EP4577803A1 - Verfahren und messeinrichtung zur bestimmung der lage eines objektes - Google Patents

Verfahren und messeinrichtung zur bestimmung der lage eines objektes

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EP4577803A1
EP4577803A1 EP23758557.5A EP23758557A EP4577803A1 EP 4577803 A1 EP4577803 A1 EP 4577803A1 EP 23758557 A EP23758557 A EP 23758557A EP 4577803 A1 EP4577803 A1 EP 4577803A1
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EP
European Patent Office
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rotation angle
meas
cumulative
time
rotation
Prior art date
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Pending
Application number
EP23758557.5A
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Inventor
Christoph Sieg
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Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
Original Assignee
Deutsches Zentrum fuer Luft und Raumfahrt eV
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Publication date
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Publication of EP4577803A1 publication Critical patent/EP4577803A1/de
Pending legal-status Critical Current

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    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01C—MEASURING DISTANCES, LEVELS OR BEARINGS; SURVEYING; NAVIGATION; GYROSCOPIC INSTRUMENTS; PHOTOGRAMMETRY OR VIDEOGRAMMETRY
    • G01C19/00—Gyroscopes; Turn-sensitive devices using vibrating masses; Turn-sensitive devices without moving masses; Measuring angular rate using gyroscopic effects
    • G01C19/02—Rotary gyroscopes
    • G01C19/42—Rotary gyroscopes for indicating rate of turn; for integrating rate of turn
    • G—PHYSICS
    • G01—MEASURING; TESTING
    • G01C—MEASURING DISTANCES, LEVELS OR BEARINGS; SURVEYING; NAVIGATION; GYROSCOPIC INSTRUMENTS; PHOTOGRAMMETRY OR VIDEOGRAMMETRY
    • G01C21/00—Navigation; Navigational instruments not provided for in groups G01C1/00 - G01C19/00
    • G01C21/10—Navigation; Navigational instruments not provided for in groups G01C1/00 - G01C19/00 by using measurements of speed or acceleration
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    • G01C21/16—Navigation; Navigational instruments not provided for in groups G01C1/00 - G01C19/00 by using measurements of speed or acceleration executed aboard the object being navigated; Dead reckoning by integrating acceleration or speed, i.e. inertial navigation
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/17—Function evaluation by approximation methods, e.g. inter- or extrapolation, smoothing, least mean square method

Definitions

  • the invention relates to a method for determining the position of an object by determining the rotation rates of the object, with rotation angle increments A0 k measured for successive times t meas>k and resulting in a cumulative rotation angle AO ⁇ ut for a cumulation time range comprising the times t meas>k I will be summarized. For this purpose, reference is made to FIG. 1.
  • Time interval t mpa . k — t mp:K k i is.
  • the /-th time range can be preceded by a (/-1)-th time range connect.
  • Gyroscopes are used to measure the rotation rate (angular velocity) around a predefined axis.
  • i are that the direction vectors are linearly independent along the axes of their measurement
  • the angular velocity vector w of a rotation about an axis of rotation oriented arbitrarily in space can be determined.
  • the (relative) change in position of the vehicle can be calculated from the rotation rate by integrating the signal. If the initial orientation is known, the absolute orientation of the vehicle in space is then known. Knowledge of the orientation is the input variable for attitude control and for determining the position when orientation-dependent forces act on the vehicle, e.g. B. caused by vehicle-mounted drive or braking systems.
  • the gyroscopes are usually bundled with acceleration sensors for measuring the linear acceleration in a sensor package (an inertial measurement unit or English: Inertial Measurement Unit (IMU)), which is available as a module and is the central component for determining the orientation and position of the vehicle.
  • IMU Inertial Measurement Unit
  • the IMU also contains signal processing stages with the aim of generating a signal at the user interface that can be used in the on-board computer. After the signals have been digitized and possibly filtered, the frequency is reduced so that a sufficiently low-frequency signal that meets the specifications of the interface protocol is available at the interface for further processing.
  • n of the rotation angle increments measured with time intervals Af 5 * 10 s to obtain the angle increment based on a magazine s at the output, i.e. the relative rotation angle by which the IMU rotated during a time step Af ou t.
  • This method already requires n measured angle increments Lcp k of time intervals, which together form the time range of the cumulative rotation angle A9 k , and delivers the cumulative rotation angle A0p Mt of the interval fj.
  • the rotation angle vector in the argument of the exponential function and on the right-hand side of the equation is to be interpreted as a so-called pure quaternion, which only has an imaginary part formed with the vector components of the angle increment A0p Mt.
  • the trigonometric functions are approximated by their Taylor polynomials up to the 3rd order.
  • the quaternions are to be multiplied using the quaternion product.
  • A0 k can be generalized to any number n of angle increments for a time range and an associated rotation angle A0p Mt.
  • the known methods for determining the position from a rotation angle A0p Mt of a time range for example the interval [f/_ 1; tj ⁇ by combining a number of n angle increments Acp k at times t meas>k , e.g. which together form the time domain, are very computationally complex and therefore require a relatively large amount of computing time, computing capacity and require relatively powerful and therefore complex electronics with hardware computing power.
  • the cumulative rotation angle A9 I 0U t for the time range I results as a function of the last cumulative rotation angle increment A9 I n 0U t, which was determined for the last time interval t n of the interval of the time range I. It can correspond to this cumulative rotation angle increment A9 I n 0Ut .
  • the rotation angle increments and rotation angles contain angle information for the required spatial directions and can have vectors with the vector components of the three units i, j, k of the unit quaternion described above or the three spatial directions x, y, z.
  • the rotation angle increments and rotation angles are not explicitly referred to as vectors in the present application and the claims for simplicity, the embodiment is included as a vector or representations thereof by skew-symmetrical matrices.
  • the method has the advantage that the iterative rotation angle increments are calculated directly without detours via quaternions. In each iteration step, the evaluation of only one equation, which will be explained in more detail later as equation (3.5), is required. This has the following consequences:
  • a polynomial approximation of the only transcendent function e.g. by its Taylor polynomial should be more accurate than the approximation of equation (2.6) by its Taylor polynomial of the same order.
  • d so that greater accuracy is achieved, especially for a larger number n.
  • the method can be easily adapted to the given requirements (e.g. the maximum rotation rate, sensor frequency, divider for the frequency, number of angle increments to be summed) for the user .
  • the method is based on the complex mathematical operations required for time-varying axes of rotation instead of a simple summation of the angular increments.
  • the reason for this is that rotations about non-parallel axes of rotation do not interchange with each other. Rather, the rotations in (three-dimensional) space form a group, the rotation group SO(3), which is a so-called Lie group.
  • the mathematical field of Lie groups forms the theoretical framework from which the representations of the group elements arise in the form of rotation matrices or in the form of unit quaternions.
  • the rotation matrices are special (their determinant is 1) orthogonal (their transpose is its own inverse) matrices in three dimensions.
  • the name of the group, SO(3), is derived from the terms special orthogonal rotation matrices in 3 dimensions.
  • Unit quaternions are the extension of complex numbers to three independent imaginary units whose norm calculated from the real and imaginary parts is 1 and can be multiplied by a non-commutative, norm-preserving product.
  • equations (3.5) When using equations (3.5), the required order can be chosen significantly lower than when using equations (2.3), (2.5) and (2.6) with the same numerical precision. This can reduce the complexity and reduce the computational effort, i.e. H. Calculation time and hardware effort can be reduced.
  • Figure 2 shows an associated flowchart of this method or the above procedure for determining a cumulative rotation angle increment from rotation angle increments measured with a rotation angle sensor for successive time intervals.
  • a closed expression for the first of the two series is already known from (A.9).
