FR3120722A1

FR3120722A1 - Procédé de détermination d’un ou plusieurs modèles de comportement mécanique d’une aube de turbine, et dispositif associé

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Publication number: FR3120722A1
Application number: FR2102262A
Authority: FR
Inventors: Thomas Daniel; Fabien CASENAVE; David RYCKELYNCK; Ali KETATA
Original assignee: Association pour la Recherche et le Developpement des Methodes et Processus Industriels; Safran SA
Current assignee: Association pour la Recherche et le Developpement des Methodes et Processus Industriels; Safran SA
Priority date: 2021-03-09
Filing date: 2021-03-09
Publication date: 2022-09-16
Also published as: WO2022189736A1

Abstract

Procédé de détermination d’un ou plusieurs modèles de comportement mécanique d’un e aube de turbine, et dispositif associé Un tel procédé, comprenant les étapes suivantes : étape de simulation numérique simplifiée, au cours de laquelle, pour chaque champ de sollicitation d’un ensemble de champs de sollicitation, on détermine une réponse mécanique simplifiée de l’aube de turbine soumise au champ de sollicitation considéré,étape de partitionnement, au cours de laquelle on subdivise ledit ensemble en K groupes de champs de sollicitation, distincts, sur la base desdites réponses mécaniques simplifiées,étape de pré-caractérisation, au cours de laquelle on détermine un critère de performance (, G) attendu pour un dictionnaire de modèles de comportement mécanique comportant K modèles, compte tenu dudit partitionnement,détermination du ou des modèles de comportement mécanique, en tenant compte dudit critère de performance. Figure à publier avec l’abrégé : Figure 5

Description

Procédé de détermination d’un ou plusieurs modèles de comportement mécanique d’une aube de turbine, et dispositif associé

De manière générale, l’invention concerne le domaine de la simulation numérique du comportement mécanique de pièces mécaniques, par exemple de leur déformation et vieillissement. Elle concerne en particulier la détermination de modèles de comportement mécanique pour une aube de turbine soumise à différents champs de sollicitation, par exemple à différents champs de température. Ces modèles de comportement mécanique représentent de manière synthétique le comportement mécanique attendu pour l’aube en question. Ces modèles de comportement mécanique, associés à un classificateur de champs de sollicitation entrainé par des méthodes d’intelligence artificielle, permettent d’accélérer utilement des études de vieillissement par simulation numérique. Par vieillissement on entend l’évolution de l’état de la pièce mécanique au cours du temps, incluant l’endommagement par fatigue.

ARRIERE-PLAN TECHNOLOGIQUE

La simulation numérique par éléments finis des déformations subies par une pièce mécanique soumise à différentes sollicitations a fait d’importants progrès ces dernières années. De telles simulations permettent notamment de prévoir la façon dont va vieillir telle ou telle pièce mécanique, pour une durée d’utilisation longue (par exemple plusieurs années), qui n’aurait pas pu faire l’objet d’essais ou de mesures directes. Plus généralement, ces simulations rendent la phase de conception et de prototypage d’un système mécanique plus rapide, et plus performante.

Mais certaines situations restent difficiles à simuler, car nécessitant un temps de calcul très important.

C’est le cas notamment pour la caractérisation du vieillissement, en particulier de la tenue en fatigue d’une aube d’une turbine de turbomachine, par exemple une turbine haute pression située juste en aval de la chambre de combustion. Dans ce cas, une température élevée et généralement inhomogène est exercée sur les aubes de la turbine, en plus du champ de pression et de la force centrifuge subis par ces aubes.

Pour un champ de température donné, exercé sur cette aube, simuler la réponse mécanique (ou le comportement mécanique) de l’aube, pour plusieurs cycles correspondant à plusieurs vols d’un avion, nécessite des ressources de calcul très importantes.

De plus, le champ de température exercé sur une telle aube de turbine n’est en fait pas parfaitement connu. Pour pouvoir déterminer précisément une durée pendant laquelle une aube restera utilisable, et une incertitude associée à cette durée, il faut donc répéter la simulation numérique (déjà très exigeante en elle-même) plusieurs fois, pour toute une distribution statistique de champs de température.

Avec une simulation numérique par éléments finis classique, le temps de calcul ou les ressources de calcul (nombre de processeurs ou de clusters de calcul à faire travailler en parallèle) nécessaires à une telle caractérisation deviennent alors rédhibitoires.

Pour réduire le temps calcul nécessaire pour réaliser de telles simulations, une approche basée sur un regroupement en clusters de différentes entrées envisageables (différentes sollicitations envisageables), et une classification pour recommander un modèle réduit (par exemple un modèle réduit de comportement mécanique) a été proposé dans l’article « Localized Discrete Empirical Interpolation Method » de B. Peherstorfer et al., SIAM J. Sci. Comput. (2014). Plus récemment, une approche basée sur une telle réduction d’ordre du problème mécanique et sur un classificateur de champ de température a été proposée dans l’article suivant : « Model order reduction assisted by deep neural networks (ROM-net) » de T. Daniel et al., Adv.Model. and Simul. in Eng. Sci. (2020) 7:16.

Selon cette approche, au lieu de déterminer la déformation mécanique en chaque nœud d’un maillage de l’aube à caractériser, avec un nombre de degrés de liberté (scalaires) qui serait donc égal à au moins trois fois le nombre de nœuds du maillage, on étudie la réponse mécanique de l’aube sur la base d’un modèle de comportement mécanique simplifié, M_j, paramétré par un nombre de degrés de liberté plus petit.

Un tel modèle de comportement mécanique M_jdécrit par exemple la déformation de l’aube de turbine considérée sous la forme d’une somme pondérée de modes de déformation, typiques du problème mécanique étudié (par exemple un mode de flexion pure, un mode correspondant à un étirement uniforme, un autre mode correspondant à un étirement localisé au niveau de l’une ou l’autre des extrémités de l’aube de turbine en question, etc…). Les degrés de liberté, ou autrement dit les paramètres de ce modèle de comportement mécanique correspondent alors, dans cette somme pondérée, aux coefficients qui pondèrent les contributions de ces différents modes de déformation (ou, autrement dit, de ces différents modes mécaniques élémentaires).

La réponse mécanique de l’aube de turbine, soumise à un champ de température T donné, est ensuite déterminée au cours du temps pour plusieurs cycles de vol, par simulation numérique, sur la base de ce modèle de comportement mécanique M_j(lors de l’étape Ssim de la ). Grâce au caractère simplifié de ce modèle, on peut réaliser une simulation correspondant à une durée d’utilisation importante, tout en conservant un temps de calcul limité.

Un tel modèle de comportement mécanique M_jest parfois appelé « modèle réduit » dans ce domaine technique. Il est représentatif de la réponse mécanique de l’aube de turbine (en particulier de sa déformation) lorsque l’aube est soumise à un type de sollicitation donné (par exemple à un type champ de température T donné). Il s’agit donc en quelque sorte d’une réponse-type de l’aube de turbine.

Selon l’approche proposée dans l’article de T. Daniel et al. mentionné ci-dessus, avant de réaliser la simulation numérique Ssim en question, sur la base du modèle réduit Mj, on choisit ce modèle réduit Mj, dans un dictionnaire de modèles réduits, en fonction du champ de température T exercé sur l’aube 1 de turbine. Le modèle réduit Mj est sélectionné, par un classificateur de champs de température 2, parmi les différents modèles réduits M1, …Mj, …, MK de ce dictionnaire ( ). Le modèle réduit Mj qui est sélectionné par le classificateur 2 est, parmi ces modèles réduits M1, …Mj, …, MK, celui qui est le plus représentatif d’une réponse mécanique complète attendue pour l’aube de turbine, 1, lorsqu’il est soumis au champ de température T en question. Le classificateur 2, qui comprend par exemple un réseau de neurones, est entrainé par des techniques d’intelligence artificielle lors d’une étape d’entrainement S5 ( ).

La méthode décrite dans l’article en question comprend les étapes suivantes :

S0 (non représentée sur la figure 2) : constitution d’une base de données d’entrainement de champs de température possibles T₁, …,T_i, …,T_n,
S1 : étape de simulation numérique simplifiée, au cours de laquelle, pour chaque champ de température T₁, …,T_i, …,T_nenvisagé, on détermine une réponse mécanique simplifiéeu _ide l’aube 1 de turbine, soumise au champ de température T_ien question,
S20 : étape de partitionnement (ou « clustering », en anglais), au cours de laquelle:
- on regroupe ces différents champs de température T₁, …,T_i, …,T_nen K groupes C₁,…C_j,…C_Kregroupant chacun, parmi ces champs de température, ceux qui ont des réponses mécaniques simplifiéesu _isimilaires, et
- pour chaque groupe C_j, on identifie dans le groupe un ou quelques champs de température typiques T_i* (parfois appelés « snapshot », c’est-à-dire « aperçu », dans ce domaine technique), dont les réponses mécaniques simplifiées sont représentatives de l’ensemble des réponses mécaniques simplifiées du groupe C_jconsidéré,
S3 : étape de simulation numérique de haute fidélité, au cours de laquelle, pour chaque champ de température typique T_i* précédemment identifié, on détermine une réponse mécanique de haute fidélité , pour l’aube de turbine soumise au champ de température typique T_i* considéré, puis
S4 : étape de détermination des modèles de comportement mécanique M₁, …M_j, …, M_K, à partir desdites réponses mécaniques de haute fidélité , par une technique de réduction d’ordre de modèle.

