JP2004005116A

JP2004005116A - 最適ポートフォリオ決定方法および装置

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Publication number: JP2004005116A
Application number: JP2002158977A
Authority: JP
Inventors: Shigeru Kawamoto; 川本　茂; Yasuhiro Kobayashi; 小林　康弘; Masanori Takamoto; 高元　政典
Original assignee: Hitachi Ltd
Current assignee: Hitachi Ltd
Priority date: 2002-05-31
Filing date: 2002-05-31
Publication date: 2004-01-08
Also published as: CN1501284A

Abstract

【課題】リスクなどの所定の制約の下で、収益率とリスクからなる投資家の効用関数を最大になるように、個別銘柄の金融商品および購入量の決定を効率的に行う方法および装置を提供する。
【解決手段】個々の金融商品の収益率の期待値を入力する個別収益率入力手段１０１と、銘柄独自の収益率の変動要因である個別変動因子を入力する個別変動因子入力手段１０２と、銘柄全体の収益率の変動要因である共通変動因子を入力する共通変動因子入力手段１０３と、制約パラメータを入力する制約パラメータ入力手段１０４と、入力データに基づいて購入対象の金融商品および購入量を導出する最適ポートフォリオ求解手段１０６と、ポートフォリオ収益率を算出するポートフォリオ算出手段１０５と、導出されたポートフォリオのリスクに関する制約を満たしているかどうかを判定する制約条件判定手段１０７と、導出結果を出力する最適ポートフォリオ出力手段１０８を有する。
【選択図】　図１

Description

【０００１】
【発明の属する技術分野】
本発明は、最適ポートフォリオ決定方法及び装置に関する。
【０００２】
【従来の技術】
最適ポートフォリオ決定問題は、線形計画法または非線形計画法などに代表される数理計画法によって、収益を極大化し、収益を変動させる要因を表すリスクを極小化できるように、複数の金融商品の中から購入の対象とする金融商品および購入量を決定することである。
【０００３】
最適ポートフォリオの決定の際に用いるモデルとして、購入の対象とする金融商品の集合（以下では購入の対象を株式の集合からなるユニバース（東京証券取引所一部全体、日経２２５採用銘柄等）とする）において、収益率を所定の値に固定する。この前提の下で、収益率の変動率を表すリスクで表現された二次の目的関数を最小化する二次計画法などを用いる平均分散モデルあるいはマルチファクタモデルが、文献「今野浩著、理財工学Ｉ、日科技連、Ｐ４−Ｐ１９（引例１）」などに紹介されている。また、平均分散モデルおよびマルチファクタモデルに準するモデルとして、最大化すべき投資家の効用関数を収益率とリスクから構成するケース、および収益率を最大化するケースが考えられる。一方、制約に関しては、収益率に関する制約を設けないケース、さらに二次式であるリスクに関する制約を設ける場合が考えられる。
【０００４】
収益率等一次式のみの制約の下で、二次式を最大化する二次計画法としては、例えば文献「茨木俊秀、福島雅夫著、ＦＯＲＴＲＡＮ７７最適化プログラミング、岩波書店、Ｐ８７−１１３（引例２）」等に紹介されている有効制約法等が代表的なものとして知られている。二次計画法においては、初期点から最適解に到るまで点列を更新する方法が一般的である。この点列を更新する際に、点列を探索する方向を行列演算で求める部分が処理の大半を占める。なお、二次計画問題に定式化する際に現れる行列において、要素の大部分は０であり、このような行列を処理するにあたっては、要素０の部分をプログラム上で判別しながら行列演算を実施するスパース法などが知られている。
【０００５】
また、リスクに関する制約を設ける場合は、二次式を制約として含むため、非線形計画法が適用され、前記の二次計画法と区別して取り扱うのが一般的である。非線形計画法としては、上記引例２等に紹介されている逐次二次計画法が代表的なものとして知られている。逐次二次計画法は、非線形で表現される制約式を線形近似するなどの処理を施して得られた二次計画問題に二次計画法を繰り返し適用して最適解を得る方法である。
【０００６】
【発明が解決しようとする課題】
しかし、非線形計画法は二次計画法よりも目的関数および制約式において、汎用性の広い技法である反面、技法の適用によって必ずしも最適解が得られるとは限られない。また、最適解が得られたとしても計算時間が多大になるため、東証一部あるいは国内全株式を対象とした場合に非線形計画法を適用して最適解を得ることは困難である。また、二次計画法を逐次適用するステップにおいては、目的関数および制約式の係数行列における要素の大部分が０であるという性質を生かすことも困難である。このため、実際のポートフォリオ決定においては、最適化問題を何度も解く必要があるため、非線形計画法を適用することは実用的ではないといえる。
【０００７】
本発明の目的は、上記従来技術の問題点に鑑み、一次式で表されるリターンを用いて最適ポートフォリオを決定する方法及び装置を提供することにある。
【０００８】
【課題を解決するための手段】
上記の課題を解決する本発明は、複数の金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするように、複数の金融商品の中から各々の金融商品の購入量を決定する最適ポートフォリオ決定方法において、個別の銘柄における期待収益率を入力する個別収益率入力手段と、個別の銘柄における収益の変動因子を入力する個別変動因子入力手段と、ポートフォリオの収益率として取り得る値の範囲を算出するポートフォリオ収益率算出手段と、共通変動因子を入力する共通変動因子入力手段と、制約パラメータを入力する制約パラメータ入力手段を有する。さらに、各入力手段を用いて入力されたデータおよびポートフォリオ収益率算出手段において算出された収益率の取り得る領域を表すデータに基づいて、制約パラメータ入力手段によって入力されたパラメータが指示する所定の制約の下で、購入の対象とする金融商品および購入量を導出する最適ポートフォリオ求解手段と、最適ポートフォリオ求解手段において導出されたポートフォリオが所定の制約を満たしているかを判定する制約条件判定手段と、最適ポートフォリオ求解手段において導出したポートフォリオを出力する最適ポートフォリオ出力手段から構成することを特徴とする。
【０００９】
また、本発明は、前記ポートフォリオ収益率算出手段において、個別の銘柄の収益率および収益の変動因子からポートフォリオの収益率の最大値および最小値を出力すること、または、算出したポートフォリオの情報に基づいてポートフォリオの収益率の最大値または最小値を更新することを特徴とする。
【００１０】
また、本発明は、前記最適ポートフォリオ求解手段において、購入の対象とする金融商品および該金融商品の購入量を決定する際の前処理として、入力の項目の属性に応じて目的関数を分割することと、制約パラメータの属性に応じて制約パラメータの行列を分割することを特徴とする。
【００１１】
