FR3045847A1

FR3045847A1 - Procede de commande d'un systeme redondant

Info

Publication number: FR3045847A1
Application number: FR1562701A
Authority: FR
Inventors: Jean Mignot; Alain Peus; Helene Evain; Mathieu Rognant
Original assignee: Office National dEtudes et de Recherches Aerospatiales ONERA; Centre National dEtudes Spatiales CNES
Current assignee: Office National dEtudes et de Recherches Aerospatiales ONERA; Centre National dEtudes Spatiales CNES
Priority date: 2015-12-17
Filing date: 2015-12-17
Publication date: 2017-06-23
Anticipated expiration: 2035-12-17
Also published as: FR3045847B1

Abstract

Abrégé : Procédé de commande d'un système redondant, le système étant commandé par une loi de commande f telle que y=f(x), avec y une grandeur physique de sortie et x un ensemble de grandeurs physiques d'entrée destiné à commander les actionneurs, le procédé comprenant une étape de double dérivation (cas continu) ou un développement de Taylor à l'ordre de 2 sur l'équation liant la sortie désirée y aux paramètres de contrôle internes au système x.

Description

Procédé de commande d'un système redondant DOMAINE TECHNIQUE GENERAL L’invention concerne les procédés et dispositifs de répartition en N commandes u adressées à N actionneurs d’un système redondant. La répartition est calculée par un allocateur qui prend en entrée une commande yc exprimée dans l’espace des sorties y de dimension m (avec m<N) calculée par le contrôleur de ce système à partir d'une consigne t et de mesures ym des sorties du système (voir figure 1).

Les systèmes redondants adressés par l’allocateur proposé seront du type bras manipulateurs redondants utilisés pour la manutention d’objet, ainsi que les grappes d’actionneurs gyroscopiques (abrégés en « AGs ») utilisés pour le contrôle de l’attitude (orientation dans l’espace) d’un satellite.

Dans le cas des bras manipulateurs redondants, les sorties y considérées peuvent être la position et l’orientation de l’organe terminal ou son torseur cinématique ou le torseur d'efforts résultant au niveau de l'organe terminal. Les actionneurs sont les moteurs des N articulations du bras manipulateur pouvant être du type rotoïde et/ou prismatique. Ces moteurs sont asservis en couple à partir d’une consigne en vitesse articulaire calculée par l’allocateur. La commande yc en entrée de l’allocateur est une consigne du torseur cinématique ou du torseur d'efforts de l’organe terminal.

Un robot manipulateur redondant se caractérise par un nombre d'articulations motorisées supérieur au nombre de degrés de liberté de l'organe terminal. Ils peuvent être de type sériel (figure 2a) avec une seule chaîne cinématique constituée d'un enchaînement de corps reliés entre eux par des articulations motorisées (du type prismatique ou rotoïde). Ils peuvent présenter des chaînes cinématiques complexes (figure 2b): l'assemblage des corps présente au moins une chaîne cinématique fermée n'aboutissant pas à l'effecteur. Ils peuvent être également de type manipulateur parallèle (figure 2c): l'organe terminal est relié au bâti par plusieurs chaînes cinématiques indépendantes.

Dans le cas des grappes d'Actionneurs Gyroscopiques utilisées pour le contrôle d'attitude des satellites, les sorties y considérées sont l’attitude et la vitesse angulaire du satellite supportant la grappe d’AGs. Les actionneurs sont les moteurs de précession des axes cardans des N AGs. Ces moteurs sont asservis en couple à partir d’une consigne en vitesse de précession calculée par l’allocateur. La commande yc en entrée de l’allocateur est une consigne en couple gyroscopique résultant de la grappe. Cette consigne est calculée par le contrôleur à partir de l’attitude et la vitesse angulaire mesurée du satellite ym et de la consigne en attitude et en vitesse angulaire du satellite t.

Les AGs sont des solutions d'entrainement par transfert de moment cinétique. Chaque AG est constitué d'une toupie entraînée par une motorisation interne à une vitesse de rotation propre constante très élevée. Cette toupie est enserrée dans un carter qu'un ou deux moteurs externes peuvent faire basculer autour d'un ou deux axes de basculement. Le basculement du carter génère alors un couple gyroscopique proportionnel au moment cinétique de la toupie et à la vitesse angulaire de basculement. Ainsi un AG nécessite moins de puissance pour produire le même couple qu'une roue à inertie qui doit être alternativement accélérée et décélérée. D'autre part, les AGs sont des actionneurs à plus large bande passante que les roues à inertie.

Il existe plusieurs variétés d'AGs : - les AGs 1-axe avec une seule vitesse de cardan commandée (axe de précession) par toupie (en anglais, les SGCMGs : Single-Gimbal Control Momentum Gyroscopes), voir figure 3a ; - les AGs à plusieurs degrés de liberté contrôlables, et en particulier les actionneurs gyroscopiques 2-axes montés sur un double cardan avec les vitesses de précession et de nutation commandées (en anglais, les DGCMGs: Double-Gimbal Control Momentum Gyroscopes), voir figure 3b. - enfin les AGs à vitesse de toupie variable (en anglais, les VSCMGs: Variable Speed Control Momentum Gyroscopes), qui offrent un degré de liberté supplémentaire.

Pour les AGs 1-axe le couple gyroscopique moteur résultant du moment cinétique de la toupie est transmis de la toupie au carter par les paliers notés B et B' et du carter au bâti du satellite par les paliers notés A et A' sur la figure 3a. Ce moment n'est ressenti ni par le moteur de précession, ni par le moteur maintenant la vitesse de rotation propre.

Les AGs sont fréquemment montés en « grappe », c'est-à-dire en associant une pluralité d'AGs pour permettre d'amener un trièdre de référence lié au satellite dans toutes les attitudes.

Préférablement, une redondance d'AGs est utilisée pour pallier à une défaillance de l'un d'entre eux. C'est le cas notamment des configurations dites pyramidales et des configurations dites coplanaires.

Il est possible d'établir une relation matricielle entre le moment gyroscopique total m généré par la grappe d'AGs, vecteur de dimension 3 et les angles/vitesses de précession des cardans σ et ° des différents AGs : dh, . ,·, . dh . . . m =—(σ)=1ι(σ) =—χσ = htoupie x J(o) x σ dt do Où J est la matrice jacobienne du moment cinétique résultat h, matrice de dimension 3 x N où N représente le nombre d'AGs de la grappe, ht0uPie scalaire représentant le moment cinétique d'une toupie d'un AG, et * représentant le vecteur de dimension N regroupant les vitesses de précession des cardans des AGs.

La figure 4 illustre une configuration pyramidale à quatre AGs.

Les quatre AGs sont placés sur les quatre faces triangulaires, toutes inclinées, par rapport à la base de la pyramide.

La figure 5 illustre une configuration pyramidale à six AGs.

La configuration pyramidale de six AGs est moins présente dans la littérature que celle à quatre AGs, bien qu'elle présente des performances équivalentes en terme d'enveloppe de moment cinétique. En effet en reprenant une configuration isotropique de la grappe d'AGs (β = 54 degrés), nous obtenons une enveloppe de moment cinétique total quasiment équivalent à une sphère de rayon 4,8 x ht0upie/ soit 80 % des moments cinétiques des six toupies.

La figure 6 illustre une configuration dite coplanaire à six AGs.

Il s'agit de dispositions de 4, 6 ou 8 AGs partitionnés en deux (voire plus) groupes d'AGs caractérisés par des axes de précession colinéaires.

ETAT DE L'ART

Un état de l'art va à présent être dressé sur les lois de pilotage pour les systèmes redondants et leurs applications aux robots manipulateurs ainsi qu'aux grappes d'AGs. Lorsqu'un système est sur-actionné, c'est-à-dire qu'il dispose de plus d'actionneurs que de degrés de liberté, des procédés de contrôle de l'allocation (lois de pilotage) sont nécessaires pour répartir les efforts entre les actionneurs, dans le but de générer les forces ou les couples requis par le système.

Les critères de performances évaluant ces lois de pilotage adressent les points suivants : - l'embarquabilité de la commande, - l'utilisation complète des ressources offertes par l'ensemble des actionneurs, ceci sans induire la saturation de l'un d'entre eux : 1 - génération par la grappe d'AGs de n'importe quel moment cinétique compris dans l'espace des moments cinétiques atteignables par cette grappe, 2- génération par le robot manipulateur de n'importe quel torseur cinématique ou torseur d'efforts de l'organe terminal compris dans l'espace des torseurs atteignables par ce robot manipulateur, 3- positionnement et orientation de l'organe terminal par le robot manipulateur dans la totalité du volume de travail atteignable. - la qualité du suivi des consignes, - l'utilisation de la redondance des actionneurs pour la gestion de contraintes liées à l'application (critères énergétiques, retour dans des configurations canoniques) - la robustesse en cas de panne d'un ou plusieurs actionneurs.

