JP2002504720A - 楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法及び装置 - Google Patents

楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法及び装置

Info

Publication number
JP2002504720A
JP2002504720A JP2000532949A JP2000532949A JP2002504720A JP 2002504720 A JP2002504720 A JP 2002504720A JP 2000532949 A JP2000532949 A JP 2000532949A JP 2000532949 A JP2000532949 A JP 2000532949A JP 2002504720 A JP2002504720 A JP 2002504720A
Authority
JP
Japan
Prior art keywords
elliptic curve
parameter
parameters
processor
length
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Withdrawn
Application number
JP2000532949A
Other languages
English (en)
Inventor
ヘス エルヴィン
ゲオルギアデス ジャン
Original Assignee
インフィネオン テクノロジース アクチエンゲゼルシャフト
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by インフィネオン テクノロジース アクチエンゲゼルシャフト filed Critical インフィネオン テクノロジース アクチエンゲゼルシャフト
Publication of JP2002504720A publication Critical patent/JP2002504720A/ja
Withdrawn legal-status Critical Current

Links

Classifications

    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L9/00—Cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communications; Network security protocols
    • H04L9/30—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F7/00—Methods or arrangements for processing data by operating upon the order or content of the data handled
    • G06F7/60—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers
    • G06F7/72—Methods or arrangements for performing computations using a digital non-denominational number representation, i.e. number representation without radix; Computing devices using combinations of denominational and non-denominational quantity representations, e.g. using difunction pulse trains, STEELE computers, phase computers using residue arithmetic
    • G06F7/724—Finite field arithmetic
    • G06F7/725—Finite field arithmetic over elliptic curves
    • H—ELECTRICITY
    • H04—ELECTRIC COMMUNICATION TECHNIQUE
    • H04L—TRANSMISSION OF DIGITAL INFORMATION, e.g. TELEGRAPHIC COMMUNICATION
    • H04L9/00—Cryptographic mechanisms or cryptographic arrangements for secret or secure communications; Network security protocols
    • H04L9/30—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy
    • H04L9/3066—Public key, i.e. encryption algorithm being computationally infeasible to invert or user's encryption keys not requiring secrecy involving algebraic varieties, e.g. elliptic or hyper-elliptic curves

Landscapes

  • Engineering & Computer Science (AREA)
  • Theoretical Computer Science (AREA)
  • Physics & Mathematics (AREA)
  • General Physics & Mathematics (AREA)
  • Mathematical Analysis (AREA)
  • Pure & Applied Mathematics (AREA)
  • Mathematical Optimization (AREA)
  • Computing Systems (AREA)
  • Computational Mathematics (AREA)
  • Mathematical Physics (AREA)
  • Computer Security & Cryptography (AREA)
  • Computer Networks & Wireless Communication (AREA)
  • Signal Processing (AREA)
  • Algebra (AREA)
  • General Engineering & Computer Science (AREA)
  • Storage Device Security (AREA)
  • Devices For Executing Special Programs (AREA)
  • Numerical Control (AREA)
  • Complex Calculations (AREA)

