ES2200517T3 - Metodo para el analisis cuantitativo de componentes atomicos de materiales por medio de mediciones de espectroscopia libs. - Google Patents

Abstract

Método para la medición cuantitativa de la concentración de componentes atómicos de materiales sólidos, líquidos o gaseosos, que comprende: a) el análisis espectral de la radiación, emitida por una muestra que incluye una pluralidad de elementos excitados e ionizados de tal manera que generan un plasma; b) el análisis cuantitativo de la radiación emitida; c) el análisis cuantitativo sin calibración de la radiación emitida, en el que dicho análisis cuantitativo incluye: d) la medición de a intensidad de las líneas espectrales emitidas por cada elemento; e) la obtención de la temperatura del plasma (T) a partir de por lo menos una especie de la radiación emitida; caracterizado por f) la determinación de la concentración (Na) de todas las especies multiplicada por un factor de proporción (F); g) el cálculo de la concentración de cada elemento como la suma de las concentraciones correspondientes de la especies; y h) la normalización de cada concentración con respecto a la suma de todas las concentraciones, para eliminar dicho factor de proporción (F).

Description

Método para el análisis cuantitativo de componentes atómicos de materiales por medio de mediciones de espectroscopia LIBS.

La presente invención se refiere a un método para el análisis cuantitativo de componentes atómicos de materiales por medio de mediciones de espectroscopia LIBS sin calibración.

El análisis cuantitativo y en tiempo real de la composición elemental de materiales es de gran interés en muchos campos, desde la producción industrial a diagnósticos medioambientales, desde el control en línea de la calidad de productos hasta la supervisión de los gases de escape industriales.

Actualmente, los sistemas más extendidos de análisis cuantitativo requieren el muestreo de los materiales, con una consecuente caracterización fuera de línea. Generalmente, este procedimiento implica un aumento de los tiempos correspondientes a la adquisición de los datos necesarios y, por lo tanto, de los costes y los riesgos.

La técnica LIBS (Espectroscopia de Ruptura Inducida por Láser) ó LIPS (Espectroscopia de Plasma Inducido por Láser) es una técnica para el análisis rápido de constituyentes elementales de la muestra, que se puede aplicar in situ y proporciona resultados en tiempo real. Los sistemas actuales basados en la LIBS se fundamentan en curvas de calibración para determinar la concentración de los diversos elementos [D.A. Cremers, M.J. Ferris y M. Davies: "Transportable Laser Induced Breakdown Spectroscopy (LIBS) instrument for field-based soil analysis". SPIE Vol. 2835 (190-200) 1996].

El artículo de B. J. Goddard "Materials analysis using laser-based spectroscopic techniques", Transaction of the Institute of Measurement and Control, 1991, GB, vol. 13, n.º 3, páginas 128 a 139, da a conocer varios métodos espectroscópicos basados en láser capaces de detectar concentraciones bajas de un elemento específico. En el caso de un método LIBS, para un sistema en LTE es posible obtener las concentraciones relativas de los constituyentes elementales midiendo intensidades de las líneas.

La solicitud de patente WO 97/15811 se refiere a la determinación espectroscópica de la concentración de especies atómicas en muestras. A continuación se obtiene la concentración de la especie atómica a determinar a partir de la intensidad de emisión conocida de una concentración predeterminada de esa especie en la muestra a la temperatura medida, una cantidad que se habría medido antes de la determinación de la concentración desconocida, y la emisión medida real de la especie desconocida, o mediante esta última emisión y la intensidad de emisión de una especie que tiene una concentración conocida dentro de la muestra tal como nitrógeno para muestras de aire gaseoso.

La presente invención propone un método y un sistema basados en tecnología LIBS, para determinar la concentración de los diversos elementos presentes en una muestra, sin la utilización de curvas de calibración.

El método y el sistema de la presente invención se definen en las reivindicaciones independientes 1 y 14, respectivamente, y en las reivindicaciones dependientes se definen formas de realización específicas de dicho método.

La aplicación del presente método permite:

i) realizar un análisis cuantitativo por medio de la técnica LIBS, sin necesidad de muestras de referencia, y sin calibraciones;

ii) reducir los costes y los tiempos de medición, ya que el método es autoconsistente (las cantidades experimentales que son necesarias para determinar las concentraciones son cantidades absolutas que se obtienen a partir de la misma medición).

