EP3262466A1 - Procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure - Google Patents

Procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure

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Publication number
EP3262466A1
EP3262466A1 EP16714972.3A EP16714972A EP3262466A1 EP 3262466 A1 EP3262466 A1 EP 3262466A1 EP 16714972 A EP16714972 A EP 16714972A EP 3262466 A1 EP3262466 A1 EP 3262466A1
Authority
EP
European Patent Office
Prior art keywords
layer
index
wave
layers
diffraction
Prior art date
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Withdrawn
Application number
EP16714972.3A
Other languages
German (de)
English (en)
Inventor
Wolfgang IFF
Alexandre Tishchenko
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
Universite Jean Monnet
Original Assignee
Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
Universite Jean Monnet
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Centre National de la Recherche Scientifique CNRS, Universite Jean Monnet filed Critical Centre National de la Recherche Scientifique CNRS
Publication of EP3262466A1 publication Critical patent/EP3262466A1/fr
Withdrawn legal-status Critical Current

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    • G—PHYSICS
    • G03—PHOTOGRAPHY; CINEMATOGRAPHY; ANALOGOUS TECHNIQUES USING WAVES OTHER THAN OPTICAL WAVES; ELECTROGRAPHY; HOLOGRAPHY
    • G03F—PHOTOMECHANICAL PRODUCTION OF TEXTURED OR PATTERNED SURFACES, e.g. FOR PRINTING, FOR PROCESSING OF SEMICONDUCTOR DEVICES; MATERIALS THEREFOR; ORIGINALS THEREFOR; APPARATUS SPECIALLY ADAPTED THEREFOR
    • G03F7/00—Photomechanical, e.g. photolithographic, production of textured or patterned surfaces, e.g. printing surfaces; Materials therefor, e.g. comprising photoresists; Apparatus specially adapted therefor
    • G03F7/70—Microphotolithographic exposure; Apparatus therefor
    • G03F7/70058—Mask illumination systems
    • G03F7/7015—Details of optical elements
    • G03F7/70158—Diffractive optical elements
    • G—PHYSICS
    • G03—PHOTOGRAPHY; CINEMATOGRAPHY; ANALOGOUS TECHNIQUES USING WAVES OTHER THAN OPTICAL WAVES; ELECTROGRAPHY; HOLOGRAPHY
    • G03F—PHOTOMECHANICAL PRODUCTION OF TEXTURED OR PATTERNED SURFACES, e.g. FOR PRINTING, FOR PROCESSING OF SEMICONDUCTOR DEVICES; MATERIALS THEREFOR; ORIGINALS THEREFOR; APPARATUS SPECIALLY ADAPTED THEREFOR
    • G03F7/00—Photomechanical, e.g. photolithographic, production of textured or patterned surfaces, e.g. printing surfaces; Materials therefor, e.g. comprising photoresists; Apparatus specially adapted therefor
    • G03F7/70—Microphotolithographic exposure; Apparatus therefor
    • G03F7/70216—Mask projection systems
    • G03F7/70316—Details of optical elements, e.g. of Bragg reflectors, extreme ultraviolet [EUV] multilayer or bilayer mirrors or diffractive optical elements
    • G—PHYSICS
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    • G03F7/70483—Information management; Active and passive control; Testing; Wafer monitoring, e.g. pattern monitoring
    • G03F7/70491—Information management, e.g. software; Active and passive control, e.g. details of controlling exposure processes or exposure tool monitoring processes
    • G03F7/705—Modelling or simulating from physical phenomena up to complete wafer processes or whole workflow in wafer productions
    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING OR CALCULATING; COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/11—Complex mathematical operations for solving equations, e.g. nonlinear equations, general mathematical optimization problems
    • G06F17/12—Simultaneous equations, e.g. systems of linear equations
    • G—PHYSICS
    • G03—PHOTOGRAPHY; CINEMATOGRAPHY; ANALOGOUS TECHNIQUES USING WAVES OTHER THAN OPTICAL WAVES; ELECTROGRAPHY; HOLOGRAPHY
    • G03F—PHOTOMECHANICAL PRODUCTION OF TEXTURED OR PATTERNED SURFACES, e.g. FOR PRINTING, FOR PROCESSING OF SEMICONDUCTOR DEVICES; MATERIALS THEREFOR; ORIGINALS THEREFOR; APPARATUS SPECIALLY ADAPTED THEREFOR
    • G03F7/00—Photomechanical, e.g. photolithographic, production of textured or patterned surfaces, e.g. printing surfaces; Materials therefor, e.g. comprising photoresists; Apparatus specially adapted therefor
    • G03F7/70—Microphotolithographic exposure; Apparatus therefor
    • G03F7/708—Construction of apparatus, e.g. environment aspects, hygiene aspects or materials
    • G03F7/7095—Materials, e.g. materials for housing, stage or other support having particular properties, e.g. weight, strength, conductivity, thermal expansion coefficient
    • G03F7/70958—Optical materials or coatings, e.g. with particular transmittance, reflectance or anti-reflection properties

Definitions

  • the invention relates to the diffusion / diffraction of an electromagnetic wave by complex material structures, and in particular the modeling of diffusion / diffraction properties and the numerical calculation of diffusion / diffraction for heterogeneous structures and of considerable thickness compared to at the wavelength.
  • the modeling aims to calculate the diffraction of a structure characterized by the spatial distribution of the dielectric permittivity defined along different axes at each point of the structure.
  • the electromagnetic modeling of a structure is carried out in the state of the art to allow either an approximate resolution method, a statistical resolution method, or an exact resolution method.
  • the structure to be modeled is decomposed into a set of N contiguous layers and M orders. of diffraction.
  • the diffusion matrix Si of each index layer i is calculated and makes it possible to express the outgoing field amplitudes as a function of the amplitudes incident on the two faces of this layer. It can thus be noted that an outgoing amplitude of a layer constitutes an incidental amplitude for an adjacent layer.
  • a matrix S for the component is formed by combining all the matrices Si of the different layers.
  • EP2302360 discloses a method of modeling the diffraction properties of periodic microscopic structures and a method of calculating associated diffraction.
  • the method expresses the problem by an integral volume form of a vector field replacing the electric field.
  • the vector field is obtained from the electric field by a base change, so as to present a continuity to the limits of the material.
  • Convolutions are performed on the vector field using convolution operators, according to Laurent's finite series. It is thus possible to produce matrix products by means of fast Fourier transformations.
  • An operator of convolution and Base change is configured to transform the vector field to the desired electric field, via a base change depending on the material and geometry properties of the periodic structure.
  • the modeling method splits the structure into different flat layers parallel to an XY plane in a Cartesian XYZ coordinate system. Each layer has a respective thickness in the Z direction.
  • a two-dimensional diffraction grating is modeled by a periodic variation of the dielectric permittivity of a layer according to two different directions defined by vectors of the network in the XY plane.
  • the resolution process transforms the wave equation into an implicit integral equation.
  • the resolution process then converts the wave equation into reciprocal space along the X and Y axes. Because of the division of the structure into layers of the same thicknesses, the integral formulation can be expressed as equations. matrices, corresponding to sums of harmonics and expressing the stacking of layers in the form of sums. The components of the normal and tangent electric field are then separated. A block-Toplitz form of the matrices can be established without requiring matrix inversions. The resolution then consists in performing a matrix inversion of a matrix that can be expressed as products of block-diagonal matrices and Toplitz-block matrices.
  • Matrix inversion is in practice computed by matrix multiplications, with a method of solving iterative linear equations of GMRES type, rather than by a direct calculation of matrix inversion.
  • the block-Toplitz form makes it possible to carry out calculations by fast Fourier transformation, with a calculation time then substantially proportional to M, and a digital memory utilization substantially proportional to M also.
  • the calculation time obtained with this resolution method is proportional to N for simple and not very thick structures.
  • the calculation time and the memory occupancy increase rapidly with the thickness of the layers of the structure to be modeled.
  • a large number of iterations is then necessary to obtain a convergence of the iterative method, which results in a significant increase in computing time and digital memory. necessary.
  • the resolution method is poorly suited for structures with heterogeneities of very different layers in the structure, which calls into question certain assumptions of the resolution method.
  • the calculation remains demanding in the amount of digital memory used, the resolution data of the entire structure to be stored throughout the calculation. This amount of computing memory required greatly limits the thickness of the structures that can be modeled.
  • the document US6898537 describes a method for the numerical calculation of the diffraction of a structure.
  • a numerical model of the structure defines the dielectric permittivity at each point of it.
  • the method defines a numerical modeling of a diffraction pattern of the structure including splitting the model into a number N of digital models of respective superimposed planar layers.
  • the method determines the diffraction pattern of each of the layers from the digital dielectric permittivity model of this layer.
  • the method describes the numerical computation of the diffraction of the structure, based on the propagation of a wave across the layers in a given direction.
  • the document EP1804126 describes a method for the numerical calculation of the diffraction of a structure, a numerical model of which defines the dielectric permittivity at each point.
  • This method comprises the definition of a numerical modeling of a diffraction pattern of the structure.
  • This definition of numerical modeling includes the splitting of the digital dielectric permittivity model of the structure into a number N of digital dielectric permittivity models of superimposed flat layers.
  • the invention aims to solve one or more of these disadvantages.
  • the invention thus relates to a method of numerical calculation of the diffraction of a structure of which a numerical model defines the dielectric permittivity at each point, as defined in the appended claims.
