JP2004005510A5

JP2004005510A5 -

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Publication number: JP2004005510A5
Application number: JP2003082816A
Authority: JP
Filing date: 2003-03-25
Publication date: 2005-08-18
Anticipated expiration: 2023-03-25

Claims

コンピュータ上でユアン及びベントラーの方法Ｉに基づいて多変量非正規分布に従う乱数を発生する乱数発生方法において、
コンピュータを用いてｎ次元経験分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめるステップと、
コンピュータを用いて乱数を発生するステップとを有し、
前記あてはめるステップは、前記経験分布の３次及び４次モーメントに関するあてはめについて、次の関係式（１）及び（２）を用いる
多変量非正規分布に従う乱数発生方法。

ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄ_ｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄ_ｎ ⁺は、Ｄ_ｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、

は、クロネッカー積であり、Ｅ_iiは、ｅ_iを第ｉ列単位としてｅ_iｅ_i ^'である。
ここで、前記ユアン及びベントラーの方法Ｉは、次の通りである。独立な確率変数ξ₁，・・・，ξ_mは、パラメータζ_j及びκ_jについて、Ｅ（ξ_j）＝０，Ｅ（ξ_j ²）＝１，Ｅ（ξ_j ³）＝ζ_j，Ｅ（ξ_j ⁴）＝κ_j（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。
ξ_jに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν²）＝１，Ｅ（ν³）＝γ，Ｅ（ν⁴）＝βを満たす。
階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ＝（ｔ_ij）は、行列Σ＝（σ_ij）について、ＴＴ´＝Σを満たす。ただし、行列Ｔ´はＴの転置行列である。
このとき、次の式（３）で与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ₁，・・・，ｘ_n）´は、Ｃｏｖ（Ｘ）＝Σを満たす。ただし、Ｃｏｖ（・）は、ベクトルの分散共分散行列であり、ξ＝（ξ₁，・・・，ξ_m）´である。
確率変数ξ₁，・・・，ξ_m及びνには、ピアソン分布系に従う乱数を使う請求項１に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
確率変数ξ₁，・・・，ξ_m及びνには、少なくとも２以上の型のピアソン分布を用いる請求項２に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
前記あてはめるステップは、式（４）及び（５）でそれぞれ与えられるｎ次元の経験分布（確率ベクトル（Ｘ_１，・・・，Ｘ_ｎ）´とする。
）の３次及び４次モーメントに関して、式（６）の値を最小にするパラメータＴ，ζ＝（ζ₁，・・・，ζ_ｍ），γ，κ＝（κ₁，・・・，κ_ｍ），βの少なくとも１つを求める請求項１乃至３のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。

ただし、ｆ_ijk（Ｔ，ζ，γ，κ，β）及びｆ_ijkl（Ｔ，ζ，γ，κ，β）は、３次モーメントＥ（ｘ_iｘ_jｘ_k）及び４次モーメントＥ（ｘ_iｘ_jｘ_kｘ_ｌ）にそれぞれ対応する関係式（１）及び（２）による表現とする。また、ｗ_ijk及びｗ_ijklは、所定の重みである。
ｗ_ijk＝１，ｗ_ijkl＝１である請求項４に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ｎ＝２であって、前記あてはめるステップは、式（７）及び（８）でそれぞれ与えられる２次元経験分布（確率ベクトル（Ｘ_１，Ｘ_２）´とする。）の３次及び４次モーメントと、式（９）及び（１０）で与えられる３次モーメントＥ（ｘ_iｘ_jｘ_k）及び４次モーメントＥ（ｘ_iｘ_jｘ_kｘ_ｌ）にそれぞれ対応する表現とについて、式（１１）で与えられる値を最小にするようにパラメータＴ，ζ＝（ζ₁，ζ_２），γ，κ＝（κ₁，κ_２），βの少なくとも１つを求める請求項４又は５に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
ｗ_i＝１である請求項６に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
パラメータＴ，ζ＝（ζ_１，・・・，ζ_ｍ），γ，κ＝（κ_１，・・・，κ_ｍ），βの少なくとも１つを最尤法により推定する請求項１乃至７のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
式（１２）で与えられるκの値を用いて、表１に示すκの値と分布の型との対応関係の少なくとも１つを用いて前記確率変数の属する型を決定する請求項１乃至８のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。

