DE69324283T2 - Optischer Isolator - Google Patents

Optischer Isolator

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Description

  • Die Erfindung betrifft eine optische Isolatorvorrichtung und insbesondere eine polarisationsunempfindliche optische Isolatorvorrichtung, deren Charakteristik nicht vom Polarisationszustand eines einfallenden Lichtstrahls abhängt.
  • In einem optischen Kommunikationsnetz spielt die Beseitigung von Reflexionen, beispielsweise an den Enden verschiedener optischer Teile, eine wichtige Rolle im Hinblick auf die Kommunikationsgüte. Im allgemeinen weist ein Lichtstrahl, der sich durch eine gewöhnliche optische Faser ausbreitet, eine willkürliche Polarisation auf. Außerdem ändert sich der Polarisationszustand infolge schwankender Umgebungstemperatur, Deformation der Faser usw. Daher ist die Vorbedingung bei einer optischen Isolatorvorrichtung, die auf ein faseroptisches Kommunikationsnetz angewandt wird, daß der Isolator gegen einen Lichtstrahl in Vorwärtsrichtung bzw. Vorwärtsstrahl sowie gegen einen Lichtstrahl in Rückwärtsrichtung bzw. Rückwärtsstrahl polarisationsunempfindlich ist. Wegen polarisationsunempfindlicher optischer Isolatorvorrichtungen kann zum Beispiel auf die JP-B-49 297/1985 und 58 809/1986 verwiesen werden.
  • Eine in der obigen JP-B-49 297/1985 gelehrte optische Isolatorvorrichtung weist auf: eine erste doppelbrechende Kristallplatte zum Trennen eines einfallenden Lichtstrahls in einen ordentlichen und einen außerordentlichen Strahl, einen Faraday-Isolator bzw. Faraday-Dreher zum Drehen der Polarisationsrichtung der beiden Strahlen von der ersten Kristallplatte um 45 Grad, und eine zweite doppelbrechende Kristallplatte zum Vereinigen der beiden durch den Faraday-Dreher gelangten Polarisationskomponenten bzw. Polarisationen. Wenn sich eine Reflexion des Austrittsstrahls der Isolatorvorrichtung durch die Vorrichtung in entgegengesetzter Richtung ausbreitet, kehrt sich die Beziehung zwischen den Polarisationen in der ersten Kristallplatte um. Als Ergebnis bewegen sich der Vorwärts- und der Rückwärtsstrahl nicht auf dem gleichen optischen Weg, wodurch eine Isolation bzw. Trennung erfolgt. Diese Art der Isolatorvorrichtung ist frei von Verluständerungen, die durch Änderungen der Polarisation des Eintrittsstrahls verursacht werden, da sich Licht in der Isolatorvorrichtung ohne Rücksicht auf die Polarisationsrichtung des Eintrittsstrahls auf konstante Weise fortbewegt.
  • Die Isolatorvorrichtung gemäß der JP-B-58 809/86 ist im Prinzip die gleiche wie die oben angegebene Isolatorvorrichtung, mit der Ausnahme, daß die doppelbrechenden Kristallplatten keilförmig sind.
  • Um die Isolation zu verstärken, können eine erste doppelbrechende Kristallplatte, ein Faraday-Dreher, eine zweite doppelbrechende Kristallplatte, ein Faraday-Dreher und eine dritte doppelbrechende Kristallplatte hintereinander in dieser Reihenfolge angeordnet werden, wie in Zusammenfassungen der 1991 Spring Conference of The Institute of Electronics, Information and Communication Engineers, S. 4-125, offenbart.
  • In jedem der drei oben beschriebenen Typen herkömmlicher optischer Isolatorvorrichtungen lassen die doppelbrechenden Kristallplatten den ordentlichen Strahl des einfallenden Lichtstrahls sich geradlinig ausbreiten, während sie den außerordentlichen Strahl brechen. Da der ordentliche und der außerordentliche Strahl einander innerhalb des Isolators nicht austauschen, breitet sich der letztere infolge der Brechung über einen längeren Lichtweg aus als der erstere.
