GR1009413B

GR1009413B - Mechanical-geometrical construction resolving the circle-squaring problem

Info

Publication number: GR1009413B
Application number: GR20140100604A
Authority: GR
Inventors: Ιωαννης Ανδρεα Γεωργακακης
Original assignee: Ιωαννης Ανδρεα Γεωργακακης
Priority date: 2014-11-27
Filing date: 2014-11-27
Publication date: 2018-12-14
Also published as: GR20140100604A

Abstract

The invention relates to a handy mechanism which is liable to calculate the length of the square’s side the surface of which is equal or approximately equal to a given-radius cycle. In all its forms the above mechanism (circle-square-triangle meter) is a ruler of two different scales: the scale of the measuring system in force and the scale of another measuring system having as measuring unit the side of the square with which the in-force measuring system is found in a precise proportional relation.

Description

(Αναλογικά - Φυσικά, μέτρα ακρίβειας) (Analog - Physical, precision measures)

ΚΥΚΛΟΤΕΤΡΑΓΩΝΟΜΕΤΡΙA CYCLOTREAGONOMETRY

ΤΡΙΓΩΝΑ ή ΜΗ TRIANGLE or NOT

Η έρευνά μας, στο Internet (www.squaringofcircle.gr) βασίζεται στην υπόθεση ότι το Π δεν είναι απλά και μόνο μια αριθμητική σταθερά, αλλά και μια βασική ρητή Our research, on the Internet (www.squaringofcircle.gr) is based on the assumption that Π is not just a numerical constant, but also a basic expression

. .

αναλογία - με ελάχιστους ρητούς κλασματικούς όρους <πθυ>παίρνει την τιμή 3,14160156250565754150390625 με τετραγωνική ρίζα ίση με 1,7724563640625 - με την οποία η φύση συνθέτει τα πράγματα. Η τιμή αυτή ονομάζεται πι-γάμα (ΠΓ). Η ρίζα του ΠΓείναι μαθηματικά ακριβής και μέσα στα όρια που απέδειξε ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης: proportion - with minimal explicit fractional terms <πthy>takes the value 3.14160156250565754150390625 square root equal to 1.7724563640625 - by which nature composes things. This value is called pi-gamma (PG). The root of PG is mathematically exact and within the limits proved by the ancient Greek mathematician Archimedes:

(μεικτός αριθμός). (mixed number).

Η έρευνά μας οριοθετεί μια γεωμετρική κατασκευή (ένα μηχανισμό) στο μη επιλύσιμο με κανόνα και διαβήτη πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, με σκοπό τη διατήρηση των φυσικών αναλογιών στη βασική δομή κάθε (εικαστικής) δημιουργίας και χρησιμοποιεί φυσικά μέτρα αναλογίας όπως ακριβώς συμβαίνει και στη φύση. Our research delineates a geometric construction (a mechanism) in the unsolvable rule-and-diameter problem of squaring the circle, with the aim of preserving natural proportions in the basic structure of any (imaginary) creation and uses natural measures of proportion just as it occurs in nature .

Γεωμετρικά το πι-γάμα (ΠΓ) εκφράζει το σταθερό-ρητό λόγο του αριθμού των τμημάτων που προκύπτουν από την αναλογική κατάτμηση του αναπτύγματος της ημιπεριφέρειας ενός τυχαίου κύκλου προς τον αριθμό των τμημάτων που προκύπτουν από το συνεχή υποδιπλασιασμό της ακτίνας (R) του ίδιου κύκλου. Αυτό υπακούει στο θεώρημα του Θαλή -καθώς και στα θεωρήματα "περί καθέτων ευθειών" και "συνεχής αναλογικής κατάτμησης ευθείας" της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Geometrically, the pi-gamma (PG) expresses the constant-exponential ratio of the number of segments resulting from the proportional division of the expansion of the semicircle of a random circle to the number of segments resulting from the continuous doubling of the radius (R) of the same circle . This obeys Thales's theorem - as well as the "about perpendicular lines" and "continuous proportional line segment" theorems of Euclidean geometry.