En el presente documento se describe la invención, con fines ilustrativos y no limitativos, para algunas aplicaciones que se consideran como particularmente significativas.

a) Principio de trabajo de la técnica LIBS

La LIBS se basa en el análisis del espectro de la radiación emitida por los átomos de la muestra, cuando se excitan e ionizan por medio de un impulso de láser que se enfoca adecuadamente en el objetivo.

El haz de un láser de impulsos se enfoca en una muestra a través de un sistema óptico adecuado. Si la energía del impulso de láser es suficientemente elevada, la densidad de fotones en el punto focal es tal que activa la ionización multifotónica (incluso si el fenómeno tiene una probabilidad muy baja). Los primeros electrones libres son acelerados por el campo eléctrico de la radiación e ionizan otros átomos por impacto; de este modo se genera una reacción en cadena que produce la ruptura, con su ruido de detonación y destello de luz característicos. El plasma (compuesto por átomos neutros, iones y electrones libres), que se forma en los primeros instantes del impulso de láser, absorbe energía del impulso de láser, alcanzando de este modo temperaturas del orden de aproximadamente diez eV (\sim10^{5} K)
(\sim10^{5}ºC). De este modo el material contenido en el punto focal (volumen característico \sim 0,1 mm^{3}) se calienta e ioniza. Una vez que se ha acabado la fase del impulso y de calentamiento, el plasma se enfría y las especies atómicas generan su espectro específico. Resolviendo la evolución del plasma a través del tiempo, es posible discriminar varios regímenes de radiación:

a) radiación bremsstrahlung;

b) emisión de las líneas espectrales de los elementos;

c) emisión de bandas de vibración de moléculas sencillas, formadas como consecuencia de los impactos.

El análisis LIBS se basa en la medición de las líneas indicadas en el punto b). Con este fin, la observación del espectro debe iniciarse con un cierto retardo con respecto al impulso de láser, para reducir los efectos de la presencia de radiación bremsstrahlung. El régimen típico de trabajo individualizado de este modo se corresponde con temperaturas de plasma del orden de 1 eV ( \sim10^{4} ºC). La duración de la observación se establece sobre la base de las características del aparato (energía y duración del impulso de láser) para maximizar la relación señal/ruido y limitar las variaciones de temperatura debidas a la dinámica del plasma.

En el caso de que durante el intervalo de tiempo de observación se verifique la condición de LTE (Equilibrio Térmico Local) ["Principles of Laser Plasma" Ed. de G. Bekefi. J. Wiley & Sons, 1976], el plasma está caracterizado por su temperatura y por la densidad electrónica.

Los elementos atómicos que forman el plasma están presentes en diferentes estados de ionización. En el presente documento se denomina especie a un elemento que tiene un cierto estado de ionización (por ejemplo: el magnesio neutro [MgI] y el magnesio ionizado [MgII] son dos especies del mismo elemento ). En el caso del LTE, la población de los niveles atómicos se describe mediante la distribución de Boltzmann; la relación entre poblaciones de dos niveles pertenecientes a estados de ionización subsiguientes de un mismo elemento viene dada por la ecuación de Saha-Boltzmann:

(1)\frac{N_{e}N_{1}(Z)}{N_{n} (Z-1)}=6,0x10^{21}\frac{g_{1}{}^{Z}T_{e}{}^{3/2}}{g_{n}{}^{Z-1}}exp \left(\frac{-E_{\infty}^{Z}(n,l)}{T_{e}}\right),

en la que:

N_{e}: densidad electrónica (cm^{-3});

N_{n}(Z-1): población del nivel n, de la especie con carga (Z-1);

N_{1}(Z-1): población del nivel fundamental, de la especie con carga (Z);

g_{1}^{Z}: degeneración del nivel fundamental de la especie con carga (Z);

g_{n}^{Z-1}: degeneración del nivel n de la especie con carga (Z-1);

E_{\infty}^{Z}(n,l): energía de ionización de la especie de carga (Z-1) inicialmente en el nivel (n,l);

T_{e}: temperatura electrónica del plasma.

T_{e}, que aparece en la ecuación 1, es la temperatura de la distribución de los electrones libres en el plasma; mientras que la temperatura del plasma T representa la temperatura de los electrones enlazados. En la condición de trabajo (LTE), la diferencia entre estas temperaturas es insignificante.