Abstract

(57)【要約】 楕円曲線を用いての暗号処理の際、楕円曲線のパラメータがコンピュータのメモリ内に記憶される。前記パラメータはそれぞれ相当の長さを有する。少なくとも１つのパラメータを長さについて短縮、簡約するため、ここで、変更をせずに高い安全性を確保するため、楕円曲線が変換される。アルゴリズムによりパラメータが有利に１，−１，２又は−２に短縮、簡約される。これに対して他のパラメータは数１００ビットの長さを有する。まさに、わずかなメモリロケーションを有するチップカードの場合、１つのパラメータの短縮、簡約だけでもう明らかに効果が認められる。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】 本発明は、楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法及び装
置に関する。
【０００２】 １つの有限体は、ガロア体と称される。ガロア体の特性及び定義については文
献〔３〕を参照すべきである。
【０００３】 コンピュータ及び所属のアプリケーション−これらは、電子的通信システム通
信ネットワークを介して展開される−により、データ安全性への増大する要求が
課せられる。データ安全性の側面アスペクトは、殊に下記事項を考慮する。
【０００４】 −データ伝送の障害の可能性 −劣化したデータの可能性 −データの認識、つまり、送り手、送信者の検出認識可能性及び識別 −データの秘密の保護 “鍵キー”とは、暗号処理の際使用されるデータのことである。公開鍵キー方
式〔４〕から、秘密及び公開の鍵キーを使用することが公知である。
【０００５】 “攻撃侵害者”とは、被認証であるけれども鍵キーを操ろうとする狙いをもつ
者のことである。
【０００６】 殊に、コンピュータネットワークにて、亦、ポータブルメディア、例えば、移
動電話又は、チップカードにおいて、確保されるべきことは、攻撃侵害者がコン
ピュータ、移動電話、又はチップカートを乗っ取ろうとする場合にも記憶された
鍵キーがアクセス操作可能になり得ないことである。
【０００７】 暗号プロセス方式の十分な確実性、安全性を確保するため、鍵キーは、殊に、
非対称プロセスの場合、それぞれ数１００ビットの長さで規定される。コンピュ
ータ又はポータブルメディアの１つのメモリ領域は、大抵ぎりぎりわずかに選定
されている。そのような１つのメモリ領域内に格納された鍵キーの長さにより、
コンピュータないしメディア上での空きのメモリロケーションが低減され、その
結果、そのような鍵キーを一度にわずかしか記憶できない。
【０００８】 文献〔１〕及び〔２〕から、楕円曲線の暗号処理及びそれのアプリケーション
が公知である。
【０００９】 本発明の課題とするところは、少なくとも１つの楕円曲線を用いて暗号処理を
するための方法であって、比較的わずかなメモリロケーションしか必要とされな
い当該の暗号処理方法を提供することにある。
【００１０】 前記課題は独立形式の請求項の構成要件により解決される。
【００１１】 少なくとも１つの楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法
において、楕円曲線を第１の形態で設定し、ここで複数の第１のパラメータが楕
円曲線を規定する。楕円曲線を複数の第２のパラメータを規定することにより第
２の形態に変換し、ここで、当該の第２パラメータのうち少なくとも１つを、そ
の長さに関して、第１のパラメータに対して短縮、簡約する。変換後の、即ち、
第２形態の楕円曲線は暗号処理のため使用される。
【００１２】 第１パラメータのうちの１つの有意の短縮、簡約により、当該のパラメータに
対して用意形成されるべきメモリ領域の節減が可能になる。メモリ領域は、例え
ば、チップカード上に僅かな狭小な容量に選定されているので、各々の短縮、簡
約されたパラメータに対して数１００ビットの節減により、空きのメモリロケー
ション、例えば更なる秘密の鍵キーの記憶のための空きのメモリロケーションが
得られる。しかも各々のパラメータの短縮、簡約により暗号プロセスの安全確実
性が保証された状態におかれ、その状態に保持される。
【００１３】 暗号処理にて楕円曲線を使用すると、攻撃侵害者にとって、鍵キーを探し出す
コストが、それの長さと共に指数関数的に増大する。
【００１４】 本発明の発展形態によれば、楕円曲線の第１の形態は下記により規定される； ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ、 ＧＦ（ｐ）上で、 （１） 但し、 ＧＦ（ｐ）は、ｐ個の元を有するガロア体、 ｘ，ｙ，ａ，ｂは、ガロア体ＧＦ（ｐ）の元を表す。
【００１５】 以降使用される呼称“ｍｏｄ ｐ”は、ガロア体に対する特別ケース、即ち、ｐ
より小の自然数を表す。“ｍｏｄ ”はＭＯＤＵＬＯモジュロを表し、剰余付き
の整数除算を含む。
【００１６】 本発明の他の発展形態によれば、楕円曲線の第２形態は下記により規定される
； ｙ2＝ｘ3＋ｃ2ａｘ＋ｃ6ｂ （２） 但しｃは定数を表す。
【００１７】 メモリロケーションの節減のため式（１）は式（２）に変換され、式（２）に
より楕円曲線を表す量が短縮、簡約、簡約される。発展形態によれば、パラメー
タを短縮、簡約し、この短縮、簡約のため定数ｃを次のように選定する、即ち、 ｃ4ａ ｍｏｄ ｐ （３） が式（２）により楕円曲線を表す他のパラメータより明らかに短いように選定す
る。上記の短縮、簡約によりパラメータが相応して必要とするメモリロケーショ
ンは、一層よりわずかとなる。
【００１８】 亦、方法プロセスを次のようなアプリケーションのうちの１つにおいて使用す
ることも発展形態により可能である； −暗号化ないし鍵暗号符号化又は復号化ないし鍵暗号復号化： データは送信器、送り手により符号化されー対称的又は非対称的プロセスを用
いて−相手側で受信器にて復号化される。
【００１９】 −証明インスタンスによる鍵キー付与； 機密性付与装置（証明インスタンス）は鍵キーを付与し、ここで、鍵キーが当
該の機密性付与装置に由来することが保証されねばならない。
【００２０】 −デジタルシグネチュア署名ないしデジタルシグネチュア署名の検証：受信器受
