EP1606727A2 - Methode pour former rapidement un modele stochastique representatif de la distribution d'une grandeur physique dans un milieu heterogene par une selection appropriee de realisations geostatistiques - Google Patents

Methode pour former rapidement un modele stochastique representatif de la distribution d'une grandeur physique dans un milieu heterogene par une selection appropriee de realisations geostatistiques

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EP1606727A2
EP1606727A2 EP04720900A EP04720900A EP1606727A2 EP 1606727 A2 EP1606727 A2 EP 1606727A2 EP 04720900 A EP04720900 A EP 04720900A EP 04720900 A EP04720900 A EP 04720900A EP 1606727 A2 EP1606727 A2 EP 1606727A2
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EP
European Patent Office
Prior art keywords
realizations
realization
geostatistical
objective function
initial
Prior art date
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Withdrawn
Application number
EP04720900A
Other languages
German (de)
English (en)
Inventor
Thomas Schaaf
Guy Chavent
Mokhlès MEZGHANI
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IFP Energies Nouvelles IFPEN
Original Assignee
IFP Energies Nouvelles IFPEN
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Publication date
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Withdrawn legal-status Critical Current

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    • G—PHYSICS
    • G06—COMPUTING; CALCULATING OR COUNTING
    • G06F—ELECTRIC DIGITAL DATA PROCESSING
    • G06F17/00—Digital computing or data processing equipment or methods, specially adapted for specific functions
    • G06F17/10—Complex mathematical operations
    • G06F17/17—Function evaluation by approximation methods, e.g. inter- or extrapolation, smoothing, least mean square method

Definitions

  • the present invention relates to a method for rapidly forming a stochastic model representative of the distribution of a physical quantity such as permeability for example, in a porous heterogeneous medium, which is calibrated with respect to dynamic data, by an appropriate selection of realizations geostatistics combined linearly.
  • Optimization in a stochastic context consists in determining realizations of a stochastic model which satisfy a set of data observed in the field.
  • the realizations to be identified correspond to representations, in the reservoir field, of the distribution of transport properties such as permeability or porosity.
  • These achievements form digital reservoir models.
  • the available data are, for example, punctual measurements of permeability or porosity, a model of spatial variability determined according to punctual measurements or data directly related to the flows of fluids in an underground reservoir, i.e. pressures, breakthrough time, flow rates, etc. These are often not linearly related to the physical properties to be modeled.
  • An achievement drawn at random is generally not in line with all of the data collected. Consistency with the data is ensured in the model by means of an inverse procedure.
  • Integrated reservoir engineering studies have two main objectives:
  • the reservoir engineer seeks to quantify the uncertainties linked to production forecasts
  • the reservoir engineer wants to be able to test different production scenarios to carry out risk studies.
  • a classical approach concerning point [3] consists in decomposing into eigenvalues and vectors. The various eigenvalues obtained then make it possible to find a compromise between the uncertainty obtained on the parameters at the end of calibration and the number of parameters which can be estimated from the available data.
  • any geostatistical realization always contributes, even minimal, to the fall of. the objective function (J). Consequently, a number of optimal geostatistical realizations are linearly combined by the gradual deformation method. These optimal realizations are themselves derived from a linear combination of initial geostatistical realizations whose combination coefficients are chosen so as to propose a direction of search for gradual deformations as close as possible to the direction of descent given by the gradients.
  • This approach was the subject of the patent application 02 / 13.632 of the applicant.
  • the method according to the invention makes it possible to form a stochastic digital model of the Gaussian or related type, giving an image of the distribution of a physical quantity in a porous heterogeneous medium, which is calibrated with respect to data obtained by measurements carried out in the medium or previous observations, and characteristics of the movement of fluids in the medium.
  • It comprises an iterative process of gradual deformation where one linearly combines with each iteration, an initial geostatistical realization (y) of at least part of the medium, and a number (Nl) (N> 1) other realizations independent of the initial implementation by imposing constraints on the coefficients of the linear combination, and an objective function is minimized measuring the difference between a set of non-linear data deduced from the said combination by means of a simulator, and the said dynamic data, the iterative process being repeated until an optimal realization of the stochastic model is obtained.
  • the ( ⁇ -l) other realizations are selected from the (N-l) indicators of highest absolute value.
  • the N realizations are selected from the N indicators of highest absolute value.
  • FIG. 2 is a geometric representation of the method for finding the best initialization point for the optimization algorithm in the case of refinement indicators for gradual deformations;
  • the normality constraint is automatically checked when working in spherical coordinates ⁇ 1 , ..., ⁇ N _ 1 ⁇ .
  • the new realization z is therefore a function of (N-
  • refinement indicators has been applied to parametrization by gradual deformations.
  • a number N generally small
  • realizations z ( . E R " m are chosen at random, or nm corresponds to the number of geostatistical meshes (generally large).
  • the use of refinement indicators will allow l user to reduce the number of randomly selected geostatistical realizations to one or even zero.
  • the user chooses the (Nl) realizations z 2 —z N used in the gradual deformations from a set of N # (N # "N) realizations z 2 —Z N " .
  • the idea is to generate the realizations z 2 ... z N , from a large number of random seeds and to take into account for the gradual deformation only the ( ⁇ -l) realizations having the strongest indicators of refinement ⁇ . , which we define now.
