JP2003085569A - 内外点判定アルゴリズム - Google Patents
内外点判定アルゴリズムInfo
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Abstract
(57)【要約】
【目的】 折線閉多角形と或る点が与えられたとき、判
定点と閉多角形の位置関係に拘らず、判定点が閉多角形
内にあるか否かを判定することができる内外点判定アル
ゴリズムを提供すること。 【構成】 多角形Ａの頂点の座標列と或る点Ｐの座標が
与えられたとき、第１に多角形Ａの頂点のうちに点Ｐと
一致するものが存在する場合は、該点Ｐは多角形の頂点
上にあるとし、第２に点Ｐが多角形の頂点上にない場合
で、該多角形の何れかの辺上に点Ｐを含む場合は、該点
Ｐは多角形の辺上にあるとし、第３に点Ｐが多角形の頂
点上にも辺上にも存在しない場合、点Ｐから或る方向に
半直線ＰＸを引き、初期値０の内外判定数Ｎを考え、多
角形Ａの全ての辺に対して辺と半直線ＰＸが共有点を持
たない場合はＮの増減は０とし、半直線ＰＸと交差する
とＮに１を加える。
定点と閉多角形の位置関係に拘らず、判定点が閉多角形
内にあるか否かを判定することができる内外点判定アル
ゴリズムを提供すること。 【構成】 多角形Ａの頂点の座標列と或る点Ｐの座標が
与えられたとき、第１に多角形Ａの頂点のうちに点Ｐと
一致するものが存在する場合は、該点Ｐは多角形の頂点
上にあるとし、第２に点Ｐが多角形の頂点上にない場合
で、該多角形の何れかの辺上に点Ｐを含む場合は、該点
Ｐは多角形の辺上にあるとし、第３に点Ｐが多角形の頂
点上にも辺上にも存在しない場合、点Ｐから或る方向に
半直線ＰＸを引き、初期値０の内外判定数Ｎを考え、多
角形Ａの全ての辺に対して辺と半直線ＰＸが共有点を持
たない場合はＮの増減は０とし、半直線ＰＸと交差する
とＮに１を加える。
Description
【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、計算機を利用した
様々な応用分野、例えば数値シミュレーションの分野や
グラフィックの基本ツール群としてグラフィック描画装
置に応用することができる内外点判定アルゴリズムに関
する。 【０００２】 【従来の技術】平面上に与えられた点が同一平面上の閉
曲線の内に存在するか否かという問題は、数学的興味か
ら古くから研究されてきた。現在では基本群と呼ばれる
トポロジーの言葉で最も厳密且つ抽象的に表現すること
が可能であるが、留数の定理に関連する解析的な問題で
もある。 【０００３】与えられた平面に自然な複素座標を導入す
ることによって平面を複素平面と見なし、与えられた閉
曲線をΓとし、与えられた点をｚ0 とすると、関数ｆ
（ｚ）＝１／（ｚ−ｚ0 ）として次の一周積分： を計算することによって、与えられた点が平曲線の内点
か否かを判定することができる。つまり、留数の定理に
よると、この積分の値が零であれば、ｚ0 は曲線の外に
存在し、零でなければ、即ち±２πｉであれば、点は閉
曲線内の点であることが判明する。 【０００４】デュドネ編「数学史1700-1900 Ｉ」（波書
店1985年発行）によると、留数の定理を発見したのはコ
ーシーのようである。1826年のSur un nouveau genre d
e calcul infinitesmal という題の論文（Exercices de
mathematiques）において、特異点の周りの無限小解析
を行うことにより留数の定理を発見したとある。コーシ
ーは、その後、長方形の周りでの複素函数の積分がその
内部の留数の総和であることを計算し、その後２０年に
亘ってこの問題に深く関わったとある。この留数の計算
をもって幾何学と函数論とが結び付いたと言っても過言
ではない。つまり、解析的な関数の値の和（積分）によ
って純粋に幾何学的な事実が判明するのである。 【０００５】実際の計算においては、閉曲線は任意のも
のではなく、区分的に直線で表されたものがより実用的
に重要である。つまり、多角形と点Ｐが与えられた際に
点Ｐが多角形の内部にあるか否かの判定をする場合が多
い。 【０００６】このような与えられた点が図形の内点か否
かを判定する必要性は計算機の性能の発達と共に、近
年、非常に増加していると考えられる。近年のグラフィ
ック描画装置或はそれに関する基本的な問題において
は、マウス等で指示した点が与えられた図形の内点か否
かという判定を必要とする。又、モンテカルロ法等の数
値計算においては、多数の点が１つの多角形の内点か否
かを判断することが求められる。 【０００７】上述の留数の定理に従った内外判定アルゴ
リズムは、多角形の各辺の終端の点Ｐから臨む角度を計
算し、その角度の総和が±２πであるか否かを調べる必
要がある。 【０００８】しかしながら、角度の計算は超越関数であ
る逆３角関数を使うため、計算時間を多く必要とするも
のである。 【０００９】特許第２５９５３６１号に記載の「折線か
ら成る図形の内外判定方法」においては、上述の留数の
定理に沿った内外判定を多くの場合使わないで内外判定
を行う方法が提案されている。この発明は、上述の留数
の定理を利用したものとｘ−ｙ座標の特徴を利用した外
接する長方形での内外判定を組み合わせたものである。
計算時間を多く必要な留数の定理を利用した内外判定の
問題点を避けるために図１１に示すようなフローチャー
トに従ったアルゴリズムが特許第２５９５３６１号に記
載の「折線から成る図形の内外判定方法」では提供され
ている。 【００１０】図９に示すように、多角形Ａと点Ｐが与え
られたとき、多角形Ａを内包する長方形Ｄを多角形Ａの
座標のｘ軸、ｙ軸の最大値と最小値を利用して形成す
る。図１１に示すフローチャートにおいては、先ず始め
に図形の埋め込まれたｘｙ座標のｘ、ｙ軸のそれぞれの
最大値と最小値によって形成される長方形に関して、予
め大小判定による内外判定を行い、その後、長方形の内
であるとした場合は、長方形内の点に対する多角形の内
外判定を行うこととなっている。 【００１１】又、Postscriptリフアレンスマニュアル