Κατά την έρευνά μας καταλήξαμε και στο συμπέρασμα ότι υπάρχει ένα έσχατο ελάχιστο άτμητο μήκος γραμμής. Αυτό το έσχατο ελάχιστο είναι ένα στοιχειώδες μήκος, που έχει την ελάχιστη δυνατή διάσταση και αποτελεί μονάδα με την οποία μετράμε την ακτίνα του κύκλου, και συναρτήσει αυτής την περίμετρο, το εμβαδόν και τον όγκο όλων των γεωμετρικών σχημάτων. Αν R η ακτίνα του κύκλου, η τιμή του Εσχάτου Ελάχιστου Μήκους είναι: During our research we also came to the conclusion that there is an ultimate minimum unsheared line length. This ultimate minimum is an elementary length, which has the smallest possible dimension and is a unit by which we measure the radius of the circle, and as a function of it the perimeter, the area and the volume of all geometric figures. If R is the radius of the circle, the value of the Ultimate Minimum Length is:

Σε αυτό το Έσχατο Ελάχιστο Μήκος (ή Άτμητο) στηρίζεται ο μηχανισμός μέτρησης και κατασκευής γεωμετρικών οργάνων και μηχανημάτων υψηλής ακρίβειας στο χώρο (και όχι μόνο) αλλά και στην κατασκευή των Αναλογικών Κυκλοτετραγωνόμετρων τα οποία στηρίζονται στη γεωμετρική κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου (Μετατροπέα) του οποίου η μικρή κάθετη πλευρά είναι η ακτίνα R ενός κύκλου και η μεγάλη κάθετη πλευρά του, η πλευρά (α) του αντίστοιχου (ισοδύναμου) τετραγώνου. Ο λόγος a/R=l, 7724563640625 παραμένει πάντοτε σταθερός και αποτελεί φυσικό (εικαστικό) μέτρο της πλευράς (α) παντός τετραγώνου με οποιανδήποτε τιμή (R) του αντίστοιχου κύκλου (Ο). On this Ultimate Minimum Length (or Steamless) is based the mechanism of measurement and construction of high-precision geometric instruments and machines in space (and not only) but also in the construction of Analog Cyclosquare Meters which are based on the geometric construction of a right triangle (Transverter) whose the short vertical side is the radius R of a circle and its long vertical side, side (a) of the corresponding (equivalent) square. The ratio a/R=l, 7724563640625 always remains constant and is a physical (imaginary) measure of the side (a) of every square with any value (R) of the corresponding circle (O).

Τα κυκλοτετραγωνόμετρα αναφέρονται σ' ένα μηχανισμό ο οποίος υπολογίζει το μήκος της πλευράς του τετραγώνου που έχει ίσο (ή με την καλύτερη δυνατή προσέγγιση ίσο) εμβαδόν με κύκλο δεδομένης ακτίνας. Τα τετραγωνόμετρα σε όλες τους τις μορφές είναι ένας κανόνας δύο διαφορετικών κλιμάκων, της κλίμακας του (εκάστοτε) ισχύοντος μετρικού συστήματος, και εκείνης της κλίμακας ενός άλλου μετρικού συστήματος, το οποίο σαν μονάδα μέτρησης έχει την ακτίνα (R) του κύκλου με το οποίο το ισχύον μετρικό ευρίσκεται σε ορισμένη αναλογική σχέση ίση με l,7724563640625xR, η οποία εκφράζει την πλευρά (α) του εκάστοτε τετραγώνου το οποίο έχει εμβαδόν ίσο με αυτό του αντίστοιχου κύκλου. Cycloquadrameters refer to a device that calculates the length of the side of the square that has an area equal to (or to the best possible approximation equal to) a circle of a given radius. Square meters in all their forms are a rule of two different scales, the scale of the (each) current metric system, and that of another metric system, which has as a unit of measurement the radius (R) of the circle with which the valid metric is found in a certain proportional relationship equal to l.7724563640625xR, which expresses the side (a) of each square which has an area equal to that of the corresponding circle.