また、本発明は、前記制約条件判定手段において、最適ポートフォリオ求解手段において導出したポートフォリオが、所定のリスク条件を満たしているかどうかを判定し、満たしていない場合には、ポートフォリオの収益率の最小値または最大値を、最小値より大きく最大値より小さい値に更新することを特徴とする。
【００１２】
また、本発明は、サーバと複数のクライアント計算機をネットワークで結ぶ最適ポートフォリオ回答システムにおいて、前記サーバは、個々の金融商品の収益率の期待値、収益に影響を及ぼす金融商品独自の要因である個別変動因子、金融商品全体の収益に影響する要因である共通変動因子、及び金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするための制約条件を構成する制約パラメータをそれぞれ格納するデータベースと、各データベースからのデータを入力し前記目的関数を最大化するように購入する金融商品およびその購入量を導出する中央演算処理装置を備え、前記クライアント計算機から要求された収益率又はリスクに基づいて、前記中央演算処理装置で導出した金融商品およびその購入量を、要求のあったクライアント計算機に送信するように構成されていることを特徴とする。
【００１３】
【発明の実施の形態】
本発明の最適ポートフォリオ決定方式は、機関投資家または一般投資家が計算機を用い、線形計画法または二次計画法などに代表される数理計画法によって行なう。すなわち、収益を極大化し、収益を変動させる要因を表すリスクを極小化できるように、複数の金融商品の中から購入の対象とする金融商品および購入量を決定するである。以下、図面を用いて本発明の実施形態を詳細に説明する。
【００１４】
購入の対象とする金融商品の集合を複数の株式（東証一部上場全体等）としたポートフォリオ選択を例にする。この選択問題は、目的関数を各株式の期待収益率と投資割合の積を乗じたものの総和で表わされる収益率と、株式全体の時価総額に対する個別銘柄の占める時価の割合を示すベンチマーク比率と、個別銘柄の投資比率との乖離度で表わされるアクティブリスクにリスク回避度を乗じた値の和である。式（１）の効用関数で表される。
Ｕ＝α^Ｔｈ_ｐ−λ（ｈ_ｐ−ｈ_ｍ）^ＴＧ（ｈ_ｐ−ｈ_ｍ）　　…（１）
ここで、αは個別銘柄の期待収益率を要素とするベクトル、λは投資家が持っているリスク回避度で、リスクの回避を優先する場合にはλを大きくし、ポートフォリオ全体の収益増大を優先する場合にはλを小さくする。ｈ_ｐは個別銘柄の投資比率を要素とするベクトル、ｈ_ｍはベンチマーク比率を要素とするベクトル、Ｇは個別銘柄の収益率間の共分散を要素とする行列である。
【００１５】
式（１）の効用関数で、制約式として式（２）〜（４）を考慮する場合を例にして説明する。ｅは全ての要素が１のベクトル、Ｒｉｓｋは（ｈ_ｐ−ｈ_ｍ）^ＴＧ（ｈ_ｐ−ｈ_ｍ）を意味する。
ｅ^Ｔｈ_ｐ＝１（全体の投資割合が１）　　　　　　　　　　　　　　…（２）
ｈ_ｐ≧０（空売り禁止の制約）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…（３）
Ｒｉｓｋ＿ＬＯ　≦　Ｒｉｓｋ≦　Ｒｉｓｋ＿ＵＰ（リスクの上下限制約）…（４）
このような効用関数の設定方法は、文献「Ｒ．Ｃ．グリノルド、Ｒ．Ｎ．カーン著、アクティブ・ポートフォリオ・マネジメント、東洋経済新報社、Ｐ８１−Ｐ８７（引例３）」にも紹介されている。
【００１６】
平均分散モデルにおいては、式（１）の効用関数を目的関数として最適化手法を適用する。しかし、平均分散モデルでは、東証一部上場銘柄１５００個を計算対象とした場合、個別銘柄の収益率間の共分散の値２２５００００個が目的関数に入り込んでくる。このような目的関数をもつ最適化問題を解こうとした場合、膨大な時間がかかることが予測されるため、平均分散モデルによるポートフォリオ選択問題に対するアプローチは現実的ではない。
【００１７】
上記の平均分散モデルの問題点を解決するために用いられているモデルがマルチファクタモデルである。マルチファクタモデルは、個別銘柄の収益率を、銘柄全体の収益率に影響する共通因子と個別銘柄独自の要因で変動する因子により、式（５）で表す。
α_ｊ＝γ_ｊ＋Σβ_ｊｋＦ_ｋ＋ε_ｊ　　　　　　　　…（５）
ここで、β_ｊｋは共通因子ｋの要因Ｆ_ｋが１単位変化したときに、個別銘柄ｊの収益率に及ぼす影響を表すパラメータでファクタエクスポージャと呼ばれている。例えば、共通因子ｋを円ドル為替レートとした場合、Ｆ_ｋは１ドル＝１２３円ならば１２３を割り当てる。また、１ドル１２３円が１２４円に変化した場合に、収益率が０．１％変化するのであれば、β_ｊｋは０．１を割り当てるという次第である。式（５）が算出される過程については、引例１のＰ１８−Ｐ１９に記載されているので詳細は省略する。
【００１８】
個別銘柄の収益率の共分散行列Ｇは式（６）のように表わされることが知られている。
Ｇ＝Ｂ^ＴＦＢ＋Δ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）
β_ｊｋから構成される行列Ｂと、Ｆ_ｋの分散および共分散から構成される行列Ｆと、銘柄独自の変動要因を意味し、ε_ｊの分散で表わされるスペシフィックリスクを対角成分に持つ対角行列Δを用いている。
【００１９】
式（６）を式（１）に代入し、Ｂｈ_ｐ＝ｙとおくと、式（７）が得られる。
Ｕ＝α^Ｔｈ_ｐ−λ（ｈ_ｐ−ｈ_ｍ）^ＴＧ（ｈ_ｐ−ｈ_ｍ）
＝α^Ｔｈ_ｐ−λｈ_ｐ ^ＴＧｈ_ｐ＋２λｈ_ｐ ^ＴＧｈ_ｍ−λｈ_ｍ ^ＴＧｈ_ｍ
＝−λｈ_ｐ ^ＴＧｈ_ｐ＋（α^Ｔ＋２λｈ_ｍ ^ＴＧ）ｈ_ｐ−λｈ_ｍ ^ＴＧｈ_ｍ
＝−λｈ_ｐ ^Ｔ（Ｂ^ＴＦＢ＋Δ）ｈ_ｐ＋（α^Ｔ＋２λｈ_ｍ ^ＴＧ）ｈ_ｐ−λｈ_ｍ ^ＴＧｈ_ｍ
＝−λｙ^ＴＦｙ−λｈ_ｐ ^ＴΔｈ_ｐ＋（α^Ｔ＋２λｈ_ｍ ^ＴＧ）ｈ_ｐ−λｈ_ｍ ^ＴＧｈ_ｍ…（７）
マルチファクタモデルにおいては、式（７）で求めた効用関数を最大化すべき目的関数の対象とする。さらに、マルチファクタモデルでは、Ｂｈ_ｐ＝ｙと置くことによって、新たな変数ｙが発生すると同時に制約式（２）（３）（４）のほか、式（８）も制約式として考慮する。
Ｂｈ_ｐ−ｙ＝０　　　　　　　　　　…（８）
本発明においては、共分散行列Ｇが式（６）で示す形式以外の場合においても、実施は可能である。以下、マルチファクタモデルにおける最適ポートフォリオ決定に関する実施例を説明する。
【００２０】
図１は本発明の一実施例における最適ポートフォリオ決定装置の機能ブロック図を示す。最適ポートフォリオ決定装置は、個別収益率入力手段１０１と、個別因子入力手段１０２と、共通因子入力手段１０３と、制約パラメータ入力手段１０４を有し、これら入力手段はデータベースで構成される。さらに、ポートフォリオ収益率算出手段１０５と、最適ポートフォリオ求解手段１０６と、制約条件判定手段１０７と、最適ポートフォリオ表示手段１０８とから構成される。
【００２１】
個別収益率入力手段１０１は、個別銘柄の収益率の期待値に関する情報を入力する。図２に個別銘柄の期待収益率を示す。データの一例は、個別銘柄１４０１個に関するものであり、現在の株価が割安かどうかを過去のデータ等に基づいて推定した収益率の期待値に関する情報が入力されている。
【００２２】
個別因子入力手段１０２は、個別銘柄の収益率の変動要因が銘柄独自の要因で説明できるスペシフィックリスク、時価の総額に対する個別銘柄の時価占有率を表すベンチマーク比率、個別銘柄の収益率の期待値を表す期待収益率等の情報を入力する。図３に個別銘柄に関する情報を示す。データの一例は、個別銘柄１４０１個に関するものであり、スペシフィックリスク、ベンチマーク比率のほか、各個別銘柄が属する業種（電気機器業、輸送用機器、銀行業等）コードが入力されている。