  • FIG 1 is a sectional view of an example of structure to be modeled split into different layers
  • FIG. 2 is a diagrammatic sectional view of an example of a simplified structure of the OLED type, to be modeled, divided into different layers;
  • FIG. 3 diagrammatically represents a system configured to model and numerically calculate the diffraction of a structure
  • FIGS. 4 and 6 schematically represent various parameters calculated during a first phase of a calculation method
  • FIGS. 5 and 7 schematically represent various parameters calculated during a subsequent phase of the calculation method
  • FIGS. 8 and 9 schematically represent various parameters calculated during a first iteration of a calculation method according to another variant
  • FIGS. 10 and 11 represent schematically different parameters calculated during subsequent iterations of a calculation method according to this other variant
  • FIGS. 12 and 13 schematically represent various parameters calculated during a first iteration of a calculation method according to yet another variant
  • FIG. 14 illustrates a logic diagram of an example of a method for the numerical calculation of the diffraction of a structure.
  • Figure 1 is a sectional view of an example of a structure 1 to be modeled.
  • the structure 1 here has a parallelepiped structure with a flat upper face and a lower face on which electromagnetic waves can be incident.
  • the structure 1 here comprises different zones, for example made of different materials having distinct dielectric permittivity distributions.
  • a numerical model of the dielectric permittivity of structure 1 at each point is known.
  • the dielectric permittivity of structure 1 is therefore determined at each of its points, or determinable by a law (distribution, for example) in each of its points.
  • a first aspect of the invention aims to define a numerical model of the diffraction of structure 1 for the application of incident electromagnetic waves on the upper face and / or the lower face.
  • the invention aims in particular to define such a numerical model to allow a diffraction calculation whose amount of digital memory used is proportional to a number M of diffraction orders considered.
  • the invention may be implemented by a digital processing system 2 illustrated in FIG. 3.
  • Such a digital processing system 2 may for example include a computing device 21 (for example a server equipped with an operating system and appropriate computing applications), a storage device 22 of the digital dielectric permittivity model of the structure 1, and a storage device 23 for calculation results.
  • the storage device 23 may, for example, store digital models (detailed below) of diffraction of different layers of the structure 1 or the digital diffraction model of the whole of the structure 1.
  • An example of a numerical modeling method may be the following.
  • the numerical model of dielectric permittivity of structure 1 is first split into a number N of digital dielectric permittivity models.
  • Each of these digital dielectric permittivity models corresponds to a respective flat layer of the structure 1, the different layers being superimposed in a direction perpendicular to the upper and lower faces of the structure 1.
  • Each of these layers is subsequently identified by its index i, the index i increasing between the lower face and the upper face of the structure 1 with values between 1 and N, as illustrated in FIG.
  • Figure 2 is a sectional view of another example of a structure 1 to be modeled.
  • Figure 2 corresponds to a simplified diagram of an OLED type structure.
  • the different layers of the digital model are here chosen according to the functions of the different layers of the structure 1, these different layers typically having different thicknesses.
  • the numerical models of the different layers of the structure 1 may therefore for example include a digital model of an air layer 11, a digital model of a glass layer 12, a digital model of a diffusion layer 13, a digital model of a transparent electrode 14, a digital model of a polymer layer 15, a digital model of an emitting layer 16, a digital model of a polymer layer 17 and a numerical model of a metal electrode 18.
  • the number of layers N is chosen so that each layer is sufficiently fine so that a diffraction pattern of each layer can be determined from its numerical model of dielectric permittivity, and so that the diffraction pattern of each layer can be calculated with a numeric memory occupancy less than or equal to K * M.
  • this number of layers N is chosen so that each layer is sufficiently fine so that a diffraction pattern of each layer can be calculated in a time less than or equal to K * M * log (M).
  • K is a factor independent of M, typically a constant.
  • the determination of the diffraction model of each layer can for example be implemented by the method called GSM (for Generalized Source Method in English) thereafter, and described in the document 'New fast and memory-sparing method for rigorous electromagnetic analysis of 2D periodic dielectric structures, Shcherbakov and Tishchenko, published in Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer on pages 158-171.
  • GSM Generalized Source Method in English
  • the diffraction model of each layer i can for example be noted as a linear operator ⁇ such that:
  • the operator U can be obtained by the generalized source method (GSM) described in AA Shcherbakov, AV Tishchenko, "New fast and memory-sparing method for rigorous electromagnetic analysis of 2D periodic dielectric structures", J. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 1 13, 158-171 (2012) or by an analytical formulation for very thin layers with respect to the wavelength described in AV Tishchenko, "Analytical solutions of 2D grating diffraction: GSM versus Rayleigh hypothesis," Proc.
  • GSM generalized source method
  • a diffraction calculation of at least one incident wave is made from the diffraction patterns of the N layers.
  • diffraction calculations can be made for different incident waves from these diffraction patterns.
  • a propagation calculation is made in parallel by applying an incident wave on the layer 1 and a propagation calculation by applying an incident wave on the N layer.
  • digital memory can be further optimized that with this first variant (here a memory occupancy proportional to 2M * (N + 1)), it nevertheless proves to be particularly suitable for being implemented by parallel computing means, for example processor systems or multiple graphics cards.
  • an initial iteration (or iteration of index 0) of the process is illustrated with reference to FIG. 4.
  • M incident diffraction orders whose amplitudes are contained in the vector / 0 ° are applied to the diffraction pattern of the layer 1, on its outer face.
  • the M transmitted diffraction orders whose amplitudes are contained in the vector are calculated with this diffraction model, and the M reflected orders b ° are calculated and stored.
  • the M transmitted orders calculated in the diffraction model of the index layer i are applied.
  • the M transmitted orders f ° are also memorized. The memorized elements are illustrated inside dashed circles in Figure 4.
  • Incident orders ° +1 are applied to the diffraction model of the N layer on its outer face.
  • the transmitted commands c N ° are calculated with this diffraction model, and the reflex orders g N ° are calculated and stored.
  • the transmitted orders calculated c +1 are applied to the diffraction model of the index layer i.
  • the orders transmitted c ° are calculated, and the reflected orders g ° are calculated and stored.
  • the transmitted commands c ° are also memorized.
  • the memorized elements are illustrated inside dashed circles in Figure 6. During this initial iteration, the operator U is practically applied in the following way, in the absence of incidence:
  • the output amplitudes of the initial iteration are calculated by adding the amplitudes of the incident orders on an external face and the amplitudes of the orders reflected by this same face:
  • This initial iteration requires a computation time proportional to the number N of layers and requires a memory occupation proportional to 2M * (N + 1).
  • the vector v of the amplitudes of the final solution containing the amplitudes of all the diffraction orders of all the layers is determined from the basic solution v ° by successive iterations. Each iteration is here followed by a convergence test, to determine if the solution vector of the iteration is a final solution.
  • the solution sought adds the set of vectors of the iterations.
  • a convergence test is carried out at the end of each iteration. The convergence test is part of a method of solving a system of linear equations defined by the implicit equation above.
  • the resolution of the implicit equation is for example based on the GMRES method, usually used to iteratively obtain a numerical solution of a system of linear equations without matrix inversion.
  • the GMRES method is notably described in the document 'Iterative Methods for Sparse Linear Systems' by M. Saad, second edition of 'Society for Industrial and Applied Mathematics', published in 2003 (ISBN 978-0-89871-534-7).
  • the GMRES method usually seeks to solve the system of linear equations of the type:
  • Matrix A is assumed to be invertible and of size (m x m). Moreover, we assume that b is normed, i.e.,
  • 1,
  • K n ⁇ Vect ⁇ ⁇ b, Ab, A 2 .b, A ⁇ n -> .b ⁇
  • Vect corresponds to the generated vector subspace.
  • the Arnoldi method also produces an upper Hessenberg matrix H n of size (n + 1) .x n with
  • Each iteration of the GMRES algorithm usually includes:
  • the asterisk * after a vector indicates its transposition with the conjugation.
  • the solution x k is sought in the space W k as a linear superposition of the vectors ⁇ k taken with the coefficients y k :
  • the error standard is calculated at each iterative algorithm step of the GMRES method.
  • the calculated error standard is compared to a predefined threshold. Yes the calculated error standard is greater than the threshold, a new propagation iteration is calculated. If the calculated error standard is below the threshold, it is determined that the calculated solution is sufficiently close to the final solution to interrupt the propagation iterations.
  • the GMRES method is applicable even with computing devices having limited memory resources, and the maximum thickness of the structure that can be modeled is greatly increased.
  • the base vector v ° is enlarged by also including the amplitudes f ° and c °.
  • index k> 0
  • the final solution found by such an iterative method includes the amplitudes f N and c x .
  • the amplitudes / and b at the output of the structure are found by addition with the reflected amplitudes of the initial iteration:
  • This modification results in a larger memory occupancy, proportional to (N + 1) for each iteration, hence we do not need the final iteration, the total number of iterations is therefore reduced.
  • the application of a propagation in one direction is sequentially carried out, then the orders reflected in the opposite direction are applied. This second variant makes it possible to optimize the use of the digital memory with a proportional occupation to M * (N + 1).
  • the vector of the incident orders / 0 ° is applied to the diffraction model of the layer 1, on its external face.
  • the transmitted commands are calculated with this diffraction model, and the reflected orders b ° are calculated and stored.
  • the initial iteration is continued by the application of the incident orders ° +1 to the diffraction model of the layer N, on its external face.
  • the transmitted commands c N ° are calculated with this diffraction model, and the orders reflected g N ° are calculated and memorized.
  • the amplitude of the orders transmitted c ° is calculated, and the amplitudes of the reflected orders g ° are calculated and stored.
