JP2001109885A - 画像処理方法及び画像処理装置 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】 幾何学的モデルを適用することで異なるソー
ス間でのオブジェクトの同定を効率的に行う。 【解決手段】 画像処理装置１０は、２以上の画像のそ
れぞれについての特徴点を抽出し、２以上の画像のう
ち、一の画像と他の画像との特徴点を比較してマッチン
グを行い、このマッチングの結果に基づいて、一の画像
に含まれるオブジェクトを、他の画像に含まれるオブジ
ェクトに対して同定する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、画像中のオブジェ
クトを、他の画像中のオブジェクトに対して同定する画
像処理方法及び画像処理装置に関する。

【０００２】

【従来の技術】画像処理は、コンピュータの高性能化に
ともない、多くの技術分野において多種多様な処理アル
ゴリズムが開発され、多大な成果を得るまでになってい
る。このような画像処理技術の１つとして注目されてい
るものに、パターンマッチングがある。

【０００３】ここで、互いに異なる濃度を有するユーク
リッドｄ次元空間Ｅ^dにおける２つの点集合Ｓ＝
｛Ｓ₁，・・・，Ｓ_n｝及びＱ＝｛Ｑ₁，・・・，Ｑ_m｝
において、例えば角検出アルゴリズムにより与えられる
特徴点といったように、点集合の点の座標がやや不正確
であるような場合におけるパターンマッチングの問題に
ついて考える。このような場合になすべきことは、マッ
チする点である“インライア”をマッチしない点である
“アウトライア”から識別することである。

【０００４】変換Ｔが与えられた場合、そのマッチング
の正確性を百分率表示のハウスドルフ（Hausdorff）距
離を用いて計算することができる。すなわち、このハウ
スドルフ距離を用いることによって、いわゆるｎ−ｋア
ウトライアの効果を除去した状態で、マッチングの正確
性が次式（１）に示すように与えられる。

【０００５】

【数１】

【０００６】この上式（１）において、ｍｉｎ_kは、最
小のｋ番目の要素を返すことを意味しており、ｄ（・，
・）は、距離関数である。このハウスドルフ指標の欠点
は、“A. Efrat and M. J. Katz, Computing fair and
bottleneck matchings in geometric graphs, In Proc.
7th Annu. Internat. Sympos. Algorithms Comput.,pa
ges 115-125, 1996”に記載されているように、１つの
点が複数回マッチすることがあり、そのような場合、視
覚幾何学においては意味のある結果が得られないことで
ある。

【０００７】パターンマッチングの最近の技術として
は、“H. Alt and L. Guibas, Resemblance of geometr
ic objects, In Jorg-Rudiger Sack and Jorge Urruti
a, editors, Handbook of Computational Geometry, El
sevier Science Publishers B.V. North-Holland, Amst
erdam, 1998”に記載されているものがある。また、Ira
ni及びRaghavanは、“Sandy Irani and Prabhakar Ragh
avan, Combinatorial and experimental results for r
andomized point matching algorithms, In Proc. 12th
Annual ACM Symposium on Computational Geometry, p
ages 68-77, 1996”にて、集合Ｓ，Ｑが少なくとも
稠密にマッチするという仮定、すなわち、少なくとも一
部の点がマッチするという仮定のもとに変換を見出す手
法として、ランダム配置モンテカルロ法を提案してい
る。このランダム配置モンテカルロ法は、変換を定義す
る特徴点の対に基づいたものであり、グローバルな処理
である。

【０００８】パターンマッチングにおいて非常に広く用
いられている局所的処理は、変換行列Ｔの空間を定義
するパラメータの空間を考え、“Michiel Hagedoorn an
d Remco C. Veltkamp, Reliable and efficient patter
n matching using an affineinvariant metric, Techni
cal Report UU-CS-1997-33, Utrecht University, Depa
rtment of Computing Science, October 1997”や“D.
Mount, N. Netanyahu, and J. Le Moigne, Improved al
gorithms for robust point pattern matching and app
lications to image registration, In 14th Annual AC
M Symposium on Computational Geometry, 1998”に示
されている分岐限界法をこれらの生成パラメータに適用
する方法によるものである。例えば、平面が転移及び／
又は回転することを許容されている場合には、転移の量
とその方向を表す３つのパラメータ（ｘ，ｙ，θ）によ
り生成される３×３行列（同次座標を用いてＴ＝Ｒ
²×［０，２π］のように表される。）が定義される。

【０００９】また、パターンマッチングを求める他の手
法としては、“T. Akutsu, H. Tamaki, and T. Tokuyam
a, Distribution of distances and triangles in a po
intset and algorithms for computing the largest co
mmon point set, Discreteand Computational Geometr
y, pages 207-331, 1998”に記載されているように、い
わゆるハフ（Hough）変換を一般化したものの１つであ
る多数決法がある。さらに、最近ではIndykらが“P. In
dyk, R. Motwani, and S. Venkatasubramanian, Geomet
ric matching under noise:Combinatorial bounds and
algorithms,In SODA:Symposium of Datastructures and
Algorithms 1999”や“M. Gavrilov, P. Indyk, R. Mo
twani, and S. Venkatasubramanian, Geometric patter
n matching:A performance study, In Proc. of the 15
th Symp. of Comp. Geo., 1999”にて、雑音が存在する
場合に、点集合の直径を考慮することによって、パター
ンマッチングを行うアルゴリズムを提案している。さら
にまた、Cardoze及びSchulmanは、“Cardoze and Schul
man, Pattern matching for spatial point sets, In F
OCS:IEEE Symposium on Foundations of Computer Scie
nce (FOCS), 1988”にて、パターンマッチングを数論と
関係付け、点集合の直径にしたがってフーリエ変換を行
う高速アルゴリズムを提案している。

【００１０】

【発明が解決しようとする課題】ところで、上述した画
像処理分野においては、例えば、画像中の任意のオブジ
ェクトを、異なるソースからの画像中の任意のオブジェ
クトに対して、効率的に同定するための手法が要望され
ている。

【００１１】しかしながら、幾何学的モデルをオブジェ
クトの同定に応用することは困難である場合が多く、計
算量が膨大となり処理に多大な時間を要するものが多か
った。そのため、最近では、幾何学的モデルを応用して
効率的にオブジェクトの同定を行う手法の確立に対する
要求が高まっている。

【００１２】本発明は、このような実情に鑑みてなされ
たものであり、幾何学的モデルを適用することで異なる
ソース間でのオブジェクトの同定を効率的に行うことが
できる画像処理方法及び画像処理装置を提供することを
目的とする。

【００１３】

【課題を解決するための手段】上述した目的を達成する
本発明にかかる画像処理方法は、２以上の画像のそれぞ
れについての特徴点を抽出する特徴抽出工程と、２以上
の画像のうち、一の画像と他の画像との特徴点を比較し
てマッチングを行うマッチング工程と、このマッチング
工程の結果に基づいて、一の画像に含まれるオブジェク
トを、他の画像に含まれるオブジェクトに対して同定す
る同定工程とを備えることを特徴としている。

【００１４】このような本発明にかかる画像処理方法
は、２以上の画像のそれぞれについての特徴点を抽出
し、２以上の画像のうち、一の画像と他の画像との特徴
点を比較してマッチングを行い、このマッチングの結果
に基づいて、一の画像に含まれるオブジェクトを、他の
画像に含まれるオブジェクトに対して同定する。

【００１５】また、上述した目的を達成する本発明にか
かる画像処理装置は、２以上の画像のそれぞれについて
の特徴点を抽出する特徴抽出手段と、２以上の画像のう
ち、一の画像と他の画像との特徴点を比較してマッチン
グを行うマッチング手段と、このマッチング手段による
マッチングの結果に基づいて、一の画像に含まれるオブ
ジェクトを、他の画像に含まれるオブジェクトに対して
同定する同定手段とを備えることを特徴としている。

【００１６】このような本発明にかかる画像処理装置
は、特徴抽出手段によって、２以上の画像のそれぞれに
ついての特徴点を抽出し、マッチング手段によって、２
以上の画像のうち、一の画像と他の画像との特徴点を比
較してマッチングを行い、同定手段によって、マッチン
グの結果に基づいて、一の画像に含まれるオブジェクト
を、他の画像に含まれるオブジェクトに対して同定す
る。

【００１７】

【発明の実施の形態】以下、本発明を適用した具体的な
実施の形態について図面を参照しながら詳細に説明す
る。

【００１８】本発明の実施の形態として図１に示す画像
処理装置１０は、例えば、カメラ部２０により撮像され
た静止画及び／又は動画像やグラフィックス画像といっ
た画像中の任意のオブジェクトを、データ入力部３０か
らの画像中の任意のオブジェクトに対して同定する機能
を有するものである。

【００１９】この画像処理装置１０は、同図に示すよう
に、カメラ部２０により撮像された画像を捕捉するビデ
オキャプチャー部１１と、このビデオキャプチャー部１
１により捕捉された画像データＩ₁から特徴点を抽出す
る特徴抽出部１２と、データ入力部３０から入力した画
像データＩ₂から特徴点を抽出する特徴抽出部１３と、
特徴抽出部１２及び特徴抽出部１３により抽出された特
徴点群が互いに合同であるか否かを検出する等、各種処
理を実行する処理実行部１４と、この処理実行部１４に
より行われた合同検出の結果を評価する評価部１５とを
備える。また、画像処理装置１０は、ビデオキャプチャ
ー部１１により捕捉された画像データＩ₁及びデータ入
力部３０から入力した画像データＩ₂をそれぞれ一時的
に保持するバッファ、各種プログラムやデータを記憶す
る図示しないメモリ、各種処理におけるワークエリアと
しての図示しないメモリ等を備える。

【００２０】画像処理装置１０は、例えばカメラ部２０
により撮像された静止画及び／又は動画像やグラフィッ
クス画像といった画像データＩ₁と、例えば複数の画像
データをデータベースとして保持しているデータ入力部
３０に保持されている画像データＩ₂を入力する。これ
らの画像データＩ₁及び画像データＩ₂は、具体的にはそ
れぞれ、例えば図２に示すように、ある風景をカメラ部
２０により撮像した画像と、図３に示すように、同じ風
景の一部を拡大して撮像し、データ入力部３０に保持し
ていた画像とであるように、異なるカメラ方向で撮像さ
れて得られた約１００万画素オーダの２次元画像であ
る。画像処理装置１０は、画像データＩ₁に含まれる任
意のオブジェクトと、画像データＩ₂に含まれる任意の
オブジェクトとが合同であるか否かを検出し、これらの
オブジェクトを同定して表示部４０に出力する。なお、
これらの画像データＩ₁及び画像データＩ₂は、それぞ
れ、図２及び図３に示すような例にとらわれないもので
あることはいうまでもない。

【００２１】ビデオキャプチャー部１１は、カメラ部２
０により撮像された画像データＩ₁を入力し、捕捉す
る。そして、ビデオキャプチャー部１１は、捕捉した画
像データＩ₁を後段の特徴抽出部１２に供給する。

【００２２】特徴抽出部１２，１３は、それぞれ、画像
データＩ₁及び画像データＩ₂を入力し、画像データＩ₁
及び画像データＩ₂のそれぞれから特徴点を抽出する。
すなわち、特徴抽出部１２，１３は、それぞれ、画像デ
ータＩ₁と画像データＩ₂との少なくとも一部を、例えば
ユーザによる命令にしたがって、或いは、自動的に重複
させるとともに、画像データＩ₁及び画像データＩ₂のそ
れぞれについて、特徴点を抽出する。

【００２３】ここで、画像データＩ₁と画像データＩ₂と
の少なくとも一部が重複されて形成される重複部分は、
図４（Ａ）に示すように、３次元空間上の点Ｍをカメラ
等により撮像することによって、２次元画像上で点ｍ₁
及び点ｍ₂に投影されて得られる画像データＩ₁及び画像
データＩ₂を、同図（Ｂ）に示すように、重複させて構
成される部分である。例えば３次元空間上の点Ｍの座標
が（ｘ，ｙ，ｚ）と表されるとき、点ｍ₁及び点ｍ₂は、
それぞれ、（ｘ₁／ｗ₁，ｙ₁／ｗ₁）、（ｘ₂／ｗ₂，ｙ₂
／ｗ₂）と表される。

【００２４】特徴抽出部１２，１３は、それぞれ、画像
データＩ₁及び画像データＩ₂に含まれる絵柄のエッジ、
角、連結等を検出することによって、可能な限りに多く
の特徴点を抽出する。このとき、特徴抽出部１２，１３
は、それぞれ、重複部分とその近傍に位置する画像デー
タＩ₁及び画像データＩ₂の特徴点を優先的に抽出するこ
ともできる。また、特徴抽出部１２，１３は、それぞ
れ、画像データＩ₁又は画像データＩ₂についてディジタ
ルズームを行い、特徴点を抽出することもできる。特徴
抽出部１２，１３は、それぞれ、抽出した特徴点からな
る点集合を後段の処理実行部１４に供給する。

【００２５】また、特徴抽出部１２，１３は、それぞ
れ、画像データＩ₁と画像データＩ₂との重複部分の割合
を示す重複率に応じて、画像データＩ₁と画像データＩ₂
との位置関係を調整する際に用いるマッチング処理の手
法を選択する選択信号を生成する。すなわち、特徴抽出
部１２，１３は、それぞれ、図５に示すように、重複率
が１００％に近いほど、特徴点の数に比例したパラメー
タである特徴量を用いてマッチング処理を行う手法を選
択する旨の選択信号を生成し、重複率が小さいほど、画
素値を用いてマッチング処理を行う手法を選択する旨の
選択信号を生成する。特徴抽出部１２，１３は、それぞ
れ、生成した選択信号を後段の処理実行部１４に供給す
る。

【００２６】処理実行部１４は、特徴抽出部１２，１３
のそれぞれから供給された２つの点集合と、選択信号と
に基づいて、幾何学的な処理を行う。特に、処理実行部
１４は、画像データＩ₁に含まれるオブジェクトを、画
像データＩ₂に含まれるオブジェクトに対して同定する
ために、特徴抽出部１２，１３のそれぞれから供給され
た２つの点集合が合同であるか否かを検出する。この合
同の検出処理については、後に詳述する。

【００２７】処理実行部１４は、選択信号に基づいて、
特徴点を用いてマッチングを行うと判断した場合には、
画像データＩ₁及び画像データＩ₂を構成する複数の画素
の強度値等に着目し、例えば画像データＩ₁についての
特徴点群Ｓ₁に含まれる特徴点ｐ₁と、画像データＩ₂
についての特徴点群Ｓ₂に含まれる特徴点ｐ₂とがマッ
チングするための条件として、次式（２）を満たす場合
に、画像データＩ₁と画像データＩ₂とのマッチングがと
れていることを認識する。

【００２８】

【数２】

【００２９】ここで、上式（２）において、εは、ε≧
０を満たす値を有するものであり、ｄ₂は、ユークリッ
ド距離である。また、Ｈは、画像データＩ₁と画像デー
タＩ₂とを合成する際に用いるマトリックスである。

【００３０】また、処理実行部１４は、マッチング処理
としては、上述したものの他、いわゆるハウスドルフ
（Hausdorff）マッチング処理や、いわゆるボトルネッ
ク（Bottleneck）マッチング処理であっても、上述した
ように、画像データＩ₁についての特徴点と画像データ
Ｉ₂についての特徴点とを用いて、共通点を探索するこ
とができる。

【００３１】ハウスドルフマッチング処理は、画像デー
タＩ₂についての特徴点群Ｓ₂に含まれる特徴点ｐ₂と
近接して位置する画像データＩ₁についての特徴点ｐ₁と
を接続する処理である。このハウスドルフマッチング処
理においては、このような処理を行うことによって、画
像データＩ₁と画像データＩ₂との一致度を示す評価値で
あるハウスドルフ距離を生成する。

【００３２】一方、ボトルネックマッチング処理は、画
像データＩ₁と画像データＩ₂との類似性を調べるのに好
適なマッチング処理である。このボトルネックマッチン
グ処理においては、ハウスドルフマッチング処理と同様
に、画像データＩ₁と画像データＩ₂との重複部分と、画
像データＩ₁と画像データＩ₂との類似度を示す評価値を
生成する。

【００３３】また、処理実行部１４は、上述したマッチ
ング処理の他に、特徴点の特性を用いたことを考慮した
モンテカルロ法を用いて、マッチングの正確性をより向
上させることもできる。図６に、モンテカルロ法のアル
ゴリズムの一例を示す。すなわち、処理実行部１４は、
マッチング処理を行う際に、ｋを、２ｋ個の特徴点によ
り完全にマッチングがとれる基本的な変換を演算するた
めに必要な特徴点の数とし、ランダムにｋの個数を選択
するとともに、特徴点群Ｓ₂のｋ個の特徴点を用い
て、モンテカルロ法を適用したマッチング処理を行う。

【００３４】この処理実行部１４は、画像データＩ₂に
含まれる画像データＩ₁の特徴にマッチングしている画
像データＩ₁及び画像データＩ₂についての転移量及び回
転移動量を探索する処理を行う。すなわち、処理実行部
１４は、図７に示すように、画像データＩ₁に含まれる
特徴点（Ｌ₁，Ｌ₂）を選択する。このとき、処理実行部
１４は、後の幾何学的フィルタリングにて用いる画像デ
ータＩ₂に含まれる特徴点（Ｒ₁，Ｒ₂）を含むような領
域を避けて、画像データＩ₁に含まれる特徴点（Ｌ₁，Ｌ
₂）を選択する。ここで、画像データＩ₂に含まれる特徴
点（Ｒ₁，Ｒ₂）は、円領域（ｄ₂（Ｌ₁，Ｌ₂）−２μ，
ｄ₂（Ｌ₁，Ｌ₂）＋４μ）から選択されている。そし
て、処理実行部１４は、特徴抽出部１２，１３のそれぞ
れにより抽出した特徴点の位置的な誤差等を考慮し、４
μだけ半径の大きい円領域を設定する。

【００３５】また、処理実行部１４は、図８に示す幾何
学的フィルタリングアルゴリズムを用いて、特徴点ｐ^*
を特徴点ｐに接する特徴点とする。この幾何学的フィル
タリングアルゴリズムを適用することで、特徴点ｐと特
徴点ｐ^*との関係は、次式（３）のように表される。

【００３６】

【数３】

【００３７】そして、処理実行部１４は、検出した特徴
点について、適応的に幾何学的フィルタリングアルゴリ
ズムを用いる。図８に示した幾何学的フィルタリングア
ルゴリズムにおいては、ランダムに選択したｋ個の特徴
点からなる画像データＩ₁についての特徴点群Ｓ₁（Ｌ
₁，Ｌ₂，・・・，Ｌ_k）を用いて、順次画像データＩ₂に
ついての特徴点ｐ₂を、特徴点群Ｓ₂（Ｒ₁，Ｒ₂，・・
・，Ｒ_k）から選択し、特徴点群Ｓ₁に含まれる特徴点
とマッチングする特徴点を探索する。ここで、Ｒ₂は、
円領域（Ｒ₁，Ｌ₁Ｌ₂−２μ，４μ）に含まれる特徴点
であり、Ｒ₃は、円領域（Ｒ₂，Ｌ₂Ｌ₃−２μ，４μ）に
含まれる特徴点であり、Ｒ_kは、円領域（Ｒ_k-1，Ｌ_k-1
Ｌ_k−２μ，４μ）に含まれる特徴点である。

【００３８】さらに、処理実行部１４は、図９に示すよ
うなアルゴリズムと、図８に示した幾何学的フィルタリ
ングアルゴリズムとをランダムに組み合わせることによ
って、画像データＩ₁と画像データＩ₂とのマッチングを
とる。そして、処理実行部１４は、マッチングを行った
結果を評価部１５に供給する。

【００３９】評価部１５は、上述したマッチング処理に
よる結果を処理実行部１４から入力し、例えば処理実行
部１４により行われた合同の検出処理を評価して評価値
を生成する。また、評価部１５は、評価関数として、上
述したハウスドルフマッチング処理や、ボトルネックマ
ッチング処理を行うとともに、画素値でマッチングをと
る場合には、画像データＩ₁と画像データＩ₂との画素値
を検出し、これらの画像データＩ₁と画像データＩ₂との
画素値の相互相関を利用して評価値を生成する。評価部
１５は、評価が最良となった場合に、画像データＩ₁と
画像データＩ₂とが合同である旨を示す信号を表示部４
０に出力するとともに、画像データＩ₁又は画像データ
Ｉ₂を表示部４０に出力する。そして、表示部４０は、
評価部１５からの信号に基づいて、画像データＩ₁と画
像データＩ₂とが合同である旨を図示しない表示画面に
表示したり、画像データＩ₁又は画像データＩ₂を表示画
面に表示することができる。

