JP2000298665A

JP2000298665A - 演算アルゴリズム決定用データベースと演算アルゴリズム決定用データベース作成装置とプログラム記録媒体

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Publication number: JP2000298665A
Application number: JP11104685A
Authority: JP
Inventors: Takuya Konya; 拓弥紺谷
Original assignee: Fujitsu Ltd
Current assignee: Fujitsu Ltd
Priority date: 1999-04-13
Filing date: 1999-04-13
Publication date: 2000-10-24

Abstract

(57)【要約】【課題】本発明は、多項式乗算の演算アルゴリズムの決
定に用いられる演算アルゴリズム決定用データベースを
作成する装置の提供を目的とする。【解決手段】多項式の係数の取ることのできる値域情報
を入力する入力手段と、テスト用多項式の次数を設定し
て、入力手段の入力する値域情報に従う係数を発生する
ことでテスト用多項式を生成する生成手段と、多項式乗
算の演算アルゴリズムに従う複数の演算プログラムに対
して、テスト用多項式の乗算を指示することで、その演
算時間を取得する取得手段と、生成手段に対して設定次
数を指示しつつ、取得手段の取得する演算時間の大小関
係から、多項式の次数との関係で、どの演算アルゴリズ
ムに従う演算プログラムを用いることが多項式乗算の演
算時間の短縮に有利になるのかということを示す情報を
得てデータベースに登録する登録手段とを備えるように
構成する。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、多項式乗算の演算
アルゴリズムの決定に用いられる演算アルゴリズム決定
用データベースと、そのデータベースを作成する演算ア
ルゴリズム決定用データベース作成装置と、その装置の
実現に用いられるプログラムが格納されるプログラム記
録媒体とに関する。

【０００２】従来より多項式の乗算は、数式処置ソフト
ウェアの機能において重要な位置を占めてきた。特に近
年は、インターネット等のディジタル通信技術の発展に
伴って注目されている情報の暗号化技術において、整数
係数の多項式の乗算が重要な役割を持つものであること
がわかってきている。

【０００３】近年、暗号化の方式として主流になりつつ
あるのは、「楕円曲線暗号」と呼ばれる暗号化方式であ
る。これは、射影平面上の楕円曲線上の全ての点が群を
なすことに着目するとき、この群における離散対数問題
（「ある群の元、ａ，ｂ∈＜ａ＞に対して、ａⁿ＝ｂと
なる整数ｎを求めよ」）の困難さに基づく暗号化方式で
ある。

【０００４】楕円曲線とは、ある三次元方程式を満たす
点の集合である。楕円曲線暗号に用いられるのは、有限
体上の楕円曲線である。有限体とは、ある素数ｐによる
除算の余りで分類された整数のクラスがなす体である。
従って、計算機上で楕円曲線を取り扱うことは、整数係
数の多項式を取り扱うことに他ならない。

【０００５】楕円曲線を定義する三次元方程式や素数ｐ
というパラメータの選び方により、生成される暗号の強
度は著しく異なる。強い楕円曲線暗号を生成するパラメ
ータを決定する方法としては、様々なものが提案されて
いるが、未だ決定的な方式を確定するには至っていない
のが現状である。

【０００６】そこで、計算機を用いた実験が必要とな
る。計算機上で楕円曲線を取り扱うことは、整数係数の
多項式を取り扱うことであるが、整数論で研究されてき
た理論によれば、そのような多項式の操作の大部分を、
多項式の乗算が占めることが判っている。即ち、多項式
の乗算を高速化することが、楕円曲線暗号のパラメータ
を効率よく決定するための鍵である、と言うことができ
る。

【０００７】

【従来の技術】多項式乗算のアルゴリズムとして、従来
より、古典的算法、Ｋaratsuba（カラツバ）法、ＦＦＴ
（高速フーリエ変換）法という３つものが知られてい
る。

【０００８】ｆ(x),ｇ(x) をｎ次の多項式とするなら
ば、これらの多項式乗算のアルゴリズムでは、このｆ
(x),ｇ(x) を、ｆ(x) ＝ａ(x) ｘ^n/2＋ｂ(x) ｇ(x) ＝ｃ(x) ｘ^n/2＋ｄ(x) と変形する。古典的算法通常の筆算で行う算法である。再帰的に表現すれば、ｆ・ｇ＝ａ・ｃ・ｘⁿ＋（ａ・ｄ＋ｂ・ｃ）ｘ^n/2＋ｂ
・ｄなる演算を再帰的に行う算法である。この古典的算法で
は、１回の再帰につき、乗算４回、加算３回が必要とな
る。Ｋaratsuba法再帰的に表現すれば、ｆ・ｇ＝ａ・ｃ・ｘⁿ＋（ａ・ｃ＋ｂ・ｄ＋（ａ−ｂ)
(ｄ−ｃ))ｘ^n/2＋ｂ・ｄなる演算を再帰的に行う算法である。このＫaratsuba法
では、１回の再帰につき、乗算３回、加算６回が必要と
なる。ＦＦＴ法多項式の係数を１つのベクトルとみなせば、多項式の乗
算とは、それらのベクトルの畳み込みに他ならない。ベ
クトルの畳み込みは、フーリエ変換を用いて周波数領域
に移すことにより、要素毎の積に変換することができ
る。ＦＦＴ法とは、ＦＦＴ（正変換）を用いて係数ベク
トルを周波数領域に移し、要素毎の積を行った後、ＦＦ
Ｔ（逆変換）を用いて結果を時間領域に戻すことによ
り、畳み込み、すなわち多項式乗算を行う方式である。