Les champs de température possibles T₁, …,T_i, …,T_ncréés à l’étape S0 sont représentatifs de champs de température susceptibles de s’exercer sur l’aube de turbine en question, dans la turbine considérée. Les caractéristiques de ces champs de température peuvent être issues de mesures, ou de simulations de mécanique des fluides, ou encore de connaissances antérieures concernant les champs de température habituellement rencontrés dans une telle situation. Ces champs de température sont au moins partiellement aléatoires et diffèrent les uns des autres. Ces n champs de température, qui sont en quelque sorte des champs d’entrainement, servent à entrainer le classificateur et à construire les clusters et leurs modèles réduits associés, en vue d’être utilisés pour de nouveaux champs de température par la suite, en phase d’utilisation.

Au cours de l’étape de simulation numérique simplifiée S1, pour chaque champ de température, on détermine la réponse mécanique de l’aube de turbine, au cours du temps, pour un cycle de sollicitation de la turbine correspondant à la durée typique d’un vol complet d’un aéronef, propulsé par une turbomachine intégrant cette turbine.

Une telle simulation numérique ne suffit pas forcément à déterminer l’évolution à long terme des caractéristiques mécaniques de l’aube (ce qui nécessiterait une simulation sur de nombreux cycles successifs), ni sa durée de vie. Mais elle permet déjà d’identifier le type de comportement mécanique de l’aube, lorsqu’elle est soumise au champ de température T_ien question. Du fait du caractère simplifié de cette simulation numérique, les réponses mécaniques déterminées à cette étape sont appelées réponses mécaniques « simplifiées », tandis que celle déterminées à l’étape S3 sont appelées réponses mécaniques de « haute fidélité ». Les modèles de comportement mécanique déterminés à l’étape S4 sont, d’une certaine manière, des modèles simplifiés, non pas parce qu’ils sont issus d’une simulation numérique simplifiée (au contraire, ils sont déterminés à partir des réponses mécaniques de haute fidélité), mais parce qu’ils sont obtenus par réduction d’ordre de modèle, à partir des réponses mécaniques de haute fidélité.

Et au cours de l’étape de simulation numérique de haute fidélité S3, pour chaque champ de température typique T_i* (pour chaque « snapshot »), on détermine la réponse mécanique de l’aube de turbine (la réponse « de haute fidélité »), au cours du temps, pour de nombreux cycles de sollicitation de la turbine, au lieu de le faire pour seulement un ou quelques cycles (afin de caractériser plus précisément l’évolution et le vieillissement à long terme, notamment l’endommagement par fatigue de l’aube).

Les différents modèles de réponse mécanique M₁, …, M_j, …, M_Kdéterminés à l’étape S4 sont associés chacun à l’un des K clusters C₁, …, C_j, …, C_Kformés lors de l’étape de partitionnement S20. Ainsi, le modèle de comportement mécanique M₁est le modèle associé au cluster C₁. Il est représentatif d’un comportement mécanique moyen de l’aube de turbine, pour l’ensemble de champs de températures T_iappartenant à ce cluster C₁. De même, le modèle de comportement mécanique M_jest le modèle de comportement associé aux champs de température appartenant au cluster C_j.

Chaque modèle de comportement mécanique M₁,…, M_j, …, M_Kest déterminé, par réduction d’ordre de modèle, à partir des réponses mécaniques de haute fidélité correspondant aux champs de température typiques T_i* du cluster C₁,…, C_j, …, C_Kconsidéré. Ainsi, le modèle de comportement mécanique M₁est déterminé (à l’étape S4) à partir des réponses mécaniques de haute fidélité obtenues pour les champs de température typiques T_i* du cluster C₁, par exemple.

A l’étape S5, les données d’entrainement utilisées pour entrainer le classificateur 2 de champs de température comprennent l’ensemble des champs de température T₁,…T_i,…T_n, assortis chacun d’une étiquette qui est le numéro du cluster auquel appartient le champ de température T_iconsidéré. Par exemple, si le champ T₁appartient au cluster C₃, , et le couple (T₁, 3), où l’étiquette 3 repère le cluster auquel appartient T₁, est l’une des données d’apprentissage utilisées à l’étape S5.

Une fois le classificateur 2 entraîné, pour caractériser le vieillissement de l’aube 1 lorsqu’elle est soumise à un champ de température T donné, on fournit ce champ T en entrée du classificateur ( ). En sortie, le classificateur 2 fournit le numéro j du cluster Cj qu’il associe à ce champ de température T, ce qui permet de connaitre celui des modèles de comportement mécanique M1,…, Mj, …, MK qui est le plus adapté pour étudier la réponse mécanique à ce champ de température T (en l’occurrence le modèle Mj, correspondant au cluster Cj).

En pratique, le cluster que le classificateur 2 associe à ce champ de température T est celui des clusters 1 à K pour lequel les réponses mécaniques simplifiéesu _isont les plus proches (i.e. : les plus similaires) d’une réponse mécanique que l’on peut attendre pour ce champ de température T.

Une fois que le modèle de comportement mécanique le plus adapté au champ T a été identifié par le classificateur 2, la réponse mécanique de l’aube 1 est déterminée, au cours du temps, pour une durée d’utilisation importante (par exemple pour plusieurs centaines de cycles de vol), par simulation numérique sur la base du modèle réduit de comportement mécanique en question (étape Ssim de la ).

L’outil, formé par le classificateur 2 entrainé et l’ensemble des modèles de comportement mécanique associés M₁,…, M_j, …, M_K, est appelé ROM-net dans l’article de T. Daniel et al. mentionné plus haut. Il permet de réduire le temps de calcul nécessaire à la caractérisation de la durée de vie d’une aube de turbine, susceptible d’être soumise à de nombreux champs de température différents.

Mais la précision des prévisions de durée de vie en fatigue obtenues avec un tel ROM-net, et la rapidité avec laquelle elles sont obtenues (i.e. : la rapidité d’exécution de l’étape Ssim) dépendent des paramètres du ROM-net. Elles dépendent par exemple du nombre K de clusters employés pour subdiviser l’ensemble de champs de température T₁, …T_i,…,T_n. Et avant d’avoir construit le ROM-net, il est difficile de savoir si les valeurs choisies pour ces paramètres conduiront à un ROM-net à la fois précis et rapide.

Déterminer un tel ROM-net, sur la base de paramètres du ROM-net fixés à des valeurs arbitraires, peut alors conduire à des performances qui ne sont pas optimales, ou qui ne correspondent pas à des critères souhaités en termes de précision ou de temps de calcul.

RESUME

Dans ce contexte, on propose un procédé de détermination d’un ou plusieurs modèles de comportement mécanique d’une aube de turbine, adaptés à un ensemble de champs de sollicitation à exercer sur ladite aube, le procédé comprenant les étapes suivantes :

étape de simulation numérique simplifiée, au cours de laquelle, pour chaque champ de sollicitation dudit ensemble, on détermine une réponse mécanique simplifiée de l’aube de turbine soumise au champ de sollicitation considéré,
étape de partitionnement, au cours de laquelle on identifie K groupes de champs de sollicitation, distincts, dans l’ensemble de champs de sollicitation, chaque groupe étant caractérisé par un ou quelques champs de sollicitations typiques, dont les réponses mécaniques simplifiées sont représentatives de l’ensemble des réponses mécaniques simplifiées du groupe considéré,
étape de simulation numérique de haute fidélité, au cours de laquelle, pour chaque champ de sollicitation typique précédemment identifié, on détermine une réponse mécanique de haute fidélité, pour l’aube de turbine soumise au champ de sollicitation typique considéré, puis
étape de détermination des modèles de comportement mécanique associés à chaque groupe, à partir desdites réponses mécaniques de haute fidélité, par réduction d’ordre de modèle,
le procédé comprenant en outre, avant l’étape de simulation numérique de haute fidélité, une étape de pré-caractérisation au cours de laquelle un ou plusieurs critères de performance, attendus pour le ou les modèles de comportement mécanique compte tenu dudit partitionnement, sont déterminés.

