JP2004326630A

JP2004326630A - Electromagnetic field analysis method

Info

Publication number: JP2004326630A
Application number: JP2003123062A
Authority: JP
Inventors: Akihisa Kameari; 昭久亀有; Akira Awane; 明阿波根
Original assignee: SCIENCE SOLUTIONS INTERNAT LAB; SCIENCE SOLUTIONS INTERNATIONAL LABORATORY Inc
Current assignee: SCIENCE SOLUTIONS INTERNAT LAB; SCIENCE SOLUTIONS INTERNATIONAL LABORATORY Inc
Priority date: 2003-04-28
Filing date: 2003-04-28
Publication date: 2004-11-18
Anticipated expiration: 2023-04-28
Also published as: JP4276465B2

Abstract

<P>PROBLEM TO BE SOLVED: To provide an electromagnetic field analysis method compensating the convergence of a solution. <P>SOLUTION: The electromagnetic field analysis method obtains boundary conditions on the boundary Γtr 18 between two regions, Ωr 14, and Ωt 16, in an analysis object region 10. In obtaining the boundary conditions, a numerical error is encountered. Correcting the intensity of an electromagnetic field at the boundary Γtr18 changes the boundary conditions to boundary conditions numerically improving convergence. Electromagnetic analysis for the analysis object region 10 is done by using the boundary conditions numerically improving the convergence. <P>COPYRIGHT: (C)2005,JPO&NCIPI

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、例えば、変圧器、発電機、モータ等の電磁気現象を利用した電気機器又は電子機器を含む解析対象の電磁界解析を行う電磁界解析方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】
有限要素法を用いて、変圧器、発電機、モータ等の電磁気現象を利用した電気機器又は電子機器を含む解析対象の電磁界解析を行う場合には、初めに前記解析対象領域の内部における空間を含め、該領域内に存在する全ての物体を、小領域の要素に分割する。次いで、分割されたそれぞれの要素に対するマクスウェルの電磁界方程式を近似的な式で表現する。次いで、前記解析対象領域の全体に関し、前記各要素における前記近似的な式による連立方程式を構成する。次いで、前記連立方程式を解いて、前記解析対象領域における電磁界を求める。
【０００３】
上記した電磁界解析では、磁気ベクトルポテンシャル（以下、単にベクトルポテンシャルという）を用いて解析対象領域における電磁界を求めることが多い。
【０００４】
次に、ベクトルポテンシャルを用いた解析対象の電磁界解析方法について説明する。
【０００５】
一般に、電磁界解析において情報を得たい対象は、解析対象領域内に存在する磁性体、導体及び誘電体である。これらは、電流が強制的に流れるコイルではない。しかしながら、上記した電流が強制的に流れるコイルについても、結局、他の部分と同様に、要素に分割する必要がある。この場合、複雑な形状を備えたコイルを含む解析対象領域に関し、要素に分割することは困難である上に、相当な手間を要する。
【０００６】
このような煩わしさを避けるため、解析対象領域をコイルの含まれる領域とコイルの含まれない領域とに分割し、それぞれの領域について、異なる電磁界方程式を適用することにより、前記コイルを有限要素に分割することなく、該解析対象領域の電磁界解析を行う手法（以下、２ポテンシャル法という）が開発されている（例えば、非特許文献１参照）。
【０００７】
この２ポテンシャル法では、図９に示すように、電磁界解析の対象となる解析対象領域１００を、コイル１０２が存在する領域Ωｒ１０４とコイル１０２が存在しない領域Ωｔ１０６とに分割する。
【０００８】
領域Ωｒ１０４内では、通常のベクトルポテンシャルからコイル１０２により発生する磁界に対応するベクトルポテンシャルを除いた変形ベクトルポテンシャルＡｒ１０８を用いて電磁界方程式を立てる。一方、領域Ωｔ１０６内では、通常の電磁界解析と同様に、ベクトルポテンシャル（以下、このベクトルポテンシャルを変形ベクトルポテンシャルＡｒ１０８と明確に区別するために、トータルベクトルポテンシャルＡｔ１１０と記す）を用いて電磁界方程式を立てる。ここで、領域Ωｒ１０４と領域Ωｔ１０６との間（境界）を境界Γｔｒ１１２とする。
【０００９】
コイル１０２に強制電流を流す場合、２ポテンシャル法による電磁界解析では、解析対象領域１００の内部に存在する全ての磁性体は、領域Ωｔ１０６内に含まれるようにする。また、解析対象領域１００の内部に渦電流を流すときの電磁界解析では、前記渦電流が流れる導体の全てが、領域Ωｔ１０６内に含まれるようにする。
【００１０】
上記した説明では、理解を容易にするために、コイル１０２を領域Ωｒ１０４に含めるようにしたが、実際には、コイル１０２は領域Ωｔ１０６に含まれることがないようにする。また、コイル１０２が磁性体や導体から十分に離れて存在する場合には、コイル１０２と領域Ωｔ１０６と境界Γｔｒ１１２とからなる解析対象領域１００内において電磁界解析が行われる。
【００１１】
また、有限要素に分割するコイル１０２は、通常の有限要素法と同様に、トータルベクトルポテンシャルＡｔ１１０を用いた電磁界方程式を構築する領域Ωｔ１０６に含めて解析しても差支えない。
【００１２】
さらにまた、解析対象領域１００が領域Ωｒ１０４及び領域Ωｔ１０６の２つの領域に分割された場合について説明したが、解析対象領域１００内に複数の領域が存在しても差し支えない。
【００１３】
２ポテンシャル法による電磁界解析の手順を、図１０のフローチャートに示す。
【００１４】
まず、解析対象の形状や解析対象の相互位置、解析対象の透磁率、導電率等の特性を含む、電磁界解析を行うために必要なデータの読み込みを行う（ステップＳ１０１）。次いで、解析対象の解析対象領域１００を少なくとも２つの領域Ωｒ１０４、Ωｔ１０６に分割し、分割した各領域Ωｒ１０４、Ωｔ１０６内における電磁界方程式と、読み込まれた前記データとから、電磁界解析を行うために必要な連立方程式を立てる（ステップＳ１０２）。次いで、領域Ωｒ１０４、Ωｔ１０６間の境界Γｔｒ１１２における境界条件をビオ・サバールの法則から求める（ステップＳ１０３）。
【００１５】
ステップＳ１０３に続いて、ステップＳ１０２で求めた前記連立方程式とステップＳ１０３で求めた前記境界条件とから解析対象領域１００の電磁界解析を行う（ステップＳ１０４）。最後に、電磁界解析の結果を出力する（ステップＳ１０５）。
【００１６】
上記した２ポテンシャル法を用いて電磁界解析を行う場合には、大規模な連立方程式を解くことが必要である。例えば、ガウスの消去法といった直接法によりこの連立方程式の解を得るためには、電磁界解析の計算に大規模な計算機を必要とする上、莫大な計算時間を要する。従って、反復法を用いて計算する方が電磁界解析の上で有利である。
【００１７】
反復法は、最初に解の値を仮定し、前記解を適当な方法により修正し、修正を反復する過程で修正量が十分に小さくなったとき、解が収束したものと判定し、連立方程式の解を求める手法である。代表的な反復法として、有限要素法では、不完全コレスキー分解を前処理とする共役勾配法（ＩＣＣＧ法）が使用される。
【００１８】
【非特許文献１】
亀有昭久（Ａ．Ｋａｍｅａｒｉ）「辺要素を用いた有限要素法によるホールを有する非対称導体の解（ＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆａｓｙｍｍｅｔｒｉｃｃｏｎｄｕｃｔｏｒｗｉｔｈａｈｏｌｅｂｙＦＥＭｕｓｉｎｇｅｄｇｅ−ｅｌｅｍｅｎｔｓ）」電気・電子工学における計算及び数学のための雑誌（ＣＯＭＰＥＬ−ＴｈｅＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＪｏｕｒｎａｌｆｏｒＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｎｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｎＥｌｅｃｔｒｉｃａｌａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）第９巻（Ｖｏｌ．９、１９９０）補遺Ａ（ＳｕｐｐｌｅｍｅｎｔＡ）２３０−２３２頁（ｐｐ．２３０−２３２）
【００１９】
【発明が解決しようとする課題】
しかしながら、上記した２ポテンシャル法により得られた連立方程式の解を、反復法によって求めようとすると、解が十分に収束しない場合があるという問題点があった。
【００２０】
具体的に、反復法を用いると解が収束しない解析例のモデルを、図１１に示す。
【００２１】
図１１に示す解析例は、直方体の磁性体１１４にコイル１１６が巻回された構成において、該コイル１１６の矢印に示す方向に電流を流し、２ポテンシャル法を用いて反復法により電磁界解析を行った場合を示す。
【００２２】
この解析例において、磁性体１１４は領域Ωｔ１０６内に存在する。一方、コイル１１６は領域Ωｒ１０４内に存在する。従って、境界Γｔｒ１１２は、磁性体１１４とコイル１１６との間に存在する。この場合、コイル１１６は境界Γｔｒ１１２に近接している。この解析例では、反復法を行っても解が収束しない場合が多い。この解析例の収束状態を図１２に示す。図１２において、横軸は反復回数を示し、縦軸は解の誤差を示す。通常、解の誤差が１０^−６以下〜１０^−８以下になれば解が収束したとみなされる。しかしながら、この解析例では、反復回数が３０回程度で誤差が１０^−２まで低下するが、その後、反復回数を増加すると誤差が大きくなり、解は発散する。
【００２３】
本発明は、２ポテンシャル法を使用する際に、解の収束性を補償する電磁界解析方法を提供することを目的とする。
【００２４】
【課題を解決するための手段】
本発明に係る電磁界解析方法は、ベクトルポテンシャルを用いた２ポテンシャル法により解析対象領域の電磁界解析を行う電磁界解析方法において、前記解析対象領域を少なくとも２つの領域に分割し、前記２つの領域の間に境界を形成してから、前記２つの領域の中のいずれか一方の領域内に電流を流して、前記電流に基づく磁界の強さを前記境界に発生させて、前記解析対象領域における電磁界解析を行う際に、前記境界における磁界の強さを補正してから、前記解析対象領域の電磁界解析を行うことを特徴とする。
【００２５】
この場合、前記境界における前記磁界の強さを補正することにより、連立方程式を反復法で収束するように改善する。そのため、補正後の磁界の強さを用いて解析対象領域の電磁界解析を行うと、解の収束性が改善され、精度よく電磁界解析を行うことができる。
【００２６】
また、前記磁界の強さは、前記境界におけるスカラポテンシャルに基づいて補正される。
【００２７】
さらに、前記磁界の強さの補正量は、前記境界におけるスカラポテンシャルの勾配と、前記境界に垂直な単位ベクトルとの外積である。
【００２８】
【発明の実施の形態】
以下、本発明に係る電磁界解析方法の実施の形態（以下、本実施の形態に係る電磁界解析方法という）を、図１〜図８を参照しながら説明する。
【００２９】
本実施の形態に係る電磁界解析方法は、図１に示すような解析対象領域１０に対して適用される。
【００３０】
解析対象領域１０は、２ポテンシャル法に基づき、コイル１２が存在する領域Ωｒ１４とコイル１２が存在しない領域Ωｔ１６との２つの領域に分割され、領域Ωｒ１４と領域Ωｔ１６との間には境界Γｔｒ１８が形成される。
【００３１】
領域Ωｒ１４内では、通常のベクトルポテンシャルからコイル１２により発生する磁界に対応するベクトルポテンシャルを除いた変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０を用いて電磁界方程式を立てる。一方、領域Ωｔ１６内では、通常の電磁界解析と同様に、トータルベクトルポテンシャルＡｔ２２を用いて電磁界方程式を立てる。
【００３２】
コイル１２に対して強制的に電流を流した場合における電磁界解析では、解析対象領域１０内に存在する図示しない全ての磁性体は、領域Ωｔ１６内に含まれなければならない。一方、解析対象領域１０内に渦電流が流れている場合における電磁界解析では、前記渦電流が流れる導体は、領域Ωｔ１６内に含まれなければならない。なお、上述したように、コイル１２は領域Ωｒ１４に含まれるが、コイル１２は領域Ωｔ１６に含まれていなければよい。また、コイル１２が磁性体や導体から十分に離れていれば、コイル１２と領域Ωｔ１６とそれらの境界Γｔｒ１８とで電磁界解析を行う。
【００３３】
変位電流を無視した場合、電磁界方程式であるマクスウェルの方程式は、（１）式〜（３）式に示す通りである。
【００３４】
【数１】

