DE69917592T2

DE69917592T2 - Gegen stromverbrauchsignaturanfall beständige kryptographie

Info

Publication number: DE69917592T2
Application number: DE69917592T
Authority: DE
Inventors: A. Scott VANSTONE; P. Robert GALLANT
Original assignee: Certicom Corp
Current assignee: Certicom Corp
Priority date: 1998-10-28
Filing date: 1999-10-05
Publication date: 2005-06-02
Anticipated expiration: 2019-10-06
Also published as: EP1044405A1; AU5964299A; EP1044405B1; CA2252078C; ATE268022T1; CA2252078A1; DE69917592D1; JP4582912B2; WO2000025204A1; JP2002528771A; US6738478B1

Description

Diese Erfindung betrifft ein Verfahren zur Minimierung von Stromverbrauchsignaturangriffen bei Verschlüsselungssystemen.
HINTERGRUND DER ERFINDUNG
Verschlüsselungssysteme verdanken ihre Sicherheit im Allgemeinen der Tatsache, dass ein spezielles Informationsstück geheim gehalten wird, ohne welches es fast unmöglich ist, das Schema zu knacken. Die geheime Information muss im Allgemeinen in dem Kryptographieprozessor innerhalb einer sicheren Begrenzung gespeichert werden, wodurch es einem Angreifer erschwert wird, darauf direkten Zugriff zu erlangen. Es sind jedoch unterschiedliche Maßnahmen oder Angriffe unternommen worden, um an diese geheime Information zu gelangen. Einer davon ist der Takt- oder Stromverbrauchsignaturangriff.
Der Taktangriff (oder "Seitenkanalangriff") ist ein offensichtliches Ergebnis sequentieller Computeroperationen, die während Verschlüsselungsoperationen durchgeführt werden. Üblicherweise nutzt der Angriff einige Implementierungsaspekte eines Verschlüsselungsalgorithmus aus.
Gängige Verschlüsselungsschemata, wie beispielsweise RSA und elliptische Kurven (EC) arbeiten beispielsweise über mathematischen Gruppen; Z*_n(n = pq) bei RSA, diskrete Protokollsysteme bei einem finiten Feld F*_q (q ist eine Potenz einer Primzahl),
oder einer EC-Gruppe über diese finiten Felder. Die Gruppenoperationen, die bei RSA Modulo-n-Multiplikation und bei EC Punkt-Addition genannt werden, werden in einer bestimmten Art und Weise sequentiell wiederholt, um eine skalare Operation durchzuführen. Bei RSA wird der Operand Exponent genannt, die Operation wird Potenzierung genannt und das Multiplikationsverfahren ist allgemein als wiederholtes Quadrieren-und-Multiplizieren bekannt. Wenn somit eine Anzahl a ∈ Z*_n und ein Integerwert, der Exponent, 0 ≤ k < p gegeben ist, dessen binäre Darstellung sich als k = Σ i / i=0 k_i2ⁱ darstellen lässt, kann ein Wert a^k mod n unter wiederholter Anwendung des "Quadrier-und-Multiplizier"-Algorithmus (der in dem Handbuch der angewandten Kryptographie auf Seite 615 beschrieben ist) berechnet werden. Gleichermaßen kann bei gegebenem g(x) ∈ F_Pm und einem Integerwert 0 ≤ k ≤ p^m – 1 dann g(x)^k mod f(x) mittels diesem Verfahren berechnet werden.
Einerseits ist bei EC der Operand ein skalarer Multiplikator, die Operation wird skalare Punktmultiplikation genannt und das Verfahren ist als "Verdopplung-und-Addition" bekannt. Wenn daher k ein positiver Integerwert ist, und wenn P ein Punkt einer elliptischen Kurve ist, dann kann kP unter Verwendung des "Verdopplung-und-Addition"-Verfahrens erhalten werden. Diese beiden Verfahren sind aus dem Stand der Technik bereits bekannt und werden nicht weiter erörtert werden.
Wenn ein Angreifer einmal im Besitz des privaten Schlüssels ist (sei es ein Langzeit- oder Sitzungsschlüssel), ist er, wie bereits zuvor erwähnt wurde, in der Lage, Signaturen zu fälschen und geheime Nachrichten, die für die angegriffene Einheit bestimmt sind, zu entschlüsseln. Es ist daher von höchster Bedeutung, die Geheimhaltung oder Integrität des privaten Schlüssels in dem System zu wahren.
