JP2004133491A - Boltzmann model calculation engine for option price, boltzmann model calculation engine for premium, dealing system, dealing program, premium estimation system and premium estimation program - Google Patents

Abstract

<P>PROBLEM TO BE SOLVED: To provide a dealing system capable of deciding option price wherein a portfolio formed by combining a plurality of assets hardly having transaction result data in a usable market is underlying assets. <P>SOLUTION: This dealing system has a Boltzmann calculation engine 103 for the option price, and a dealing terminal 105 displaying a calculation result of the Boltzmann calculation engine for the option price. By the Boltzmann calculation engine for the option price, a boltzmann model is solved by a Monte Carlo method, price fluctuation paths of the plurality of assets are generated, the price of the option of the portfolio depending on the price of the plurality of assets is calculated, and the calculated option price is displayed on the terminal. <P>COPYRIGHT: (C)2004,JPO

Description

となる。このとき、バスケット・コール・オプションのペイオフは、
【数２】

と表せ、バスケット・プット・オプションのペイオフは、
【数３】

と表せる。ここで、ｍａｘ［ａ，ｂ］はａとｂの最大値をとる定義関数である。
【０００５】
バスケット・コール・オプションの価格ｃとバスケット・プット・オプションの価格ｐは次の式（４）と式（５）によって与えられる。
【０００６】
【数４】

ここで、Ｅハット［…］はリスク中立確率測度による期待値を表し、ｒは無リスク金利、Ｔは満期までの期間、Ｋは行使価格を表す。
【０００７】
従来は、このオプションは、モンテカルロ法によって次のようにして価格評価される。まず、各資産の価格に対してブラック−ショールズ型の幾何ブラウン運動モデル（原資産価格が価格の対数に関して拡散するモデル）を仮定して、時点ｔ＝０から時間間隔Δｔで満期Ｔ＝Ｍ・ΔｔまでのＮ個の資産価格の変動の試行パス
【数５】

を発生させる。ここで、
【数６】

の下添字のｉはｉ番目の資産、ｊはΔｔで区分した時刻、上添字のｋはｋ回目の試行を表す。
【０００８】
この場合、Ｎ個の資産の価格は相関を持って変動するので、１回の試行でＮ個の資産の価格変動の試行パスを１セットにして発生させることになる。
【０００９】
次に、１回の試行ごとにＮ個の資産価格のウェイト付き算術平均値
【数７】

を求めてから、次の式（７）と式（８）を計算することによって求まる。
【００１０】
【数８】

ここで、Ｌは試行回数である。
【００１１】
レインボーオプションは、オプション満期時Ｔにおける複数の資産の中で価格の最大値もしくは最小値にペイオフが依存するオプションである。オプション満期時の各資産の価格をＳ_ｉ（Ｔ）とし、Ｎ個の資産があるとすると、レインボー・コール・オン・マックス・オプションのペイオフは、
【数９】

と表せ、レインボー・プット・オン・マックス・オプションのペイオフは、
【数１０】

と表せ、レインボー・コール・オン・ミニマム・オプションのペイオフは、
【数１１】

と表せ、レインボー・プット・オン・ミニマム・オプションのペイオフは、
【数１２】

と表せる。ここで、ｍａｘ［…］は各資産の最大値をとる定義関数、ｍｉｎ［…］は各資産の最小値をとる定義関数である。
【００１２】
レインボー・コール・オン・マックス・オプションの価格は、
【数１３】

で与えられ、レインボー・プット・オン・マックス・オプションの価格は、
【数１４】

で与えられ、レインボー・コール・オン・ミニマム・オプションの価格は、
【数１５】

で与えられ、レインボー・プット・オン・ミニマム・オプションのペイオフは、
【数１６】

で与えられる。ここで、Ｅハット［…］はリスク中立確率測度による期待値を表し、ｒは無リスク金利、Ｔは満期までの期間、Ｋは行使価格を表す。
【００１３】
従来は、このオプションは、モンテカルロ法によって次のようにして価格評価される。まず、各資産の価格に対してブラック−ショールズ型の幾何ブラウン運動モデル（資産価格が価格の対数に関して拡散するモデル）を仮定して、時点ｔ＝０から時間間隔Δｔで満期Ｔ＝Ｍ・ΔｔまでのＮ個の資産価格の変動の試行パス
【数１７】

を発生させる。ここで、
【数１８】

の添字のｉはｉ番目の資産、ｊはΔｔで区分した時刻、ｋはｋ回目の試行を表す。この場合、Ｎ個の資産の価格は相関を持って変動するので、１回の試行でＮ個の資産の価格変動の試行パスを１セットにして発生させることになる。
【００１４】
次に、１回の試行ごとにＮ個の資産価格に対して、次の式（１７）〜（２０）を計算することによって求まる。
【００１５】
【数１９】

ここで、Ｌは試行回数である。
【００１６】
次に、従来の金融工学のＮ個の資産の価格変動の試行パスの発生法について説明する。従来の金融工学では、Ｎ個の資産の価格Ｓ_ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）がそれぞれ相関を持って次の式（２１）の伊藤過程に従って幾何ブラウン運動することを仮定する。
【００１７】
【数２０】

ここで、ψ_ｉは期待成長率、ｔは時間、ξ_ｉ（Ｖ）は期待値が０で共分散行列Ｖに基づく多次元正規乱数である。これらの乱数は、相関を考慮しているので、たとえば、全て正の相関があれば、１つの乱数が正となれば全て正の乱数が出やすくなる。また、１つの乱数が大きければ、全ての乱数も相関係数の大きさに応じて大きな乱数が出やすくなっている。
【００１８】
リスク中立とすると、Ｎ個の資産の価格Ｓ_ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｎ）は次の式（２２）に従って幾何ブラウン運動する。
【００１９】
【数２１】

ここで、ｒは無リスク金利である。
【００２０】
Ｎ個の資産の価格変動の試行パスは、共分散行列Ｖに基づく相関のある多次元正規乱数を発生させれば、式（２２）によって発生できる。
【００２１】
次に、多次元正規乱数の発生法について詳しく説明する。Ｎ次元の正規分布を行列とベクトルで表してみると、式（２３）のようになる。
【００２２】
【数２２】

ここで、μは期待値で、Ｖは共分散行列、分母の　ｄｅｔ（Ｖ）は共分散行列Ｖの行列式である。
【００２３】
式（２３）を整理して、期待値との偏差のみを確率変数とする。すなわち、
【数２３】

とおく。すると、式（２３）は
【数２４】

となる。共分散行列Ｖの成分は、
【数２５】

となり、その性格は固有値が全て正の実対称行列でなければならない。また、統計的平均の性格から、
【数２６】

となる。共分散行列Ｖは、標準偏差（ボラティリティ）σ_ｉと相関係数ρ_ｉｊで次のように表される。
【００２４】
【数２７】

ここで、（２８）式の行列Σはボラティリティ行列であり、（２８）式の行列Ｘは相関係数行列であり、次の（２９）式と（３０）式で表わされる。
【００２５】
【数２８】

共分散行列Ｖは固有値が正の実対称行列であるから、
【数２９】

の関係がある。ここで、Ｑは直交行列で、
【数３０】

となる。Λは、固有値が対角成分に並び、非対角成分が全て０となる対角行列である。固有値が全て正であることから、Λは、
【数３１】

と表すことができる。このことから、共分散行列Ｖは、その平方根行列Ｖ^１／２を、
【数３２】

で定義できることがわかる。
【００２６】
共分散行列Ｖの逆行列は、
【数３３】

となり、Ｖの逆行列の平方根行列も、
【数３４】

となる。従って、式（２５）は、
【数３５】

となる。ここで、
【数３６】

とおくと、
【数３７】

となり、単なる標準正規分布の積となる。従って、Ｎ個の標準正規乱数からなるベクトルＹを作成すれば、共分散行列Ｖで相関が定義された多次元正規乱数Ｘは、
【数３８】

で作成できる。これが相関のある乱数の生成法である。
【００２７】
式（４０）の関係は、正規分布のみに当てはまるわけではない。指定した確率密度に従う乱数をＮ個作成すると共分散行列Ｖが与えられていれば、式（４０）に従って相関のある乱数を作成できる。この式（４０）の演算法は幾つかある。現在、金融工学で一般的に用いられている方法は、コレスキー法による三角行列分解である。固有値が全て正で対称な正方実行列Ｖは、
【数３９】

として、下三角行列Ｌとその転置Ｌ^Ｔとの積で表すことができる。これは、式（４０）の記法に従えば、
【数４０】

となる。従って、Ｎ個の独立な乱数から構成されるベクトルＹについて、
【数４１】

で生成されたベクトルＸの成分は、共分散行列Ｖによる相関のついた乱数となっている。下三角行列Ｌを最も効率良く作成する方法がコレスキー法である。コレスキー法では、式（４４）によって、下三角行列Ｌの各成分を順次計算することができる。
【００２８】
【数４２】

従来は、以上のようにして、相関を考慮した次の多次元正規乱数列Ｘを発生させ、式（２２）によってＮ個の資産の価格変動の試行パスを発生させる。
【００２９】
【数４３】

そして、それを用いて、式（７）と式（８）、式（１７）〜（２０）を計算して、ヨーロピアン型のバスケットオプションとレインボーオプションの価格を評価している。
【００３０】
上記のブラック−ショールズ型の幾何ブラウン運動モデルに基づいたバスケットオプションとレインボーオプションの価格評価は、標準偏差（ボラティリティ）行列Σと相関係数行列Ｘが時間ｔと各資産の価格Ｓ_ｉに関して一定であるという仮定に基づいている。従って、上記のバスケットオプションとレインボーオプションの価格評価は、マーケットが時間と価格に関わらず一定の挙動を示すという静的なマーケットを仮定している。
【００３１】
しかし、現実のマーケットは時間と価格で変わると認識されている。図１に、幾何ブラウン運動モデルが予測する１つの資産の場合の価格変動率Ｃ１と典型的な１つの株価の終値の変動率（日次収益率）Ｃ２を示してある。これらは、ボラティリティは等しいが、価格変動の様相は大きく異なる。幾何ブラウン運動モデルＣ１では大きな価格変動はほとんど見られないのに対して、現実の価格は曲線Ｃ２のように大きく変動する。従って、１つの株価を原資産とするプレーンバニラオプション（バスケットオプションとレインボーオプションの原資産を複数の資産に関するものから１つの資産に関するものに変えればプレーンバニラオプションになる）を幾何ブラウン運動モデルで評価することは難しいのが現状である。
【００３２】
株価指数、たとえば日経２２５のように多数銘柄の修正株価平均は、個々の銘柄の株価の動きよりも緩やかである。しかし、２２５銘柄の平均をとっても、図２に示すように、日次収益率Ｃ３の変動は幾何ブラウン運動モデル（図１の曲線Ｃ１）とは異なることが分かる。これを図１の個別銘柄の日次収益率Ｃ２と比較すると、変動の大きさが小さい点を除けば、個別銘柄と本質的に変わらない。従って、１つの株価指数を原資産とするプレーンバニラオプションを幾何ブラウン運動モデルで評価することは難しいのが現状である。
【００３３】
１つの資産を原資産とするプレーンバニラオプションだけでなく、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプションであるバスケットオプション、及び複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションであるレインボーオプションにおいても、幾何ブラウン運動モデルで評価することが難しいのが現状である。
【００３４】
バスケットオプションとレインボーオプションの価格評価のもう１つのアプローチとしては次のようなものもある。上記の現実のマーケットは時間と価格で変わり幾何ブラウン運動モデルで評価することが難しくなるメカニズムについては未解明であるが、多くの実証研究によると、現実の価格変動の確率が幾何ブラウン運動モデルで仮定している正規分布よりも価格変動の小さい部分で尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、価格変動の大きい部分で裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となっている点が主要因と考えられている。
【００３５】
図３に１つの資産の場合のその一例を示してある。図３において、実際の日次収益率を示す□マーク２１は、正規分布Ｃ４よりも中心で尖り、裾が広がっている。このような日次収益率分布に従うと、価格分布は、幾何ブラウン運動モデルで用いている対数正規分布と比較して相対価格が１近辺での確率密度の広がり（ボラティリティ）は小さく、相対価格が１よりもかなり小さい領域と１よりもかなり大きい領域での確率密度のボラティリティは対数正規分布よりも大きくなる。
【００３６】
この価格変動分布のＦａｔ−Ｔａｉｌは図１と図２に示される現実の価格変動Ｃ２、Ｃ３でときどき生じる大きな価格変動に相当する。これらを考慮したモデルとして、Ｆａｔ−Ｔａｉｌを正規分布と全く異なる確率過程で独立に生じさせるジャンプモデルと、正規分布の標準偏差（ボラティリティ）が時間的に揺らぐ確率ボラティリティモデルの２つが上げられる。現在の金融工学の基本である原資産価格の挙動からオプション価格が決定される立場に立てば、これらを用いてバスケットオプションとレインボーオプションの価格評価を行うことも考えられる。しかし、ジャンプモデルは不連続な価格変化を仮定し、確率ボラティリティモデルは本質的に非線型問題となる。そのためにリスク中立確率測度が一意に求まらない。その結果、式（４）と式（５）、式（１３）〜（１６）のオプション価格評価式がこれらのモデルに適用できない困難があって、現状では取引者には余り用いられない。
【００３７】
一方、保険会社や再保険会社における保険料評価システムにおいては、従来は、ある単位時間の保険金額（損失額）の確率分布が対数正規分布もしくはパレート分布等であることを仮定して、保険料算定原理に従って、１つの保険リスクの保険料もしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を算出することが一般的である。
【００３８】
従来の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料の評価方法について説明する。保険料計算原理は、ある単位時間の保険金総額（損失額）を表す確率変数Ｓから単位時間の保険料ｃという実数への汎関数Ｈとして定義され、
【数４４】

となる。汎関数Ｈにはいくつかの種類が提案されている。
【００３９】
もっとも単純なものは、
【数４５】

とする純保険料原理である。ここで、Ｅ［…］は期待値をとることを表す。
【００４０】
ただし、この原理では保険会社はいつか必ず破産してしまうので、保険事業そのものが成立しないことが知られている。そこで、純保険料をベースにして、それに何らかの付加保険料を導入する原理が存在する。例えば、バリュー・アット・リスク（ＶａＲ）と同様にパーセンタイル値に着目した分位原理では、
【数４６】

とする。ここで、Ｓは分布Ｆに従うとし、
【数４７】

である。ｉｎｆ｛ｘ∈Ｒ：Ａ｝　は事象Ａが成立する条件のもとでのｘの下限であり、ｉｎｆ｛ｘ∈Ｒ：Ｆ（ｘ）≧ｙ｝　は分布Ｆの１００ｙ％分位点を表す。もしδ＝０．０５とおけば、保険料は上位５％の損失額に等しくなる。
【００４１】
従来、保険金額分布Ｆとしては、対数正規分布もしくはパレート分布が用いられてきた。しかし、現実の保険金額（損失額）の確率密度分布は、対数正規分布に比べて、保険金額の平均値の近傍で尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、保険金額が大きい領域と小さい領域で裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となることが知られている。従って、保険金額の確率分布に対数正規分布を用いて、分位原理に従って、上位の損失額のパーセンタイル値（例えば上位１％の損失額）を保険料とすると、保険料を過小に算定してしまうことになる。一方、保険金額の確率分布にパレート分布を用いても次のような困難が生じる。パレート分布はある保険金額以上で定義され、パラメータが１つであり、確率密度が保険金額の増加と共に単調減少するため、現実の保険金額分布のように保険金額が大きい領域と小さい領域よりも中間領域の確率密度が大きく極大値が存在する分布を再現することはできない。従って、保険金額の確率分布にパレート分布を用いて、分位原理に従って、上位の損失額のパーセンタイル値（例えば上位１％の損失額）を保険料とすると、保険料を過大もしくは過小に算定してしまうことになる。
【００４２】
【発明が解決しようとする課題】
上述の従来の複数の資産（株式や株価指数）を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション及び複数の資産の価格の最大値もしくは最小値を原資産とするオプションの価格評価手法は、よく用いられるものであるが、価格評価の精度に限界があり、十分信頼するに足る評価を行うことができなかった。これは、上述の従来のオプションの価格評価手法では、現実の価格変動の確率が従来の幾何ブラウン運動モデルで仮定している正規分布よりも価格変動の小さい部分で尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、価格変動の大きい部分で裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となっているために、特に大きな価格変動が生じる確率が過小評価されていたためである。このような大きな価格変動は、その発生確率が低いとはいえ、投資リスクに対して通常の価格変動と比較できないほどの大きな影響を与えるので、実用上この大きな価格変動の確率を正しく評価できなければ、信頼できるオプションの価格評価手法とは言えないのである。
【００４３】
そのため従来から、正規分布より精度の高い確率密度関数を導入し、利用できるマーケットでの取引実績データがほとんどない複数の資産（株式や株価指数）を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション及び複数の資産の価格の最大値もしくは最小値を原資産とするオプションの価格を、価格提示の根拠を明確にして、正しく評価できるシステムの出現が望まれていた。
【００４４】
また、上述の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料評価手法は、よく用いられるものであるが、保険料評価の精度に限界があり、十分信頼するに足る評価を行うことができなかった。これは、上述の従来の保険リスクの保険料評価手法では、現実の保険金額（損失額）の確率密度分布が従来仮定されてきた対数正規分布よりも保険金額の平均値の近傍で尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、保険金額が大きい領域と小さい領域で裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となっているために、特に大きな保険金額が生じる確率が過小評価されていたためである。
【００４５】
また、従来仮定されてきたパレート分布が現実の保険金額の確率密度分布のように保険金額が大きい領域と小さい領域よりも中間領域の確率密度が大きく極大値が存在する分布を再現することはできないために、特に大きな保険金額が生じる確率が過小もしくは過大に評価されていたためである。このような大きな保険金額が生じる確率は、その発生確率が低いとはいえ、保険リスクの保険料評価に対して大きな影響を与えるので、実用上この保険金額が生じる確率を正しく評価できなければ、信頼できる保険料評価手法とは言えないのである。
【００４６】
そのため従来から、広く用いられてきた対数正規分布やパレート分布より精度の高い確率密度関数を導入し、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を正しく評価できるシステムの出現が望まれていた。
【００４７】
本発明は、上記従来の技術的課題を解決するためになされたものであり、利用できるマーケットでの取引実績データがほとんどない複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション及び複数の資産の価格の最大値もしくは最小値を原資産とするオプションにおいて、従来の一般的な理論をもとにした限界のある手法に代えて、原子炉理論を金融分野に応用した計算エンジン（ボルツマン計算エンジン）を備え、ディーラーやトレーダーにとって、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション及び複数の資産の価格の最大値もしくは最小値を原資産とするオプションの有意な理論価格を提供することができるディーリングシステム及びディーリングプログラムを提供することを目的とする。
【００４８】
また本発明は、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオにおいて、従来の一般的な理論をもとにした限界のある手法に代えて、原子炉理論を保険分野に応用した計算エンジン（ボルツマン計算エンジン）を備え、保険会社や再保険会社にとって、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの有意な理論保険料を提供することができる保険料評価システム及び保険料評価プログラムを提供することを目的とする。
【００４９】
【課題を解決するための手段】
請求項１の発明のオプション価格用ボルツマンモデル計算エンジンは、必要なパラメータを設定するパラメータ設定部と、評価条件を設定する評価条件設定部と、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、複数の資産の価格変動パスを発生させて、複数の資産価格に依存する、前記評価条件を満たすオプションの価格を算出するボルツマンモデル計算部とを備えたものである。
【００５０】
請求項１の発明のオプション価格用ボルツマン計算エンジンでは、金融工学のボルツマンモデルを複数の資産価格に依存するオプションの価格評価に用いて、線形ボルツマン方程式で価格変動分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌの特徴を表現することにより、リスク中立でかつ一意的な確率測度を定義する。この結果、価格変動分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌを考慮したリスク中立で一意なオプション価格の算定が可能である。
【００５１】
請求項２の発明の保険料用ボルツマンモデル計算エンジンは、必要なパラメータを設定するパラメータ設定部と、評価条件を設定する評価条件設定部と、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額確率分布を生成して、前記評価条件を満たす、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を演算するボルツマンモデル計算部とを備えたものである。
【００５２】
請求項２の発明の保険料用ボルツマンモデル計算エンジンでは、金融工学のボルツマンモデルを１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料評価に用いて、線形ボルツマン方程式で保険金額（損失額）の確率分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌの特徴を表現する。この結果、保険金額（損失額）の確率分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌを考慮した保険料を算定することができる。そのため、保険料の算定の精度の向上が図れる。
【００５３】
請求項３の発明は、オプション価格用ボルツマン計算エンジンと、当該オプション価格用ボルツマン計算エンジンの計算結果を表示するディーリング端末とを備えて成るディーリングシステムであって、前記オプション価格用ボルツマン計算エンジンは、必要なパラメータを設定するパラメータ設定部と、評価条件を設定する評価条件設定部と、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、複数の資産の価格変動パスを発生させて、複数の資産価格に依存する、前記評価条件を満たすオプションの価格を算出するボルツマンモデル計算部とを備え、前記ディーリング端末は、前記オプション価格用ボルツマンモデル計算エンジンが算出する複数の資産価格に依存するオプションの価格を表示することを特徴とするものである。
【００５４】
請求項３の発明のディーリングシステムでは、金融工学のボルツマンモデルを複数の資産価格に依存するオプションの価格評価に用いて、線形ボルツマン方程式で価格変動分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌの特徴を表現することにより、リスク中立でかつ一意的な確率測度を定義する。この結果、価格変動分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌを考慮したリスク中立で一意なオプション価格評価を可能とする。利用できるマーケットでの取引実績データがほとんどない複数の資産価格に依存するオプションにおいて、各資産のボルツマンモデルのパラメータを決定し、各資産の日次収益率との一致性を確認することにより、価格提示の根拠を明確にしてオプション価格評価できる。
【００５５】
請求項４の発明は、請求項３のディーリングシステムにおいて、前記ボルツマンモデル計算エンジンは、マーケットデータに基づいた複数の資産のヒストリカルな情報と整合性を保った複数の資産価格に依存するオプションの価格を算出する機能を備えたことを特徴とするものである。
【００５６】
請求項５の発明は、請求項３又は４のディーリングシステムにおいて、前記複数の資産価格に依存するオプションは、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプションであることを特徴とするものであり、利用できるマーケットでの取引実績データがほとんどない複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプションにおいて、各資産のボルツマンモデルのパラメータを決定し、各資産の日次収益率との一致性を確認することにより、価格提示の根拠を明確にしてオプション価格評価できる。
【００５７】
請求項６の発明は、請求項３又は４のディーリングシステムにおいて、前記複数の資産価格に依存するオプションは、複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションであることを特徴とするものであり、利用できるマーケットでの取引実績データがほとんどない複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションにおいて、各資産のボルツマンモデルのパラメータを決定し、各資産の日次収益率との一致性を確認することにより、価格提示の根拠を明確にしてオプション価格評価できる。
【００５８】
請求項７の発明のディーリングプログラムは、必要なパラメータを設定する処理と、評価条件を設定する処理と、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、複数の資産の価格変動パスを発生させて、複数の資産価格に依存する、前記評価条件を満たすオプションの価格を算出する処理と、算出した複数の資産価格に依存するオプションの価格を表示する処理とをコンピュータに実行させることを特徴とするものである。
【００５９】
請求項７の発明のディーリングプログラムでは、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、複数の資産の価格変動パスを発生させて、複数の資産価格に依存するオプションの価格を演算させて、算出した複数の資産価格に依存するオプションの価格を表示させることにより、請求項３の発明のディーリングシステムを構築できる。
【００６０】
請求項８の発明は、請求項７のディーリングプログラムにおいて、マーケットデータに基づいた複数の資産のヒストリカルな情報と整合性を保った複数の資産価格に依存するオプションの価格を算出することを特徴とするものであり、このディーリングプログラムをコンピュータに組み込むことにより、請求項４の発明のディーリングシステムを構築できる。
【００６１】
請求項９の発明は、請求項７又は８のディーリングプログラムにおいて、前記複数の資産価格に依存するオプションは、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプションであることを特徴とするものであり、このディーリングプログラムをコンピュータに組み込むことにより、請求項５の発明のディーリングシステムを構築できる。
【００６２】
請求項１０の発明は、請求項７又は８のディーリングプログラムにおいて、前記複数の資産価格に依存するオプションは、複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションであることを特徴とするものであり、このディーリングプログラムをコンピュータに組み込むことにより、請求項６の発明のディーリングシステムを構築できる。
【００６３】
請求項１１の発明は、保険料用ボルツマンモデル計算エンジンと、前記保険料用ボルツマンモデル計算エンジンが演算した１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を表示する保険料評価用端末とを備えて成る保険料評価システムであって、前記保険料用ボルツマンモデル計算エンジンは、必要なパラメータを設定するパラメータ設定部と、評価条件を設定する評価条件設定部と、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額確率分布を生成して、前記評価条件を満たす、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を演算するボルツマンモデル計算部とを備えたことを特徴とするものである。
【００６４】
請求項１２の発明は、請求項１１の保険料評価システムにおいて、前記保険料用ボルツマンモデル計算エンジンは、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクの過去の損失額データに基づいた損失額確率分布と整合性を保った保険料を算出する機能を備えたことを特徴とするものである。
【００６５】
請求項１１及び１２の発明の保険料評価システムでは、金融工学のボルツマンモデルを１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料評価に用いて、線形ボルツマン方程式で保険金額（損失額）の確率分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌの特徴を表現する。この結果、保険金額（損失額）の確率分布のＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−ｔａｉｌを考慮した保険料評価を可能とする。そのため、保険料の算定の精度の向上が図れる。
【００６６】
請求項１３の発明の保険料評価プログラムは、必要なパラメータを設定する処理と、評価条件を設定する処理と、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額確率分布を生成して、前記評価条件を満たす、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を演算する処理と、算出した１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を表示する処理とをコンピュータに実行させることを特徴とするものである。
【００６７】
請求項１３の発明の保険料評価プログラムでは、モンテカルロ法によってボルツマンモデルを解き、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額確率分布を生成して、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を演算させて、算出した１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を表示させることにより、請求項１１の発明の保険料評価システムを構築できる。
【００６８】
請求項１４の発明は、請求項１３の保険料評価プログラムにおいて、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクの過去の損失額データに基づいた損失額確率分布と整合性を保った保険料を算出することを特徴とするものであり、このディーリングプログラムをコンピュータに組み込むことにより、請求項１２の発明の保険料評価システムを構築できる。
【００６９】
【発明の実施の形態】
以下、本発明の実施の形態を詳しく説明する。まず、複数の資産（株式や株価指数）を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション、及び複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションのボルツマンモデルを用いた価格評価方法の実際について説明する。自由マーケットで取引されるこれらの中でもヨーロピアンオプション（権利行使日が満期のみ）を考えると、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプションにはバスケットオプションがあり、複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションにはレインボーオプションがある。ヨーロピアン型のバスケットオプションとレインボーオプションの価格は、ボルツマンモデルを用いることによって、次のように評価できる。
【００７０】
バスケットオプションは、ボルツマンモデルの基本解法であるモンテカルロ法によって次のようにして価格評価できる。まず、ボルツマンモデルに従う時点ｔ＝０から時間間隔Δｔで満期Ｔ＝Ｍ・ΔｔまでのＮ個の資産価格の変動の試行パス
【数４８】

