FR2947346A1 - Methode d'exploitation d'un milieu souterrain au moyen de simulation geostatique non deformee par la geometrie du maillage - Google Patents

Abstract

- Méthode d'exploitation d'un milieu souterrain au moyen de simulation géostatistique non déformée par la géométrie du maillage du milieu. - On construit un maillage structuré représentatif du milieu, les sommets de chacune de ses mailles étant repérés par un triplet de coordonnées (x, y, z) dans un repère géographique. On définit une grille de simulation dont les sommets de chacune de ces mailles sont repérés par un triplet d'indices (i, j, k) dans un repère régulier, tel qu'il existe une fonction F, qui à chaque triplet (i, j, k) associe un triplet (x, y, z). On modélise la covariance dans le repère géographique (x, y, z). On évalue une fonction J permettant de transporter la covariance du repère géographique dans le repère régulier, et l'on utilise cette fonction pour transporter la covariance. On réalise une simulation géostatistique dans la grille de simulation à partir de la covariance transportée. Enfin, on transporte la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique au moyen de la fonction F. - Application notamment à l'exploitation de gisements pétroliers.

Description

10 La présente invention concerne le domaine de l'exploitation de gisements souterrains, tels que des gisements d'hydrocarbures ou des sites de stockage géologique. L'industrie pétrolière, et plus précisément l'exploration et l'exploitation de gisements, notamment pétroliers, nécessitent d'acquérir une connaissance aussi parfaite que possible de la géologie souterraine pour fournir de façon efficace une évaluation des réserves, une 15 modélisation de la production, ou la gestion de l'exploitation. En effet, la détermination de l'emplacement d'un puits de production ou d'un puits d'injection, la constitution de la boue de forage, les caractéristiques de complétion, le choix d'un procédé de récupération des hydrocarbures (tel que l'injection d'eau par exemple) et des paramètres nécessaires à la mise en oeuvre de ce procédé (tels que la pression d'injection, le débit de production,...) 20 nécessitent de bien connaître le gisement. Connaître le gisement signifie notamment connaître les propriétés pétrophysiques du sous-sol en tout point de l'espace. État de la technique Pour ce faire, depuis longtemps, l'industrie pétrolière allie les mesures sur champ (in 25 situ) aux modélisations expérimentales (réalisées au laboratoire) et/ou numériques (réalisées au moyen de logiciels). Les modélisations des gisements pétroliers constituent donc une étape technique indispensable à toute exploration ou exploitation de gisement. Ces modélisations ont pour but de fournir une description statique et/ou dynamique du gisement. Pour décrire de façon statique un gisement souterrain, les spécialistes utilisent un objet 30 comparable à une maquette numérique, appelée modèle de réservoir . Les spécialistes utilisent le terme modèle non pas pour définir un système d'équations, mais pour définir une représentation, une image du sous-sol. 1 Un modèle de réservoir consiste en un maillage à N dimensions (N>0 et en général égale à deux ou trois) dont chacune des mailles se voit affecter la valeur d'une propriété pétrophysique caractéristique de la zone étudiée. II peut s'agir par exemple de la porosité ou de la perméabilité distribuée dans un réservoir.

Une telle valeur est appelée variable régionalisée. II s'agit d'une variable continue, distribuée dans l'espace, et représentative d'une propriété physique. Du point de vue mathématique, il s'agit simplement d'une fonction z(u) prenant une valeur en chaque point u (la maille du maillage) d'un domaine d'étude D (le maillage représentatif du réservoir). Toutefois la variation de la variable régionalisée dans cet espace est trop irrégulière pour pouvoir être formalisée par une équation mathématique. En fait, la variable régionalisée représentée par z(u) possède à la fois un aspect global, relatif à la structure spatiale du phénomène étudié, et un aspect local aléatoire. Ce dernier aspect, local aléatoire, peut être modélisé par une variable aléatoire (VA). Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre un certain nombre de réalisations z suivant une certaine loi de probabilité. Des variables continues telles que des attributs sismiques (impédance acoustique) ou des propriétés pétrophysiques (saturation, porosité, perméabilité) peuvent être modélisées par des variables aléatoires. De ce fait, au point u, la variable régionalisée z(u) peut être considérée comme la réalisation d'une variable aléatoire Z. Cependant, pour représenter correctement la variabilité spatiale de la variable régionalisée, il faut pouvoir prendre en compte le double aspect, à la fois aléatoire et structuré. Une des approches possibles, de type probabiliste, fait appel à la notion de fonction aléatoire. Une fonction aléatoire (FA) est un ensemble de variables aléatoires (VA) définies sur un domaine d'étude D (la grille représentative du réservoir), c'est-à-dire {Z(u), u E D}, également noté Z(u). Ainsi tout groupe de valeurs échantillonnées {z(u,),...,z(un)} peut être considéré comme une réalisation particulière de la fonction aléatoire Z(u) = {Z(u,),...,Z(un)}. La fonction aléatoire Z(u) permet de prendre en compte à la fois l'aspect localement aléatoire (en ua, la variable régionalisée z(ua) étant une variable aléatoire) et l'aspect structuré (via la loi de probabilité spatiale associée à la fonction aléatoire Z(u)). Une propriété essentielle des fonctions aléatoires est leur covariance qui mesure la corrélation entre la variable aléatoire Z(u) au point u et la variable aléatoire Z(v) au point v. Dans le cas des fonctions aléatoires stationnaires (ou quasiment stationnaires) qui nous concerne, la covariance ne dépend que de la distance de u à v, cette distance pouvant être anisotrope. Dans cette distance intervient au moins un paramètre extensif, homogène à une longueur. Lorsque cette longueur correspond à un "net affaiblissement" de la corrélation entre Z(u) et Z(v), on l'appelle "distance de corrélation", et "portée" lorsque cette corrélation devient "quasiment nulle".