  • a closed expression for the second series can be obtained by applying an appropriate derivative operator to the known result:

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Abstract

Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Bestimmen der Lage eines Objektes durch Ermittlung der Drehwinkel des Objektes, wobei Drehwinkelinkremente Δθk für aufeinanderfolgende Messzeitpunkte tmeas,k mit k = 1,..., n gemessen und zu einem kumulierten Drehwinkel ΔθI out für einen die Zeitpunkte tmeas,k beinhaltenden Kumulations-Zeitbereich I zusammengefasst werden, gekennzeichnet durch Berechnen des kumulierten Drehwinkels ΔθI out für einen Kumulations-Zeitbereich I als Funktion von Exponenten einer Approximation mindestens zweiter Ordnung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel für die Lie-Rotationsgruppe SO(3), wobei iterativ kumulierte Drehwinkelinkremente ΔθI,k out für die Zeitpunkte tmeas,k mit k = 1,..., n jeweils aus der Funktion der Exponenten mit jeweils einem gemessenen Drehwinkelinkrement Δθk für das jeweilige Zeitintervall tmeas,k und dem für das vorhergehende Zeitpunkt tmeas,k-1 bestimmten kumulierten Drehwinkelinkrement ΔθI,k-1 out oder einem vorgegebenen Ausgangs- Drehwinkelinkrement ΔθI,0 out als Eingangsgrößen bestimmt werden und der kumulierte Drehwinkel ΔθI out für den Zeitbereich I durch das am letzten Messzeitpunkt tn bestimmte letzte kumulierte Drehwinkelinkrement ΔθI,n out bestimmt ist.

Description

Verfahren und Messeinrichtung zur Bestimmung der Lage eines Objektes
Das Projekt, das zu dieser Anmeldung geführt hat, wurde durch das Forschungsund Innovationsprogramm Horizont 2020 der Europäischen Union unter der Fördervereinbarung Nr. 101004205 gefördert.
Die Erfindung betrifft ein Verfahren zum Bestimmen der Lage eines Objektes durch Ermittlung der Drehraten des Objektes, wobei Drehwinkelinkremente A0k für aufeinanderfolgende Zeitpunkte tmeas>k gemessen und zu einem kumulierten Drehwinkel AO^ut für einen die Zeitpunkte tmeas>k umfassenden Kumulations- Zeitbereich I zusammengefasst werden. Hierzu wird auf die Figur 1 verwiesen.
Die Erfindung betrifft weiterhin eine Messeinrichtung zum Bestimmen der Lage eines Objektes durch Ermittlung der Drehraten des Objektes, wobei die Messeinrichtung eine Sensoreinheit zum Messen von Drehwinkelinkrementen A0k für aufeinanderfolgende Zeitpunkte tmeas>k hat und eine Datenverarbeitungseinheit, die eingerichtet ist, die an aufeinanderfolgenden Zeitpunkten tmeas>k gemessenen Drehwinkelinkremente A0k zu einem kumulierten Drehwinkel A0'out für einen die Zeitpunkte t-meas.fc mit den ganzen Zahlen k = 1 , ... , n umfassenden Zeitbereich I des Intervalls + £k=1 Atk] zusammenzufassen, wobei Atk die Länge jeweils eines
Zeitintervalls tmpa. k — tmp:K k i ist.
Zum Verständnis der Notation wird darauf hingewiesen, dass der Zeitbereich I (das Zeitintervall durch die Folge von n Messzeitpunkten tmeas>k, k = wobei tn = t, ist, in n Zeitintervalle [tmeas,fc-i>tmeas,fc] aufgeteilt wird, wobei die individuellen Längen Atk = tmeas>k — tmeas,fc-i unterschiedlich sein können. Der /-te Zeitbereich kann sich einen vorausgehenden, (/-1 )-ten Zeitbereich anschließen.
Gyroskope dienen der Messung der Drehrate (Winkelgeschwindigkeit) um eine vordefinierte Achse. Bei Verwendung mindestens dreier Gyroskope, die so orientiert i sind, dass die Richtungsvektoren entlang der Achsen ihrer Messung linear unabhängig sind, lässt sich der Winkelgeschwindigkeitsvektor w einer Drehung um eine beliebig im Raum orientierte Drehachse bestimmen.
Wenn die Gyroskope fest mit einem Objekt, wie insb. einem Fahrzeug (z. B. einer Rakete) verbunden sind, lässt sich aus der Drehrate durch Integration des Signals die (relative) Lageänderung des Fahrzeugs (Orientierung im Raum) berechnen. Bei bekannter Anfangsorientierung ist dann die absolute Orientierung des Fahrzeugs im Raum bekannt. Die Kenntnis der Orientierung ist die Eingangsgröße für die Lageregelung und für die Bestimmung der Position, wenn orientierungsabhängige Kräfte auf das Fahrzeug wirken, z. B. verursacht durch fahrzeugfeste Antriebs- oder Bremssystemen.
Üblicherweise werden die Gyroskope mit Beschleunigungssensoren zur Messung der Linearbeschleunigung in einem Sensorpaket (einer Inertialmesseinheit bzw. englisch: Inertial Measurement Unit (IMU)) gebündelt, welches als Modul verfügbar ist und zentraler Baustein für die Bestimmung der Orientierung und Position des Fahrzeugs ist. Die IMU enthält neben den Sensoren auch noch Stufen der Signalverarbeitung, mit dem Ziel an der Benutzerschnittstelle ein im Boardcomputer weiterzuverwendendes Signal zu erzeugen. Nach der Digitalisierung und evtl. Filterung der Signale erfolgt eine Reduktion der Frequenz, so dass an der Schnittstelle ein die Spezifikationen des Schnittstellenprotokolls erfüllendes hinreichend niederfrequentes Signal zur Weiterverarbeitung zur Verfügung steht.
Im Fall der Gyroskope werden oft nicht direkt die Drehraten w gemessen, sondern ihre Integrale, d. h. die über einen Abtastzeitschritt integrierte (d. h. kumulierte) Drehrate, die z. B. im Zeitschrift von durch gegeben ist. Im Fall einer zeitlich konstanten Drehachse entspricht dieses Integral dem (relativen) Drehwinkel (Winkelinkrement) A0k, um den sich die IMU während dieses Abtastzeitschrittes gedreht hat. Soll nun an der Benutzerschnittstelle ein kumulierter Drehwinkel ausgegeben werden, der sich auf einen längeren Zeitbereich (also eine niedrigere Frequenz /out < fn) bezieht, so sind die n individuellen Drehwinkel L6i~'[ +k, k = \ n, die innerhalb des Zeitintervalls t/ ] gemessen werden, aufzuaddieren.
Beträgt beispielsweise die Abtastfrequenz der Gyroskope f = 2 kHz, so dass die gemessenen Winkelinkremente auf eine konstante Abtastrate von s bezogen sind und soll die Frequenz an der Benutzerschnittstelle /out = 100 Hz -4 betragen, so sind jeweils n der mit Zeitabständen Af = 5 * 10 s gemessenen Drehwinkelinkremente summieren, um das Winkelinkrement bezogen auf einen Zeitschrift s am Ausgang zu erhalten, also den relativen Drehwinkel, um den sich die IMU während eines Zeitschritts Afout gedreht hat.
Diese Überlegungen sind allerdings nur korrekt, wenn die Rotation um eine zeitlich konstante Drehachse erfolgt. Diese Annahme ist jedoch in der Regel nicht erfüllt. Rotiert beispielsweise ein starrer Körper ohne Einwirkung äußerer Drehmomente um eine Achse, die keine der drei Hauptträgheitsachsen ist, so führt der Winkelgeschwindigkeitsvektor im körperfesten Bezugssystem eine Präzessionsbewegung aus und seine Richtung ist nicht zeitlich konstant. Im Kontext der Navigation wird dieses Phänomen als „Coning“ bezeichnet. Im Fall einer zeitlich veränderlichen Drehachse ergeben sich nun folgende Änderungen:
1 . Das von den Sensoren gemessene Integral Lcpk der Drehrate w ergibt nicht direkt das Winkelinkrement A0k, das direkt Drehachse und den Drehwinkel der im Abtastintervall erfolgten Drehung angibt. Stattdessen ist A0k aus den Integralen der aktuellen und vergangenen Drehraten zu berechnen.