を発生させる。ここで、
【数４９】

の添字のｉはｉ番目の資産、ｊはΔｔで区分した時刻、ｋはｋ回目の試行を表す。この場合、Ｎ個の資産の価格は相関を持って変動するので、１回の試行でＮ個の資産の価格変動の試行パスを１セットにして発生させることになる。
【００７１】
次に、１回の試行ごとにＮ個の資産価格のウェイト付き算術平均値を式（６）によって求めてから、式（７）と式（８）を計算することによって求まる。
【００７２】
レインボーオプションは、ボルツマンモデルの基本解法であるモンテカルロ法によって次のようにして価格評価できる。まず、ボルツマンモデルに従う時点ｔ＝０から時間間隔Δｔで満期Ｔ＝Ｍ・ΔｔまでのＮ個の資産価格の変動の試行パス
【数５０】

を発生させる。ここで、
【数５１】

の添字のｉはｉ番目の資産、ｊはΔｔで区分した時刻、ｋはｋ回目の試行を表す。この場合、Ｎ個の資産の価格は相関を持って変動するので、１回の試行でＮ個の資産の価格変動の試行パスを１セットにして発生させることになる。
【００７３】
次に、１回の試行ごとにＮ個の資産価格に対して、式（１７）〜（２０）を計算することによって求まる。
【００７４】
ボルツマンモデルに従うＮ個の資産の価格変動の試行パスの発生法は、従来の各資産の価格に対してブラック−ショールズ型の幾何ブラウン運動モデル（資産価格が価格の対数に関して拡散するモデル）とは異なる。その詳細について説明する。ボルツマンモデルでは、完備市場で無裁定条件のもとで、各資産価格Ｓ_ｉのリスク中立確率測度Ｐ_ｉ（Ｓ_ｉ，ｔ）は、式（４５）のように金融ボルツマン方程式をＮ個連立させて、各式の散乱カーネル
【数５２】

の間に相関を考慮することによって得られる。
【００７５】
【数５３】

ここで、
【数５４】

であり、ｔは時間、ｒは無リスク金利、ν_ｉはｉ番目の資産の日次収益率、μ_ｉはｉ番目の資産の価格変動の方向、Ｓ_ｉ（０）はｔ＝０のときのｉ番目の資産価格である。また、Λ_{Ｔ ， ｉ}（Ｓ_ｉ，ν_ｉ）はｉ番目の資産の単位時間当たりの価格変動の確率を意味する衝突頻度である。さらに、
【数５５】

はｉ番目の資産の散乱カーネルであり、この項によって価格に関する市場の記憶効果が取り入れられ、過去の情報の影響が考慮される。
【００７６】
【数５６】

は、原論文「Ｙｕｊｉ　Ｕｅｎｏｈａｒａ　ａｎｄ　Ｒｉｔｓｕｏ　Ｙｏｓｈｉｏｋａ，　”Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ　Ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　Ｆｉｎａｎｃｉａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ”　Ｐｒｏｃ．　ｏｆ　５ｔｈ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ＪＡＦＥＥ，　Ａｕｇｕｓｔ　２８，　１９９９，　Ｊａｐａｎ，　ｐｐ．１８−３７」のように、
【数５７】

と、
【数５８】

との積、
【数５９】

で与えられるとする。ただし、
【数６０】

としては、原子核反応で放出される中性子スペクトルを表す蒸発スペクトルと同じ形、
【数６１】

を仮定する。ここで、ν_ｉは当日の日次収益率、ν_ｉ′は前日の日次収益率であり、温度Ｔ_ｉ（ν_ｉ）としては次の（４９）式のν_ｉに関する２次式を仮定する。
【００７７】
【数６２】

ここで、Ｔ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉは定数である。
【００７８】
【数６３】

は常に０．５と仮定する。
【００７９】
【数６４】

間には、
【数６５】

の関係がある。
【００８０】
連立した金融ボルツマン方程式から時点ｔ＝０から時間間隔Δｔで満期Ｔ＝Ｍ・ΔｔまでのＮ個の資産価格の変動の試行パス
【数６６】

を発生させるには、Ｎ個の資産の相関を考慮した日次収益率分布に従う日次収益率の乱数列
【数６７】

を発生させる必要がある。以下に、その方法について説明する。
【００８１】
ボルツマンモデルでは、日次収益率分布の関数が事前に与えられるわけではない。ボルツマンモデルで用いている散乱カーネルはΓ−関数であって正規分布ではない。最終的な日次収益率分布φ_ｉ（ν_ｉ）は、シミュレーションした後に初めて判る性質のものであり、正規分布にはならない。ボルツマンモデルでは散乱カーネルのパラメータＴ_ｉ（ν_ｉ）を、
【数６８】

で与える。
【００８２】
ｃ_０ｉ＝０，ｇ_０ｉ＝０の場合にのみ、日次収益率分布を事前に与えることができ、
【数６９】

となるので、まず、この場合について説明する。このときには、ｘ_ｉ＝ν_ｉ／Ｔ_０ｉの変換を施せば、
【数７０】

に従う乱数列
【数７１】

を発生させて、
【数７２】

の変換を施した乱数列
【数７３】

は共分散行列Ｖを持つ。
【００８３】
この共分散行列Ｖは、コレスキー分解により下三角行列Ｌの積で表すことができ、標準偏差（ボラティリティ）σ_ｉと相関係数ρ_ｉｊで表されるので、Ｖを次のように表す。
【００８４】
【数７４】

ここで、
【数７５】

はボラティリティ行列であり、
【数７６】

は相関係数行列である。
【００８５】
通常の金融工学問題では、ボラティリティ行列Σと相関係数行列Ｘが与えられ、これを再現するように乱数を発生させることが求められる。ｃ_０＝０，ｇ_０＝０のときには、ボラティリティσ_ｉとＴ_０ｉの間には、
【数７７】

が成立するので、σ_ｉからＴ_０ｉを求めることができる。
【００８６】
式（５４）を用いれば、Ｎ個の資産の相関を考慮した日次収益率分布に従う日次収益率の乱数列
【数７８】

を発生できる。
【００８７】
ｃ_０ｉ＝０，ｇ_０ｉ＝０のときには平均値が０で標準偏差が１の標準正規乱数のような概念を実装に導入しやすいが、ｃ_０ｉ≠０，ｇ_０ｉ≠０のときにはＴ_ｉが変動するので、標準乱数を前面に押し出したアルゴリズムは実装上問題が多い。従って、以下のように若干修正する。これまでは、共分散行列Ｖを直接コレスキー分解したが、これからは、相関係数行列Ｘをコレスキー分解する。すると、
【数７９】

となるので、相関のある乱数
【数８０】

は、
【数８１】

となる。また、相関の無い標準乱数列
【数８２】

の代わりに、相関は無いが標準偏差が異なる乱数列
【数８３】

を用いると、
【数８４】

となる。この表記は、ｃ_０ｉ≠０，ｇ_０ｉ≠０の場合に有効となるので、今後、相関のある乱数発生の記述はこれに従う。
【００８８】
ｃ_０ｉ≠０，ｇ_０ｉ≠０の場合、まず相関係数行列が単位行列の場合（相関が無い場合）についての乱数生成から説明する。この場合には、単にＮの乱数系列を独立に発生させるだけなので、ｉ番目の成分について述べるだけで十分である。ｉ番目についてボラティリティがσ_ｉになるように、パラメータＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉが決まっていたものとする。時間ステップｊでの乱数ν_ｉｊが決まっていれば、次ステップｊ＋１の乱数ν_{ｉ ， ｊ＋１}は、
【数８５】

に従う乱数から求められる。ここで、
【数８６】

である。
【００８９】
なお、この場合も符号±の発生確率は等しいとする。この手順をｉ＝１，…，Ｎについて独立に併行すれば、ボラティリティがおのおのσ_１，…，σ_Ｎの無相関な乱数列
【数８７】

が生成される。これを用いて、式（６１）と同様に、
【数８８】

から相関のある
【数８９】

を求めることができる。
【００９０】
以上のようにして、Ｎ個の資産の相関を考慮した日次収益率分布に従う相関のある収益率の乱数列
【数９０】

もしくは無相関の収益率の乱数列
【数９１】

を時点ｔ＝０から満期Ｔ＝Ｍ・Δｔまで発生させることができる。
【００９１】
この乱数列
【数９２】

もしくは乱数列
【数９３】

を用いて、さらに発明者らの先願である特開２００１−６７４０９号公報及び特開２００２−３２５６４号公報に詳しく説明してあるボルツマンモデルで１資産の価格変動の試行パスを発生させる方法を用いれば、時点ｔ＝０から時間間隔Δｔで満期Ｔ＝Ｍ・ΔｔまでのＮ個の資産価格の変動の試行パス
【数９４】