Les réalisations d'une fonction aléatoire fournissent des modèles stochastiques de réservoir. Un réservoir est constitué de différentes couches sédimentaires plus ou moins faillées. Pour gérer cette complexité géométrique, on utilise des maillages qui peuvent être structurés ou non structurés. Les mailles sont le plus souvent des hexaèdres, mais peuvent aussi être des tétraèdres (figure 1). Dans le cas des maillages structurés, les mailles sont des hexaèdres dont les sommets sont repérés par un triplet d'indices (i,j,k), chacun de ces indices parcourant un certain intervalle, l'indice k numérotant les feuilles du feuilletage sédimentaire, ou isochrones de dépôt. Ainsi, dans le domaine (i,j,k), le maillage est un simple parallélépipède rectangle (figure 2). Dans l'espace physique (géographique), le domaine des coordonnées cartésiennes (x,y,z), le maillage est plus compliqué. D'une part, les mailles s'appuient sur les failles, qui sont des surfaces iso-i ou iso-j. D'autre part, l'épaisseur des couches peut éventuellement s'annuler pour représenter des lacunes de sédimentation ou des érosions.

On souhaite affecter des valeurs de propriétés pétrophysiques aux mailles dans le domaine réel physique, car c'est le plus réaliste. Cependant, une difficulté récurrente est que la structure du gisement est souvent plissée et surtout faillée, les failles guidant le maillage du réservoir. Dans le cas fréquent des maillages structurés, le maillage peut être vu comme la déformation, discontinue au niveau des failles, d'un maillage régulier. De ce fait, réaliser les simulations dans le domaine du réservoir réel présente deux inconvénients. D'une part, deux points voisins au moment du dépôt peuvent être distants à cause d'une faille. D'autre part, simuler des corps sédimentaires qui respectent le pendage variable des couches est très malaisé. La technique du dépliage est connue pour résoudre ce problème, car elle restaure le modèle géométrique au moment du dépôt, avant les plis et les failles, mais elle est complexe à mettre en oeuvre en pratique. Réaliser les simulations sur le maillage régulier (i,j,k) présente l'avantage que les failles y sont refermées et les couches mises à plat. Préalablement aux simulations, le transport dans ce domaine (i,j,k) des puits disponibles permet une analyse géostatistique qui fournit la covariance du processus, généralement supposée stationnaire. Mais la non conservation des longueurs mesurées le long des couches est un inconvénient qui se traduit par une empreinte du maillage sur la morphologie des structures simulées lorsqu'on retourne du domaine (i,j,k) au domaine (x,y,z) : plus le maillage est déformé, plus les corps sédimentaires simulés sur le maillage régulier sont déformés lors du report sur le maillage du réservoir. La figure 3A montre un exemple de maillage irrégulier dans le domaine (x,y,z). La figure 3B montre, dans ce même domaine (x,y,z), le résultat d'une simulation géostatistique stationnaire réalisée dans le domaine (i,j,k). On constate que la morphologie des corps sédimentaires est contrôlée par celle des mailles : là où les mailles sont petites, les corps sédimentaires sont petits, là où elles sont allongées, ceux-ci sont allongés dans la même direction, etc. Cette dépendance du résultat relativement au maillage est un grave inconvénient dans le cas assez fréquent où le réseau des failles, qui guide généralement le maillage, rend celui-ci très irrégulier. L'objet de l'invention concerne une méthode alternative d'exploitation d'un gisement souterrain, à partir de l'analyse d'une image du gisement. On construit cette image sous forme d'un maillage structuré représentant la structure des couches sédimentaires constituant le gisement, et auquel on associe des valeurs de propriétés pétrophysiques issues de simulations géostatistiques. L'invention permet d'empêcher la géométrie du maillage de déformer les structures simulées, en découplant la forme des corps sédimentaires de la géométrie du maillage lors de la simulation géostatistique.