け手では、実際に所望の送り手が署名したか否かをシグネチュア署名により確か
めることができる。
【００２１】 −非対称認証； 対称的方法プロセスを用いてユーザは、それの同一性を検証できる。有利には
、そのことは、相応の秘密（プライベート）の鍵キーで行われる。上記ユーザの
所属の公開鍵キーにより、誰もが、符号化が実際に当該のユーザに由来すること
を確かめ得る。
【００２２】 −鍵キーの短縮、簡約 暗号処理のバリエーションは、有利に更なる暗号処理プロセスに使用し得る鍵
キーの短縮、簡約を含む。
【００２３】 更に次のような本発明の装置が提案される、即ち、暗号化処理のための装置に
おいて、プロセッサを有し、該プロセッサは、次のようにセットアップされてい
る、即ち、楕円曲線を第１の形態で設定し、ここで複数の第１のパラメータが楕
円曲線を規定するようにし、楕円曲線を複数の第２のパラメータを規定すること
により第２の形態に変換し、ここで、当該の第２パラメータのうち少なくとも１
つを、その長さに関して、第１のパラメータに対して短縮、簡約し、楕円曲線を
暗号処理するため第２の形態で規定するようにセットアップされているのである
。
【００２４】 前記装置は、保護された、そして、保護されていないメモリ領域を有するチッ
プカードを有し得、ここで保護された、そして、保護されていないメモリ領域の
双方の領域において、鍵キー、つまり、楕円曲線を表すパラメータを格納し得る
。
【００２５】 前記装置は、殊に、本発明の方法の実施又はそれの前述の発展形態のうちの１
つの実施に適する。
【００２６】 本発明の発展形態は、サブクレームに記載されている。
【００２７】 図を用いて本発明の実施例を詳述する。
【００２８】 図１は、楕円曲線を用いての暗号処理方法を示し、ここで、楕円曲線の少なく
とも１つのパラメータが短縮、簡約され、従って、楕円曲線のパラメータに必要
なメモリ領域の一部の節減が行われる様子を示す。
【００２９】 図２は、楕円曲線のパラメータａを短縮、簡約するようにした素数ｐの選択可
能性手法を示す。
【００３０】 図３は、或１つの楕円曲線を決定し、引き続いての、第２形態への変換をする
方法の説明図である。
【００３１】 図４は、暗号処理のための配置構成図である。
【００３２】 図５は、プロセッサユニットの配置構成図である。
【００３３】 図１は、楕円曲線を用いての暗号処理方法を示す。楕円曲線（ブロック１０１
参照）は、第１形態から第２形態へ変換され（ブロック１０２参照）、第２形態
のパラメータが短縮、簡約され（ブロック１０３）、第２形態は暗号処理のため
記憶される（ブロック１０４参照）。
【００３４】 次に、前述のステップを言及し、ここで短縮、簡約のための幾つかの可能性を
例示する。楕円曲線の下記式（第１形態の楕円曲線、ブロック１０１）における
パラメータａの長さの低減がどのように達成されるかを説明する； ｙ2＝ｘ＋ａｘ＋ｂ ＧＦ（ｐ）上で、 （３） 但しｐは殊に、３より大の素数であり、ＧＦ（ｐ）は、ｐ元を有するガロア体を
表す。
【００３５】 下記形態の楕円曲線 ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ ＧＦ（ｐ）上で、 （４） は、有理同形楕円曲線（第２形態の楕円曲線、ブロック１０２参照）への変換に
より下記式へ移し換え得る。
【００３６】 ｙ2＝ｘ3＋ｃ4ａｘ＋ｃ6ｂ ＧＦ（ｐ）上で、 （５） 定数ｃの適当な選定により下記係数を短縮、簡約できる（ブロック１０３参照）
。
【００３７】 ｃ4ａないし （６） −ｃ4ａ （７） ここで利点とするところは上記係数の記憶に必要なメモリロケーションは、パラ
メータに対するメモリロケーションに比してわずかであり得る。
【００３８】 式（５）に相応して下記数が求められる。
【００３９】 ｃ4ａ （ないし−ｃ4ａ）及びｃ2 １ 数“ｃ4ａ”の決定 数ｃ4ａ（ないし−ｃ4ａ）の決定のため有利に下記のケースを区別する； １．１ ｐ≡３ ｍｏｄ ４ それ等の体において下記が成立つ −すべての平方自乗は亦、４乗べき乗値でもある。
【００４０】 −′−１′は平方自乗でない。
【００４１】 ここで、ｐ＝４ｋ＋３及びｓは４乗べき乗値とし、これにより４乗べき乗値の乗
算部分群（ないし平方自乗）がＧＦ（ｐ）において生成される。
【００４２】 Ｖ＝｛１，ｓ，ｓ2，ｓ3，…，ｓ2k｝は、ＧＦ（ｐ）における４乗べき乗値の
集合であり、 ＮＱ＝｛−１，−ｓ，−ｓ2，−ｓ3，…−ｓ2k｝は、ＧＦ（ｐ）における非平
方自乗の集合である。
【００４３】 １．各元ａ＝ｓt（ｖのうちから）に対して、１つの元ｃ4＝ｓ2k-t（ｖのうちか
ら）、そして、ｃ4ａ＝ｓ2k+1＝１がＧＦ（ｐ）にて存在する。
【００４４】 ２．各々のａ＝−ｓt（ｖのうちから）に対して１つの元ｃ4＝ｓ2k+1-t（ｖのう
ちから）、そして、ｃ4ａ＝−ｓ2k+1＝−１がＧＦ（ｐ）にて存在する。ここで 、ｓ、ｔ及びｋは、ＧＦ（ｐ）のうちの体元を表す。
【００４５】 Ｐ＝３ｍｏｄ ４に対してパラメータａは、定数ｃの適当な選択によりＧＦ（
ｐ）における数ｃ4ａ＝１又はＧＦ（ｐ）におけるｃ4ａ＝−１へ移し換え得る。
【００４６】 １．２ Ｐ１≡ｍｏｄ ４ そのような体において下記が成立つ −体の乗算群の（ｐ−１）／４元は、４乗べき乗値である； −体の乗算群の（ｐ−１）／４元は、平方自乗であるが、４乗べき乗値ではな
い。
【００４７】 −体の乗算群の（ｐ−１）／２元は、非平方自乗である； −′−１′は非平方自乗ではない。
【００４８】Ａ ） ｐ≡５ ｍｏｄ ８ そのような体では付加的に下記が成立つ −′−１′は平方自乗であるが４乗べき乗値ではない −′＋２′，′−２′は、非平方自乗である。
【００４９】 ここで、ｐ＝８ｋ＋５及びｓを４乗べき乗値であるものとし、これによりＧＦ（
ｐ）にて４乗べき乗値の乗算部分群が生成される。
【００５０】 Ｖ＝｛１，ｓ，ｓ2，ｓ3，…，ｓ2k｝はＧＦ（ｐ）における４乗べき乗の集合
であり、 Ｑ＝｛−１，−ｓ，−ｓ2，−ｓ3，…，−ｓ2k｝は平方２乗の集合であり、−