を発生させることができる。
【００９２】
ボルツマンモデルで１資産の価格変動の試行パスを発生させる方法については、特開２００１−６７４０９号公報及び特開２００２−３２５６４号公報に詳述された方法を利用する。
【００９３】
これらの複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション、及び複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションの価格評価では、ボルツマンモデルを用いるので、オプション取引のデータがなくてもオプション価格を評価できる。なぜならば、発明者らの先願である特開２００１−６７４０９号公報及び特開２００２−３２５６４号公報及び原論文「Ｙｕｊｉ　Ｕｅｎｏｈａｒａ　ａｎｄ　Ｒｉｔｓｕｏ　Ｙｏｓｈｉｏｋａ，　”Ｂｏｌｔｚｍａｎｎ　Ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　Ｆｉｎａｎｃｉａｌ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ”　Ｐｒｏｃ．　ｏｆ　５ｔｈ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｆ　ＪＡＦＥＥ，　Ａｕｇｕｓｔ　２８，　１９９９，　Ｊａｐａｎ，　ｐｐ．１８−３７」に詳しく説明してあるように、ボルツマンモデルで評価した日次収益率は原資産の日次収益率と一致させることができるので、オプション取引のデータがなくても原資産の振る舞いからオプション価格を評価できるからである。従って、現在、利用できる取引データのほとんどない、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション、及び複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションの価格評価にとってボルツマンモデルを用いる手法は最も有効な手法と言える。
【００９４】
ボルツマンモデルの特徴として、価格変動の相場依存性の考慮が挙げられる。
【００９５】
相場依存性とは、価格の大きな変動がまとまって生じることである。ボルツマンモデルの原論文では、ＬｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙとＦａｔ−Ｔａｉｌを考慮するため、日次収益率分布にマックスウエル分布の変形である、式（４８）の蒸発スペクトル式を推奨している。
【００９６】
ボルツマンモデルでは、原資産の価格変動と前回の変動との間との相関を考慮できる。ボルツマンモデルでは、終値の場合には、前日の日次収益率ｖ´と当日の日次収益率ｖとの間に、温度Ｔを介在して明確な相場依存性が見られることを主張している。それによれば、温度Ｔは前日の日次収益率ｖ′に関して式（４９）に示す二次関数的傾向を示している。
【００９７】
特開２００２−３２５６４号公報に詳しい説明があるが、式（４９）を用いたボルツマンモデルによる価格評価シミュレーションの過程でボルツマンモデルが評価した日次収益率は日経平均株価の日次収益率をほぼ再現できることが分かっている。
【００９８】
ここまでで、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション、及び複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションの価格評価の方法の実際を説明した。次に、図４及び図５において、第１の実施の形態であるボルツマンモデルに基づき、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプションであるバスケットオプションの価格評価を行うディーリングシステムを説明する。
【００９９】
図４及び図５は、本実施の形態のディーリングシステム１００の構成を示している。このシステム１００は、外部マーケットデータベース１０１と通信してマーケットデータを取込み、図４の構成を備え、ボルツマンモデルによりバスケットオプション価格評価を実施するボルツマンモデル計算エンジン（ＢＭＭ）１０３とこのＢＭＭ１０３の出力するバスケットオプション価格を表示し、プリントアウトし、またデータ入力を行うためのグラフィカルユーザーインターフェース（ＧＵＩ）としてのディーリング端末１０５から構成される。
【０１００】
そして、ボルツマンモデル計算エンジン（ＢＭＭ）１０３は、図５の示す構成であり、価格・変動率・変動方向・相関係数行列の初期値入力部３、評価条件入力部４、バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５、入出力装置としてのＧＵＩ１０５（図４と共通）、全断面積・確率過程入力部６、速度分布・方向分布入力部７、乱数発生部８を備え、必要なマーケットデータを取込むためのマーケットデータベース１０１と接続されている。
【０１０１】
そして、バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５はさらに、初期化部１１、初期値設定部１２、サンプリング部１３、ボルツマンモデルによる価格変動シミュレーション部１４、一試行終了判定部１５、複数資産のポートフォリオ価格算出部１６、オプション価格演算部１７、全試行終了判定部１８、オプション価格換算部１９を有している。
【０１０２】
なお、本システムは物理的な意味で１つのコンピュータに含まれることを意味するものではない。例えば、本システム１００としてクライアントサーバーシステムのように分散処理するシステムを採用することができる。また、各要素はその名称の示す処理を実行するプログラムそれぞれに対応しており、本システム中に物理的にこれらの要素が組み込まれるものではない。従って、基本的には、通信機能を備えた１台のコンピュータにこれらの処理機能を実行するディーリングプログラムを組み込むことによって実現することができるものである。
【０１０３】
初期値入力部３は、評価対象の複数の資産に関する式のＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉ及び相関係数行列をバスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５に入力する。このパラメータは実績データから得られる。好ましくは、初期値入力部３は、評価対象の複数の資産に関する情報をマーケットデータベース１０１から検索し、検索した該当する複数の資産の価格、価格変動率、価格変動方向の初期値を取得してバスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５に出力する。
【０１０４】
評価条件入力部４は、バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の評価条件を入力する要素である。バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の評価条件とは、バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５による試行回数、評価する時間帯、評価する価格帯、複数の資産価格の算術平均をとるときのウェイトなどの解析のための条件である。この評価条件入力部４により、有意な解析を行うことができる評価条件をバスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５に設定することができる。
【０１０５】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５は、本発明の中心的な構成要素である。バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５は、初期値入力部３から評価対象の複数の資産価格、価格変動率、価格変動方向の初期値、及び複数の資産に関する式のＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉ及び相関係数行列を入力し、評価条件入力部４から複数の資産価格の算術平均をとるときのウェイト等の評価条件を入力し、評価対象の複数の資産価格についてモンテカルロ法により、ボルツマンモデルによる価格変動シミュレーションを評価条件の範囲内で繰り返し、その複数の資産のウェイト付き算術平均の価格分布を求める手段である。
【０１０６】
モンテカルロ法は、ボルツマン方程式の厳密解を求める数値解析法である。
【０１０７】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の初期化部１１は、評価を開始するにあたり、評価対象の複数の資産の価格、価格変動率、価格変動方向を初期化する手段である。
【０１０８】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の初期値設定部１２は、上記初期値入力部３の出力に基づいて評価対象の複数の資産の価格、価格変動率、価格変動方向の初期値を設定する手段である。
【０１０９】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５のサンプリング部１３は、価格変動シミュレーションのサンプリング幅を決定する手段である。本発明では、サンプリング部１３は、全断面積・確率過程入力部６の入力によって、価格変動の単位時間の変動確率を設定できる。このため、従来難しいとされていた価格変動シミュレーションのための時間グリッドの設定を省くこともできる。この詳細については、本願発明者らの先願である特開２００１−６７４０９号公報に詳しく説明してある。
【０１１０】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の価格変動シミュレーション部１４は、モンテカルロ法によって直前の価格から、速度分布と方向分布の確率分布に基づいて次の価格をシミュレーションする要素である。
【０１１１】
価格変動シミュレーション部１４は、ボルツマンモデルによって複数の資産の価格変動をシミュレーションするために、速度分布・方向分布入力部７から複数の資産のボルツマン方程式における変数の速度分布あるいは方向分布に相当する複数の資産の価格変動率あるいは価格変動方向の分布を入力する。
【０１１２】
価格変動シミュレーション部１４は、モンテカルロ法によって複数の資産に関するボルツマン方程式の解を求めるために、乱数発生部８が発生した乱数を入力する。
【０１１３】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の一試行終了判定部１５は、一試行が終了したか否かを判断する要素である。ここで、「一試行」とは、評価開始時間から評価終了時間までの１回の該当する複数の資産の価格変動シミュレーションである。一試行終了判定部１５は、現在計算されている時点と評価時間帯とを比較することにより、一試行が終了したか否かを判定することができる。一試行の終了の条件は、評価条件入力手段４から入力される。
【０１１４】
一試行が終了していない場合は、一試行終了判定部１５から処理を再びサンプリング部１３に戻し、直前の複数の資産の価格と速度分布・方向分布とから次の複数の資産の価格及び確率密度を計算する。
【０１１５】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の複数資産のポートフォリオ価格算出部１６は、上記価格変動シミュレーション部１４によってシミュレーションされたオプション満期時における複数の資産価格のウェイト付き算術平均値を算出する要素である。評価条件入力部４によって設定されたウェイトに基づき、複数の資産価格の算術平均値を算出する。複数の資産価格のウェイト付き算術平均値をオプション価格演算部１７に出力する。
【０１１６】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５のオプション価格演算部１７は、複数資産のポートフォリオ価格算出部１６から出力されたオプション満期時における複数の資産価格のウェイト付き算術平均値を用いて一試行ごとのバスケットオプションのペイオフの総和を算出する。
【０１１７】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５の全試行終了判定部１８は、評価条件入力部４によって設定された全試行回数に到達したか否かを判断する手段である。この全試行回数は、初期値入力部３によって全試行終了判定部１８に入力される。
【０１１８】
バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部５のオプション価格換算部１９は、オプション価格演算部１７の算出したオプションのペイオフの総和の平均をとることによって、評価対象のバスケットオプションの価格を算出して出力する要素である。
【０１１９】
ＧＵＩとしてのディーリング端末１０５は、本システムの処理の途中経過や最終処理結果を出力する要素であり、評価対象とするバスケットオプションの価格を出力する。なお、この端末１０５は、キーボード、マウスのようなポインティングデバイスによる入力機能を有し、またディスプレイに表示し、プリンタによりプリントアウトし、他のシステムへのネットワークを通じた伝送、記憶装置への書き出しを含め、広い意味での出力機能を有する。
【０１２０】
マーケットデータベース１０１は、評価対象とするバスケットオプション商品に関連した情報を格納したデータベースである。なお、ここで「データベース」とは、データベース内に体系的に管理されたデータと、データを検索する手段、それらを記憶管理するハードウェアも含めたものである。
【０１２１】
以上のシステム構成のディーリングシステムによる複数の資産のポートフォリオを原資産とするバスケットオプション価格の評価方法について、以下に説明する。
【０１２２】
図６は、Ａ１からＡ３までの３つの手順を示している。複数の資産のポートフォリオを原資産とするバスケットオプション価格評価では、利用できる取引データはほとんどない。しかし、ボルツマンモデルで評価した日次収益率は各資産の日次収益率と一致させることができるので、オプション取引のデータがなくても各資産の振る舞いと各資産間の相関の考慮によってバスケットオプション価格を評価できる。従って、現在、利用できる取引データのほとんどないバスケットオプション価格評価にとって最も有効な手法と言える。
【０１２３】
本実施の形態のディーリングシステム１００では、処理ステップＡ１で該当する複数の資産のボルツマンモデルの温度パラメータを決定する。そして、処理ステップＡ２で該当する複数の資産の日次収益率との一致性を確認する。日次収益率が一致しなければ、処理ステップＡ１に戻り、パラメータを見直す。一致すれば、処理ステップＡ３において相場依存性との一致性を確認する。一致すれば、初期値入力部３に入力される。一致しなければ、処理ステップＡ１に戻り、温度パラメータを見直し、上記の処理を繰り返す。この場合にも実際には明確な相場依存性を観測することは稀なので、処理ステップＡ２からＡ３への流れ（図６の矢印付き破線）が最終手段となることも多い。
【０１２４】
バスケットオプション価格評価の例を図７と図８に示す。図７はバスケット・コールのオプション価格である。横軸が行使価格と原資産価格の比、縦軸がコールオプション価格と原資産価格の比を示す。図８はバスケット・プットのオプション価格である。横軸が行使価格と原資産価格の比、縦軸がプットオプション価格と原資産価格の比を示す。図７と図８で、実線Ｃ２１とＣ３１はボルツマンモデルによる評価価格である。破線Ｃ２２とＣ３２はブラック−ショールズ型の幾何ブラウン運動モデルによるものである。
【０１２５】
図７から、ブラック−ショールズモデルはボルツマンモデルに比べて、バスケット・コールの価格をアット・ザ・マネー（行使価格が原資産価格にほぼ等しい領域）で過大評価し、ディープ・アウト・ザ・マネー（行使価格が原資産価格よりもかなり大きい領域）で過小評価していることが分かる。図８から、ブラック−ショールズモデルはボルツマンモデルに比べて、バスケット・プットの価格をアット・ザ・マネーで過大評価し、ディープ・アウト・ザ・マネーで過小評価していることが分かる。このように、ボルツマンモデルとブラック−ショールズモデルの評価価格が異なるのは、ボルツマンモデルによって、現実の原資産価格分布が、ブラック−ショールズモデルで仮定している対数正規分布と比較して、相対価格が１近辺での確率密度の広がり（ボラティリティ）が小さく尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、相対価格が１よりもかなり小さい領域と１よりもかなり大きい領域での確率密度のボラティリティが大きくなって裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となる効果を取り入れられたためである。この計算例では、従来は、バスケット・コールとバスケット・プットにおいて、オプション購入者はアット・ザ・マネーで高値で購入するリスクがあり、オプション販売者はディープ・アウト・ザ・マネーで安値で販売するリスクがあったが、これらのリスクを低減できて、損失を低減できることになる。
【０１２６】
次に、上記のディーリングシステム１００による、ボルツマンモデルに基づくヒストリカル情報との整合性を保ったバスケットオプション価格評価手法について説明する。ボルツマンモデルでは、複数の資産のヒストリカルな情報と整合性を取りながら、複数の資産のポートフォリオを原資産とするバスケットオプションの価格評価ができる。この特性は取引に際してオプション価格提示の根拠を明確に出来る利点がある。取引やバスケットオプション価格付けのコンサルテーション業では、価格評価の影響は単に価格付けした当事者のみに留まらない。従って、経験と勘のみでは済まされず、合理的な価格付けの根拠が求められる。
【０１２７】
マーケットは不確実性が大きいので、経験と勘に頼る恣意的な判断が完全になくなることはない。しかし、これらの判断が他の情報で裏付けられれば、合理的な根拠に基づく行動となる。現在の金融工学の基本が原資産価格の挙動からオプション価格が決定されるという立場にある以上、ボルツマンモデルが原資産のヒストリカル情報との整合性を保てることは、価格評価の合理性を主張する大きな根拠となる。
【０１２８】
次に、図４及び図９において、第２の実施の形態であるボルツマンモデルに基づき、複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするオプションであるレインボーオプションの価格評価を行うディーリングシステムを説明する。図４及び図９は、本実施の形態のディーリングシステム１００の構成を示している。このシステム１００は、外部マーケットデータベース１０１と通信してマーケットデータを取込み、図４の構成を備え、ボルツマンモデルによりレインボーオプション価格評価を実施するボルツマンモデル計算エンジン（ＢＭＭ）１０３とこのＢＭＭ１０３の出力するバスケットオプション価格を表示し、プリントアウトし、またデータ入力を行うためのグラフィカルユーザーインターフェース（ＧＵＩ）としてのディーリング端末１０５から構成される。
【０１２９】
そして、ボルツマンモデル計算エンジン（ＢＭＭ）１０３は、図９の示す構成であり、価格・変動率・変動方向の初期値入力部３、評価条件入力部４、レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５、入出力装置としてのＧＵＩ１０５（図４と共通）、全断面積・確率過程入力部６、速度分布・方向分布入力部７、乱数発生部８を備え、必要なマーケットデータを取込むためのマーケットデータベース１０１と接続されている。
【０１３０】
そして、レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５はさらに、初期化部１１、初期値設定部１２、サンプリング部１３、ボルツマンモデルによる価格変動シミュレーション部１４、一試行終了判定部１５、複数資産の価格の最大値・最小値算出部２１６、オプション価格演算部２１７、全試行終了判定部１８、オプション価格換算部２１９を有している。
【０１３１】
なお、本システムは物理的な意味で１つのコンピュータに含まれることを意味するものではない。例えば、本システム１００としてクライアントサーバーシステムのように分散処理するシステムを採用することができる。また、各要素はその名称の示す処理を実行するプログラムそれぞれに対応しており、本システム中に物理的にこれらの要素が組み込まれるものではない。従って、基本的には、通信機能を備えた１台のコンピュータにこれらの処理機能を実行するディーリングプログラムを組み込むことによって実現することができるものである。
【０１３２】
初期値入力部３は、評価対象の複数の資産に関する式のＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉ及び相関係数行列をレインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５に入力する。このパラメータは実績データから得られる。好ましくは、初期値入力部３は、評価対象の複数の資産に関する情報をマーケットデータベース１０１から検索し、検索した該当する複数の資産の価格、価格変動率、価格変動方向の初期値を取得してレインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５に出力する。
【０１３３】
評価条件入力部４は、レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の評価条件を入力する要素である。レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の評価条件とは、レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５による試行回数、評価する時間帯、評価する価格帯などの解析のための条件である。この評価条件入力部４により、有意な解析を行うことができる評価条件をレインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５に設定することができる。
【０１３４】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５は、本発明の中心的な構成要素である。レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５は、初期値入力部３から評価対象の複数の資産価格、価格変動率、価格変動方向の初期値、及び複数の資産に関する式のＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉ及び相関係数行列を入力し、評価対象の複数の資産価格についてモンテカルロ法により、ボルツマンモデルによる価格変動シミュレーションを評価条件の範囲内で繰り返し、その複数の資産の価格分布を求める手段である。
【０１３５】
モンテカルロ法は、ボルツマン方程式の厳密解を求める数値解析法である。
【０１３６】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の初期化部１１は、評価を開始するにあたり、評価対象の複数の資産の価格、価格変動率、価格変動方向を初期化する手段である。
【０１３７】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の初期値設定部１２は、上記初期値入力部３の出力に基づいて評価対象の複数の資産の価格、価格変動率、価格変動方向の初期値を設定する手段である。
【０１３８】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５のサンプリング部１３は、価格変動シミュレーションのサンプリング幅を決定する手段である。本発明では、サンプリング部１３は、全断面積・確率過程入力部６の入力によって、価格変動の単位時間の変動確率を設定できる。このため、従来難しいとされていた価格変動シミュレーションのための時間グリッドの設定を省くこともできる。この詳細については、本願発明者らの先願である特開２００１−６７４０９号公報に詳しく説明してある。
【０１３９】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の価格変動シミュレーション部１４は、モンテカルロ法によって直前の価格から、速度分布と方向分布の確率分布に基づいて次の価格をシミュレーションする要素である。
【０１４０】
価格変動シミュレーション部１４は、ボルツマンモデルによって複数の資産の価格変動をシミュレーションするために、速度分布・方向分布入力部７から複数の資産のボルツマン方程式における変数の速度分布あるいは方向分布に相当する複数の資産の価格変動率あるいは価格変動方向の分布を入力する。
【０１４１】
価格変動シミュレーション部１４は、モンテカルロ法によって複数の資産に関するボルツマン方程式の解を求めるために、乱数発生部８が発生した乱数を入力する。
【０１４２】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の一試行終了判定部１５は、一試行が終了したか否かを判断する要素である。ここで、「一試行」とは、評価開始時間から評価終了時間までの１回の該当する複数の資産の価格変動シミュレーションである。一試行終了判定部１５は、現在計算されている時点と評価時間帯とを比較することにより、一試行が終了したか否かを判定することができる。一試行の終了の条件は、評価条件入力手段４から入力される。
【０１４３】
一試行が終了していない場合は、一試行終了判定部１５から処理を再びサンプリング部１３に戻し、直前の複数の資産の価格と速度分布・方向分布とから次の複数の資産の価格及び確率密度を計算する。
【０１４４】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の複数資産の価格の最大値・最小値算出部２１６は、上記価格変動シミュレーション部１４によってシミュレーションされたオプション満期時における複数の資産価格の最大値もしくは最小値を算出する要素である。複数の資産価格のの最大値もしくは最小値をオプション価格演算部２１７に出力する。
【０１４５】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５のオプション価格演算部２１７は、複数資産の価格の最大値・最小値算出部２１６から出力されたオプション満期時における複数の資産価格の最大値もしくは最小値を用いて一試行ごとのレインボーオプションのペイオフの総和を算出する。
【０１４６】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５の全試行終了判定部１８は、評価条件入力部４によって設定された全試行回数に到達したか否かを判断する手段である。この全試行回数は、初期値入力部３によって全試行終了判定部１８に入力される。
【０１４７】
レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部２０５のオプション価格換算部２１９は、オプション価格演算部２１７の算出したオプションのペイオフの総和の平均をとることによって、評価対象のレインボーオプションの価格を算出して出力する要素である。
【０１４８】
ＧＵＩとしてのディーリング端末１０５は、本システムの処理の途中経過や最終処理結果を出力する要素であり、評価対象とするレインボーオプションの価格を出力する。なお、この端末１０５は、キーボード、マウスのようなポインティングデバイスによる入力機能を有し、またディスプレイに表示し、プリンタによりプリントアウトし、他のシステムへのネットワークを通じた伝送、記憶装置への書き出しを含め、広い意味での出力機能を有する。
【０１４９】
マーケットデータベース１０１は、評価対象とするレインボーオプション商品に関連した情報を格納したデータベースである。なお、ここで「データベース」とは、データベース内に体系的に管理されたデータと、データを検索する手段、それらを記憶管理するハードウェアも含めたものである。
【０１５０】
以上のシステム構成のディーリングシステムによる複数の資産の中で価格が最大もしくは最小のものを原資産とするレインボーオプション価格の評価方法について、以下に説明する。本実施の形態のディーリングシステム１００でも、手順は第１の実施の形態と同じなので詳しい説明は省略するが、図６のＡ１からＡ３までの３つの手順で、複数の資産のボルツマンモデルの温度パラメータの入力値を決める。
【０１５１】
レインボーオプション価格評価の例を図１０と図１１と図１２と図１３に示す。図１０はコール・オン・マックスのオプション価格である。横軸が行使価格と原資産価格の比、縦軸がコールオプション価格と原資産価格の比を示す。図１１はプット・オン・マックスのオプション価格である。横軸が行使価格と原資産価格の比、縦軸がプットオプション価格と原資産価格の比を示す。図１２はコール・オン・ミニマムのオプション価格である。横軸が行使価格と原資産価格の比、縦軸がコールオプション価格と原資産価格の比を示す。図１３はプット・オン・ミニマムのオプション価格である。横軸が行使価格と原資産価格の比、縦軸がプットオプション価格と原資産価格の比を示す。図１０と図１１と図１２と図１３で、実線Ｄ２１とＤ３１とＤ４１とＤ５１はボルツマンモデルによる評価価格である。破線Ｄ２２とＤ３２とＤ４２とＤ５２はブラック−ショールズ型の幾何ブラウン運動モデルによるものである。
【０１５２】
図１０から、ブラック−ショールズモデルはボルツマンモデルに比べて、コール・オン・マックスの価格をアット・ザ・マネー（行使価格が原資産価格にほぼ等しい領域）で過大評価し、ディープ・アウト・ザ・マネー（行使価格が原資産価格よりもかなり大きい領域）で過小評価していることが分かる。図１１から、ブラック−ショールズモデルはボルツマンモデルに比べて、プット・オン・マックスの価格をアット・ザ・マネーで過大評価し、ディープ・アウト・ザ・マネーで過小評価していることが分かる。図１２から、ブラック−ショールズモデルはボルツマンモデルに比べて、コール・オン・ミニマムの価格をアット・ザ・マネーで過大評価し、ディープ・アウト・ザ・マネーで過小評価していることが分かる。図１３から、ブラック−ショールズモデルはボルツマンモデルに比べて、プット・オン・ミニマムの価格をアット・ザ・マネーで過大評価し、ディープ・アウト・ザ・マネーで過小評価していることが分かる。
【０１５３】
このように、ボルツマンモデルとブラック−ショールズモデルの評価価格が異なるのは、ボルツマンモデルによって、現実の原資産価格分布が、ブラック−ショールズモデルで仮定している対数正規分布と比較して、相対価格が１近辺での確率密度の広がり（ボラティリティ）が小さく尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、相対価格が１よりもかなり小さい領域と１よりもかなり大きい領域での確率密度のボラティリティが大きくなって裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となる効果を取り入れられたためである。
【０１５４】
この計算例では、従来は、コール・オン・マックスとプット・オン・マックスとコール・オン・ミニマムとプット・オン・ミニマムにおいて、オプション購入者はアット・ザ・マネーで高値で購入するリスクがあり、オプション販売者はディープ・アウト・ザ・マネーで安値で販売するリスクがあったが、これらのリスクを低減できて、損失を低減できることになる。
【０１５５】
次に、上記のディーリングシステム１００による、ボルツマンモデルに基づくヒストリカル情報との整合性を保ったレインボーオプション価格評価手法では、既に第１の実施の形態のバスケットオプション価格評価手法で説明したのと同じで、ボルツマンモデルが原資産のヒストリカル情報との整合性を保てることが、価格評価の合理性を主張する大きな根拠となる。
【０１５６】
次に、保険会社や再保険会社における保険料評価システムにおいて、１つの保険リスクの保険料もしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料のボルツマンモデルを用いた評価方法の実際について説明する。
【０１５７】
１つの保険リスクの保険料もしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料は、ボルツマンモデルの基本解法であるモンテカルロ法によって次のようにして評価できる。まず、ボルツマンモデルに従う時点ｔ＝ΔｔにおけるＮ個の保険金額（損失額）の試行
【数９５】

を発生させる。ここで、
【数９６】

の添字のｉはｉ番目の保険リスクの損失額、ｋはｋ回目の試行を表す。この場合、Ｎ個の保険リスクの損失額は相関を持って変動するので、１回の試行でＮ個の保険リスクの損失額の試行を１セットにして発生させることになる。次に、１回の試行ごとにＮ個の保険リスクの損失額の合計額を、
【数９７】

によって求めて、試行を繰り返せば、保険リスクのポートフォリオの損失額の分布が求まる。
【０１５８】
保険料算定原理として、パーセンタイル値に着目した分位原理を用いると、保険リスクのポートフォリオの保険料は既に述べたように、
【数９８】

となる。ここで、
【数９９】

は分布Ｆに従うとし、
【数１００】

である。もし、δ＝０．０５とおけば、保険リスクのポートフォリオの保険料は上位５％の損失額の合計額に等しくなる。
【０１５９】
ボルツマンモデルに従うＮ個の保険リスクのポートフォリオの損失額の試行の発生法について説明する。ボルツマンモデルを保険リスクに適用する場合、各保険リスクの損失額Ｓ_ｉの確率測度Ｐ_ｉ（Ｓ_ｉ，ｔ）は、式（Ｈ５）のように金融ボルツマン方程式をＮ個の連立させて、各式の散乱カーネル
【数１０１】

の間に相関を考慮することによって得られる。
【０１６０】
【数１０２】

ここで、
【数１０３】

である。
【０１６１】
保険リスクへの適用にあたっては変数の定義も変更して、ｔは時間、ｒ′は期待金利、ν_ｉはｉ番目の保険リスクの損失額変化率、μ_ｉはｉ番目の保険リスクの損失額変動の方向、Ｓ_ｉ（０）はｔ＝０のときのｉ番目の保険リスクの損失額の平均値とする。
【０１６２】
【数１０４】

はｉ番目の保険リスクの単位時間当たりの損失額変動の確率を意味する衝突頻度とし、
【数１０５】

はｉ番目の損失額の散乱カーネルとする。
【０１６３】
【数１０６】

は、
【数１０７】

と、
【数１０８】

との積
【数１０９】

で与えられるとする。そして、
【数１１０】

としては、原子核反応で放出される中性子スペクトルを表す蒸発スペクトルと同じ形、
【数１１１】

を仮定する。ここで、仮想的なものであるが、ν_ｉは当日の損失額変化率、ν_ｉ′は前日の損失額変化率とし、温度Ｔ_ｉ（ν_ｉ）としては次のν_ｉに関する２次式を仮定する。
【０１６４】
【数１１２】