Le ou les critères de performance sont par exemple déterminés en fonction d’erreurs de projection individuelles calculées pour différents champs de sollicitation dudit ensemble, chaque erreur de projection individuelle correspondant à une erreur de projection entre :

la réponse mécanique simplifiée associée au champs de sollicitation considéré, et
une réponse mécanique réduite, associée au groupe auquel appartient le champ de sollicitation considéré, la réponse mécanique réduite ayant été déterminée par réduction d’ordre à partir des réponse mécaniques simplifiées associées aux champs de sollicitation typiques dudit groupe.

Lors de la construction d’un ROM-net, c’est l’étape de simulation numérique de haute fidélité qui nécessite le plus de calculs. Il est donc particulièrement intéressant de disposer d’une première estimation des performances finales attendues pour le ROM-net, pour le jeu de paramètres considéré,avantd’effectuer l’étape de simulation numérique de haute fidélité.

On évite ainsi d’exécuter cette étape, consommatrice en termes de calcul, pour un ou des paramètres du ROM-net qui seraient en fait peu adaptés (car conduisant par exemple à une précision insuffisante).

Le ou les paramètres en question comprennent le nombre K de clusters employés pour subdiviser l’ensemble de champs de sollicitation. Ils peuvent aussi comprendre un nombre N de modes mécaniques élémentaires composant chacune des réponses mécaniques réduites en question (nombre N qui est destiné à être aussi le nombre de modes mécaniques élémentaires composant chacun des modèles de comportement mécanique déterminés à l’étape S4). Ces paramètres peuvent comprendre aussi le nombre n_Sde champs température typiques identifiés pour chaque cluster (i.e. : le nombre de « snapshots » par cluster), pour lesquels on détermine des réponses mécaniques de haute fidélité).

L’étape de partitionnement et l’étape de pré-caractérisation peuvent d’ailleurs être exécutées plusieurs fois pour différentes valeurs des paramètres en question, de manière à identifier des valeurs optimales de ces paramètres, ou tout au moins des valeurs permettant de satisfaire une ou des conditions de performances, avant d’exécuter l’étape de simulation numérique de haute précision, qui est alors exécutée pour ce jeu de valeurs, bien adapté.

L’étape de simulation numérique de haute fidélité, qui est exigeante en termes de temps de calcul, peut ainsi être exécutée une seule fois, directement pour des valeurs bien adaptées des paramètres du ROM-net.

Il est intéressant d’exécuter plusieurs fois l’étape de partitionnement et de pré-caractérisation car cela permet de choisir au mieux les valeurs de ces paramètres tout en ne nécessitant que peu de calculs supplémentaires.

En effet, une opération de partitionnement est en elle-même très peu couteuse. Et d’ailleurs, ces différents partitionnements peuvent être réalisés sur la base du même jeu de réponses mécaniques simplifiées, obtenues initialement lors de l’étape de simulation numérique simplifiée. Autrement dit, cette étape de simulation simplifiée n’a pas à être exécutée à nouveau pour réaliser un nouveau partitionnement. Et les similarités (ou dissimilarités) entre réponses mécaniques simplifiées, sur la base desquelles est réalisé le partitionnement, n’ont pas à être recalculées à chaque partitionnement : elles peuvent être réutilisées lors de ces différents calculs de partitionnement.

Le procédé présenté ci-dessus permet donc d’améliorer substantiellement les performances du ROM-net obtenu finalement, moyennant un cout supplémentaire très réduit en termes de calculs.

On pourra noter qu’au moins l’un des critères de performance mentionnés ci-dessus fournit une indication concernant une précision (précision de représentation) que l’on peut attendre du ROM-net, pour les valeurs de paramètres considérées. En effet, ce ou ces critères de performances sont déterminés en fonction d’erreurs de projection entre :

d’une part, les réponses mécaniques obtenues lors de l’étape de simulation numérique simplifiée, pour différents champs de sollicitation, et,
d’autre part, des réponses mécaniques réduites analogues aux modèles de comportement mécaniques qui seront produits finalement après l’étape S4, et qui préfigurent ce que seront ces modèles de comportement mécanique (bien que moins précises que ces modèles de comportement mécanique, car déterminées à partir des résultats de simulation simplifiée, et non à partir des résultats de la simulation de haute fidélité).

L’étape de simulation numérique simplifiée est simplifiée en ce sens qu’elle nécessite moins de calculs que l’étape de simulation numérique de haute fidélité, par exemple parce qu’il s’agit d’une simulation correspondant à une durée d’utilisation de la turbine plus courte que pour la simulation numérique de haute fidélité (correspondant par exemple à un ou quelques cycles de vol, au lieu d’un grand nombre de cycles de vol), ou réalisée avec un pas de temps ou un maillage moins fin que pour la simulation numérique de haute fidélité.

Les champs de sollicitation en question peuvent par exemple être des champs de température exercés sur l’aube de turbine. Mais, comme cela apparaitra à l’homme du métier, ce procédé peut également s’appliquer à d’autres types de sollicitations exercées sur l’aube de turbine, tels qu’une pression exercée sur l’aube par un fluide s’écoulant dans la turbine, par exemple.

Le procédé qui vient d’être présenté est mis en œuvre par un dispositif électronique comprenant au moins une mémoire et un processeur capable d’exécuter des opérations logiques. Le dispositif en question peut être réalisé sous la forme d’un ordinateur, ou d’un calculateur dont les constituants sont situés en un même lieu, par exemple dans une même pièce ou dans un même boitier d’ordinateur. Il peut aussi être réalisé sous la forme d’un système informatique délocalisé faisant appel, par l’intermédiaire d’un réseau informatique, à des ressources informatiques distantes, distribuées (par exemple des ressources de calcul distantes, fournies par un « cloud »).

Outre les caractéristiques mentionnées ci-dessus, le procédé qui vient d’être présenté peut présenter une ou plusieurs des caractéristiques complémentaires suivantes, considérées individuellement ou selon toutes les combinaisons techniquement possibles :

chaque champ de sollicitation est un champ de température exercé sur ladite aube de turbine ;
l’étape de partitionnement est exécutée plusieurs fois, pour différentes valeurs du nombre de groupes K, et après chaque exécution de l’étape de partitionnement, l’étape de pré-caractérisation est exécutée, de manière à pré-caractériser le partitionnement à K groupes obtenu précédemment ;
chaque réponse mécanique réduite est composée d’un nombre N de modes mécaniques élémentaires ;
N est inférieur à un nombre de nœuds d’un maillage de l’aube de turbine ;
après chaque exécution de l’étape de partitionnement, on exécute l’étape de pré-caractérisation plusieurs fois successivement pour différentes valeurs du nombre N de modes mécaniques élémentaires composant les réponses mécaniques réduites ;
le procédé comprend une étape de sélection de paramètres au cours de laquelle, pour chaque couple de valeurs regroupant l’une desdites valeurs du nombre K et l’une desdites valeurs du nombre N, on teste si les critères de performances, déterminés pour ce couple de valeurs de K et N, satisfont à une ou plusieurs conditions de performance pré-établies, et on sélectionne le ou les couples de valeurs pour lesquels le test est positif, ce ou ces couples de valeurs constituant des couples de valeurs admissibles ;
lorsqu’au moins un couple de valeurs admissibles a été sélectionné :
- lors de l’étape de simulation numérique de haute fidélité, les réponses mécaniques de haute fidélité sont déterminées pour les champs de sollicitation typiques correspondant au partitionnement pour lequel la valeur de K est celle dudit couple de valeurs admissibles, et
- lors de l’étape de détermination du ou des modèles de comportement mécanique, le ou les modèles déterminés sont composés chacun d’un nombre de modes mécaniques élémentaires égal à la valeur de N donnée par ledit couple de valeurs admissibles ;
au cours de l’étape de sélection de paramètres, on sélectionne en outre, parmi les couples de valeurs admissibles des nombres K et N, un couple de valeurs optimales satisfaisant une ou plusieurs conditions d’optimisation pré-établies, les étapes de simulation numérique de haute fidélité et de détermination du ou des modèles de comportement mécanique étant exécutées pour ce couple de valeurs optimales des nombres K et N ;
le couple de valeurs de K et N satisfaisant lesdites conditions d’optimisation est le couple regroupant : celle des valeurs admissibles de N qui est minimale, et N étant minimisé, celle des valeurs amissibles de K qui est la plus grande ;
lorsqu’aucun couple de valeurs admissibles des nombres K et N n’a pu être sélectionné lors de l’étape de sélection de paramètres, alors, lors de l’étape de détermination du ou des modèles de comportement mécanique, on détermine un seul modèle de comportement mécanique, global, pour l’ensemble desdits champs de sollicitation ;
le ou les critères de performances déterminés lors de l’étape de pré-caractérisation comprennent une erreur de projection moyenne, égale à une moyenne desdites erreurs de projection individuelles ;
ladite ou l’une desdites conditions de performance est que ladite erreur de projection moyenne est inférieure à une erreur maximale admissible donnée ;
le ou les critères de performances déterminés lors de l’étape de pré-caractérisation comprennent un gain de partitionnement qui est déterminé en fonction d’une moyenne, pour différents champs de sollicitation dudit l’ensemble, du rapport entre : une erreur de projection associée à une réponse mécanique réduite globale d’une part, et l’erreur de projection individuelle obtenue pour le champ de sollicitation considéré d’autre part, la réponse mécanique réduite globale étant la même pour les différents champs de sollicitation considérés, et étant déterminée par réduction d’ordre de modèle à partir des réponse mécaniques simplifiées correspondant à l’ensemble des champs de sollicitation typiques identifiés lors de l’étape de partitionnement ;
ladite ou l’une desdites conditions de performance est que le gain de partitionnement est supérieur à un gain limite donné ; cela permet de s’assurer que le dictionnaire de modèles réduits est plus performant qu’un unique modèle réduit global ;
le gain limite est fonction du nombre K ;
le gain limite est une fonction croissante de K ;
si aucun couple de valeurs admissibles des nombres K et N n’a pu être sélectionné lors de l’étape de sélection de paramètres, alors, il est proposé à un utilisateur, via une interface homme-machine, de modifier ladite erreur maximale admissible ou ledit gain limite ;
lors de l’étape de partitionnement, les champs de sollicitations typiques sont identifiés sur la base d’une dissimilarité entre les réponses mécaniques simplifiées, la dissimilarité entre deux réponses mécaniques simplifiées étant calculée en fonction d’un produit scalaire normalisé égal au produit scalaire des deux réponses mécaniques considérée, divisé par une norme d’une première de ces deux réponses et par une norme d’une deuxième de ces deux réponses ;
ladite dissimilarité est d’autant plus grande que le produit scalaire normalisé en question est petit ;
ladite dissimilarité est égale ou proportionnelle à la racine carrée de 1 moins le carré dudit produit scalaire normalisé ;

