FR2552608A1 - Procede et dispositif de detection d'un element caracteristique d'un objet dans une scene video - Google Patents

Abstract

L'INVENTION CONCERNE LES TECHNIQUES DE RECONNAISSANCE DE FORMES. LE SIGNAL DE SORTIE VIDEO D'UNE CAMERA 120 QUI FORME UNE IMAGE D'UN OBJET 110 EST APPLIQUE A UN FILTRE DE RECHERCHE D'ELEMENTS CARACTERISTIQUES 130 ETOU 140. LE SIGNAL DE SORTIE DE CE FILTRE EST UN SIGNAL QUI FRANCHIT UN NIVEAU PREDETERMINE A UN INSTANT CORRESPONDANT DE FACON PRECISE A L'EMPLACEMENT D'UN ELEMENT CARACTERISTIQUE DE L'OBJET, INDEPENDAMMENT DES VARIATIONS DE PENTE ET D'AMPLITUDE DU SIGNAL VIDEO. APPLICATION A LA ROBOTIQUE.

Description

La présente invention concerne la vision par ordinateur, et plus

particulièrement un dispositif d'extraction d'éléments caractéristiques dans le domaine des temps, utilisant un filtrage indépendant de l'amplitude.

L'extraction d'éléments caractéristiques se rapporte à un stade précoce dans le fonctionnement de systèmes de vision au moyen d'une machine, dans lequel on détermine des paramètres représentatifs d'objets dans une scène considérée Les éléments caractéristiques comprennent, par 10 exemple, les emplacements de bords, les plages et les centroides des objets Dans des systèmes de traitement d'image

par ordinateur, les éléments caractéristiques constituent les données élémentaires pour la reconnaissance d'objets.

La reconnaissance d'objets possède des applications promet15 teuses dans de nombreux domaines, comme par exemple la commande asservie de robots et le tri et la classification

automatiques d'objets dans des chaînes de montage d'usines.

Dans un système de vision par ordinateur de type caractéristique, une caméra vidéo produit un signal qui 20 correspond à l'image de la pièce traitée L'amplitude du signal vidéo varie dans le temps en fonction de la luminosité de points consécutifs dans la scène Une première étape commune dans l'extraction d'éléments caractéristiques consiste à numériser le signal vidéo, de façon caractéristique 25 en 256 niveaux de gris ou d'intensité, et à enregistrer l'image de la scène dans une matrice de 512 x 512 éléments d'image, ayant chacun 8 bits représentant la luminosité locale de l'image On applique ensuite à cette grande matrice de données numériques des algorithmes arithmétiques rapi30 des pour extraire des éléments caractéristiques de l'objet,

comme des bords, des plages et des centroides.

L'algorithme de Marr-Hildreth est un exemple d'un traitement qui est par nature numérique pour la détection de changements d'intensité abrupts dans un signal vidéo Dans 35 l'article de E C Hildreth intitulé "Edge Detection for Computer Vision System", Mechanical Engineering, août 1982, pages 48-53, on détecte des bords en localisant des passages par zéro dans le signal de sortie résultant de la convolution de l'image avec une fonction de pondération à symétrie radia5 le Ce procédé offre d'excellentes performances mais il demande beaucoup de calculs; chacun des 250 000 éléments d'image, environ, de l'image traitée exige environ mille opérations de multiplication et d'addition Le résultat consiste en un système qui conduit à un compromis critique entre la 10 vitesse, la complexité et le co t De tels compromis sont inévitables dans des systèmes qui commencent par numériser

la scène complète.

On connaît également des techniques d'extraction d'éléments caractéristiques analogiques Un procédé caracté15 ristique pour la détection de bords utilise un circuit à seuil A titre d'exemple, dans le brevet des E U A. no 4 017 721, on applique le signal de sortie de la caméra à un circuit qui détecte le passage du signal vidéo par une tension particulière sélectionnée comme étant représentative 20 du niveau de lumière intermédiaire entre le blanc et le noir Le signal de sortie du circuit à seuil indique une

transition, correspondant à un bord d'un objet dans l'image.