【００４０】このような画像処理装置１０は、例えば図
１０に示すような一連の処理を行うことによって、画像
データＩ₁に含まれるオブジェクトを、画像データＩ₂に
含まれるオブジェクトに対して同定する。

【００４１】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ１において、カメラ部２０からの画像
データＩ₁を入力する。なお、画像データＩ₁は、必ずし
もカメラ部２０から供給されるものでなくてもよく、例
えばユーザが指定することにより同定を行う対象として
選択されたものであってもよい。また、画像処理装置１
０は、入力した画像データＩ₁を、例えばズーム率を変
化させることにより拡大及び／又は縮小した画像データ
からなるピラミッドを生成する。

【００４２】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
２において、ユーザの指定に基づいて、同定の対象とす
る画像データＩ₁中のオブジェクトを選択する。

【００４３】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
３において、ステップＳ１にて生成された画像データＩ
₁のピラミッドを、特徴抽出部１２に供給し、特徴抽出
部１２によって、各画像データについて、上述したよう
に特徴点を抽出する。なお以下では、画像データＩ₁に
ついての適切な縮尺率における画像データを画像データ
Ｉ₁と称するものとする。特徴抽出部１２は、特徴点を
抽出する際に、画像データＩ₁の所定の３次元方向にお
ける特徴点を抽出する。

【００４４】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
４において、データ入力部３０からの画像データＩ₂を
入力する。なお、画像データＩ₂は、必ずしもデータ入
力部３０から供給されるものでなくてもよく、例えばユ
ーザが指定することにより同定を行う対象として選択さ
れたものであってもよい。また、画像処理装置１０は、
入力した画像データＩ₂を、例えばズーム率を変化させ
ることにより拡大及び／又は縮小した画像データからな
るピラミッドを生成する。

【００４５】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
５において、ステップＳ４にて生成された画像データＩ
₂のピラミッドを、特徴抽出部１３に供給する。画像処
理装置１０は、特徴抽出部１２，１３によって、画像デ
ータＩ₁のピラミッドを構成する各画像データと、画像
データＩ₂のピラミッドを構成する各画像データとを、
例えばユーザによる命令にしたがって、或いは、自動的
に重複させるとともに、各画像データについて、上述し
たように特徴点を抽出する。画像処理装置１０は、この
ようにすることによって、画像データＩ₂に含まれるオ
ブジェクトに対して、縮尺率が異なる画像データＩ₁に
含まれるオブジェクトを同定する際にも、互いの縮尺率
を変化させ、適切な縮尺率の画像データ同士を同定する
ことができる。なお以下では、画像データＩ₂について
の適切な縮尺率における画像データを画像データＩ₂と
称するものとする。特徴抽出部１３は、特徴点を抽出す
る際に、画像データＩ₂の所定の３次元方向における特
徴点を抽出する。また、画像処理装置１０は、特徴抽出
部１２，１３のそれぞれによって、画像データＩ₁と画
像データＩ₂との重複率を参照し、マッチング処理の手
法を選択する選択信号を生成する。

【００４６】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
６において、処理実行部１４による初期化を行う。

【００４７】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
７において、処理実行部１４により画像データＩ₁につ
いての特徴点のうちから任意の１組の特徴点Ｆ₁を選択
する。

【００４８】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
８において、処理実行部１４により画像データＩ₂につ
いての特徴点のうちから任意の１組の特徴点Ｆ₂を選択
する。

【００４９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
９において、処理実行部１４により特徴点Ｆ₁と特徴点
Ｆ₂とを用いて、マッチング処理を行い、特徴点Ｆ₁と特
徴点Ｆ₂とが一致しているか否かを判別する。

【００５０】ここで、特徴点Ｆ₁と特徴点Ｆ₂とが一致し
ていない場合には、画像処理装置１０は、ステップＳ８
へと処理を移行し、他の特徴点Ｆ₂を選択し、再びマッ
チング処理を行う。

【００５１】一方、特徴点Ｆ₁と特徴点Ｆ₂とが一致して
いる場合には、画像処理装置１０は、ステップＳ１０に
おいて、評価部１５によって、評価値を生成する。

【００５２】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１１において、処理実行部１４によって、いわゆるハン
ガリー理論で用いられるＯ（１）が上述した処理におけ
るサンプル数よりも大きいか否かを判別する。

【００５３】ここで、Ｏ（１）がサンプル数よりも大き
くない場合には、画像処理装置１０は、ステップＳ７へ
と処理を移行し、ステップＳ７以降の処理を再び繰り返
す。

【００５４】一方、Ｏ（１）がサンプル数よりも大きい
場合には、画像処理装置１０は、ステップＳ１２におい
て、評価部１５によって、ステップＳ１０にて生成した
評価値が以前にマッチング処理を行ったときの評価値よ
りも良好であるか否かを判別する。

【００５５】ここで、評価値が良好でない場合には、画
像処理装置１０は、ステップＳ４へと処理を移行し、デ
ータ入力部３０から他の画像データＩ₂を入力し、ステ
ップＳ４以降の処理を再び繰り返す。

【００５６】一方、評価値が良好である場合には、画像
処理装置１０は、画像データＩ₁と画像データＩ₂とが合
同である旨を示す信号を表示部４０に出力するととも
に、画像データＩ₁又は画像データＩ₂を表示部４０に出
力し、一連の処理を終了する。

【００５７】なお、画像処理装置１０は、画像データＩ
₁と、データ入力部３０に保持されている全ての画像デ
ータＩ₂とのマッチング処理を行い、予め決められた数
だけ評価値が良好である画像データＩ₂を図示しないメ
モリ等に保持し、これらの画像データＩ₂を表示部４０
に出力することもでき、最良の評価値を有する画像デー
タＩ₂のみを表示部４０に出力することもできる。

【００５８】このように、画像処理装置１０は、画像デ
ータＩ₁中のオブジェクトを画像データＩ₂中のオブジェ
クトに対して同定することができ、例えば画像データＩ
₁中のオブジェクトをデータ入力部３０に保持されてい
る画像データＩ₂の中から検索することができる。

【００５９】このような画像処理装置１０は、マッチン
グ処理において、画像データＩ₁と画像データＩ₂との特
徴点を上述したような幾何学的手法を用いてマッチング
することから、効率的に画像データＩ₁中のオブジェク
トを画像データＩ₂中のオブジェクトに対して同定する
ことができる。

【００６０】以下、このような画像処理装置１０におけ
る各種処理を詳細に説明する。以下では、上述した画像
データＩ₁及び画像データＩ₂のそれぞれにおける特徴点
群を、それぞれ、点集合Ｓ，Ｑとし、これらの合同
の検出処理、対称性の検出処理、パターンマッチング、
最大共通点集合の検出処理等について説明し、これらの
応用についても言及する。

【００６１】上述した画像処理装置１０は、ユークリッ
ドｄ次元空間Ｅ^dにおける２つの点集合Ｓ＝｛Ｓ₁，
・・・，Ｓ_n｝，Ｑ＝｛Ｑ₁，・・・，Ｑ_m｝に関し
て、変換空間Ｔにおける変換Ｔを点集合Ｓに対して
適用した場合の｛Ｔ（Ｓ），Ｑ｝のマッチングが最
大となる変換Ｔを見出すことができる。また、画像処理
装置１０は、変換Ｔに対して幾何学的制約を付すことに
よって、パターンマッチングを条件付きで行うための決
定論的なアルゴリズムとランダムアルゴリズムとを実現
することができる。

【００６２】画像処理装置１０は、各点がある小量εだ
け揺らいだ場合であっても、ほぼ正確に点集合パターン
マッチングを求めることができる。この許容揺動量ε
は、点集合の最小点間距離ｄ_minと点間距離ｄとにより
表されるｄ_min／２√ｄによって変化する。この画像処
理装置１０は、例えばいわゆるハウスドルフ指標や対称
性差異指標といったマッチング｛Ｓ，Ｑ｝に点数付
けを行う連続的な指標を採用する代わりに、許容揺動量
εの最大値の誤差を許容するような１対１でマッチする
点の数を計数することによって、マッチングの指標とす
る。

【００６３】なお、以下の説明では、１ε（Ｐ，Ｑ）
は、ｄ₂（Ｐ，Ｑ）≦２εの場合且つそのときに限って
１ε（Ｐ，Ｑ）＝１であり、その他の場合には１ε
（Ｐ，Ｑ）＝０であるような｛０，１｝関数であるもの
とする。また、以下の説明では、マッチングの正確性を
表す点数ｓｃｏｒｅ（｛Ｓ，Ｑ｝）は、点集合Ｑ
の順列ｍ！の全体にわたって変化する値であるσを用い
て、次式（４）のように定義するものとする。

【００６４】

【数４】

【００６５】ここで、上式（４）に示す定義は、全ての
ε≧０に対して成立する。

【００６６】画像処理装置１０は、まず最初に、マッチ
する点である“インライア”をマッチしない点である
“アウトライア”から区別し、次に、マッチする点に同
一のラベルを付与する。画像処理装置１０は、このよう
な予備的な処理を行うことによって、Ｒにおける連続
距離指標を取り扱うことが可能となるとともに、局所的
な極小部のそれぞれのマッチを改良することができる。

【００６７】例えば、画像処理装置１０は、最近提案さ
れた“D. Mount, N. Netanyahu, and J. Le Moigne, Im
proved algorithms for robust point pattern matchin
g and applications to image registration, In COMPG
EOM:Annual ACM Symposium on Computational Geometr
y, 1998”や“M. Hagedoorn and R. Veltkamp, A gener
al method for partial point set matching, In Proce
edings of the 13th International Annual Symposium
on Computational Geometry (SCG-97), pages 406-408,
New York, June 4-6 1997, ACM Press”における変換
空間の分岐限界法（局所処理）を用いることができる。
すなわち、画像処理装置１０は、上位レベルにおいて
は、マッチする変換のほぼ全てを見出すことができ、下
位レベルにおいては、それぞれの局所的極小部に対し
て、マッチする変換をより正確となるように改良するこ
とができる。

【００６８】概略的には、画像処理装置１０は、図１１
に示すような手法により幾何学的パターンマッチングを
行う。すなわち、画像処理装置１０は、入力した２つの
点集合Ｓ，Ｑと許容揺動量εとに基づいて、グロー
バルな処理として、点集合Ｓ，Ｑの両者におけるイ
ンライアとアウトライアとを区別して検出し、マッチす
る点に同一のラベルを付与する。この処理は、上述した
ように、マッチング｛Ｓ，Ｑ｝に点数付けを行う連
続的な指標を採用して行われるものではなく、不連続な
指標により行われる。そして、画像処理装置１０は、局
所的な処理として、ラベル付けされた点集合Ｓ_l，
Ｑ_lを形成し、上述した連続的な指標を採用してパタ
ーンマッチングを改良し、変換空間Ｔにおける変換Ｔ
の集合を出力する。

【００６９】また、視覚幾何学では抽出された不正確な
特徴点から候補を選択する必要が頻繁に生じることか
ら、画像処理装置１０は、ある特徴を有する全ての変換
を報告するとともに、そのような変換の数を計数する。

【００７０】以下、このような画像処理装置１０におけ
る処理を詳細に説明していく。

【００７１】まず、２次元、３次元及びｄ次元空間にお
ける合同問題の定義を行い、その際、合同演算子がどの
ように数の対称性に関係付けられるかについて説明す
る。また、合同問題と、グラフ理論、対称性及び数論と
の関係について説明する。なお、以下の説明では、正確
なマッチングを接頭辞Ｅで表すとともに、雑音を含むマ
ッチングを接頭辞Ｎで表すものとする。また、以下の説
明では、例証、質問、報告及びカウントを、それぞれ、
Ｗ，Ｑ，Ｒ，Ｃで表すものとする。そのため、例えば、
“ＥＷ合同問題”とは、Ｔ（Ｓ）＝Ｑとなる変換Ｔ
∈Ｔ、すなわち、点集合Ｓ，Ｑが合同である
（Ｓ≡Ｑで表す)ことを報告するように求めてい
る問題のことを示す。また、ＴＩ，ＴＲ，Ｔ
Ｔ，ＴＨ，ＴＳ，ＴＡは、それぞれ、等
長変換（isometry）、回転（rotational）、転移（tran
slational）、相似（homothetic）、類似（similitud
e、等長変換とスケーリングとを行ったもの)、アフィン
変換群空間を表すものとする。

【００７２】「合同問題」とは、一般に、２つの点集合
Ｓ，Ｑが合同であるかどうかを問うものである。な
お、以下の説明では、環境空間を強調して表したい場合
には、添え字を用いることとする。例えば、Ｓ≡_TH
Ｑは、相似空間において点集合Ｓが点集合Ｑに対
して合同であることを表す。なお、添え字が明示的に示
されていない場合には、“≡”は、“≡_TH”であるもの
とする。

【００７３】ここで、次のような合同問題を考える。
「２つのｄ次元ユークリッドｎ点集合Ｓ＝｛Ｓ₁，・
・・，Ｓ_i＝（Ｓ_i,1，・・・Ｓ_i,d），・・・，Ｓ_n｝及
びＱ＝｛Ｑ₁，・・・，Ｑ_i＝（Ｑ_i,1，・・・
Ｑ_i,d），・・・，Ｑ_n｝が与えられたとき、点集合Ｓ
は、点集合Ｑと合同であるか？すなわち、Ｓ≡
Ｑであるか？」

【００７４】この問題は、２次元空間Ｅ²及び３次元
空間Ｅ³においては、“M. D. Atkinson, An optimal
algorithm for geometrical congruence, J. Algorithm
s, 8:159-172, 1987”や“H. Alt, K. Mehlhorn, H. Wa
gener, and Emo Welzl, Congruence, similarity and s
ymmetries of geometric objects, Discrete Comput.Ge
om., 3:237-256, 1988”に記載されているように、いわ
ゆる実ＲＡＭモデルによりＯ（ｎ ｌｏｇ ｎ）時間で解
を求めることができるが、それ以外の任意の次元に対し
ては、いわゆるグラフ同型問題と同様に、解を求めるこ
とが困難である。なお、このグラフ同型問題の困難さが
なぜどのように生じるのかを特徴付けることは、“J. K
obler, U. Schoning, and J. Toran, The Graph Isomor
phism Problem:Its Structual Complexity, Birkhause
r, Boston, 1993”にて示されているように、未だに解
決されていない。

【００７５】Alt等は、上述した“H. Alt, K. Mehlhor
n, H. Wagener, and Emo Welzl, Congruence, similari
ty and symmetries of geometric objects, Discrete C
omput. Geom., 3:237-256, 1988”にて、ｄ次元の点集
合に対するＯ（ｎ^d-2 ｌｏｇｎ）時間の確定論的アルゴ
リズムについて論じている。また、最近Akutsuは、“Ta
tsuya Akutsu, On determining the congruence of poi
nt sets in d dimensions, Comput. Geom. Theory App
l., 9(4):247-256, 1998”にて、“Meijer, Cryptology
and the birthday paradox, UMAP:The Journal of Und
ergraduate Mathematics and its Applications, 17, 1
996”に示されているバースディパラドックスに基づ
く、ランダムＯ＾（ｎ^d-1/2 ｌｏｇ² ｎ）時間Ｏ＾（ｎ
^d-1/2）空間アルゴリズムを提案している。なお、Ｏ＾
（・）は、ランダム化されたアルゴリズムの処理能力を
表す。

【００７６】ここで、Ｅ^d→Ｅ^dで等長写像を表すも
のとする。すなわち、ｄ（Ｐ，Ｑ）＝ｄ（Ｔ（Ｐ），Ｔ
（Ｑ））∀Ｐ，Ｑ∈Ｅ^dである。等長写像は、剛体運
動とも称され、鏡映をともなってもよく、鏡映をともな
っていなくてもよい。任意の等長変換Ｔ∈ＴＩは、
ｄ×ｄ直交行列Ｒ_d∈ＴＲと転移部ｔ_d∈ＴＴと
に分解することができる。すなわち、Ｔ（ｘ）：＝Ｒ_d
ｘ＋ｔ_dと表すことができる。なお、ｄ×ｄ直交行列Ｒ_d
の行列式の符号によって、等長変換のキラリティが決ま
る。すなわち、ｄｅｔ（Ｒ_d）＝１のとき、その等長変
換は正則であるといい、ｄｅｔ（Ｒ_d）＝−１のとき、
その等長変換は変則であるといわれる。なお、２つの等
長変換の合成は、やはり等長変換である。例えば、滑空
鏡映は、鏡映と転移との合成であり、例えば規則的に繰
り返されたパターンを生成するのに用いられている。図
１２に等長変換の幾つかの例を示す。

【００７７】以下の説明では、正則な等長変換のみにつ
いて議論するものとする。なぜならば、変則等長変換の
場合には、まず最初に集合の１つ、例えばＳに対し
て、ｘ₁→−ｘ₁といった鏡映変換を施せばよいからであ
る。点集合Ｓの標準形は、全てのＱ≡Ｓに対し
て、Ｏ（Ｓ）＝Ｏ（Ｑ）となるオブジェクト（カテ
ゴリとも称される。）Ｏ（Ｓ）である。

【００７８】したがって、合同を検出するために行う必
要があることとしては、最初に、点集合Ｓ，Ｑの両
方の標準型Ｏ（Ｓ）及びＯ（Ｑ）を計算することで
あり、次に、これらの標準型Ｏ（Ｓ）及びＯ（Ｑ）
が等しいかどうかを調べることである。ここで、規則的
な多面体に対しては、組み合わせ標準型として、“E.Sc
hulte, Symmetry of polytopes and polyhedra, In Jac
ob E. Goodman and Joseph O'Rourke, editors, Handbo
ok of Discrete and Computational Geometry, chapter
16, pages 311-330, CRC Press LLC, Boca Raton, FL,
1997”に示されているSchlafliの記号を用いることが
できる。Schlafliの記号｛ｐ₁，・・・，ｐ_d-1｝は、規
則的な多面体の局所的構造を次のように符号化する。す
なわち、任意の（ｉ＋１）面Ｆにおいて、ｐ_iは、Ｆの
与えられた（ｉ−１）面を含むｉ面の数を表す。例え
ば、２次元の正ｐ角形は、記号｛ｐ｝の組み合わせによ
り表すことができ、対称群は、２ｐ次の二面体群であ
る。ここで、ｐ≧３のとき、超越数を取り扱う必要があ
るが、循環群Ｃ_p及びその鏡映Ｃ_p’となる。さらに、任
意のｄ次元多面体は、“J. E. Goodman and J. O'Rourk
e, editors, Handbookof Discrete and Computational
Geometry, CRC Press LLC, Boca Raton, FL,1997”に示
されているWythoffの構成法のように、一般化されたSch
lafliの記号の組み合わせにより一意に表現することが
できる。したがって、２つの点集合Ｓ，Ｑが与えら
れたときには、まず、その凸閉包の対応する一般化Schl
afli記号を計算して求め、それらが一致するかどうかを
調べる。このとき、組み合わせ標準形式が２つの点集合
Ｓ，Ｑの間で異なる場合には、結果は否である。一
方、組み合わせ標準形式が２つの点集合Ｓ，Ｑで一
致する場合には、全体のテストを行う。

【００７９】つぎに、平面上における合同の検出につい
て説明する。平面上において合同を検出する簡単な方法
は、上述した“M. D. Atkinson, An optimal algorithm
forgeometrical congruence, J. Algorithms, 8:159-1
72, 1987”に記載されているように、次式（５）及び次
式（６）をそれぞれ計算して点集合Ｓ，Ｑのそれぞ
れのセントロイドｃ_S，ｃ_Qを求め、次に、セントロイド
ｃ_Sがセントロイドｃ_Qに写像されるように転移を行う。

【００８０】

【数５】

【００８１】

【数６】

【００８２】これは、任意のアフィン変換Ｔに対して、
すなわち、剛体運動に対して、ｃ_T(S)＝Ｔ（ｃ_S）が成
立するためである。ここで、Ｓ≡Ｑである場合に
は、Ｑ＝Ｔ（Ｓ）となるような変換Ｔ∈Ｔが存在
するとともに、任意のＴ∈ＴＡに対して、ｃ_Q＝
ｃ_T(S)＝Ｔ（ｃ_S）であることから、点集合Ｓ，Ｑ
のそれぞれのセントロイドｃ_S，ｃ_Qは、互いに完全に一
致する。

