DE2500798A1 - OPTICAL MEASURING SYSTEM - Google Patents
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Description
UnMfZeIdMn1 A 1 9·>7/υ 285't 633 Wetzlar,den. 18. Dez. 1974UnMfZeIdMn 1 A 1 9 ·> 7 / υ 285't 633 Wetzlar, den. Dec 18, 1974
Pat Lü/PePat Lü / Pe
Die Erfindung betrifft ein optisches Heizsystem zum Messen von Längen, ¥inkcln oder optischen Konstanten nach dem Moirestreifen- bzw. Interferenzstreifenprinzip.The invention relates to an optical heating system for measuring of lengths, inclinations or optical constants the moire fringe or interference fringe principle.
Derartige Meßsysteme sind an sich in vielfältiger Form bekannt. So ist beispielsweise in der deutschen Patentschrift 1 136 83^ ein optisches Abtastsystem zum Messen von Lageänderungen nach dem Zweiphasenprinzip durch Erfassung der gegenseitigen Verschiebung zweier optischer Raster zueinander beschrieben, bei der zwischen den beiden Rastern, welche aufeinander abgebildet wex-den, ein optisches Abbildungssystem vorgesehen ist, welches wenigstens zwei gegeneinander versetzte Teilbilder erzeugt, denen je ein fotoelektrischer Empfänger zugeordnet ist, deren Ausgangssignale gegeneinander um einen ¥inkel / η · 180 (wobei η eine ganze Zahl ist) in ihrer Phasenlage verschoben sind und daher zusätzlich zum durch Zählung gewonnenen Meßergebnis eine Information über die Bewegungsrichtung zwischen den Rastern liefert. Eine praktische Anwendung dieses Meßprinzips ist in der deutschen Patentschrift 1 099 182 beschrieben, die eine Ablesevorrichtung für Meßteilungen zum Inhalt hat. Des weiteren ist durch die deutsche Patentschrift k99 5k5 eine Meß- und Registriervorrichtung bekannt, bei welcher einem Interferenzstreifensystem drei um definierte Beträge räumlich versetzte^ ineinander verschachtelte fotoelektrische Empfängergruppen zugeordnet sind, deren Ausgangssignale je einer Wicklung eines Drehfeldgebers zugeführt werden.Such measuring systems are known per se in various forms. For example, in the German patent specification 1 136 83 ^ an optical scanning system for measuring changes in position according to the two-phase principle by detecting the mutual displacement of two optical grids to one another is described, in which an optical imaging system is provided between the two grids, which are mapped onto one another which generates at least two mutually offset partial images, each of which is assigned a photoelectric receiver, whose output signals are shifted in their phase position by an angle / η 180 (where η is an integer) and therefore in addition to the measurement result obtained by counting provides information about the direction of movement between the grids. A practical application of this measuring principle is described in German patent specification 1 099 182, which has a reading device for measuring graduations as its content. Furthermore, a measuring and recording device is known from the German patent specification k99 5k5 , in which an interference fringe system is assigned three nested photoelectric receiver groups, spatially offset by defined amounts, whose output signals are each fed to a winding of a rotary field generator.
ßAD ORIGINAL -ßAD ORIGINAL -
609829/0310609829/0310
A Τ;;>7/Β 2854 A Τ ;;> 7 / Β 2854
Ä 18. 12. Ä 18. 12.
Der· Anker dieses Gebers stellt sich dann entsprechend den an Liegenden Signalen oin (Abb. 2). Auch ist durch die DAS 1 G'JS 28') nine Vorrichtung zur Bestimmung und Steuerung der Lageänderung eines Objektes gegenüber einem Dev.ugssysteiu bekannt, bei welcher einem Meßfeld eine Hnine von Potoelclctrischen Eüipfändern gegenüberstehen, deren Trennkantoti in Bezug auf di" Meßrichtung sctiräj; ve rl au Ten.The anchor of this encoder is then positioned according to the signals oin present (Fig. 2). Also known from DAS 1 G'JS 28 ') nine is a device for determining and controlling the change in position of an object in relation to a dev.ugssysteiu, in which a measuring field is opposed to a line of Potoelclctrischen Eüipfänder, whose separating edges in relation to the "measuring direction sctiräj; ve rl au Ten.