第２版Adobe Systems 著：アドビシステムズジャパン監
訳、アスキー出版： 1991 には、ワインディング規則及
び奇偶規則による内点判定法が記載されている。ワイン
ディング規則は、判定しようとする点から或る方向に伸
びる半直線を引く。０から数え始めて、１つの方向に多
角形の辺がこの半直線と交差する毎に１を加える。そし
て、逆方向に多角形の辺が半直線と交差する毎に１を引
く。全ての交差をカウントした後、結果が０の場合に
は、その点は多角形の外側である。結果が０以外の場合
には、その点は多角形の内側である。 【００１２】図１２に示すように、奇偶規則では、単に
半直線と交差する多角形の辺の数をカウントすることに
よりその点が内部か否か判断する。この数が奇数である
場合には、点は内側にある。この数が偶数である場合に
は、点は外側にあるとする。 【００１３】 【発明が解決使用とする課題】従来の技術である特許第
２５９５３６１号に記載された発明においては、一般の
多角形に対する内点判定は計算時間を非常に必要とする
ため、多角形を埋め込んだ長方形に対する予備的内点判
定を行っていた後に、もしも目的とする点が長方形外に
存在した場合は、該点が多角形の外部に存在していると
判定し、又、逆に長方形の内部に存在した場合は、計算
時間の掛かる多角形と点に対する内外判定を行ってい
た。 【００１４】しかしながら、図１０に示したような多角
形Ａがｘｙ軸に対して斜めの方向に延びている場合、対
応するｘ軸とｙ軸の最大値と最小値から形成される長方
形は広い面積を持つ。そのため、図１１のフローチャー
トに沿った予備的な内点判定を行う長方形の面積が本来
求めたい多角形の面積に比較して非常に大きくなり、ラ
ンダムな点分布を考えた場合、予備的内点判定が十分機
能していないこととなる。つまり、予備的な内点判定を
行っても、次の詳細な内点判定の計算を非常に多くの場
合、行う必要が生じて高速化を図ることができない。 【００１５】又、ワインディング規則や奇偶規則におい
ては、多角形の辺が半直線と一致する場合やその半直線
に接する場合にどうすべきかを指定しない。任意の半直
線を使用できることから、単にそのような問題のある交
差に出会わない別の直線を選ぶことにしているのみであ
る。従って、或る多角形に対して、多数の判定すべき点
を有する問題に関しては、判定点によっては何度も半直
線を取り直す必要が生じる可能性が高い。 【００１６】本発明は上記問題に鑑みてなされたもの
で、その目的とする処は、折線閉多角形と或る点が与え
られたとき、判定点と閉多角形の位置関係に拘らず、判
定点が閉多角形内にあるか否かを判定することができる
内外点判定アルゴリズムを提供することにある。 【００１７】 【課題を解決するための手段】上記目的を達成するた
め、本発明は、多角形Ａの頂点の座標列と或る点Ｐの座
標が与えられたとき、第１に多角形Ａの頂点のうちに点
Ｐと一致するものが存在する場合は、該点Ｐは多角形の
頂点上にあるとし、第２に点Ｐが多角形の頂点上にない
場合で、該多角形の何れかの辺上に点Ｐを含む場合は、
該点Ｐは多角形の辺上にあるとし、第３に点Ｐが多角形
の頂点上にも辺上にも存在しない場合、点Ｐから或る方
向に半直線ＰＸを引き、初期値０の内外判定数Ｎを考
え、多角形Ａの全ての辺に対して辺と半直線ＰＸが共有
点を持たない場合はＮの増減は０とし、半直線ＰＸと交
差するとＮに１を加え、多角形Ａの或る辺の始点及び終
点の両方が半直線ＰＸ上にある場合は、Ｎの増減は０、
多角形Ａの或る辺の始点或は終点の何れか一方が半直線
ＰＸ上にある場合は、始点或は終点が半直線ＰＸ上にあ
る辺を、該始点或は終点方向に延長した線分が一方向き
に半直線ＰＸと交差するとＮに０．５を加え、他方向き
に半直線ＰＸと交差するとＮに０．５を減じる演算を行
い、最終的にＮが偶数ならば、点Ｐは多角形Ａの外点で
あり、Ｎが奇数ならば、点Ｐは多角形Ａの内点であると
することを特徴とする。 【００１８】 【発明の実施の形態】以下に本発明の実施の形態を添付
図面に基づいて説明する。 【００１９】図１に本発明の内外点判定アルゴリズムの
概要を示す。 【００２０】多角形Ａと判定点Ｐを考え、Ａi Ａi+1 を
多角形Ａの辺の１つとする。図１（ａ）に示すように、
Ａi 或はＡi+1 が点Ｐと一致する場合は、該点Ｐは多角
形Ａの頂点上にある。 【００２１】次に、図１（ｂ）に示すように、Ａi 或は
Ａi+1 は点Ｐと一致しないが、線分Ａi Ａi+1 上に点Ｐ
がある場合は、該点Ｐは多角形Ａの辺上にある。更に、
点Ｐが多角形Ａの頂点上にも辺上にも存在しない場合、
内外判定数Ｎを考える。多角形Ａの全ての辺に対して、
その辺の始点及び終点を考慮し、或る辺の終点が次に続
く辺の始点となると考える。即ち、各辺を向きを持った
線分と考える。 【００２２】更に、点Ｐからある半直線ＰＸを引き、多
角形の全ての辺に対応する向きを持った線分と半直線Ｐ
Ｘとの位置関係によって、内外判定数Ｎを初期値０から
増減させ、最終的にＮが０ならば、点Ｐは外点、Ｎが０
でなければ内点とする。 【００２３】Ｎの増減の仕方を図１（ｃ）に示す。即
ち、図中、Ａ1 Ａ2 、Ａ3 Ａ4 、Ａ5Ａ6 のように辺が
半直線ＰＸと共有点を持たない場合は、Ｎの増減は０、
Ａ7 Ａ 8 、Ａ9 Ａ10のように線分と半直線が交差すると
きはＮに１を加える。Ａ11Ａ12のように向き付き線分の
始点及び終点の両方が半直線ＰＸ上にある場合は、Ｎの
増減は０、更に線分の始点或は終点の一方のみが半直線
上にある場合、半直線ＰＸを下から上に横切る場合を正
の方向と仮定した場合、Ａ13Ａ14、Ａ15Ａ16のように向
き付き線分の始点或は終点の一方が半直線ＰＸ上にあ
り、該向き付き線分と半直線ＰＸの交差方向が正の向き
である場合はＮに０．５を加え、逆にＡ17Ａ 18、Ａ19Ａ
20のように向き付き線分の始点或は終点の一方が半直線
ＰＸ上にあり、該向き付き線分と半直線ＰＸの交差方向
が負の向きである場合はＮから０．５を減ずる。 【００２４】以上の操作を多角形Ａの全ての辺に対応す