Es sind viele Verfahren vorgeschlagen worden, um den privaten Schlüssel zu erhalten. Die Verschlüsselungsoperationen werden entweder von einem sequentiell arbeitenden Spezial- oder Universalprozessor durchgeführt. Jüngste Angriffsverfahren wurden in öffentlich zugänglichen Schriftwerken vorgeschlagen, wie beispielsweise in Paul Kochers Artikel "Taktangriffe auf Implementierungen von Diffie-Hellmann-, RAS-, DSS- und anderen Systemen" beschrieben. Diese Angriffe basierten auf einer Taktanalyse dieser Prozessoren oder anders gesagt auf der Taktanalyse von "Blackbox"-Operationen. In einem Fall erhält ein Angreifer eine Stromverbrauchsignatur, indem er den momentanen Stromverbrauch eines Prozessors während einer Operation eines privaten Schlüssels erfasst. Die Stromverbrauchsignatur ist mit der Anzahl der Gates verknüpft, die während jedes Taktzyklus aktiv sind. Jede der im vorangehenden Absatz beschriebenen Fundamentaloperation erzeugt ein eindeutiges Taktmuster. Zum Erhalt einer Stromverbrauchsignatur existieren andere Verfahren als der Momentanstromverbrauch.
Aufwendige und sorgfältige Analysen einer End-End-Wellenform können den Rang von Addition-und-Verdopplungs- oder Quadrier-und-Multiplikations-Operationen zerlegen. Unter Verwendung des Standardalgorithmus muss jeweils entweder eine Verdopplung oder Quadrierung für jedes Bit des Exponenten oder des skalaren Multiplikators erfolgen. Die Stellen, an denen Verdoppelungswellenformen aneinander angrenzen, repräsentieren daher mit Nullen besetzte Bitstellen, und Stellen mit Additionswellenformen zeigen mit Einsen besetzte Bits an. Diese Taktmessungen können daher analysiert werden, um den gesamten geheimen Schlüssel herauszufinden und stellen somit das System dar.
Zusätzlich zu den zuvor erwähnten "Quadrierung-und Multiplikations"- oder "Verdoppelung-und-Additions"-Verfahren sind andere Verfahren zur Berechnung von kP beispielsweise die "Binärleiter" oder das Montgomery-Verfahren, das in "Speeding the Pollard and Elliptic Curve Methods of Factorization" von Peter L. Montgomery sowie in "An implementation of Elliptic Curve Cryptosystem Over F2155" im IEEE-Journal on selected areas in communications, Vol. 11, no. 5 auf den Seiten 804 bis 813 beschrieben ist. Bei diesem Verfahren werden die x-Koordinaten von Punktepaaren (iP, (i + 1)P) berechnet. Das Montgomeryverfahren ist ein effizienter Algorithmus, um Modulo-Multiplikationen durchzuführen, was durch ein Beispiel deutlicher veranschaulicht wird. Wenn eine Gruppe E (F_P) und ein Punkt P auf einer elliptischen Kurve gegeben ist, kann das Montgomery-Verfahren verwendet werden, um einen anderen Punkt kP zu berechnen. Im Falle eines geordnetes Punktepaars (iP, (i + 1)P) ist für jedes Bit der binären Darstellung von k, wenn Bit i eine 0 ist, die nächste berechnete Punktemenge (2iP, (2i + 1)P), und wenn Bit i eine 1 ist, dann ist die nächste Punktemenge ((2i + 1)P, (2i + 2)P), d. h. die erste des Paares wird in Abhängigkeit, ob mit i eine 0 oder eine 1 ist, mittels Verdoppelns oder Addierens abgeleitet.
In einem Prozessor umfasst jede der Verdopplungen oder Additionen mehrere Operationen, die eindeutige Stromverbrauchsignaturen erzeugen. Indem diese Stromverbrauchsignaturen, wie schematisch in der 1(a) gezeigt ist, überwacht werden, kann der Angreifer eine Folge von Nullen und Einsen und damit den verwendeten Skalar oder Exponenten ableiten.
Wegen seiner hohen Effizienz hinsichtlich der zuvor beschriebenen direkten "Verdoppelung und Addition" wird das Montgomery-Verfahren wird in EC-Verschlüsselungssystemen bevorzugt.
Der Angriff auf das zuvor beschriebene Montgomery-Verfahren ist insbesondere wichtig, wenn RSA-Operationen privater Schlüssel durchgeführt werden. In einer jüngeren Veröffentlichung, die von Dan Boneh et al. mit dem Titel "An Attack On RSA Given A Small Fraction Of The Private Key Bits" herausgegeben wurde, ist gezeigt worden, dass bei RSA mit einem niedrigen öffentlichen Exponenten, im Falle eines Viertels der Bits des privaten Schlüssels, ein Widersacher den gesamten privaten Schlüssel bestimmen kann. Unter Verwendung dieses Angriffs in Verbindung mit der zuvor beschriebenen Stromverbrauchsignatur ist das RSA-Schema extrem ungeschützt.
Es ist daher ein Ziel dieser Erfindung, ein System zur Verfügung zu stellen, das das Risiko eines erfolgreichen Taktangriffs minimiert, insbesondere, wenn das Montgomery-Verfahren bei Operationen mit privatem Schlüssel verwendet wird.
ZUSAMMENFASSUNG DER ERFINDUNG
Gemäß dieser Erfindung wird ein Verfahren zum Berechnen eines Vielfachen k eines Punktes P auf einer elliptischen Kurve, die über ein Gebiet definiert ist, in einem Kryptographieprozessor bereitgestellt, wobei das Verfahren die folgenden Schritte umfasst:

a) Abbilden der Zahl k als Binärvektor von Bits k_i;
b) Bilden eines georderten Punktepaares P₁ und P₂, wobei die Punkte P₁ und P₂ höchstens um P verschieden sind; und
c) nacheinander Auswählen jedes Bits k_i; und für jedes dieser k_i;
i) wenn k_i eine 0 ist,
ii) Berechnen einer neuen Punktemenge P₁', P₂', indem der erste Punkt P₁ verdoppelt wird, um den Punkt P₁' zu generieren; und durch anschließendes Addieren der Punkte P₁ und P₂, um den Punkt P₂' zu generieren; oder wenn k_i eine 1 ist,
iv) Berechnen einer neuen Punktemenge P₁', P₂', indem der zweite Punkt P₂ verdoppelt wird, um den Punkt P₂' zu generieren; und durch anschließendes Addieren der Punkte P₁ und P₂ um den Punkt P₁' zu erzeugen,

_i

Gemäß einem weiteren Aspekt dieser Erfindung ist das Gebiet entweder F₃ ^m oder F_p.
Gemäß einem weiteren Aspekt dieser Erfindung wird eine Prozessor-Hardware bereitgestellt, um das Verfahren zu implementieren.
KURZE BESCHREIBUNG DER ZEICHNUNGEN
Diese und weitere Merkmale der bevorzugten Ausführungsform der Erfindung werden durch die folgende detaillierte Beschreibung deutlicher werden, in der Bezug auf die beigefügten Zeichnungen genommen wird:
1(a) und (b) sind schematische Darstellungen einer Stromverbrauchssignatur eines Prozessors;
2 ist ein Flussdiagramm eines Verfahrens gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung;
3 ist eine schematische Darstellung eines symmetrischen Prozessors, der ein Verfahren gemäß einer Ausführungsform der vorliegenden Erfindung ausführt; und
4 ist eine schematische Darstellung einer Integerzahl k in Binärzahlen.
DETAILLIERTE BESCHREIBUNG DER BEVORZUGTEN AUSFÜHRUNGSFORMEN
Mit Bezugnahme auf die 2 ist ein verallgemeinerter Algorithmus zur Berechnung eines Vielfachen eines Punktes einer elliptischen Kurve, die über ein Gebiet F₂ ^m oder F_P definiert ist, allgemein mit der Bezugsziffer 20 bezeichnet. Bei dieser Ausführungsform ist der Punkt P ein Parameter des Systems. Der Algorithmus berechnet ein Vielfaches des Punktes kP, wobei der Skalar k möglicherweise ein privater Schlüssel oder ein anderer geheimer Wert ist. Der Skalar k wird in einem Register als Binärvektor dargestellt, der Bits b_i 24 besitzt. Es wird ein Elementpaar (a, b) erzeugt, wobei a und b Punkte auf einer elliptischen Kurve sind, die sich höchstens um P unterscheiden, oder im Falle der Gruppe F_P sind a und b Elemente g, die sich durch ein Vielfaches von g unterscheiden.
Bei der vorliegenden Ausführungsform wollen wir ein Schema einer elliptischen Kurve betrachten, so dass die Elemente a und b den x-Koordinaten eines geordneten Punktpaares iP und (i + 1P) entsprechen. Ein Bit b_i wird beginnend mit dem ersten Bit der binären Darstellung des Skalars k ausgewertet. In Abhängigkeit des Wertes des Bits wird einer der beiden Algorithmen 26 oder 28 ausgewählt. Wenn das Bit, wie in Block 25a gezeigt, eine 0 ist, wird das erste Element a des Eingabepaares (a, b) verdoppelt und in dem ersten Element a des Ausgabepaares (a', b') gespeichert, während die ersten und zweiten Elemente der Eingabe addiert werden a + b und in das zweite Element b' des Ausgabepaares (a', b') eingestellt werden. Wenn das Bit, wie in Block 25b gezeigt, eine 1 ist, wird das zweite Element b des Eingabepaares (a, b) verdoppelt und in dem zweiten Element b' des Ausgabepaares (a', b') gespeichert, während das erste und zweite Eingabeelement addiert werden, d. h. a + b, und in das erste Element a' des Ausgabepaares (a', b') eingestellt werden. Diese Schritte werden für alle Bits des Skalars k wiederholt.
Es kann somit aus 1(b) entnommen werden, dass die Durchführung der "Verdopplungs-Operation", die von der "Additions-Operation" gefolgt wird, hinsichtlich jedes Bits eine konsistente Stromverbrauchsignaturwellenform erzeugt und somit einem potentiellen Angreifer ein bisschen Information zur Verfügung stellt. Die Operationen könnten ebenfalls in umgekehrter Reihenfolge durchgeführt werden, d. h. dass zunächst die "Addition"- und danach die "Verdoppelungs"-Operation" durchgeführt wird. Bei einem RSA-Schema sind die analogen Operationen "Quadrierung und Multiplikation".