Der !Erfindung lag die Aufgabe zugrunde, ein optisches MeUsystem zu entwickeln, bei dem die in Reihe angeordneten Empfänger dos i'otoelektrisc'ipn Empfängersysteins abweichend so angeordnet sind, daß für das Empfängersysteni Raum gespart werden kann, was bei der angestrebten Miniaturisierung solcher Geräte Vorteile mit sich bringt.The invention was based on the object of an optical To develop MeUsystem in which the in series arranged Receiver dos i'otoelektrisc'ipn receiver system are arranged differently so that for the receiver system Space can be saved, which is advantageous in the targeted miniaturization of such devices brings.
Diese Aufgabe wird bei Meüsystemen der eingaugs genannten Art dadurch gelöst, daß ein zentralsymmetrisch bzw. zentral orientierte Empfangsflachen aufweisendes fotoelektrisch^ s Pünp fänger sy s te in vorgesehen und derart angeordnet ist, daß Geraden, welche durch die Schwerpunkte dieser Flächen gehen und vorzugsweise parallel sowohl zur BiLdebene als auch zu den Moire- bzw. Interferenzstreifen verlaufen, paarweise zueinander gleiche Abstände aufweisen. Dabei können die Empfangsflachen mit den Flächen dor fotoelektrisciien Empfänger des Systems zusammenfallen. Es können aber auch zwischen die Empfangsflachen und die ihnen zugeordneten fotoelektrischen Empfänger optische und/oder lichtleitende Bauelemente eingefügt sein.In the case of measuring systems, this task is mentioned in the introduction Art solved by the fact that a centrally symmetric resp. centrally oriented photoelectrically oriented receiving surfaces ^ s Pünp catcher system is provided and arranged in this way is that straight lines which go through the centers of gravity of these surfaces and preferably parallel to both Image plane as well as to the moiré or interference fringes run, have the same distances from one another in pairs. The receiving surfaces can with the surfaces dor photoelectrisciien receiver of the system coincide. It but can also between the receiving surfaces and the their associated photoelectric receiver optical and / or light-conducting components can be inserted.
Der Vorteil des erfindungsgemäßen Meßsystems liegt darin, daß bei ihm für das fotoelektrische Empfängersystern nur wenig Raum benötigt wird.The advantage of the measuring system according to the invention is that that with him for the photoelectric receiver system only little space is required.
6 09829/0 8VO M 6 09829/0 8VO M
α ι >>yy/B 2L'>jh α ι >> yy / B 2L '> jh
, , λ Ui. 12. WTk , Λ Ui. 12. WTk
DIo Ki-rintluri/, lsi nachfolgend anhand von in dor Zeichnung schema lisch dai'go s te J. lieu AusfiJhrungsbeispielen beschrieben. Es zeigenDIo Ki-rintluri /, lsi below based on in dor drawing Schematic dai'go s te J. lieu exemplary embodiments are described. Show it
Fig. 1, 1a einen linearen Schrittgeber mit erfindungsgemäßer Anordnung der fotoelektrischen Empfangsf l.ictien;Fig. 1, 1a a linear step generator with the invention Arrangement of photoelectric Reception fl. Ictien;
Fig. 2 einen Winke : scf'rittjjeber uit erf indungs^eliiäijer Anordnunj der fotoelektrise.hen Empfangsf Iac lien;Fig. 2 shows a hint: how the invention is based on the arrangement of the photoelectric reception area;
Beispiel für ein Gerät /ur Bestimmung optischer Konstanten;Example of a device / ur determination optical Constants;
a - 4i Ausführungsbeispiele für das fotoelektrische Empfängersystem samt ihrer Orientierung.a - 4i exemplary embodiments for the photoelectric Receiver system including its orientation.