ここで、Ｔ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉは定数である。
【０１６５】
【数１１３】

は常に０．５と仮定する。
【０１６６】
【数１１４】

間には、
【数１１５】

の関係がある。
【０１６７】
連立した金融ボルツマン方程式から時点ｔ＝ΔｔにおけるＮ個の保険金額（損失額）の試行
【数１１６】

を発生させるには、Ｎ個の保険リスクの損失額の相関を考慮した損失額変化率分布に従う損失額変化率の乱数列
【数１１７】

を発生させる必要がある。そこで、その方法について説明する。
【０１６８】
ボルツマンモデルでは、損失額変化率分布の関数が事前に与えられるわけではない。最終的な損失額変化率分布φ_ｉ（ν_ｉ）は、シミュレーションした後に初めて判る性質のものである。ボルツマンモデルでは散乱カーネルのパラメータＴ_ｉ（ν_ｉ′）を、
【数１１８】

で与える。
【０１６９】
ｃ_０ｉ＝０，ｇ_０ｉ＝０の場合にのみ、損失額変化率分布を事前に与えることができ、
【数１１９】

となるので、まず、この場合について説明する。このときには、ｘ_ｉ＝ν_ｉ／Ｔ_０ｉの変換を施せば、
【数１２０】

に従う乱数列
【数１２１】

を発生させて、
【数１２２】

の変換を施した乱数列
【数１２３】

は共分散行列Ｖを持つ。
【０１７０】
共分散行列Ｖは、コレスキー分解により下三角行列Ｌの積で表すことができ、標準偏差（ボラティリティ）σ_ｉと相関係数ρ_ｉｊで表されるので、Ｖを次のように表す。
【０１７１】
【数１２４】

ここで、
【数１２５】

はボラティリティ行列であり、
【数１２６】

は相関係数行列である。
【０１７２】
通常の金融工学問題では、ボラティリティ行列Σと相関係数行列Ｘが与えられ、これを再現するように乱数を発生させることが求められる。ｃ_０＝０，ｇ_０＝０のときには、ボラティリティσ_ｉとＴ_０ｉとの間には、
【数１２７】

が成立するので、σ_ｉからＴ_０ｉを求めることができる。式（Ｈ１４）を用いれば、Ｎ個の保険リスクの損失額の相関を考慮した損失額変化率分布に従う損失額変化率の乱数列
【数１２８】

を発生できる。
【０１７３】
ｃ_０＝０，ｇ_０＝０のときには平均値が０で標準偏差が１の標準正規乱数のような概念を実装に導入しやすいが、ｃ_０≠０，ｇ_０≠０のときにはＴ_ｉが変動するので、標準乱数を全面に押し出したアルゴリズムは実装上問題が多い。従って、以下のように若干修正する。これまでは、共分散行列Ｖを直接コレスキー分解したが、これからは、相関係数行列Ｘをコレスキー分解する。すると、
【数１２９】

となるので、相関のある乱数
【数１３０】

は、
【数１３１】

となる。
【０１７４】
また、相関の無い標準乱数列
【数１３２】

の代わりに相関は無いが標準偏差が異なる乱数列
【数１３３】

を用いると、
【数１３４】

となる。この表記は、ｃ_０≠０，ｇ_０≠０の場合に有効となるので、今後、相関のある乱数発生の記述はこれに従う。
【０１７５】
ｃ_０≠０，ｇ_０≠０の場合、まず相関係数行列が単位行列の場合（相関が無い場合）についての乱数生成から説明する。この場合には、単にＮの乱数系列を独立に発生させるだけなので、ｉ番目の成分について述べるだけで十分である。ｉ番目についてボラティリティがσ_ｉになるように、パラメータＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉが決まっていたものとする。時間ステップｊでの乱数ν_ｉｊが決まっていれば、次ステップｊ＋１の乱数ν_{ｉ，ｊ＋１}は、
【数１３５】

に従う乱数から求められる。ここで、
【数１３６】

である。なお、この場合も符号±の発生確率は等しいとする。この手順をｉ＝１，…，Ｎについて独立に併行すれば、ボラティリティがおのおのσ_１，…，σ_Ｎの無相関な乱数列
【数１３７】

が生成される。これを用いて、式（Ｈ２１）と同様に、
【数１３８】

から相関のある乱数列
【数１３９】

を求めることができる。
【０１７６】
以上のようにして、Ｎ個の保険リスクの相関を考慮した損失額変化率分布に従う相関のある損失額変化率の乱数列
【数１４０】

もしくは、無相関の損失額変化率の乱数列
【数１４１】

を発生させることができる。この
【数１４２】

もしくは、
【数１４３】

を用いて、さらに発明者らの先願である特開２００１−６７４０９号公報及び特開２００２−３２５６４号公報に詳しく説明してあるボルツマンモデルで１資産の価格変動の試行パスを発生させる方法において、保険分野への適用のために、式（Ｈ５）のように資産の価格を保険リスクの損失額にするなど変数を定義し直すことにより、時点ｔ＝ΔｔにおけるＮ個の保険金額（損失額）の試行
【数１４４】

を発生させることができる。
【０１７７】
ボルツマンモデルで１資産の価格変動の試行パスを発生させる方法については、特開２００１−６７４０９号公報及び特開２００２−３２５６４号公報に詳述された方法を利用する。
【０１７８】
これらの１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料の算定では、保険金額の確率分布にボルツマンモデルを用いるので、従来のような対数正規分布やパレート分布などを用いる場合に比べて、現実の保険金額の確率密度分布における平均値の近傍で尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、保険金額が大きい領域と小さい領域で裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となる効果を精度良く取り入れることが可能となる。そのため、ボルツマンモデルを用いる手法により保険料の算定の精度の向上が図れる。
【０１７９】
ここまでで、１つの保険リスクの保険料もしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料のボルツマンモデルを用いた評価方法の実際を説明した。次に、図１４及び図１５において、第３の実施の形態であるボルツマンモデルに基づき、１つの保険リスクの保険料もしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を算定する保険料評価システムを説明する。
【０１８０】
図１４及び図１５は、本実施の形態の保険料評価システム５００の構成を示している。このシステム５００は、損失額データベース５０１と通信して過去の損失額データを取込み、図１４の構成を備え、ボルツマンモデルにより保険料算定を実施するボルツマンモデル計算エンジン（ＢＭＭ）５０３とこのＢＭＭ５０３の出力する保険料を表示し、プリントアウトし、またデータ入力を行うためのグラフィカルユーザーインターフェース（ＧＵＩ）としての保険料評価システム端末５０５から構成される。
【０１８１】
そして、ボルツマンモデル計算エンジン（ＢＭＭ）５０３は、図１５の示す構成であり、損失額の平均値・変動率・変動方向の初期値入力部５３、評価条件入力部５４、保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５、入出力装置としてのＧＵＩ５０５（図１４と共通）、速度分布・方向分布入力部５６、乱数発生部５７を備え、必要な損失額データを取込むための損失額データベース５０１と接続されている。
【０１８２】
そして、保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５はさらに、初期化部６１、初期値設定部６２、サンプリング部６３、ボルツマンモデルによる損失額確率分布生成シミュレーション部６４、損失額確率分布算出部６５、一試行終了判定部６６、全試行終了判定部６７、損失額確率分布編集部６８、保険料換算部６９を有している。
【０１８３】
なお、本システムは物理的な意味で１つのコンピュータに含まれることを意味するものではない。例えば、本システム５００としてクライアントサーバーシステムのように分散処理するシステムを採用することができる。また、各要素はその名称の示す処理を実行するプログラムそれぞれに対応しており、本システム中に物理的にこれらの要素が組み込まれるものではない。従って、基本的には、通信機能を備えた１台のコンピュータにこれらの処理機能を実行する保険料評価プログラムを組み込むことによって実現することができるものである。
【０１８４】
初期値入力部５３は、評価対象の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオに関する式のＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉ及び相関係数行列を保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５に入力する。このパラメータは過去の損失額データから得られる。好ましくは、初期値入力部５３は、評価対象の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオに関する情報を損失額データベース５０１から検索し、検索した該当する１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額の平均値、損失額変化率、損失額変動方向の初期値を取得して保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５に出力する。
【０１８５】
評価条件入力部５４は、保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の評価条件を入力する要素である。保険料算定対応ボルツマン解析部５５の評価条件とは、保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５による試行回数、評価する損失額帯、保険金額（損失額）の確率分布から保険料算定するときのパーセンタイル値などの解析のための条件である。この評価条件入力部５４により、有意な解析を行うことができる評価条件を保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５に設定することができる。
【０１８６】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５は、本発明の中心的な構成要素である。保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５は、初期値入力部５３から評価対象の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額の平均値、損失額変化率、損失額変動方向の初期値、及び１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオに関する式のＴ_０ｉ，ｃ_０ｉ，ｇ_０ｉ及び相関係数行列を入力し、評価条件入力部５４から保険料算定するときのパーセンタイル値等の評価条件を入力し、評価対象の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオについてモンテカルロ法により、ボルツマンモデルによる損失額確率分布生成シミュレーションを評価条件の範囲内で繰り返し、その１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険金額（損失額）確率分布を求める手段である。
【０１８７】
モンテカルロ法は、ボルツマン方程式の厳密解を求める数値解析法である。
【０１８８】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の初期化部６１は、評価を開始するにあたり、評価対象の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額の平均値、損失額変化率、損失額変動方向を初期化する手段である。
【０１８９】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の初期値設定部６２は、上記初期値入力部５３の出力に基づいて評価対象の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額の平均値、損失額変化率、損失額変動方向の初期値を設定する手段である。
【０１９０】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５のサンプリング部６３は、損失額確率分布生成シミュレーションのサンプリング条件を決定する手段である。
【０１９１】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の損失額確率分布生成シミュレーション部６４は、モンテカルロ法によって、速度分布と方向分布の確率分布に基づいて損失額確率分布生成をシミュレーションする要素である。
【０１９２】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の損失額確率分布生成シミュレーション部６４は、ボルツマンモデルによって複数の資産の価格変動をシミュレーションするために、速度分布・方向分布入力部５６から１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオのボルツマン方程式における変数の速度分布あるいは方向分布に相当する１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額変化率あるいは損失額変動方向の分布を入力する。
【０１９３】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の損失額確率分布生成シミュレーション部６４は、モンテカルロ法によって１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオに関するボルツマン方程式の解を求めるために、乱数発生部５７が発生した乱数を入力する。
【０１９４】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の確率密度算出部６５は、上記損失額確率分布生成シミュレーション部６４によってシミュレーションされた損失額分布を積分して確率密度を算出する手段である。
【０１９５】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の一試行終了判定部６６は、一試行が終了したか否かを判断する要素である。ここで、「一試行」とは、１回の該当する１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額確率分布生成シミュレーションである。一試行の終了の条件は、評価条件入力手段５４から入力される。
【０１９６】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の全試行終了判定部６７は、評価条件入力部５４によって設定された全試行回数に到達したか否かを判断する手段である。この全試行回数は、初期値入力部５３によって全試行終了判定部６７に入力される。
【０１９７】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の確率密度編集部６８は、全試行の確率密度を集約し、評価対象の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額の確率密度を編集する。
【０１９８】
保険料算定対応ボルツマンモデル解析部５５の１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料換算部６９は、上記確率密度編集部６８から出力された１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの損失額（保険金額）の確率密度を用いて、保険料を算出する出力する要素である。
【０１９９】
ＧＵＩとしての保険料評価システム端末５０５は、本システムの処理の途中経過や最終処理結果を出力する要素であり、評価対象とする１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を出力する。なお、この端末５０５は、キーボード、マウスのようなポインティングデバイスによる入力機能を有し、またディスプレイに表示し、プリンタによりプリントアウトし、他のシステムへのネットワークを通じた伝送、記憶装置への書き出しを含め、広い意味での出力機能を有する。
【０２００】
損失額データベース５０１は、評価対象とする１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオに関連した情報を格納したデータベースである。なお、ここで「データベース」とは、データベース内に体系的に管理されたデータと、データを検索する手段、それらを記憶管理するハードウェアも含めたものである。
【０２０１】
以上のシステム構成の保険料評価システムによる１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料の評価方法について、以下に説明する。
【０２０２】
図１６は、Ｂ１からＢ２までの２つの手順を示している。本実施の形態のディーリングシステム５００では、処理ステップＢ１で該当する１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのボルツマンモデルの温度パラメータを決定する。そして、処理ステップＢ２で該当する１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクの損失額確率分布との一致性を確認する。損失額確率分布が一致しなければ、処理ステップＢ１に戻り、パラメータを見直す。
【０２０３】
保険料評価の例を図１７と図１８に示す。図１７は１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険金額（損失額）確率分布である。横軸が保険金額（損失額）と平均保険金額の比、縦軸が確率密度を示す。図１７で、◆マークＥ１１はボルツマンモデルによる保険金額（損失額）確率分布、実線Ｅ１２は従来の対数正規分布によるものである。図１８は図１７の縦軸を累積確率密度に直してプロットしたものである。図１８で、◆マークＦ１１はボルツマンモデルによる保険金額（損失額）確率分布、実線Ｆ１２は従来の対数正規分布によるものである。この保険金額（損失額）確率分布を用いて、分位原理に従って保険料を算出するとすれば、設定した上位の損失額のパーセンタイル値が保険料となる。
【０２０４】
上位１％パーセンタイル値（９９％パーセンタイル値）を保険料とすると、従来の対数正規分布の保険料とボルツマンモデルの保険料はほぼ一致している。上位１％を越えるパーセンタイル値（９９％未満のパーセンタイル値）を保険料とすると、従来の対数正規分布の保険料はボルツマンモデルの保険料に比べて過大評価になっている。上位１％未満のパーセンタイル値（９９％越えるパーセンタイル値）を保険料とすると、従来の対数正規分布の保険料はボルツマンモデルの保険料に比べて過小評価になっている。対数正規分布の保険料とボルツマンモデルの保険料の偏差は１００％パーセンタイル値に近い方が大きい傾向がある。
【０２０５】
このように、ボルツマンモデルと対数正規分布の保険料が異なるのは、ボルツマンモデルによって、現実の保険金額（損失額）の確率密度分布が、対数正規分布と比較して保険金額の平均値の近傍で尖っていて（Ｌｅｐｔｏｋｕｒｃｉｔｙ）、保険金額が大きい領域と小さい領域で裾広がり（Ｆａｔ−Ｔａｉｌ）となる効果が取り入れられたためである。この計算例では、上位１％を越えるパーセンタイル値（９９％未満のパーセンタイル値）を保険料とする場合、保険会社は保険料を従来よりも安く設定できて顧客数の拡大が可能となる。また、上位１％未満のパーセンタイル値（９９％越えるパーセンタイル値）を保険料とする場合、従来は、保険会社は保険料を安く見積もり過ぎて保険金支払い時に破産するリスクがあったが、そのリスクを低減することが可能となる。
【０２０６】
【発明の効果】
以上説明したように、本発明によれば、利用できるマーケットでの取引実績データがほとんどない複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション及び複数の資産の価格の最大値もしくは最小値を原資産とするオプションにおいて、従来の一般的な理論をもとにした限界のある手法に代えて、原子炉理論を金融分野に応用したボルツマン計算エンジンを備え、ディーラーやトレーダーにとって、複数の資産を組み合わせたポートフォリオを原資産とするオプション及び複数の資産の価格の最大値もしくは最小値を原資産とするオプションの有意な理論価格を提供することができる。
【０２０７】
また、以上説明したように、本発明によれば、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオにおいて、従来の一般的な理論をもとにした限界のある手法に代えて、原子炉理論を金融分野に応用したボルツマン計算エンジンを備え、保険会社や再保険会社にとって、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの有意な理論保険料を提供することができる。
【図面の簡単な説明】
【図１】幾何ブラウン運動モデルが予測する原資産の価格変動率Ｃ１と典型的な株価の終値の変動率（日次収益率）Ｃ２のグラフ。
【図２】日経２２５平均株価の日次収益率Ｃ３のグラフ。
【図３】現実の日次収益率の確率密度関数と、幾何ブラウン運動モデルで仮定している正規分布の確率密度関数との比較を示すグラフ。
【図４】本発明のディーリングシステムの第１の実施の形態〜第２の実施の形態の共通するシステム構成を示すブロック図。
【図５】上記のディーリングシステムにおけるバスケットオプション価格評価を行うボルツマンモデル計算エンジンの機能構成を示すブロック図。
【図６】上記のディーリングシステムによる理論計算処理を示すフローチャート。
【図７】上記のディーリングシステムによって求めたバスケットオプション価格評価の例であり、バスケット・コールの行使価格と原資産価格の比とコールオプション価格と原資産価格の比の関係を示したグラフ。
【図８】上記のディーリングシステムによって求めたバスケットオプション価格評価の例であり、バスケット・プットの行使価格と原資産価格の比とプットオプション価格と原資産価格の比の関係を示したグラフ。
【図９】本発明の第２の実施の形態のディーリングシステムにおけるレインボーオプション価格評価を行うボルツマンモデル計算エンジンの機能構成を示すブロック図。
【図１０】上記のディーリングシステムによって求めたレインボーオプション価格評価の例であり、コール・オン・マックスの行使価格と原資産価格の比とコールオプション価格と原資産価格の比の関係を示したグラフ。
【図１１】上記のディーリングシステムによって求めたレインボーオプション価格評価の例であり、プット・オン・マックスの行使価格と原資産価格の比とプットオプション価格と原資産価格の比の関係を示したグラフ。
【図１２】上記のディーリングシステムによって求めたレインボーオプション価格評価の例であり、コール・オン・ミニマムの行使価格と原資産価格の比とコールオプション価格と原資産価格の比の関係を示したグラフ。
【図１３】上記のディーリングシステムによって求めたレインボーオプション価格評価の例であり、プット・オン・ミニマムの行使価格と原資産価格の比とプットオプション価格と原資産価格の比の関係を示したグラフ。
【図１４】本発明の保険料評価システムの第３の実施の形態のシステム構成を示すブロック図。
【図１５】上記の保険料評価システムにおける１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険料を評価するボルツマンモデル計算エンジンの機能構成を示すブロック図。
【図１６】上記の保険料評価システムによる理論計算処理を示すフローチャート。
【図１７】上記の保険料評価システムによって求めた保険料評価の例であり、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険金額（損失額）と確率密度の関係を示したグラフ。
【図１８】上記の保険料評価システムによって求めた保険料評価の例であり、１つの保険リスクもしくは複数の保険リスクのポートフォリオの保険金額（損失額）と累積確率密度の関係を示したグラフ。
【符号の説明】
３…初期値入力部
４…評価条件入力部
５…バスケットオプション対応ボルツマンモデル解析部
６…全断面積・確率過程入力部
７…速度分布・方向分布入力部
８…乱数発生部
１１…初期化部
１２…初期値設定部
１３…サンプリング部
１４…シミュレーション部
１５…一試行終了判定部
１６…複数資産のポートフォリオ価格算出部
１７…オプション価格演算部
１８…全試行終了判定部
１９…オプション価格換算部
２１…現実の日次収益率の確率密度関数
５３…初期値入力部
５４…評価条件入力部
５５…保険料算定対応ボルツマンモデル解析部
５６…速度分布・方向分布入力部
５７…乱数発生部
６１…初期化部
６２…初期値設定部
６３…サンプリング部
６４…シミュレーション部
６５…損失額確率密度算出部
６６…一試行終了判定部
６７…全試行終了判定部
６８…損失額確率密度編集部
６９…保険料換算部
１００…ディーリングシステム
１０１…マーケットデータベース
１０３…ボルツマンモデル計算エンジン
１０５…ディーリング端末
２０５…レインボーオプション対応ボルツマンモデル解析部
２１６…複数資産の価格の最大値・最小値算出部
２１７…オプション価格演算部
２１９…オプション価格換算部
５００…保険料評価システム
５０１…損失額データベース
５０３…ボルツマンモデル計算エンジン
５０５…保険料評価システム端末[0001]
TECHNICAL FIELD OF THE INVENTION
The present invention relates to a Boltzmann model calculation engine for option prices, a Boltzmann model calculation engine for premiums, a dealing system, a dealing program, a premium evaluation system, and a premium evaluation program.
[0002]
[Prior art]
2. Description of the Related Art In a dealing system that supports the operations of dealers and traders in banks and securities companies, Black-Scholes (F. Black and) has conventionally assumed that a probability distribution at an arbitrary future time such as a stock price is a lognormal distribution. M. Sholes, "The Pricing of the Options and the Corporate Liabilities", "Journal of the Political Economy", a general model based on the model based on the 81 (May-June 1973), a model based on the general model such as the model based on the "pp. Calculate the theoretical price of an option based on a portfolio that combines multiple assets (stocks, stock indices, or currencies), or calculate the maximum or minimum price among multiple assets It is common to calculate the theoretical price of the option to the original asset things.
[0003]
A description will be given of a conventional option price evaluation method in which a portfolio combining a plurality of assets (stocks or stock indices) as an underlying asset and an option in which the maximum or minimum value of the prices of the plurality of assets is the underlying asset. Considering European options (exercise date only) among those traded in the free market, there are basket options as options based on a portfolio combining multiple assets, and the price among multiple assets There is a rainbow option that has the largest or smallest asset as the underlying asset. Pricing for European basket options and rainbow options is assessed as follows.
[0004]
The basket option is calculated by calculating the weighted arithmetic mean S of multiple asset prices at option expiration T_aveThis is an option whose payoff depends on (T). The price of each asset at the time of option expiration is S_i(T) and the weight when taking the arithmetic mean is a_iAnd there are N assets,
(Equation 1)