De plus, en fonction de la configuration des actionneurs, des singularités internes peuvent survenir, c'est-à-dire des configurations dans lesquelles il est impossible de générer une force ou un couple dans une direction même si les capacités maximales des actionneurs ne sont pas atteintes.

Dans cette section, nous nous focaliserons sur les problématiques d'allocation (voir figure 1). C'est un objet de la présente invention de se concentrer sur les problèmes de calcul de άσ/dt qui doit satisfaire h(a) = J^).à (2) ( htoupie étant pris égal à 1 Nms sans perte de généralité) ainsi que les contraintes de saturation et l'évitement ou le passage des singularités. L'art antérieur est assez exhaustif mais seules les méthodes qui peuvent fonctionner en temps réel vont être décrites.

Pour une étude complète des méthodes d'allocation (aussi appelé contrôle cinématique), voir le travail de B. Siciliano et L. Sciavicco ([4], [5]), ainsi que de H. Kurokawa ([15]) pour les AGs.

La méthode la plus courante consiste à effectuer une pseudo-inversion de Moore-Penrose. Cependant lorsque la matrice JJT n'est plus inversible, à devient impossible à calculer : à = JT{JJT) ι(σ).ίι(σ) (5)

Pour éviter cet écueil, une méthode proposée par L. Sciavicco et B. Siciliano utilise la transposée de la Jacobienne, qui existe toujours, au lieu de la pseudo-inverse de Moore Penrose. En outre, les résultats de stabilités sont donnés avec la formulation en boucle fermée, cependant cette méthode n'est pas exacte car si l'on multiplie l'équation de base h(a) = J(a).ô (2) par la transposée de J(o), le terme JT *J à droite ne donnera pas l’identité dans le cas général.

Une autre possibilité consiste à rajouter un terme à la pseudo-inverse afin que l'inversion soit toujours possible. C'est la méthode SRI {Singular Robust Inverse, Inverse Robuste Singulière, ou solution Damped Least-Square), proposée par exemple par Wie ([14]). Elle revient à minimiser un critère quadratique pondéré par une matrice W. σ = JT(JJT + W)\o).h{o) (6)

La difficulté est alors de choisir W. Plusieurs possibilités existent, comme la « Singular Value Avoidance » où la direction avec la plus petite valeur singulière est trouvée et des composantes y sont rajoutées afin de mieux conditionner la matrice JJAT+W. Des méthodes de pilotage à erreur de couple proposées dans la littérature sont l'inverse robuste singulière perturbée où des termes (variables ou non) sont rajoutés dans la matrice W afin de solliciter d'autres axes et ainsi sortir des singularités, sans forcément passer par le noyau de J. C'est le même principe pour la SRI avec des termes hors-diagonaux. Enfin, la Blended-Inverse (B-inverse) ([16]) est aussi une résolution d'un critère quadratique pondéré, avec cette fois deux matrices à régler. Cette dernière proposition présente donc des similarités avec la méthode de résolution présentée dans ce brevet, mais diffère en profondeur sur le choix et la sélection des composantes dans les matrices à régler. Comme il sera présenté plus tard, notre méthode rajoute une dynamique qui permet de trouver les matrices optimales selon un critère défini, et d'obtenir des preuves de convergence.

Ces méthodes sont davantage robustes aux singularités mais ne garantissent pas leur passage et créent des erreurs sur le suivi de consigne. D'autres méthodes ne créant pas d'erreurs existent, comme celle de l'inverse généralisée (GISL) qui ne permet pas de partir d'une configuration initiale singulière, ou la méthode de la pseudo-inverse décalée, qui, en revanche, ne peut pas éviter un certain nombre de singularités. D'autres méthodes, appelées « méthodes du gradient local» sont utilisées. Elles partent de la solution générale de l'équation (2): σ = JT(JJT)_1x h + (I - JT(JJT) 1 J) x yv (7)

Avec yv un vecteur arbitraire, et f la projection dans le noyau de J. Le vecteur yv est souvent calculé en optimisant différentes fonctions (maximisation du déterminant de

Les méthodes de gradient local sont peu performantes sur les AGs 1-axe par rapport aux AGs 2-axes.

Dans les grappes d’AGs avec une configuration coplanaire, des lois de pilotage exactes, basées sur la géométrie, existent. Cependant elles font déjà l’objet de brevets (voir FR 2 826 470, WO 03/001311, US 0 124 032 et EP 1 793 297). D'autres méthodes ne créant pas d'erreurs incluent la « Jacobienne étendue » (« extended Jacobian »), où des contraintes sont ajoutées dans la matrice J. J. Bailleuil a travaillé sur des possibles contraintes de formulation ([6]). Cependant, les contraintes doivent être bien modélisées puisqu'elles doivent être vérifiées constamment, et des singularités numériques peuvent survenir. C. W. Wampler a étudié les fonctions d'inverse cinématique ([7]), en particulier la réduction de l'espace de travail dans des domaines où aucune singularité n'existe et où le problème peut être inversé. H. Kurokawa s'est aussi penché sur ce problème dans le cas des grappes pyramidales d'AGs ([15]). En outre, Nakamura, Hanafusa et Yoshikawa ont proposé une méthode fondée sur la priorisation des tâches (« task-priority based method », [8]).

La difficulté de ce type de méthodes réside dans le fait qu'elles diminuent la capacité du système en rétrécissant l'espace de travail et en imposant des contraintes trop restrictives.

Au niveau des AGs, une méthode pouvant se combiner avec d'autres lois a été proposée : l'utilisation des configurations initiales préférées, qui dépendent du type de manœuvres demandées. Elle suppose donc une reconfiguration à moment cinétique nul en fonction du point à atteindre.

Des solutions d'optimisations existent aussi. En particulier, T. Fossen et T. Johansen ont effectué une étude sur les optimisations possibles pour contrôler des véhicules sous-marins ([9]).

Les optimisations quadratiques avec contraintes y sont présentées, avec des méthodes de résolutions multi-paramétriques quadratiques. Des optimisations non-linéaires existent aussi. Une autre méthode d'optimisation est l'utilisation des conditions de Karush-Kuhn-Tucker (voir Chen et Wang, [10]) après définition d'un problème d'optimisation.

Un algorithme itératif est ainsi proposé. Ces méthodes donnent des solutions optimales mais demandent une puissance de calcul quasiment rédhibitoire pour un système embarqué. En effet, il n'y a pas de garanties sur le temps d'exécution par rapport à la fréquence de la loi de commande.

Enfin, d'autres méthodes spécifiques ont été inventées, comme le « Cyclic co-ordinate descent » où chaque actionneur est activé indépendamment des autres, ou la « triangulation » (voir Song et Hu, [11]). Ces méthodes sont rapides mais ne peuvent pas gérer des contraintes globales.

Des réseaux neuronaux existent aussi, tout comme des méthodes hybrides mélangeant calculs numériques et analytiques (Ananthanarayanan, [12]). Ces méthodes sont souvent trop complexes pour être embarquables.

Au niveau des méthodes de planification hors-ligne, on peut citer sans rentrer dans les détails (car ces lois sont non-embarquables) le contrôle par voie directe (voir FR 2 981 050), la programmation dynamique, les algorithmes de parcours d'arbres (Guided Depth-First Search), les manœuvres de basculement rapides prévues dans les brevets FR 3 786 283 et FR 2 861 690.

Yamada et al. ([1]) ont proposé une nouvelle méthode utilisant le développement limité à l'ordre deux de l'équation de commande. Mais plusieurs limitations existent : - l'utilisation d'un algorithme QSL (Quadratic Steering Logic) empêche une résolution analytique, - la reconfiguration en cas de panne est difficile, - pas de preuve de stabilité, - pas de prise en compte intrinsèque des saturations.

En outre, l'article se limite à quatre AGs et utilise une projection dans un sous-espace de dimension trois spécifique à cette configuration. La solution n'est ainsi pas généralisable à N AGs.

La table ci-dessous récapitule les avantages et inconvénients des certaines solutions citées précédemment.

PRESENTATION DE L'INVENTION L'invention se décline sous une forme discrète et une forme continue, mais toutes deux relèvent du même concept inventif.