【００３５】
【数２】

【００３６】
【数３】

【００３７】
ここで、Ｂは磁束密度、Ｈは磁界の強さ、Ｅは電界の強さ、Ｊは電流密度をそれぞれ示し、いずれもベクトル量である。電流密度Ｊは、コイル１２を強制的に流れる電流と、時間的に変動する磁界により導体を流れる渦電流とを含む電流密度である。
【００３８】
磁束密度Ｂに付したドット（・）は、磁束密度Ｂの時間微分（∂／∂ｔ）を表している。（２）式は渦電流が流れる導体に対して適用される。
【００３９】
また、磁束密度Ｂと磁界の強さＨとの関係及び電界の強さＥと電流密度Ｊとの関係は、解析対象領域１０内に存在する磁性体の透磁率μ及び導体の導電率σを用いれば、以下の（４）式及び（５）式で表わすことができる。
【００４０】
【数４】

【００４１】
【数５】

【００４２】
また、（３）式及びベクトル公式より、ベクトルポテンシャルＡは、以下の（６）式で示すことができる。
【００４３】
【数６】

【００４４】
渦電流を考慮した導体を含めない場合には、（４）式及び（６）式を（１）式へ代入することにより、（７）式を得ることができる。
【００４５】
【数７】

【００４６】
上記したように（７）式では渦電流が存在しないので、（７）式の電流密度Ｊは強制電流Ｊ_０のみである。
【００４７】
これに対して、渦電流を考慮する導体では、（２）式、（５）式及び（６）式から渦電流密度Ｊｅを以下の（８）式で求めることができる。ただし、通常、渦電流密度Ｊｅを表わす際に現れる電気スカラポテンシャルは０としている。
【００４８】
【数８】

【００４９】
（８）式を考慮して、（１）式、（４）式及び（６）式から、渦電流が存在する導体では、（７）式に対応して（９）式のようになる。
【００５０】
【数９】

【００５１】
２ポテンシャル法を用いて電磁界解析を行う場合、領域Ωｔ１６には渦電流を考慮する導体が含まれていることもあるため、（９）式から（１０）式のように表すことができる。
【００５２】
【数１０】

【００５３】
ここで、（１０）式のトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２と、（９）式のベクトルポテンシャルＡは同一である。また、（１０）式の右辺は０であるが、要素に分割されるコイルが領域Ωｔ１６に含まれる場合には、（１０）式の右辺は（９）式と同様に０とはならない。つまり、上記したコイルが領域Ωｔ１６に含まれていても差し支えない。さらに、領域Ωｔ１６内において渦電流を考慮しない場合には、（１０）式の左辺の第２項は無視される。なお、以下の説明では、（１０）式の右辺を０とする。
【００５４】
領域Ωｒ１４において用いられるベクトルポテンシャルは、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０である。前記変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０は、領域Ωｔ１６で用いられるトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２から、コイル１２により発生した磁界に対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４を除いたものである。
【００５５】
ここで、領域Ωｔ１６のトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２と、領域Ωｒ１４の変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０と、領域Ωｒ１４内のコイル１２により発生した磁界に対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４との関係は、以下の（１１）式で表される。
【００５６】
【数１１】

【００５７】
この場合、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０はコイル１２により発生する磁界とは無関係である。そのため、領域Ωｒ１４における電磁界方程式は、（７）式のベクトルポテンシャルＡに（１１）式の変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０を代入し、強制電流Ｊ_０を０とすることにより、（１２）式のようになる。
【００５８】
【数１２】

【００５９】
ここで、μ_０は真空中の透磁率である。即ち、（１２）式は、（１０）式とは異なり、磁性体が存在しない領域Ωｒ１４を示す。
【００６０】
次に、領域Ωｒ１４と領域Ωｔ１６との間の境界Γｔｒ１８における境界条件について、図１及び図２を参照しながら説明する。境界Γｔｒ１８に垂直で、領域Ωｔ１６から領域Ωｒ１４の方向を正方向とする単位ベクトルを、ベクトルｎ２６と定義する。この場合、ベクトルポテンシャルに関する境界条件は、以下の（１３）式で表される。一方、磁界の強さに関する境界条件は、以下の（１４）式で表わされる。
【００６１】
【数１３】

