。さらに、このＭａｓｔｅｒ方程式は、Ｋｒａｍｅｒｓ−Ｍｏｙａｌ展開により、偏微分方程式で書き表すことができる。遷移確率のｋ次モーメントＣｋ（ｚ）を、
Ｃｋ（ｚ）≡∫_{− ∞} ^∞ｒ^ｋＷ（ｚ→ｚ＋ｒ）ｄｒ
で定義する。Ｍａｓｔｅｒ方程式は、
（∂／∂ｔ）Ｐ（ｚ，ｔ）＝Σ_ｋ＝１ ^∞｛（１／ｋ！）（−∂／∂ｚ）^ｋ×Ｃｋ（ｚ）Ｐ（ｚ，ｔ）｝
で表すことができる。これがＫｒａｍｅｒｓ−Ｍｏｙａｌ展開である。このＫｒａｍｅｒｓ−Ｍｏｙａｌ展開を２次までで留めた形が、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式
（∂／∂ｔ）Ｐ（ｚ，ｔ）＝−（∂／∂ｚ）Ｃ_１（ｚ）Ｐ（ｚ，ｔ）＋（１／２）（∂^２／∂ｚ^２）Ｃ_２（ｚ）Ｐ（ｚ，ｔ）
である。
【００２１】
株価モデルに、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を適用する。
ｄｙ＝（μ−（１／２）σ^２）ｄｔ＋σｄＢ
に対する遷移確率の１次モーメントを計算すると、
Ｃ_１（ｙ）＝ｌｉｍ_{Δ ｔ → ０}（１／Δｔ）Ｅ［Δｙ］＝μ−（１／２）σ^２
が得られる。遷移確率の２次モーメントは、
Ｃ_２（ｙ）＝ｌｉｍ_{Δ ｔ → ０}（１／Δｔ）Ｅ［（Δｙ）^２］＝σ^２
となる。３次以上のモーメントは零となるため、対数株価モデル式に対するＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式は、
（∂／∂ｔ）Ｐ（ｙ，ｔ）＝−（∂／∂ｙ）（μ−（１／２）σ^２）Ｐ（ｙ，ｔ）＋（１／２）（∂^２／∂ｙ^２）σ^２Ｐ（ｙ，ｔ）
となる。
【００２２】
第３に、株価変動パラメータについて説明する。対数株価モデル
ｄｙ＝（μ−（１／２）σ^２）ｄｔ＋σｄＢ
におけるボラティリティーσは、金融市場において値動きの標準偏差で計測され、一般的にリスクの概念となっており、非常に重要なパラメータとなっている。簡単のため、トレンドμとボラティリティーσが、空間領域ｙ全体で一定の値とする仮定を導入する。この仮定は、実際の市場における動きを想定することで、十分に妥当な仮定である。
【００２３】
トレンドμとボラティリティーσの初期値の算出方法について説明する。ヒストリカル・ボラティリティーによるボラティリティーσの算出方法を採用する。株価の変動傾向を測る方法として最小二乗法を援用し、トレンドμを算出する。過去の価格列から得られる情報は、新しいものほどその重要性は高い。したがって、過去の価格列を一律に扱うべきではない。直近の情報を重視するために、時間間隔が等しい価格列に対して重みを使用し、トレンドμとボラティリティーσの初期値を決定する。
【００２４】
トレンドμとボラティリティーσは、時間に関して変化するパラメータである。数値計算して得られた対数株価ｙに関する確率分布を基にし、トレンドμとボラティリティーσを再評価する。さらに、パラメータ更新時間ステップｍとパラメータ更新時間刻み幅Δｔｍに従い時間進行することで、トレンドμとボラティリティーσを更新する。Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式の数値計算結果を受けて、トレンドμを随時更新していく。式
μ^ｍ＋１＝（１／２）（σ^ｍ＋１）^２＋（１／Δｔｍ）（Ｅ［ｙ］^ｍ＋１−Ｅ［ｙ］^ｍ）
により、トレンドμを更新する。パラメータ更新時間ステップｍ＋１におけるボラティリティーσ^ｍ＋１は、ボラティリティーσ更新式を用いて算出された値である。ボラティリティーσの更新式は
σ^ｍ＋１＝√（Π^ｍ／（２Δｔｍ））