【００２３】
共通因子入力手段１０３は、銘柄全体の収益率に影響を及ぼす共通の因子（以下、共通因子と称する）において、２つの共通因子間の共分散に関する情報を入力する。図４に２つの共通因子間の共分散に関する情報を示す。データの一例は、共通因子１３個に関するもので、１３×１３個のデータが入力されている。因子１と因子２の共分散はマイナスとなっているが、これは因子１の値が大きくなる事象が発生した場合に、因子２の値が小さくなる可能性が大きいことを示す。逆に、因子１と因子３の共分散などのようにプラスの値が入っている場合は、因子１の値が大きくなる事象が発生した場合には、因子２の値も大きくなる可能性が大きいことを示す。
【００２４】
制約パラメータ入力手段１０４は、図４で説明した銘柄全体の収益率に影響を及ぼす共通因子が変化したときのファクタエクスポージャなどで表される制約パラメータを入力する。具体的には、各銘柄の収益率にどのように影響するかを表すファクタエクスポージャに関するデータ、各銘柄が属する業種群（複数の業種をグループ化）への投資比率制約に関するデータ、リスクに関する制約等のデータ等が入力の対象となる。本発明で導出されるポートフォリオは、制約パラメータ入力手段が指示する制約条件の下で、式（７）などで表される効用関数を最大化するものである。
【００２５】
図５に制約パラメータのファクタエクスポージャの一例を示す。共通因子１３個および銘柄１４０１個に関するものであり、１３×１４０１個のデータが入力される。例えば、因子１の値が大きくなった場合に、銘柄１〜３、銘柄５〜８、銘柄１０、……、銘柄１４０１のようにファクタエクスポージャの値がマイナスとなっている銘柄においては、収益率は減少する方向に作用する。逆に、銘柄４、銘柄９、………のようにファクタエクスポージャの値がプラスとなっている銘柄においては、収益率は増大する方向に作用する。
【００２６】
一方、特定の銘柄に着目した場合、例えば、銘柄１においては、因子１、因子２等のようにマイナスの値が大きくなった場合には、収益率を減少させる方向に作用する。また、因子３、因子１３などのようにプラスの値が大きくなった場合には、収益率を増大させる方向に作用する。
【００２７】
図６は制約パラメータの業種群への投資比率を示す。データの一例は、各銘柄を５つの業種群（少なくとも一つ以上の業種から構成される集合）に分類したときに、各々の業種群への投資比率に関する制約を示したものである。例えば業種群３に属する銘柄への投資比率は０．２（＝２０％）とすることを意味する。このデータは業種群への投資比率の制約を考慮する場合にのみ、制約パラメータデータベース１０４に入力される。なお、投資比率の制約は０．１５以上０．２５以下という具合に不等式で入力することも可能である。
【００２８】
ポートフォリオ収益率算出手段１０５は、ポートフォリオを求解する際の制約としてリスクに関する制約式（４）を含む場合に、ポートフォリオの収益率の最大値および最小値を計算する。さらに、最大値より小さく、最小値より大きい収益率を１つ特定し、この値を収益率の制約式とする。すなわち、リスクに関する制約式（４）が二次式であるため、一次式である収益率の制約式として取り扱えるようにするための前処理である。
【００２９】
なお、特に図示していないが、リスクに関する制約に関しても上限値および下限値を与えることができる。具体的には、式（４）におけるＲｉｓｋ＿ＬＯおよびＲｉｓｋ＿ＵＰの値をそれぞれ（４．９５、５．９５）あるいは（７．９５、８．９５）などと与えるようにする。
【００３０】
最適ポートフォリオ求解手段１０６は、各入力手段（データベース）１０１〜１０４に入力された情報およびポートフォリオ収益率算出手段１０５において得られた収益率の制約値に基づいて、購入対象とする株式および購入比率を導出する。求解手段１０６においては、最適なポートフォリオ割り当てを導出する方法に関して工夫を施しているが、これについては後述する。
【００３１】
制約条件判定手段１０７は、最適ポートフォリオ求解手段１０６が導出したポートフォリオが、リスクに関する制約式（４）を満たしているかどうかを判定する。制約式（４）を満たしていれば、現在得ているポートフォリオを最適解とし、満たしていなければポートフォリオの収益率の最大値および最小値を更新する。具体的な方法の詳細については、後述する。
【００３２】
最適ポートフォリオ表示手段１０８は、最適ポートフォリオ求解手段１０６で導出し、さらに、制約条件判定手段１０７においてリスクに関する制約を満たしていると判定されたポートフォリオを意味する、購入対象の株式および購入比率等に関する情報を出力する。
【００３３】
次に、ポートフォリオ収益率算出手段１０５において、最適ポートフォリオ求解手段１０６の前処理として実施する処理の内容について説明する。
【００３４】
図７は、効率的フロンティア曲線の形状を示したものである。収益率が等しい２つのポートフォリオにおいては、リスクが小さければ小さいほど投資家の効用が大きく、リスクが等しい２つのポートフォリオにおいては、収益率が大きければ大きいほど投資家の効用が大きい。この事実に立脚して、効率的フロンティアとは、構築可能なポートフォリオの集合の部分集合で、投資家の効用が最大となる可能性を持つポートフォリオの集合を意味する。そして、図７に示すように、リスク回避度λが小さい場合には、ハイリスクハイリターン型のポートフォリオが、λが大きい場合には、ローリスクローリターン型のポートフォリオがそれぞれ得られる。
【００３５】
次に、ポートフォリオ選択問題において、リスクの制約が存在する場合を想定し、リスクの制約がポートフォリオの最適解に及ぼす作用について説明する。図８に効率的フロンティア曲線とリスクの制約との関係を示す。効率的フロンティア曲線が示すように、リスクとリターンは、リスクを小さくするにはリターンも小さくなってしまい、逆にリターンを大きくするにはリスクも大きくなってしまうというトレードオフの関係にある。言い換えればリスクとリターンは１対１に対応している。
【００３６】
図８に示すように、リスクの制約をＲｋ１以上Ｒｋ２以下に設定する場合には、収益率の値がＲｔ１以上Ｒｔ２以下になっていればよいことがわかる。従って、収益率の値の領域を、所定のリスクの制約を満たすポートフォリオが得られるまで、最適化手法の適用によって逐次低減すればよいことがわかる。なお、収益率の領域を低減する際に最適化手法を適用する理由は、リスクとリターンの厳密な関係については最適化手法を適用しないと認識できないためである。
【００３７】
以上の事実を考慮して、最適ポートフォリオ決定のアルゴリズムを設計した。図９は最適ポートフォリ決定のアルゴリズムを示すフロー図で、ステップ９０１からステップ９０７によって構成される。ステップ９０１においては、個別収益率データベース、個別因子データベース、共通因子データベースおよび制約パラメータデータベースから、二次計画問題のデータを入力する処理である。ステップ９０２およびステップ９０４は、最適ポートフォリオ求解手段１０６において、最適ポートフォリオを求解する処理に相当する。ステップ９０３およびステップ９０６は、ポートフォリオ収益率算出手段１０５において、収益率の制約値を与える処理に相当する。ステップ９０５は、制約条件判定手段１０７において、リスクに関する制約式を満たしているかどうかを判定する。ステップ９０７は、最適ポートフォリオ表示手段１０８において、得られた最適解の情報を出力する。以下、ステップ９０１からステップ９０７の処理の詳細について説明する。