De telles techniques faisant intervenir des seuils d'amplitude sont cependant sujettes à des erreurs, du fait que la 25 pente du signal correspondant à un bord varie en fonction de l'amplitude maximale du signal Ainsi, l'emplacement du bord détecté peut varier ou "se déplacer", lorsque l'éclairage incident, la configuration géométrique, ou la réflectance de l'objet changent De tels changements sont courants dans de 30 nombreuses applications réelles, comme en robotique, et peuvent être indésirable lorsqu'une précision élevée est exigée. L'invention porte sur de nouvelles techniques de

détection d'éléments caractéristiques pour des systèmes de 35 traitement d'image Une caméra génère un signal vidéo cor-

respondant à l'image d'un objet dans une scène Le signal vidéo est appliqué à un filtre de recherche d'éléments caractéristiques Le signal de sortie du filtre de recherche d'éléments caractéristiques franchit un niveau prédéterminé à un instant qui correspond à l'emplacement de l'élément caractéristique dans la scène, indépendamment de l'amplitude

et de la pente du signal vidéo.

Dans un mode de réalisation correspondant à un exemple de l'invention, les signaux vidéo sont appliqués à 10 un filtre de recherche de bord ayant une fonction de pondération à trois lobes Le signal de sortie du filtre de recherche de bord franchit un niveau prédéterminé à un instant qui est corrélé avec une fraction fixe du niveau

du signal vidéo.

Dans un autre mode de réalisation constituant un exemple de l'invention, le signal vidéo est appliqué à un filtre de recherche de centroide ayant une fonction de pondération à deux lobes Le signal de sortie du filtre de recherche de centroîde franchit un niveau prédéterminé à un 20 instant qui est corrélé avec l'emplacement du centroide du

signal vidéo.

Dans un mode de réalisation comme dans l'autre, le signal de sortie du filtre de recherche d'élément caractéristique est appliqué à un circuit détecteur de franchis25 sement d'un niveau Le signal de sortie du circuit détecteur de franchissement d'un niveau est une impulsion qui est corrélée avec l'emplacement de l'élément caractéristique dans

la scène L'impulsion est appliquée à un dispositif d'utilisation, tel qu'un moniteur de télévision ou un ordinateur.

L'invention sera mieux comprise à la lecture de la

description qui va suivre de modes de réalisation et en se

référant aux dessins annexés sur lesquels: La figure 1 représente un schéma synoptique général d'un détecteur d'éléments caractéristiques représentatif 35 de l'invention; La figure 2 montre le schéma synoptique détaillé d'un filtre de recherche de bord qu'on utilise dans le détecteur d'éléments caractéristiques de la figure 1; La figure 3 montre un schéma synoptique détaillé 5 d'un détecteur bipolaire de franchissement de niveau qu'on utilise dans le détecteur d'éléments caractéristiques de la figure 1; et La figure 4 montre un schéma synoptique détaillé

d'un filtre de premier moment qu'on peut utiliser dans le 10 détecteur d'éléments caractéristiques de la figure 1.

En considérant le détecteur d'éléments caractéristiques 100 de la figure 1, on voit un objet 110 dans le champ d'une caméra 120 La caméra 120 peut être par exemple une caméra du type vidicon dans laquelle la scène considé15 rée est analysée selon une trame Le graphique 125 représente la forme du signal de sortie vidéo de la caméra pour une ligne d'analyse Le graphique correspond à une analyse qui traverse l'objet 110 en suivant le chemin 126 On suppose que l'objet 110 est lumineux et coloré par rapport 20 au fond Ainsi, à l'instant t+, le signal vidéo effectue une transition positive qui le fait passer d'un niveau de tension inférieur à un niveau de tension supérieur, en correspondance avec l'instant auquel la ligne d'analyse 126 traverse le bord gauche de l'objet 110 De l'instant t+ à 25 l'instant t-, la tension demeure au niveau supérieur, ce qui correspond à la durée pendant laquelle la ligne d'analyse 126 traverse l'objet 110 A l'instant t-, au bord droit

de l'objet 110, le signal vidéo effectue une transition négative qui le ramène à un niveau de tension inférieur, 30 correspondant au fond sombre.