【０００９】この際使用されるＦＦＴは、有限体に含ま
れる適当な「１のべき根」を用いて実行される、「有限
体上のＦＦＴ」である。

【００１０】なお、計算の対象となるのは非常に大きな
整数であるが、装置で使用する変数に格納可能なビット
長を持つ、比較的小さな素数を標数とする幾つかの有限
体の元として、係る大きな整数を幾通りかに表現し、係
る幾通りかの元に対してＦＦＴを実行し、その結果を中
国剰余定理により結合することにより、必要な結果を得
ることになる。

【００１１】古典的算法、Ｋaratsuba法、ＦＦＴ法を比
較するに、計算量だけを単純に比較すれば、ＦＦＴ法が
最も高速であり、次いでＫaratsuba法、その次に古典的
算法の順になるのであるが、ＦＦＴ法では、１のべき根
を計算したり、ベクトル要素の並び替え（ビットリバー
ス変換）を行ったりする際にオーバーヘッドが発生し、
Ｋaratsuba法では、加算の回数が古典的算法の３回に比
べて６回に増えているので、実際の状況はもっと複雑で
ある。

【００１２】経験的には、低次数の多項式に対しては古
典的算法が適し、中次数の多項式に対してはＫaratsuba
法が適し、高次数の多項式に対してはＦＦＴ法が適して
いることが知られている。

【００１３】これから、従来では、多項式乗算を実行す
るときには、この経験則に従って、低次数の多項式に対
しては古典的算法を使って多項式乗算を実行し、中次数
の多項式に対してはＫaratsuba法を使って多項式乗算を
実行し、高次数の多項式に対してはＦＦＴ法を使って多
項式乗算を実行するようにしていた。

【００１４】

【発明が解決しようとする課題】しかしながら、従来技
術では、古典的算法からＫaratsuba法へ、Ｋaratsuba法
からＦＦＴ法へと切り替える閾値を正確に把握していた
訳ではなく、これから、多項式乗算の高速化が図られて
いないという問題点があった。

【００１５】この閾値は、多項式の次数のみならず、多
項式の係数のビット長や、有限体の標数や、使用する変
数の種類などによって複雑に変化することになる。

【００１６】更に、Ｋaratsuba法を使って途中まで再帰
的に多項式乗算を実行することで次数を減らし、その
後、古典的算法を使って再帰的に多項式乗算を実行する
ことも可能であり、このような場合には、この閾値は、
Ｋaratsuba法の再帰回数と関連して一層複雑に変化する
ことになる。

【００１７】本発明はかかる事情に鑑みてなされたもの
であって、多項式乗算の演算アルゴリズムの決定に用い
られる新たな演算アルゴリズム決定用データベースの提
供と、そのデータベースを作成する新たな演算アルゴリ
ズム決定用データベース作成装置の提供と、その装置の
実現に用いられるプログラムが格納される新たなプログ
ラム記録媒体の提供とを目的とする。

【００１８】

【課題を解決するための手段】図１に本発明の原理構成
を図示する。

【００１９】図中、１は本発明を具備する演算アルゴリ
ズム決定用データベースであって、多項式乗算の演算ア
ルゴリズムの決定に用いられるもの、２は本発明を具備
する演算アルゴリズム決定用データベース作成装置であ
って、演算アルゴリズム決定用データベース１を作成す
るもの、３は演算アルゴリズム決定用データベース作成
装置２の備える端末、４は演算アルゴリズム決定用デー
タベース１を操作するデータベース入出力端末である。

【００２０】本発明の演算アルゴリズム決定用データベ
ース作成装置１は、演算アルゴリズム決定用データベー
ス１を作成するために、複数の演算プログラム２０-i
（ｉ＝１〜ｎ）と、入力手段２１と、生成手段２２と、
取得手段２３と、登録手段２４とを備える。

【００２１】この演算プログラム２０-iは、別々の演算
アルゴリズムに従って多項式乗算を実行したり、同一の
演算アルゴリズムに従いつつ別々の変数を用いて多項式
乗算を実行する。

【００２２】入力手段２１は、端末３から、多項式の係
数の取ることのできる値域情報を入力し、これに加え
て、多項式乗算に用いる演算プログラムの変数情報を入
力することがある。生成手段２２は、テスト用多項式の
次数を設定して、入力手段２１の入力した値域情報に従
う係数を発生することでテスト用多項式を生成する。

【００２３】取得手段２３は、各演算プログラム２０-i
に対して、生成手段２２の生成したテスト用多項式の乗
算を指示することで、その演算時間を取得する。この取
得手段２３は、入力手段２１が多項式乗算に用いる演算
プログラムの変数情報を入力するときには、その変数情
報の指定する変数を用いる演算プログラム２０-iに対し
て、テスト用多項式の乗算を指示することになる。ま
た、この取得手段２３は、演算アルゴリズムを途中で切
り替えていくことで演算時間の短縮を図る場合には、そ
の切り替え時点を変更設定しつつ、演算プログラム２０
-iに対してテスト用多項式の乗算を指示することにな
る。