2. Die direkte Summation zeitlich aufeinanderfolgender mit den Zeitintervallen [C-2+k, ti-i+k], [ti-i+k, ti+k] assoziierter Winkelinkremente A0k, A0k+1 ergibt nicht das zur Drehung im Zeitintervall [f/-2+kJ/+k] gehörende Winkelinkrement. Anstelle der einfachen Summation der Winkelinkremente ist eine kompliziertere mathematische Operation auszuführen.
John E. Bortz: „A New Mathematical Formulation for Strapdown Inertial Navigation“, in: IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems AES-7.1 (1971 ), pp. 61-66. DOI: 10.1109/TAES.1971 .310252, schlägt eine (nichtlineare) Differential- gleichung für den Drehwinkel 9(f) als Funktion der Zeit vor, die von der Drehrate w(f) abhängt und wie folgt lautet: mit0 - 0 = 0 - 0) = 00, 0 = ||0||2. (2.1 )
In der obigen Gleichung ist (einmalig zur Klarstellung) der mehrkomponentige Drehwinkel 9(f) in Fettdruck dargestellt, um ihn von seiner Norm ||0||2 zu unterscheiden.
Diese Differentialgleichung kann für kleine Drehwinkel 9 vereinfacht werden, indem sie um Drehwinkel 9 = 0 in eine Taylorreihe entwickelt wird, wobei nur die führende(n) Ordnung(en) beibehalten werden. Sie lässt sich dann beispielsweise in einem Zeitintervall [fM, t/], also für das Winkelinkrement A0pMt lösen. Hierzu wird w(f) in diesem Intervall durch ein Polynom (n - 1 )-ten Grades approximiert durch
Dessen n Koeffizienten können aus n gemessenen integrierten Drehraten Lcpk, k = 1, . . . , n bestimmt werden. Hierzu müssen die Koeffizienten in die Polynomapproximation eingesetzt, das Integral berechnet und dann die k = 1,..., n Gleichungen nach den Koeffizienten aufgelöst werden. Dieses Verfahren benötigt bereits n gemessene Winkelinkremente Lcpk von Zeitintervallen, die zusammen den Zeitbereich des kumulierten Drehwinkels A9k bilden, und liefert den kumulierten Drehwinkel A0pMt des Intervalls fj.
M. B. Ignagni: „Efficient class of optimized coning compensation algorithms“, in: Journal of Guidance, Control, and Dynamics 19.2 (1996), pp. 424-429. DOI: 10.2514/3.21635 (https://doi.Org/10.2514/3.21635) beschreibt einen Algorithmus höherer Ordnung. Allerdings steigt für höhere Ordnungen n der Rechenaufwand stark an und die Approximation der Messdaten durch Polynome hohen Grades n — 1 führt zu starken Oszillationen an den Rändern des Interpolationsintervalls, die als Runges Phänomen bekannt sind. R.A. McKern: „A study of transformation algorithms for use in a digital computer“, MA thesis, Massachusetts Institute of Technology, Dept, of Aeronautics and Astronautics, 1968 (http://hdl.handle.net/1721.1Z14164) offenbart einen Algorithmus zur Kombination der relativen Rotationen aus aufeinanderfolgenden Zeitintervallen. Dieser Algorithmus berechnet über den Umweg der Einheitsquaternionen aus den Winkelinkrementen zweier zeitlich aufeinanderfolgender Zeitintervalle das Einheitsquaternion der relativen Lageänderung während des gesamten Zeitintervall. Dabei wird der zuvor beschriebene Algorithmus zur Berechnung des kumulierten Drehwinkels A0pMt für das Intervall t/] genutzt, allerdings nur für zwei Ordnungen n = 2. Dann wird mit dem erhaltenen Drehwinkel A0pMt das Einheitsquaternion der relativen Lageänderung in dem Zeitintervall [/M , t/] berechnet zu:
Der Drehwinkel-Vektor im Argument der Exponentialfunktion und auf der rechten Seite der Gleichung ist als sogenanntes reines Quaternion zu interpretieren, das nur einen mit den Vektorkomponenten des Winkelinkrements A0pMt gebildeten Imaginärteil besitzt. Darüber hinaus werden die trigonometrischen Funktionen durch ihre Taylorpolynome bis zur 3. Ordnung approximiert.
Das Ergebnis wird dann verwendet, um ausgehend von einem Startzeitpunkt t0 und dem Quaternion = 1 das Quaternion der relativen Lageänderung rekursiv zu berechnen gemäß:
Hierbei sind die Quaternionen mittels des Quaternionproduktes zu multiplizieren.
In Analogie zu der Formel (2.3) werden die zu den Winkelinkrementen A0k-1, A0k gehörenden Quaternionen berechnet und dann in Analogie zur Formel (2.4) multipliziert, um das Quaternion zu erhalten. Anschließend ist dann das Winkelinkrement der kombinierten
Drehungen durch Inversion der Funktion (2.3) zurückzugewinnen. Die entsprechende Relation lautet für das aus den Vektorkomponenten des Winkelinkrements A0(„zt gebildete Quaternion wie folgt:
Diese Lösung für den Spezialfall von n=2 zeitlich aufeinanderfolgenden Winkelinkrementen A0k-1, A0k kann auf beliebige Anzahl n von Winkelinkrementen für einen Zeitbereich und einen zugehörigen Drehwinkel A0pMt verallgemeinert werden.
Die iterative Berechnung des Drehwinkels kann dann durch die Prozedur beschrieben werden:
Prozedur
Setze oQ = 1
Für k = l,...,n
Berechne aus A0k mit der Gleichung (2.3)
Berechne aus mit der Gleichung (2.5)
Berechne ^ mit der Gleichung (2.6)
Die Berechnung des Drehwinkelinkrementes A0p”t erfolgt indirekt über Quaternionen und beruht daher auf den drei Gleichungen (2.3), (2.4) und (2.5). Dies erfordert die Berechnung verschiedener transzendenter Funktionen (cos, sin, arcsin) z. B. nach Approximation durch ihre Taylorpolynome, wodurch der Rechenaufwand erhöht wird. Nach jeder n-ten rekursiven Aktualisierung des Quaternions wird die Gleichung (2.6) ausgewertet, um aus dem Quaternion das iterative Drehwinkelinkrement A0^t zurückzugewinnen. Auch dies ist mit erhöhtem Rechenaufwand verbunden, der jeden n-ten Rekursionsschritt anfällt. Bei Approximation der trigonometrischen Funktionen in der Gleichung (2.3) ist das Quaternion kein Einheitsquaternion mehr. Die Relation der Gleichung (2.6) gilt jedoch nur für Einheitsquaternionen. Ihre Anwendung auf nicht normierte Quaternionen führt zu einem zusätzlichen (numerischen) Fehler.
Die Berechnung der Gleichung (2.6) bei hinreichend großen Winkelinkrementen A0oMt, wie sie z. B. entstehen, wenn eine große Anzahl n von Inkrementen A0k summiert wird, erfordert bei Approximation durch ihr Taylorpolynom eine Berücksichtigung recht hoher Ordnungen, um die gewünschte numerische Genauigkeit zu erreichen. Dieses erhöht den Rechenaufwand.
Die bekannten Verfahren zur Bestimmung der Lage aus einem Drehwinkel A0pMt eines Zeitbereichs, bspw. des Intervalls [f/_1; tj\ durch Zusammenfassung einer Anzahl von n Winkelinkrementen Acpk an Zeitpunkten tmeas>k, bspw. die zusammen den Zeitbereich bilden, sind sehr rechenaufwändig und benötigen daher relativ viel Rechenzeit, Rechenkapazität und erfordern eine relativ leistungsfähige und damit aufwändige Elektronik mit Hardware-Rechenleistung.
Ausgehend hiervon ist es Aufgabe der vorliegenden Erfindung, ein verbessertes Verfahren zu schaffen.
Die Aufgabe wird mit dem Verfahren mit den Merkmalen des Anspruchs 1 und die Messeinrichtung mit den Merkmalen des Anspruchs 7 gelöst. Vorteilhafte Ausführungsformen sind in den Unteransprüchen beschrieben.