Le signal vidéo est appliqué à des filtres d'extraction d'éléments caractéristiques Deux filtres sont représentés à titre d'exemple sur la figure i: un filtre

de recherche de bord 130 etunfilte de rhercbe decerde 40 a 35 réponse impulsionnelle des filtres détermine la sorte d'in-

formation d'élément caractéristique qui sera extraite Conformément à l'invention, le signal de sortie d'un filtre d'extraction d'éléments caractéristiques est un signal qui passe par zéro à un instant qui est corrélé de façon précise avec l'emplacement de l'élément caractéristique dans la scène, sur une plage étendue d'éclairement de la scène et de l'objet. Un filtre de recherche de bord 130 qui satisfait les critères précédents peut avoir la réponse impulsionnelle 10 h(t) suivante: -t O St Z T 1 t 2 T 1 Tl i t Z 4 T 1 h(t) = -t + 4 T 1 4 T 1 l t 7 T 1 ( 1) t 8 T 1 7 T 1 C t 8 T 1 Un filtre ayant cette réponse impulsionnelle produit une mesure de l'instant de passage par zéro qui correspond à une fraction fixe de 50 % de la variation d'intensité lumineuse au niveau du bord de l'objet En d'autres termes, le signal de sortie de ce filtre passe par zéro au 20 bout d'une durée fixe après l'instant auquel le signal d'entrée atteint 50 % de son amplitude maximale On peut avantageusement réaliser ce type de filtre de la manière

représentée sur la figure 2.

Sur la figure 2, des amplificateurs opérationnels 210 et 220 sont connectés de manière à fonctionner en contreréaction, au moyen de réseaux comprenant une résistance 232 et un condensateur 263, d'une part, et une résistance 242 et un condensateur 264 d'autre part Le signal vidéo, représenté sur le graphique 225, est appliqué par le condensateur 30 262, la résistance 251, la ligne à retard 250 et la résistance 252 à l'entrée négative de l'amplificateur 210 Le signal vidéo est également appliqué à l'entrée négative de l'amplificateur 210 par l'intermédiaire de l'amplificateur inverseur 230 et de la résistance 231 Le signal de sortie de l'amplificateur 210, représenté sur le graphique 215, est appliqué par la résistance 217, la ligne à retard 260 et la résistance 261 à l'entrée négative de l'amplificateur opérationnel 220 Le signal de sortie de l'amplificateur 210 est également appliqué à l'entrée négative de l'amplificateur 220 par l'intermédiaire de l'amplificateur inverseur 240 et de la résistance 241 Les amplificateurs 210 et 220 peuvent être des amplificateurs opérationnels du type HA-5195, fabriqués par Harris Semiconductor Products Division, Harris 10 Corporation, Newport Beach, Californie, E U A Pour mieux comprendre le filtre décrit ci-dessus, on pourra se référer à l'article de R Boie et col, intitulé "High Resolution

Proportional Detectors with Delay Line Position Sensing for High Counting Rates", Nuclear Instruments and Methods, 201, 15 1982, pages 93-115.

Le signal de sortie de l'amplificateur 220 est représenté sur le graphique 255 Le signal franchit le niveau de tension zéro à un instant t+ , qui correspond à une durée de retard fixe après l'instant auquel les signaux vidéo du graphique 225 atteignent 50 % de l'excursion d'amplitude totale De façon similaire, le signal du graphique 255 franchit à nouveau zéro à un instant t qui correspond à la même durée de retard fixe après l'instant auquel le signal vidéo est repassé, en descendant, par le niveau de 50 % de son 25 excursion d'amplitude totale Ce signal de sortie est appliqué au détecteur bipolaire de franchissement de niveau

de la figure 1.

Le détecteur bipolaire de franchissement de niveau est représenté en détail sur la figure 3 Le détecteur 300 30 comprend quatre comparateurs analogiques 310, 320, 330 et 340, qui peuvent être des circuits du type LM 361, fabriqués par National Semiconductor, Santa Clara, Californie, E U A. Les comparateurs 310 et 320 sont connectés de façon à détecter un franchissement du zéro à partir du c 8 té positif,

c'est-à-dire un signal qui commence avec une polarité posi-

tive, franchit le niveau zéro et se termine avec un lobe négatif Les comparateurs 330 et 340 sont connectés de façon à détecter un franchissement du zéro de type négatif, c'està-dire le signal qui commence avec une polarité négative et se termine par un lobe positif Le signal d'entrée est appliqué à la borne d'entrée négative du comparateur 310 par l'intermédiaire du condensateur 322 et il est dirigé vers le potentiel de la masse par la résistance 323 Le

réseau condensateur-résistance différentie le signal d'entrée 10 comme le montre le graphique 365.

