JP2002530711A - 光学エレメントを決定して設計する方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 光学エレメント１００の少なくとも１つの未知の表面のトポグラフィを決定又は設計する方法が、幾何学特性を測定又は規定するステップと、この幾何学的特性から積分の方程式の集合を決定するステップと、この積分の方程式の集合からこの少なくとも１つの未知の表面のトポグラフィを決定するステップとを含む。この積分の方程式の集合はまた、光学エレメント１００の１つ或いは複数の光の屈折率から決定される。この測定又は規定された幾何学特性は、光学エレメント１００に対する複数の入射光線１０２Ａ、１０２Ｂ、１０２Ｃとこの少なくとも１つの未知の表面によって影響された対応する複数の光線との幾何学特性である。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】 （技術分野） 本発明は、一般的にレンズやミラーなどの光学エレメントを決定して設計する
方法に関し、より特定的には光学エレメントのトポグラフィを決定して設計する
方法に関する。

【０００２】 （背景技術） レンズやミラーなどの光学エレメントを決定して設計する方法が、当該技術分
野で知られている。これらの方法は、単一焦点光学エレメントに対する正確な表
面及び複数焦点光学エレメントに対するほぼ正確な表面を提供しようとするもの
である。複数焦点のレンズやミラーは、その各々が光学エレメント内の別々の領
域のための複数の焦点を備えている。

【０００３】 光学エレメントを設計する場合、設計者は、最終結果を制限する要件のリスト
を決定する。このような要件には、要求される表面の概括的な形状や、この要求
される表面で実現しなければならない光路の集合などが含まれる。このような光
路は、理論的に決定したり、光学エレメントを通過する複数の光線を含む光線の
経路を測定して決定したりできる。

【０００４】 従来の技術で知られている１つの方法によれば、光学表面は、有限の数のパラ
メータで特徴付けられる予備的な所与の表面にしたがって決定される。この方法
では、パラメータの最適な選択を計算し、これによって所望の光学表面を決定す
る。この計算された光学表面は、多項式又は他の知られている特定の関数で表す
ことができる。

【０００５】 制限事項の数はかなり多いのに、限られた有限の数のパラメータによってこの
ような最適化が達成されるという点で、このような光学表面は、制限されること
が当業者には理解されよう。

【０００６】 Ｇ．Ｈ．Ｇｕｉｌｉｎｏによる１９９３年応用光学誌の第３２巻の１１１〜１
１７ページの「Ｄｅｓｉｇｎ Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ Ｆｏｒ Ｐｒｏｇｒｅｓ
ｓｉｖｅ Ａｄｄｉｔｉｏｎ Ｌｅｎｓｅｓ（漸進的追加レンズの設計思想）」
（Ｄｅｓｉｇｎ Ｐｈｉｌｏｓｏｐｈｙ Ｆｏｒ Ｐｒｏｇｒｅｓｓｉνｅ Ａ
ｄｄｉｔｉｏｎ Ｌｅｎｓｅｓ）には、複数焦点レンズの設計原理の方法が徹底
的に調査されている。

【０００７】 Ｇｕｉｌｉｎｏらに対する米国特許第４，３１５，６７３号は、漸進的屈折力
の眼鏡レンズを指向したものである。Ｇｕｉｌｉｎｏは、特定の関数を利用して
可変屈折力を持つ光学表面を達成する特定の形状について述べている。

【０００８】 Ｆｕｅｔｅｒらに対する米国特許第４，６０６，６２２号は、異なる視野ゾー
ン間で漸進的に屈折力が変化する複数焦点メガネレンズを指向している。Ｆｕｅ
ｔｅｒは、複数の点にしたがって表面を決定する方法について述べている。この
方法は、３つの点にわたって２回連続微分可能な表面を定める。この表面は、変
化する光学表面屈折力を達成するように選択される。

【０００９】 業界では、複数枚のレンズ（したがってこれと複数の屈折表面と）から成る光
学エレメントを設計するのが通例である。カメラなどの複雑な光学エレメントの
設計者は、自由に使用できる有限のそして所定のレンズの集合を有している。設
計者は光学エレメントの性能に要件を課し、次に、ソフトウエアを用いて、この
所定のレンズの集合から最適な選択を行うことによって性能を最適化する。この
方式では、光学エレメントの設計に、この所定のレンズの集合の組合せの数が、
多いが有限であるという制限があることが理解されよう。

【００１０】 Ｌｅ Ｓａｕｘらに対する米国特許第５，５８１，３４７号は、光学表面を測
定する方法とデバイスを指向している。光学エレメント表面は、既知の波面を持
つ光で照射される。この波面の、表面で反射又は屈折した後の傾斜が測定される
。所与の初期表面から始まるプロセスを反復して、所定のメリット関数を最小化
する表面を求めようとするものである。

【００１１】 （発明の開示） 本発明のある好ましい実施形態によれば、複数の光線と複数の影響された光線
とに関するデータを受け取るステップであり、光線の各々が、影響された個々の
光線と関連するステップと、このデータから積分の方程式の集合を決定するステ
ップと、積分の方程式の集合から光学表面を決定するステップとを含む光学表面
を決定する方法が提供される。

【００１２】 本発明のある１つの態様によれば、影響された光線は光学表面によって屈折さ
れ、一方、本発明の別の態様によれば、影響された光線は光学表面によって反射
される。

【００１３】 光学表面を決定するステップは、積分の方程式の集合が解けるかどうかを検出
して、この積分の方程式の集合が解ける場合はこの積分の方程式の集合を積分し
、これによって光学表面を決定するサブステップと、この積分の方程式が解けな
い場合は、この積分の方程式の集合のコスト関数と補助条件を決定して、この補
助条件にしたがってコスト関数を最適化し、これによって光学表面を決定するサ
ブステップとを含むことがある。

【００１４】 本方法で用いられるデータは、測定システムから又はユーザーから受け取られ
る。

【００１５】 本発明のさらなる別の態様によれば、本方法はさらに、非平面表面に対する光
線に関するデータが与えられている場合、この光線に関するデータから基準平面
を決定するステップを含むことがある。

【００１６】 例えば、積分の方程式は次の式を含むことがある。

【００１７】

【数１４】 ここで、

【００１８】

【数１５】 ｘとｙは、各光線の基準平面上での幾何学位置を示し、 ｎ_１は光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは基準平面の上方の光学表面の高さを示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は各光線の方向ベクトル
を示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は影響された光線各々の方向ベクトルを示す。

【００１９】 代替例として、積分の方程式は次式を含むことがある。

【００２０】

【数１６】 ここで、

【００２１】

【数１７】 （ζ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））は影響された光線各々の幾何
学位置を示し、 ｘとｙは各光線の基準平面上での幾何学位置を示し、 ｎ_１は光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは基準平面の上方の光学表面の高さを示し、 ｎ_２は影響された光線に関する光の屈折率を示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は各光線の方向ベクトル
を示す。

【００２２】 光学表面を決定するステップは、積分の方程式の集合が解けるかどうかを検出
するステップと、積分の方程式の集合が解ける場合に、積分の方程式の集合を積
分し、これによって光学表面を決定するステップと、積分の方程式集合が解けな
い場合に、この積分の方程式の集合のコスト関数と補助条件を決定するステップ
と、このコスト関数を補助条件にしたがって最適化し、これによって光学表面を
決定するステップとを含むことがあるが、このコスト関数は次にように決定され
る。

【００２３】

【数１８】 ここで、 ｗ（ｘ，ｙ，ｆ，▽ｆ）は一般的な重み関数であり、Ｆ＝（Ｆ_１，Ｆ_２）であ
る。コスト関数は、所定の表面ｇに適応させることができることに注意されたい
。

【００２４】 本発明による本方法はさらに、非平面状表面に対する影響された光線に関する
データが与えられている場合に、この影響された光線に関するデータから基準平
面を決定するステップを含むことがある。

【００２５】 したがって、積分の方程式は次式を含むことがある。

【００２６】

【数１９】 ここで、

【００２７】

【数２０】 ｘとｙは、基準平面上での、影響された光線の各々の幾何学位置を示し、 ｎ_１は影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは基準平面の上方の光学表面の高さを示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎα）は影響された光線各々の
方向ベクトルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は各光線の方向ベクトルを示す。

【００２８】 代替例として、積分の方程式は次式を含むことがある。

【００２９】

【数２１】 ここで、

【００３０】

【数２２】 （ζ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））は各光線の幾何学位置を示し
、 ｘとｙは、影響された光線各々の基準平面上での幾何学位置を示し、 ｆは基準平面の上方の光学表面の高さを示し、 ｎ_１は影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は光線に関する光の屈折率を示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は影響された光線各々の
方向ベクトルを示す。

【００３１】 したがって、光学表面を決定するステップは、積分の方程式の集合が解けるか
どうかを検出するサブステップと、積分の方程式の集合が解ける場合、この積分
の方程式の集合を積分し、これによって光学表面を決定するサブステップと、積
分の方程式の集合が解けない場合、この積分の方程式の集合のコスト関数と補助
条件を決定するサブステップと、コスト関数を補助条件に従って最適化し、これ
によって光学表面を決定するサブステップとを含み、前記コスト関数が次のよう
に決定される。

【００３２】

【数２３】 ここで、ｗ（ｘ，ｙ，ｆ，▽ｆ）は一般的な重み関数であり、Ｆ＝Ｆ（Ｆ_１，
Ｆ_２）である。コスト関数は所定の表面ｇに適応される。

【００３３】 本発明のさらなる別の態様によれば、本方法はさらに、光学表面と影響された
光線の間に位置する既知の光学表面に関するデータを受け取るステップと、中間
光線の幾何学データを、影響された光線に関するデータと既知の光学表面に関す
るデータに基づいて決定するステップであり、この中間光線が光学表面とこの既
知の光学表面間に位置しているステップと、影響された光線に関するデータを中
間光線に関するデータと置き換えるステップとを含むことがある。

【００３４】 代替例として、本方法は、光学表面と光線間にある、既知の光学表面に関する
データを受け取るステップと、光線に関するデータと既知の光学表面に関するデ
ータに基づいて、中間光線の幾何学データを決定するステップであり、この中間
光線は光学表面と既知の光学表面間にあるステップと、光線に関するデータを中
間光線幾何学データと置き換えるステップとを含んでいる。