La méthode selon l'invention L'invention concerne une méthode d'exploitation d'un milieu souterrain, dans laquelle on réalise, au sein de ce milieu, des mesures relatives à une structure et une nature de couches sédimentaires constituant ce milieu. A partir de ces mesures, on construit un maillage structuré représentant la structure des couches sédimentaires, en discrétisant le milieu en un ensemble de mailles, chacune des mailles étant définie par des sommets repérés par un triplet de coordonnées (x, y, z) dans un repère géographique. La méthode comporte les étapes suivantes : A. on affecte à chacune desdites mailles au moins une valeur d'une propriété pétrophysique caractéristique dudit milieu, en réalisant les étapes suivantes : i.- on définit une grille de simulation constituée d'un ensemble de mailles hexaédriques définies par des sommets repérés par un triplet d'indices (i, j, k) dans un repère régulier, tel qu'il existe une fonction F, continue par morceaux et différentiable, qui à chaque triplet d'indices (i, j, k) associe un triplet de coordonnées géographiques (x, y, z) ; ii.- on modélise la covariance de ladite propriété à simuler dans le repère géographique (x, y, z), de façon à évaluer la variabilité spatiale de la propriété dans ledit milieu ; iii.- on évalue une fonction J permettant de transporter la covariance dudit repère géographique dans ledit repère régulier, et l'on utilise ladite fonction pour transporter ladite covariance ; iv.- on réalise une simulation géostatistique dans la grille de simulation à partir de ladite covariance transportée dans le repère régulier ; v.- on transporte la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique au moyen de ladite fonction F ; et B. on optimise l'exploitation du milieu souterrain en fonction des valeurs de propriété pétrophysique affectées aux mailles dans le repère géographique.

Selon l'invention, la fonction J peut être définie en tout point p par la matrice Jacobienne de la fonction F en ce point p. De plus, lorsque la grille de simulation est plus fine que le maillage structuré, la simulation géostatistique dans la grille de simulation comporte une interpolation trilinéaire de différentes simulations obtenues avec des covariances calculées aux différents points de la grille de simulation, et le transport de la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique comporte une interpolation trilinéaire des coordonnées des points de la grille de simulation. D'autres caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention, apparaîtront à la lecture de la description ci-après d'exemples non limitatifs de réalisations, en se référant aux figures annexées et décrites ci-après. Présentation succincte des figures La figure 1 montre un maillage structuré dans le repère géographique où les points sont repérés par des triplets de coordonnées (x, y, z). La figure 2 montre le maillage de la figure 1 dans le repère régulier où les points sont repérés par des triplets d'indices (i, j, k). Les figures 3A et 3B illustrent l'inconvénient de simuler dans le repère régulier. La figure 3A représente un maillage irrégulier dans le repère géographique, et la figure 3B représente le résultat d'une simulation réalisée dans le repère régulier puis transportée dans le repère géographique : l'empreinte du maillage est visible sur la simulation.

La figure 4 illustre le passage d'un maillage structuré dans un repère régulier (à gauche) vers un repère géographique (à droite) au moyen d'une fonction F, appelée paramétrage du maillage structuré. La figure 5 est un schéma de principe de l'interpolation trilinéaire utilisée parce qu'une grille de simulation élémentaire n'est correcte qu'au voisinage d'un sommet de la grille régulière, et qu'il faut donc les combiner pour obtenir une simulation partout . Les figures 6A, 6B et 6C illustrent les résultats de la méthode sur un maillage cylindrique : la méthode selon l'invention permet l'obtention de simulations anisotropes correctes même sur un maillage tordu.

Les figures 7A et 7B illustrent l'intérêt de la méthode sur un maillage triangulaire : malgré la singularité du maillage désignée par la flèche sur la figure 7A, la méthode fournit un résultat qui ne présente aucun artefact visible (figure 7B). Les figures 8A et 8B illustrent l'intérêt de la méthode sur un maillage triangulaire en anisotropie.

Les figures 9A, 9B et 9C illustrent l'intérêt de la méthode sur un maillage fortement contourné. Description détaillée de la méthode La méthode comporte les étapes suivantes : 1. Acquisition de mesures relatives à la structure et la nature du milieu poreux 2. Construction d'un maillage structuré discrétisant le milieu poreux dans un repère géographique 3. Simulation d'au moins une propriété pétrophysique en chaque maille i. on définit une grille de simulation dans un repère où cette grille est régulière (repère régulier) ; ii.- on modélise la covariance de la propriété à simuler dans le repère géographique ; iii.- on transporte cette covariance dans le repère régulier ; iv.- on réalise une simulation géostatistique dans la grille de simulation ; et v.- on transporte la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique. 4. Optimisation de l'exploitation du milieu souterrain à partir du maillage et de la simulation 1. Acquisition de mesures relatives à la structure et la nature du milieu poreux Tout d'abord, on mesure sur le terrain des données statiques (diagraphies, mesures sur des échantillons prélevés dans les puits, sismique...). On peut également mesurer sur le terrain des données dynamiques (données de production, essais de puits, temps de percée...) dont la particularité est de varier au cours du temps en fonction des écoulements de fluide dans le réservoir. Ces données fournissent des informations sur la structure du milieu, la nature et les propriétés pétrophysiques des roches qui constituent le milieu souterrain. Ces mesures permettent de discrétiser le milieu souterrain sous forme d'un maillage, et d'associer à chaque maille de ce milieu des valeur de propriétés physiques caractérisant le milieu poreux. 2. Construction d'un maillaqe structuré discrétisant le milieu poreux dans un repère qéoqraphique Au court de cette étape, on construit un maillage structuré dans un repère géographique permettant de discrétiser le milieu souterrain. Ce maillage représente la structure de ce milieu : organisation des couches sédimentaires et des corps sédimentaires, déformations des couches, failles... Les maillages structurés sont des maillages dont la topologie est fixe : chaque sommet interne est incident à un nombre fixé de mailles, et chaque maille est délimitée par un nombre fixé de faces et d'arêtes. Ce maillage structuré est constitué de mailles définies par leurs sommets repérés par un triplet de coordonnées (x, y, z) dans un repère dit géographique . Le repère géographique est un repère réel, physique, c'est-à-dire un repère dont les directions sont des directions géographiques. Par exemple la direction y correspond à Nord 0°, la direction x correspond à la direction N 90°, et la direction z à l'altitude. L'utilisation des mesures relatives à la structure et la nature du milieu poreux, pour construire un tel maillage, est bien connue des spécialistes. La figure 1 illustre un maillage structuré dans le repère géographique. Un maillage structuré est un maillage régulier, déformé continûment, sauf le long de surfaces particulières représentant les failles (a). Des couches de mailles d'épaisseur localement nulle représentent des lacunes de sédimentation (b) ou les érosions.

