DE2145742B2 - Electromechanical filter - Google Patents

Electromechanical filter

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    • H03H9/46Filters
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Description

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Die Erfindung betrifft ein elektromechanisches Filter aus mehreren mechanisch gekoppelten, mechanischen Biegeresonatoren, die in wenigstens zwei Reihen ncbeneinanderliegend und gegeneinander versetzt angeordnet sind, bei denen die Kopplung der einzelnen Resonatoren durch jeweils ein drahtförmigcs Kopplungsstück erfolgt und bei denen in ihrer Wirkungsweise aufeinanderfolgende Resonatoren abwechselnd in den nebeneinanderliegenden Reihen angeordnet sind.The invention relates to an electromechanical filter made up of several mechanically coupled, mechanical ones Flexural resonators arranged in at least two rows next to one another and are arranged offset from one another, in which the coupling of the individual Resonators are made by a wire-shaped coupling piece and in their mode of operation successive resonators are arranged alternately in the adjacent rows.

Zur Lösung vieler Aufgaben der Filtertechnik werden häufig mechanische Filter verwendet, da sie bekanntlich in dem für sie geeigneten Frequenzbereich sowohl hinsichtlich des Raum.verbnuich*, als auch hinsi-htlich der elektri»chen Eigenschaften den aus konzentrierten Schaltelementen aufgebauten Filtern zum Teil erheblich überlegen sind. Da mechanische Sehwmaunaselemente je nach der An der Schwingungsanregung unterschiedliche Schwingungsformen ausfuhren können ist es auch möglich, in mechanischen Filtern u,r die Schwingungsform der einzelnen Resonatoren und die ^hwingungsform der Koppelelemente dem je«eiliaen Problem und der jeweiligen Frcquenzlage angepaßte Kombinationen zu verwenden. Be, verschiedenen bereits bekannten bzw. vorgeschlagenen Filtern ist dabe. eine vorteilhafte Kombination solcher Schwingungsformen ausgenutzt, nämlich die Biegeschwingung für den Resonator und die Längsschwingung fur das Koppelelement. Es wird hierbei davon Gebrauch gemacht daß sich die Resonanzfrequenz von Biegeresonatoren abgesehen von ihren Materialeigenschaften, außer durch ihre Länge zusätzlich durch den Querschnitt steuern läßt. Das Längsschwingungen ausführende Koppelelement läßt sich dabei als durchgehender Koppeldraht ausbilden, der in einer senkrecht zur Längsachse der Resonatoren liegenden Ebene vcrlault und mit den Resonatoren, beispielsweise durch Schweißung fest verbunden ist, wodurch für die Herstellung derartiger Filter gut reproduzierbare Verhältnisse geschaffen werden. Solche Filter haben sich an sich bei größeren relativen Bandbreiten und sogar bei relativen Bandbreiten bis herab zu etwa einem Prozent gut bewährt jedoch zeigt sich, daß bei Filtern, deren relative Bandbreite auf Grund der gestellten Anforderungen geringer als ein Prozent sein muß. der Langsschvwngungen ausführende Koppeldralu einen derart geringen Querschnitt annehmen würde, daß einerseits eine zuverlässige Verbindung des Koppelelements mit den Resonatoren, beispielsweise durch Punktschwcißung, immer schwieriger wird und andererseits auch die mechanische Stabilität des Filters nicht mehr gewährleistet ist.To solve many tasks of the filter technology Mechanical filters are often used, as they are known to be in the frequency range that is suitable for them both in terms of space usage * and in terms of it the electrical properties of the concentrated Filters built up on switching elements are in some cases considerably superior. There mechanical visual elements depending on the type of vibration excitation can execute different waveforms, it is also possible in mechanical filters u, r the form of oscillation of the individual resonators and the form of oscillation of the coupling elements in each case To use combinations adapted to the problem and the respective frequency situation. Be, different already known or proposed filters are included. an advantageous combination of such waveforms exploited, namely the bending vibration for the resonator and the longitudinal vibration for the Coupling element. Use is made here of the fact that the resonance frequency of bending resonators apart from their material properties, apart from their length and also their cross-section controls. The coupling element which carries out longitudinal vibrations can be considered to be continuous Form coupling wire which vcrlaults in a plane perpendicular to the longitudinal axis of the resonators and is firmly connected to the resonators, for example by welding, thereby making for production Such a filter can be used to create reproducible conditions. Such filters have to be considered larger relative bandwidths and even with relative bandwidths down to about one percent have proven their worth however, it can be seen that in the case of filters, their relative Bandwidth must be less than one percent due to the requirements. the longitudinal swings executing coupling wire would assume such a small cross-section that on the one hand a reliable connection of the coupling element with the resonators, for example by point welding, becomes more and more difficult and, on the other hand, the mechanical stability of the filter is no longer guaranteed is.