Οι μετρικές ηλεκτρονικές επισημάνσεις ή υποδιαιρέσεις ή χαράξεις, ανεξαρτήτως της τοποθέτησης των δύο κλιμάκων στα χρησιμοποιούμενα όργανα, ευρίσκονται σε πλήρη αντιστοιχία και αναλογία και εν μέρει αλλά και εν όλω, έχουν δε μεταξύ τους ένα σταθερό λόγο ίσο με 1/0,564188783 ή τον αντίστροφο αυτού λόγο ίσο με 1/1,7724563640625 The metric electronic markings or subdivisions or markings, regardless of the placement of the two scales on the instruments used, are in full correspondence and proportion both in part and in whole, and have a fixed ratio between them equal to 1/0.564188783 or vice versa this ratio equal to 1/1.7724563640625

α) Ο κανόνας αυτός δύναται να ενσωματωθεί σε ηλεκτρονικά μηχανήματα (κομπιούτερ ή Η/Υ) εις τα οποία έχουν τοποθετηθεί επιπλέον δύο πλήκτρα, με τις ενδείξεις (R) και (α) τα οποία όταν ενεργοποιούνται, μας δίνουν το πρώτο, την πλευρά (α) του αντίστοιχου τετραγώνου και το δεύτερο την ακτίνα (R) του αντίστοιχου κύκλου. a) This rule can be incorporated into electronic machines (computers or PCs) in which two additional keys have been placed, with the indications (R) and (a) which, when activated, give us the first, the side ( a) of the corresponding square and the second the radius (R) of the corresponding circle.

β) Επίσης ο εν λόγω κανόνας δύναται να έχει την μορφή χάρακος (1) (2) ή ορθογωνίου τριγώνου (3) (4), ή ορθογωνίου τριγώνου με δείκτη (5) (6) ή ορθογωνίου τριγώνου με περιστρεφόμενες κυκλικά τις πλευρές του (7) και ενός οποιουδήποτε άλλου ορθογωνίου τριγώνου (κυκλοτετραγωνόμετρο) ή του οποίου η μορφή της κατασκευής είναι τέτοια ώστε: η μικρή κάθετη πλευρά του ισούται με την ακτίνα (R) τυχαίου κύκλου (Κο), ενώ η μεγάλη κάθετη πλευρά του είναι ίση με την πλευρά (α) του αντίστοιχου τετραγώνου, το οποίο έχει ίσο εμβαδόν με τον ίδιο τυχαίο κύκλο. Ο Αριθμ. λόγος (δηλ. η αναλογία) της μεγάλης πλευράς (α) προς την μικρή πλευρά (R) του ίδιου ορθογωνίου τριγώνου παραμένει πάντοτε σταθερός και ίσος με: a/R=l, 7724563640625 (1'). b) The rule in question may also take the form of a ruler (1) (2) or a right-angled triangle (3) (4), or a right-angled triangle with an index (5) (6) or a right-angled triangle with its sides rotated circularly ( 7) and any other right triangle (cycloquadragonometer) or whose form of construction is such that: its small vertical side is equal to the radius (R) of a random circle (Ko), while its long vertical side is equal to side (a) of the corresponding square, which has the same area as the same random circle. The No. ratio (i.e. the ratio) of the long side (a) to the short side (R) of the same right triangle always remains constant and equal to: a/R=l, 7724563640625 (1').

Οι κλίμακες του κανόνα δύναται να έχουν σταθερό λόγο με μικρή παρέκκλιση του αρχικού, δηλαδή ο παρονομαστής του λόγου στην πρώτη περίπτωση δύναται να λαμβάνει τιμές από 0,564 έως 0,565 και όλες τις διαβαθμίσεις μεταξύ των δύο αυτών αριθμών. The scales of the rule can have a constant ratio with a small deviation from the original, that is, the denominator of the ratio in the first case can take values from 0.564 to 0.565 and all the gradations between these two numbers.

Στη δεύτερη περίπτωση ο παρονομαστής του σταθερού λόγου δύναται να λαμβάνει τιμές από 1,772 έως 1,774 και όλες τις δυνατές διαβαθμίσεις των δύο αυτών αριθμών. In the second case, the denominator of the constant ratio can take values from 1.772 to 1.774 and all possible gradations of these two numbers.