【００３５】 積分の方程式は、ｆ_ｘ＝ｅ_１（ｘ，ｙ，ｆ）とｆ_ｙ＝ｅ_２（ｘ，ｙ，ｆ）とい
う形態をとり得る。したがって、光学表面を決定するステップは、 基準平面上で複数の点を有する格子を決定するサブステップと、 複数の点から始点を選択するサブステップと、 この始点の表面の値を決定するステップと、 複数の隣接する目的点を選択するサブステップであり、この隣接した目的点は
始点に隣接しているサブステップと、 隣接した各目的点の方向で、始点に対する、積分の方程式の集合から、表面の
導関数の値を決定するサブステップと、 始点の表面値とそれぞれ１つの表面の導関数値に従って、隣接した各目的点の
表面値を決定するサブステップと、 前記複数の点から追加点を選択するサブステップであり、この追加点は隣接し
た目的点の少なくとも１つに隣接しており、この追加点は、隣接した点及び始点
以外の点であるサブステップと、 追加点の方向で、少なくとも１つの隣接した目的点に対する、積分の方程式の
集合から、表面の導関数値を決定するサブステップと、 追加点の方向で、少なくとも１つの隣接した目的点の値と前記少なくとも１つ
の隣接した目的点の表面の導関数値とに従って、追加点の表面の値を決定するサ
ブステップと、 隣接した目的点と追加点との１つを始点として選択するサブステップと、 始点の表面の値を決定するステップを繰り返すサブステップと 含むことがある。

【００３６】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、ある光学エレメントの少なく
とも１つの未知の表面のトポグラフィを決定する方法であり、この方法が、幾何
学特性を測定するステップと、幾何学特性及び光学エレメントの１つ或いは複数
の光の屈折率とから積分の方程式の集合を決定するステップと、この積分の方程
式集合から少なくとも１つの未知の表面のトポグラフィを決定するステップとを
含む方法が提供される。この測定された幾何学特性とは、光学エレメントに対す
る複数の入射光線と、前記少なくとも１つの未知の表面によって影響された対応
する複数の光線との特性である。

【００３７】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、少なくとも１つの未知の表面
を有する光学エレメントを設計する方法が提供される。本方法は、幾何学特性を
規定するステップと、この幾何学特性と光学エレメントの１つ或いは複数の光の
屈折率とから積分の方程式の集合を決定するステップと、この積分の方程式集合
から少なくとも１つの未知の表面のトポグラフィを決定するステップとを含んで
いる。この規定された幾何学特性は、光学エレメントに対する複数の入射光線と
、少なくとも１つの未知の表面によって影響された対応する複数の光線との特性
である。

【００３８】 そのうえ、本発明のある好ましい実施形態によれば、影響された光線は、少な
くとも１つの未知の表面の少なくとも１つによって屈折したものである。

【００３９】 代替例として、本発明のある好ましい実施形態によれば、この影響された光線
は、少なくとも１つの未知の表面の少なくとも１つによって反射されたものであ
る。

【００４０】 さらに、本発明のある好ましい実施形態によれば、トポグラフィを決定するス
テップは、積分の方程式集合が解くことができるかどうかを検出するステップを
含んでいる。この積分の方程式の集合は、解ける場合には積分の方程式の集合は
積分され、これによって、少なくとも１つの表面のトポグラフィを決定する。積
分の方程式の集合が解けない場合、積分の方程式の集合の関数と補助条件が決定
され、関数が補助条件にしたがって最適化され、これによって少なくとも１つの
表面のトポグラフィを決定する。

【００４１】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、光学エレメントの２つの未知
の表面のトポグラフィを決定する方法が提供される。本方法は、光学エレメント
に対する複数の入射光線と、少なくとも２つの未知の表面によって影響された対
応する複数の光線の位置及び方向とを測定するステップが含まれる。本方法はま
た、これらの位置及び方向と、光学エレメントの１つ或いは複数の光の屈折率と
から積分の方程式の集合を決定するステップと、積分の方程式の集合からこれら
２つの未知の表面のトポグラフィを決定するステップとを含む。

【００４２】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、２つの未知の表面を有する光
学エレメントを設計する方法が提供される。本方法は、光学エレメントに対する
複数の入射光線と、少なくとも２つの未知の表面によって影響された対応する複
数の光線との位置と方向を規定するステップを含んでいる。本方法はまた、位置
及び方向と、光学エレメントの１つ或いは複数の光の屈折率とから積分の方程式
の集合を決定するステップと、この積分の方程式集合から２つの未知の表面のト
ポグラフィを決定するステップとを含んでいる。

【００４３】 そのうえ、本発明のある好ましい実施形態によれば、影響された光線は、未知
の２つの表面の少なくとも１つによって屈折された光線である。

【００４４】 代替例では、本発明のある好ましい実施形態によれば、影響された光線は、２
つの未知の表面の少なくとも一つによって反射された光線である。

【００４５】 そのうえ、本発明によるある好ましい実施形態によれば、トポグラフィを決定
するステップは、積分の方程式の集合が解けるがどうか検出するステップを含ん
でいる。積分の方程式の集合は解ける場合には、積分の方程式の集合は積分され
、これによって２つの未知の表面のトポグラフィを決定する。積分の方程式の集
合が解けない場合、積分の方程式の集合の関数と補助条件が決定され、この関数
がこの補助条件に従って最適化され、これによってこの２つの未知の表面のトポ
グラフィが決定される。

【００４６】 そのうえ、本発明によるある好ましい実施形態によれば、本方法はさらに、位
置と方向から第１の基準平面を決定するステップを含み、積分の方程式には次式
が含まれる。

【００４７】

【数２４】 ここで、

【００４８】

【数２５】

【００４９】

【数２６】 ｈ_１は第１の基準平面の上方の第２の基準平面の高さを示し、 ｈ_２は第１の基準平面の上方の第３の基準平面の高さを示し、 ｘとｙは第２の基準平面上での、各入射光線の幾何学位置を示し、 ξとηは第３の基準平面上での、影響された各光線の幾何学位置を示し、 ｎ_１は入射光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は２つの未知の表面間の光の屈折率を示し、 ｎ_３は影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは第１の基準平面の上方の２つの未知の表面の一方の表面の高さを示し、 ｇは第１の基準平面の上方の２つの未知の表面の他方の表面の高さを示し、 （α，β，γ）は各入射光線の方向ベクトルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は影響された各光線の方向ベクトルを示す。

【００５０】 さらに、本発明のある好ましい実施形態によれば、関数は次のように決定され
る。

【００５１】

【数２７】 ｗ_ｉ（ｘ，ｙ，ｆ，ｇ，▽ｆ，▽ｇ）、ｉ＝１，２，３，４は一般的な重み関
数である。

【００５２】 また、本発明によるある好ましい実施形態によれば、上記の設計方法で決定さ
れるトポグラフィを有する少なくとも１つの表面を有する光学エレメントが提供
される。

【００５３】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、上記の設計方法で決定される
トポグラフィを有する少なくとも１つの表面を有する光学エレメントを生産する
型が提供される。

【００５４】 また、本発明によるある好ましい実施形態によれば、そのトポグラフィが、上
記の設計方法で決定される表面を有する、光学エレメントを生産するための型が
提供される。

【００５５】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、光学エレメントの２つの未知
の表面のトポグラフィを決定する測定デバイスが提供される。この測定デバイス
は、光学エレメントに対する入射光線の位置と方向を測定する第１の光学システ
ムと、少なくとも２つの未知の表面によって影響された光線の位置と方向を測定
する第２の光学システムと、位置及び方向と光学エレメントの光学特性とから、
２つの未知の表面のトポグラフィを決定するソフトウエア手段とを含んでいる。

【００５６】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、光学エレメントの未知の表面
のトポグラフィを決定する測定デバイスが提供される。この測定デバイスは、光
学エレメントに対する入射光線の位置と方向のどちらかを測定する第１の光学シ
ステムと、少なくとも未知の表面によって影響された光線の位置と方向を測定す
る第２の光学システムと、位置及び方向よ光学エレメントの光学特性とから決定
された積分の方程式の集合から未知の表面のトポグラフィを決定するソフトウエ
ア手段とを含んでいる。

【００５７】 また、本発明のある好ましい実施形態によれば、光学エレメントの未知の表面
のトポグラフィを決定する測定デバイスが提供される。この測定デバイスは、光
学エレメントに対する入射光線の位置と方向を測定する第１の光学システムと、
少なくとも未知の表面によって影響された光線の位置と方向のどちらかを測定す
る第２の光学システムと、位置及び方向と光学エレメントの光学特性とから決定
された積分の方程式の集合に基づいて未知の表面のトポグラフィを決定するソフ
トウエア手段とを含んでいる。

【００５８】 本発明は、以下の添付図面と一緒に詳細な説明を読めば完全に理解されよう。

【００５９】 （発明の詳細な説明） 本発明は、先行技術の欠点を克服するレンズやミラーなどの光学エレメントを
設計する新しい方法を提供する。本発明はまた、レンズやミラーなどの光学エレ
メントのための型のトポグラフィを設計する新しい方法を提供する。

【００６０】 さらに本発明は、先行技術の欠点を克服する、レンズやミラーなどの光学エレ
メントの形状を光学測定に基づいて決定する方法を提供する。

【００６１】 本発明の１つの態様に従えば、屈折又は反射表面を設計する手順が、その表面
が、光線束を所望の仕方で光学的に透過又は反射するようなやり方で提供される
。

【００６２】 本発明の別の態様に従えば、屈折又は反射表面を通過する（又はそれらによっ
て反射される）光線の測定によって、それらの屈折又は反射表面を決定する方法
が提供される。

【００６３】 本発明の方法は漸進的な複数焦点レンズの設計に特に適している（しかしそれ
に限定されない）。

【００６４】 今度は図１を参照すると、本発明の好ましい実施形態に従って構成され作動す
る、一般に１００で表される屈折表面と光線の集合との略図が示されている。

【００６５】 光学表面１００は、それぞれ屈折率ｎ_１及びｎ_２を持つ２つの光学媒体間を分
離する。光線１０２Ａ、１０２Ｂ及び１０２Ｃは、点１０８Ａ、１０８Ｂ及び１
０８Ｃから出て表面１００に向かう。表面１００は、各光線１０２Ａ、１０２Ｂ
及び１０２Ｃを屈折させて、それぞれ光線１０４Ａ、１０４Ｂ及び１０４Ｃにす
る。矢印１０６は、表面１００への法線のベクトルを表す。光線の数が設計者に
よって選択できることに注意されたい。

【００６６】 光線１０２Ａ、１０２Ｂ及び１０２Ｃの特性は、当技術分野で知られている複
数の形態で与えられるということが当業者には理解されよう。従って基準平面１
１０のような基準表面は、その特性のいずれに基づいても決定することができる
ということに注意されたい。例えば基準平面１１０は、各光線１０２の正確な空
間的形状記述から容易に規定することができる。