Es wird vorgeschlagen, dass zum Bestimmen der Lage eines Objektes Drehwinkelinkremente A9k an aufeinanderfolgenden Messzeitpunkten tmeas>k mit k = 1 , ... , n gemessen (bzw. aus gemessenen 4cpk berechnet) und zu einem kumulierten Drehwinkel A9I 0Ut für einen die Messzeitpunkte tmeas k umfassenden Kumulations- Zeitbereich I zusammengefasst werden, indem jeweils ein kumulierter Drehwinkel A9I 0Ut für einen Kumulations-Zeitbereich I als Funktion von Exponenten einer Approximation mindestens zweiter Ordnung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel für die Lie-Rotationsgruppe SO(3) berechnet wird. Dabei werden iterativ kumulierte Drehwinkelinkremente A9I k 0Ut für die Zeitpunkte tmeas>k mit k = 1 ,... , n jeweils aus der Funktion der Exponenten mit jeweils einem Drehwinkelinkrement A9k des Messzeitpunktes tk und dem für das vorhergehende Zeitintervall bestimmten kumulierten Drehwinkelinkrement A9I k 0Ut oder einem vorgegebenen Ausgangs- Drehwinkelinkrement A9I’0 out als Eingangsgrößen bestimmt. Der kumulierte Drehwinkel A9I 0Ut für den Zeitbereich I ergibt sich als Funktion des letzten kumulierten Drehwinkelinkrements A9I n 0Ut, das für das letzte Zeitintervall tn des Intervalls des Zeitbereichs I bestimmt wurde. Es kann diesem kumulierten Drehwinkelinkrement A9I n 0Ut entsprechen.
Die Drehwinkelinkremente und Drehwinkel enthalten Winkelinformationen für die erforderlichen Raumrichtungen und können Vektoren mit den Vektorkomponenten der drei Einheiten i, j, k des oben beschriebenen Einheitsquaternions bzw. der drei Raumrichtungen x, y, z haben. Auch wenn die Drehwinkelinkremente und Drehwinkel in der vorliegenden Anmeldung und den Ansprüchen zur Vereinfachung nicht explizit als Vektoren bezeichnet sind, ist die Ausführungsform als Vektor oder Darstellungen durch schiefsymmetrische Matrizen davon umfasst.
Das Verfahren hat den Vorteil, dass die Berechnung der iterativen Drehwinkelinkremente direkt ohne Umwege über Quaternionen erfolgt. In jedem Iterationsschritt ist die Auswertung nur einer Gleichung, die später als Gleichung (3.5) näher erläutert wird, erforderlich. Dies hat die folgenden Konsequenzen:
- Es ist nur eine einzige transzendente Funktion, ggf. approximiert durch ihr Taylorpolynom, zu berechnen.
- Die Iteration ist vereinfacht, da (bis auf die in jedem Fall notwendige Initialisierung) keine Ausführung eines zusätzlichen Rechenschrittes bei jedem n-ten Zeitschrift erforderlich ist. Dies ist insbesondere für die Implementierung auf stark limitierter Hardware (wie beispielsweise einem Field Programmable Gate Array (FPGA)) ein wichtiger Vorteil.
- Die Analyse der Fortpflanzung von Messunsicherheiten und Messrauschen wird erleichtert.
- Eine Polynomapproximation der einzigen transzendente Funktion, bspw. durch ihr Taylorpolynom sollte genauer sein als die Approximation der Gleichung (2.6) durch ihr Taylorpolynom gleicher Ordnung. Für große kumulierte Drehwinkel Ado' ut ur|d damit insbesondere für eine größere Anzahl n wird eine größere Genauigkeit erreicht. - Durch eine getrennte Wahl der beiden Ordnungen für die Approximation in einer Taylorreihe in zwei Variablen lässt sich das Verfahren recht einfach an die gegebenen Anforderungen (bspw. die maximale Drehrate, Sensorfrequenz, Teiler zur Frequenz, Anzahl der zu summierenden Winkelinkremente) für den Benutzer anpassen.
Im Fall einer zeitlich veränderlichen Drehachse ergeben sich nun folgende Änderungen:
1 . Das von den Sensoren gemessene Integral Lcpk der Drehrate w ergibt nicht direkt das Winkelinkrement A0k, das direkt Drehachse und den Drehwinkel der im Abtastintervall erfolgten Drehung angibt. Stattdessen ist l\Qk aus den Integralen der aktuellen und vergangenen Drehraten zu berechnen.
2. Die direkte Summation zeitlich aufeinanderfolgender mit den Zeitintervallen rtniPas fr-2Tn1Pas fr-il ftmeas fr-i TrnPas frl assoziierter Winkelinkremente A0k’7, A0k ergibt nicht das zur Drehung im Zeitintervall [tmeas,fc-2Tmeas,fc] gehörende Winkelinkrement. Anstelle der einfachen Summation der Winkelinkremente ist eine kompliziertere mathematische Operation auszuführen.
Das Verfahren beruht auf den bei zeitlich veränderlichen Drehachsen erforderlichen komplexen mathematischen Operationen anstelle einer einfachen Summation der Winkelinkremente. Die Ursache hierfür ist, dass Drehungen um nichtparallele Drehachsen miteinander nicht vertauschen. Vielmehr bilden die Drehungen im (dreidimensionalen) Raum eine Gruppe, die Drehgruppe SO(3), welche eine sogenannte Lie-Gruppe ist. Das mathematische Gebiet der Lie-Gruppen bildet den theoretischen Rahmen, aus welchem sich die Darstellungen der Gruppenelemente in Form von Rotationsmatrizen oder in Form der Einheitsquaternionen ergeben.
Die Rotationsmatrizen sind spezielle (ihre Determinante ist 1 ) orthogonale (ihr Transponiertes ist ihr eigenes Inverses) Matrizen in drei Dimensionen. Der Name der Gruppe, SO(3), leitet sich aus den Begriffen Spezielle-Orthogonale Rotationsmatrizen in 3 Dimensionen ab.
Einheitsquaternionen sind die Erweiterung komplexer Zahlen auf drei unabhängige imaginäre Einheiten, deren aus Real- und Imaginärteil berechnete Norm 1 ist und mittels eines nichtkommutativen, normerhaltenden Produktes multipliziert werden.
Jeweils zwei Einheitsquaternionen repräsentieren eine Rotation.
In Abhängigkeit der gewählten Darstellung folgen dann auch die oben beschriebenen Operationen für die Berechnung der Winkelinkremente und deren Summation.
Der kumulierte Drehwinkel A0^ut für einen Zeitbereich I, der eine Anzahl von n aufeinanderfolgenden Zeitpunkten tmeaSik mit k = 1 , ... , n beinhaltet, kann hierzu mit der Funktion des Exponenten y^ > OMt , y-J rekursiv (d. h. iterativ) aus einer Anzahl n von Drehwinkelinkrementen A9k, die an aufeinanderfolgenden Messzeitpunkten tmeas.k mit k = 1 , ... , n gemessen wurden, und dem jeweils für das vorhergehende
Zeitintervall bestimmten kumulierten Drehwinkelinkrement berechnet werden.
Der Exponent nullten Ordnung kann dabei sein. Der
Exponent erster Ordnung kann dabei Y(i:)( >Ae°y \ + > Ae'p 1 x y- + B die transzendente Funktion B(Q +
7 > i QÖ? r'io
+ d? + ife + + 63SS1287S +°« ) mit dem Bernoulli-Zahlen ß2k und dem
Operator 0(^12) berücksichtigt.
Es wird für den Messzeitpunkt tmeas k ein kumuliertes Drehwinkelinkrement jeweils aus der Summe der Exponenten nullten, ersten und mindestens zweiten Ordnung ma = 0, 1 und 2 bestimmt.
Die Berechnung beruht auf nur einer einzigen transzendenten Funktion, was den Zeit- und Rechenaufwand reduziert. Die Funktion des Exponenten kann die Summe der Argumente der
Approximationen in der nullten, ersten, zweiten und dritten Ordnung ma = 0, 1 , 2 und 3 umfassen. Durch die Berücksichtigung auch eines Exponenten der höheren dritten Ordnung kann die Genauigkeit weiter gesteigert werden. Auch hierbei ist nur die eine einzige transzendente Funktion enthalten.