Der Deutlichkeit halber sei angenommen, dass wir kP unter Verwendung der "Binärleiter"-Methode berechnen, dann besitzen wir nach einigen Iterationen die x-Koordinaten von (iP, (i + 1)P), d. h. nachdem i Bits von k verarbeitet worden sind, wie schematisch in der 4 gezeigt ist. Wenn das nächste zu bearbeitende Bit 0 ist, dann müssen wir die (geordneten Paare der) x-Koordinaten (2iP, (2i + 1)P) berechnen. Wenn das nächste Bit 1 ist, dann müssen wir die (geordneten Paare der) x-Koordinaten ((2i + 1)P, (2i + 2)P) erzeugen.
Wahrscheinlich erfordert die "Verdopplungs"-Formel ungeachtet der Eingabe etwa dieselbe Menge an Strom (und Zeit). Wahrscheinlich erfordern die Additionsformeln ungeachtet der Eingabe in etwa dieselbe Menge an Strom (und Zeit). Die Ausführung der Verdoppelungsformel wird jedoch einen anderen Strombetrag erfordern (weniger, wenn die gewöhnlichen Montgomery-Formeln verwendet werden) als die Ausführung der Additionsformeln.
Durch die Überwachung der Stromanzeige können wir somit zwischen einer "Verdopplung" und einer "Addition" unterscheiden. Wenn somit diese Gleichungen in einer konsistenten Reihenfolge ausgeführt werden, dann sind die verarbeiteten Stromverbrauchsignaturen einer 1 oder einer 0 nicht zu unterscheiden. Jede besteht aus einer "Verdopplungs"-Stromverbrauchsignatur, die von einer "Additions"-Stromverbrauchsignatur gefolgt wird.
Wir möchten erwähnen, dass im Falle einer Umkehrung der Auswertungsreihenfolge in beiden Fällen die Stromverbrauchssignaturen immer noch nicht zu unterscheiden sind.
Dieses Verfahren zur Berechnung von kP auf einer elliptischen Kurve wird daher bevorzugt, da es vermeidet, dass der Integerwert k mittels der Stromverbrauchsstatistiken preisgegeben wird. Dieses Verfahren ist ebenfalls geeignet, wenn die "Montgomery"-"Verdoppelungs"- und "Additions"-Formeln verwendet werden, insbesondere wenn die projektive Form verwendet wird, die Umkehrungen vermeidet.
Hinsichtlich der Effektivität sei bemerkt, dass für jeden Schritt der "Binärleiter"-Methode zwei Operationen durchgeführt werden müssen. Das heißt, dass die Ergebnisse der "Additions"-Formel für die "Verdoppelungs"-Formel nicht benötigt werden und umgekehrt. Dies ermöglicht eine effiziente parallele Hardware-Realisierung.
Mit Bezugnahme auf die 3 ist somit eine schematische, parallele Hardwarerealisierung des vorliegenden Verfahrens mit der Bezugsziffer 30 bezeichnet. Bei dieser Realisierung wird ein erster und ein zweiter Spezialrechner zur Verfügung gestellt. Der erste Prozessor 32 führt entweder eine "Verdoppelungs"- oder "Quadrierungs"- oder beide Operationen aus, wohingegen der zweite Prozessor 34 eine "Additions"- oder "Multiplikations"- oder beide Operationen durchführt. Ein Hauptprozessor 36 bestimmt, welcher der Spezialrechner 32 und 34 aktiviert wird.
Beide Prozessoren 32 und 34 werden gleichzeitig betrieben. (Jedoch können die Schaltungen zur Ausführung unterschiedliche Zeiten benötigen). Die Eingaben und Ausgaben dieser Schaltungen werden je nach dem jeweiligen Fall behandelt, d. h. mit Bit b_i = 0 oder Bit b_i = 1. Dieses einfache Beispiel stellt eine Beschleunigung um einen Faktor von fast 2 gegenüber einer seriellen Realisierung zur Verfügung. Es sollte erkannt werden, dass zumindest im Falle der herkömmlichen projektiven Montgomery-Formel die Schaltung mehr Zeit benötigt und komplizierter als die Verdoppelungsschaltung ist. Da kein Bedarf besteht, das Ergebnis der Verdoppelungsschaltung vor der Additionsschaltung zu besitzen, kann sie langsamer sein. In der Praxis kann dies bedeuten, dass die Verdoppelungsschaltung kostengünstiger gebaut werden kann.