  • Let p [p v ..., p,), and consider the following constraint optimization problem
  • L is the Lagrangian defined by:
  • the geostatistical gradient dj / dz [z "je R nm corresponds to the derivative of the objective function J with respect to each geostatistical cell of realization z * .
  • the minimum (optimal) value of the objective function associated with the second member b is therefore:
  • a well-known constraint optimization result tells us that the Lagrange multiplier ⁇ * coincides with the derivative of the optimal objective function J b * with respect to the i-th element b i of the second member of the constraint:
  • the i-th component ⁇ l of the Lagrange multiplier ⁇ therefore indicates the sensitivity of the optimal objective function J b * when we take into account the i-th degree of freedom, that is to say that we uses the i-th realizations z t for the parametrization of the gradual deformations.
  • Equation 10 Equation 10 can then be rewritten as:
  • the user In order to select the N realizations used in the gradual deformations, the user generates as in case 1 a large number N # of geostatistical realizations and calculates the initialization indicators for the gradual deformations:
  • important can potentially significantly decrease the objective function for a correct sign ⁇ p ⁇ .
  • the user sorts the initialization indicators in decreasing order of absolute value and chooses for the gradual deformation the N realizations having the highest absolute value.
  • the preliminary step to the calculation of the refinement indicators [Eq. (6)] consists in calculating the geostatistical gradient dJ / dz. To this end, let us first consider the different stages of the direct problem when the gradual deformations are used as parametrization of the geological model (Fig. 1).
  • the four successive stages are:
  • Geological modeling case of lognormal distributions or facies models. The conditioning to the static well data is carried out.
  • One of the essential points of the proposed methodology is to calculate these gradients by the adjunct state method.
  • the computation of the gradient dJ / dK is done by a discrete assistant state.
  • the second term can also be calculated by assistant state if necessary.
  • the third term corresponds to the derivation of the geological modeling step and can be easily calculated analytically.
  • Equation (9) tells us that the sign of the refinement indicators contains important information. Suppose that a given indicator has a positive sign. If a positive weight is attached to the associated realization, this will tend to decrease the objective function (first order). The same analysis holds for negative indicators. The user will therefore have every interest in initializing the optimization algorithm with ⁇ giving linear combination coefficients of the same sign as the indicator under consideration.
  • the user determines the (Nl) realizations z 2 —Z N used for the gradual deformations based on the associated refinement indicators.
  • the user calculated V ⁇ 7 (z 1 ) and, by simple scalar product, the components ⁇ x ... ⁇ N of V ((l, 0 ... ⁇ )). So he can search on the sphere
  • Facial models correspond to models with discontinuities at the level of physical quantities such as permeability for example, which makes the term [3] of equation (14) non-derivable.
  • the only petrophysical property considered is permeability.
  • the permeability is modeled by a lognormal distribution with an average equal to 100 mD and a variance equal to (lO ⁇ ) 2 mD 2 .
  • the porosity is constant in the tank.
  • the only data from the flow simulator are the well pressures. Five wells are crossed by the reservoir: a producer well in the center of the model and four observer wells arranged in a cross around the producer well.
  • a realization generated from a random seed serves as a reference model.
  • a fluid flow simulation is conducted on this model, which gives us reference well pressures.
  • the objective function is formulated in the least sense square. We do not consider a step of change of scale. The simulation is directly conducted on the model considered.
  • loop 2 corresponds to the optimization carried out with the realization z x and the realizations having the refinement indicators of highest absolute value in the game considered.
  • - loop 4 corresponds to the optimization carried out with realization z and the realizations having the refinement indicators of lowest absolute value in the game considered.
  • loop 1 corresponds to the evolution of the objective function J for an optimization carried out with the geostatistical realization z x and two other realizations chosen at random.
  • loop 2 corresponds to the optimization carried out with realization z x and the realizations having the initialization indicators of highest absolute value in the game considered.
  • loop 4 corresponds to the optimization carried out with realization z x and the realizations having the initialization indicators of lowest absolute value in the game considered.

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Abstract

Méthode pour former rapidement un modèle stochastique représentatif de la distribution d'une grandeur physique dans un milieu hétérogène poreux qui soit calé par rapport à des données dynamiques, par une sélection appropriée de réalisations géostatistiques à combiner linéairement. On utilise un processus itératif de déformation graduelle où l'on combine linéairement à chaque itération, une réalisation géostatistique initiale (y) du milieu, et un nombre (N-1) (N>1) autres réalisations (zi) i =1,..., (N-1), indépendantes de la réalisation initiale (y), en imposant des contraintes aux coefficients de combinaison linéaire des réalisations (y) et (zi) i =1,..., (N-1), et l'on minimise une fonction objectif (J) mesurant l'écart entre un jeu de données simulées déduites de la dite combinaison au moyen d'un simulateur, et les dites données dynamiques. Pour minimiser rapidement la fonction objectif, on calcule le multiplicateur de Lagrange (lambda), lambda ∈ R<N-1> associé à la contrainte portant sur les valeurs spécifiées des coefficients des réalisations (zi) i =1,..., (N -1) . La valeur absolue lambdai de la i-ième composante du multiplicateur lambda indique la sensibilité de la fonction objectif par rapport à la i-ième réalisation géostatistique (zi).