Sous forme continu, l'invention concerne un procédé de commande d'un système redondant comprenant au moins un degré de liberté et au moins un actionneur, le nombre d'actionneur étant strictement supérieur au nombre de degré de liberté, le système étant commandé par une loi de commande f telle que y=f(x), avec y une grandeur physique de sortie et x un ensemble de grandeurs physiques d'entrée destiné à commander les actionneurs, le procédé comprenant les étapes suivantes : - détermination de l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x permettant d'obtenir la grandeur physique de sortie y, l'étape de détermination comprenant les sous-étapes suivantes : - détermination d'une variation Ay de la grandeur physique de sortie y en fonction d'une variation Ax de la grandeur physique d'entrée x et d'une variation au carré Ax2 de la grandeur physique d'entrée x par différentiation au second ordre de la loi de commande f, la variation Ay

= ** J s'exprimant par la fonctionnelle suivante 0ù a est une matrice fonction de la grandeur physique d'entrée x et de la loi de commande f ; - obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées par une inversion de la fonctionnelle précédemment déterminée au moyen d'une minimisation au sens des moindres carrés ; - sélection d'un ensemble préférentiel en tenant compte de contraintes définies entre les grandeurs dues à la redondance du système, - commande des actionneurs du système redondant selon l'ensemble préférentiel.

En outre, l'étape d'obtention de la pluralité d'ensembles de grandeurs physiques d'entrées peut être effectuée à l'aide du formalisme d'un filtre de Kalman étendu prenant en compte les équations et les contraintes, et l'étape de sélection peut être effectuée à l'aide de l'algorithme de résolution du filtre de Kalman étendu pour trouver le meilleur compromis parmi les solutions réalisables et les contraintes imposées.

Sous la forme discrète, l'invention concerne un procédé de commande d'un système redondant comprenant au moins un degré de liberté et au moins un actionneur, le nombre d'actionneurs étant strictement supérieur au nombre de degrés de liberté, le système étant commandé par une loi de commande f telle que y=f(x), avec y une grandeur physique de sortie et x un ensemble de grandeurs physiques d'entrée destiné à commander les actionneurs, le procédé comprenant les étapes suivantes : - détermination de l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x permettant d'obtenir la grandeur physique de sortie y, l'étape de détermination comprenant les sous-étapes suivantes : - détermination d'une double dérivation temporelle ÿ de la grandeur physique de sortie y en fonction d'une dérivation temporelle * et d'une double dérivation temporelle * de la grandeur physique d'entrée x, par double dérivation de la loi de commande, s'exprimant par la fonctionnelle suivante, C(x Jtïi 1 * LfJ, où C est une matrice fonction de l'ensemble de grandeurs physiques d'entrée x et de la loi de commande f, - obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x par une inversion de la fonctionnelle précédemment déterminée au moyen d'une minimisation au sens des moindres carrés, - sélection d'un ensemble préférentiel en tenant compte de contraintes définies entre les grandeurs dues à la redondance du système, - commande des actionneurs du système redondant selon l'ensemble préférentiel. L'étape d'obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x (E12) peut être effectuée à l'aide d'une pseudo-inverse de Moore-Penrose et les étapes obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x et de sélection peuvent être effectuées à l'aide d'un filtre de Kalman étendu.

Les deux procédés peuvent comprendre les caractéristiques suivantes, prises seules ou en combinaison : - les actionneurs sont des actionneurs gyroscopiques comprenant une toupie générant un moment et le système comprend une grappe formée desdits actionneurs, et dans lequel la grandeur de sortie y est le moment cinétique total de la grappe h et l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x est l'angle de précession de chacun des actionneurs gyroscopiques σ, - un repère Ri = (xi, yi, zi) est défini pour chaque actionneur gyroscopique d'indice i, avec xi aligné avec l'axe de rotation propre de la toupie, yi avec l'axe du moment gyroscopique produit et zi avec l'axe de la vitesse de précession, dans lequel la différentiation au second ordre s'exprime sous la forme :

où h est le moment cinétique total et &σ est la variation des angles de précession des actionneurs, avec

et

de sorte que l'on obtient :

Où X est la matrice des xi, ht0Upie est le moment cinétique constant d'une toupie d'un actionneur, - trois variables (xi, x2, X3) du filtre de Kalman sont définies respectivement par la variation des angles de précession des actionneurs gyroscopiques (Acr) , par la variation au carré des angles de précession des actionneurs gyroscopiques (C^)2 ), et par le moment cinétique total normalisé (h/ht0upie) , - quatre équations de recalage du filtre de Kalman (EKF) sont définies respectivement par troisième variable du filtre de Kalman (x3), ladite équation sous forme matricielle, la différence entre les deux premières variables du filtre de Kalman (xi-x2), la première variable du filtre de Kalman (xi), - les actionneurs sont des liaisons pivots motorisées et le système comprend un bras articulé avec portions reliées entre elles par des liaisons pivots, et dans lequel la grandeur physique de sortie y est la position d'un point du bras articulé et la grandeur physique d'entrée x est l'angle de chacune des liaisons pivots. L'invention concerne aussi un dispositif comprenant une grappe d'au moins quatre actionneurs gyroscopiques et une unité de commande configurée pour mettre en œuvre un procédé tel que décrit précédemment

Les actionneurs gyroscopiques peuvent être dans une configuration pyramidale ou une configuration coplanaire. L'invention concerne aussi un satellite comprenant un dispositif tel que décrit précédemment. L'invention concerne aussi un dispositif comprenant un bras articulé avec au moins trois liaisons pivots motorisées et une unité de commande configurée pour mettre en œuvre un procédé tel que décrit précédemment.

PRESENTATION DES FIGURES D'autres caractéristiques, buts et avantages de l'invention ressortiront de la description qui suit, qui est purement illustrative et non limitative, et qui doit être lue en regard des dessins annexés, sur lesquels : - la figure 1 représente l'architecture globale d'un système de commande, - les figures 2a à 2c représentent des schémas d'architecture distincte de robot manipulation redondant, - la figure 3a représente un actionneur gyroscopique 1-axe, - la figure 3b représente un actionneur gyroscopique 2-axes, - la figure 4 représente une grappe pyramidale à quatre actionneurs, - la figure 5 représente une grappe pyramidale à six actionneurs, - la figure 6 représente une grappe en configuration dite « roof-type », à six actionneurs, - La figure 7 représente une boucle de contrôle d'attitude de satellite, - la figure 8 représente un bras articulé, - la figure 9 représente la trajectoire du bras articulé de la figure 8 à différents instants, - la figure 10 représente une autre trajectoire du bras articulé de la figure 8 à différents instants, - la figure 11 représente la position de l'extrémité du bras articulé de la figure 8.

DESCRIPTION DETAILLEE L'invention sera décrite en détail pour les actionneurs gyroscopiques et pour les bras articulés. Ici, elle est présentée généralement pour les systèmes sur-actionnés.

Vis-à-vis des notations, on pose les notations suivantes valides dans la présente partie description détaillée : x : paramètres de contrôle internes du système (grandeurs physiques d'entrée), notés σ dans l'état de l'art et représentant le vecteur des angles cardan dans le cas des actionneurs gyroscopiques ou représentant le vecteur q des positions angulaires des articulations dans le cas des robots manipulateurs. y : sortie désirée, noté h dans l'état de l'art et représentant le vecteur de dimension 3 du moment cinétique de la grappe dans le cas des actionneurs gyroscopiques ou représentant le vecteur position de l'organe terminal exprimé dans un repère orthonormé dans le cas des robots manipulateurs.

La loi de pilotage peut être effectuée soit en mode continu, soit en mode discret. L'alternative relève néanmoins du même concept inventif commun, à savoir, dans une étape de détermination El de l'ensemble des paramètres de contrôle internes au système x permettant d'obtenir la grandeur physique de sortie désirée y : - étape Eli : effectuer une double dérivation (cas continu) ou un développement de Taylor à l'ordre de 2 (cas discret) sur l'équation liant la sortie désirée y (figure 1) aux paramètres de contrôle internes au système x (figure 1), et se baser sur cette équation pour la suite (sous réserve que les matrices Jacobiennes J et Hessiennes H particulières présentées par la suite vérifient des conditions de régularité. Si elles ne les vérifient pas, garder l'équation de base, potentiellement dérivée une fois. Cela sera détaillé par la suite).