である。ただし、係数Πは、
Π^ｍ≡（Ｅ［ｙ］^ｍ）^２＋（Ｅ［ｙ］^ｍ＋１）^２−２Ｅ［ｙ］^ｍＥ［ｙ］^ｍ＋１−２Ｖａｒ［ｙ］^ｍ＋２Ｖａｒ［ｙ］^ｍ＋１
である。これらの式における肩付のｍなどは、時間ステップを示す添え字であり、べき乗の意味ではない。以下の同様な式においても同じである。
【００２５】
第４に、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を有限要素法で解く方法を説明する。有限要素法の詳細については、非特許文献１などを参照されたい。対数株価ｙにより表現された対数株価モデル式
ｄｙ＝（μ−（１／２）σ^２）ｄｔ＋σｄＢ
を基礎方程式とし、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式
（∂／∂ｔ）Ｐ（ｙ，ｔ）
＝−（∂／∂ｙ）（μ−（１／２）σ^２）Ｐ（ｙ，ｔ）＋（１／２）（∂^２／∂ｙ^２）σ^２Ｐ（ｙ，ｔ）
を数値計算することで、対数株価確率分布の時間発展を追う。ただし、時間ｔに対数株価ｙとなる確率密度関数がＰ（ｙ，ｔ）であり、以後簡単のためＰと表示する。この式において、トレンドμとボラティリティーσは全空間領域で一定の仮定を用いることから、
（∂／∂ｔ）Ｐ＝−ｕ（∂／∂ｙ）Ｐ＋ν（∂^２／∂ｙ^２）Ｐ
のように書き直せる。また、移流速度ｕと拡散係数νを、
ｕ≡μ−（１／２）σ^２
ν≡（１／２）σ^２
のように定義する。このＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を、数値解析における支配方程式として数値計算を行う。
【００２６】
また、確率過程を扱うことにより、
∫_{− ∞} ^∞Ｐ（ｙ，ｔ）ｄｙ＝１
に示す確率の規格化条件を満たす必要も生ずる。さらに、数値計算することで得られる対数株価確率分布から計算される期待値Ｅ［ｙ］や分散Ｖａｒ［ｙ］を用い、パラメータ更新時間ステップｍとパラメータ更新時間刻み幅Δｔｍに従い、トレンドμとボラティリティーσを、それぞれ更新式
μ^ｍ＋１＝（１／２）（σ^ｍ＋１）^２＋（１／Δｔｍ）（Ｅ［ｙ］^ｍ＋１−Ｅ［ｙ］^ｍ）
σ^ｍ＋１＝√（Π^ｍ／（２Δｔｍ））
により時間進行し、更新を行う。前進Ｅｕｌｅｒ法を用いて、支配方程式の時間進行を行う。対数株価モデルから導出したＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を前進Ｅｕｌｅｒ法により時間進行することで、
（Ｐ^ｎ＋１−Ｐ^ｎ）／Δｔ＝−ｕ^ｎ（∂／∂ｙ）Ｐ^ｎ＋ν^ｎ（∂^２／∂ｙ^２）Ｐ^ｎ
を得る。これらの式における肩付のｎなどは、時間ステップを示す添え字であり、べき乗の意味ではない。以下の同様な式においても同じである。
【００２７】
空間の離散化に関しては、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法を採用する。解析格子は、例として図１（ｂ）に示すように、指数関数を用いた不等分割格子である。支配方程式を前進Ｅｕｌｅｒ法により時間進行した式に対し、重みδωを乗じ、空間領域全体Ωで積分する。さらに全領域Ωを多数の要素に分割し、１つの要素Ωｅに着目すると、
∫_{Ω ｅ}δω（（Ｐ^ｎ＋１−Ｐ^ｎ）／Δｔ）ｄΩ
＝−ｕ^ｎ∫_{Ω ｅ}δω（∂／∂ｙ）Ｐ^ｎｄΩ＋ν^ｎ∫_{Ω ｅ}δω（∂^２／∂ｙ^２）Ｐ^ｎｄΩ
となる。この式において、右辺最終項に対して部分積分を行い、Ｇｒｅｅｎの定理を適用すると、
∫_{Ω ｅ}δω（（Ｐ^ｎ＋１−Ｐ^ｎ）／Δｔ）ｄΩ
＝−ｕ^ｎ∫_{Ω ｅ}δω（∂／∂ｙ）（Ｐ^ｎ）ｄΩ