Es kann eine Approximation der transzendenten Funktion für den l-ten Zeitbereich erfolgen. Dies beruht auf den Bernoulli-Zahlen B2k als Koeffizienten und dem zur vereinfachten Darstellung eingeführten Argument 0X, das als Platzhalter für den vorhergehenden kumulierten Drehwinkel Aö^r1 steht. Die Approximation kann von k gleich 1 bis zu einer als Funktion der Genauigkeit gewählten maximalen Iterationsstufe k = kmax durchgeführt werden (hier ist k der Term k-ter Ordnung in der Taylorentwicklung, nicht zu verwechseln mit dem k-ten Zeitschrift).
Das Ausgangs-Drehwinkelinkrement A9I 0 Out für k = 0 kann bei einer Initialisierung mit dem Wert Null vorgegeben werden. Zur Bestimmung des kumulierten Drehwinkels Aö^ut für den Zeitbereich [tpiTi] mit den gemessenen Drehwinkelinkrementen A01 bis A0n für die jeweiligen Zeitpunkte tmeas>k mit k = 1 , ... , n als Eingangsgrößen wird vor dem ersten Iterationsschritt die Initialisierung durchgeführt. Anschließend werden die kumulierten Drehwinkelinkremente A0I k out als Zwischenergebnisse iterativ mit k = 1 bis n aus dem jeweils für den vorhergehenden Iterationsschritt k-1 bestimmten oder vorgegebenen kumulierten Drehwinkelinkrement AO^-^ut und dem für den Zeitpunkt tmeas fc, der zum jeweiligen Iterationsschritt k gehörig ist, gemessenen Drehwinkelinkrement A0I k als Funktion von Exponenten der Approximation mindestens zweiter Ordnung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel für die Lie-Rotationsgruppe SO(3) berechnet.
Die Ermittlung der Drehrate des Objektes kann als Funktion des für den Zeitbereich [ti-iTi] bestimmten kumulierten Drehwinkels AO^ut und der Zeit At/;OUt = Sfc=i Atfc erfolgen. Die Drehrate w kann hierzu aus dem Quotient des kumulierten Drehwinkels Aö^ut und der Zeit At/ out berechnet werden.
Die Erfindung wird nachfolgend anhand der beigefügten Zeichnung mit einem Ausführungsbeispiel näher erläutert. Es zeigt:
Figur 1 - Zeitverlauf der fc = gemessenen bzw. des aus den Messungen zu den Messzeitpunkten tmeas k ermittelten Inputs Aßk, dem k-ten Iterationsschritt zur Bestimmung des k-ten kumulierten Winkelinkrements Output 40^ zum Zeitpunkt t/
Figur 2 - Skizze einer Messeinrichtung zur Bestimmung der Lage eines Objektes;
Figur 3 - Flussdiagramm des Verfahrens zur Bestimmung eines kumulierten Drehwinkelinkrementes aus gemessenen Drehwinkelinkrementen;
Figur 4 - Weiteres Flussdiagram des Verfahrens.
Figur 1 zeigt einen Zeitverlauf der k = gemessenen bzw. des aus den Messungen zu den Messzeitpunkten tmeas>k ermittelten Messwerte für die Drehwinkelinkremente, d. h. den Inputs Aßk, dem k-ten Iterationsschritt zur Bestimmung des k-ten kumulierten Winkelinkrements Aßa^t und dem kumulierten Drehwinkel, d. h. dem Messergebnis als Output A6I^Jt zum Zeitpunkt t;. Damit wird die Zeitabfolge mit den Messzeitpunkten tmeas k, der Aufsummierung für unterschiedliche Zeitintervalle k = 1 , ...., n und der Zusammenfassung zum niederfrequenten (Low Frequency) Messergebnis deutlich.
Figur 2 zeigt eine Skizze einer Messeinrichtung 1 zur Bestimmung der Lage eines Objektes 2. Die Messeinrichtung hat mindestens ein Inertiale Messeinheit IMU, die zur Messung der Drehwinkelinkremente A0k aufeinanderfolgender Zeitpunkte tmeas>k für die Erfassung rotierender (kreisender) Bewegungen der Inertialen Messeinheit IMU und des damit verbundenen Objektes 2 in den drei zueinander orthogonal stehenden Raumachsen (X- bzw. Y- bzw. Z-Achse) des kartesischen Koordinatensystems eingerichtet ist. Diese gemessenen Drehwinkelinkremente A0k werden als Eingangswerte einer Datenverarbeitungseinheit zugeführt, die zur Berechnung eines kumulierten Drehwinkels Aö^ut für einen Kumulations-Zeitbereich I, der aufeinanderfolgende Zeitpunkte tmeas k mit i = 1 , ... , n umfasst, eingerichtet.
Die Datenverarbeitungseinheit 3 kann beispielsweise ein Mikroprozessor oder
Mikrocontroller sein, der ein Computerprogramm mit Programmbefehlen ausführt, die den Mikroprozessor oder Mikrocontroller veranlassen, die Verfahrensschritte des anspruchsgemäßen Verfahrens auszuführen. Die Datenverarbeitungseinheit 3 kann aber auch als festverdrahtete Hardware-Logik, wie beispielsweise ein Field- Programmable-Gate-Array o.ä. ausgeführt sein.
Mit dem Verfahren wird eine direkte Berechnung des kumulierten Drehwinkels A9'out iterativ aus jeweils dem im letzten Schritt gespeicherten und dem aktuell gemessenen Drehwinkelinkrement A0kdurchgeführt. Grundlage bildet die aus der Theorie der Lie-Gruppen stammende Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) Formel, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt. Sie liefert für die Multiplikation zweier durch die Exponentialabbildung erhaltenen Elemente ea, eß einer Lie-Gruppe den Exponenten y(a, ß) des resultierenden Elementes e^“- ß), welches also die Relation e/(a. ß) = ea eß (3.1 ) erfüllt. Das Ergebnis y(a, ß) wird durch die Baker-Campbell-Hausdorff Formel als formale Reihenentwicklung in der Gesamtordnung m von f und g angegeben und hat daher schematisch folgende Form: mit dem Koeffizienten c(maimp), wobei die tatsächliche Form wegen der allgemeinen Nichtvertauschbarkeit der Gruppenelemente a ß ß a wesentlich komplizierter ist.
Die allgemeine Baker-Campbell-Hausdorff (BCH) Formel ist als formale Reihe noch nicht in einer Form, die für die Summation zeitlich aufeinanderfolgender mit den Zeitintervallen [ti-3+k, tj.2+k], [ti-2+k, tj.i+k] assoziierter Winkelinkremente A9k~1, L6k geeignet ist, um das tatsächliche zur Drehung im Zeitintervall [f/-3+k, ti-i+k] gehörende Drehwinkelinkrement, d. h. den Drehwinkel A9'out für den Zeitbereich I (in diesem Fall bestehend aus zwei Unterintervallen), zu erhalten. Die BCH-Formel muss noch auf den Spezialfall der Lie-Gruppe SO(3) spezialisiert werden. Zudem muss eine geeignete Auswertung / Berechnung der Reihenentwicklung erfolgen. Nach der Spezialisierung auf SO(3) wird eine geeignete Auswertung des dann immer noch als Reihe vorliegenden Ausdrucks durchgeführt. Die Spezialisierung auf die Lie-Gruppe S0(3) liefert zunächst nur die benötigte Relation für die Summation zweier Winkelelemente, für den zuvor beschriebenen Fall wobei y nach wie vor als Reihenentwicklung in der Gesamtordnung m wie in Gleichung (3.2) gegeben ist und A0oMt hier das auf das aus den beiden Einzelintervallen [f/-3+k, ti-2+k], [ti-2+k, ti-i+k] zusammengesetzte Intervall [fz-3+k, f/.7+k] bezogen ist.