これは、ＧＦ（ｐ）にて４乗べき乗値ではない− ＮＱ＝｛２，２ｓ，２ｓ2，２ｓ3，…，２ｓ2k，−２，−２ｓ，−２ｓ2，− ２ｓ3，…，−２ｓ2k｝はＧＦ（ｐ）にて非平方自乗の集合である １．各元ａ＝ｓt（ｖのうちから）に対して、１つの元ｃ4＝ｓ2k+1-t（ｖのうち
から）、そして、ｃ4ａ＝ｓ2k+1＝１が、ＧＦ（Ｐ）にて存在する。
【００５１】 ２．各元ａ＝−ｓt（Ｑのうちから）に対して、１つの元ｃ4＝ｓ2k+1-t（ｖのう
ちから）、そして、ｃ4ａ＝−ｓ2k+1＝−１がＧＦ（Ｐ）にて存在する。
【００５２】 ３．各元ａ＝２ｓt（ＮＱのうちから）に対して、１つの元ｃ4＝ｓ2k+1-t（Ｖの
うちから）ＧＦ（ｐ）、そして、ｃ4ａ＝ｓ2k+1＝２がＧＦ（Ｐ）にて存在し、 ４．各元ａ＝−２ｓt（ＮＱのうちから）に対して、１つの元ｃ4ａ＝ｓ2k+1-t（
ｖのうちから）、そして、ｃ4ａ＝−２ｓ2k+1＝−２がＧＦ（Ｐ）にて存在する 。
【００５３】 ｐ＝５ｍｏｄ ８に対してパラメータａは、定数ｃの適当な選定により、Ｇ
Ｆ（ｐ）にて数ｃ4ａ＝１又は−１又は２又は−２に移し換え得る。
【００５４】Ｂ ） ｐ≡１ｍｏｄ ８ 数ｃ4ａを下記シェーマに従って求め得る； ｒ＝１，−１，２，−２，３，−３，４，−４，…に対して −ｚ≡ｒａ-1 ｍｏｄ を形成せよ； −ｕ≡ｚ(p-1)/4ｍｏｄ ｐを計算せよ −ｕ１の場合、中断（ａｂｂｒｅｃｈｅｎ）せよ −ｚ＝ｃ4及びｒ＝ｃ4ａを記憶せよ ２．数”ＧＦ（ｐ）におけるｃ2”を求める 数ｃ2 ｍｏｄ ｐを求めるため先ず、相応の体ＧＦ（ｐ）にてａは４乗べ き乗値であるが、平方自乗でないか又は非平方自乗であるかが確かめられる。
【００５５】 ２．１ ｐ＝４ｋ＋３ 上記体ＧＦ（ｐ）にてｕ＝ａ(p-1)/2が計算される。
【００５６】 −ＧＦ（ｐ）にてｕ＝１である場合、ａは、４乗べき乗値（ないし平方自乗）
である。この場合において、ＧＦ（ｐ）にてｃ4＝ａ-1。
【００５７】 −ＧＦ（ｐ）にてｕ＝−１ならばａは非平方自乗である。この場合においてＧ
Ｆ（ｐ）にてｃ4＝−ａ-1。
【００５８】 ２．２ ｐ＝８ｋ＋５ 前記体においてＧＦ（ｐ）中でｕ＝ａ(p-1)/4が計算される。
【００５９】 −ＧＦ（ｐ）にてｕ＝１ならばａは４乗べき乗値である。この場合において、Ｇ
Ｆ（ｐ）にて、ｃ4＝ａ-1 −ｕ＝−１ならばａは平方自乗であるが、４乗べき乗値ではない。この場合にお
いてＧＦ（ｐ）にてｃ4＝−ａ-1 −ＧＦ（ｐ）にてｕが１でも−１でもなければａはＧＦ（ｐ）にて非平方自乗で
ある。この場合においてＧＦ（ｐ）にＶ＝（２ａ）(p-1)/4が計算される。ＧＦ （ｐ）にて、Ｖ＝１の場合、ＧＦ（ｐ）にてｃ4＝２ａ-1、そうでなければ、Ｇ Ｆ（ｐ）にて、ｃ4＝−２ａ-1 ２．３ ｐ＝８ｋ＋１ 当該体では１．２、ケースＢにて記載されたシェーマによりｚ＝ｃ4 すべての３つの場合においてＯ（ｌｏｇ ｐ）のコストで両根（ｃ2及び−２2 ）をｃ4から計算し得る。ｐ＝４ｋ＋３の場合、２つの記載した解のうちの１つ のみ、即ちＧＦ（ｐ）にて平方自乗である解のみが許容される。そうでない場合
には２つの解が許容される。従って、楕円曲線の係数ｃ6ｂを計算できる。
【００６０】 ｐ＝４ｋ＋３及びｐt＝８ｋ＋５のケースに対するコンパクトな、ないし、閉 じた式に基づき実際上その種の素数を用いるとよい。
【００６１】 例 １： 素数ｐ＝１１とする⇒ケース１．１；ｐ＝３ｍｏｄ ４ 数 平方自乗Ｑ ４乗べき乗値Ｖ １ １ １ ２ ４ ５ ３ ９ ４ ４ ５ ３ ５ ３ ９ ６ ３ ９ ７ ５ ３ ８ ９ ４ ９ ４ ５ １０ １ １ 表１： 平方自乗及び４乗べき乗値ｍｏｄ １１ これにより、平方自乗Ｑの集合、４乗べき乗値ｖの集合及び非平方自乗ＮＱの集
合が次のように生成される； Ｑ＝Ｖ｛１，２，３，４，５，９，｝； ＮＱ＝｛２，６，７，８，１０｝． ａ∈Ｖ＝Ｑ ⇒ ａｃ4＝１ ａ＝ ｃ4＝ １ １ ３ ４ ４ ３ ５ ９ ９ ５ 表２： 所定のパラメータａのもとでｃ4を求めるａ∈ＮＱ ⇒ ａｃ4＝-１ ａ＝ ｃ4＝ ２ ５ ６ ９ ７ ３ ８ ４ １０ １ 表３：所定のパラメータａのもとでｃ4を求める 表２は、ａ及びｃ4の値対応の種々の可能性を示す。それは常にａｃ4の結合に
て１を生じ、表３はａ及びｃ4の値対応の種々の可能性を示し、それは結合ａｃ4 にて常に−１を生じさせる。これは、ＧＦ（１１）にて成立つ。
【００６２】 例 ２： 素数ｐ＝１３とする⇒ケース１．２Ａ）；ｐ＝１ ｍｏｄ ４及び同時にｐ
＝５ ｍｏｄ ８． 数 平方自乗Ｑ ４乗べき乗値Ｖ １ １ １ ２ ４ ３ ３ ９ ３ ４ ３ ９ ５ １２ １ ６ １０ ９ ７ １０ ９ ８ １２ １ ９ ３ ９ １０ ９ ３ １１ ４ ３ １２ １ １ 表４： 平方自乗及び４乗べき乗値ｍｏｄ １３ これにより、平方自乗Ｑ、これは４乗べき乗値でない、の集合、４乗べき乗値
Ｖの集合及び非平方自乗ＮＱの集合は次のように生じる： Ｑ＝｛４．１０．１２｝； Ｖ＝｛１，３，９｝； ＮＱ＝｛２，５，６，７，８，１１｝． ａ∈Ｖ ⇒ ｃ4∈Ｖ ａ＝ ｃ4＝ １ １ ３ ９ ９ ３ 表５： 所定のパラメータａのもとでｃ4を求める ⇒ａｃ4 ≡１ｍｏｄ １３ ａ∈Ｑ ａ＝ ｃ4＝ ａｃ4＝ ４ ３ １２ ＝−１ｍｏｄ １３ １０ ９ ９０ ＝−１ｍｏｄ １３ １２ １ １２ ＝−１ｍｏｄ １３ 表６： 所定のパラメータａのもとでｃ4を求める ⇒ａｃ4 ≡−１ ｍｏｄ １３ ａ∈ＮＱ ＮＱ ＝ ｛２，５，６，７，８，１１），ここで、 ２＊Ｖ＝ ｛１，５，６｝及び ２＊Ｑ＝ ｛７，８，１１｝ ケースａ： ａ∈ ＮＱ 及び ａ∈（２＊Ｖ） ａ＝ ｃ4 ＝ ａｃ4＝ ２ １ ２＝２ｍｏｄ １３ ５ ３ １５＝２ｍｏｄ １３ ６ ９ ５４＝２ｍｏｄ １３ 表７； 所定のパラメータａのもとでｃ4を求める ⇒ａｃ4≡２ｍｏｄ １３ ケース ｂ； ａ∈ＮＱ及びａ∈（２＊Ｑ） ａ＝ ｃ4 ＝ ａｃ4＝ ７ ９ ６３＝−２ｍｏｄ １３ ８ ３ ２４＝−２ｍｏｄ １３ １１ １ １１＝−２ｍｏｄ １３ 表８： 所定のパラメータａのもとでｃ4を求める ⇒ａｃ4≡-２ｍｏｄ １３ 前述の形式で取得された、第２形態の楕円曲線（ブロック１０３）は暗号処理
のため使用される。
【００６３】 図２は、上述のように、パラメータａの短縮、簡約のため（ブロック２０１参