Dans un tel maillage, chaque sommet d'une maille est repéré par ses coordonnées géographiques (x, y, z), et également par un triplet d'indices (i, j, k). En considérant une maille de forme parallélépipédique, on peut ainsi construire un maillage régulier dans lequel les mailles sont repérées par des indices (i, j ,k). On appelle repère géographique le repère dans lequel les points sont repérés par leurs coordonnées (x, y, z), et on appelle repère régulier le repère dans lequel les points sont repérés par leurs indices (i, j, k). La figure 2 illustre le maillage de la figure 1 dans le repère régulier où les points sont repérés par des triplets d'indices (i, j, k). Ce maillage est constitué de mailles de formes identiques, définies par leurs sommets repérés par un triplet d'indices (i, j, k) dans le repère régulier. II existe une fonction F, continue et différentiable par morceaux, qui à chaque triplet d'indices (i, j, k) associe un triplet de coordonnées géographiques (x, y, z). Cette fonction F est appelée paramétrage du maillage. La figure 4 illustre le passage d'un maillage structuré d'un repère régulier (à gauche) vers un repère géographique (à droite) au moyen de la fonction F. Cette fonction F transporte le point p en un point P, P=F(p), et la différentielle dF de F transporte les vecteurs, par exemple dF(ei)=ti. 3. Simulation d'au moins une propriété pétrophysique en chaque maille On souhaite remplir le maillage, en affectant à chacune de ses mailles une valeur de propriété pétrophysique : nature de la roche, porosité, perméabilité... L'objectif pour exploiter le milieu souterrain est de construire une image aussi réaliste que possible du milieu. II est donc nécessaire de remplir le maillage dans le repère géographique. Cependant, selon l'invention, on détermine bien la covariance dans le repère géographique, avec les coordonnées x, y, et z, mais on simule dans un repère régulier où les points sont repérés par des triplets d'indices (i, j et k si la grille de simulation correspond exactement au maillage issu de FI). De cette façon, la méthode permet d'empêcher la géométrie du maillage dans le repère géographique de déformer les structures simulées dans le repère régulier, lors de leur retour vers le repère géographique. La méthode compense cet effet au stade de la simulation dans le repère régulier. Pour ce faire, on réalise les étapes suivantes : i.- on définit une grille de simulation dans un repère régulier ; ii.- on modélise la covariance de la propriété à simuler dans le repère géographique ; iii.- on transporte la covariance dans le repère régulier ; iv.- on réalise une simulation géostatistique dans la grille de simulation ; et v.- on transporte la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique. i.- Définition d'une qrille de simulation dans un repère réqulier On définit une grille de simulation constituée d'un ensemble de mailles hexaédriques définies par leurs sommets repérés par un triplet d'indices (i, j, k) dans un repère régulier, tel qu'il existe une fonction F, continue et différentiable par morceaux, qui à chaque triplet d'indices (i, j, k) associe un triplet de coordonnées géographiques (x, y, z). Selon un mode de réalisation, la grille de simulation correspond au maillage régulier.

Selon un mode préféré de réalisation, la grille de simulation est densifiée, pour augmenter la résolution de l'image issue de la simulation géostatistique. ii.- Modélisation de la covariance de la propriété pétrophysique à simuler dans le repère géographique On modélise la covariance de la propriété pétrophysique à simuler dans le repère géographique, de façon à évaluer la variabilité spatiale de cette propriété dans le milieu poreux. Pour ce faire, on utilise les données statiques acquises à l'étape 1, et une modélisation. La variabilité spatiale d'une propriété peut être décrite par sa covariance. La covariance est une mesure qui quantifie la dépendance qui existe entre deux variables aléatoires. La covariance est une généralisation du concept de variance. En statistiques, la covariance est un nombre permettant d'évaluer le sens de variation de deux variables et, par là, de qualifier l'indépendance de ces variables. On nomme covariance de deux variables aléatoires réelles X et Y la valeur : COV(X,Y) = E[(X ùE[X])(YùE[YD] où E désigne l'espérance mathématique. Selon l'invention, les deux variables X et Y correspondent à une même propriété pétrophysique, mais mesurées à des endroits différents. On recherche donc à déterminer jusqu'à qu'elle distance, une mesure, de perméabilité par exemple, est dépendante d'une autre mesure. Bien entendu, cette recherche de dépendance est réalisée dans différentes directions de l'espace.