【００６２】
【数１４】

【００６３】
ここで、Ｈｓは、領域Ωｒ１４内のコイル１２により発生した磁界の強さである。また、Ｈｒは、領域Ωｒ１４の変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０に対応する磁界の強さである。さらに、Ｈｔは、領域Ωｔ１６のトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２に対応する磁界の強さである。
【００６４】
コイル１２により発生した磁界の強さＨｓと、該磁界の強さＨｓに対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４とは、ビオ・サバールの法則を用いた数値積分により求めることができる。なお、（１３）式及び（１４）式の物理的意義について説明すると、（１３）式は、境界Γｔｒ１８に対する磁束密度の垂直成分の連続性を表わし、（１４）式は、境界Γｔｒ１８に対する磁界の強さの接線成分の連続性を表わしている。
【００６５】
ところで、最近の電磁界解析方法においては、辺要素と呼ばれる小さな要素の辺上に変数を定義する電磁界解析手法が主流となってきている（例えば、Ａ．Ｋａｍｅａｒｉ、“Ｔｈｒｅｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｅｄｄｙｃｕｒｒｅｎｔｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｕｓｉｎｇｅｄｇｅｅｌｅｍｅｎｔｓｆｏｒｍａｇｎｅｔｉｃｖｅｃｔｏｒｐｏｔｅｎｔｉａｌ”、ＡｐｐｌｉｅｄＥｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃｓｉｎＭａｔｅｒｉａｌｓ、ＰｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓｏｆｔｈｅＦｉｒｓｔＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＳｙｍｐｏｓｉｕｍ、Ｔｏｋｙｏ、３−５Ｏｃｔｏｂｅｒ１９８８、ＥｄｉｔｅｄｂｙＫ．Ｍｉｙａ、ＰｅｒｇａｍｏｎＰｒｅｓｓ、ｐｐ．２２５−２３６参照）。この辺要素を用いて電磁界解析を行うと、境界Γｔｒ１８上に沿って、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０と、トータルベクトルポテンシャルＡｔ２２と、コイル１２により発生した磁界の強さＨｓに対応するベクトルポテンシャルＡｓ２４とが定義できる。
【００６６】
ここで、上記したベクトルポテンシャルＡｓ２４は、ビオ・サバールの法則から求められるので、（１３）式より、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０とトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２の関係が求まる。その結果、（１３）式において、変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０又はトータルベクトルポテンシャルＡｔ２２のいずれか一方を消去すれば、トータルベクトルポテンシャルＡｔ２２又は変形ベクトルポテンシャルＡｒ２０が決定されるので、（１３）式の境界条件は満足される。
【００６７】
ところで、（１０）式及び（１２）式は微分方程式により表現されており、これらの微分方程式を直接解いて電磁界解析を行うことは困難である。そこで、辺要素を含む有限要素法では、（１０）式及び（１２）式を、（１５）式及び（１６）式に示す弱形式に変更して電磁界解析を行う。
【００６８】
【数１５】

【００６９】
【数１６】

【００７０】
ここで、Ｎは辺要素の形状関数であり、弱形式における重み関数は、この形状関数に等しいとした。この重み関数には、スカラの勾配関数（ｇｒａｄ関数）が含まれている。（１４）式〜（１６）式より、弱形式の電磁方程式は、以下の（１７）式で表される。
【００７１】
【数１７】

【００７２】
（１７）式を用いて電磁界解析を行うと、有限要素法による要素の分割とは無関係に、コイル１２を領域Ωｔ１６を除く解析対象領域１０内に配置することが可能となる。そのため、コイル１２を考慮して要素を分割する必要はなくなる。
【００７３】
ところで、上述したように、コイル１２により発生した磁界の強さＨｓは、一般には、ビオ・サバールの法則を用いた数値積分により求められる。しかしながら、前記数値積分では、数値的な誤差が必ず含まれている。そのため、（１７）式の右辺の精度が十分でない場合には、２ポテンシャル法による解の収束性が悪化するおそれがある。このような数値的な誤差を小さくするには、上記した数値積分の精度を高めることが考えられるが、このような方法では、数値積分に要する時間が莫大となるばかりでなく、数値積分の精度を向上にも限界があるので、必ずしも解が収束するとは限らない。
【００７４】
そこで、まず、（１７）式の前記重み関数を、任意のスカラ関数ωの勾配関数に設定し、（１７）式の右辺を以下の（１８）式に変形する。
【００７５】
【数１８】

【００７６】
ここで、（１８）式の右辺第１項（ω∇×Ｈｓ・ｎ）は、物理的に、境界Γｔｒ１８に対して垂直な電流成分を表わす。しかしながら、上述したように、コイル１２を流れる電流は、領域Ωｒ１４内にのみ存在し、領域Ωｒ１４と領域Ωｔ１６との間をまたがって流れることはないので、（１８）式の前記右辺第１項は０となる。
【００７７】
一方、（１８）式の右辺第２項は、境界Γｔｒ１８を形成する閉曲線Ｃに沿った線積分を表している。この場合、領域Ωｔ１６は領域Ωｒ１４に取り囲まれているので、境界面全体の閉曲面は存在しない。従って、（１８）式における線積分の値は０となる。
【００７８】
以上のことから、（１８）式の右辺は０となるので、（１８）式の左辺もまた恒等的に０でなければならない。この場合、コイル１２により発生した磁界の強さＨｓはビオ・サバールの法則により、一般には、数値積分を利用して求めている。しかしながら、電子計算機等を用いて前記数値積分を行うと、丸め誤差等の数値的な誤差が必ず発生する。そのため、（１８）式の左辺を０にすることは困難である。このように、数値的な誤差を含んだ磁界の強さＨｓを（１８）式に代入して、解析対象領域１０全体にわたる連立方程式を構築して行列を形成し、該行列の計算を、例えば反復法により行えば、解の収束性が悪化するおそれがある。
【００７９】
そこで、本実施の形態に係る電磁界解析方法では、磁界の強さＨｓを補正することにより、上記した解の収束性を改善する。その具体的な改善方法（補正方法）について、図３の計算機３０と図４に示すフローチャートとを参照しながら、以下に説明する。
【００８０】
本実施の形態に係る電磁界解析方法では、計算機３０を用いて解析対象領域１０の電磁界解析を行わせる。計算機３０は、入力装置３２と、主記憶装置３４と、補助記憶装置３６と、中央処理装置３８と、出力装置４０とから構成される。中央処理装置３８は、さらに、制御部４２と解析対象領域形成部４４と連立方程式作成部４６と境界条件算出部４８と境界条件補正部５０と電磁界解析部５２とを有する。
【００８１】
入力装置３２は、外部より、解析対象領域１０の電磁界解析に必要な３次元データを入力する。この場合、解析対象領域１０となる解析対象とは、例えば、変圧器、発電機、モータ等の電磁気現象を利用した電気機器又は電子機器をいう。つまり、前記３次元データとは、上記した解析対象の形状や位置、前記解析対象に含まれる磁性体の透磁率及び導体の導電率、コイル１２を強制的に流れる電流の大きさ及び方向等の各種データをいう。
【００８２】
主記憶装置３４は、中央処理装置３８において解析対象領域１０の電磁界解析が行われる際に、前記電磁界解析に必要なデータを中央処理装置３８に供給したり、前記電磁界解析の結果として得られたデータ（電界、磁界等）を一時的に蓄積する。
【００８３】
補助記憶装置３６は、主記憶装置３４に蓄積された前記データを記憶する。
【００８４】
中央処理装置３８は、実際に電磁界解析を行う。制御部４２は、計算機３０全体の制御を行う。解析対象領域形成部４４は、中央処理装置３８から供給された３次元データに基づいて解析対象領域１０を構築し、前記解析対象領域１０を２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に分割する。連立方程式作成部４６は、解析対象領域形成部４４において分割された前記２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６における電磁界方程式をそれぞれ構築し、前記電磁界方程式から連立方程式を作成する。境界条件算出部４８は、連立方程式作成部４６において作成された前記連立方程式とビオ・サバールの法則とに基づいて境界条件を求める。境界条件補正部５０は、境界条件算出部４８において前記境界条件を求めた際に発生する数値的な誤差を補正する。電磁界解析部５２は、連立方程式作成部４６で作成された前記連立方程式と境界条件補正部５０において補正された境界条件とに基づいて解析対象領域１０の電磁界解析を実行する。
【００８５】
出力装置４０は、主記憶装置３４に一時的に蓄積されるか、補助記憶装置３６に蓄積されている前記データを外部に出力する。
【００８６】
次に、計算機３０を用いた解析対象領域１０の電磁界解析を、図４に示すフローチャートに基づいて説明する。
【００８７】
まず、初めに計算機３０の入力装置３２から、解析対象領域１０の電磁界解析に必要な３次元データが入力される（ステップＳ１）。これにより、入力装置３２を介して主記憶装置３４に、３次元データが記憶される。
【００８８】
次いで、主記憶装置３４に記憶された前記３次元データを中央処理装置３８の解析対象領域形成部４４に供給する。解析対象領域形成部４４では、前記３次元データに基づいて解析対象領域１０を構築する（ステップＳ２）。その際、磁性体、導体、絶縁体、コイル１２等が、解析対象領域１０内の所定箇所に配置される。次いで、構築された解析対象領域１０が少なくとも２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に分割される（ステップＳ３）。これにより、領域Ωｒ１４、Ωｔ１６の間に境界Γｔｒ１８も形成される。
【００８９】
次いで、２つの領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に分割された解析対象領域１０の情報が、解析対象領域形成部４４から連立方程式作成部４６に供給される。連立方程式作成部４６では、領域Ωｒ１４、Ωｔ１６に対してそれぞれ異なる電磁界方程式を構築する（ステップＳ４）。これらの電磁界方程式から後述する電磁界解析に必要な連立方程式が作成される（ステップＳ５）。
【００９０】
次いで、作成された前記連立方程式の情報が、連立方程式作成部４６から境界条件算出部４８に供給される。境界条件算出部４８では、領域Ωｒ１４、Ωｔ１６の間に存在する境界Γｔｒ１８の境界条件を、ビオ・サバールの法則に基づいて求める（ステップＳ６）。その際、前記境界条件には、例えば、丸め誤差等の数値的な誤差が含まれている。
【００９１】
次いで、求められた前記境界条件の情報が、境界条件算出部４８から境界条件補正部５０に供給される。境界条件補正部５０では、上記した数値的な誤差を補正し、前記数値的な誤差が含まれていない補正された境界条件を求める（ステップＳ７）。
【００９２】
次いで、前記補正された境界条件が、境界条件補正部５０から電磁界解析部５２に供給される。また、連立方程式作成部４６で作成された前記連立方程式も、連立方程式作成部４６から電磁界解析部５２に供給される。電磁界解析部５２では、前記連立方程式と前記補正された境界条件とを用いて解析対象領域１０の電磁界解析を、例えば、反復法により行う（ステップＳ８）。これにより、解析対象領域１０の各部における磁束密度、磁界の強さ、電界の大きさ等のデータが求められる。
【００９３】
次いで、電磁界解析部５２で行われた電磁界解析の結果、例えば、前記データが、主記憶装置３４に供給される。主記憶装置３４は、上記した電磁界解析の結果を補助記憶装置３６に供給して蓄積させるか、出力装置４０に供給して外部に出力させる（ステップＳ９）。
【００９４】
次に、ステップＳ７における境界条件の補正方法について、より詳細に説明する。
【００９５】
コイル１２により発生した磁界の強さＨｓに関し、境界条件に数値的な誤差が含まれていると、（１８）式の左辺が０ではなくなる。そのため、計算機３０の電磁界解析部５２において、解析対象領域１０の電磁界解析を行っても、前記数値的な誤差により解の収束性が悪くなるおそれがある。従って、前記解の収束性を改善してより効率よく解析対象領域１０の電磁界解析を行うためには、（１８）式が０となるように補正することが必要である。
【００９６】
そこで、解の収束性を改善するために、（１８）式が０となるように補正する方法について以下に説明する。
【００９７】
数値積分を利用して、ビオ・サバールの法則により求められるコイル１２により発生した磁界の強さＨｓについて、以下の（１９）式に示す磁界の強さＨｓ’に補正する。
【００９８】
【数１９】