Deux possibilités sont ensuite proposées : - étape E12a : inverser l'équation par une minimisation au sens des moindres carrés, - étape E13a : calculer la solution préférentielle à l'aide d'un estimateur pour écarter les solutions non réalisables, c'est-à-dire physiquement impossibles, et ajouter les contraintes désirées.

Ou - étape E12b: utiliser le formalisme du filtre de Kalman étendu pour modéliser le problème, les contraintes et les équations physiques - étape E13b : utiliser l'algorithme de résolution du filtre de Kalman étendu pour trouver la solution optimale, le meilleur compromis entre toutes les contraintes imposées avec priorisation de celles-ci.

Préférentiellement, on choisira les étapes E12b-E13b aux E12a-E12b. - étape E2 : piloter les actionneurs en fonction de la solution calculée.

Etape 11 :

Soit la loi de commande sous forme d'équation y=h(x) liant les sorties à contrôler avec les paramètres du système. Dans le cas d'un pilotage à temps discret, pour une faible variation dx de x (valable si le pas de temps est petit), on écrit le développement de Taylor à l'ordre 2 du système :

On pose

, et définissons la matrice H telle qu'elle soit la concaténation des colonnes i des matrices H, . H =114(:,1) //*(:, 2) ... HtO.t) ... «»(:,«)] (13) Définissons maintenant la matrice H' telle qu'elle soit égale à la matrice H, dont la colonne i est remplacée par le vecteur nul.

Alors, l'équation devient :

(14)

Avec Δ2χ le vecteur composé des (Δχ,)2.

Appelons M = [J(x) H(x)]. On suppose maintenant que M rectangulaire est toujours de rang plein quel que soit x. Ceci va être prouvé pour les bras manipulateurs et les actionneurs gyroscopiques.

On peut réécrire l'équation sous la forme :

(16)

En considérant le terme de somme comme un terme qui sera compensé en boucle ouverte (feed-forward), le but des étapes E12 et E13 sera alors de trouver Δχ qui vérifie l'équation précédente tout en vérifiant la relation intrinsèque dans le vecteur [Δχ Δ2χ].

Le principal avantage de cette formulation est que M reste toujours régulière, donc que sa pseudo-inverse existe toujours (utile pour calculer E12a et E13b). De plus, considérer l'image de H via Δ2χ permet de chercher des solutions directement dans une partie du noyau de J, ainsi augmentant les possibilités pour éviter ou passer les singularités.

Dans le cas continu, le principe est le même avec la dérivation à l'ordre 2 de l'équation y=h(x). On retrouve aussi la matrice M avec les mêmes propriétés de régularité.

Etapes 12a-13a :

Comme dit précédemment, l'étape 12a consiste à effectuer une pseudoinversion de la matrice M. Cependant, les résultats [Δχ Δ2χ] obtenus dans le cas discret à partir du Ay donné par le correcteur, ou [d2x/dt2 (dx/dt)2] dans le cas continu à partir du d2y/t2 donné par le correcteur peuvent ne pas être compatibles avec les relations intrinsèques les liant.

Comme on traite des systèmes sur-actionnés, il y a plusieurs solutions au problème posé, et on cherche celle qui va vérifier cette relation intrinsèque. On rajoute donc un estimateur à la suite de la pseudoinversion, qui rajoute les liens (dynamiques dans le cas continu) intrinsèques entre les variables. De plus, des contraintes peuvent être ajoutées. Le processus est finalement itéré, et la solution u envoyée au système pour le pilotage.

Etapes 12b-13b : L'avantage du filtre de Kalman réside dans sa capacité à traiter les deux étapes E12a et E13a dans un seul algorithme. Son formalisme permet de déterminer le Δχ générant une variation Ay égale à une variation de consigne Ay, tout en respectant la relation liant a2x et Ax, ceci par minimisation d'un critère quadratique. Même si l'EKF est adapté pour utiliser les équations de l'étape 1, on peut néanmoins l'utiliser à partir d'autres équations modélisant les relations entre les paramètres y et x, sans restriction.

Pour résumer, la solution de commande proposée consiste à réaliser une inversion dynamique robuste du modèle dynamique du système, en le décrivant comme un problème de minimisation sous contraintes d'un critère quadratique, et la solution optimale est trouvée avec le calcul du gain de Kalman.

Dans les filtres de Kalman étendus (EKF, [13]), on modélise le système dynamique sous la forme (cas discret) : v(t+l)=f(v(t),w(t)), avec f équations du modèle, v les états estimés par l'EKF et w(t) les entrées de commande. On dispose en outre d'équations de mesures, qui peuvent correspondre à des mesures réelles, ou bien à des équations déterministes : m(t) =f(v(t),w(t)+s) avec m les « mesures » qui proviennent de l'extérieur de l'EKF et ε les erreurs de mesure.

On pose F la matrice des équations du modèle linéarisé (la jacobienne par rapport à v des équations du modèle f), et C la matrice des équations de recalage linéarisées. L'erreur de covariance suite à la phase de prédiction est calculée grâce à la relation (4.13), formule classique du filtre de Kalman, avec P matrice de covariance des erreurs d'estimation, Q matrice de covariance des équations de prédiction et R matrice de covariance des équations de mesure. P(k*im=FTPkF + Q (4.13)

On trouve ensuite le gain de Kalman K par la relation 4.14 K = plk+i\k)cTicp(k+mCT + fi)”1 (4.14)

Puis on peut remettre à jour la covariance P via l'équation 4.15 (4.15) L'équation d'évolution finale de x est alors donnée par : v (t + 1) = /(v(t)) + K(m — g(x)) (4.16)

Avec la fonction g correspondant aux équations de recalage et f celle correspondant aux équations de la dynamique.

Pour le filtre de Kalman étendu, des preuves de convergence en discret aussi bien qu'en continu existent. Si une variable estimée du filtre de Kalman correspond par exemple à y ou Ay, alors la convergence uniforme locale de l'EKF permettra de prouver que cette variable tend bien vers les y ou Ay demandés, tant que le modèle dynamique choisi est représentatif de la réalité, et donc notre allocateur sera convergent et stable. Il faut néanmoins s'assurer que les y ou Ay demandés sont physiquement atteignables.

Dans le cas discret, on peut par exemple s'appuyer sur le travail de Y. Song and J.W. Grizzle [2] pour les preuves de stabilité (voir annexe EKF).

Actionneurs avroscopiaues L'invention s'applique à tout type de grappe 10, d'actionneurs gyroscopiques 100, 200, 300.... (voir figures 3, 4).

Ces grappes sont destinées à piloter l'attitude de satellites, préférablement des satellites de petite taille.

Par petite taille, on entend un satellite dont la masse totale est d'au plus quelques centaines de kilos (~500 kg au plus).

Comme décrit en introduction, un AG 100 comprend notamment une toupie 110, qui est un volant d'inertie tournant à vitesse constante. Le couple généré par les AGs sont transmis à un carter 20 via des paliers 120, 220, 320,...

Le satellite comprend en outre une unité de commande, configuré pour effectuer les calculs et piloter les actionneurs gyroscopiques. L'unité de commande (non représentée sur les figures) est reliée à différents capteurs qui permettent d'obtenir notamment les vitesses des actionneurs.

Pour la présente description, on définit les notations suivantes : - Ri = (*, yi, Zj) le repère lié à un AG d'indice i : ses axes sont alignés respectivement avec l'axe de rotation propre à la toupie, l'axe du moment gyroscopique produit et l'axe cardan de la vitesse de précession,

La toupie de l'AG tourne à une vitesse constante coxi relativement au carter 20 de la grappe 10, - Rs = (xs, ys, zs) le repère lié au satellite, correspondant aux axes principaux d'inertie du satellite. - σ les angles cardan de précession des AGs, - X la matrice des Xi, - Y la matrice des yi, - m le moment dynamique réduit produit par les AGs, - htoupie le moment cinétique constant de la toupie d'un AG.

On définit le moment cinétique de la grappe h, qui est lié à l'orientation des angles de précession des actionneurs σ dont la valeur est contrôlée par une loi de commande.

Un AG comprend une toupie tournant à une vitesse constante ωχι relativement au carter. Si on note le moment d'inertie de la toupie autour de l'axe x„ J, il s'en déduit facilement que le moment cinétique de la toupie calculé en son centre d'inertie dans le repère lié au carter est : ftreti* i (1.1) avec

Le carter tourne lui aussi autour de l'axe cardan z-, lié au bâti du satellite (donc fixe dans le repère lié au satellite), à une vitesse dite de précession. En d'autres termes, si on note σ l'angle de précession imposé par le moteur de précession, l'axe Xj commun au carter et à la toupie tourne à la vitesse ^z-, relativement au satellite.