Description

METHODE POUR FORMER RAPIDEMENT UN MODELE STOCHASTIQUE REPRESENTATIF DE LA DISTRIBUTION D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE DANS UN MILIEU HETEROGENE PAR UNE SELECTION APPROPRIEE DE REALISATIONS GEOSTATISTIQUES
La présente invention concerne une méthode pour former rapidement un modèle stochastique représentatif de la distribution d'une grandeur physique telle que la perméabilité par exemple, dans un milieu hétérogène poreux, qui soit calé par rapport à des données dynamiques, par une sélection appropriée de réalisations géostatistiques combinées linéairement.
ETAT DE LA TECHNIQUE
L'optimisation dans un contexte stochastique consiste à déterminer des réalisations d'un modèle stochastique qui satisfont un ensemble de données observées sur le terrain. En ingénierie de réservoir, les réalisations à identifier correspondent à des représentations, dans le champ réservoir, de la distribution de propriétés de transport telles que la perméabilité ou la porosité. Ces réalisations forment des modèles numériques de réservoir. Les données disponibles sont, par exemple, des mesures ponctuelles de perméabilité ou porosité, un modèle de variabilité spatiale déterminé selon des mesures ponctuelles ou encore des données directement liées aux écoulements des fluides dans un réservoir souterrain, c'est à dire des pressions, des temps de percée, des débits, etc. Ces dernières sont souvent non linéairement reliées aux propriétés physiques à modeliser. Une réalisation tirée au hasard n'est pas en général en adéquation avec l'ensemble des données collectées. La cohérence vis à vis des données est assurée dans le modèle par le biais d'une procédure inverse. Les études intégrées en ingénierie de réservoirs ont principalement deux objectifs :
sur des champs matures, l'ingénieur réservoir cherche à quantifier les incertitudes liées aux prévisions de production,
sur des projets en cours de développement ou entrant dans une nouvelle phase de production, l'ingénieur réservoir veut pouvoir tester différents scénarii de production pour effectuer des études de risques.
Dans ce contexte, l'utilisation des géostatistiques aussi bien comme méthodes d'estimation que de simulation stochastiques est devenue courante. Les outils actuels de simulation géostatistique permettent de générer rapidement des modèles de réservoirs pétroliers contenant plusieurs millions de mailles. Les défis associés à l'utilisation de tels modèles sont principalement de deux ordres :
[1] d'une part, il faut pouvoir intégrer les données disponibles pour mettre à jour le modèle de réservoir tout en assurant la conservation des propriétés géostatistiques du modèle géologique initial,
[2] d'autre part, il faut résoudre le problème inverse associé à cette intégration de données dans des délais compatibles avec les contraintes économiques.
Dans les deux cas, la paramétrisation du modèle géologique joue un rôle primordial. Une approche classique consiste à réduire le nombre de paramètres et à ne prendre en compte que ceux ayant une sensibilité maximale. La méthodes des points pilotes, initialement présentée par
- Ramarao, B.S., LaVenue, A.M., de Marsily, G. & Marietta, M.G., "Pilot point methodology for automated calibration of an ensemble of conditionally simulated transmissivity fields : 1. Theory and computational experiments", Water Resources Research, 31(3) : 475-493, Mardi 1995
permet d'effectuer un calage d'historique sur un modèle de réservoir paramétré par les données de puits et un certain nombre de points pilotes spécifiés par l'utilisateur. La mise à jour du modèle est néanmoins localisée au voisinage des points pilotes. La méthode de zonation du réservoir en principales unités ou zones ayant des propriétés pétrophysiques constantes a été initialement présentée par
- Bissel, R., "Calculating optimal parameters for history matching", Proceedings of the 401 European Conférence on the mathematical of oil recovery (ECMOR IN), 1994.
Elle permet d'effectuer un calage d'historique pour peu que la zonation choisie soit correcte du point de vue géologique. Le point [1] n'est néanmoins pas respecté.
Une autre approche réside dans la paramétrisation mufti-échelles pour laquelle le problème est résolu successivement sur des échelles de plus en plus fines. Elle présente l'inconvénient de conduire généralement à une sur-paramétrisation car tous les degrés de liberté de l'échelle inférieure sont utilisés alors que seuls certains seraient nécessaires pour expliquer les données.
Les approches multi-écheiles adaptatives permettent de corriger cet inconvénient. Le concept d'indicateur de raffinement, présenté par :
- Chavent, G., &, Bissell, R.3 "Indicator for the refinement of parameterization", Proceedings of the International Symposium on Inverse Problems in Engineering
Mechanics, Νagano, Japan, p. 185-190, 1998
permet d'identifier les degrés de liberté utiles pour expliquer les données tout en évitant le piège de la sur-paramétrisation.
Plus récemment, une technique de paramétrage géostatistique, a été introduite pour contraindre, par déformation graduelle, les réalisations stochastiques à des données dont elles dépendent de manière non linéaire. Elle a fait l'objet des brevets FR 2.780.798 et FR2.795.841 du demandeur, Elle est aussi décrite dans la publication suivante :
- Roggero, F., &, Hu, L.Y., (1998) "Graduai déformation of continuous geostatistical models for history matching", SPE 49004.