【００２４】登録手段２４は、取得手段２３の取得した
演算時間の大小関係に変化が起こる場合には、そのとき
のテスト用多項式の次数と、その演算時間を境とする演
算アルゴリズムの識別子とを演算アルゴリズム設定用デ
ータベース１に登録し、変化が起こらない場合には、生
成手段２２に対して、１つ大きな次数を持つテスト用多
項式の生成を指示する。この登録手段２４は、取得手段
２３が演算アルゴリズムを途中で切り替えていくときに
は、演算時間の短縮を実現するその切替情報について
も、演算アルゴリズム設定用データベース１に登録する
ことになる。

【００２５】ここで、本発明の演算アルゴリズム決定用
データベース作成装置２の持つ機能は具体的にはプログ
ラムで実現されるものであり、このプログラムは、フロ
ッピィディスクなどに格納されたり、サーバなどのディ
スクなどに格納され、それらから演算アルゴリズム決定
用データベース作成装置２にインストールされてメモリ
上で動作することで、本発明を実現することになる。

【００２６】このように構成される本発明の演算アルゴ
リズム決定用データベース作成装置２では、入力手段２
１が、多項式の係数の取ることのできる値域情報と、多
項式乗算に用いる演算プログラムの変数情報とを入力す
ると、生成手段２２は、テスト用多項式の次数を設定し
て、その入力された値域情報に従う係数を発生すること
でテスト用多項式を生成する。

【００２７】このテスト用多項式の生成を受けて、取得
手段２３は、入力手段２１の入力した変数情報の指定す
る変数を用いる各演算プログラム２０-iに対して、生成
されたテスト用多項式の乗算を指示することで、その演
算時間を取得する。このとき、取得手段２３は、演算ア
ルゴリズムを途中で切り替えていくことで演算時間の短
縮を図る場合には、その切り替え時点を変更設定しつ
つ、演算プログラム２０-iに対してテスト用多項式の乗
算を指示していく。

【００２８】この取得手段２３の取得する演算時間を受
けて、登録手段２４は、取得された演算時間の大小関係
に変化が起こる場合には、そのときのテスト用多項式の
次数と、その演算時間を境とする演算アルゴリズムの識
別子とを演算アルゴリズム決定用データベース１に登録
し、変化が起こらない場合には、生成手段２２に対し
て、１つ大きな次数を持つテスト用多項式の生成を指示
する。このとき、取得手段２３が演算アルゴリズムを途
中で切り替えていくときには、登録手段２４は、演算時
間の短縮を実現するその切替情報についても、演算アル
ゴリズム決定用データベース１に登録していく。

【００２９】このようにして、本発明の演算アルゴリズ
ム決定用データベース１には、多項式の係数の取ること
のできる値域情報と、多項式乗算に用いる演算プログラ
ムの変数情報とがこういう条件にあるときにおいて、多
項式の次数との関係で、どの演算アルゴリズムに従う演
算プログラムを用いることが多項式乗算の演算時間の短
縮に有利になるのかということを示す情報が登録される
ことになる。そして、演算アルゴリズムを途中で切り替
えていくことで演算時間の短縮を図る場合には、どこま
で演算処理を実行してから切り替えるのかという情報が
登録されることになる。

【００３０】これから、データベース入出力端末４は、
多項式の係数の取ることのできる値域情報と、使用する
演算プログラムの変数情報とが指定されると、それを検
索キーにして演算アルゴリズム決定用データベース１を
検索することで、乗算対象となる多項式の次数との関係
で、最も高速に多項式乗算を実行する演算プログラムを
決定できるようになる。

【００３１】

【発明の実施の形態】以下、実施の形態に従って本発明
を詳細に説明する。

【００３２】図２に、本発明の一実施例を図示する。

【００３３】この実施例に従う本発明の演算アルゴリズ
ム決定用データベース作成装置２は、演算装置３０と、
計算手順ＲＯＭ３１と、乱数発生装置３２と、記憶装置
３３と、動作時間測定比較装置３４とを備える。

【００３４】この演算装置３０は、多項式の係数である
整数を格納する変数として、固定小数点型と、単精度浮
動小数点型の仮数部と、倍精度浮動小数点型の仮数部と
が用意されることに対応して、固定小数点加算機／固定
小数点乗算機と、単精度浮動小数点加算機／単精度浮動
小数点乗算機と、倍精度浮動小数点加算機／倍精度浮動
小数点乗算機とを備える。

【００３５】一方、計算手順ＲＯＭ３１は、図３に示す
ように、固定小数点用古典的算法演算プログラム３１０
と、単精度浮動小数点用古典的算法演算プログラム３１
１と、倍精度浮動小数点用古典的算法演算プログラム３
１２と、固定小数点用Ｋaratsuba法演算プログラム３２
０と、単精度浮動小数点用Ｋaratsuba法演算プログラム
３２１と、倍精度浮動小数点用Ｋaratsuba法演算プログ
ラム３２２と、固定小数点用ＦＦＴ法演算プログラム３
３０と、単精度浮動小数点用ＦＦＴ法演算プログラム３
３１と、倍精度浮動小数点用ＦＦＴ法演算プログラム３
３２と、データベース作成プログラム３４０とを展開す
る。