La variation du moment cinétique de la toupie produit donc un moment dynamique qui vaut :

(1.2) Où d/dt| Rin désigne la dérivation relativement au repère inertiel, d/dt|Rs la dérivation relativement au repère lié au satellite et Ω^^ le vecteur vitesse de rotation instantanée du repère satellite relativement au repère inertiel. niroue est le moment dynamique au centre de gravité de la toupie des forces extérieures appliquées sur la toupie. La vitesse de manœuvre du satellite Ω^^ étant très inférieure à la vitesse de toupie, le terme ^Rs|Rîn Λ hroue est souvent considéré comme un couple perturbateur qui est pris en compte par le contrôle de la rotation du cardan de l'AG dans un terme de pré-compensation en boucle ouverte (feed-forward).

Ainsi dans la suite de ce document, seul le terme dhr0Ue/clt| Rs du couple gyroscopique produit par l'AG sera considéré. D'après l'équation 1.1, ce couple gyroscopique produit par l'AG s'écrit encore en supposant la vitesse de la toupie ω constante :

(1.3)

Il est donc porté par l'axe yi normal à l'axe cardan de précession z-, et à l'axe du moment cinétique ht0upie Xi de la toupie.

En utilisant cette paramétrisation, il est possible d'exprimer le moment cinétique d'une grappe composé de n AGs. Il faut un minimum de 3AGs 1-axe pour assurer l'attitude selon les trois axes du repère lié à un engin spatial.

Le moment cinétique résultant d'une grappe de n AGs est égal à

(1.4) Où les composantes du moment cinétique de l'AG numéro i sont définies par la relation 1.5 ci-dessous :

(1.5)

Avec ai angle d'azimut et ft angle d'élévation permettant d'orienter l'axe cardan z\ de l'AG numéro i dans le repère satellite Rs et la valeur de l'angle de rotation (précession) du cardan de l'AG numéro i autour de son axe z\.

Il est ainsi possible établir la relation (1.4) entre le moment cinétique total h(a) d'une grappe de n AGs et les angles de précession φ de chacun des AGs constituant la grappe.

Pour des raisons de complexité et d'inversion analytique difficile, les commandes en vitesse de précession des AGs sont souvent déduites à partir de la consigne de couple. En effet à partir de la relation (1.3), nous pouvons établir la relation (1.6) qui relie le moment gyroscopique généré par la grappe aux vitesses et aux angles de précessions σ et ® : n ^grappe (° )= h.oupie£ Yi(σίΚ = htoupie Y(°)° (1.6) i-1 Où la colonne i de la matrice We) relative à l'AG numéro i, égale à :

(1.7)

La figure 7 illustre la partie allocateur de l'architecture de commande (encadrée) sur laquelle intervient l'invention.

Le pilotage du moment cinétique de la grappe d'AGs à partir des vitesses de précession des cardans consiste à réaliser la commande d'un système non-linéaire redondant de degré relatif 1.

En considérant h comme la sortie y de notre système et q les variables d'états, il est nécessaire de dériver une fois l'équation de sortie pour faire apparaître les termes de commandes à : n h = h,oupieZXi(ai) i-1

Puis, après dérivation : mgrappe(σ )= h = htoupieY(o)à,%rWCe) = h = hF(<r)ér (4.1.)

La matrice Y est de dimensions 3n où n désigne le nombre d'AGs de la grappe. Pour déterminer la consigne ^consigne des vitesses des cardans des différents AGs lorsque n > 3, à partir de la consigne en couple kconnign»t nous pouvons résoudre l'équation (4.1) au sens des moindres carrés par l'utilisation de la pseudo-inverse de Moore-Penrose de la matrice Y :

(4.2)

Cependant la matrice ΥΜΥ(σ)τ présente des singularités dans l'espace des angles de précessions, singularités pour lesquelles la matrice devient non inversible, nécessitant des stratégies d'évitement pour implémenter cette commande.

Premier mode de réalisation : cas discret

Pour s'affranchir de ces limitations nous considérons le développement limité au second ordre de l'équation donnant le moment cinétique total de la grappe de n AGs, h(a), par rapport au vecteur σ regroupant les n angles de précession σ, de chaque AG :

(4.3)

On a

et

car chaque colonne de Y (et de X) ne dépend que d'une composante de o.

Cette expression peut alors se réécrire sous forme matricielle de la manière suivante (étape Eli):

(4.4)

La colonne i de la matrice Χ(σ) est égale à xi.

Nous faisons ainsi apparaître la matrice

présentant des propriétés de régularité intéressantes. En effet pour que cette matrice ne soit pas de rang complet (c'est à dire pour qu'elle soit de rang 2, au lieu d'être de rang 3), il faut qu'il existe une direction singulière u telle que

, ce qui équivaut à ce que u soit orthogonal à la fois à X, et à y, pour tout i = 1 à n donc que u soit colinéaire à z, pour tout i = 1 à n.

Il en résulte que la matrice ne peut être de rang incomplet que pour une structure où tous les axes de précession z, sont colinéaires à une même direction, configuration géométrique de grappe d'AGs non pertinente.

En effet, cela signifie qu'il est impossible pour la grappe de générer un couple dans cette direction, quelle que soit la position des actionneurs. Une telle configuration pour une application en trois dimensions n'est donc pas pertinente.

Afin de mettre à profit cette propriété intrinsèque aux grappes d'AGs, la relation 4.4 est inversée en utilisant par exemple le formalisme d'un filtre de Kalman étendu (EKF) (étapes E12b-E13b), qui est un observateur optimal local pour des systèmes non-linéaires. Un exemple d'implémentation d'un EKF utilisant la matrice M est donné pour les bras manipulateurs.

Plus généralement, dans une étape E12a, la relation 4.4 peut être inversée par une minimisation au sens des moindres carrés, pour laquelle est calculée ensuite, dans une étape E3a, la solution préférentielle à l'aide d'un estimateur pour écarter les solutions non réalisables.

Deuxième mode de réalisation : cas continu

Pour pallier aux problèmes liés à la présence de singularité lors de l'inversion de l'équation de sortie, il est proposé de réaliser la commande du moment cinétique de la grappe à calculant directement les consignes de couple de précession des AGs. On propose ici comme exemple de détailler une utilisation de E12a-E12b.

Dans ce cas se pose un problème de commande d'un système non-linéaire redondant de degré relatif 2, puisqu'en dérivant deux fois l'équation de sortie apparaît le vecteur d'accélération des axes de précessions * qui est équivalent au vecteur des couples moteurs à un gain près (on néglige les frottements) : y = hZxi(°i) i-l y = à Y{<rfr f = -*cxwnm+nom (2.5)

Avec matrice diagonale de dimension n portant les composantes de * sur sa diagonale ie

Cette expression peut se réécrire sous forme matricielle de la manière suivante : t = 1 nm g] m)

La matrice ^«1 apparaît alors, présentant des propriétés de régularité intéressantes. En effet pour que cette matrice ne soit pas de rang complet (c'est à dire pour qu'elle soit de rang 2, au lieu d'être de rang 3), il faut qu'il existe une direction singulière u telle que : uT[- Χ(σ)ΐ(σ) Υ(σ)] = 0 l-ΧΜΠσ) Κ(σ)] = 0

Dans le cas où * ® alors u étant orthogonal à xi et à yi pour i = 1 à n on aurait u colinéaire à Zj pour i = 1 à η. Il en résulte que la matrice ne peut être de rang incomplet que pour une structure où tous les axes de précession Zj sont colinéaires à une même direction, configuration géométrique non pertinente à priori. A noter que les grappes d'actionneurs gyroscopiques à moment cinétique variable présentent le même type de régularité). D'après la relation 2.6, nous définissons la matrice tel que :

(2.9) - Inversion de l'équation de sortie (étape E2a)

Par inversion au sens des moindres carrés de (2.9) nous obtenons en utilisant la pseudo-inverse de Moore-Penrose un couple de vitesses et K-i d'accélérations de précession désiré pour une consigne de donnée Ÿ* :

Cio)

Cependant cette inversion n'intègre pas le fait que et °d sont deux vecteurs dont les dynamiques sont liées. Par conséquent l'expression (2.10) peut aboutir à des consignes ®d et °d non réalisables par le système (ex composantes de signe opposé en configuration canonique). - Description de la dynamique liant et ^d (étape E3a)

Pour prendre en compte la dynamique couplée, nous introduisons un estimateur générant une consigne et dont les dynamiques sont liées par un modèle d'estimation et qui minimise l'écart

Le modèle d'estimation utilisé est donc n doubles intégrateurs découplés tel que : *1 = * Xi = *2 x2 = σ x2 = 0 (2.11 )

Dans cet exemple l'implémentation, on ne considère pas de contraintes afin de montrer simplement comment marche la méthode.