る向き付けされた線分に対して行えば良い。尚、ここで
は、辺が半直線ＰＸを下から上に横切る場合に正の方向
としたが、逆にこの交差方向を負の方向としても、内外
判定に影響しないことは明らかである。図２に上述のア
ルゴリズムをフローチャートにて示す。 【００２５】以上説明した方法によって、或る多角形Ａ
に対してどのような判定点Ｐ、半直線ＰＸを考えても、
半直線ＰＸを選び直すことなく必ずＰの内外判定を行う
ことができる。 【００２６】［実施例１］図３に実施例１を示す。三角
形ＡＢＣの各頂点の座標がＡ（１，３）、Ｂ（２，
１）、Ｃ（３，２）であるとき、点Ｐ（１，１）) が三
角形の内点であるか否かを判定する。 【００２７】点Ｐを原点とする座標系では三角形ＡＢＣ
の各頂点の座標はＡ（０，２）、Ｂ（１，０）、Ｃ
（２，１）となる。点Ｐを原点とする座標系のｘ軸の正
の部分を判定に用いる半直線と考え、三角形ＡＢＣの各
辺が交差するか否かを調べる。尚、始点或は終点の一方
のみが半直線上にある場合のＮの増減の符号を決定する
ための方向付けは、上向きの交差をプラス、下向きの交
差をマイナスとした。 【００２８】先ず、内外半定数Ｎを０とする。辺ＡＢに
ついて、頂点Ａのｙ座標は正であり、頂点Ｂのｘ座標は
正、ｙ座標は０、従って、辺ＡＢのｘ軸の正の部分との
交差は−０．５であるため、Ｎの値を０．５減ずる。辺
ＢＣについて、頂点Ｃのｙ座標は正であり、頂点Ｂはｘ
軸上の正の領域にあるため、辺ＢＣのｘ軸の正の部分と
の交差は＋０．５であり、Ｎの値に０．５を加える。 【００２９】辺ＣＡについて、頂点Ｃと頂点Ａのｙ座標
は共に正であるため、辺ＣＡのｘ軸の正の部分との交差
は０であり、Ｎの増減はない。最終的にＮの値は０で偶
数となる。従って、点Ｐは三角形ＡＢＣの外側にあると
判定される。 【００３０】［実施例２］図４は実施例２を示す。三角
形ＡＢＣの各頂点の座標がＡ（１，３）、Ｂ（２，
１）、Ｃ（２，２）であるとき、点Ｐ（２，３）が三角
形の内点であるか否かを判定する。 【００３１】点Ｐを原点とする座標系では三角形ＡＢＣ
の各頂点の座標はＡ（−１，０）、Ｂ（０，−２）、Ｃ
（０，−１）となる。点Ｐを原点とする座標系のｙ軸の
負の部分を判定に用いる半直線とし、三角形ＡＢＣの各
辺が交差するか否かを調べる。尚、始点或は終点の一方
のみが半直線上にある場合のＮの増減の符号を決定する
ための方向付けは、右向きの交差をプラス、左向きの交
差をマイナスとした。 【００３２】先ず、内外判定数Ｎの初期値を０とする。
ＡＢについて、頂点Ａのｘ座標は負であり、頂点Ｂのｘ
座標は０、ｙ座標は負、即ち、頂点Ｂはｙ軸上の負の領
域にある。従って、辺ＢＣとｙ軸の負の部分との交差は
正方向であり、Ｎの値に０．５を加える。辺ＢＣについ
て、頂点Ｃのｘ座標は０、ｙ座標は負、即ち、頂点Ｂと
頂点Ｃは共にｙ軸上の負の領域にある。従って、辺ＢＣ
とｙ軸の負の部分との交差はなく、Ｎの増減はない。辺
ＣＡについて、頂点Ｃはｙ軸上の負の領域にあり、頂点
Ａのｘ座標は負であるため、辺ＣＡとｙ軸の負の部分と
の交差は負方向であり、Ｎの値を０．５減ずる。 【００３３】以上の結果から最終的にＮの値は０、つま
り偶数であるため、点Ｐは三角形ＡＢＣの外側にあると
判定される。 【００３４】［実施例３］図５は実施例３を示す。本実
施例では、２２角形を考える。 【００３５】今、判定点Ｐを原点、及び判定に用いる半
直線をｘ軸正の方向とする座標系で考える。図５中、２
２角形の２２本の辺上には点Ｐは存在しないため、半直
線ＰＸと各辺との位置関係から内外半定数Ｎを計算する
ことになる。具体的には、各頂点Ａi ｘ、ｙ座標値、及
び各線分と半直線ＰＸとの交点が存在する場合はそのｘ
座標値を求めることによりＮの増減を決定するが、ここ
では、その計算の過程は説明しない。今、半直線ＰＸを
下から交差する場合を正の向きとすると、各辺に対応す
るＮの増減は次の通りとなる。 【００３６】即ち、Ａ1 Ａ2 、Ａ2 Ａ3 、Ａ3 Ａ4 、Ａ
4 Ａ5 、Ａ5 Ａ6 、Ａ8 Ａ9 、Ａ10Ａ11、Ａ13Ａ14、Ａ
15Ａ16、Ａ17Ａ18、Ａ19Ａ20、Ａ22Ａ1 ではＮの増減は
０、Ａ6 Ａ7 、Ａ11Ａ12、ＡＡ16Ａ17、Ａ21Ａ22ではＮ
の値は１増加し、Ａ14Ａ15、Ａ18Ａ19ではＮの値は０．
５増加し、Ａ7 Ａ8 、Ａ9 Ａ10、Ａ12Ａ13、Ａ20Ａ21で
はＮの値は０．５減少する。全体では、Ｎ＝１×４＋
０．５×２−０．５×４＝３で奇数であるため、点Ｐは
２２角形の内点である。 【００３７】［実施例４］本実施例は、２次元平面を図
８に示すように有限の要素に分割し、その分割された要
素中を運動する粒子の軌道を計算するシミュレーション
装置に関するものである。 【００３８】本実施例の実現は図６に示したような計算
機内で行われる。図６において、６１は計算機本体であ
り、ＣＰＵ、メモリ、記憶媒体であるフロッピー（登録
商標）を読み込む装置６５、ＣＤ−ＲＯＭを読み込む装
置６６、ハードディスク６７等を含んでいる。又、モニ
ター６２やキーボード６３やマウス６４とケーブルを通
じて電気的に連結され、様々な制御を行ったり、又は行
われたりしている。 【００３９】本発明の内外点判定方法は、実施例１〜３
で示したものであり、粒子の運動を計算する方法と共に
プログラムとして媒体６８に書かれている。媒体６８の
データを計算機６１内部のメモリに展開し、実際の内外
点判定を計算機６１内で行っている。 【００４０】本実施例は、図８に示したような粒子の運
動についてのものである。図８において矢印が粒子の軌
跡を示している。要素を指定すると粒子に加わる力が一
意的に決まるとし、粒子は加わった力から或る運動方程
式を解いて次のステップの軌道を描いて運動するとして
いる。従って、本実施例の問題は、粒子の位置を決定し
た際に、その粒子がどの要素に属しているかを決定する
ことが重要なステップである。 【００４１】図７に本実施例の荷電粒子の運動を本実施
例の荷電粒子の運動を計算するアルゴリズムを示す。 【００４２】先ず、各要素は閉多角形で構成されている
こととする。ステップ２１で開始したシミュレーション