  • the amplitudes of the transmitted commands c ° are also memorized.
  • the memorized elements are illustrated inside dashed circles in FIG. 9.
  • the output amplitudes of the initial iteration are calculated by adding between the amplitudes of the incident orders on an external face and the amplitudes of the orders reflected by this face:
  • This initial iteration requires a computation time proportional to the number N of layers. Due to the release of the digital memory occupied by the computed orders b ° + 1 , this initial iteration requires a memory occupation proportional to M * (N + 1).
  • the final solution vector v is determined from the base solution v ° by successive iterations. Each iteration is followed by a convergence test as detailed above, to determine if the solution vector of the iteration is a final solution.
  • index k 0
  • Each iteration requires a computation time proportional to the number N of layers and requires a memory occupation proportional to M * (N + 1).
  • the convergence test also uses a method of solving a system of linear equations to search for the solution of this implicit equation without matrix inversion.
  • the base vector v ° is enlarged by including the amplitudes f ° and c °.
  • index k 0
  • the amplitudes / and b at the output of the structure are found by addition with the reflected amplitudes of the initial iteration:
  • This modification results in a larger memory occupancy, proportional to (N + 1) for each iteration, hence we do not need the final iteration, the total number of iterations is therefore reduced.
  • a propagation calculation is carried out in parallel by applying an incident wave on the layer 1 and a propagation calculation by applying an incident wave on the N layer.
  • the use of the digital memory remains the same as in the first variant (a memory occupancy proportional to 2M * (N + 1)), the propagation computation in the layers is more parallelizable, which proves to be particularly suitable to be implemented for a large number of parallel computing means (for example at least 4, or with a number of parallel computing means at least equal to a quarter of the number of layers N), for example systems with multiple processors or graphics cards.
  • a large number of parallel computing means for example at least 4, or with a number of parallel computing means at least equal to a quarter of the number of layers N
  • M incident diffraction orders whose amplitudes are contained in the vector / 0 ° are applied to the diffraction model of the layer 1, on its outer face.
  • the M transmitted diffraction orders whose amplitudes are contained in the vector are computed with this diffraction model and stored, and the M orders b b ° are calculated and stored:
  • Incident orders ° +1 are applied to the diffraction model of the N layer on its outer face.
  • the orders transmitted here are calculated with this diffraction pattern and stored, and the reflected orders g N are calculated and stored.
  • This initial iteration requires a calculation time of a layer since the calculation is parallelized and requires a memory occupancy proportional to 4M.
  • the vector v of the amplitudes of the final solution is determined from the basic solution v ° by successive iterations. Each iteration is followed by a convergence test as detailed above to determine whether the solution vector of the iteration can be considered as a final solution.
  • the convergence test also uses a method of solving a system of linear equations to search for the solution of this implicit equation without matrix inversion.
  • a vector propagation g N _ x is carried out towards the N layer: and a vector propagation c x to layer 1
  • This iteration requires a calculation time of a layer and requires a memory occupation proportional to 2M.
  • the base vector v ° is enlarged by also including the amplitudes f ° and c °.
  • index k 0
  • the amplitudes / and b at the output of the structure are found by addition with the reflected amplitudes of the initial iteration:
  • This modification results in a larger memory occupancy, proportional to (N + 1) for each iteration, hence we do not need the final iteration, the total number of iterations is therefore reduced.
  • FIG. 14 schematically represents an example of a sequence of steps implemented in a method of numerical calculation of the diffraction of a structure.
  • step 301 a numerical model of the dielectric permittivity of a structure is defined at each of its points.
  • the digital dielectric permittivity model of the structure is divided into N digital dielectric permittivity models, each of these digital models each corresponding to a planar layer of the structure, these planar layers being superimposed in a perpendicular direction to the upper and lower faces of the structure.
  • the layers, corresponding to the splitting of the dielectric permittivity model of the structure, are determined so that the diffraction pattern of each of these layers can be calculated from its numerical model of dielectric permittivity in a time less than or equal to K * M * log (M).
  • a diffraction pattern is determined for each of the N layers from its digital dielectric permittivity model.
  • the diffraction model of each layer i can for example be noted as an operator that
  • step 304 an initial propagation iteration of the incident orders is carried out through the diffraction patterns of the layers of the structure.
  • step 305 a propagation iteration of the orders diffracted and calculated during the previous iteration is carried out through the diffraction models of the layers of the structure.
  • step 306 a convergence test of the last diffracted order propagation iteration is carried out using a method of solving a system of linear equations without matrix inversion and applying it to the resolution of the implicit equation sought for convergence of iterations. If the condition of the convergence test is not fulfilled, step 305 is executed again for a new iteration of propagation of the diffracted orders. At the step 307, a final iteration of propagation of the orders diffracted and calculated during the previous iterations is carried out, through the diffraction models of the layers of the structure. We deduce the result of the diffraction of the structure.
  • the diffraction properties depend on the polarization and the usual scalar methods model them erroneously.
  • the calculation methods according to the invention make it possible to simulate large sections of such periodic or non-periodic structures, or even the complete structure.
  • Such a method of calculation can for example be applied to a refracto-diffracting micro-lens of minimum size and minimum weight used in a scanning system or optical scanning ultra-fast.
  • a calculation method according to the invention can also be applied in diffusing optics.
  • Such a calculation method can in particular be applied for the optimization of the desired distribution of mono- or poly-chromatic light by a scattering layer.
  • a diffusing layer typically comprises a host medium containing microspheres or micro-polyhedra of refractive index different from that of the host medium.
  • the diffusing layer generally illuminates a screen uniformly, desirably illuminating a volume from a localized light source or part of a light wall.
  • Such a calculation method can also be used in diffusive optics for optimizing a diffusing layer intended to extract efficiently the light produced, for example, by a light-emitting diode of the Electro-Luminescent Diode type (LED in English) or an organic electroluminescent diode.
  • a calculation method according to the invention can also be applied in microelectronics for the optimization of different processes of photolithography, in particular when the characteristic dimension of the patterns at the level of the reticle (the mask) and / or at the level of the silicon wafer is of the order of magnitude or smaller than the projection wavelength. This is particularly the case for the technological nodes of 45, 30 nm and below the wavelengths of excimer KrF (248 nm) and ArF (193 nm) lasers.
  • One of the processes to be performed at the level of the reticle is generally optical proximity correction (OPC or Optical Proximity Correction in English). Such a correction OPC assumes the exact calculation of the transmission of the reticle at variable optical incidence, the reticle including patterns of different depths of materials such as SiO2, chromium, MoSiO, TaO.
  • the usual transmission calculation methods for such structures are scalar methods with Euristic patches based on accurate local calculations.
  • the use of these patches makes it possible to preserve the speed of computation of the scalar methods but their field of validity is limited.
  • a calculation method according to the invention makes it possible to push back very far the boundary between the domain of structures which can be modeled accurately and that of approximately calculable structures.
  • Another process in microelectronics photolithography is that of modeling the latent image in a layer of photoresist deposited on a substrate.
  • the topography and surface composition result from a number of previous technological processes, which significantly affects the incident light power distribution by reflection diffraction.
  • the scalar methods of the state of the art are faced with great difficulties because the structure below the photoresist layer where the projected latent image is formed can be very thick and very complex.
  • a calculation method according to the invention makes it possible to take into account the actual structure implemented.

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Abstract

L'invention concerne un procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure (1) dont un modèle numérique définit la permittivité diélectrique en chaque point, comprenant les étapes de : -définition d'une modélisation numérique d'un modèle de diffraction d'une structure, incluant : -la scission du modèle numérique de permittivité diélectrique en N de modèles numériques de permittivité diélectrique; -la détermination du modèle de diffraction desdites couches à partir du modèle numérique de cette couche; -calcul numérique de la diffraction de la structure, incluant : -une itération initiale durant laquelle on réalise : -une propagation d'onde dans le sens des couches 1 vers N, -et une propagation d'onde dans le sens des couches N vers 1, -des itérations ultérieures, chaque itération ultérieure d'indice k incluant : -une propagation d'onde dans le sens des couches 2 vers N: -une propagation d'onde dans le sens des couches N-1 vers 1.

Description

PROCEDE DE CALCUL NUMERIQUE DE LA DIFFRACTION D'UNE
STRUCTURE
L'invention concerne la diffusion/diffraction d'une onde électromagnétique par les structures matérielles complexes, et en particulier la modélisation de propriétés de diffusion/diffraction et le calcul numérique de diffusion/diffraction pour des structures hétérogènes et d'épaisseur non négligeable par rapport à la longueur d'onde.
Dans de nombreux domaines techniques, tels que la photolithographie ou les éléments optiques diffractifs, il s'avère primordial de pouvoir modéliser et calculer précisément la réponse d'un composant à un faisceau lumineux incident. La modélisation vise à calculer la diffraction d'une structure caractérisée par la répartition spatiale de la permittivité diélectrique définie suivant différents axes en chaque point de la structure.
La modélisation électromagnétique d'une structure est effectuée dans l'état de la technique pour permettre soit un procédé de résolution approchée, soit un procédé de résolution statistique, soit un procédé de résolution exact.
Les procédés de résolution approchés permettent d'obtenir un résultat de calcul de diffraction relativement rapide. Cependant, de tels procédés présentent une précision insuffisante pour obtenir un résultat de calcul satisfaisant.
Les procédés de résolution exacts de l'état de la technique sont très lents et requièrent une très grande capacité de mémoire numérique, ce qui limite leur application à des éléments optiques de faible complexité. Les procédés de résolution exacts sont donc le plus souvent utilisés uniquement comme moyen de vérification ponctuelle d'une modélisation effectuée par un procédé de résolution approchée.
