JP2000067272A - 四角形メッシュ生成方法及び装置 - Google Patents

四角形メッシュ生成方法及び装置

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JP2000067272A JP11226419A JP22641999A JP2000067272A JP 2000067272 A JP2000067272 A JP 2000067272A JP 11226419 A JP11226419 A JP 11226419A JP 22641999 A JP22641999 A JP 22641999A JP 2000067272 A JP2000067272 A JP 2000067272A
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Abstract

(57)【要約】 【課題】三角形メッシュから四角形メッシュを生成する
こと。 【解決手段】隣接する三角形要素の対により生成される
各候補四角形要素（隣接三角形要素ペアとも言う）につ
いて、当該候補四角形要素とユーザにより指定される、
四角形要素の整列方向との関係を表す第１評価値及び当
該候補四角形要素の形状に関する第２評価値を計算する
ステップと、第１及び第２評価値を用いて、候補四角形
要素のうち四角形メッシュの要素として使用する候補四
角形要素を選択する選択ステップとを含む。さらに、候
補四角形要素を構成するいずれかの三角形要素にとって
対となる三角形要素が他にない場合に第１の値をとり、
他にある場合に第２の値をとる第３評価値を、各候補四
角形要素について計算するステップをさらに含むように
して、選択ステップにおいてこの第３評価値が第１の値
である候補四角形要素を四角形要素として選択する優先
順位を上げるようにすることも可能である。

Description

【発明の詳細な説明】
【０００１】
【発明の属する技術分野】本発明は、メッシング方法に
関し、より詳しくは、三角形メッシュから四角形メッシ
ュを生成する方法に関する。
【０００２】
【従来の技術】メッシング又はメッシュ生成とは、ＣＡ
Ｄ等で生成された形状を小さな要素の集合に分割する処
理である。二次元メッシュには主に三角形メッシュと四
角形メッシュがあるが、車の衝突解析等に代表される計
算機シミュレーションでは、三角形メッシュでは信頼性
のある解が得られない。このため、四角形メッシュが用
いられることが多い。ところが、三角形メッシュの自動
生成については、例えば、特開平７−２３０４８７号、
特開平８−３１５１８３号に記載されたバブルメッシュ
法等の技術が確立しているのに対し、四角形メッシュの
自動生成は実用に耐えるようなものが少ない。よって、
多くの解析者は、例えば車一台のＣＡＤデータに数カ月
といった膨大な手作業を伴う手法を用いて四角形メッシ
ュを生成している。
【０００３】このように四角形メッシュの自動生成手法
の需要は大きいが、自動生成のみが要求ではなく、以下
のような要求にも応じられることが望まれている。 （１）生成される四角形要素の歪みが少ないこと 計算力学による解析では、極端に細長い要素や、角度の
極端に大きい（又は小さい）角を持つ要素は、解析結果
に悪影響を及ぼす。よって、理想的には、全ての四角形
要素の形状は正方形に近いことが望ましい。 （２）生成される四角形要素の整列方向が制御できるこ
と 計算力学による解析では、応力などの方向、又は形状領
域の境界の方向等に要素が整列していることが望ましい
場合が多い。よって、利用者が指定する整列方向に沿っ
て、多くの要素がその方向に規則的に整列したメッシュ
が生成されることが望ましい。 （３）要素の大きさの分布が制御できること 重要な部分には細かいメッシュ要素を、そうでない部分
には粗いメッシュ要素を生成することが計算量低減の観
点から望ましい。但し、いきなりメッシュ要素の大きさ
を変えると、Ｔ構造（隣接要素の節点が弦の上に載る状
態）が生じ、解析に悪影響を及ぼす。よって、各要素の
接続は互いの共有する節点＋弦で行われることを保証し
たまま、メッシュ要素の大きさに分布を与えることが重
要である。 （４）複雑な曲面形状を対象とできること ＣＡＤ等で設計される形状には、曲面領域の一部分を切
除して得られるトリム曲面や、非常に曲がりくねった曲
面形状等、様々な曲面がある。このような曲面形状にお
いても、自動的に四角形メッシュを生成できることが望
ましい。
【０００４】以上のような要件を満たすようなメッシュ
を生成するために必要な技術としては、メッシュ・ノー
ド生成技術と、三角形メッシュから四角形メッシュへの
変換技術がある。
【０００５】従来において、四角形メッシュ生成のため
のメッシュ・ノード生成技術には以下のようなものがあ
った。バブルメッシュ技術の一種で、球状物体に対し
て、中心点のまわりに十字型に配列した、４つのポテン
シャル極小点を設け、周囲の球状物体に対してポテンシ
ャル極小点の方向に引力を持たせて、力学シュミレーシ
ョンによりメッシングすべき物体に球状物体を充填し、
球状物体の中心点をノードとする方法（伊藤、山田、井
上、嶋田、古畑、「平方充填バブルメッシュ法を用いた
自動四角メッシュ生成」情報処理グラフィクスとＣＡＤ
研究報告 ９６−ＣＧ−８７ pp7-12, 1997 参照） 上の方法では隣接する球状物体が偶発的に２個のポテン
シャル極小点の中間点に位置する時ポテンシャル極小点
への引力が平衡状態になってしまい、最適な位置に移動
できないまま固定してしまうという欠点がある。また、
これらの方法は球状物体（円又は球バブル）を用いてい
る。
【０００６】また、三角形メッシュから四角形メッシュ
への変換技術では、隣接三角形要素のペアに対して、あ
る順序に従って三角形要素の共有辺を除去して、１個の
四角形要素に変換する。この処理を終えた時には三角形
要素の大半は四角形要素に変換され、少数の三角形要素
及び四角形要素を含む四角メッシュが生成される。な
お、四角形要素のみで構成される四角形メッシュが必要
である場合には、三角形要素及び四角形要素を要素サイ
ズが半分である四角形要素に変換する手法を用いる（参
考文献１：Shimada K,. and Itoh T., Automated Conve
rsion of 2D Triangular Mesh into Quadrilateral Mes
h, International Conference on Computational Engin
eering Science '95 Proceedings, pp. 350-355, 199
5）。この変換において生成される四角形メッシュの品
質は隣接三角形要素のペアを変換する順序によって決定
される。従来の手法において、隣接三角形要素のペアを
変換する順序は、大きく以下の３種類に分類される。
【０００７】（１）すべての隣接三角形要素ペアの中か
ら、正方形に近い良質な四角形ができるペアから順に四
角形要素に変換する手法（Lo S.H., Generating Quadri
lateral Elements on Plane and Over Curved Surface
s, Computer and Structures, Vol.31,No.3,pp.421-42
6,1989,又は Borouochaki H., Frey P. J., and George
P.L., Unstructured Triangle-Quadrilateral Mesh Ge
neration. Application toSurface Meshing, Proceedin
gs of 5th International Meshing Roundtable, pp.299
-242, 1996 を参照のこと）。幾何学的な規則性の向上
（より正方形に近い四角形要素を生成する）については
考慮が図られているが、整列方向の制御（指定された整
列方向となす角が小さい辺で構成される四角形要素を生
成する）及び位相的な規則性の向上（孤立三角形要素を
減らし、できるだけ多くの三角形要素を四角形要素に変
換する）という観点は考慮されていない。
【０００８】（２）それぞれの三角形要素に対して、隣
接未処理三角形要素数Ｎtを常に管理しながら、三角形
要素をＮtで階級化し、Ｎt＝１である三角形要素を優先
的にペアにして四角形要素に変換する手法（Heighway
E.A., A Mesh Generator for Automatically Subdividi
ng Irregular Polygons into Quadrilaterals, IEEE Tr
ansactions on Magnetics, Mag-19, pp.2535-2538, 198
3. 又は Johnston B. P.,Sullivan J.M., and Kwasnik
A., Automatic Conversion of Triangle FiniteElement
Meshes to Quadrilateral Elements, International J
ournal for Numerical Methods in Engineering, Vol.