Selon un mode de réalisation, on cherche à simuler une propriété, par exemple la perméabilité, sans s'occuper des autres. Selon un mode préféré de réalisation, on simule une ou plusieurs "valeurs de faciès". L'ensemble de ces valeurs de faciès est partitionné en autant de domaines que l'analyse des diagraphies a permis de distinguer de faciès, et chaque domaine est associé à un faciès. La probabilité de chaque domaine représente la proportion de chaque faciès, qui est connue aux puits et interpolée entre les puits. L'avantage du détour par cette (ou ces) valeur(s) de faciès est que les simulations de différentes propriétés physiques, comme perméabilité et porosité par exemple, seront cohérentes. Pour simplifier l'exposé, on parlera de perméabilité dans la suite. Selon l'invention, on définit la covariance de la propriété à simuler (perméabilité par exemple) dans le repère géographique, de telle manière qu'elle corresponde à une covariance à peu près stationnaire au moment du dépôt des couches sédimentaires. Lorsque les pendages des couches sédimentaires sont faibles, on définit un ellipsoïde de covariance avec deux directions propres horizontales. Puis, on bascule ces directions sur le plan du pendage en chaque point du maillage, la troisième direction étant la normale locale. La covariance est donc une fonction d'une distance, la distance entre deux points de l'espace. La covariance mesure alors la dépendance entre la valeur d'une variable (perméabilité par exemple) en un point, et la valeur de cette même variable à une distance D de ce point, et dans une direction donnée : COV(V(A),V(B)) = f (D(A,B)) avec : V(X) : la perméabilité (variable aléatoire régionalisée) au point X.

D(A,B) : la distance entre les points A et B. Cette distance peut être la distance euclidienne calculée dans le repère propre. Le repère propre est celui des directions principales d'anisotropie de la covariance. f : une fonction modélisant la covariance. Par exemple, dans le cas de la covariance exponentielle, f est la fonction exponentielle. Le pendage n'étant pas constant, les directions propres après basculement ne sont plus partout les mêmes, et la distance D n'a donc plus de sens global.

Ainsi, la covariance de la propriété pétrophysique est définie en chaque point, en fonction d'une distance, elle-même définie en ce point. Cette distance D est définie en tout point à partir d'une métrique M, valable autour du plan tangent au voisinage du point P considéré, de la façon suivante : le carré de la distance entre deux points définissant un vecteur V1 du plan tangent au point P, est égale à la forme quadratique : <V1,V1> = V1'.M(P).V1 Ainsi la métrique est un produit scalaire sur le plan tangent en un point d'une surface, et correspond à une distance locale . A la fin de cette étape, on dispose donc d'une estimation d'une fonction de covariance, représentant la variabilité spatiale de la propriété à simuler, dans le repère géographique. L'étape suivante consiste à transporter cette covariance dans le repère régulier, où les coordonnées des sommets de mailles sont repérées par des triplets d'indices (i, j k), de façon à réaliser une simulation géostatistique. iii.- Transport de la covariance dans le repère régulier Pour ce faire, on évalue une fonction permettant de transporter la covariance d'un repère à un autre. Selon l'invention, on évalue une fonction permettant de transporter la métrique d'un repère à un autre. On peut utiliser la matrice jacobienne de la fonction F en un point p(i, j, k). Cette fonction est notée J. La matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles du premier ordre d'une fonction vectorielle, ici la fonction F. Ainsi, à chaque point p, de coordonnées (i, j, k) dans le repère régulier E;,k, on associe un point les coordonnées (x, y, z) du point p dans le repère géographique EXy, à partir des indices (i, j, k) de ce même point dans le repère E;;k. Et on associe la fonction J permettant de déterminer la métrique m(p) de la covariance du point p(i, j ,k) dans le repère E;;k à partir de la métrique M(p) de la covariance du point p(x,y,z) dans le repère E,yz. F(P(i, >, k)) = P(x, y, z) J(M(P(x, y, z) = m(p(i, j, k On observe sur la figure 4, que F transporte les points de E;;k vers E,yzet que Jtransporte les vecteurs de E;Jk vers E,yz. D'un point de vue mathématique : Il est en effet connu que si un point n tend vers un point p dans un espace vectoriel de départ Ed, alors le point N=F(n) tend vers le point P=F(p) dans l'espace d'arrivée Ea, si la fonction F est continue. Il est également connu que si la fonction F est différentiable, alors N-P tend vers J(p)(n-p), si J(p) est la matrice jacobienne de F en p. Soit <.,.> un produit scalaire défini dans Ea par une matrice M(P) symétrique définie positive : <V1,V2> = V1'.M(P).V2, V1' étant le vecteur transposé de VI. Alors, si V1=J(p).vl et V2=J(p).v2, on a <vl,v2> = vl'.J(p)'.M(P).J(p).v2, soit <vl,v2> = v1'.m(p).v2 avec m(p) = J(p)'.M(P).J(p). On voit donc que si J(p) transporte les vecteurs de Ed vers Ea, elle transporte les produits scalaires dans l'autre sens, de Ea vers Ed.

Ainsi, en considérant que Ed est le domaine (i,j,k), Ea le domaine (x,y,z), et F le paramétrage du maillage tel que (x,y,z)=F(i,j,k), il est possible de transporter la métrique M(P) de la covariance en tout point du repère géographique (x,y,z) en une métrique m(p) vers le repère (i,j,k).