【００９９】
ここで、φは、境界Γｔｒ１８におけるスカラポテンシャル５４である（図１参照）。（１９）式の両辺に対して、任意のスカラ関数ωの勾配関数∇ωとの外積をとる。そして、前記外積について、境界Γｔｒ１８に関する面積分を行うことにより、以下の（２０）式が得られる。
【０１００】
【数２０】

【０１０１】
ここで、（２０）式の左辺が０であれば、（２０）式の左辺における補正された磁界の強さＨｓ’を（１８）式の磁界の強さＨｓとして代入することにより、（１８）式の左辺もまた０となる。従って、磁界の強さＨｓを補正した磁界の強さＨｓ’に変更することにより、計算機３０において反復法に基づいて行われる解析対象領域１０の電磁界解析についての解の収束性が改善される。（１９）式より、ビオ・サバールの法則に基づいて数値積分を利用して求められるコイル１２により発生した磁界の強さＨｓは既知である。従って、磁界の強さＨｓの補正量である（１９）式の右辺第２項（∇φ×ｎ）が分かれば、補正した磁界の強さＨｓ’を求めることができる。
【０１０２】
（２０）式より右辺を０とし、任意のスカラ関数ωが境界Γｔｒ１８において定義されたスカラポテンシャルφ５４の形状関数に等しいとすれば、（２０）式の右辺第２項は、通常の有限要素法でよく解かれる公知の方程式である。従って、容易にスカラポテンシャルφ５４を求めることができる。
【０１０３】
上記した磁界の強さＨｓの補正方法を計算機３０で実行する場合、前記補正方法は、ステップＳ７において行われる。前記ステップＳ７において前記補正方法を実行し、磁界の強さＨｓを補正した磁界の強さＨｓ’に変更する過程を、図５に示すフローチャートを参照しながら説明する。
【０１０４】
まず、ステップＳ６において求められた境界条件の情報が、境界条件算出部４８から境界条件補正部５０に供給される（図４参照）。境界条件補正部５０では、前記情報に基づいて境界Γｔｒ１８における電磁界解析の連立方程式が作成される（ステップＳ７１）。
【０１０５】
次いで、境界条件算出部４８において計算された磁界の強さＨｓを、（２０）式の右辺第１項に代入する（ステップＳ７２）。この場合、（２０）式の右辺第１項は、（１８）式の左辺と同じ形である。また、（２０）式の左辺は０であることから、∇φ×ｎに関する連立方程式を作成することができる。
【０１０６】
次いで、前記磁界の強さＨｓが代入された前記連立方程式を解く（ステップＳ７３）。これにより、補正された磁界の強さＨｓ’が求められる。
【０１０７】
次いで、前記補正された磁界の強さＨｓ’を（１７）式に代入する（ステップＳ７４）。これにより、連立方程式の収束性を改善する境界条件の情報が形成され、前記情報を境界条件補正部５０から電磁界解析部５２に供給することが可能となる。
【０１０８】
次に、上記した補正方法を用いて解析対象領域１０の電磁界解析を行った結果（第１の解析例）について説明する。
【０１０９】
第１の解析例では、解析対象である図１１に示すモデルについて、計算機３０により電磁界解析を行った。前記モデルの電磁界解析における解の収束状況の結果を図６に示す。この場合、２０回程度の反復回数で、誤差が１０^−８以下にまで減少し、解が収束していることが分かる。
【０１１０】
次に、第２の解析例について図７に示す。解析対象は、直方体の磁性体５６にコイル５８が巻き回されたモデルである。図７に示す矢印方向に電流を強制的に流した際の電磁界解析を計算機３０により行った。この場合、コイル５８は４つの導体部で磁性体５６を取り囲むように構成されているが、コイル５８の四隅である前記４つの導体部の接続部６０では電流が連続的に流れない。即ち、前記電流は接続部６０において不連続となっている。
【０１１１】
このようなモデルについて、従来技術に係る電磁界解析方法で電磁界解析を行うと、境界における数値積分の精度を高めたとしても、（１８）式の左辺が０になることはない。そのため、解の収束性は悪く、所望の電磁界解析の結果を得ることは困難である。
【０１１２】
これに対して、本実施の形態に係る電磁界解析方法に基づいて電磁界解析を行えば、（２０）式において予めφを求め、磁界の強さＨｓが補正された磁界の強さＨｓ’に変更され、補正された磁界の強さＨｓ’を用いて電磁界解析を行うので、解の収束性が改善され、所望の電磁界解析の結果を得ることができる。
【０１１３】
次に、本実施の形態に係る電磁界解析方法と、従来技術に係る電磁界解析方法との解の収束性についての比較結果を、図８に示す。従来技術に係る電磁界解析方法では、４５回程度の反復回数で誤差は１０^−２にまで低下するが、それ以上の反復回数では、却って誤差が増加し、解が収束することはない。これに対して、本実施の形態に係る電磁界解析方法では、２０回程度の反復回数で誤差は１０^−８にまで低下し、解が収束していることが分かる。
【０１１４】
なお、本発明に係る電磁界解析方法は、上述の実施の形態に限らず、この発明の要旨を逸脱することなく、種々の構成を採り得ることは勿論である。
【０１１５】
【発明の効果】
以上、説明したように、本発明に係る電磁界解析方法では、磁界の強さを補正することにより、解析対象領域の電磁界解析を行う際の解の収束性が改善され、精度よく電磁界解析を行うことができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本実施の形態に係る電磁界解析方法が行われる解析対象領域を示す図である。
【図２】図１の解析対象領域の境界を拡大して示す図である。
【図３】本実施の形態に係る電磁界解析方法を実行する計算機の構成を示すブロック図である。
【図４】本実施の形態に係る電磁界解析方法による電磁界解析のフローチャートである。
【図５】図４のステップ７を詳細に説明するフローチャートである。
【図６】本実施の形態に係る電磁界解析の結果を示す図である。
【図７】本実施の形態に係る電磁界解析方法の解析対象を示す斜視図である。
【図８】図７の解析対象に対する電磁界解析の結果を示す図である。
【図９】従来技術に係る電磁界解析方法が行われる解析対象領域を示す図である。
【図１０】従来技術に係る電磁界解析方法による電磁界解析のフローチャートである。
【図１１】従来技術に係る電磁界解析方法の解析対象を示す斜視図である。
【図１２】図１１の解析対象に対する電磁界解析の結果を示す図である。
【符号の説明】
１０…解析対象領域１２、５８…コイル
１４、１６…領域１８…境界
２０…変形ベクトルポテンシャル２２…トータルベクトルポテンシャル
２４…ベクトルポテンシャル２６…ベクトル
３０…計算機３２…入力装置
３４…主記憶装置３６…補助記憶装置
３８…中央処理装置４０…出力装置
４２…制御部４４…解析対象領域形成部
４６…連立方程式作成部４８…境界条件算出部
５０…境界条件補正部５２…電磁界解析部
５４…スカラポテンシャル５６…磁性体
６０…接続部[0001]
TECHNICAL FIELD OF THE INVENTION
The present invention relates to an electromagnetic field analysis method for performing an electromagnetic field analysis of an analysis target including an electric device or an electronic device using an electromagnetic phenomenon such as a transformer, a generator, and a motor.
[0002]
[Prior art]
Using the finite element method, transformers, generators, when performing electromagnetic field analysis of an analysis target including an electric device or an electronic device using electromagnetic phenomena such as a motor, the space inside the analysis target region first Is divided into the elements of the small area. Next, Maxwell's electromagnetic field equation for each of the divided elements is represented by an approximate expression. Next, a system of equations based on the approximate expressions for the respective elements is formed for the entire analysis target region. Next, an electromagnetic field in the analysis target area is obtained by solving the simultaneous equations.
[0003]
In the above-described electromagnetic field analysis, an electromagnetic field in an analysis target region is often obtained using a magnetic vector potential (hereinafter, simply referred to as a vector potential).
[0004]
Next, a method of analyzing an electromagnetic field to be analyzed using a vector potential will be described.
[0005]
In general, objects to obtain information in the electromagnetic field analysis are a magnetic substance, a conductor, and a dielectric substance existing in the analysis target area. These are not coils in which current is forced to flow. However, the coil in which the above-described current flows forcibly must be divided into elements, like the other parts. In this case, it is difficult to divide an analysis target region including a coil having a complicated shape into elements, and it requires considerable labor.
[0006]
In order to avoid such annoyance, the analysis target region is divided into a region including a coil and a region not including a coil, and a different electromagnetic field equation is applied to each region, so that the coil has a finite element. A technique of performing an electromagnetic field analysis of the analysis target area without dividing the analysis target area (hereinafter referred to as a two-potential method) has been developed (for example, see Non-Patent Document 1).
[0007]
In this two-potential method, as shown in FIG. 9, the analysis target region 100 to be subjected to the electromagnetic field analysis is divided into a region Ωr104 where the coil 102 exists and a region Ωt106 where the coil 102 does not exist.
[0008]
In the region Ωr104, an electromagnetic field equation is established using a deformed vector potential Ar108 obtained by removing a vector potential corresponding to a magnetic field generated by the coil 102 from a normal vector potential. On the other hand, in the region Ωt106, as in the ordinary electromagnetic field analysis, the electromagnetic field equation is calculated using a vector potential (hereinafter, this vector potential is referred to as a total vector potential At110 in order to clearly distinguish the vector potential from the deformation vector potential Ar108). Stand up. Here, a region (boundary) between the region Ωr104 and the region Ωt106 is defined as a boundary Δtr112.
[0009]
When a forced current is applied to the coil 102, in the electromagnetic field analysis by the two-potential method, all the magnetic substances existing inside the analysis target region 100 are included in the region Ωt106. In the electromagnetic field analysis when the eddy current flows in the analysis target region 100, all the conductors through which the eddy current flows are included in the region Ωt106.
[0010]
In the above description, the coil 102 is included in the region Ωr104 for easy understanding. However, actually, the coil 102 is not included in the region Ωt106. When the coil 102 is sufficiently separated from the magnetic material or the conductor, the electromagnetic field analysis is performed in the analysis target region 100 including the coil 102, the region Ωt106, and the boundary Δtr112.
[0011]
In addition, the coil 102 divided into finite elements may be analyzed by including the electromagnetic field equation using the total vector potential At110 in the region Ωt106 to be constructed, similarly to the ordinary finite element method.
[0012]
Furthermore, the case where the analysis target region 100 is divided into two regions, the region Ωr104 and the region Ωt106, has been described, but a plurality of regions may exist in the analysis target region 100.
[0013]
The procedure of the electromagnetic field analysis by the two potential method is shown in the flowchart of FIG.
[0014]