On utilise le comparateur 310 pour tester la pente du signal d'entrée L'entrée positive du comparateur 310 est connectée à une source de tension fournissant la tension

-VB -VB est une tension de seuil qui est fixée de façon à 15 définir la pente minimale du signal d'entrée négatif.

Lorsque le noeud d'entrée négatif est à un niveau inférieur au niveau -VB appliqué sur l'entrée positive, le signal de sortie du comparateur 310 est à " 1 " Le signal de sortie à

" 1 ", représenté sur le graphique 395, est appliqué à une 20 entrée de la porte ET 311.

Le signal d'entrée représenté sur le graphique 355 est également appliqué à l'entrée négative du comparateur 320 L'entrée positive du comparateur est connectée par l'intermédiaire du multiplexeur 343 de façon à recevoir une 25 tension +VB lorsque le signal de sortie du comparateur 320 est à " 1 ", et à recevoir le potentiel de la masse lorsque le signal de sortie est à " O " +VB est un seuil qui est fixé pour empêcher le déclenchement sur du bruit Lorsque le signal d'entrée du graphique 355 passe par zéro à l'ins30 tant t+, l'entrée négative du comparateur 320 prend un niveau inférieur à celui de l'entrée positive (qui se trouve alors au potentiel de la masse) Le signal de sortie du comparateur passe donc à l'état " 1 " à l'instant t+, comme le montre le graphique 385 Le signal de sortie du compara35 teur 320 est appliqué à l'entrée d'une bascule "D", 342, du type à déclenchement sur des fronts positifs, qui réagit au front avant du signal provenant du comparateur 320, si le signal de sortie de la porte ET 311 est à " 1 " Un signal à l'état " 1 " en sortie de la porte ET 311 indique que les signaux ont la pente appropriée et qu'ils sont à l'extérieur des intervalles de synchronisation Le signal de sortie de la bascule 342 déclenche le multivibrateur monostable 321 dont le signal de sortie consiste en une impulsion binaire PREMIER+ à l'instant t+, comme le montre le graphique 351. 10 Lorsque l'impulsion d'entrée représentée sur le graphique 355 franchit zéro à l'instant t-, les comparateurs 330 et 340, le multiplexeur 346, la porte ET 341, la bascule 343 et le multivibrateur monostable 321 produisent une impulsion binaire PREMIER à l'instant t-, d'une manière 15 analogue à celle des circuits considérés ci-dessus Les signaux de sortie des multivibrateurs monostables 321 et 331 peuvent être combinés par une porte OU 377 qui fournit ainsi un signal sous forme d'impulsion aux instants t+ et t- En se reportant à la figure 1, on note que ce signal de 20 la porte OU est combiné dans le circuit de sommation 186 avec le signal vidéo d'origine pour former un signal, représenté sur le graphique 185, qu'on peut utiliser pour attaquer un moniteur vidéo 187 Le circuit de sommation 186 reçoit le signal d'origine provenant de la caméra 120 25 par l'intermédiaire d'un circuit de retard 121 qui compense

le retard propre au processus d'extraction d'éléments caractéristiques.

Un filtre de recherche de centroide 140 est représenté de façon plus détaillée sur la figure 4 Le fil30 tre de recherche de centroîde 400 possède une réponse impulsionnelle en forme de rampe, g(t), qui est la suivante: 0 t 4 O g(t) = -t + Ti O Z t Z 2 T 1 ( 2) t > 2 T 1 Le signal vidéo, représenté sur le graphique 402, est appliqué au circuit de rétablissement de ligne de base qui comprend le condensateur 464, l'amplificateur 462, le multiplexeur analogique 461 et la source de courant 460 La ligne de base est rétablie pendant les intervalles de synchronisation L'action d'un circuit de rétablissement de ligne de base de ce genre est décrite dans l'article de R Boie et col, intitulé "High Precision Readout for Large Area Neutron Detectors", IEEE Transactions of Nuclear Scien10 ce, NS-27, n O 1, février 1980 Le signal provenant de l'amplificateur inverseur 463 est appliqué par la résistance 405 et la ligne à retard 410 à l'entrée de l'amplificateur inverseur 420 Le signal vidéo est également appliqué par la résistance 415 à l'entrée négative de l'amplificateur opéra15 tionnel 425 Le signal vidéo est en outre appliqué par la résistance 417 à l'entrée négative de l'amplificateur opérationnel 427 La sortie de l'amplificateur inverseur 420 est

connectée à l'entrée négative de l'amplificateur 425.