ただし、β_１とβ_２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、式（１２）及び表１におけるκは、前記パラメータκ＝（κ₁，・・・，κ_ｍ）とは異なる。
前記決定した型に応じて、次の表２及び表３に示す生成法の少なくとも１つを用いて乱数Ｚを発生する請求項９に記載の多変量正規分布に従う乱数発生方法。
コンピュータを用いて、式（１３）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項１乃至１０のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
コンピュータを用いて、式（１４）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
前記乱数を発生するステップは、コンピュータを用いて発生した、加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数に基づく請求項１乃至１２のいずれか１項に記載の乱数発生方法。
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ

からなるデータ・ベクトルＸ_ｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ_１´，・・・，Ｘ_Ｎ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ_１´，・・・，Ｘ_Ｎ´｝を標準化して｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝に基づいて、３次モーメントｍ_ｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝に基づいて、４次モーメントｍ_ｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列Σから行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＞ｎである。）個の確率変数ξ_１〜ξ_ｍからなる確率ベクトル（ξ_１，・・・，ξ_ｍ）´である。独立な確率変数ξ₁，・・・，ξ_mは、パラメータζ_j及びκ_jについて、Ｅ（ξ_j）＝０，Ｅ（ξ_j ²）＝１，Ｅ（ξ_j ³）＝ζ_j，Ｅ（ξ_j ⁴）＝κ_j（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξ_jに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν²）＝１，Ｅ（ν³）＝γ，Ｅ（ν⁴）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍ_ｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍ_ｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）と
ｆ_ｉｊｋ（Ｔ，ζ，γ，κ，β），ｆ_ｉｊｋｌ（Ｔ，ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ_１，・・・，ζ_ｍ），κ＝（κ_１，・・・，κ_ｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、ＴＴ´＝Σ（Ｔ´はＴの転置行列である。）という条件の下で、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータＴ，（ζ_１，・・・，ζ_ｍ），γ，（κ_１，・・・，κ_ｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ_１，・・・，ζ_ｍ），γ，（κ_１，・・・，κ_ｍ），βに基づいて、式（１５）及び表４により（β_１とβ_２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ_１，・・・，ξ_ｍ）´及び確率変数νがピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、

コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ_１，・・・，ξ_ｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸの乱数を標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（１５）及び表４において、β_１とβ_２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ₁，・・・，κ_ｍ）とは異なる。
コンピュータを用いて、ｎ個のデータ