Beispielsweise ist aus der deutschen Auslegeschnft 12b4b37 ein elektromechanisches Bandfilter mit mehreren mechanischen Resonatoren die über auf Zug und Druck beanspruchte Koppelelemente miteinander gekoppeli sind und dessen Endresonatoren mit vorzugsweise elektrostriktiv wirkenden Wandlcrsystemen zur Umwandlung der elektrischen in die mechanischen Schwingungen verschen sind, und bei dem die mittleren Längsachsen der einzelnen Resonatoren zueinander parallel und in gegeneinander versetzten räumlichen Ebenen verlaufen, bekannt, für das es wesentlich ist. daß die einzelnen Resonatoren als Biegeschwingungen ausführende, hakenförmige Resonatoren ausgebildet sind deren Kopplung durch auf die Längsachsen der Resonatoren senkrecht stehende Koppelelemente erfolgt, daß die mittlere Längsachse wenigstens eines Resonators innerhalb eines durch zwei Ebenen begrenzten Bereiches liegt, die in der Schwingungsrichtung der Resonatoren verlaufen und die die mittleren Längsachsen der diesem Resonator unmittelbar vor- und nachgeschalteten Resonatoren enthalten und daß in an sich bekannter Weise die mittlere Längsachse dieses Resonators außerhalb der Ebene liegt, die von den mittleren Längsachsen der diesem Resonator unmittelbar vor- und nachgcschalteten Resonatoren gebildet ist.For example, from the German Auslegeschnft 12b4b37 an electromechanical band filter with several mechanical resonators which are coupled to one another via coupling elements that are subjected to tensile and compressive stress are and its end resonators with preferably electrostrictive converter systems for Conversion of the electrical into the mechanical vibrations are given away, and in which the middle ones Longitudinal axes of the individual resonators parallel to one another and in spatial offset from one another Levels run down, known for which it is essential. that the individual resonators are designed as hook-shaped resonators which carry out flexural vibrations they are coupled by coupling elements that are perpendicular to the longitudinal axes of the resonators, that the central longitudinal axis of at least one resonator within one bounded by two planes Area lies, which run in the direction of oscillation of the resonators and which the central longitudinal axes contain the resonators immediately upstream and downstream of this resonator and that in itself as is known, the central longitudinal axis of this resonator lies outside the plane defined by the central Longitudinal axes of this resonator immediately upstream and downstream resonators is formed.

Eine deranige Anordnung ermöglicht einen raumsparenden Aufbau, die Koppelelemente sind beim Schwingungsvorgang jedoch auf Zug und Druck beansprucht, d. h. sie führen Längsschwingungen aus.Such an arrangement enables a space-saving Structure, but the coupling elements are subjected to tension and pressure during the oscillation process, d. H. they carry out longitudinal vibrations.

Der Erfindung liegi die Aufgabe zugrunde, den er-The invention is based on the object

wähnten Schwierigkeiten nach Möglichkeil abzuhelfen und den Aufbau eines mechanischen Filiers anzugeben, mit Bern sich einerseits extrem geringe relative Bandbreiten realisieren lassen und trotzdem eine ausreichende mechanische Stabilität gewährleistet ist.imagined difficulties to be remedied as far as possible and specify the structure of a mechanical filier, With Bern, on the one hand, extremely low relative bandwidths can be achieved and still a sufficient one mechanical stability is guaranteed.