In Fig. 1 ist ein Meßsystem zum Messen von Längen oder Bewegungen nach einer Koordinatenrichtun,; gezeigt, bei welcher zwei Linearrastor 10 und 11 zusammenwirken. Das Raster 10 wird von einer Lichtquelle 12 über einen Kondensor 13 beleuchtet und ist mit dem nicht mit dargestellten, zu messenden Objekt verbunden. Seine Marken sind zur Bewegungsrichtung senkrecht orientiert. Das Raster 11 ist am vorderen Ende eines ortsfest montierten gabelförmigen Halters 14 befestigt und zwar derart, daJä seine Marken leicht schräg zur Bewegungsrichtung des Rasters 10 orientiert sind. Durch das Zusammenwirken der beiden Raster ergeben sich horizontal gerichtete Moirestreifen, welche bei einer Relativbewegung der Raster in Mei3richtung quer zu dieser Richtung über das Raster 11 wandern, wie dies in Fig. 1a vergrößert dargestellt ist. Ein Objektiv 15 bildet die Moirestreifen in eine Ebene 16 ab, in welcher vier zentralsymmetrisch orientierte Empfangsflächeη durch vier fotoelektrische Empfänger 17-20 definiert sind.In Fig. 1 is a measuring system for measuring lengths or movements according to a coordinate direction; shown at which two linear raster 10 and 11 cooperate. That Grid 10 is illuminated by a light source 12 via a condenser 13 and is connected to the not shown, object to be measured connected. Its marks are oriented perpendicular to the direction of movement. The grid 11 is at the front end of a fixedly mounted fork-shaped Holder 14 attached in such a way that its brands are oriented slightly obliquely to the direction of movement of the grid 10. Through the interaction of the two grids horizontally directed moire stripes result, which in the case of a relative movement of the grid in the direction of measurement transversely to this direction over the grid 11, like this is shown enlarged in Fig. 1a. A lens 15 depicts the moiré fringes in a plane 16 in which four centrally symmetrically oriented receiving surface η through four photoelectric receivers 17-20 are defined.
: B 0 9 8 ? 9 / Π a 1 Π - h - : B 0 9 8? 9 / Π a 1 Π - h -
8AD ORIGINAL8AD ORIGINAL
A 1997/B A 1997 / B ZZ K54K54
t, 18. 12. 197'+t, December 18, 197 '+
Lü/PeLü / Pe
Win ersichtlich sind diese Επη»fün,";er so an;;eo,rdnot, daU Vr. rbinduugs linien ihrer Kl .'ichonschworpuivktp schräg zur Richtung der Läii^sausdohtmii;!; dor Moire streifen verlaufen. Weiteres über die Orientierung; der Pimpfangsflachen ist· im Zusammenhang üiit Fig. h erläutert. Die Empfänger geben .Signale ab, welche sich umeinander in ihrer Phasenlage wie die Funktionen sin, cos, -sin und -cos verhalten. Sie definieren damit ein Vierphasen-Drehfe i-.i.Win these Επη »five,"; er so an ;; eo, rdnot, that Vr. Rbinduugs lines of their class'ichonschworpuivktp run obliquely to the direction of the Läii ^ sausdohtmii;!; Dor moire stripes. More about the orientation; the Pimpfansflachen is explained in connection with Fig. H. The receivers emit signals that relate to one another in their phase relationship like the functions sin, cos, -sin and -cos. They thus define a four-phase rotation angle.
Fift. 2 zeigt einen Winkelscnrittgeber, bei dem zwei Kreisraster 3(>, 31, welche unterschiedliche Teilungen, aufweisen, zusammenwirken. Dazu dient eine aus Lichtquelle 12 und Kondensor 13 bestehende Beleuchtungseinrichtung, welche das mit dem λλχ Messenden Objekt verbxmdeue !tastc-x- '}Λ beleuchtet. Dem Raster 30 sind entsprechend tnipfän^erflachen zugeordnet, welche auch hier durch jeweils vier fotoelektrisehe Kmpfän.'jer 17 - 20 direkt gebildet wurden. Wegen der Uli i,rrs>;tiiedlichen Teilungen der beiden Ras tor 'JO1 31 ergibt sich ein Muster von Moirestreifen, wie dies aus der Draufsicht auf die Scheibe 30 zu ersehen ist. Bei Drehung des Rasters 31 ergeben sich durchlaufende Koirestreifen und daraus Signale, die sich bezüglich ihrer Phasenlage wie oben beschrieben verhalten.Fift. 2 shows an angle incremental encoder in which two circular grids 3 ( >, 31, which have different pitches, work together. A lighting device consisting of light source 12 and condenser 13 is used for this purpose, which connects the object measuring with the λλχ measuring object! Tastc-x- '} Λ illuminates the grid 30 corresponding tnipfän ^ are assigned erflachen which also here by four fotoelektrisehe Kmpfän.'jer 17 - 20 were formed directly because of the Uli i, rrs>;.. tiiedlichen pitches of both Ras tor 'JO 1 31 yields a pattern of moire fringes, as can be seen from the plan view of the disk 30. upon rotation of the screen 31 results in continuous Koirestreifen and therefrom signals with respect to their phase position behave as described above.