【００３６】この固定小数点用古典的算法演算プログラ
ム３１０は、固定小数点型の変数に格納される係数を使
い、古典点算法により多項式乗算を実行する。単精度浮
動小数点用古典的算法演算プログラム３１１は、単精度
浮動小数点型の変数の仮数部に格納される係数を使い、
古典点算法により多項式乗算を実行する。倍精度浮動小
数点用古典的算法演算プログラム３１２は、倍精度浮動
小数点型の変数の仮数部に格納される係数を使い、古典
点算法により多項式乗算を実行する。

【００３７】また、固定小数点用Ｋaratsuba法演算プロ
グラム３２０は、固定小数点型の変数に格納される係数
を使い、Ｋaratsuba法により多項式乗算を実行する。単
精度浮動小数点用Ｋaratsuba法演算プログラム３２１
は、単精度浮動小数点型の変数の仮数部に格納される係
数を使い、Ｋaratsuba法により多項式乗算を実行する。
倍精度浮動小数点用Ｋaratsuba法演算プログラム３２２
は、倍精度浮動小数点型の変数の仮数部に格納される係
数を使い、Ｋaratsuba法により多項式乗算を実行する。

【００３８】また、固定小数点用ＦＦＴ法演算プログラ
ム３３０は、固定小数点型の変数に格納される係数を使
い、ＦＦＴ法により多項式乗算を実行する。単精度浮動
小数点用ＦＦＴ法演算プログラム３３１は、単精度浮動
小数点型の変数の仮数部に格納される係数を使い、ＦＦ
Ｔ法により多項式乗算を実行する。倍精度浮動小数点用
ＦＦＴ法演算プログラム３３２は、倍精度浮動小数点型
の変数の仮数部に格納される係数を使い、ＦＦＴ法によ
り多項式乗算を実行する。

【００３９】計算手順ＲＯＭ３１に展開されるデータベ
ース作成プログラム３４０は、これらの演算プログラム
を使って、図４に示すようなデータ構造を持つ演算アル
ゴリズム決定用データベース１を作成する。

【００４０】すなわち、演算アルゴリズム決定用データ
ベース１は、図４に示すように、有限体の標数と係数の
ビット長と変数情報とを検索キーにして、その状態にお
いて、多項式の次数がｎ₁以下であるときには、古典的
算法に従って多項式乗算を実行することが演算時間を短
縮する上で有利であり、多項式の次数がｎ₁〜ｎ₂にあ
るときには、最初にＫaratsuba法に従って再帰的に多項
式乗算を実行して、残りのＮ回の再帰回数については、
古典的算法に従って再帰的に多項式乗算を実行すること
が演算時間を短縮する上で有利であり、多項式の次数が
ｎ₂以上であるときには、ＦＦＴ法に従って多項式乗算
を実行することが演算時間を短縮する上で有利であると
いうことを管理するので、データベース作成プログラム
３４０は、これらの演算プログラムを使って、このよう
なデータ構造を持つ演算アルゴリズム決定用データベー
ス１を作成するのである。

【００４１】ここで、図４では、説明の便宜上、有限体
の標数と係数のビット長と変数情報とに対応付けて、次
数ｎ₁／再帰回数Ｎ／次数ｎ₂を管理する構成を示して
いるが、多項式の次数がｎ₁以下であるときには古典的
算法を用い、多項式の次数がｎ₁〜ｎ₂にあるときに
は、最初にＫaratsuba法、残りＮ回の再帰回数について
は古典的算法を用い、多項式の次数がｎ₂以上であると
きにはＦＦＴ法を用いるということについても、使用す
る演算アルゴリズムの識別子の情報を使って管理してい
る。

【００４２】図５ないし図７に、データベース作成プロ
グラム３４０の実行する処理フローの一実施例を図示す
る。次に、この処理フローに従って、本発明について詳
細に説明する。

【００４３】データベース作成プログラム３４０は、有
限体の標数と係数のビット長と変数情報とを指定して、
演算アルゴリズム決定用データベース１へのデータ登録
要求が発行されると、図５ないし図７の処理フローに示
すように、先ず最初に、ステップ１で、この有限体の標
数と係数のビット長と変数情報とを入力する。

【００４４】このとき入力する変数情報は、多項式の係
数を固定小数点型の変数に格納するのか、単精度浮動小
数点型の変数の仮数部に格納するのか、倍精度浮動小数
点型の変数の仮数部に格納するのを指定する。

【００４５】また、このとき入力する有限体の標数は、
多項式の係数の取りうる値を規定する。例えば、標数が
“４”であるということは、この“４”で割り算したと
きの余りである“０”、“１”、“２”、“３”が多項
式の係数として取りうる値となることを規定する。

【００４６】また、このとき入力する係数のビット長
は、有限体の標数の規定する係数のビット長を指定す
る。例えば、標数が“４”であるときに、係数のビット
長が２ビットであれば、標数“４”の指定する“０”／
“１”／“２”／“３”が多項式の係数として取りうる
値となるが、係数のビット長が１ビットとなると、この
内の“０”／“１”のみが多項式の係数として取りうる
値となる。すなわち、有限体の標数と係数のビット長と
は、多項式の係数の値域を指定することになる。

【００４７】このようにして、ステップ１で、有限体の
標数と係数のビット長と変数情報とを入力すると、続い
て、ステップ２で、それらのデータが既に検索キーとし
て、演算アルゴリズム決定用データベース１に登録され
ているのか否かをチェックして、登録されていることを
判断するときは、何も処理を行わずに、そのまま処理を
終了する。