＜ステップ９０１：最適ポートフォリオ決定問題のデータを入力＞
ステップ９０１においては、最適ポートフォリオ決定問題のデータを入力する。入力されるデータは、図２および図３に示した個別銘柄の属性を示すデータ、図４に示した銘柄全体の収益に影響を及ぼす共通因子間の分散および共分散を示すデータ、図５に示した各共通因子における個別銘柄への収益への影響度を意味するファクタエクスポージャを示すデータである。さらに、リスクの制約を考慮する場合にはリスクの上下限値、収益率の制約を考慮する場合には収益率の上下限値が該当する。なお、投資比率の制約を考慮する場合には、図６に示した業種群への投資比率を意味するデータも二次計画問題のデータに該当するが、投資比率の制約を考慮しない場合には、図６のデータは二次計画問題のデータには該当しない。
＜ステップ９０２：最適ポートフォリオ決定問題でリスクの制約を含むかを判定＞
ステップ９０２においては、最適ポートフォリオ決定問題において、リスクの制約を含むかどうかを判定する。リスクの制約を含む場合には収益率の制約とする最適化問題に変換するため、ステップ９０３に進む。リスクの制約を含まない場合には、ステップ９０４に進む。
＜ステップ９０３：収益率の制約値を特定＞
ステップ９０３においては、最適ポートフォリオ決定問題において、収益率の制約値を特定する。収益率の制約値は、有効フロンティア上のポートフォリオ全体の収益率の最大値より小さく、最小値より大きくなければならないが、本実施例においては、最大値と最小値の平均値で与えるものとする。なお、収益率の最大値は個別銘柄の収益率の中で最大の値として、収益率の最小値は個別銘柄の時価占有割合に比例配分したポートフォリオの収益率としてそれぞれ定義することが可能である。
＜ステップ９０４：二次計画法の適用＞
ステップ９０４においては、リスクを制約式として含む場合は、ステップ９０３またはステップ９０６で定義された最適ポートフォリオ決定問題に、リスクを制約式として含まない場合は、所与の最適ポートフォリオ決定問題に二次計画法を適用する。二次計画法としては、主双対内点法を用いるものとするが、この詳細については後述する。
＜ステップ９０５：現在得られている解がリスクの制約を満たしているかを判定＞
ステップ９０５においては、現在得られている解がリスクの制約を満たしているかを判定する。満たしていればアルゴリズムの実行を終了し、満たしていなければステップ９０６に進む。なお、リスクの制約が与えられていない場合には、リスクの制約を満たしているものとして、アルゴリズムの実行を終了する。
＜ステップ９０６：ポートフォリオの収益率の最大値または最小値の更新＞
ステップ９０６においては、ステップ９０３において算出したポートフォリオの収益率の最大値および最小値のいずれかの値を更新する。現在得られているポートフォリオの値がリスクの制約より小さい場合には、ポートフォリオの最小値を収益率の制約値に更新し、リスクの制約より大きい場合には、ポートフォリオの最大値を収益率の制約値に更新する。また、これに伴って収益率の制約値も最大値より小さく最小値より大きい値に、具体的には最大値と最小値の平均値に更新する。
＜ステップ９０７：得られた最適解の出力＞
ステップ９０７においては、ステップ９０１からステップ９０６の処理によって得られた最適解を最適ポートフォリオ表示手段において表示させる。詳細については後述する。
【００３８】
次にステップ９０４における二次計画法の適用の詳細について説明する。最適化問題の解法としては、大規模な問題においても点列の更新回数が少なく、優れた性能を発揮する内点法に準拠した実施例を示すものとするが、有効制約法等の他の解法に準拠した実施の形態も考えられる。
【００３９】
最適化問題は、最小化を表す式（９）、制約式を表す式（１０）で記述される二次計画問題の標準形に定式化される。
最小化：ｃ^Ｔｘ＋ｘ^ＴＱｘ／２＋ｄ　　　…（９）
制約式：Ａｘ＝ｂ、　ｘ≧０　　　　　…（１０）
ここで、ｃはＮ次元ベクトル、ＱはＮ次元正方行列、ＡはＭ×Ｎ次元行列、ｂはＭ次元ベクトルである。
【００４０】
図１０および図１１は、式（９）の目的関数および式（１０）の制約式において要素が入っている箇所の構造を示す。
【００４１】
図１０の目的関数においては、目的関数の二次係数を示す行列Ｑ（＝２λ（Δ＋Ｆ））において、左上の対角部分行列Δおよび右下の部分行列Ｆのみに０以外の要素が入っており、他の部分はすべて０となっている。すなわち、銘柄数および共通因子数をそれぞれ１４０１個および１３個とした場合、０を含む全ての要素約２０８万個の内、０以外の要素は１６００個と全体の０．１％に満たない数である。最適化計算を高速にするためには、この二次係数行列の性質を考慮することが必須である。なお、目的関数の一次係数を示すベクトルｃ（＝−α−２λｈ_ｍ ^ＴＧ）においては、大半が０以外の要素であるが、二次の係数行列と比較して要素数そのものが少ないために問題にはならない。
【００４２】
図１１の制約式においては、制約式の左辺に現れる行列Ａにおいて、左半分および右上の対角部分のみに０以外の要素が入っている。最適化計算を高速化する際に、このような性質を考慮することが必要である。
【００４３】
次に、図１０に示す最適化問題において現れる変数ｈ_ｐおよびｙに着目した時、両者の変数は正でなければならない。しかしながら、共通因子を取り扱うために導入した変数ｙは、図１０に示すように、二次計画問題の制約式（９）に現れる非負制約を満たさない。そのため、図１０および図１１に示した二次計画問題に対して代表的な解法の一つである内点法を、そのままの形式で適用することができない。内点法を適用できるようにするためには、変数ｙにおいて、式（１１）のように、十分に大きな正の数ｓを加えることによって、変数が正になるように変換する。なお、式（１１）におけるベクトルｅは、すべての要素が１のベクトルを意味する。
Ｙ＝ｙ＋ｓ＊ｅ　　　　　　　　　　　　…（１１）
このように変換した後、つまりｙ＝Ｙ−ｓ＊ｅを代入して変形した後の二次計画問題の構造は、図１２および図１３のようになる。図１２および図１３と図１０および図１１との違いは、一次の係数ベクトルの右側が０要素から０以外の要素（ｃ_ｙ ^Ｔ）に変更した点、制約式の右辺ベクトルの上側が０要素から０以外の要素（−ｓ＊ｅ）に変更した点など、ベクトル構造の相違にある。しかし、行列の基本構造に関しては違いがないために、計算量への影響は発生しない。
【００４４】
つぎに、最適ポートフォリオ求解手段について説明する。まず、最適化問題の解法である内点法の概要について図面を用いて説明する。
【００４５】
図１４は内点法の全体的な流れおよび概念図を示す。まず、ステップ１４０１において、初期点を設定する。次に、ステップ１４０２において、制約条件の違反量ができるだけ小さくなるように探索方向をニュートン法で計算し、点列を更新する。このステップ１４０２によって、制約領域内の点を探索する。最後に、ステップ１４０３において、実行可能領域の中で目的関数を最大化する点を探索する。
【００４６】
基本的には、主問題（元々の問題）と双対問題（主問題から派生してできた二次計画問題）の目的関数の差が小さくなるように、探索方向をニュートン法で計算し、点列を更新する。このように点列の更新を繰り返して、目的関数の差が０になったときに、最適解が得られる。
【００４７】