La présente technologie concerne aussi un dispositif électronique comprenant au moins un processeur et une mémoire, programmé pour exécuter le procédé qui a été présenté plus haut. Les caractéristiques optionnelles, présentées ci-dessus en termes de procédé, peuvent aussi s’appliquer à ce dispositif.

La présente technologie et ses différentes applications seront mieux comprises à la lecture de la description qui suit et à l’examen des figures qui l’accompagnent.

BREVE DESCRIPTION DES FIGURES

Les figures sont présentées à titre d’illustration et de manière nullement limitative.

La représente schématiquement une opération d’identification, par un classificateur de champs de température, d’un modèle de comportement mécanique adapté à un champ de température T donné, exercé sur une aube de turbine.

La représente schématiquement des étapes d’un procédé de construction d’un ROM-net de l’art antérieur.

La représente schématiquement des étapes d’un procédé de construction d’un ROM-net mettant en œuvre les enseignements de l’invention.

La représente schématiquement l’un des étapes de la , plus en détail.

La montre des valeurs d’une erreur de projection moyenne, ou, autrement dit, d’une erreur de représentation moyenne, évaluées pour différents partitionnements d’un ensemble de champs de température.

La montre des valeurs d’un gain de partitionnement, évaluées pour ces différents partitionnements.

DESCRIPTION DETAILLEE

La représente schématiquement des étapes d’un procédé pour déterminer un ou plusieurs modèles de comportement mécanique d’une aube 1 de turbine (c’est-à-dire d’une pâle de turbine), bien adaptés à un ensemble E de champs de sollicitation à exercer sur cette aube. Dans l’exemple de réalisation décrit ici, ces champs de sollicitation sont des champs de température T1,…, Ti,…, Tn exercés sur l’aube 1 de turbine (en différents points de l’aube).

Comme expliqué dans la partie « arrière-plan technologique », ces modèles de comportement mécanique sont simplifiés en ce sens qu’ils sont paramétrés par un nombre de degrés de liberté plus faible qui pour une simulation numérique classique par éléments finis (dans laquelle le nombre de degrés de liberté serait par exemple égal à 3 fois le nombre de nœuds du maillage de l’aube 1). Bien que simplifiés, ils sont construits de manière à être les plus représentatifs possibles des réponses mécaniques susceptibles d’être obtenues lorsque l’aube 1 est soumise à un champ de température typique pour cette turbine. Ces modèles de comportement mécanique, associés à un classificateur de champs de température entrainé, forment un « ROM-net » qui permet d’accélérer considérablement l’étude numérique du vieillissement d’un telle aube de turbine.

Le procédé de la présente plusieurs points communs avec le procédé de détermination d’un ROM-net représenté sur la et qui a été décrit plus haut dans la partie concernant l’arrière-plan technologique. Le procédé de la comprend ainsi les étapes suivantes (voir les figures 3 et 4) :

S0 (non représentée) : constitution d’une base de données d’entrainement de champs de température possibles T₁, …,T_i, …,T_n,
S1 : simulation numérique simplifiée,
S20 : partitionnement et identification de champs de température typiques T_i*,
S3 : simulation numérique de haute fidélité,
S4 : détermination d’un ou plusieurs modèles de comportement mécaniques,
S5 : entrainement du classificateur de champs de température.

Ces étapes sont identiques, ou tout au moins similaires aux étapes S1 à S5 de la .

Mais par rapport au procédé de la , le procédé décrit ici comprend une étape de pré-caractérisation S24, exécutée après l’étape de partitionnement S20 et avant l’étape de simulation numérique de haute fidélité S3 (voir la ).

Au cours de cette étape de pré-caractérisation, on détermine une première estimation de performances, attendues pour le ou les modèles de comportement mécanique, compte tenu notamment du partitionnement réalisé à l’étape S20 précédente.

Grâce à cette première estimation, on peut choisir un partitionnement, et plus généralement des paramètres de calcul bien adaptés avant d’exécuter l’étape de simulation numérique de haute fidélité S3.

Il est intéressant d’estimer ces performances au préalable, avant d’exécuter l’étape S3, car cette étape implique des calculs volumineux, et il serait donc très couteux en termes de calcul de devoir l’exécuter plusieurs fois, jusqu’à obtenir un jeu de modèles de comportement mécanique adapté.

Ici, au contraire, on anticipe les performances qui devraient être obtenues pour tel ou tel paramétrisation, et on détermine ensuite le ou les modèles de comportement mécanique pour des paramètres choisis en fonction de ces performances escomptées.

Les différentes étapes de la sont maintenant décrites plus en détail, l’une après l’autre.

Ces différentes étapes sont exécutées sur la base d’un ensembleEde champs de température qui comprend n champs de température T₁,…, T_i,…, T_n.

Chacun de ces champs de température rassemble des valeurs de températures exercées en différents nœuds d’un maillage de l’aube de turbine. Il s’agit par exemple de valeurs de température exercées sur la surface de cette aube, du fait de la présence d’un fluide chaud (et turbulent) s’écoulant dans la turbine.

Etape S1 : simulation numérique simplifiée.

Au cours de cette étape, on détermine, pour chaque champ de température T₁,…, T_i,…, T_n, une réponse mécanique simplifiéeu ₁,…,u _i,…,u _nqui correspond à une réponse mécanique de l’aube 1 soumise au champ de température considéré (qui est éventuellement variable au cours du temps) pendant une durée correspondant à la durée typique d’un vol complet d’un aéronef.

Chacune de ces réponses mécaniques simplifiéesu ₁,…,u _i,…,u _nest un champ défini sur l’ensemble de l’aube 1 de turbine. Elle peut correspondre, par exemple, au champ de déplacements, aux contraintes de Von Mises, à la déformation plastique cumulée, ou à tout indicateur d’un état d’endommagement local du matériau. Chacune ces réponsesu _i=u(T_i) est stockée sous la forme d’un vecteur contenant les valeurs du champ aux points d’intégration ou aux nœuds du maillage en éléments finis de l’aube 1 (selon la définition deu). Ce vecteur comprend composantes ( étant par exemple le nombre de nœuds du maillage).

Etape S2 : Détermination de paramètres pour la simulation numérique de haute fidélité ; partitionnement.

Cette étape, exécutée après l’étape S1, est représentée plus en détail sur la .

Elle comprend une première étape S21, au cours de laquelle on exécute plusieurs fois l’étape de partitionnement S20 et l’étape de pré-caractérisation S24. Cela permet d’obtenir une cartographie de performances attendues a priori pour le ROM-net, pour différentes valeurs de paramètres K et N. En l’occurrence, K est le nombre de clusters employés pour subdiviser l’ensemble de champs de température à l’étape S20. Et N est un nombre de modes mécaniques élémentaires qui composent des réponses mécaniques réduites V₁,…V_j,…V_Kintervenant lors de l’étape de pré-caractérisation S24, réponses mécaniques réduites qui préfigurent les modèles de comportement mécanique M₁,…M_j,..,M_Kqui seront obtenus finalement.