【００８３】ここで、それぞれのセントロイドを中心と
した極座標（θ，ｒ）を用いて各点の座標を表すことに
する。このとき、辞書式順序に整列された極座標とマッ
チする完全循環パターンが存在する場合には、例えば
“D. E. Knuth, J. H. Morris,and V. R. Pratt, Fast
pattern matching in strings, SIAM Journal on Compu
ting, 6:323-350, 1977”に示されているMorris-Knuth-
Prattアルゴリズムを用いて直線時間軸上で求められる
ように、そのときに限って点集合Ｓは、点集合Ｑに
対して合同である。ここで循環パターンマッチングは、
長さが２ｎである文字列における長さがｎである部分文
字列パターンマッチングとして捉えることができる。

【００８４】なお、最大で２ｎ＝Ｏ（ｎ）個である複数
の等長変換が存在し得るが、それらは、Ｓ≡Ｑで
あるか或いはＳ≡Ｑではないかもしれない。これ
らの全てを列挙してその数を計数し、さらに例証を行
う。図１３に対合的回転対称の幾つかの例を示す。Ｓ
≡Ｑであるか否かを検出することは、それ程困難な
ことではないが、Ｔ（Ｓ）＝Ｑとなるような全ての
変換Ｔを列挙することは困難である。ここで、点集合
Ｓの変換群をＴ（Ｓ）＝｛Ｔ｜Ｔ（Ｓ）＝
Ｓ｝と表すものとする。なお、“H. S. M. Coxeter,
Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, New Y
ork, 2nd edition, 1969”、“H. S. M. Coxeter, Regu
lar Polytopes, Dover, New York, NY, 2nd edition, 1
973”及び“H. S.M. Coxeter, Regular Complex Polyto
pes, Cambridge University Press, Cambridge, Englan
d, 2nd edition, 1991”に示されている対称群又は鏡映
群も、Ｔ（Ｓ）＝｛Ｔ｜Ｔ（Ｓ）＝Ｓ｝と表す
ものとする。

【００８５】Atallahは、“M. J. Atallah, On symmetr
y detection, IEEE Trans. Comput., C-34:663-666, 19
85”にて、平面上の対称を検出するアルゴリズムを提示
している。また、“S. Iwanowski, Testing approximat
e symmetry in the plane isNP-hard, Theoret. Compu
t. Sci., 80:227-262, 1991”に示されているように、
点が揺動することを許容した場合には、問題はいわゆる
ＮＰ困難となることが知られている。これは、各点に対
して、点集合を合同とするような揺動を求める必要があ
ることによるものである。なお、アルゴリズムの安定性
に関する改良については、後述するものとする。

【００８６】ここで、点集合の類似性を検出するアルゴ
リズムを困難とする問題について説明する。ここで、次
のような全ての部分集合文字列のマッチングの問題を考
える。「有限のアルファベットΣ上の文字列ｓ［１．．
ｎ］及びパターンｐ［１．．ｍ］が与えられ、パターン
ｐ［１．．ｍ］が文字列ｓ［１．．ｎ］の中に循環的に
現れる場合且つそのときに限ってｏ［ｉ］＝１となるブ
ール配列を求めよ。」

【００８７】ここで、全ての部分集合文字列のマッチン
グの問題は、“Richard Cole and Ramesh Hariharan, T
ree pattern matching and subset matching in random
izedO(n log³ m)time, In Proceedings of the Twenty-
Ninth Annual ACM Symposium on Theory of Computing,
pages 66-75, El Paso, Texas, 4-6 May 1997”や“Ri
chard Cole, Ramesh Hariharan, and Piotr Indyk, Tre
e pattern matchingand subset matching in randomize
d O(n log³ m)time, In Proceedings of SODA 1999, Ja
n. 1999”に示されているように、Ｏ（ｎ ｌｏｇ³ ｍ）
時間内に解くことが可能である。

【００８８】ソートされた１次元点集合Ｓ，Ｑに対
しては、素朴なアルゴリズムを用いてＯ（ｎｍ）時間内
に解くことが可能である。Akutsuは、上述した“Tatsuy
a Akutsu, On determining the congruence of point s
ets in d dimensions, Comput. Geom. Theory Appl., 9
(4):247-256, 1998”にて、点集合Ｓが点集合Ｑに
含まれるか否かを検出するには、Ｏ＾（（ｍ／ｎ＋
ｎ²） ｐｏｌｙｌｏｇ ｎ）時間が必要であることを述
べている。また、最近では、CardozeとSchulmanは、“C
ardoze and Schulman, Pattern matching for spatial
point sets, In FOCS:IEEE Symposium on Foundations
of Computer Science (FOCS), 1988”にて、Ｏ＾（Ｎ
ｌｏｇ Ｎ ＋ ｐｏｌｙｌｏｇ Δ）アルゴリズムを提案
している。ここで、Ｎ＝ｍａｘ｛ｎ，ｍ｝であり、Δ
は、点集合Ｑの直径である。格子を符号化した無限ｄ
次元点集合として取り扱う結晶学においては、変換Ｔに
より結晶を分類することが行われており、変換は、変換
群によりラベル付けがなされる。例えば、２次元空間
Ｅ²では１７個、３次元空間Ｅ³では３２０個、４次
元空間Ｅ⁴では４７８３個の結晶学的群が存在するこ
とが知られている。

【００８９】雑音のモデルとして、中心がｐであり半径
がεである球を次式（７）により表す。

【００９０】

【数７】

【００９１】また、揺動を含む点集合を次式（８）によ
り表す。

【００９２】

【数８】

【００９３】ただし、各点Ｓ∈Ｓは、半径がεである
球の中に移動されているものとする。図１４に点集合
Ｓ及び雑音を含む点集合Ｓεを示す。ここで、点集
合の最小点間距離ｄ_min＞εである場合には、同図
（Ｂ）に示すように、点集合Ｓ内の各点を中心とする
球は、互いに素となる。このことは、後述するように、
パターンマッチングアルゴリズムを強固なものとする。

【００９４】さらに、上述した２次元空間における合同
の検出原理を３次元空間における合同の検出に拡張する
ことができる。すなわち、点集合Ｓ，Ｑの両方のセ
ントロイドを計算し、各集合に対して、それらのセント
ロイドを中心とする単位球面上に全ての点を射影する。
次に、射影された点の凸閉包を計算する。さらに、射影
された各点に対して、セントロイドからの元の距離をラ
ベルとして付加し、凸閉包の互いに隣接する点により構
成される角の頂点の時計方向の隣接リストを作成する。
そして、“J. E. Hopcroft and R. E. Tarjan, A VlogV
algorithm forisomorphism of triconnected planar g
raphs, Journal of Computer and System Sciences, 7
(3), June 1973”に示されているＴａｒｊａｎ平面グラ
フ合同アルゴリズムの変形を用いて、これらの２つの注
釈付き平面グラフが同型であるか否かをＯ（ｎ ｌｏｇ
ｎ）時間内に評価する。ここで、スケーリングを行うこ
とが可能な場合には、全ての固定次元に対して、まず最
初に、最小点間距離を“１”として、“F. P. Preparat
a and M. I. Shamos, Computational Geometry:AnIntro
duction, Springer-Verlag, New York, NY, 1985”に示
されているように、点集合Ｓ，Ｑの両方をＯ（ｎ
ｌｏｇ ｎ）時間内に規格化する。なお、次元が“３”
以上の場合には、“Sergei N. Bespamyatnikh, An effi
cient algorithm for the three-dimensional diameter
problem, In Proc. 9th ACM-SIAM Sympos. Discrete A
lgorithms, pages 137-146, 1998”に記載されているよ
うに、ｄ次元空間Ｅ^dのｎ点集合の直径をＯ_d（ｎ ｌ
ｏｇ ｎ）時間で計算する決定論的アルゴリズムは知ら
れていないことから、最小点間距離を採用する。

【００９５】また、剛体ユークリッド運動（≡_TI）では
なく、アフィン変換（≡_TA）である場合にも、時間複雑
性が同じであることをSprinzakとWermanが“J. Sprinza
k and M. Werman, Affine point matching, Pattern Re
cogn. Lett., 15:337-339, 1994”にて報告している。
これは、２次元画像から正射影（アフィン変換）による
３次元物体を認識するのに特に有用である。なお、可能
なＯ（ｎ）個の変換を全て列挙することが必要な場合に
は、他の有効なアルゴリズムを用いることが必要であ
る。Wolter等は、“Jan D. Wolter, Tony C. Woo, and
Richard A. Volz,Optimal algorithms for symmetry de
tection in two and three dimensions,Thw Visual Com
puter, 1(1):37-48, July 1985”や“Xiaoyi Jiang, Ke
ren Yu,and Horst Bunke, Detection of rotational an
d involutional symmetries andcongruity of polyhedr
a, The Visual Computer, 12(4):193-201, 1996, ISSN0
178-2789”にて、２次元及び３次元多面体の対称性の検
出方法として、最適２次時間及び線形空間アルゴリズム
を提案している。この方法は、“K. Sugihara,An nlogn
algorithm for determining the congruity of polyhe
dra, J. Comput. Syst. Sci., 29:36-47, 1984”に示さ
れている最適合同３次元多面体検出器と同様に、対称性
と合同性の両方を検出するのに用いることができる。

【００９６】さらに、より高い次元における合同の検出
は、より困難なものとなる。任意の一定次元における合
同の検出として、Alt等は、“H. Alt and L. Guibas, R
esemblance of geometric objects, In Jorg-Rudiger S
ack and Jorge Urrutia, editors, Handbook of Comput
ational Geometry, Elsevier Science Publishers B.V.
North-Holland, Amsterdam, 1998”に示しているよう
に、空間を縮小することによって、“H. Alt, K. Mehlh
orn, H. Wagener, and Emo Welzl, Congruence, simila
rity and symmetries of geometric objects, Discrete
Comput. Geom., 3:237-256, 1988”に示したＯ_d（ｎ
^d-2 ｌｏｇ ｎ）時間のアルゴリズムを得ている。実際
に、ｄ次元空間における合同の検出は、（ｄ−１）次元
空間における合同検出をｎ回行うことにより実現するこ
とができる。最近、Akutsuは、上述したように、“Tats
uya Akutsu, On determining the congruence of point
sets in d dimensions, Comput. Geom. Theory Appl.,
9(4):247-256, 1998”にて、ランダム時間及び空間ア
ルゴリズムを提案している。集合Ｓ，ＱがＳ≡
Ｑであるか否かを解く原始的な手法としては、集合
Ｓの任意の（ｄ−１）シンプレックスσ_S＝｛Ｓ₁，・
・・，Ｓ_d｝を選択し、集合Ｑへのｘ個の変換を全て
計算することである。なお、ｘは、次式（９）で表され
る。

【００９７】

【数９】

【００９８】各変換が剛体運動に対応する場合には、物
理的同一性の評価をＯ_d（ｎ ｌｏｇｎ）時間で行う。非
縮退ｄ組集合Ｓ＝（Ｓ₁，・・・，Ｓ_d）及び集合Ｑ
のｄ個の点からなる部分集合が与えられたとき、チェッ
クすべき可能な変換は、シンプレックスσ_Sの点の異な
る順列であるｄ！個存在し、これらは必ずしも剛体運動
ではない。すなわち、行列及びＲ_dは必ずしも直交では
ない。ここで、アフィン変換における全てのｉ∈｛１，
・・・，ｄ｝に対する写像Ｓ_i→Ｑ_iを与える変換を次式
（１０）により表すことにする。

【００９９】

【数１０】

【０１００】このような変換は、次式（１１）に示すよ
うに計算される。

【０１０１】

【数１１】

【０１０２】ここで、Ｒ_dを次式（１２）のように記載
すると、次式（１３）を得る。

【０１０３】

【数１２】

【０１０４】

【数１３】

【０１０５】上式（１３）におけるＱ_i,jは、点Ｑ_iのｊ
番目の成分である。

【０１０６】このとき、集合Ｓ，Ｑのセントロイド
はマッチすることから、（ｄ−１）組について、すなわ
ち、（ｄ−２）個のシンプレックスを考慮すればよい。
したがって、原始的な方法の線形空間を用いた計算時間
は、Ｏ_d（ｎ^d ｌｏｇ ｎ）である。なお、アフィン変換
の場合にも、同様に合同が検出される。ここで、点集合
へのｄ次元合同演算子に対する、Ｏ（ｎ^floor[d/2]）空
間を用いた時間複雑性がＯ（ｎ^{floor[(d+1)/2]} ｌｏｇ
ｎ）であるような簡単な決定論アルゴリズムを提案す
る。ここで、ｆｌｏｏｒ［Ａ］は、Ａを下回らない最小
の整数である。この方法は、集合Ｓ，Ｑとこれらの
凸閉包ｃｏｎｖ（Ｓ），ｃｏｎｖ（Ｑ）との関係
が、次式（１４）により表されるという原理に基づいて
いる。

【０１０７】

【数１４】

【０１０８】これは、アフィン変換Ｔ∈ＴＡに対し
ては、次式（１５）が成立することによる。

【０１０９】

【数１５】

【０１１０】ここで、次式（１６）及び次式（１７）の
ように表すものとする。

【０１１１】

【数１６】

【０１１２】

【数１７】

【０１１３】画像処理装置１０は、図１５及び図１６に
示す一連の工程を行うことによって、点集合Ｓ，Ｑ
が合同であるか否かを検出する。

【０１１４】まず、画像処理装置１０は、図１５に示す
ように、ステップＳ２１において、ｄ次元ｎ点集合
Ｓ，Ｑを入力し、これらの点集合Ｓ，Ｑの各点
を辞書式順序に整列する。

【０１１５】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
２２において、Ｏ_d（ｎ ｌｏｇ ｎ）時間において点集
合Ｓ，Ｑの全ての最近接点対が一致する距離を有す
るか否かを判別する。すなわち、画像処理装置１０は、
各点Ｓ∈Ｓに対して、次式（１８）及び次式（１９）
を計算するとともに、各点Ｑ∈Ｑに対して、次式（２
０）及び次式（２１）を計算する。なお、最近接点対に
ついては、“P. M. Vaidya, An O(nlogn) algorithm fo
r the all-nearest-neighbors problem, Discrete Comp
ut. Geom., 4:101-115, 1989”に記載されている。

【０１１６】

【数１８】

【０１１７】

【数１９】

【０１１８】

【数２０】

【０１１９】

【数２１】

【０１２０】ここで、点集合Ｓ，Ｑの全ての最近接
点対が一致する距離を有さない場合には、点集合Ｓ，
Ｑは合同ではなく、画像処理装置１０は、図１６中ス
テップＳ３９へと処理を移行して点集合Ｓ，Ｑが合
同でないことを報告し、一連の処理を終了する。

【０１２１】一方、点集合Ｓ，Ｑの全ての最近接点
対が一致する距離を有する場合には、画像処理装置１０
は、図１５中ステップＳ２３へと処理を移行し、点集合
Ｓ，Ｑが多重集合であるため、これらの要素の全て
の濃度を調べる必要があることから、ステップＳ２３に
おいて、次式（２２）及び次式（２３）とし、全てのｌ
∈ｎｎ（Ｓ）∪ｎｎ（Ｑ）に対して、｜ＮＮ
_l（Ｓ）｜＝｜ＮＮ_l（Ｑ）｜であるか否かを判別す
る。すなわち、画像処理装置１０は、点の多重度を検出
し、その後別個の点集合を取り扱うこととなる。

【０１２２】

【数２２】

【０１２３】

【数２３】

【０１２４】ここで、全てのｌ∈ｎｎ（Ｓ）∪ｎｎ
（Ｑ）に対して、｜ＮＮ_l（Ｓ）｜＝｜ＮＮ
_l（Ｑ）｜でない場合には、点集合Ｓ，Ｑは合同
ではなく、画像処理装置１０は、図１６中ステップＳ３
９へと処理を移行して点集合Ｓ，Ｑが合同でないこ
とを報告し、一連の処理を終了する。

【０１２５】一方、全てのｌ∈ｎｎ（Ｓ）∪ｎｎ
（Ｑ）に対して、｜ＮＮ_l（Ｓ）｜＝｜ＮＮ
_l（Ｑ）｜である場合には、画像処理装置１０は、図
１５中ステップＳ２４へと処理を移行し、厳密に“０”
よりも大きい最小点間距離をＯ_d（ｎ ｌｏｇ ｎ）時間
に計算することによって、点集合Ｓ，Ｑの両方を正
規化する。そのため、画像処理装置１０は、“J. L. Be
ntley and M. I. Shamos, Divide-and-conquer in mult
idimensional space, In Proc. 8th Annu. ACM Sympos.
Theory Comput. pages 220-230, 1976”や“F. P. Pre
parata and M. I. Shamos,Computational Geometry:An
Introduction, Springer-Verlag, New York, NY,1985”
を参照してもわかるように、≡_TSの代わりに≡_TIを用い
ることによって、均一なズーム値を得ることができる。
均一でないズーム値は、最小密閉直交ボックスを計算す
ることにより求めることができるが、この計算は困難で
ある。

【０１２６】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
２５において、正規化された集合のセントロイドを計算
し、これらのセントロイド同士を重ねる。すなわち、画
像処理装置１０は、ｃ_S＝ｃ_Qとし、変換ｔ_dをｃ_Q−ｃ_S
に固定する。

【０１２７】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
２６において、セントロイドｃ_S，ｃ_Qのそれぞれからの
各点の距離ｆ_S（Ｓ_i），ｆ_Q（Ｑ_i）を、それぞれ、次式
（２４）及び次式（２５）により求める。

【０１２８】

【数２４】

【０１２９】

【数２５】

【０１３０】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
２７において、関連する半径関数Ｆ_S，Ｆ_Q，Ｆ
_S（ｒ），Ｆ_Q（ｒ）を、それぞれ、次式（２６）乃至次
式（２９）により求める。

【０１３１】

【数２６】

【０１３２】

【数２７】

【０１３３】

【数２８】

【０１３４】

【数２９】

【０１３５】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
２８において、スペクトルが全てのｌに対して｜Ｆ
_Q（ｌ）｜＝｜Ｆ_S（ｌ）｜であるか否かを判別する。

【０１３６】ここで、スペクトルが全てのｌに対して｜
Ｆ_Q（ｌ）｜≠｜Ｆ_S（ｌ）｜である場合には、点集合
Ｓ，Ｑは合同ではない、すなわち、Ｏ_d（ｎ ｌｏｇ
ｎ）時間であり、画像処理装置１０は、図１６中ステ
ップＳ３９へと処理を移行して点集合Ｓ，Ｑが合同
でないことを報告し、一連の処理を終了する。

【０１３７】一方、スペクトルが全てのｌに対して｜Ｆ
_Q（ｌ）｜＝｜Ｆ_S（ｌ）｜である場合には、画像処理装
置１０は、図１６に示すように、ステップＳ２９におい
て、Ｆ_S ⁺，Ｆ_Q ⁺，Ｆ_S ^-，Ｆ_Q ^-を、それぞれ、次式（３
０）乃至次式（３３）により求める。

【０１３８】

【数３０】

【０１３９】

【数３１】

【０１４０】

【数３２】

【０１４１】

【数３３】

【０１４２】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
３０において、｜Ｆ_S ^-｜≧ｄ−１であるか否かを判別す
る。

【０１４３】ここで、｜Ｆ_S ^-｜≧ｄ−１である場合に
は、画像処理装置１０は、ステップＳ３１において、少
なくともｄ−１個の点を有するＦ_S ^-の最小個数の層を選
択し、最大Ｏ（（２ｄ−３）！）＝Ｏ_d（ｌ）の変換を
調べる。なお、画像処理装置１０は、Ｆ_Q ^-についても同
様の処理を行う。

【０１４４】一方、｜Ｆ_S ^-｜≧ｄ−１でない場合には、
画像処理装置１０は、ステップＳ３２へと処理を移行
し、ｒ’を次式（３４）により求める。

【０１４５】

【数３４】

【０１４６】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
３３において、Ｑ’，Ｓ’を、それぞれ、次式（３
５）及び次式（３６）により求める。