また、内点法は前述の二次計画問題の最適解をｘ＊としたとき、等式制約および不等式制約（ｘの非負制約）に対応するｙ＊およびｚ＊を適切に選ぶと、（ｘ、ｙ、ｚ）＝（ｘ＊、ｙ＊、ｚ＊）は、以下の非線形方程式を満たすことが知られている。なお、理論的背景に関しては、文献「茨木俊秀、福島雅夫著、ＦＯＲＴＲＡＮ７７最適化プログラミング、岩波書店、Ｐ４５３−４５７（引例４）」に記載されているので、詳細については省略する。
【００４８】
主問題の制約条件を式（１２）、双対問題の制約条件を式（１３）、相補性条件を式（１４）で表す。
Ａｘ＝ｂ　　　　　　　　　…（１２）
Ａ^Ｔｙ−Ｑｘ＋ｚ＝ｃ　…（１３）
ｘ^Ｔｚ＝０、ｘ≧０、ｚ≧０　　…（１４）
二次計画問題を解くためには、上記の非線形方程式の解を求めればよい。内点法では非線形方程式を正の実数μを用いて、相補性条件を式（１５）のように変形して、ニュートン法を基本とした手法を用いる。
ｘ^Ｔｚ＝μ、ｘ＞０、ｚ＞０　　　　…（１５）
具体的には、μをある程度の大きい正の数に設定し、非線形方程式を近似的に解き、μを逐次０に近づけながら点列（ｘ_ｋ，ｙ_ｋ，ｚ_ｋ）（ｋ＝０，１，２，３，……）を更新することによって、二次計画問題の最適解を求める。
【００４９】
実際のプログラムにおいては、μをβ＊ｘ_ｋ ^Ｔｚ_ｋ／ｎに設定、解が制約領域外ならばβを１に近い値、制約領域内ならばβを０に近い値として探索方向を制御し、式（１６）〜（１８）に示すニュートン方程式を解いている。
Ａｄｘ＝−（Ａｘ_ｋ−ｂ）　　　　　　　　　　　…（１６）
Ａ^Ｔｄｙ−Ｑｄｘ＋ｄｚ＝−（Ａ^Ｔｙ_ｋ−Ｑｘ_ｋ＋ｚ_ｋ−ｃ）　　…（１７）
Ｚ_ｋｄｘ＋Ｘ_ｋｄｚ＝−（Ｘ_ｋｚ_ｋ−μ＊ｅ）
＝−｛Ｘ_ｋｚ_ｋ−（β＊ｘ_ｋ ^Ｔｚ_ｋ／ｎ）＊ｅ｝　　　　…（１８）
ニュートン方程式を解いて探索方向を求め、さらに上記制約条件および相補性条件の違反度を減少させ、ｘ＞０およびｚ＞０を満たすステップ幅を計算して点列を更新する。なお、式（１８）において、Ｘ_ｋおよびＺ_ｋはそれぞれｋ番目の反復点のベクトルを対角要素とする対角行列、ｅは全ての要素が１のベクトルである。
【００５０】
以上のことを考慮して設計された二次計画法のアルゴリズムは、図１５のようにステップ１５０１からステップ１５１０によって構成される。以下、各々のステップにおける処理の詳細について説明する。
＜ステップ１５０１：初期点の設定＞
ステップ１５０１においては、最適解の探索を開始する初期点のデータを設定する。初期点としてはｘおよびｚに関連する要素を正の値（例えば一律１とするなど）に、ｙに関連する要素を任意の値（例えば一律０など）に設定する。
＜ステップ１５０２：現在得られている点の相補性条件及び制約条件の違反量計算＞
ステップ１５０２においてはニュートン方程式（１６）、（１７）の右辺ベクトルおよび制約条件の違反量を示す右辺ベクトルのノルム値、さらに相補性条件（１４）の左辺の値ｘ^Ｔｚの値を計算する。
【００５１】
ニュートン方程式（１６）の右辺ベクトルは、図１６に示すようにブロック化して計算を実施する。図１６に示す計算においては、係数行列Ａの右半分の大半の要素が０であることを利用しているため、図１６の右辺のようになる。
【００５２】
また、ニュートン方程式（１７）の右辺ベクトルは、図１７に示すようにブロック化して計算を実施する。図１４に示す計算においては、係数行列Ａ^Ｔの下半分の大半の要素が０であること、さらに係数行列Ｑの左上の対角部分および右下の部分のみに０以外の要素が現れることを利用している。この結果、図１７の右辺のようになることがわかる。なお、図１６および図１７は、業種群の投資比率制約を考慮する場合の行列のブロック図を示しているが、業種群の投資比率を考慮しない場合においては、Ａ_ｓの部分が存在しなくなる。
＜ステップ１５０３：相補性条件および制約条件の違反量が所定値以下かどうかをチェック＞
ステップ１５０３においては、現在得られている反復点において、制約条件の違反量および相補性条件が許容誤差範囲内かどうかを判定する。具体的には、制約条件（１２）、（１３）および相補性条件（１４）を満たしているかどうかを判定する。実際の計算機上における演算においては、近似的に式（１２）、（１３）、（１４）を満たしているかどうかを判定している。相補性条件（１４）について示すと、式（１４）’のようになる。
｜｜ｘ^Ｔｚ｜｜　＜ε　　　　　　　　　　（１４）’
εに十分０に近い値（例えば１０^−１０など）を持つ不等式を最適性の判別に用いる。
＜ステップ１５０４：μの値を計算＞
ステップ１５０４においては、ニュートン方程式（１５）に関連するμの値を計算する。具体的には式（１８）に示している（β＊ｘ _ｋ　 ^Ｔｚ _ｋ／ｎ）をμの値に設定している。なお、現在の反復点が制約条件（１２）を満たしていない場合には、制約条件（１２）を満たす反復点を探索するために、βの値を１に近い値（例えば０．９９など）に設定する。制約条件（１２）を満たしている場合には、最適解を探索するために、βの値を０に近い値（例えば０．０１など）に設定する。このようなβの設定方法は、図１４で示したステップ１４０２およびステップ１４０３の処理にそれぞれ対応している。
＜ステップ１５０５：ニュートン方程式（１８）の右辺ベクトルを計算＞
ステップ１５０５においては、ニュートン方程式（１８）の右辺のベクトルを計算する。
＜ステップ１５０６：連立方程式（１６）（１７）（１８）を求解＞
ステップ１５０６においては、ニュートン方程式（１６）（１７）（１８）を解いて現在の反復点の探索方向（ｄｘ、ｄｙ、ｄｚ）を求める。連立方程式を解く際には、以下の式（１９）、（２０）、（２１）に基づいて、ｄｙ、ｄｘ、ｄｚの順に解を求める。
Ａ（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１Ａ^Ｔｄｙ＝−ｇ（ｘ）−Ａ（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１（ｇ（ｙ）−Ｘ^−１ｇ（ｚ））…（１９）
（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１ｄｘ＝−ｇ（ｙ）＋Ｘ^−１ｇ（ｚ）−Ａ^Ｔ　ｄｙ　　　　　　　　…（２０）
ｄｚ＝Ｘ^−１ｇ（ｚ）−Ｘ^−１Ｚ　ｄｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　…（２１）
ここで、ｇ（ｘ）、ｇ（ｙ）、ｇ（ｚ）はそれぞれステップ１５０３およびステップ１５０４で求めた−（ｂ−Ａｘ_ｋ）、−（Ａ^Ｔｙ_ｋ−Ｑｘ_ｋ＋ｚ_ｋ−ｃ）、−｛Ｘ_ｋｚ_ｋ−（βｘ_ｋ ^Ｔｚ_ｋ／ｎ）＊ｅ｝に相当する。
【００５３】
式（１９）（２０）（２１）において、ＸおよびＺは、それぞれｘおよびｚを対角要素に持つ対角行列である。
【００５４】
式（１９）を解く際には、行列をブロック化して処理を行うが、処理内容は複雑であるために、図１８から図２１の図面を用いて説明する。なお、図面においては、業種群の制約を考慮する場合について示しているが、業種群の制約を考慮しない場合については、Ａ_ｓに関連する部分行列が計算対象から除外され、それ以外は全く同一である。
【００５５】
式（１９）を解くにあたっては、まず、Ｑ＋Ｘ^−１Ｚの逆行列を求める必要がある。行列Ｑ＋Ｘ^−１Ｚの次元数は、個別銘柄および共通因子の数をそれぞれ（Ｎ，Ｋ）とする。図２および図４の例においては、Ｎ＝１４０１、Ｋ＝１３で、Ｎ＋Ｋ＝１４１４である。
【００５６】