La intensidad de cada línea espectral, característica de cada especie a presente en el plasma, depende de la concentración de la misma especie N_{a} y de la población del nivel de inicio, es decir de la temperatura del plasma T, según la fórmula:

(2)I_{ki}^{\lambda} = N_{a}\frac{g_{k}exp \left(\frac{-E_{k}}{k_{B}T}\right)}{U_{a}(T)}A_{ki}

en la que I_{ki}^{\lambda} es el número de fotones emitidos por unidad de volumen y por unidad de tiempo a la longitud de onda \lambda, característico de la transición entre los niveles k e i de la especie a, g_{k} es la degeneración del nivel superior, E_{K} la energía del nivel superior, k_{B} la constante de Boltzmann, A_{ki} la probabilidad de transición entre los dos niveles k e i, U_{a}(T) la función de partición de la especie a a la temperatura T, según la expresión:

(3)U_{a}(T) = \sum\limits_{k}g_{k}exp\left(\frac{-E_{k}}{k_{B}T}\right)

b) Procedimiento para el análisis sobre la base del método propuesto

El valor de la cantidad T se obtiene a través de mediciones de la intensidad de la radiación emitida por transiciones electrónicas.

Los valores de intensidad medidos,

\upbar{I _{ki}^{\lambda} }

, están relacionados con la intensidad emitida, I_{ki}^{\lambda}, por un factor de proporción F, que depende del aparato experimental y de las condiciones de medición (la respuesta espectral del aparato experimental se evalúa en el cálculo de la cantidad

\upbar{I _{ki}^{\lambda} }

).

Dicho factor F debe ser constante durante un turno de medición, es decir la adquisición de todas las partes del espectro que son necesarias para la medición se debe realizar en las condiciones experimentales.

Por esta razón es válida la siguiente relación:

(4)\overline{I_{ki}^{\lambda}} = FI_{ki}^{\lambda}

Utilizando los valores medidos de la intensidad de las líneas emitidas por una misma especie y los datos espectroscópicos relacionados (E_{k}, g_{k}, A_{ki}, que están disponibles en la literatura), es posible calcular la temperatura del plasma. Sustituyendo en la ecuación 4 la expresión I_{ki}^{\lambda}, de la ecuación 2, y aplicando el logaritmo natural de ambos términos el resultado es:

(5)ln \ \frac{\overline{I_{ki}^{\lambda}}}{g_{k}A_{ki}}= ln\frac{FN_{a}}{U_{a}(T)}-\frac{E_{k}}{k_{B}T}

En la condición de LTE, la temperatura T es la misma para todas las especies y U_{a}(T) es determinada por la temperatura. Por esta razón la ecuación 5 es la ecuación de una línea recta:

(6)y_{ki} = m + nx_{ki}

en donde:

x_{ki} = E_{k}

y_{ki} = ln(\bar{I_{ki}^{\lambda}}/(g_{k}A_{ki}))

m = ln(FN_{a}/U_{a}(T))

n = -1/k_{B}T

Para cada especie, los valores (x_{ki}, y_{ki}) que caracterizan cada línea se expresan en el plano (E, ln(\bar{I}_{ki}^{\lambda}/gA)): para cada especie se obtiene el valor de la pendiente n de la ordenada en el origen m por regresión lineal. La pendiente n obtenida de este modo proporciona el valor de la temperatura del plasma:

(7)T = -1/k_{B}n

Con el valor T calculado a través de la ecuación 7 (posiblemente promediado en las diferentes especies), el valor de la U_{a}(T) se determina a través de la ecuación 3. En este momento, utilizando el valor de la ordenada en el origen m, es posible calcular el valor de la concentración FN_{a}, es decir el producto de la concentración de la especie a por el factor experimental F.

De esta manera, se prosigue con la medición de FN_{a} para todas las especies que se han identificado (Nota: una vez que se ha encontrado T, la medición de una única línea será suficiente para determinar FN_{a}).

En condiciones de trabajo (T \sim 1 eV) (\sim 10^{4} ºC), se observan únicamente espectros que son emitidos por las primeras dos especies de cada elemento, es decir por el estado neutro y por el primero de ionización: de hecho, la abundancia relativa de átomos en estados de ionización superiores al primero es menor que 10^{-3}.

\newpage

Una vez que se han obtenido la temperatura del plasma y las concentraciones de las especies (multiplicadas por el Factor F), se puede calcular la concentración de los elementos (en lo sucesivo indicada mediante C_{i}).