【００６７】 本発明は、関数ｆを用いて表面１００を規定する。ｆは、基準ｘ―ｙ平面１１
０に関して位置付けられる。基準平面１１０上の点（ｘ，ｙ）は、決定しようと
する光学表面１００へ向かって放出される光線の原点を表す。平面１１０上方の
ｆ（表面１００）の高さは、ｆ（ｘ，ｙ）によって与えられる。このようにして
与えられる記述に関する基準平面の使用は、通常の平面に限定されたものではな
く、むしろこの目的のためにはどのようなタイプの表面でも用いることができる
ということに注意されたい。

【００６８】 基準平面１１０上の任意の点における光線１０２の位置が、それらの方向ベク
トルｗ_１（ｘ、ｙ）とともに与えられている。

【００６９】 本発明のこの態様に従えば、屈折光線のそれぞれの方向だけが既知でありそれ
は、各光線について方向ベクトルｗ_２（ｘ、ｙ）によって与えられる。

【００７０】 本発明に従えば、各光線１０２の方向ベクトルは、ｗ_１＝（ｃｏｓφｃｏｓθ
，ｓｉｎφｃｏｓθ，ｓｉｎθ）で表され、屈折光線の方向ベクトルは、ｗ_２＝
（ａ，ｂ，ｃ）で表される。

【００７１】 そして、選択された光線１０２と表面１００ｆとの交点（ｘ０、ｙ０、ｚ０）
は、

【００７２】

【数２８】 で与えられる。

【００７３】 従ってＭ．ＢｏｒｎとＥ．Ｗｏｌｆの「Ｐｒｉｎｃｉｐｅｓ ｏｆ Ｏｐｔｉ
ｃｓ（光学の原理）」ペルガモンプレス、１９８０年で述べられている屈折の法
則は、

【００７４】

【数２９】 と書くことができる。

【００７５】 ここでν＝（ｆ_ｘ０，ｆ_ｙ０，−１）として規定されるνは、任意の点（ｘ０
，ｙ０，ｆ）における表面１００ｆへの法線を表し、ｆ_ｘ０、ｆ_ｙ０はそれぞれ
ｘ０及びｙ０に関する表面ｆの偏導関数を表し、×は２つのベクトル間のベクト
ル積（ベクトルの乗法演算）を表す。方程式（２）は、ｓを比例定数とすれば、
ｎ_１ｗ_１−ｎ_２ｗ_２＝ｓνとしてわずかに異なって書き表すことができることに
注意されたい。

【００７６】 ベクトル方程式（２）の係数を同等とみなすと、導関数ｆに対して次の２つの
方程式を得る。

【００７７】

【数３０】 本発明の方法においては、方程式（３）の系を積分することによって表面ｆが
構築される。

【００７８】 出願者は、方程式（１）を用いて交点（ｘ０，ｙ０，ｆ）を消去すればより便
利になることに気が付いた。この目的のために、ｆはｆ＝ｆ（ｘ０（ｘ，ｙ），
ｙ０（ｘ，ｙ））として規定される。導関数ｆは、ｘ及びｙに関して、連鎖法則
及び方程式（１）を用いて与えられる。従って次の式を得る。

【００７９】

【数３１】 こうして方程式（４）の系を積分することによって、表面ｆを決定することが
できる。一般に、解法の初期条件として、表面ｆ上の１つの点ｐ＝（ｘｉ，ｙｉ
，ｆ（ｘｉ，ｙｉ））の位置が必要となるかもしれない。ほとんどの場合、表面
ｆの頂点を用いることができるが、他のいかなる基準点でも十分な結果をもたら
す。

【００８０】 本発明の１つの態様に従えば、本発明によれば、光学エレメントの設計者は、
設計手順においてある所定の要件を得て計算を命令するために、光線１０２の方
向及び位置及び屈折光線１０４に関する情報を提供することができる。

【００８１】 あるいはこの情報は、既存の光学エレメントの表面を決定しようとする際には
、以下に説明するような従来型の測定器具を用いて、実測値から提供することが
可能となる。

【００８２】 様々な測定方法及びシステムが、参照によりその開示内容を本願明細書の一部
と成す、Ｄ．Ｍａｌａｃａｒａによる「Ｏｐｔｉｃａｌ Ｓｈｏｐ Ｔｅｓｔｉ
ｎｇ（光学工場の検査）」、Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ＆Ｓｏｎｓ社．１９９２年、
及びＧ．Ｒｏｕｓｓｅｔによる「Ｗａｖｅ Ｆｒｏｎｔ Ｓｅｎｓｉｎｇ（波面
の検出法）」、天文学のための応用光学誌、Ｄ．Ｍ．Ａｌｌｏｉｎ及びＪ．Ｍ．
Ｍａｒｉｏｔｔｉ（ｅｄｓ．）１１５〜１３８ページ、Ｋｌｕｗｅｒ、１９９４
年、の中に述べられている。例えばＨａｒｔｍａｎセンサ又は曲率センサを用い
ることができる。

【００８３】 重要なことは、方程式（４）は、その計算の軸次数に関わりなく、表面ｆの任
意の点において計算される２次の混合導関数が同じであり、従ってｆ_ｘｙ＝ｆ_{ｙ ｘ} 、又は方程式４の表記を用いてＦ_１ｙ＝Ｆ_２ｘであることを要求する、特別の
適合条件のもとにおいてのみ解けることである。

【００８４】 本発明は、点１０８（図１）や１５４（図４）のような起点が、分離した格子
上にある場合、方程式（４）の解法を提供する。本例は、一次結合により、他の
いかなるタイプの格子にも拡張できる方形格子に関連するということに注意され
たい。

【００８５】 今度は、一般に３５０で参照される光学格子の略図を図２に示す。格子３５０
は、一般に基準平面１１０（図１）上に置かれる。点（０，０）は、そこから決
定プロセスが始まる始点である。本例において、表面１００の頂点は点（０，０
）を起点とする光線上に位置する。

【００８６】 さらに本発明の別の実施形態に従って作用する、未知の光学表面を決定する方
法の略図を図３に示す。

【００８７】 ステップ５００において格子が決定される。格子は、基準平面上に配置された
複数の点を持つ。格子は、当技術分野で知られているいかなるのタイプの格子で
も可能であることに注意されたい。図２に示すように、本例において直交格子３
５０は、基準平面１１０（図１）上で決定される。

【００８８】 ステップ５０２において始点が選択され、そこから所望の光学表面を決定する
プロセスが開始する。本例においては、点（０，０）は始点（図２）を表す。

【００８９】 ステップ５０４において、その始点における未知の表面の関数値は予め決めら
れている。従って関数は点（０，０）において所定の値を持つ。

【００９０】 ステップ５０６において、隣接する目的点が格子上で選択される。本例におい
ては、点（−１，０）、（１，０）、（０，−１）及び（０，１）が選択される
。

【００９１】 ステップ５０８において、始点における未知表面関数の目的点方向への導関数
の値が決定される。本例においては、点（０，０）における表面１００（図１）
の表面関数の導関数の値が、それぞれ点（−１，０）、（１，０）、（０，−１
）及び（０，１）の方向で決定される。これらの導関数の値は方程式（４）を用
いて決定される。

【００９２】 ステップ５１０において、ステップ５０８で決定された導関数値を用いて、未
知の関数の値が、選択された隣接目的点のそれぞれについて決定される。本例に
おいては、点（−１，０）、（１，０）、（０，−１）及び（０，１）に関する
表面１００（図１）の関数の値が決定される。

【００９３】 ステップ５１２において、隣接点を越えて位置する選択点に対して決定プロセ
スが進行する。選択された点の方向に対するこの漸進的な過程は、１つ以上の方
向について実行されて、その選択点について異なる未知表面関数値を生成する。
本例においては点（１，１）が選択される。点（１，１）は、点（０，１）及び
（１，０）の近傍及びそれを越えて位置している。

【００９４】 ステップ５１４において、複数の目的点のそれぞれについて、未知の表面関数
の選択点への方向での導関数の値が決定される。本例においては、点（０，１）
及び（１，０）について、表面１００（図１）の表面関数の点（１，１）の方向
への導関数の値が決定される。

【００９５】 ステップ５１６において、複数の目的点についての関数値（ステップ５１０）
及びその導関数値（ステップ５１４）に基づいて、未知の表面関数の値が各選択
点において決定される。複数の目的点のいくつかが、選択点について異なる未知
表面値を生ずるとき、選択点についての最終的な未知表面値は、これらの値の平
均値として決定される。

【００９６】 本例において、点（１，１）についての表面１００の関数値は、点（１，０）
及び（０，１）についての表面１００の関数の値及びその導関数値を用いて決定
される。

【００９７】 同様のプロセスが、点（−１，１）に関する点（０，１）と（−１，０）、点
（−１，−１）に関する点（０，−１）と（−１，０）、点（１、−１）に関す
る点（１，０）と（−１，０）について実行される。

【００９８】 適合条件が保持されていない場合は、光線透過の要件を正確に満たす表面は存
在しない。この場合、本発明は、選択されたコスト関数（ｃｏｓｔ ｆｕｎｃｔ
ｉｏｎ）のもとで光線透過要件のための最適な解を与える表面を提供する。

【００９９】 従って方程式（４）は、ベクトル形式∇ｆ―Ｆ（ｘ，ｙ，ｆ）＝０で与えられ
る。ここでベクトルＦ＝（Ｆ_１，Ｆ_２）は、方程式４の右辺で与えられる。この
段階での本発明の目的は、Ｅを選択されたコスト関数として、Ｅ（∇ｆ−Ｆ（ｘ
，ｙ，ｆ））を最小にする表面ｆを決定することである。一例として次の関数を
コスト関数と見なす。

【０１００】

【数３２】 本発明のためには、他の幾つかのコスト関数が適用できることに注意されたい
。例えば、設計者が表面のある領域又は表面ｆ自身の形状を強調しようと望む場
合、これは

【０１０１】

【数３３】 を通じてコスト関数に重みを付けることによって行うことができる。

【０１０２】 ここでｗ（ｘ，ｙ，ｆ，∇ｆ）は、この場合の適当な重み関数である。

【０１０３】 重み関数は、位置（ｘ，ｙ）、表面ｆの形状、及び表面ｆの形状の勾配等の多
くの要素によって決まる関数でありうる。例えばｆの形状の勾配への依存関係は
、決定された表面内の選択された表面領域を設計者が強調しようとするときに選
択される。