【０１４７】

【数３５】

【０１４８】

【数３６】

【０１４９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
３４において、“H. P. Lenhof andM. Smid, Sequentia
l and parallel algorithms for the k closest pairs
problem, Internat. J. Comput. Geom. Appl., 5:273-2
88, 1995”に記載されているように、Ｓ’，Ｑ’の
幾何学的グラフを計算し、これらが同一の数の反復距離
を有しているか否か、すなわち、ｌ∈Ｄ（Ｓ’）∪Ｄ
（Ｑ’）のｌに対して、｜Ｄ_S'（ｌ）｜＝｜Ｄ
_Q'（ｌ）｜が成立するか否かをＳ’，Ｑ’の全ての
距離を整列された順番に列挙することによって、Ｏ（ｎ
²）時間内に判別する。

【０１５０】ここで、Ｓ’，Ｑ’の幾何学的グラフ
が同一の数の反復距離を有していない場合には、点集合
Ｓ，Ｑは合同ではなく、画像処理装置１０は、ステ
ップＳ３９へと処理を移行して点集合Ｓ，Ｑが合同
でないことを報告し、一連の処理を終了する。

【０１５１】一方、Ｓ’，Ｑ’の幾何学的グラフが
同一の数の反復距離を有している場合には、画像処理装
置１０は、ステップＳ３５において、“R. Seidel, Con
structing higher-dimensional convex hulls at logar
ithmic cost per face, In Proc. 18th Annu. ACM Symp
os. Theory Comput., pages 404-413, 1986”に記載さ
れているように、Ｓ’の凸閉包の（ｄ−２）面Ｆ、す
なわち、稜線を線形プログラム及びＱ’の凸閉包ｃｏ
ｎｖ（Ｑ’）を用いて算出する。

【０１５２】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
３６において、稜線Ｆを、一般にｄ−１個の点を定義す
る（ｄ−２）面である凸閉包ｃｏｎｖ（Ｑ’）の他の
いずれかの稜線に対してマッチさせる。各稜線対は、最
大（ｄ−１）！個の剛体運動を定義する。

【０１５３】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
３７において、与えられた剛体運動Ｔ∈Ｔに対して、
Ｔ（Ｓ）＝Ｑとなっているか否かを判別する。

【０１５４】ここで、与えられた剛体運動Ｔ∈Ｔに対
して、Ｔ（Ｓ）＝Ｑとなっていない場合には、点集
合Ｓ，Ｑは合同ではなく、画像処理装置１０は、ス
テップＳ３９へと処理を移行して点集合Ｓ，Ｑが合
同でないことを報告し、一連の処理を終了する。

【０１５５】一方、与えられた剛体運動Ｔ∈Ｔに対し
て、Ｔ（Ｓ）＝Ｑとなっている場合には、画像処理
装置１０は、ステップＳ３８において、点集合Ｓ，
Ｑは合同であることを報告し、一連の処理を終了す
る。

【０１５６】なお、画像処理装置１０は、剛体運動ばか
りではなく、アフィン変換についても同様に取り扱うこ
とが可能である。

【０１５７】このようにして、画像処理装置１０は、点
集合Ｓ，Ｑが合同であるか否かを検出することがで
きる。画像処理装置１０は、例えば、図１７（Ａ）に示
すように、同一の半径を有する円上に単一の点のみを有
する点集合Ｓ，Ｑも、同図（Ｂ）に示すように、同
一の半径を有する円上に複数の点を有する点集合Ｓ，
Ｑが合同であることを検出することができる。画像処
理装置１０は、このようにして合同を検出することによ
って、例えば、画像データ中の任意のオブジェクトを、
異なるソースからの画像データ中の任意のオブジェクト
に対して、同定することができる。

【０１５８】ここで、点集合Ｓ’，Ｑ’のいずれも
ｃ_S＝ｃ_Qを中心とする球であることから、点は非縮退位
置にあることに注意すべきである。このことによって、
画像処理装置１０においては、凸閉包アルゴリズムをよ
り簡単なものとすることができる。このアルゴリズムの
時間複雑性は、凸閉包ｃｏｎｖ（Ｑ’）のファセット
の数であるｈと、これらの全てのファセットを算出する
際の時間複雑性であるＣ（ｎ，ｈ）とを用いてＯ（ｈｎ
ｌｏｇ ｎ ＋ Ｃ（ｎ，ｈ））と表される。例えば、
“Bernard Chazelle, An optimal convex hull algorit
hm in any fixeddimension, Discrete Comput. Geom.,
10:377-409, 1993”に示されているChazelleの最適アル
ゴリズムを採用し、Ｏ（ｎ^floor[d/2]）空間を用いる
と、Ｏ（ｎ^{floor[(d+1)/2]} ｌｏｇ ｎ）時間アルゴリズ
ムが得られる。なお、“R. Seidel,Constructing highe
r-dimensional convex hulls at logarithmic cost per
face, In Proc. 18th Annu. ACM Sympos. Theory Comp
ut., pages 404-413, 1986”に記載されているSeidelの
殻化法を用いると、リニアなメモリ空間を用いることが
可能となる。この結果は、“E. Schulte, Symmetry of
polytopes and polyhedra, In Jacob E. Goodman and J
oseph O'Rourke, editors, Handbook of Discrete and
Computational Geometry, chapter 16, pages 311-330,
CRC Press LLC, Boca Raton, FL, 1997”に記載されて
いるように、合同変換の最大数が多面体の対称性と関連
していることをも示している。より正確には、このアル
ゴリズムの計算時間は、１つの変換をチェックするのに
必要な実行時間であるＴ_c（ｎ）と、点集合Ｓ，Ｑ
の（ｄ−１）組により定義される剛体運動の数であるｔ
とを用いて、Ｏ（ｎ^floor[d/2]＋ｔＴ_c（ｎ））時間と
表される。なお、画像処理装置１０は、これらの組によ
り予め定義されるシンプレックスの体積の一致性につい
てもチェックを行う。

【０１５９】点の揺動の程度が、集合Ｓの任意の２点
間及び集合Ｑの任意の２点間の最近接距離と比較して
小さい場合には、図１５及び図１６に示したアルゴリズ
ムは強力である。すなわち、半径方向の分解を考える代
わりに、互いに素である対の薄い球状層を考えればよ
く、画像処理装置１０は、次式（３７）として処理す
る。なお、白色雑音に対するセントロイドの変化は、ε
と比較して小さい。

【０１６０】

【数３７】

【０１６１】次式（３８）により与えられる別個の点の
点間距離の最小値に対する点間距離の最大値の比Δ_Qと
して定義することができる点集合Ｑの直径が、例え
ば、最もよい場合でＯ（ｎ^1/d）により制限されている
場合には、画像処理装置１０は、“P. Indyk, R. Motwa
ni, and S. Venkatasubramanian, Geometric matchingu
nder noise:Combinatorial bounds and algorithms, In
SODA:Symposium of Datastructures and Algorithms 1
999”にて、最小距離を“１”に固定する提案がなされ
ているように、より良い結果を得ることができる。

【０１６２】

【数３８】

【０１６３】実際に、画像処理装置１０は、標準的なバ
ケット法を用いることによって、大きさがＯ（Δ^d）の
バケット内への点集合Ｓ，Ｑの前処理を、Ｏ（Δ^d
＋ｄｎ）時間内に行うことができる。各バケットの側面
は、点集合Ｑの最小点間距離をｄ_min（Ｑ）で表す
とき、（ｄ_min（Ｑ）−２ε）／√ｄを越えることは
ない。したがって、各バケットは、最大で点集合Ｑの
１個の点を有する。そして、画像処理装置１０は、セン
トロイドが一致していることから、（ｄ−１）個の点の
点集合Ｓの選択された（ｄ−２）シンプレックスに対
して、次数がＯ_d（１）の代数的オブジェクトのバケッ
ト化された点集合Ｑの点に関するＯ（ｎｄ）の幾何学
的問い合わせを、後述するように、総費用Ｏ_d（ｎΔ
^d(d-1)/2）で行う。なお、代数的オブジェクトは、点集
合Ｑのシンプレックスについても求める。１度基準点
が選択されると、シンプレックスσ∈Ｓの各点は、ｄ
個の球又はカップの共通部分に属する。画像処理装置１
０は、点集合Ｑの各（ｄ−２）シンプレックスに対し
て、剛体変換の下での最大（ｄ−１）！個のシンプレッ
クスマッチングを計算し、マッチングしているものがあ
るかどうかをＯ（ｄｎ）時間内に調べる。このアルゴリ
ズムの総費用は、Ｏ_d（Δ^d＋ｍｉｎ｛λ（ｄ，ｄ−２，
ｎ），ｎΔ^d(d-1)/2｝Ｔ_c（ｎ，ｍ））である。ただ
し、λ（ｄ，ｄ−２，ｎ）は、“T. Akutsu, H. Tamak
i, and T. Tokuyama, Distribution of distances and
triangles in a point set and algorithms for comput
ing the largestcommon point set, Discrete and Comp
utational Geometry, pages 207-331, 1998”にて示さ
れている記号であり、ｄ次元ｎ点集合における（ｄ−
２）シンプレックスの合同複写の最大個数である。ここ
で、明らかにλ（ｄ，ｄ−２，ｎ）＝Ｏ（ｎ^d-1）であ
る。したがって、このアルゴリズムにおいては、稠密な
点集合に対する実行時間は、Ｏ_d（ｎ^(d+3)/2）となる。

【０１６４】なお、Δがｎ^1/dで大きくなっていくかど
うかは、議論の余地があり、実際には、不一致理論に関
係付けられる。一方、Δがｎと関係付けがなされていな
い場合には、点集合の“形状”又は主軸を、合同の検出
に用いることができる可能性がある。また、２つの凸で
ある層Ｓ’，Ｑ’が点集合Ｓ，Ｑから選択され
た場合には、画像処理装置１０は、Ｓ^d-1における合
同を検出する必要がある。これは、少なくとも１／
２^d、すなわち、マッチングポイントの割合に等しい密
度を有する稠密な［０，４π］^d-1の特別な部分集合の
マッチングを検出することにより可能である。より正確
には、画像処理装置１０は、２^dｎの点集合の部分集合
であるｎ点の集合を求める。

【０１６５】つぎに、ｄ次元空間Ｅ^dの点集合に対す
る対称性検出アルゴリズムについて説明する。上述して
きた合同の検出に用いるアルゴリズムは、点集合の対称
性を効率よく求めるための中核となるものである。ここ
では、Ｔ（Ｓ）＝Ｓとなる全ての変換Ｔ（Ｓ）を
列挙することを考える。

【０１６６】画像処理装置１０は、図１８に示すような
一連の工程を経ることによって、２次元の点集合Ｓの
対称性を検出する。

【０１６７】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ４１において、点集合Ｓのセントロ
イドｃ_Sを算出する。セントロイドｃ_Sは、例えば２次元
の点集合Ｓ＝｛ｐ_i＝（ｘ_i，ｙ_i）｝（ｎ＝１，・・
・，ｎ）を入力した場合、セントロイドｃ_Sは、次式
（３９）により求められる。画像処理装置１０は、Ｔ
（Ｓ）に対して恒等写像である変換Ｉｄを追加する。

【０１６８】

【数３９】

【０１６９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
４２において、セントロイドｃ_Sからの各点の距離ｆ
_S（Ｓ_i）を上式（２４）により求める。

【０１７０】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
４３において、関連する半径関数Ｆ_S，Ｆ_S（ｒ）を、そ
れぞれ、上式（２６）及び上式（２８）により求める。

【０１７１】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
４４において、Ｆ_S ⁺，Ｆ_S ^-を、それぞれ、上式（３０）
及び上式（３２）により求める。

【０１７２】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
４５において、｜Ｆ_S ^-｜≧１であるか否かを判別する。

【０１７３】ここで、｜Ｆ_S ^-｜≧１である場合には、画
像処理装置１０は、ステップＳ４６において、ｐ∈Ｆ_S ^-
である点ｐを選択し、ステップＳ４７において、選択さ
れた点ｐにおいてｐ⊂Ｓである軸が対称であるか否か
を判別する。

【０１７４】ここで、ｐ⊂Ｓである軸が対称である場
合には、画像処理装置１０は、ステップＳ４８におい
て、Ｔ（Ｓ）＝｛対称軸（ｐ⊂Ｓ），Ｉｄ｝を報告
し、一連の処理を終了する。

【０１７５】一方、ｐ⊂Ｓである軸が対称でない場合
には、画像処理装置１０は、ステップＳ４９において、
Ｔ（Ｓ）＝Ｉｄ、すなわち同一であることを報告し、
一連の処理を終了する。

【０１７６】また、ステップＳ４５において、｜Ｆ_S ^-｜
≧１でない場合には、画像処理装置１０は、ステップＳ
５０において、各Ｓ_i∈Ｆ_S ⁺に対して、その凸閉包ｃ
ｏｎｖ（Ｓ_i）を計算し、ステップＳ５１において、
凸閉包ｃｏｎｖ（Ｓ_i）を用いて全ての変換Ｔ
（Ｓ_i）＝｛Ｔ｜Ｔ（Ｓ_i）＝Ｓ_i｝を列挙する。

【０１７７】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
５２において、全ての変換集合の共通部分、すなわち論
理積を次式（４０）により計算する。

【０１７８】

【数４０】

【０１７９】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
５３において、Ｔ’（Ｓ）＝Ｔ（Ｓ）を報告し、一
連の処理を終了する。

【０１８０】このようにして、画像処理装置１０は、２
次元の点集合Ｓの対称性を検出することができる。

【０１８１】また、画像処理装置１０は、図１９に示す
ような一連の工程を経ることによって、ｄ次元の点集合
Ｓの対称性を検出する。

【０１８２】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ６１において、点集合Ｓのセントロ
イドｃ_Sを算出する。画像処理装置１０は、Ｔ（Ｓ）
に対して恒等写像である変換Ｉｄを追加する。

【０１８３】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
６２において、セントロイドｃ_Sからの各点の距離ｆ
_S（Ｓ_i）を上式（２４）により求める。

【０１８４】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
６３において、関連する半径関数Ｆ_S，Ｆ_S（ｒ）を、そ
れぞれ、上式（２６）及び上式（２８）により求める。

【０１８５】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
６４において、Ｆ_S ⁺，Ｆ_S ^-を、それぞれ、上式（３０）
及び上式（３２）により求める。

【０１８６】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
６５において、｜Ｆ_S ^-｜≧ｄ−１であるか否かを判別す
る。

【０１８７】ここで、｜Ｆ_S ^-｜≧ｄ−１である場合に
は、画像処理装置１０は、ステップＳ６６において、少
なくともｄ−１個、多くとも２ｄ−３個の点を有するＦ
_S ^-の層の最小値を選択する。

【０１８８】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
６７において、最大Ｏ（（２ｄ−３）！）の変換を調
べ、ステップＳ６８において、Ｔ（Ｓ）を報告し、一
連の処理を終了する。

【０１８９】一方、ステップＳ６５において、｜Ｆ_S ^-｜
≧ｄ−１でない場合には、画像処理装置１０は、ステッ
プＳ６９において、各球状点集合Ｓ_i∈Ｆ_S ⁺に対し
て、その凸閉包ｃｏｎｖ（Ｓ_i）を計算し、ステップ
Ｓ７０において、対称演算アルゴリズムを凸球面体に対
して適用することによって、全ての変換Ｔ（Ｓ_i）＝
｛Ｔ｜Ｔ（Ｓ_i）＝Ｓ_i｝を列挙する。

【０１９０】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
７１において、全ての変換集合の共通部分、すなわち論
理積を上式（４０）により計算する。

【０１９１】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
７２において、Ｔ（Ｆ_S ^-）＝Ｆ_S ^-となるものを変換Ｔの
中から選択する。

【０１９２】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
６８において、Ｔ（Ｓ）＝｛Ｔ∈Ｔ’（Ｓ） ｓ．
ｔ． Ｔ（Ｆ_S ^-）＝Ｆ_S ^-｝を報告し、一連の処理を終了
する。

【０１９３】このようにして、画像処理装置１０は、ｄ
次元の点集合Ｓの対称性を検出することができる。

【０１９４】画像処理装置１０は、以上のようにして対
称性を検出することによって、検出した対称性に基づい
て、データを圧縮することができる。

【０１９５】これらのアルゴリズムの時間複雑性は、同
心ｎ点集合の合同を検出する際の時間複雑性であるＴ_d
（ｎ）を用いて、Ｏ（Ｔ_d（ｎ） ｌｏｇ ｎ）と表され
る。ここで、全ての変換Ｔ∈Ｔ（Ｓ）について調べ
る必要はないことから、画像処理装置１０は、チェック
時間を節約することができる。

【０１９６】ところで、これらのアルゴリズムは、計算
に実ＲＡＭモデルを用いているために、上述したよう
に、大きな雑音に対する問題として知られているＮＰ困
難性をともなうといった雑音に対する許容性が低いこと
がある。しかしながら、画像処理装置１０は、次式（４
１）とするとき、Ｔ（Ｓ）＝Ｑであるかを判別する
際に、最大Ｄ_min／２まで雑音を許容することができ
る。また、アルゴリズムの費用が直交領域問い合わせア
ルゴリズム係数だけ大きくなるものの、画像処理装置１
０は、次式（４２）とするとき、これらのアルゴリズム
をε≦ｄ_min／２√ｄの雑音に対してさらに信頼性の高
いものとすることができる。さらに、画像処理装置１０
は、次式（４３）により表される全てのεに対するアル
ゴリズムの頑強性を、アルゴリズムに係数Ｏ（ｄ×ｄ
！）を積算することによりチェックすることもできる。
このとき、画像処理装置１０は、ｄ！個のマッチング点
の中で、最も近いものを選択してマッチング点のチェッ
クを行う。なお、ε≦ｄ_min／２の精度を得たい場合に
は、高次元における最も近い隣接点を正確に計算する必
要がある。

【０１９７】

【数４１】

【０１９８】

【数４２】

【０１９９】

【数４３】

【０２００】画像処理装置１０は、上述した“P. M. Va
idya, An O(nlogn) algorithm forthe all-nearest-nei
ghbors problem, Discrete Comput. Geom., 4:101-115,
1989”に記載されている最近接点アルゴリズムに基づ
いて、奇数次元に対して、同一の時間複雑性を有する類
似のアルゴリズムを設計することができる。

【０２０１】このとき、画像処理装置１０は、点集合
Ｓ，Ｑの最近傍グラフｎｎ（Ｓ），ｎｎ（Ｑ），Ｎ
Ｎ（Ｓ），ＮＮ（Ｑ）を、それぞれ、上式（１８）乃至
次式（２１）により計算した後、ｎｎ（Ｓ），ＮＮ_l
（Ｓ）を、それぞれ、上式（２２）及び上式（２３）
としたとき、全てのｌ∈ｎｎ（Ｓ）∪ｎｎ（Ｑ）に
対して、｜ＮＮ_l（Ｓ）｜＝｜ＮＮ_l（Ｑ）｜である
か否かを判別する。すなわち、画像処理装置１０は、点
の多重度を検出し、その後別個の点集合を取り扱うこと
となる。

【０２０２】ここで、全てのｌ∈ｎｎ（Ｓ）∪ｎｎ
（Ｑ）に対して、｜ＮＮ_l（Ｓ）｜＝｜ＮＮ
_l（Ｑ）｜でない場合には、点集合Ｓ，Ｑは合同
ではない。点Ｓ∈Ｓは、制約されてはいるがｋ_d≧２^d
である点集合Ｓの他の点に対して、ｋ_d＝Ｏ_d（１）＝
｜ＮＮ（Ｓ）｜の最近接点でのみあり得る。ｎｎ
（Ｓ）にＯ_kd（１）個の別個の距離が存在する場合に
は、画像処理装置１０は、Ｏ_d（Ｔ_c（ｎ））において合
同のチェックを行う。また、ｎｎ（Ｓ）にＯ_kd（１）
個の別個の距離が存在しない場合には、距離の値ｌが存
在する。この距離の値ｌは、頻繁に反復し、すなわち、
ｎ≫ｄのときΩ（ｎ）となる。

【０２０３】続いて、画像処理装置１０は、この距離の
値ｌを有するｃｅｉｌ［（ｄ−１）／２］個の完全にマ
ッチングするエッジを選択した後、エッジ値ｌを有し、
サイズがｃｅｉｌ［（ｄ−１）／２］である点集合Ｑ
の完全にマッチする可能な組み合わせの全てを調べる。
このとき、画像処理装置１０は、変換を計算するため
に、セントロイドも追加している。ここで、ｃｅｉｌ
［Ａ］は、Ａを越えない最大の整数である。