First, data necessary for performing an electromagnetic field analysis, including characteristics such as the shape of the analysis target, the mutual position of the analysis target, the magnetic permeability and the conductivity of the analysis target, is read (step S101). Next, the analysis target region 100 to be analyzed is divided into at least two regions Ωr104 and Ωt106, and an electromagnetic field equation in each of the divided regions Ωr104 and Ωt106 and the read data are used to perform an electromagnetic field analysis. A necessary simultaneous equation is established (step S102). Next, a boundary condition at the boundary Δtr112 between the regions Ωr104 and Ωt106 is obtained from Biot-Savart's law (step S103).
[0015]
Subsequent to step S103, an electromagnetic field analysis of the analysis target region 100 is performed from the simultaneous equations obtained in step S102 and the boundary conditions obtained in step S103 (step S104). Finally, the result of the electromagnetic field analysis is output (step S105).
[0016]
When performing an electromagnetic field analysis using the two-potential method described above, it is necessary to solve a large-scale simultaneous equation. For example, in order to obtain a solution of this simultaneous equation by a direct method such as the Gaussian elimination method, a large-scale computer is required for calculation of electromagnetic field analysis, and an enormous calculation time is required. Therefore, the calculation using the iterative method is more advantageous in electromagnetic field analysis.
[0017]
In the iterative method, the value of the solution is first assumed, the solution is corrected by an appropriate method, and when the amount of correction becomes sufficiently small in the process of repeating the correction, it is determined that the solution has converged, and the simultaneous equation This is a method of finding the solution of As a typical iterative method, the finite element method uses a conjugate gradient method (ICCG method) in which incomplete Cholesky decomposition is preprocessed.
[0018]
[Non-patent document 1]
A. Kameari, "Solution of asymmetric conductor with a hole by FEM using edge-elements", for calculation and mathematics in electrical and electronic engineering. (COMPEL-The International Journal of Computation and Materials in Electronic and Electronic Engineering), Vol. 9 (Vol. 9, 1990) Supplement A (Supplement A-32-32-32).
[0019]
[Problems to be solved by the invention]
However, when the solution of the simultaneous equations obtained by the two-potential method described above is obtained by the iterative method, there is a problem that the solution may not sufficiently converge.
[0020]
Specifically, FIG. 11 shows a model of an analysis example in which the solution does not converge when the iterative method is used.
[0021]
In the analysis example shown in FIG. 11, in a configuration in which a coil 116 is wound around a rectangular parallelepiped magnetic body 114, a current flows in the direction indicated by an arrow of the coil 116, and electromagnetic field analysis is performed by an iterative method using a two-potential method. Shows the case where it was performed.
[0022]
In this analysis example, the magnetic body 114 exists in the region Ωt106. On the other hand, the coil 116 exists in the region Ωr104. Therefore, the boundary Δtr 112 exists between the magnetic body 114 and the coil 116. In this case, coil 116 is close to boundary Δtr112. In this analysis example, the solution often does not converge even when the iterative method is performed. FIG. 12 shows the convergence state of this analysis example. In FIG. 12, the horizontal axis indicates the number of iterations, and the vertical axis indicates the error of the solution. Usually, the error of the solution is 10 ^-6 Below 10 ^-8 The solution is considered to have converged if However, in this analysis example, the number of iterations is about 30 and the error is 10 ^-2 However, as the number of iterations increases, the error increases and the solution diverges.
[0023]
An object of the present invention is to provide an electromagnetic field analysis method for compensating the convergence of a solution when using the two-potential method.
[0024]
[Means for Solving the Problems]
An electromagnetic field analysis method according to the present invention is the electromagnetic field analysis method of performing an electromagnetic field analysis of an analysis target region by a two-potential method using a vector potential, wherein the analysis target region is divided into at least two regions. After forming a boundary between the regions, a current is caused to flow in one of the two regions to generate a magnetic field strength based on the current at the boundary, and the analysis target region is generated. When the electromagnetic field analysis is performed, the field strength at the boundary is corrected, and then the electromagnetic field analysis of the analysis target area is performed.
[0025]
In this case, the simultaneous equations are improved so as to converge by an iterative method by correcting the strength of the magnetic field at the boundary. Therefore, when the electromagnetic field analysis of the analysis target region is performed using the corrected magnetic field strength, the convergence of the solution is improved, and the electromagnetic field analysis can be performed with high accuracy.
[0026]
Further, the strength of the magnetic field is corrected based on a scalar potential at the boundary.
[0027]
Further, the correction amount of the magnetic field strength is an outer product of a gradient of a scalar potential at the boundary and a unit vector perpendicular to the boundary.
[0028]
BEST MODE FOR CARRYING OUT THE INVENTION
Hereinafter, an embodiment of an electromagnetic field analysis method according to the present invention (hereinafter, referred to as an electromagnetic field analysis method according to the present embodiment) will be described with reference to FIGS.
[0029]
The electromagnetic field analysis method according to the present embodiment is applied to an analysis target area 10 as shown in FIG.
[0030]
The analysis target region 10 is divided into two regions, a region Ωr14 where the coil 12 exists and a region Ωt16 where the coil 12 does not exist, based on the two potential method, and a boundary Δtr18 is formed between the region Ωr14 and the region Ωt16. Is done.
[0031]
In the region Ωr14, an electromagnetic field equation is established using a deformed vector potential Ar20 obtained by removing a vector potential corresponding to a magnetic field generated by the coil 12 from a normal vector potential. On the other hand, in the region Ωt16, an electromagnetic field equation is established using the total vector potential At22, as in the normal electromagnetic field analysis.
[0032]
In the electromagnetic field analysis in the case where a current is forced to flow through the coil 12, all the magnetic materials (not shown) existing in the analysis target region 10 must be included in the region Ωt16. On the other hand, in the electromagnetic field analysis when the eddy current flows in the analysis target region 10, the conductor through which the eddy current flows must be included in the region Ωt16. Note that, as described above, the coil 12 is included in the region Ωr14, but the coil 12 need only be included in the region Ωt16. If the coil 12 is sufficiently separated from the magnetic material or the conductor, the electromagnetic field analysis is performed on the coil 12, the region Ωt16, and the boundary Δtr18 between them.
[0033]
When the displacement current is neglected, Maxwell's equations, which are electromagnetic field equations, are as shown in equations (1) to (3).
[0034]
(Equation 1)