Parmi les procédés de résolution exacts connus de l'état de la technique, on peut notamment citer le procédé de calcul au moyen des matrices de diffusion S. Pour cela, la structure à modéliser est décomposé en un ensemble de N couches jointives et M ordres de diffraction. La matrice de diffusion Si de chaque couche d'indice i est calculée et permet d'exprimer les amplitudes de champ sortantes en fonction des amplitudes incidentes sur les deux faces de cette couche. On peut ainsi noter qu'une amplitude sortante d'une couche constitue une am litude incidente pour une couche adjacente.
Une matrice S pour le composant est formée en combinant l'ensemble des matrices Si des différentes couches.
La modélisation permet alors de déterminer les amplitudes de champ sortantes de la structure formée de l'ensemble des couches en fonction des amplitudes de champ incidentes sur cette structure :
Cependant, cette combinaison des matrices Si n'est pas un simple produit mais un calcul complexe. Le temps de calcul est proportionnel à M3 et en général linéaire en N.
Une méthode alternative à la méthode de la matrice S est connue par la publication originale de Bremmer et par le développement suivant de Sluijter pour le calcul de la transmission et la réflexion d'un système de couches uniformes superposées par le calcul de la transmission et de la réflexion de couche à couche d'une onde plane d'un bord à l'autre du multicouche suivi du même calcul en sens inverse avec mémorisation des amplitudes intermédiaires, cet aller et retour étant répété de façon itérative et les résultats des itérations successives étant sommés jusqu'à ce que la somme converge. Cette méthode de propagation aller et retour à travers la structure a été étendue à des structures diffractantes composées de couches microstructurées latéralement, chaque pas dans un aller et retour calculant ici l'amplitude des modes de chaque couche obtenus par la méthode décrite dans le document de D.M. Pai and K.A. Awada, "Analysis of dielectric gratings of arbitrary profiles and thicknesses", J. Opt. Soc. Am. A 8, 755-762. La validité de cette méthode a été évaluée dans la publication M. Nevière and F. Montiel, "Deep gratings: a combination of the differential theory and the multiple reflection séries", Opt. Commun. 108, 1 -7 qui conclut que cette sommation explicite des résultats itératifs ne converge que pour des structures où la modulation d'indice de réfraction ou des interfaces est faible et représente une perturbation d'une structure de base.
Le document EP2302360 décrit un procédé de modélisation des propriétés de diffraction de structures microscopiques périodiques et un procédé de calcul de diffraction associé. Le procédé exprime le problème par une forme intégrale volumique d'un champ vectoriel en remplacement du champ électrique. Le champ vectoriel est obtenu à partir du champ électrique par un changement de base, de façon à présenter une continuité aux limites du matériau. Des convolutions sont réalisées sur le champ vectoriel en utilisant des opérateurs de convolution, selon les séries finies de Laurent. On peut ainsi réaliser des produits de matrices au moyen de transformations de Fourier rapides. Un opérateur de convolution et de changement de base est configuré pour transformer le champ vectoriel vers le champ électrique recherché, par l'intermédiaire d'un changement de base fonction des propriétés de matériau et de géométrie de la structure périodique.
Le document 'New fast and memory-sparing method for rigorous electromagnetic analysis of 2D periodic dielectric structures', par Ms Shcherbakov et Tishchenko, publié dans Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer aux pages 158-171 , décrit un autre procédé de résolution exacte d'une modélisation de propriétés électromagnétiques d'une structure. Ce procédé est en particulier adapté aux structures diélectriques présentant une périodicité dans le plan, tels que des réseaux de diffraction.
Le procédé de modélisation découpe la structure en différentes couches planes parallèles à un plan XY dans un système de coordonnées cartésien XYZ. Chaque couche a une épaisseur respective selon la direction Z. Un réseau de diffraction bidimensionnel est modélisé par une variation périodique de la permittivité diélectrique d'une couche selon deux directions différentes définies par des vecteurs du réseau dans le plan XY.
Le procédé de résolution transforme l'équation d'onde sous forme d'une équation intégrale implicite. Le procédé de résolution convertit ensuite l'équation d'ondes dans l'espace réciproque selon les axes X et Y. Du fait du découpage de la structure sous forme de couches de mêmes épaisseurs, la formulation intégrale peut être exprimée sous forme d'équations matricielles, correspondant à des sommes d'harmoniques et exprimant l'empilement des couches sous forme de sommes. Les composantes du champ électrique normale et tangente sont alors séparées. Une forme bloc-Toplitz des matrices peut être établie sans nécessiter d'inversions matricielles. La résolution consiste alors à réaliser une inversion matricielle d'une matrice qui peut être exprimée comme des produits de matrices bloc-diagonales et de matrices bloc-Toplitz. L'inversion matricielle est en pratique calculée par des multiplications matricielles, avec une méthode de résolution d'équations linéaires itérative de type GMRES, plutôt que par un calcul direct d'inversion matricielle. La forme block-Toplitz permet de réaliser des calculs par transformation rapide de Fourier, avec un temps de calcul alors sensiblement proportionnel à M, et une utilisation de mémoire numérique sensiblement proportionnelle à M également.
Le temps de calcul obtenu avec ce procédé de résolution est proportionnel à N pour des structures simples et peu épaisses. Cependant, le temps de calcul et l'occupation mémoire augmentent rapidement avec l'épaisseur des couches de la structure à modéliser. Un grand nombre d'itérations est alors en effet nécessaire pour obtenir une convergence de la méthode itérative, ce qui se traduit par une augmentation sensible du temps de calcul et de la mémoire numérique nécessaire. En outre, la méthode de résolution s'avère mal adaptée pour des structures comportant des hétérogénéités de couches très différentes dans la structure, ce qui remet en cause certaines hypothèses de la méthode de résolution. Par ailleurs, le calcul reste exigeant en quantité de mémoire numérique utilisée, les données de résolution de l'ensemble de la structure devant rester mémorisées durant tout le calcul. Cette quantité de mémoire de calcul nécessaire limite fortement l'épaisseur des structures pouvant être modélisées.
Le document US6898537 décrit un procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure. Un modèle numérique de la structure définit la permittivité diélectrique en chaque point de celle-ci. Le procédé définit une modélisation numérique d'un modèle de diffraction de la structure incluant la scission du modèle en un nombre N de modèles numériques de couches planes respectives superposées. Le procédé détermine le modèle de diffraction de chacune des couches à partir du modèle numérique de permittivité diélectrique de cette couche. Le procédé décrit le calcul numérique de la diffraction de la structure, basé sur la propagation d'une onde à travers les couches dans un sens donné.
Le document publié par David Windt intitulé « IMD-Software for modeling the optical properties of multilayer films" ds Omputers in Physics., volume 12, N°4, le 1 er janvier 1998 en page 360, décrit un procédé de calcul numérique de caractéristiques optiques nues structure multicouches, dont un modèle numérique définit la permittivité diélectrique en chaque point
Le document EP1804126 décrit un procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure, dont un modèle numérique définit la permittivité diélectrique en chaque point. Ce procédé comprend la définition d'une modélisation numérique d'un modèle de diffraction de la structure. Cette définition de la modélisation numérique comprend la scission du modèle numérique de permittivité diélectrique de la structure en un nombre N de modèles numériques de permittivité diélectrique de couches planes superposées.
L'invention vise à résoudre un ou plusieurs de ces inconvénients. L'invention porte ainsi sur un procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure dont un modèle numérique définit la permittivité diélectrique en chaque point, tel que défini dans les revendications annexées.
D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront clairement de la description qui en est faite ci-après, à titre indicatif et nullement limitatif, en référence aux dessins annexés, dans lesquels : -la figure 1 est une vue en coupe d'un exemple de structure à modéliser scindé en différentes couches ;
-la figure 2 est une vue en coupe schématique d'un exemple de structure simplifiée de type OLED, à modéliser, scindée en différentes couches ;
-la figure 3 représente schématiquement un système configuré pour modéliser et calculer numériquement la diffraction d'une structure ;
-les figures 4 et 6 représentent schématiquement différents paramètres calculés durant une première phase d'un procédé de calcul ;
-les figures 5 et 7 représentent schématiquement différents paramètres calculés durant une phase ultérieure du procédé de calcul;
-les figures 8 et 9 représentent schématiquement différents paramètres calculés durant une première itération d'un procédé de calcul selon une autre variante ;
-les figures 10 et 1 1 représentent schématiquement différents paramètres calculés durant des itérations ultérieures d'un procédé de calcul selon cette autre variante ;
-les figures 12 et 13 représentent schématiquement différents paramètres calculés durant une première itération d'un procédé de calcul selon encore une autre variante ;
-la figure 14 illustre un logigramme d'un exemple de procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure.
La figure 1 est une vue en coupe d'un exemple d'une structure 1 à modéliser. La structure 1 présente ici une structure parallélépipédique avec une face supérieure et une face inférieure planes sur lesquelles des ondes électromagnétiques peuvent être incidentes. La structure 1 comporte ici différentes zones par exemple réalisées en des matériaux différents présentant des répartitions de permittivité diélectrique distinctes.
Un modèle numérique de la permittivité diélectrique de la structure 1 en chaque point (pour une résolution donnée du modèle numérique) est connu. La permittivité diélectrique de la structure 1 est donc déterminée en chacun de ses points, ou déterminable par une loi (de répartition par exemple) en chacun de ses points.