【０２０４】このアルゴリズムの時間複雑性は、Ｏ（ｎ
^{ceil[(d-1)/2]}Ｔ_c（ｎ））＝Ｏ（ｎ^{ceil[(d+1)/2]} ｌｏ
ｇ ｎ）となる。

【０２０５】なお、画像処理装置１０は、上述したバケ
ッティング法を同様にして適用することも可能である。
アルゴリズムの実行時間は、２次関数であることから、
画像処理装置１０は、Ｏ（ｎ²）時間内に全てのＮＮ’
を計算することができる。

【０２０６】つぎに、厳密な自己類似性に関する説明を
行う。Ｔ（Ｑ）＝ＱとなるようなＴ≠Ｉｄが存在す
る場合には、そのときに限って、集合Ｑは自己類似性
があるという。また、集合Ｓから集合Ｓ自身への異
なるｒ個の写像が存在する場合には、そのときに限っ
て、集合Ｓはｒ重の類似性があるという。ｎ又はｎ−
１がｐで割り切れる場合には、２ｐの類似性を有する平
面点集合Ｓが存在し、それぞれ、図２０に示すよう
に、２ｎ／ｐ又は２（ｎ−１）／ｐの類似性がある。さ
らに、鏡映性が存在するために、任意のｎに対して、２
重の類似性を有する集合が存在する。ここで、与えられ
た整数ｎに対して、集合Ｓがｒ重の類似性を有するよ
うなｒの値を求めることや、与えられたｎに対して、ｒ
重の類似性を有するｎ点の集合を作成することが、１つ
の興味をひく問題となる。また、他の興味をひく問題と
しては、環境空間とも称される変換Ｔの空間におい
て、特徴付けを行い、与えられた整数ｒ及びｎに対し
て、ｒ重の類似性を有する別個の点からなるｎ点の集合
が存在するか否かを答えることがある。さらに、ｒ重の
類似性を有するｎ点集合は、大きなｒに対しては必然的
に同心球点となることにも注意する必要がある。Zabrod
sky等は、“Hagit Zabrodsky, Shmuel Peleg, and Davi
d Avnir, Symmetry as a continuous feature, Pattern
Analysis and Machine Intelligence, August 93”に
て、入力点の揺動を最小にすることによって、対称性の
連続指標を導入している。この連続指標は、合同検出ア
ルゴリズムの強固性の指標としても用いることが可能な
ものである。

【０２０７】次表１乃至次表３に、幾何学的合同問題に
おいて知られている結果をまとめて示す。また、近似的
パターンマッチングについての参考文献についても示し
ている。なお、近似係数は、記号^*で表される雑音パラ
メータと相互作用することに注意が必要である。

【０２０８】

【表１】

【０２０９】

【表２】

【０２１０】

【表３】

【０２１１】近似アルゴリズムにおける問題は、“P.
J. Heffernan and S. Schirra, Approximate decision
algorithms for point set congruence, Comput. Geom.
Theory Appl., 4:137-156, 1994”、“M. T. Goodric
h, Joseph S. B. Mitchell, and M. W. Orletsky, Prac
tical methods for approximate geometric pattern ma
tching under rigid motion, In Proc. 10th Annu. ACM
Sympos, Comput. Geom., pages 103-112, 1994”又は
“A. Efrat, Finding approximate matching of points
and segments under translation, Unpublished manus
cript, 1995”を参照してもわかるように、曖昧さの程
度によって、合同が存在するか否かの問いに対して、変
換を正しく報告しないことがあることである。これは、
問題のモデル化が簡略すぎるために生じる。ここで、様
々なランダム化アルゴリズムの中で、“P. Indyk, R. M
otwani, and S. Venkatasubramanian, Geometric match
ing under noise:Combinatorial bounds and algorithm
s, In SODA:Symposium of Datastructures and Algorit
hms 1999”に示されているように、変換が存在するにも
かかわらず、変換を報告しないようなアルゴリズムであ
る間違った否定と、“Cardoze and Schulman, Pattern
matching for spatial point sets, In FOCS:IEEE Symp
osium on Foundations of Computer Science (FOCS), 1
988”に示されているように、何らかの問題還元のため
に間違った変換を報告するアルゴリズムである間違った
肯定とを区別することにする。後者の場合には、報告さ
れた変換が正しいものであるか否かをチェックするため
に、より長い時間が必要となる。

【０２１２】定理１：Ｓ及びＱをｄ次元のｎ点集合
であるとする。このとき、Ｓ≡Ｑであるか否かの
検出をＯ（ｎ^{floor[(d+1)/2]} ｌｏｇ ｎ）時間内に確定
的に行うことができる。

【０２１３】“J. -D. Boissonnat and M. Yvinec, Alg
orithmic geometry, Cambridge University Press, UK,
1998”には、ｄ次元球Ｓ^d-1上に最大の多面体が存在
することが示されている。

【０２１４】ここで、興味ある問題としては、自己類似
性に次式（４４）のように関係付けられた関数Ｆ
_S（ｋ，ε）のスペクトルを調べることがある。

【０２１５】

【数４４】

【０２１６】ただし、上式（４４）において、Ｓεは
次式（４５）のように表される。

【０２１７】

【数４５】

【０２１８】このスペクトルは、幾何学的パターンマッ
チングアルゴリズムの雑音許容性と実行時間との両方に
関与する。ここで、ｆ_S（ｋ，ε）＝｜Ｆ_S（ｋ，ε）｜
とする。特に、入力が信頼できるものであると見なせる
場合、すなわち、ε＝０であると見なせる場合には、Ｆ
_S（ｋ，０）＝Ｆ_S（ｋ）と記すものとする。ｆ_S（ｎ）
＝ｒとなるようなｎ点集合Ｓが存在する場合且つその
ときに限って、ｎ点集合は、ｒ重の類似性を有する。

【０２１９】さらに、自然な拡張として次式（４６）に
示す定義を行う。

【０２２０】

【数４６】

【０２２１】また、その濃度関数を次式（４７）により
表す。

【０２２２】

【数４７】

【０２２３】これは、Akutsu等により“T. Akutsu, H.
Tamaki, and T. Tokuyama, Distribution of distances
and triangles in a point set and algorithms for c
omputing the largest common point set, Discrete an
d Computational Geometry,pages 207-331, 1998”にて
定義された次式（４８）に示す距離の「内積」の概念と
関連している。

【０２２４】

【数４８】

【０２２５】ここで例として、次式（４９）とする。

【０２２６】

【数４９】

【０２２７】ただし、上式（４９）において、その濃度
関数は、次式（５０）により表され、Ｃ（・）は、例え
ば、ズーム範囲、表面の制約又はマッチの直径といった
非組み合わせパラメータに依存する制約条件である。

【０２２８】

【数５０】

【０２２９】このようにすることによって、マッチング
の組み合わせに対してばかりではなく、数値に対しても
制約を課すことができるようになる。例えば、視覚シス
テムにおいては、角度が−３０゜〜＋３０゜の範囲で且
つズームが１／４〜４の範囲であるようなもののみの変
換を報告するようにするのが望ましい。また、Ｃ（）を
満たす全ての変換を、例えば（θ，ズーム）のように辞
書編集順に報告するようにすることが望まれる。これを
制約付きパターンマッチングと称する。

【０２３０】つぎに、集合Ｓが集合Ｑの部分集合と
合同であるか否かの検出について説明する。ここでは、
上述してきた「合同問題」の一般化を行う。「部分集合
合同問題」は、以下のように定義される。すなわち、
「部分集合合同問題」は、「２つの点集合Ｓ及びＱ
が与えられたとき、Ｓ≡Ｑ’となるような点集合
Ｑの部分集合Ｑ’を求め、それを数え、その１つを
示し、その全てを報告する。」ことである。例えば、図
２１（Ａ）に示すように、ある自動車を象った画像等か
ら角検出プログラムにより特徴が抽出されて得られる点
集合Ｓと、同図（Ｂ）に示すように、点集合Ｓの複
製が３つ含まれるあるシーンを示す点集合Ｑとが与え
られた場合、点集合Ｑから点集合Ｓを探索すること
である。

【０２３１】束縛されていないｄ次元において、この幾
何学的問題は、“Tatsuya Akutsu,On determining the
congruence of point sets in d dimensions, Comput.
Geom. Theory Appl., 9(4):247-256, 1998”に記載され
ているように、部分グラフ合同に還元することによりＮ
Ｐ完全となることが示されている。

【０２３２】ここで、｜Ｓ｜＝１である場合には、問
題は自明であり、｜Ｑ｜個の解が存在する。｜Ｓ｜
＝２である場合には、問題は理論的、応用上においてよ
り困難なものとなり、反復単位距離の最大個数と関連す
る。この問題は、かつてPaulErdosが提示したものであ
る。この手法は、許容摂動が最小点間距離よりも小さい
という仮定のもとに、不正確な入力に対して適用するこ
とができる。Ａ_min＝ｍａｘ_{l=1,・・・,d}ｍｉｎ
_{i,j=1,・・・,n,i}≠_j｜Ｑ_i,l−Ｑ_j,l｜とするとき、係数Ｏ
（ｄ×ｄ！）を積算するのみで、最大Ａ_min／２の摂動
まで許容することができるようになる。この場合、Ｌ₂
最近接点と同じ結果を与えるＬ∞最近接点が存在するこ
とによる。Ｌ∞ＮＮを計算する際に、全ての可能な軸の
置換を行い、それぞれの置換に対して、ｄ回の１次元Ｎ
Ｎ探索を対数時間内に行ったときに得られる最も近いも
のを選択する。ＮＮ’を見つけるための直交範囲問い合
わせにおいて、ε≦ｄ_min／２√ｄ以内の点の揺動を許
容することができる。ここで、ｄ_minは、次式（５１）
により表される。

【０２３３】

【数５１】

【０２３４】問題の特徴の１つとして、図２１に示した
ように、点集合Ｑにはアウトライアが存在するが、点
集合Ｓにはアウトライアが存在しない、すなわち、全
てがインライアであることが挙げられる。問題は、基本
的に２つの因子からなる。すなわち、まず最初にマッチ
する変換Ｔ∈Ｔを見つけ出し、次に部分集合マッチン
グの問題を解くことである。なお、同格数の問題に対し
ては、依然として無限アルファベット符号を取り扱う必
要がある。点集合Ｓの全ての点がマッチするはずであ
ることから、また、特徴点の対｛Ｓ₁，Ｓ₂｝、｛Ｑ₁，
Ｑ₂｝が与えられたとき、これらを完全にマッチさせる
２つの方法があり、これらの方法を用いて剛体変換が点
集合Ｑの１つの対｛Ｑ₁，Ｑ₂｝にマッチするＳの点
の対｛Ｓ₁，Ｓ₂｝により決まることから、画像処理装置
１０は、平面の場合であって、ズームを許容しない場
合、図２２に示す一連の工程を経ることによって、部分
合同であるかを検出することができる。

【０２３５】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ８１において、集合Ｓ，Ｑの幾何
学的グラフを計算し、列挙アルゴリズムによって、集合
Ｓの点の対により定義されるＯ（ｎ²）個のソートさ
れた全ての距離及び集合Ｑの点の対により定義される
Ｏ（ｍ²）個の全ての距離を算出する。

【０２３６】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
８２において、集合Ｓ，Ｑの共通距離の値Ｄ
（Ｓ）∩Ｄ（Ｑ）のうち、集合Ｑにおける反復距
離が次式（５２）により表される最小値ｋ_minを有する
ものであるｌ_minを選択する。なお、拘束選択の場合に
は、集合Ｑにおける反復距離が最大値を有するものを
選択する。

【０２３７】

【数５２】

【０２３８】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
８３において、集合Ｓの任意に選択された点の対｛Ｓ
₁，Ｓ₂｝のうち、ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）＝ｌ_minであるような
Ｓ₁，Ｓ₂の対を選択する。画像処理装置１０は、Ｓ₁，
Ｓ₂の対により定義される２ｋ_min個の変換Ｔ［（Ｓ₁，
Ｓ₂），（Ｑ₁，Ｑ₂）］及びＴ［（Ｓ₁，Ｓ₂），（Ｑ₂，
Ｑ₁）］を調べる。

【０２３９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
８４において、集合Ｑのその他の全ての点の対
｛Ｑ_i，Ｑ_j｝のうち、ｄ₂（Ｑ_i，Ｑ_j）＝ｌ_minであるよ
うなＱ_i，Ｑ_jの対の全てに対して、Ｑ_i，Ｑ_jの対により
定義される全ての変換Ｔ［（Ｓ₁，Ｓ₂），（Ｑ_i，
Ｑ_j）］及びＴ［（Ｓ₁，Ｓ₂），（Ｑ_j，Ｑ_i）］を調べ
る。

【０２４０】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
８５において、各変換に対して部分合同を調べ、全ての
事象を報告し、一連の処理を終了する。

【０２４１】画像処理装置１０は、このようにすること
によって、２次元の集合Ｓ，Ｑにおいて、集合Ｑ
における集合Ｓの全ての事象を探索することができ
る。

【０２４２】このアルゴリズムの実行時間は、Ｏ（ｍ²
＋ｋ_minＴ_c（ｎ，ｍ））である。ただし、ｋ_min＝Ｏ
（ｍ^4/3）であり、この値はおおよそＯ（ｍ¹⁺ε）に等
しい。また、Ｔ_c（ｎ，ｍ）は、１つの変換を調べるの
に必要な時間である。なお、Ｔ_c（ｎ，ｍ）は、許容雑
音パラメータεにも依存し、ε＝０の場合には、任意の
距離の点集合に対して、Ｔ（ｎ，ｍ）＝ｎ ｌｏｇ ｍと
なる。したがって、このアルゴリズムは、Ｏ（Ｎ²⁺ε）
時間に等しいであろうＯ（Ｎ^7/3 ｌｏｇ Ｎ）時間で実
行することができ、単純でありながら効率化を図ること
ができる。ただしここでは、スケーリングが許容されて
いないことと、アルゴリズムの実行時間が共通距離のう
ちの反復距離の最大個数に依存することに留意する必要
がある。すなわちここでは、集合Ｑの離間した距離を
選択することはできない。なお、点集合の最小点間距離
が“１”であるとき、そのような点集合は“１”だけ離
間しているという。画像処理装置１０においては、これ
らのアルゴリズムを、全て線形時間メモリを用い、また
任意の距離列挙アルゴリズムを用いてインプリメントす
ることができる。

【０２４３】ここで、シーンにパターンが存在する場合
には、少なくとも次式（５３）により表されるｘ個の共
通距離がＤ（Ｓ）∩Ｄ（Ｑ）に存在することに注意
する必要がある。集合Ｓにおける別個の距離の数は、
少なくともΩ（ｎ^4/5）であることが知られている。し
たがって、集合Ｓにおける同一距離の最小値は、最大
でＯ（ｎ^2-4/5）＝Ｏ（ｎ^1.2）である。ｋ_minについて
さらに注意深く検討すると、ｋ_minは、次式（５４）に
より表されることがわかっている。そのため、ｍ≪ｎ
^6/5であれば、ｋ_minは、次式（５５）により表される。
したがって、ｋ_minの上限は、“J. E. Goodman and J.
O'Rourke, editors, Handbook of Discrete and Comput
ational Geometry, CRC Press LLC, Boca Raton, FL, 1
997”に示されているように、ｎ^1.2・・・ｍ^{1.333・・・}で
ある。

【０２４４】

【数５３】

【０２４５】

【数５４】

【０２４６】

【数５５】

【０２４７】このアルゴリズムは、１つのバーＳ₁Ｓ
₂（機構）を点集合Ｓの中に選択し、これを点集合
Ｑにロックさせるものであると見なすこともできる。

【０２４８】ここで、点集合Ｑの距離をΔ_Qで表すこ
とにする。すると、点集合Ｑの処理（バケッティン
グ）は、Ｏ（Δ²）時間で行うことが可能であり、また
１つの変換のテストは、Ｔ_c（ｎ，ｍ）＝ＯΔ（ｎ）時
間内に行うことが可能である。

【０２４９】また、画像処理装置１０は、集合Ｓ，
Ｑがｄ次元である場合、図２３に示す一連の工程を経
ることによって、部分合同であるかを検出することがで
きる。

【０２５０】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ９１において、集合Ｓ，Ｑの幾何
学的グラフを計算し、それらに容量ｄ（ｅ）、ｇ
（Ｓ）、ｇ（Ｑ）を与える。

【０２５１】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
９２において、集合Ｓ，Ｑの共通の容量Ｄ（Ｓ）
∩Ｄ（Ｑ）である全てのハイパーエッジをアクティブ
とする。

【０２５２】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
９３において、ｇ（Ｑ）における反復ハイパーエッジ
容量が最小値を有するものであるＶ_minを選択する。

【０２５３】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
９４において、ｄ（δ_S）＝Ｖ_minであるような単方向δ
_Sを選択する。

【０２５４】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
９５において、ｄ（σ）＝Ｖ_minであるような集合Ｑ
の全てのハイパーエッジｅに対して、Ｖ_minとσ，δ_Sと
により誘起される全ての厳密な変換を調べる。

【０２５５】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
９６において、各変換に対して部分合同を調べ、全ての
事象を報告し、一連の処理を終了する。

【０２５６】画像処理装置１０は、このようにすること
によって、ｄ次元の集合Ｓ，Ｑにおいて、集合Ｑ
における集合Ｓの全ての事象を探索することができ
る。

【０２５７】定理２：Ｓが２次元空間Ｅ²のｎ点集
合であり、Ｑが２次元空間Ｅ²のｍ点集合であると
き、点集合Ｓが点集合Ｑに存在するか否かの判定を
任意の点集合に対してＯ（ｍ²＋ｍｉｎ｛ｍ^4/3，ｍ²／
ｎ^4/5｝Ｔ_c（ｎ，ｍ））時間内に行うことができる。こ
こで、ｄｉａｍｅｔｅｒ（Ｓ）＝ｄｉａｍｅｔｅｒ
（Ｑ）である場合には、Ｏ（ｍ ｌｏｇ ｍ ＋ ｍＴ_c
（ｎ，ｍ））時間内に、また、凸部に対しては、Ｏ（ｍ
ｌｏｇ ｍ ＋ ｍｉｎ｛ｍ ｌｏｇ ｍ，ｍ²／ｎ｝ｎ ｌ
ｏｇ ｍ）時間内に行うことができる。

【０２５８】上述してきた結果は、“T. Akutsu, H. Ta
maki, and T. Tokuyama, Distribution of distances a
nd triangles in a point set and algorithms for com
puting the largest common point set, In Proc. 13th
Annu. ACM Symps. Comput.Geom., pages 314-323, 199
7”の精神に基づいて、ｍ≪ｎ^6/5に対する改良を加えた
ものである。

【０２５９】画像処理装置１０における制限要因は、次
の２つである。すなわち、最初に、特に集合Ｑの幾何
学的グラフを計算し、次に、可能な変換のそれぞれを独
立にテストすることである。

【０２６０】画像処理装置１０は、ｋ_minが小さい場
合、或いは、ｍ≫ｎである場合には、集合Ｓ，Ｑの
幾何学的グラフである次式（５６）及び次式（５７）に
より表されるｘ個及びｙ個の距離の全てを計算せずに済
ませることができる。まず、画像処理装置１０は、集合
Ｓの任意の点の対（Ｓ₁，Ｓ₂）を拾い上げる。続い
て、画像処理装置１０は、全てのｉ∈［１，ｍ］に対し
て、縮退した環形問い合わせを行う。すなわち、画像処
理装置１０は、中心がＱ_iで半径がｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）の円
の問い合わせを行う。共通距離ｌの最大個数は、ｍ個の
円においてｎ個の点の発生確率と関係する。これは、Ｏ
（ｎ^2/3＋ｍ^2/3＋ｎ＋ｍ）により制約されることが知ら
れている。