  • In letzter Zeit ist über ein faseroptisches Kommunikationssystem berichtet worden, das ohne Zwischenverstärkung eine größere Entfernung überbrückt als herkömmliche Systeme. Bei einem System dieser Art verursacht eine Differenz in der Ausbreitungszeit zwischen zueinander senkrechten Polarisationen eine Polarisationsdispersion, die zu einer Begrenzung der Entfernung und des für die Übertragung verfügbaren Frequenzbandes führt. Die Ausbreitungszeit-Differenz zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl ist durch die Dicke und die Anzahl der doppelbrechenden Kristallplatten bestimmt. Eine solche Doppelbrechung führt zur Polarisationsdispersion, wel che die Entfernung und das Frequenzband der Übertragung begrenzt.
  • Die JP-A-6-130 934 offenbart einen zweistufigen optischen Isolator, wobei die Neigungsrichtung erster und zweiter doppelbrechender Keilplatten und dritter und vierter doppelbrechender Keilplatten jeweils um 90º verschoben ist. Die EP- A-352 002 offenbart eine nichtreziproke optische Vorrichtung mit drei anisotropen Kristallelementen, die jeweils eine Austrittsrichtung zum Trennen von Licht in ordentliche und außerordentliche Strahlen aufweisen, und mindestens ein zwischen je zwei benachbarten anisotropen Kristallelementen eingesetztes nichtreversibles Drehungselement. Außerdem wird auf die zuvor nicht vorveröffentlichte EP-A-489 315 (Dokument gemäß Art. 54(3) und (4) EPÜ) verwiesen, die einen optischen Isolator mit einer Kombination aus Rutilplatten oder anderen doppelbrechenden Kristallen und Faraday-Elementen offenbart. Dieser optische Isolator weist auf: einen ersten doppelbrechenden Kristall, ein erstes Faraday-Element zum Drehen einer Polarisationsebene um 45º, einen zweiten doppelbrechenden Kristall mit einer gegenüber dem ersten doppelbrechenden Kristall um 45º gedrehten optischen Achse, einen dritten doppelbrechenden Kristall mit einer gegenüber dem ersten doppelbrechenden Kristall um 135º gedrehten optischen Achse, ein zweites Faraday-Element zum Drehen der Polarisationsebene um 45º, und einen vierten doppelbrechenden Kristall mit einer gegenüber dem ersten doppelbrechenden Kristall um 180º gedrehten optischen Achse. Zwei polarisierte Lichtkomponenten, die durch diesen optischen Isolator hindurchgehen, weisen die gleiche optische Weglänge auf. Die Veröffentlichung in APPLIED OPTICS 21(23), Dezember 1982, 4296-9, "Compact Optical Isolator for Fibers Using Birefringent Wedges" (Kompakter optischer Isolator für Fasern mit Verwendung doppelbrechender Keile) von Masataka Shirasaki und Kunihiko Asama offenbart einen optischen Isolator für Fasern, bei dem ein doppelbrechender Keil zum Trennen und Vereinigen des polarisierten Lichts verwendet wird, der einen niedrigen Verlust in Vorwärtsrichtung und eine hohe Isolation liefert.
  • Eine Aufgabe der vorliegenden Erfindung besteht darin, eine optische Isolatorvorrichtung bereitzustellen, die keine Polarisationsdispersion aufweist. Diese Aufgabe wird mit den Merkmalen von Anspruch 1 gelöst.
  • Die obige und weitere Aufgaben, Merkmale und Vorteile der vorliegenden Erfindung gehen aus der nachstehenden ausführlichen Beschreibung in Verbindung mit den beigefügten Zeichnungen deutlicher hervor. Dabei zeigen:
  • Fig. 1 eine perspektivische Ansicht, die eine optische Isolatorvorrichtung darstellt, welche die vorliegende Erfindung verkörpert;
  • Fig. 2 eine ähnliche Ansicht wie Fig. 1, die ein Vergleichsbeispiel eines optischen Isolators darstellt;
  • Fig. 3A und 3B die Polarisationskomponenten von Lichtstrahlen in Vorwärts- bzw. Rückwärtsrichtung, die bei der Ausführungsform gemäß Fig. 1 in aufeinanderfolgenden Positionen beobachtet wurden;
  • Fig. 4A und 4B ähnliche Ansichten wie Fig. 3A und 3B, die zu dem optischen Isolator gemäß Fig. 2 gehörige Polarisationskomponenten darstellen; und
  • Fig. 5 eine perspektivische Ansicht, die ein weiteres Vergleichsbeispiel eines optischen Isolators darstellt.