En pratique, pour évaluer la matrice J(p), on peut utiliser des schémas centrés du second ordre, ou du premier ordre au bord du repère. Le produit scalaire <.,.> étant associé à la distance D et à la métrique M(P) au voisinage d'un point P dans le repère géographique, alors, au voisinage d'un point p quelconque du repère régulier tel que P=F (p), on a : Pour une covariance modélisée par une fonction exponentielle : Cov(a,b) = exp(ù d (a, b)) avec d (a, b) _ (b ùa)' .m(p). (b ù a) Pour une covariance modélisée par une fonction gaussienne : Cov(a,b) = exp( d (a, b)2 ) D'autres covariances pourraient être utilisées, comme la covariance sphérique ou une covariance puissance d'exposant compris entre 0 et 2.

Pour une application en trois dimensions, on applique ce formalisme à l'espace tangent aux couches, d'une part, et à la normale aux couches, d'autre part. iv.- Simulation déostatistidue dans la grille de simulation Après avoir estimé la covariance dans le repère géographique, et transporté cette covariance dans le repère régulier via la fonction J, on peut réaliser des simulations géostatistiques dans le repère régulier en évitant que la géométrie du maillage ne déforme les structures simulées, lors de leur retour vers le repère géographique.

On réalise donc au moins une simulation géostatistique dans la grille de simulation, à partir de la covariance transportée dans le repère régulier, c'est-à-dire, la covariance définie au moyen de la métrique m(p). Pour ce faire, on définit, à partir des mesures réalisées à l'étape 1, une fonction aléatoire caractérisée par sa fonction de covariance, sa variance et sa moyenne. Ceci permet de tenir compte de la variabilité spatiale de la variable régionalisée (propriété pétrophysique à simuler), en prenant en compte le double aspect, à la fois aléatoire et structuré. Par ailleurs on définit ensuite un ensemble de nombres aléatoires tirés indépendamment les uns des autres : il peut s'agir, par exemple, d'un bruit blanc Gaussien ou de nombres uniformes. II existe donc un nombre aléatoire indépendant par maille (i, j, k) et par réalisation. Une réalisation est le résultat d'une simulation réalisée avec un jeu de nombres aléatoires donné. Enfin, à partir d'un simulateur géostatistique choisi et de l'ensemble de nombres aléatoires, un tirage aléatoire dans la fonction aléatoire est effectué, donnant accès à une réalisation (continue ou discrète) représentant une image possible du réservoir. On rappelle que la fonction aléatoire est définie par une covariance estimée dans le repère géographique réelle, puis transportée dans le repère régulier (i, j, k). En général, cette réalisation ne vérifie pas les mesures effectuées ponctuellement. Une opération supplémentaire s'appuyant sur des techniques de krigeage permet de modifier la réalisation en la forçant à honorer ces mesures. Cette technique est décrite par exemple dans le document suivant : Chilès, J.P., Delfiner, P., 1999, Geostatistics û Modeling spatial uncertainty, Wiley series in probability and statistics, New York, USA. On peut également ajouter une étape pour caler les données dynamiques, en définissant une fonction objectif mesurant l'écart entre les données dynamiques mesurées sur le terrain et les réponses correspondantes simulées pour le modèle considéré. Le but du processus d'optimisation est de modifier petit à petit ce modèle pour réduire la fonction objectif. Au final, les modèles modifiés sont cohérents vis-à-vis des données statiques et vis-à-vis des données dynamiques.