Un premier aspect de l'invention vise à définir un modèle numérique de la diffraction de la structure 1 pour l'application d'ondes électromagnétiques incidentes sur la face supérieure et/ou la face inférieure. L'invention vise notamment à définir un tel modèle numérique pour permettre un calcul de diffraction dont la quantité de mémoire numérique utilisée est proportionnelle à un nombre M d'ordres de diffraction considérés. L'invention peut être mise en œuvre par un système de traitement numérique 2 illustré à la figure 3. Un tel système de traitement numérique 2 peut par exemple inclure un dispositif de calcul 21 (par exemple un serveur muni d'un système d'exploitation et d'applications de calcul appropriées), un dispositif de mémorisation 22 du modèle numérique de permittivité diélectrique de la structure 1 , et un dispositif de mémorisation 23 de résultats de calcul. Le dispositif de mémorisation 23 peut par exemple mémoriser des modèles numériques (détaillés par la suite) de diffraction de différentes couches de la structure 1 ou le modèle numérique de diffraction de l'ensemble de la structure 1 .
Un exemple de procédé de modélisation numérique selon le premier aspect de l'invention peut être le suivant. Le modèle numérique de permittivité diélectrique de la structure 1 est tout d'abord scindé en un nombre N de modèles numériques de permittivité diélectrique. Chacun de ces modèles numériques de permittivité diélectrique correspond à une couche plane respective de la structure 1 , les différentes couches étant superposées selon une direction perpendiculaire aux faces supérieure et inférieure de la structure 1 . Chacune de ces couches est identifiée par la suite par son indice i, l'indice i croissant entre la face inférieure et la face supérieure de la structure 1 avec des valeurs comprises entre 1 et N, comme illustré à la figure 1 .
Dans un souci de simplification, les différentes couches présentent ici une même épaisseur. L'invention pourrait cependant également être appliquée à une scission de la structure 1 en des couches de différentes épaisseurs. Par exemple, la figure 2 est une vue en coupe d'un autre exemple d'une structure 1 à modéliser. La figure 2 correspond à un schéma simplifié d'une structure de type OLED. Les différentes couches du modèle numérique sont ici choisies selon les fonctions des différentes couches de la structure 1 , ces différentes couches présentant typiquement des épaisseurs différentes. Les modèles numériques des différentes couches de la structure 1 pourront donc par exemple inclure un modèle numérique d'une couche d'air 1 1 , un modèle numérique d'une couche de verre 12, un modèle numérique d'une couche de diffusion 13, un modèle numérique d'une électrode transparente 14, un modèle numérique d'une couche de polymère 15, un modèle numérique d'une couche émettrice 16, un modèle numérique d'une couche de polymère 17 et un modèle numérique d'une électrode métallique 18.
Le nombre de couches N est choisi de sorte que chaque couche est suffisamment fine pour qu'un modèle de diffraction de chaque couche puisse être déterminé à partir de son modèle numérique de permittivité diélectrique, et pour que le modèle de diffraction de chaque couche puisse être calculé avec une occupation de mémoire numérique inférieure ou égale à K*M. Avantageusement, ce nombre de couches N est choisi de sorte que chaque couche est suffisamment fine pour qu'un modèle de diffraction de chaque couche puisse être calculé en un temps inférieur ou égal à K* M * log(M). K est un facteur indépendant de M, typiquement une constante.
La détermination du modèle de diffraction de chaque couche peut par exemple être mis en œuvre par le procédé appelé GSM (pour Generalized Source Method en langue anglaise) par la suite, et décrit dans le document 'New fast and memory-sparing method for rigorous electromagnetic analysis of 2D periodic dielectric structures', Shcherbakov et Tishchenko, publié dans Journal of Quantitative spectroscopy & Radiative Transfer aux pages 158-171 .
Le modèle de diffraction de chaque couche i peut par exemple être noté comme un opérateur linéaire ϋ tel que :
avec f et bM les amplitudes des M ordres de diffraction des ondes incidentes respectives sur les faces de la couche i, et ft et bt les amplitudes des M ordres diffractés par la couche i. L'opérateur U peut être obtenu par la méthode des sources généralisées (GSM) décrite dans A. A. Shcherbakov, A. V. Tishchenko, "New fast and memory-sparing method for rigorous electromagnetic analysis of 2D periodic dielectric structures", J. Quant. Spectrosc. Rad. Transfer 1 13, 158- 171 (2012) ou par une formulation analytique pour des couches très minces par rapport à la longueur d'onde décrite dans A. V. Tishchenko, "Analytical solutions of 2D grating diffraction: GSM versus Rayleigh hypothesis," Proc. SPIE 5249 p. 683-694 (2004) ou peut même être la matrice S dans le cas de couches simples où S est de type Tôplitz ou bloc-diagonale. Selon un deuxième aspect de l'invention, on réalise un calcul de diffraction d'au moins une onde incidente, à partir des modèles de diffraction des N couches. Ainsi, après la détermination des modèles de diffraction des N couches, des calculs de diffraction peuvent être réalisés pour différentes ondes incidentes à partir de ces modèles de diffraction.
Selon une première variante de calcul de diffraction, on réalise en parallèle un calcul de propagation par application d'une onde incidente sur la couche 1 et un calcul de propagation par application d'une onde incidente sur la couche N. Si l'utilisation de la mémoire numérique peut être encore davantage optimisée qu'avec cette première variante (ici une occupation de mémoire proportionnelle à 2M*(N+1 )), celle-ci s'avère cependant particulièrement appropriée pour être mise en œuvre par des moyens de calcul parallèles, par exemple des systèmes à processeurs ou cartes graphiques multiples.
Pour le calcul de propagation basé sur l'application d'une onde incidente sur la couche 1 , une itération initiale (ou itération d'indice 0) du processus est illustrée en référence à la figure 4. M ordres de diffraction incidents dont les amplitudes sont contenues dans le vecteur /0° sont appliqués au modèle de diffraction de la couche 1 , sur sa face externe. Les M ordres de diffraction transmis dont les amplitudes sont contenues dans le vecteur sont calculés avec ce modèle de diffraction, et les M ordres réfléchis b° sont calculés et mémorisés.
Ensuite, pour chaque couche d'indice i compris entre 2 et N, on applique les M ordres transmis calculés dans le modèle de diffraction de la couche d'indice i. On calcule les M ordres transmis f° , et on calcule et on mémorise les M ordres réfléchis b° . Pour la couche d'indice N, on mémorise en outre les M ordres transmis f° . Les éléments mémorisés sont illustrés à l'intérieur de cercles en pointillés à la figure 4.
Durant cette itération initiale, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, en l'absence d'incidence bN°+l :
Pour le calcul de propagation basé sur l'application des M ordres incidents sur la couche N, une itération initiale du processus est illustrée en référence à la figure 6.
Les ordres incidentsc°+1 sont appliqués au modèle de diffraction de la couche N, sur sa face externe. Les ordres transmis cN° sont calculés avec ce modèle de diffraction, et les ordres réfléchis gN° sont calculés et mémorisés.
Ensuite, pour chaque couche d'indice i compris entre N-1 et 1 , on applique les ordres transmises calculés c°+1 dans le modèle de diffraction de la couche d'indice i. On calcule les ordres transmis c°, et on calcule et on mémorise les ordres réfléchis g° . Pour la couche d'indice 1 , on mémorise en outre les ordres transmis c° . Les éléments mémorisés sont illustrés à l'intérieur de cercles en pointillés à la figure 6. Durant cette itération initiale, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, en l'absence d'incidence :
On calcule les amplitudes de sortie de l'itération initiale, par addition des amplitudes des ordres incidents sur une face externe et des amplitudes des ordres réfléchis par cette même face :
On note v° un vecteur d'amplitudes de base, formant une solution de base contenant les am litudes à l'intérieur de la structure :
avec tous les i compris entre 1 et N-1 .
Cette itération initiale nécessite un temps de calcul proportionnel au nombre N de couches et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à 2M * (N+1 ).
Cette solution de base v° ne correspond pas à la solution retenue ultérieurement. La solution retenue est déterminée suite à des itérations supplémentaires du calcul de diffraction détaillées par la suite.
Le vecteur v des amplitudes de la solution finale contenant les amplitudes de tous les ordres de diffraction de toutes les couches est déterminé à partir de la solution de base v° par des itérations successives. Chaque itération est ici suivie d'un test de convergence, pour déterminer si le vecteur de solution de l'itération est une solution finale.
Chaque itération peut s'exprimer au moyen d'un opérateur P sous la forme ν* = Ρ.ν" , avec k l'indice de l'itération. En principe, la solution recherchée additionne l'ensemble des vecteurs des itérations. La solution vectorielle v recherchée est alors la solution de l'équation implicite v = v° + P.\
Cette équation implicite est vraie pour tout système électromagnétique linéaire et résulte de l'application du théorème d'Ewald-Oseen décrit dans le document Born, Max; Wolf, Emil (1999), Principles of Optics (7th éd.), Cambridge: Cambridge University Press, § 2.4. Lors de chaque itération d'indice k>0, on réalise une propagation montante entre les couches 2 et N de chaque vecteur g*"1 additionné à chaque vecteur , et on réalise une propagation descendante de chaque vecteur additionné à chaque vecteur c +1 , entre les couches N-1 et 1 .
Ainsi, pour la propagation montante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, comme illustré à la figure 5:
avec f = 0 .
On mémorise alors et .
Pour la propagation descendante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, comme illustré à la figure 7 :
avec cN k = 0 .