L’étape S2 comprend ensuite une étape de sélection S22, au cours de laquelle on détermine si les valeurs des paramètres K et N, testées à l’étape S21, permettent de satisfaire certaines conditions de performance, et, dans ce cas, on sélectionne parmi ces valeurs un couple de valeurs (Ko, No) optimal. Cette étape de sélection est réalisée sur la base des performances évaluées précédemment à l’étape S21.

Au cours de l’étape S21(étape de cartographie), on exécute l’étape de partitionnement S20 plusieurs fois successivement, pour des valeurs de K allant de 2 à K_max. K_maxest un nombre maximal de clusters, prédéterminé (par exemple fixé par un utilisateur), compris par exemple entre 5 et 20.

Et pour chaque exécution de l’étape S20, on exécute l’étape de pré-caractérisation S24 plusieurs fois successivement, pour différentes valeurs de N allant par exemple de 1 à N_max, la valeur de K restant égale quant à elle à la valeur courante employée lors de la dernière exécution de l’étape de partitionnement S20.

Cela permet d’obtenir une première estimation des performances qui pourraient être obtenues pour un dictionnaire de modèles réduits formé de K modèles de comportement mécaniques M₁,…, M_j, …M_K, chacun de ces modèles étant composé par N modes mécaniques élémentaires.

Pour que ces modèles réduits M₁,…, M_j, …M_Kprésentent un intérêt en termes d’accélération de calcul (accélération de l’étape Ssim, par rapport à une simulation numérique par éléments finis classique basée directement sur le maillage de l’aube 1), il est souhaitable en pratique que le nombre N de modes (i.e. : le nombre N de degrés de liberté de chaque modèle M_j) soit de l’ordre de, ou inférieur à . Aussi, la valeur N_maxpeut être fixée par exemple à où C est un coefficient compris entre 0 et 1, par exemple égale à 0,5 (en effet, il ne servirait à rien de pré-caractériser les performances d’un ROM-net pour un nombre de modes N très grand, dont on sait qu’il sera inintéressant en pratique).

Al’étape S20, le partitionnement est réalisé comme expliqué ci-dessous, pour les valeurs courantes de K et N, à tester.

Le partitionnement est réalisé ici sur la base d’une partie seulement des champs de température T_ide l’ensemble E. Cela permet de conserver les autres champs de température (non utilisé à l’étape S20) pour tester ensuite (à l’étape S24), de manière indépendante, les performances correspondant à ce partitionnement.

La partie E1 de l’ensemble de champs de températureE, employée pour réaliser le partitionnement, regroupe ici les champs T_n’+1à T_n, avec n’=n/2. Tandis que la partie E2, employée à l’étape S24 pour évaluer les performances de ce partitionnement, regroupe les champs T₁à T_n _’. Plus généralement, chacune de ces deux parties regroupe environ la moitié des champs de température de l’ensembleE(par exemple à plus ou moins 20%). Comme chaque champ de température est au moins partiellement aléatoire, on peut considérer en outre que chacune de ces deux parties regroupe des champs sélectionnés de manière aléatoire dans l’ensembleE(c’est-à-dire répartis de manière aléatoire dans l’espace des champs de température).

Au cours de l’étape S20, on identifie K groupes C₁,… C_j,… ,C_Kde champs de température, dans l’ensemble de champs de température (E), chacun de ces groupes étant caractérisé par un ou quelques champs de sollicitations typiques T_i*, dont les réponses mécaniques simplifiées sont représentatives de l’ensemble des réponses mécaniques simplifiéesu _idu groupe C_jconsidéré.

Ces réponses mécaniques typiques T_i* sont parfois appelées « snapshots » (c’est-à-dire « aperçus ») dans ce domaine technique. En l’occurrence, pour chaque groupe C_j, un nombre n_Sde champs de température typiques T_i* (appartenant à ce groupe) sont identifiées à l’étape S20.

Pour chacun de ces champs de température typique T_i*, une réponse mécanique de haute fidélité sera déterminée à l’étape S3. La quantité de calculs à effectuer à l’étape S3 dépend donc directement du nombre total de champs de température typiques T_i* sélectionnés lors de l’étape de partitionnement, nombre qui est égal à K.n_S(n_Ssnapshots par cluster, et K clusters). En pratique, pour limiter la quantité de calculs à effectuer à l’étape S3, on limite le produit K.n_Sà une valeur maximale n_Smax: K.n_S n_Smax. n_Smaxpeut par exemple être compris entre 10 et 40.

Par ailleurs, pour que chaque modèle de comportement mécanique M_j soit le plus représentatif possible des réponses mécaniques du cluster C_jcorrespondant, il est souhaitable de déterminer de modèle à partir de plusieurs réponses mécaniques de haute fidélité (qui sont calculées pour chacun des champs de température typiques T_i*), et donc de maximiser n_S. D’ailleurs, selon la méthode de réduction d’ordre de modèle utilisée à l’étape S4, le nombre N de modes composant chaque modèle de comportement mécanique peut être limité à la valeur de n_S(soit N n_S), ce qui, là encore, incite à employer une valeur de n_Srelativement grande. Aussi, pour maximiser n_Stout en tenant compte des contraintes concernant le volume de calculs à effectuer, on choisit ici , lors de chaque exécution de l’étape S20.

L’étape S20 est exécutée ici grâce à l’algorithme dit des « k-médoïdes » (« k-medoids » en anglais), en l’occurrence dans une version hiérarchique en 2 étapes. L’algorithme des « k-médoïdes » est ainsi exécuté une première fois pour identifier les K clusters. Puis, pour chaque cluster, il est exécuté à nouveau pour identifier n_Ssous-clusters.

Dans l’algorithme des k-médoïdes, chaque cluster est représenté par un de ces membres, appelé médoïde (contrairement à un barycentre du cluster, le médoïde est toujours un élément de la base de données). Il peut être vu comme l’élément de la base de données le plus central au sein du cluster. Ainsi, chacun des K.n_Ssous-clusters fournit un médoïde, qui est l’un des champs de températures typique T_i* en question. Les n_Smédoïdes des sous-clusters du cluster numéro j (i.e. : les n_Schamps de températures typique T_i* de ce cluster) serviront pour construire le modèle de comportement mécanique M_jdu dictionnaire.

La version de l’algorithme des k-médoïdes employée peut par exemple être sa version appelée « PAM » (pour « Partitioning Around Mediods ») décrite en détail dans l’une ou l’autre des références suivantes :

L. Kaufmann and P. Rousseeuw. “Clustering by means of medoids. Data Analysis based on the L1-Norm and Related Methods”, pages 405-416, 01 1987;
Chapitre 2 dans L. Kaufman, P.J.R. Leonard Kaufman, and P.J. Rousseeuw. “Finding Groups in Data: An Introduction to Cluster Analysis”. A Wiley-Interscience publication. Wiley, 1990.

Dans d’autres modes de réalisation, une autre version de cet algorithme ou un autre type d’algorithme de partitionnement pourrait toutefois être employé.

Quoiqu’il en soit, l’étape de partitionnement est réalisée sur la base de distances δ_ii’entre champs de température : au sein de chaque sous-cluster, les champs de température typiques T_i* sont identifiés comme étant les plus centraux, au sens de cette distance δ_ii’entre champs de température.

La distance δ_ii’correspond à une distance entre le champ de température T_iet le champ de température T_i’. Ici, cette distance est représentative d’une dissimilarité entre : la réponse mécanique simplifiéeu _iobtenue pour le champ de température T_id’une part, et la réponse mécanique simplifiéeu _i _’obtenue pour le champ de température T_i’d’autre part. En l’occurrence, cette dissimilarité est évaluée conformément à la formule ci-dessous :

Cette distance ne dépend pas de l’intensité des champsu _i,u _i _’mais uniquement de leurs formes (elle est reliée à une notion d’angle entre réponses mécaniques). En effet, siu _i _’est égale àu _ià un coefficient multiplicatif près, alors la distance δ_ii’est nulle. Elle est donc bien adaptée pour la construction d’un ROM-net, puisqu’elle permet de déterminer si deux champs de température différents conduiront à des comportements mécaniques similaires (i.e. : de même forme), ou non. D’ailleurs, en pratique, un partitionnement réalisé sur la base de cette distance conduit à des erreurs de projection (autrement dit, des erreurs de représentation) plus faibles qu’avec un autre type de distance tel que la distance euclidienne entre les champsu _ietu _i _’.

Néanmoins, dans d’autres modes de réalisation, la distance employée pour réaliser le partitionnement pourrait être une autre distance que celle définie ci-dessus. Il pourrait ainsi s’agir de la distance euclidienne, de la distance dite « L1 » (appelée aussi distance « city-block », ou encore distance « Manhattan »), ou d’une distance au sens de Grassmann comme celle employée dans l’article de T. Daniel et al. mentionné plus haut dans la partie « arrière-plan technologique ».