L'amplificateur 425 est connecté de façon à fonctionner en 20 contreréaction, par l'intermédiaire d'un condensateur 431 et de l'amplificateur à transconductance 430 L'amplificateur 430, en association avec le multiplexeur 451 et la source de courant 450, a pour fonction de restaurer l'intégrateur opérationnel 425 pendant l'intervalle de synchroni25 sation La sortie de l'amplificateur 425 et l'entrée de l'amplificateur inverseur 420 sont connectées à l'entrée négative de l'amplificateur 427, par l'intermédiaire des résistances respectives 419 et 418 L'amplificateur 427 est connecté de façon à fonctionner en contre- réaction, par l'intermédiaire du condensateur 428 et de l'amplificateur à transconductance 426 L'intégrateur opérationnel 427 est restauré d'une manière similaire à celle de l'intégrateur 450 pendant l'intervalle de synchronisation Le signal de sortie de l'amplificateur 427 est un signal qui franchit le 35 niveau zéro à un instant qui correspond à l'emplacement du centroide de l'objet dans l'image fournie par la caméra Les amplificateurs 463, 420, 425 et 427 peuvent 8 tre ces circuits du type HA-5195 fabriqués par Harris Corporation Les amplificateurs 462, 430 et 426 peuvent être des circuits du type CA-3080, fabriqués par RCA Incorporated, Somerville, New Jersey, E U A Des configurations de filtre de recherche de centroide sont décrites de façon plus détaillée dans l'article de V Radiha et col, intitulé "Centroid Finding Method for

Position Sensitive Detector", IEEE Transactions of Nuclear 10 Science, NS27, n 1, février 1980.

Le détecteur bipolaire de franchissement de niveau de la figure 1 produit un signal de sortie binaire sous la dépendance du signal de franchissement de zéro provenant du filtre de recherche de centroide, d'une manière similaire 15 à celle décrite précédemment en relation avec le filtre de recherche de bord Les signaux PREMIER+ sont des mesures de centroldes d'objets lumineux Les signaux PREMIER sont des

mesures de centroides d'objets sombres.

Bien qu'on ait décrit et représenté l'invention en 20 considérant un mode de réalisation préféré, on peut apporter diverses modifications à ce mode de réalisation sans sortir du cadre de l'invention On peut utiliser d'autres circuits pour mettre en oeuvre la fonction de détection d'une fraction fixe que remplit le filtre de recherche de bord A titre d'exemple, on peut soustraire une version retardée et inversée d'un signal d'entrée, par rapport à une forme atténuée du signal d'entrée lui- même Le signal résultant franchit le niveau zéro à un instant qui correspond à

une fraction fixe de l'amplitude du signal d'entrée d'origi30 ne L'instant de franchissement est indépendant de l'amplitude.

Claims (10)

REVENDICATIONS

1 Dispositif destiné à localiser un élément caractéristique d'un objet dans une scène vidéo, comprenant des moyens destinés à générer un signal vidéo représentatif de la scène, et des moyens qui fonctionnent sous la dépendance du signal vidéo de façon à détecter un élément caractéristique déterminé de l'objet, caractérisé en ce que les moyens de détection d'élément caractéristique ( 130 et/ou 140) comprennent des moyens qui fonctionnent sous la dépendance du signal 10 vidéo de façon à produire un signal qui franchit un niveau prédéterminé à un instant corrélé avec l'emplacement de

l'élément caractéristique de l'objet, et pratiquement indépendant de la pente et du niveau du signal vidéo qui correspond à l'élément caractéristique.

2 Dispositif selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'élément caractéristique est un bord de l'objet, et les moyens ( 130) destinés à produire le signal de franchissement comprennent des moyens destinés à filtrer le signal vidéo pour produire un signal de sortie qui franchit 20 le niveau prédéterminé à un instant correspondant à une fraction fixe de l'excursion d'amplitude du signal vidéo

correspondant au bord.