はステップ２２の前処理計算で、全ての要素に対して粒
子の力を予め計算することとする。ステップ２３におい
て粒子の軌道計算が所望の結果を得て終了するか否かの
判断をする。計算を終えない場合はステップ２４に進
み、どの要素に属するかの内外点判定を行う。或る要素
を指定すると仮定より粒子に加わる力が計算されるた
め、対応する力で軌道計算（ステップ２５）を行い、点
の移動をステップ２６で行い、ステップ２３に進む。こ
のようにして、所望の結果を得るまで粒子の軌道を追っ
てゆけば良い。 【００４３】尚、本実施例では、粒子の軌道シミュレー
ションを行う装置及びそのシミュレーションを行うプロ
グラムを記録した記録媒体について述べたが、本発明の
内外点判定アルゴリズムは、粒子の軌道シミュレーショ
ンに限って応用されるものではない。より汎用のグラフ
ィック処理装置においても使用可能である。 【００４４】 【発明の効果】以上の説明で明らかなように、本発明に
よれば、多角形Ａの頂点の座標列と或る点Ｐの座標が与
えられたとき、第１に多角形Ａの頂点のうちに点Ｐと一
致するものが存在する場合は、該点Ｐは多角形の頂点上
にあるとし、第２に点Ｐが多角形の頂点上にない場合
で、該多角形の何れかの辺上に点Ｐを含む場合は、該点
Ｐは多角形の辺上にあるとし、第３に点Ｐが多角形の頂
点上にも辺上にも存在しない場合、点Ｐから或る方向に
半直線ＰＸを引き、初期値０の内外判定数Ｎを考え、多
角形Ａの全ての辺に対して辺と半直線ＰＸが共有点を持
たない場合はＮの増減は０とし、半直線ＰＸと交差する
とＮに１を加え、多角形Ａの或る辺の始点及び終点の両
方が半直線ＰＸ上にある場合は、Ｎの増減は０、多角形
Ａの或る辺の始点或は終点の何れか一方が半直線ＰＸ上
にある場合は、始点或は終点が半直線ＰＸ上にある辺
を、該始点或は終点方向に延長した線分が一方向きに半
直線ＰＸと交差するとＮに０．５を加え、他方向きに半
直線ＰＸと交差するとＮに０．５を減じる演算を行い、
最終的にＮが偶数ならば、点Ｐは多角形Ａの外点であ
り、Ｎが奇数ならば、点Ｐは多角形Ａの内点であるとし
たため、折線閉多角形と或る点が与えられたとき、判定
点と閉多角形の位置関係に拘らず、判定点が閉多角形内
にあるか否かを判定することができるという効果が得ら
れる。
様々な応用分野、例えば数値シミュレーションの分野や
グラフィックの基本ツール群としてグラフィック描画装
置に応用することができる内外点判定アルゴリズムに関
する。 【０００２】 【従来の技術】平面上に与えられた点が同一平面上の閉
曲線の内に存在するか否かという問題は、数学的興味か
ら古くから研究されてきた。現在では基本群と呼ばれる
トポロジーの言葉で最も厳密且つ抽象的に表現すること
が可能であるが、留数の定理に関連する解析的な問題で
もある。 【０００３】与えられた平面に自然な複素座標を導入す
ることによって平面を複素平面と見なし、与えられた閉
曲線をΓとし、与えられた点をｚ0 とすると、関数ｆ
（ｚ）＝１／（ｚ−ｚ0 ）として次の一周積分： を計算することによって、与えられた点が平曲線の内点
か否かを判定することができる。つまり、留数の定理に
よると、この積分の値が零であれば、ｚ0 は曲線の外に
存在し、零でなければ、即ち±２πｉであれば、点は閉
曲線内の点であることが判明する。 【０００４】デュドネ編「数学史1700-1900 Ｉ」（波書
店1985年発行）によると、留数の定理を発見したのはコ
ーシーのようである。1826年のSur un nouveau genre d
e calcul infinitesmal という題の論文（Exercices de
mathematiques）において、特異点の周りの無限小解析
を行うことにより留数の定理を発見したとある。コーシ
ーは、その後、長方形の周りでの複素函数の積分がその
内部の留数の総和であることを計算し、その後２０年に
亘ってこの問題に深く関わったとある。この留数の計算
をもって幾何学と函数論とが結び付いたと言っても過言
ではない。つまり、解析的な関数の値の和（積分）によ
って純粋に幾何学的な事実が判明するのである。 【０００５】実際の計算においては、閉曲線は任意のも
のではなく、区分的に直線で表されたものがより実用的
に重要である。つまり、多角形と点Ｐが与えられた際に
点Ｐが多角形の内部にあるか否かの判定をする場合が多
い。 【０００６】このような与えられた点が図形の内点か否
かを判定する必要性は計算機の性能の発達と共に、近
年、非常に増加していると考えられる。近年のグラフィ
ック描画装置或はそれに関する基本的な問題において
は、マウス等で指示した点が与えられた図形の内点か否
かという判定を必要とする。又、モンテカルロ法等の数
値計算においては、多数の点が１つの多角形の内点か否
かを判断することが求められる。 【０００７】上述の留数の定理に従った内外判定アルゴ
リズムは、多角形の各辺の終端の点Ｐから臨む角度を計
算し、その角度の総和が±２πであるか否かを調べる必
要がある。 【０００８】しかしながら、角度の計算は超越関数であ
る逆３角関数を使うため、計算時間を多く必要とするも
のである。 【０００９】特許第２５９５３６１号に記載の「折線か
ら成る図形の内外判定方法」においては、上述の留数の
定理に沿った内外判定を多くの場合使わないで内外判定
を行う方法が提案されている。この発明は、上述の留数
の定理を利用したものとｘ−ｙ座標の特徴を利用した外
接する長方形での内外判定を組み合わせたものである。
計算時間を多く必要な留数の定理を利用した内外判定の
問題点を避けるために図１１に示すようなフローチャー
トに従ったアルゴリズムが特許第２５９５３６１号に記
載の「折線から成る図形の内外判定方法」では提供され
ている。 【００１０】図９に示すように、多角形Ａと点Ｐが与え
られたとき、多角形Ａを内包する長方形Ｄを多角形Ａの
座標のｘ軸、ｙ軸の最大値と最小値を利用して形成す
る。図１１に示すフローチャートにおいては、先ず始め
に図形の埋め込まれたｘｙ座標のｘ、ｙ軸のそれぞれの
最大値と最小値によって形成される長方形に関して、予