[0035]
(Equation 2)

[0036]
[Equation 3]

[0037]
Here, B is the magnetic flux density, H is the strength of the magnetic field, E is the strength of the electric field, and J is the current density, all of which are vector quantities. The current density J is a current density including a current forcibly flowing through the coil 12 and an eddy current flowing through the conductor due to a time-varying magnetic field.
[0038]
The dot (•) added to the magnetic flux density B represents the time derivative (∂ / ∂t) of the magnetic flux density B. Equation (2) is applied to a conductor through which an eddy current flows.
[0039]
The relationship between the magnetic flux density B and the magnetic field strength H and the relationship between the electric field strength E and the current density J are determined by the magnetic permeability μ of the magnetic substance existing in the analysis target area 10 and the conductivity σ of the conductor. If used, it can be represented by the following equations (4) and (5).
[0040]
(Equation 4)

[0041]
(Equation 5)

[0042]
Further, from the equation (3) and the vector formula, the vector potential A can be expressed by the following equation (6).
[0043]
(Equation 6)

[0044]
When a conductor taking eddy current into consideration is not included, equation (7) can be obtained by substituting equations (4) and (6) into equation (1).
[0045]
(Equation 7)

[0046]
As described above, since the eddy current does not exist in the equation (7), the current density J in the equation (7) is ₀ Only.
[0047]
On the other hand, in the conductor considering the eddy current, the eddy current density Je can be obtained by the following equation (8) from the equations (2), (5) and (6). However, normally, the electric scalar potential that appears when expressing the eddy current density Je is set to zero.
[0048]
(Equation 8)

[0049]
In consideration of the expression (8), from the expressions (1), (4) and (6), the conductor having an eddy current becomes the expression (9) corresponding to the expression (7).
[0050]
(Equation 9)

[0051]
When the electromagnetic field analysis is performed using the two-potential method, the region Ωt16 may include a conductor that takes into account the eddy current, and thus can be expressed as Expressions (9) to (10).
[0052]
(Equation 10)

[0053]
Here, the total vector potential At22 in the equation (10) and the vector potential A in the equation (9) are the same. Although the right side of equation (10) is 0, if the coil divided into elements is included in region Ωt16, the right side of equation (10) does not become 0 as in equation (9). That is, the coil described above may be included in the region Ωt16. Further, when the eddy current is not considered in the region Ωt16, the second term on the left side of the equation (10) is ignored. In the following description, the right side of Expression (10) is set to 0.
[0054]
The vector potential used in the region Ωr14 is a deformation vector potential Ar20. The deformation vector potential Ar20 is obtained by removing the vector potential As24 corresponding to the magnetic field generated by the coil 12 from the total vector potential At22 used in the region Ωt16.
[0055]
Here, the relationship between the total vector potential At22 in the region Ωt16, the deformation vector potential Ar20 in the region Ωr14, and the vector potential As24 corresponding to the magnetic field generated by the coil 12 in the region Ωr14 is expressed by the following equation (11). Is done.
[0056]
(Equation 11)

[0057]
In this case, the deformation vector potential Ar20 is independent of the magnetic field generated by the coil 12. Therefore, the electromagnetic field equation in the region Ωr14 is obtained by substituting the deformation vector potential Ar20 of equation (11) for the vector potential A of equation (7), ₀ Is set to 0, Equation (12) is obtained.
[0058]
(Equation 12)

[0059]
Where μ ₀ Is the magnetic permeability in vacuum. That is, the equation (12), unlike the equation (10), indicates the region Ωr14 where no magnetic material exists.
[0060]
Next, a boundary condition at a boundary Δtr18 between the region Ωr14 and the region Ωt16 will be described with reference to FIGS. A unit vector that is perpendicular to the boundary Δtr18 and has a positive direction from the region Ωt16 to the region Ωr14 is defined as a vector n26. In this case, the boundary condition regarding the vector potential is represented by the following equation (13). On the other hand, the boundary condition relating to the strength of the magnetic field is expressed by the following equation (14).
[0061]
(Equation 13)

[0062]
[Equation 14]

[0063]
Here, Hs is the strength of the magnetic field generated by the coil 12 in the region Ωr14. Hr is the strength of the magnetic field corresponding to the deformation vector potential Ar20 in the region Ωr14. Further, Ht is the strength of the magnetic field corresponding to the total vector potential At22 in the region Ωt16.
[0064]
The strength Hs of the magnetic field generated by the coil 12 and the vector potential As24 corresponding to the strength Hs of the magnetic field can be obtained by numerical integration using Biot-Savart's law. Note that the physical significance of the expressions (13) and (14) will be described. The expression (13) expresses the continuity of the vertical component of the magnetic flux density with respect to the boundary Δtr18, and the expression (14) expresses the continuity of the magnetic field with respect to the boundary Δtr18. It represents the continuity of the tangent components of the strength.
[0065]
By the way, in recent electromagnetic field analysis methods, an electromagnetic field analysis method of defining a variable on a side of a small element called a side element has become mainstream (for example, A. Kameri, “Three dimensional eddy current calculation using”). edge elements for magnetic vector potential, Applied Electromagnetics in Materials, Proceedings of the First International Bank, 3-Year International, Symposium, and the Third International Symposium. When an electromagnetic field analysis is performed using these side elements, a deformation vector potential Ar20, a total vector potential At22, and a vector potential As24 corresponding to the strength Hs of the magnetic field generated by the coil 12 are defined along the boundary Δtr18. it can.
[0066]
Here, since the above-mentioned vector potential As24 is obtained from Biot-Savart's law, the relationship between the deformation vector potential Ar20 and the total vector potential At22 is obtained from Expression (13). As a result, if either the deformation vector potential Ar20 or the total vector potential At22 is eliminated from the equation (13), the total vector potential At22 or the deformation vector potential Ar20 is determined. Be satisfied.
[0067]
Incidentally, the equations (10) and (12) are expressed by differential equations, and it is difficult to directly solve these differential equations to perform electromagnetic field analysis. Therefore, in the finite element method including the edge element, the electromagnetic field analysis is performed by changing the expressions (10) and (12) to the weak forms shown in the expressions (15) and (16).
[0068]
(Equation 15)