からなるデータ・ベクトルＸ_ｉ´について、経験分布のデータ｛Ｘ_１´，・・・，Ｘ_Ｎ´｝を取得するステップと、
コンピュータを用いて、前記データ｛Ｘ_１´，・・・，Ｘ_Ｎ´｝を標準化して｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝とするステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝に基づいて、分散共分散行列Σを計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝に基づいて、３次モーメントｍ_ｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記標準化されたデータ｛Ｘ_１，・・・，Ｘ_Ｎ｝に基づいて、４次モーメントｍ_ｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記分散共分散行列ΣからＴ＝Σ^１／２（行列の平方根）を満たす行列Ｔを計算するステップと、
前記データ・ベクトルが従う分布が、Ｘ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ＝ｎである。）個の確率変数ξ_１〜ξ_ｍからなる確率ベクトル（ξ_１，・・・，ξ_ｍ）´である。独立な確率変数ξ₁，・・・，ξ_mは、パラメータζ_j及びκ_jについて、Ｅ（ξ_j）＝０，Ｅ（ξ_j ²）＝１，Ｅ（ξ_j ³）＝ζ_j，Ｅ（ξ_j ⁴）＝κ_j（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξ_jに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν²）＝１，Ｅ（ν³）＝γ，Ｅ（ν⁴）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、コンピュータを用いて、３次モーメントｍ_ｉｊｋ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｎ）及び４次モーメントｍ_ｉｊｋｌ（１≦ｉ≦ｊ≦ｋ≦ｌ≦ｎ）とｆ_ｉｊｋ（ζ，γ，κ，β），ｆ_ｉｊｋｌ（ζ，γ，κ，β）（ここでζ＝（ζ_１，・・・，ζ_ｍ），κ＝（κ_１，・・・，κ_ｍ）である。）との差を損失とする損失関数を導入し、全体として評価するリスク関数を最小化するようにパラメータ（ζ_１，・・・，ζ_ｍ），γ，（κ_１，・・・，κ_ｍ），βを決定するステップと、
コンピュータを用いて、前記決定されたパラメータ（ζ_１，・・・，ζ_ｍ），γ，（κ_１，・・・，κ_ｍ），βに基づいて、式（１６）及び表５により（β_１とβ_２は、それぞれ歪度の２乗と尖度である。）、前記確率ベクトル（ξ_１，・・・，ξ_ｍ）´及び確率変数νがピアソン分布のどの型に属するかを決定するステップと、

コンピュータを用いて乱数を発生し、この乱数に基づいて前記確率ベクトル（ξ_１，・・・，ξ_ｍ）´及び確率変数νについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、Ｘ＝νＴξに基づいて、標準化されたＸの乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、標準化されたＸを標準化前の乱数に変換するステップと、
を有する多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
ただし、式（１６）及び表５において、β_１とβ_２は、それぞれ歪度の２乗と尖度であり、κは、前記パラメータκ＝（κ₁，・・・κ_ｍ）とは異なる。
前記損失関数（Ｌ）及びリスク関数（Ｒ）は、式（１７）及び（１８）、式（１９）及び（２０）、又は式（２１）及び（２２）のいずれかの組で与えられる請求項１４又は１５に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
前記決定した型に応じて、次の表６及び表７に示す生成法の少なくとも１つを用いて乱数Ｚを発生する請求項１４乃至１６のいずれか１項に記載の多変量正規分布に従う乱数発生方法。
コンピュータを用いて、式（２３）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項１４乃至１７のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
前記乱数を発生するステップは、加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項１４乃至１８のいずれか１項に記載の多変量非正規分布に従う乱数発生方法。
コンピュータを用いて、式（２４）に示すように、所定の確率分布に従う確率変数ν、階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ、所定の確率分布に従う確率ベクトルξ＝（ξ₁，・・・，ξ_m）´の積として与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ₁，・・・，ｘ_n）´で与えられる多次元非正規分布を計算するステップと、

最尤法によりパラメータを推定するステップと、
を有する多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
前記最尤法によりパラメータを推定するステップは、
コンピュータを用いて、ｎ次元空間を分割するステップと、
コンピュータを用いて、経験分布のデータ｛Ｘ₁，・・・，Ｘ_N｝について、Ｘ_iが属する各分割に属する乱数の数を乱数の総数で除して、次の式（２５）で与えられる当該分割の確率を求めるステップと、

コンピュータを用いて、前記分割の確率を当該分割のＮ次元体積で除して前記Ｘ_iが属する、次の式（２６）で与えられる分割の尤度ｆ_i（θ）を求めるステップと、

コンピュータを用いて、尤度の積Π_i=1 ^Nｆ_i（θ）又は対数尤度の和Σ_i=1 ^Nｌｏｇｆ_i（θ）が最大になるようなパラメータθを推定するステップと、
を有する請求項２０に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
確率変数ξ₁，・・・，ξ_m及びνには、ピアソン分布系に従う乱数を使う請求項２０又は２１に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
確率変数ξ₁，・・・，ξ_m及びνには、少なくとも２以上の型のピアソン分布を用いる請求項２２に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
コンピュータを用いて、式（２７）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項２０乃至２３のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
コンピュータを用いて、ユアン及びベントラーの方法Ｉに基づいて、次の関係式（２８）及び（２９）を用いてｎ次元経験分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめるステップを有し、
このあてはめるステップで求めたパラメータの近傍について前記パラメータθを推定する請求項２０乃至２４のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。

ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄ_ｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄ_ｎ ⁺は、Ｄ_ｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、

は、クロネッカー積であり、Ｅ_iiは、ｅ_iを第ｉ列単位としてｅ_iｅ_i ^'である。
ここで、前記ユアン及びベントラーの方法Ｉは、次の通りである。独立な確率変数ξ₁，・・・，ξ_mは、パラメータζ_j及びκ_jについて、Ｅ（ξ_j）＝０，Ｅ（ξ_j ²）＝１，Ｅ（ξ_j ³）＝ζ_j，Ｅ（ξ_j ⁴）＝κ_j（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。
ξ_jに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν²）＝１，Ｅ（ν³）＝γ，Ｅ（ν⁴）＝βを満たす。
階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ＝（ｔ_ij）は、行列Σ＝（σ_ij）について、ＴＴ´＝Σを満たす。ただし、行列Ｔ´はＴの転置行列である。
このとき、次の式（３０）で与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ₁，・・・，ｘ_n）´は、Ｃｏｖ（Ｘ）＝Σを満たす。ただし、Ｃｏｖ（・）は、ベクトルの分散共分散行列であり、ξ＝（ξ₁，・・・，ξ_m）´である。
前記パラメータθは、パラメータＴ，ζ＝（ζ₁，・・・，ζ_ｍ），γ，κ＝（κ₁，・・・，κ_ｍ），βの少なくとも１つを表す請求項２０乃至２５のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
コンピュータを用いて加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項２０乃至２６のいずれか１項に記載のパラメータ推定方法。
コンピュータを用いて、ユアン及びベントラーの方法Ｉに基づいて、次の関係式（３１）及び（３２）を用いてｎ次元経験分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめるステップと、
コンピュータを用いて、ｎ次元経験分布がＸ＝νＴξ（ここで、ξは、ｍ（ここで、ｍ≧ｎである。）個の確率変数ξ_１〜ξ_ｍからなる確率ベクトル（ξ_１，・・・，ξ_ｍ）´である。独立な確率変数ξ₁，・・・，ξ_mは、パラメータζ_j及びκ_jについて、Ｅ（ξ_j）＝０，Ｅ（ξ_j ²）＝１，Ｅ（ξ_j ³）＝ζ_j，Ｅ（ξ_j ⁴）＝κ_j（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。また、ξ_jに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν²）＝１，Ｅ（ν³）＝γ，Ｅ（ν⁴）＝βを満たす。）を満たす非正規分布を有すると仮定して、前記Ｘについて乱数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、各確率変数ｘ_１〜ｘ_ｎについての空間を、所定間隔Δｈで分割し、このｎ次元空間を（Δｈ）^ｎの超立方体へ分割するステップと、
コンピュータを用いて、各データ・ベクトルの属する区間（Δｈ）^ｎ内に存在する乱数の個数を乱数の総数で除して、当該区間（Δｈ）^ｎの確率Ｐ_ｉ（θ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記確率Ｐ_ｉ（θ）をｎ次元体積（Δｈ）^ｎで除して、前記データ・ベクトルの属する区間（Δｈ）^ｎの尤度ｆ_ｉ（θ）を計算するステップと、
コンピュータを用いて、前記尤度ｆ_ｉ（θ）の積Π_ｉ＝１ ^Ｎｆ_ｉ（θ）又は対数尤度の和Σ_i=1 ^Nｌｏｇｆ_i（θ）が最大になるようなパラメータθを計算するステップと、
を有する多変量非正規分布のパラメータ推定方法。