En pratique, les distances δ_ii’correspondant aux différents couples de champs de température (T_i, T_i’) sont calculées une seule fois et stockées en mémoire, avant d’exécuter l’étape S2. Elles servent ensuite plusieurs fois, lors de chaque exécution de l’étape de partitionnement S20.

Comme expliqué ci-dessus, les médoïdes des n_ssous-clusters de chacun des K clusters, c’est-à-dire les champs de température typiques T_i* associés respectivement à ces différents sous-clusters, sont identifiés à partir des champs de température T_n’+ ₁,…,T_nde la première partie E1 de l’ensembleE.

Une fois cela réalisé, on détermine, pour chaque champ de température T₁,…T_i,…,T_n _’de la deuxième partie E2, le numéro du cluster auquel appartient le champ de température T_iconsidéré (car cela est utile ensuite lors de l’étape S24). Pour cela, on identifie, parmi les médoïdes des K clusters (sans considérer les médoïdes des sous-clusters), le médoïde qui est le plus proche de T_i, au sens de la distance δ_ii’, et l’on considère alors que le champ de température T_iappartient au même cluster que le champ de température correspondant.

Comme déjà indiqué, l’étape S24 de pré-caractérisationest ensuite exécutée plusieurs fois, par exemple pour N allant de 1 à N_max.

L’étape S24 comprend ici les opérations suivantes :

Pour chaque cluster C₁,…, C_j,…, C_K, détermination d’une réponse mécanique réduite V_jcaractéristique du cluster C_jconsidéré, par réduction d’ordre de modèle, à partir des réponse mécaniques simplifiéesu _iassociées aux champs de sollicitation typiques T_i* de ce cluster ;
détermination d’une réponse mécanique réduite globale, V_G, par réduction d’ordre de modèle, à partir des réponses mécaniques simplifiéesu _icorrespondant aux champs de sollicitation typiques T_i* appartenant à tous les clusters (sans se limiter à un seul cluster) ;
pour chaque champ de température T_iavec i=1..n’, détermination d’une erreur de projection individuelle η_iqui est une erreur de projection entre :
- la réponse mécanique simplifiée u_icorrespondant à ce champ de température T_i, et
- la réponse mécanique réduite V_jdu cluster C_jauquel appartient le champ de température T_ien question (c’est-à-dire pour ) ;
pour chaque champ de température T_iavec i=1..n’, détermination d’une erreur η_G,iqui est une erreur de projection entre :
- la réponse mécanique simplifiée u_icorrespondant à ce champ de température T_i, et
- la réponse mécanique réduite globale V_G.
détermination de critères de performance attendus pour le ROM-net, pour les valeurs de K, N, n_Scorrespondant à cette exécution de l’étape S24, ces critères de performances étant déterminés sur la base des erreurs de projection individuelle η_iet des erreurs η_G,i.

La technique de réduction d’ordre de modèle employée pour déterminer les réponses mécaniques réduites V₁,…, V_j,…, V_K, et pour déterminer la réponse mécanique réduite globale V_Gest une technique de réduction de dimension linéaire, par exemple de type POD (selon l’acronyme anglo-saxon de « Proper Orthogonal Decomposition », c’est-à-dire décomposition orthogonale aux valeurs propres), ou de type « snapshot POD ».

Chaque réponse mécanique réduite V₁,…, V_j,…, V_K, ainsi que la réponse mécanique réduite globale V_G, prend ici la forme d’une matrice contenant lignes et N colonnes et telle que où désigne la matrice identité d’ordre N. Les colonnes de cette matrice correspondent aux N modes mécaniques élémentaires qui composent la réponse mécanique réduite V_j.

Par erreur de projection, on entend un écart, en l’occurrence un écart normalisé entre : la réponseu _iconsidérée d’une part, et le projeté orthogonal de cette réponse sur la réponse mécanique réduite V_jou V_Gd’autre part.

L’erreur de projection individuelle η_is’exprime alors de la façon suivante, ici :

Et, de même :

Dans le mode de réalisation décrit ici, les critères de performance mentionné plus haut comprennent une erreur moyenne ainsi qu’un gain de partitionnement G.

L’erreur moyenne est égale à la moyenne, en l’occurrence la moyenne arithmétique, des erreurs individuelles η_i, pour les différents champs de de température T₁,…, T_i,…T_n _’:

Quant au gain de partitionnement G, il est égal à la moyenne d’un rapport η_Gi/η_ientre l’erreur de projection « sans partitionnement » η_Gi, et l’erreur de projection individuelle « avec partitionnement » η_i. Cette moyenne, arithmétique, est calculée là aussi pour l’ensemble de champs de température T₁,…, T_i,…T_n _’, soit :

Le gain G fournit une estimation du gain de précision que l’on peut attendre d’un ROM-net basé sur un dictionnaire regroupant K modèles de comportement mécanique (et dont les paramètres sont K, N et n_S), par rapport à l’utilisation d’un unique modèle réduit global, identique quel que soit le champ de température considéré.

La figure 5 montre des valeurs obtenues pour l’erreur de projection moyenne , en fonction de K et pour différentes valeurs de N. Comme on peut le voir sur cette figure, plus K et N sont grands, et plus cette erreur est petite. Ces valeurs sont obtenues pour , pour N_max= 5 et n_Smax=20 (pour cet exemple, destiné à illustrer l’intérêt du procédé, la valeur de reste assez petite ; En pratique, elle peut avoir une valeur beaucoup plus grande, pour simuler de manière aussi réaliste que possible la tenue en fatigue d’une aube de turbine). Pour chaque courbe tracée sur cette figure, la partie en pointillée correspond à des configurations pour lesquelles la quantité de calcul qui serait nécessaire à l’étape S3 est considérée trop importante, car ne respectant pas le condition n_S n_Smax/K (ce qui se traduit par l’exclusion de certaines valeurs de N, car N est au plus égal à n_S, et donc au plus égal à n_Smax/K = 20/K, ici).

La montre des valeurs obtenues pour le gain de partitionnement G, dans les mêmes conditions que pour la . Là aussi, pour chaque courbe tracée sur cette figure, la partie en pointillée correspond à des configurations pour lesquelles la quantité de calcul qui serait nécessaire à l’étape S3 est considérée trop importante. Comme on peut le voir sur cette figure, le gain de partitionnement est d’autant plus grand que le nombre de clusters K est grand. En revanche, le gain G ne croit pas de manière monotone avec le nombre de modes N, ce qui peut paraître surprenant à première vue et souligne l’intérêt de réaliser cette étape de cartographie avant de sélectionner les paramètres du ROM-net. Ici, par exemple, il est maximal pour N=3 (et non pour N=5).

L’étape de sélection S22est exécutée, après l’étape S21, sur la base des performances attendues et G déterminées à l’étape S21.

Au cours de l’étape S22, pour les différents couples de valeurs envisageables pour K et N (valeurs qui vont de 2 à K_maxpour K, et de 1 à N_maxpour N), on teste si le couple de valeurs considéré permet de satisfaire certaines conditions de performances préétablies. Le ou les couples de valeurs pour lesquels ce test est positif constituent des couples de valeurs admissibles.

Ici, ces conditions de performances à satisfaire sont :

que l’erreur moyenne soit inférieure à l’erreur maximale admissible η* (condition de pertinence), et
que le gain de partitionnement G soit supérieur à un gain limite g (condition de rentabilité).

L’erreur maximale admissible η* peut par exemple être comprise entre 0 et 0,5. Dans le cas de la , par exemple, elle vaut 0,35.

Pour ce qui est du gain limite g, il représente un seuil au-dessus duquel on considère qu’un dictionnaire à plusieurs modèles de comportement mécanique est plus intéressant qu’un unique modèle réduit global (du fait du gain de précision que procure le dictionnaire), malgré la complexité qu’apporte l’utilisation d’un tel dictionnaire. Ce gain limite peut par exemple être supérieur ou égal à 2.

Ici, le gain limite g est en fait une fonction qui dépend de K, en l’occurrence qui croît avec K. Cela permet de tenir compte du fait que l’erreur d’attribution, par le classificateur 2, augmente lorsque K augmente (lorsque le nombre de clusters est très grand, les erreurs d’attribution, ou autrement dit les erreurs de classification augmentent). Pour que l’utilisation d’un dictionnaire à K modèles soit rentable, il faut donc que le gain de précision soit substantiel lorsque K est élevé, pour compenser ces éventuelles erreurs d’attribution.

Pour tenir compte de ces possibles erreurs d’attribution, le gain limite g(K) est déterminé ici conformément à la formule suivante :

où p(K) est la probabilité d’une attribution exacte par le classificateur de champs de température, lorsque le nombre de clusters est K,
où G* est un seuil de gain, pour lequel l’utilisation d’un dictionnaire (plutôt que l’utilisation d’un modèle global) est considérée rentable, l’attribution par le classificateur étant supposée parfaite (sans erreur) ; G* est par exemple supérieur ou égal à 2 (dans le cas de la figure 6, il est égal à 2), et où
E est une valeur strictement comprise entre 0 et 1, représentant un rapport moyen entre l’erreur de projection sur un modèle réduit global, et l’erreur de projection sur un modèle du dictionnaire qui ne serait pas le bon (du fait d’une erreur d’attribution ; A titre d’exemple, ici, E est égal à 0,75.