In Fig. 3 ist ein Beispiel für ein Meßsyste::i zur Bestimmung von optischen Konstanten dargestellt in Form eines Interferenz-Rofraktometers. Das Licht einer Quelle 12 tritt nach Durchlaufen eines Kondensors 13 in ein aus zwei Teilen mit teilverspiegelter Trennfläche zusammengesetztes Prisma kO ein und wird dort in zwei Strahlenbündel aufgespalten, von denen das eine eine Kammer M mit einer Substanz vom Brechwert n.. , das andere eins solche. Kaninu-sr ^2 mit einer Substanz vom Brcchwnrt n„ durch-3 shows an example of a measuring system for determining optical constants in the form of an interference refractometer. After passing through a condenser 13, the light from a source 12 enters a prism kO composed of two parts with a partially mirrored separating surface and is split there into two bundles of rays, one of which is a chamber M with a substance with a refractive index n .., the other one such. Kaninu-sr ^ 2 with a substance of the fracture type n "through-
de λ ■ de λ ■
läuft. Bex Strahlenbündel werden an einem Spiegel 43 reflektiert, durchlaufen die Kammern rückwärts und werdenruns. Bex bundles of rays are reflected on a mirror 43, go through the chambers backwards and become
#■■-# ■■ -
Potenfabteilune £ Potenfabteilune £ 1 ο . 1 2 .1 ο. 1 2.
tin I'risi'ia 'in wi'Mlfi' vereiuigt. Da in don dor Kammer 41 zugeordneten Strahlengang pin Keil. 44 eingefügt ist, f alien dip ro f loktiorten Strarilerigänge bei dor Viedervprpiniijun/; nictit zusannnen, sondern sio divergieren leicht, so datf sich, in einer IMlHn Done 45 ein Infcerferenxfeld ergibt, bei welchem die Interference fcrei fen parallel zur Uachkante des Prismas 4θ orientiert sind und parallel zur Dachfläche dieses Prismas verlaufen. Der BiLdebene sind vier E ΐιφ furios flachen zugeordnet, welche aucii hier durch die flächen von vier fotoelektrischen Empfängern 17 - 20 dargestellt sein körn-en.. Die Aus;;aiii;ssignale dieser Empfänger werden paarweise Gegentalttverstärkern 46, 47 zugeführt und in diesen von Störanteilen und Gleichtaktanteilen ßereinigt. J)ie Ausgangssiijnale dieser Verstärker werden zur Ansteuerung eines Zählers.43 benutzt, welcher das MeUergebnis anzeigt.tin I'risi'ia 'in wi'Mlfi' uttered. Since in the chamber 41 assigned beam path pin wedge. 44 is inserted, if dip ro f loktiorten Strarilerigänge bei dor Viedervprpiniijun /; They do not close together, but rather they diverge slightly, so that in an IMIHn Done 45 an infectious field results in which the interference fcrei fen are oriented parallel to the outer edge of the prism 4θ and run parallel to the roof surface of this prism. The image plane is assigned four furious flat surfaces, which are also represented here by the surfaces of four photoelectric receivers 17-20 Interfering components and common-mode components cleaned up. The output signals of these amplifiers are used to control a counter. 43 which displays the measurement result.
Die Figuren 'la bis 4i zeilen Ausführungsi.'iöglichkeiten füi' die ICiiifjTangsflachen und4.hre Orientierung in Hinblick auf die zu messenden Marken oder Streifen.The figures' la to 4i line execution possibilities for the tangential surfaces and4. their orientation in terms of on the marks or strips to be measured.