【０２６１】

【数５６】

【０２６２】

【数５７】

【０２６３】画像処理装置１０は、この幾何学的問い合
わせに代わる方法として、“T. M.Chan, On enumeratin
g and selecting distances, In Proc. of the 14th Sy
mp.of Comp. Geo., 1998”にて示されている出力に依存
するアルゴリズムを用いて、選択された距離だけを列挙
するようにすることもできる。画像処理装置１０は、距
離ｌが与えられたとき、集合Ｑにおいて同じ距離を有
するｔ₂個の対をＯ（ｎ^4/3 ｌｏｇ^8/3 ｎ）時間内に報
告することができる。すなわち、“T. Akutsu, H. Tama
ki, and T. Tokuyama, Distribution of distances and
triangles in a point set and algorithms for compu
ting the largest common point set,Discrete and Com
putational Geometry, pages 207-331, 1998”にて述べ
られているように、Ｏ（ｎ^4/3 ｌｏｇ^8/3 ｎ ＋ ｔ₂ｎ
ｌｏｇ ｍ）時間アルゴリズムが得られる。制約は、
“T. M. Chan, On enumerating and selecting distanc
es, In Proc. of the 14th Symp. of Comp. Geo., 199
8”を参照してもわかるように、出力に対して、Ｏ（ｎ
ｌｏｇ ｎ ＋ ｎ^2/3ｋ^1/3 ｌｏｇ^6/3 ｎ）のように依存
する。

【０２６４】他の手法は、格子又は多重格子を用いて、
上述したようにしてバケットを作成することである。バ
ケットの各位置には最大で１つの点しか存在しないこと
から、バケットは、例えば図２４に示すようなブーリア
ンバケットで足りる。画像処理装置１０は、１つの問い
合わせＳ₁Ｓ₂に対して、集合Ｑの各点に対して１回問
い合わせを行い、全部でＯ（ｎ）回の問い合わせを実行
することによって、バケットの中のＯ（ｎΔ）個の位置
を調べる。

【０２６５】実際には、画像処理装置１０は、特徴点の
対（Ｓ₁，Ｓ₂）が与えられたとき、｜ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）
−ｄ₂（Ｑ₁，Ｑ₂）｜≦γとなる全ての点の対（Ｑ₁，Ｑ
₂）を選択する。ここで、γは、範囲をズームした場合
において、γ≧４である。これは、集合Ｑにおける各
点Ｑ_iに対して、中心がＱ_iであり内径がｄ₂（Ｓ₁，
Ｓ₂）−２εで外径がｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）＋２εである環形
内の全ての点を問い合わせることによりなされる。１つ
の方法は、距離Ｄ_S，Ｄ_Qをソートし、与えられた問い合
わせｌに対して、集合Ｑにおいて距離がｌ−２εから
ｌ＋２εまでの範囲にある全ての対をＯ（ｌｏｇ ｎ ＋
ｋ）時間内に報告するようにすることである。したが
って、この原始的な方法の実行時間は、Ｏ（ｍ² ｌｏｇ
ｍ ＋ ｋＴ_c（ｎ，ｍ））となる。パターンマッチング
アルゴリズムをズーム範囲［ｚ_min，ｚ_max］において実
行するように制限した場合には、画像処理装置１０は、
与えられた点の対Ｓ₁Ｓ₂（ｂ＝ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂））に対
して、以下のように範囲問い合わせを行う。すなわち、
画像処理装置１０は、（ｂ−２ε）＊ｚ_min≦ｄ
₂（Ｑ_i，Ｑ_j）≦（ｂ＋２ε）＊ｚ_maxを満たす集合Ｑ
の全ての点の対Ｑ_iＱ_jを報告する。また、画像処理装置
１０は、Ｓ₁Ｓ₂のＱ_iＱ_jに対する角度の制約を加えるこ
ともできる。例えば、画像処理装置１０は、傾きが３０
゜以上異ならないものだけに制約する。

【０２６６】つぎに、環形問い合わせのためのデータ構
造について説明する。「環形問い合わせ」の問題は、例
えば、図２５（Ａ）に示すものや、同図（Ｂ）に示す扇
形問い合わせのように、「Ｅ²におけるｎ点集合が与
えられたとき、環形問い合わせに対して、リングの中の
全ての点を報告する。」ことである。

【０２６７】この目的のために、画像処理装置１０は、
“P. Gupta, R. Janardan, and M.Smid, On intersecti
on searching problems involving curved objects, In
Proc. 4th Scand. Workshop Algorithm Theory, volum
e 824 of Lecture Notes Comput. Sci., pages 183-19
4, Springer-Verlag, 1994”や“P. Gupta, R. Janarda
n, and M. Smid, Further results on generalized int
ersection searchingproblems:counting, reporting an
d dynamization, J. Algorithms, 19:282-317, 1995”
によるデータ構造を用いることができる。問い合わせの
リング内のｔ個の点を報告するのに必要な問い合わせ時
間は、Ｏ（ｌｏｇ ｎ ＋ ｔ ｌｏｇ² ｎ）であり、前処
理時間としてＯ（ｎ³／ｌｏｇ ｎ）が必要である。数を
数えるためには、Ｏ（ｎ⁴ ｌｏｇ² ｎ）の前処理時間の
後に、Ｏ（ｌｏｇ² ｎ）のカウント処理時間が必要であ
る。ここでの課題は、距離がｄ−２εからｄ＋２εの範
囲にある点の対ｐｑの全てを報告することである。

【０２６８】グループ化及び問い合わせの実例を以下に
示す。画像処理装置１０は、サイズが最大で｜ｎ／ｐ｜
であるようなｐ個のグループを作成し、各グループに対
して、総費用Ｏ（ｎ³／ｐ³ ｌｏｇ ｎ／ｐ）の処理を行
う。次に、画像処理装置１０は、Ｒ＝［ｄ−２ε，ｄ＋
２ε］の距離範囲に対して、ｄ（ｐ，ｑ）∈Ｒである点
の対ｐｑを全て報告する。画像処理装置１０は、各点Ｑ
_i∈Ｑに対して１回ずつ、点集合Ｑに対してｍ回の
環形問い合わせを行う。したがって、総費用は、Ｏ（ｎ
²／ｐ ｌｏｇ ｎ／ｐ ＋ ｔ ｌｏｇ² ｎ／ｐ）時間とな
る。問い合わせ時間と前処理時間とのバランスをとるた
めには、ｐを次式（５８）のように選べばよい。

【０２６９】

【数５８】

【０２７０】このとき、２つの場合があり得る。すなわ
ち、ｔ≦ｎ²／（ｐ ｌｏｇ ｎ／ｐ）である場合には、
ｐ＝ｎ^1/2-εを選択する。この場合には、Ｏ（ｎ
^3/2+ε）時間アルゴリズムが得られる。また、ｔ≧ｎ²
／（ｐ ｌｏｇ ｎ／ｐ）である場合には、ｐ＝ｎ／ｔ
^1/3-εを選択する。この場合には、Ｏ（ｔ ｌｏｇ²
ｔ）時間アルゴリズムとなる。

【０２７１】画像処理装置１０は、ｔの値を予め知るこ
とができないことから、差し当たって、“F. Nielsen,
Algorithmes Geometriques Adoptatifs-Adoptive Compu
tational Geometry, Ph.D. thesis, isbn-2-7261-1017-
7, Nice Univ. (Franc), 1996”に示されているよう
に、ｔ≒２^2(i/2)（ｉ≦２ｌｏｇ ｌｏｇ ｔ）を採用し
て大まかな見積もりを行う。この方法の長所は、ｔの大
きな値に対して、出力に依存するアルゴリズムが得られ
ることである。

【０２７２】このアルゴリズムの隘路は、各変換の評価
をそれぞれ独立に行うのに費用がかかることである。そ
こで、画像処理装置１０は、各変換の評価を独立に行わ
ずに済ませることもできる。

【０２７３】ここで、Ｔ（ｔ₂）を上述したアルゴリズ
ムにより報告された変換の集合であるとする。画像処理
装置１０は、Ｄ（Ｓ）の異なる長さのバーを１度に１
つ選択し、反復処理を以下のように行う。画像処理装置
１０においては、各ステージにおいて、多数の異なる変
換ｔ₂ ⁽¹⁾，・・・，ｔ₂ ^(l)が得られる。画像処理装置１
０は、パターンが存在するものと仮定し、最初のｌ個の
類似の距離Ｄ（Ｓ）∩Ｄ（Ｑ）を選択する。続い
て、画像処理装置１０は、次式（５９）により表される
共通部分を計算する。最後に、画像処理装置１０は、各
変換Ｔ∈Ｔ’のスコアを計算し、最も高いスコアを得
たものを選択する。このときの総費用は、Ｏ（｜Ｔ’
｜Ｔ_c（ｎ，ｍ））＝Ｏ（｜Ｔ’｜ｎ ｌｏｇ ｍ）で
ある。

【０２７４】

【数５９】

【０２７５】なおここでは、このアルゴリズムが部分合
同の複写を全て報告することに注意する必要がある。

【０２７６】具体的には、画像処理装置１０は、図２６
に示す一連の工程を経ることによって、転移及び／又は
回転を含むパターンマッチングを行う。ここでは、２次
元の点集合Ｓε，Ｑεがεの揺動を有する集合であ
るものとする。

【０２７７】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ１０１において、最大の辺の長さがｂ
であるような点集合Ｓの直交境界領域を算出する。点
集合Ｓの直径の上限をΔ＝√（２ｂ）とする。

【０２７８】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１０２において、大きさがｃｅｉｌ［Δ／ε］＋２で、
全ての元が初期値として“０”に設定されている１次元
の２値ブーリアンバケットＢ_Sを作成する。このブーリ
アンバケットＢ_Sは、点間距離のバケッティングを行う
ために用いられる。

【０２７９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１０３において、Ｓ_j≠Ｓ_iである任意の（Ｓ_i，Ｓ_j）の
対の点間距離ｄ₂（Ｓ_i，Ｓ_j）に対して、そのインデッ
クスをｌ＝ｆｌｏｏｒ［ｄ₂（Ｓ_i，Ｓ_j）／ε］とし、
Ｂ_S［ｌ−１］、Ｂ_S［ｌ］、Ｂ_S［ｌ＋１］のマークを
付す。そして、画像処理装置１０は、各バケットＢ_Sに
対して、点間距離のリストを作成する。ただし、点間距
離のリストは、初期状態では空である。

【０２８０】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１０４において、ステージの初期値としてｋ＝１とす
る。

【０２８１】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１０５において、ｋ≦νであるか否かを判別する。

【０２８２】ここで、ｋ≦νでない場合には、画像処理
装置１０は、ステップＳ１０９へと処理を移行し、点集
合Ｓの対Ｓ₁ ^(k)，Ｓ₂ ^(k)をランダムに選択する。

【０２８３】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１１０において、ｌ_k＝ｄ₂（Ｓ₁ ^(k)，Ｓ₂ ^(k)）とし、ｌ
ｂ_k＝ｆｌｏｏｒ［ｌ_k／ε］とする。画像処理装置１０
は、Ｐ_S（ｌｂ_k−１）∪Ｐ_S（ｌｂ_k）∪Ｐ_S（ｌｂ_k＋
１）の全ての対（Ｑ_i，Ｑ_j）を調べ、｜ｄ₂（Ｑ_i，
Ｑ_j）−ｌ_k｜≦２εである全ての対を選択する。これら
の点により定義される変換の集合をＴ_kで表す。なお
ここでは、一定のズームを行っていると仮定しているこ
とから、パラメータとして回転と転移だけを考慮すれば
よい。

【０２８４】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１１１において、Ｂ_S，Ｔ_kを用いて、点集合Ｑの可
能な転移の全てを得る。

【０２８５】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
１１２において、ｋ＝ｋ＋１とし、再びステップＳ１０
５以降の処理を繰り返す。

【０２８６】一方、ステップＳ１０５において、ｋ≦ν
であると判別した場合には、画像処理装置１０は、ステ
ップＳ１０６において、次式（６０）により表される共
通転移μの集合Ｔを計算する。ここで、共通転移μの
集合Ｔを計算するためには、いつ２つの変換の類似性
がμ重となるかを定義しておく必要がある。２つの変換
Ｔ₁，Ｔ₂は、全てのＰ∈Ｓに対して、ｄ₂（Ｔ
₁（Ｐ），Ｔ₂（Ｐ））≦μである場合に、類似度がμで
あるという。画像処理装置１０は、点集合Ｓの全ての
点に対して検査を行う代わりに、点集合Ｓの境界ボッ
クスの角を順次検査していくことによって、近似的な検
査を行う。

【０２８７】

【数６０】

【０２８８】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１０７において、Ｔの転移が事象を誘起するかどうか
を調べる。画像処理装置１０は、例えば、点集合Ｓを
バッケティングするか、或いは、２ １−ｄ回の２分探
索等を行うことにより調べる。バケットを用いた場合に
は、先に図２４に示したように、各バケットの幅はεと
なる。

【０２８９】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
１０８において、報告や変換の列挙等を行い、一連の処
理を終了する。

【０２９０】このようにすることによって、画像処理装
置１０は、εの揺動を有する２次元の点集合Ｓε，
Ｑεにおける転移及び／又は回転を含むパターンマッ
チングを行うことができる。

【０２９１】このアルゴリズムを用いてマッチする変換
を全て列挙するときの時間複雑性は、Ｏ（（Δ_S／ε）
＋ｎ²＋ｍ²＋ν＋ｔｔ’＋ｔ’Ｔ_c（ｎ，ｍ））であ
る。このとき、Δ_Q≧Δ_Sであることに注意が必要であ
る。ただし、μ＝０である場合には、画像処理装置１０
は、行列をソートし、Ｏ（ｔ ｌｏｇ ｔ’）時間内に次
式（６１）により表されるＴを算出する。したがっ
て、時間複雑性は、Ｏ（（Δ_S／ε）＋ｎ²＋ｍ²＋ν＋
（ｔ ｌｏｇ ｔ’）＋ｔ’Ｔ_c（ｎ，ｍ））となる。

【０２９２】

【数６１】

【０２９３】ここで、εは、ε＝ｄ_min／２に固定して
いる。ただし、ｄ_min＝ｍｉｎ｛ｄ_minS，ｄ_minQ｝であ
る。

【０２９４】また、画像処理装置１０においては、例え
ば、Ｎ²がＲＡＭメモリサイズよりも大きい場合や、リ
アルタイムにおいて必要となるような場合といった大き
な点集合濃度に対しては、図２７に示す一連の処理を行
うのが好適である。

【０２９５】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ１２１において、最大の辺の長さがｂ
であるような点集合Ｓの直交境界領域を算出し、点集
合Ｓの直径の上限をΔ＝√（２ｂ）とする。

【０２９６】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１２２において、点集合Ｑ上に大きさがγのバケット
Ｂ_Qを作成し、各Ｑ_i∈Ｑに対して、Ｑ_iを対応する位
置に追加する。ここでは、先に図２４に示したように、
１つのバケットに複数の点が存在し得ることに注意する
必要がある。

【０２９７】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１２３において、ステージの初期値としてｋ＝１とす
る。

【０２９８】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１２４において、ｋ≦νであるか否かを判別する。

【０２９９】ここで、ｋ≦νでない場合には、画像処理
装置１０は、ステップＳ１２８へと処理を移行し、点集
合Ｓの対Ｓ₁ ^(k)，Ｓ₂ ^(k)をランダムに選択する。

【０３００】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１２９において、ｌ_k＝ｄ₂（Ｓ₁ ^(k)，Ｓ₂ ^(k)）とし、バ
ケッティング法を用いて、（Ｑ_i，Ｑ_j） ｓ．ｔ． ｜ｄ
₂（Ｓ₁ ^(k)，Ｓ₂ ^(k)）−ｄ₂（Ｑ_i，Ｑ_j）｜≦２εとなる
全ての対を検索する。実際には、画像処理装置１０は、
超集合を検索する。このようにして点の対から得られる
変換の集合をＴ_kとする。

【０３０１】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１３０において、Ｂ_Q，Ｔ_kを用いて、点集合Ｑの可
能な転移の全てを得る。

【０３０２】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
１３１において、ｋ＝ｋ＋１とし、再びステップＳ１２
４以降の処理を繰り返す。

【０３０３】一方、ステップＳ１２４において、ｋ≦ν
であると判別した場合には、画像処理装置１０は、ステ
ップＳ１２５において、上式（５９）により表される共
通転移μの集合Ｔを計算する。画像処理装置１０は、
図２６中ステップＳ１０６と同様に、点集合Ｓの全て
の点に対して検査を行う代わりに、点集合Ｓの境界ボ
ックスの角を順次検査していくことによって、近似的な
検査を行う。なお、類似度がμであるかどうかの正確な
チェックは、凸閉包上の点を調べることによってのみ可
能である。

【０３０４】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１２６において、Ｔの転移が事象を誘起するかどうか
を調べる。画像処理装置１０は、例えば、点集合Ｓを
バッケティングするか、或いは、２ １−ｄ回の２分探
索等を行うことにより調べる。バケットを用いた場合に
は、先に図２４に示したように、各バケットの幅はεと
なる。

【０３０５】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
１２７において、報告や変換の列挙等を行い、一連の処
理を終了する。

【０３０６】このアルゴリズムの実行時間は、Ｏ（（Δ
_Q／γ）²＋νｎΔ／γ＋ｔｔ’＋ｔ’Ｔ_c（ｎ，ｍ））
である。ここで、パラメータγは、実際の目的に応じて
チューニングする必要がある。画像処理装置１０は、図
２８に示す一連の工程を経ることによって、γを推定す
る。

【０３０７】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ１４１において、プログラム又はユー
ザによって、γを初期化する。

【０３０８】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１４２において、テストする変換の数をＷσとする。

【０３０９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１４３において、Ｗσ×ｃｈｅｃｋ＞ＣＴ（γ）である
か否かを判別する。

【０３１０】ここで、Ｗσ×ｃｈｅｃｋ＞ＣＴ（γ）で
ある場合には、画像処理装置１０は、ステップＳ１４４
において、γについてより良好且つ小さな値を得る。す
なわち、画像処理装置１０は、γ＝γ／２とするか、或
いは、点座標から選択された何らかの値をγとする。そ
して、画像処理装置１０は、ステップＳ１４３からの処
理を再び繰り返す。

【０３１１】一方、Ｗσ×ｃｈｅｃｋ＞ＣＴ（γ）でな
い場合には、画像処理装置１０は、ステップＳ１４５に
おいて、γを返し、一連の処理を終了する。

【０３１２】このようにして、画像処理装置１０は、γ
を推定することができる。

【０３１３】画像処理装置１０は、パターンマッチング
を行うことによって、いわゆる情景分析（シーンアナリ
シス）を行うことができる。

【０３１４】画像処理装置１０は、点集合が稠密であり
且つ均一に分布している、すなわち、Δ＝Ｏ（√ｎ）で
あるものと仮定すると、複雑さの解析を以下のように洗
練することが可能である。

【０３１５】すなわち、各バケットは、平均して、ｎγ
²／Δ²の点を有する。画像処理装置１０は、これらの点
のうち、ｎΔ／γ個について調べていることから、大き
さがｎ²γ／Δの点の対の超集合が得られる。そこで、
γ＝Δ／ｎ^2/3とすることによって、画像処理装置１０
は、前処理を行うコスト、すなわち、Ｏ（（Δ／
γ）²）と、問い合わせを行うコストとのバランスをと
ることができる。したがって、アルゴリズムの複雑さ
は、μの値が小さい場合には、Ｏ（ｎ^4/3＋（ｔ ｌｏｇ
ｔ’）＋ｔ’Ｔ_c（ｎ，ｍ））となる。また、ｔ≦ｎ^4/3
であることにも注意する必要がある。なお、画像処理装
置１０においては、チェックすべき対の数は、容易に数
えることができる。

【０３１６】この方法は、全ての次元において適用する
ことができる。ただし、より高い次元においては、単純
なバー方式ではなく、ｄ次元のシンプレックスを取り扱
う必要がある。次元が“４”よりも大きくなると、１つ
の点集合により定義される同じ距離の数が２次式にした
がって増加する。ラスヴェガス及びモンテカルロアルゴ
リズムの設計において、ランダム性を汎用的に用いるた
めの最近の正確な境界手法については、“T. Akutsu,
H. Tamaki, and T. Tokuyama, Distribution ofdistanc
es and triangles in a point set and algorithms for
computing thelargest common point set, In Proc. 1
3th Annu. ACM Symps. Comput. Geom.,pages 314-323,
1997”や“T. Akutsu, H. Tamaki, and T. Tokuyama, D
istribution of distances and triangles in a point
set and algorithms for computing the largest commo
n point set, Discrete and Computational Geometry,p
ages 207-331, 1998”に記載されている。