El procedimiento se realiza según el siguiente esquema:

A) Cálculo de las concentraciones de los elementos por el factor experimental F

Para cada elemento se pueden encontrar los siguientes casos:

i) las concentraciones FN_{a} correspondientes a ambas especies están disponibles: en este caso la concentración del elemento se obtiene a través de la suma de las concentraciones de las dos especies. Además, a través de la ecuación 1, es posible calcular N_{e} (que en este caso es la única cantidad desconocida). A continuación, el procedimiento continúa según el punto B)

ii) está disponible la concentración correspondiente a solamente una de las dos especies y el valor N_{e} se conoce (este caso se produce cuando existe por lo menos un elemento para el cual se han medido las concentraciones de ambas especies): la concentración del elemento se puede obtener calculando la concentración de las otras especies, a través de la ecuación 1, y sumando las concentraciones de las dos especies. A continuación, el procedimiento continúa según el punto B)

iii) está disponible la concentración correspondiente a solamente una de las dos especies y el valor N_{e} no se conoce (este caso se produce cuando es posible medir las líneas de una única especie para cada uno de los elementos identificados): en este caso N_{e} se calcula como valor de convergencia de un algoritmo iterativo basándose en la ecuación de Saha y en las concentraciones de la especie que se han individualizado. Es decir, se debe fijar un valor de inicio razonable para N_{e} (en las condiciones típicas de trabajo N_{e} \sim 10^{18} electrones/cm^{3}) y a continuación el procedimiento continúa según el punto ii) para la determinación de las concentraciones de los elementos, multiplicadas por el factor F; seguidamente es necesario proseguir con el cálculo de las concentraciones reales según el punto B). Una vez que se ha eliminado el factor F y se han obtenido las concentraciones de los elementos, se recalcula N_{e} como la suma de las concentraciones N_{i} de las especies ionizadas (para la condición de neutralidad del plasma esto se corresponde con:

N_{e}=\sum\limits_{i=1}^{Tot}N_{i}(II),

en donde Tot es el número de elementos individualizados). Este nuevo valor de N_{e} se reintroduce en el punto iii) del algoritmo y el ciclo se repite hasta que el valor de N_{e} converge.

B) Determinación del factor experimental F y cálculo de las concentraciones reales

Es posible proceder de dos maneras:

i) utilizar una referencia interna. Cuando se conoce la concentración C_{elemento}^{conocida} de un elemento de la muestra (por ejemplo, Nitrógeno en la atmósfera), es posible determinar el factor F como la relación entre la concentración del mismo elemento, medida con el método LIBS según el punto A), y la concentración conocida

(8)F=\frac{(FC_{elemento})LIBS}{C_{elemento}^{conocida}},

y a continuación reescalar las otras concentraciones con el valor F, determinado de este modo;

ii) normalizar cada concentración con respecto a la suma de todas las concentraciones:

(9)C_{i}=\frac{(FC_{i})_{LIBS}}{\sum\limits_{j}^{Tot}(FC_{j})_{LIBS}},

en donde Tot indica el número de elementos individualizados. Las concentraciones calculadas según los métodos descritos en el punto ii) se ven afectadas por un error de porcentaje que es igual a por lo menos la concentración de los elementos que no se han individualizado. Las mediciones realizadas según el método descrito en el punto i) se ven afectadas únicamente por un error de porcentaje que se determina por la precisión según la cual se conoce la referencia, aunque dicho método es aplicable únicamente cuando está disponible una referencia interna.

El algoritmo descrito en los puntos A) y B) se resume en el diagrama de flujo mostrado en la Figura 6.

En la Figura 7 se muestra un esquema de bloques que describe el procedimiento correspondiente al análisis cuantitativo presentado en el presente documento.

Descripción de posibles aplicaciones

A continuación de describen diferentes aplicaciones de la técnica LIBS descrita en el presente documento. En todas las aplicaciones se utiliza el mismo procedimiento de análisis espectral que se describe en el esquema de bloques anterior.

a) Caracterización de aleaciones metálicas

En la caracterización de aleaciones metálicas el interés está habitualmente en la medición de la concentración de los componentes principales, es decir, de los componentes que están presentes en un porcentaje que es por lo menos 0,1%. En otros casos, como alternativa, puede que resulte importante el determinar la presencia de impurezas en las aleaciones, de una manera rápida, dando prioridad a la sensibilidad de la medición en lugar de a la precisión de la misma.