La dynamique d'estimation est alors régie par la relation :

(2.12)

Afin de forcer la sortie de l'estimateur à suivre le modèle d'estimation, nous utilisons des matrices de gains Gu et Gi2 nulles et des matrices de gains G2i et G22 diagonales. Les valeurs de G2i et G22 sont définies de telle manière que la dynamique de l'erreur d'estimation soit équivalente à un ordre 2 avec deux pôles complexes conjugués amortis. - Inversion de l'équation de sortie avec prise en compte de la dynamique (étape E13a, suite)

Pour accélérer la convergence de l'estimation nous utilisons les sorties de l'estimateur e* = % et à’e = i2 pour calculer une solution T?*

r . γ - T Y

Wd' &d' J résolvant l'équation (2.9) et proche de l°e J

Ceci nous ramène à un problème de minimisation d'un critère r défini par :

(2.13) Où λ est le vecteurs des multiplicateurs de Lagrange associés aux VJ* — enI J' I = 0 contraintes * Kd et F est une matrice de pondération symétrique régulière choisie pour favoriser la proximité de certaines composantes par rapport à celle des autres. Les conditions de stationnarité du premier ordre nous permettent de déterminer l'expression de L) et d'en déduire la solution minimisant r :

(2.14)

Dans notre cas nous prenons la matrice P diagonale et nous définissons la pondération de manière à privilégier les n premières composantes de l'estimation

Robots manipulateurs L'invention s'applique à tous types de bras articulés tel que décrits en introduction, c'est-à-dire des bras comprenant des actionneurs avec des moteurs aux N articulations (rotoïde ou/et prismatique).

Les moteurs sont asservis en couple à partir d'une consigne, par exemple, en vitesse articulaire calculée par l'allocateur.

La commande yc en entrée de l'allocateur peut être une consigne du torseur cinématique de l'organe terminal. L'exemple sera donné à l'aide d'un filtre de Kalman étendu mais pourra être généralisé à un inverseur et un estimateur adaptés.

La formulation discrète est choisie ici.

Prenons par exemple la formule obtenue après l'étape Eli (voir précédemment).

Pour les bras articulés, puisque le modèle cinématique direct est composé de sinus et de cosinus des coordonnées x,, alors chaque vecteur colonne i de J est orienté de π/2 dans H, de sorte que les vecteurs J( i) et H( i) sont orthogonaux.

Un vecteur s est une direction singulière à M si, et seulement si, il est orthogonal à tous les vecteurs de M (soit sTM= 0lxn).

Cela signifie que tous les vecteurs de M se situent dans le même hyperplan, d'où le fait que l'on ait un bras articulé situé dans un plan (les hyperplans de l'espace sont des surfaces planes). Si le système est intrinsèquement en trois dimensions (donc non compris dans un plan), il est garanti que M est de rang plein.

Dans le cas des actionneurs AGs, H,' sont des matrices nulles, ce qui n'est pas le cas pour les bras manipulateurs. L'étude théorique du noyau JJT et des singularités associées est plus compliquée. Cependant, il peut être noté que cette formulation permet d'éviter des singularités numériques et permet de rechercher dans le noyau pour éviter les singularités cinématiques.

En sortie de l'EKF, le but est d'estimer un Δχ optimal pour un Ay désiré. Dans le cas d'un bras articulé redondant avec un contrôle de la vitesse des liaisons, la solution u est directe. Pour un contrôle en couple, une dynamique du premier ordre peut être ajoutée entre Δχ et u.

Les variables estimées dans l'EKF peuvent être choisies simplement comme :

(9) vi est un vecteur de dimension n et v2 de dimension I.

Le modèle prenant en compte des dynamiques différentes, comme la dynamique de l'entrée de référence est :

(10) Où les erreurs d'évolutions d'état €ν\’€ντ dues au pas de temps d'échantillonnage, sont négligées dans le modèle de prédiction et dimensionnées par une matrice de covariance Q. La matrice jacobienne associée à ce modèle est appelée F.

Les équations de mesure (m sont les mesures) sont données par :

(11) mi est l'entrée de référence yc envoyée par le contrôleur. Pour assurer l'observabilité de l'EKF, la deuxième équation de (11) est ajoutée et peut être utilisée pour modéliser des contraintes additionnelles (comme la saturation). €mt, sont dimensionnées par une matrice de covariance R. Notons

La théorie de l'EKF fournit un estimateur^ local optimal. Les paramètres qui ont besoin d'être introduits dans le filtre sont P0, la matrice initiale de covariance sur les erreurs estimées, R et Q.

La méthode offre la meilleure solution des moindres carrés pour le problème posé. Puisque les équations sont déterministes, la solution obtenue est un compromis entre les différentes équations, parmi lesquelles il y a des contraintes. Les différents poids donnent l'importance de chaque équation.

Dans l'exemple présenté en figure 8, on considérera un bras articulé 400 à deux degrés de liberté se déplaçant dans un plan supposé fixe (ur,

Vr)·

Le bras articulé a trois portions 410, 420, 430 en série reliés entre eux par des liaisons pivots 510, 520, 530. L'objectif est de contrôler la position l'extrémité Ext (yi, y2). La paramétrisation est définie relativement : les angles entre les portions 410, 420, 430 sont les paramètres contrôlés, appelés qi, q2 et q3. Dans le cas présent, l'extrémité Ext correspond à une extrémité de la troisième portion 430, dont la position dépend de l'angle des trois actionneurs précédents.

On a ainsi plus d'actionneurs que de degré de liberté, donc le système est dit redondant.

La longueur des portions 410, 420, 430 est noté 11, 12, 13.

Dans le plan (ur, vr), la dynamique du système supposé rigide a la forme suivante (issue du livre de W. Khalil et E. Dombre [17]) : q = ~ A-*{q)Cq($,g) + A~*(q}u (17)

Avec A la matrice d'inertie et Q, le vecteur quadratique de vitesse, incluant les centrifuges et de Coriolis.

Les liaisons sont contrôlées par un couple imposé u.

Pour s'identifier à l'équation (1), on note: x= q .

IA

Les équations cinématiques sont les suivantes :

(18)

Aq est calculé en utilisant le filtre de Kalman étendu et la formulation de gestion des singularités.

En effet, les variables estimées de l'EFK sont choisies comme en (19). Les équations de prédictions sont en (19) et en (20). Cela n'est qu'in exemple de l'implémentation qui peut gérer le départ depuis une position singulière initiale.

(19)

Avec w l'entrée de référence Ayc.

Les deux premières équations de (19) sont utilisées pour minimiser la consommation d'énergie du système et leur formulation est aussi utile pour limiter l'accélération maximale des liaisons.

La troisième équation de (19) a été choisie pour maintenir la matrice F inversible, comme requis pour la convergence de l'EKF et pour prendre en compte l'entrée de référence.

(20)

Avec 2 = 1 rad-1

Les deux premières équations sont imposées par les contraintes du problème. La troisième équation est choisie pour faire le lien entre v1 et v2 qui travaille dans l'espace nul de J afin d'échapper aux configurations singulières lorsque est proche de 0. La troisième équation inclut aussi les contraintes dues à la saturation de = Msat si besoin.

Dans cet exemple, k a été choisi comme :

(21)

Avec vsat la valeur maximale acceptable.

Lorsque le déterminant est petit, le système se rapproche d'une singularité. Si la vélocité de q est elle aussi petite (par exemple en cas de position de départ singulière), alors les deux premières équations de (20) ne vont pas agir et donc la deuxième partie de l'équation (21) va devenir dominante.

En effet, v2 comprend des composantes dans l'image de H qui contient des éléments de l'espace nul de J.

Cependant, lorsque le système est près d'une singularité à haute vitesse, la contrainte de saturation s'applique davantage puisque les autres équations ne sont pas suffisantes pour permettre au système d'éviter les singularités, et c'est pourquoi l'entrée k varie (de façon continue).

La convergence des résultats de l'EKF est utilisée pour adapter les paramètres R, Q et P0 : Q= 4.10 10"6 Id et P0 = 5.10"5 Id (voir la partie des AGs sur la preuve de convergence de l'EKF, qui s'applique ici). En ce qui concerne R, un intervalle valide pour les valeurs singulières a été calculé.