On mémorise alors et . Chaque itération nécessite un temps de calcul proportionnel au nombre N de couches et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à 2M * (N+1 ).
La solution vectorielle v finale est la solution de l'équation implicite v = v° + P.Y . On réalise un test de convergence à l'issue de chaque itération. Le test de convergence fait partie d'une méthode de résolution d'un système d'équations linéaires défini par l'équation implicite ci-dessus.
La résolution de l'équation implicite est par exemple basée sur la méthode GMRES, méthode usuellement utilisée pour obtenir de façon itérative une solution numérique d'un système d'équations linéaires sans inversion de matrice. La méthode GMRES est notamment décrite dans le document 'Itérative Methods for Sparse Linear Systems' de Monsieur Saad, deuxième édition de 'Society for Industrial and Applied Mathematics', publié en 2003 (ISBN 978-0-89871 -534-7). La méthode GMRES cherche usuellement à résoudre le système d'équations linéaires de type:
A.x = b
La matrice A est supposée inversible et de taille (m x m). De plus, on suppose que b est normé, i.e., ||b|| = 1 , ||- || représentant ici la norme euclidienne.
Le n-ième espace de Krylov pour ce problème est défini ainsi :
Kn = {Vect}{ b, A.b, A2.b, A<n- >.b }
Où Vect correspond au sous-espace vectoriel engendré.
La méthode GMRES donne une approximation de la solution exacte de A.x = b par le vecteur xn G Kn qui minimise la norme du résidu : ||A.xn - b||.
Pour garantir le caractère linéairement indépendant aux vecteurs b, A.b, An_1.b, on utilise la méthode d'Arnoldi pour trouver des vecteurs orthonormaux qi, q2, . . . , qn qui constituent une base de Kn. Ainsi, le vecteur xn G Kn peut s'écrire Xn = Qnyn avec yn G Rn, et Qn une matrice de taille (m x n) formée des
La méthode d'Arnoldi produit aussi une matrice de Hessenberg supérieure Hn de taille (n+1 ).xn avec
A.Qn = Qn+1. HB
Comme Qn est orthogonale, on a
|| A.Xn - b|| =|| HB .yn - β.βι ||
Où ei = (1 ,0,0,... ,0) est le premier vecteur de la base canonique de Rn+i, et β = ||b-A.xo||, avec xo un vecteur d'initialisation (par exemple nul). Ainsi, xn peut être trouvé en minimisant la norme du résidu rn = Hn . yn - β.βι
Chaque itération de l'algorithme de la méthode GMRES inclut usuellement :
effectuer une étape de l'algorithme d'Arnoldi ;
trouver yn qui minimise ||rn|| ;
calculer xn = Qn..yn ;
recommencer tant que le résidu est plus grand qu'une quantité (dite tolérance) choisie arbitrairement au début de l'algorithme. Pour l'application de la méthode GMRES au test de convergence de l'invention, on substitue l'opération (x-P.x) à l'opération de multiplication A.x mentionnée précédemment.
L'espace vectoriel Wk = (v0 vl ... vj , || || = l de Krylov est formé en utilisant ΙΝΓ v° Vo = 1
L'astérisque * après un vecteur désigne sa transposition avec la conjugaison.
L'application d'un pas itératif vk - P.vk permet de créer un nouveau vecteur vk+l et d'agrandir l'espace de Krylov jusqu'à Wk+l .
L'opération de normalisation des vecteurs vk définit la matrice de Hessenberg Hi k :
telle que v, - P.yk = vk * +l.Hk vk - Pvk = v;+1Hk
La matrice Hessenberg Hk est représentée sous la forme Hk = Qk+l.Rk Où Rk est une matrice supérieure droite, soit une matrice dans laquelle les termes extra-diagonaux sous la diagonale sont nuls, et où Qk+l est une matrice de rotation/réflexion avec \\Qk+l\\ = 1
La solution xk est recherchée dans l'espace Wk comme une superposition linéaire des vecteurs \k pris avec les coefficients yk :
k-l
7=0
On montre que le meilleur choix de y pour la solution xk est :
Dans ce cas la norme d'erreur est minimale :
La norme d'erreur est calculée à chaque pas d'algorithme itératif de la méthode GMRES. On compare la norme d'erreur calculée à un seuil prédéfini. Si la norme d'erreur calculée est supérieure au seuil, une nouvelle itération de propagation est calculée. Si la norme d'erreur calculée est inférieure au seuil, on détermine que la solution calculée est suffisamment proche de la solution finale pour interrompre les itérations de propagation.
Du fait du critère de choix du nombre de couches N (déterminé pour qu'un modèle de diffraction de chaque couche puisse être calculé à partir de son modèle numérique de permittivité diélectrique avec une occupation de mémoire numérique inférieure ou égale à K* M), la méthode GMRES est applicable même avec des dispositifs de calcul ayant des ressources mémoire limitées, et l'épaisseur maximale de la structure pouvant être modélisée est fortement accrue.
Lors d'une dernière étape, après avoir vérifié que le critère de convergence était atteint pour l'itération d'indice k :
-on trouve la solution vectorielle entre les couches pour calculer les champs dans les couches
pour tout i compris entre 1 et N-1 .
-on trouve ainsi la solution vectorielle à la sortie de la structure On a ici détaillé un test de convergence basé sur une méthode GMRES mais d'autres méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires peuvent être utilisées pour un test de convergence appliqué à une équation implicite, comme la méthode du gradient biconjugué stabilisé (BCGS). Lors de l'itération finale, on réalise une propagation montante entre les couches 2 et N de chaque vecteur M additionné à chaque vecteur ft_y , et on réalise une propagation descendante de chaque vecteur bM additionné à chaque vecteur cM , entre les couches N-1 et 1 . L'avantage est de permettre de trouver la solution vectorielle entre les couches.
Ainsi, pour la propagation montante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon illustrée à la figure 5: avec /L = 0 et avec i compris entre 2 et N.
On mémorise alors et fN .
Pour la propagation descendante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon illustrée à la figure 7 :
avec cN = 0 et pour tout i compris entre N-1 et 1 .
On mémorise alors gN et .
Cette itération finale nécessite un temps de calcul proportionnel au nombre N de couches et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à 4M. On trouve en suite la solution vectorielle à la sortie de la structure Selon une modification de l'algorithme, on calcule les amplitudes réfléchies sur les faces externes de l'itération initiale :
f ~ S N
b° = b?
Le vecteur de base v° est agrandi en comprenant aussi les amplitudes f° et c° . Lors de chaque itération d'indice k>0, on additionne les amplitudes f^ et c avec le vecteur v* pour trouver un vecteur agrandi. La solution finale trouvée par une telle méthode itérative comprend les amplitudes fNet cx . Les amplitudes / et b à la sortie de la structure sont trouvées par addition avec les amplitudes réfléchies de l'itération initiale : Cette modification résulte en une occupation de mémoire plus grande, proportionnelle à (N+1 ) pour chaque itération, désormais on n'a pas besoin de l'itération finale, le nombre totale des itérations est donc diminué. Selon une deuxième variante, on réalise séquentiellement l'application d'une propagation dans un sens, puis on applique les ordres réfléchis dans le sens opposé. Cette seconde variante permet d'optimiser l'utilisation de la mémoire numérique avec une occupation proportionnelle à M*(N+1 ).
Lors d'une itération initiale (ou itération d'indice 0) du processus illustrée en référence à la figure 8, on réalise par exemple une propagation des ordres de diffraction incidents sur la couche 1 .
Le vecteur des ordres incidents /0° est appliqué au modèle de diffraction de la couche 1 , sur sa face externe. Les ordres transmis sont calculés avec ce modèle de diffraction, et les ordres réfléchis b° sont calculés et mémorisés.
Ensuite, pour chaque couche d'indice i compris entre 2 et N, on applique les ordres transmis calculés dans le modèle de diffraction de la couche d'indice i. On calcule les ordres transmis f° , et on calcule et on mémorise les amplitudes des ordres réfléchis b° . Pour la couche d'indice N, on mémorise en outre les amplitudes des ordres transmis f° . Les éléments mémorisés sont illustrés à l'intérieur de cercles en pointillés à la figure 8.
Durant cette itération initiale, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, en l'absence d'incidence b°+l :
L'itération initiale se poursuit par l'application des ordres incidentsc°+1 au modèle de diffraction de la couche N, sur sa face externe. Les ordres transmis cN° sont calculés avec ce modèle diffraction, et les ordres réfléchi gN° sont calculés et mémorisés.
Ensuite, pour chaque couche d'indice i compris entre N-1 et 1 , on additionne les ordres transmis calculés c°+1 et les ordres réfléchis calculés précédemment b°+l dans le modèle de diffraction de la couche d'indice i.
On calcule les amplitude des ordres transmis c°, et on calcule et on mémorise les amplitudes des ordres réfléchis g° . Pour la couche d'indice 1 , on mémorise en outre les amplitudes des ordres transmis c° . Les éléments mémorisés sont illustrés à l'intérieur de cercles en pointillés à la figure 9. Afin d'optimiser la quantité de mémoire numérique utilisée, après le calcul d'un vecteur des ordres transmis c° et d'un vecteur gt , on peut libérer la mémoire numérique occupée par les amplitudes des ordres b°+l calculées précédemment.
Durant cette itération initiale, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, en l'absence d'incidence : On calcule les amplitudes de sortie de l'itération initiale, par addition entre les amplitudes des ordres incidents sur une face externe et les amplitudes des ordres réfléchis par cette face :
On note v° un vecteur de base, formant une solution de base avec les amplitudes à l'intérieur de la structure : v° = fc° } avec tous les i compris entre 1 et N-1 .