31, pp.67-84,1991 を参照のこと）。位相的な規則性の
向上に関しては考慮されており、三角形要素数の少ない
メッシュが生成されるが、幾何学的な規則性の向上及び
整列方向の制御については考慮されていない。
【０００９】（３）三角形要素をいくつかの帯状領域に
グループ化し、そのグループの中でできる限り多くの隣
接三角形要素をペアにする手法（参考文献１）。位相的
な規則性の向上及び整列方向の制御の両立を目指した手
法であるが、常に適切な帯状領域を作ることができると
は限らないので、必ずしも良好な結果を得られるわけで
はない。また、三角形要素の処理順が一意でないので、
実装によっては結果が大きく異なる場合がある。
【００１０】
【発明が解決しようとする課題】本発明の目的は、三角
形メッシュから四角形メッシュを生成することである。
【００１１】また、幾何学的な規則性の向上、整列方向
の制御、及び位相的な規則性の向上を考慮した、三角形
メッシュから四角形メッシュへの変換方法を提供するこ
とも目的である。
【００１２】
【課題を解決するための手段】従来のバブル・メッシュ
法は、円又は球状の仮想物体であるバブルを、メッシン
グすべき面上又は物体内で力学シュミレーションにより
移動させ、安定配置されたバブルの中心をメッシュ・ノ
ードとして用いるものである。本発明では、この仮想物
体に四角形又は六面体を用いる。図１上は、正方形で構
成される四角形メッシュを太線、その双対であるボロノ
イ図を点線で表している。ボロノイ図は正方形を構成
し、各正方形の重心点を連結したものが四角形メッシュ
であると考えられる。よって、ボロノイ図に対応する四
角形仮想物体をメッシング対象物体に充填し、その重心
を連結すると、四角形メッシュが生成できる（図１
下）。なお、従来のバブル・メッシュ法では、正三角形
で構成される三角形メッシュの双対であるボロノイ図は
正六角形であり、この正六角形の重心点を連結したもの
が三角形メッシュであると考えられる。正六角形に形状
が類似する円バブルをメッシング対象物体に充填し、そ
の中心点を連結する。
【００１３】本発明は、四角形バブルを安定配置した後
に、当該四角形バブルの中心点をDelaunay三角形分割等
により接続することによって生成される三角形メッシュ
から四角形メッシュを生成する方法に関する。この方法
は、隣接する三角形要素の対により生成される各候補四
角形要素（実施例では隣接三角形要素ペアとも言う）に
ついて、当該候補四角形要素とユーザにより指定され
る、四角形要素の整列方向との関係を表す第１評価値及
び当該候補四角形要素の形状に関する第２評価値を計算
するステップと、第１及び第２評価値を用いて、候補四
角形要素のうち四角形メッシュの要素として使用する候
補四角形要素を選択する選択ステップとを含む。ここで
は、幾何学的な規則性の向上及び整列方向の制御を実現
している。
【００１４】また、候補四角形要素を構成するいずれか
の三角形要素にとって対となる三角形要素が他にない場
合に第１の値をとり、他にある場合に第２の値をとる第
３評価値を、各候補四角形要素について計算するステッ
プをさらに含むようにすることも考えられる。位相的な
規則性の向上のための第３評価値を導入するものであ
る。
【００１５】先に述べた選択ステップは、第３評価値が
第１の値を有する候補四角形要素の優先度を選択におい
て高くして実施することも考えられる。この優先度を高
くするために、以下で述べる実施例では、第１及び第２
の評価値を考慮したリスト、及び第１乃至第３の評価値
を考慮したリストを用いている。
【００１６】さらに、第１及び第２評価値を用いて第４
評価値を計算するステップと、第１乃至第３評価値を用
いて第５評価値を計算するステップと、第４評価値と第
５評価値のいずれか大きい方の候補四角形要素を抽出す
るステップとをさらに含むようにすることも考えられ
る。以下の実施例で述べる２つのリスト作成に関連する
処理である。
【００１７】先に述べた選択ステップは、抽出された候
補四角形要素を構成する三角形要素が選択済か否か判断
するステップと、いずれも処理済でなければ、抽出され
た候補四角形要素を選択するステップとを含むようにす
ることも考えられる。
【００１８】選択された候補四角形要素に隣接し且つ未
選択の三角形要素を含む候補四角形要素について、当該
候補四角形要素を構成するいずれかの三角形要素にとっ
て対となる三角形要素が他にない場合に第１の値をと
り、他にある場合に第２の値をとる第３評価値を計算す
るステップをさらに実施するようにすることも可能であ
る。これは、候補四角形要素を四角形要素として選択し
た場合には、三角形要素によっては孤立三角形になって
しまう可能性が新たに生じるかもしれないからである。
【００１９】以上述べた処理のフローは、専用の装置と
して実施することも、また、コンピュータのプログラム
として実施することも可能である。さらに、このコンピ
ュータのプログラムは、ＣＤ−ＲＯＭやフロッピー・デ
ィスク、ＭＯ（Magneto-optic）ディスクなどの記憶媒
体、又はハードディスクなどの記憶装置に記憶される。
【００２０】
【発明の実施の形態】本実施例では、非多様体データ構
造のメッシングの例を説明する。図２に非多様体データ
構造にて表されるオブジェクトの例を表す。この図２の
オブジェクトは、３次元オブジェクトである四面体の立
体６００２に、稜線６００５を境界線として２次元オブ
ジェクトである三角形６００４が接している。また、三
角形６００４に一次元オブジェクトである直線６００８
が点６００７を共有して接している。さらに、立体６０
０２の１つの側面には一次元オブジェクトである「×」
形状の図形が張り付いている。加えて、立体６００２は