  • In Fig. 1 der Zeichnungen ist ein optischer Isolator dargestellt, der die vorliegende Erfindung verkörpert. Gemäß der Darstellung besteht der Isolator aus zwei optischen Isolatoren 100 und 200, die in Kaskade auf der optischen Achse eines einfallenden Strahls 1 angeordnet sind. Der Isolator 100 weist erste bis dritte doppelbrechende Kristallplatten 10, 12 und 14 sowie erste und zweite Faraday-Dreher 11 und 13 auf. Die Faraday-Dreher 11 bzw. 13 sind zwischen den doppelbrechenden Kristallplatten 10 und 12 bzw. zwischen den doppelbrechenden Kristallplatten 12 und 14 eingesetzt und mit Klebstoff daran befestigt. Die Dicken der Kristallplatten 10, 12 und 14, gemessen in Richtung der optischen Achse des Strahls 1, verhalten sich wie 1 : 2 : 1.
  • Ebenso weist der Isolator 200 vierte bis sechste doppelbrechende Kristallplatten 20, 22 und 24 sowie dritte und vierte Faraday-Dreher 21 und 23 auf. Die Kristallplatten 20- 24 und die Faraday-Dreher 21 und 23 sind in der gleichen Rei henfolge angeordnet und haben die gleichen Dicken wie beim Isolator 100.
  • Die Faraday-Dreher 11, 13, 21 und 23 drehen jeweils die Polarisationsebene um 45 Grad gegen den Uhrzeigersinn, gesehen von der Einfallsebene in Vorwärtsrichtung (Einfallsrichtung). Die Drehung wird durch ein Magnetfeld bewirkt, das von einem Dauermagneten in einer Richtung an jeden Faraday-Dreher angelegt wird. Die optischen Achsen der doppelbrechenden Kristallplatten stehen in der folgenden Beziehung zueinander. Die optische Achse der Kristallplatte 14 ist gegenüber derjenigen der Kristallplatte 10 in der gleichen Drehrichtung wie derjenigen der Faraday-Dreher um 90 Grad um die Achse des Strahls 1 gedreht. Die optische Achse der Kristallplatte 20 ist gegenüber derjenigen der Kristallplatte 14 in der gleichen Richtung um 90 Grad gedreht, und die optische Achse der Kristallplatte 12 ist gegenüber derjenigen der Kristallplatte 10 um 135 Grad gedreht, und die Polarisation 3 bewegt sich durch die Brechung in die entsprechende Richtung. Da außerdem die Kristallplatte 12 2 mal so dick ist wie die Kristallplatte 10, ist auch die Distanz der Bewegung wegen der Brechung 2 mal länger. Infolgedessen bewegt sich in der Position Z4 der außerordentliche Strahl unmittelbar unterhalb des ordentlichen Strahls.
  • Die Polarisationsebene des Strahls von der Kristallplatte 12 wird durch den Faraday-Dreher 13 um 45 Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht (Position Z5). Die dritte Kristallplatte 14 bricht den außerordentlichen Strahl (Polarisation 3), so daß er mit dem ordentlichen Strahl (Polarisation 2) zusammenfällt. Das überlagerte Licht erscheint auf der optischen Achse des Strahls 1 (Position Z6). Auf diese Weise erweist sich nur die Polarisation 3 im Isolator 100 als außerordentlicher Strahl.
  • Der Strahl in der Position Z6 fällt auf die vierte Kristallplatte 20 auf. Da jedoch die optische Achse der Kristallplatte 20 in Drehrichtung des Faraday-Drehers um 90 Grad gegenüber derjenigen der Kristallplatte 14 gedreht ist, werden der ordentliche und der außerordentliche Strahl umgekehrt, d. h. die Polarisationen 2 bzw. 3 werden ein außerordentlicher Strahl bzw. ein ordentlicher Strahl. Da andererseits die Iso latoren 100 und 200 bezüglich der Eigenschaften und der Dicke ihrer Bestandteile im Grunde identisch sind, hat der außerordentliche Strahl (Polarisation 2) zwischen den Positionen Z7 und Z11 die gleiche Richtung. Die optische Achse der Kristallplatte 24 ist gegenüber derjenigen der Kristallplatte 20 in der gleichen Richtung um 90 Grad gedreht. Die optischen Achsen der Kristallplatten 20, 22 und 24 sind gegenüber denen der Kristallplatten 10, 12 und 14 um jeweils 180 Grad gedreht. Ferner sind die Achsen der Kristallplatten 12 und 22 gegenüber denen der angrenzenden Kristallplatten um jeweils 135 Grad gedreht.