＋ν^ｎ∫_{Γ ｅ}δω（∂／∂ｙ）（Ｐ^ｎ）ｄΓ
−ν^ｎ∫_{Ω ｅ}（∂／∂ｙ）（δω）（∂／∂ｙ）（Ｐ^ｎ）ｄΩ
となる。要素内において確率密度関数Ｐを双１次関数で補間すると、
Ｐ＝Ｎ_αＰ_α
の関係を得る。ここで、αは要素内での局所節点番号、Ｎ_αは形状関数であり、αについて総和の規約が適用される。
【００２８】
この形状関数を用いて、重み関数δωを、
δω＝Ｎ_αδω_α
のように補間する。δω_αの各成分は任意の定数であり、基本境界条件Γ１ではδω_αの成分は零である。δω_αの各成分の任意性を用いると、
∫_{Ω ｅ}Ｎ_αＮ_βｄΩ（Ｐ_β ^ｎ＋１−Ｐ_β ^ｎ）／（Δｔ）
＝−ｕ^ｎ∫_{Ω ｅ}Ｎ_α（∂／∂ｙ）（Ｎ_β）ｄΩＰ_β ^ｎ
＋ν^ｎ∫_{Γ ｅ}Ｎ_α（∂／∂ｙ）（Ｐ^ｎ）ｄΓ
−ν^ｎ∫_{Ω ｅ}（∂／∂ｙ）（Ｎ_α）（∂／∂ｙ）（Ｎ_β）ｄΩＰ_β ^ｎ
を導くことができる。さらに、係数行列を用い、質量の集中化を行うと、離散化式
Ｍ⁻ _αβ（Ｐ_β ^ｎ＋１−Ｐ_β ^ｎ）／（Δｔ）
＝−ｕ^ｎＡ_αβＰ_β ^ｎ−ν^ｎＤ_αβＰ_β ^ｎ＋Λ_α
を得る。ただし、各係数行列は、
Ｍ⁻ _αβ＝∫_{Ω ｅ}Ｎ_αＮ_βｄΩ（質量行列）
Ａ_αβ＝∫_{Ω ｅ}Ｎ_α（∂／∂ｙ）（Ｎ_β）ｄΩ（移流行列）
Ｄ_αβ＝∫_{Ω ｅ}（∂／∂ｙ）（Ｎ_α）（∂／∂ｙ）（Ｎ_β）ｄΩ（拡散行列）
で定義される。Ｍ⁻ _αβは集中対角化された質量行列を、Λ_αは境界積分項を表す。
【００２９】
２次の時間精度とするために、２階の時間微分項を、移流方程式で評価する。これは、ＣＦＤにおけるＢＴＤ法に対応する。まず、支配方程式において、移流項のみを考慮した移流方程式が、
（∂／∂ｔ）（Ｐ）＝−ｕ（∂／∂ｙ）（Ｐ）
で表される。確率密度関数Ｐに対して、着目時間ステップまわりにＴａｙｌｏｒ展開を行うことで、
（∂／∂ｔ）（Ｐ）｜^ｎ＝（Ｐ^ｎ＋１−Ｐ^ｎ）／Δｔ
−（Δｔ／２）（∂^２／∂ｔ^２）（Ｐ）｜^ｎ＋Ｏ（Δｔ^２）
を得ることができる。この式を用いて、前進Ｅｕｌｅｒ法による時間進行に加えて、２階の時間微分項を考慮することで、時間精度を２次とすることができる。ここで、２階の時間微分項を、移流方程式で評価することで、
（∂^２／∂ｔ^２）（Ｐ）＝−（ｄｕ／ｄｔ）（∂／∂ｙ）（Ｐ）＋ｕ^２（∂^２／∂ｙ^２）（Ｐ）
を得る。ただし、トレンドμとボラティリティーσを時間変数としているため、移流速度ｕも、定義式より時間変数と見なせる。
【００３０】
よって、移流速度ｕの時間微分を、
（ｄｕ／ｄｔ）≒Δｕ／Δｔ＝（ｕ^ｎ−ｕ^ｎ−１）／Δｔ
により近似する。したがって、時間ステップｎでのＢＴＤ項は、
ＢＴＤ^ｎ＝（Δｔ／２）｛−（Δｕ／Δｔ）（∂／∂ｙ）（Ｐ^ｎ）＋（ｕ^ｎ）^２（∂^２／∂ｙ^２）（Ｐ^ｎ）｝
のように求めることができる。ＢＴＤ項に対して、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法を適用し、係数行列を用いて表現すると、
ＢＴＤ^ｎ＝（Δｔ／２）｛−（Δｕ／Δｔ）Ａ_αβＰ_β ^ｎ−（ｕ^ｎ）^２Ｄ_αβＰ_β ^ｎ｝
＋（Δｔ／２）ν^ｎ∫_{Γ ｅ}Ｎ_α（∂／∂ｙ）（Ｐ^ｎ）ｄΓ
となる。離散化式にＢＴＤ項を加えると、離散化式
Ｍ⁻ _αβ（Ｐ_β ^ｎ＋１−Ｐ_β ^ｎ）／（Δｔ）
＝−（ｕ^ｎ＋（１／２）Δｕ）Ａ_αβＰ_β ^ｎ
−｛ν^ｎ＋（１／２）Δｔ（ｕ^ｎ）^２｝Ｄ_αβＰ_β ^ｎ＋Λ_α
となる。このＢＴＤ項も含めた離散化式に従い、数値計算を行う。ただし、境界積分項はまとめてΛ_αとして表示している。