自身を分ける境界線６０１２を内在している。
【００２１】では、図２のようなオブジェクトをメッシ
ングする場合の処理フローを図３に示す。最初に、メッ
シングするオブジェクトと、メッシュの整列方向とを入
力する（ステップ１１０）。入力された情報は記憶装置
に格納する。メッシングするオブジェクトは図２に示し
たようなオブジェクトである。メッシュの整列方向は、
入力されたオブジェクト内部の各メッシュ要素の向きを
表すもので、ベクトルで与えられる。三次元形状に対し
てはテンソル場が与えられる。例えば、平面をメッシン
グする際には、図４に示すようにメッシュ要素をそろえ
る方向（図４に描かれた線の方向）を入力する。但し、
このような細かさで入力する必要はないし、入力しなく
ともよい。
【００２２】次に、入力されたオブジェクトの頂点及び
稜線にメッシュ・ノードを配置する（ステップ１２
０）。この頂点及び稜線の取扱いは、従来のバブル・メ
ッシュ法と変わらない。また、別の方法で実施すること
も可能である。頂点及び稜線では、本発明を用いる効果
がないためである。例えば、特開平７−２３０４８７号
に記載されている方法では、（１）頂点にバブル（仮想
物体）を配置し、（２）稜線上にバブルを配置し、
（３）所定の法則で定義されたバブル間力によりバブル
を移動させ、バブルの粗密を検査することによりバブル
個数を制御し、これら処理によりバブルの安定配置を決
定し、（３）バブルの中心をメッシュ・ノードとし、そ
の位置を記憶装置に格納する。以上で、頂点及び稜線の
処理を終了する。このステップにおけるバブルの形状
は、円、球状、又は四角形が考えられる。
【００２３】次に、入力されたオブジェクトの面にバブ
ルを初期配置する（ステップ１３０）。本実施例では、
このバブルの初期配置で特別なことを実施する必要はな
い。バブルの大きさについては別途指定する。なお、ベ
クトルで指定される大きさのバブルを生成し、面内に配
置することもできる。ここで初期配置されるバブルの形
状は四角形である。
【００２４】面には上で述べたように平面及び曲面があ
る。平面については問題は特にないが、曲面について
は、曲面に対応するパラメータ空間にてバブルを配置
し、この配置を曲面にマッピングすることにより、初期
配置を実施する方法もある。
【００２５】次に、バブルの安定配置を決定する（ステ
ップ１４０）。この処理をさらに詳しくすると、以下の
ようになる。
【表１】 10: for (各バブルの移動距離の中で最大のものが、しきい値以下になるまで 反復を繰り返す) { 15: 三角形分割 20: /* 力の計算及びバブル移動部分*/ 30: for (各バブルに対して) { 40: ・隣接するバブルにポテンシャル場の設定 50: ・隣接するバブルのポテンシャル場からの力の和を計算する 60: ・力に応じてバブルを移動させる 70: } 80: /* バブルの追加、削除部分 */ 90: for (各バブルについて) { 100: if (もしバブルに設けられた第１の領域内に 他のバブルの中心が存在しない){ 110: ・新しいバブルを領域内に追加する 120: } 130: if (もしバブルに設けられた第２の領域内に 他のバブルの中心が存在する){ 140: ・第２の領域内に存在する他のバブルを削除する 150: } 160: } 170: }
【００２６】以下、この擬似コードを説明する。ここで
は、第１０行から第１７０行までを、各バブルの移動距
離の中で最大のものが、しきい値以下になるまで繰り返
す。このしきい値は、全バブルの移動距離の平均値に対
するものでもよい。いずれにしても、バブルがあまり移
動しなくなるまで第１０行から第１７０行までを繰り返
す。
【００２７】第１０行から第１７０行は、大きく３つの
部分に分けられる。第１の部分は、第１５行の三角形分
割であり、第２の部分はバブル間力及びバブルの移動を
計算する第２０行から第７０行、第３の部分はバブル個
数の制御を行う第８０行から第１６０行までである。
【００２８】この第１の部分である第１５行は、バブル
間の隣接関係を把握するための三角形分割である。三角
形分割の方法としては、例えばDelaunay三角形分割を用
いればよい。なお、バブルとバブルがどのように隣接し
ているかを判断するために三角形分割を実施するので、
三角形分割しないで隣接関係がわかるのであれば、三角
形分割しなくともよい。
【００２９】第２の部分である第３０行から７０行は、
さらに３つの部分に分けられる。第４０行は、計算対象
のバブルに隣接するバブルを特定して、そのバブルに、
ポテンシャル場を設定する。このポテンシャル場は、例
えば、図５のようなポテンシャル場とすることが可能で
ある。すなわち、四角形バブルの中心又はその付近及び
当該四角形の頂点又はその付近にポテンシャル極大点を
設定し、四角形バブルの外側周辺に４つのポテンシャル
極小点を設定する。この四角形バブルの外側周辺に設定
された４つのポテンシャル極小点は、四角形の各辺の中
点又はその付近から伸びる、各辺の法線上に存在する。
また、図６のようなポテンシャル場も考えられる。但
し、図５のようなポテンシャル場の方がバブルの安定配
置が好ましい形になり易い。
【００３０】以下に図５に示したポテンシャル場の数式
表現の例を示す。図５に示したような、重心点の位置が
ｘiであり、４頂点の位置がそれぞれｘi1，ｘi2，
ｘi3，ｘi 4である四角形バブルの場合、重心点から計算
対象バブルの重心点までの距離の関数と、頂点から計算
対象バブルの重心点までの距離の関数を用いて、合計５
点からの距離の関数の重ね合せで実現する。四角形バブ
ルｉが四角形バブルｊに与える力を求める際、２つの四