  • Fig. 3A zeigt Polarisationskomponenten, die in aufeinanderfolgenden Positionen Z1-Z11 zwischen den aneinandergrenzenden optischen Elementen der Isolatorvorrichtung beobachtet wurden, welche von dem Strahl 1, in Einfallsrichtung gesehen, durchlaufen wurden. In der Figur kennzeichnen große bzw. kleine Kreise die Bewegungen zueinander senkrechter Polarisationskomponenten, nachstehend einfach als Polarisationen bezeichnet, 2 und 3 des Strahls 1.
  • Der Strahl 1 wird durch die erste Kristallplatte 10 (Position Z2) in einen ordentlichen Strahl und einen außerordentlichen Strahl getrennt. Angenommen, die Polarisationen 2 bzw. 3 des Strahls 1 sind der ordentliche bzw. der außerordentliche Strahl. Der Faraday-Dreher 11 dreht die beiden Polarisationen 2 und 3 von der Kristallplatte 10 um 45 Grad gegen den Uhrzeigersinn. Als Ergebnis erweist sich die auf die zweite Kristallplatte 12 (Position Z3) auffallende Polarisation 3 als außerordentlicher Strahl. Daher wird die Polarisation oder der außerordentliche Strahl 3 weiter durch die Kristallplatte 12 in einer Richtung gebrochen, die von der Orientierung der optischen Achse abhängig ist. Konkret gesagt, da die optische Achse zwischen den Positionen Z1 und Z6 die gleiche optische Weglänge aufweist wie der außerordentliche Strahl (Polarisation 3), breitet sich als Ergebnis der in Vorwärtsrichtung durch die beiden Isolatoren 100 und 200 hindurchgehende Strahl ohne Rücksicht auf die Polarisation des Strahls 1 jederzeit auf einem optischen Weg der gleichen Länge aus.
  • Da andererseits der Strahl vom Isolator 200 reflektiert wird, beispielsweise durch die Stirnfläche einer optischen Faser, bewegen sich in entgegengesetzter Richtung orientierte Strahlen, wie in Fig. 3B dargestellt, die eine ähnliche Ansicht wie Fig. 3A zeigt. Da eine doppelbrechende Kristallplatte reversibel ist, bewegen sich die beiden durch die sechste Kristallplatte 24 aufgespaltenen Polarisationen auf dem gleichen optischen Weg, aber in entgegengesetzte Richtungen, bezogen Polarisation der gleichen Richtung. Da jedoch ein Faraday- Dreher nicht reversibel ist, wird die Polarisation des Lichts aus der umgekehrten Richtung im Uhrzeigersinn um 45 Grad gedreht, gesehen in Vorwärtsrichtung. Infolgedessen bewegt sich der Strahl in den aufeinanderfolgenden Positionen Z1-Z11, wie in Fig. 3B dargestellt, wodurch eine starke Isolation bzw. Trennung gesichert ist.
  • In der zur Erläuterung dargestellten Ausführungsform ist bemerkenswert, daß die Polarisationen 2 und 4 des Eintrittsstrahls mit den Polarisationen in der Austrittsposition Z11 identisch sind, d. h. daß die Polarisationsebene erhalten bleibt. Da ferner der Austrittsstrahl vom Isolator 200 auf der optischen Achse des Eintrittsstrahls liegt, kann er leicht in eine optische Faser eingekoppelt werden.