Pour ce qui est des valeurs de p(K), on a p(1)=1, et p(K) qui décroit avec K. A titre d’exemple, on peut prendre p(6)=0,8 (valeur tirée de l’article de T. Daniel et al. mentionné plus haut), et p(K_max)=1/K_max.

La courbe g(K) obtenue pour ces exemples de valeurs est représentée en tirets sur la .

Pour l’exemple numérique correspondant aux figues 5 et 6, cinq couples de valeurs admissibles pour K et N (pour lesquelles on s’attend à ce que le ROM-net soit à la fois pertinent et rentable) sont identifiées. Sur ces figures, les points correspondant à ces couples de valeurs admissibles sont entourés d’un cercle. Il s’agit des couples suivants : (K=4, N=3) et (K=4, N=4), (K=5, N=3) et (K=5, N=4) et (K=6, N=3).

On notera que d’autres conditions de performance que celles indiquées ci-dessus pourrait être employées. Ainsi, dans d’autres modes de réalisation, seule la condition de pertinence, portant sur , pourrait être prise en compte, par exemple. Ou encore, la condition de performance pourrait porter sur une combinaison de et G (telle que la somme G+1/ ), à comparer à une valeur seuil. Par ailleurs, au lieu de calculer une moyenne des erreurs de projection individuelles, et de tester si elle est inférieure à un seuil (pour tester si les paramètres correspondants sont admissibles), on pourrait calculer une moyenne des inverses des erreurs de projection individuelles (en quelque sorte, une moyenne des précisions individuelles de projection), et tester si cette moyenne est supérieure à un seuil de précision donné.

Quoiqu’il en soit, si un seul couple de valeurs admissibles a été identifié pour les paramètres K et N, c’est ce couple qui est retenu pour exécuter ensuite les étapes S3 et S4.

Et si plusieurs couples de valeurs admissibles sont identifiés (comme c’est pour l’exemple des figures 5 et 6), on sélectionne parmi ces couples un couple de valeurs optimales (Ko, No) satisfaisant une ou des conditions d’optimisation. C’est alors ce couple de valeurs optimales qui est employé ensuite pour exécuter les étapes S3 et S4.

Ici, le couple de valeurs optimales est sélectionné de manière à minimiser N (soit ici N=3), et, ensuite, parmi les couples pour lesquels N est minimal, de manière à maximiser K (soit K=6). Le couple de valeurs optimales est donc (K=6, N=3), ici.

Choisir la valeur admissible de N la plus petite est très intéressant du point de vue de la rapidité du ROM-net qui sera obtenu finalement (à l’issu du procédé de la ). En effet, comme les modèles de comportement mécanique seront alors composés chacun d’un petit nombre de modes mécaniques élémentaires, les simulations de longue durée effectuées lors de l’étape Ssim (une fois en phase d’utilisation du ROM-net) ne nécessiteront que peu de calculs.

Choisir ensuite la valeur admissible de K la plus grande (N restant minimal) permet de maximiser la précision du ROM-net (voir la ).

En variante, d’autres conditions d’optimisation pourraient être employées. Par exemple, si la rapidité du ROM-net est moins cruciale, et que l’on souhaite privilégier une précision optimale, on pourra sélectionner, parmi les couples de valeurs admissibles, celui pour lequel K est le plus grand, et ensuite, K étant maximisé, celui pour lequel N est minimal (ce qui est légèrement différent du critère d’optimisation donné plus haut). Ou encore, on pourrait sélectionner directement le couple pour lequel l’erreur moyenne est la plus faible. On pourrait aussi choisir le couple de valeurs de K et N de manière à être aussi proche que possible d’un coude que présente de la courbe ou G(K) (car, au-delà du coude en question, une augmentation de K ne permet qu’un gain modeste de précision, par « coude », on désigne par exemple le point de la courbe où le rayon de courbure est le plus fort).

L’étape de sélection S22 peut comprendre par ailleurs une étape d’interaction avec un utilisateur, via une interface homme-machine (telle qu’un écran tactile, par exemple). Au cours de cette étape d’interaction, si aucun couple de valeurs admissibles n’a pu être identifié pour les paramètres K et N du ROM-net, il est proposé à l’utilisateur de modifier les valeurs de η* et/ou de G* ou E, par exemple dans le sens d’une exigence de performances moindre.

Lors de cette étape d’interaction, les résultats de l’étape S21 peuvent être communiqué à l’utilisateur, via l’interface homme-machine (par exemple sous la forme des graphiques des figures 5 et 6, affiché sur l’interface), pour permettre à cet utilisateur de contrôler les performances susceptibles d’être obtenues au final avant de lancer la simulation numérique de haute fidélité.

Etape s S3 et S4 : simulation numérique de haute fidélité et détermination du ou des modèles de comportement mécanique.

Lorsqu’au moins un couple de valeurs admissibles a été identifié à l’étape S2 pour les paramètres K et N, le procédé se poursuit par la détermination d’un ROM-net à K modèles de comportement mécanique.

Dans ce cas, l’étape S3 est exécutée sur la base du partitionnement correspondant à la valeur de K retenue à l’issu de l’étape S2. Il s’agit par exemple de la valeur optimale Ko mentionnée plus haut. On détermine alors, pour les différents champs de température typiques T_i* identifiés lors du partitionnement correspondant à la valeur Ko, les réponses mécaniques de haute fidélité correspondant à ces champs (qui sont en quelque sorte des « snapshots de haute fidélité »).

Puis, lors de l’étape S4, pour chacun des Ko clusters, on détermine le modèle de comportement mécanique Mj du cluster Cj considéré (étape S41 de la figure 3), par réduction d’ordre de modèle, à partir des réponses mécaniques de haute fidélité de ce cluster, le modèle en question étant composé d’un nombre de modes mécaniques élémentaires égal à la valeur optimale No. La méthode de réduction d’ordre de modèle employée est la même que celle employée pour déterminer les réponses mécaniques réduites V_j.

Lors de l’étape S5, le classificateur de champs de température 2 est entrainé sur la base du partitionnement correspondant à la valeur optimale Ko en question (ou, à défaut, correspondant à la seule valeur admissible de K ayant pu être identifiée à l’étape S2).

Lorsqu’aucun couple de valeurs admissibles n’a pu être identifié à l’étape S2 pour les paramètres K et N, le procédé se poursuit par la détermination d’un unique modèle de comportement mécanique global Mo.

Dans ce cas, après l’étape S3, on détermine ce modèle global par réduction d’ordre de modèle, à partir de toutes les réponses mécaniques de haute fidélité déterminées à l’étape S3, sans tenir compte de leur appartenance à tel ou tel cluster (étape S42 de la figure 3). Les réponses mécaniques de haute fidélité en question sont déterminées pour les champs de température typiques T_i* identifiées lors de l’un des partitionnements réalisés (et testés) à l’étape S2. Ce partitionnement, à partir duquel on détermine le modèle de comportement mécanique global Mo, peut être sélectionné, parmi les différents partitionnements réalisés, comme expliqué ci-dessous.

Comme des erreurs de projection η_Gisur une réponse réduite globale V_Gont été déterminées pour chaque partitionnement et pour chaque valeur de N envisagée, lors des exécutions de l’étape S24, on peut alors calculer, pour chaque couple de valeurs de K et N, une erreur moyenne globale , égale à la moyenne des erreurs de projection η_Gipour ce cas_,soit . On peut alors choisir de déterminer le modèle global Mo pour le couple de valeurs de K et N conduisant à la plus petite valeur de l’erreur moyenne globale , ou, par exemple, pour le couple de valeurs de K et N pour lequel N est le plus petit (pour favoriser la rapidité, une fois en phase d’utilisation), associé à la valeur de K donnant, pour ladite valeur de N, l’erreur de projection moyenne la plus faible.

Différentes variantes peuvent être apportées au procédé qui vient d’être décrit, en plus de celles déjà mentionnées plus haut.

Par exemple, au lieu de réaliser l’étape de cartographie S21, puis l’étape de sélection S22, on pourrait tester les conditions de performance mentionnées plus haut après chaque exécution de l’étape S24, au fur et à mesure, et cesser les itérations des étapes S20 et S24 dès que ces conditions sont remplies, c’est-à-dire dès qu’un couple de valeurs admissibles a pu être identifié pour K et N.