め大小判定による内外判定を行い、その後、長方形の内
であるとした場合は、長方形内の点に対する多角形の内
外判定を行うこととなっている。 【００１１】又、Postscriptリフアレンスマニュアル
第２版Adobe Systems 著：アドビシステムズジャパン監
訳、アスキー出版： 1991 には、ワインディング規則及
び奇偶規則による内点判定法が記載されている。ワイン
ディング規則は、判定しようとする点から或る方向に伸
びる半直線を引く。０から数え始めて、１つの方向に多
角形の辺がこの半直線と交差する毎に１を加える。そし
て、逆方向に多角形の辺が半直線と交差する毎に１を引
く。全ての交差をカウントした後、結果が０の場合に
は、その点は多角形の外側である。結果が０以外の場合
には、その点は多角形の内側である。 【００１２】図１２に示すように、奇偶規則では、単に
半直線と交差する多角形の辺の数をカウントすることに
よりその点が内部か否か判断する。この数が奇数である
場合には、点は内側にある。この数が偶数である場合に
は、点は外側にあるとする。 【００１３】 【発明が解決使用とする課題】従来の技術である特許第
２５９５３６１号に記載された発明においては、一般の
多角形に対する内点判定は計算時間を非常に必要とする
ため、多角形を埋め込んだ長方形に対する予備的内点判
定を行っていた後に、もしも目的とする点が長方形外に
存在した場合は、該点が多角形の外部に存在していると
判定し、又、逆に長方形の内部に存在した場合は、計算
時間の掛かる多角形と点に対する内外判定を行ってい
た。 【００１４】しかしながら、図１０に示したような多角
形Ａがｘｙ軸に対して斜めの方向に延びている場合、対
応するｘ軸とｙ軸の最大値と最小値から形成される長方
形は広い面積を持つ。そのため、図１１のフローチャー
トに沿った予備的な内点判定を行う長方形の面積が本来
求めたい多角形の面積に比較して非常に大きくなり、ラ
ンダムな点分布を考えた場合、予備的内点判定が十分機
能していないこととなる。つまり、予備的な内点判定を
行っても、次の詳細な内点判定の計算を非常に多くの場
合、行う必要が生じて高速化を図ることができない。 【００１５】又、ワインディング規則や奇偶規則におい
ては、多角形の辺が半直線と一致する場合やその半直線
に接する場合にどうすべきかを指定しない。任意の半直
線を使用できることから、単にそのような問題のある交
差に出会わない別の直線を選ぶことにしているのみであ
る。従って、或る多角形に対して、多数の判定すべき点
を有する問題に関しては、判定点によっては何度も半直
線を取り直す必要が生じる可能性が高い。 【００１６】本発明は上記問題に鑑みてなされたもの
で、その目的とする処は、折線閉多角形と或る点が与え
られたとき、判定点と閉多角形の位置関係に拘らず、判
定点が閉多角形内にあるか否かを判定することができる
内外点判定アルゴリズムを提供することにある。 【００１７】 【課題を解決するための手段】上記目的を達成するた
め、本発明は、多角形Ａの頂点の座標列と或る点Ｐの座
標が与えられたとき、第１に多角形Ａの頂点のうちに点
Ｐと一致するものが存在する場合は、該点Ｐは多角形の
頂点上にあるとし、第２に点Ｐが多角形の頂点上にない
場合で、該多角形の何れかの辺上に点Ｐを含む場合は、
該点Ｐは多角形の辺上にあるとし、第３に点Ｐが多角形
の頂点上にも辺上にも存在しない場合、点Ｐから或る方
向に半直線ＰＸを引き、初期値０の内外判定数Ｎを考
え、多角形Ａの全ての辺に対して辺と半直線ＰＸが共有
点を持たない場合はＮの増減は０とし、半直線ＰＸと交
差するとＮに１を加え、多角形Ａの或る辺の始点及び終
点の両方が半直線ＰＸ上にある場合は、Ｎの増減は０、
多角形Ａの或る辺の始点或は終点の何れか一方が半直線
ＰＸ上にある場合は、始点或は終点が半直線ＰＸ上にあ
る辺を、該始点或は終点方向に延長した線分が一方向き
に半直線ＰＸと交差するとＮに０．５を加え、他方向き
に半直線ＰＸと交差するとＮに０．５を減じる演算を行
い、最終的にＮが偶数ならば、点Ｐは多角形Ａの外点で
あり、Ｎが奇数ならば、点Ｐは多角形Ａの内点であると
することを特徴とする。 【００１８】 【発明の実施の形態】以下に本発明の実施の形態を添付
図面に基づいて説明する。 【００１９】図１に本発明の内外点判定アルゴリズムの
概要を示す。 【００２０】多角形Ａと判定点Ｐを考え、Ａi Ａi+1 を
多角形Ａの辺の１つとする。図１（ａ）に示すように、
Ａi 或はＡi+1 が点Ｐと一致する場合は、該点Ｐは多角
形Ａの頂点上にある。 【００２１】次に、図１（ｂ）に示すように、Ａi 或は
Ａi+1 は点Ｐと一致しないが、線分Ａi Ａi+1 上に点Ｐ
がある場合は、該点Ｐは多角形Ａの辺上にある。更に、
点Ｐが多角形Ａの頂点上にも辺上にも存在しない場合、
内外判定数Ｎを考える。多角形Ａの全ての辺に対して、
その辺の始点及び終点を考慮し、或る辺の終点が次に続
く辺の始点となると考える。即ち、各辺を向きを持った
線分と考える。 【００２２】更に、点Ｐからある半直線ＰＸを引き、多
角形の全ての辺に対応する向きを持った線分と半直線Ｐ
Ｘとの位置関係によって、内外判定数Ｎを初期値０から
増減させ、最終的にＮが０ならば、点Ｐは外点、Ｎが０
でなければ内点とする。 【００２３】Ｎの増減の仕方を図１（ｃ）に示す。即
ち、図中、Ａ1 Ａ2 、Ａ3 Ａ4 、Ａ5Ａ6 のように辺が
半直線ＰＸと共有点を持たない場合は、Ｎの増減は０、
Ａ7 Ａ 8 、Ａ9 Ａ10のように線分と半直線が交差すると
きはＮに１を加える。Ａ11Ａ12のように向き付き線分の
始点及び終点の両方が半直線ＰＸ上にある場合は、Ｎの
増減は０、更に線分の始点或は終点の一方のみが半直線
上にある場合、半直線ＰＸを下から上に横切る場合を正
の方向と仮定した場合、Ａ13Ａ14、Ａ15Ａ16のように向
き付き線分の始点或は終点の一方が半直線ＰＸ上にあ
り、該向き付き線分と半直線ＰＸの交差方向が正の向き
である場合はＮに０．５を加え、逆にＡ17Ａ 18、Ａ19Ａ
20のように向き付き線分の始点或は終点の一方が半直線