Becomes At this time, the payoff for the basket call option is
(Equation 2)

The basket put option payoff is
(Equation 3)

Can be expressed as Here, max [a, b] is a definition function that takes the maximum value of a and b.
[0005]
The price c of the basket call option and the price p of the basket put option are given by the following equations (4) and (5).
[0006]
(Equation 4)

Here, E hat [...] represents an expected value based on a risk-neutral probability measure, r represents a risk-free interest rate, T represents a period until maturity, and K represents an exercise price.
[0007]
Traditionally, this option is priced by the Monte Carlo method as follows. First, assuming a Black-Scholes type geometric Brownian motion model (a model in which the underlying asset price spreads with respect to the logarithm of the price) for the price of each asset, an expiration T = M · Trial path for N asset price fluctuations up to Δt
(Equation 5)

Generate. here,
(Equation 6)

The subscript i indicates the i-th asset, j indicates the time segmented by Δt, and the superscript k indicates the k-th trial.
[0008]
In this case, since the prices of the N assets fluctuate with a correlation, a single trial will generate a set of trial paths for price fluctuations of the N assets.
[0009]
Next, the weighted arithmetic mean of the N asset prices for each trial
(Equation 7)

Is obtained, and the following formulas (7) and (8) are calculated.
[0010]
(Equation 8)

Here, L is the number of trials.
[0011]
A rainbow option is an option whose payoff depends on the maximum or minimum price among a plurality of assets at the option expiration T. The price of each asset at the time of option expiration is S_i(T) and if there are N assets, the payoff for the Rainbow Call on Max option is:
(Equation 9)

The payoff for the Rainbow Put on Max option is
(Equation 10)

The payoff for the Rainbow Call on Minimum Option is
[Equation 11]

The rainbow put on minimum option payoff is
(Equation 12)

Can be expressed as Here, max [...] is a definition function that takes the maximum value of each asset, and min [...] is a definition function that takes the minimum value of each asset.
[0012]
The price of Rainbow Call on Max Option is
(Equation 13)

And the price of the rainbow put on max option is
[Equation 14]

And the price of the rainbow call on minimum option is
[Equation 15]

And the rainbow put on minimum option payoff is
(Equation 16)

Given by Here, E hat [...] represents an expected value based on a risk-neutral probability measure, r represents a risk-free interest rate, T represents a period until maturity, and K represents an exercise price.
[0013]
Traditionally, this option is priced by the Monte Carlo method as follows. First, assuming a Black-Scholes type geometric Brownian motion model (a model in which the asset price spreads with respect to the logarithm of the price) for the price of each asset, expiration T = M · Δt at time interval Δt from time t = 0. Trial path for N asset price fluctuations up to
[Equation 17]

Generate. here,
(Equation 18)

The subscript i indicates the ith asset, j indicates the time segmented by Δt, and k indicates the k-th trial. In this case, since the prices of the N assets fluctuate with a correlation, a single trial will generate a set of trial paths for price fluctuations of the N assets.
[0014]
Next, it is obtained by calculating the following expressions (17) to (20) for N asset prices for each trial.
[0015]
[Equation 19]

Here, L is the number of trials.
[0016]
Next, a conventional method of generating a trial path of price fluctuation of N assets in financial engineering will be described. In conventional financial engineering, the price S of N assets_i(I = 1, 2,..., N) are assumed to undergo geometric Brownian motion according to the Ito process of the following equation (21) with correlation.
[0017]
(Equation 20)

Where ψ_iIs the expected growth rate, t is the time, ξ_i(V) is a multidimensional normal random number having an expected value of 0 and based on the covariance matrix V. Since these random numbers take into account the correlation, for example, if all of them have a positive correlation, if one random number is positive, all positive random numbers are likely to appear. In addition, if one random number is large, it is easy for all random numbers to generate a large random number in accordance with the magnitude of the correlation coefficient.
[0018]
Given the risk neutrality, the price S of N assets_i(I = 1, 2,..., N) undergo geometric Brownian motion according to the following equation (22).
[0019]
(Equation 21)

Here, r is a risk-free interest rate.
[0020]
A trial path for price fluctuation of N assets can be generated by Expression (22) if a correlated multidimensional normal random number based on the covariance matrix V is generated.
[0021]
Next, a method for generating multidimensional normal random numbers will be described in detail. When the N-dimensional normal distribution is represented by a matrix and a vector, it is as shown in Expression (23).
[0022]
(Equation 22)

Here, μ is an expected value, V is a covariance matrix, and 分 det (V) of the denominator is a determinant of the covariance matrix V.
[0023]
Equation (23) is rearranged, and only the deviation from the expected value is used as a random variable. That is,
[Equation 23]

far. Then, equation (23) becomes
(Equation 24)

Becomes The components of the covariance matrix V are
(Equation 25)

And the character must be a real symmetric matrix whose eigenvalues are all positive. Also, from the characteristics of the statistical average,
(Equation 26)

Becomes The covariance matrix V is represented by the standard deviation (volatility) σ_iAnd the correlation coefficient ρ_ijIs expressed as follows.
[0024]
[Equation 27]

Here, the matrix の in the equation (28) is a volatility matrix, the matrix X in the equation (28) is a correlation coefficient matrix, and is expressed by the following equations (29) and (30).
[0025]
[Equation 28]

Since the covariance matrix V is a real symmetric matrix with positive eigenvalues,
(Equation 29)

There is a relationship. Where Q is an orthogonal matrix,
[Equation 30]

Becomes Λ is a diagonal matrix in which eigenvalues are arranged on diagonal components and non-diagonal components are all 0. Since all eigenvalues are positive, Λ
(Equation 31)

It can be expressed as. From this, the covariance matrix V is represented by its square root matrix V^1/2To
(Equation 32)

It can be seen that can be defined by.
[0026]
The inverse of the covariance matrix V is
[Equation 33]

And the square root matrix of the inverse of V is
(Equation 34)

Becomes Therefore, equation (25) becomes
(Equation 35)

Becomes here,
[Equation 36]

After all,
(37)

Which is simply the product of the standard normal distribution. Therefore, if a vector Y composed of N standard normal random numbers is created, a multidimensional normal random number X whose correlation is defined by a covariance matrix V becomes
[Equation 38]

Can be created. This is a method for generating a correlated random number.
[0027]
The relationship in equation (40) does not apply only to the normal distribution. When N random numbers according to the designated probability density are generated, if the covariance matrix V is given, a random number having correlation can be generated according to the equation (40). There are several calculation methods of this equation (40). At present, a method generally used in financial engineering is a triangular matrix decomposition by the Cholesky method. A square real matrix V whose eigenvalues are all positive and symmetric is
[Equation 39]

The lower triangular matrix L and its transpose L^TAnd the product of This follows the notation of equation (40):
(Equation 40)

Becomes Therefore, for a vector Y composed of N independent random numbers,
(Equation 41)

The components of the vector X generated by are random numbers correlated with the covariance matrix V. The Cholesky method is the most efficient way to create the lower triangular matrix L. In the Cholesky method, each component of the lower triangular matrix L can be sequentially calculated by Expression (44).
[0028]
(Equation 42)

Conventionally, the following multidimensional normal random number sequence X in consideration of the correlation is generated as described above, and a trial path for price fluctuation of N assets is generated by Expression (22).
[0029]
[Equation 43]

Then, using them, the formulas (7), (8), and (17) to (20) are calculated to evaluate the prices of the European basket option and the rainbow option.
[0030]
The price evaluation of the basket option and the rainbow option based on the above-mentioned Black-Scholes-type geometric Brownian motion model is based on the standard deviation (volatility) matrix Σ and the correlation coefficient matrix X as time t and price S of each asset._iIs assumed to be constant with respect to Therefore, the pricing of basket options and rainbow options above assumes a static market where the market behaves consistently regardless of time and price.
[0031]
However, the real market is perceived to change with time and price. FIG. 1 shows a price fluctuation rate C1 for one asset predicted by the geometric Brownian motion model and a fluctuation rate (daily rate of return) C2 of one typical closing price of a stock price. Although they have the same volatility, price fluctuations are very different. In the geometric Brownian motion model C1, a large price fluctuation is hardly observed, whereas the actual price fluctuates greatly as shown by a curve C2. Therefore, a plain vanilla option with one stock price as an underlying asset (a plain vanilla option if the underlying asset of a basket option and a rainbow option is changed from a plurality of assets to an asset) becomes a plain vanilla motion model It is difficult at present.
[0032]
A stock index, such as the Nikkei 225, has a modified stock price average of many stocks, which is slower than the movement of stock prices of individual stocks. However, even if the average of 225 brands is taken, as shown in FIG. 2, it can be seen that the fluctuation of the daily rate of return C3 is different from the geometric Brownian motion model (curve C1 in FIG. 1). Comparing this with the daily rate of return C2 of the individual issue in FIG. 1, it is essentially the same as the individual issue except that the magnitude of the change is small. Therefore, at present, it is difficult to evaluate a plain vanilla option using one stock price index as an underlying asset using a geometric Brownian motion model.
[0033]
Not only plain vanilla options with one asset as the underlying asset, but also basket options, which are options with a portfolio that combines multiple assets as the underlying asset, and the underlying asset with the largest or smallest price among multiple assets At present, it is difficult to evaluate the rainbow option, which is an option, by using the geometric Brownian motion model.
[0034]
Another approach to pricing basket options and rainbow options is as follows. The mechanism by which the real market changes with time and price and becomes difficult to evaluate with a geometric Brownian motion model is unclear, but according to many empirical studies, the probability of actual price fluctuations is It is considered that the main factor is that the portion where the price fluctuation is smaller than the assumed normal distribution is sharp (Leptokurity), and the skirt spreads (Fat-Tail) in the portion where the price fluctuation is large.
[0035]
FIG. 3 shows an example of one asset. In FIG. 3, the mark 21 indicating the actual daily rate of return is sharper at the center than the normal distribution C <b> 4, and the tail is wider. According to such a daily rate of return distribution, the price distribution has a smaller probability density spread (volatility) around a relative price of 1 and a relative price smaller than the lognormal distribution used in the geometric Brownian motion model. The volatility of the probability density in the region much smaller than 1 and the region much larger than 1 is larger than the lognormal distribution.
[0036]
The Fat-Tail of this price fluctuation distribution corresponds to a large price fluctuation that sometimes occurs in the actual price fluctuations C2 and C3 shown in FIGS. As models taking these factors into account, there are two types of models: a jump model in which a Fat-Tail is generated independently in a stochastic process completely different from a normal distribution, and a stochastic volatility model in which the standard deviation (volatility) of the normal distribution fluctuates with time. From the standpoint of determining the option price based on the behavior of the underlying asset price, which is the basis of current financial engineering, it is conceivable to use these to evaluate the price of basket options and rainbow options. However, the jump model assumes discontinuous price changes, and the stochastic volatility model is essentially a nonlinear problem. Therefore, a risk-neutral probability measure cannot be uniquely obtained. As a result, there is a difficulty that the option price evaluation formulas of Expressions (4), (5), and (13) to (16) cannot be applied to these models.
[0037]
On the other hand, in the premium evaluation system of an insurance company or a reinsurance company, conventionally, the premium distribution is assumed on the assumption that the probability distribution of the insurance amount (loss amount) per unit time is a lognormal distribution or a Pareto distribution. It is common to calculate the premium for one insurance risk or the premium for a portfolio of multiple insurance risks according to the calculation principle.
[0038]
A conventional method for evaluating insurance premiums for one insurance risk or a portfolio of insurance risks will be described. The insurance premium calculation principle is defined as a functional H from a random variable S representing the total amount of insurance money (loss) per unit time to a real number called insurance premium c per unit time,
[Equation 44]

Becomes Several types of functional H have been proposed.
[0039]
The simplest is
[Equation 45]

Is the principle of net premiums. Here, E [...] indicates that an expected value is taken.
[0040]
However, it is known that the insurance business itself will not be established because this principle will cause an insurance company to go bankrupt someday. Therefore, there is a principle of introducing some additional premiums based on the net premiums. For example, in the quantile principle focusing on the percentile value as in the case of value at risk (VaR),
[Equation 46]

And Here, S follows the distribution F,
[Equation 47]

It is. inf ｛x∈R: A｝ is the lower limit of x under the condition that the event A is satisfied, and inf ｛x∈R: F (x) ≧ y｝ represents the 100y% quantile of the distribution F . If δ = 0.05, the premium is equal to the top 5% loss.
[0041]
Conventionally, log normal distribution or Pareto distribution has been used as insurance amount distribution F. However, the probability density distribution of the actual insurance amount (loss amount) is sharper near the average value of the insurance amount (Leptokurity) than the log-normal distribution, and spreads in a region where the insurance amount is large and a region where the insurance amount is small ( Fat-Tail). Therefore, if the lognormal distribution is used as the probability distribution of the insurance amount and the percentile value of the higher loss amount (for example, the upper 1% loss amount) is defined as the insurance premium according to the quantile principle, the insurance premium is underestimated. Will be lost. On the other hand, even if the Pareto distribution is used as the probability distribution of the insurance amount, the following difficulty occurs. The Pareto distribution is defined above a certain insurance amount, has one parameter, and the probability density decreases monotonically with the increase in insurance amount. It is not possible to reproduce a distribution where the probability density of the region is large and a local maximum exists. Therefore, using the Pareto distribution as the probability distribution of the insurance amount and using the percentile value of the higher loss amount (for example, the upper 1% loss amount) as the insurance premium according to the quantile principle, the insurance premium is calculated to be too large or too small. Will be.
[0042]
[Problems to be solved by the invention]
The above-described conventional price valuation method for an option that uses a portfolio combining a plurality of assets (stocks and stock indices) as an underlying asset and an option that uses the maximum or minimum value of the prices of a plurality of assets as an underlying asset is often used. However, the accuracy of the price evaluation was limited, and it was not possible to make a sufficiently reliable evaluation. This is because, in the conventional option price evaluation method described above, the probability of the actual price fluctuation is sharper in a portion where the price fluctuation is smaller than the normal distribution assumed in the conventional geometric Brownian motion model (Leptokurcity), and the price This is because the probability of occurrence of a particularly large price change was underestimated because the skirt spread (Fat-Tail) in a portion where the change was large. Although such large price fluctuations have a low probability of occurrence, they have a large impact on investment risk that cannot be compared with ordinary price fluctuations. In other words, it is not a reliable option valuation method.
[0043]
For this reason, a probability density function that is more accurate than the normal distribution has been introduced, and options and multiple options that use a portfolio that combines multiple assets (stocks and stock indices) with little available transaction data in the available markets have been introduced. There has been a demand for a system that can correctly evaluate the price of an option that uses the maximum or minimum value of the asset as an underlying asset, by clarifying the basis for price presentation.
[0044]
In addition, the above-described method of evaluating insurance premiums for one insurance risk or a portfolio of insurance risks is often used, but the accuracy of the insurance premium evaluation is limited, and it is difficult to perform evaluations that are sufficiently reliable. could not. This is because, in the conventional insurance risk premium evaluation method described above, the probability density distribution of the actual insurance amount (loss amount) is sharper near the average value of the insurance amount than the log-normal distribution conventionally assumed. This is because the probability of occurrence of a particularly large insurance amount has been underestimated because the footprint (Fat-Tail) has been widened between a region with a large insurance amount and a region with a large insurance amount.
[0045]
In addition, it is not possible to reproduce a distribution in which the Pareto distribution conventionally assumed is such that the probability density in the middle region is larger than the region where the insurance amount is large and the local maximum value is larger than the region where the insurance amount is small, like the probability density distribution of the actual insurance amount. This is because the probability that a particularly large insurance amount will occur is underestimated or overestimated. The probability that such a large insurance amount will occur will have a large effect on the assessment of insurance premiums, although the probability of occurrence is low, so if the probability that this insurance amount would occur in practice cannot be correctly assessed, It is not a reliable premium evaluation method.
[0046]
Therefore, the emergence of a system that can introduce a probability density function that is more accurate than conventionally widely used lognormal distribution or Pareto distribution and that can correctly evaluate the premium of one insurance risk or a portfolio of multiple insurance risks is desired. I was
[0047]
The present invention has been made in order to solve the above-mentioned conventional technical problem, and has been made in consideration of an option and a plurality of assets each having a portfolio that combines a plurality of assets having almost no transaction performance data in a usable market as an underlying asset. A calculation engine (Boltzmann calculation engine) that applies nuclear reactor theory to the financial field in options that use the maximum or minimum price as the underlying asset, instead of the limited methods based on conventional general theory. To provide dealers and traders with significant theoretical prices for options based on portfolios combining multiple assets and options based on the maximum or minimum value of the prices of multiple assets. The purpose is to provide a dealing system and a dealing program.
[0048]
The present invention also provides a calculation engine (Boltzmann) that applies nuclear reactor theory to the insurance field in place of a limited method based on conventional general theory in one insurance risk or a portfolio of insurance risks. A premium valuation system and a premium valuation program that can provide significant theoretical premiums for one or more portfolios of insurance risk for insurance companies and reinsurers with a calculation engine). With the goal.
[0049]
[Means for Solving the Problems]
The Boltzmann model calculation engine for option prices according to the first aspect of the present invention includes a parameter setting unit for setting necessary parameters, an evaluation condition setting unit for setting evaluation conditions, and solving a Boltzmann model by the Monte Carlo method to calculate the price of a plurality of assets. A Boltzmann model calculation unit that generates a variable path and calculates the price of an option that satisfies the evaluation condition and that depends on a plurality of asset prices.
[0050]
The Boltzmann calculation engine for option prices according to the first aspect of the present invention uses the Boltzmann model of financial engineering for price evaluation of options depending on a plurality of asset prices, and uses the linear Boltzmann equation for Leptocurity and Fat-tail of price fluctuation distribution. To define a risk-neutral and unique probability measure. As a result, it is possible to calculate a risk-neutral and unique option price in consideration of Leptokurity and Fat-tail of the price fluctuation distribution.
[0051]
The Boltzmann model calculation engine for insurance according to the second aspect of the present invention includes a parameter setting unit for setting necessary parameters, an evaluation condition setting unit for setting evaluation conditions, and solving a Boltzmann model by the Monte Carlo method. A Boltzmann model calculation unit that generates a loss probability distribution of a plurality of insurance risk portfolios and calculates premiums of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios that satisfy the evaluation condition. .
[0052]
In the Boltzmann model calculation engine for insurance according to claim 2, the Boltzmann model of financial engineering is used for evaluating the insurance premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks, and the insurance amount (loss amount) is calculated by a linear Boltzmann equation. And the characteristics of Fat-tail of the probability distribution of. As a result, it is possible to calculate the insurance premium in consideration of Leptokurcity and Fat-tail of the probability distribution of the insurance money (loss). Therefore, the accuracy of the calculation of the insurance premium can be improved.
[0053]
The invention according to claim 3 is a dealing system comprising an option price Boltzmann calculation engine and a dealing terminal for displaying a calculation result of the option price Boltzmann calculation engine, wherein the option price Boltzmann calculation engine is provided. Is a parameter setting unit that sets necessary parameters, an evaluation condition setting unit that sets evaluation conditions, and solves Boltzmann model by Monte Carlo method, generates a price fluctuation path of multiple assets, and depends on multiple asset prices A Boltzmann model calculation unit that calculates the price of an option that satisfies the evaluation condition, wherein the dealing terminal displays the price of the option that depends on a plurality of asset prices calculated by the Boltzmann model calculation engine for option price. It is characterized by doing.
[0054]
In the dealing system according to the third aspect of the present invention, the Boltzmann model of financial engineering is used for price evaluation of options depending on a plurality of asset prices, and the features of Leptokurity and Fat-tail of the price fluctuation distribution are expressed by a linear Boltzmann equation. This defines a risk-neutral and unique probability measure. As a result, a risk-neutral and unique option price evaluation that takes into account Leptokurity and Fat-tail of the price fluctuation distribution is enabled. For options that depend on multiple asset prices for which there is little market performance data available, determine the Boltzmann model parameters for each asset and check for consistency with each asset's daily rate of return. Option prices can be evaluated by clarifying the basis for the presentation.
[0055]
According to a fourth aspect of the present invention, in the dealing system according to the third aspect, the Boltzmann model calculation engine includes an option for relying on a plurality of asset prices that is consistent with historical information of the plurality of assets based on market data. It has a function of calculating a price.
[0056]
The invention according to claim 5 is characterized in that, in the dealing system according to claim 3 or 4, the option depending on the plurality of asset prices is an option whose underlying asset is a portfolio combining a plurality of assets. In the case of options where the underlying asset is a portfolio that combines multiple assets with little available transaction performance data in the available market, the parameters of the Boltzmann model for each asset are determined and matched with the daily rate of return of each asset By confirming the property, the basis for price presentation can be clarified and option prices can be evaluated.
[0057]
According to a sixth aspect of the present invention, in the dealing system according to the third or fourth aspect, the option that depends on a plurality of asset prices is an option that uses the largest or smallest one of the plurality of assets as an underlying asset. Determines the parameters of the Boltzmann model of each asset in options where the underlying asset is the largest or smallest among multiple assets with little available transaction data in the available market Then, by confirming the consistency of each asset with the daily rate of return, it is possible to clarify the basis for price presentation and evaluate the option price.
[0058]
According to a seventh aspect of the present invention, there is provided a dealing program which sets a necessary parameter, sets an evaluation condition, solves a Boltzmann model by a Monte Carlo method, generates a price fluctuation path of a plurality of assets, and The present invention is characterized by causing a computer to execute a process of calculating the price of an option that satisfies the evaluation condition, which depends on an asset price, and a process of displaying the price of the option that depends on a plurality of calculated asset prices. .
[0059]
In the dealing program according to the seventh aspect of the present invention, a Boltzmann model is solved by the Monte Carlo method, a price fluctuation path of a plurality of assets is generated, and a plurality of options prices dependent on a plurality of asset prices are calculated. By displaying the price of the option depending on the asset price, the dealing system according to the third aspect of the present invention can be constructed.
[0060]
According to an eighth aspect of the present invention, in the dealing program of the seventh aspect, a price of an option that depends on a plurality of asset prices that is consistent with historical information of a plurality of assets based on market data is calculated. By incorporating this dealing program into a computer, the dealing system according to the fourth aspect of the present invention can be constructed.
[0061]
According to a ninth aspect of the present invention, in the dealing program according to the seventh or eighth aspect, the option depending on the plurality of asset prices is an option using a portfolio combining a plurality of assets as an underlying asset. By incorporating this dealing program into a computer, the dealing system according to the fifth aspect of the present invention can be constructed.
[0062]
According to a tenth aspect of the present invention, in the dealing program according to the seventh or eighth aspect, the option depending on the plurality of asset prices is an option that uses the largest or smallest one of the plurality of assets as an underlying asset. The dealing system according to the sixth aspect of the present invention can be constructed by incorporating this dealing program into a computer.
[0063]
The invention of claim 11 is an insurance Boltzmann model calculation engine, an insurance evaluation terminal that displays the insurance premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks calculated by the insurance Boltzmann model calculation engine, The premium Boltzmann model calculation engine, comprising: a parameter setting unit for setting necessary parameters, an evaluation condition setting unit for setting evaluation conditions, and a Boltzmann model by a Monte Carlo method. A Boltzmann model calculation unit that generates a loss probability distribution of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios and calculates premiums of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios that satisfy the evaluation condition It is characterized by having the following.
[0064]
According to a twelfth aspect of the present invention, in the insurance premium evaluation system according to the eleventh aspect, the Boltzmann model calculation engine for a premium includes a loss probability distribution based on past loss data of one insurance risk or a plurality of insurance risks. It is characterized by having a function of calculating insurance premiums that maintain consistency.
[0065]
In the insurance premium evaluation system of claims 11 and 12, the Boltzmann model of financial engineering is used for evaluation of insurance premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks, and the insurance amount (loss) is calculated by a linear Boltzmann equation. It represents the features of Leptokurity and Fat-tail of the probability distribution. As a result, it is possible to evaluate insurance premiums in consideration of Leptokurcity and Fat-tail of the probability distribution of the insurance amount (loss amount). Therefore, the accuracy of the calculation of the insurance premium can be improved.
[0066]
The insurance premium evaluation program according to the invention of claim 13 includes a process of setting necessary parameters, a process of setting evaluation conditions, and solving a Boltzmann model by a Monte Carlo method, and the loss of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks. Generating a value probability distribution and calculating insurance premiums of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios satisfying the evaluation condition; and calculating the calculated insurance premiums of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios And causing the computer to execute the process of displaying.
[0067]
According to the premium evaluation program of the invention of claim 13, the Boltzmann model is solved by the Monte Carlo method, a loss probability distribution of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks is generated, and one insurance risk or a plurality of insurance risks is calculated. The insurance premium evaluation system according to the eleventh aspect of the present invention can be constructed by calculating the insurance premiums of the portfolio of (i) and displaying the calculated insurance premiums of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks.
[0068]
According to a fourteenth aspect of the present invention, in the insurance premium evaluation program of the thirteenth aspect, an insurance premium that maintains consistency with a loss probability distribution based on past loss data of one insurance risk or a plurality of insurance risks is calculated. The insurance premium evaluation system according to the twelfth aspect of the present invention can be constructed by incorporating this dealing program into a computer.
[0069]
BEST MODE FOR CARRYING OUT THE INVENTION
Hereinafter, embodiments of the present invention will be described in detail. First, use the Boltzmann model to evaluate options that use a portfolio that combines multiple assets (stocks and stock indices) as the underlying asset and options that use the largest or smallest asset among the multiple assets as the underlying asset. The actual method will be described. Considering European options (exercise date only) among those traded in the free market, there are basket options as options based on a portfolio combining multiple assets, and the price among multiple assets There is a rainbow option that has the largest or smallest asset as the underlying asset. The prices of the European basket option and the rainbow option can be evaluated using the Boltzmann model as follows.
[0070]
The basket option can be priced as follows by the Monte Carlo method, which is the basic solution of the Boltzmann model. First, a trial path of N asset price fluctuations from time t = 0 according to the Boltzmann model to maturity T = M · Δt at time interval Δt
[Equation 48]