Ausgehend von einem elektromechanischen Filter ims mehreren mechanisch gekoppelten, mechanischen Biegeresonatoren, die in wenigstens zwx-i Reihen neheneinanderliegend und gegeneinander versetzt angeordnet sind, bei denen die Kopplung der einzelnen Resonatoren durch jeweils ein drahtförnV.ges Κ<φρ-lungsstück erfolgt und bei denen in ihrer Wirkungsweise aufeinanderfolgende Resonatoren abwechselnd in den nebeneinanderliegenden Reihen angeordnet sind, wird diese Aufgabe gemäß der Erfindung in der Weise gelöst, daß die Resonatoren einer Reihe etwa um einen Schwingungsknotenabstand gegenüber den Resonatoren einer anderen Reihe versetzt sind und daß der Kopplungsdraht jeweils näherungsweise in einer Ebene liegt, die durch die Verbindungslinie der Schwingungsknoten von in ihrer Wirkungsweise aufeinanderfolgenden Resonatoren und einer Senkrechten auf der Schwingungsebene der Resonatoren bestimmt ist.Starting from an electromechanical filter, there are several mechanically coupled, mechanical ones Flexural resonators lying in at least two rows next to one another and are arranged offset from one another, in which the coupling of the individual Resonators by a wire feeder each Κ <φρ-lungsstück takes place and in which in their mode of action successive resonators alternately in the adjacent rows are arranged, this object is achieved according to the invention in the manner solved that the resonators of a row by about one oscillation node distance from the resonators another row are offset and that the coupling wire each approximately in one plane is located by the line connecting the nodes of each other in their mode of action Resonators and a perpendicular to the plane of oscillation of the resonators is determined.

Nachstehend wird die Erfindung an Hand eines Ausführungsbeispiels noch näher erläutert. Es zeigt in der ZeichnungThe invention is described below using an exemplary embodiment explained in more detail. It shows in the drawing

F i g. 1 schematisch ein Ausfiihrungsbeispiel eines erfindungsgemäßen Filiers,F i g. 1 schematically shows an exemplary embodiment of an inventive Filiers,

F i g. 2 einen Biegeresonator in der Längsansicht,F i g. 2 shows a bending resonator in a longitudinal view,

Fig. 3 den Koppelfrequenzabstand Af in Abhängigkeit vom Angriffspunkt des Koppelelemcnts.3 shows the coupling frequency spacing Af as a function of the point of application of the coupling element.

Das Ausführungsbeispiel gemäß F i g. 1 zeigt ein aus fünf Resonatoren la, 1, 2,3 und Xb bestehendes mechanisches Filter, bei dem die Resonatoren 1,·», 2 und IZj in einer ersten Reihe und die Resonatoren I und 3 in einer weiteren Reihe liegen. Im Ausführungsbeispiel bestehen die einzelnen Resonatoren aus quaderförmigcn Balken und es sind die Resonatoren unterschiedlicher Reihen zueinander parallel verlaufend angeordnet, wobei sich die mittleren Längsachsen der in der eisten Reihe liegenden Resonatoren la, 2 und \b decken. Auch die in der zweiten Reihe liegenden Resonatoren 1 und 3 sind so angeordnet, daß sich ihre mittleren Längsachsen decken, wobei die Längsachsen unterschiedlicher Resonatorreihen zueinander parallel verlaufen. Erforderlichenfalls lassen sich in entsprechender Erweiterung die einzelnen Resonatoren a ch in mehreren solchen Reihen anordnen, wodurch sich die Stärke der Verkopplung aufeinanderfolgender Resonatoren zusätzlich beeinflussen läßt. Aus der Draufsicht von F i g. 2 sind die sich am Resonator ausbildenden Schwingungsverhältnisse zu erkennen. Bei einer Länge I des Resonators haben die hinsichtlich der Biegeschwingung auftretenden Schwingungsknoten 10 und 10' den Abstand a, wenn dabei die Biegeschwingung in ■der durch den Doppelpfeil 11 kenntlich gemachten Schwingungsrichtung verläuft.The embodiment according to FIG. 1 shows an existing of five resonators la, 1, 2.3 and Xb mechanical filter in which the resonators 1, · », 2 and IZj lie in another row in a first row and the resonators I and 3. FIG. In the exemplary embodiment, the individual resonators consist of cuboid bars and the resonators of different rows are arranged running parallel to one another, the central longitudinal axes of the resonators 1 a, 2 and 1 b lying in the first row coinciding. The resonators 1 and 3 lying in the second row are also arranged in such a way that their central longitudinal axes coincide, the longitudinal axes of different rows of resonators running parallel to one another. If necessary, the individual resonators can also be arranged in a number of such rows in a corresponding expansion, whereby the strength of the coupling of successive resonators can also be influenced. From the top view of FIG. 2 shows the vibration conditions that develop on the resonator. With a length I of the resonator, the oscillation nodes 10 and 10 ′ occurring with regard to the flexural oscillation have the distance a if the flexural oscillation runs in the oscillation direction indicated by the double arrow 11.