Cette itération initiale nécessite un temps de calcul proportionnel au nombre N de couches. Du fait de la libération de la mémoire numérique occupée par les ordres calculés b°+l , cette itération initiale nécessite une occupation mémoire proportionnelle à M * (N+1 ).
Cette solution de base v° ne correspond pas à la solution retenue ultérieurement. La solution retenue est déterminée suite à des itérations supplémentaires détaillées par la suite.
Comme pour la première variante, le vecteur v de solution finale est déterminé à partir de la solution de base v° par des itérations successives. Chaque itération est suivie d'un test de convergence tel que détaillé précédemment, pour déterminer si le vecteur de solution de l'itération est une solution finale.
Chaque itération peut s'exprimer au moyen d'un opérateur P sous la forme Yk = p.\k~l , avec k l'indice de l'itération. La solution vectorielle v est la solution de l'équation implicite v = v° + P.\ Lors de chaque itération d'indice k>0, on réalise une propagation montante entre les couches 2 et N de chaque vecteur , en prenant f = 0 , additionné à chaque vecteur g*"1 et on mémorise chaque vecteur b. résultant. En suite, on réalise une propagation descendante de chaque vecteur c+1 additionné à chaque vecteur b.+l , entre les couches N-1 et 1 , en prenant cN k = 0 , et on mémorise chaque vecteur g résultant.
Ainsi, pour la propagation montante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, comme illustré à la figure 10:
avec /* = 0 .
On mémorise alors .
Après chaque calcul de b. , on libère la mémoire numérique occupée par
Pour la propagation descendante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, comme illustré à la figure 1 1 : avec ci = 0 .
On mémorise alors g. .
Après chaque calcul de g. , on libère la mémoire numérique occupée par
Chaque itération nécessite un temps de calcul proportionnel au nombre N de couches et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à M * (N+1 ).
Comme pour la première variante, on réalise un test de convergence à l'issue de chaque itération pour résoudre l'équation implicite v = v° + P.Y . Le test de convergence utilise également une méthode de résolution d'un système d'équations linéaires pour rechercher la solution de cette équation implicite sans inversion de matrice.
Lors de l'itération finale, on réalise une propagation montante entre les couches 2 et N de chaque vecteur gM additionné à chaque vecteur ft_y , et on réalise une propagation descendante de chaque vecteur bi+l additionné à chaque vecteur ci+l , entre les couches N-1 et 1 . Pour la propagation montante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, comme illustré à la figure 10:
avec fx -- = 0 .
On mémorise alors bi .
Après chaque calcul de bi , on libère la mémoire numérique occupée par
Pour la propagation descendante, on applique en pratique l'opérateur U de la façon suivante, comme illustré à la figure 1 1 : avec cN = 0 .
On mémorise alors gl .
Après chaque calcul de gt , on libère la mémoire numérique occupée par bM ■
Cette itération finale nécessite un temps de calcul proportionnel au nombre N de couches et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à M * (N+1 ). On trouve en suite la solution vectorielle à la sortie de la structure
Selon une modification de l'algorithme, le vecteur de base v° est agrandi en comprenant les amplitudes f° et c° . Lors de chaque itération d'indice k>0, on additionne les amplitudes f^ et c avec le vecteur v* pour trouver un vecteur élargi. Les amplitudes / et b à la sortie de la structure sont trouvées par addition avec les amplitudes réfléchies de l'itération initiale : Cette modification résulte en une occupation de mémoire plus grande, proportionnelle à (N+1 ) pour chaque itération, désormais on n'a pas besoin de l'itération finale, le nombre totale des itérations est donc diminué. Selon une troisième variante, on réalise en parallèle un calcul de propagation par application d'une onde incidente sur la couche 1 et un calcul de propagation par application d'une onde incidente sur la couche N. L'utilisation de la mémoire numérique reste la même que dans la première variante (une occupation de mémoire proportionnelle à 2M*(N+1 )), le calcul de propagation dans les couches est davantage parallélisable, ce qui s'avère particulièrement approprié pour être mis en œuvre pour un grand nombre de moyens de calcul parallèles (par exemple au moins 4, ou avec un nombre de moyens de calcul parallèles au moins égal au quart du nombre de couches N), par exemple des systèmes à processeurs ou cartes graphiques multiples. Pour simplifier, on va maintenant détailler un exemple dans lequel on réalise autant de calculs en parallèle que de couches N.
Pour le calcul de propagation basé sur l'application d'une onde incidente sur la couche 1 , une itération initiale (ou itération d'indice 0) du processus est illustrée en référence à la figure 12.
M ordres de diffraction incidents dont les amplitudes sont contenues dans le vecteur /0° sont appliqués au modèle de diffraction de la couche 1 , sur sa face externe. Les M ordres de diffraction transmis dont les amplitudes sont contenues dans le vecteur sont calculés avec ce modèle de diffraction et mémorisés, et les M ordres r fléchis b° sont calculés et mémorisés :
Pour cette itération initiale on ne calcule que les ordres transmis b° , et les ordres réfléchis gN° . On suppose pour toutes les autres amplitudes des ordres transmis :
b- =
pour tout i compris entre 2 et N.
Pour le calcul de propagation basé sur l'application des M ordres incidents sur la couche N, une opération initiale du processus est illustrée en référence à la figure 13.
Les ordres incidentsc°+1 sont appliqués au modèle de diffraction de la couche N, sur sa face externe. Les ordres transmis ci sont calculés avec ce modèle de diffraction et mémorisés, et les ordres réfléchis gN sont calculés et mémorisés.
On suppose pour toutes les autres amplitudes des ordres réfléchis :
0 A pour tout i compris entre 1 et N-1
On note v° un vecteur de base, formant une solution de base avec les amplitudes °et b°
pour tout i compris entre 1 et N-1 .
Cette itération initiale nécessite un temps de calcul d'une couche puisque le calcul est parallélisé et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à 4M.
Pour trouver la solution exacte du problème de diffraction, des itérations sont nécessaires et sont détaillées par la suite.
Comme pour la première et la seconde variante, le vecteur v des amplitudes de la solution finale est déterminé à partir de la solution de base v° par des itérations successives. Chaque itération est suivie d'un test de convergence tel que détaillé précédemment pour déterminer si le vecteur de solution de l'itération peut être considéré comme une solution finale.
Chaque itération peut s'exprimer au moyen d'un opérateur P sous la forme v* = p.vk~ avec k l'indice de l'itération. La solution vectorielle v est la solution de l'équation implicite v = v° + .v
Lors de chaque itération d'indice k>0, on réalise une propagation de chaque vecteur *"1 additionné à chaque vecteur b.+l vers une couche i. Un tel calcul est réalisé parallèlement pour chaque couche d'indice i entre 1 et N : avec = 0 et 6^ = 0 . Chaque itération nécessite un temps de calcul d'une couche et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à 2M * (N-1 ).
Comme pour les deux premières variantes, on réalise un test de convergence à l'issue de chaque itération pour résoudre l'équation implicite v = v° + P.\ . Le test de convergence utilise également une méthode de résolution d'un système d'équations linéaires pour rechercher la solution de cette équation implicite sans inversion de matrice. Lors de l'itération finale, on réalise une propagation de vecteur gN_x vers la couche N : et une propagation de vecteur cx vers la couche 1
Un tel calcul est réalisé parallèlement pour les deux couches 1 et N avec g^ = 0 et b^ = 0 .
Cette itération nécessite un temps de calcul d'une couche et nécessite une occupation mémoire proportionnelle à 2M.
La solution vectorielle à la sortie de la structure est trouvée comme la somme
Selon une modification de l'algorithme, le vecteur de base v° est agrandi en comprenant aussi les amplitudes f° et c° . Lors de chaque itération d'indice k>0, on additionne les amplitudes f^ et c avec le vecteur v* pour trouver un vecteur agrandi. Les amplitudes / et b à la sortie de la structure sont trouvées par addition avec les amplitudes réfléchies de l'itération initiale : Cette modification résulte en une occupation de mémoire plus grande, proportionnelle à (N+1 ) pour chaque itération, désormais on n'a pas besoin de l'itération finale, le nombre totale des itérations est donc diminué. La figure 14 représente schématiquement un exemple de suite d'étapes mises en œuvre dans un procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure.
Lors de l'étape 301 , on définit un modèle numérique de la permittivité diélectrique d'une structure en chacun de ses points.
Lors de l'étape 302, le modèle numérique de permittivité diélectrique de la structure est scindé en N modèles numériques de permittivité diélectrique, chacun de ces modèles numériques correspondant chacun à une couche plane de la structure, ces couches planes étant superposées selon une direction perpendiculaire aux faces supérieure et inférieure de la structure. Les couches, correspondant à la scission du modèle numérique de permittivité diélectrique de la structure, sont déterminées de sorte que le modèle de diffraction de chacune de ces couches puisse être calculé à partir de son modèle numérique de permittivité diélectrique en un temps inférieur ou égal à K* M * log(M).
Lors de l'étape 303, on détermine un modèle de diffraction pour chacune des N couches à partir de son modèle numérique de permittivité diélectrique. Le modèle de diffraction de chaque couche i peut par exemple être noté comme un opérateur qu
avec ft_x et bi+l les amplitudes incidentes sur les faces de la couche i, et fi et b; les amplitudes diffractées par la couche i.
Lors de l'étape 304, on réalise une itération initiale de propagation des ordres incidents à travers les modèles de diffraction des couches de la structure.