照）選択の手法可能性を示す。手段２０２は、ｐ＝３ｍｏｄ ４が成立つように
ｐを定める。この場合において、パラメータａを上述の手法で短縮、簡約できる
。同じことが、ｐ＝１ｍｏｄ ４（ケース２０３）に対して成立ち、ここでケー
ス分け、区別により別個の２つのケースｐ＝５ｍｏｄ ８（ケース２０４）及び
ｐ＝１ｍｏｄ ８（ケース２０５）が実行される。短縮、簡約されたパラメータ
ａを求めるためのコンパクトな、閉じられた関係式、関係性は、それぞれ上述の
ように実行、実施される。図２は、包括的選択に対する要求を満たす必要なく可
能な選択の手段を明示する。
【００６４】 図３中、第１のステップ３０１にてパラメータａ，ｂ，ｐ及び点数ｚｐを有す
る楕円曲線が式（１）に従って求められる。ステップ３０２では楕円曲線が変換
される（式（２）参照）。変換後楕円曲線は、パラメータａ′，ｂ′，ｐ及びＺ
Ｐを有し、そして、ａ′及びｂ′は、パラメータａ及びｂが変化されたことを示
す。ここで、或１つのパラメータは、有利には、１つのパラメータａに比して短
いパラメータａ′であり、その結果楕円曲線の識別符号としてパラメータａの代
わりにａ′を記憶することによりメモリロケーションが節減される。
【００６５】 図４には、暗号処理のための装置を示す。
【００６６】 ポータブルメディア４０１、有利にはチップカードは、（安全でない）メモリ
領域ＭＥＭ４０３及び保護された（安全な）メモリ領域ＳＥＣ４０２を有する。
インターフェースＩＦＣ４０４を用いて、チャネル４０５を介してデータが、メ
ディア４０１とコンピュータネットワーク４０６との間で交換される。コンピュ
ータネットワーク４０６は、複数のコンピュータを有し、これらのコンピュータ
は、相互に接続され、相互に交信する。ポータブルメディア４０１の作動のため
のデータは、有利にコンピュータネットワークＲＮにおいて分散的に利用可能で
ある。
【００６７】 被保護メモリ領域４０２は、読取不能に構成されている。ポータブルメディア
４０１上で、又はコンピュータネットワーク４０６内に収容されている計算ユニ
ットを用いて被保護メモリ領域４０２のデータが保護される。而して、比較オペ
レーション動作により、結果として、或１つの入力と、被保護メモリ領域４０２
における鍵キーとの比較が成功したか否かを指示できる。
【００６８】 楕円曲線のパラメータは、被保護領域４０２又は非被保護領域４０３内に格納
されている。殊に秘密の又は、プライベートな鍵キーが、被保護領域４０２内に
入力記憶され、公開の鍵キーは、安全でない非被保護状態のメモリ領域４０３内
に入力記憶される。
【００６９】 図５には、計算ユニット５０１が示してある。計算ユニット５０１は、プロセ
ッサ５０２と、メモリ５０３及びＩ／Ｏインターフェース５０４を有し、該Ｉ／
Ｏインターフェース５０４は、計算ユニット５０１から引き出されたインターフ
ェース５０５を介して種々の手法で利用される。グラフィックインターフェース
を介して、出力が、モニタ５０７上で可視的に及び／又はプリンタ５０８上に出
力される。入力は、マウス５０９又はキーボード５１０を介して行われる。また
、計算ユニット５０１は、バス５０６を有し、該バス５０６はメモリ５０３，プ
ロセッサ５０１及びＩ／Ｏインターフェース５０５のコネクションを可能にする
。更にバス５０６に付加的コンポーネント付加的メモリ、ハードディスク等を接
続することも簡単である。
【００７０】 文献リスト 〔１〕 Ｎｅａｌ Ｋｏｂｌｉｔｚ： Ａ Ｃｏｕｒｓｅ ｉｎ Ｎｕｍｂｅｒ
Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｃｒｙｐｔｏｇｒａｐｈｙ， Ｓｐｒｉｎｇｅｒ Ｖ
ｅｒｌａｇ Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ， １９８７， ＩＳＢＮ ０−３８７−９６５
７６−９，第１５０−１７９頁． 〔２〕 Ａｌｆｒｅｄ Ｊ． Ｍｅｎｅｚｅｓ： Ｅｌｌｉｐｔｉｃ Ｃｕｒｖ
ｅ Ｐｕｂｌｉｃ Ｋｅｙ Ｃｒｙｐｔｏｓｙｓｔｅｍｓ， Ｋｌｕｗｅｒ Ａ
ｃａｄｅｍｉｃ Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓ， Ｍａｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ １９９
３， ＩＳＢＮ ０−７９２３−９３６８−６，第８３−１１６頁． 〔３〕 Ｒｕｄｏｌｆ Ｌｉｄｌ， Ｈａｒａｌｄ Ｎｉｅｄｅｒｒｅｉｔｅｒ
： Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ ｆｉｎｉｔｅ ｆｉｅｌｄｓ ａｎｄ
ｔｈｅｉｒ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ Ｕｎｉｖｅｒ
ｓｉｙ Ｐｒｅｓｓ， Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ １９８６，ＩＳＢＮ ０−５２１
−３０７０６−６，第１５，４５頁． 〔４〕 Ｃｈｒｉｓｔｏｐｈ Ｒｕｌａｎｄ； Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｓｉ
ｃｈｅｒｈｅｉｔ ｉｎ Ｄａｔｅｎｎｅｔｚｅｎ， ＤＡＴＡＣＯＭ−Ｖｅｒ
ｌａｎｇ， Ｂｅｒｇｈｅｉｍ １９９３，ＩＳＢＮ ３−８９２３８−０８１
−３，第７３−８５頁。
【図面の簡単な説明】
【図１】 楕円曲線を用いての暗号処理方法を示す説明図。
【図２】 楕円曲線のパラメータａが短縮、簡約されるよう素数ｐを選択する可能性を示
す説明図。
【図３】 或１つの楕円曲線を求め、決定し、引き続いて、第２形態へ変換する方法の説
明図。
【図４】 暗号処理のための配置構成図。
【図５】 プロセッサユニットの配置構成図。
【符号の説明】
ＩＦＣ インターフェース ＭＥＭ メモリ領域 ＲＮ コンピュータネットワーク ＳＥＣ メモリ領域
【手続補正書】特許協力条約第３４条補正の翻訳文提出書
【提出日】平成１２年４月１３日（２０００．４．１３）
【手続補正１】
【補正対象書類名】明細書
【補正対象項目名】特許請求の範囲
【補正方法】変更
【補正内容】
【特許請求の範囲】