Exemple de simulation Pour simuler une fonction aléatoire gaussienne de covariance donnée, on peut convoluer un bruit blanc par un filtre, dont l'autocorrélation est la fonction de covariance. Cependant, à cause du coût de calcul prohibitif de la convolution, surtout en 3D, on préfère le détour par le domaine de Fourier. Le bruit blanc y devient un autre bruit blanc, le filtre un autre filtre, et la simple multiplication du bruit blanc par le filtre donne le résultat recherché, après transformée de Fourier inverse. Pour la covariance exponentielle, le filtre est 21(2rr)/(1+4rr2s2), avec s2=i*2+j*2+k*2, les fréquences (i*,j*,k*) étant les fréquences conjuguées par la transformée de Fourier des coordonnées associées au repère propre de la métrique de covariance a(p). Pour la covariance gaussienne, le filtre est I(2rr312exp(-s2)). Variation de la métrique Comme la matrice J(p) dépend de p, la matrice m(p) aussi, et la covariance n'est donc plus stationnaire dans la grille de simulation où les points sont repérés par les indices (i,j,k), même si elle l'était dans le repère géographique. En conséquence, une simulation faite avec la covariance calculée en un point n'est valable qu'au voisinage de ce point. Pour avoir une simulation valable en tout point, on peut utiliser une interpolation trilinéaire des différentes simulations élémentaires obtenues avec les différentes covariances obtenues aux différents points de la grille régulière. Ce principe est illustré sur la figure 5. La figure 5 est un schéma de principe à une dimension de cette interpolation. On dispose en (a) d'une première fonction grise correcte au voisinage du point 0, d'une seconde fonction grise valable autour du point 1, etc. jusqu'à une dernière fonction grise correcte au point 4. En les combinant linéairement à l'aide des fonctions-poids triangulaires représentées en (b), on obtient la fonction noire qui est partout correcte puisque partout proche d'une fonction correcte. Les flèches désignent les points où la courbe noire s'identifie à l'une de ses courbes contributrices, tous les poids y étant nuls sauf un qui vaut 1. Il importe de préciser que si le filtre est variable, le bruit blanc, lui, est le même partout, faute de quoi l'interpolation échouerait. Simulation par blocs Rares sont les gisements non faillés, et c'est pourquoi le traitement des failles est important. Dans les maillages structurés, les failles sont généralement des surfaces réglées (engendrées par une droite se mouvant dans l'espace) dont les génératrices sont des droites à (i, j) constant, habituellement qualifiées de poteaux . Bien souvent, l'hypothèse que les stries et les poteaux sont partout parallèles est vérifiée, ce qui rend immédiate la compensation des discontinuités du paramétrage F : il suffit de faire glisser les couches le long des poteaux pour fermer les failles. (Les stries indiquent la direction du mouvement relatif des blocs séparés par la faille). Cette compensation est intéressante car elle restaure dans le domaine (i,j,k) la continuité des couches au moment de leur dépôt, et les corps sédimentaires simulés sont cohérents de part et d'autre de la faille après retour dans l'espace (x,y,z). La seule complication est que la jacobienne J=dF peut être discontinue le long des failles, ce qui oblige à considérer une jacobienne de chaque côté dans toute la chaîne exposée ci-dessus. Si stries et poteaux ne sont pas parallèles, dans le cas d'un décrochement par exemple, les simulations sont nécessairement indépendantes de part et d'autre de la faille. Des tests sur différents exemples synthétiques ont conduit aux résultats suivants. Dans tous les cas, le maillage est tridimensionnel, et la covariance est exponentielle : La figure 6A montre un cylindre maillé de façon irrégulière. II s'agit d'un maillage structuré dans le repère géographique. La simulation de la figure 6B a été faite avec une covariance anisotrope dont la longueur de corrélation est de 400m dans la direction des génératrices, et de 100m dans la direction perpendiculaire. Les longueurs de corrélation sont permutées dans la simulation de la figure 6C. Malgré la torsion du maillage, la direction d'allongement des corps sédimentaires simulés est bien conforme : le maillage tordu d'un cylindre (a) n'empêche pas l'obtention de simulations anisotropes. Il peut arriver que le réseau des failles dessine des blocs qui ne soient pas difféomorphes à un carré, et c'est le cas du triangle de la figure 7A. Un cube dans le domaine (i,j,k) donne un prisme à base triangulaire dans le domaine (x,y,z), soit, vu de dessus, un carré donne un triangle (figure 7A), la flèche désignant le quatrième sommet. La matrice jacobienne J, qui permet le transport de la covariance, est alors dégénérée au quatrième sommet du carré (i,j,k) indiqué par la flèche, qui se trouve ici au milieu d'un côté du triangle (x,y,z). Dans cette circonstance, on peut remplacer la jacobienne dégénérée par une jacobienne de rang maximal relative à un sommet voisin. Cela permet d'obtenir la simulation isotrope de la figure 7B, où la singularité du maillage ne se traduit par aucun artefact. En anisotropie, avec une longueur de corrélation de 400m dans la direction N150° et de 100m dans la direction perpendiculaire, on obtient la simulation de la figure 8A si on utilise la covariance correcte au point marqué d'une croix pour la simulation dans le domaine (i,j,k). L'influence du maillage y est manifeste. Au contraire, le résultat de la figure 8B, obtenu selon l'invention, est conforme à la covariance souhaitée. Un dernier exemple est illustré sur les figures 9A, 9B et 9C. Le maillage de la figure 9B est particulièrement contourné. On peut donc s'attendre à des résultats très contrastés selon que l'on utilise une seule covariance dans le domaine (i,j,k) pour la simulation, ou la combinaison de simulations selon l'invention. C'est bien ce que montrent les simulations des figures 9A et 9C. La première correspond au résultat de simulation par la méthode selon l'invention. La seconde est obtenue par une méthode classique, elle est correcte seulement au voisinage du point marqué d'une croix. La covariance désirée correspond à des longueurs de corrélation de 400 m dans la direction N120° et de 100 m dans la direction perpendiculaire. v.- Transport de la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique La dernière étape consiste alors, à transporter la grille de simulation dans le repère géographique au moyen de la fonction F.