Im Ausführungsbeispiel der F i g. 1 sind nun die Resonatoren unterschiedlicher Reihen um einen Schwingungsknotenabstand a gegeneinander versetzt. An den mit la und \b bezeichneten Endresonaioren ist ein aus elektrostiiktivcm Material bestehendes Wandlerclement in Form eines Plättchens aufgebracht, das beim Anlegen einer elektrischen Wechselspannung einen der Endresonatoren, beispielsweise den Eingangsresonator la, zu einer in Richtung des Doppelpfeils 11 verlaufenden Biegeschwingung anregt. Die Kopplung der Resonatoren erfolgt mit Hilfe von drahtförmig ausgebildeten Kopplungsstücken 4. Diese Kopplungsstücke iind derart angeordnet, daß sie in einer Ebene liegen, die von den Schwingungsknoten der in ihrer Wirkungsweise aufeinanderfolgenden Resonatoren bestimmt ist und die senkrecht steht auf der Schwingungsebene 11 der einzelnen Resonatoren. Durch diese Kopplungsstücke wird die mechanische Schwingung auf das am zweiten Endresonator \b aufgebrachte Wandlerelement 6 übertragen und kann dort in elektrische Schwingungen zuriickverwandeli werden. Aus Gründen der einfachen Herstellbarkeit sind die Kopplungss'.ücke 4 an solchen Flächen der Resonatoren befestigt, die senkrecht zur Schwingungsebene liegen. Da die Kopplungsstücke 4 einerseits im Bereich der Schwingungsknoten 10 bzw. 10' liegen, werden sie auf Torsion beansprucht; gleichzeitig werden sie auch auf Biegung beansprucht, da sie gegenüber der eigentlichen Knotenlinie des Resonators versetzt sind und somit durch die Resonator-Biegeschwingungen eine Biegekomponente erhalten. Es bilden sich also in den Kopplungsstücken 4 eine Torsionsund eine Biegeschwingung aus.In the embodiment of FIG. 1 the resonators of different rows are now offset from one another by an oscillation node spacing a. A transducer element made of electrostatic material in the form of a plate is applied to the end resonators labeled la and \ b , which when an electrical alternating voltage is applied excites one of the end resonators, for example the input resonator la, to a flexural oscillation in the direction of the double arrow 11. The coupling of the resonators takes place with the help of wire-shaped coupling pieces 4. These coupling pieces iind arranged such that they lie in a plane which is determined by the vibration nodes of the successive resonators and which is perpendicular to the vibration plane 11 of the individual resonators. By these coupling pieces, the mechanical vibration is transmitted to the b applied to the second Endresonator \ transducer element 6 and can be in electrical oscillations zuriickverwandeli there. For reasons of ease of manufacture, the coupling gaps 4 are attached to surfaces of the resonators that are perpendicular to the plane of oscillation. Since the coupling pieces 4 are on the one hand in the area of the vibration nodes 10 or 10 ', they are subjected to torsion; At the same time, they are also subject to bending stress, since they are offset from the actual node line of the resonator and thus receive a bending component due to the resonator bending vibrations. Torsional and bending vibrations are thus formed in the coupling pieces 4.

Zur Halterung des Filters sind die Haltedrähte 5 vorgesehen, die an den Resonatoren in deren Schwingungsknoten 10 bzw. 10' angreifen und in der Knotenachse verlaufen. Die Halteelemente 5 sind ihrerseits an den Gehäusewänden eines Gehäuses 7 befestigt.To hold the filter, the retaining wires 5 are provided, which act on the resonators in their vibration nodes 10 or 10 'and in the node axis get lost. The holding elements 5 are in turn fastened to the housing walls of a housing 7.