Die Auswertung der Reihenentwicklung gemäß Gleichung (3.2) der Funktion y in der Gleichung (3.3) erfolgt unter der Annahme, dass nur ihr zweites Argument klein ist und daher nur in diesem Argument eine Approximation durch das Taylorpolynom vorgenommen werden kann. Dieses ist erforderlich, denn bei iterativer Anwendung der Relation (3.3) auf insgesamt n Elemente gemäß der Vorschrift: beinhaltet das erste Argument von y das (iterative) kumulative Drehwinkelinkrement den vorangegangenen k-1 Schritten. Dieses ist also für große k < n nicht notweniger Weise klein. Daher kann eine Approximation der Taylorreihe im ersten Argument durch ihr Taylorpolynom zu einem inakzeptabel großen numerischen Fehler führen.
Die BCH-Formel lässt sich nun für die Lie-Gruppe SO(3) wie folgt approximieren, um die Exponenten der Ordnungen mß = 0, 1 , 2 zu erhalten:
Die einzige, in dem Gleichungssystem enthaltene und durch Approximation zu berechnende Funktion ist die transzendenten Funktion B(Q. Diese beinhaltet die Bernoulli-Zahlen ß2fc und den Operator O(^12).
Die Herleitung der Approximation mindestens zweiter Ordnung mß der Baker- Campbell-Hausdorff-Formel für die Lie-Rotationsgruppe SO(3) wird später noch im Detail beschrieben.
Es reicht aus, wenn lediglich im zweiten Argument 02 = ~ eine Approximation durch das Taylporpolynom mindestens in den Ordnungen mß = 0, 1 , 2 vorgenommen wird.
Die Ausdrücke sind hingegen im ersten Argument exakt.
01 A0/,fc — 1
Es tritt nur eine einzige transzendente Funktion B(y) = B( — ^-) auf, die je nach Anwendungsfall durch ihr Taylorpolynom approximiert werden kann. Ein Vergleich der die Bernoulli-Zahlen B2k beinhaltenden Koeffizienten des Taylorpolynoms mit denen des Taylorpolynoms in der Gleichung (2.6) zeigt, dass erstere bei Erhöhung der Ordnung jenseits der 3. Ordnung um ungefähr einen Faktor 1/10 kleiner werden, während letztere nur um etwa einen Faktor zwischen 5/10 und 1 kleiner werden.
Daher ist es für numerische Berechnungen, bei denen die transzendente Funktion B( und die Gleichung (2.6) durch ihre Taylorpolynome approximiert werden müssen, von Vorteil, den Ausdruck gemäß Gleichung (3.5) zu berechnen, anstatt den herkömmlichen Algorithmus zu verwenden, der sich auf die Gleichung (2.6) stützt. AClI’k — 1
Die maximal erforderlichen Ordnungen der Taylorpolynome für B( °2 ut ) und den Ausdruck (2.6) hängen dabei von der gewünschten numerischen Genauigkeit bei gegebenen maximal zu erwartenden Werten für die Winkelinkremente und deren Anzahl n ab, die in einem einzigen Winkelinkrement A0oMt zusammengefasst werden sollen.
Bei Verwendung der Gleichungen (3.5) kann die erforderliche Ordnung bei gleicher numerischer Genauigkeit deutlich niedriger gewählt werden als bei Verwendung der Gleichungen (2.3), (2.5) und (2.6). Damit kann die Komplexität reduziert und der Rechenaufwand, d. h. Berechnungszeit und Hardwareaufwand, reduziert werden.
Die iterative Berechnung des kumulierten Drehwinkels A0pMt des Intervalls [tj.^ tj] mit Hilfe der Approximation mindestens zweiter Ordnung der Baker-Campbell- Hausdorff-Formel für die Lie-Rotationsgruppe SO(3) kann auf Grundlage der Gleichungen (3.4) und (3.5) durch die Prozedur wie folgt durchgeführt werden:
Prozedur
Setze
Für iterativ:
Berechne A0{'^ aus dem (iterativen) kumulierten Drehwinkelinkrement A0^71 und dem gemessenen Drehwinkelinkrement A0k gemäß Gleichung (3.4) mit der expliziten Form (3.5)
Setze den resultierenden kumulierten Drehwinkel A0oMt gleich dem letzten (iterativen) kumulierten Drehwinkelinkrement
Figur 2 zeigt ein zugehöriges Flussdiagramm dieses Verfahrens bzw. der obigen Prozedur zur Bestimmung eines kumulierten Drehwinkelinkrementes aus mit einem Drehwinkelsensor für aufeinanderfolgende Zeitintervalle gemessenen Drehwinkelinkrementen.
Berechnung des expliziten Ausdrucks für die BCH Formel für die Lie-Gruppe SO(3) Im folgenden wird ein Ausdruck für die BCH Formel für die Lie-Gruppe SO(3) hergeleitet, die Rotationen im dreidimensionalen Euklidischen Raum beschreibt.
Strategie ist hierbei, die Entwicklung der Formel in Ordnungen nur ihres zweiten Argumentes 02 = — durchzuführen und die Abhängigkeit vom ersten Argument
= — y— in allen Ordnungen zu resummieren, so dass die Formel bezüglich ihres ersten Argumentes exakt ist. Das Ergebnis stellt also eine Entwicklung der Formel in Ordnungen ihres zweiten Argumentes 02 bei gleichzeitiger Resummation aller Abhängigkeiten von ihrem ersten Argument dar.
M. Müger: „Note on the theorem of Baker-Campbell-Hausdorff-Dynkin“ (https://www.math.ru.nl/~mueger/PDF/BCHD.pdf) gibt einen Überblick über einige Grundlagen, Fakten und Beweise zur BCH-Formel. Dort wird im Abschnitt 8 und insbesondere in Bemerkung 8.2 auf Seite 24 darauf hingewiesen, dass auf Grundlage einer speziellen Stufung der Algebra, basierend auf der Wortlänge im zweiten Argument anstelle der Gesamtwortlänge in beiden Argumenten, eine Entwicklung der BCH Formel im zweiten Argument erfolgen kann. Der entsprechende Ausdruck ist bis zu ersten Ordnung im zweiten Argument angegeben, ohne allerdings eine Spezialisierung auf die Lie-Gruppe SO(3) vorzunehmen und die die Bernoulli-Zahlen beinhaltende Serie explizit zu resummieren.
1 . Berechnung der nullten und ersten Ordnung, = 0,1
Wird die in erster Ordnung einfachen Schritte der Spezialisierung und der Resummation unter Verwendung der Erzeugendenfunktion der Bernoullizahlen aus, welche durch
_ - _ y°° Bn „n ez — 1 ^n=0 n[ z (A.1 ) gegeben ist, ergibt sich für den in M. Müger: „Note on the theorem of Baker- Campbell-Hausdorff-Dynkin“ als Reihe gegebenen Ausdruck der BCH-Formel die folgende explizite Darstellung in resummierter Form: Die Taylorreihe der Funktion (2fc) enthält nur gerade Ordnungen von $2, so dass die Berechnung der Gleichung (A.2) keine Berechnung der in der Norm des Vektors enthaltenen Quadratwurzel erfordert. Dieses ist bei numerischen Berechnungen ein Vorteil.
2. Grundlagen zum Formalismus und Zusammenhang zwischen der Differentialgleichung der Winkelinkremente und der BCH Formel
Die zur Herleitung der zweiten Ordnung erforderlichen Grundlagen und Schritte werden im Folgenden dargestellt.
Ausgangspunkt bildet die Exponentialabbildung, die auch für Argumente a definiert ist, die Elemente einer Lie-Algebra, also des Tangentialraums einer Lie-Gruppe am Element der Identität sind, und die durch Matrizen dargestellt werden können. Die Exponentialabbildung ist über ihre Taylorreihe definiert wobei a ein Element einer Darstellung einer Lie-Algebra ist. Dieses Element a kann z.B durch die reinen Quaternionen im Fall der Rotationen gegeben sein. Potenzen in der obigen Gleichung sind so zu verstehen, dass sie mit dem entsprechenden Produkt durchzuführen sind, was für die Darstellung definiert ist, also z. B. dem Matrixprodukt im Fall einer Matrixdarstellung oder dem Quaternionenprodukt im Fall einer Darstellung durch Quaternionen.