【００３１】
確率過程を扱う上で、確率の規格化条件を満たすことは非常に重要である。そのため、数値計算を行う際にも、計算領域内で総確率量を保存させ、確率の規格化条件を満足させなければならない。境界条件は、計算領域の両端で初期状態のまま固定させる。つまり、基本境界条件Γ１を採用していることから、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法の性質から境界積分項を計算する必要は生じない。また、計算領域をある程度広く取ることで、境界を固定する方法が、数値計算に与える影響を最小限度に抑えることができる。確率変数を数値解析する際には、確率の規格化条件を満足させながら数値計算を進める必要がある。以下の方法により総確率量を保存させている。
【００３２】
任意の時間ステップ後における状態を考える。各要素での確率量をＰ_ｅとすると、計算領域全体での総確率量Ｐ_Ωは、
Ｐ_Ω＝∫_ΩＰ_ｅｄΩ
により求まる。したがって、確率の規格化条件より、確率の誤差量Ｐεは、
Ｐ_ε＝１−Ｐ_Ω
と求まる。この確率の誤差量Ｐ_εを、各要素における確率量に応じて、計算領域全体で補正する。したがって、確率の規格化条件を適用した後の各要素における確率量Ｐ_ｅ ^＊は、
Ｐ_ｅ ^＊＝Ｐ_ｅ＋Ｐ_ε（Ｐ_ｅ／Ｐ_Ω）
として計算できる。以上の一連の計算を毎ステップ計算後に行い、確率の規格化条件を満足させている。
【００３３】
陽解法で離散化された非定常移流拡散方程式に対して、安定的に数値計算を進めるためには、Ｃｏｕｒａｎｔ数と拡散数の制約を受ける。移流速度ｕ、拡散係数νに対して、Ｃｏｕｒａｎｔ数をｃ、拡散数をｄと書くと、各条件はそれぞれ、
ｃ＝｜ｕΔｔ／Δｙ｜≦１
ｄ＝νΔｔ／（Δｙ）^２≦１／２
で与えられる。したがって、離散化式を数値計算する際には、この条件を満たす必要がある。
【００３４】
第５に、図２を参照しながら、数値解析の手順を説明する。解析対象は、日次変動である。初期パラメータを決定する際に利用する価格列｛Ｓ_ｉ｝等は、日次データとなっている。したがって、数値計算内におけるパラメータ更新は、１日毎としている。まず、ステップ１において、計算開始時刻以前の過去の価格列を入力する。ステップ２において、計算開始時刻以前の過去の価格列から、数値解析に用いる初期パラメータを計算する。その後、初期条件を設定して、時間ステップｎの繰り返し計算を開始する。繰り返し計算による時間進行の過程は、はじめに、ステップ３において、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法により、離散化した支配方程式を計算する。得られた確率密度関数を、ステップ４において、確率の規格化条件により補正を行う。ステップ５において、設定したパラメータ更新時間刻み幅Δｔｍ毎の計算が終了したか検査する。終了していれば、ステップ６において、ボラティリティーσを、更新式に基づき再計算する。ステップ７において、トレンドμを、更新式に基づき再計算する。この一連の計算を繰り返すことで時間進行し、指定の時刻まで計算を行う。
【００３５】
上記のように、本発明の第１の実施の形態では、株価変動数値解析装置を、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、過去１０日間の株価からトレンドとボラティリティーを計算して初期値とし、トレンドとボラティリティーを数値計算の途中で随時更新しながら、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて株価確率分布の時間発展に関する数値解析を行う構成としたので、少量の株価データの入力のみで、株価の変動特性を自動的に推定し、株価変動を的確に解析して、株式投資における指針を示すことができる。