図１８に示すように、行列Ｑと要素が入っている構造は同一であり、左上の対角部分と右下の部分に０以外の要素が存在する。従って、Ｑ＋Ｘ^−１Ｚの逆行列（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１を求めるにあたっては、このような行列構造を考慮して４つの部分行列に分割する。
【００５７】
図の左上部分に関しては単に逆数を計算するだけでよく、右下部分についてのみ三角分解法などの逆行列演算ルーチンを適用すればよい。従って、逆行列演算ルーチンを適用する行列の次元数はＫ（図２および図３の例では１３）となる。一般に、逆行列の演算時間は行列の次元数の３乗に比例するので、Ｋ＝１３の場合には、演算時間が（１４／１４１４）＊（１４／１４１４）＊（１４／１４１４）より約百万分の一になることがわかる。また、０要素であるかどうかの判別をしなくて済むだけでも大幅に処理時間を短縮することができる。
【００５８】
このように、本実施例では、最適ポートフォリオを求解するための前処理として、前記目的関数に現れる係数行列を、個別変動因子に関連する第１の部分行列と共通変動因子に関連する第２の部分行列に分割する。第１の部分行列は選択し得る金融商品の数に対応して対角成分の部分に要素を持つ対角行列、第２の部分行列は共通変動因子と共通変動因子の積を次元とする行列を用いている。
【００５９】
上記のように（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１を求めた後には、行列Ａと（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１の積を求める。ニュートン方程式（１９）におけるそれぞれの行列の要素構造は、図１９のようになっている。図１９においても、図１６および図１７と同様に、係数行列Ａ^Ｔの下半分の大半が０であること、係数行列Ｑの左上の対角部分および右下の部分のみに０以外の要素が入ることなどを考慮して計算を実施する。
【００６０】
すなわち、行列Ａは業種群の制約を考慮する場合には６つの部分行列に、業種群の制約を考慮しない場合には４つの部分行列にそれぞれ分割する。行列Ａの分割処理は、業種群の制約を考慮する場合と業種群の制約を考慮しない場合とがある。
【００６１】
業種群の制約を考慮しない場合は、前処理として、制約パラメータから構成される行列Ａを金融商品及び共通変動因子に関連する部分行列と、共通変動因子に関連する部分行列と、金融商品及びその購入量に関連する部分行列に分割する。また、業種群の制約を考慮する場合は、前処理として行列Ａを次のように分割する。すなわち、金融商品及び共通変動因子に関連する部分行列と、共通変動因子に関連する部分行列と、金融商品及びその購入量に関連する部分行列と、金融商品を複数の群に分割した場合における各群の購入量に関連する部分行列に分割する。
【００６２】
また、行列Ａの構造の特徴は、業種群の制約を考慮する場合と業種群の制約を考慮しない場合がある。業種群の制約を考慮しない場合は、金融商品及び共通変動因子に関連する部分行列が金融商品と共通変動因子の積を次元とする行列である。さらに、共通変動因子に関連する部分行列が共通変動因子の数に対応して対角成分の部分に要素をもつ対角行列で、金融商品の購入量の制約に関連する部分行列が金融商品の数に対応して対角成分の部分に要素をもつ対角行列である。また、業種群の制約を考慮する場合は、考慮しない場合に加えて、金融商品の属する群の購入量の制約に関連する部分行列が群の数と金融商品の積を次元とする行列となる。
【００６３】
行列（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）は前述と同様に４つの部分行列に分割する。また、Ａ×（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１は図１９より左辺と右辺に現れているため、行列の積を求めた後の行列の要素構造は図２０のようになる。図２０は行列Ａ×（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１においては、右下部分が０になっていることを示している。
【００６４】
さらに、Ａ×（Ｑ＋Ｘ^−１Ｚ）^−１×Ａ^Ｔ等を計算した後の行列の要素構造は図２１のようになる。図２１においては、全ての要素が０以外の要素になっているものの、行列のサイズは１３×１３次元であり、計算に要する時間は小さい。図２１のように左辺および右辺における行列およびベクトルの演算処理を実施した後に、ガウスの消去法によって連立方程式を解き、得られた解をｄｙとする。この後は、ｄｙを式（２０）に代入して、同様の行列処理によってｄｘを、さらにｄｘを式（２１）に代入してｄｚを求める。
【００６５】
図１９から図２１における一連の行列処理により、０要素の計算あるいは０要素であるかどうかの判別（非零要素のみの計算）といった不必要な手間が省かれている。また、その結果として、（Ｎ＋Ｋ）次の正方行列を直接取り扱わないですみ、さらに逆行列の演算およびガウスの消去法による適用時の行列のサイズが小さくてすむ。
＜ステップ１５０７：ステップ幅の計算＞
ステップ１５０７においては、現在の反復点における更新の度合を示すステップ幅を計算する。ステップ幅の計算方法は式（２２）、（２３）を満足する全てのｄｘの要素、ｄｚの要素が対象である。
α_ｐ＝ｍｉｎ（−ｘ_ｋ／ｄｘ）、ｄｘ＜０　　　…（２２）
α_ｄ＝ｍｉｎ（−ｚ_ｋ／ｄｚ）、ｄｚ＜０　　　…（２３）
式（２２），（２３）に示すように、内点法の実行にあたっては、非負制約の対象となっている変数ｘ_ｋおよびｚ_ｋの値が正になるようにして点列を更新する。
＜ステップ１５０８：反復点の更新＞
ステップ１５０８においては、ステップ１５０６およびステップ１５０７において計算した探索方向（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）およびステップ幅（α_ｐ，α_ｄ）に基づいて現在の反復点を更新する。更新は式（２４）、（２５）、（２６）で行う。
ｘ_ｋ＋１＝ｘ_ｋ＋α_ｐｄｘ　　　　　　　　　　　　　…（２４）
ｙ_ｋ＋１＝ｙ_ｋ＋α_ｄｄｙ　　　　　　　　　　　　　…（２５）
ｚ_ｋ＋１＝ｚ_ｋ＋α_ｄｄｚ　　　　　　　　　　　　　…（２６）
＜ステップ１５０９：現在の反復点を最適解に設定＞
ステップ１５０９においては、更新後の反復点が最適性の条件（１２）（１３）（１４）を満たしていることが分かっているため、この反復点を最適解に設定する。これら反復点に関連する情報は、最適ポートフォリオ表示手段１０８において表示される。
【００６６】
次に、最適ポートフォリオ求解手段１０６において求解された最適ポートフォリオに関する情報を、最適ポートフォリオ出力手段１０８において出力する実施例を説明する。図２２は、千数百銘柄を計算の対象とした場合における出力例であり、リスクの制約を４．９５以上５．０５以下に設定して場合の出力結果を示す。
【００６７】
図２２では、銘柄番号および投資比率のほか、業種コード、業種セクタ、ベンチマーク比率、期待収益率に関するデータを表示している。（ａ）は投資比率が正、つまり投資の対象となっている個別銘柄１８３個の情報を投資比率の大きい順に表示しており、ベンチマーク比率および期待収益率のカッコ内はすべての投資対象１４０１銘柄の（比率０のものを含む）中における順位を示している。すなわち、銘柄１４６はベンチマーク比率が最も大きいことを、期待収益率は８９７番目（すなわち、中央値よりも低い）例えば、銘柄番号が１４６、８７７、１３２１等はベンチマーク比率が比較的大きいためリスクの極小化を指向して選択されていることを示している。逆に、銘柄１３２８、５６５、７９４等は収益率の極大化を指向して選択されていることを示している。また、（ｂ）は最適ポートフォリオにおける投資対象の銘柄数、収益率、およびリスクに関する情報を示し、個別銘柄の情報と共に出力される。