ただし、Ｅ（・）は、期待値であり（以下同じ）、ｖｅｃｈ（・）は、対称行列から重複しない行列要素を取り出したベクトルであり、Ｄ_ｎは、ｎ次のデュプリケーション行列であり、Ｄ_ｎ ⁺は、Ｄ_ｎのムーア・ペンローズの一般化逆行列であり、

は、クロネッカー積であり、Ｅ_iiは、ｅ_iを第ｉ列単位としてｅ_iｅ_i ^'である。
ここで、前記ユアン及びベントラーの方法Ｉは、次の通りである。独立な確率変数ξ₁，・・・，ξ_mは、パラメータζ_j及びκ_jについて、Ｅ（ξ_j）＝０，Ｅ（ξ_j ²）＝１，Ｅ（ξ_j ³）＝ζ_j，Ｅ（ξ_j ⁴）＝κ_j（１≦ｊ≦ｍ）を満たす。
ξ_jに独立な確率変数νは、パラメータγ及びβについて、Ｅ（ν）＝０，Ｅ（ν²）＝１，Ｅ（ν³）＝γ，Ｅ（ν⁴）＝βを満たす。
階数ｎのｎ行ｍ列（ｍ≧ｎ）の非確率行列Ｔ＝（ｔ_ij）は、行列Σ＝（σ_ij）について、ＴＴ´＝Σを満たす。ただし、行列Ｔ´はＴの転置行列である。
このとき、次の式（３３）で与えられる確率ベクトルＸ＝（ｘ₁，・・・，ｘ_n）´は、Ｃｏｖ（Ｘ）＝Σを満たす。ただし、Ｃｏｖ（・）は、ベクトルの分散共分散行列であり、ξ＝（ξ₁，・・・，ξ_m）´である。
確率変数ξ₁，・・・，ξ_m及びνには、ピアソン分布系に従う乱数を使う請求項２８に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
確率変数ξ₁，・・・，ξ_m及びνには、少なくとも２以上の型のピアソン分布を用いる請求項２９に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
コンピュータを用いて、式（３４）に示すピアソンＩＶ型分布の正規化定数の解析解又はこの展開に基づいて正規化定数を計算するステップと、
コンピュータを用いて、棄却法により乱数を発生するステップと、
によってピアソンＩＶ型分布に従う乱数を発生させる請求項２８乃至３０のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
コンピュータを用いて加算生成法、Ｍ系列、一般化フィードバック・シフトレジスタ法及びメルセンヌツイスターを含む、合同法を除く擬似乱数、準乱数、低ディスクレパンシー列、物理乱数を含む乱数を発生する請求項２８乃至３１のいずれか１項に記載の多変量非正規分布のパラメータ推定方法。
請求項１乃至３２のいずれか１項に記載の手順において、ν＝１とした多変量非正規分布の乱数発生方法又はパラメータ推定方法。
請求項１乃至３３のいずれか１項に記載の手順において、Ｔ＝１とした非正規分布の乱数発生方法又はパラメータ推定方法。
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載された手順に従い、ポートフォリオを構成するｎ種類の資産のｎ次元損益分布にｎ次元多変量非正規分布をあてはめ、シミュレーションによって予想損失額を計算する予測損失額
の計算方法。
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用い、前記多変量非正規分布に従う乱数に基づいて金融商品の特性をコンピュータを用いてシミュレーションする金融商品のシミュレーション方法。
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用いた、天候・保険デリバティブの設計又は価格付け方法。
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用いた、アセット・アロケーションの方法。
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用い、前記多変量非正規分布に従う乱数に基づいてイオン注入によるイオンの分布をコンピュータを用いてシミュレーションするイオン注入のシミュレーション方法。
請求項１乃至３４のいずれか１項に記載の手順を用いた、能力評価の方法。
請求項１乃至４０のいずれか１項に記載された手順を実現する、コンピュータにより実行可能なコンピュータ・プログラム。
光ディスク、磁気ディスク、光磁気ディスク又は磁気テープの少なくとも１つによって提供される請求の範囲第４１項記載のコンピュータ・プログラム。