Beim in Figur 4a gezeigten Ausführungsbeispiel sind vier rechteckige fotoelektrische Empfangsflächen 4ü - 43 vorgesehen, welche zusammen ein Quadrat definieren. Dieses Quadrat liegt innerhalb des ausgeleuchteten Bildfeldes 44, in welchem Interferenzstreifen 45 erscheinen, die sich in Richtung des Doppelpfeiles 46 bewegen können. Zieht man durch die Schwerpunkte S- - S. der Empfangsflächen zu den Interferenzstreifen parallele Geraden g. - S1 , so erkennt man, daß die Anordnung der Empfangsflachen 40 - 43 relativ zur durch den Doppelpfeil angezeigten Bewegungsrichtung de ι* Interferenzstreifen derart ist, daß diese Geraden paarweise zueinander gleiche Abstände a haben. Ordnet man jeder Empfangsfläche einen fotoelektrischen Empfänger"zu bzw, stellt man die Empfangsflächen selbst durch die Flä-In the exemplary embodiment shown in FIG. 4a, four rectangular photoelectric receiving surfaces 4ü-43 are provided, which together define a square. This square lies within the illuminated image field 44 in which interference fringes 45 appear, which can move in the direction of the double arrow 46. If one draws straight lines g parallel to the interference fringes through the focal points S - S of the receiving surfaces. - S 1 , it can be seen that the arrangement of the receiving surfaces 40-43 relative to the direction of movement de ι * interference fringes indicated by the double arrow is such that these straight lines have the same spacings a from one another in pairs. If you assign a photoelectric receiver to each receiving surface, or if you place the receiving surfaces themselves through the
BAD ORfGiNAL _ 6 BAD ORfGiNAL _ 6
609829/ÖÖ10609829 / ÖÖ10
λ 1907/η 2 λ 1907 / η 2
uno € · KJ. 12.uno € · KJ. 12th
LU/PoLU / Po
cTipri fotocloktrischor Ιΐιιιρ fänger dar, so zeigt sich, daü (Hose Si^nalo abgeben, die sich zur Bewegung der Streifen wie die Winkel funktionen "sitius", "cos", "minus sinus" und "mimis cos" verhalten und. danit ein elektrisches Drehfcld ergeben. Ks entspricht beispielsweise das Signal aus der F.mpfangsflache k2 dem "sinus", das Signal aus hü dem "cosinus", das .Signal aus '(3 dem "minus Sintis" und schließlich das Signal aus kl dem "minus cosinus". Diese Si ,nale werden in bekannter und daher hier nicht mehr erläuterter Weise ausgewertet.cTipri fotocloktrischor Ιΐιιιρ catcher, it turns out that there are (pants Si ^ nalo that relate to the movement of the stripes like the angle functions "sitius", "cos", "minus sinus" and "mimis cos" and. danit a For example, the signal from the reception area k2 corresponds to the "sinus", the signal from hü to the "cosinus", the "signal from" (3 to the "minus Sintis" and finally the signal from kl to the "minus cosine ". These signals are evaluated in a known manner and therefore not explained here any more.
Die Figuren 4b und ^c zeigen eine zentral orientierte bzw. eine zcntralsymiuc Irische Anordnung der Empfangs flächen, wobei das Beispiel nach Fig. kh zur Erzeugung eines dreiphasigen Drehfeldes, das nach Figur hc xur Erzeugung eines viorphasigen Drehfeldes benutzt werden. Auch hier sind die zu ilen Streifen parallelen, durch die Schwerpunkte der Einpfangsflachen gelegten Geraden paarweise im gleichen Abstand a' bzw. a".Figures 4b and ^ c show a centrally oriented or a zcntralsymiuc Irish arrangement of the receiving surfaces, the example of Fig. Kh for generating a three-phase rotating field, which are used according to Figure hc x for generating a vior-phase rotating field. Here, too, the straight lines, which are parallel to each other and which are laid through the centers of gravity of the receiving surfaces, are in pairs at the same distance a 'or a ".
. )3eiin in Figur kd gezeigten Beispiel sind die Einpfangsflachen hO1 - h'}x in Parallelcgrammfori:i und in solcher Anordnung in Bezug auf die v.u messenden Sti-eifen h%, daü sich wiederum zwischen den zu den Streifen parallelen, durch die Flächenschwerpunkte gelegten Geraden gleiche Abstände a"' ergeben. Diese Anordnung hat gegenüber der in Figur ha. gezeigten den Vorteil der besseren Oberwellenfilterung.. In the example shown in FIG. Kd , the receiving areas hO 1 - h '} x are in parallelgram form: i and in such an arrangement in relation to the vu measuring pins h%, that again between those parallel to the strips, through the centroids straight down the same distance a '"result. This arrangement has the advantage over that of Figure ha. shown the advantage of better harmonic filtering.