Claims (16)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】 楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法
    において、 ａ）楕円曲線を第１の形態で設定し、ここで複数の第１のパラメータが楕円曲線
    を規定するようにし、 ｂ） 楕円曲線を、複数の第２のパラメータを規定することにより第２の形態に
    変換し、ここで、当該の第２パラメータのうち少なくとも１つを、その長さに関
    して、第１のパラメータに対して短縮、簡約し、 ｃ） 楕円曲線を、暗号処理するため第２の形態で規定することを特徴とする
    楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法。
  2. 【請求項２】 楕円曲線の第１の形態を下記式により規定する、即ち、 ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ， 但し、ｘ，ｙは変数 ａ，ｂは第一パラメータを表すことを特徴とする請求項１記載の方法。
  3. 【請求項３】 楕円曲線の第２形態を下記式により規定する、即ち ｙ2＝ｘ3＋ｃ4ａｘ＋ｃ6ｂ， ｘ，ｙは変数 ａ，ｂは第１パラメータ 但し、ｃは定数を表すことを特徴とする請求項１又は２記載の方法。
  4. 【請求項４】 パラメータａを短縮、簡約し、このパラメータの短縮、簡約
    のため、定数ｃを次のように選定する、即ち、 ｃ4ａｍｏｄ ｐ がパラメータｂの長さ及び所定の量ｐの長さより明らかに 短い長さに定まるように選定することを特徴とする請求項１から３までのうちい
    ずれか１項記載の方法。
  5. 【請求項５】 鍵暗号符号化を実施することを特徴とする請求項１から４ま
    でのうちいずれか１項記載の方法。
  6. 【請求項６】 鍵暗号復号化を実施することを特徴とする請求項１から５ま
    でのうちいずれか１項記載の方法。
  7. 【請求項７】 鍵付与を実施することを特徴とする請求項１から６までのう
    ちいずれか１項記載の方法。
  8. 【請求項８】 デジタルシグネチュア署名を実施することを特徴とする請求
    項１から７までのうちいずれか１項記載の方法。
  9. 【請求項９】 デジタルシグネチュア署名の検証を実施することを特徴とす
    る請求項８記載の方法。
  10. 【請求項１０】 非対称的認証を実施することを特徴とする請求項１から９
    までのうちいずれか１項記載の方法。
  11. 【請求項１１】 暗号化処理のための装置において、 プロセッサを有し、該プロセッサは、次のようにセットアップされている、即
    ち、 ａ）楕円曲線を第１の形態で設定し、ここで複数の第１のパラメータが楕円曲線
    を規定するようにし、 ｂ） 楕円曲線を複数の第２のパラメータを規定することにより第２の形態に変
    換し、ここで、当該の第２パラメータのうち少なくとも１つを、その長さに関し
    て、第１のパラメータに対して短縮、簡約し、 ｃ） 楕円曲線を暗号処理するため第２の形態で規定するようにセットアップ
    されていることを特徴とする暗号化処理のための装置。
  12. 【請求項１２】 プロセッサを有し、該プロセッサは、次のようにセットア
    ップされている、即ち、 楕円曲線の第１の形態を下記式により規定するようにセットアップされている
    、即ち、 ｙ2＝ｘ3＋ａｘ＋ｂ， 但し、ｘ，ｙは変数 ａ，ｂは第一パラメータを表すものであることを特徴とする請求項１１記
    載の装置。
  13. 【請求項１３】 プロセッサを有し、該プロセッサは、次のようにセットア
    ップされている、即ち、 楕円曲線の第２形態を下記式により規定するようにセットアップされている、
    即ち ｙ2＝ｘ3＋ｃ4ａｘ＋ｃ6ｂ， ｘ，ｙは変数 ａ，ｂは第１パラメータ 但し、ｃは定数を表すものであることを特徴とする請求項１１又は１２記載の装
    置。
  14. 【請求項１４】 プロセッサを有し、該プロセッサは、次のようにセットア
    ップされている、即ち、パラメータａが短縮、簡約せしめられるようにセットア
    ップされており、このパラメータの短縮、簡約のため、定数ｃの選定に際して、
    ｃ4ａ ｍｏｄ ｐがパラメータｂの長さ及び所定の量ｐの長さより明らかに 短い長さに定まるようにするものであることを特徴とする請求項１１から１３ま
    でのうちいずれか１項記載の装置。
  15. 【請求項１５】 メモリ領域を有するチップカードとして構成され、ここで
    、メモリ領域にて楕円曲線のパラメータが記憶可能であることを特徴とする請求
    項１１から１４までのうちいずれか１項記載の装置。
  16. 【請求項１６】 秘密の鍵キーがチップカードの被保護メモリ領域内に記憶
    されていることを特徴とする請求項１５記載の装置。
JP2000532949A 1998-02-18 1999-02-02 楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法及び装置 Withdrawn JP2002504720A (ja)