【００６８】
図２３に、リスクの制約を４．９５以上５．０５以下から７．９５以上８．０５以下に変更した場合の出力結果を示す。図２２と図２３を比較すると、ベンチマーク比率最大の銘柄１４６の投資比率が８．８％から８．６％に減少しており、逆に収益率最大の銘柄１３２８の投資比率が６．５％から１１．０％に増加している。これより、リスクの許容値を大きくすることにより、高収益なポートフォリオが求まったことを示している。また、投資対象の銘柄数も図２２の１８３個から１０７個に減少している。図２２ではリスクの低減を指向するために、投資対象が分散されていたのに対して、図２３では高収益を指向するために、収益率が比較的高い投資対象に偏っていることを示している。
【００６９】
図２４に最適ポートフォリオに関する別の表示を示す。図２４は図２２と同一の結果を示したものであり、図示のように、個別銘柄の情報において、投資比率および銘柄番号以外には、業種コードおよび業種セクタに限定するなど、特定の項目のみを出力している。なお、投資比率だけではなく、図５に示した個別銘柄の共通因子に関するパラメータを表示して、共通因子と投資比率との関連が分かるように出力することも可能である。
【００７０】
図２５はポートフォリオが更新される様子を示した説明図である。最適ポートフォリオ出力手段１０８において、リスクの制約を含む最適ポートフォリオ決定問題の求解の状況を示している。図示している番号▲１▼▲２▼▲３▼………は本発明による逐次的な最適化計算を実施した際に得られたポートフォリオのリスクおよびリターンを順次プロットしたもので、最適ポートフォリオ表示手段１０８により出力される。
【００７１】
図において、実線で記した曲線は効率的フロンティア曲線に相当し、リスク（＝トラッキングエラー）の制約として４．９％以上５．１％以下であることを要求している。図示のように、所望のリスクの制約を満たす最適なポートフォリオを求めるまでに最適化手法が７回適用されたことを示しており、また収益率の領域に関しても最適化計算の実施毎に短縮されていることが分かる。このことは、制約条件判定手段１０７において、リスクの制約を満たしているかが、７回判定されたことを意味する。
【００７２】
また、図２５において、特定の点（例えば▲１▼▲２▼………▲６▼で示した番号または最適点）をマウスなどでシングルクリックした場合には、図２２（ｂ）に示したポートフォリオ全体の収益率およびリスクに関する情報が表示される。さらにダブルクリックした場合には図２２（ａ）または図２３に示した個別銘柄に関する情報が表示される。
【００７３】
図２６は、本発明による最適ポートフォリオ回答システムの構成の一例を示している。最適ポートフォリオを計算して、各々の顧客に提示するための計算機装置はパソコンによって構成されている。最適ポートフォリオを求めるにあたっては、個別の銘柄に関する情報および個別の銘柄の収益に影響を及ぼすパラメータの情報などを記憶するデータベースが必要である。また、これらのデータベースに基づいてシミュレーションを行い、各々の顧客にシミュレーション結果を表示するためのアプリケーションソフトが必要である。
【００７４】
図２６において、顧客の複数のクライアント計算機はコンピュータネットワークに接続されている。クライアントは収益率及び／又はリスクを送信して、最適ポートフォリオの回答をサーバに要求する。ホスト側のサーバには、上記のデータベースを構築するためのアプリケーションがインストールされており、サーバに接続されている４つのデータベースが記憶されている。すなわち、個々の金融商品の収益率の期待値、金融商品全体の収益に影響する要因である共通変動因子、及び金融商品全体の収益に影響する要因である共通変動因子を格納している。さらに、金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするための制約条件を構成する制約パラメータを格納している。なお、収益率やリスクはクライアントから受信したデータにより設定される。
【００７５】
中央演算処理装置は、最適化ポートフォリオの計算を行うためのアプリケーションソフトとユーザにシミュレーションの結果を表示するプログラムとがインストールされている。そして、４つのデータベースから入力されたデータに基いて最適ポートフォリオを計算するシミュレーションを実施する。中央演算処理装置において計算された最適ポートフォリオに関するデータは、計算機ネットワークを介して、顧客側のクライアント計算機に転送される。
【００７６】
顧客側のクライアント計算機においては、サーバ側の計算機によって計算された最適ポートフォリオに関する情報を受信して、最適ポートフォリオを表示する。表示される最適ポートフォリオの形式は図２２から図２５に示したように、個別銘柄に関する情報およびポートフォリオ全体の収益率およびリスク、さらには有効フロンティア曲線の形状およびプロットに対応するポートフォリオの情報などを表示する。なお、クライアント計算機においては、最適ポートフォリオを表示するためのアプリケーションプログラムおよび顧客にとっての最適化指針に関するデータを入力するためのアプリケーションプログラムがインストールされていればよい。
【００７７】
かくして、本発明の最適ポートフォリオ決定装置のシステム構成を構築することにより、サーバがクライアントからの要求に基づき最適ポートフォリオの決定を行なって、クライアントへ応答するビジネスが可能になる。
【００７８】
以上のように、本実施例のポートフォリオ決定方法および装置によれば、顧客の資金を預かって株式等に投資するファンドマネージャ等が、リスクおよびリターンから構成される投資家の効用を最適化する。そして、購入の対象とする個別銘柄の株式等の金融商品および購入量を決定する際に、効率的に実施することが可能になる。
【００７９】
【発明の効果】
本発明によれば、購入の対象とする個別銘柄の株式等の金融商品および購入量を決定する際に、最適ポートフォリオを効率的に決定できる効果がある。特に二次の制約であるリスクの制約を包含する場合においても、本発明による二次計画法を逐次解く手法は、一層効率的である。
【００８０】
従来の購入対象の決定では、個別の投資対象の収益性等を示すパラメータを、回帰分析等の統計処理を複数回実施して推定し、二次計画問題などで定式化された数理計画問題を何度も解く必要があった。このため、本発明を用いることにより、最適ポートフォリオを計算する時間の短縮効果は絶大である。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の最適ポートフォリオ決定装置の構成を示すブロック図。
【図２】個別収益率データベースに入力されるデータ形式の説明図。
【図３】個別因子データベースに入力されるデータ形式の説明図。
【図４】共通因子データベースに入力されるデータ形式の説明図。
【図５】制約パラメータデータベースに入力されるデータ形式の説明図。
【図６】制約パラメータのデータ形式の例を示す説明図。
【図７】投資可能集合と効率的フロンティア曲線との関係を示す説明図。