Elle permet d'effectuer un calage d'historique tout en conservant les propriétés géostatistiques initiales du modèle de réservoir. La paramétrisation se réduit alors aux paramètres de déformation graduelle à partir desquels l'utilisateur calcule les coefficients de la combinaison linéaire. Le modèle géologique étant paramétré par une combinaison linéaire de réalisations géostatistiques, le point [1] peut être satisfait par une contrainte spécifique sur les coefficients de cette combinaison linéaire.
Le point [2] implique deux autres conditions dès lors que l'on travaille avec la méthode des déformations graduelles. Il s'agit de savoir :
[3] quel nombre N de réalisations géostatistiques est à considérer pour la combinaison linéaire ; et
[4] comment choisir de la manière la plus efficace possible les N réalisations géostatistiques optimales (décroissance la plus rapide de la fonction objectif du problème inverse considéré).
Une approche classique concernant le point [3] consiste à effectuer une décomposition en valeurs et vecteurs propres. Les différentes valeurs propres obtenues permettent alors de trouver un compromis entre l'incertitude obtenue sur les paramètres en fin de calage et le nombre de paramètres que l'on peut estimer à partir des données disponibles.
Suivant une autre approche, toujours dans le cadre d'une paramétrisation par la méthode des déformations graduelles, on considère que toute réalisation géostatistique apporte toujours une contribution, même minime, à la baisse de. la fonction objectif (J). En conséquence, on combine linéairement par la méthode des déformations graduelles un certain nombre de réalisations géostatistiques optimales. Ces réalisations optimales sont elles-mêmes issues d'une combinaison linéaire de réalisations géostatistiques initiales dont les coefficients de combinaison sont choisis de telle manière à proposer une direction de recherche des déformations graduelles aussi proche que possible de la direction de descente donnée par les gradients. Cette approche a fait l'objet de la demande de brevet 02/13.632 du demandeur.
Concernant le point [4], aucune approche n'a été jusqu'à présent proposée permettant d'effectuer un choix à priori des réalisations (ou cartes) utilisées dans la combinaison linéaire dans un contexte de calage d'historiques. Seul une technique permettant un choix à priori des réalisations géostatistiques correspondant aux scenarii de production extrêmes dans un contexte de quantification des incertitudes a été proposée par :
- Roggero, F., "Direct sélection of stochastic model realizations constrained to historical data", SPE 38731, 1997. LA METHODE SELON L'INVENTION
La méthode selon l'invention permet de former un modèle numérique stochastique de type Gaussien ou apparenté, donnant une image de la distribution d'une grandeur physique dans un milieu hétérogène poreux, qui soit calé par rapport à des données obtenues par des mesures effectuées dans le milieu ou des observations préalables, et caractéristiques du déplacement des fluides dans le milieu. Elle comporte un processus itératif de déformation graduelle où l'on combine linéairement à chaque itération, une réalisation géostatistique initiale (y) d'au moins une partie du milieu, et un nombre (N-l) (N>1) autres réalisations indépendantes de la réalisation initiale en imposant des contraintes aux coefficients de la combinaison linéaire, et l'on minimise une fonction objectif mesurant l'écart entre un jeu de données non linéaires déduites de la dite combinaison au moyen d'un simulateur, et les dites données dynamiques, le processus itératif étant répété jusqu'à obtenir une réalisation optimale du modèle stochastique.
Dans le but de sélectionner les réalisations géostatistiques de façon à minimiser rapidement la dite fonction objectif et obtenir une convergence plus rapide du modèle, on génère un certain nombre N#, beaucoup plus grand que le nombre Ν, de réalisations et on sélectionne parmi elles, les réalisations ayant des indicateurs de plus forte valeur absolue jusqu'à avoir au total Ν cartes, l'indicateur associé à chaque réalisation correspondant à un produit scalaire entre cette réalisation et le gradient géostatistique de la fonction objectif par rapport à la réalisation géostatistique initiale considérée.
Suivant un mode de mise en œuvre, en plus de la réalisation géostatistique initiale (y) choisie arbitrairement, on sélectionne les (Ν-l) autres réalisations à partir des (N-l) indicateurs de plus forte valeur absolue. Dans ce cas, on considère le gradient géostatistique de la fonction objectif par rapport à la réalisation géostatistique initiale (y) conditionnée aux données.
Suivant un mode de mise en œuvre, on sélectionne les N réalisations à partir des N indicateurs de plus forte valeur absolue. Dans ce cas, on considère le gradient géostatistique de la fonction objectif par rapport à la réalisation géostatistique de la variable aléatoire nulle conditionnée aux données statiques de puits.