En la Fig. 1 se muestra un aparato adecuado y el mismo consta de una fuente 1 de radiación láser, un sistema óptico 2 de enfoque, un primer espejo 3, un soporte 4 para una muestra 5 de aleación metálica, un segundo espejo 6, un sistema óptico 7 para recibir la señal emitida, una fibra óptica 8, un espectrómetro 9, un sistema 10 de temporización para discriminar las líneas espectrales de la emisión continua, un ordenador 11, un sistema 12 de control electrónico e interfaz y un software para el análisis de datos.

Para el análisis de aleaciones metálicas, las condiciones típicas de trabajo son:

- densidad de flujo de radiación láser sobre el objetivo: \sim 10^{8} Wcm^{-2}

- frecuencia de repetición de 10Hz

- recepción con óptica de cuarzo (transparente a los UV)

- utilización de un sistema para el movimiento de la muestra para controlar el punto irradiado.

b) Supervisión de elementos traza en la atmósfera

En el análisis de trazas en la atmósfera el interés está en la medición de contaminantes u otros elementos que están presentes en forma de aerosoles, partículas submicrométricas o vapores, en cantidades del orden de ppm.

En la Figura 2 se muestra un aparato adecuado y el mismo consta de una fuente 21 de radiación láser, un sistema óptico 22 de enfoque para dirigir la radiación láser en el gas, un sistema óptico 24, una fibra óptica 25, un espectrómetro 26, un sistema 27 de temporización para discriminar las líneas espectrales de la emisión continua, un ordenador 28, un sistema 29 de control electrónico e interfaz y un software para el análisis de datos.

Para la supervisión de los elementos presentes en trazas en la atmósfera, las condiciones típicas de trabajo son:

- densidad de flujo de radiación láser en el punto focal: \sim 5.10^{9} Wcm^{-2}

- frecuencia de repetición de 10Hz (ó mayor)

- recepción con óptica de cuarzo (transparente a los UV).

c) Análisis de tierras

En la Fig. 3 se muestra un aparato adecuado para llevar a cabo un análisis rápido in situ o en laboratorio de tierras con el método según la invención y el mismo comprende una fuente 31 de radiación láser, un espejo 32 para dirigir la radiación láser hacia una muestra 33 de tierra sobre un soporte 34, una lente 35 de enfoque, una óptica 37 de captación, una fibra óptica 38, un sistema 39 de análisis de señales ópticas, un ordenador 40 y un software para el análisis de datos.

d) Análisis de herencia cultural

En la Fig. 4 se muestra un aparato adecuado para llevar a cabo el análisis de herencia cultural con el método según la invención y el mismo comprende una fuente 41 de radiación láser, un multiplicador 42 de frecuencias, un grupo de cuatro espejos 43 a 46 para dirigir de forma selectiva la radiación láser hacia un objetivo 47 bien directamente (análisis LIPS) ó bien a través de un multiplicador de frecuencias [para el análisis LIF (Frecuencia Inducida por Láser)], dos espejos adicionales 48-49 para dirigir la señal emitida hacia un sensor 50, un ordenador 51 y un software para el análisis de datos.

e) Espectroscopia de emisión atómica

En la Fig. 5 se muestra un aparato adecuado para llevar a cabo la espectroscopia de emisión atómica con el método según la invención y el mismo comprende una muestra 61 en cuya superficie se genera un plasma 62 por medio de una fuente de láser o cualquier otra fuente de radiación tal como una chispa eléctrica, microondas y otras. La señal emitida alcanza un retículo 63 de dispersión en el interior de un receptáculo 64 provisto de una pluralidad de rendijas 65, cada una de ellas encarada a un fotomultiplicador respectivo 66. Los fotomultiplicadores captan la intensidad integral de líneas correspondiente a líneas de emisión específicas de los materiales, y estos datos se procesan utilizando el procedimiento de análisis espectral descrito en el presente documento.