Το πλεονέκτημα των τετραγωνόμετρων συνίσταται στο ότι αποτελούν ένα εύχρηστο μηχανισμό εύρεσης του μήκους της πλευράς του τετραγώνου το οποίο έχει εμβαδόν ίσο (ή κατά μεγάλη προσέγγιση ίσο) με ένα κύκλο του οποίου γνωρίζουμε την ακτίνα και αντιστρόφως. The advantage of quadrameters is that they are a handy device for finding the side length of a square whose area is equal (or roughly equal) to a circle whose radius we know, and vice versa.

Ο μηχανισμός του κανόνα για τα τετραγωνόμετρα σε όλες τους τις μορφές, προκύπτει από μια βασική αρχή της εικαστικής δημιουργίας της Αρχαίας κλασσικής Ελληνικής Τέχνης σύμφωνα με τον οποίο η οποιανδήποτε αναλογία των υπαρκτών πραγμάτων πρέπει να είναι ρητή. The mechanism of the rule for the square meters in all their forms, arises from a basic principle of the visual creation of Ancient Classical Greek Art according to which any proportion of existing things must be explicit.

Με βάση αυτή την εικαστική απαραβίαστη αρχή: Η ακτίνα του κύκλου αποτελεί φυσικό (εικαστικό) μέτρο της ημιπεριφέρειας του και ισούται με το τριπλάσιο της ακτίνας του (3R) συν το ένα εξηκοστό τέταρτο του τριπλάσιου, αυτού του γινόμενου (3.3R/64), συν το ένα δέκατο έκτο, του ενός εξηκοστού τετάρτου αυτής (R/63.16) και επιπλέον ένα έσχατο ελάχιστο ακέραιο κλάσμα του τελικού αθροίσματος ίσο με 57933225/1024χ10<16>. Based on this imaginary inviolable principle: The radius of a circle is a natural (imaginary) measure of its semicircumference and is equal to three times its radius (3R) plus one-sixty-fourth of three times its product (3.3R/64), plus one sixteenth of one sixtieth quarter thereof (R/63.16) and in addition an ultimate minimum integer fraction of the final sum equal to 57933225/1024x10<16>.

Δηλαδή: That is:

Με βάση αυτή τη ρητή αναλογική σχέση προκύπτουν οι εξής άλλες: Based on this explicit proportional relationship, the following others arise:

Όπου Ο η περίμετρος του κύκλου, Ε το εμβαδόν του α η πλευρά του τετραγώνου και R η ακτίνα του κύκλου. Where O is the circumference of the circle, E is the area of a side of the square and R is the radius of the circle.

Δύναται να υπάρχουν οι εξής βασικές μορφές τετραγωνόμετρων: The following basic forms of square meters may exist:

1') Το κυκλο-τετραγωνόμετρο με μορφή ορθογωνίου τριγώνου του οποίου η μικρή κάθετος πλευρά ισούται με την ακτίνα (R) τυχαίου κύκλου ενώ η μεγάλη κάθετος πλευρά του ίδιου ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με την πλευρά (α) του αντιστοίχου τετραγώνου του ίδιου κύκλου. 1') The cyclo-square meter in the form of a right triangle whose short vertical side is equal to the radius (R) of a random circle while the long vertical side of the same right triangle is equal to the side (a) of the corresponding square of the same circle.

1) Το τετραγωνόμετρο με την μορφή χάρακα (1) είναι ένας κανόνας δύο μετρικών κλιμάκων, αυτής του ισχύοντος μετρικού συστήματος, το οποίο σαν μονάδα έχει το μέτρο και τις υποδιαιρέσεις αυτού και ενός νέου μετρικού συστήματος το οποίο σαν μονάδα έχει την πλευρά του αντιστοίχου τετραγώνου και τις υποδιαιρέσεις του, οι οποίες είναι ακέραια πολλαπλάσια του 1,772456364025 του μέτρου της πρώτης μετρικής κλίμακος και μας δείχνει πόσες φορές αυτή σαν ακτίνα του κύκλου «χωράει» στη δεύτερη, δηλαδή στη πλευρά του τετραγώνου. 1) The square meter in the form of a ruler (1) is a rule of two metric scales, that of the current metric system, which has as a unit the measure and its subdivisions, and a new metric system which has as a unit the side of the corresponding square and its subdivisions, which are integer multiples of 1.772456364025 of the meter of the first metric scale and shows us how many times this as a radius of the circle "fits" in the second, that is, on the side of the square.