Selon le mode de réalisation où la grille de simulation est plus fine que le maillage d'origine, on utilise la même interpolation trilinéaire sur les coordonnées cartésiennes (x,y,z) des points de la grille de simulation pour les reporter dans l'espace géographique. Dans ce cas, une mise à l'échelle est nécessaire : elle consiste à calculer des valeurs au centre des mailles du maillage à partir des valeurs simulées aux noeuds de la grille de simulation. Cette mise à l'échelle est plus commode à réaliser dans le repère régulier (i,j,k) que dans le repère géographique (x,y,z), car la grille comme le maillage y sont réguliers. Cependant, opérer cette mise à l'échelle dans le repère géographique est également possible. Selon un mode particulier de réalisation, pour simuler les différentes propriétés pétrophysiques du réservoir, on simule un processus gaussien dont la covariance est généralement exponentielle mais parfois gaussienne. Les longueurs de corrélation définissent les tailles typiques des corps sédimentaires à simuler. Ensuite, on partitionne l'ensemble des valeurs possibles de ce processus en différents intervalles, et on attribue un faciès à chacun d'eux. Les propriétés pétrophysiques des différents faciès étant connues, elles sont alors connues en chaque point. Cette méthode ayant l'inconvénient d'interdire certains contacts entre faciès alors qu'ils sont possibles dans la nature, on simule non pas une mais deux gaussiennes, et la partition des faciès se fait dans le plan des deux gaussiennes, ce qui donne plus de souplesse pour gérer les contacts. 4. Optimisation de l'exploitation du milieu souterrain à partir du maillaqe et de la simulation Le modèle de réservoir ainsi construit, constitue une image du réservoir, et comporte un maillage dont chaque maille contient au moins une valeur de propriété pétrophysique caractéristique du réservoir issue d'un modèle stochastique. A partir de tel modèle de réservoir, il est possible d'apprécier le mode de fonctionnement de la zone souterraine étudiée. Par exemple, la simulation des écoulements dans un milieu poreux représenté par des modèles stochastiques numériques, permet entre autre, de prédire la production du réservoir et ainsi d'optimiser son exploitation en testant différents scénarios. La détermination de l'emplacement d'un puits de production ou d'un puits d'injection, la constitution de la boue de forage, les caractéristiques de complétion, le choix d'un procédé de récupération des hydrocarbures (tel que l'injection d'eau par exemple) et des paramètres nécessaires à la mise en oeuvre de ce procédé (tels que la pression d'injection, le débit de production,...) nécessitent de bien connaître le gisement. Connaître le gisement signifie notamment connaître les propriétés pétrophysiques du sous-sol en tout point de l'espace. La méthode selon l'invention, en empêchant la géométrie du maillage de déformer les structures simulées dans le repère régulier (i,j,k) lors de leur retour vers le repère géographique (x,y,z), fournit à l'ingénieur une image plus précise et plus conforme à la réalité. La gestion des risques liés à cette exploitation, nécessite généralement l'estimation des incertitudes portant sur ce modèle de réservoir. C'est pourquoi on génère habituellement de nombreuses réalisations dont l'ensemble représente la connaissance incertaine que l'on a du gisement. La prise en compte des incertitudes est très importante car elle conditionne l'analyse des risques relatifs à la gestion du gisement. On peut générer plusieurs simulations pour la même propriété (pour obtenir des incertitudes), ou pour plusieurs propriétés. Pour obtenir N simulations, il suffit de répéter N fois l'étape 3. Avec un ensemble de telles simulations, où toutes décrivent le gisement de manière également vraisemblable, et où les contorsions du maillage ne perturbent plus la géostatistique, l'ingénieur dispose des informations qui lui permettent de prendre les meilleures décisions concernant la gestion de la production.

Claims (3)

1. REVENDICATIONS1. Méthode d'exploitation d'un milieu souterrain, dans laquelle on réalise, au sein dudit milieu, des mesures relatives à une structure et une nature de couches sédimentaires constituant ledit milieu, à partir desquelles on construit un maillage structuré représentant ladite structure des couches sédimentaires, en discrétisant ledit milieu en un ensemble de mailles, chacune des mailles étant définie par des sommets repérés par un triplet de coordonnées (x, y, z) dans un repère géographique, caractérisé en ce que la méthode comporte les étapes suivantes : A. on affecte à chacune desdites mailles au moins une valeur d'une propriété pétrophysique caractéristique dudit milieu, en réalisant les étapes suivantes : L- on définit une grille de simulation constituée d'un ensemble de mailles hexaédriques définies par des sommets repérés par un triplet d'indices (i, j, k) dans un repère régulier, tel qu'il existe une fonction F, continue par morceaux et différentiable, qui à chaque triplet d'indices (i, j, k) associe un triplet de coordonnées géographiques (x, y, z) ii.- on modélise la covariance de ladite propriété à simuler dans le repère géographique (x, y, z), de façon à évaluer la variabilité spatiale de la propriété dans ledit milieu ; iii.- on évalue une fonction J permettant de transporter la covariance dudit repère géographique dans ledit repère régulier, et l'on utilise ladite fonction pour transporter ladite covariance ; iv.- on réalise une simulation géostatistique dans la grille de simulation à partir de ladite covariance transportée dans le repère régulier ; v.- on transporte la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique au moyen de ladite fonction F ; et B. on optimise l'exploitation du milieu souterrain en fonction des valeurs de propriété pétrophysique affectées aux mailles dans le repère géographique.
2. 2. Méthode selon la revendication 1, dans laquelle ladite fonction J est définie en tout point p par la matrice Jacobienne de la fonction F en ce point p.
3. 3. Méthode selon l'une des revendications précédentes, dans laquelle la grille de simulation est plus fine que ledit maillage structuré, la simulation géostatistique dans la grille de simulation comporte une interpolation trilinéaire de différentes simulations obtenues avec des covariances calculées aux différents points de la grille de simulation, et le transport de la grille de simulation du repère régulier dans le repère géographique comporte une interpolation trilinéaire des coordonnées des points de la grille de simulation.