角形バブルの重心点の位置をｘi，ｘjとし、辺の長さを
ｄ（ｘi），ｄ（ｘj）とすると、２つの四角形バブルの
重心点間の安定距離ｌ0（ｘi，ｘj）は、 ｌ0（ｘi，ｘj）＝ｄ（ｘi）／２＋ｄ（ｘj）／２ で与えられる。
【００３１】２つの四角形バブルの重心点間の距離をｌ
（ｘi，ｘj）とし、ｌ0とｌの比率をω＝ｌ／ｌ0とする
と、ポテンシャル場を算出するための距離の関数Ψ0は
以下の式で与えられる。
【数１】
【００３２】また、四角形バブルｉの４頂点の位置をｘ
ik（ｋ＝１，２，３，４）とする。また、ｓを数２のよ
うに定義し、この時頂点ｋと四角形バブルｊの重心点と
の安定距離ｌ0kは以下のように表される。
【数２】 ｌ0k（ｘik，ｘj）＝ｓ・ｄ（ｘik）／２＋ｄ（ｘj）／
２ 但し、ｄ（ｘik）＝（２0.5−１）ｄ（ｘi）。
【００３３】２頂点間の距離をｌk（ｘik，ｘj）とし、
ｌ0kとｌkとの比率をωk＝ｌk／ｌ0 kとすると、ポテン
シャル場を算出するための距離の関数Ψkは、以下のよ
うに表される。
【数３】
【００３４】これらを重ね合せることにより、ポテンシ
ャル値Ψは、以下のようになる。Ψ＝Ψ0＋ｓΨ1＋ｓΨ
2＋ｓΨ3＋ｓΨ4
【００３５】次に、表１の第５０行で、隣接する四角形
バブルのポテンシャル場からの力の和を計算する。バブ
ルは、本実施例では、質量ｍを有する仮想的な物体であ
る。全てのバブルは同一の質量を持つようにしてもよい
し、バブルの大きさ等によって異なる質量を設定するこ
とも可能である。図７に四角形バブルに働く引力及び斥
力の例を示す。計算対象バブルＡは、ポテンシャル場を
有する近隣バブルＢから最終的に点線で表された力を受
ける。この力は、近隣バブルの頂点ｘb3からの斥力、重
心ｘbからの引力、そして頂点ｘb2からの引力を合成し
たものである。図８にも同じように四角形バブルに働く
引力及び斥力の例を示している。計算対象バブルＡは、
ｘb2及びｘbから斥力、ｘb3から引力を受けて、最終的
には点線で表された力を受ける。このような力を、隣接
する四角形バブルについてそれぞれ求め、加算する。
【００３６】続いて第６０行は、実際にバブルを移動さ
せる処理である。これは、どれだけバブルが移動するの
かということを計算すればよい。ここでは、個々のバブ
ルを質量ｍの質点とみなし（慣性モーメントを有しな
い）、上記のバブル間力と粘性を考慮して二階の常微分
方程式を解くことによって、バブルの位置を変化させ
る。ニュートン方程式は次のようになる。
【数４】 ここで、ｘiはｉ番目のバブルのｘ座標、ｍiはｉ番目の
バブルの質量、ｙiはｉ番目のバブルのｙ座標、ｚiはｉ
番目のバブルのｚ座標である。一階微分の項は粘性係数
ｃiを含み、粘性を考慮した項である。この粘性係数
は、各バブルごとに、またｘ、ｙ、ｚ方向で、それぞれ
違う値を設定することができるが、全て一定の値ｃとす
ることも可能である。数４の右辺のｆxi（ｔ），ｆ
yi（ｔ）及びｆzi（ｔ）は、それぞれ時間ｔにおけるｉ
番目のバブルに対する、隣接バブルからの力の、ｘ成分
の和とｙ成分の和とｚ成分の和である。
【００３７】この数４をRunge-Kutta法などの周知の常
微分方程式の数値解析技法により、時間ｔを△ｔだけ増
分して、個々のバブルの座標値を計算する。先に述べた
ように、擬似コードの第１０行から第１７０行の繰り返
しは、移動距離がしきい値以下であるか判断して決定さ
れるものであるから、移動距離（△x,△y,△z）も計算
する。元の座標値は分かっているから、移動距離（△x,
△y,△z）のみ計算してもよい。なお、常微分方程式の
数値解析技法としては、Runge-Kutta法に限定されず、A
damsの方法、Eulerの方法などを用いてもよい。例え
ば、洲之内 治男著、サイエンス社、理工系の数学１
５、「数値計算」、１９７８年９月などを参照のこと。
【００３８】このような擬似コード第４０行及び第６０
行の処理を、全てのバブルについて実行する。ここまで
の処理で、微小時間△ｔ後の各バブルの座標（及び又は
移動距離（△x,△y,△z））が計算できた。座標位置は
記憶装置に格納する。
【００３９】なお、移動させると面内にとどまらないバ
ブルも存在する。曲面の場合には、このようなバブルに
ついては、面内に引き戻す処理を実施する。これには、
例えば面の法線方向にバブルを面上に引き戻す等の処理
が考えられが、その他の方法でもよい。また、平面の場
合そのようなバブルを破壊する。
【００４０】次に、第３の部分である第８０行から第１
６０行までの、バブルの追加又は削除に関する処理につ
いて説明する。第９０行では、各バブルについて第１６
０行までを繰り返すことが示されている。そして、計算
対象バブルに設けられた第１の領域内に他のバブルの中
心が存在しないかどうか判断する（第１００行）。この
第１の領域とは、図９に示したように、ポテンシャル極
小点を中心点とした４つの四角形領域から構成される。
この四角形領域の辺は、本実施例では四角形バブルの辺
の１．１倍の長さを有している。但し、本発明はこれに
限定されるものではない。この四角形領域の各々に四角
形バブルの中心点が存在していない場合には、当該四角
形領域の内部に四角形バブルを１つ生成する（第１１０
行）。当該四角形領域の内部に１つの四角形バブルが存
在することにより四角形バブルの安定配置がなされるた
めである。
【００４１】一方、計算対象バブルに設けられた第２の
領域内に他のバブルが存在するか判断する（第１３０
行）。この第２の領域とは、図１０に示したように、四
角形バブルの中心点を同じく中心点とし、辺の長さが四
角形バブルの辺の１．１倍である四角形領域である。但
し、本発明はこれに限定されるものではない。この四角