On détermine les gradients géostatistiques par exemple par la méthode de l'état adjoint. PRESENTATION SUCCINTE DES FIGURES
Les caractéristiques et avantages de la méthode selon l'invention, apparaîtront plus clairement à la lecture de la description ci-après d'un exemple non limitatif de mise en œuvre, en se référant aux dessins annexés où :
- la figure 1 montre les principales étapes du problème direct lorsque l'on utilise les déformations graduelles comme paramétrisation du modèle géologique ;
- la figure 2 est une représentation géométrique de la méthode permettant de trouver le meilleure point d'initialisation pour l'algorithme d'optimisation dans le cas des indicateurs de raffinement pour les déformations graduelles ;
- la figure 3 montre les valeurs absolues des indicateurs de raffinement pour les déformations graduelles de 700 réalisations géostatistiques ;
- la figure 4 montre l'évolution de la fonction objectif J pour quatre boucles d'optimisation, les réalisations géostatistiques utilisées pour les déformations graduelles étant choisies ou non par les indicateurs de raffinement pour les déformations graduelles ;
- la figure 5 montre les valeurs absolues des indicateurs d'initialisation pour les déformations graduelles de 700 réalisations géostatistiques ; et
- la figure 6 montre l'évolution de la fonction objectif J pour quatre boucles d'optimisation, les réalisations géostatistiques utilisées pour les déformations graduelles étant choisies ou non par les indicateurs d'initialisation pour les déformations graduelles.
DESCRIPTION DETAILLEE DE LA METHODE
On considère que l'on effectue un calage d'historique de production sur un modèle de réservoir (à l'échelle géologique ou de simulation d'écoulement) paramétré à l'aide de la méthode des déformations graduelles. Cette méthode consiste à optimiser de manière itérative une combinaison linéaire de réalisations indépendantes du modèle stochastique jusqu'à ce que les contraintes dynamiques soient respectées (via une fonction objectif). Les propriétés pétrophysiques (telles que la perméabilité ou la porosité) du modèle de réservoir sont modélisées par une fonction aléatoire Z. Considérons spécifiquement une fonction aléatoire gaussienne Z(x) centrée réduite. La méthode des déformations graduelles consiste à écrire une nouvelle réalisation z de Z comme une combinaison linéaire de N réalisations indépendantes zi de Z :
N N
Z{P) = ∑ Ptzt avec ∑ pf = 1 (1) i=l 1=1
La contrainte de normalité est automatiquement vérifiée lorsque l'on travaille en coordonnées sphériques {θ1,...,θN_1}. La nouvelle réalisation z est dès lors fonction de (N-
1) paramètres de déformation graduelle indépendants {θ1,...,θN_1} calculés par une relation :
p = S(θ) (2)
Le concept des indicateurs de raffinement a été appliqué à la paramétrisation par déformations graduelles. Dans la pratique, un nombre N (généralement petit) de réalisations z(. e R"m sont choisies au hasard, ou nm correspond au nombre de mailles géostatistiques (généralement grand). L'algorithme d'optimisation est initialiser avec des coordonnées sphériques θ = 0 . Cela revient à initialiser les coefficients de la combinaison linéaire [Eq. (1)] à px = 1 , p2 = ... = pN = 0 . L'utilisation des indicateurs de raffinement va permettre à l'utilisateur de réduire à une ou même zéro le nombre de réalisations géostatistiques choisies au hasard.
Cas 1 : Choix au hasard d'une réalisation géostatistique zi
Une fois que la réalisation initiale zx a été choisie, l'utilisateur choisit les (N-l) réalisations z2—zN utilisées dans les déformations graduelles parmi un jeu de N# (N# » N ) réalisations z2—ZN» . L'idée est de générer les réalisations z2...zN, à partir d'un grand nombre de germes aléatoires et de ne prendre en compte pour la déformation graduelle que les (Ν-l) réalisations ayant les plus forts indicateurs de raffinement λ. , que nous définissons maintenant. Soit p = [pv...,p , ), et considérons le problème d'optimisation sous contraintes suivant
# N*
Trouver p* e RN qui minimise j(z) avec z = ∑ ,z, ι=l sous les contraintes : (3)
[A]pl = bl, i = 2...N* , /7?y f = l ι=l
où bt , ζ' = 2...N sont des nombres spécifiés de telle manière que ∑ =2b,2 < l - Toute solution locale p* de (3) satisfait la condition nécessaire de Lagrange associée : il existe λ* = {λ2...λN *, ) (multiplicateurs pour la contrainte [A]) et μ* (multiplicateur pour la contrainte [B]) tels que :
91 / , * Λ
— \p ,λ ,μ )= 0 (4) dp
où L est le Lagrangien définit par :
La formule (4) nous donne immédiatement les multiplicateurs de Lagrange :
λ; = p z, (6)
La gradient géostatistique dj/dz[z" je Rnm correspond à la dérivée de la fonction objectif J par rapport à chaque cellule géostatistique de la réalisation z* . La solution p* de (3), - de même que la réalisation géostatistique associée z* et les multiplicateurs de Lagrange λ* , μ* - dépendent du second membre b = [b2...bN„ ) de la contrainte [1], de sorte que nous pouvons les noter par pb * , zb *, λb * and μb * . La valeur minimale (optimale) de la fonction objectif associée au second membre b est donc : Un résultat bien connu d'optimisation sous contraintes nous dit que le multiplicateur de Lagrange λ* coïncide avec la dérivée de la fonction objectif optimale Jb * par rapport au i- ième élément bi du second membre de la contrainte :
^- ≈ -λ (8) dbt
Pour appliquer ce résultat à notre problème, nous remarquons que pour le choix b2 = b3 = ... = b , = 0 , l'espace des solutions du problème (4) contient uniquement deux