Puisque la dernière équation ne modélise pas parfaitement la contrainte de saturation, une confiance plus faible a été introduite lorsque la saturation est considérée. Cependant, lorsque s'échapper d'une singularité initiale est une priorité, la confiance en cette équation est augmentée, d'où une covariance variable associée à cette équation qui varie entre 1.23 10'5 Id et 1.83 10"6 Id. La covariance 4.0 10"6 Id est associée à la première équation de (20). La seconde équation de (20) modélise la vraie relation entre vi et v2 qui peut être altérée due à la présence de la dernière équation, c'est pourquoi la plus grande confiance est accordée à cette équation avec une valeur de 1.83 ÎŒ6 Id, afin de limiter les erreurs créées par la dernière équation. Les estimations v, sont initialisées à 0.

Une simulation numérique a été effectuée, présentées en figures 9 et 10. L'entrée u de l'équation (17) est choisie comme :

Avec Kw une matrice de gain, Ts le pas de temps, et 9m les vitesses mesurées des liaisons. On suppose que q et 9 sont mesurés, w est choisie comme étant la distance entre la position requise et la position actuelle de l'extrémité du bras, avec une saturation de 0,01 m pour chaque itération temporelle sur les deux composants.

Les trois bras 410, 420, 430 sont uniformes avec une même masse par unité de longueur (3,39kg/m) et une même longueur li = I2 = b = 0,4m et pour chaque liaisons : Kw = 2 Nms/rad, vsat = 0,01 rad et Ts = 0,001s.

Le système est initialement dans un état plié singulier : qi = 0, q2 = q3 = n rad. L'état final est un autre état singulier (yu, y2i) = (-(li+l2+l3), 0), qui est dans une direction singulière.

Le mouvement crée par l'allocateur proposé est donné en figure 9 (trait plein gris : état initial, trait plein noir : état final, traits pointillés : états intermédiaires). Après trente secondes, un nouvel état singulier est requis : (yif, y2f) = (0, 0). Le mouvement est donné en figure 10 (trait plein noir : état initial - état final de la figure 9, trait plein gris : état final, traits pointillés : états intermédiaires) et la position de l'extrémité en fonction du temps est donnée en figure 11. Même en débutant dans une configuration singulière pliée, les limites de l'espace de travail ont été atteintes avec une erreur inférieure à 0,0003m et le système est revenu à une position singulière, d'où le fait que la méthode d'allocation gère les cas les plus défavorables.

Le temps passé pour échapper d'une configuration singulière est due à la reconfiguration dans l'espace nul de J qui ne crée pas de mouvement au niveau de l'extrémité du bras.

En outre, d'autres singularités ont été évitées le long de la trajectoire (le point (0,0) par exemple). Le temps de réponse, la précision et l'oscillation peuvent être affinés avec Kw et la covariance.

La méthode proposée dans l'invention est généralisable à un nombre quelconque d'actionneurs et peut être implémentée directement dans le système portant les actionneurs. En outre, la méthode s'effectue en temps réel.

Annexe EKF :

Les variables définies ici sont propres à l'explication sur l'EKF.

Comme le filtre de Kalman est non-linéaire, des conditions apparaissent sur les valeurs des paramètres à régler. On peut les détailler dans le cas discret. On appelle Hyp. 1 les hypothèses suivantes (cf. [2]) : - Le système est uniformément observable, soit (Fk, Ck) vérifient la condition d'observabilité uniforme : Deyst et Price (voir [3]) en déduisent les bornes pour la covariance de l'erreur d'estimation : p<m^P (4.25) - F est inversible à chaque pas de temps, - Les normes suivantes sont bornées : | |F| |, | |F_1| |, | |C| |, | |R| |, IIQII, IIID2f|||, 111D2g111, - On pose '

Il existe m réel tel que fntfaÿX « m||P2#I||*\x-y|3

La première hypothèse permet de borner uniformément l'erreur de covariance (donc P) tant que l'erreur d'estimation reste petite (cf. Song).

Pour énoncer le théorème, on pose comme dans [2] les fonctions suivantes : - L'erreur d'estimation (différence entre la valeur réelle et l'estimée a priori) : % = % ~%, - La fonction de Lyapunov utilisée pour la preuve : F(k:,ek) = ekPk lek avec Pk |a covariance de l'erreur a priori, - Le réel q tel que M ~ ^ , - Le réel p tel que fl ~ q , - Le réel δ tel que ^ , , ^ , fcP1 + FrÇF)"‘|| < r.

- Le reel r tel que M - La fonction Φ définie par : <*>aekI,X,Y)= SmY HF|| + ~X(pq + 5mY\eh\)2 (4.17) - La fonction ψ définie par :

(4.18)

Le théorème de Song ([2]) indique que pour un système non-linéaire avec un filtre de Kalman étendu associé, si Hyp. 1 est vérifiée et qu'il existe |e0|, 11 |D2f| 11 et 11 |D2g| 11 et un y > 0 tels que : nfO'S VrOS (0,e40 ), |(|(|Dr2 f\)| )§, MQDh ~Y (4.19) alors le filtre de Kalman étendu pour le système réel est un observateur local, uniforme et asymptotique. C'est ce théorème qui sert ici de preuve de convergence (théorème démontré dans Song [2]).

Les paramètres que nous pouvons régler afin d'assurer la convergence du filtre sont donc Q, R et P0 la covariance initiale du filtre de Kalman.

Les principaux avantages de l'EKF sont maintenant listés. En particulier, on peut citer sa flexibilité dans la gestion des contraintes par rapport à des méthodes de type ajout de contraintes dans la matrice jacobienne. En effet, l'ajout d'équations de mesure dans le filtre de Kalman permet également d'intégrer des contraintes supplémentaires à satisfaire par les variables d'état du filtre (saturation par exemple). De plus, comme les modélisations des contraintes ne sont pas toujours parfaites, les matrices de gain R et Q permettent d'atténuer leurs impacts. Aussi, la possibilité de faire varier R et Q au cours du temps permet à l'allocateur d'agir avec priorisation des tâches en fonction par exemple de la configuration courante.

La méthode permet de gérer les cas de panne d'actionneurs sans avoir besoin de changer de structure de loi de commande (seulement les gains sont modifiés).

La méthode de l'EKF revient à minimiser le même type de critère que les SRI, cependant, une dynamique dans les matrices de gain P est rajoutée, ainsi qu'un modèle de prédiction, afin d'avoir une solution qui garantisse la minimisation de la matrice de covariance P des erreurs d'estimation, et donc permet de trouver la matrice de gain P optimale à partir de critères définis plus simplement par l'utilisateur (importance relative des différentes contraintes...).

La formulation de l'EKF est proche des méthodes d'optimisations qudratiques sous contraintes, mais sa résolution est embarquable en temps réel.

Finalement, les résultats de convergence assurent à la loi sa stabilité, et lui permettent de rester optimales. Références : [1] - K. Yamada et I. Jikuya, « Directional passability and quadratic steering logic for pyramid-type single gimbal control moment gyros », in Elsevier, 2014, [2] - Y. Song and J.W. Grizzle, « the Extended Kalman Filter as a Local Asymptotic Observer for Discrete-Time Nonlinear Systems", in Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control, vol. 5, no. 1, pp.59-78, 1995, [3] - Deyst and C.F. Price, "Conditions for asymptotic stability of the discrète minimum-variance linear estimator", in IEEE trans. Automat. Control, vol. 13, no. 6, pp. 702-705, 1968, [4] - B. Siciliano, "Kinematic Control of Redundant Robot Manipulators", Journal of Intelligent and Robotic Systems, vol.3, pp. 201-212, [5] - B. Siciliano and L. Sciavicco, "Modeling and Control of Robot Manipulators", 2nd édition, Springer-Verlag, London, 2000, [6] - J. Baillieul, "Kinematic programming alternatives for redundant manipulators", Proceedings ofthe 1985 IEEE International Conférence on Robotics and Automation, pp 722-728, 1985, [7] - C.W. Wampler, " Inverse Kinematic Functions For Redundant Manipulators", Proceedings of the 1987 IEEE International Conférence on Robotics and Automation, vol. 4, pp 610-617, 1987.

[8] - Y. Nakamura, H. Hanafusa and T. Yoshikawa, "Task-priority based redundancy control of robot manipulators", Transactions ofASME Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control, vol. 6, no 2, pp 3-15, 1987.