形領域の内部に他の四角形バブルの中心点が存在する場
合には、その四角形バブルを削除する（第１４０行）。
この四角形領域の内部には１つの四角形バブルのみ存在
すべきだからである。
【００４２】以上の処理により、バブル個数の適応的制
御が実施される。
【００４３】処理が第１０行に戻ると、第６０行で計算
されたバブルの移動距離の最大がしきい値を超えている
かの判断が行われる。移動距離は、（△x2+△y2+△z2)
0.5を用いてもよいし、単純に｜△x｜+｜△y｜+｜△z｜
として用いることも可能である。もし、最大の移動距離
がしきい値を超えている場合には、再度第１０行乃至第
１７０行の処理を実施し、しきい値を超えていない場合
には、後の処理に移行する。しきい値を超えていない場
合には、バブルは安定的に配置されたと見なされる。安
定配置におけるバブル中心の位置は記憶装置に格納され
る。
【００４４】以上の処理が、図３におけるステップ１４
０の処理である。次に、四角形メッシュを生成する（図
３，ステップ１５０）。この四角形メッシュの生成は、
本実施例においては、三角形メッシュの四角形メッシュ
への変換にて行う。三角形メッシュの生成は、表１の第
１５行でも示されているように、四角形バブルの中心を
メッシュ・ノードとするDelaunay三角形分割で実施する
ことができる。そして、生成された三角形メッシュを以
下の処理にて四角形メッシュに変換する。なお、メッシ
ング対象形状の境界線上にある三角形要素辺以外のすべ
ての三角形要素辺は、２個の三角形要素に共有されてい
るものとする。また、以下の説明では隣接三角形要素ペ
アＰijとは、１辺を共有する２個の隣接三角形要素Ｔi
及びＴjを指す。
【００４５】まず、導入する評価関数について説明す
る。これらの評価関数は、幾何学的な規則性の向上、整
列方向の制御及び位相的な規則性の向上という観点から
導入されている。 （１）四角形要素の配列方向に関する評価関数Ｆ1 整列方向の制御のために導入された評価関数である。隣
接三角形要素ペア（候補四角形要素とも言う）Ｐijを変
換してできる四角形要素について、それぞれの辺とベク
トル場（図３：ステップ１１０、例えば図４）が示すベ
クトルとのなす角が小さいほど高い値を示す評価関数Ｆ
1（Ｐij）を用いる。このＦ1（Ｐij）は、例えば以下の
ように表される。 Ｆ1＝ｖ・Ｅ1＋ｖ・Ｅ2＋ｖ・Ｅ3＋ｖ・Ｅ4 Ｅi（ｉ＝１，２，３，４）は四角形要素の辺のベクト
ルで、ｖはベクトル場から与えられるベクトルで、各項
はベクトルの内積である。内積は両者のなす角が０の時
最大となるので、四角形要素の各辺がベクトルと同じ方
向を向いている時Ｆ1が最大となる。よって、Ｆ1の値が
大きい隣接三角形要素ペアを優先的に四角形要素に変換
することで、指定した整列方向に沿った四角形要素が多
く生成される。
【００４６】（２）四角形要素の形状に関する評価関数
Ｆ2 幾何学的な規則性の向上のために導入された評価関数で
ある。隣接三角形要素ペアＰijを変換してできる四角形
要素について、形状が正方形に近いほど高い値を示す評
価関数Ｆ2（Ｐij）を用いる。このＦ2（Ｐij）は、例え
ば以下のように表される。 Ｆij＝４．０−（｜Ｅ1Ｅ2｜＋｜Ｅ2Ｅ3｜＋｜Ｅ3Ｅ4｜
＋｜Ｅ4Ｅ1｜ 各項は四角形要素の隣接辺の内積の絶対値である。四角
形要素の各頂点が直角のときＦ2の値は最大となる。よ
って、Ｆ2の値が大きい隣接三角形要素ペアを優先的に
四角形要素に変換することで、形状が正方形に近い良質
な四角形要素が多く生成されるようになる。
【００４７】（３）孤立三角形要素の生成防止に関する
評価関数Ｆ3 位相的な規則性の向上のために導入された評価関数であ
る。隣接三角形要素ペアＰijを構成する２個の三角形要
素Ｔ1及びＴ2について、Ｔ1の隣接未処理三角形要素が
Ｔ2のみである場合、あるいはＴ2の隣接未処理三角形要
素がＴ1のみである場合に限り第１の値（例えば１）を
とり、それ以外の場合には第２の値（例えば０）をとる
評価関数Ｆ3（Ｐij）を用いる。Ｆ3の値が第１の値であ
る隣接三角形要素ペアは、それが四角形要素に変換され
なければ、確実に孤立三角形要素が生じることを意味し
ており、このような四角形要素を優先的に変換すること
で、四角形メッシュの中の孤立三角形要素を削減するこ
とができる。
【００４８】以上の前提のもと、図１１に処理フローを
示す。まず、隣接三角形要素ペアごとに、評価値Ｖ1＝
ａＦ1＋ｂＦ2（ａ、ｂは正の定数で各々Ｆ1及びＦ2の重
要度を示す）を計算し、隣接三角形要素ペアをＶ1の大
きい順にソートして、リストＬ1に登録する（ステップ
２１０）。次に、隣接三角形要素ペアの中で、Ｆ3＞０
であるものを抽出し、評価値Ｖ2＝ａＦ1＋ｂＦ2＋ｃＦ3
（ｃは正の定数でＦ3の重要度を表す）の大きい順にリ
ストＬ2に登録する（ステップ２２０）。そして、リス
トＬ1中でＶ1の値が最大のものと、リストＬ2中でＶ2の
値が最大ものとを比較し、値の大きい方の隣接三角形要
素ペアＰijを抽出する（ステップ２３０）。このように
Ｆ3＞０となる隣接三角形要素ペアについてはＬ2に入れ
られてＬ2における順序で比較されるようになるため、
優先度が上がったことになる。また、ｃＦ3の項をＶ2は
有しているので、Ｖ1値がＬ1のものと同じでも、Ｖ2は
Ｖ1より大きくなるため、この点においても優先されて
いると言える。
【００４９】もし、抽出されたペアＰijを構成する三角
形要素Ｔi及びＴjのいずれかが処理済である場合（ステ
ップ２４０）には、当該ＰijをリストＬ1及びＬ2から削
除し（ステップ２５０）、ステップ２３０に戻る。処理
済か否かの検査については、処理済チェック用のリスト
を設けてもよいし、三角形要素管理テーブルに処理済の