【０３１７】また、ε＞０であるεが与えられたとき、
多数の縮退を生じるような点の揺動があり得る。このよ
うな揺動は、パターンマッチングアルゴリズムを遅くす
る要因となる。さらに、雑音を含むパターンのマッチン
グが、雑音を含まない正確なパターンのマチングと比較
して繊細なものとなる。他の方法は、ε’が与えられた
ときの全ての揺動に対して、同一のマッチングを許容す
ることである。画像処理装置１０においては、εの境界
が０，Ｄ_min／２√２，Ａ_min／２，ｄ_min／２のいずれ
かとなるように制約することによって、安定なマッチン
グだけを扱うようにしている。

【０３１８】上述したアルゴリズムにおいては、例えば
図２９（Ａ）に示す集合Ｓと同図（Ｂ）に示す集合
Ｑとについて、集合Ｑの中に集合Ｓの部分集合と
大きさが異なる部分合同が含まれる場合といったよう
に、スケーリングについては考慮していなかった。そこ
で以下では、均一スケーリングを行った場合における部
分合同について説明する。スケーリングを許容した場合
には、問題の解決の方法は、上述したものとは異なるも
のとなる。この場合には、集合Ｑ上にバーを固定し、
これによる変換を調べる方法を採用することがもはや不
可能となる。その理由は単純であり、すなわち、Ｓが
２点からなる集合であるとき、次式（６２）により表さ
れるｘ個の正確なマッチが集合Ｑに存在するからであ
る。結果を組み合わせてより効率のよいアルゴリズムを
得ることを考える。ElekesとErdosによれば、類似の三
角形の数は、Ω（ｎ²）であり、また、相似の三角形の
対の数は、Θ（ｎ^3/2）である。そこで、画像処理装置
１０においては、集合Ｓの類似の三角形の最大個数ｔ
₃に応じてアルゴリズムを変えるものとする。まず、画
像処理装置１０は、集合Ｓ，Ｑの幾何学的グラフを
Ｏ（Ｎ²）時間で計算し、各点Ｑ_i∈Ｑに対して、循環
する連続点の角度により定義される１次元の幾何学的グ
ラフを対応付ける。そして、画像処理装置１０は、各ノ
ードに対して、それぞれの距離を表す注釈を付ける。

【０３１９】

【数６２】

【０３２０】集合Ｓの三角形Ｔ_S＝（Ｓ₁，Ｓ₂，Ｓ₃）
が選択されたとき、画像処理装置１０は、単純に以下の
ように処理を進める。なお、集合Ｓが存在するとき、
そのような三角形は、集合Ｑに現れる。まず、画像処
理装置１０は、集合Ｑにおける全ての類似な三角形を
探索する。ここで、各マッチによって、チェックすべき
６つの可能な剛体運動が定義される。このアルゴリズム
の総費用は、Ｏ（Ｎ²ｌｏｇ Ｎ ＋ ｔ₃Ｔ_c（ｎ，ｍ））
＝Ｏ（Ｎ³ ｌｏｇ Ｎ）である。さらに、画像処理装置
１０は、三角形を選択する代わりに、単純に集合Ｓの
ｋ部分集合を選択し、同様のアルゴリズムを、総費用Ｏ
_k（Ｎ² ｌｏｇ Ｎ ＋ ｔ_kＴ_c（Ｎ，Ｍ））で実行するよ
うにしてもよい。ここで、ｔ_k＝Ω（ｎ）であり、大き
なｋの値に対しては、反復単位距離の下の境界にマッチ
する。このアルゴリズムの実行時間は、Ｏ（Ｎ²⁺ε ｌ
ｏｇ Ｎ）である。

【０３２１】ここで、ｒ＝ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）／ｄ
₂（Ｓ₁，Ｓ₃）、α＝∠Ｓ₂Ｓ₁Ｓ₃とおく。なお、集合
Ｑにおいて、角αを最大Ｏ（ｎ² ｌｏｇ ｎ）時間内
に見つけることができることが知られている。

【０３２２】画像処理装置１０は、図３０に示す一連の
工程を経ることによって、部分合同を検出する。

【０３２３】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ１５１において、Ｇ（Ｑ）を計算
し、各ノードに対して、その循環的にソートされた角度
のリストを関連づける。画像処理装置１０は、繰り返し
角度に対しては、半径方向にソートする。

【０３２４】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１５２において、Ｇ（Ｑ）において、角度を有する３
点の組み合わせの全てに対して標識をＯ（ｍ² ｌｏｇ
ｍ）時間内に付与する。画像処理装置１０は、３点の組
み合わせに対して、その比がｒ又は１／ｒでないかを確
認する。三角形ｘａｂの頂点ｘに対する比は、ｘに入射
する辺の長さの比、すなわち、ｄ₂（ｘ，ａ）／ｄ
₂（ｘ，ｂ）により定義される。なお、同一直線上に存
在する３点の組は、多数存在し得る。これは、Ｓ¹上
におけるパターンマッチング問題である。ここで、有効
であると認められた三角形により得られる変換の集合を
Ｔ_S（Γ）で表す。

【０３２５】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
１５３において、ｔ₃個の有効な全ての３点の組をチェ
ックし、一連の処理を終了する。

【０３２６】このときのアルゴリズムの総費用は、Ｏ
（ｍ² ｌｏｇ ｍ ＋ ｔ₃Ｔ_c（ｎ，ｍ））＝Ｏ（Ｎ³ ｌ
ｏｇ Ｎ）時間である。

【０３２７】実際には、絶対誤差εが存在し、｜Ｔ
_S（Γ）｜が大きくなることから、画像処理装置１０
は、図３１に示す反復法を用いて改良された一連の工程
を経ることによって、部分合同を検出する。

【０３２８】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ１６１において、ｉからｌまで、集合
Ｓ内の三角形Γ_iをランダムに描き、Ｔ_S（Γ_i）を計
算する。

【０３２９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１６２において、次式（６３）により表されるＴを計算
する。

【０３３０】

【数６３】

【０３３１】そして、画像処理装置１０は、ステップＳ
１６３において、全ての変換Ｔ∈Ｔ_Sに対して部分合同
性を調べ、一連の処理を終了する。

【０３３２】この方法の実行時間は、Ｏ（ｌＮ² ｌｏｇ
Ｎ ＋ ｜Ｔ｜Ｔ_c（ｎ，ｍ））である。

【０３３３】画像処理装置１０は、１つの三角形が与え
られたとき、図３２に示すように、問い合わせによっ
て、集合Ｑ内の類似の三角形を見つけることができ
る。実際には、画像処理装置１０は、マッチする合同三
角形及びマッチする鏡映合同三角形を全て見つけ出す。
また、画像処理装置１０は、選択された１つの点Ｑ₁か
ら出発して、｜ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）−ｄ₂（Ｑ₁，Ｑ₂）｜≦
２εで定義されるリング内に存在するＱ₂があるか否か
を問い合わせる。画像処理装置１０は、この問い合わせ
により得られた各点に対して、交差する２つのリング
｜ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₃）−ｄ₂（Ｑ₁，Ｑ₃）｜≦２ε及び｜ｄ
₂（Ｓ₂，Ｓ₃）−ｄ₂（Ｑ₂，Ｑ₃）｜≦２εにより定義さ
れる２つの結合された要素内の全ての点Ｑ₃を選択す
る。

【０３３４】画像処理装置１０は、２つの代数的リング
の交差点から掃引を行うことによって、この処理をＯ
（１）時間内に実行することができる。したがって、こ
のアルゴリズムの実行時間は変化しない。ｐ個の点の部
分集合を選択したとき、第ｉ番目の点を選択するために
は、次式（６４）により表されるｘ個のリングの代数的
交差を計算する。ただし、ｉ≧３の場合には、１つのド
メインに崩壊する。

【０３３５】

【数６４】

【０３３６】上述した処理は、すでに合同アルゴリズム
の説明の際に述べたように、任意の次元に自然に拡張す
ることができる。

【０３３７】最大がεであるσ_S＝（Ｓ₁，・・・，
Ｓ_d）に類似の全てのシンプレックスを探索することを
考える。ここで、各点Ｑ_i∈Ｑに対して、類似のシン
プレックスをアンカーすることを考える。画像処理装置
１０は、点Ｑ₁にアンカーされたシンプレックスに対し
て、まず最初に、Ｒｉｎｇ（Ｑ₁，ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）−２
ε，ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₂）＋２ε）の内部に存在する全ての
Ｑ₂を探し出す。このようなＱ₂は、最大でＯ（Δ^d-1）
個存在する。次に、画像処理装置１０は、リングとリン
グとの共通部分Ｒｉｎｇ（Ｑ₁，ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₃）−２
ε，ｄ₂（Ｓ₁，Ｓ₃）＋２ε）∩Ｒｉｎｇ（Ｑ₁，ｄ
₂（Ｓ₂，Ｓ₃）−２ε，ｄ₂（Ｓ₂，Ｓ₃）＋２ε）に存在
するＱ₃を探し出す。このようなＱ₃は、バケッティング
を行った場合、最大でＯ（Δ^d-2）個存在する。画像処
理装置１０は、このような処理を繰り返し行うことによ
って、次式（６５）により表される共通部分の内部に存
在するＱ_iを探し出す。

【０３３８】

【数６５】

【０３３９】このようなＱ_iは、最大でＯ（Δ^d-i）個存
在する。したがって、アンカー点Ｑ₁には、最大で次式
（６６）個が存在する。すなわち、集合Ｑにおいて、
σ_Sに類似のシンプレックスが最大でＯ（ｎ
Δ^d(d-1)/2）個存在する。

【０３４０】

【数６６】

【０３４１】つぎに、最大共通点集合（Ｓ，Ｑ）に
ついて説明する。すなわち、ここでは、Ｓ’⊆Ｓ，
Ｑ’⊆Ｑ，Ｓ’≡Ｑ’となる｜Ｓ’｜の最大
のものを求める。これは、「最大共通点集合問題」と称
される。与えられたｋ個の集合の共通点集合のうちの最
大のものを求める問題は、“T. Akutsu and M. M. Hall
dorsson, On the approximation of largest common su
btrees and largest common point sets, In Proc. 5th
Annu. Internat. Sympos. Algorithms Comput., volum
e 834 of Lecture Notes Comput. Sci., pages 405-41
3, Beijing, China, 1994, Springer-Verlag”に記載さ
れているように、ＮＰ完全であることがわかっている。

【０３４２】ここで、次のような最大共通点集合問題を
考える。「２つのｄ次元点集合Ｓ，Ｑが与えられた
とき、Ｓ’≡Ｑ’⊆Ｑとなる最大の部分集合
Ｓ’⊆Ｓを見出す。」

【０３４３】全ての次式（６７）により表されるｘ個の
変換をテストし、最良のものを選択する、或いは、投票
する単純自明なアルゴリズムは、Ｏ（Ｎ⁵ ｌｏｇ Ｎ）
時間を要する。ただし、Ｎ＝ｍａｘ｛ｎ，ｍ｝である。

【０３４４】

【数６７】

【０３４５】さて、次の決定問題について考える。すな
わち、ｋ−共通点集合問題として、「２つのｄ次元点集
合Ｓ，Ｑが与えられたとき、Ｓ’⊂Ｓ，Ｑ’
⊂Ｑであり、且つ、｜Ｓ’｜＝｜Ｑ’｜＝ｋであ
りＳ’≡Ｑ’となるものが存在するであろうか？」

【０３４６】図３３に、最大共通点集合の例として、最
大共通点集合及び次に大きい共通点集合を示す。最大共
通点集合は、Ｏ（ｌｏｇ ｎ）Ｔ_D（ｎ，ｍ）時間内に求
めることができる。ただし、Ｔ_D（ｎ，ｍ）は、決定問
題を解くのに必要な時間である。

【０３４７】決定問題を解くためのアルゴリズムを以下
に提案する。画像処理装置１０は、上述してきたよう
に、ステージ毎に処理を行うが、各ステージは、図３４
に示すようなものである。

【０３４８】まず、画像処理装置１０は、同図に示すよ
うに、ステップＳ１７１において、集合ＳのＯ
（ｎ²）個の距離Ｄ_S及び集合ＱのＯ（ｍ²）個の距離
Ｄ_Qを全て計算する。ここで、エッジ値ｅは、ｅ∈Ｄ_S∩
Ｄ_Qであるとき、可能性ありという。画像処理装置１０
は、全ての可能性のあるエッジをマークし、可能性のな
いものをＤ_S，Ｄ_Qから除去する。

【０３４９】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１７２において、集合Ｓ，Ｑの共通距離の中で、次
式（６８）により表される最小反復距離数を有するもの
を選択する。

【０３５０】

【数６８】

【０３５１】続いて、画像処理装置１０は、ステップＳ
１７３において、２Ｄ_S（ｌ_min）＊Ｄ_Q（ｌ_min）個の全
ての位置についてテストを行う。１つの位置についてマ
ッチングのサイズを計算するのにＴ_c（ｎ，ｍ）＝Ｏ
（ｎ ｌｏｇ ｍ）時間を要する。ここで、ｍは、このス
テージにおけるマッチングのサイズを表す。

【０３５２】画像処理装置１０は、次のステージにおい
て、マッチングのサイズを少なくともｍであるものに限
定して、他の距離値を選択する。画像処理装置１０は、
アルゴリズムの速度を向上させるために、距離ｄ＝ｄ₂
（ｐ_i，ｐ_j）についてのテストを行うにあたって、アウ
トライアの一部を除いて点集合を簡単なものとする。こ
こで、大きな“マッチング”が存在しない場合には、少
なくとも点の１つがアウトライアであることが知られて
いる。同様に、全ての類似の距離、すなわち、Ｄ_S−Ｄ_Q
は、１つのアウトライア点を必ず有しており、スケーリ
ングを許容しなければ、既知である。このアルゴリズム
の時間複雑性は、Ｏ（Ｎ ｌｏｇ Ｎ ×Ｎ
^16/9Ｎ^2-4/3）、すなわち、Ｏ（Ｎ^31/9 ｌｏｇ ｎ）＝
Ｏ（ｎ^3.445 ｌｏｇ ｎ）時間である。

【０３５３】また、画像処理装置１０においては、多数
決法を次のように用いる。すなわち、画像処理装置１０
は、回転空間をＯ（Δ）の小さな回転量で離散化する。
次に、画像処理装置１０は、ある固定回転において、よ
く知られているBallardの手法を適用する。画像処理装
置１０においては、点の対Ｓ∈Ｓ，Ｑ∈Ｑに対し
て、Ｑ’がリングＲｉｎｇ（Ｑ，ｄ₂（Ｓ，Ｓ’）−２
ε，ｄ₂（Ｓ，Ｓ’）＋２ε）に存在するような全ての
変換Ｔ［Ｓ，Ｓ’；Ｑ，Ｑ’］，Ｔ［Ｓ，Ｓ’；Ｑ’，
Ｑ］を考察する。画像処理装置１０は、このような変換
が見つかるたび毎に、票を加えていく。最後に、画像処
理装置１０は、最大の票を得た変換を全て選択又は報告
する。例えば、投票数がｐである変換は、サイズがｐ＋
１である共通点集合を有する。

【０３５４】つぎに、ズームを行った場合における最大
共通点集合について説明する。上述したように、ここで
も類似の三角形を選択する。さらに、いわゆるハフ（Ho
ugh）法と類似の多数決アルゴリズムをこれに適用す
る。

【０３５５】これまでに述べたアルゴリズムは、全て部
分対称性の概念に依存する実行時間を有している。ここ
で、２つの変換が少なくとも２つの点とマッチし、これ
らの変換が等価なモジュロ回転行列ＴＲである場合
に、これらの２つの変換は、部分対称性を有するとい
う。

【０３５６】したがって、画像処理装置１０は、点とマ
ッチする変換Ｔ∈Ｔが見出されたとき、すなわち、｜
Ｍ｜＝ｒとしてＳ∩Ｔ（Ｑ）＝Ｍであるとき、
次式（６９）により定義されるＱの部分点集合Ｑ’
を有するＭのｒ個の点とマッチする回転変換を計算す
ることができる。

【０３５７】

【数６９】

【０３５８】ここで、Ｍの対称群Ｔ（Ｍ）は、すで
に加えてある。画像処理装置１０は、変換の計算を２回
行うことを避けるために、変換のリストをメモリ中に保
存する。

【０３５９】つぎに、ランダム制約配置法について説明
する。ｋを変換Ｔ∈Ｔを定義するのに必要な点の対の
数であるとする。例えば、並進、回転、均一スケーリン
グすなわちズームに対しては、ｋ＝２である。ここで、
点のα％がマッチするものと仮定する。このとき、画像
処理装置１０は、およそ１−α^kの確率で条件を満たす
変換を得ることができる。さらに、画像処理装置１０
は、ｋ−部分集合について調べる場合に、変換がα％の
点をマッチさせるならば、まず最初にサイズがｒの部分
集合について調べる。画像処理装置１０は、この部分集
合が少なくともβ％とマッチする場合には、全ての集合
についてテストを行い、部分集合が少なくともβ％とマ
ッチしない場合には、この変換を棄却する。画像処理装
置１０は、このような処理をＯ（１）回繰り返す。すな
わち、次式（７０）により表されるｔ時間アルゴリズム
が得られる。ここで、次式（７１）は、Ｑの類似性に
関連し、Ｃ（・，・）は、マッチングアルゴリズムの正
確性を測定する際の費用である。なお、画像処理装置１
０は、バースディパラドックス法を用いても同様に行う
ことができ、両方の集合の次式（７２）により表される
ｘ個の点を繰り返しサンプリングする。

【０３６０】

【数７０】

【０３６１】

【数７１】

【０３６２】

【数７２】

【０３６３】ここで、ある応用において意味のある変換
Ｔ∈Ｔのみに関心があるものとする。例えば、｜ｄ
（Ｔ（Ｓ_i），Ｔ（Ｓ_j））−ｄ（Ｓ_i，Ｓ_j）｜≦ωとな
るような変換に関心をもっているものとする。ここで、
ωは、入力の信頼度に依存する量である。画像処理装置
１０は、Ｑのｋ−部分集合（Ｓ₁，・・・，Ｓ_k）の全
てをテストする代わりに、まず最初に、点Ｑ₁∈Ｑを
選択し、この点Ｑ₁を中心とするリングであり、その内
径がｄ（Ｓ₁，Ｓ₂）−ωであり幅が２ωであるようなリ
ングの内部の点のみを、Ｑ₂の候補として選択する。た
だし、ωは、規定パラメータである。画像処理装置１０
は、このような処理を反復実施し、上述した制約を変換
Ｔに課す幾何学的範囲内において集合Ｑに対する問い
合わせを行う。ここで、次式（７３）を上述した制約を
満足するＱのｋ個からなる点の組の数であるとする。
ただし、ｔは、点集合Ｑの自己類似性に依存する量で
ある。

【０３６４】

【数７３】

【０３６５】例えばｋ＝２とする。ここで、画像処理装
置１０は、集合Ｓからランダムにとった点の対
｛Ｓ₁，Ｓ₂｝が与えられたとき、｜ｄ（Ｑ₁，Ｑ₂）−ｄ
（Ｓ₁，Ｓ₂）｜≦ωとなるようなＱの点の対｛Ｑ₁，
Ｑ₂｝を探索する。理想的には、距離がｄ（Ｓ₁，Ｓ₂）
−ωとｄ（Ｓ₁，Ｓ₂）＋ωとの間にあるようなＱの点
の対を全て列挙するのが望ましいが、それ自体が困難な
問題である。したがって、画像処理装置１０は、以下の
ように処理を進める。すなわち、画像処理装置１０は、
Ｑの点を順次選択し、現在の点Ｑ_iに対して、半径が
ｄ（Ｓ₁，Ｓ₂）−ωで幅が２ωのリングを描く。そし
て、画像処理装置１０は、このリングの内部のＱの点
の全てを報告する。さて、ｔを全てのステージにおいて
報告される点の数とする。このとき、ω＝０である場合
には、ｔも完全幾何学的グラフにおける距離反復数によ
り制約される。または、ｔは、ｍ個の点を有するｍ個の
円の最大出現率により制約される。この出現率は、Ｏ
（ｍ^4/3）＝ｏ（ｍ²）であることがわかっており、Erdo
sによれば、この値は、Ｏ（ｎ¹⁺ε）であると推測され
ている。画像処理装置１０は、“P. Gupta, R. Janarda
n, and M. Smid, On intersection searching problems
involving curved objects, In Proc. 4th Scand. Wor
kshop Algorithm Theory, volume 824 of Lecture Note
s Comput. Sci., pages 183-194, Springer-Verlag, 19
94”に記載されている方法に基づいてデータ構造を作成
し、テストすべきｔ個の点の対を報告する。この手法
は、任意の次元に一般化することができるが、ｄ≧４で
ある場合には、単位距離の数は、２次関数で与えられ
る。この問い合わせの方法を、与えられた変換Ｔがマッ
チするのかしないのかをチェックするためにも用いるこ
とが可能である。この場合、まず最初にＯ（１）個の点
についてチェックし、次に集合全体に拡張する。配置法
における幾何学的フィルタリングは、一般的な手法とし
て用いることができるが、具体的な応用に合わせてチュ
ーニングする必要がある。