【００４８】一方、この判断処理で、演算アルゴリズム
決定用データベース１に未だ登録されていないことを判
断するときには、ステップ３に進んで、変数ｎに初期値
“２”をセットする。

【００４９】続いて、ステップ４で、乱数発生装置３２
を使って、テスト用に生成するｎ次多項式ｆ，ｇのｎ番
目の係数をランダムに生成することで、テスト用のｎ次
多項式を生成して、その生成した係数を入力された型
（変数情報の指定する型）に変換する。ここで、（ｎ−
１）次以下の係数については、これまでの処理で生成し
ているので、それを使う。この構成を採ることで計算負
荷を削減できるようになる。

【００５０】続いて、ステップ５で、入力された型の指
す古典的算法演算プログラムを用いて、生成したテスト
用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、動作時間測定比較
装置３４を使って、その計算時間ＴＣを測定する。

【００５１】すなわち、入力された型が固定小数点型で
あるときには、固定小数点用古典的算法演算プログラム
３１０を用いて、生成したテスト用多項式ｆ，ｇの乗算
処理を実行して、その計算時間ＴＣを測定する。また、
入力された型が単精度浮動小数点型であるときには、単
精度浮動小数点用古典的算法演算プログラム３１１を用
いて、生成したテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行
して、その計算時間ＴＣを測定する。また、入力された
型が倍精度浮動小数点型であるときには、倍精度浮動小
数点用古典的算法演算プログラム３１２を用いて、生成
したテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行して、その
計算時間ＴＣを測定するのである。

【００５２】続いて、ステップ６で、生成したｎ次のテ
スト用多項式ｆ，ｇの乗算処理をＫaratsuba法で実行す
るときの再帰回数ｋを求める。ｎ次多項式の乗算処理を
Ｋaratsuba法で実行するときの再帰回数ｋは、「ｋ＝ｌ
ｏｇ₂ｎ」で求まるので、これを求めるのである。続い
て、ステップ７で、変数Ｎに初期値“０”をセットす
る。

【００５３】続いて、ステップ８で、最初に、入力され
た型の指すＫaratsuba法演算プログラムを用い、再帰回
数をｋ回としてテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行
し、その後、入力された型の指す古典的算法演算プログ
ラムを用い、再帰回数をＮ回として残りの乗算処理を実
行して、動作時間測定比較装置３４を使って、その計算
時間ＴＫを測定する。

【００５４】すなわち、入力された型が固定小数点型で
あるときには、最初に、固定小数点用Ｋaratsuba法演算
プログラム３２０を用い、再帰回数をｋ回としてテスト
用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、その後、固定小数
点用古典的算法演算プログラム３１０を用い、再帰回数
をＮ回として残りの乗算処理を実行して、その計算時間
ＴＫを測定する。

【００５５】また、入力された型が単精度浮動小数点型
であるときには、最初に、単精度浮動小数点用Ｋaratsu
ba法演算プログラム３２１を用い、再帰回数をｋ回とし
てテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、その後、
単精度浮動小数点用古典的算法演算プログラム３１１を
用い、再帰回数をＮ回として残りの乗算処理を実行し
て、その計算時間ＴＫを測定する。

【００５６】また、入力された型が倍精度浮動小数点型
であるときには、最初に、倍精度浮動小数点用Ｋaratsu
ba法演算プログラム３２２を用い、再帰回数をｋ回とし
てテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、その後、
倍精度浮動小数点用古典的算法演算プログラム３１２を
用い、再帰回数をＮ回として残りの乗算処理を実行し
て、その計算時間ＴＫを測定するのである。

【００５７】続いて、ステップ９（図６の処理フロー）
で、動作時間測定比較装置３４を使って、ステップ５で
測定した計算時間ＴＣと、ステップ８で測定した計算時
間ＴＫとの大小関係を比較して、計算時間ＴＫの方が計
算時間ＴＣよりも大きいことを判断するときには、ステ
ップ１０に進んで、再帰回数ｋが“１”よりも大きいの
か否かを判断して、大きいことを判断するときには、ス
テップ１１に進んで、再帰回数ｋを１つ小さくするとと
もに、変数Ｎの値を１つ大きくしてから、ステップ８に
戻る。

【００５８】すなわち、Ｋaratsuba法演算プログラムの
再帰回数を１つ減らし、その分、古典的算法演算プログ
ラムの再帰回数を１つ増やしてみて、その結果により求
まる計算時間ＴＫが古典的算法演算プログラムのみによ
る計算時間ＴＣよりも小さくなるのか否かをチェックし
ていくのである。

【００５９】一方、ステップ１０で、再帰回数ｋが
“１”に到達したことを判断するときには、ステップ１
２に進んで、変数ｎの値を１つ大きくしてから、ステッ
プ４に戻っていく。すなわち、Ｋaratsuba法演算プログ
ラムの再帰回数が１回となっても、計算時間ＴＫが古典
的算法演算プログラムのみによる計算時間ＴＣよりも大
きいときには、テスト用多項式ｆ，ｇの次数を大きくし
ていくように処理するのである。

【００６０】このようにして、ステップ４ないしステッ
プ１２の処理を繰り返していくことで、ステップ９で、
計算時間ＴＫが計算時間ＴＣよりも小さくなったことを
判断すると、ステップ１３に進んで、演算アルゴリズム
決定用データベース１に対して、この時点の変数ｎの値
をｎ₁として登録するとともに、この時点の変数Ｎの値
を登録する。