フラグを立てる等様々な方法が考えられる。一方、三角
形要素Ｔi及びＴjのいずれも処理済でない場合には、隣
接三角形要素ペアＰijを四角形要素に変換し、Ｐijをリ
ストＬ1及びＬ2から削除する（ステップ２６０）。ま
た、Ｐijを構成する三角形要素Ｔi及びＴjに処理済のマ
ークを付する。さらに、三角形要素Ｔi及びＴjの隣接三
角形要素の中で、未処理の三角形要素Ｔnを抽出する。
そして、三角形要素Ｔi及びＴjに処理済マークが付され
た時点において、Ｔnを含む隣接三角形要素ペアＰmnの
Ｆ3の値を再計算する（ステップ２７０）。これは、Ｔn
の隣接未処理三角形要素の数は１減少しているので、Ｔ
nは孤立三角形になってしまうかもしれないからであ
る。そして、Ｆ3が再計算され、Ｆ3＞０のペアが存在す
れば、評価値Ｖ2も変わるのでＶ2も再計算し、リストＬ
2の登録も行う（ステップ２７０）。
【００５０】そして、全てのペアについて処理していな
い場合（ステップ２８０）にはステップ２３０に戻り、
ステップ２３０乃至２７０を繰り返す。全てのペアにつ
いて処理した場合にはステップ２９０で処理を終了す
る。なお、ステップ２８０はステップ２６０の後に実施
してもよい。
【００５１】図１２（ａ）に三角形メッシュの例を示
す。斜線が付された三角形要素を含む三角形要素ペアは
Ｆ3＞０でありＶ2が計算される。図１２（ｂ）は、３つ
の隣接三角形要素ペアが四角形要素に変換された後の状
態を示している。先にＶ2を計算された隣接三角形要素
ペアは、四角形要素に変換されている。濃く塗られた部
分が変換された四角形要素である。斜線が付された三角
形要素を含む三角形要素ペアはＦ3＞０でありＶ2が計算
される。さらに変換が進むと図１２（ｃ）のようにな
る。図１２（ｂ）の後に四角形要素に変換されたものに
ついては、異なる態様で塗られている。また、斜線が付
された三角形は上と同じ意味である。さらに変換が進む
と図１２（ｄ）のようになる。図１２（ｃ）の後に四角
形要素に変換されたものは、さらに他の態様で塗られて
いる。ここで、１つの三角形が孤立三角形（斜線の付さ
れた三角形要素）として確定している。この三角形を四
角形にするより、他の隣接三角形要素を四角形要素に変
換した方が評価値が高くなるからである。最終的に変換
された四角形メッシュを図１２（ｅ）に示す。
【００５２】以上のようにすると、面についてのメッシ
ングが終了する。
【００５３】次に、３次元の空間に六面体メッシュを生
成する。最初に、空間に六面体バブルを初期配置する
（図３、ステップ１６０）。ここまでの処理で、頂点、
稜線及び面についてはバブルの安定的な配置を計算して
いるので、頂点、稜線及び面についてはそれらを用い、
例えば図２の立体６００２の内部にのみバブルを配置す
る。
【００５４】そして、六面体バブルの安定配置を計算す
る（ステップ１７０）。安定配置におけるバブルの中心
位置は記憶装置に格納される。この計算は、面について
の処理とほぼ同じである。但し、差異は以下の通りであ
る。（１）ポテンシャル極小点は、４点でなく６点とな
る。これらの点の位置は、六面体の各面の中心点を通
り、当該面の法線上に設けられる。また、ポテンシャル
極大点は、各頂点上及び六面体の重心点に設けられる。
（２）六面体バブルの重心点をメッシュ・ノードとし
て、四面体メッシュを生成する。その後、四面体要素を
５つ選択して、六面体を生成し、六面体メッシュとす
る。（３）面から外れたバブルを面上に引き戻す処理に
触れたが、空間から外れたバブルは単に削除するのみで
ある。このような変更を考慮すれば、面についての処理
は空間についての処理に拡張可能である。
【００５５】以上本発明の一実施例を説明したが、本発
明は上述の実施例に限定されるものではない。例えば、
三角形分割の方法にDelaunay三角形分割を用いるとした
が、他の方法でも可能である。また、四角形バブルに設
定されるポテンシャル場は、上で述べたものに限定され
ない。ポテンシャル極小点の位置を個別に設定すること
によって、バブルの整列を制御することも考えられる。
また、ポテンシャル場の設定により長方形メッシュ又は
ひし形メッシュを生成することも可能である。さらに、
バブル形状を正方形でなく、長方形又はひし形等にする
ことも考えられ、その際にポテンシャル場はそれに合わ
せて変形される。ポテンシャル場の数式表現も上述した
ものは一例であって同じポテンシャル場を他の形式で表
現することも可能である。バブル個数の制御について
も、従来用いられていたバブル中心を結ぶ線分上を占め
る割合や複数のバブルの重なり具合からバブルを追加又
は削除する方法を使用することも可能である。また、本
実施例で示された第１の領域及び第２の領域は他の形状
にすることも可能である。例えば第１の領域をポテンシ
ャル極小点を中心とする円や、三角形及び四角形以外の
多角形にしたり、第２の領域を四角形バブルの中心点を
中心とする円や、三角形及び四角形以外の多角形にした
りすることも可能である。また大きさも上の実施例述べ
た１．１倍に限定されるものではない。この数値を適応
的に変更することも考えられる。さらに、本発明では、
一旦三角形メッシュを生成してから四角形メッシュに変
換する方法を用いているが、直接四角形を生成可能な場
合にはそのようにすることも可能である。
【００５６】これまで述べた処理は、通常のコンピュー
タ・プログラムとして具現化することができる。そし
て、例えば図１３で示すようなコンピュータ・システム
において実行可能である。この場合、コンピュータ・プ
ログラム及び必要なデータはハードディスク・ドライブ
ＨＤＤに格納されており、必要に応じてメインメモリに
呼び出され、ＣＰＵにて実行される。処理の結果（中間