Generate. here,
[Equation 49]

The subscript i indicates the ith asset, j indicates the time segmented by Δt, and k indicates the k-th trial. In this case, since the prices of the N assets fluctuate with a correlation, a single trial will generate a set of trial paths for price fluctuations of the N assets.
[0071]
Next, the weighted arithmetic average of the N asset prices is obtained by equation (6) for each trial, and then calculated by equations (7) and (8).
[0072]
The rainbow option can be priced by the Monte Carlo method, which is the basic solution of the Boltzmann model, as follows. First, a trial path of N asset price fluctuations from time t = 0 according to the Boltzmann model to maturity T = M · Δt at time interval Δt
[Equation 50]

Generate. here,
(Equation 51)

The subscript i indicates the ith asset, j indicates the time segmented by Δt, and k indicates the k-th trial. In this case, since the prices of the N assets fluctuate with a correlation, a single trial will generate a set of trial paths for price fluctuations of the N assets.
[0073]
Next, it is obtained by calculating the expressions (17) to (20) for N asset prices for each trial.
[0074]
The method of generating a trial path for price fluctuations of N assets according to the Boltzmann model is based on a conventional Black-Scholes-type geometric Brownian motion model (a model in which the asset price spreads with respect to the logarithm of the price) for the price of each asset. different. The details will be described. In the Boltzmann model, each asset price S_iRisk-neutral probability measure P_i(S_i, T) is obtained by combining N financial Boltzmann equations simultaneously as in equation (45) and calculating the scattering kernel of each equation.
(Equation 52)

By taking into account the correlation between
[0075]
[Equation 53]

here,
(Equation 54)

Where t is time, r is risk-free interest rate, ν_iIs the daily rate of return of the ith asset, μ_iIs the direction of price change of the i-th asset, S_i(0) is the i-th asset price at t = 0. Also, Λ_{T , i}(S_i, Ν_i) Is the collision frequency which means the probability of price change per unit time of the i-th asset. further,
[Equation 55]

Is the scatter kernel of the i-th asset, this term introduces the market's memory effect on price and takes into account the effects of past information.
[0076]
[Equation 56]

In the original paper "Yuji @ Uenohara @ and @ Ritsuo @ Yoshioka," "Boltzmann @ Model @ in @ Finance @ Technology" @ Proc. @ Of @ 5th @ International.J., Ep.
[Equation 57]

When,
[Equation 58]

With the product
[Equation 59]

And given by However,
[Equation 60]

Has the same form as the evaporation spectrum, which represents the neutron spectrum emitted by the nuclear reaction,
[Equation 61]

Is assumed. Where ν_iIs the daily rate of return on the day, ν_i′ Is the previous day's daily rate of return, and the temperature T_i(Ν_i) Is ν of the following equation (49)_iSuppose a quadratic equation for
[0077]
(Equation 62)

Where T_0i, C_0i, G_0iIs a constant.
[0078]
[Equation 63]

Is always assumed to be 0.5.
[0079]
[Equation 64]

In the meantime,
[Equation 65]

There is a relationship.
[0080]
A trial path of N asset price fluctuations from the simultaneous financial Boltzmann equation to the maturity T = M · Δt at time interval Δt and time interval Δt from the time t = 0
[Equation 66]

Is generated by using a random number sequence of the daily rate of return according to the daily rate of return distribution in consideration of the correlation of N assets.
[Equation 67]

Need to occur. The method will be described below.
[0081]
In the Boltzmann model, the function of the daily rate of return distribution is not given in advance. The scattering kernel used in the Boltzmann model is a Γ-function and not a normal distribution. Final daily rate of return distribution φ_i(Ν_i) Are properties that can be found only after simulation, and do not have a normal distribution. In the Boltzmann model, the scattering kernel parameter T_i(Ν_i),
[Equation 68]

Give in.
[0082]
c_0i= 0, g_0iOnly when = 0 can the daily return distribution be given in advance,
[Equation 69]

First, this case will be described. At this time, x_i= V_i/ T_0iWith the conversion of
[Equation 70]

Random sequence according to
[Equation 71]

And generate
[Equation 72]

Sequence of random numbers
[Equation 73]

Has a covariance matrix V.
[0083]
This covariance matrix V can be represented by the product of the lower triangular matrix L by Cholesky decomposition, and the standard deviation (volatility) σ_iAnd the correlation coefficient ρ_ijV is represented as follows.
[0084]
[Equation 74]

here,
[Equation 75]

Is the volatility matrix,
[Equation 76]

Is a correlation coefficient matrix.
[0085]
In a general financial engineering problem, a volatility matrix Σ and a correlation coefficient matrix X are given, and it is required to generate random numbers so as to reproduce these. c₀= 0, g₀= 0, the volatility σ_iAnd T_0iIn between,
[Equation 77]

Holds, σ_iTo T_0iCan be requested.
[0086]
Using the equation (54), a random number sequence of the daily rate of return according to the daily rate of return distribution considering the correlation of N assets
[Equation 78]

Can be generated.
[0087]
c_0i= 0, g_0iWhen = 0, it is easy to introduce a concept such as a standard normal random number having an average value of 0 and a standard deviation of 1 into the implementation._0i≠ 0, g_0iT when ≠ 0_iFluctuates, so algorithms that push standard random numbers to the foreground have many problems in implementation. Therefore, it is slightly modified as follows. Until now, the covariance matrix V was directly Cholesky-decomposed, but from now on, the correlation coefficient matrix X will be Cholesky-decomposed. Then
[Expression 79]

, The correlated random number
[Equation 80]

Is
(Equation 81)

Becomes Also, a standard random number sequence without correlation
[Expression 82]

Instead of a random sequence with no correlation but different standard deviation
[Equation 83]

With,
[Equation 84]

Becomes This notation is c_0i≠ 0, g_0iSince it is effective when ≠ 0, the description of the generation of a correlated random number will follow this.
[0088]
c_0i≠ 0, g_0iIn the case of ま ず 0, first, random number generation in a case where the correlation coefficient matrix is a unit matrix (when there is no correlation) will be described. In this case, since the N random number sequences are simply generated independently, it is sufficient to describe the i-th component. Volatility is σ for the i-th_iSo that the parameter T_0i, C_0i, G_0iIt has been decided. Random number ν at time step j_ijIs determined, the random number ν of the next step j + 1_{i , j + 1}Is
[Equation 85]

It is obtained from a random number according to here,
[Equation 86]

It is.
[0089]
In this case as well, it is assumed that the occurrence probabilities of the signs ± are equal. If this procedure is performed independently for i = 1,..., N, the volatility will be σ₁,…, Σ_NUncorrelated random sequence of
[Equation 87]

Is generated. Using this, similar to equation (61),
[Equation 88]

Correlated from
[Equation 89]

Can be requested.
[0090]
As described above, the random number sequence of the correlated return rate according to the daily return rate distribution in consideration of the correlation of the N assets
[Equation 90]

Or a random sequence of uncorrelated returns
(Equation 91)

From time t = 0 to expiration T = M · Δt.
[0091]
This random number sequence
[Equation 92]

Or a random number sequence
[Equation 93]

Using the Boltzmann model described in detail in JP-A-2001-67409 and JP-A-2002-32564, which are prior applications of the inventors, to generate a trial path for price fluctuation of one asset. If used, a trial path of N asset price fluctuations from time t = 0 to expiration T = M · Δt at time interval Δt
[Equation 94]