Lors de l'étape 305, on réalise une itération de propagation des ordres diffractés et calculés lors de l'itération précédente à travers les modèles de diffraction des couches de la structure.
Lors de l'étape 306, on réalise un test de convergence de la dernière itération de propagation d'ordres diffractés en utilisant une méthode de résolution d'un système d'équations linéaires sans inversion de matrice et en l'appliquant à la résolution de l'équation implicite recherchée pour la convergence des itérations. Si la condition du test de convergence n'est pas remplie, on exécute à nouveau l'étape 305 pour une nouvelle itération de propagation des ordres diffractés. Lors de l'étape 307, on réalise une ultime itération de propagation des ordres diffractés et calculés lors des itérations précédentes, à travers les modèles de diffraction des couches de la structure. On en déduit le résultat de la diffraction de la structure.
Le procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure détaillé dans les exemples qui précèdent peut être appliqué dans différents domaines techniques, dont une liste non-exhaustive est présentée par la suite à titre d'exemples.
En optique diffractante, pour la conception de structures comportant des micro- et nano-structures (micro et nano-structures dont la dimension caractéristique est plus petite que 3 à 5 fois la longueur d'onde), les propriétés de diffraction dépendent de la polarisation et les méthodes scalaires usuelles les modélisent de façon erronée. Les procédés de calcul selon l'invention permettent de simuler de larges sections de telles structures périodiques ou non-périodiques, voire la structure complète. Un tel procédé de calcul peut par exemple être appliqué à une micro-lentille réfracto-diffractante de dimension minimale et de poids minimal utilisée dans un système de lecture ou d'écriture optique à balayage ultra-rapide.
Un procédé de calcul selon l'invention peut également être appliqué en optique diffusante. Un tel procédé de calcul peut en particulier être appliqué pour l'optimisation de la répartition souhaitée de lumière mono- ou poly-chromatique par une couche diffusante. Une telle couche diffusante comprend typiquement un milieu hôte contenant des microsphères ou micro-polyèdres d'indice de réfraction différent de celui du milieu hôte. La couche diffusante illumine généralement un écran de façon uniforme, éclairant de façon désirée un volume à partir d'une source de lumière localisée ou faisant partie d'une paroi lumineuse. En permettant de modéliser exactement de larges sections de telles couches diffusantes, le procédé de calcul décrit prend en compte les effets de diffraction multiple dans une couche et les effets de cohérence.
Un tel procédé de calcul peut également être utilisé en optique diffusante pour l'optimisation d'une couche diffusante destinée à extraire efficacement la lumière produite, par exemple, par une source de lumière du type Diode Electro- Luminescente (LED en anglais) ou d'une diode électroluminescente organique.
Un procédé de calcul selon l'invention peut également être appliqué en microélectronique pour l'optimisation de différents processus de photolithographie, en particulier lorsque la dimension caractéristique des motifs au niveau du réticule (le masque) et/ou au niveau de la plaque de silicium est de l'ordre de grandeur ou plus petite que la longueur d'onde de projection. C'est en particulier le cas pour les nœuds technologiques de 45, de 30 nm et en dessous aux longueurs d'onde des lasers à excimère KrF (248 nm) et ArF (193 nm). Un des processus à effectuer au niveau du réticule est généralement la correction de proximité optique (OPC ou Optical Proximity Correction en langue anglaise). Une telle correction OPC suppose le calcul exact de la transmission du réticule sous incidence optique variable, le réticule incluant des motifs de différentes profondeurs de matériaux tels que SiO2, chrome, MoSiO, TaO.
Les méthodes de calcul de transmission usuelles pour de telles structures sont les méthodes scalaires avec correctifs euristiques inspirés de calculs exacts locaux. L'usage de ces correctifs permet de conserver la rapidité de calcul des méthodes scalaires mais leur domaine de validité est limité. Un procédé de calcul selon l'invention permet de repousser très loin la frontière entre le domaine des structures modélisables avec exactitude et celui des structures calculables approximativement.
Un autre processus en photolithographie en microélectronique est celui de la modélisation de l'image latente dans une couche de résine photosensible déposée sur un substrat. La topographie et la composition de la surface résulte d'un certain nombre de processus technologiques précédents, ce qui affecte notablement la distribution de puissance lumineuse incidente par diffraction en réflexion. Les méthodes scalaires de l'état de la technique sont confrontées à de grandes difficultés car la structure en dessous de la couche de photorésine où se forme l'image latente projetée peut être très épaisse et très complexe. Un procédé de calcul selon l'invention permet de prendre en compte la structure réelle mise en œuvre.

Claims

REVENDICATIONS
Procédé de calcul numérique de la diffraction d'une structure (1 ) dont un modèle numérique définit la permittivité diélectrique en chaque point, comprenant les étapes de :
-définition d'une modélisation numérique d'un modèle de diffraction d'une structure, incluant :
-la scission du modèle numérique de permittivité diélectrique de la structure en un nombre N de modèles numériques de permittivité diélectrique de couches planes respectives superposées selon une direction et ordonnées selon un indice i compris entre 1 et N selon ladite direction ;
-la détermination du modèle de diffraction de chacune desdites couches à partir du modèle numérique de permittivité diélectrique de cette couche, le nombre N de couches étant déterminé pour que l'occupation de mémoire numérique pour le calcul de diffraction par le modèle de diffraction de chaque couche soit inférieur à K* M, avec M un nombre d'ordres de diffraction de cette couche et K un facteur indépendant de M;
-calcul numérique de la diffraction de la structure, incluant :
-une itération initiale durant laquelle on réalise :
-une propagation d'onde dans le sens des couches 1 vers N, incluant :
-le calcul d'une onde réfléchie et d'une onde transmise par application d'une onde incidente au modèle de diffraction de la couche d'indice 1 ;
-pour une couche d'indice i compris entre 2 et N, calcul d'une onde réfléchie et d'une onde transmise par application d'une onde incidente au modèle de diffraction de la couche d'indice i, cette onde incidente étant l'onde transmise calculée pour la couche d'indice i-1 ;
-mémorisation des ondes réfléchies calculées pour chacune des couches d'indice i et de l'onde transmise calculée pour la couche d'indice N ;
-et une propagation d'onde dans le sens des couches N vers 1 , incluant :
-une onde réfléchie et une onde transmise sont calculées par application d'une onde incidente au modèle de diffraction de la couche d'indice N ;
-pour une couche d'indice i compris entre N-1 et 1 , une onde réfléchie et une onde transmise sont calculées par application d'une onde incidente au modèle de diffraction de la couche d'indice i, cette onde incidente incluant l'onde transmise calculée pour la couche d'indice i+1 ; -mémorisation des ondes réfléchies calculées pour chacune des couches d'indice i et de l'onde transmise calculée pour la couche d'indice N ;
-des itérations ultérieures, chaque itération ultérieure d'indice k incluant :
-une propagation d'onde dans le sens des couches 2 vers N, incluant :
-pour une couche d'indice i compris entre 2 et N, calcul d'une onde réfléchie et d'une onde transmise par application d'une onde incidente au modèle de diffraction de la couche d'indice i, cette onde incidente incluant l'onde transmise calculée pour la couche d'indice i-1 durant cette itération et incluant l'onde réfléchie calculée pour la couche d'indice i-1 durant la dernière propagation dans le sens opposé;
-mémorisation des ondes réfléchies calculées pour chacune des couches d'indice i et de l'onde transmise calculée pour la couche d'indice N ;
-une propagation d'onde dans le sens des couches N-1 vers 1 , incluant :
-pour une couche d'indice i compris entre N-1 et 1 , calcul d'une onde réfléchie et d'une onde transmise par application d'une onde incidente au modèle de diffraction de la couche d'indice i, cette onde incidente incluant l'onde transmise calculée pour la couche d'indice i+1 durant cette itération et incluant l'onde réfléchie calculée pour la couche d'indice i+1 durant la dernière propagation dans le sens opposé;
-mémorisation des ondes réfléchies calculées pour chacune des couches d'indice i et de l'onde transmise calculée pour la couche d'indice 1 ;
-un test de convergence de la solution Vk formée des ondes réfléchies et transmises calculées lors de l'itération d'indice k, par application d'une méthode itérative de résolution de systèmes d'équations linéaires à la résolution de l'équation implicite de convergence Vk=P.Vk, avec P un opérateur correspondant à la transformation de la solution de toute solution Vk-i en une solution Vk à l'itération k.
2. Procédé de calcul numérique selon la revendication 1 , dans lequel ladite méthode itérative de résolution de systèmes d'équations linéaires est une méthode de type GMRES.
3. Procédé de calcul numérique selon la revendication 1 , dans lequel ladite méthode itérative de résolution de systèmes d'équations linéaires est une méthode du gradient biconjugué stabilisée.
4. Procédé de calcul numérique selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel ladite détermination du modèle de diffraction de chacune desdites couche est mis en œuvre par un procédé GSM.
5. Procédé de calcul numérique selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel N est au moins égal à 5.
6. Procédé de calcul numérique selon l'une quelconque des revendications précédentes, dans lequel le calcul de propagation dans le sens des couches 2 à N et le calcul de propagation dans le sens des couches N-1 à 1 sont réalisés en parallèle.
7. Procédé de calcul numérique selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, dans lequel le calcul de propagation dans le sens des couches 2 à N et le calcul de propagation dans le sens des couches N-1 à 1 sont réalisés séquentiellement.
8. Procédé de calcul numérique selon l'une quelconque des revendications 1 à 5, dans lequel le calcul de propagation comprend des calculs en parallèle pour des couches différentes.
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