[0069]
(Equation 16)

[0070]
Here, N is a shape function of an edge element, and the weight function in the weak form is assumed to be equal to this shape function. This weight function includes a scalar gradient function (grad function). From the equations (14) to (16), the weak electromagnetic equation is expressed by the following equation (17).
[0071]
[Equation 17]

[0072]
When the electromagnetic field analysis is performed using the equation (17), the coil 12 can be arranged in the analysis target region 10 excluding the region Ωt16, regardless of the element division by the finite element method. Therefore, there is no need to divide elements in consideration of the coil 12.
[0073]
Incidentally, as described above, the strength Hs of the magnetic field generated by the coil 12 is generally obtained by numerical integration using Biot-Savart's law. However, the numerical integration always includes a numerical error. Therefore, if the precision of the right side of the equation (17) is not sufficient, the convergence of the solution by the two-potential method may be deteriorated. In order to reduce such numerical errors, it is conceivable to increase the accuracy of the above-described numerical integration. However, such a method not only requires an enormous amount of time for the numerical integration but also increases the accuracy of the numerical integration. The solution does not always converge because there is a limit in improving.
[0074]
Therefore, first, the weighting function of the equation (17) is set to a gradient function of an arbitrary scalar function ω, and the right side of the equation (17) is transformed into the following equation (18).
[0075]
(Equation 18)

[0076]
Here, the first term on the right side of the equation (18) (ω∇ × Hs · n) physically represents a current component perpendicular to the boundary Γtr18. However, as described above, the current flowing through the coil 12 exists only in the region Ωr14 and does not flow across the region Ωr14 and the region Ωt16. Therefore, the first term on the right side of the expression (18) is It becomes 0.
[0077]
On the other hand, the second term on the right side of the equation (18) represents a line integral along the closed curve C forming the boundary Δtr18. In this case, since the region Ωt16 is surrounded by the region Ωr14, there is no closed curved surface of the entire boundary surface. Therefore, the value of the line integral in equation (18) is zero.
[0078]
From the above, since the right side of the equation (18) is 0, the left side of the equation (18) must also be equal to 0. In this case, the strength Hs of the magnetic field generated by the coil 12 is generally obtained by using numerical integration according to Biot-Savart's law. However, when the numerical integration is performed using an electronic computer or the like, a numerical error such as a rounding error always occurs. Therefore, it is difficult to set the left side of Expression (18) to 0. As described above, by substituting the magnetic field strength Hs including a numerical error into the equation (18), a simultaneous equation over the entire analysis target area 10 is constructed to form a matrix. If performed by an iterative method, the convergence of the solution may be deteriorated.
[0079]
Therefore, in the electromagnetic field analysis method according to the present embodiment, the convergence of the above solution is improved by correcting the magnetic field strength Hs. The specific improvement method (correction method) will be described below with reference to the computer 30 in FIG. 3 and the flowchart shown in FIG.
[0080]
In the electromagnetic field analysis method according to the present embodiment, the computer 30 is used to perform an electromagnetic field analysis of the analysis target area 10. The computer 30 includes an input device 32, a main storage device 34, an auxiliary storage device 36, a central processing unit 38, and an output device 40. The central processing unit 38 further includes a control unit 42, an analysis target area forming unit 44, a simultaneous equation creating unit 46, a boundary condition calculating unit 48, a boundary condition correcting unit 50, and an electromagnetic field analyzing unit 52.
[0081]
The input device 32 inputs three-dimensional data required for electromagnetic field analysis of the analysis target region 10 from outside. In this case, the analysis target to be the analysis target region 10 refers to, for example, an electric device or an electronic device using an electromagnetic phenomenon, such as a transformer, a generator, and a motor. That is, the three-dimensional data includes the shape and position of the analysis target, the magnetic permeability and the conductivity of the conductor included in the analysis target, and the magnitude and direction of the current forcibly flowing through the coil 12. Refers to various data.
[0082]
The main storage device 34 supplies data necessary for the electromagnetic field analysis to the central processing unit 38 when the electromagnetic field analysis of the analysis target area 10 is performed in the central processing unit 38, or as a result of the electromagnetic field analysis. The obtained data (electric field, magnetic field, etc.) is temporarily stored.
[0083]
The auxiliary storage device 36 stores the data stored in the main storage device 34.
[0084]
The central processing unit 38 actually performs an electromagnetic field analysis. The control unit 42 controls the entire computer 30. The analysis target area forming unit 44 constructs the analysis target area 10 based on the three-dimensional data supplied from the central processing unit 38, and divides the analysis target area 10 into two areas Ωr14 and Ωt16. The simultaneous equation creating unit 46 constructs the electromagnetic field equations in the two regions Ωr14 and Ωt16 divided by the analysis target region forming unit 44, respectively, and creates a simultaneous equation from the electromagnetic field equations. The boundary condition calculation unit 48 obtains a boundary condition based on the simultaneous equations created by the simultaneous equation creation unit 46 and Biot-Savart's law. The boundary condition correction unit 50 corrects a numerical error that occurs when the boundary condition calculation unit 48 obtains the boundary condition. The electromagnetic field analysis unit 52 performs an electromagnetic field analysis of the analysis target area 10 based on the simultaneous equations created by the simultaneous equation creation unit 46 and the boundary conditions corrected by the boundary condition correction unit 50.
[0085]
The output device 40 outputs the data temporarily stored in the main storage device 34 or the data stored in the auxiliary storage device 36 to the outside.
[0086]
Next, the electromagnetic field analysis of the analysis target area 10 using the computer 30 will be described based on the flowchart shown in FIG.
[0087]
First, three-dimensional data necessary for the electromagnetic field analysis of the analysis target area 10 is input from the input device 32 of the computer 30 (step S1). Thus, the three-dimensional data is stored in the main storage device 34 via the input device 32.
[0088]
Next, the three-dimensional data stored in the main storage unit 34 is supplied to the analysis target area forming unit 44 of the central processing unit 38. The analysis target area forming unit 44 constructs the analysis target area 10 based on the three-dimensional data (Step S2). At this time, a magnetic body, a conductor, an insulator, a coil 12, and the like are arranged at predetermined locations in the analysis target area 10. Next, the constructed analysis target region 10 is divided into at least two regions Ωr14 and Ωt16 (step S3). As a result, a boundary Δtr18 is also formed between the regions Ωr14 and Ωt16.
[0089]
Next, information on the analysis target region 10 divided into two regions Ωr14 and Ωt16 is supplied from the analysis target region forming unit 44 to the simultaneous equation creating unit 46. The simultaneous equation creating unit 46 constructs different electromagnetic field equations for the regions Ωr14 and Ωt16 (step S4). From these electromagnetic field equations, simultaneous equations necessary for an electromagnetic field analysis described later are created (step S5).
[0090]
Next, information on the created simultaneous equations is supplied from the simultaneous equation creating section 46 to the boundary condition calculating section 48. The boundary condition calculation unit 48 obtains the boundary condition of the boundary Δtr18 existing between the regions Ωr14 and Ωt16 based on the Biot-Savart law (step S6). At this time, the boundary condition includes a numerical error such as a rounding error.
[0091]
Next, the obtained information on the boundary condition is supplied from the boundary condition calculation unit 48 to the boundary condition correction unit 50. The boundary condition correction unit 50 corrects the numerical error described above and obtains a corrected boundary condition that does not include the numerical error (step S7).
[0092]
Next, the corrected boundary condition is supplied from the boundary condition correction unit 50 to the electromagnetic field analysis unit 52. The simultaneous equations created by the simultaneous equation creating section 46 are also supplied from the simultaneous equation creating section 46 to the electromagnetic field analyzing section 52. The electromagnetic field analysis unit 52 performs an electromagnetic field analysis of the analysis target area 10 using the simultaneous equations and the corrected boundary conditions, for example, by an iterative method (step S8). Thus, data such as the magnetic flux density, the strength of the magnetic field, the magnitude of the electric field, and the like in each part of the analysis target area 10 are obtained.
[0093]
Next, as a result of the electromagnetic field analysis performed by the electromagnetic field analysis unit 52, for example, the data is supplied to the main storage device 34. The main storage device 34 supplies the result of the electromagnetic field analysis described above to the auxiliary storage device 36 for storage, or supplies the result to the output device 40 to output it to the outside (step S9).
[0094]
Next, the method of correcting the boundary condition in step S7 will be described in more detail.
[0095]
If the boundary condition includes a numerical error regarding the strength Hs of the magnetic field generated by the coil 12, the left side of Expression (18) is not 0. Therefore, even when the electromagnetic field analysis unit 52 of the computer 30 performs the electromagnetic field analysis of the analysis target area 10, the convergence of the solution may be deteriorated due to the numerical error. Therefore, in order to improve the convergence of the solution and more efficiently perform the electromagnetic field analysis of the analysis target region 10, it is necessary to correct the equation (18) so that it becomes zero.
[0096]
Therefore, in order to improve the convergence of the solution, a method of correcting equation (18) to be zero will be described below.
[0097]
Using the numerical integration, the strength Hs of the magnetic field generated by the coil 12 determined by the Biot-Savart law is corrected to the strength Hs' of the magnetic field represented by the following equation (19).
[0098]
[Equation 19]