【０１０４】 さらに他の制約を、最適化のプロセスの解法に適用することができる。例えば
設計者は、予め指定した所望の点における表面の高さ等のｆ値を予め指定するこ
とができる。

【０１０５】 Ｓ．Ｇ．Ｍｉｃｈｌｉｎの「Ｔｈｅ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｐｅｒｆｏｒｍａ
ｎｃｅ ｏｆ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｔｈｏｄｓ（変分法の数値性能）
」、Ｗｏｌｔｅｒｓ−Ｎｏｏｒｄｈｏｆｆ、１９７１年（オランダ）、及びＭ．
Ｊ．Ｆｏｒｒａｙの「Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ ｉｎ Ｓｃ
ｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（科学及び工学における変分法）
」、マグローヒル社、１９６０年、の両方に変分法の理論が述べられている。こ
の理論によれば、Ｅの最小化は、表面ｆの偏微分方程式に帰着する。例えばコス
ト関数として方程式（５）を選択すると、表面ｆに対して次の偏微分方程式が得
られる。

【０１０６】

【数３４】 方程式は外部的条件に制約されるかもしれない。例えば上記のように、設計者
は選択した点においてｆの値を与えることができる。

【０１０７】 実際投射された光ビームは、有限個の光線を含むと考えられる。本発明に従え
ば、方程式は離散プロセスによって解くことができるので、これが問題を引き起
こすことはない。

【０１０８】 一般にコスト関数Ｅを最適化する問題は、以下に述べるように多くの方法に従
って解くことができる。１つの方法は、コスト関数を直接最小化することである
。別の方法は、関連する偏微分方程式を解くことである。

【０１０９】 有限要素法の原理が、Ｄ．Ｈ．Ｎｏｒｒｉｓ及びＧ．ｄｅ Ｖｒｉｅｓの「Ｔ
ｈｅ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ Ｍｅｔｈｏｄ（有限要素法）」、Ａｃ
ａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ、１９７３年、に述べられている。定差法が、Ａ．Ｉ
ｓｅｒｌｅｓ「Ａ Ｆｉｒｓｔ Ｃｏｕｒｓｅ ｉｎ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａ
ｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｍｅｔｈｏｄ（微分方程式の数
値解析入門）」、Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ、１
９９６年、に述べられている。Ｇａｌｅｒｋｉｎ−Ｒｉｔｚ（ガラーキン・リッ
ツ）法が、Ｓ．Ｇ．Ｍｉｃｈｌｉｎの「Ｔｈｅ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｐｅｒｆ
ｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ Ｖａｒｉａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｔｈｏｄ（変分法の数値
演算）」、Ｗｏｌｔｅｒｓ−Ｎｏｏｒｄｈｏｆｆ、１９７１年（オランダ）、に
述べられている。

【０１１０】 これらの方法のそれぞれが、コスト関数最適化の問題を解くために用いること
ができる。

【０１１１】 今度は、本発明の別の好ましい実施形態に従って構成され作動する、一般に１
５０で表される屈折表面と１セットの光線の略図を図４に示す。

【０１１２】 光線１５２Ａ、１５２Ｂ、１５２Ｃは、それぞれ基準平面１６０上に位置する
点１５４Ａ、１５４Ｂ、１５４Ｃを起点とする。光線１５２Ａ、１５２Ｂ、１５
２Ｃは、屈折表面１５０に向けられる。表面１５０は光線１５２Ａ、１５２Ｂ、
１５２Ｃを屈折し、それらは点１５６Ａ、１５６Ｂ、１５６Ｃにおいてそれぞれ
検出される。点１５６Ａ、１５６Ｂ、１５６Ｃは、表面１６２上に位置する。矢
印１５８は表面１５０への法線ベクトルを表す。本発明に従えば表面１６２はい
かなるタイプの表面でもよいが、本例においては表面１６２は平面であることに
注意されたい。

【０１１３】 本発明に従えば、設計者は、光線の位置１５４及び方向１５２をｆの一方の側
に、点１５６の位置を光線が通過する屈折表面の他方の側に与えることができる
。あるいは、この情報はまた測定デバイスによって与えることができる。

【０１１４】 屈折率ｎ_１の領域内の基準平面１６０上の位置（ｘ，ｙ）から放出された光線
に対して、屈折率ｎ_２の領域内の表面１６２におけるその光線の位置は、（ξ（
ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））によって表される。方程式（３）を導
いたのと同様の数学的議論によって、方程式（４）の形式の方程式が、ｕ_１及び
ｕ_２を

【０１１５】

【数３５】 で置き換えることによって、得られる。ここで、

【０１１６】

【数３６】 方程式（４）は、今度は（ｕ_１，ｕ_２）に対する新たな式で有効となる。方程
式（４）の可解性に関する上述の議論及びコスト関数Ｅを用いての最適表面の探
索が、同様にこの場合に適合することに注意されたい。

【０１１７】 従って、本発明は、屈折エレメントによる光線の屈折に関する情報から、光学
エレメントの表面のトポグラフィを与える方法を提供する。この情報には、光学
エレメントと相互作用する前の複数の光線の方向及び位置とともに、そのそれぞ
れの屈折光線の方向（図１）又は位置（図４）が含まれる。あるいは、この情報
には、光学エレメントと相互作用する前の複数の光線の方向又は位置とともに、
そのそれぞれの屈折光線の位置及び方向を含むことができる。光学エレメントと
相互作用する前の光線の方向を含む情報の場合は、図１における光線の方向を反
転することによって視覚化できる。その計算には方程式（４）が用いられが、そ
の変数は以下のように再規定される。

【０１１８】 （ｘ，ｙ）は、基準平面上の各屈折光線の幾何学位置を表し、 ｎ_１は、屈折光線に関する光の屈折率を表し、 ｎ_２は、光学エレメントと相互作用する前の光線に関する光の屈折率を表し、 ｆは、基準平面の上方の光学表面の高さを表し、 （ｃｏｓφｃｏｓθ，ｓｉｎφｃｏｓθ，ｓｉｎθ）は、各屈折光線の方向ベ
クトルを表し、そして （ａ，ｂ，ｃ）は、光学エレメントと相互作用する前の各光線の方向ベクトル
を表す。

【０１１９】 光学エレメントと相互作用する前の光線の位置を含む情報の場合は、図４の光
線の方向を反転することによって視覚化できる。その計算には方程式（４）が用
いられるが、ｕ_１及びｕ_２は方程式（８）のように規定され、変数は以下のよう
に規定義される。

【０１２０】 （ξ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））は、光学エレメントと相互作
用する前の各光線の幾何学位置を表し、 （ｘ，ｙ）は、基準平面上の各屈折光線の幾何学位置を表し、 ｎ_１は、屈折光線に関する光の屈折率を表し、 ｎ_２は、光学エレメントと相互作用する前の光線に関する光の屈折率を表し、 ｆは、基準平面上方の光学表面の高さを表し、そして （ｃｏｓφｃｏｓθ，ｓｉｎφｃｏｓθ，ｓｉｎθ）は、各屈折光線の方向ベ
クトルを表す。

【０１２１】 本発明はまた、最適な反射表面を構成する方法を提供する。本発明のこの態様
は、屈折率ｎ_２を−ｎ_１に等しい屈折率で置き換えて、上記の方程式を用いるこ
とによって容易に与えられる。

【０１２２】 本発明は、最適な屈折又は反射表面を決定する方法、又はそのような表面を所
与の測定から再構成する方法を提供する。本発明の１つの態様に従えば、表面の
両側における光線の方向及び位置が与えられる。この場合、その方法は光線追跡
法のステップを提供し、ここで各光線の経路が、表面の両側で反対方向へ交点に
向かって追跡される。最後に交点の集合を用いて、表面ｇを規定する。

【０１２３】 実際の測定又は際立った設計要件におけるエラーが、方程式の精度又は可解性
に支障をきたし、光線追跡法によって決定される表面ｇが、前述した屈折又は反
射の従来型光学方程式による要件を満たさないということが起こりかねないこと
が理解される。

【０１２４】 表面ｇが、方程式（２）に従って光線を屈折（又は反射）しないならば、デー
タの要件を正確に満たす表面は存在しない。このような場合本発明は、Ｅ（∇ｆ
−Ｆ（ｘ，ｙ，ｆ），ｆ，ｇ）の形のコスト関数を最適化することによって、未
知の表面ｆを決定する方法を提供する。

【０１２５】 前記の方程式（５）を参照すれば、例えば次の式が得られる。

【０１２６】

【数３７】 又はより一般的には、

【０１２７】

【数３８】 ここで、関数ａ（ｘ，ｙ，ｆ，∇ｆ）及びｗ（ｘ，ｙ，ｆ，∇ｆ）は、使用者
による調整が可能な重み関数である。

【０１２８】 本発明のさらなる態様に従えば、設計者は、最終的に決定される表面ｆに合致
しなければならない初期表面ｇを課すことができる。この状況は、方程式（９）
及び（１０）に関連して前述した状況と類似しており、従って同様のやり方で解
くことができる。

【０１２９】 今度は本発明のさらなる態様にしたがって機能する、未知の光学表面を決定す
る方法の略図を図５に示す。

【０１３０】 ステップ４００において、データを設計者又は測定システムから受取る。この
データは、複数の光線及びその夫々の屈折光線に関連する。図１に示す例の場合
、このデータには、光線１０２の幾何学特性及びそのそれぞれの屈折光線１０６
の方向が含まれる。図４に示す例の場合、このデータには、光線１５２の幾何学
特性及びそのそれぞれの屈折光線１５６の表面１６２上の位置が含まれる。

【０１３１】 ステップ４０２において、積分の方程式の集合が、必要とされる表面に関する
データから決定される。方程式（４）はそのような積分の方程式を表す。

【０１３２】 ステップ４０４において、積分の方程式は解くことが可能かどうかについて検
査される。解くことができればステップ４０６に進む。そうでなければステップ
４０８に進む。

【０１３３】 ステップ４０６において、積分の方程式が、受取ったデータに基づいて積分さ
れ、光学表面の所要の関数を生成する。例えばこれらの方程式は、図２及び３に
関連して示される積分経路法にしたがって積分することができる。