Claims (14)

1. Método para la medición cuantitativa de la concentración de componentes atómicos de materiales sólidos, líquidos o gaseosos, que comprende:

a) el análisis espectral de la radiación, emitida por una muestra que incluye una pluralidad de elementos excitados e ionizados de tal manera que generan un plasma;

b) el análisis cuantitativo de la radiación emitida;

c) el análisis cuantitativo sin calibración de la radiación emitida, en el que dicho análisis cuantitativo incluye:

d) la medición de a intensidad de las líneas espectrales emitidas por cada elemento;

e) la obtención de la temperatura del plasma (T) a partir de por lo menos una especie de la radiación emitida;

caracterizado por

f) la determinación de la concentración (N_{a}) de todas las especies multiplicada por un factor de proporción (F);

g) el cálculo de la concentración de cada elemento como la suma de las concentraciones correspondientes de la especies; y

h) la normalización de cada concentración con respecto a la suma de todas las concentraciones, para eliminar dicho factor de proporción (F).

2. Método según la reivindicación 1, caracterizado porque dicha temperatura (T) se determina calculando una media entre mediciones de más de una especie.

3. Método según la reivindicación 1, caracterizado porque comprende además la etapa de determinación del valor de la densidad electrónica (N_{e}).

4. Método según la reivindicación 3, caracterizado porque si está disponible la concentración (FN_{a}) correspondiente a solamente una de las especies, la concentración de las otras especies se calcula por medio de la ecuación de Saha-Boltzmann.

5. Método según la reivindicación 1, caracterizado porque si está disponible la concentración (FN_{a}) correspondiente a solamente una de las dos especies y el valor de la densidad electrónica (N_{e}) no se conoce, la concentración de las otras especies se calcula como valor de convergencia de un algoritmo iterativo basándose en la ecuación de Saha-Boltzmann y en las concentraciones de las especies que se han individualizado.

6. Método según la reivindicación 5, caracterizado porque dicho algoritmo iterativo comprende las etapas
siguientes:

a) fijación de un valor de inicio para la densidad electrónica (N_{e}),

b) cálculo de la concentración de las otras especies por medio de la ecuación de Saha-Boltzmann,

c) normalización de cada concentración con respecto a la suma de todas las concentraciones, para eliminar dicho factor de proporción (F),

d) cálculo de la densidad electrónica (N_{e}) como suma de las concentraciones (N_{i}) de las especies ionizadas, y

e) reintroducción del valor de la densidad electrónica (N_{e}) en el cálculo en el punto b), y repetición del ciclo hasta que el valor de la densidad electrónica (N_{e}) converja.

7. Método según la reivindicación 1, caracterizado porque dicho método comprende:

a) individualización de las líneas espectrales;

b) medición de la longitud de onda en una línea media;

c) medición de la integral de las líneas.

8. Método según las reivindicaciones 1 ó 7, caracterizado porque dicho método comprende la identificación de las especies a través de la correspondencia entra la medición de la longitud de onda en la línea media y una base de datos adecuada, según el criterio de la probabilidad máxima.

9. Método según la reivindicación 1, caracterizado por su aplicación para la caracterización de aleaciones metálicas.

10. Método según la reivindicación 1, caracterizado por su aplicación para la supervisión de elementos traza en la atmósfera.

11. Método según la reivindicación 1, caracterizado por su aplicación para el análisis in situ o en laboratorio de tierras.

12. Método según la reivindicación 1, caracterizado por su aplicación para el análisis de herencia cultural.

13. Método según la reivindicación 1, caracterizado por su aplicación para la espectroscopia de emisión atómica.

14. Sistema para el análisis cuantitativo de componentes atómicos de materiales que incluyen una pluralidad de elementos por medio de mediciones de espectroscopia LIBS, que comprende:

a) una fuente (1) de radiación láser;

b) medios ópticos (2, 3) para dirigir la radiación de la fuente láser hacia el material;

c) un sistema óptico (7) para recibir la radiación emitida por el plasma generado por el material;

d) un sistema (9) de análisis de señales ópticas; y

e) un ordenador (11) que incluye:

medios para medir la intensidad de las líneas espectrales emitidas por cada elemento;

medios para obtener la temperatura electrónica del plasma (T) a partir de por lo menos una especie de la radiación emitida;

caracterizado porque dicho ordenador incluye además

medios para determinar la concentración (N_{a}) de todas las especies multiplicada por un factor de proporción (F);

medios para calcular la concentración de cada elemento como la suma de las concentraciones correspondientes de las especies; y

medios para normalizar cada concentración con respecto a la suma de todas las concentraciones, para eliminar dicho factor de proporción (F).