Da verschiedene Elemente a, ß einer Lie-Algebra in der Regel nicht miteinander vertauschen, also aß ß a gilt, ist die Ableitung der Exponentialabbildung nicht durch den bekannten Ausdruck gegeben. Vielmehr liefert die Anwendung der Ableitung auf die Reihendarstellung gemäß Gleichung (A.4) den folgenden Ausdruck: wobei der n-fache Kommutator folgendermaßen definiert ist: und die adjungierten Wirkung des Elements a auf ein anderes Element ß repräsentiert.
Aus der Ableitung gemäß Gleichung (A.5) folgt nun die Relation
Diese lässt sich invertieren. Dazu wird die Erzeugendenfunktion der Bernoulli-Zahlen verwendet, welche in Gleichung (A.1 ) gegeben ist. Das Inverse von der Relation (A.7) ist dann gegeben durch
Es wird nun eine für numerische Berechnungen in der Praxis bedeutsame Eigenschaft erkennbar, nämlich, dass die Reihe in der Inverse gemäß (A.8) nur gerade Potenzen von a enthält. Deshalb hängt der dann auf die Lie-Gruppe SO(3) spezialisierte Ausdruck nur von geraden Potenzen der Norm von a ab und beinhaltet somit keine Quadratwurzeln. Zunächst wird die Relation für die Erzeugendenfunktion auf ihre geraden und ungeraden Potenzen projiziert, so dass die Gleichungen erhalten werden:
1
Daraus folgt unmittelbar, dass B1 = — ~ B = 0 für n > 1 ist Es gilt also:
Dieses Ergebnis wird verwendet, um die Inverse gemäß Gleichung (A.8) in folgende Form zu bringen:
(A.11 )
Dieser Ausdruck (A.11 ) wird nun spezialisiert auf die Lie-Gruppe SO(3), bzw ihrer doppelten Überlagerung, die Lie-Gruppe SU(2), dargestellt durch die Einheitsquaternionen. Für zwei Elemente 6, w aus ihrer Lie-Algebra su(2) reduzieren sich die multiplen Kommutatoren wie folgt:
Durch wiederholte Anwendung dieser Relation ergibt sich für die Gleichung (A.11 ) dann der Ausdruck Nach Identifikation des einfachen Kommutators mit dem Kreuzprodukt und Reduktion des doppelten Kommutators / Kreuzproduktes ist das Ergebnis (A.13) in der Tat die Differentialgleichung für das Winkelinkrement 0 in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit w, die in der Gleichung (2.1 ) gegeben ist.
Das Ergebnis der Gleichung (A.8) und im Spezialfall der Lie-Gruppe SO(3) dessen expliziter Ausdruck durch (A.13) sind eng verknüpft mit der Baker-Campbell- Hausdorff Formel, wie im Folgenden gezeigt wird. Die Baker-Campbell-Hausdorff Formel liefert das Lie-algebra-wertige Element / als Funktion zweier Lie-algebra- wertiger Elemente a, ß, als Lösung folgender Relation eY(a,ß) = ea eß (A.15)
Um diesen Zusammenhang zu zeigen, wird der Exponent y in Ordnungen von ß entwickelt, wie dieses z. B. in M. Müger: „Note on the theorem of Baker-Campbell- Hausdorff-Dynkin“ dargestellt ist. Hierzu wird einen Parameter t ER eingeführt und die Entwicklung geschrieben als wobei klarer Weise y(°) = y(cr, 0) = a ist.
Das Ergebnis für yW in der Entwicklung der Gleichung (A.16) kann direkt aus der Gleichung (A.11 ) erhalten werden, wenn a durch y(a, t ß) ersetzt wird. Dieses führt dann auf die folgende Differentialgleichung für y. (A.17)
Durch Einsetzen von t = 0 in die obige Gleichung wird wegen der Gleichung (A.16) ein Ergebnis für yCD erhalten, das wie folgt lautet:
Ein Vergleich dieses Ergebnisses mit der Gleichung (A.11 ) zeigt, dass die Differentialgleichung für das Lie-algebra-Element a bei gegebenem Lie-algebra- Element ß = e~a dt ea identisch mit der Gleichung für den in ß linearen Beitrag in der BCH Reihe gemäß Gleichung (A.16) ist. Hinzu kommt, dass durch Einsetzen von t = At die Approximation von y durch y = a + zu einer Lösung der Differentialgleichung (A.11 ) zur linearen Ordnung in Af ß wird.
3 Berechnung der zweiten Ordnung, mp = 2
Im Folgenden wird der Term der BCH Reihe (A.16) hergeleitet. Dieser beinhaltet die Terme 2. Ordnung in ß.
Zunächst müssen hierfür die Ableitung der Relation (A.11 ) berechnet werden. Dies führt zu:
Eine Gleichung für ist analog zum Vorgehen im Fall für zu erhalten. Hierzu kann a durch y(a, t ß) ersetzt und außerdem ß = 0,t = 0 eingesetzt werden. Damit ergibt sich
Um ein explizites Ergebnis für den Spezialfall der Lie-Gruppe S0(3) zu erhalten, wird die Reihe in (A.20) zu einem geschlossenen Ausdruck summiert. Es kann analog wie zur Herleitung von (A.13) vorgegangen werden, wobei die Gleichung (A.12) verwendet wird, um die multiplen Kommutatoren zu reduzieren. Außerdem wird direkt 0 0 a = y,ß = y gesetzt, um das Ergebnis in den im Haupttext verwendeten Variablen zu erhalten. Um die Reduktionsformel (A.12) nutzen zu können, kann zunächst festgestellt werden, dass sich eine allgemeine Folge mit Argument fk wie folgt in Folgen der nur geraden und nur ungeraden Anteile aufteilen lässt:
(A.21 )
Mit dieser Identität lässt sich die innere Summe in (A.20) wie folgt aufteilen: wobei die Heavyside Stufenfunktion ist. Einsetzen dieses Ergebnisses in die Reihe in (A.20) liefert die Taylorreihe:
Ein geschlossener Ausdruck für die erste der beiden Reihen ist bereits aus (A.9) bekannt. Ein geschlossener Ausdruck für die zweite Reihe kann durch Anwenden eines geeigneten Ableitungsoperators auf das bekannte Ergebnis erhalten werden:
Analytische Fortsetzung der Ausdrücke durch Identifikation z = i 0X führt dann für den Term der BCH Reihe, der quadratisch in 02 ist, auf das Ergebnis das nur von einer einzigen transzendenten Funktion, B(£), abhängt, die bereits im Ausdruck für erscheint und in (A.3) gegeben ist. Dieser Umstand ist für numerische Berechnungen von Vorteil, da nur eine einzige transzendente Funktion approximiert und berechnet werden muss.
4. Expliziter Ausdruck für die BCH Formel bis zur zweiten Ordnung, = 0, 1, 2 Das explizite Ergebnis der BCH Formel für SO(3) in der Entwicklung (A.16), d. h. bis einschließlich der Terme quadratischer Ordnung im zweiten Argument -^- wird im Folgenden zusammengefasst und vereinfacht. Der Term y<°) ist einfach durch das 0 erste Argument y der Funktion gegeben. Der Term ist durch (A.13) gegeben, wenn darin 0 0X und co 02 ersetzt oder wahlweise direkt der Ausdruck (A.2) verwendet wird. Der Term ist in (A.25) dargestellt. Damit ergibt sich für die BCH Formel
Nun werden die folgenden Identitäten verwendet: um zunächst die in der Gleichung (A.26) auftretenden multiplen Kommutatoren zu berechnen und zu vereinfachen
Damit kann die Formel (A.26) schrittweise auf folgende Form gebracht werden:
5. Berechnung höherer Ordnungen, > 3 Das beschriebene Verfahren lässt sich direkt auch für die Berechnung höherer Ordnungen anwenden. Insbesondere die Ordnung mß = 3 in 02, also der Term in der BCH Reihe (A.16) kann genutzt werden, um eine noch größere Genauigkeit zu erhalten. Figur 4 zeigt ein Flussdiagramm des Verfahrens, bei dem mindestens ein Gyroskop in x-Richtung, in y-Richtung und in z-Richtung eine Messung der Winkelinkremente A <Pi,2,3 vornimmt. Diese können aus dem Integral der Winkelgeschwindigkeit Wi, 2.3(f) über eine Zeit von einem vorhergehenden Messzeitpunkt tmeas,k-i bis zu einem aktuellen Messzeitpunkt tmeas,k gebildet werden. Die drei Messwerte für die Winkelinkremente A<pk 2,3 können vektorisiert werden, um einen Drehwinkelinkrement-Vektor Acpk zu erhalten.