Applications Claiming Priority (3)

Application Number Priority Date Filing Date Title
DE19806825.5 1998-02-18
DE19806825 1998-02-18
PCT/DE1999/000278 WO1999043124A1 (de) 1998-02-18 1999-02-02 Verfahren und vorrichtung zur kryptographischen bearbeitung anhand einer elliptischen kurve auf einem rechner

Publications (1)

Publication Number Publication Date
JP2002504720A true JP2002504720A (ja) 2002-02-12

Family

ID=7858204

Family Applications (1)

Application Number Title Priority Date Filing Date
JP2000532949A Withdrawn JP2002504720A (ja) 1998-02-18 1999-02-02 楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法及び装置

Country Status (13)

Country Link
US (1) US6956946B1 (ja)
EP (1) EP1062764B1 (ja)
JP (1) JP2002504720A (ja)
KR (1) KR20010024912A (ja)
CN (1) CN100380860C (ja)
AT (1) ATE245875T1 (ja)
BR (1) BR9908095A (ja)
CA (1) CA2321478A1 (ja)
DE (1) DE59906358D1 (ja)
ES (1) ES2204117T3 (ja)
RU (1) RU2232476C2 (ja)
UA (1) UA57827C2 (ja)
WO (1) WO1999043124A1 (ja)

Cited By (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP2004252433A (ja) * 2003-01-28 2004-09-09 Matsushita Electric Ind Co Ltd 故障利用攻撃に対抗できる楕円べき倍演算装置及び情報セキュリティ装置
JP2012502526A (ja) * 2008-09-08 2012-01-26 シーメンス アクチエンゲゼルシヤフト 暗号化アプリケーション向けに計算機の支援によって楕円曲線を求める方法、楕円曲線の再構成方法、楕円曲線上の点とスカラとの乗算方法

Families Citing this family (13)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
US6307935B1 (en) * 1991-09-17 2001-10-23 Apple Computer, Inc. Method and apparatus for fast elliptic encryption with direct embedding
JP2001526416A (ja) * 1997-12-05 2001-12-18 シキュアード インフォメイション テクノロジー、 インコーポレイテッド 楕円曲線暗号化演算の最適化用変換方法
US7555122B2 (en) * 2002-12-04 2009-06-30 Wired Communications LLC Method for elliptic curve point multiplication
CN101034991B (zh) * 2007-04-06 2011-05-11 中兴通讯股份有限公司 安全引导系统及方法、代码签名构造方法及认证方法
US20080273695A1 (en) * 2007-05-02 2008-11-06 Al-Gahtani Theeb A Method for elliptic curve scalar multiplication using parameterized projective coordinates
US8102998B2 (en) * 2007-05-02 2012-01-24 King Fahd University Of Petroleum And Minerals Method for elliptic curve scalar multiplication using parameterized projective coordinates
CN101378321B (zh) * 2008-09-26 2011-09-28 北京数字太和科技有限责任公司 一种安全处理的方法和装置
FR2941115B1 (fr) * 2009-01-14 2011-02-25 Sagem Securite Codage de points d'une courbe elliptique
CN101515853B (zh) * 2009-03-09 2011-05-04 深圳同方电子设备有限公司 信息终端及其信息安全装置
EP2228715A1 (en) * 2009-03-13 2010-09-15 Thomson Licensing Fault-resistant calculcations on elliptic curves
FR2946819B1 (fr) * 2009-06-16 2011-07-01 Sagem Securite Cryptographie sur une courbe elliptique.
RU2457625C1 (ru) * 2010-11-30 2012-07-27 Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" (ФГБОУ ВПО "СПбГПУ") Способ электронной цифровой подписи на основе эллиптической кривой
CN114143051B (zh) * 2021-11-19 2024-02-23 江苏林洋能源股份有限公司 一种智能电表基于性能调整tls协议选择的方法