points isolés p - (± l,0,...,θ)e RN qui sont donc des solutions locales de (4)! Nous pouvons donc appliquer l'analyse précédente avec p* = (l,0,...,θ) et z* = zλ . Si nous notons J[zΘ ) la valeur minimale de la fonction objectif J lorsque le i-ième élément du second membre b passe de bt = 0 à bi = δbl , nous voyons qu'au premier ordre :
/(zΘ )- /( )= -A; <»,. (9)
La i-ième composante λl du multiplicateur de Lagrange λ nous indique donc la sensibilité de la fonction objectif optimale Jb * lorsque l'on prend en compte le i-ième degré de liberté c'est-à-dire que l'on utilise la i-ième réalisations zt pour la paramétrisation des déformations graduelles. Nous appellerons dorénavant ces multiplicateurs de Lagrange des indicateurs de raffinement pour les déformations graduelles. '
Afin de sélectionner, parmi les N# réalisations candidates, les Ν-l qui doivent être associée à zx pour utiliser les déformations graduelles, nous calculons les N# - 1 indicateurs de raffinement λ2...λN,t par la formule 6. Ceci ce fait de manière extrêmement rapide, étant donné que chaque λi correspond à un simple produit scalaire, une fois que le gradient géostatistique dj/dz[z*)e R"m a été calculé (cf. paragraphe suivant). Les indicateurs de raffinement sont alors triés par ordre décroissant selon leur valeur absolue et nous sélectionnons les (Ν-l) réalisations géostatistiques correspondant aux (Ν-l) indicateurs de raffinement de plus forte valeur absolue. Cas 2 : Eviter le choix au hasard de la réalisation géostatistique zi
Supposons que les propriétés pétrophysiques (telles que la perméabilité ou la porosité) du modèle de réservoir soient modélisées par une distribution lognormale Y x) de moyenne m et de variance σ2. Cette réalisation Y(x) est liée à une distribution normale U(x) de moyenne m et de variance σ'2 à travers la relation :
Y(x) = eu{x) (10)
Les déformations graduelles utilisent une variable aléatoire centrée réduite Z(x). L'équation 10 peut alors être réécrite comme :
F( ) = e(m'+σ2W) (11)
Au lieu de calculer le gradient géostatistique dJ/dz pour une réalisation zx choisie au hasard (cas 1), l'utilisateur évalue le gradient dJ/dz pour la variable aléatoire nulle Z ≡ 0 conditionnée aux données statiques de puits. La motivation vient du fait que si une infinité de réalisations étaient prises en compte dans la combinaison linéaire [Eq. (1)], la réalisation résultante serait égale à la moyenne em c'est-à-dire l'équation (11) avec Z ≡ 0 . Ce gradient nous donne la sensibilité de la fonction objectif pour une distribution déterministe égale à la moyenne de la distribution conditionnée aux données statiques de puits.
Afin de sélectionner les N réalisations utilisées dans les déformations graduelles, l'utilisateur génère comme dans le cas 1 un grand nombre N# de réalisations géostatistiques et calcule les indicateurs d'initialisation pour les déformations graduelles :
Par définition, nous avons :
7(0) ≈ 4<?/>„ i = l...N* (13)
Les réalisations z, ayant une valeur absolue |Λ, | importante peuvent potentiellement faire décroître de manière forte la fonction objectif pour un δpι de signe correct. L'utilisateur trie par ordre décroissant de valeur absolue les indicateurs d'initialisation et choisit pour la déformation graduelle les N réalisations ayant la plus forte valeur absolue.
Calcul du gradient géostatistique dj/dz
L'étape préliminaire au calcul des indicateurs de raffinement [Eq. (6)] consiste à calculer le gradient géostatistique dJ/dz . A cette fin, considérons tout d'abord les différentes étapes du problème direct lorsque les déformations graduelles sont utilisées comme paramétrisation du modèle géologique (Fig. 1).
Les quatre étapes successives sont :
[1] Déformation graduelle des N réalisations z,. qui résulte dans la réalisation z,
[2] Modélisation géologique : cas de distributions lognormales ou modèles en faciès. Le conditionnement aux données statiques de puits est effectué.
[3] Changement d'échelle pour passer du modèle géologique au modèle de simulation d'écoulement si nécessaire,
[4] Simulation d'écoulement et calcul de la fonction objectif J.
Par dérivation composée, on peut écrire le gradient dJ/dz comme :
97 dJ dK dk
(14) dz dK dk dz
Un des points essentiels de la méthodologie proposée est de calculer ces gradients par la méthode de l'état adjoint. Le calcul du gradient dJ/dK se fait par un état adjoint discret. Le second terme peut lui aussi être calculé par état adjoint si nécessaire. Le troisième terme correspond à la dérivation de l'étape de modélisation géologique et peut être facilement calculé de manière analytique.
Avec cette approche, le coût supplémentaire induit par le calcul du gradient dJ/dK est similaire au coût informatique requis pour le calcul de la fonction objectif J - et, plus important, est indépendant du nombre de cellules géostatistiques, qui est très élevé. Utilisation des indicateurs pour initialiser l'algorithme d'optimisation
L'équation (9) nous indique que le signe des indicateurs de raffinement contient une information importante. Supposons qu'un indicateur donné ait un signe positif. Si l'on fixe à la réalisation associée un poids positif, cela aura tendance à faire décroître la fonction objectif (au premier ordre). La même analyse tient pour des indicateurs négatifs. L'utilisateur aura donc tout intérêt à initialiser l'algorithme d'optimisation avec des θ donnant des coefficients de combinaison linéaire de même signe que l'indicateur sous considération.