ＰＸ上にあり、該向き付き線分と半直線ＰＸの交差方向
が負の向きである場合はＮから０．５を減ずる。 【００２４】以上の操作を多角形Ａの全ての辺に対応す
る向き付けされた線分に対して行えば良い。尚、ここで
は、辺が半直線ＰＸを下から上に横切る場合に正の方向
としたが、逆にこの交差方向を負の方向としても、内外
判定に影響しないことは明らかである。図２に上述のア
ルゴリズムをフローチャートにて示す。 【００２５】以上説明した方法によって、或る多角形Ａ
に対してどのような判定点Ｐ、半直線ＰＸを考えても、
半直線ＰＸを選び直すことなく必ずＰの内外判定を行う
ことができる。 【００２６】［実施例１］図３に実施例１を示す。三角
形ＡＢＣの各頂点の座標がＡ（１，３）、Ｂ（２，
１）、Ｃ（３，２）であるとき、点Ｐ（１，１）) が三
角形の内点であるか否かを判定する。 【００２７】点Ｐを原点とする座標系では三角形ＡＢＣ
の各頂点の座標はＡ（０，２）、Ｂ（１，０）、Ｃ
（２，１）となる。点Ｐを原点とする座標系のｘ軸の正
の部分を判定に用いる半直線と考え、三角形ＡＢＣの各
辺が交差するか否かを調べる。尚、始点或は終点の一方
のみが半直線上にある場合のＮの増減の符号を決定する
ための方向付けは、上向きの交差をプラス、下向きの交
差をマイナスとした。 【００２８】先ず、内外半定数Ｎを０とする。辺ＡＢに
ついて、頂点Ａのｙ座標は正であり、頂点Ｂのｘ座標は
正、ｙ座標は０、従って、辺ＡＢのｘ軸の正の部分との
交差は−０．５であるため、Ｎの値を０．５減ずる。辺
ＢＣについて、頂点Ｃのｙ座標は正であり、頂点Ｂはｘ
軸上の正の領域にあるため、辺ＢＣのｘ軸の正の部分と
の交差は＋０．５であり、Ｎの値に０．５を加える。 【００２９】辺ＣＡについて、頂点Ｃと頂点Ａのｙ座標
は共に正であるため、辺ＣＡのｘ軸の正の部分との交差
は０であり、Ｎの増減はない。最終的にＮの値は０で偶
数となる。従って、点Ｐは三角形ＡＢＣの外側にあると
判定される。 【００３０】［実施例２］図４は実施例２を示す。三角
形ＡＢＣの各頂点の座標がＡ（１，３）、Ｂ（２，
１）、Ｃ（２，２）であるとき、点Ｐ（２，３）が三角
形の内点であるか否かを判定する。 【００３１】点Ｐを原点とする座標系では三角形ＡＢＣ
の各頂点の座標はＡ（−１，０）、Ｂ（０，−２）、Ｃ
（０，−１）となる。点Ｐを原点とする座標系のｙ軸の
負の部分を判定に用いる半直線とし、三角形ＡＢＣの各
辺が交差するか否かを調べる。尚、始点或は終点の一方
のみが半直線上にある場合のＮの増減の符号を決定する
ための方向付けは、右向きの交差をプラス、左向きの交
差をマイナスとした。 【００３２】先ず、内外判定数Ｎの初期値を０とする。
ＡＢについて、頂点Ａのｘ座標は負であり、頂点Ｂのｘ
座標は０、ｙ座標は負、即ち、頂点Ｂはｙ軸上の負の領
域にある。従って、辺ＢＣとｙ軸の負の部分との交差は
正方向であり、Ｎの値に０．５を加える。辺ＢＣについ
て、頂点Ｃのｘ座標は０、ｙ座標は負、即ち、頂点Ｂと
頂点Ｃは共にｙ軸上の負の領域にある。従って、辺ＢＣ
とｙ軸の負の部分との交差はなく、Ｎの増減はない。辺
ＣＡについて、頂点Ｃはｙ軸上の負の領域にあり、頂点
Ａのｘ座標は負であるため、辺ＣＡとｙ軸の負の部分と
の交差は負方向であり、Ｎの値を０．５減ずる。 【００３３】以上の結果から最終的にＮの値は０、つま
り偶数であるため、点Ｐは三角形ＡＢＣの外側にあると
判定される。 【００３４】［実施例３］図５は実施例３を示す。本実
施例では、２２角形を考える。 【００３５】今、判定点Ｐを原点、及び判定に用いる半
直線をｘ軸正の方向とする座標系で考える。図５中、２
２角形の２２本の辺上には点Ｐは存在しないため、半直
線ＰＸと各辺との位置関係から内外半定数Ｎを計算する
ことになる。具体的には、各頂点Ａi ｘ、ｙ座標値、及
び各線分と半直線ＰＸとの交点が存在する場合はそのｘ
座標値を求めることによりＮの増減を決定するが、ここ
では、その計算の過程は説明しない。今、半直線ＰＸを
下から交差する場合を正の向きとすると、各辺に対応す
るＮの増減は次の通りとなる。 【００３６】即ち、Ａ1 Ａ2 、Ａ2 Ａ3 、Ａ3 Ａ4 、Ａ
4 Ａ5 、Ａ5 Ａ6 、Ａ8 Ａ9 、Ａ10Ａ11、Ａ13Ａ14、Ａ
15Ａ16、Ａ17Ａ18、Ａ19Ａ20、Ａ22Ａ1 ではＮの増減は
０、Ａ6 Ａ7 、Ａ11Ａ12、ＡＡ16Ａ17、Ａ21Ａ22ではＮ
の値は１増加し、Ａ14Ａ15、Ａ18Ａ19ではＮの値は０．
５増加し、Ａ7 Ａ8 、Ａ9 Ａ10、Ａ12Ａ13、Ａ20Ａ21で
はＮの値は０．５減少する。全体では、Ｎ＝１×４＋
０．５×２−０．５×４＝３で奇数であるため、点Ｐは
２２角形の内点である。 【００３７】［実施例４］本実施例は、２次元平面を図
８に示すように有限の要素に分割し、その分割された要
素中を運動する粒子の軌道を計算するシミュレーション
装置に関するものである。 【００３８】本実施例の実現は図６に示したような計算
機内で行われる。図６において、６１は計算機本体であ
り、ＣＰＵ、メモリ、記憶媒体であるフロッピー（登録
商標）を読み込む装置６５、ＣＤ−ＲＯＭを読み込む装
置６６、ハードディスク６７等を含んでいる。又、モニ
ター６２やキーボード６３やマウス６４とケーブルを通
じて電気的に連結され、様々な制御を行ったり、又は行
われたりしている。 【００３９】本発明の内外点判定方法は、実施例１〜３
で示したものであり、粒子の運動を計算する方法と共に
プログラムとして媒体６８に書かれている。媒体６８の
データを計算機６１内部のメモリに展開し、実際の内外
点判定を計算機６１内で行っている。 【００４０】本実施例は、図８に示したような粒子の運
動についてのものである。図８において矢印が粒子の軌
跡を示している。要素を指定すると粒子に加わる力が一
意的に決まるとし、粒子は加わった力から或る運動方程
式を解いて次のステップの軌道を描いて運動するとして
いる。従って、本実施例の問題は、粒子の位置を決定し
た際に、その粒子がどの要素に属しているかを決定する