[0099]
Here, φ is the scalar potential 54 at the boundary Δtr18 (see FIG. 1). An outer product of an arbitrary scalar function ω and a gradient function ∇ω is obtained for both sides of the equation (19). Then, the following equation (20) is obtained by calculating the area of the outer product with respect to the boundary Δtr18.
[0100]
(Equation 20)

[0101]
Here, if the left side of the equation (20) is 0, the corrected magnetic field strength Hs ′ on the left side of the equation (20) is substituted as the magnetic field strength Hs of the equation (18) to obtain (18) ) Is also 0. Therefore, by changing the magnetic field strength Hs to the corrected magnetic field strength Hs ′, the convergence of the solution for the electromagnetic field analysis of the analysis target region 10 performed by the computer 30 based on the iterative method is improved. . From the equation (19), the strength Hs of the magnetic field generated by the coil 12 obtained by using numerical integration based on the Biot-Savart law is known. Therefore, if the second term (∇φ × n) on the right side of Expression (19), which is the correction amount of the magnetic field strength Hs, is known, the corrected magnetic field strength Hs ′ can be obtained.
[0102]
Assuming that the right-hand side of equation (20) is 0 and that an arbitrary scalar function ω is equal to the shape function of the scalar potential φ54 defined at the boundary Γtr18, the second term on the right-hand side of equation (20) is calculated by the ordinary finite element method. Is a well-known equation that can be solved well. Therefore, the scalar potential φ54 can be easily obtained.
[0103]
When the computer 30 executes the above-described method of correcting the magnetic field strength Hs, the correction method is performed in step S7. The process of executing the correction method in step S7 and changing the magnetic field strength Hs to the corrected magnetic field strength Hs' will be described with reference to the flowchart shown in FIG.
[0104]
First, information on the boundary conditions obtained in step S6 is supplied from the boundary condition calculation unit 48 to the boundary condition correction unit 50 (see FIG. 4). In the boundary condition correction unit 50, a simultaneous equation for electromagnetic field analysis at the boundary Δtr18 is created based on the information (step S71).
[0105]
Next, the magnetic field strength Hs calculated by the boundary condition calculation unit 48 is substituted into the first term on the right side of the equation (20) (step S72). In this case, the first term on the right side of Expression (20) has the same form as the left side of Expression (18). Further, since the left side of the equation (20) is 0, a simultaneous equation relating to ∇φ × n can be created.
[0106]
Next, the simultaneous equations in which the magnetic field strength Hs is substituted are solved (step S73). Thus, the corrected magnetic field strength Hs' is obtained.
[0107]
Next, the corrected magnetic field strength Hs' is substituted into equation (17) (step S74). As a result, information on the boundary conditions for improving the convergence of the simultaneous equations is formed, and the information can be supplied from the boundary condition correction unit 50 to the electromagnetic field analysis unit 52.
[0108]
Next, a result (first analysis example) of performing an electromagnetic field analysis of the analysis target area 10 using the above-described correction method will be described.
[0109]
In the first analysis example, an electromagnetic field analysis was performed by the computer 30 on the model shown in FIG. 11 to be analyzed. FIG. 6 shows the result of the convergence of the solution in the electromagnetic field analysis of the model. In this case, the error is 10 when the number of repetitions is about 20 times. ^-8 It can be seen that the solution has decreased to the following and the solution has converged.
[0110]
Next, FIG. 7 shows a second analysis example. The analysis target is a model in which a coil 58 is wound around a rectangular parallelepiped magnetic body 56. Electromagnetic field analysis when a current was forced to flow in the direction of the arrow shown in FIG. In this case, the coil 58 is configured to surround the magnetic body 56 with four conductors. However, current does not continuously flow at the connection portions 60 of the four conductors, which are the four corners of the coil 58. That is, the current is discontinuous at the connection portion 60.
[0111]
When an electromagnetic field analysis is performed on such a model using an electromagnetic field analysis method according to the related art, even if the accuracy of numerical integration at the boundary is increased, the left side of Expression (18) does not become zero. Therefore, the convergence of the solution is poor, and it is difficult to obtain a desired result of the electromagnetic field analysis.
[0112]
On the other hand, if the electromagnetic field analysis is performed based on the electromagnetic field analysis method according to the present embodiment, φ is obtained in advance in equation (20), and the magnetic field strength Hs ′ in which the magnetic field strength Hs is corrected is obtained. Since the electromagnetic field analysis is performed using the corrected magnetic field strength Hs ′, the convergence of the solution is improved, and a desired result of the electromagnetic field analysis can be obtained.
[0113]
Next, FIG. 8 shows a comparison result of the convergence of the solution between the electromagnetic field analysis method according to the present embodiment and the electromagnetic field analysis method according to the related art. In the electromagnetic field analysis method according to the prior art, the error is 10 when the number of repetitions is about 45 times. ^-2 However, with a larger number of iterations, the error increases and the solution does not converge. On the other hand, in the electromagnetic field analysis method according to the present embodiment, the error is 10 when the number of repetitions is about 20 times. ^-8 It can be seen that the solution has converged.
[0114]
In addition, the electromagnetic field analysis method according to the present invention is not limited to the above-described embodiment, and may adopt various configurations without departing from the gist of the present invention.
[0115]
【The invention's effect】
As described above, in the electromagnetic field analysis method according to the present invention, the convergence of the solution when performing the electromagnetic field analysis of the analysis target area is improved by correcting the strength of the magnetic field, and the Analysis can be performed.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a diagram showing an analysis target area in which an electromagnetic field analysis method according to the present embodiment is performed.
FIG. 2 is an enlarged view showing a boundary of an analysis target area in FIG. 1;
FIG. 3 is a block diagram illustrating a configuration of a computer that executes an electromagnetic field analysis method according to the present embodiment.
FIG. 4 is a flowchart of an electromagnetic field analysis by the electromagnetic field analysis method according to the present embodiment.
FIG. 5 is a flowchart illustrating Step 7 of FIG. 4 in detail.
FIG. 6 is a diagram showing a result of an electromagnetic field analysis according to the present embodiment.
FIG. 7 is a perspective view showing an analysis target of the electromagnetic field analysis method according to the present embodiment.
8 is a diagram showing a result of an electromagnetic field analysis on the analysis target in FIG. 7;
FIG. 9 is a diagram illustrating an analysis target area in which an electromagnetic field analysis method according to the related art is performed.
FIG. 10 is a flowchart of an electromagnetic field analysis by an electromagnetic field analysis method according to the related art.
FIG. 11 is a perspective view showing an analysis target of an electromagnetic field analysis method according to the related art.
FIG. 12 is a diagram showing a result of an electromagnetic field analysis on the analysis target of FIG. 11;
[Explanation of symbols]
10: analysis target area 12, 58: coil
14, 16 ... area 18 ... boundary
20: deformed vector potential 22: total vector potential
24 ... vector potential 26 ... vector
30 ... Calculator 32 ... Input device
34: Main storage device 36: Auxiliary storage device
38 central processing unit 40 output device
42: control unit 44: analysis target area forming unit
46: simultaneous equation creating unit 48: boundary condition calculating unit
50: Boundary condition correction unit 52: Electromagnetic field analysis unit
54: Scalar potential 56: Magnetic material
60 ... connection part

Claims

In an electromagnetic field analysis method for performing an electromagnetic field analysis of an analysis target region by a two potential method using a vector potential,
The analysis target area is divided into at least two areas, a boundary is formed between the two areas, and then a current is caused to flow in one of the two areas, based on the current. When generating the strength of the magnetic field at the boundary, when performing an electromagnetic field analysis in the analysis target area,
An electromagnetic field analysis method, comprising: performing an electromagnetic field analysis of the analysis target area after correcting the strength of the magnetic field at the boundary.

The electromagnetic field analysis method according to claim 1,
An electromagnetic field analysis method, wherein the strength of the magnetic field is corrected based on a scalar potential at the boundary.

The electromagnetic field analysis method according to claim 2,
The electromagnetic field analysis method according to claim 1, wherein the correction amount of the magnetic field strength is an outer product of a gradient of a scalar potential at the boundary and a unit vector perpendicular to the boundary.