2) Το κυκλοτετραγωνόμετρο με την μορφή χάρακα (2) για το οποίο ισχύει η ίδια περιγραφή με την διαφορά ότι η δεύτερη κλίμακα και υποδιαιρέσεις αυτής είναι ακέραια υποπολλαπλάσια του λόγου R=a/1, 7724563640625 του μέτρου πρώτης μετρικής κλίμακας η οποία μας δείχνει το τετράγωνο, η δεύτερη κλίμακα μας δείχνει πόσες φορές η ακτίνα του αντίστοιχου κύκλου «χωράει» στη πλευρά (α) του αντιστοίχου τετραγώνου. 2) The cyclosquare meter in the form of a ruler (2) for which the same description applies with the difference that the second scale and its subdivisions are integer submultiples of the ratio R=a/1, 7724563640625 of the measure of the first metric scale which shows us the square, the second scale shows us how many times the radius of the corresponding circle "fits" on side (a) of the corresponding square.

3) Το κυκλοτετραγωνόμετρο με τη μορφή ορθογωνίου τριγώνου (3) του οποίου η μία κάθετη μεγαλύτερη πλευρά φέρει ένα κανόνα με δύο κλίμακες όπως ακριβώς στην περιγραφή με μορφή χάρακα (1) ενώ η άλλη μικρότερη κάθετη πλευρά φέρει διαβαθμίσεις ή χαράξεις του ισχύοντος μετρικού συστήματος. Στο τετραγωνόμετρο αυτή της μορφής ο λόγος των δύο κάθετων πλευρών και τα τυχόν αναλογικά τμήματα και οι υποδιαιρέσεις αυτών, διατηρείται σταθερός και ίσος με 1,7724563640625, ανεξάρτητα από το μέγεθος αυτών, η δε μεγαλύτερη κάθετη πλευρά (ΑΒ) του τριγώνου αντιστοιχεί στην πλευρά (α) του τετραγώνου και η μικρότερη κάθετη πλευρά (ΒΓ) αντιστοιχεί στην ακτίνα (R) του αντιστοίχου κύκλου. 3) The cyclotetragonometer in the form of a right triangle (3) whose one vertical larger side bears a rule with two scales exactly as described in the form of a ruler (1) while the other smaller vertical side bears graduations or markings of the applicable metric system. In the square meter of this form, the ratio of the two vertical sides and any proportional parts and their subdivisions, is kept constant and equal to 1.7724563640625, regardless of their size, and the longest vertical side (AB) of the triangle corresponds to the side ( a) of the square and the smaller vertical side (BG) corresponds to the radius (R) of the corresponding circle.

4) Το κυκλοτετραγωνόμετρο με μορφή ορθογωνίου τριγώνου (4) ισχύει η ίδια περιγραφή που έγινε για το τετραγωνόμετρο με μορφή ορθογωνίου τριγώνου (3) με τη διαφορά ότι για τον κανόνα ο οποίος υπάρχει στην πλευρά (ΑΒ) ισχύει η περιγραφή του τετραγωνόμετρου με τη μορφή χάρακα (2). 4) The cycloquadrimeter in the form of a rectangular triangle (4) applies the same description as for the quadrilateral in the form of a rectangular triangle (3) with the difference that for the rule that exists on side (AB) the description of the quadrimeter in the form applies ruler (2).