データを含む）もメインメモリに格納される。データ
は、キーボードやフロッピー・ディスク・ドライブＦＤ
Ｄその他の記憶媒体、また、モデム等の通信機器によっ
て接続された通信回線から供給され得る。コンピュータ
・プログラムも他のコンピュータ・システムから送られ
てくるようにしてもよい。同様に、コンピュータ・プロ
グラムはＦＤやＣＤ−ＲＯＭその他の記憶媒体にて提供
される場合がある。本発明の処理結果は、ＨＤＤなどに
記憶された他のコンピュータ・プログラムによって数値
解析等に用いられる。さらに、表示装置や印刷装置によ
ってユーザに提示することも可能である。
【００５７】さらに、本発明は専用の装置にて実施する
ことも可能である。例えば、上記処理の各ステップを実
行するようなモジュールを作成して、それらのモジュー
ルのデータのやり取りによって最終結果を出力するよう
に構成することできる。また、上記実施例では三角形分
割処理（三角形メッシュ生成処理）を何回も実施するよ
うになっているので、この三角形分割処理のみを実行す
るモジュールを作成し、そのモジュールを共用するよう
な構成を作ることも可能である。
【００５８】
【効果】三角形メッシュから四角形メッシュを生成する
ことができた。
【００５９】また、幾何学的な規則性の向上、整列方向
の制御、及び位相的な規則性の向上を考慮した、三角形
メッシュから四角形メッシュへの変換方法を提供するこ
ともできた。
【００６０】図１４に四角形バブルの充填例を示す。図
１４のように四角形バブルが配置された場合、三角形メ
ッシュは図１５のようになる。そして、評価関数Ｆ2の
係数ｂ及びＦ3の係数ｃをそれぞれｂ＝１．０、ｃ＝
０．５に固定して、Ｆ1の係数ａを０．０、０．１５、
０．５に変えて四角形メッシュを生成した例をそれぞれ
図１６乃至図１８に示す。この例では図１８の四角形メ
ッシュが一番良い。すなわち、評価関数Ｆ1の係数ａが
大きいほど良いメッシュが生成できている。
【００６１】図１４の場合であって、評価関数Ｆ1の係
数ａ及びＦ2の係数ｂをそれぞれａ＝０．５，ｂ＝１．
０に固定して、Ｆ3の係数ｃを０．０，１．３，３．０
に変えて、三角形メッシュから四角形メッシュを生成し
た例をそれぞれ図１９乃至図２１に示す。図１９乃至図
２１における三角形要素の数はそれぞれ３９、２９、２
５であり、係数ｃの値を変更することにより孤立三角形
要素の数を制御できている。
【図面の簡単な説明】
【図１】本発明の基本原理を説明するための図である。
【図２】入力されたオブジェクトの例を説明するための
図である。
【図３】本発明の処理フローを示した図である。
【図４】整列方向の例を説明するための図である。
【図５】四角形バブルに設定されるポテンシャル場の一
例を示すための図である。
【図６】四角形バブルに設定されるポテンシャル場の一
例を示すための図である。
【図７】２つの四角形バブルに生じる力の例を説明する
ための図である。
【図８】２つの四角形バブルに生じる力の例を説明する
ための図である。
【図９】バブル個数制御において用いられる第１の領域
の例を示す図である。
【図１０】バブル個数制御において用いられる第２の領
域の例を示す図である。
【図１１】三角形メッシュを四角形メッシュに変換する
処理フローを説明するための図である。
【図１２】三角形メッシュを四角形メッシュに変換する
場合の処理例を示す図である。（ａ）から順に（ｅ）ま
で処理が実施される。
【図１３】通常のコンピュータ・システムを説明するた
めの図である。
【図１４】四角形バブル充填の例である。
【図１５】図１４から三角形メッシュを生成したところ
の図である。
【図１６】図１５の三角形メッシュから四角形メッシュ
を生成したところの図である。なお、評価関数Ｆ2及び
Ｆ3の係数ｂ及びｃは固定で、Ｆ1の係数ａは０．０であ
る。
【図１７】図１５の三角形メッシュから四角形メッシュ
を生成したところの図である。なお、評価関数Ｆ2及び
Ｆ3の係数ｂ及びｃは固定で、Ｆ1の係数ａは０．１５で
ある。
【図１８】図１５の三角形メッシュから四角形メッシュ
を生成したところの図である。なお、評価関数Ｆ2及び
Ｆ3の係数ｂ及びｃは固定で、Ｆ1の係数ａは０．５であ
る。
【図１９】図１５の三角形メッシュから四角形メッシュ
を生成したところの図である。なお、評価関数Ｆ1及び
Ｆ2の係数ａ及びｂは固定で、Ｆ3の係数ｃは０．０であ
る。
【図２０】図１５の三角形メッシュから四角形メッシュ
を生成したところの図である。なお、評価関数Ｆ1及び
Ｆ2の係数ａ及びｂは固定で、Ｆ3の係数ｃは１．３であ
る。
【図２１】図１５の三角形メッシュから四角形メッシュ
を生成したところの図である。なお、評価関数Ｆ1及び
Ｆ2の係数ａ及びｂは固定で、Ｆ3の係数ｃは３．０であ
る。
【符号の説明】
１００−２９０ 処理ステップ
───────────────────────────────────────────────────── フロントページの続き (72)発明者 伊藤 貴之 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内 (72)発明者 古畑 智武 神奈川県大和市下鶴間1623番地14 日本ア イ・ビー・エム株式会社 東京基礎研究所 内 (72)発明者 嶋田 憲司 アメリカ合衆国15237 ペンシルバニア州、 ピッツバーグ、ラコスタ コート 1704

Claims (14)

    【特許請求の範囲】
  1. 【請求項１】複数の三角形要素を含む三角形メッシュか
    ら複数の四角形要素を含む四角形メッシュを生成する方
    法であって、 隣接する三角形要素の対により生成される各候補四角形
    要素について、当該候補四角形要素とユーザにより指定