Par ailleurs, les contraintes liées au temps de calcul de l’étape S3 (qui se traduisent ici par n_S=n_Smax/K) pourraient être prises en compte de manière différentes. Et au lieu d’exécuter les étapes S20 et S24 pour des valeurs des paramètres K, N et n_Schoisies directement de manière à satisfaire ces contraintes de temps de calcul de l’étape S3, on pourrait exécuter les étapes S20 et S24 pour une gamme de valeurs plus étendue, et sélectionner ensuite un triplet de valeurs de K, N et n_Ssur la base de conditions de performance portant sur la pertinence et rentabilité du ROM-net (pour ce qui est de K et N), mais aussi sur sa rapidité d’obtention (pour ce qui est de n_S).

Claims

Procédé de détermination d’un (Mo) ou plusieurs modèles de comportement mécanique (M₁, M_j, M_K) d’une aube (1) de turbine, adaptés à un ensemble (E) de champs de sollicitation (T₁, T_i, T_n) à exercer sur ladite aube (1), le procédé comprenant les étapes suivantes :
(S1) étape de simulation numérique simplifiée, au cours de laquelle, pour chaque champ de sollicitation (T₁, T_i, T_n) dudit ensemble (E), on détermine une réponse mécanique simplifiée (u _i) de l’aube (1) de turbine soumise au champ de sollicitation (T_i) considéré,

(S20) étape de partitionnement, au cours de laquelle on identifie K groupes (C₁, C_j, C_K) de champs de sollicitation, distincts, dans l’ensemble de champs de sollicitation (E), chaque groupe (C_j) étant caractérisé par un ou quelques champs de sollicitations typiques (T_i*), dont les réponses mécaniques simplifiées sont représentatives de l’ensemble des réponses mécaniques simplifiées (u _i) du groupe (C_j) considéré,

(S3) étape de simulation numérique de haute fidélité, au cours de laquelle, pour chaque champ de sollicitation typique (T_i*) précédemment identifié, on détermine une réponse mécanique de haute fidélité ( ), pour l’aube de turbine soumise au champ de sollicitation typique (T_i*) considéré, puis

(S4) étape de détermination du ou des modèles de comportement mécanique (Mo, M₁, M_j, M_K), à partir desdites réponses mécaniques de haute fidélité ( ), par réduction d’ordre de modèle,

le procédé comprenant en outre, avant l’étape de simulation numérique de haute fidélité (S3), une étape de pré-caractérisation (S24) au cours de laquelle un ou plusieurs critères de performance ( , G), attendus pour le ou les modèles de comportement mécanique (Mo, M₁, M_j, M_K) compte tenu dudit partitionnement, sont déterminés, le ou les critères de performance ( , G) étant déterminés en fonction d’erreurs de projection individuelles (η_i) calculées pour différents champs de sollicitation (T₁, T_i, T_n _’) dudit ensemble (E), chaque erreur de projection individuelle (η_i) correspondant à une erreur de projection entre :

la réponse mécanique simplifiée (u _i) associée au champs de sollicitation (T_i) considéré, et

une réponse mécanique réduite (V_j), associée au groupe (C_j) auquel appartient le champ de sollicitation (T_i) considéré, la réponse mécanique réduite (V_j) ayant été déterminée par réduction d’ordre de modèle à partir des réponse mécaniques simplifiées (u _i) associées aux champs de sollicitation typiques (T_i*) dudit groupe (C_j).
Procédé selon la revendication 1, dans lequel chaque champ de sollicitation est un champ de température (T₁, T_i, T_n) exercé sur l’aube (1) de turbine.
Procédé selon la revendication 1 ou 2, dans lequel
l’étape de partitionnement (S20) est exécutée plusieurs fois, pour différentes valeurs (2, K_max) du nombre de groupes K, et dans lequel

après chaque exécution de l’étape de partitionnement, l’étape de pré-caractérisation (S24) est exécutée, de manière à pré-caractériser le partitionnement en K groupes (C₁, C_j, C_K) obtenu précédemment.
Procédé selon l’une des revendications 1 à 3, dans lequel,
chaque réponse mécanique réduite (V_j) est composée d’un nombre N de modes mécaniques élémentaires, et dans lequel

après chaque exécution de l’étape de partitionnement (S20), on exécute l’étape de pré-caractérisation (S24) plusieurs fois successivement pour différentes valeurs (1, N_max) du nombre N de modes mécaniques élémentaires composant les réponses mécaniques réduites.
Procédé selon les revendications 3 et 4,
comprenant une étape de sélection de paramètres (S22) au cours de laquelle, pour chaque couple de valeurs regroupant l’une desdites valeurs (2, K_max) du nombre K et l’une desdites valeurs (1, N_max) du nombre N, on teste si les critères de performances ( , G), déterminés pour ce couple de valeurs de K et N, satisfont une ou plusieurs conditions de performance pré-établies, et on sélectionne le ou les couples de valeurs pour lesquels le test est positif, ce ou ces couples de valeurs constituant des couples de valeurs admissibles, et dans lequel

lorsqu’au moins un couple de valeurs admissibles a été sélectionné :

lors de l’étape de simulation numérique de haute fidélité (S3), les réponses mécaniques de haute fidélité ( ) sont déterminées pour les champs de sollicitation typiques (T_i*) correspondant au partitionnement pour lequel la valeur de K est celle dudit couple de valeurs admissibles, et

lors de l’étape (S4) de détermination du ou des modèles de comportement mécanique, le (Mo) ou les modèles (M₁, M_j, M_K) déterminés sont composés chacun d’un nombre de modes mécaniques élémentaires égal à la valeur de N donnée par ledit couple de valeurs admissibles.
Procédé selon la revendication 5 dans lequel, au cours de l’étape de sélection de paramètres (S22), on sélectionne en outre, parmi les couples de valeurs admissibles des nombres K et N, un couple de valeurs optimales (Ko,No) satisfaisant une ou plusieurs conditions d’optimisation pré-établies, les étapes de simulation numérique de haute fidélité (S3) et de détermination du ou des modèles de comportement mécanique (S4) étant exécutées pour ce couple de valeurs optimales des nombres K et N.
Procédé selon la revendication 6 dans lequel le couple de valeurs de K et N satisfaisant lesdites conditions d’optimisation est le couple regroupant : celle des valeurs admissibles de N qui est minimale, et N étant minimisé, celle des valeurs amissibles de K qui est la plus grande.
Procédé selon la revendication 5 dans lequel, lorsqu’aucun couple de valeurs admissibles des nombres K et N n’a pu être sélectionné lors de l’étape de sélection de paramètres (S22), alors, lors de l’étape (S4) de détermination du ou des modèles de comportement mécanique, on détermine un seul modèle de comportement mécanique global (Mo), pour l’ensemble (E) desdits champs de sollicitation.
Procédé selon l’une des revendications 1 à 8 dans lequel le ou les critères de performances déterminés lors de l’étape de pré-caractérisation (S24) comprennent une erreur de projection moyenne ( ), égale à une moyenne desdites erreurs de projection individuelles (η_i).
Procédé selon la revendication 9, prise dans la dépendance de l’une des revendications 5 à 8, dans lequel ladite ou l’une desdites conditions de performance est que ladite erreur de projection moyenne ( ) est inférieure à une erreur maximale admissible donnée (η*).
Procédé selon l’une des revendications 1 à 10 dans lequel
le ou les critères de performances déterminés lors de l’étape de pré-caractérisation (S24) comprennent un gain de partitionnement (G) qui est déterminé en fonction d’une moyenne, pour différents champs de sollicitation dudit l’ensemble (E), du rapport entre : une erreur de projection (η_Gi) associée à une réponse mécanique réduite globale (V_G) d’une part, et l’erreur de projection individuelle (η_i) obtenue pour le champ de sollicitation (T_i) considéré d’autre part,

la réponse mécanique réduite globale (V_G) étant la même quel que soit le champ de sollicitation (T_i) considéré, et ayant été déterminée par réduction d’ordre de modèle à partir des réponse mécaniques simplifiées (u _i) correspondant à l’ensemble des champs de sollicitation typiques (T_i*) identifiés lors de l’étape de partitionnement.
Procédé selon la revendication 11, prise dans la dépendance de l’une des revendications 5 à 8, dans lequel ladite ou l’une desdites conditions de performance est que le gain partitionnement (G) est supérieur à un gain limite (g) donné.
Procédé selon l’une des revendications 1 à 12 dans lequel, lors de l’étape de partitionnement (S20), les champs de sollicitations typiques (T_i*) sont identifiés sur la base d’une dissimilarité (δ_ii’) entre réponses mécaniques simplifiées, la dissimilarité (δ_ii’) entre deux réponses mécaniques simplifiées (u _i,u _i _’) étant calculée en fonction d’un produit scalaire normalisé égal au produit scalaire des deux réponses mécaniques considérées (u _i,u _i _’), divisé par une norme d’une première (u _i) de ces deux réponses et par une norme d’une deuxième (u _i _’) de ces deux réponses.
Dispositif électronique comprenant au moins un processeur et une mémoire, programmé pour exécuter le procédé selon l’une quelconque des revendications précédentes.