Family Cites Families (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
DE3323268A1 (de) 1983-06-28 1985-01-10 Siemens AG, 1000 Berlin und 8000 München Verfahren zum potenzieren in galois-feldern gf(2(pfeil hoch)n(pfeil hoch)) fuer zwecke der datenverarbeitung, der datensicherung, der datenuebertragung usw., insbesondere fuer den schluesselaustausch fuer eine verschluesselte datenuebertragung, und schaltungsanordnung zur durchfuehrung des verfahrens
RU2007884C1 (ru) 1991-11-22 1994-02-15 Борис Владимирович Березин Устройство шифрования двоичной информации "албер"
US5442707A (en) * 1992-09-28 1995-08-15 Matsushita Electric Industrial Co., Ltd. Method for generating and verifying electronic signatures and privacy communication using elliptic curves
US5497423A (en) * 1993-06-18 1996-03-05 Matsushita Electric Industrial Co., Ltd. Method of implementing elliptic curve cryptosystems in digital signatures or verification and privacy communication

Cited By (4)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
JP2004252433A (ja) * 2003-01-28 2004-09-09 Matsushita Electric Ind Co Ltd 故障利用攻撃に対抗できる楕円べき倍演算装置及び情報セキュリティ装置
JP4634046B2 (ja) * 2003-01-28 2011-02-16 パナソニック株式会社 故障利用攻撃に対抗できる楕円べき倍演算装置及び情報セキュリティ装置
JP2012502526A (ja) * 2008-09-08 2012-01-26 シーメンス アクチエンゲゼルシヤフト 暗号化アプリケーション向けに計算機の支援によって楕円曲線を求める方法、楕円曲線の再構成方法、楕円曲線上の点とスカラとの乗算方法
US8533490B2 (en) 2008-09-08 2013-09-10 Siemens Aktiengesellschaft Efficient storage of cryptographic parameters

Also Published As

Publication number Publication date
CN100380860C (zh) 2008-04-09
CA2321478A1 (en) 1999-08-26
DE59906358D1 (de) 2003-08-28
EP1062764B1 (de) 2003-07-23
EP1062764A1 (de) 2000-12-27
WO1999043124A1 (de) 1999-08-26
KR20010024912A (ko) 2001-03-26
US6956946B1 (en) 2005-10-18
BR9908095A (pt) 2000-10-31
CN1297635A (zh) 2001-05-30
ATE245875T1 (de) 2003-08-15
ES2204117T3 (es) 2004-04-16
UA57827C2 (uk) 2003-07-15
RU2232476C2 (ru) 2004-07-10

Similar Documents

Publication Publication Date Title
US11652644B1 (en) Quantum-resistant double signature system
Hellman An overview of public key cryptography
KR100960578B1 (ko) 식별자 기반 키 생성 방법 및 장치
US7516321B2 (en) Method, system and device for enabling delegation of authority and access control methods based on delegated authority
US7421079B2 (en) Method and apparatus for secure key replacement
US8195951B2 (en) Data processing system for providing authorization keys
CN108352015A (zh) 用于基于区块链的系统结合钱包管理系统的安全多方防遗失存储和加密密钥转移
US20060195402A1 (en) Secure data transmission using undiscoverable or black data
US20050271203A1 (en) Encryption apparatus, decryption apparatus, key generation apparatus, program, and method
JP2002504720A (ja) 楕円曲線を用いてコンピュータで暗号処理をするための方法及び装置
US20060251247A1 (en) Encryption apparatus, decryption apparatus, key generation apparatus, program and method therefor
KR20010052105A (ko) 생체 측정 데이터를 이용한 암호키 발생
CN111294203B (zh) 信息传输方法
CN103444128B (zh) 密钥pv签名
CN105721156A (zh) 用于模幂加密方案的通用编码函数
CN111566647B (zh) 基于区块链的身份识别系统
JPH09233068A (ja) 電子認証システム
JP4706811B2 (ja) 依頼計算を用いた演算装置、及び記録媒体
US8325913B2 (en) System and method of authentication
Swathi Secure data storage in cloud computing to avoiding some cipher text attack
CN1981477A (zh) 用于提供数字证书功能的方法
JP2007235659A (ja) 鍵管理方法、暗号処理方法、電子署名方法、アクセス管理方法
US20110145566A1 (en) Secret Encryption with Public or Delegated Comparison
CN100369405C (zh) 认证收据
Khan et al. In-Depth Analysis of Cryptographic Algorithms for Cloud-Database Security

Legal Events

Date Code Title Description
A711 Notification of change in applicant

Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A711

Effective date: 20040624

A521 Request for written amendment filed

Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A821

Effective date: 20040625

A621 Written request for application examination

Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A621

Effective date: 20050930

A761 Written withdrawal of application

Free format text: JAPANESE INTERMEDIATE CODE: A761

Effective date: 20070404