Can be generated.
[0092]
As a method of generating a trial path of price fluctuation of one asset by the Boltzmann model, a method described in JP-A-2001-67409 and JP-A-2002-32564 is used.
[0093]
The Boltzmann model is used for valuing options that use the portfolio that combines these multiple assets as the underlying asset and options that use the largest or smallest asset among the multiple assets as the underlying asset. Evaluate option prices without data. This is because Japanese Patent Application Laid-Open Nos. 2001-67409 and 2002-32564, and the original paper "Yuji @ Uenohara @ and @ Ritsuo @ Yoshioka," "Boltzmann \ Model \ in \ Financial \ Technology \ Principal Innovation. As described in detail in JAFEE, August 28, 1999, Japan, pp. 18-37, the daily rate of return evaluated by the Boltzmann model can be made to match the daily rate of return of the underlying asset. This is because the option price can be evaluated based on the behavior of the underlying asset even without transaction data. Therefore, it is not possible to evaluate the value of an option whose underlying asset is a portfolio that combines multiple assets, for which there is currently little transaction data available, and an option whose underlying asset is the largest or the smallest of multiple assets. The method using the Boltzmann model can be said to be the most effective method.
[0094]
One of the features of the Boltzmann model is the consideration of the market dependence of price fluctuations.
[0095]
Market dependence is a large fluctuation in prices. The original paper of the Boltzmann model recommends the evaporation spectrum equation (48), which is a modification of the Maxwell distribution, to the daily rate of return distribution in order to consider Leptokurcity and Fat-Tail.
[0096]
The Boltzmann model can take into account the correlation between the price change of the underlying asset and the previous change. The Boltzmann model asserts that in the case of the closing price, a clear market dependence is seen between the daily rate of return v 'of the previous day and the daily rate of return v of the day via the temperature T. I have. According to this, the temperature T shows a quadratic trend shown in the equation (49) with respect to the previous day's daily rate of return v '.
[0097]
Japanese Patent Application Laid-Open No. 2002-32564 has a detailed description. The daily rate of return evaluated by the Boltzmann model in the course of the price evaluation simulation using the Boltzmann model using equation (49) is almost equal to the daily rate of return of the Nikkei Stock Average. I know it can be reproduced.
[0098]
Up to this point, an explanation has been given of the actual method of evaluating the price of an option whose underlying asset is a portfolio combining a plurality of assets and an option whose underlying asset is the largest or the smallest among a plurality of assets. Next, referring to FIGS. 4 and 5, a description will be given of a dealing system that performs a price evaluation of a basket option, which is an option using a portfolio combining a plurality of assets as an underlying asset, based on the Boltzmann model according to the first embodiment. I do.
[0099]
4 and 5 show the configuration of the dealing system 100 according to the present embodiment. The system 100 communicates with an external market database 101 to fetch market data, has the configuration shown in FIG. 4, and has a Boltzmann model calculation engine (BMM) 103 for performing basket option price evaluation using a Boltzmann model, and a basket output from the BMM 103. It comprises a dealing terminal 105 as a graphical user interface (GUI) for displaying option prices, printing out, and performing data entry.
[0100]
The Boltzmann model calculation engine (BMM) 103 has the configuration shown in FIG. 5 and includes an initial value input unit 3, an evaluation condition input unit 4, a price / change rate / change direction / correlation coefficient matrix, and a basket option compatible Boltzmann model. An analysis unit 5, a GUI 105 as an input / output device (common to FIG. 4), a total cross section / stochastic process input unit 6, a speed distribution / direction distribution input unit 7, and a random number generation unit 8 are provided to capture necessary market data. Is connected to a market database 101.
[0101]
The basket option-compatible Boltzmann model analysis unit 5 further includes an initialization unit 11, an initial value setting unit 12, a sampling unit 13, a price fluctuation simulation unit 14 using a Boltzmann model, a trial end determination unit 15, a portfolio price calculation of a plurality of assets. It has a unit 16, an option price calculation unit 17, an all trial end determination unit 18, and an option price conversion unit 19.
[0102]
Note that this system does not mean that it is included in one computer in a physical sense. For example, a system that performs distributed processing, such as a client-server system, can be adopted as the system 100. Each element corresponds to each program that executes the process indicated by its name, and these elements are not physically incorporated in the present system. Therefore, basically, the present invention can be realized by incorporating a dealing program for executing these processing functions into one computer having a communication function.
[0103]
The initial value input unit 3 calculates the T of the expression regarding the plurality of assets to be evaluated._0i, C_0i, G_0iAnd the correlation coefficient matrix are input to the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option. This parameter is obtained from the performance data. Preferably, the initial value input unit 3 searches the market database 101 for information on a plurality of assets to be evaluated, and acquires initial values of the searched prices, price fluctuation rates, and price fluctuation directions of the plurality of assets. It is output to the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option.
[0104]
The evaluation condition input unit 4 is an element for inputting evaluation conditions of the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option. The evaluation conditions of the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option include the number of trials by the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option, a time zone to be evaluated, a price range to be evaluated, a weight when calculating an arithmetic average of a plurality of asset prices, and the like. These are the conditions for analysis. With the evaluation condition input unit 4, an evaluation condition under which a significant analysis can be performed can be set in the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option.
[0105]
The Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option is a central component of the present invention. The Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option inputs, from the initial value input unit 3, a plurality of asset prices to be evaluated, a price change rate, an initial value of the price change direction, and a T_0i, C_0i, G_0iAnd a correlation coefficient matrix, and inputting evaluation conditions such as weights for calculating an arithmetic average of a plurality of asset prices from the evaluation condition input unit 4, and using a Boltzmann model by the Monte Carlo method for a plurality of asset prices to be evaluated. This is a means for repeating the price fluctuation simulation within the range of the evaluation condition, and obtaining a weighted arithmetic average price distribution of the plurality of assets.
[0106]
The Monte Carlo method is a numerical analysis method for obtaining an exact solution of the Boltzmann equation.
[0107]
The initialization unit 11 of the Boltzmann model analysis unit 5 for basket options is means for initializing the prices, price fluctuation rates, and price fluctuation directions of a plurality of assets to be evaluated when starting the evaluation.
[0108]
The initial value setting unit 12 of the Boltzmann model analysis unit 5 for basket option sets a price, a price change rate, and an initial value of a price change direction of a plurality of assets to be evaluated based on the output of the initial value input unit 3. It is.
[0109]
The sampling unit 13 of the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option is means for determining a sampling width of the price fluctuation simulation. In the present invention, the sampling unit 13 can set the fluctuation probability per unit time of price fluctuation by the input of the total cross section / probability process input unit 6. For this reason, it is also possible to omit setting of a time grid for price fluctuation simulation, which has been considered difficult in the past. The details are described in detail in Japanese Patent Application Laid-Open No. 2001-67409, which is a prior application of the present inventors.
[0110]
The price fluctuation simulation unit 14 of the Boltzmann model analysis unit 5 for basket options is an element that simulates the next price based on the probability distribution of the speed distribution and the directional distribution from the immediately preceding price by the Monte Carlo method.
[0111]
In order to simulate price fluctuations of a plurality of assets using a Boltzmann model, the price fluctuation simulation unit 14 outputs a plurality of assets corresponding to the velocity distribution or direction distribution of variables in the Boltzmann equation of the plurality of assets from the velocity distribution / direction distribution input unit 7. Enter the price fluctuation rate or distribution of the price fluctuation direction of the asset.
[0112]
The price fluctuation simulation unit 14 inputs a random number generated by the random number generation unit 8 in order to obtain a solution of the Boltzmann equation for a plurality of assets by the Monte Carlo method.
[0113]
One trial end determination unit 15 of the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option is an element that determines whether one trial is completed. Here, “one trial” is a single price fluctuation simulation of a plurality of relevant assets from the evaluation start time to the evaluation end time. The trial end determination unit 15 can determine whether or not the trial has been completed by comparing the currently calculated time with the evaluation time zone. The condition for ending one trial is input from the evaluation condition input means 4.
[0114]
If one trial has not been completed, the processing is returned from the one trial termination determination unit 15 to the sampling unit 13 again, and the prices and probabilities of the next multiple assets are determined from the prices of the plurality of assets immediately before and the velocity distribution / direction distribution. Calculate the density.
[0115]
The portfolio price calculation unit 16 for a plurality of assets in the Boltzmann model analysis unit 5 for basket options is an element for calculating a weighted arithmetic average of a plurality of asset prices at the time of option expiration simulated by the price fluctuation simulation unit 14. An arithmetic average of a plurality of asset prices is calculated based on the weight set by the evaluation condition input unit 4. The weighted arithmetic average of a plurality of asset prices is output to the option price calculation unit 17.
[0116]
The option price calculation unit 17 of the Boltzmann model analysis unit 5 corresponding to the basket option uses the weighted arithmetic mean value of the plurality of asset prices at the time of option expiration output from the portfolio price calculation unit 16 of the plurality of assets to calculate the basket for each trial. Calculate the sum of the optional payoffs.
[0117]
The all trial end determination unit 18 of the basket option corresponding Boltzmann model analysis unit 5 is a unit that determines whether the total number of trials set by the evaluation condition input unit 4 has been reached. The total number of trials is input by the initial value input unit 3 to the all trial end determination unit 18.
[0118]
The option price conversion unit 19 of the Boltzmann model analysis unit 5 for basket options calculates and outputs the price of the basket option to be evaluated by averaging the sum of the payoffs of the options calculated by the option price calculation unit 17. It is.
[0119]
The dealing terminal 105 as a GUI is an element that outputs the progress of the processing of the present system and the final processing result, and outputs the price of the basket option to be evaluated. Note that the terminal 105 has an input function using a pointing device such as a keyboard and a mouse. The terminal 105 displays the information on a display, prints out the data using a printer, transmits the data to another system via a network, and writes the data to a storage device. It has an output function in a broad sense, including.
[0120]
The market database 101 is a database that stores information related to basket option products to be evaluated. Here, the “database” includes data systematically managed in the database, means for searching for data, and hardware for storing and managing them.
[0121]
A method of evaluating a basket option price using a portfolio of a plurality of assets as an underlying asset by the dealing system having the above system configuration will be described below.
[0122]
FIG. 6 shows three procedures from A1 to A3. Few transaction data is available for basket option valuation with a portfolio of assets as the underlying asset. However, since the daily rate of return evaluated by the Boltzmann model can be matched with the daily rate of return of each asset, basket options can be taken into account by considering the behavior of each asset and the correlation between each asset even without option trading data. We can evaluate price. Therefore, it can be said that this is the most effective method for valuing basket option prices for which little transaction data is currently available.
[0123]
In the dealing system 100 of the present embodiment, the temperature parameters of the Boltzmann model of a plurality of assets corresponding to the assets are determined in the processing step A1. Then, in processing step A2, it is checked whether the plurality of assets correspond to the daily rates of return. If the daily rates of return do not match, the process returns to processing step A1 and the parameters are reviewed. If they match, the matching with the market price dependence is confirmed in processing step A3. If they match, it is input to the initial value input unit 3. If they do not match, the process returns to processing step A1, the temperature parameters are reviewed, and the above processing is repeated. In this case, too, it is rare that a clear market dependence is actually observed. Therefore, the flow from the processing steps A2 to A3 (broken line with an arrow in FIG. 6) is often the final means.
[0124]
FIGS. 7 and 8 show examples of basket option price evaluation. FIG. 7 shows the option price of the basket call. The horizontal axis shows the ratio between the strike price and the underlying asset price, and the vertical axis shows the ratio between the call option price and the underlying asset price. FIG. 8 shows option prices of basket puts. The horizontal axis shows the ratio between the strike price and the underlying asset price, and the vertical axis shows the ratio between the put option price and the underlying asset price. 7 and 8, solid lines C21 and C31 are evaluation prices based on the Boltzmann model. The broken lines C22 and C32 are based on the Black-Scholes type geometric Brownian motion model.
[0125]
From FIG. 7, the Black-Scholes model overestimates the price of basket calls at at the money (the area where the strike price is almost equal to the price of the underlying asset), and the deep out the money compared to the Boltzmann model. It can be seen that the exercise price is underestimated in the area where the exercise price is much larger than the underlying asset price. From FIG. 8, it can be seen that the Black-Scholes model overestimates the price of basket puts at at the money and underestimates deep out the money as compared to the Boltzmann model. As described above, the difference in the valuation price between the Boltzmann model and the Black-Scholes model is that the Boltzmann model makes the actual underlying asset price distribution relative to the lognormal distribution assumed by the Black-Scholes model relative to the relative price. Is small and sharp (Leptokurity) in the probability density around 1 and the volatility of the probability density in the region where the relative price is considerably smaller than 1 and the region where the relative price is considerably larger than 1 is increased and the skirt spread ( This is because the effect of “Fat-Tail” has been introduced. In this calculation example, in the past, in basket calls and basket puts, the option purchaser was at risk of purchasing at the money at a high price, and the option seller was selling deep out the money at a low price However, these risks can be reduced and losses can be reduced.
[0126]
Next, a description will be given of a basket option price evaluation method by the above-described dealing system 100 that maintains consistency with historical information based on the Boltzmann model. The Boltzmann model can evaluate the price of a basket option whose underlying asset is a portfolio of multiple assets, while maintaining consistency with historical information of multiple assets. This feature has the advantage that the basis for offering option prices can be clarified when trading. In the consulting business of trading and basket option pricing, the impact of price valuation goes beyond just the party who priced it. Therefore, experience and intuition are not enough, and a reasonable basis for pricing is required.
[0127]
The market is so uncertain that arbitrary decisions based on experience and intuition are not completely eliminated. However, if these judgments are supported by other information, the action will be based on reasonable grounds. Given that the basics of current financial engineering are that the option price is determined from the behavior of the underlying asset price, the Boltzmann model maintains consistency with the historical information of the underlying asset, asserting the rationality of price valuation This is a great basis.
[0128]
Next, in FIG. 4 and FIG. 9, based on the Boltzmann model according to the second embodiment, the valuation of the rainbow option, which is an option having a maximum or minimum price among a plurality of assets as an underlying asset, is performed. The dealing system to be performed will be described. 4 and 9 show the configuration of the dealing system 100 according to the present embodiment. The system 100 communicates with an external market database 101 to fetch market data, has the configuration shown in FIG. 4, and has a Boltzmann model calculation engine (BMM) 103 for performing rainbow option price evaluation using a Boltzmann model, and a basket output from the BMM 103. It comprises a dealing terminal 105 as a graphical user interface (GUI) for displaying option prices, printing out, and performing data entry.
[0129]
The Boltzmann model calculation engine (BMM) 103 has the configuration shown in FIG. 9 and includes an initial value input unit 3 for price / rate of change / direction of change, an evaluation condition input unit 4, a Boltzmann model analysis unit 205 for rainbow options, and an input unit. A market database 101 for acquiring necessary market data, including a GUI 105 (common to FIG. 4) as an output device, a total cross section / stochastic process input unit 6, a speed distribution / direction distribution input unit 7, and a random number generation unit 8. Is connected to
[0130]
The rainbow option-compatible Boltzmann model analysis unit 205 further includes an initialization unit 11, an initial value setting unit 12, a sampling unit 13, a Boltzmann model price fluctuation simulation unit 14, a trial end determination unit 15, and a maximum price of a plurality of assets. It has a value / minimum value calculation unit 216, an option price calculation unit 217, an all trial end determination unit 18, and an option price conversion unit 219.
[0131]
Note that this system does not mean that it is included in one computer in a physical sense. For example, a system that performs distributed processing, such as a client-server system, can be adopted as the system 100. Each element corresponds to each program that executes the process indicated by its name, and these elements are not physically incorporated in the present system. Therefore, basically, the present invention can be realized by incorporating a dealing program for executing these processing functions into one computer having a communication function.
[0132]
The initial value input unit 3 calculates the T of the expression regarding the plurality of assets to be evaluated._0i, C_0i, G_0iAnd the correlation coefficient matrix are input to the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option. This parameter is obtained from the performance data. Preferably, the initial value input unit 3 searches the market database 101 for information on a plurality of assets to be evaluated, and acquires initial values of the searched prices, price fluctuation rates, and price fluctuation directions of the plurality of assets. Output to the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option.
[0133]
The evaluation condition input unit 4 is an element for inputting an evaluation condition of the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option. The evaluation conditions of the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option are conditions for the analysis by the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option, such as the number of trials, the evaluation time zone, the evaluation price range, and the like. The evaluation condition input unit 4 can set an evaluation condition under which a significant analysis can be performed in the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option.
[0134]
The Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option is a central component of the present invention. The Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option inputs a plurality of asset prices to be evaluated, a price change rate, an initial value of a price change direction, and a T_0i, C_0i, G_0iAnd a correlation coefficient matrix, and a price fluctuation simulation based on a Boltzmann model is repeated for a plurality of asset prices to be evaluated by the Monte Carlo method within a range of evaluation conditions to obtain a price distribution of the plurality of assets.
[0135]
The Monte Carlo method is a numerical analysis method for obtaining an exact solution of the Boltzmann equation.
[0136]
The initialization unit 11 of the Boltzmann model analysis unit 205 for rainbow options is means for initializing the prices, price fluctuation rates, and price fluctuation directions of a plurality of assets to be evaluated when starting the evaluation.
[0137]
The initial value setting unit 12 of the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option sets a price, a price change rate, and an initial value of a price change direction of a plurality of assets to be evaluated based on the output of the initial value input unit 3. It is.
[0138]
The sampling unit 13 of the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option is a means for determining the sampling width of the price fluctuation simulation. In the present invention, the sampling unit 13 can set the fluctuation probability per unit time of price fluctuation by the input of the total cross section / probability process input unit 6. For this reason, it is also possible to omit setting of a time grid for price fluctuation simulation, which has been considered difficult in the past. The details are described in detail in Japanese Patent Application Laid-Open No. 2001-67409, which is a prior application of the present inventors.
[0139]
The price fluctuation simulation unit 14 of the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option is an element that simulates the next price based on the probability distribution of the speed distribution and the direction distribution from the immediately preceding price by the Monte Carlo method.
[0140]
In order to simulate price fluctuations of a plurality of assets using a Boltzmann model, the price fluctuation simulation unit 14 outputs a plurality of assets corresponding to the velocity distribution or direction distribution of variables in the Boltzmann equation of the plurality of assets from the velocity distribution / direction distribution input unit 7. Enter the price fluctuation rate or distribution of the price fluctuation direction of the asset.
[0141]
The price fluctuation simulation unit 14 inputs a random number generated by the random number generation unit 8 in order to obtain a solution of the Boltzmann equation for a plurality of assets by the Monte Carlo method.
[0142]
One trial end determination unit 15 of Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option is an element that determines whether one trial is completed. Here, “one trial” is a single price fluctuation simulation of a plurality of relevant assets from the evaluation start time to the evaluation end time. The trial end determination unit 15 can determine whether or not the trial has been completed by comparing the currently calculated time with the evaluation time zone. The condition for ending one trial is input from the evaluation condition input means 4.
[0143]
If one trial has not been completed, the processing is returned from the one trial termination determination unit 15 to the sampling unit 13 again, and the prices and probabilities of the next multiple assets are determined from the prices of the plurality of assets immediately before and the velocity distribution / direction distribution. Calculate the density.
[0144]
The maximum / minimum value calculation unit 216 of the prices of the plurality of assets of the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option calculates the maximum value or the minimum value of the plurality of asset prices at the time of the option expiration simulated by the price fluctuation simulation unit 14. It is an element to do. The maximum value or the minimum value of a plurality of asset prices is output to the option price calculation unit 217.
[0145]
The option price calculation unit 217 of the Boltzmann model analysis unit for rainbow options 205 uses the maximum value or the minimum value of a plurality of asset prices at the time of option expiration output from the maximum value / minimum value calculation unit 216 of the prices of a plurality of assets. Calculate the sum of the rainbow option payoffs for each trial.
[0146]
The all trial end determination unit 18 of the Boltzmann model analysis unit 205 corresponding to the rainbow option is a unit that determines whether the total number of trials set by the evaluation condition input unit 4 has been reached. The total number of trials is input by the initial value input unit 3 to the all trial end determination unit 18.
[0147]
The option price conversion unit 219 of the Boltzmann model analysis unit for rainbow option 205 calculates and outputs the price of the rainbow option to be evaluated by averaging the sum of the payoffs of the options calculated by the option price calculation unit 217. It is.
[0148]
The dealing terminal 105 as a GUI is an element that outputs the progress of the processing of the present system and the final processing result, and outputs the price of the rainbow option to be evaluated. Note that the terminal 105 has an input function using a pointing device such as a keyboard and a mouse. The terminal 105 displays the information on a display, prints out the data using a printer, transmits the data to another system via a network, and writes the data to a storage device. It has an output function in a broad sense, including.
[0149]
The market database 101 is a database that stores information related to rainbow option products to be evaluated. Here, the “database” includes data systematically managed in the database, means for searching for data, and hardware for storing and managing them.
[0150]
A method of evaluating the rainbow option price using the largest or smallest asset among the plurality of assets as the underlying asset by the dealing system having the above system configuration will be described below. Also in the dealing system 100 of the present embodiment, the procedure is the same as that of the first embodiment, and therefore detailed description is omitted. However, in the three procedures from A1 to A3 in FIG. Determine the input value of the parameter.
[0151]
Examples of the rainbow option price evaluation are shown in FIG. 10, FIG. 11, FIG. 12, and FIG. FIG. 10 shows call-on-max option prices. The horizontal axis shows the ratio between the strike price and the underlying asset price, and the vertical axis shows the ratio between the call option price and the underlying asset price. FIG. 11 shows option prices of put on max. The horizontal axis shows the ratio between the strike price and the underlying asset price, and the vertical axis shows the ratio between the put option price and the underlying asset price. FIG. 12 shows the call-on minimum option price. The horizontal axis shows the ratio between the strike price and the underlying asset price, and the vertical axis shows the ratio between the call option price and the underlying asset price. FIG. 13 shows the put-on-minimum option price. The horizontal axis shows the ratio between the strike price and the underlying asset price, and the vertical axis shows the ratio between the put option price and the underlying asset price. 10, 11, 12, and 13, solid lines D 21, D 31, D 41, and D 51 are evaluation prices based on the Boltzmann model. Dashed lines D22, D32, D42, and D52 are based on the Black-Scholes type geometric Brownian motion model.
[0152]
From FIG. 10, the Black-Scholes model overestimates the call-on-max price at at the money (the area where the strike price is almost equal to the underlying asset price), and the deep-out the・ You can see that underestimation is based on money (the area where the strike price is much larger than the underlying asset price). It can be seen from FIG. 11 that the Black-Scholes model overestimates the put-on-max price at the money and underestimates the deep-out the money compared to the Boltzmann model. From FIG. 12, it can be seen that the Black-Scholes model overestimates the call-on-minimum price at the money and underestimates the deep-out the money price compared to the Boltzmann model. It can be seen from FIG. 13 that the Black-Scholes model overestimates the put-on-minimum price at the money and underestimates the deep-out the money price compared to the Boltzmann model.
[0153]
As described above, the difference in the valuation price between the Boltzmann model and the Black-Scholes model is that the Boltzmann model makes the actual underlying asset price distribution relative to the lognormal distribution assumed by the Black-Scholes model relative to the relative price. Is small and sharp (Leptokurity) in the probability density around 1 and the volatility of the probability density in the region where the relative price is considerably smaller than 1 and the region where the relative price is considerably larger than 1 is increased and the skirt spread ( This is because the effect of “Fat-Tail” has been introduced.
[0154]
In this calculation example, in the past, in call-on-max, put-on-max, call-on-minimum, and put-on-minimum, option purchasers have a risk of purchasing at the money at a high price. There was a risk that option sellers would sell at a low price with deep out the money, but these risks could be reduced and losses could be reduced.
[0155]
Next, the rainbow option price evaluation method that maintains consistency with historical information based on the Boltzmann model by the above-described dealing system 100 is the same as the basket option price evaluation method already described in the first embodiment. The fact that the Boltzmann model can maintain consistency with the historical information of the underlying assets is a major basis for asserting the rationality of price valuation.
[0156]
Next, a description will be given of an actual evaluation method using the Boltzmann model of insurance premiums for one insurance risk or premiums for a portfolio of multiple insurance risks in a premium evaluation system in an insurance company or a reinsurance company.
[0157]
The premium for one insurance risk or the premium for a portfolio of multiple insurance risks can be evaluated by the Monte Carlo method, which is a basic solution of the Boltzmann model, as follows. First, trial of N insurance amounts (losses) at time t = Δt according to the Boltzmann model
[Equation 95]

Generate. here,
[Equation 96]

The subscript i represents the loss amount of the i-th insurance risk, and k represents the k-th trial. In this case, the loss amount of the N insurance risks fluctuates with a correlation, so that a trial of the loss amount of the N insurance risks is generated as one set in one trial. Next, the total amount of N insurance risk losses for each trial is:
(97)

By repeating the trial, the distribution of losses in the portfolio of insurance risks can be obtained.
[0158]
If the quantile principle focusing on the percentile value is used as the premium calculation principle, the premium of the insurance risk portfolio will be
[Equation 98]

Becomes here,
[Equation 99]

Follows the distribution F,
[Equation 100]

It is. If δ = 0.05, the premium in the insurance risk portfolio is equal to the sum of the top 5% losses.
[0159]
A method of generating a trial of a loss amount of a portfolio of N insurance risks according to the Boltzmann model will be described. When applying the Boltzmann model to insurance risk, the loss amount S of each insurance risk_iProbability measure P_i(S_i, T) is obtained by combining N financial Boltzmann equations as in equation (H5), and calculating the scattering kernel of each equation.
[Equation 101]

By taking into account the correlation between
[0160]
[Equation 102]

here,
[Equation 103]

It is.
[0161]
In applying to insurance risk, the definition of variables was also changed, where t is time, r 'is expected interest rate, ν_iIs the loss rate of change of the i-th insurance risk, μ_iIs the direction of the change in the loss amount of the i-th insurance risk, S_i(0) is the average value of the loss amount of the i-th insurance risk when t = 0.
[0162]
[Equation 104]

Is the collision frequency which means the probability of the loss amount change per unit time of the i-th insurance risk,
[Equation 105]

Is the scattering kernel of the i-th loss amount.
[0163]
[Equation 106]

Is
[Equation 107]

When,
[Equation 108]

Product with
(Equation 109)

And given by And
[Equation 110]

Has the same form as the evaporation spectrum, which represents the neutron spectrum emitted by the nuclear reaction,
(Equation 111)

Is assumed. Here, although it is virtual, ν_iIs the loss rate of change on the day, ν_i′ Is the loss rate of change of the previous day and the temperature T_i(Ν_i) Is the next ν_iSuppose a quadratic equation for
[0164]
[Equation 112]

Where T_0i, C_0i, G_0iIs a constant.
[0165]
[Equation 113]

Is always assumed to be 0.5.
[0166]
[Equation 114]

In the meantime,
[Equation 115]

There is a relationship.
[0167]
Trial of N insurance amounts (losses) at time t = Δt from simultaneous financial Boltzmann equations
[Equation 116]

Is generated by generating a random number sequence of the loss amount change rate according to the loss amount change rate distribution in consideration of the correlation of the N insurance risk loss amounts.
[Formula 117]

Need to occur. Therefore, the method will be described.
[0168]
In the Boltzmann model, the function of the loss amount change rate distribution is not given in advance. Final loss rate change rate distribution φ_i(Ν_i) Is a property that can be found only after simulation. In the Boltzmann model, the scattering kernel parameter T_i(Ν_i′),
[Equation 118]

Give in.
[0169]
c_0i= 0, g_0iOnly when = 0, a loss amount change rate distribution can be given in advance,
[Equation 119]

First, this case will be described. At this time, x_i= V_i/ T_0iWith the conversion of
[Equation 120]

Random sequence according to
[Equation 121]

And generate
[Equation 122]

Sequence of random numbers
[Equation 123]

Has a covariance matrix V.
[0170]
The covariance matrix V can be represented by the product of the lower triangular matrix L by Cholesky decomposition, and the standard deviation (volatility) σ_iAnd the correlation coefficient ρ_ijV is represented as follows.
[0171]
[Expression 124]

here,
[Equation 125]

Is the volatility matrix,
[Equation 126]

Is a correlation coefficient matrix.
[0172]
In a general financial engineering problem, a volatility matrix Σ and a correlation coefficient matrix X are given, and it is required to generate random numbers so as to reproduce these. c₀= 0, g₀= 0, the volatility σ_iAnd T_0iBetween
[Equation 127]

Holds, σ_iTo T_0iCan be requested. If the equation (H14) is used, a random number sequence of the loss amount change rate according to the loss amount change rate distribution in consideration of the correlation of the N insurance risk loss amounts
[Equation 128]

Can be generated.
[0173]
c₀= 0, g₀When = 0, it is easy to introduce a concept such as a standard normal random number having an average value of 0 and a standard deviation of 1 into the implementation.₀≠ 0, g₀T when ≠ 0_iFluctuates, so the algorithm that extrudes the standard random numbers over the entire surface has many mounting problems. Therefore, it is slightly modified as follows. Until now, the covariance matrix V was directly Cholesky-decomposed, but from now on, the correlation coefficient matrix X will be Cholesky-decomposed. Then
129

, The correlated random number
[Equation 130]

Is
[Equation 131]

Becomes
[0174]
Also, a standard random number sequence without correlation
(Equation 132)

Random sequence without correlation but different standard deviation instead of
[Equation 133]

With,
[Equation 134]

Becomes This notation is c₀≠ 0, g₀Since it is effective when ≠ 0, the description of the generation of a correlated random number will follow this.
[0175]
c₀≠ 0, g₀In the case of ま ず 0, first, random number generation in a case where the correlation coefficient matrix is a unit matrix (when there is no correlation) will be described. In this case, since the N random number sequences are simply generated independently, it is sufficient to describe the i-th component. Volatility is σ for the i-th_iSo that the parameter T_0i, C_0i, G_0iIt has been decided. Random number ν at time step j_ijIs determined, the random number ν of the next step j + 1_{i, j + 1}Is
[Equation 135]