  • Fig. 2 zeigt ein Vergleichsbeispiel. Fig. 4A zeigt die Bewegungen eine Vorwärtsstrahls in den Positionen Z1-Z9 der in Fig. 2 dargestellten optischen Isolatorvorrichtung an, während Fig. 4B die Bewegungen eines umgekehrten Strahls anzeigt. Wie in Fig. 2 dargestellt, verwendet die Vorrichtung den Isolator 100, der in der früheren Stufe der Vorrichtung gemäß Fig. 1 angeordnet ist, und weist außerdem doppelbrechende Kristallplatten 30, 32 bzw. 34 auf, die in Vorwärtsrichtung an die Vorderenden der Kristallplatten 10, 12 bzw. 14 angrenzen. Die Kristallplatten 30, 32 bzw. 34 haben die gleiche Dicke wie die Kristallplatten 10, 12 bzw. 14. Die optischen Achsen der Kristallplatten 30, 32 und 34 sind jeweils in der gleichen Drehrichtung wie derjenigen der Faraday-Dreher gegenüber den entsprechenden Kristallplatten um 90 Grad um die optische Achse des Eintrittsstrahls 1 gedreht.
  • In der in Fig. 2 dargestellten Konfiguration erweist sich die Polarisation 2, die an den Kristallplatten 10, 12 und 14 ein ordentlicher Strahl ist, an den Kristallplatten 30, 32 und 34 als außerordentlicher Strahl, während die Polarisation 3 ein ordentlicher Strahl wird, wie in den Positionen Z3, Z6 und Z9 in Fig. 4A angedeutet. Da auf diese Weise der ordentliche und der außerordentliche Strahl an den angrenzenden Kristallplatten gleicher Dicke miteinander vertauscht werden, breitet sich der Strahl in allen Kristallplatten auf einem optischen Weg gleicher Länge aus. Als Ergebnis durchläuft der Strahl jederzeit ohne Rücksicht auf die Polarisation einen optischen Weg gleicher Länge und erleidet daher keine Polarisationsdispersion. In diesem Beispiel fällt die optische Achse des Austrittsstrahls gleichfalls mit derjenigen des Eintrittsstrahls zusammen. Andererseits bewegt sich das umgekehrte Licht, wie in Fig. 4B dargestellt, und bewirkt eine Isolation.
  • Unter Bezugnahme auf Fig. 5 wird nachstehend ein weiteres Vergleichsbeispiel beschrieben. Gemäß der Darstellung weist der optische Isolator ein Phasenelement 40 auf, das gleichfalls durch einen doppelbrechenden Kristall realisiert und an der Austrittsseite des Isolators 100 gemäß Fig. 1 befestigt ist. Das Phasenelement 40 weist eine Dicke auf, die gleich der Gesamtdicke der Kristallplatten 10, 12 und 14 ist. Die optische Achse des Phasenelements 40 ist senkrecht zur optischen Achse des Eintrittsstrahls 1 und außerdem senkrecht zu einer Projektion der optischen Achse der Kristallplatte 14 auf eine Ebene, die senkrecht zur optischen Achse des Eintrittsstrahls 1 ist.
  • In diesem Vergleichsbeispiel erweist sich bezüglich des Vorwärtsstrahls die Polarisation 2, die an den Kristallplatten 10, 12 und 14 ein ordentlicher Strahl ist, am Phasenelement 40 als außerordentlicher Strahl, während sich die Polarisation 3, die an den Platten 10, 12 und 14 ein außerordentlicher Strahl ist, am Element 40 als ordentlicher Strahl erweist. Daher breitet sich der Vorwärtsstrahl ohne Rücksicht auf die Polarisation jederzeit auf einem optischen Weg gleicher Länge und im Prinzip ohne Polarisationsdispersion durch die Isolatorvorrichtung aus. Solange die obige Beziehung der optischen Achse des Phasenelements 40 zu derjenigen der angrenzenden doppelbrechenden Kristallplatte erhalten bleibt, beeinflußt das Element 40 die Isolation bzw. Trennung von Licht überhaupt nicht. Daraus folgt, daß das Phasenelement 40 nach Wunsch sogar am Vorderende der ersten Kristallplatte 10 oder zwischen einer beliebigen Kristallplatte und dem angrenzenden Faraday-Dreher angebracht werden kann, solange die obige Beziehung eingehalten wird. Ferner kann das Phasenelement 40 in einige Stücke unterteilt werden, wenn die Gesamtdicke der Stücke gleich der Gesamtdicke der doppelbrechenden Kristallplatten 10, 12 und 14 gehalten wird und wenn die optische Achse jedes Stücks die obige Beziehung zur Achse der angrenzenden Kristallplatte aufweist. Außerdem kann sich der Kristall des Phasenelements 40 von den Kristallen der Kristallplatten 10, 12 und 14 unterscheiden, wenn seine Dicke verändert wird.