【００３６】
この株価変動数値解析装置により、株価の変動特性を推定し、株式投資における指針を示すことができる。確率分布の時間発展とトレンドμとボラティリティーσの推移を得ることで、具体的な投資活動に対して各種の情報を示すことができる。株価変動を推定することにより、将来における株価の確率分布を得ることができ、ある一定の範囲内にどの程度の確率で株価が収まるかを示すことができる。株価変動におけるリスクの推定や管理に役立つ。
【００３７】
（第２の実施の形態）
本発明の第２の実施の形態は、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、過去１０日間の株価からトレンドとボラティリティーを計算して初期値とし、トレンドとボラティリティーを数値計算の途中で随時更新しながら、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、形状関数を利用してＬｅｖｙ分布を数値計算内で再現し、株価確率分布の時間発展に関する数値解析を行う株価変動数値解析装置である。
【００３８】
図３（ａ）は、本発明の第２の実施の形態における株価変動数値解析装置の概念図である。図３（ｂ）は、株価変動数値解析装置で用いる形状関数の概念図である。図３（ａ）において、Ｌｅｖｙ分布有限要素法数値計算手段７は、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、形状関数を利用してＬｅｖｙ分布を数値計算内で再現し、株価確率分布の時間発展に関する数値解析を行う手段である。その他は、第１の実施の形態と同じである。図４は、株価変動数値解析装置の動作手順を示す流れ図である。
【００３９】
上記のように構成された本発明の第２の実施の形態における株価変動数値解析装置の機能と動作を説明する。最初に、図３を参照しながら、株価変動数値解析装置の動作の概略を説明する。株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動による株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導く。直前の過去１０日間の株価データを、データ入力手段１から入力して、データ記憶手段２に格納する。パラメータ初期値計算手段３で、直前の過去１０日間の株価データから、トレンドμとボラティリティーσを求めて初期値とする。初期トレンド決定方法に最小二乗法を利用する。ここまでは、第１の実施の形態と同じである。Ｌｅｖｙ分布有限要素法数値計算手段７で、Ｆｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ微分方程式を、形状関数を利用してＬｅｖｙ分布を数値計算内で再現し、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて解き、対数株価確率分布の時間発展を数値解析する。さらに、確率の規格化条件により補正を行う。その結果に基いて、パラメータ更新手段５で、株価変動の重要なパラメータであるトレンドμとボラティリティーσを求めて更新する。これを２０日分だけ繰り返す。データ出力手段６で、２０日分の予想株価とボラティリティーσを出力する。
【００４０】