It is obtained from a random number according to here,
136

It is. In this case as well, it is assumed that the occurrence probabilities of the signs ± are equal. If this procedure is performed independently for i = 1,..., N, the volatility will be σ₁,…, Σ_NUncorrelated random sequence of
137

Is generated. Using this, similar to the equation (H21),
138

Random number sequence correlated from
139

Can be requested.
[0176]
As described above, the random number sequence of the correlated loss amount change rate according to the loss amount change rate distribution in consideration of the correlation of the N insurance risks
[Equation 140]

Or a random number sequence of uncorrelated loss rate of change
[Equation 141]

Can be generated. this
[Equation 142]

Or
143

Using the Boltzmann model described in detail in JP-A-2001-67409 and JP-A-2002-32564, which are prior applications of the inventors, to generate a trial path for price fluctuation of one asset. For application to the insurance field, by redefining variables such as making the price of an asset a loss amount of insurance risk as in equation (H5), N insurance amounts (loss amount) at time t = Δt ) Trial
[Equation 144]

Can be generated.
[0177]
As a method of generating a trial path of price fluctuation of one asset by the Boltzmann model, a method described in JP-A-2001-67409 and JP-A-2002-32564 is used.
[0178]
In calculating insurance premiums for one insurance risk or a portfolio of multiple insurance risks, the Boltzmann model is used for the probability distribution of the insurance amount, so compared to the conventional case using a lognormal distribution or Pareto distribution, etc. It is possible to accurately incorporate the effect of being sharp near the average value in the probability density distribution of the actual insurance amount (Leptocurity) and widening the tail (Fat-Tail) in a region where the insurance amount is large and a region where the insurance amount is small. Therefore, the accuracy of the calculation of the insurance premium can be improved by the method using the Boltzmann model.
[0179]
Up to this point, the practice of the evaluation method using the Boltzmann model for the insurance premium of one insurance risk or the premium of a portfolio of multiple insurance risks has been described. Next, referring to FIGS. 14 and 15, a description will be given of an insurance premium evaluation system for calculating insurance premiums for one insurance risk or insurance portfolios for a plurality of insurance risks based on the Boltzmann model according to the third embodiment. .
[0180]
14 and 15 show the configuration of the premium evaluation system 500 according to the present embodiment. The system 500 communicates with the loss database 501 to take in past loss data, has the configuration shown in FIG. 14, and has a Boltzmann model calculation engine (BMM) 503 for calculating insurance premiums using the Boltzmann model, and the output of the BMM 503. And a premium evaluation system terminal 505 as a graphical user interface (GUI) for displaying, printing out, and performing data entry.
[0181]
The Boltzmann model calculation engine (BMM) 503 has the configuration shown in FIG. 15, and includes an initial value input unit 53 for an average value, a change rate, and a change direction of a loss amount, an evaluation condition input unit 54, a Boltzmann model for insurance premium calculation. An analysis unit 55, a GUI 505 (common to FIG. 14) as an input / output device, a speed distribution / direction distribution input unit 56, and a random number generation unit 57 are connected to a loss amount database 501 for acquiring necessary loss amount data. ing.
[0182]
The Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation further includes an initialization unit 61, an initial value setting unit 62, a sampling unit 63, a loss probability distribution generation simulation unit 64 using a Boltzmann model, a loss probability distribution calculation unit 65, It has a trial end determination section 66, an all trial end determination section 67, a loss probability distribution editing section 68, and an insurance premium conversion section 69.
[0183]
Note that this system does not mean that it is included in one computer in a physical sense. For example, a system that performs distributed processing, such as a client-server system, can be employed as the present system 500. Each element corresponds to each program that executes the process indicated by its name, and these elements are not physically incorporated in the present system. Therefore, basically, it can be realized by incorporating an insurance premium evaluation program for executing these processing functions into one computer having a communication function.
[0184]
The initial value input unit 53 receives the T of the expression relating to one insurance risk to be evaluated or a portfolio of a plurality of insurance risks._0i, C_0i, G_0iAnd the correlation coefficient matrix are input to the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation. This parameter is obtained from past loss data. Preferably, the initial value input unit 53 searches the loss amount database 501 for information on one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios to be evaluated, and searches the corresponding one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios. The average value of the loss amount, the loss amount change rate, and the initial value in the loss amount change direction are obtained and output to the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation.
[0185]
The evaluation condition input unit 54 is an element for inputting the evaluation conditions of the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation. The evaluation conditions of the Boltzmann analysis unit 55 corresponding to the premium calculation are the number of trials by the Boltzmann model analysis unit 55 corresponding to the premium calculation, the loss range to be evaluated, and the percentile when calculating the premium from the probability distribution of the insurance amount (loss amount). This is a condition for analysis such as a value. With the evaluation condition input unit 54, an evaluation condition under which a significant analysis can be performed can be set in the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation.
[0186]
The Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation is a central component of the present invention. The Boltzmann model analysis unit 55 corresponding to the insurance premium calculates, from the initial value input unit 53, the average value of the loss amount, the loss amount change rate, and the initial value of the loss amount change direction of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios to be evaluated. , And the T of the formula for one or more portfolios of insurance risk_0i, C_0i, G_0iAnd a correlation coefficient matrix, and an evaluation condition such as a percentile value at the time of calculating an insurance premium is input from the evaluation condition input unit 54, and one insurance risk to be evaluated or a portfolio of a plurality of insurance risks is subjected to a Monte Carlo method by a Monte Carlo method. This is means for repeating a loss amount probability distribution generation simulation using the Boltzmann model within the range of evaluation conditions to obtain an insurance amount (loss amount) probability distribution of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks.
[0187]
The Monte Carlo method is a numerical analysis method for obtaining an exact solution of the Boltzmann equation.
[0188]
When starting the evaluation, the initialization unit 61 of the Boltzmann model analysis unit 55 corresponding to the premium calculation calculates the average value of the loss amount, the loss amount change rate, and the loss amount of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks to be evaluated. This is a means for initializing the fluctuation direction.
[0189]
The initial value setting unit 62 of the Boltzmann model analysis unit 55 corresponding to the insurance premium calculates the average value of the loss amount of the portfolio of one insurance risk or a plurality of insurance risks to be evaluated based on the output of the initial value input unit 53, and the loss. This is a means for setting the initial value of the amount change rate and the loss amount change direction.
[0190]
The sampling unit 63 of the Boltzmann model analysis unit 55 for calculating insurance premiums is a means for determining sampling conditions for the loss probability distribution generation simulation.
[0191]
The loss probability distribution generation simulation unit 64 of the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation is an element for simulating the generation of the loss probability distribution based on the probability distribution of the velocity distribution and the directional distribution by the Monte Carlo method.
[0192]
The loss probability distribution generation simulation unit 64 of the Boltzmann model analysis unit 55 corresponding to the insurance premium calculates a single insurance risk or a plurality of insurance risks from the speed distribution / direction distribution input unit 56 in order to simulate the price fluctuation of a plurality of assets by the Boltzmann model. A loss rate or a loss direction of a portfolio of one or more insurance risks corresponding to the velocity distribution or direction distribution of variables in the Boltzmann equation of the insurance risk portfolio is input.
[0193]
The loss probability distribution generation simulation unit 64 of the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation generates a random number generation unit 57 to obtain a solution of the Boltzmann equation for one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks by the Monte Carlo method. Enter the random number.
[0194]
The probability density calculation unit 65 of the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation is a unit that calculates the probability density by integrating the loss amount distribution simulated by the loss amount probability distribution generation simulation unit 64.
[0195]
The one trial end determination unit 66 of the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation is an element for determining whether one trial is completed. Here, “one trial” is a simulation of generating a loss probability distribution of a portfolio of one applicable insurance risk or a plurality of insurance risks. The condition for ending one trial is input from the evaluation condition input means 54.
[0196]
The all trial end determination unit 67 of the Boltzmann model analysis unit 55 corresponding to the premium calculation is a unit that determines whether the total number of trials set by the evaluation condition input unit 54 has been reached. The total number of trials is input by the initial value input unit 53 to the all trial end determination unit 67.
[0197]
The probability density editing unit 68 of the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premiums aggregates the probability densities of all trials and edits the probability density of the loss amount of one insurance risk to be evaluated or a portfolio of a plurality of insurance risks.
[0198]
The insurance premium conversion unit 69 of the portfolio of one insurance risk or a plurality of insurance risks of the Boltzmann model analysis unit 55 for insurance premium calculation outputs the portfolio of one insurance risk or a plurality of insurance risks output from the probability density editing unit 68. This is an element that calculates and outputs an insurance premium by using the probability density of the loss amount (insurance amount).
[0199]
The premium evaluation system terminal 505 as a GUI is an element that outputs the progress of the processing of the present system and the final processing result, and outputs the insurance premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks to be evaluated. . The terminal 505 has an input function using a pointing device such as a keyboard and a mouse. The terminal 505 displays the data on a display, prints out the data using a printer, transmits the data to another system via a network, and writes data to a storage device. It has an output function in a broad sense, including.
[0200]
The loss amount database 501 is a database that stores information related to one insurance risk to be evaluated or a portfolio of a plurality of insurance risks. Here, the “database” includes data systematically managed in the database, means for searching for data, and hardware for storing and managing them.
[0201]
A method of evaluating the insurance premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks by the premium evaluation system having the above system configuration will be described below.
[0202]
FIG. 16 shows two procedures from B1 to B2. In the dealing system 500 of the present embodiment, the temperature parameter of the Boltzmann model of one insurance risk or a plurality of insurance risks is determined in the processing step B1. Then, in the processing step B2, the matching with the loss probability distribution of one insurance risk or a plurality of insurance risks is confirmed. If the loss probability distributions do not match, the process returns to processing step B1, and the parameters are reviewed.
[0203]
FIGS. 17 and 18 show examples of insurance premium evaluation. FIG. 17 shows the insurance amount (loss) probability distribution of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks. The horizontal axis shows the ratio between the insurance amount (loss amount) and the average insurance amount, and the vertical axis shows the probability density. In FIG. 17, a mark E11 indicates a probability distribution of an insurance amount (loss amount) according to the Boltzmann model, and a solid line E12 indicates a conventional lognormal distribution. FIG. 18 is a plot obtained by converting the vertical axis of FIG. 17 into the cumulative probability density. In FIG. 18, the Δ mark F11 is a probability distribution of the insurance amount (loss amount) based on the Boltzmann model, and the solid line F12 is a conventional lognormal distribution. If the premium is calculated according to the quantile principle using this insurance amount (loss) probability distribution, the percentile value of the set higher loss is the premium.
[0204]
Assuming that the upper 1% percentile (99% percentile) is the premium, the premium of the conventional log-normal distribution and the premium of the Boltzmann model are almost the same. Assuming that the percentile value exceeding the top 1% (the percentile value less than 99%) is the premium, the conventional log-normal distribution premium is overestimated compared to the Boltzmann model premium. Assuming that the percentile value of less than the top 1% (percentile value exceeding 99%) is the premium, the conventional lognormal distribution premium is underestimated as compared to the Boltzmann model premium. The deviation between the premium of the log-normal distribution and the premium of the Boltzmann model tends to be larger when the premium is closer to the 100% percentile value.
[0205]
The difference between the Boltzmann model and the premium of the lognormal distribution is that the probability density distribution of the actual insurance amount (loss amount) is closer to the average value of the insurance amount than the lognormal distribution by the Boltzmann model. This is because the effect of introducing a fat-tail in a region where the insurance amount is large and a region where the insurance amount is small is adopted (Leptocurity). In this calculation example, when the percentile value exceeding the top 1% (percentile value less than 99%) is set as the insurance premium, the insurance company can set the insurance premium lower than before and increase the number of customers. In addition, if the premium is the percentile value of less than the top 1% (percentile value exceeding 99%), in the past, insurance companies have estimated the premiums too low and risked bankruptcy when paying insurance claims. Can be reduced.
[0206]
【The invention's effect】
As described above, according to the present invention, an option that uses a portfolio combining a plurality of assets that have almost no available transaction performance data in a market as an underlying asset and the maximum value or the minimum value of the prices of a plurality of assets is used as an underlying asset. In the option of assets, instead of the limited method based on conventional general theory, a Boltzmann calculation engine that applies nuclear reactor theory to the financial field is provided, and dealers and traders can combine multiple assets. A significant theoretical price of the option with the underlying portfolio as the underlying asset and the option with the maximum or minimum of the prices of the plurality of assets as the underlying asset.
[0207]
Further, as described above, according to the present invention, in a single insurance risk or a portfolio of insurance risks, a reactor theory is used instead of a limited method based on a conventional general theory. Equipped with a Boltzmann calculation engine applied to the financial field, it can provide a significant theoretical premium for one insurance risk or a portfolio of insurance risks to an insurance company or a reinsurance company.
[Brief description of the drawings]
FIG. 1 is a graph of a price fluctuation rate C1 of an underlying asset predicted by a geometric Brownian motion model and a fluctuation rate (daily rate of return) C2 of a typical closing price of a stock price.
FIG. 2 is a graph of a daily return C3 of the Nikkei 225 average stock price.
FIG. 3 is a graph showing a comparison between a probability density function of an actual daily rate of return and a probability density function of a normal distribution assumed by a geometric Brownian motion model.
FIG. 4 is a block diagram showing a system configuration common to the first embodiment and the second embodiment of the dealing system of the present invention.
FIG. 5 is a block diagram showing a functional configuration of a Boltzmann model calculation engine that performs basket option price evaluation in the above-mentioned dealing system.
FIG. 6 is a flowchart showing theoretical calculation processing by the above-mentioned dealing system.
FIG. 7 is a graph showing an example of basket option price evaluation obtained by the above-described dealing system, showing a relationship between a basket call strike price and an underlying asset price ratio and a call option price and an underlying asset price ratio.
FIG. 8 is a graph showing an example of basket option price evaluation obtained by the above-mentioned dealing system, showing a relationship between a basket put exercise price and an underlying asset price ratio and a put option price and an underlying asset price ratio.
FIG. 9 is a block diagram showing a functional configuration of a Boltzmann model calculation engine that performs rainbow option price evaluation in the dealing system according to the second embodiment of this invention.
FIG. 10 is an example of a rainbow option price evaluation obtained by the above-mentioned dealing system, and shows a relationship between a call-on-max strike price and an underlying asset price ratio and a call option price and an underlying asset price ratio. Graph.
FIG. 11 is an example of a rainbow option price evaluation obtained by the above-mentioned dealing system, showing a relationship between a put-on-max strike price and an underlying asset price ratio and a put option price and an underlying asset price ratio. Graph.
FIG. 12 is an example of a rainbow option price evaluation obtained by the above-mentioned dealing system, and shows a relationship between a call-on-minimum strike price and an underlying asset price ratio and a call option price and an underlying asset price ratio. Graph.
FIG. 13 is an example of rainbow option price evaluation obtained by the above-mentioned dealing system, showing a relationship between a put-on-minimum exercise price and an underlying asset price ratio and a put option price and an underlying asset price ratio. Graph.
FIG. 14 is a block diagram showing a system configuration according to a third embodiment of the premium evaluation system of the present invention.
FIG. 15 is a block diagram showing a functional configuration of a Boltzmann model calculation engine for evaluating the insurance premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks in the above-mentioned insurance premium evaluation system.
FIG. 16 is a flowchart showing a theoretical calculation process by the premium evaluation system.
FIG. 17 is a graph showing an example of premium evaluation obtained by the above-mentioned premium evaluation system, showing a relationship between an insurance amount (loss amount) of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks and a probability density.
FIG. 18 is a graph showing an example of premium evaluation obtained by the above-mentioned premium evaluation system, showing a relationship between an insurance amount (loss amount) of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks and a cumulative probability density.
[Explanation of symbols]
3: Initial value input section
4: Evaluation condition input section
5… Boltzmann model analyzer for basket option
6: Total cross section / stochastic process input unit
7 Speed / direction distribution input unit
8 ... random number generator
11 ... initialization unit
12: Initial value setting section
13 ... Sampling unit
14 Simulation unit
15: One trial end determination unit
16: Portfolio price calculator for multiple assets
17… Option price calculation section
18 All trial end determination unit
19… Option price conversion section
21 ... Probability density function of actual daily rate of return
53: Initial value input section
54 ... Evaluation condition input section
55… Boltzmann model analysis unit for premium calculation
56: speed distribution / direction distribution input unit
57: random number generator
61: Initialization unit
62: Initial value setting section
63… Sampling unit
64 ... Simulation unit
65: Loss probability density calculator
66: One trial end determination unit
67: All trial end determination unit
68: Loss probability density editor
69… Premium conversion department
100 ... Dealing system
101 ... Market database
103 ... Boltzmann model calculation engine
105 ... Dealing terminal
205… Boltzmann model analysis unit for rainbow option
216: Maximum / minimum value calculation unit for prices of multiple assets
217: Option price calculation unit
219… Option price conversion unit
500 insurance premium evaluation system
501: Loss database
503: Boltzmann model calculation engine
505: Insurance premium evaluation system terminal

Claims (14)

A parameter setting section for setting necessary parameters,
An evaluation condition setting unit for setting evaluation conditions;
An option price comprising a Boltzmann model calculating unit that solves a Boltzmann model by a Monte Carlo method, generates a price fluctuation path of a plurality of assets, and calculates a price of an option that satisfies the evaluation condition, depending on a plurality of asset prices. Boltzmann model calculation engine. A parameter setting section for setting necessary parameters,
An evaluation condition setting unit for setting evaluation conditions;
Solving the Boltzmann model by the Monte Carlo method, generating a loss probability distribution of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios, and calculating the insurance premium of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios satisfying the evaluation conditions. A Boltzmann model calculation engine for insurance, comprising a Boltzmann model calculation unit for calculating. A dealing system comprising an option price Boltzmann calculation engine and a dealing terminal for displaying a calculation result of the option price Boltzmann calculation engine,
The option price Boltzmann calculation engine is a parameter setting unit that sets necessary parameters, an evaluation condition setting unit that sets evaluation conditions, and solves the Boltzmann model by the Monte Carlo method to generate a price fluctuation path for a plurality of assets. A Boltzmann model calculation unit that calculates a price of an option that satisfies the evaluation condition, depending on a plurality of asset prices,
The dealing system, wherein the dealing terminal displays an option price dependent on a plurality of asset prices calculated by the option price Boltzmann model calculation engine. The Boltzmann model calculation engine has a function of calculating a price of an option that depends on a plurality of asset prices while maintaining consistency with historical information of a plurality of assets based on market data. The dealing system described in 1. 5. The dealing system according to claim 3, wherein the option depending on the plurality of asset prices is an option using a portfolio obtained by combining a plurality of assets as an underlying asset. 6. 5. The dealing system according to claim 3, wherein the option that depends on a plurality of asset prices is an option that uses the largest or smallest one of the plurality of assets as an underlying asset. 6. The process of setting the required parameters;
Processing for setting evaluation conditions;
Solving the Boltzmann model by the Monte Carlo method, generating a price fluctuation path of a plurality of assets, depending on a plurality of asset prices, a process of calculating the price of an option that satisfies the evaluation conditions,
A processing program for causing a computer to execute a process of displaying a price of an option that depends on a plurality of calculated asset prices. 8. The dealing program according to claim 7, wherein a price of an option that depends on a plurality of asset prices, which is consistent with historical information of a plurality of assets based on market data, is calculated. 9. The dealing program according to claim 7, wherein the option that depends on the plurality of asset prices is an option that uses a portfolio combining a plurality of assets as an underlying asset. 10. 9. The dealing program according to claim 7, wherein the option that depends on a plurality of asset prices is an option that uses the largest or smallest one of the plurality of assets as an underlying asset. 10. A premium evaluation comprising: a Boltzmann model calculation engine for premium; and a premium evaluation terminal for displaying a premium of one insurance risk or a portfolio of insurance risks calculated by the Boltzmann model calculation engine for premium. The system
The Boltzmann model calculation engine for premiums includes a parameter setting unit for setting necessary parameters, an evaluation condition setting unit for setting evaluation conditions, and solving a Boltzmann model by the Monte Carlo method to calculate one insurance risk or a plurality of insurance risks. A Boltzmann model calculation unit that generates a loss probability distribution of the portfolio and calculates the insurance premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks that satisfies the evaluation condition. system. The Boltzmann model calculation engine for premiums has a function of calculating premiums that are consistent with a loss probability distribution based on past loss data of one insurance risk or a plurality of insurance risks. The insurance premium evaluation system according to claim 11, wherein The process of setting the required parameters;
Processing for setting evaluation conditions;
Solving the Boltzmann model by the Monte Carlo method, generating a loss probability distribution of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios, and calculating the insurance premium of one insurance risk or a plurality of insurance risk portfolios satisfying the evaluation conditions. Computing,
A premium evaluation program characterized by causing a computer to execute a process of displaying the calculated premium of one insurance risk or a portfolio of a plurality of insurance risks. 14. The premium evaluation program according to claim 13, wherein the premium is calculated so as to be consistent with a loss probability distribution based on past loss data of one insurance risk or a plurality of insurance risks.

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