5) Το κυκλοτετραγωνόμετρο με μορφή, ορθογωνίου τριγώνου και δείκτη, (5) (6) χαρακτηρίζεται από το ότι: Στην μικρή κάθετη πλευρά η οποία αντιστοιχεί στην ακτίνα (R) του κύκλου, σύρεται κάθετα με μηχανισμό ή σε παράλληλη σχισμή με χειροκίνητο ή οποιονδήποτε άλλο μηχανισμό, πεπλατυσμένη ακίδα (δείκτης) ίσου μήκους με την πλευρά (α) έχοντας κατά περίπτωση στις άκρες της ή στη διάφανη «ράχη» της τις μετρικές χαράξεις των δύο κλιμάκων και με τη «βοήθεια» της υποτείνουσας -την οποία τέμνει σε διαδοχικά σημεία καθώς κινείται -δείχνει το εκάστοτε μήκος της πλευράς (α) του αντιστοίχου τετραγώνου. 5) The cycloquadrameter with the shape of a right triangle and pointer, (5) (6) is characterized by: On the small vertical side which corresponds to the radius (R) of the circle, it is drawn vertically by mechanism or in a parallel slot by hand or any another mechanism, a flattened pin (pointer) of equal length to side (a) having, as the case may be, on its edges or on its transparent "spine" the metric markings of the two scales and with the "help" of the hypotenuse -which it intersects in successive points as it moves - it shows the respective length of the side (a) of the corresponding square.

6) Το κυκλοτετραγωνόμετρο με τη μορφή ορθογωνίου τριγώνου (7) του οποίου η μια κάθετη μικρή πλευρά περιστρέφεται κυκλικά με αποτέλεσμα να μετατρέπεται σε σκαληνό τρίγωνο, χαρακτηρίζεται από το ότι: Η μικρή κάθετη πλευρά η οποία αντιστοιχεί στην ακτίνα (R) του κύκλου περιστρέφεται από μία (1°) έως τριακόσιες εξήντα μοίρες (360°). Ενώ η μεγαλύτερη πλευρά (ΑΒ) και η μικρότερη πλευρά (ΒΓ) του τριγώνου δύναται να μεγαλώνουν ή να μικραίνουν ταυτόχρονα σε ανάλογα τμήματα σταθερού λόγου, με ένα οποιονδήποτε μηχανισμό χειροκίνητο ή ηλεκτρονικό. 6) The cycloquadrameter in the form of a right triangle (7) whose one vertical short side rotates circularly so that it turns into a stepped triangle, is characterized by the fact that: The small vertical side which corresponds to the radius (R) of the circle is rotated by one (1°) to three hundred sixty degrees (360°). While the larger side (AB) and the smaller side (BG) of the triangle can grow or shrink at the same time in corresponding parts of a fixed ratio, with any manual or electronic mechanism.

Με τον τρόπο αυτό δύναται να έχουμε την μετατροπή πολυαρίθμων ακτινών κύκλου σε αντίστοιχες πλευρές τετραγώνων και αντιστρόφως. In this way we can have the conversion of polynomial circle radii into corresponding sides of squares and vice versa.

7) Το κυκλοτετραγωνόμετρο με μορφή χάρακα (1) (2) χαρακτηρίζεται από το ότι: Οι δύο πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου δεν υπάρχουν και έτσι αυτός δύναται να μετατρέπεται σε αναδιπλούμενο κανόνα (κοινώς μέτρο) ή περιτυλιγμένη ταινία μέτρησης (μεζούρα) ανεξαρτήτου μήκους από οποιοδήποτε κατάλληλο υλικό. 7) The cyclosquare meter in the form of a ruler (1) (2) is characterized by the fact that: The two sides of the right triangle do not exist and thus it can be converted into a folding rule (commonly a meter) or a wrapped measuring tape (tape measure) of independent length from any suitable material.

Claims

1) The cyclosquare measures which are instruments with a mechanism of a rule, which can be integrated with any program in an electronic computer or computer and which has two different scales, the scale of the currently applicable metric system and that of the scale of another metric system which as a unit of measurement has the radius (R) of the circle, with which metric system, is in a certain proportional relationship equal to 1.7724563640625-R which expresses the side (a) of the square, which has an area equal to that of the corresponding cycle and that the same rule may still exist in the following forms:

In figure (1') of a right triangle (Transverter) whose vertical short side is equal to the radius (R) of a random circle, while the long vertical side of the same right triangle is equal to the side (a) of the corresponding square of the same cycle (In Drawing [1'] paragraph [6] the mode of operation of the specific instrument is indicated). The same rule may still exist in the form of a ruler (1) (2) or a right-angled triangle with a rule (3) (4), or a right-angled non-isosceles triangle with a rule and a ruler (index) (5) (6), or a non-rectangular isosceles triangle whose two vertical sides rotate circularly (7) which can be made of any material and which show us the radius (R) of a given circle whose area is equal to the square of side (a) or vice versa, where rule (1') (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) has two scales, one according to the (current) metric system, the second which is divided into points (marks) integer multiples of a constant ratio 1/0.564188783, (1) or 1/1.7724563640625 (2) and is greater or less respectively, in relation to the valid scale of the metric system, and which points are located, in complete correspondence and proportion and in part and in whole, to each other, regardless of the position in which the two scales have been placed, where the length of the two vertical sides of the triangles (3) (4) (5) (6) have the same ratio and the same correspondence as that of the scales both in part and in whole.

As a result, reading any indication of the large scale of the rule, we have the side of the square which has an area equal to a circle whose radius is the corresponding indication of the small scale, in the same rule or vice versa.

The rule may also include a third series of metric provisions, which are integer multiples of the multiples or submultiples of the radius of the circle, in relation to the side of the corresponding square, to facilitate the respective measurements.

Cycloquadrameters, in all their forms, in the manner described above, are characterized by: The method of converting the radius (R) of the circle is achieved because the two different metric scales of the rule they possess are in complete correspondence and proportion and in part but also in whole, they also have a constant ratio between them equal to 56.71860365/1024, whose numerator can take values from 56.7113... to 56.71860365.

Whereas when the ratio of the two metric scales of the rule is reversed (ie becomes of the form 32/56.71860365) then the square meters convert the side (a) of the square to the radius (R) of the corresponding circle.

2) The cycloquadrimeters according to claim (1) characterized by the fact that: the scales of the rule may have a ratio, with a small deviation from the original, that is, the denominator in the first case 1/0.564188783586188... may receive values from 0.564 to 0.56418... and all possible gradients between these two numbers.

3) The cycloquadrimeters according to claim (1) which are characterized by the fact that: The scales of the rule may have a ratio, with a small deviation from the original one, i.e. the denominator in the second case 1/1.7724563640625 may take values from 1.771 to 1.7724563640625 and all possible gradations between these two numbers.

4) The cycloquadrameter in the form of a right triangle with a rule and a ruler (index) according to claim (1) (2) is characterized by the fact that: There is additionally one more rule in the form of a thin ruler equal in length to the long vertical side of the rectangle of a triangle and with the metric markings on either side of its sides, which, moving perpendicularly to the small vertical side of the same triangle, by hand or any other mechanism, the "lines" of the two successive markings of the rule intersect in successive points the hypotenuse of the right triangle , thus showing the respective length of side (a) of the corresponding square.

5) The cycloquadrameter in the form of a right triangle (6) with a ruler and index according to claim (1) (2) is characterized in that: There is additionally a rule in the form of a thin ruler, equal in length to the long vertical side of the right triangle , which is drawn vertically in a parallel slit, on the short vertical side of the triangle, by hand or any other mechanism, and the linear series of incisions in the center of the transparent rule intersects the hypotenuse of the right triangle at successive points, thus showing the respective length of side (a) of the corresponding square.

6) The cycloquadratometer in the form of a right triangle (7) according to claim (1) and (2) whose one vertical short side rotates in a circle as a result of which it turns into a stepped triangle, is characterized by the fact that: The short vertical side n which corresponds to the radius (R) of the circle rotates from one (1°) to three hundred and sixty degrees (360°), while the larger side (AB) and the smaller side (BG) of the triangle can grow or shrink simultaneously, in corresponding parts of fixed ratio, with any manual or electric mechanism. In this way we can have the conversion of polynomial circle radii into corresponding sides of squares and vice versa.

7) The cyclosquare meter in the form of a ruler (1) (2) according to claims (1) (2) (3) is characterized by the fact that: The two sides of the right triangle do not exist and thus it can be converted into a folding rule (commonly a measure ) or wrapped measuring tape (tape measure) of any length from any suitable material.