3 Appareil selon la revendication 2, caractérisé en ce que ladite fraction fixe correspond pratiquement à 50 % de l'excursion d'amplitude du signal vidéo, et en ce que les moyens de filtrage définissent une fonction de pondération à trois lobes caractérisée par une réponse impulsionnelle h(t) donnée par les équations suivantes, dans lesquelles Tl est une constante prédéterminée: 30 -t 0 L t 4 T 1 t T 1 i t 4 4 T 1 h(t) = -t + 4 T 1 4 T 1 z t z 7 T 1

t ST 1 7 T 1 e t 8 T 1.

4 Dispositif selon la revendication 1, caractérisé en ce que l'élément caractéristique est un centroide de l'objet, et les moyens ( 140) destinés à produire le signal de franchissement comprennent des moyens qui sont destinés à filtrer le signal vidéo pour produire un signal de sortie qui franchit le niveau prédéterminé à un instant correspondant à la partie du signal vidéo qui est représentative du centroide. Dispositif selon la revendication 4, caractérisé en ce que les moyens de filtrage définissent une fonction 10 de pondération à deux lobes caractérisée par une réponse impulsionnelle g(t) donnée par les équations suivantes, dans lesquelles T 1 est une constante prédéterminée: 0 t '0 g(t) = -t + T 1 O t 2 T 1

O t 7 2 T 1.

6 Dispositif selon l'une quelconque des revendications 2 ou 4, caractérisé en ce que les moyens de détection d'élément caractéristique comprennent des moyens ( 300)

qui réagissent au signal de sortie en générant un signal

représentatif de l'instant auquel le signal de sortie franchit le niveau prédétermine.

7 Dispositif selon la revendication 6, caractérisé en ce que les moyens de génération de signal représentatif comprennent des moyens ( 310, 320) destinés à produire un 25 signal de transition correspondant à un lobe avant positif, à l'instant auquel le signal de sortie franchit le niveau prédéterminé en passant d'un niveau supérieur vers un niveau inférieur, et des moyens ( 330, 340) destinés à produire un signal de transition correspondant à un lobe avant négatif, 30 à l'instant auquel le signal de sortie franchit le niveau prédéterminé en passant d'un niveau inférieur à un niveau supérieur.

8 Procédé pour localiser un élément caractéristique d'un objet dans une scène vidéo, comprenant les opéra-

tions qui consistent à générer un signal vidéo représentatif de la scène, et à détecter un élément caractéristique déterminé de l'objet, sous la dépendance du signal vidéo, caractérisé en ce que la détection d'un élément caractéristique com5 prend la génération, sous la dépendance du signal vidéo, d'un signal qui franchit un niveau prédéterminé à un instant corrélé avec l'emplacement de l'élément caractéristique de l'objet, et pratiquement indépendant de la pente et du niveau

du signal vidéo correspondant à l'élément caractéristique.

9 Procédé selon la revendication 8, caractérisé en ce que l'élément caractéristique est un bord de l'objet, et l'opération de génération d'un signal de franchissement comprend le filtrage du signal vidéo pour produire un signal de sortie qui franchit le niveau prédéterminé à un instant cor15 respondant à une fraction fixe de l'excursion d'amplitude du

signal vidéo correspondant au bord.

Procédé selon la revendication 9, caractérisé en ce que ladite fraction fixe correspond à 50 % de l'excursion d'amplitude du signal vidéo, et l'opération de filtrage 20 définit une fonction de pondération à trois lobes qui est caractérisée par une réponse impulsionnelle h(t) donnée par les équations suivantes, dans lesquelles T 1 est une constante prédéterminée: -t 0 Z t T 1 t 2 T 1 T 1 xt c 4 T 1 I h(t) = -t + 4 T 1 4 T 1 A t Z 7 T 1

t 8 T 1 7 T 1 t x 8 T 1.

11 Procédé selon la revendication 8, caractérisé en ce que l'élément caractéristique est un centroide de l'objet, et l'opération de génération d'un signal de franchissement comprend le filtrage du signal vidéo pour produire un signal de sortie qui franchit le niveau prédéterminé à un instant correspondant à la partie du signal vidéo qui est

représentative du centroide.

12 Procédé selon la revendication 11, caractérisé en ce que l'opération de filtrage définit une fonction de pondération à deux lobes qui est caractérisée par une réponse impulsionnelle g(t) donnée par les équations suivantes, dans lesquelles T 1 est une constante prédéterminée: o O g(t) = -t + T 1

t O O t z 2 T 1 t > 2 T 1.