[9] - T.I. Fossen and T.A. Johansen, "A Survey of Control Allocation

Methods for Ships and Underwater Vehicles", 14th Mediterranean Conférence on Control and Automation, pp 1-6, 2006.

[10] - Y. Chen and J. Wang, "Fast and Global Optimal Energy-Efficient Control Allocation With Applications to Over-Actuated Electric Ground Vehicles", IEEE Transactions on Control Systems Technology, vol. 20, no 5, pp 1202-1211, 2012.

[11] - W. Song and G. Hu, "A Fast Inverse Kinematics Algorithm for Joint Animation", International Conférence on Advances in Engineering, Procedia Engineering, vol. 24, pp 350-354, 2011.

[12] - H. Ananthanarayanan and R. Ordonez, "Real-time Inverse Kinematics of (2n + l) DOF hyper-redundant manipulator arm via a combined numerical and analytical approach", Mechanism and Machine Theory, vol. 91, pp 209-226, 2015.

[13] - R.E. Kalman and R.S. Bucy, "New Results in Linear Filtering and Prédiction Theory", Journal of Basic Engineering, pp. 95-108, 1961 [14] - B. Wie, "Singularity Escape/Avoidance Steering Logic for Control Moment Gyro Systems", Journal of Guidance, Control, And Dynamics, vol. 25, No. 5, pp 948-956, 2005.

[15] - H. Kurokawa, "Survey of Theory and Steering Laws of Single-Gimbal Control Moment Gyros", Journal of Guidance, Control, And Dynamics, vol. 30, No. 5, pp 948-956, 2007.

[16] - O. Tekinalp, E. Yvuzoglu, "A new steering lax for redundant control moment gyroscope clusters", Aerospace Science and Technology, vol. 9, pp 626-634, 2005.

[17] - W. Khalil and E. Dombre, "Modeling, identification and control of Robots", Butterworth-Heinemann, Oxford, 2004.

Claims

Revendications

1. Procédé de commande d'un système redondant comprenant au moins un degré de liberté et au moins un actionneur (110, 120, 130, 410, 420, 430), le nombre d'actionneur étant strictement supérieur au nombre de degré de liberté (10, 100, 200, 300), le système étant commandé par une loi de commande f telle que y=f(x), avec y une grandeur physique de sortie et x un ensemble de grandeurs physiques d'entrée destiné à commander les actionneurs, le procédé comprenant les étapes suivantes : - (El) détermination de l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x permettant d'obtenir la grandeur physique de sortie y, l'étape de détermination comprenant les sous-étapes suivantes : - (Eli) détermination d'une variation Ay de la grandeur physique de sortie y en fonction d'une variation Ax de la grandeur physique d'entrée x et d'une variation au carré Ax2 de la grandeur physique d'entrée x par différentiation au second ordre de la loi de commande f, la variation Ay s'exprimant par la fonctionnelle suivante ' l(a*)2J , où A est une matrice fonction de la grandeur physique d'entrée x et de la loi de commande f ; - (E12) obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées par une inversion de la fonctionnelle précédemment déterminée au moyen d'une minimisation au sens des moindres carrés ; - (E13) sélection d'un ensemble préférentiel en tenant compte de contraintes définies entre les grandeurs dues à la redondance du système, - (E2) commande des actionneurs du système redondant selon l'ensemble préférentiel.
2. Procédé selon la revendication précédente, dans lequel : - l'étape d'obtention de la pluralité d'ensembles de grandeurs physiques d'entrées (E12) est effectuée à l'aide du formalisme d'un filtre de Kalman étendu prenant en compte les équations et les contraintes, - l'étape de sélection (E13) est effectuée à l'aide de l'algorithme de résolution du filtre de Kalman étendu pour trouver le meilleur compromis parmi les solutions réalisables et les contraintes imposées.
3. Procédé de commande d'un système redondant comprenant au moins un degré de liberté et au moins un actionneur (110, 120, 130, 410, 420, 430), le nombre d'actionneurs étant strictement supérieur au nombre de degrés de liberté (10, 100, 200, 300), le système étant commandé par une loi de commande f telle que y=f(x), avec y une grandeur physique de sortie et x un ensemble de grandeurs physiques d'entrée destiné à commander les actionneurs, le procédé comprenant les étapes suivantes : - (El) détermination de l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x permettant d'obtenir la grandeur physique de sortie y, l'étape de détermination comprenant les sous-étapes suivantes : - (Eli) détermination d'une double dérivation temporelle ÿ de la grandeur physique de sortie y en fonction d'une dérivation temporelle * et d'une double dérivation temporelle * de la grandeur physique d'entrée x, par double dérivation de la loi de commande, s'exprimant par la fonctionnelle suivante, v = C(x i iW 7 Ifi, où C est une matrice fonction de l'ensemble de grandeurs physiques d'entrée x et de la loi de commande f, - (E12) obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x par une inversion de la fonctionnelle précédemment déterminée au moyen d'une minimisation au sens des moindres carrés, - (E13) sélection d'un ensemble préférentiel en tenant compte de contraintes définies entre les grandeurs dues à la redondance du système, - (E2) commande des actionneurs du système redondant selon l'ensemble préférentiel.
4. Procédé selon la revendication 3 dans lequel l'étape d'obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x (E12) est effectuée à l'aide d'une pseudo-inverse de Moore-Penrose.
5. Procédé selon la revendication 3 ou 4, dans lequel les étapes obtention de plusieurs ensembles de grandeurs physiques d'entrées x (E12) et de sélection (E13) sont effectuées à l'aide d'un filtre de Kalman étendu.
6. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, dans lequel les actionneurs sont des actionneurs gyroscopiques (100, 200, 300, 400) comprenant une toupie générant un moment et le système comprend une grappe (10) formée desdits actionneurs (100, 200, 300, 400), et dans lequel la grandeur de sortie y est le moment cinétique total de la grappe h et l'ensemble des grandeurs physiques d'entrée x est l'angle de précession de chacun des actionneurs gyroscopiques σ.
7. Procédé selon la revendication 6, dans lequel un repère Ri = (xi, yi, zi) est défini pour chaque actionneur gyroscopique d'indice i, avec xi aligné avec l'axe de rotation propre de la toupie, yi avec l'axe du moment gyroscopique produit et zi avec l'axe de la vitesse de précession, dans lequel la différentiation au second ordre s'exprime sous la forme :

où h est le moment cinétique total et &<T est la variation des angles de précession des actionneurs, avec MtCsr) ,,, v -3-—Δσ = htoupie Y {à) et

de sorte que l'on obtient :

Où X est la matrice des xi, ht0upie est le moment cinétique constant d'une toupie d'un actionneur.
8. Procédé selon l'une des revendications 6 ou 7, dans lequel : - trois variables (xi, x2, X3) du filtre de Kalman (EKF) sont définies respectivement par la variation des angles de précession des actionneurs gyroscopiques (ώσ> , par la variation au carré des angles de précession des actionneurs gyroscopiques((Δσ)2 ), et par le moment cinétique total normalisé (h/ht0upie) - quatre équations de recalage du filtre de Kalman (EKF) sont définies respectivement par troisième variable du filtre de Kalman (x3), ladite équation sous forme matricielle, la différence entre les deux premières variables du filtre de Kalman (xi-x2), la première variable du filtre de Kalman (xi).
9. Procédé selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, dans lequel les actionneurs sont des liaisons pivots motorisées et le système comprend un bras articulé (400) avec portions (410, 420, 430) reliées entre elles par des liaisons pivots (510, 520, 530), et dans lequel la grandeur physique de sortie y est la position d'un point du bras articulé et la grandeur physique d'entrée x est l'angle de chacune des liaisons pivots.
10. Dispositif comprenant une grappe (10) d'au moins quatre actionneurs gyroscopiques (100, 200, 300, 400) et une unité de commande configurée pour mettre en œuvre un procédé selon l'une quelconques des revendications 1 à 8.
11. Dispositif selon la revendication précédente, dans lequel les actionneurs gyroscopiques (100, 200, 300) sont dans une configuration pyramidale.
12. Dispositif selon la revendication 10, dans lequel les actionneurs (100, 200, 300) sont dans une configuration coplanaire.
13. Satellite comprenant un dispositif selon l'une des revendications 10 à 12.
14. Dispositif comprenant un bras articulé (400) avec au moins trois liaisons pivots motorisées (410, 420, 430) et une unité de commande configurée pour mettre en œuvre un procédé selon la revendication 9.