ことが重要なステップである。 【００４１】図７に本実施例の荷電粒子の運動を本実施
例の荷電粒子の運動を計算するアルゴリズムを示す。 【００４２】先ず、各要素は閉多角形で構成されている
こととする。ステップ２１で開始したシミュレーション
はステップ２２の前処理計算で、全ての要素に対して粒
子の力を予め計算することとする。ステップ２３におい
て粒子の軌道計算が所望の結果を得て終了するか否かの
判断をする。計算を終えない場合はステップ２４に進
み、どの要素に属するかの内外点判定を行う。或る要素
を指定すると仮定より粒子に加わる力が計算されるた
め、対応する力で軌道計算（ステップ２５）を行い、点
の移動をステップ２６で行い、ステップ２３に進む。こ
のようにして、所望の結果を得るまで粒子の軌道を追っ
てゆけば良い。 【００４３】尚、本実施例では、粒子の軌道シミュレー
ションを行う装置及びそのシミュレーションを行うプロ
グラムを記録した記録媒体について述べたが、本発明の
内外点判定アルゴリズムは、粒子の軌道シミュレーショ
ンに限って応用されるものではない。より汎用のグラフ
ィック処理装置においても使用可能である。 【００４４】 【発明の効果】以上の説明で明らかなように、本発明に
よれば、多角形Ａの頂点の座標列と或る点Ｐの座標が与
えられたとき、第１に多角形Ａの頂点のうちに点Ｐと一
致するものが存在する場合は、該点Ｐは多角形の頂点上
にあるとし、第２に点Ｐが多角形の頂点上にない場合
で、該多角形の何れかの辺上に点Ｐを含む場合は、該点
Ｐは多角形の辺上にあるとし、第３に点Ｐが多角形の頂
点上にも辺上にも存在しない場合、点Ｐから或る方向に
半直線ＰＸを引き、初期値０の内外判定数Ｎを考え、多
角形Ａの全ての辺に対して辺と半直線ＰＸが共有点を持
たない場合はＮの増減は０とし、半直線ＰＸと交差する
とＮに１を加え、多角形Ａの或る辺の始点及び終点の両
方が半直線ＰＸ上にある場合は、Ｎの増減は０、多角形
Ａの或る辺の始点或は終点の何れか一方が半直線ＰＸ上
にある場合は、始点或は終点が半直線ＰＸ上にある辺
を、該始点或は終点方向に延長した線分が一方向きに半
直線ＰＸと交差するとＮに０．５を加え、他方向きに半
直線ＰＸと交差するとＮに０．５を減じる演算を行い、
最終的にＮが偶数ならば、点Ｐは多角形Ａの外点であ
り、Ｎが奇数ならば、点Ｐは多角形Ａの内点であるとし
たため、折線閉多角形と或る点が与えられたとき、判定
点と閉多角形の位置関係に拘らず、判定点が閉多角形内
にあるか否かを判定することができるという効果が得ら
れる。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明のアルゴリズムの説明図である。
【図２】本発明のアルゴリズムのフローチャートであ
る。 【図３】本発明の実施例１の説明図である。 【図４】本発明の実施例２の説明図である。 【図５】本発明の実施例３の説明図である。 【図６】本発明の実施例４のシミュレーション装置及び
記録媒体を示す図である。 【図７】本発明の実施例４の粒子の運動のシミュレーシ
ョンのフローチャートである。 【図８】本発明の実施例４の粒子の運動のシミュレーシ
ョンの説明図である。 【図９】従来の内外点判定アルゴリズムの説明図であ
る。 【図１０】従来の内外点判定を示す図である。 【図１１】従来の内点判定アルゴリズムのフローチャー
トである。 【図１２】従来の奇遇規則の説明図である。 【符号の説明】 Ａ 与えられた多角形 Ｐ 与えられた点 ６１ 計算機本体 ６２ モニタ ６３ キーボード ６４ マウス ６５ 記録媒体であるフロッピーを読み込む装置 ６６ 記録媒体であるＣＤ−ＲＯＭを読み込む装置 ６７ ハードディスク ６８ 記録媒体
る。 【図３】本発明の実施例１の説明図である。 【図４】本発明の実施例２の説明図である。 【図５】本発明の実施例３の説明図である。 【図６】本発明の実施例４のシミュレーション装置及び
記録媒体を示す図である。 【図７】本発明の実施例４の粒子の運動のシミュレーシ
ョンのフローチャートである。 【図８】本発明の実施例４の粒子の運動のシミュレーシ
ョンの説明図である。 【図９】従来の内外点判定アルゴリズムの説明図であ
る。 【図１０】従来の内外点判定を示す図である。 【図１１】従来の内点判定アルゴリズムのフローチャー
トである。 【図１２】従来の奇遇規則の説明図である。 【符号の説明】 Ａ 与えられた多角形 Ｐ 与えられた点 ６１ 計算機本体 ６２ モニタ ６３ キーボード ６４ マウス ６５ 記録媒体であるフロッピーを読み込む装置 ６６ 記録媒体であるＣＤ−ＲＯＭを読み込む装置 ６７ ハードディスク ６８ 記録媒体
Claims (1)
- 【特許請求の範囲】 【請求項１】 多角形Ａの頂点の座標列と或る点Ｐの座
標が与えられたとき、第１に多角形Ａの頂点のうちに点
Ｐと一致するものが存在する場合は、該点Ｐは多角形の
頂点上にあるとし、第２に点Ｐが多角形の頂点上にない
場合で、該多角形の何れかの辺上に点Ｐを含む場合は、
該点Ｐは多角形の辺上にあるとし、第３に点Ｐが多角形
の頂点上にも辺上にも存在しない場合、点Ｐから或る方
向に半直線ＰＸを引き、初期値０の内外判定数Ｎを考
え、多角形Ａの全ての辺に対して辺と半直線ＰＸが共有
点を持たない場合はＮの増減は０とし、半直線ＰＸと交
差するとＮに１を加え、多角形Ａの或る辺の始点及び終
点の両方が半直線ＰＸ上にある場合は、Ｎの増減は０、
多角形Ａの或る辺の始点或は終点の何れか一方が半直線
ＰＸ上にある場合は、始点或は終点が半直線ＰＸ上にあ
る辺を、該始点或は終点方向に延長した線分が一方向き
に半直線ＰＸと交差するとＮに０．５を加え、他方向き
に半直線ＰＸと交差するとＮに０．５を減じる演算を行
い、最終的にＮが偶数ならば、点Ｐは多角形Ａの外点で
あり、Ｎが奇数ならば、点Ｐは多角形Ａの内点であると
することを特徴とする内外点判定アルゴリズム。
Priority Applications (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2001280180A JP2003085569A (ja) | 2001-09-14 | 2001-09-14 | 内外点判定アルゴリズム |