【００６１】すなわち、このようにして求まる次数ｎ₁
よりも小さい次数のときには、古典的算法演算プログラ
ムのみによる計算時間ＴＣの方が、Ｋaratsuba法演算プ
ログラムと古典的算法演算プログラムとを組み合わせた
計算時間ＴＫよりも小さくなるので、古典的算法演算プ
ログラムのみにより多項式乗算を実行することを指示す
べく、演算アルゴリズム決定用データベース１に対し
て、この次数ｎ₁を登録するのである。

【００６２】そして、このようにして求まる次数ｎ₁よ
りも大きい次数のときには、最初の「ｌｏｇ₂ｎ−Ｎ」
回の再帰回数についてはＫaratsuba法演算プログラムで
行い、残りのＮ回の再帰回数については古典的算法演算
プログラムで行うときの計算時間ＴＫの方が、古典的算
法演算プログラムのみによる計算時間ＴＣよりも小さく
なるので、最初の「ｌｏｇ₂ｎ−Ｎ」回の再帰回数につ
いてはＫaratsuba法演算プログラムで行い、残りのＮ回
の再帰回数については古典的算法演算プログラムで多項
式乗算を実行することを指示すべく、演算アルゴリズム
決定用データベース１に対して、この再帰回数Ｎを登録
するのである。

【００６３】続いて、ステップ１４で、変数ｎの値を１
つ大きくする。続いて、ステップ１５で、乱数発生装置
３２を使って、テスト用に生成するｎ次多項式ｆ，ｇの
ｎ番目の係数をランダムに生成することで、テスト用の
ｎ次多項式を生成して、その生成した係数を入力された
型に変換する。ここで、（ｎ−１）次以下の係数につい
ては、これまでの処理で生成しているので、それを使
う。

【００６４】続いて、ステップ１６で、「ｋ＝ｌｏｇ₂
ｎ」の算出式に従って、生成したｎ次のテスト用多項式
ｆ，ｇの乗算処理をＫaratsuba法で実行するときの再帰
回数ｋを求める。続いて、ステップ１７で、この算出し
た再帰回数ｋと、演算アルゴリズム決定用データベース
１に登録した再帰回数Ｎとの差分値を求めて、これを新
たな再帰回数ｋとする。

【００６５】続いて、ステップ１８（図７の処理フロ
ー）で、最初に、入力された型の指すＫaratsuba法演算
プログラムを用い、再帰回数をｋ回としてテスト用多項
式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、その後、入力された型の
指す古典的算法演算プログラムを用い、再帰回数をＮ回
として残りの乗算処理を実行して、動作時間測定比較装
置３４を使って、その計算時間ＴＫを測定する。

【００６６】すなわち、入力された型が固定小数点型で
あるときには、最初に、固定小数点用Ｋaratsuba法演算
プログラム３２０を用い、再帰回数をｋ回としてテスト
用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、その後、固定小数
点用古典的算法演算プログラム３１０を用い、再帰回数
をＮ回として残りの乗算処理を実行して、その計算時間
ＴＫを測定する。

【００６７】また、入力された型が単精度浮動小数点型
であるときには、最初に、単精度浮動小数点用Ｋaratsu
ba法演算プログラム３２１を用い、再帰回数をｋ回とし
てテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、その後、
単精度浮動小数点用古典的算法演算プログラム３１１を
用い、再帰回数をＮ回として残りの乗算処理を実行し
て、その計算時間ＴＫを測定する。

【００６８】また、入力された型が倍精度浮動小数点型
であるときには、最初に、倍精度浮動小数点用Ｋaratsu
ba法演算プログラム３２２を用い、再帰回数をｋ回とし
てテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、その後、
倍精度浮動小数点用古典的算法演算プログラム３１２を
用い、再帰回数をＮ回として残りの乗算処理を実行し
て、その計算時間ＴＫを測定するのである。

【００６９】ここで、ステップ１８で、演算アルゴリズ
ム決定用データベース１に登録した次数ｎ₁より大きい
次数を持つ多項式の乗算処理をＫaratsuba法演算プログ
ラムを用いて実行する場合に、最後のＮ回の再帰回数に
ついては古典的算法演算プログラムを用いる構成を採っ
ているのは、その次数まで次数が低下すると、その後は
古典的算法演算プログラムを使った方が早いからであ
る。

【００７０】続いて、ステップ１９で、入力された型の
指すＦＦＴ法演算プログラムを用いて、生成したテスト
用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し、動作時間測定比較
装置３４を使って、その計算時間ＴＦを測定する。

【００７１】すなわち、入力された型が固定小数点型で
あるときには、固定小数点用ＦＦＴ法演算プログラム３
３０を用いて、生成したテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処
理を実行して、その計算時間ＴＦを測定する。また、入
力された型が単精度浮動小数点型であるときには、単精
度浮動小数点用ＦＦＴ法演算プログラム３３１を用い
て、生成したテスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行し
て、その計算時間ＴＦを測定する。また、入力された型
が倍精度浮動小数点型であるときには、倍精度浮動小数
点用ＦＦＴ法演算プログラム３３２を用いて、生成した
テスト用多項式ｆ，ｇの乗算処理を実行して、その計算
時間ＴＦを測定するのである。