【図８】効率的フロンティア曲線およびポートフォリオの収益率の領域を示す説明図。
【図９】ポートフォリオ決定の概要を示すフローチャート。
【図１０】定式化した二次計画問題の目的関数の形式の一例を示す説明図。
【図１１】定式化した二次計画問題の制約式の形式の一例を示す説明図。
【図１２】定式化後、所定形式に変換した二次計画問題の目的関数の形式の一例を示す説明図。
【図１３】定式化後、所定形式に変換した二次計画問題の制約式の形式の一例を示す説明図。
【図１４】対象としている二次計画問題の解法の概要を示すフローチャート。
【図１５】対象としている二次計画問題の解法の詳細を示すフローチャート。
【図１６】制約条件の違反量の計算方法を示す第１の説明図。
【図１７】制約条件の違反量の計算方法を示す第２の説明図。
【図１８】ニュートン方程式の解を算出する方法を示す第１の説明図。
【図１９】ニュートン方程式の解を算出する方法を示す第２の説明図。
【図２０】ニュートン方程式の解を算出する方法を示す第３の説明図。
【図２１】ニュートン方程式の解を算出する方法を示す第４の説明図。
【図２２】最適ポートフォリオの出力形式を示す第１の説明図。
【図２３】最適ポートフォリオの出力形式を示す第２の説明図。
【図２４】最適ポートフォリオの出力形式を示す第３の説明図。
【図２５】最適ポートフォリオの出力形式を示す第４の説明図。
【図２６】最適ポートフォリオ決定装置のシステムの一例を示す構成図。
【符号の説明】
１０１…個別収益率入力手段、１０２…個別因子入力手段、１０３…共通因子入力手段、１０４…制約パラメータ入力手段、１０５…ポートフォリオ収益率算出手段、１０６…最適ポートフォリオ求解手段、１０７…制約条件判定手段、１０８…最適ポートフォリオ表示手段。

Claims

複数の金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするように、複数の金融商品の中から各々の金融商品の購入量を決定する最適ポートフォリオ決定方法において、
個々の金融商品の収益率の期待値と、収益に影響を及ぼす金融商品独自の要因である個別変動因子と、金融商品全体の収益に影響する要因である共通変動因子と、金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするための制約条件を構成する制約パラメータを入力する入力ステップと、入力されたデータに基づいて前記目的関数を最大化するように購入する金融商品およびその購入量を導出する求解ステップと、前記求解ステップにおいて導出した購入する金融商品およびその購入量が所定の制約を満足するかを判定する判定ステップとを有することを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項１において、
前記求解ステップの前処理として、前記リスクの制約を含む場合に、該リスクの制約を収益率の制約に変換して処理することを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項２において、
前記リスクの制約を収益率の制約に変換して処理する際に、ポートフォリオの収益率の最大値と最小値の中間の値を、収益率の制約値として取り扱うことを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項１において、
前記判定ステップにおいて、所定の制約がリスクの制約であることを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項１において、
前記求解ステップの前処理として、前記目的関数に現れる係数行列を、金融商品の個別変動因子に関連する部分行列と共通変動因子に関連する部分行列に分割して処理することを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項１において、
前記求解ステップの前処理として、前記制約パラメータから構成される行列を、前記金融商品および前記共通変動因子に関連する部分行列と、前記共通変動因子に関連する部分行列と、前記金融商品およびその購入量に関連する部分行列に分割して処理することを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項６において、
前記金融商品および共通変動因子に関連する部分行列が、前記金融商品と前記共通変動因子の積を次元とする行列であることを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項７において、
前記求解ステップの前処理として、前記制約パラメータから構成される行列を、前記金融商品および前記共通変動因子に関連する部分行列と、前記共通変動因子に関連する部分行列と、前記金融商品およびその購入量に関連する部分行列と、前記金融商品を複数の群に分割した場合における各群の購入量に関連する部分行列に分解して処理することを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
請求項１において、
前記購入する金融商品およびその購入量に関し、前記目的関数を構成する収益変動を示すリスクと収益率を出力する表示ステップを有することを特徴とする最適ポートフォリオ決定方法。
計算機装置を有し、複数の金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするように、複数の金融商品の中から各々の金融商品の購入量を決定する最適ポートフォリオ決定装置において、
前記計算機装置は、個々の金融商品の収益率の期待値、収益に影響を及ぼす金融商品独自の要因である個別変動因子、金融商品全体の収益に影響する要因である共通変動因子、及び金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするための制約条件を構成する制約パラメータを格納する記憶装置と、前記記憶装置に格納されたデータに基づいて前記目的関数を最大化するように購入する金融商品およびその購入量を導出する最適ポートフォリオ求解装置と、該決定された最適ポートフォリオを出力する表示装置を備えることを特徴とする最適ポートフォリオ決定装置。
サーバと複数のクライアント計算機をネットワークで結ぶ最適ポートフォリオ回答システムにおいて、
前記サーバは、個々の金融商品の収益率の期待値、収益に影響を及ぼす金融商品独自の要因である個別変動因子、金融商品全体の収益に影響する要因である共通変動因子、及び金融商品全体の収益率と収益に影響を及ぼすリスクから構成される目的関数を最適にするための制約条件を構成する制約パラメータをそれぞれ格納するデータベースと、各データベースからのデータを入力し前記目的関数を最大化するように購入する金融商品およびその購入量を導出する中央演算処理装置を備え、
前記クライアント計算機から要求された収益率又はリスクの制約に基づいて、前記中央演算処理装置で導出した金融商品およびその購入量を、要求のあったクライアント計算機に送信するように構成されていることを特徴とする最適ポートフォリオ回答システム。
計算機により読み取り可能なプログラムであって、
請求項１に記載の入力ステップ及び求解ステップを有する最適ポートフォリオ決定プログラム。
計算機によって読み取り可能なプログラムを記憶する記憶媒体であって、
請求項１に記載の入力ステップ及び求解ステップを計算機上で実行するためのプログラムとして記憶する最適ポートフォリオ決定記憶媒体。