図３（ｂ）に示す形状関数を利用することで、Ｌｅｖｙ分布を数値計算内で再現する。幾何Ｂｒｏｗｎ運動によるモデルでは、株価リターンの分布が正規分布により与えられることを前提としている。しかしながら、実際の市場においては、正規分布が確認されることは稀であり、その分布は、正規分布と比較して「ハイピーク・ファットテール」形状に分布することが知られている。またその分布は、Ｌｅｖｙ分布に従う。Ｌｅｖｙ分布では、分布の中央部分で正規分布よりも尖度が高く、分布の裾野部分が厚くなるといった特徴を持っている。これはつまり、変動幅が小さい株式においては、正規分布と比較して変動が抑制され、逆に変動幅が大きい株式については、正規分布と比較して変動が促進される現象と捉えることができる。
【００４１】
この抑制と促進の相反する力が働く境界にあたる点が、期待値を中心とした±１σの値である。なぜなら，ボラティリティーσは、株価変動の標準偏差で与えられ、正規分布において期待値を中心とした±１標準偏差の値は、分布関数の変曲点となっており、その内側（外側）では、分布を上（下）に凸とする方向に力が働いている。すなわち、Ｌｅｖｙ分布では、これらの力が各点でより一層強まることで、「ハイピーク・ファットテール」形状の分布が形成される。これらのＬｅｖｙ分布を形成する要因を株価モデルへ導入することで、より高精度に株価変動を捉えることができる。
【００４２】
数値解析手法として、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法を採用している。このＧａｌｅｒｋｉｎ有限要素法における特徴のひとつが、要素内補間と重み関数に使用する形状関数である。この形状関数を利用し、Ｌｅｖｙ分布を数値計算内で再現する。Ｌｅｖｙ分布では、期待値を中心とした±１σ内外において、それぞれ別方向の力が働き、その分布を形作っている。期待値を中心として±１σの内側においては、中心方向へ重みを強くする形状関数を選択し、±１σの外側では、逆に外部方向への重みを強くする形状関数を用いて、重み関数を構成することで、Ｌｅｖｙ分布を再現する。
【００４３】
Ｎ_α＝（１／２）（１＋ξ_αξ）＋γξ_α
で表される形状関数を用いる。Ｌｅｖｙ分布を再現するための形状関数の形状を、図３（ｂ）に示す。この形状関数は、有限要素法における上流化で用いられる重み関数のひとつと同一の形状である。γが正（負）であれば、図３（ｂ）において、左側（右側）の重みが大きくなる性質を持つ。この形状関数を用いて、期待値を中心とした±１σとの位置関係により、適宜γの値を調節し、有限要素法における重み関数を構成することで、数値計算内におけるＬｅｖｙ分布の再現ができる。
【００４４】
この形状関数を重み関数として使用し、数値解析の支配方程式を、有限要素法とＢＴＤ法により離散化した場合、離散化式はすでに示した形と同等であるが、係数行列は、
Ｍ_αβ＝∫_{Ω ｅ}Ｎ_αＮ_βｄΩ＝Ｊ_ｅ（（１／６）ξ_αξ_β＋（１／２）＋γξ_α）（質量行列）
Ａ_αβ＝∫_{Ω ｅ}Ｎ_α（∂／∂ｙ）Ｎ_βｄΩ＝（（１／２）＋γξ_α）ξ_β（移流行列）
Ｄ_αβ＝∫_{Ω ｅ}（∂／∂ｙ）（Ｎ_α）（∂／∂ｙ）（Ｎ_β）ｄΩ
＝（１／Ｊ_ｅ）（（１／２）ξ_αξ_β）（拡散行列）
となる。Ｊｅは、要素平均で求めるＪａｃｏｂｉａｎである。
【００４５】