    される、四角形要素の整列方向との関係を表す第１評価
    値及び当該候補四角形要素の形状に関する第２評価値を
    計算するステップと、 前記第１及び第２評価値を用いて、候補四角形要素のう
    ち前記四角形メッシュの要素として使用する候補四角形
    要素を選択する選択ステップと、 を含む四角形メッシュ生成方法。
  2. 【請求項２】前記候補四角形要素を構成するいずれかの
    三角形要素にとって対となる三角形要素が他にない場合
    に第１の値をとり、他にある場合に第２の値をとる第３
    評価値を、各候補四角形要素について計算するステッ
    プ、 をさらに含む請求項１記載の四角形メッシュ生成方法。
  3. 【請求項３】前記選択ステップは、 前記第３評価値が前記第１の値を有する候補四角形要素
    の優先度を選択において高くするステップと、 を含む請求項２記載の四角形メッシュ生成方法。
  4. 【請求項４】前記第１及び第２評価値を用いて第４評価
    値を計算するステップと、 前記第１乃至第３評価値を用いて第５評価値を計算する
    ステップと、 前記第４評価値と前記第５評価値のいずれか大きい方の
    候補四角形要素を抽出するステップと、 をさらに含む請求項２記載の四角形メッシュ生成方法。
  5. 【請求項５】前記選択ステップは、 抽出された前記候補四角形要素を構成する三角形要素が
    選択済か否か判断するステップと、 いずれも処理済でなければ、前記抽出された候補四角形
    要素を選択するステップと、 を含む請求項４記載の四角形メッシュ生成方法。
  6. 【請求項６】選択された候補四角形要素に隣接し且つ未
    選択の三角形要素を含む候補四角形要素について、当該
    候補四角形要素を構成するいずれかの三角形要素にとっ
    て対となる三角形要素が他にない場合に第１の値をと
    り、他にある場合に第２の値をとる第３評価値を計算す
    るステップをさらに含む請求項１記載の四角形メッシュ
    生成方法。
  7. 【請求項７】複数の三角形要素を含む三角形メッシュか
    ら複数の四角形要素を含む四角形メッシュを生成する装
    置であって、 隣接する三角形要素の対により生成される各候補四角形
    要素について、当該候補四角形要素とユーザにより指定
    される、四角形要素の整列方向との関係を表す第１評価
    値及び当該候補四角形要素の形状に関する第２評価値を
    計算する計算機と、 前記第１及び第２評価値を用いて、候補四角形要素のう
    ち前記四角形メッシュの要素として使用する候補四角形
    要素を選択するセレクタと、 を有する四角形メッシュ生成装置。
  8. 【請求項８】前記候補四角形要素を構成するいずれかの
    三角形要素にとって対となる三角形要素が他にない場合
    に第１の値をとり、他にある場合に第２の値をとる第３
    評価値を、各候補四角形要素について計算する第２計算
    機、 をさらに有する請求項７記載の四角形メッシュ生成装
    置。
  9. 【請求項９】複数の三角形要素を含む三角形メッシュか
    ら複数の四角形要素を含む四角形メッシュをコンピュー
    タに生成させるプログラムを格納した記憶媒体であっ
    て、 前記プログラムは、前記コンピュータに、 隣接する三角形要素の対により生成される各候補四角形
    要素について、当該候補四角形要素とユーザにより指定
    される、四角形要素の整列方向との関係を表す第１評価
    値及び当該候補四角形要素の形状に関する第２評価値を
    計算するステップと、 前記第１及び第２評価値を用いて、候補四角形要素のう
    ち前記四角形メッシュの要素として使用する候補四角形
    要素を選択する選択ステップと、 を実行させる、記憶媒体。
  10. 【請求項１０】前記プログラムは、 前記候補四角形要素を構成するいずれかの三角形要素に
    とって対となる三角形要素が他にない場合に第１の値を
    とり、他にある場合に第２の値をとる第３評価値を、各
    候補四角形要素について計算するステップ、 をさらに実行させる、請求項９記載の記憶媒体。
  11. 【請求項１１】前記選択ステップは、 前記第３評価値が前記第１の値を有する候補四角形要素
    の優先度を選択において高くするステップ、 を含む、請求項１０記載の記憶媒体。
  12. 【請求項１２】前記プログラムは、 前記第１及び第２評価値を用いて第４評価値を計算する
    ステップと、 前記第１乃至第３評価値を用いて第５評価値を計算する
    ステップと、 前記第４評価値と前記第５評価値のいずれか大きい方の
    候補四角形要素を抽出するステップと、 をさらに実行させる、請求項１０記載の記憶媒体。
  13. 【請求項１３】前記選択ステップは、 抽出された前記候補四角形要素を構成する三角形要素が
    選択済か否か判断するステップと、 いずれも処理済でなければ、前記抽出された候補四角形
    要素を選択するステップと、 を含む、請求項１２記載の記憶媒体。
  14. 【請求項１４】前記プログラムは、 選択された候補四角形要素に隣接し且つ未選択の三角形
    要素を含む候補四角形要素について、当該候補四角形要
    素を構成するいずれかの三角形要素にとって対となる三
    角形要素が他にない場合に第１の値をとり、他にある場
    合に第２の値をとる第３評価値を計算するステップをさ
    らに実行させる、請求項９記載の記憶媒体。
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