【０３６６】画像処理装置１０は、以上のようにして最
大共通点集合を検出することによって、画像を合成する
ことができ、例えばパノラマ状の合成画像や遠近感に優
れた斜視状の合成画像等を生成することができる。

【０３６７】つぎに、条件付き幾何学的ハッシングにつ
いて説明する。幾何学的ハッシングは、最初に“Y. Lam
dan and H. J. Wolfson, Geometric hashing:a general
andefficient model-based recognition scheme, In 2
nd Inter. Conf. on Comput. Vision, pages 238-249,
1988”により導入され、“Y. Lamdan, J. T. Schwartz,
and H. J. Wolfson, Object recognition by affine i
nvariant mapping, In Proc. IEEE Internat. Conf. Co
mput. Vision Pattern. Recogn., pages 335-344, 198
8”や“Y. Lamdan and H. J. Wolfson, On the error a
nalysis of geometric hashing, In Proc. IEEE Intern
at. Conf. Comput. Vision Pattern. Recogn., pages 2
2-27, 1991”により発展改良された。幾何学的ハッシン
グは、固定された点集合Ｑ、すなわちモデルと、様々
なシーン、すなわち点集合Ｓとの間の多重問い合わせ
をするのに用いることができる。ここでは、形式化を行
い、幾何学的制約を幾何学的ハッシングに適用する方法
を示す。幾何学的ハッシングは、おおよそ、前処理ステ
ージと問い合わせステージとの２つのステージに分けら
れる。前処理ステージでは、モデルをそれ自身にマップ
し、問い合わせステージでは、マッチするものがあるか
どうかを短時間内に答える。ここで、ＱからＳへの
変換は、２つのｋ個の点からなる組により定義される。

【０３６８】画像処理装置１０は、モデルＱの前処理
として、Ｑのｋ個の点からなる組のうち任意の組Ｑ
_Tを選択する。次に、画像処理装置１０は、Ｑのｋ個
の点からなる組に対して、可能な全ての順列である可能
なｋ！個の変換の全てを検討する。画像処理装置１０
は、Ｑ_T及び他のｋ個の点の組から得られる変換であ
る与えられた変換Ｔ_iに対して、集合Ｔ_i（Ｑ）を作成
し、ラベル‘Ｔ_i’を各点Ｐ∈Ｔ_i（Ｑ）毎にハッシュ
テーブルに保存する。すなわち、画像処理装置１０は、
ラベル‘Ｔ_i’を直交座標を用いて、Ｈ（Ｐ）に保存
する。

【０３６９】そして、画像処理装置１０は、シーンＳ
の問い合わせとして、Ｓのｋ−点組の全てを調べ、
Ｑ_Tに関する変換であるモデルからシーンへの変換
Ｔ_i’の全てを探索する。画像処理装置１０は、各変換
Ｔ_i’に対して、集合Ｔ_i’（Ｓ）を作成してハッシュ
テーブルに保存する。さらに正確には、画像処理装置１
０は、全ての点Ｐ_j∈Ｔ_i’（Ｓ）を順次調べて、Ｈ
（Ｐ_j）に保存されている全ての変換に対して票を１つ
ずつ加える。画像処理装置１０は、全ての変換Ｔ_i’を
調べ終わると、得票数が最大のものを選択又は列挙す
る。最後に、画像処理装置１０は、後述するように、モ
デルからシーンへの直接変換を行う。

【０３７０】幾何学的ハッシングの作用は、基本的に
は、変換空間が例えば行列の積であると見なせるよう
に、変換空間がその任意の変換を２つの変換Ｔ＝Ｔ₁×
Ｔ₂に分解することができるような群であることに基づ
いている。そこで、画像処理装置１０は、点の組をモデ
ルＴ_QからシーンＴ_Sの点の組にマップするために、まず
最初に、Ｔ_QをＱにおける基準の組であるＱ_Tにマッ
プし、次にＱ_TをＴ_Sにマップする。したがって、次式
（７４）となる。

【０３７１】

【数７４】

【０３７２】なお、幾何学的フィルタリング技術を上述
した幾何学的ハッシングに適用することが可能である。
例えば、一定ズームで処理を行いたい場合には、画像処
理装置１０は、ズーム率がｂである次式（７５）により
表される現在の変換に対応するズーム率が１／ｂである
変換をハッシュテーブルＨで調べるだけでよい。この
とき、εの項もε／ｂに置換される。完全なハッシュテ
ーブルを作成することは、時間的にもメモリ容量の点か
らも困難であることから、画像処理装置１０は、ランダ
ム法、すなわち、モデルＱの部分集合Ｑ’を用い
る。したがって、画像処理装置１０は、ＳがＱ’に
対してよくマッチするかをハッシュテーブルで調べ、
ＳがＱ’に対してよくマッチする場合には、全ての
対を調べる。また、ＳがＱ’に対してよくマッチし
ない場合には、画像処理装置１０は、正しい変換を失う
可能性があるが、その確率は、“Sandy Irani and Prab
hakarRaghavan, Combinatorial and experimental resu
lts for randomized point matching algorithms, In P
roc. 12th Annual ACM Symposium on Computational Ge
ometry, pages 68-77, 1996”に記載されているよう
に、実用上十分に小さい。

【０３７３】

【数７５】

【０３７４】以上説明したように、画像処理装置１０
は、画像中の任意のオブジェクトを、異なるソースから
の画像中の任意のオブジェクトに対して、効率的に同定
することができる。このような画像処理装置１０は、オ
ブジェクトの同定を行うばかりではなく、画像合成、デ
ータ圧縮、情景分析等に応用することができ、例えばモ
ザイク化への応用も図ることができる。

【０３７５】なお、本発明は、上述した実施の形態に限
定されるものではなく、例えば、複数のオブジェクトの
同定を行う場合にも、上述した処理を行うことによっ
て、効率的にオブジェクトの同定を行うことができるこ
とは勿論である。

【０３７６】このように、本発明は、その趣旨を逸脱し
ない範囲で適宜変更が可能であることはいうまでもな
い。

【０３７７】

【発明の効果】以上詳細に説明したように、本発明にか
かる画像処理方法は、２以上の画像のそれぞれについて
の特徴点を抽出する特徴抽出工程と、２以上の画像のう
ち、一の画像と他の画像との特徴点を比較してマッチン
グを行うマッチング工程と、このマッチング工程の結果
に基づいて、一の画像に含まれるオブジェクトを、他の
画像に含まれるオブジェクトに対して同定する同定工程
とを備える。

【０３７８】したがって、本発明にかかる画像処理方法
は、２以上の画像のそれぞれについての特徴点を抽出
し、２以上の画像のうち、一の画像と他の画像との特徴
点を比較してマッチングを行い、このマッチングの結果
に基づいて、一の画像に含まれるオブジェクトを、他の
画像に含まれるオブジェクトに対して同定することによ
って、例えば汎用のコンピュータを用いて効率的に異な
るソース間でのオブジェクトの同定を行うことができ
る。

【０３７９】また、本発明にかかる画像処理装置は、２
以上の画像のそれぞれについての特徴点を抽出する特徴
抽出手段と、２以上の画像のうち、一の画像と他の画像
との特徴点を比較してマッチングを行うマッチング手段
と、このマッチング手段によるマッチングの結果に基づ
いて、一の画像に含まれるオブジェクトを、他の画像に
含まれるオブジェクトに対して同定する同定手段とを備
える。

【０３８０】したがって、本発明にかかる画像処理装置
は、特徴抽出手段によって、２以上の画像のそれぞれに
ついての特徴点を抽出し、マッチング手段によって、２
以上の画像のうち、一の画像と他の画像との特徴点を比
較してマッチングを行い、同定手段によって、マッチン
グの結果に基づいて、一の画像に含まれるオブジェクト
を、他の画像に含まれるオブジェクトに対して同定する
ことによって、例えば汎用のコンピュータを用いて効率
的に異なるソース間でのオブジェクトの同定を行うこと
ができる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の実施の形態として示す画像処理装置の
構成を説明するブロック図である。

【図２】画像データの例を示す図である。

【図３】画像データの他の例を示す図である。

【図４】重複部分を説明する図であって、（Ａ）は、３
次元空間上の点を撮像して２次元画像上に投影されて得
られる２枚の画像データを示す図であり、（Ｂ）は、２
枚の画像データを重複させている様子を示す図である。

【図５】重複率に応じてマッチング処理を行う手法を変
化させることを説明するための図である。

【図６】特徴点の特性を用いたことを考慮したマッチン
グ処理を行う際に適用されるモンテカルロ法のアルゴリ
ズムの例を示す図である。

【図７】処理実行部で行うマッチング処理について説明
するための図である。

【図８】幾何学的フィルタリングアルゴリズムの例を示
す図である。

【図９】図８に示した幾何学的フィルタリングアルゴリ
ズムとランダムに組み合わせることによって、マッチン
グ処理を行うアルゴリズムの例を示す図である。

【図１０】同画像処理装置において、一の画像データ中
に含まれるオブジェクトを、他の画像データに含まれる
オブジェクトに対して同定する際の一連の処理を説明す
るフローチャートである。

【図１１】同画像処理装置における幾何学的パターンマ
ッチングの手法を説明する図である。

【図１２】等長変換の例を示す図であって、あるパター
ンに対する転移、回転及び鏡映を示す図である。

【図１３】対合的回転対称の例を示す図であって、
（Ａ）は、あるパターンを回転させた合同の例と、アウ
トライアが存在する非合同の例とを示す図であり、
（Ｂ）は、あるパターンに対する転移、転移及び回転、
鏡映である合同の例を示す図である。

【図１４】点集合及び雑音を含む点集合を示す図であっ
て、（Ａ）は、点集合の最小点間距離が球の半径よりも
小さい場合を示す図であって、（Ｂ）は、点集合の最小
点間距離が球の半径よりも大きい場合を示す図である。

【図１５】同画像処理装置において、２つの点集合が合
同であるか否かを検出する際の一連の処理を説明するフ
ローチャートであって、前半部分の処理を説明する図で
ある。

【図１６】同画像処理装置において、２つの点集合が合
同であるか否かを検出する際の一連の処理を説明するフ
ローチャートであって、後半部分の処理を説明する図で
ある。

【図１７】合同である２つの点集合の例を示す図であっ
て、（Ａ）は、同一の半径を有する円上に単一の点のみ
を有する２つの点集合を示す図であって、（Ｂ）は、同
一の半径を有する円上に複数の点を有する２つの点集合
を示す図である。

【図１８】同画像処理装置において、２次元の点集合の
対称性を検出する際の一連の処理を説明するフローチャ
ートである。

【図１９】同画像処理装置において、ｄ次元の点集合の
対称性を検出する際の一連の処理を説明するフローチャ
ートである。

【図２０】類似性を有する点集合の例を示す図である。

【図２１】部分集合合同問題を説明するための図であっ
て、（Ａ）は、ある点集合を示す図であり、（Ｂ）は、
（Ａ）に示す点集合の複製が含まれるあるシーンを示す
点集合を示す図である。

【図２２】同画像処理装置において、２つの集合が平面
の場合でありズームを許容しない場合に部分合同を検出
する際の一連の処理を説明するフローチャートである。

【図２３】同画像処理装置において、２つの集合がｄ次
元の場合に部分合同を検出する際の一連の処理を説明す
るフローチャートである。

【図２４】ブーリアンバケットの例を示す図である。

【図２５】環形問い合わせの例を示す図であって、
（Ａ）は、環形問い合わせのバケットを示す図であり、
（Ｂ）は、扇形問い合わせのバケットを示す図である。

【図２６】同画像処理装置において、転移及び／又は回
転を含むパターンマッチングを行う際の一連の処理を説
明するフローチャートである。

【図２７】同画像処理装置において、大きな点集合濃度
に対して、転移及び／又は回転を含むパターンマッチン
グを行う際の一連の処理を説明するフローチャートであ
る。

【図２８】同画像処理装置において、パラメータγを推
定する際の一連の処理を説明するフローチャートであ
る。

【図２９】スケーリングを行った場合における部分合同
の例を示す図であって、（Ａ）は、ある集合を示す図で
あり、（Ｂ）は、（Ａ）に示す集合の部分集合と大きさ
が異なる部分合同が含まれている集合を示す図である。

【図３０】同画像処理装置において、部分合同を検出す
る際の一連の処理を説明するフローチャートである。

【図３１】同画像処理装置において、部分合同を検出す
る際の一連の処理を説明するフローチャートであって、
反復法を用いて改良された一連の処理を説明する図であ
る。

【図３２】ある集合の三角形による他の集合に対する問
い合わせの例を説明するための図である。

【図３３】最大共通点集合の例を示す図であって、最大
共通点集合及び次に大きい共通点集合を示す図である。

【図３４】同画像処理装置において、決定問題を解く際
の各ステージにおける一連の処理を説明するフローチャ
ートである。

【符号の説明】

１０ 画像処理装置、 １１ ビデオキャプチャー部、
１２，１３ 特徴抽出部、 １４ 処理実行部、 １
５ 評価部、 ２０ カメラ部、 ３０ データ入力
部、 ４０ 表示部

Claims (14)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】 ２以上の画像のそれぞれについての特徴
   点を抽出する特徴抽出工程と、 上記２以上の画像のうち、一の画像と他の画像との特徴
   点を比較してマッチングを行うマッチング工程と、 上記マッチング工程の結果に基づいて、上記一の画像に
   含まれるオブジェクトを、上記他の画像に含まれるオブ
   ジェクトに対して同定する同定工程とを備えることを特
   徴とする画像処理方法。
2. 【請求項２】 上記マッチング工程では、ハウスドルフ
   マッチングを行うことを特徴とする請求項１記載の画像
   処理方法。
3. 【請求項３】 上記マッチング工程では、ボトルネック
   マッチングを行うことを特徴とする請求項１記載の画像
   処理方法。
4. 【請求項４】 上記マッチング工程では、上記一の画像
   についての全ての特徴点からなる特徴点群を示す第１の
   集合と、上記他の画像についての全ての特徴点からなる
   特徴点群を示す第２の集合との合同を検出することを特
   徴とする請求項１記載の画像処理方法。
5. 【請求項５】 上記マッチング工程は、 上記第１の集合及び上記第２の集合のそれぞれの全ての
   最近接点対を求め、これらの最近接点対が一致する距離
   を有するか否かを判別する最近接点対距離判別工程と、 上記最近接点対距離判別工程にて一致すると判別された
   上記第１の集合及び上記第２の集合のそれぞれの最近接
   点対が同じ基本性質を有するか否かを判別する最近接点
   対性質判別工程と、 上記第１の集合及び上記第２の集合のそれぞれを正規化
   する正規化工程と、 上記第１の集合のセントロイドと、上記第２の集合のセ
   ントロイドとを求めて重複させるセントロイド重複工程
   と、 上記第１の集合を構成する全ての特徴点群と上記第１の
   集合のセントロイドとの距離と、上記第２の集合を構成
   する全ての特徴点群と上記第２の集合のセントロイドと
   の距離とを求める距離計算工程と、 上記第１の集合及び上記第２の集合のそれぞれの半径関
   数を計算する半径関数計算工程と、 上記半径関数計算工程にて計算された上記第１の集合の
   半径関数の濃度が最小となる距離における上記第１の集
   合及び上記第２の集合のそれぞれの半径関数である第３
   の集合及び第４の集合を求める集合検出工程と、 上記集合検出工程にて求められた上記第３の集合及び上
   記第４の集合の幾何学的グラフを計算し、これらの幾何
   学的グラフが同一の数の反復距離を有しているか否かを
   判別する反復距離数判別工程と、 上記反復距離数判別工程にて上記第３の集合及び上記第
   ４の集合の幾何学的グラフが同一の数の反復距離を有し
   ていると判別された場合に、上記第３の集合の凸閉包の
   １つの面である稜線を算出する稜線算出工程と、 上記稜線算出工程にて算出された稜線を、上記第４の集
   合の凸閉包のいずれかの稜線に対してマッチさせる稜線
   マッチ工程と、 上記稜線マッチ工程にてマッチさせた稜線対に基づいて
   与えられる全ての変換をテストするテスト工程とを有
   し、 上記第１の集合と上記第２の集合との合同を検出するこ
   とを特徴とする請求項４記載の画像処理方法。
6. 【請求項６】 上記稜線マッチ工程にてマッチさせた稜
   線対は、剛体運動を定義することを特徴とする請求項５
   記載の画像処理方法。
7. 【請求項７】 上記稜線マッチ工程にてマッチさせた稜
   線対に基づいて与えられる変換は、アフィン変換である
   ことを特徴とする請求項５記載の画像処理方法。
8. 【請求項８】 ２以上の画像のそれぞれについての特徴
   点を抽出する特徴抽出手段と、 上記２以上の画像のうち、一の画像と他の画像との特徴
   点を比較してマッチングを行うマッチング手段と、 上記マッチング手段によるマッチングの結果に基づい
   て、上記一の画像に含まれるオブジェクトを、上記他の
   画像に含まれるオブジェクトに対して同定する同定手段
   とを備えることを特徴とする画像処理装置。
9. 【請求項９】 上記マッチング手段は、ハウスドルフマ
   ッチングを行うことを特徴とする請求項８記載の画像処
   理装置。
10. 【請求項１０】 上記マッチング手段は、ボトルネック
    マッチングを行うことを特徴とする請求項８記載の画像
    処理装置。
11. 【請求項１１】 上記マッチング手段は、上記一の画像
    についての全ての特徴点からなる特徴点群を示す第１の
    集合と、上記他の画像についての全ての特徴点からなる
    特徴点群を示す第２の集合との合同を検出することを特
    徴とする請求項８記載の画像処理装置。
12. 【請求項１２】 上記マッチング手段は、上記第１の集
    合及び上記第２の集合のそれぞれの全ての最近接点対を
    求め、これらの最近接点対が一致する距離を有するか否
    かを判別し、一致すると判別された上記第１の集合及び
    上記第２の集合のそれぞれの最近接点対が同じ基本性質
    を有するか否かを判別し、上記第１の集合及び上記第２
    の集合のそれぞれを正規化し、上記第１の集合のセント
    ロイドと、上記第２の集合のセントロイドとを求めて重
    複させ、上記第１の集合を構成する全ての特徴点群と上
    記第１の集合のセントロイドとの距離と、上記第２の集
    合を構成する全ての特徴点群と上記第２の集合のセント
    ロイドとの距離とを求め、上記第１の集合及び上記第２
    の集合のそれぞれの半径関数を計算し、上記第１の集合
    の半径関数の濃度が最小となる距離における上記第１の
    集合及び上記第２の集合のそれぞれの半径関数である第
    ３の集合及び第４の集合を求め、上記第３の集合及び上
    記第４の集合の幾何学的グラフを計算し、これらの幾何
    学的グラフが同一の数の反復距離を有しているか否かを
    判別し、上記第３の集合及び上記第４の集合の幾何学的
    グラフが同一の数の反復距離を有していると判別された
    場合に、上記第３の集合の凸閉包の１つの面である稜線
    を算出し、算出された稜線を、上記第４の集合の凸閉包
    のいずれかの稜線に対してマッチさせ、このマッチさせ
    た稜線対に基づいて与えられる全ての変換をテストする
    ことによって、上記第１の集合と上記第２の集合との合
    同を検出することを特徴とする請求項１１記載の画像処
    理装置。
13. 【請求項１３】 マッチさせた稜線対は、剛体運動を定
    義することを特徴とする請求項１２記載の画像処理装
    置。
14. 【請求項１４】 マッチさせた稜線対に基づいて与えら
    れる変換は、アフィン変換であることを特徴とする請求
    項１２記載の画像処理装置。