【０１３４】 ステップ４０８において、コスト関数Ｅ（例えば式（６）を参照）のようなコ
スト関数及び補助的条件が決定される。

【０１３５】 ステップ４１０において、所要の表面の関数に対して最適化された解が与えら
れる。

【０１３６】 前述の実施形態は、光学エレメントの単一の表面の構成を取扱ったが、そこに
おいては光学表面内の他のいかなる表面も演繹的に知られている。

【０１３７】 本発明はさらに、別の既知の表面ｇを持つ光学エレメントの１つの表面ｆを決
定する方法を提供する。決定された表面ｆは、屈折光線の原点に関して、光学エ
レメントのどちらの側にあってもよいことに注意されたい。

【０１３８】 本発明のさらに好ましい実施形態に従って構成され作用する、一般に２００で
示される屈折光学エレメント及び複数の光線の略図を図６に示す。

【０１３９】 光学エレメント２００は、２つの屈折表面２０２及び２０４を持つ。表面２０
４が既知であり表面２０２を決定しようとする場合、表面２０２及び２０４はそ
れぞれ関数ｆ及びｇに関連付けられる。矢印２１０及び２１２は、それぞれ表面
２０２及び２０４に対する法線ベクトルを表す。

【０１４０】 複数の光線２０６Ａ、２０６Ｂ、２０６Ｃは、点２０８Ａ、２０８Ｂ、２０８
Ｃを起点とし、それらは平面２２０上に位置して表面２０２の方に向けられる。

【０１４１】 光学エレメント２００によって屈折させられた後、光線２０６Ａ、２０６Ｂ、
２０６Ｃは、それぞれ最終目的点２１４Ａ、２１４Ｂ、２１４Ｃにおいて使用者
によって検出又は規定される。点２１４Ａ、２１４Ｂ、２１４Ｃは、表面２２２
上に位置する。

【０１４２】 今度は本発明の別の好ましい実施形態に従って作動する、図６の未知の光学表
面を決定する方法の略図を図７に示す。

【０１４３】 最初に、光学エレメントによって屈折される光線２０６Ａ、２０６Ｂ、２０６
Ｃに関するデータを、設計者又は測定システムから受取る（ステップ６００）。
このデータには、各光線の位置及び方向が含まれる。さらに使用者が、本例にお
いては表面２０４である既知の表面ｇの形状に関するデータを提供する（ステッ
プ６０２）。

【０１４４】 それから各光線２０６と未知の表面２０２との交点が決定される（ステップ６
０４）。本例においては、光線２０６Ａ、２０６Ｂ、２０６Ｃのそれぞれの交点
２１８Ａ、２１８Ｂ、２１８Ｃが決定される。

【０１４５】 ステップ６０６において、各交点２１８から既知表面２０４を通って最終目的
点２１４へ至る光路が決定される。この光路は例えばフェルマーの最小移動時間
の原理などの選ばれた物理的基準に従って決定することができる。

【０１４６】 ステップ６１０において、未知の表面ｆと既知の表面ｇとの間の区域における
経路の方向が決定される。本例においては、各屈折光線２１６Ａ、２１６Ｂ、２
１６Ｃの方向が決定される。（ステップ６０８は、最終目的の方向が既知である
場合を扱っており、それは図８を参照して以下に述べられる）。

【０１４７】 最後に未知の表面ｆが、図５の方法に従って、上記のように受取られ得られた
情報に基づいて決定される（ステップ６１２）。

【０１４８】 表面２０２が既知であり表面２０４を決定しようとする場合においては、表面
２０２及び２０４はそれぞれ関数ｇ及びｆに関連付けられている。

【０１４９】 この場合は、表面２０２が未知であり表面２０４が既知である場合よりも簡単
である。この場合、屈折光線２１６Ａ、２１６Ｂ、２１６Ｃは、既知の表面２０
２及び光線２０６Ａ、２０６Ｂ、２０６Ｃに関するデータから決定される。それ
から未知の表面２０４が、図５を参照して述べられた方法に基づいて決定される
。

【０１５０】 今度は本発明の更なる好ましい実施形態に従って構成され作動する、一般に３
００で表される屈折光学エレメント及び複数の光線の略図を図８に示す。

【０１５１】 光学エレメント３００は、２つの屈折表面３０２及び３０４を持つ。表面３０
４が既知であり、表面３０２を決定しようとする場合は、表面３０２及び３０４
はそれぞれ関数ｆ及びｇに関連付けられる。矢印３０６及び３０８は、それぞれ
表面３０２及び３０４への法線ベクトルである。

【０１５２】 複数の光線３１０Ａ、３１０Ｂ、３１０Ｃは、点３１２Ａ、３１２Ｂ、３１２
Ｃを起点としており、それらは３２０上に位置し、表面３０２に向けられる。

【０１５３】 光学エレメント３００によって屈折させられた後、光線３１０Ａ、３１０Ｂ、
３１０Ｃは、それぞれ最終目的方向３１４Ａ、３１４Ｂ、３１４Ｃにおいて、使
用者によりそれぞれ検出又は規定される。

【０１５４】 基本的に表面３０２は図７で述べられた方法に従って、しかしステップ６０６
の代りに６０８を実行するように変更して決定される。ステップ６０８において
は、各交点３１８から既知表面３０４を通って最終目的の方向３１４へ向かう光
路が決定される。同様に、この光路は、フェルマーの最小移動時間の原理のよう
な選ばれた物理的基準に基づいて決定することができる。

【０１５５】 表面３０２が既知であり、表面３０４を決定しようとする場合には、表面３０
２及び３０４は、それぞれ関数ｇ及びｆに関連付けられる。

【０１５６】 この場合は、表面３０２が未知で表面３０４が既知の場合よりも簡単である。
この場合、屈折光線３１６Ａ、３１６Ｂ、３１６Ｃは、既知表面３０２及び光線
３１０Ａ、３１０Ｂ、３１０Ｃに関連するデータから決定される。そして未知の
表面３０４は、図５を参照して述べられた方法に従って決定される。

【０１５７】 本発明の１つの態様に従えば、光学エレメントの２つの屈折表面を、それらが
通過する光線を測定することによって同時に決定する方法が提供される。決定す
べき表面の１つ又は両方が反射表面である場合には、屈折率を隣接する屈折率の
負数で置き換えることによって、同様の方法を用いることが可能となるが、２つ
の屈折表面の場合だけを以下に説明する。

【０１５８】 本発明の別の態様に従えば、表面が光線のビームを所望の態様で最適に透過す
るような仕方で、光学エレメントの２つの屈折表面を同時に設計する方法が提供
される。

【０１５９】 本発明の方法は、漸進的な複数焦点レンズの設計に特に適合している（しかし
それに限定されない）。

【０１６０】 今度は、１セットの光線、及び例えばそれぞれｆ及びｇで参照される２つの屈
折表面を持つレンズ９００のような光学エレメントの略図を図９Ａに示す。表面
ｆ及びｇは、空間を３つの部分に分ける。屈折率がｎ_１であるレンズ９００の下
方部分と、屈折率がｎ_２である、表面ｆとｇとの間のレンズ９００の内部と、屈
折率がｎ_３であるレンズ９００の上方部分とである。光線のビームは、レンズ９
００を通って透過される。点９０４Ａ、９０４Ｂ、９０４Ｃを起点とする光線９
０２Ａ、９０２Ｂ、９０２Ｃは、表面ｆに向けられる。それらは表面ｆで屈折し
、それからもう一度表面ｇで屈折して、それぞれ光線９０６Ａ、９０６Ｂ及び９
０６Ｃになる。

【０１６１】 各光線の幾何学位置及び方向は、測定によって又はレンズ設計者の指定によっ
て、レンズ９００の両側で既知である。目標は、光線の形状から表面ｆ及びｇを
決定することである。

【０１６２】 レンズ９００の両側における光線の幾何学位置及び方向を決定するいくつかの
方法は、当技術分野で知られている。今度は、入射光線を生成し測定するための
光学システムの３つの非限定的な例を以下に説明する。第１の例において、入射
光線９０２Ａ、９０２Ｂ、９０２Ｃを生成するために、平行ビームが、小さな穴
９０４Ａ、９０４Ｂ、９０４Ｃ付きの不透明スクリーンＳ_１を通ってレンズ９０
０上に投射される。第２の例では、スクリーンＳ_１は、小さな不透明な点９０４
Ａ、９０４Ｂ、９０４Ｃを持つ透明なスクリーンである。第３の例では、スクリ
ーンＳ_１は格子付きの透明スクリーンであり、その交点は、小さな不透明の点９
０４Ａ、９０４Ｂ、９０４Ｃである。今度は影響を受けた光線を測定するための
光学システムの非限定的な例を説明する。屈折光線９０６Ａ、９０６Ｂ、９０６
Ｃは、レンズ９００の他の側のスクリーンＳ_２上に投射され、一般のカメラで検
出することができる。スクリーンＳ_２をレンズ９００へより近づける又はそこか
ら遠ざかる付加的位置に移動させることによって、各屈折光線９０６Ａ、９０６
Ｂ、９０６Ｃに沿ったいくつかの点が得られ、それによってこれらの光線の方向
を決定できる。

【０１６３】 あるいは、目標が特定の仕様に基づいて最適な屈折表面ｆ及びｇを設計するこ
とであるならば、設計者は、光線の幾何学位置及び方向を指定する。以下により
詳細に説明するように、いくつかの場合において、設計者は光線の幾何学記述を
部分的にだけ指定するように選択できる。

【０１６４】 明確にするために、図９Ａには３つの光線だけが示される。しかし一般に、多
くの光線がレンズを決定又は設計するために用いられることが理解される。

【０１６５】 今度は、図９Ａの同じ２つの屈折表面の略図を追加的に図９Ｂに示す。図９Ｂ
は表面と光線の幾何学記述である。光線９０２Ａ、９０２Ｂ、９０２Ｃの幾何学
規定が、当技術分野で知られている多くの形態で与えられ得ることが当業者には
理解されよう。従ってｚ＝ｈ_１で与えられるｘ−ｙ平面のような、レンズ９００
下方の基準表面を決定することができることに注意されたい。さらに基準平面ｚ
＝ｈ_１上の各光線の位置（ｘ，ｙ）、及び単位方向ベクトル（α（ｘ，ｙ），β
（ｘ，ｙ），γ（ｘ，ｙ））を決定することができる。同様に、光線９０６Ａ、
９０６Ｂ、９０６Ｃの幾何学規定から、ｚ＝ｈ_２で与えられるｘ−ｙ平面のよう
な、レンズ上方の基準表面とともに、基準平面ｚ＝ｈ_２上の各光線の位置（ξ（
ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ））及び単位方向ベクトル（ａ（ｘ，ｙ），ｂ（ｘ，ｙ）
，ｃ（ｘ，ｙ）を決定することができる。こうして与えられる記述に関する基準
平面の使用は、通常の平面に限定されることはなく、むしろどのようなタイプの
表面もこの目的のために用いることができると考えられる。