Damit können dann die einzelnen Drehwinkelinkremente A0k rekursiv aus dem Exponenten A0k(A<pk-1,A<pk) mit der Verzögerung (Delay) z’1 zur Einbeziehung des vorhergehenden Drehwinkelinkrement-Vektors A<pk-1 berechnet werden.
Die Berechnung der kumulierten Drehwinkelinkremente erfolgt mit dem Exponenten rekursiv mit einer Verzögerung (Delay) z’1 zur
Einbeziehung des vorher berechneten kumulierten Drehwinkelinkrementes Aö^r1 aus den voher bestimmten einzelnen Drehwinkelinkrementen A0k.
Das letzte so berechnete kumulierte Drehwinkelinkrement bildet dann den kumulierten Drehwinkel A0oMt als Messergebnis.

Claims

Patentansprüche
1 . Verfahren zum Bestimmen der Lage eines Objektes durch Ermittlung der Drehwinkel des Objektes, wobei Drehwinkelinkremente A9k an aufeinanderfolgenden Messzeitpunkten tmeas>k mit k = 1 , n gemessen und zu einem kumulierten Drehwinkel A9I 0Ut für einen die Zeitpunkte tmeas>k umfassenden Kumulations- Zeitbereich I zusammengefasst werden, gekennzeichnet durch
Berechnen des kumulierten Drehwinkels A9I 0Ut für einen Kumulations-Zeitbereich I als Funktion von Exponenten einer Approximation mindestens zweiter Ordnung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel für die Lie-Rotationsgruppe SO(3), wobei iterativ kumulierte Drehwinkelinkremente A9I k 0Ut für die Zeitpunkte tmeas>k mit k = 1 , ... , n jeweils aus der Funktion der Exponenten mit jeweils einem zum Zeitpunkt tk gemessenen Drehwinkelinkrement A9k und dem für den vorhergehenden Zeitpunkt tmeas,fc-i bestimmten kumulierten Drehwinkelinkrement A9I k’1 0ut oder einem vorgegebenen Ausgangs- Drehwinkelinkrement A9I’°0Ut als Eingangsgrößen bestimmt werden und der kumulierte Drehwinkel A9I 0Ut für den Zeitbereich I durch zum letzten Zeitpunkt tn bestimmte letzte kumulierte Drehwinkelinkrement A9I n 0Ut bestimmt ist.
2. Verfahren nach Anspruch 1 , dadurch gekennzeichnet, dass der kumulierte Drehwinkel A0oMt für einen Zeitbereich I, der eine Anzahl von n aufeinanderfolgenden Zeitpunkten tmeas>k mit k = 1 , ... , n beinhaltet, mit der Funktion des Exponenten y^ ^"' , iterativ aus einer Anzahl n von Drehwinkel inkrementen A9k, die an aufeinanderfolgenden Messzeitpunkten tmeas>k mit k = 1 , ... , n gemessen wurden, und dem jeweils für das vorhergehende Zeitintervall bestimmten kumulierten Drehwinkelinkrement Aö^r1 berechnet wird, wobei der Exponent nullten Ordnung y(°) der Exponent erster Ordnung a und der Exponent zweiter Ordnung transzendenten Funktion + + sÜttSs +°(,;14 den Bernoulli-zahlen ß2„ und dem
Restglied der Ordnung o(^12) ist, und sich das für den Zeitpunkt tmeas>k kumulierte Drehwinkelinkrement ^-J jeweils aus der Summe der Exponenten in der nullten, ersten und mindestens zweiten
Ordnung ma = 0, 1 und 2 ergibt. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch gekennzeichnet, dass die Funktion des Exponenten ^— ) die Summe der Argumente der
Approximationen in der nullten, ersten, zweiten und dritten Ordnung ma = 0, 1 , 2 und 3 umfasst. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch
Approximation der transzendenten Funktion für den k-ten Zeitbereich mit den Bernoulli-Zahlen B2I als Koeffizienten und 0X gleich dem vorhergehenden kumulierten Drehwinkel Aö^1 bis zu einer als Funktion der Genauigkeit gewählten maximalen Iterationsstufe l = lmax Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, dass zur Bestimmung des kumulierten Drehwinkels Aö^ut für den Zeitbereich Atfc] mit den gemessenen Drehwinkelinkrementen A91 bis A0n für die jeweiligen Zeitpunkte tmeas>k mit k = 1 , n als Eingangsgrößen das Ausgangs- Drehwinkelinkrement A9I 0 out für k = 0 mit dem Wert Null vorgegeben wird und die kumulierten Drehwinkelinkremente A0I koUt iterativ mit k = 1 bis n aus dem für den vorhergehenden Iterationsschritt k-1 bestimmten oder vorgegebenen kumulierten Drehwinkelinkrement AO^-^ut und dem zum Zeitpunkt t-meas.fc, das zum jeweiligen Iterationsschritt k gehörig ist, gemessenen Drehwinkelinkrement A0k als Funktion von Exponenten der Approximation mindestens zweiter Ordnung der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel für die Lie- Rotationsgruppe SO(3) berechnet wird. Verfahren nach einem der vorhergehenden Ansprüche, gekennzeichnet durch Ermittlung der Drehrate des Objektes als Funktion des für den Zeitbereich
+ Zk=i Atfc] bestimmten kumulierten Drehwinkels Aö^ut und der Zeit Sfc=i Atfc. Messeinrichtung zum Bestimmen der Lage eines Objektes durch Ermittlung der Drehraten des Objektes, wobei die Messeinrichtung eine Sensoreinheit zum Messen von Drehwinkelinkrementen A0k für aufeinanderfolgende Zeitpunkte tmeas.fc hat und eine Datenverarbeitungseinheit, die eingerichtet ist, die an aufeinanderfolgenden Zeitpunkten tmeas>k gemessenen Drehwinkelinkremente A0k zu einem kumulierten Drehwinkel A0'out für einen die Zeitpunkte tmeas>k umfassenden Zeitbereich I zusammenzufassen, dadurch gekennzeichnet, dass die Datenverarbeitungseinheit zum Berechnen des kumulierten Drehwinkels AO^ut für einen Kumulations-Zeitbereich I als Funktion von Exponenten einer Approximation mindestens zweiter Ordnung der Baker-Campbell-Hausdorff- Formel für die Lie-Rotationsgruppe SO(3), wobei iterativ kumulierte Drehwinkelinkremente A0I kout für die Zeitpunkte tmeas. /cmit k= 1 , n jeweils aus der Funktion der Exponenten mit jeweils einem Drehwinkelinkrement A0 für den jeweiligen Zeitpunkt tmeas>k und dem für den vorhergehenden Zeitpunkt tmeas.k-i bestimmten kumulierten Drehwinkelinkrement AO^-^ut oder einem vorgegebenen Ausgangs- Drehwinkelinkrement A0I’°out als Eingangsgrößen bestimmt werden und der kumulierte Drehwinkel AO^ut für den Zeitpunkt tmeas n durch das am letzten Zeitpunkt tmeas „bestimmte letzte kumulierte Drehwinkelinkrement A0I n out bestimmt ist. Messeinrichtung nach Anspruch 7, dadurch gekennzeichnet, dass die Datenverarbeitungseinheit zur Durchführung der Schritte der Verfahren nach einem der Ansprüche 2 bis 6 eingerichtet ist. Computerprogramm, umfassend Befehle, die bei der Ausführung des Computerprogramms durch eine Datenverarbeitungseinheit diese veranlassen, das die Schritte des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1 bis 6 auszuführen.
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