Statt der Parallelogramm-Flüchen können auch kreisförmige Flächen vorgesehen 3ein, wie sie in Figur he gezeigt sind.Instead of the parallelogram curses and circular surfaces can 3An provided as shown in FIG hey.
Bei allen bisher gezeigten Beispielen war davon ausgegangen, daß die Fläche der fotoelektrischen Empfänger gleichzeitig Empfangsf 1.iiche ist. Daß dies aber auchIn all examples shown so far, it was assumed that the area of the photoelectric receiver is the reception area at the same time. But that this too
609829/0810' ' - 7 -609829/0810 '' - 7 -
BAD ORIGINALBATH ORIGINAL
Patentabteilung τ 1 ·::1. 1 2 . 1','7'·Patent department τ 1 :: 1. 1 2. 1 ',' 7 '
Lü/PeLü / Pe
250G798250G798
anders sein kann, zoic;i<n din nach Γ ο Igp-udrm Figuren in perspektivischer Ansicht:may be different, zoic; i <n din after Γ ο Igp-udrm figures in perspective view:
Xn Figur 4f sind fotoelektrisch? Empfänger 5^ geneigt, denen je ein abschirmende!· Zylinder 51 mit aufgesetzter Linse 32 zugeordnet ist. Wio angedeutet, sind diese Zylinder !ai fc ihren Linsen relativ zu den zu zühioncien Streifen 45 so angeordnet, dai'> die weiter oben genannte Bedingung des paarweise gleichen Abstandos erfüllt ist.Xn Figure 4f are photoelectric? Receiver 5 ^ inclined, each with a shielding! · cylinder 51 with attached Lens 32 is assigned. As indicated, these are cylinders ! ai fc their lenses relative to the strips to be drawn 45 arranged so that '> the above-mentioned condition of the same spacing in pairs is fulfilled.
Das gilt auch für das in Figur 4g gezeigte Ausführungsbeispiel, bei welchem Lichtleiter in Form von Faserbündeln 53 oder für das Beispiel nach Fig. '1Ii, bei welche μ als Lichtleiter iihonibusprismen ^h verwendet sind. In jeden; Fall ist die Anordnung der Stirnflächen so wio oben bereits beschrieben.This also applies for the example shown in Figure 4g embodiment in which optical fibers in the form of fiber bundles 53, or for the example of Fig. '1 Ii, in which μ as a light guide iihonibusprismen ^ are used h. In everyone; In this case, the arrangement of the end faces is already described above.
In Figur 4h schließlich ist gezeigt, daß es auch möglich ist, clon vorgesehenen P^rapfängern 5^ ein gemeinsames optisches Bauteil, hier in Form eines Pyramidenprisraas 55 mit nachgeschalteter Optik 5ό, zuzuordnen und damit die Orientierung· der Kiiipfangsflachen gegeneinander zu erleichtern. Auch hier gilt das oben Gesagte, daß näüilicn dui-ch die Schwerpunkte der Pyrainidcnflachen als Rmpfangsflächen gelegte Geraden zueinander paarweise gleichen Abstand aufweisen müssen, um die eingangs genannten Aufgaben zu lösen.Finally, FIG. 4h shows that it is also possible to assign a common optical component, here in the form of a pyramid prism 55 with a downstream optics 5, to clon provided snap catchers 5, and thus to facilitate the orientation of the tilt capture surfaces with respect to one another. Here, too, what has been said above applies that, in addition, the centers of gravity of the pyramid surfaces, straight lines laid as receiving surfaces, must be equally spaced from one another in pairs in order to solve the problems mentioned at the beginning.
Variationen des soweit Beschriebenen sind möglich. So kann beispielsweise statt des in Figur 4h gezeigten Hauteils auch ein entsprechend orientiertes Pyramidenraster vorgesehen sein. Dies hat den Vorteil, daß man dann bei entsprechender Wahl der Teilungsperiöden beim Pyramidenraster und beim mit dem Objekt verbundenen Haster 1 '<) b^w. '}Λ auf das zweite Raster 1 1 bzw. 3f) verzichten kann.Variations of what has been described so far are possible. For example, instead of the main part shown in FIG. 4h, a correspondingly oriented pyramid grid can also be provided. This has the advantage that with a suitable choice of the division periods for the pyramid grid and for the hatcher 1 '<) b ^ w. '} Λ can do without the second grid 1 1 or 3 f) .
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