Claims

Verfahren zum Berechnen eines Vielfachen k eines Punktes P auf einer elliptischen Kurve, die über einem Gebiet definiert ist, in einem Kryptographieprozessor, der sich unterscheidende Stromsignaturen für Addier- und Verdoppelungsoperationen generiert, umfassend die Schritte: a) Abbilden (24) der Zahl k als Binärvektor k_i; b) Bilden eines geordneten Paares von Punkten P₁ und P₂, wobei die Punkte P₁ und P₂ höchstens um P verschieden sind; wobei das Verfahren gekennzeichnet ist durch die Schritte: c) nacheinander Auswählen jedes Bits k_i und für jedes dieser k_i: i) wenn k_i eine 0 ist, Berechnen (25a) einer neuen Punktemenge P₁', P₂', indem der erste Punkt P₁ verdoppelt wird, um den Punkt P₁' zu generieren, und dadurch Erzeugen einer ersten Stromsignatur, und daraufhin Hinzuaddieren der Punkte P₁ und P₂, um den Punkt P₂' zu generieren, und dadurch Erzeugen einer zweiten Stromsignatur, die sich von der ersten Stromsignatur unterscheidet; oder ii) wenn k_i eine 1 ist, Berechnen (25b) einer neuen Punktemenge P₁', P₂', indem der zweite Punkt P₂ verdoppelt wird, um den Punkt P₂' zu generieren, und dadurch Erzeugen der ersten Stromsignatur, und daraufhin Hinzuaddieren der Punkte P₁ und P₂, um den Punkt P₁' zu generieren, und dadurch Erzeugen der zweiten Stromsignatur; wobei das Verdoppeln oder Hinzuaddieren für jedes der Bits b_i immer in der gleichen Reihenfolge ausgeführt wird, wodurch eine konsistente Stromsignatur-Wellenform erzeugt wird und hierdurch eine Zeitattacke auf dieses Verfahren minimiert wird.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Gebiet über F₂ ^m definiert ist.
Verfahren nach Anspruch 1, wobei das Gebiet über F_P definiert ist.