Bei der Erfindung wird von der Überlegung ausgegangen, daß Biege- und Torsionskoppler im Vergleich zum Längskoppler bei technologisch leichter zu handhabenden geometrischen Abmessungen eine wesentlich schwächere Verkopplung benachbarter Resonatoren bewirken und somit günstige Voraussetzungen für die Realisierung extrem schmalbandiger Filter bieten. Es lassen sich also Kopplungen zur Erzielung einer rclativen Bandbreite im Promille-Bereich einstellen. Bei solch schmalbandigen Filtern ist es von erheblicher Bedeutung, daß der Einfluß der Halterung der Resonatoren auf das Schwingungsverhalten des Filters möglichst gering bleibt. Dies läßt sich in ausreichendein Maß nur verwirklichen, wenn die Haliedrähte senkrecht zur .Schwingungsebene der Resonatoren im Schwingungsknoten angreifen. The invention is based on the consideration that bending and torsion couplers in comparison to the longitudinal coupler with geometrical dimensions that are technologically easier to handle cause weaker coupling of neighboring resonators and thus favorable conditions for the Offer implementation of extremely narrow-band filters. Couplings can therefore be used to achieve a rclative Set the bandwidth in the per mille range. With such narrow-band filters, it is of considerable importance that the influence of the mounting of the resonators on the vibration behavior of the filter as possible remains low. This can only be achieved to a sufficient extent if the halo wires are perpendicular to the .Attack the vibration level of the resonators in the vibration node.

Ein weiterer Vorteil in der Wahl dieser Anordnung liegt darin, daß die Kopplungen durch sukzessiven Aufbau einzeln kontrolliert und gegebenenfalls in bequemer Weise durch Kopplerabgleich auf ihren Sollwert gebracht werden können. Auf Grund der Tatsache, daß bei dieser Konstruktion jeder Resonator in seinen beiden Schwingungsknoten gehalten wird, ist das Filter gegen Schültel- und Stoßbeanspruchungen nur wenig empfindlich.Another advantage of choosing this arrangement is that the couplings are built up successively individually controlled and, if necessary, conveniently by means of coupler adjustment to their setpoint can be brought. Due to the fact that in this construction each resonator in its two If the vibration node is kept, the filter is only slightly resistant to shock and shock loads sensitive.

Die Kopplung der Resonatoren untereinander ist eine gemischte Biege-Torsionskopplung, wobei in dieser Anordnung Biegung und Torsion auf den Resonator entgegengesetzte Drehwirkung am Ankoppelpunkt ausüben. Dadurch ergibt sich der in F i g. 3 gezeigte Verlauf des Koppelfrequenzabstandes Afm Abhängigkeit vom auf die Länge 1 des Resonators bezogenen Kopplerangriffspunkt χ (vgl. F i g. 2) am Resonator.The coupling of the resonators to one another is a mixed bending-torsional coupling, whereby in this arrangement bending and torsion exert opposite rotary effects on the resonator at the coupling point. This results in the in FIG. 3 shows the course of the coupling frequency spacing Afm as a function of the coupler attack point χ related to the length 1 of the resonator (cf. FIG. 2) on the resonator.

Unter den Koppelfrequenzen sind dabei die Resonanzfrequenzen zweier miteinander gekoppelter freischwingender Resonatoren zu verstehen. Die in F i g. 3 durch die gestrichelte Linie A kenntlich gemachte Lage des Schwingungsknolens zeigt, daß auch hier — ähnlich wie bei der nicht versetzten Anordnung am Schwingungsknoten, wo der Torsionsanteil überwiegt — ein sehr breites Maximum der Kopplung erreicht wird, wodurch Fehler in der Ankoppelstelle auf die Kopplung-The coupling frequencies are to be understood as the resonance frequencies of two freely oscillating resonators coupled to one another. The in F i g. 3 the position of the vibration node identified by the dashed line A shows that here too - similar to the non-offset arrangement at the vibration node, where the torsion component predominates - a very broad maximum of the coupling is achieved, whereby errors in the coupling point on the coupling-

stärke einen nur geringen Einfluß haben. Aus diesem Grund ist die durch die Knotenlinien der Resonatoren gebildete Ebene als Ankoppelstellc besonders geeignet. Durch die beschriebene Art des Aufbaus wird auch die Forderung nach der günstigst möglichen Halterung des FHterkörpcrs voll erfüllt.strength have only a minor influence. For this reason, the one through the nodal lines of the resonators formed level as Ankoppelstellc particularly suitable. Due to the type of structure described, the Requirement for the cheapest possible mounting of the FHterbodycrs fully met.