【００７２】更に、このステップ１９では、ＦＦＴ演算
に必要となる１のべき根が演算アルゴリズム決定用デー
タベース１に保存されている場合には、それを利用し、
保存されていない場合には、それを作成して演算アルゴ
リズム決定用データベース１に保存することで、ＦＦＴ
演算の高速化を図るように処理する。

【００７３】続いて、ステップ２０で、動作時間測定比
較装置３４を使って、ステップ１８で測定した計算時間
ＴＫと、ステップ１９で測定した計算時間ＴＦとの大小
関係を比較して、計算時間ＴＦの方が計算時間ＴＫより
も大きいことを判断するときには、ステップ１４に戻
る。

【００７４】このようにして、ステップ１４ないしステ
ップ２０の処理を繰り返していくことで、ステップ２０
で、計算時間ＴＦが計算時間ＴＫよりも小さくなったこ
とを判断すると、ステップ２１に進んで、演算アルゴリ
ズム決定用データベース１に対して、この時点の変数ｎ
の値をｎ₂として登録する。

【００７５】すなわち、このようにして求まる次数ｎ₂
よりも大きい次数のときには、ＦＦＴ法演算プログラム
のみによる計算時間ＴＦの方が、Ｋaratsuba法演算プロ
グラムと古典的算法演算プログラムとを組み合わせた計
算時間ＴＫよりも小さくなるので、ＦＦＴ法演算プログ
ラムにより多項式乗算を実行することを指示すべく、演
算アルゴリズム決定用データベース１に対して、この次
数ｎ₂を登録するのである。

【００７６】このようにして、データベース作成プログ
ラム３４０は、有限体の標数と係数のビット長と変数情
報とを指定して、演算アルゴリズム決定用データベース
１へのデータ登録要求が発行されると、その指定される
状態において、多項式の次数がｎ₁以下であるときに
は、古典的算法に従って多項式乗算を実行することが演
算時間を短縮する上で有利であり、多項式の次数がｎ₁
〜ｎ₂にあるときには、最初にＫaratsuba法に従って再
帰的に多項式乗算を実行して、残りのＮ回の再帰回数に
ついては、古典的算法に従って再帰的に多項式乗算を実
行することが演算時間を短縮する上で有利であり、多項
式の次数がｎ₂以上であるときには、ＦＦＴ法に従って
多項式乗算を実行することが演算時間を短縮する上で有
利であるということを示す情報を生成して、それを演算
アルゴリズム決定用データベース１に登録していくので
ある。

【００７７】このようなデータ構造の演算アルゴリズム
決定用データベース１が用意されるので、データベース
入出力端末４は、実行すべき多項式乗算で指定される、
有限体の標数と係数のビット長と変数情報とが与えられ
ると、それを検索キーにしてこの演算アルゴリズム決定
用データベース１を検索することで、どの演算アルゴリ
ズムに従う演算プログラムを用いてその多項式乗算を実
行することがよいのかを知ることができるようになる。

【００７８】この実施例の構成を採るときに、多項式の
係数を格納する際に、変数の種類に依らないある一定の
ビット長を定め、整数である係数をそのビット数毎に区
切って変数に格納することで、異なる変数間の変換を容
易にして計算手順の簡易化を図る構成を採ることが好ま
しい。

【００７９】また、「ｋ＝ｌｏｇ₂ｎ」で算出される再
帰回数については、次の登録処理の際にも必要となるこ
とから、この値を演算アルゴリズム決定用データベース
１に格納して再利用していく構成を採ることで、計算効
率の向上を図ることが好ましい。

【００８０】また、大整数を、それらの積が十分大きな
整数となる、複数の比較的小さな素数を標数となる有限
体の元として幾通りかに表現し、係る元に対してＦＦＴ
を実行し、それにより得られる結果を中国剰余定理によ
り結合することで、大整数に対するＦＦＴの結果を得る
ようにする構成を採ることで、計算速度の向上を図るこ
とが好ましい。

【００８１】また、実施例では説明しなかったが、乱数
発生装置３２を記憶装置３３に直接接続することで、高
速に多項式の係数を発生させて高速に記憶装置３３に配
置する構成を採ることが好ましい。更に、この乱数発生
装置３２を有限体標数／係数ビット長を入力する入力装
置に直接接続することで、データの転送に関する負荷を
削減する構成を採ることが好ましい。

【００８２】また、実施例では説明しなかったが、動作
時間測定比較装置３４を演算装置３０に直接接続するこ
とで、計算時間の測定の精度を上げる構成を採ることが
好ましい。

【００８３】また、実施例では説明しなかったが、計算
手順ＲＯＭ３１を演算装置３０に直接接続することで、
演算装置３０の実行性能を向上させる構成を採ることが
好ましい。

【００８４】また、実施例では説明しなかったが、動作
時間測定比較装置３４を演算アルゴリズム決定用データ
ベース１に直接接続することで、演算アルゴリズム決定
用データベース１への入力に関する負荷を削減する構成
を採ることが好ましい。

【００８５】また、実施例では説明しなかったが、記憶
装置３３を演算アルゴリズム決定用データベース１に直
接接続することで、データの入出力に関する負荷を削減
する構成を採ることが好ましい。