図４を参照しながら、数値解析の手順を説明する。解析対象は、日次変動である。初期パラメータを決定する際に利用する価格列｛Ｓ_ｉ｝等は、日次データとなっている。したがって、数値計算内におけるパラメータ更新は、１日毎としている。まず、ステップ１１において、計算開始時刻以前の過去の価格列を入力する。ステップ１２において、計算開始時刻以前の過去の価格列から、数値解析に用いる初期パラメータを計算する。その後、初期条件を設定して、時間ステップｎの繰り返し計算を開始する。繰り返し計算による時間進行の過程は、はじめに、ステップ１３において、形状関数を利用してＬｅｖｙ分布を数値計算内で再現し、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法により、離散化した支配方程式を計算する。得られた確率密度関数を、ステップ１４において、確率の規格化条件により補正を行う。ステップ１５において、設定したパラメータ更新時間刻み幅Δｔｍ毎の計算が終了したか検査する。終了していれば、ステップ１６において、ボラティリティーσを、更新式に基づき再計算する。ステップ１７において、トレンドμを、更新式に基づき再計算する。この一連の計算を繰り返すことで時間進行し、指定の時刻まで計算を行う。
【００４６】
上記のように、本発明の第２の実施の形態では、株価変動数値解析装置を、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、過去１０日間の株価からトレンドとボラティリティーを計算して初期値とし、トレンドとボラティリティーを数値計算の途中で随時更新しながら、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、形状関数を利用してＬｅｖｙ分布を数値計算内で再現し、株価確率分布の時間発展に関する数値解析を行う構成としたので、より高精度に株価変動を捉えることができ、少量の株価データの入力のみで、株価の変動特性を自動的に推定し、株価変動を的確に解析して、株式投資における指針を示すことができる。
【００４７】
【発明の効果】
以上の説明から明らかなように、本発明では、株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、対数株価確率分布の時間発展を数値解析する株価変動数値解析装置に、トレンドとボラティリティーの初期値を、過去の価格列から設定する手段と、数値計算内部において、株価変動の重要なパラメータであるトレンドとボラティリティーを更新する手段とを具備する構成としたので、長期間における株価変動の高精度な解析ができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の第１の実施の形態における株価変動数値解析装置の概念図、
【図２】本発明の第１の実施の形態における株価変動数値解析装置の動作手順を示す流れ図、
【図３】本発明の第２の実施の形態における株価変動数値解析装置の概念図、
【図４】本発明の第２の実施の形態における株価変動数値解析装置の動作手順を示す流れ図である。
【符号の説明】
１ データ入力手段
２ データ記憶手段
３ パラメータ初期値計算手段
４ 有限要素法数値計算手段
５ パラメータ更新手段
６ データ出力手段
７ Ｌｅｖｙ分布有限要素法数値計算手段

Claims (3)

1. 株価変動を移流拡散型の現象として捉え、幾何Ｂｒｏｗｎ運動に基づく株価モデルからＦｏｋｋｅｒ−Ｐｌａｎｃｋ方程式を導き、Ｇａｌｅｒｋｉｎ有限要素法とＢＴＤ法を用いて、対数株価確率分布の時間発展を数値解析する株価変動数値解析装置において、トレンドとボラティリティーの初期値を過去の株価列から計算する手段と、数値計算途中においてトレンドとボラティリティーを更新する手段とを具備することを特徴とする株価変動数値解析装置。
2. トレンドの初期値を過去の一定期間（例えば１０日間）の株価から最小二乗法で計算する手段を備えたことを特徴とする請求項１記載の株価変動数値解析装置。
3. 形状関数を利用してＬｅｖｙ分布を数値計算内で再現する手段を備えたことを特徴とする請求項１記載の株価変動数値解析装置。

Images