Hierzu 1 Blatt Zeichnungen1 sheet of drawings

Claims (6)

Patentansprüche:Patent claims: 1. Elektromechanisches Filter aus mehreren mechanisch gekoppelten, mechanischen Biegeresonatoren, die in wenigstens zwei Reihen nebeneinanderliegend und gegeneinander versetzt angeordnet sind, bei denen die Kopplung der einzelnen Resonatoren durch jeweils ein drahiförmiges Kopplungsstück erfolgt utjd bei denen in ihrer Wirkungsweise aufeinanderfolgende Resonatoren abwechselnd in den nebeneinanderliegenden Reihen angeordnet sind, dadurch gekennzeichnet, daß die Resonatoren (1, 3) einer Reihe etwa um einen Schwingungsknotenabstand (a) gegenüber den Resonatoren (la, 2, ib) einer anderen Reihe versetzt sind und daß der Kopplungsdraht (4) jeweils näherungsweise in einer Ebene liegt, die durch die Verbindungslinie der Schwingungsknoten (10, 1O') von1. Electromechanical filter consisting of several mechanically coupled, mechanical bending resonators, which are arranged in at least two rows next to one another and offset from one another, in which the coupling of the individual resonators is carried out by a wire-shaped coupling piece in which, in terms of their mode of operation, successive resonators alternate in the adjacent rows are arranged, characterized in that the resonators (1, 3) of a row are offset by approximately one oscillation node distance (a) with respect to the resonators (la, 2, ib) of another row and that the coupling wire (4) each approximately in one plane lies by the line connecting the nodes (10, 1O ') of in ihrer Wirkungsweise aufeinanderfolgenden Resonatoren (z. B. la, 1) und einer Senkrechten auf der Schwingungsebene (11) der Resonatoren (la, 1. 2. 3. ib) bestimmt ist.successive resonators (z. B. la, 1) and a perpendicular to the vibration plane (11) of the resonators (la, 1. 2. 3. ib) is determined in their mode of action. 2. Elektromechanisches Filter nach Anspruch 1, dadurch gekennzeichnet, daß die Resonatoren unterschiedlicher Reihen zueinander parallel verlaufend angeordnet sind.2. Electromechanical filter according to claim 1, characterized in that the resonators are different Rows are arranged running parallel to one another. 3. Elektromechanisches Filter nach Anspruch 2. dadurch gekennzeichnet, daß die Resonatoren derart angeordnet sind, daß die mittleren Längsachsen der jeweils in einer Reihe liegenden Resonatoren (la, 2, ib bzw. 1,3) sich decken.3. Electromechanical filter according to claim 2, characterized in that the resonators are arranged such that the central longitudinal axes of the resonators lying in a row (la, 2, ib or 1,3) coincide. 4. Elektromechanisches Filter nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gekennzeichnet, daß die Kopplungsstücke (4) derart an den Resonatoren (la, 1, 2. 3. ib) befestigt sind, daß im Kopplungsstück (4) eine Torsions- und eine Biegeschwingung auftritt.4. Electromechanical filter according to one of the preceding claims, characterized in that the coupling pieces (4) are attached to the resonators (la, 1, 2. 3. ib) in such a way that a torsional and bending vibration occurs in the coupling piece (4) . 5. Elektromechanisches Filter nach einem der vorhergehenden Ansprüche, dadurch gckcnnzcichnet. daß die einzelnen Resonatoren (I;;, 1, 2, 3, ib) über in ihren Schwingungsknoten (10) angreifende Haltedrähte (5) in einem Gehäuse (7) od. dgl. verankert sind.5. Electromechanical filter according to one of the preceding claims, characterized gckcnnzcichnet. that the individual resonators (I ;;, 1, 2, 3, ib) are anchored in a housing (7) or the like via holding wires (5) engaging in their vibration nodes (10). 6. Elektromechanisches Filter nach Anspruch 5, dadurch gekennzeichnet, daß die Haltedrähte (5) senkrecht zur Schwingungsebenc (11) der Resonatoren (la, 1,2,3, ib) verlaufen.6. Electromechanical filter according to claim 5, characterized in that the holding wires (5) run perpendicular to the Schwingungsebenc (11) of the resonators (la, 1,2,3, ib) .
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