【００８６】また、実施例では説明しなかったが、乱数
を発生させる際に、乱数発生に適している固定小数点演
算を用いて乱数を発生させ、その後、指定された別の型
の変数に変換することにより乱数発生に関する負荷を削
減する構成を採ることが好ましい。

【００８７】図示実施例に従って本発明を説明したが、
本発明はこれに限定されるものではない。例えば、実施
例では、多項式乗算の演算アルゴリズムとして、古典的
算法とＫaratsuba法とＦＦＴ法という３つを想定した
が、本発明は、この３つの暗算アルゴリズムに限定され
るものではない。

【００８８】また、実施例では、有限体標数と係数ビッ
ト長と変数情報とを検索キーとする演算アルゴリズム決
定用データベース１を作成したが、有限体標数と係数ビ
ット長とで規定される係数の値域情報のみを検索キーと
する演算アルゴリズム決定用データベース１を作成する
ことでも十分実用性がある。

【００８９】

【発明の効果】以上説明したように、本発明によれば、
多項式乗算のアルゴリズム間の閾値を組織的に決定し
て、その結果をデータベースに蓄積することができるよ
うになることから、いかなる条件の多項式乗算に対して
も、常に最適なアルゴリズムを選択することが可能にな
ることで、多項式乗算の計算効率を向上できるようにな
る。これから、楕円曲線暗号の強度の向上に大きく寄与
できるようになる。

【図面の簡単な説明】

【図１】本発明の原理構成図である。

【図２】本発明の一実施例である。

【図３】プログラム構成の一実施例である。

【図４】演算アルゴリズム決定用データベースの一実施
例である。

【図５】データベース作成プログラムの処理フローの一
実施例である。

【図６】データベース作成プログラムの処理フローの一
実施例である。

【図７】データベース作成プログラムの処理フローの一
実施例である。

【符号の説明】

１演算アルゴリズム決定用データベース２演算アルゴリズム決定用データベース作成装置３端末４データベース入出力端末２０演算プログラム２１入力手段２２生成手段２３取得手段２４登録手段

Claims

【特許請求の範囲】

【請求項１】多項式乗算の演算アルゴリズムの決定に
用いられる演算アルゴリズム決定用データベースであっ
て、多項式の係数の取ることのできる値域情報を検索キーに
して、多項式の次数との関係で、どの演算アルゴリズム
に従う演算プログラムを用いることが多項式乗算の演算
時間の短縮に有利になるのかということを示す情報を管
理するように構成されることを、特徴とする演算アルゴリズム決定用データベース。
【請求項２】多項式乗算の演算アルゴリズムの決定に
用いられる演算アルゴリズム決定用データベースであっ
て、多項式の係数の取ることのできる値域情報と、多項式乗
算に用いる演算プログラムの変数情報とを検索キーにし
て、多項式の次数との関係で、どの演算アルゴリズムに
従う演算プログラムを用いることが多項式乗算の演算時
間の短縮に有利になるのかということを示す情報を管理
するように構成されることを、特徴とする演算アルゴリズム決定用データベース。
【請求項３】請求項１又は２記載の演算アルゴリズム
決定用データベースにおいて、演算アルゴリズムを途中で切り替えていくことで演算時
間の短縮を図る場合には、どこまで演算処理を実行して
から切り替えるのかという情報についても管理するよう
に構成されることを、特徴とする演算アルゴリズム決定用データベース。
【請求項４】多項式乗算の演算アルゴリズムの決定に
用いられるデータベースを作成する演算アルゴリズム決
定用データベース作成装置であって、多項式の係数の取ることのできる値域情報を入力する入
力手段と、テスト用多項式の次数を設定して、上記入力手段の入力
する値域情報に従う係数を発生することで該テスト用多
項式を生成する生成手段と、多項式乗算の演算アルゴリズムに従う複数の演算プログ
ラムに対して、上記テスト用多項式の乗算を指示するこ
とで、その演算時間を取得する取得手段と、上記生成手段に対して設定次数を指示しつつ、上記取得
手段の取得する演算時間の大小関係から、多項式の次数
との関係で、どの演算アルゴリズムに従う演算プログラ
ムを用いることが多項式乗算の演算時間の短縮に有利に
なるのかということを示す情報を得てデータベースに登
録する登録手段とを備えることを、特徴とする演算アルゴリズム決定用データベース作成装
置。
【請求項５】多項式乗算の演算アルゴリズムの決定に
用いられるデータベースを作成する演算アルゴリズム決
定用データベース作成装置の実現に用いられるプログラ
ムが格納されるプログラム記録媒体であって、多項式の係数の取ることのできる値域情報を入力する入
力処理と、テスト用多項式の次数を設定して、上記入力処理の入力
する値域情報に従う係数を発生することで該テスト用多
項式を生成する生成処理と、多項式乗算の演算アルゴリズムに従う複数の演算プログ
ラムに対して、上記テスト用多項式の乗算を指示するこ
とで、その演算時間を取得する取得処理と、上記生成処理に対して設定次数を指示しつつ、上記取得
処理の取得する演算時間の大小関係から、多項式の次数
との関係で、どの演算アルゴリズムに従う演算プログラ
ムを用いることが多項式乗算の演算時間の短縮に有利に
なるのかということを示す情報を得てデータベースに登
録する登録処理とをコンピュータに実行させるプログラ
ムが格納されることを、特徴とするプログラム記録媒体。