Applications Claiming Priority (1)
| Application Number | Priority Date | Filing Date | Title |
|---|---|---|---|
| JP2001280180A JP2003085569A (ja) | 2001-09-14 | 2001-09-14 | 内外点判定アルゴリズム |
Publications (1)
| Publication Number | Publication Date |
|---|---|
| JP2003085569A true JP2003085569A (ja) | 2003-03-20 |
Family
ID=19104225
Family Applications (1)
| Application Number | Title | Priority Date | Filing Date |
|---|---|---|---|
| JP2001280180A Withdrawn JP2003085569A (ja) | 2001-09-14 | 2001-09-14 | 内外点判定アルゴリズム |
Country Status (1)
| Country | Link |
|---|---|
| JP (1) | JP2003085569A (ja) |
Cited By (7)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2011108113A (ja) * | 2009-11-19 | 2011-06-02 | Sumitomo Rubber Ind Ltd | 任意の実数群から探索点の最近傍値を探索する方法 |
| JP2011215823A (ja) * | 2010-03-31 | 2011-10-27 | Sumitomo Rubber Ind Ltd | 流体シミュレーションにおける境界位置決定方法 |
| JP2012088902A (ja) * | 2010-10-19 | 2012-05-10 | Fujitsu Advanced Engineering Ltd | 位置関係判定装置、位置関係判定方法、および位置関係判定プログラム |
| WO2016009465A1 (ja) * | 2014-07-17 | 2016-01-21 | 日本電気株式会社 | 空域情報処理装置、空域情報処理方法、空域情報処理プログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体 |
| CN107705311A (zh) * | 2017-08-16 | 2018-02-16 | 歌尔科技有限公司 | 图像轮廓的内外识别方法及设备 |
| CN112509031A (zh) * | 2020-12-02 | 2021-03-16 | 湖北工业大学 | 一种位置判定方法 |
| US20240087463A1 (en) * | 2022-09-09 | 2024-03-14 | The Boeing Company | Identifying an object in an area of interest |
-
2001
- 2001-09-14 JP JP2001280180A patent/JP2003085569A/ja not_active Withdrawn
Cited By (10)
| Publication number | Priority date | Publication date | Assignee | Title |
|---|---|---|---|---|
| JP2011108113A (ja) * | 2009-11-19 | 2011-06-02 | Sumitomo Rubber Ind Ltd | 任意の実数群から探索点の最近傍値を探索する方法 |
| JP2011215823A (ja) * | 2010-03-31 | 2011-10-27 | Sumitomo Rubber Ind Ltd | 流体シミュレーションにおける境界位置決定方法 |
| JP2012088902A (ja) * | 2010-10-19 | 2012-05-10 | Fujitsu Advanced Engineering Ltd | 位置関係判定装置、位置関係判定方法、および位置関係判定プログラム |
| WO2016009465A1 (ja) * | 2014-07-17 | 2016-01-21 | 日本電気株式会社 | 空域情報処理装置、空域情報処理方法、空域情報処理プログラムが格納された非一時的なコンピュータ可読媒体 |
| JPWO2016009465A1 (ja) * | 2014-07-17 | 2017-07-13 | 日本電気株式会社 | 空域情報処理装置、空域情報処理方法、空域情報処理プログラム |
| CN107705311A (zh) * | 2017-08-16 | 2018-02-16 | 歌尔科技有限公司 | 图像轮廓的内外识别方法及设备 |
| CN107705311B (zh) * | 2017-08-16 | 2020-10-09 | 歌尔科技有限公司 | 图像轮廓的内外识别方法及设备 |
| CN112509031A (zh) * | 2020-12-02 | 2021-03-16 | 湖北工业大学 | 一种位置判定方法 |
| CN112509031B (zh) * | 2020-12-02 | 2022-08-16 | 湖北工业大学 | 一种位置判定方法 |
| US20240087463A1 (en) * | 2022-09-09 | 2024-03-14 | The Boeing Company | Identifying an object in an area of interest |
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