【０１６６】 関数ｆは表面ｆを表すために用いられ、関数ｇは表面ｇを表すために用いられ
る。（ｘ，ｙ）を起点とする光線は、点（ｘ_１，ｙ_１，ｆ）において表面ｆと交
わる。ここでｘ_１及びｙ_１は方程式（１１）で与えられる。

【０１６７】

【数３９】 同様に同じ光線は、点（ｘ_２，ｙ_２，ｇ）において表面ｇと交わる。ここでｘ _２ 及びｙ_２は式（１２）で与えられる。

【０１６８】

【数４０】 レンズ内の光線の単位方向ベクトルを、（ｄｘ，ｄｙ，ｄｚ）＝（１／Ｄ）（
Ｄｘ，Ｄｙ，Ｄｚ）として表すと便利である。ここでＤｘ、Ｄｙ、Ｄｚ及びＤは
方程式（１３）で与えられる。

【０１６９】

【数４１】 表面ｆにおける屈折の法則によって、（ｘ_１，ｙ_１，ｆ）におけるｆへの法線
ベクトルにたいする次の１組の方程式（１４）が導かれる。

【０１７０】

【数４２】 ここでｆ_ｘ１及びｆ_ｙ１は、ｘ_１及びｙ_１に関するｆの偏導関数である。比例
定数ｓを消去すると、１組の方程式（１４）は（ｘ_１，ｙ_１，ｆ）において次の
方程式（１５）になる。

【０１７１】

【数４３】 同様に、表面ｇにおける屈折の方程式から点（ｘ_２，ｙ_２，ｇ）における次の
１組の方程式（１６）が導かれる。

【０１７２】

【数４４】 ここでｇ_ｘ２及びｇ_ｙ２は、ｘ_２及びｙ_２に関するｇの偏導関数である。微分
法の連鎖法則を用いれば、方程式（１５）及び（１６）の系は、平面ｚ＝ｈ_１上
の光線を規定する変数（ｘ，ｙ）によって表すことができる。方程式（１１）、
（１２）、（１５）及び（１６）を用いれば、（ｘ，ｙ）における次の１組の偏
微分方程式（１７）が得られる。

【０１７３】

【数４５】 一般に、関数ｅｉ、ｉ＝１，２，３，４，は、未知の関数ｆとｇ、及び既知の
変数ｘ、ｙ、α（ｘ，ｙ）、β（ｘ，ｙ）、γ（ｘ，ｙ）、ξ（ｘ，ｙ）、η（
ｘ，ｙ）、ａ（ｘ，ｙ）、ｂ（ｘ，ｙ）及びｃ（ｘ，ｙ）の関数である。この事
実は次の方程式（１８）で表すことができる。

【０１７４】

【数４６】 ここでセミコロンの前の変数は未知であり、セミコロンの後の変数は既知であ
る。従って方程式（１７）の系は次の適合条件の下でだけ解くことができる。

【０１７５】

【数４７】 この適合条件（１９）が同時に保持されるならば、方程式（１７）の系は無限
に多くの解を持つ。特定の解を定めるために、追加的条件が課されなければなら
ない。例えば、基準平面ｚ＝ｈ_１上の特定の点（ｘ_０，ｙ_０）に起点を持つ光線
の交点の値ｆ（ｘ_０，ｙ_０）及びｇ（ｘ_０，ｙ_０）を与えることができる。この
場合、方程式（１７）を積分するための多くの方法が存在する。

【０１７６】 そのような方法の１つ、多くの軌道による積分、が図２及び３を参照して上に
述べられている。

【０１７７】 適合条件１９が保持されない場合、光線透過の要件を正確に満たす表面ｆ及び
ｇは存在しない。この場合、レンズは追加的な要件を最善に満たすように設計さ
れる。この目的のために、コスト関数Ｅ＝Ｅ（ｆ，ｇ，∇ｆ，∇ｇ；ｘ，ｙ，α
，β，γ，ξ，η，ａ，ｂ，ｃ）が導入されて最小化される。前述のように表記
は、最小化が未知の関数ｆ及びｇにわたっていることを示しており、一方、関数
α（ｘ，ｙ）、β（ｘ，ｙ）、γ（ｘ，ｙ）、ξ（ｘ，ｙ）、η（ｘ，ｙ）、ａ
（ｘ，ｙ）、ｂ（ｘ，ｙ）及びｃ（ｘ，ｙ）が演繹的に与えられている。例えば
方程式（２０）で与えられるコスト関数Ｅを用いることができる。

【０１７８】

【数４８】 あるいは、方程式（２１）で与えられるコスト関数Ｅを用いることができる。

【０１７９】

【数４９】 ここでｗ_ｉ＝（ｘ，ｙ，ｆ，ｇ，∇ｆ，∇ｇ）、ｉ＝１，２，３，４，は、設計
者に、レンズ内の特定領域のような最適化プロセスにおける、ある態様の強調を
可能にするような重み関数である。

【０１８０】 コスト関数の最適化は、様々な周知の方法、例えば有限要素法、差分法、Ｇａ
ｌｅｒｋｉｎ−Ｒｉｔｚ（ガラーキン・リッツ）法等によって行うことができる
。さらに特定の点における関数値等の補助的制約を、未知関数ｆ及びｇに課すこ
とができる。

【０１８１】 上に述べたように、設計者は、光線の幾何学記述を部分的にだけ指定するよう
に選択できる。光線のパラメータα（ｘ，ｙ）、β（ｘ，ｙ）、γ（ｘ，ｙ）、
ξ（ｘ，ｙ）、η（ｘ，ｙ）、ａ（ｘ，ｙ）、ｂ（ｘ，ｙ）、及びｃ（ｘ，ｙ）
のいくつかを既知から未知に変えることによって、最適化プロセスに対する制約
の数を効果的に減らして自由度を増すことができる。例えば、屈折光線の方向ベ
クトル（ａ（ｘ，ｙ），ｂ（ｘ，ｙ），ｃ（ｘ，ｙ））が指定されていなければ
、コスト関数はＥ＝Ｅ（ｆ，ｇ，∇ｆ，∇ｇ，ａ，ｂ，ｃ；ｘ，ｙ，α，β，γ
，ξ，η）と表され、最適化は未知の関数ｆ、ｇ、ａ、ｂ及びｃにわたって行わ
れる。自由なパラメータのいくつかは、互いに関連していると考えられる。上の
例では、関係ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２＝１が保持される。このことで困難をきたすこと
は無い。なぜならこの関係は、ラグランジュの乗数法又は投影法等の周知の技法
によって、最適化プロセスのあいだ保たれるからである。

【０１８２】 本発明の方法は、２つの未知の屈折表面と少なくとも１つの既知の屈折表面を
持つ光学エレメントに対して同様に適用できる。２つ以上の屈折表面を持つ光学
エレメントの例として、数個のレンズを備えるカメラがある。未知の表面は、本
発明の方法によって決定又は設計される。未知の表面は隣り合っているか、また
は少なくとも１つの既知の表面が未知の表面の間に置かれる。

【０１８３】 未知の表面が隣接しており、１つ或いは複数の既知の表面（「下方の既知表面
」）が未知表面と基準平面ｚ＝ｈ_１の間に置かれていれば、入射光線は、未知の
表面によって屈折させられる前に、下方の既知表面によって屈折させられる。光
線と下方既知表面の幾何学記述を用いて、入射光線を、下方既知表面を通って光
線追跡し、下方既知表面と未知表面の間に位置する新たな基準平面ｚ＝ｈ_１’に
おける光線の幾何学記述を決定することができる。新たな基準平面についての光
線の幾何学記述を用いて積分の方程式を表した後、上述の方法を適用して未知の
表面を決定又は設計する。

【０１８４】 同様に、未知表面が隣接しており、１つ或いは複数の既知表面（「上方の既知
表面」）が未知表面と基準平面ｚ＝ｈ_２の間に置かれていれば、屈折光線は、未
知表面によって屈折させられた後に、上方既知表面によって屈折させられる。光
線追跡を用いて、上方既知表面と未知表面間に位置する新たな基準平面ｚ＝ｈ_２ ’を用いて積分の方程式を表し、上に述べた方法を用いて未知表面を決定又は設
計する。

【０１８５】 しかし、１つ或いは複数の既知表面（「中間の既知表面」）が２つの未知表面
の間に置かれている場合は、１つの未知表面に入射する各光線について、中間既
知表面を通って他の未知表面に向かう光路が決定される。この光路は、フェルマ
ーの最小移動時間の原理等の選ばれた物理的基準にしたがって決定される。そし
て光路から決定された光線の方向を用いて積分の方程式を展開し、上に述べた方
法を用いて未知の表面を決定又は設計する。

【０１８６】 本発明は、特に上に示され説明されたものに限定されないことが当業者には理
解されよう。本発明の範囲は、頭記の請求項によって規定される。

【図面の簡単な説明】

【図１】 本発明のある好ましい実施形態によって構成され動作する、屈折表面と光線集
合の略図である。

【図２】 光学格子の略図である。

【図３】 本発明の別の実施形態によって機能する方法の略図である。

【図４】 本発明の別の好ましい実施形態によって構成され動作する屈折表面と光線集合
の略図である。

【図５】 本発明のさらなる実施形態によって機能する方法の略図である。

【図６】 本発明のさらなる好ましい実施形態によって構成され動作する屈折光学エレメ
ントと光線集合の略図である。

【図７】 本発明の別の好ましい実施形態によって機能する、図６の未知の光学表面を決
定する方法の略図である。

【図８】 本発明のさらなる好ましい実施形態によって構成され動作する、屈折光学エレ
メントと光線集合の略図である。

【図９Ａ】 光線集合と、２つの屈折表面を有する光学エレメントとの略図である。

【図９Ｂ】 光線集合と、２つの屈折表面を有する光学エレメントとの略図である。

【手続補正書】特許協力条約第１９条補正の翻訳文提出書

【提出日】平成１２年５月７日（２０００．５．７）

【手続補正１】

【補正対象書類名】明細書

【補正対象項目名】特許請求の範囲

【補正方法】変更

【補正内容】

【特許請求の範囲】

【数１】 を含み、ここで、

【数２】 ｘとｙは前記基準平面上での前記光線の各々の幾何学的位置を示し、 ｎ_１は前記光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記非球形の光学表面の高さを示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は各前記光線の方向ベク
トルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は前記影響された各光線の方向ベクトルを示す 請求項７に記載の方法。