  • Die vorliegende Erfindung ist zwar anhand bestimmter anschaulicher Ausführungsformen beschrieben worden, soll aber nicht durch diese Ausführungsformen, sondern nur durch die beigefügten Ansprüche beschränkt werden. Zum Beispiel weisen bei der in Fig. 1 dargestellten Ausführungsform die Isolatoren 100 und 200 jeweils zwei Faraday-Dreher und drei doppelbrechende Kristallplatten auf. Alternativ können die Isolatoren 100 und 200 jeweils ein doppelbrechendes Element zum Trennen eines Eintrittsstrahls in einen ordentlichen und einen außerordentlichen Strahl, einen Polarisationsdreher zum Drehen der Polarisationsebene des ordentlichen und des außerordentlichen Strahls um (2 m ± 1/2) · 90 Grad (wobei m eine ganze Zahl ist), und ein doppelbrechendes Element aufweisen, um den außerordentlichen Strahl, der den Dreher durchlaufen hat, mit dem ordentlichen Strahl zu vereinigen und den resultierenden Strahl auszugeben. Der Grundgedanke ist, daß die optische Achse des auf der Eintrittsseite des zweiten Isolators angeordneten doppelbrechenden Elements um 90 Grad in Drehrichtung der Dreher der Isolatoren gegen die optische Achse des auf der Austrittsseite des ersten Isolators angeordneten doppelbrechenden Elements gedreht wird. Dies ist auch bei der Umkehrung des Polarisationszustands durch das auf der Eintrittsseite des zweiten Isolators angeordnete doppelbrechende Element erfolgreich.

Claims (2)

1. Optische Isolatorvorrichtung, welche aufweist:
einen ersten (100) und einen zweiten optischen Isolator (200) von gleicher Dicke, die jeweils aufweisen:
ein erstes doppelbrechendes Element (10, 20) zum Trennen des Eintrittsstrahls in einen ordentlichen Strahl und einen außerordentlichen Strahl;
einen ersten Polarisationsdreher (11, 21) zum Drehen einer Polarisationsebene des ordentlichen und des außerordentlichen Strahls um (2 m ± 1/2) · 90 Grad, wobei m eine ganze Zahl ist;
ein zweites doppelbrechendes Element (12, 22), das auf einer Austrittsseite des ersten Polarisationsdrehers angeordnet und 2 mal so dick wie das erste doppelbrechende Element (10, 20) ist und eine optische Achse aufweist, deren Orientierung sich um 135 Grad von der des ersten doppelbrechenden Elements unterscheidet;
einen zweiten Polarisationsdreher (13, 23) zum Drehen der Polarisationsebene des ordentlichen und des außerordentlichen Strahls vom zweiten doppelbrechenden Element (12, 22) um (2n ± 1/2) · 90 Grad, wobei n eine ganze Zahl ist, in der gleichen Drehrichtung wie der des ersten Polarisationsdrehers (11, 21); und
ein drittes doppelbrechendes Element (14, 24) zum Vereinigen des außerordentlichen Strahls von dem zweiten doppelbrechenden Element (12, 22) mit dem ordentlichen Strahl zur Ausgabe der vereinigten Strahlen;
wobei der erste und der zweite optische Isolator (100 und 200) in Kaskade angeordnet sind;
wobei eine optische Achse des auf der Eintrittsseite des zweiten optischen Isolators (200) angeordneten doppelbrechenden Elements (20) gegen eine optische Achse des auf der Austrittsseite des ersten optischen Isolators (100) angeordneten doppelbrechenden Elements (14) in Drehrichtung der Polari sationsdreher um 90 Grad gedreht ist, wodurch das doppelbrechende Element (20) auf der Eintrittsseite des zweiten optischen Isolators (200) einen Polarisationszustand umkehrt, um dadurch den ordentlichen Strahl und den außerordentlichen Strahl, die durch das auf der Eintrittsseite (10) des ersten Isolatorelements (100) angeordnete doppelbrechende Element getrennt werden, mit optischen Wegen gleicher Länge zu versehen.
2. Optische Isolatorvorrichtung nach Anspruch 1, wobei die Polarisationsdreher jeweils einen Faraday-Dreher (11, 13; 21, 23) aufweisen.
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