Cas 1 : Choix au hasard d'une réalisation géostatistique zi
Une fois que la réalisation géostatistique z a été choisie, l'utilisateur détermine les (N-l) réalisations z2—ZN utilisées pour les déformations graduelles en se basant sur les indicateurs de raffinement associés. L'utilisateur a calculé V∑7(z1) et, par simple produit scalaire, les composantes λx...λN de V ((l,0...θ)) . Il peut donc chercher sur la sphère
∑ pf = 1 un nouveau point initial dans la direction - V :
- Si λx > 0 , J tend à décroître lorsque px est augmenté. Dans ce cas, p = (l,0...θ) est le meilleur point d'initialisation,
Si λx < 0 , l'utilisateur peut se déplacer dans la direction -V 7 jusqu'à intersecter à nouveau la sphère (fig. 2):
Cas 2 : Eviter le choix au hasard de la réalisation géostatistique zi
L'utilisateur a calculé Vz7(z = θ) , il a donc à sa disposition Vpj(p = θ) = (Λj...Λw ). H peut initialiser l'algorithme d'optimisation en suivant les règles suivantes :
La transformation inverse S~l de l'équation (2) donne les paramètres de déformation graduelle ^1,—,ΘN_1 ' correspondants.
Extension de la méthodologie aux cas de modèles en faciès
Les modèles en faciès correspondent à des modèles présentant des discontinuités au niveau de grandeurs physiques telles que la perméabilité par exemple, ce qui rend le terme [3] de l'équation (14) non dérivable. Une méthodologie proposée par :
- Schaaf, T., Mezghani, M. and Chavent, G., 2002, "Direct conditioning of fine-scale faciès models to dynamic data by combining graduai déformation and numerical upscaling techniques", Paper E-44: Proc. 8th European Conférence on Mathematics of Oil Recovery (ECMOR NLÏÏ), 3-6 September 2002, Freiberg, Germany.
introduit le concept de faciès de transition qui permet d'avoir une fonction k = f(z) dérivable et donc de calculer le terme [3] de l'équation (14). La méthode selon l'invention s'applique donc à des modèles en faciès dès lors que l'on utilise le concept des faciès de transition décrit dans cette publication pour calculer le terme [3] de l'équation (14).
EXEMPLE
On décrit ici un exemple synthétique illustrant la méthode de façon non-limitative.
On considère un réservoir avec un maillage cartésien contenant suivant les axes X, Y et Z respectivement 141, 141 et 4 mailles. La seule propriété pétrophysique considérée est la perméabilité. La perméabilité est modélisée par une distribution lognormale de moyenne égale à 100 mD et de variance égale à (lOθ)2 mD2. La porosité est constante dans le réservoir. On considère un cas synthétique de tests d'interférence, il s'agit donc d'une simulation d'écoulement monophasique. Les seules données issues du simulateur d'écoulement sont les pressions puits. Le réservoir est traversé par cinq puits : un puits producteur au centre du modèle et quatre puits observateurs disposés en croix autour du puits producteur.
Une réalisation générée à partir d'un germe aléatoire sert de modèle de référence. Une simulation d'écoulement de fluides est conduite sur ce modèle, ce qui nous donne des pressions puits de référence. La fonction objectif est formulée au sens des moindres carrées. On ne considère pas d'étape de changement d'échelle. La simulation est directement conduite sur le modèle considéré.
On cherche à résoudre notre problème inverse en paramétrant notre modèle par deux paramètres de déformation graduelle θ c'est-à-dire que l'on considère une combinaison linéaire de trois réalisations géostatistiques z, .
Pour cette exemple synthétique, nous allons tester les deux approches décrites dans les cas l et 2.
Cas 1 : Choix au hasard d'une réalisation géostatistique zi
On choisit une réalisation géostatistique zx au hasard pour laquelle on calcule le gradient dJ/dz . On génère par la suite un jeu de 700 réalisations géostatistiques pour lesquelles on calcule les indicateurs de raffinement correspondants (Fig. 3)
Afin de démontrer l'utilité de la démarche proposée, nous allons considérer les quatre boucles d'optimisation suivantes (Fig. 4):
- la boucle 1 correspond à l'évolution de la fonction objectif J pour une optimisation conduite avec la réalisation géostatistique zx et deux autres réalisations choisies au hasard. L'algorithme d'optimisation est initialisé avec θ — 0 ,
la boucle 2 correspond à l'optimisation conduite avec la réalisation zx et les réalisations ayant les indicateurs de raffinement de plus forte valeur absolue dans le jeu considéré. L'algorithme d'optimisation est initialisé avec θ = 0 ,
- la boucle 3 est similaire à la boucle 2 en ce qui concerne les réalisations choisies. L'algorithme d'optimisation est initialiser en utilisant les valeurs des indicateurs (cf. paragraphe précédent),
- la boucle 4 correspond à l'optimisation conduite avec la réalisation z et les réalisations ayant les indicateurs de raffinement de plus faible valeur absolue dans le jeu considéré. L'algorithme d'optimisation est initialisé avec θ = 0 .