【数３】 を含み、ここで、

【数４】 （ζ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））は前記影響された各光線の幾
何学位置を示し、 ｘとｙは基準平面上での前記各光線の幾何学位置を示し、 ｎ_１は前記光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記非球形の光学表面の高さを示し、 ｎ_２は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は前記各光線の方向ベク
トルを示す 請求項７に記載の方法。

【数５】 を含み、ここで、

【数６】 ｘとｙが前記基準平面上での、前記影響された各光線の幾何学位置を示し、 ｎ_１は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記非球形の光学表面の高さを示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は前記影響された各光線
の方向ベクトルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は前記各光線の方向ベクトルを示す 請求項１０に記載の方法。

【数７】 を含み、ここで、

【数８】 （ζ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））は前記各光線の幾何学位置を
示し、 ｘとｙは基準平面上での前記影響された各光線の幾何学位置を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記非球形の光学表面の高さを示し、 ｎ_１は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記光線に関する光の屈折率を示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は前記影響された各光線
の方向ベクトルを示す 請求項１０に記載の方法。

【数９】 として決定され、ここで、ｗ（ｘ，ｙ，ｆ，▽ｆ）が一般的な重み関数であり
、Ｆ＝（ｆ_１，Ｆ_２）である、請求項８、９、１１及び１２のいずれか一項に記
載の方法。

【数１０】 の形を有し、 前記非球形の光学表面を決定する前記ステップが、 基準平面上で複数の点を有する格子を決定するステップと、 前記複数の点から始点を選択するステップと、 前記始点に対する前記表面の値を決定するステップと、 複数の隣接する目的点を選択するステップであり、前記隣接する目的点が前記
始点に隣接するステップと、 前記隣接した目的点の各々の方向で、前記始点に対する、前記積分の方程式の
集合から、前記表面の導関数の値を決定するステップと、 前記始点の表面値と前記表面の導関数値のそれぞれ１つに従って、前記隣接す
る目的点の各々に対する前記表面の値を決定するステップと、 前記複数の点から追加点を選択するステップであり、前記追加点は前記隣接し
た目的点の少なくとも１つに隣接しており、前記追加点は、前記隣接した目的点
と前記始点以外のものであるステップと、 前記追加点の方向で、前記少なくとも１つの隣接した目的点に対する、前記積
分の方程式の集合から、前記表面の導関数値を決定するステップと、 前記追加点の方向で、前記少なくとも１つの隣接した目的点の値と前記少なく
とも１つの隣接した目的点の前記表面の導関数の値とに従って、前記追加点に対
する前記表面の値を決定するステップと を含む、請求項１に記載の方法。

【数１１】 を含み、ここで、

【数１２】 ｈ_１は前記第１の基準平面の上方の第２の基準平面の高さを示し、 ｈ_２は前記第１の基準平面の上方の第３の基準平面の高さを示し、 ｘとｙは前記第２の基準平面に対する前記入射光線の各々の幾何学位置を示し
、 ζとηは前記第３の基準平面上での、前記影響された光線の各々の幾何学位置
を示し、 ｎ_１は前記入射光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記２つの表面間の光の屈折率を示し、 ｎ_３は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記第１の基準平面の上方の前記２つの表面の一方の高さを示し、 ｇは前記第１の基準平面の上方の前記２つの表面の他方の高さを示し、 （α，β，γ）は前記各入射光線の方向ベクトルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は前記各影響された光線の方向ベクトルを示す 請求項２８に記載の方法。

【数１３】 として決定され、 ｗ_ｉ（ｘ，ｙ，ｆ，ｇ，▽ｆ，▽ｇ）、ｉ＝１，２，３，４は一般的な重み関
数である 請求項２９に記載の方法。

───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (81)指定国 ＥＰ(ＡＴ，ＢＥ，ＣＨ，ＣＹ， ＤＥ，ＤＫ，ＥＳ，ＦＩ，ＦＲ，ＧＢ，ＧＲ，ＩＥ，Ｉ Ｔ，ＬＵ，ＭＣ，ＮＬ，ＰＴ，ＳＥ)，ＯＡ(ＢＦ，ＢＪ ，ＣＦ，ＣＧ，ＣＩ，ＣＭ，ＧＡ，ＧＮ，ＧＷ，ＭＬ， ＭＲ，ＮＥ，ＳＮ，ＴＤ，ＴＧ)，ＡＰ(ＧＨ，ＧＭ，Ｋ Ｅ，ＬＳ，ＭＷ，ＳＤ，ＳＬ，ＳＺ，ＴＺ，ＵＧ，ＺＷ )，ＥＡ(ＡＭ，ＡＺ，ＢＹ，ＫＧ，ＫＺ，ＭＤ，ＲＵ， ＴＪ，ＴＭ)，ＡＥ，ＡＬ，ＡＭ，ＡＴ，ＡＵ，ＡＺ， ＢＡ，ＢＢ，ＢＧ，ＢＲ，ＢＹ，ＣＡ，ＣＨ，ＣＮ，Ｃ Ｒ，ＣＵ，ＣＺ，ＤＥ，ＤＫ，ＤＭ，ＥＥ，ＥＳ，ＦＩ ，ＧＢ，ＧＤ，ＧＥ，ＧＨ，ＧＭ，ＨＲ，ＨＵ，ＩＤ， ＩＬ，ＩＮ，ＩＳ，ＪＰ，ＫＥ，ＫＧ，ＫＰ，ＫＲ，Ｋ Ｚ，ＬＣ，ＬＫ，ＬＲ，ＬＳ，ＬＴ，ＬＵ，ＬＶ，ＭＡ ，ＭＤ，ＭＧ，ＭＫ，ＭＮ，ＭＷ，ＭＸ，ＮＯ，ＮＺ， ＰＬ，ＰＴ，ＲＯ，ＲＵ，ＳＤ，ＳＥ，ＳＧ，ＳＩ，Ｓ Ｋ，ＳＬ，ＴＪ，ＴＭ，ＴＲ，ＴＴ，ＴＺ，ＵＡ，ＵＧ ，ＵＳ，ＵＺ，ＶＮ，ＹＵ，ＺＡ，ＺＷ