On vérifie que dans les cas 2 et 3 où l'on applique la méthode, la fonction coût décroît très rapidement. L'utilisation des indicateurs de raffinement non seulement pour le choix à priori des réalisations géostatistiques mais aussi pour l'initialisation de l'algorithme d'optimisation apparaît comme optimal. La valeur finale de la fonction objectif dans le cas ou l'on utilise les indicateurs de raffinement pour les déformation graduelles sera inférieure ou égale au cas ou ces indicateurs ne sont pas utilisés.
Cas 2 : Eviter le choix au hasard de la réalisation géostatistique zi
On choisit la réalisation z de la variable aléatoire Z nulle (sur laquelle est effectué le conditionnement aux données statiques de puits) pour laquelle on calcule le gradient dJ/dz . On génère par la suite un jeu de 700 réalisations géostatistiques pour lesquelles on calcule les indicateurs d'initialisation correspondants (Fig. 5).
Afin de démontrer l'utilité de la démarche proposée, nous allons considérer les quatre boucles d'optimisation suivantes (Fig. 6):
la boucle 1 correspond à l'évolution de la fonction objectif J pour une optimisation conduite avec la réalisation géostatistique zx et deux autres réalisations choisies au hasard. L'algorithme d'optimisation est initialisé avec θ = 0 ,
la boucle 2 correspond à l'optimisation conduite avec la réalisation zx et les réalisations ayant les indicateurs d'initialisation de plus forte valeur absolue dans le jeu considéré. L'algorithme d'optimisation est initialisé avec θ = 0 ,
- la boucle 3 est similaire à la boucle 2 en ce qui concerne les réalisations choisies. L'algorithme d'optimisation est initialisé en utilisant les valeurs des indicateurs (cf. paragraphe précédent),
la boucle 4 correspond à l'optimisation conduite avec la réalisation zx et les réalisations ayant les indicateurs d'initialisation de plus faible valeur absolue dans le jeu considéré. L'algorithme d'optimisation est initialisé avec θ = 0 .
On vérifie que dans les cas 2 et 3 où l'on applique la méthode, la fonction coût décroît aussi très rapidement.

Claims

REVENDICATIONS
1) Méthode pour former un modèle numérique stochastique de type Gaussien ou apparenté, donnant une image de la distribution d'une grandeur physique dans un milieu hétérogène poreux, qui soit calé par rapport à des données obtenues par des mesures effectuées dans le milieu ou des observations préalables, et caractéristiques du déplacement des fluides dans le milieu, comportant un processus itératif de déformation graduelle où l'on combine linéairement à chaque itération, une réalisation initiale (y) et un nombre (N-l) (N>1) autres réalisations ( y,- ) (avec i = l,...,(N -l)), indépendantes de la réalisation initiale, en imposant des contraintes aux coefficients de la combinaison linéaire, et l'on minimise une fonction objectif (J) mesurant l'écart entre un jeu de données non linéaires déduites de la dite combinaison au moyen d'un simulateur, et les dites données dynamiques, le processus itératif étant répété jusqu'à obtenir une réalisation optimale du modèle stochastique, caractérisée en ce que, dans le but de sélectionner les réalisations géostatistiques permettant de minimiser rapidement la dite fonction objectif et d'obtenir une convergence plus rapide du modèle : on génère un certain nombre N# (N# » N ) de réalisations et on sélectionne parmi elles, (Ν-l) autres réalisations ayant des indicateurs de plus forte valeur absolue, l'indicateur associé à chaque réalisation correspondant à un produit scalaire entre elle et le gradient géostatistique de la fonction objectif ' par rapport à la réalisation géostatistique initiale (y) laquelle est choisie arbitrairement et conditionnée aux dites données.
2) Méthode selon la revendication 1, caractérisée en ce que l'on sélectionne les (Ν-l) autres réalisations ayant des indicateurs de plus forte valeur .absolue, l'indicateur associé à chaque réalisation correspondant à un produit scalaire entre elle et le gradient géostatistique de la fonction objectif par rapport à la réalisation géostatistique de la variable aléatoire nulle conditionnée aux dites données, la réalisation géostatistique initiale (y) correspondant à l'indicateur de plus forte valeur absolue, et les autres réalisations ( y. ) correspondant aux indicateurs suivants de plus forte valeur absolue par ordre décroissant.
3) Méthode selon l'une des revendications précédentes, caractérisée en ce que l'on utilise les indicateurs pour initialiser un algorithme d'optimisation avec des paramètres initiaux θ de déformation graduelle optimaux et non nuls. 4) Méthode selon l'une des revendications précédentes, caractérisée en ce que l'on détermine le gradient géostatistique par la méthode de l'état adjoint.
5) Méthode selon l'une des revendications précédentes, caractérisée en ce que la dite combinaison n'affectant qu'une partie de la réalisation initiale, on applique le processus itératif de déformation graduelle à un bruit blanc Gaussien utilisé pour générer une réalisation gaussienne et on détermine le gradient géostatistique i.e. la dérivée de la fonction objectif par rapport aux composantes du bruit blanc gaussien.
6) Application de la méthode aux modèles en faciès en rendant continu le gradient géostatistique dès lors qu'on rajoute des faciès de transition aux faciès réel du milieu.
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