Claims (36)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 光学表面を決定する方法であって、 複数の光線に関するデータと影響された複数の光線に関するデータとを受け取
   るステップであり、前記光線の各々が、影響された個々の光線と関連しているス
   テップと、 前記データから積分の方程式の集合を決定するステップと、 前記積分の方程式の集合から前記光学表面を決定するステップと を含む方法。
2. 【請求項２】 前記影響された光線が、前記光学表面によって屈折される、
   請求項１に記載の方法。
3. 【請求項３】 前記影響された光線が、前記光学表面によって反射される、
   請求項１に記載の方法。
4. 【請求項４】 前記光学表面を決定する前記ステップが、 前記積分の方程式の集合が解けるかどうか検出するステップと、 前記積分の方程式の集合が解ける場合に、前記積分の方程式の集合を積分し、
   これによって前記光学表面を決定するステップと、 前記積分の方程式の集合が解けない場合に、前記積分の方程式の集合のコスト
   関数と補助条件を決定するステップと、 前記コスト関数を前記補助条件に従って最適化し、これによって前記光学表面
   を決定するステップと を含む、請求項１〜３のいずれか一項に記載の方法。
5. 【請求項５】 前記データが、測定システムから受け取られる、請求項１〜
   ４のいずれか一項に記載の方法。
6. 【請求項６】 前記データが、使用者から受け取られる、請求項１〜４のい
   ずれか一項に記載の方法。
7. 【請求項７】 非平面表面に対する前記光線に関するデータが与えられてい
   る場合に、前記光線に関するデータから基準平面を決定するステップをさらに含
   む、請求項１〜６のいずれか一項に記載の方法。
8. 【請求項８】 前記積分の方程式が、 【数１】 を含み、ここで、 【数２】 ｘとｙは前記基準平面上での前記光線の各々の幾何学位置を示し、 ｎ_１は前記光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記光学表面の高さを示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は各前記光線の方向ベク
   トルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は前記影響された各光線の方向ベクトルを示す 請求項７に記載の方法。
9. 【請求項９】 前記積分の方程式が、 【数３】 を含み、ここで、 【数４】 （ζ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））は前記影響された各光線の幾
   何学位置を示し、 ｘとｙは基準平面上での前記各光線の幾何学位置を示し、 ｎ_１は前記光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記光学表面の高さを示し、 ｎ_２は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は前記各光線の方向ベク
   トルを示す 請求項７に記載の方法。
10. 【請求項１０】 非平面表面に対する前記影響された光線に関するデータが
    与えられた場合に、前記影響された光線に関するデータから基準平面を決定する
    ステップをさらに含む、請求項１〜６のいずれか一項に記載の方法。
11. 【請求項１１】 前記積分の方程式が、 【数５】 を含み、ここで、 【数６】 ｘとｙが前記基準平面上での、前記影響された各光線の幾何学位置を示し、 ｎ_１は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記光学表面の高さを示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は前記影響された各光線
    の方向ベクトルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は前記各光線の方向ベクトルを示す 請求項１０に記載の方法。
12. 【請求項１２】 前記積分の方程式が、 【数７】 を含み、ここで、 【数８】 （ζ（ｘ，ｙ），η（ｘ，ｙ），ｈ（ｘ，ｙ））は前記各光線の幾何学位置を
    示し、 ｘとｙは基準平面上での前記影響された各光線の幾何学位置を示し、 ｆは前記基準平面の上方の前記光学表面の高さを示し、 ｎ_１は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記光線に関する光の屈折率を示し、 （ｃｏｓαｃｏｓβ，ｓｉｎαｃｏｓβ，ｓｉｎβ）は前記影響された各光線
    の方向ベクトルを示す 請求項１０に記載の方法。
13. 【請求項１３】 前記光学表面を決定する前記ステップが、 前記積分の方程式の集合が解けるかどうか検出するステップと、 前記積分の方程式の集合が解ける場合に、前記積分の方程式の集合を積分し、
    これによって前記光学表面を決定するステップと、 前記積分の方程式の集合が解けない場合に、前記積分の方程式の集合のコスト
    関数と補助条件を決定するステップと、 前記コスト関数を前記補助条件に従って最適化し、これによって前記光学表面
    を決定するステップと を含み、前記コスト関数が、 【数９】 として決定され、ここで、ｗ（ｘ，ｙ，ｆ，▽ｆ）が一般的な重み関数であり
    、Ｆ＝（ｆ_１，Ｆ_２）である、請求項８、９、１１及び１２のいずれか一項に記
    載の方法。
14. 【請求項１４】 前記コスト関数が所定の表面ｇに適応される、請求項１３
    に記載の方法。
15. 【請求項１５】 前記光学表面と前記影響された光線の間にある既知の光学
    表面に関するデータを受け取るステップと、 前記影響された光線に関するデータと前記既知の光学表面に関するデータから
    、中間光線の幾何学データを決定するステップであり、前記中間光線が、前記光
    学表面と前記既知の光学表面間にあるステップと、 前記影響された光線に関するデータを、前記中間光線幾何学データと置き換え
    るステップと をさらに含む、請求項１に記載の方法。
16. 【請求項１６】 前記光学表面と前記光線の間にある既知の光学表面に関す
    るデータを受け取るステップと、 前記光線に関するデータと前記既知の光学表面に関するデータから、中間光線
    の幾何学データを決定するステップであり、前記中間光線が、前記光学表面と前
    記既知の光学表面間にあるステップと、 前記光線に関するデータを、前記中間光線の幾何学データと置き換えるステッ
    プと さらに含む、請求項１に記載の方法。
17. 【請求項１７】 前記積分の方程式が、 【数１０】 の形を有し、 前記光学表面を決定する前記ステップが、 基準平面上で複数の点を有する格子を決定するステップと、 前記複数の点から始点を選択するステップと、 前記始点に対する前記表面の値を決定するステップと、 複数の隣接する目的点を選択するステップであり、前記隣接する目的点が前記
    始点に隣接するステップと、 前記隣接した目的点の各々の方向で、前記始点に対する、前記積分の方程式の
    集合から、前記表面の導関数の値を決定するステップと、 前記始点の表面値と前記表面の導関数値のそれぞれ１つに従って、前記隣接す
    る目的点の各々に対する前記表面の値を決定するステップと、 前記複数の点から追加点を選択するステップであり、前記追加点は前記隣接し
    た目的点の少なくとも１つに隣接しており、前記追加点は、前記隣接した目的点
    と前記始点以外のものであるステップと、 前記追加点の方向で、前記少なくとも１つの隣接した目的点に対する、前記積
    分の方程式の集合から、前記表面の導関数値を決定するステップと、 前記追加点の方向で、前記少なくとも１つの隣接した目的点の値と前記少なく
    とも１つの隣接した目的点の前記表面の導関数の値とに従って、前記追加点に対
    する前記表面の値を決定するステップと を含む、請求項１に記載の方法。
18. 【請求項１８】 前記隣接した目的点と前記追加点の１つを、前記始点とし
    て選択するステップと、 前記始点に対する前記表面の値を決定する前記ステップを繰り返すステップと をさらに含む、請求項１７に記載の方法。
19. 【請求項１９】 光学エレメントの少なくとも１つの未知の表面のトポグラ
    フィを決定する方法であって、前記方法が、 前記光学表面に対する複数の入射光線と前記少なくとも１つの未知の表面によ
    って影響された対応する複数の光線との幾何学特性を測定するステップと、 前記幾何学特性と前記光学エレメントの１つ或いは複数の光の屈折率とから積
    分の方程式の集合を決定するステップと、 前記積分の方程式の集合から、前記少なくとも１つの未知の表面のトポグラフ
    ィを決定するステップと をさらに含む方法。
20. 【請求項２０】 少なくとも１つの未知の表面を有する光学エレメントを設
    計する方法であって、前記方法が、 前記光学エレメントに対する複数の入射光線と前記少なくとも１つの未知の表
    面によって影響された対応する複数の光線との幾何学特性を規定するステップと
    、 前記幾何学特性と前記光学エレメントの１つ或いは複数の光の屈折率とから積
    分の方程式の集合を決定するステップと、 前記積分の方程式の集合から、前記少なくとも１つの未知の表面のトポグラフ
    ィを決定するステップと を含む方法。
21. 【請求項２１】 前記影響された光線が、前記少なくとも１つの未知の表面
    の少なくとも１つによって屈折される、請求項１９〜２０のいずれか一項に記載
    の方法。
22. 【請求項２２】 前記影響された光線が、前記少なくとも１つの未知の表面
    の少なくとも１つによって反射される、請求項１９〜２０のいずれか一項に記載
    の方法。
23. 【請求項２３】 トポグラフィを決定する前記ステップが、 前記積分の方程式の集合が解けるかどうか検出するステップと、 前記積分の方程式の集合が解ける場合に、前記積分の方程式の集合を積分し、
    これによって前記少なくとも１つの表面のトポグラフィを決定するステップと、 前記積分の方程式の集合が解けない場合に、前記積分の方程式の集合の関数と
    補助条件を決定するステップと、 前記関数を前記補助条件に従って最適化し、これによって前記少なくとも１つ
    の表面のトポグラフィを決定するステップと を含む、請求項１９〜２０のいずれか一項に記載の方法。
24. 【請求項２４】 光学エレメントの２つの未知の表面のトポグラフィを決定
    する方法であって、前記方法が、 前記光学エレメントに対する複数の入射光線と、少なくとも前記２つの未知の
    表面によって影響された対応する複数の光線との位置及び方向を測定するステッ
    プと、 前記位置及び方向と前記光学エレメントの１つ或いは複数の光の屈折率とから
    積分の方程式の集合を決定するステップと、 前記積分の方程式の集合から前記２つの未知の表面のトポグラフィを決定する
    ステップと 含む方法。
25. 【請求項２５】 ２つの未知の表面を有する光学エレメントを設計する方法
    であって、前記方法が、 前記光学エレメントに対する複数の入射光線と、少なくとも前記２つの未知の
    表面によって影響される対応する複数の光線との位置及び方向を規定するステッ
    プと、 前記位置及び方向と前記光学エレメント１つ或いは複数の光の屈折率とから積
    分の方程式の集合を決定するステップと、 前記積分の方程式の集合から、前記２つの未知の表面のトポグラフィを決定す
    るステップと を含む方法。
26. 【請求項２６】 前記影響された光線が、前記２つの未知の表面の少なくと
    も一つによって屈折される、請求項２４〜２５のいずれか一項に記載の方法。
27. 【請求項２７】 前記影響された光線が、前記２つの未知の表面の少なくと
    も１つによって反射される、請求項２４〜２５のいずれか一項に記載の方法。
28. 【請求項２８】 トポグラフィを決定する前記ステップが、 前記積分の方程式の集合が解けるかどうか検出するステップと、 前記積分の方程式の集合が解ける場合に、前記積分の方程式の集合を積分し、
    これによって前記２つの未知の表面のトポグラフィを決定するステップと、 前記積分の方程式の集合が解けない場合に、前記積分の方程式の集合の関数と
    補助条件を決定するステップと、 前記関数を前記補助条件に従って最適化し、これによって前記２つの未知の表
    面のトポグラフィを決定するステップと を含む、請求項２４〜２５のいずれか一項に記載の方法。
29. 【請求項２９】 前記位置と方向から第１の基準平面を決定するステップを
    さらに含み、 前記積分の方程式が、 【数１１】 を含み、ここで、 【数１２】 ｈ_１は前記第１の基準平面の上方の第２の基準平面の高さを示し、 ｈ_２は前記第１の基準平面の上方の第３の基準平面の高さを示し、 ｘとｙは前記第２の基準平面に対する前記入射光線の各々の幾何学位置を示し
    、 ζとηは前記第３の基準平面上での、前記影響された光線の各々の幾何学位置
    を示し、 ｎ_１は前記入射光線に関する光の屈折率を示し、 ｎ_２は前記２つの未知の表面間の光の屈折率を示し、 ｎ_３は前記影響された光線に関する光の屈折率を示し、 ｆは前記第１の基準平面の上方の前記２つの未知の表面の一方の高さを示し、 ｇは前記第１の基準平面の上方の前記２つの未知の表面の他方の高さを示し、 （α，β，γ）は前記各入射光線の方向ベクトルを示し、 （ａ，ｂ，ｃ）は前記各影響された光線の方向ベクトルを示す 請求項２８に記載の方法。
30. 【請求項３０】 前記関数が、 【数１３】 として決定され、 ｗ_ｉ（ｘ，ｙ，ｆ，ｇ，▽ｆ，▽ｇ）、ｉ＝１，２，３，４は一般的な重み関
    数である 請求項２９に記載の方法。
31. 【請求項３１】 請求項２０および２５のいずれか一項に記載の方法によっ
    て決定されたトポグラフィを有する少なくとも１つの表面を有する光学エレメン
    ト。
32. 【請求項３２】 請求項２０および２５のいずれか一項に記載の方法によっ
    て決定されたトポグラフィを有する少なくとも１つの表面を有する光学エレメン
    トを生産する型。
33. 【請求項３３】 光学エレメントを生産する型であって、前記型が、請求項
    ２０および２５のいずれか一項に記載の方法によって決定されたトポグラフィを
    持つ表面を有する型。
34. 【請求項３４】 光学エレメントの２つの未知の表面のトポグラフィを決定
    する測定デバイスであって、前記測定デバイスが、 前記光学エレメントに対する入射光線の位置と方向を測定する第１の光学シス
    テムと、 少なくとも前記２つの未知の表面によって影響される光線の位置と方向を測定
    する第２の光学システムと、 前記位置及び方向と前記光学エレメントの光学特性とから、前記２つの未知の
    表面のトポグラフィを決定するソフトウエア手段と を備える測定デバイス。
35. 【請求項３５】 光学エレメントの未知の表面のトポグラフィを決定する測
    定デバイスであって、前記測定デバイスが、 前記光学エレメントに対する入射光線の位置と方向のどちらかを測定する第１
    の光学システムと、 少なくとも前記未知の表面によって影響された光線の位置と方向を測定する第
    ２の光学システムと、 積分の方程式の集合から前記未知の表面のトポグラフィを決定するソフトウエ
    ア手段であり、前記積分の方程式の集合が、前記位置及び方向と前記光学エレメ
    ントの光学特性とから決定される手段と を備える測定デバイス。
36. 【請求項３６】 光学エレメントの未知の表面のトポグラフィを決定する測
    定デバイスであって、前記測定デバイスが、 前記光学エレメントに対する入射光線の位置と方向を測定する第１の光学シス
    テムと、 少なくとも前記未知の表面によって影響される光線の位置と方向のどちらかを
    測定する第２の光学システムと、 積分の方程式の集合から前記未知の表面のトポグラフィを決定するソフトウエ
    ア手段であり、前記積分の方程式の集合が、前記位置及び方向と前記光学エレメ
    ントの光学特性とから決定される手段と を備える測定デバイス。